1

UNIVERSITATEA MARITIM CONSTANA

Note de curs

DINAMICA FLUIDELOR POLIFAZICE POLUANTE

CONSTANA 2011

2

CUPRINS

1. PROPRIETILE FLUIDELOR ................................................... 4

1.1. Noiuni generale ..................................................................................... 4

1.1.1. Definiii .............................................................................................. 4 1.1.2. Particula fluid. Modele de fluid ........................................................ 5 1.1.3. Clasificarea fluidelor omogene .......................................................... 7 1.1.4 Metode de studiu n mecanica fluidelor .............................................. 8 1.1.5. Forele care acioneaz n mediul fluid .............................................. 8 1.1.6. Medii polifaziee. Fluidul polifazic ..................................................... 10 1.1.7. Particula fluid. Modele de fluid ...................................................... 11 1.1.8. Metode de studiu n mecanica fluidelor polifazice ........................... 12 1.1.9. Clasificarea fluidelor polifazice ........................................................ 12 1.1.10. Forele care acioneaz n mediul polifazic ................................... 13

2. PROPRIETILE FIZICE ALE FLUIDELOR I MEDIILOR POLIFAZICE ................................................................................. 15

2.1. Proprietile fluidelor omogene .......................................................... 15

2.1.1. Proprietile fizice comune lichidelor i gazelor ............................... 15 2.1.2. Proprieti fizice specifice lichidelor ................................................. 19 2.1.3. Proprietile fizice specifice gazelor ................................................ 21

2.2. Proprietile fizice ale particulelor solide .......................................... 22

2.2.1. Greutatea specific ......................................................................... 22 2.2.2. Forma particulei .............................................................................. 23 2.2.3. Mrimea particulei ........................................................................... 25 2.2.4. Mrimea hidraulic .......................................................................... 27 2.2.5. Viteza de plutire .............................................................................. 32

2.3 Proprietile fizice ale fluidelor polifazice ........................................... 34

2.3.1 Concentraia ..................................................................................... 34 2.3.2. Greutatea specific echivalent ...................................................... 36 2.3.3. Densitatea echivalent .................................................................... 36 2.3.4. Vscozitatea aparent..................................................................... 37 2.3.5. Presiunea de difuzie ........................................................................ 42 2.3.6. Proprietile abrazive ....................................................................... 43 2.3.7. Proprietile reologice ale fluidelor/mediilor nenewtoniene .............. 43

3. LEGILE GENERALE ALE DINAMICII FLUIDELOR POLIFAZICE ................................................................................. 50

3

3.1 Legile transferului i transportului de proprietate ............................. 50

3.1.1. Noiuni introductive .......................................................................... 50 3.1.2 Transportul molecular....................................................................... 51 3.1.3 Transportul turbulent ........................................................................ 56 3.1.4 Coeficientul de transport .................................................................. 58 3.1.5 Criterii de similitudine Ia transferul de mas ..................................... 59

3.2 Ecuaiile i legile dinamicii fluidelor polifazice .................................. 61

3.2.1 Noiuni generale ............................................................................... 61 3.2.2 Ecuaia de continuitate pentru fluide polifazice (legea conservrii masei fluidului polifazic) ............................................................................ 66 3.2.3 Fore i tensiuni n dinamica fluidelor polifazice ............................... 71

3.3 Micarea particulei n cmpul gravitaional ........................................ 82

3.3.1 Antrenarea particulei n micare ....................................................... 82 3.3.2 Ecuaiile de micare ale particulei n curentul fluid ........................... 89

3.4 Distribuia concentraiei i a debitului solid transportat ................. 104

3.4.1 Bazele metodei probabilistice pentru determinarea distribuiei de concentraie ............................................................................................. 104 3.4.2 Teoria difuzional pentru distribuia concentraiei. ......................... 105 3.4.3 Teoria gravitaional pentru distribuia de concentraie. ................. 111 3.4.4 Debitul solid transportat. ................................................................. 114

3.5 Micarea fluidelor bifazice fluid-particule solide ............................. 116

3.5.1 Micarea fluidelor bifazice fluid-particule solide, la concentraii mici, prin conducte circulare .................................................................... 116 3.5.2 Micarea fluidelor bifazice gaz-particule solide .............................. 120 3.5.3 Micarea fluidelor bifazice n strat fluidizat ..................................... 123 3.5.4 Micarea bifazic a amestecului fluid-particule grele n probleme de sedimentare ....................................................................................... 125

4

1. PROPRIETILE FLUIDELOR

1.1. Noiuni generale 1.1.1. Definiii Medii continue. Corpul poate fi definit ca o poriune a spaiului ocupat

de un mediu cu anumite proprieti specifice. Prin corp material, sistem material, se nelege materia organizat ntr-o form definit prin proprieti structurale de form i rspuns la aciunile exterioare.

Se consider spaiul euclidian tridimensional, E3. n acest sistem se definete mediul continuu ca un corp material care, la un moment dat de timp, ocup complet un domeniu D al spaiului, astfel nct se poate stabili o coresponden biunivoc ntre fiecare punct din D i centrele de mas ale particulelor mediului. Aceast coresponden permite identificarea particulei n spaiu prin vectorul de poziie r(x, y. z) definit n raport cu sistemul inerial cartezian. Tripletul de numere reale din spaiu (x, y, z) reprezint coordonatele materiale ale particulei. Existena unei particule n fiecare punct din D conduce la configuraia corpului la momentul t. Aceasta, la alt moment de timp, poate s se modifice fie ca urmare a unui proces de micare, fie ca o consecin a deformrii.

Prin micare a mediului continuu se nelege deplasarea particulelor sale n ansamblu, deci o succesiune a configuraiilor posibile. Deformaia mediului conduce la modificarea distanelor dintre punctele sale materiale.

Principiul continuitii mediului se bazeaz pe dou axiome fundamentale:

1. masa corpului (fluidului) se conserv, 2. micarea este continu, n sensul c nu apar spaii goale ntre

particulele mediului continuu care sunt n contact. Ipoteza continuitii mediului impune o distribuie; continu a materiei n

regiunea D din spaiu pe care acesta o ocup. n cadrul ipotezei, diferitele mrimi care caracterizeaz proprietile mediului sau de curgere sunt funcii continue de coordonatele materiale ale particulelor cu excepia unor puncte, suprafee sau linii de discontinuitate.

Mediul continuu este omogen dac la temperaturi i presiuni constante are o distribuie uniform a proprietilor sale (de exemplu densitatea). Mediul continuu omogen este i izotrop dac proprietile sale sunt invariante n raport cu direciile spaiului din jurul unui punct oarecare al domeniului D.

Corpului continuu i se ataeaz o msur scalar nenegativ, numit densitate de mas, pentru orice configuraie a sa. Aceast msur este continu pentru orice configuraie, ceea ce asigur continuitatea corpului (mediului). Un proces dinamic este constituit dintr-un corp continuu n micare sub aciunea unui sistem de fore, cu proprietatea c exist un cmp tensorial

5

tensiune T , de tip Cauchy i un alt cmp tensorial de deformaie D . Orice mediu continuu este caracterizat prin dependena tensorului tensiune de parametrii cinematici i termodinamici ai acestuia, legea constitutiv.

Fluide, noiuni generale. Dintre corpurile materiale continue, mecanica fluidelor studiaz fluidele (lichidele i gazele) caracterizate n primul rnd prin proprietatea de fluiditate uurina de deplasare a particulelor din care sunt formate. Astfel, att lichidele ct i gazele, sub influena unor fore exterioare relativ mici, pot cpta deformaii orict de mari. Proprietile lor comune, faptul c nu au form proprie i uurina de deplasare a particulelor care le formeaz definesc fluiditatea gazelor i lichidelor. Aceast proprietate comun se datorete forelor de coeziune relativ mici n raport cu cele existente n corpurile solide.

ntre cele dou corpuri cu stare de agregare diferit exist i deosebiri. Gazele sunt fluide compresibile care pot umple o incint orict de mare cu un volum iniial vid; ntre moleculele lor se exercit fore de coeziune reduse. Lichidele sunt fluide practic incompresibile i care sub aciunea forelor gravitaionale iau forma vasului unde sunt coninute meninnd nivelul liber i suprafaa de separaie orizontal; ntre moleculele lichidului se exercit fore mai puternice de coeziune i deci el nu pot umple n totalitate, prin expansiune, o incint.

n mecanica fluidelor, fluidul este considerat ca un mediu continuu, care ocup un domeniu din spaiu n care distribuia mrimilor fizice este continu cu excepia unor puncte, linii sau suprafee de discontinuitate. Aceast ipotez implic faptul c o regiune elementar, orict de mic, conine nc un numr foarte mare de particule componente i deci menine n totalitate proprietile fluidului.

Aadar, fluidul, n sensul definit mai sus, este un mediu continuu, omogen i izotrop, lipsit de forma proprie, n care, n stare de repaus, pe suprafeele de contact ale diferitelor particule se exercit numai tensiuni normale.

n cele ce urmeaz acest model de fluid este denumit fluid monofazic sau faz fluid. Apariia unor fore de ntindere interioare n fluid conduce la ntreruperea continuitii; n acest mod apar n fluid caviti, spaii umplute cu vapori i gaze ale cror dimensiuni cresc pn la situaia de echilibru a forelor astfel ca n masa fluid s se exercite numai tensiuni normale de compresiune.

1.1.2. Particula fluid. Modele de fluid Particula fluid. Deoarece fenomenele studiate n mecanica fluidelor au,

n general, un caracter macroscopic se poate defini ca element de studiu particula fluid. O particul fluid este o poriune din fluid de o form arbitrar cu dimensiuni foarte mici n comparaie cu lungimile caracteristice ale domeniului n care se afl corpul fluid i care pstreaz proprietile mediului continuu. Dac fluidul se consider omogen i izotrop atunci relaiile stabilite pentru o particul sunt valabile i se pot extinde pentru ntregul fluid. Noiunea de particul fluid este de fapt, extinderea noiunii de punct material din mecanica clasic.

Limita inferioar a dimensiunilor particulei este impus de condiia neglijrii micrii browniene a moleculelor (la gaze dimensiunea particulei este superioar drumului liber mijlociu al moleculei). Limita superioar este

6

condiionat de ipotezele de baz ale calculului infinitezimal. Mrimile fizice (viteza, acceleraia, presiunea, densitatea, temperatura etc.) ataate particulei fluide, la un moment oarecare t0 de timp, sunt cele corespunztoare centrului de mas al particulei msurate ntr-un interval t care-l conine pe t0.

Ipoteza general a continuitii unui fluid exprim faptul c n fiecare

punct P(r)=P(x,y,z), unde kzjyixr

este vectorul de poziie al

punctului, i la orice moment t de timp se poate defini o: 1. densitate = (r, t);

2. presiune p=p(r,t); 3. vitez v=v(r,t) 4. temperatur absolut T = T(v, t). Aceste funcii (x, y, z, t), p(x, y, z, t), v(x, y, s, t),T(x, y, z, t) sunt funcii

definite i continue oricare ar fi punctul P al domeniului D n care exist fluid. Pot exista, ns, n interiorul lui D puncte, linii i suprafee de discontinuitate, singulare, n care aceste funcii nu sunt definite sau continue (de exemplu suprafaa liber a unui jet de lichid constituie suprafa de discontinuitate pentru presiuni).

Modele de fluid. Corpurile materiale considerate fluide sunt ntlnite sub diverse forme n starea lor natural. Deoarece aa cum se gsesc n starea lor natural sunt dificil de abordat, pentru studierea lor teoretic au fost adoptate modele de fluid. Un model de fluid este n esen o schem simplificat n care se consider fluidul ca un mediu continuu cruia i se atribuie principalele proprieti macroscopice ale fluidului real.

Astfel, n mecanica fluidelor se folosesc: 1. modelul de fluid uor ;fr greutate 2. modelul fluidului ideal; lipsit de vscozitate (modelul lui Euler); 3. modelul fluidului vscos (modelul Newton); 4. modelul fluidului incompresibil (modelul Pascal). Pentru studiul unor probleme mai complicate se pot construi modele de

fluid prin suprapunerea celor simplificate menionate mai sus (principiul superpoziiei).

Modelele de fluid au la baza legea conslituitiv a mediilor continue sau formele particulare ale acesteia adaptate la structurile specifice ale mediilor fluide.

Introducerea tensorului tensiune n ecuaiile de micare are scopul de a pune n eviden reaciile care apar n curgerea mediilor fluide, prin stabilirea

legturii dintre tensorul tensiune T i variabilele cinematice i termodinamice, care caractrizeaz micarea mediului fluid. Astfel se poate defini tipuri de medii continue:

1. fluid mediu elastic 2. fluid mediu plastic. Dintre ecuaiile constitutive generale, propuse pentru mediile fluide, cea

care, se obine din sistemul de postulate ale lui Stokes definete majoritatea modelelor de fluid cunoscute n mecanica fluidelor. Postulatele lui Stokes stabilesc sistemul de condiii care trebuie satisfcute de comportarea fluidului.

prin deformaiile sale, tensorul vitezelor de deformaie D , sub forma:

1. tensorul T este o funcie tensorial continu de tensorul D , depinde de starea termodinamic a mediului, dar nu i de ali parametrii cinematici;

7

2. tensorul T nu depinde de poziia n spaiu a punctului n care este considerat (omogenitatea mediului);

3. n mediu nu exist direcii privilegiate (proprietatea de izotropie) a mediului;

4. pentru 0D , T se definete prin relaia IpT , unde p este pre-

siunea,iar I este tensorul unitate. Din sistemul postulatelor lui Stokes i teorema Cauchy-Ericksen-Rivlim

se obine pentru T expresia:

2

321 DDIT (1.1)

unde 1 , 2 i 3 sunt funcii scalare de invarianii principali ai tensorului

D , de densitate i temperatur. Invarianii principali se definesc ca fiind coeficienii polinomului:

322

1

3)( IIID (1.2)

obinut prin descompunerea determinantului

)det()( DID (1.3)

Fluidele descrise de ecuaia (1.1) se numesc fluide Reiner-Rivlin. Dac din ecuaia (1.1) se consider numai dependena liniar se obine

modelul fluidului newtonian:

DIvdivpT 2)( (1.4)

Pentru cazul particular al fluidului incompresibil (p constant) se Obine

legea constitutiv

DpIT 2 (1.5).

Ecuaia (1.5) a fost obinut de Navier (1821), iar (1.4) de Poisson (1831). Dac legea constitutiv are forma particular

pIT (1.6)

se obine modelul fluidului ideal (incompiesibil i lipsit de vscozitate). 1.1.3. Clasificarea fluidelor omogene Mecanica fluidelor generale se ocup cu studiul repausului i micrii

fluidelor considerate ca medii continue, omogene i izotrope. n aceast accepiune fluidele trebuie deosebite de corpuri care prezint grade de deformabilitate, intermediare ntre solid i lichid, de studiul crora se ocup reologia.

Din punct de vedere al strii de agregare fluidele sunt: lichide sau gaze (vapori).

8

Dac se compar ntre ele forele de greutate caracteristice particulelor fluide cu cele de inerie i presiune, fluidele se pot clasifica n:

1. fluide uoare, la care forele de greutate pot fi neglijate; 2. fluide grele, unde forele de greutate trebuie considerate la stabilirea

ecuaiilor de micare. Relaia de dependen a forelor tangeniale exercitate n interiorul

fluidului i viteza de deformaie permite clasificarea fluidelor, n: 1. fluide newtoniene (dependen liniar), 2. fluide nenewtoniene (corelaie neliniar). 1.1.4 Metode de studiu n mecanica fluidelor Mecanica fluidelor este o ramur a mecanicii clasice (tiin

fundamental a naturii) i deci folosete n cercetare att metode teoretice ct i experimentale, de cele mai multe ori ntr-o strns corelare.

Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilor i teoremelor mecanicii generale, precum i a aparatului matematic adecvat la studiul repausului i micrii fluidelor. Adaptarea teoremelor i legilor generale ale mecanicii la mecanica fluidelor este posibil prin reprezentarea fluidului ca mediu continuu; astfel, de exemplu, pot fi aplicate teoremele impulsului i momentului cinetic, legea conservrii masei, legea conservrii i transformrii energiei etc.

Aparatul matematic utilizat n mecanica fluidelor este complex, cuprinznd, ntre altele, calculul infinitezimal, analiza vectorial i tensorial, statistica matematic i teoria probabilitilor etc, precum i tehnica de calcul.

O metod teoretic de studiu n mecanica fluidelor este metoda analogiilor, fundamentat pe identificarea formal a ecuaiilor difereniale ale unor procese fizice diferite.

Metodele experimentale se aplic fie cu scopul stabilirii unor legi generale ale unor fenomene, a verificrii unor concluzii teoretice sau a introducerii unor corecii la legile stabilite teoretic, fie ca metod de rezolvare direct a unor probleme complexe, care nu pot fi soluionate pe cale teoretic; n acest ultim caz metoda poart numele de modelare hidraulic i const n reproducerea fenomenelor pe un model fizic care realizeaz la o anumit scar condil iile iniiale i la limit ale fenomenului natural.

Metodele mixte, rezultate din mbinarea metodelor teoretice cu cele experimentale, sunt deosebit de utile n cercetrile de mecanica fluidelor; n pro blema folosirii metodelor mixte, un rol important l dein teoria similitudinii i analiza dimensional. Teoria similitudinii constituie baza teoretic a metodelor experimentale i mpreun cu analiza dimensional folosete la interpretarea i generalizarea rezultatelor experimentrilor efectuate pe modele fizice la scar redus.

1.1.5. Forele care acioneaz n mediul fluid Dup natura i modul de aciune asupra unui sistem de particule fluide,

forele care acioneaz n mecanica fluidelor se clasific n: 1. fore interioare cnd forele reprezint interaciunea dintre particulele

sistemului, ele fiind, n baza principiului aciunii i reaciunii, dou cte dou egale i de sensuri contrare;

9

2. fore exterioare, care acioneaz de la distan, atunci cnd provin din interaciunile particulelor sistemului cu altele care nu aparin acestuia.

n funcie de mrimea fizic cu care aceste fore sunt proporionale ele seclasific n:

1. fore masice, proporionale cu masa particulei fluide (fore de greutate, fore de inerie etc);

2. fore de suprafa, proporionale cu mrimea suprafeei pe care aceastea acioneaz (de exemplu fora de presiune, de vscozitate etc).

Forele masice exterioare reprezint aciunile de la distan ale unor cmpuiri de fore exterioare particulei fluide dintr-un domeniu oarecare (de exemplu cmpul gravitaional, electromagnetic, centrifug etc). Ele sunt fore conservative, egale cu gradientul unei funcii scalare U, denumit potenial. Se consider fora masic unitar

Ugradfm (1.7)

de componente X, Y, Z. Pentru o particul fluid de mas elementar dm

fora masic dmfdF mm , n cazul unei mase de fluid m cuprins ntr-un volum

V, delimitat de o suprafa nchis S, rezultanta forelor masice este:

dVfdmfFV

mV

mm (1.8)

Forele masice interioare provin din interaciunea particulelor fluide

datorit atraciei newtoniene. Ele au o expresie de calcul asemntoare forelor masice exterioare, dar, n conformitate cu principiul aciunii i reaciunii, ele au o rezultant nul.

Forele de suprafa interioare apar ca rezultat al aciunii particulelor fluide n contact de-a lungul unui element de suprafa la un moment oarecare de timp (de exemplu, forele de vscozitate). n conformitate cu principiul aciunii i reaciunii rezultanta acestor fore elementare este nul, dar lucrul lor mecanic, n cursul micrii fluidului, nu este nul.

Forele de suprafa exterioare apar la contactul fluidului cu alte corpuri: perei solizi, particule, alte fluide etc. Forele exterioare de suprafa Fse, sunt acele fore care trebuie introduse pe suprafaa fluidului S dac s-ar ndeprta peretele de contact fluid-solid astfel nct prin aceast aciune de suprimare s nu se modifice evoluia fluidului din domeniul D mrginit de suprafaa S. Rezultanta forelor exterioare de contact Fec ce acioneaz, asupra unei suprafee S se calculeaz cu relaia

dATFS

ec (1.9)

n care dA este elementul de arie al suprafeei S, iar T = T(r, v. n, t) este

fora unitar de contact exterioar care depinde de poziia punctului prin vectorul de poziie r, de vitez v, de orientarea suprafeei, prin versorul normalei n i de timp.

Fora unitar de suprafa este determinat printr-un tensor simetric de ordinul doi, de forma T = n Tij unde Tij este tensorul tensiunilor. Pentru

10

majoritatea fluidelor tensorul tensiunilor este o funcie liniar de tensorul vitezelor de deformaie (legea generalizat a lui Newton).

1.1.6. Medii polifaziee. Fluidul polifazic Medii polifazice. Practic, n natur i industrie nu exist fluid omogen i

izotrop, n adevratul sens al celor dou noiuni, cu mici. excepii: apa pur i unele lichide cu nalt puritate din industria chimic. Apa de la robinet, de exemplu, conine gaze i substane organice i anorganice dizolvate sau n stare de suspensie coloidal. De cele mai multe ori apa se gsete n amestec cu particule solide i cu bule de gaz. De asemenea, aerul, n condiii naturale, conine particule solide, gaze, fum, picturi fine de lichid, vapori (aerosoli) etc. Prin urmare, fluidele din natur constituie amestecuri eterogene cu compoziie i concentraii variabile, ceea ce conduce la proprieti diferite de curgere. Prezena fazelor diferite ntr-un mediu fluid modific proprietile acestuia i este greu de precizat limitele n care sunt valabile principiile i legile mecanicii clasice. De cele mai multe ori rezultatele obinute prin aplicarea legilor mecanicii fluidelor omogene nu concord cu realitatea experimental datorit coninutului de substane dispersate n mediul fluid purttor. Introducerea ntr-un fluid omogen a unui alt corp dispersat sub form de particule discrete modific caracteristicile mediului de baz, dar nu influeneaz continuitatea acestuia i una dintre principalele proprieti, proprietatea de fluiditate.

n acest domeniu rmn valabile legile constitutive ale mediilor continue (energie), precum i teoria relaxrii elastice a lui Maxwell. n aceast teorie general, fenomenologic, se exprim faptul c ntr-o stare a materiei se manifest n acelai timp fluiditatea (curgerea vscoas a fluidelor) i deformarea elastic caracteristic solidelor.

Fluid polifazic real. n natur ca i n industrie se ntlnesc sisteme eterogene n care lichidul sau gazul coexist cu pri solide. Faza este una dintre; prile unui sistem eterogen care este separat de alta printr-o suprafa continu sau o mulime de suprafee continue. n multe cazuri faza fluid este preponderent asigurnd sistemului dispers proprietatea de fluiditate, n sens mai larg curgere cu transport i transfer.

Fluidul polifazic real se definete ca un mediu continuu, neomogen i neizotrop caracterizat prin proprietatea de fluiditate, ce rezult din amestecul nemiscibil a cel puin doua corpuri cu stri de agregare diferite (lichid solid, solid-gaz, lichid-gaz).

De exemplu, fluidul bifazic de tip lichid-solid are dou componente de baz:

1. faza lichid, mediu continuu de dispersie; 2. faza solid, mediu dispersat (nu se menioneaz gazele dizolvate n

masa de ap). Fluidul polifazic este un sistem material dispersat ntr-un fluid monofazic

(lichid sau gaz), alctuit din mai multe faze, separate prin suprafee continue sau mulimi de suprafee continue, denumite constitueni. Constituenii fluidului polifazic sunt medii continue la nivelul fazei fluide i a componentelor dispersate. Aadar, se menin valabile, n cadrul fiecrui component, proprietile mediului continuu corespunztoare strii de agregare. Dac faza continu este n repaus, faza sau fazele dispersate se separ gravitaional, rmn n stare dispers sau difuzeaz n faza continu. La o alt scar,

11

proprietile fazelor dispersate rmn valabile i pentru micarea fluidului polifazic. n unele fluide polifazice constituenii reacioneaz chimic (fazele nu sunt inerte chimic) i pot apare procese de precipitare, coagulare.

n studiul fluidelor polifazice fiecare constituent se consider a fi continuu, guvernat de ecuaiile cu derivate pariale ale mecanicii fluidelor sau al mecanicii mediilor continue. Materialele (fazele) sunt separate la interfa prin suprafee continue sau cvasicontinue. La interfa acioneaz ecuaii de salt, de exemplu condiii de conservare ale masei i momentului.

1.1.7. Particula fluid. Modele de fluid Fluidul polifazic echivalent se definete ca fiind acel model de fluid

omogen i izotrop care are proprieti identice de curgere cu amestecul multifazic real. Aceast consideraie este valabil n urmtoarele ipoteze:

1. amestecul are repartiie uniform i izotrop a fazelor constituente; 2. meninerea proprietii de fluiditate prin condiia ca faza fluid

purttoare s fie cantitativ predominant, concentraiile fazelor disperse sunt mult inferioare unitii;

3. se consider c fluidul echivalent este un mediu continuu; aadar, funciile de proprietate sunt definite, continue i derivabile n domeniul ocupat de fluid.

Acest model de fluid poate fi extins i la concentraii mai mari ale fazelor disperse lund n considerare, la fiecare caz n parte, particularitile specifice amestecului.

n modelul fluidului polifazic echivalent se definete particula fluid ca fiind o poriune din amestec de o form oarecare, cu dimensiuni arbitrar de mici n comparaie cu lungimile caracteristice ale domeniului n care se afl mediul polifazic i care pstreaz proprietile acestuia de corp continuu. Ea trebuie s conin toate fazele constituente ale amestecului. Deoarece fluidul polifazic echivalent se consider omogen i izotrop relaiile stabilite pentru o particul fluid sunt valabile i se pot extinde pentru ntregul mediu. n acest model de fluid se menine ipoteza general a continuitii mediilor polifazice care conduce la definirea i continuitatea funciilor de proprietate (densitate, presiune, vitez etc.) n orice punct P al domeniului Dp ocupat de amestecul multifazic.

Fluidul polifazic ideal (ipoteza multicomponenei). Modelul fluidului polifazic ideal presupune o repartiie uniform a fazelor constituente ale mediului polifazic n tot domeniul D ocupat de amestec. n acesta ipotez a multicomponenei amestecului fiecare faz este independent i i pstreaz individualitatea. Particulele fiecrei faze se consider medii continue, omogene i izotrope; aceleai ipoteze se fac i n cazul mediului fluid purttor (mediul de dispersie). Dar la nivelul macromolecular mediul polifazic nu poate fi considerat continuu, omogen i izotrop. ntre fazele constituente apar interaciuni i suprafeele de separaie dintre ele sunt suprafee de discontinuitate pentru presiune, densitate, vitez etc.

n acest model de fluid nu se poate defini o particul fluid dect la nivel macromolecular deoarece dimensiunile ei trebuie s fie superioare celor mai mari particule dispersate ale unei faze oarecare. Aadar, n acest caz din punct de vedere teoretic noiunea de particul fluid i pierde importana.

12

1.1.8. Metode de studiu n mecanica fluidelor polifazice n mecanica fluidelor polifazice se aplic aceleai metode de studiu ca.

n mecanica fluidelor omogene. Totui prezena fazelor dispersate ntr-un mediu continuu fluid impune i utilizarea unor metode specifice de cercetare experimental cu aparatur de mare finee (laser, radiaii X, , etc.).

n ultimele decenii s-au fcut numeroase ncercri de a elabora modele matematice pentru studiul curgerii fluidelor polifazice. Alturi de metodele clasice pentru studiul separat al micrii fazei dispersate n prezena unei faze continue (lichid sau gaz), dezvoltate n special n legtur cu micarea bulelor de gaz sau a particulelor solide n ap, au fost elaborate modele pentru studiul micrii de ansamblu a fluidului att n ipoteza bicomponenei (multicomponenei), ct i n ipoteza fluidului echivalent, n ambele cazuri se scriu ecuaiile de micare pentru amestec i faze i ecuaiile de salt la interfa. Pentru aceste modele ecuaiile constitutive trebuie s descrie comportarea fiecarei faze componente. De exemplu, dac una dintre faze este un lichid incompresibil, de densitate , ecuaia constitutiv a ei va fi dat de (1.5).

Consideraii similare sunt posibile pentru particule solide sau gaze dispersate n lichid.

1.1.9. Clasificarea fluidelor polifazice Fluidele polifazice, n repaus sau n micare, pot fi clasificate dup

diferite criterii. Dup natura, starea de agregare i modul de participare n amestec

fluidele polifazice pot fi: 1. fluide bifazice de tip lichid-solid, lichid-gaz, gaz,-solid; 2. fluide polifazice care conin amestecul a diverse corpuri cu stri de

agregare diferit n stare inert chimic, sau n cazul cel mai general cu interaciuni de ordin chimic sau biochimic.

Dup natura fazei dispersate fluidele polifazice se clasific n: 1. fluide polifazice de ordin zero, fluide monofazice; 2. fluide polifazice de ordinul unu, fluidele n care faza dispers este un

gaz, faza continu fiind un lichid; 3. fluidele polifazice de ordinul doi, fluidele polifazice la care faza

dispers este alctuit din pri solide; 4. fluidele polifazice generalizate, fluidele polifazice n care faza

dispres este alctuit din corpuri cu alte proprieti. Dup modul de amestec al fazelor se deosebesc: 1. fluide bifazice omogene, dac o faz se dizolv complet n cealalt

(de exemplu cazul soluiilor de sruri dizolvate integral); 2. fluide bifazice neomogene, dac fazele constituente coexist (de

exemplu torenii care transport nisip, nmol, pietri). Fluidele bifazice neomogene pot fi: 1. dispersate:

a. uniform; b. neuniform),

2. stratificate: a. cu suprafa de separaie; b. n macroamestec (capsule solide n lichid sau gaz),

13

Dup criteriul mrimii vitezei relative vr (viteza relativ se definete ca diferena dintre viteza fluidului purttor i viteza celeilalte faze cu greutate specific, n general, mai mare se deosebesc:

1. fluidele bifazice omogene, dac vr=0; 2. pseudoomogene, dac vr~0 (cazul sistemelor dispersate cu particule

coloidale); 3. eterogene, dac vr0 (cazul sistemelor dispersate stratificate i n

macroamestec). Micrile fluidelor bifazice pot fi clasificate dup diferite criterii. Dup regimul de micare al fluidului purttor micarea fluidului bifazic

poate fi laminar sau turbulent, dup cum numrul lui Reynolds (Re) ataat curgerii este mai mic sau mai mare dect numrul Reynolds critic (Recr) (n cazul curgerii prin conducte, v/DRe , unde v este viteza medie, D este diametrul conductei, iar este vscozitatea cinematic a fluidului purttor, cu Recr = 2300).

Dup criteriul variaiei n timp a parametrilor micrii, micrile fluidelor bifazice pot fi:

1. permanente (staionare); 2. nepermanente (nestaionare). n primul caz mrimea i direcia vitezei, valoarea presiunii i eventual

densitatea fluidului sunt constante n timp, iar n ultimul sunt funcii de timp. Dup natura conturului tubului de curent al fluidului bifazic de curgere

(suprafaa tubular format din liniile de curent care trec, la un moment dat, prin toate punctele unei curbe nchise simple), se deosebesc:

1. cureni cu suprafa liber, caracterizai prin faptul c o parte a seciunii transversale este n contact cu atmosfera;

2. cureni sub presiune, la care ntregul contur ;al seciunii este mrginit de cureni solizi i jeturi sau vne fluide, unde de-a lungul curentului, pe ntregul contur al seciunii transversale, acesta este n contact cu un alt fluid (gaz sau lichid).

Dup criteriul modului de desfurare a micrii n lungul curentului se disting:

1. micri uniforme, caracterizate prin linii de curent rectilinii i para lele n lungul crora vitezele sunt constante (de exemplu curgerile prin conducte cu diametrul constant);

2. micri neuniforme, cu linii de curent de o form oarecare de-a lungul crora vitezele variaz ca direcie i mrime (de exemplu curgerile prin conducte cu diametre variabile, prin albii naturale, prin canale cu seciune variabil etc.).

1.1.10. Forele care acioneaz n mediul polifazic n mecanica fluidelor polifazice se exercit aceleai fore masice i de

suprafa, interioare i exterioare, ca i n cazul mediilor continue omogene. Pe lng acestea se mai exercit i fore specifice de legtur (interaciune) dintre fazele participante la curgerea amestecurilor.

Fore de suprafa difuzive. Acestea sunt fore interioare care apar la suprafeele de separaie ale particulelor solide dispersate ca urmare a repartiiei neuniforme a vitezelor i presiunilor pe o normal ntr-un punct la aceast suprafa de discontinuitate. Ele sunt egale i de sens contar i deci, global,

14

pentru o particul macroscopic de fluid suma lor este nul, dar lucrul lor mecanic n deplasarea fazelor este diferit de zero.

Fore masice interioare de legtur. Aceste fore se introduc numai n modelul fluidului polifazic ideal i sunt proporionale cu masa total a mediului de dispersie i a fazelor dispersate pe componente. Ele apar cu urmare a atraciei universale dintre particulele dispersate i fluide. Conform principiului aciunii i reaciunii forele masice interioare, de leglunl, sunt egale i de sens contrar. Rezultanta total a acestor fore, pentru o cantitate de fluid polifazic este nul, dar lucrul lor mecanic n deplasarea amestecului este diferit de zero.

15

2. PROPRIETILE FIZICE ALE FLUIDELOR I MEDIILOR POLIFAZICE

2.1. Proprietile fluidelor omogene Proprietile fizice comune lichidelor i gazelor sunt: 1. densitatea; 2. greutatea specific; 3. compresibilitatea izoterm, 4. dilatarea termic, 5. adeziunea lai suprafeele solide, 6. vscozitatea, 7. conductibilitatea termic; 8. difuzia masic. Proprietile fizice specifice lichidelor sunt: 1. tensiunea superficial, 2. capilaritatea; 3. absorbia gazelor; 4. cavitaia, Proprietile specifice gazelor sunt: 1. proprietile mecanice 2. proprietile termice. 2.1.1. Proprietile fizice comune lichidelor i gazelor Densitatea Se consider un volum de fluid V delimitat de o suprafa nchis S,

care cuprinde o mas m , (fig. 2.1). Densitatea medie m , a mediului este

raportul dintre masa m a fluidului i volumului ocupat de acesta conform expresiei

V

mm

(2.1) Densitatea , masa specific sau

masa volumic, ntr-un punct dintr-un fluid se definete ca limit a raportului dintre masa m a unui element de volum din jurul punctului considerat i volumul V al elementului, cnd acesta tinde ctre zero:

Fig. 2.1 Element de volum

16

Vd

md

V

mlimlim

0Vm

0V

(2.2)

n mecanica mediilor continue densitatea, este funcie de punct precizat

prin vectorul de poziie r i de timpul t )t,r( Pentru un fluid omogen i

izotrop densitatea este egal cu masa unitii de volum

V

m

(2.3) i are aceeai valoare n orice punct al fluidului. Inversul densitii este

volumul specific

1

, (2.4) noiune utilizat n calculele de compresibilitate a gazelor. Greutatea specific. Se consider un volum de fluid V , delimitat de o suprafa nchis S, a

crui greutate este G , (fig. 2.1). Greutatea specific medie m a mediului fluid

este raportul greutii G i volumul V , conform relaiei,

V

Gm

(2.5) Greutatea specific , greutatea volumic, ntr-un punct al unui fluid se

definete ca limit a raportului dintre greutatea G a unui element de volum din jurul punctului considerat i volumul V al elementului cnd acesta tinde ctre zero

Vd

Gd

V

Glimlim

0Vm

0V

(2.6)

n mecanica mediilor continue greutatea specific este funcie de poziie

i de timp )t,r( . Pentru fluide compresibile (gaze) greutatea specific este

funcie i de presiune )p,t,r( .

Compresibilitatea izoterm. Compresibilitatea izoterm este proprietatea fluidului de a-i micora

volumul ocupat de el odat cu mrirea forelor de presiune care acioneaz pe suprafaa exterioar ce delimiteaz volumul V considerat iniial, la temperatur

constant. Variaia relativ de volum V

V este proporional cu creterea

17

presiunii conform expresiei:

p

V

V

sau dp

V

dV

(2.7) unde este modulul (coeficientul) de compresibilitate izoterm, cu valori

dependente de natura fluidului. Semnul minus din relaia (2.7) indic sensurile de variaie contrarii ale presiunii i volumului.

Inversul coeficientului de compresibilitate este modului de elasticitate

al lichidului

1

Gazele sunt fluide foarte compresibile, iar comparativ, lichidele sunt mult mai puin compresibile. n general se consider c lichidele sunt practic

incompresibile, aadar gradientul densitii cu presiunea 0dp

d .

Pentru viteze mici, la numere Mach, 3.0c

vMa , unde v este viteza

gazului, iar c viteza sunetului, pentru gaze se aplic legile fluidelor incompresibile.

Dilatarea termic Variaia relativ a volumului unui fluid este direct proporional cu

creterea temperaturii conform expresiei:

T

V

Vt

(2.8)

n care t este coeficientul de dilatare termic, ca valori dependente le

natura fluidului. Adeziunea unui fluid la o suprafa solid Adeziunea este un fenomen care impune exercitarea unei fore

perpendiculare pe suprafeele de contact a dou corpuri cu structur chimic diferit n scopul separrii lor. Fora de adeziune, ce se opune separrii corpurilor, apare ca urmare a forelor de atracie dintre particulele vecine ale unui fluid i ale unui corp solid aflate la distane moleculare ntre ele. Adeziunea depinde de natura suprafeei solidului, de natura fluidului i de temperatur. Adeziunea la suprafeele solide, mult mai evident pentru lichide, menine particulele din stratul aderent n stare de repaus mpiedicndu-le s participe la micarea general a fluidului (condiie la limit pe suprafaa solid). Pentru modelul de fluid ideal, lipsit de vscozitate, fluidul nu adera la suprafeele solide, n timp ce la fluidele reale proprietatea de adeziune impune condiia de vitez nul n punctele unei suprafee solide de contact n repaus.

Vscozitatea Vscozitatea este proprietatea unui fluid real de a prezenta tensiuni

18

interioare tangeniale la orice element de suprafa care separ dou poriuni de fluid n micare relativ local de alunecare a uneia fa de alta. Vscozitatea este determinat de transportul de mas al moleculelor cu viteze diferite dintr-un strat de fluid n altul. Acest fenomen, datorat n regimul laminar de curgere micrii browniene moleculare, are ca efect antrenarea unor particule i frnarea altora prin fore de vscozitate ce depind de structura molecular a fluidului.

n micarea laminar a unui fluid pentru deplasarea unui element plan de arie A, paralel cu el nsui, cu viteza v fa de o suprafa plan de referin, paralel cu elementul considerat, situat la cota h fa de aceasta, trebuie nvins fora de rezisten vscoas,

h/vAAF (2.9) n care este coeficientul de vscozitate dinamic a fluidului, inversul

vscozitii dinamice se numete fluiditate , ,

1 .

Efortul unitar tangenial care acioneaz asupra unui element de arie dA este dat de legea lui Newton, valabil n micarea laminar a unui fluid,

n

v

sau vgrad (2.10)

n care n

v

este gradientul vitezei fluidului n lungul normalei n la

direcia, de curgere. Raportul dintre vscozitatea dinamic i densitatea fluidului este

vscozitatea cinematic , definit prin relaia

.

n regimul turbulent de micare apar i tensiuni tangeniale suplimentare, aparente, datorate pulsaiilor vitezei care se adaug la cele dale de legea lui Newton.

Fluidul newtonian, sau fluidul lui Newton, este fluidul perfect vscos care se supune legii (2.10) n ipotezele precizate de G. G. Stokes pentru fluidele newtoniene omogene i izotrope exist corelaie liniar ntre tensorul tensiunilor, de componente Tij i tensorul vitezei de deformaie, conform relaiei:

ijijijD2)p(T

(2.11) n care p este presiunea fluidului, o constant, divergena vectorului

vitez, ij simbolul lui Kroncker. Fluidul nenewtonian generalizat este acel

model de fluid la care ntre tensorul tensiunilor T i cel al vitezelor de deformaie exist o relaie neliniar.

Conductibilitatea termic Conductibilitatea termic este proprietatea fluidului de a transmite

energia termic de la sursa cald la alta rece. Apare astfel tendina de

19

uniformizare a temperaturii n ntreg mediul fluid. Fluxul de cldur care trece prin unitatea de suprafa, situat la distana h de sursa cald, n unitatea de timp este dat de relaia

h

Tkt

(2.12)

n care k reprezint coeficientul de conductibilitate termic a fluidului.

Semnul minus indic faptul c transmisia cldurii se efectueaz n sensul descreterii temperaturii.

Difuzia Difuzia este proprietatea de omogenizare a unui amestec de dou

substane fluide prin micrile termice ale atomilor i moleculelor, ceea ce are ca efect uniformizarea concentraiei sistemului. Difuzia este determinat de existena unui gradient de concentraie a substanei dizolvate. Sistemul de fluide tinde spontan ctre starea de echilibru stabil care, n cazul unei temperaturi constante este reprezentat de o concentraie uniform.

2.1.2. Proprieti fizice specifice lichidelor Tensiunea superficial. Tensiunea superficial reprezint lucrul mecanic necesar pentru

majorarea ariei suprafeei unui lichid cu o unitate n condiii izoterme. Datorit tensiunii superficiale suprafaa de contact Ia interfaa gaz-lichid se comport ca o membran elastic. Tensiunea superficial este o consecin a interaciunii dintre moleculele din stratul superficial i moleculele din interiorul lichidului fa de forele de coeziune, considerabil mai reduse, dintre particulele moleculare ale lichidului i ale gazului. Valorile tensiunii superficiale depind de natura corpurilor aflate n contact (gaz-particul, gaz-lichid, lichid-particul solida etc.) i de temperatur (scade cu creterea temperaturii). Tensiunea superficiala ce apare pe suprafaa de contact a dou fluide nemiscibile este denumit tensiune interfacial.

Datorit forelor superficiale pe cele dou fee ale unei suprafee de separaie lichid-gaz apar valori diferite ale presiunii precizate prin teorema Iui Laplace. n orice punct al suprafeei libere a unui lichid n repaus diferena dintre presiunile exercitate pe cele dou fee ale suprafeei (p1 p2) este egal cu dublul produsului dintre intensitatea medie a tensiunii superficiale i curbura medie a suprafeei, conform relaiei:

21

21R

1

R

1pp

(2.13) unde R1 i R2 sunt razele principale de curbur ale suprafeei n punctul

considerat. Pentru o bul sferic de gaz teorema lui Laplace se scrie sub forma:

20

Fig. 2.1 Legea lui Jurin

021

R2pp

(2.14) n care R0 este raza sferei de gaz coninut n lichid. Capilaritatea Capilaritarea este fenomenul de denivelare a lichidelor n tuburile subiri,

cu diametrul sub 15 mm, fa de nivelul lichidului dintr-un recipient n care tubul este parial imersat. Fenomenul apare ca urmare a proprietilor de adeziune i de tensiune superficial. Dac forele de coeziune, tensiune superficial, sunt superioare celor de adeziune lichidul, coboar n tub, iar cnd forele de adeziune sunt predominante lichidul urc n tub la cota h, dat de relaia lui Jurin

R

h

cos2 , (2.15)

n care este unghiul dintre

generatoarea tubului i tangenta la suprafaa lichidului vectorul a la perete, R raza tubului. Unghiul de contact este specific fiecrui lichid de exemplupentru mercur n tub de sticl

neted 140 . Absorbia gazelor. Absorbia este fenomenul fizic n care gazele i vaporii ce alctuiesc faza

absorbit ptrund prin difuzie n masa unui lichid faza absorbant prin suprafaa de separare dintre cele dou fluide n contact. Fenomenul se produce dac concentraia componentelor fazei absorbite n stare gazoas este mai mare dect cea corespunztoare echilibrului fa de faza absorbant cu care este pus n contact, la o presiune i temperatur dat. Absorbia este n general un proces fizico-chimic. Absorbia gazului crete odat cu majorarea presiunii. Procesul de absorbie este determinat prin valorile coeficientului de solubilitate, definit ca raport al volumului de gaz dizolvat i cel al lichidului. n conformitate cu legea lui Henry coeficientul de solubilitate rmne constant la o temperatur dat.

Degajarea gazului Degajarea gazelor este fenomenul invers absorbiei care se produce

atunci cnd concentraia fazei absorbite, n stare dizolvat, este superioar valorii de saturaie corespunztoare temperaturii i presiunii respective.

Cavitaia Fenomenul de cavitaie, penculos pentru instalaiile hidraulice, apare n

21

zonele de curgeri n care piesiunea scade sub valoarea de vaporizare corespunztoare temperaturii date. Fenomenul const din degajarea gazelor dizolvate i vaporizarea unei pri din lichid formnd astfel zone de discontinuitate; bulele de vapori i gaze care se reintegreaz apoi n masa lichid n zonele de cretere a presiunii. Pentru explicarea fenomenului de cavitaie i a efectelor sale negative n literatura de specialitate exisist mai multe ipoteze: mecanic, chimic, apariia oxigenului activ, termodinamic, electric. Fenomenul este foarte complex i poate fi explicat numai prin ansamblul acestor aspecte.

2.1.3. Proprietile fizice specifice gazelor Proprietile specifice generale n general gazele se comport ca fluide uoare compresibile. Ele sunt

considerate fluide uoare, deoarece greutatea gazelor poate fi neglijat n raport cu forele de presiune care se exercit pe suprafaa exterioar a volumului considerat.

Gazele se consider fluide compresibile deoarece, n majoritatea cazurilor, nu se poate neglija variaia volumului unei cantiti oarecare de fluid datorit modificrii presiunii. Volumul lor sufer modificri importante la variaia presiunii.

Proprietile termice Volumul specific , sau densitatea a unui gaz depinde de presiunea p

i de temperatura T. Funcia de stare a gazului este o funcie de tipul,

0 T) v, (p,f (2.16)

care stabilete o corelaie ntre cele trei mrimi. Ecuaia de stare a

gazelor perfecte (ecuaia Clapeyron) este

RTp (2.17)

n care R este o constant cu valori specifice fiecrui fluid uor. Gazele reale sunt caracterizate, n afar constantei R, i de ali

parametri, cum sunt de exemplu: temperatura i presiunea critic corespunztoare punctului de lichefiere

a gazului; cldura specific la presiunea constant cp i respectiv la volum constant

cv, ntre care exist relaiile:

kc

c

Rcc

v

p

vp

(2.18)

unde k este exponentul adiabatic al gazului. n studiul repausului sau micrii unui gaz perfect se deosebesc

22

urmtoarele transformri: 1. izocor, transformare la volum constant, 2. izobar, transformarea la presiune constant; 3. izoterm, transformare la temperatur constant; 4. adiabat, n care fluidul uor nu schimb cldur cu mediul exterior, 5. politrop.

2.2. Proprietile fizice ale particulelor solide 2.2.1. Greutatea specific

Greutatea specific medie a particulei solide s , mediu continuu, se

definete n mod analog fluidului (paragraful 2.1). Greutatea specific medie este o proprietate dependenta de natura materialului.

Din punctul de vedere al greutii specifice medii particulele se clasific n:

1. particule uoare s < 20 kN/m3;

2. particule medii s = 20.. .28 kN/m3;

3. particule grele s > 28 kN/m3.

Unele particule solide nu au o structur omogen, ci prezint goluri de aer, fisuri etc. Se definete astfel o porozitate a materialului granulei prin raportul volumului total al spaiilor libere, cu form de canal, cavitate, sac, din interiorul particulei i volumul acesteia. Aceast mrime condiioneaz ca valoare att densitatea ct i greutatea specific a granulei de material.

Pentru particulele solide se definete greutatea specific aparent sa

prin raportul dintre greutatea particulei solide n stare natural uscat, cu pori i fisuri, i volumul aparent inclusiv porii, canalele, cavitile i fisurile. Din acest punct de vedere particulele se clasific n:

1. uoare sa < 1,5 daN/dm3;

2. medii sa = 1,5. . .2,0 daN/dm3;

3. semigrele sa = 2,0 . . . 2,5 daN/ dm3;

4. grele sa = 2,5 .. .3,0 daN/ dm3;

5. foarte grele sa > 3,0 daN/ dm3.

Greutatea specific aparent a granulei include i golurile de aer din particul, iar greutatea specific real se refer exclusiv la material, fr spaiile libere interioare, ele fiind corelate prin relaia:

ssa (2.19)

Granulele cu porozitate ridicat vor absorbi fluidul de baz mult mai uor

i n cantitate mai mare. Greutatea specific a particulei solide influeneaz procesul de transport

prin viteza de cdere a granulei n fluid, determinnd att consumul specific de energie de transport ct i traiectoriile.

23

2.2.2. Forma particulei Forma propiu-zis a particulei nu poate fi luat n considerare n

calculele de transport, deoarece n acelai sediment exist forme extrem de variate la particulele de aceeai greutate. Varietatea mare a formelor particulelor solide ngreuneaz consideraiile teoretice, calculele i complic foarte mult structura ecuaiilor de micare.

Pentru analiza formei particulelor solide n literatura tehnic de specialitate se dau mai multe metode care se bazeaz fie pe aprecierea suprafeei exterioare a granulei, fie a volumului su.

Sfericitatea ; se definete ca raport al ariei suprafeei exterioare a

particulei i aria suprafeei unei sfere de volum egal. n cazul particulelor sferice perfecte se obine sfericitatea minim = 1. Sfericitatea este dependent de

natura materialului granulei i de compoziia lui mineral. Rotunjimea reprezint raportul dintre raza medie de curbur a muchiilor

particulelor i raza cercului care se poate nscrie n suprafaa maxim proiectat a granulei. Noiunea de rotunjime este utilizat n aprecierea general a procesului de uzur a particulei, ce apare n timpul deplasrii acesteia, prin frecarea cu suprafeele solide care delimiteaz domeniul de curgere. Att sfericitatea ct i rotunjimea se reduc n procesul de uzur al particulei solide.

Constanta de volum K este definit prin raportul dintre volumul mediu real al particulei i cubul diametrului d al unei sfere circumscrise proieciei orizontale a granulei n poziia ei cea mai stabil n timpul micrii prin curentul fluid. n cazul particulei sferice

524.06

d

16

d

K

3

3

(2.20)

iar pentru un sediment natural K=0,4. Pentru particule fine (d

24

b> c sunt semiaxele elipsoidului circumscris particulei, a fiind orientat pe direcia vectorului vitez. Dup valorile acestuia particulele se mpart n opt clase diferite.

Factorul de form volumic este dat de raportul volumului real al particulei V i volumul elipsoidului de revoluie circumscris particulei Ve cu semiaxele a> b> c unde 2a reprezint cea mai mare dimensiune liniar a proieciei orizontale a granulei n poziia ei cea mai stabil, 2b a doua dimensiune mare msurat n proiecia orizontal rezult

2e ab3

4V (2.21)

aadar = V/Ve=0.2....0.9, unde valorile mici indic particule de form

plat. Referitor la cele trei semiaxe ale particulei elipsoidale se mai definete raportul de alungire a/b i cel de turtire b/c. Dac a/b >> 1 i b/c 1 particula are o form acicular, iar pentru a/b>>1, b/c>>1 granula este asemntoare plcilor subiri de mic.

Factorul de form Kf este definit prin relaia:

l

l1

l

ll

DACDBCAB

)ddccbbaa()DACDBCAB(K f (2.22)

n care lungimile snt precizate n

figura 2.2. Acest factor de form este util n precizarea intensitii procesului de uzur al particulei, care apare n timpul transportului, deoarece el apreciaz rotunjimea granulei. n funcie de valorile factorului de form Kf particulele solide se clasific n urmtoarele categorii:

1. particule rotunjite Kf =81. . . 100%;

2. particule aproape rotunjite Kf -- 61. . .80%;

3. granule aproape unghiulare Kf=41 ...60%; 4. particule coluroase Kf=21 ...40%; 5. particule puternic ascuite Kf =0 ... 21 %. Unghiularitatea k este factorul de form definit prin raportul:

l

lku (2.23)

unde cele dou sume au semnificaia din relaia (2.22) i figura 2.2 Este evident c nici unul dintre aceti indici de mai sus nu reuete s

defineasc exact forma particulei solide, n special dac granula este mai complex, cu unghiuri, concaviti i convexiti n plane diferite i cu poriuni neracordate.

Proprietile de alunecare ale particulei solide sunt reflectate printr-un alt

Fig. 2.2 Lungimile de calcul pentru Kf

25

indicator de forma care considera unghiul de frecare la deplasarea granulei. n conformitate cu cercetrile experimentale, unghiul de frecare prin alunecare n condiii umede este de = 21...35 pentru particule naturale rugoase i = 19...39 n cazul alunecrii uscate.

Rugozitatea particulei solide este calitatea suprafeei acesteia de a avea denivelri mici n raport cu dimensiunile ei. Rugozitatea absolut este reprezentat prin dimensiunea medie a asperitilor, considerate uniform distribuite pe suprafaa exterioar a granulei. Rugozitatea relativ reprezint raportul dintre rugozitatea absolut i o dimensiune caracteristic a particulei (de exemplu diametrul acesteia). n studiul rugozitii granulelor se folosete i noiunea de netezime relativ, egal cu inversul rugozitii relative a particulei.

Rugozitatea particulei solide, are o mare importan n procesul de abraziune pe care-l provoac fluidul bifazic n curgerea sa prin conduct. Totodat, rugozitatea particulei, la anumite regimuri de curgere, influeneaz direct consumul de energie necesar asigurrii micrii particulelor fluide i solide.

n funcie de caracteristicile geometrice ale suprafeei exterioare granulele solide se clasific n:

1. particule poroase 2. particule neporoase. Particulele poroase pot fi: 1. netede, succesiune continu, cu suprafa. perforat de pori adnci,

cu fisuri; 2. rugoase, fie exteriorul suprafeei particulei are pori i vrfuri n numr

foarte mare, fie c o granul const dintr-o succesiune de microparticule aglomerate ntr-o form neregulat.

Particulele neporoase pot fi la exterior: 1. netede cu suprafee plane sau forme cristaline care se pot observa

uor; 2. rugoase cu suprafaa exterioar n trepte sau cu fisuri. 2.2.3. Mrimea particulei Mrimea particulei solide se exprim prin: 1. diametrul de sit; 2. de sedimentare; 3. nominal; 4. mediu. Diametrul de sit, se apreciaz prin mrimea ochiului rotund de sit prin

care trece particula respectiv rmnnd pe sita urmtoare cu reeaua mai deas. Aceasta se poate determina simplu cu ajutorul unui dispozitiv cu site amplasate pe vertical n sensul descreterii mrimii ochiului. Sitele de sorta re au ochiuri rotunde sau ptrate cu dimensiunile n conformitate cu STAS 1667-77 (de exemplu 0.2; 1.0; 3.0; 7; 16; 31; 71; 160). Un sort elementar reprezint totalitatea granulelor (apreciere masic) care la cernere rmn ntre dou site consecutive. Sortul se exprim procentual prin relaia

[%]m

m100f 1 (2.24)

26

n care m1, reprezint masa particulelor rmase pe sit, iar m este masa total de material granular supus analizei.

Noiunea de finee a unui material granular, utilizat de multe ori n calculele de transport hidropneumatic, se definete prin raportul, exprimat n procente, dintre cantitatea rmas pe o sit i cantitatea total a corpului format dintr-o mulimea de particule.

Diametrul de sedimentare este definit ca diametrul unei sfere cu greutatea specific i mrimea hidraulic identic cu cele ale particulei solide reale determinate n aceleai condiii cinematice, ntr-un fluid identic. Aceast noiune se utilizeaz la particule cu dimensiuni sub 0,1 mm datorit imposibilitii de construire a sitelor de mare finee.

Diametrul nominal sau diametrul echivalent de, definit ca valoare a diametrului unei sfere de volum V numeric egal cu cel al particulei solide considerate este obinut cu relaia

3eV6

d

(2.25)

Diametrul mediu dm este valoarea determinat ca medie ponderat a

diametrelor particulelor prezente ntr-o suspensie oarecare, elementul de ponderare fiind frecvena de apariie a unei valori.

Compoziia granulometric a unui sediment reprezint modul de repartizare al fraciunilor granulometrice, obinute ntr-o prob, exprimate n procente din greutatea total n stare uscat. Ea reflect repartiia pe dimensiuni a particulelor unui material solid necoeziv.

Fraciunea granulometric reprezint totalitatea particulelor cu dimensiuni cuprinse ntre dou valori dinainte stabilite (de exemplu mrimile a dou site consecutive), n mod obinuit compoziia granulometric se reprezint grafic (fig. 2.3) sub forma curbei granulometrice, care analitic este integrala curbei de frecven.

Pentru rezolvarea problemelor puse de transportul materialelor cu dimensiuni variate este necesar determinarea diametrului mediu al granulelor. n acest scop se mparte curba granulometric pe ordonat n cel puin zece pri, 20, 50 sau 100 dup precizia dorit. Se .citesc de pe curba granulometric diametrele medii pariale ale fraciunilor respective. De exemplu, dac mprirea s-a fcut n zece pri, de cte zece procente, se iau diametrele medii corespunztoare pentru 5, 15, 25 ..., 95%. Diametrul mediu se calculeaz cu expresia:

10/)d....ddd(d 9525155m (2.26)

Fig. 2.3 Curba granulometruc

27

Pentru transport mai intereseaz: diametrul efectiv d10, diametrul corespunztor unui procent de 10% de pe

graficul curbei granulometrice, diametrul de control d60 (semnificaie analog); coeficientul de neuniformitate u=d60/d10, cu valori cu att mai mari cu ct

fraciile sunt mai variate. Deviaia fa de diametrul mediu se determin cu formula:

2

1

1

)((1

n

i

mii dddfn

(2.27)

in cure fi(d) reprezint frecvena de apariie a diametrului di

corespunztor clasei i=1...n. n perioada transportului particulele se pot dezintegra n componeni Toi

aceti constitueni se regsesc n curentul fluid polifazic sau n patul mobil. Substanele dizolvate nu se consider ca ncrcare solid n curentul fluid, ele reprezentnd pentru un sediment natural circa 20% din greutatea total a substanelor solide transportate. Clasa bolovani nu intereseaz n problemele practice de proiectare a instalaiilor de hidrotransport. De asemenea argila fin nu conteaz n curgerea fluidelor polifazice, deoarece ea se transport n stare de suspensie coloidal. Pentru transportul hidraulic de sedimente intereseaz numai particulele solide cu dimensiuni cuprinse ntre 0,002 i 100 mm.

Mrimea particulelor solide influeneaz direct caracteristicile cinematice i dinamice ale transportului, precum i diametrul tubulaturii. Cu ct granulele sunt mai mari cu att viteza curentului fluid de antrenare trebuie s fie mai ridicat. La dimensiuni mai mari ale particulelor solide se impune condiia ca diametrul conductei de transport s fie mult mai mare dect dimensiunea maxim a particulelor solide dmax conform relaiei D>3dmax. Condiia apare deoarece s-a constatat experimental c, indiferent de ndeplinirea celorlalte condiii de transport, la alte rapoarte D/d

28

n regimul tranzitoriu de accelerare dv/dt> 0, ecuaia de micare a particulei solide de mas m, ntr-un fluid n repaus, este

RA FFGdt

dvm (2.28)

unde G este fora de grautate a particulei solide n vid, FA fora

arhimedic, iar FR este fora de rezisten la naintare. Iniial micarea particulei este uniform accelerat, cu dv/dt> 0, iar dup un interval de timp, odat cu majorarea vitezei granulei crete i fora de rezisten la naintare ajungnd la limit la valoarea:

AR FGF (2.29)

Relaia (2.29) definete echilibrul forelor care acioneaz asupra

granulei, considerat de form sferic cu diametrul d. n acest caz dv/dt=0 i deci particula se mic uniform cu o vitez egal cu mrimea hidrualic w0. Termenul din partea dreapt a ecuaiei (2.29), greutatea particulei submerse, este dat de expresia:

6

d)(g

6

d)(FGG

3

s

3

sA

(2.30)

n care s , i s sunt greutile specifice ale particulei solide i

fluidului greu respectiv densitile, iar d diametrul granulei sferice.

Rezistena, la naintare RF este dat de:

2

v

4

dCF

22

RR

(2.31)

unde CR este coeficientul de rezisten la naintare dependent de

sfericitate i de valorile: numrului lui Reynolds ataat particulei n micare, definit prin Res=vd/ , n care v este viteza particulei solide (n cazul micrii uniforme de cdere devine w0 mrimea hidrualic), vscozitatea cinematic a fluidului, n regimul laminar de micare FR =3 dv formul dat de Stokes n

1851; limita care separ categoria nisip de nmol, cu valoarea 1/16 mm, corespunde aproximativ mrimii sferei solide care se depune n ap n conformitate cu legea lui Stokes limita superioar de aplicare a regimului laminar.

Mrimea hidraulic, care corespunde echilibrului forelor, se determin din (2.29) sub forma

2

w

4

dC

6

d)(g

2

0

2

R

3

s

(2.32)

de unde rezult

29

dKC

gd

3

4w s

R

0

(2.33)

unde coeficientul CR se poate lua din curba de variaie dat n figura 2.4.

Fig. 2.4. Valorile coeficientului CR funcie de numrul Res.

n regimul laminar de micare al particulei solide, caracterizat prin valorile subunitare ale numrului lui Reynolds, Res

30

2

0

2

w

v1g

dvdt (2.37)

cu soluia

0

0

0

0

00

w

gt2exp1

w

gt2exp1

wvsauvw

vwln

g2

wt (2.38)

n regimul laminar de deplasare a granulei prin fluidul staionat, cnd

FR=3 dv, se obine ecuaia:

0w

v1g

dt

dv (2.39)

cu soluia

0

000

w

gtexp1wvsauvwln

g

wt . (2.40)

n regimul laminar de deplasare a granulei prin fluidul staionar, cnd

dvFR 3 se obine ecuaia

0

1w

vg

dt

dv (2.41)

cu soluia:

vwg

wt

0

0 ln sau

0

0 exp1w

gtwv (2.42)

Viteza granulei solide v devine practic egal cu mrimea hidrualic w0

dup un interval de timp foarte mic; de exemplu pentru particule sferice cu diametrul d = 5 mm, n ap, rezult t = 0,15 s. Lungimea spaiului parcurs de particul n regim tranzitoriu se obine cu integrala

t

vdtL0

(2.43)

Pentru calculul mrimii hidrualice cu relaia (2.33) coeficientul de rezisten la naintare CR se determin cu formula lui C.W. Oseen

ssRC Re/2416/Re31 (2.44)

31

n cazul particulelor rigide de o form oarecare coeficientul de rezisten CR este dependent de orientarea granulei n raport cu direcia de micare dat.

La numere Reynolds n gama 40 ... 105 n spatele particulei solide apar vrtejuri alternante Bernard-Karman, (fig. 2.5). Frecvena desprinderilor depinde de valorile numrului Reynolds i este dat de numrul Strouhal Sh=fd/v unde f este frecvena, iar viteza fluidului vk=0.86v. Pentru Res105 vrtejurile create sunt periodice.

Fig.2.5 Vrtejurile Bernard-Karman

Prezena vrtejurilor alternante conduce la apariia unei forte laterale,

perpendiculare pe direcia vectorului vitez FK=CKA 2/2

0w , unde unde CK este

un coeficient dependent de forma granulei i de regimul de curgere, iar A este aria transversal a particulei. Dup H. Rouse pentru particule cilindrice CK=1.7. Apariia acestei fore perturb micarea granulei solide i influeneaz valoarea mrimii hidraulice, J. Rubi recomand pentru mrimea hidraulic formula:

dd

gdw s

636

3

222

2

0

(2.45)

Pentru determinarea mrimii hidraulice a particulei de o form oarecare

n literatura tehnic de specialitate sunt propuse mai multe metode. Pe baza rezultatelor experimentale a fost trasat modul de variaie al coeficientului de rezisten la naintare CR n funcie de valorile numrului lui Reynolds Res i de sfericitatea granulei , (fig. 2.6).

n cazul cazul particulelor cu diametre diferite dintr-un sediment se poate considera ca valoare de referin diametrul mediu dm calculat cu relaia (2.26); n acest caz mrimea hidraulic se poate determina cu relaia:

mRm dkCagdw /816.0 (2.46)

H. Heywood introduce n expresia

coeficientului de rezisten la naintare constanta de volum K i propune formula

20/546.2 wKagdCR (2.47)

Fig.2.6 Coeficientului de rezisten, n funcie de regimul

de curgere i sfericitate.

32

n caz general mrimea hidraulic se determin cu relatia

Rnn Cad /08.13 12 (2.48)

n care CR=aRe

-n, coeficientul i exponentul n au valorile date n tabelul 2.1. Formula se recomand n procese de sedimentare, centrifugare, la fluidizarea particulelor.

Tabelul 2.1

Re n CR Formula

10-4

33

echilibrat de fora arhimedic i de rezultanta forelor elementare de presiune dinamic care se exercit pe aria seciunii transversale perpendiculare pe direcia de curgere a curentului fluid, (fig. 2.6). La echilibrul forelor, deci cazul n care viteza curentului de aer este egal cu viteza plutire a granulei, rezult expresia

dKC

gd

3

4v s

R

p

(2.51)

analog formulei (2.33). Dac exist

inegalitatea s prin neglijarea forei

arhimedice care are o pondere redus, rezult:

2

1

s2

1

R

pC

d617.3v

(2.52)

Pentru calculele practice se procedeaz n modul urmtor: 1. n cazul unei anumite viteze a fluidului v, se determin numrul lui

Reynolds, relativ la particula solid, cu relaia Res = v d/ , n care d este diametrul particulei;

2. din tabele se determin coeficientul CR; se calculeaz cu formula (2.52) viteza de plutire i se reverific numrul lui Reynolds se procedeaz n etape succesive ctre soluia exact.

Cercetrile experimentale au demonstrat reducerea valorii vitezei de plutire cu majorarea raportului d/D, unde D este diametrul conductei de transport. n practica industrial se poate calcula viteza de plutire, cu suficient aproximaie cu relaia lui I. Uspenski valabil pentru particule sferice n gama d/D = 0.25,.. .0,60.

2

p

2

RpD

d1v8.0

D

d1adC893.2v (2.53)

unde a= /)( s

n cazul particulelor de o form geometric oarecare n formul se introduce factorul de form adimensional o constant adimensional care

corecteaz coeficientul de rezisten la naintare, n acest caz, pentru calculul vitezei de plutire, se folosete relaia

2

p

2

npD

d1

v

D

d1C/ad617.3v

. (2.54)

Pentru cazul transportului de particule solide pe verticala cu aer nclzit

la determinrii vitezei de plutire trebuie s se la n considerare modificarea

Fig. 2.6 Echilibrul unei particule solide ntr-un

curent fluid.

34

parametrilor cinematici i a proprietilor gazului, n special variaia greutii specifice a acestuia.

P. Liascenko arat c viteza de plutire se poate determina din relaia

R

pC

Ar

3

4Re unde

dvRe

p

p (2.55)

este numrul lui Reynolds pentru plutirea

granulei, iar Ar este numrul adimensional al lui

Arhimede dat de expresia Ar=ga 22d . Relaiile (2.53), (2.54) permit calculul

vitezei de plutire n cazul unei particule solide izolate sau pentru concentraii reduse ale fluidului polifazic. Experienele efectuate de W. Barth au demonstrat c viteza de plutire se majoreaz cu creterea concentraiei

materialului. Astfel, dac particula izolat are viteza de plutire de 100% pentru C=4 aceasta se majoreaz cu 50% (deci vpIC=4=150%); Dac concentraia se dubleaz C = 8, viteza de plutire se majoreaz cu 80% (deci vpIC=8=180%).

n literatura de specialitate fenomenul este menionat numai calitativ fr a se indica metode precise de calcul a vitezei de plutire n funcie de concentraie.

n figura 2.7 sunt indicate vitezele de plutire msurate experimental pentru o serie de materiale care se transport uzual prin metode pneumatice.

2.3 Proprietile fizice ale fluidelor polifazice 2.3.1 Concentraia ntr-un fluid polifazic se consider o suprafa nchis S care delimiteaz

un volum V ce cuprinde toate fazele constituente ale amestecului. Concentraia unei faze oarecare, dispersat ntr-un fluid, este o mrime scalar care; se definete prin raportul dintre cantitatea de material izolat, uscat i cantitatea total de fluid polifazic din volumul V. n studiul micrii fluidelor polifazice concentraia se exprim sub forma unui raport de:

1. volume C, concentraie volumic; 2. greuti CG, concentraie n greutate; 3. mase CM concentraie masic. De exemplu, concentraia volumic a componentului oarecare i mai larg

utilizat, reprezint raportul dintre volumul total al particulelor constituentului i dispersat n fluid i volumul total al amestecului polifazic cuprins n interiorul suprafeei nchise S.

ntr-un fluid polifazic n micare concentraia este o mrime care depinde de poziia punctului din spaiul de curgere, precizat prin vectorul de poziie r, presiunea p i de timpul t; aadar Ci= Ci(r, p, t) unde i este un constituent oarecare al fluidului polifazic, i = 1.. . N, N fiind numrul fazelor amestecului inert chimic. Dac fazele reacioneaz ntre ele, ntr-un mod oarecare, atunci n

Fig. 2.7 Viteza de plutire

ntr-un curent de gaz.

35

funcia de mai sus trebuie cuprins i efectul de transfer de proprietate dintre constitueni.

Se consider o suprafa nchis S care delimiteaz un volum V, de fluid polifazic alctuit din N constitueni. Volumul total Vn rezult ca o sum a volumelor pariale ale fazelor care formeaz amestecul, conform expresiei

Vn=V1 + V2 +VN=

N

1i

iV se mparte expresia la volumul total Vn i se nlocuiesc

rapoartele Vi\Vn=Ci prin concentraia volumic a constituentului i i rezult

1C.....CCC n21

n

1i

i

(2.56)

Expresii similare cu se poate scrie i pentru celelalte concentraii

1CCn

1i

Mi

n

1i

Gi

(2.57)

Pentru un fluid bifazic se poate scrie relaia

ffssfsnnn VVVVV (2.58)

n care n , s i f sunt densitatea amestecului, mediului dispersat,

respectiv fluidului, iar Vn, Vs, Vf volumele corespunztoare. Se mparte expresia la volumul fluidului Vn i se introduce concentraia C= Vs/Vn; de unde rezult concentraia volumic

ns

fnC

(2.59)

Concentraia masic este dat de relaia:

n

s

n

s

n

s

n

sM C

V

V

m

mC

(2.60)

n acest context se definesc urmtoarele mrimi: 1. concentraia medie ntr-un punct al amestecului este limita raportului

dintre volumul de material solid sV aflat ntr-un element de volum din

jurul punctului considerat i volumul V elementului cnd acesta

tinde ctre zero,

dV

dV

V

VC ss

V

0lim (2.61)

2. concentraia instantanee ntr-un punct al curentului care are valoarea

1 dac n punctul respectiv, la un moment dat, se afl o particul solid sau zero n cazul cnd n acel punct se gsete fluid;

3. concentraia instantanee ntr-un spaiu delimitat, definit ca raport al

36

volumului de material solid aflat la un moment dat n acest spaiu i volumul total al spaiului;

4. concentraia medie ntr-un spaiu delimitat, definit ca medie aritmetic a concentraiilor instantanee din acel spaiu n timpul dat.

n cazul fluidelor bifazice de tip gaz-lichid se definete fracia de goluri ca fiind raportul dintre volumul ocupat de totalitatea bulelor de gaz i volumul amestecului celor dou fluide delimitat de o suprafa nchis S cuprins n domeniul de curgere.

2.3.2. Greutatea specific echivalent Se consider o suprafa nchis S ntr-un domeniu D ocupat de un fluid

polifazic, care cuprinde un volum Vn, de greutatea Gn. Raportul dintre greutatea Gn i volumul Vn reprezint greutatea specific medie aparent, sau

echivalent, a mediului polifazic. n alctuit din mai muli constitueni. Dac

greutatea unui constituent i, i 1,2... , N este Gi atunci greutatea specific total va fi dat de suma

N

iiiNNn CCCC

12211 .......... (2.62)

unde concentraiile componenilor respect relaia (2.56). Produsul iiC

reprezint greutatea specific parial, ponderat, a componentului i. 2.3.3. Densitatea echivalent Se consider un volum Vn de fluid polifazic, delimitat de o suprafa

nchis S, format din N constitueni. Volumul total Vn rezult din suma volumelor pariale Vi corespunztoare constituenilor izolai ai mediului polifazic. De asemenea masa total a fluidului polifazic cuprins n interiorul suprafeei S este, suma maselor pariale mi corespunztoare constituenilor izolai ai mediului polifazic. Densitatea medie aparent echivalent a fluidului polifazic este dat de relaia

N

iiiNNn CCCC

12211 .......... (2.63)

Densitatea medie aparent sau echivalent a fluidului polifazic se

definete prin raportul dintre masa mn i volumul Vn din interiorul suprafeei S. n acest mod, fluidul polifazic poate fi considerat ca un fluid omogen cu densitatea

echivalent n dat de (2.63).

Densitatea parial relativ a constituentului i se definete prin produsul dintre densitatea medie a constituentului i concentraia acestuia n fluidul polifazic, conform expresiei

iii C * (2.64)

mrime cu care densitatea echivalent devine,

37

N

iin

1

* (2.65)

2.3.4. Vscozitatea aparent Dispersarea unei faze oarecare ntr-un mediu fluid conduce la mrirea

forelor interne de frecare" din amestecul polifazic prevocnd astfel o mrime aparent a vscozitii. Spre exemplu amestecarea apei cu diferite substane conduce la valori superioare ale coeficientului de vscozitate dinamic fa de cea de referin a apei, chiar dac corpul care se dizolv sau rmne n stare de suspensie are o vscozitate inferioar lichidului.

n anumite condiii fluidul polifazic se studiaz ca un mediu continuu pentru care se definete noiunea de vscozitate dinamic aparent, sau

echivalent n . Vscozitatea aparent este numeric egal cu valoarea

vscozitii dinamice a unui fluid monofazic, omogen i izotrop, care conduce la aceeai pierdere de sarcin, n condiii similare de curgere, cu cea corespunztoare fluidului polifazic studiat. Vscozitatea aparent este o mrime fictiv, ea nu reprezint o proprietate fizic real a mediului polifazic. n cazul fluidelor polifazice se mai folosesc noiunile de vscozitate dinamic relativ, specific, redus i intrinsec.

Vscozitatea dinamic relaliv nr este o mrime adimensional definit

ca raport al coeficientului de vscozitate dinamic a amestecului i aceeai mrime a unui fluid de referin, ambele fiind exprimate n aceleai uniti absolute, asfel

nnr (2.66)

De regul ca fluid de referin se utilizeaz apa la 20o C pentru lichide i

aerul n condiii normale pentru gaze.

Viscozitatea specific a fluidului polifazic sn este, de asemenea, o

mrime adimensional definit prin raportul

1

nrn

sn

(2.67)

Vscozitatea redus r se definete prin raportul vscozitii specifice i

concentraia substanei dizolvate sau n stare de suspensie, conform relaiei

C

snr

(2.68)

Vscozitatea intrinsec in este definit prin valoarea limitei,

snC

in 0

lim

(2.69)

aceast noiune este folosit ndeosebi n studiul compuilor

38

macromoleculari.

Inversul vscozitii dinamice aparente, n1 , se denumete mobilitate,

proprietate caracteristic fluidelor polifazice. Factorii care influeneaz vscozitatea amestecurilor polifazice sunt: 1. proprietile mediului continuu de dispersie, ale fluidului de baz; 2. proprietile fazei dispersate, forma, rugozitatea, porozitatea,

mrimea i masa particulelor din dispersie; 3. distribuia de concentraie a fluidului polifazic; 4. repartiia masei i a dimensiunilor particulelor din suspensie; 5. volumul relativ al particulelor fazei dispersate; 6. elasticitatea i gradul de deformabilitate a particulelor mediului

dispersat; 7. tendina de aglomerare sau de separare a granulelor mediului

dispersat; 8. condiiile termodinamice i potenialul electrostatic al mediului de

dispersie i dispersat; 9. concentraia constituenilor Astfel, vscozitatea dinamic aparent crete cu majorarea concentraiei

particulelor solide n mediul de dispersie (fig. 2.8) i cu fineea granulelor (fig. 2.9).

Fig. 2.8 Variaia vscozitii cu concentraia. Fig. 2.9 Variaia vscozitii cu diametrul.

S. Arrhenius, pentru prima dat, a dat o formul de calcul a vscozitii

dinamice a amestecurilor de neelectrolii, miscibili, sub forma

yxn BA (2.70)

n care x este procentul n volume al mediului de dispersie, y procentul n

volume, al fazei dispersate; A,B constante pozitive cu valori dependente de natura suspensiei. Formula se poate utiliza pn la concentraii maxime de 10% cu o eroare de circa 0,5%.

Pentru amestecuri de fluide se propune formula

x21x

11

x

n CC (2.71)

39

unde 1 , este vscozitatea dinamic a solventului caracterizat prin

concentraia C1 n amestec, iar 2 i C2 reprezint vscozitatea i respectiv

concentraia celuilalt fluid din soluie. n cazul fluidelor polifazice cu particule coloidale n suspensie, la

concentraii mici, vscozitatea specific aparent este dat de o serie de tipul

332

210sn CaCaCaa (2.72)

Primul termen a0 reprezint vscozitatea specific a fazei fluide pure i

deci a0 = 0. ntr-un domeniu relativ larg de variaie a concentraiei sunt suficieni primii doi termeni.

Vscozitatea dinamic a fluidului bifazic lichid-gaz este dat numai de valorile vscozitii lichidului consideraie valabil la concentraii mici de gaz. n general se recomand formula

)C1(C1

gn

(2.73)

Pentru amestecuri bifazice lichid-gaz se recomand relaia:

g

ng

nn C)C1(

(2.74)

n care n este densitatea emulsiei omogene lichid-gaz.

Pentru amestecuri fluide-particulele solide la concentraii mici, C =0...0.075 se poate aplica formula

1n )C1(3

1 (2.75)

n cazul fluidului bifazic format din particule sferice, rigide, inerte, de

mrime uniform, dispersate cu o repartiie constant ntr-un mediu fluid neionizat vscozitatea amestecului este superioar fluidului i depinde de doi factori:

1. volumul fazei dispersate n amestec apreciat prin concentraia volumic;

2. gradul de dizolvare al unei faze n cealalt. ntre diferitele expresii de calcul ale vscozitii dinamice apar

discordane datorit neuniformitii distribuiei de concentraie i repartiiei inegale a mrimii i greutii particulelor solide. Pentru suspensii diluate, C

40

Expresia (2.76) se poate scrie sub forma snr C1 unde r i sn

reprezint vscozitatea relativ i respectiv vscozitatea specific fluidului bifazic.

Factorul este o constant numeric cu valoarea 5.2 stabilit de A.

Einstein pe considerente hidrodinamice n anumite ipoteze: nu exist interaciune ntre moleculele substanei dizolvate sau ntre

particulele mediului dispersat; dimensiunile moleculelor substanelor dizolvate sau ale particulelor

dispersate sunt mult mai mari dect cele corespunztoare mediului de dispersie;

particulele dispersate sunt sferice, perfect rigide i nedeformabile n timpul curgerii.

n cazul n care particulele solide dispersate absorb moleculele fluidului purttor volumul total al granulelor umede este superior volumului total al particulelor uscate n stare solid nedispersate i coeficientul ia valori n

gama 6.3...5.2 . Acelai fenomen de majorare a coeficientului , la valori de

ordinul 9.3 , apare i n cazul unor concentraii ridicate ale mediului solid

dispersat, sau chiar 5.4 . S-a demonstrat c factorul se reduce pe msur

ce particulele solide se abat mai mult de la forma sferic ctre cea elipsoidal de asemenea rotaia particulelor n curentul fluid reduce valoarea factorului .

Cercetrile efectuate asupra diferitelor fluide bifazice cu diverse

concentraii au demonstrat abaterea valorilor vscozitii aparente n , obinute

experimental fa de cele teoretice date de relaia lui Einstein, (fig. 2.10). Forele de atracie dintre particulele solide, factor neglijat de Einstein, cresc cu majorarea concentraiei i cu modul de distribuie al mrimii' granulelor i conduc la abaterea semnalat mai sus. n cazul amestecurilor bifazice cu particule neuniforme, cu o dispersie mare a dimensiunilor lor caracteristice n jurul unei valori medii, nu se poate utiliza relaia lui Einstein.

Dac apar interaciuni ntre particulele sferice, pentru soluii concentrate, se recomand formula:

)cCbCC1( 32n (2.77)

n care =2.5; b =2.5... 14.1; c = 8.75...36.3. Diferenele fa de formula

lui A. Einstein apar datorit abaterii dimensiunii .granulelor fa de valoarea medie a diametrului i deoarece la concentraii superioare C>5% se produc interferene hidrodinamice ntre particule al cror efect este dependent de mrimea acestora (Saunders 1961).

J. Drew considernd micarea unui fluid polifazic printr-o conduct circular a stabilit formula

)D9d401)(C5.21( 22*n (2.78)

Fig. 2.10 Variaia vscozitii cu concentraia.

41

n care C* este concentraia volumic ponderat, d, D diametrul particulei solide i respectiv al conductei de transport. Formula lui Drew pune n evident influena raportului d/D asupra vscozitii dinamice aparente.

n general se consider c formulele existente nu conduc la rezultate care s concorde perfect cu realitatea deoarece nu iau n considerare fenomenele de asociere, disociere, umectare a particulelor, contracii de volum etc. M.V. Smoluhovski i W. Krasny-Ergon au completat formula lui Einstein cu

termeni care iau n considerare creterea vscozitii fluidului polifazic n

datorit efectului electrovscos"

2

d

2

n24

D

4

d1b1C1

(2.79)

n care reprezint vscozitatea dinamic a fluidului omogen, =2.5;

coeficient numeric, C concentraia volumic, b = 1.,0...1.5 coeficient numeric (1.0 dat de Smoluhovski i 1.5 de Krasny-Ergon), conductivitatea specific a

lichidului, d diametrul particulelor solide din suspensie, potenialul

electrocinetic, dD constanta dielectric. ntr-un mediu ionizat efectul

electrovscos conduce la majorarea concentraiei soluiei coloidale cu implicaii asupra vscozitii dinamice a fluidului polifazic. S-a demonstrat experimental

c efectul de majorare a vscozitii dinamice aparente n este mai redus dect

valorile obinute din relaia lui M. V. Smoluhovski. n cazul fluidelor bifazice cu un coninut ridicat de particule solide

dispersate n lichid vscozitatea dinamic aparent se determin cu formula

5.2

max

nC

C1

(2.80)

unde Cmax reprezint concentraia maxim care se poate realiza n

amestec; de exemplu, pentru ap-particule solide Cmax reprezint concentraia la care nmolul rmne staionar pe fundul canalului sau conductei de transport.

La concentraii superioare C> 0,4 amestecurile bifazice au o comportare reologic pseudoplastic. Pentru valori ale concentraiei pn la 0.65 vscozitatea dinamic se determin cu formula

C1

C166.01n (2.81)

iar n domeniul C = 0,65 ... 0,74 (emulsii) cu relaia

C1

C5.01n

(2.82)

unde = 1.28 ... 1.35 este un factor care ia n considerare efectul de

ngrmdire" al particulelor solide dispersate, 5.2 are semnificaia unui

42

coeficient de frecare intergranular cu valori dependente de rugozitatea suprafeei exterioare a granulei.

Pentru particule sferice, dispersate n lichid la concentraii mari se poate folosi formula

C

C107.66n (2.83)

Particulele elipsoidale se orienteaz n curentul fluid, cu axa longitudinal

2a paralel cu direcia de micare, astfel nct s opun o rezisten minim i vscozitatea dinamic aparent este dat de relaia

2

na4

b1C5.21 (2.84)

n care a>b>c reprezint semiaxele granulei solide asimilate cu un

elipsoid. 2.3.5. Presiunea de difuzie Se consider o particul solid sferic de raz r=d/2 introdus ntr-un

mediu fluid n interiorul particulei presiunea hidrostatic este ps presiunea n mediul continuu solid, iar n mediul fluid nconjurtor pf, pf vs, valoarea presiunii de difuzie este corelat cu caracteristicile micrii relative sub forma relaiei vectoriale

)vv)(vv(pp sfsffd (2.85)

Fig. 2.11. Cmpul de viteze i presiuni din jurul unei particule

solide mobile n fluid.

43

n care este o constant de proporionalitate. n repaus relaia (2.85) devine

sfs pp (2.86)

unde s reprezint presiunea difuziv de echilibru. Fizic mrimea s se

determin din considerente termodinamice. Pentru concentraii reduse ale particulelor solide dispersate n fluid se asociaz acestora o for generat de micarea brownian a particulelor mediului continuu a cror poziie de echilibru n repaus este fix (drumul liber mijlociu). La concentraii mari apar fore de interaciune ntre particulele solide. n conformitate cu cercetrile efectuate de G. K. Batchelor asupra fenomenului de interaciune fluid-particule solide, pe

considerente hidrodinamice, se definete termenul sC , n care C este

concentraia particulelor solide, ca efort brownian. Pe baza presiunii de difuzie se definesc i calculeaz forele de difuziune dintre cele dou medii solid-fluid.

2.3.6. Proprietile abrazive Fluidul polifazic, n procesul de transport, are proprieti abrazive care

conduc cu timpul la necesitatea nlocuirii echipamentelor mecanice i a reelei de conducte. Particulele solide influeneaz fenomenul de abraziune prin duritatea mineralelor din compoziie, apreciat dup scara lui Mohr. Forma particulelor, rotunjit sau coluroas, precum i concentraia acestora n fluid au o mare influen asupra fenomenului de abraziune.

Se menioneaz c acest fenomen este greu de controlat