determinanti_trigonometrici
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7/29/2019 Determinanti_trigonometrici
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www.eReferate.ro -Cea mai buna inspiratie…
DETERMINANTI TRIGONOMETRICI
A) Unele proprietati si reguli de calculare a determinantilor:
2)Daca intr-un determinant de ordinul n, elementele de pe o linie, coloana sunt 0 atuncivaloarea determinantului este 0.
3)Daca intr-un determinant 2 linii,coloane sunt proportionale atunci valoarea
determinantului este 0.4)Daca intr-un determinant schimbam 2 linii,coloane atunci determinantul nou obtinut
este =”- ” determinantul initial.
5)Complementul algebric:
Regula lui Laplace pentru dezvoltarea determinantului de ordinul n dupa o linie,coloana:
6)Determinant Vandermonde:
:
B)Formule trigonometrice folosite:
T A A detdet)1 =
)1( ij ji
ij d +−=δ
ininiiiin aaad δ δ δ +++= ...2211
njnj j j j jn aaad δ δ δ +++= ...2211
12
2
1
1
22221
21
1
....
................
....
....
1....11
),...,(
−−−
=
n
n
nn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaV
∏≤≤
−=ni j
jin aaaaV 1
1 )(),...,(
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APLICATII
Sa se calculeze determinantii:
β α β α β α
α β β α β α
α α
sinsincoscos)cos()3
cossincossin)sin()2
1cossin)1 22
+−=−+
−+=−+
=+
a
RecA
bc
a p p A
bc
c pb p A
2cos)14
)(
2cos)13
))((
2sin)12
2cos
2sin2coscos)11
2cos2cos2coscos)10
2cos
2sin2sinsin)9
2cos
2sin2sinsin)8
cos3cos43cos)7
sin4sin33sin)6
1cos2sin21sincos2cos)5
cossin22sin)4
3
3
2222
=
−=
−−=
−+=−
−+
=+
+−=−
−+=+
−=
−=
−=−=−=
=
α β β α β α
β α β α
β α
β α β α β α
β α β α β α
α α α
α α α
α α α α α
α α α
cbacba
tgbtgctgatgctgatgbcba
ctg tgc
btg tgb
atg tga
cba
tgcctg
tgbbtg
tgaatg
cba
cccc
bbbb
aaaa
VANDER
2cos2cos2coscoscoscos
111
)2
))()((coscoscos
1
1
1
coscoscos
1
1
1
coscoscos
cossincossin
cossincossin
cossincossin
)1
222
2
2
2
222
2
2
2
222
22
22
22
=∆
−−−=∆⇒
=∆
=∆
=∆
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0ale proportionsunt3si2
cos3cos2cos2cos2cos2
3cos2coscos
2coscos1
2cos4coscos3cos12cos
3cos2coscos
2coscos1
4cos3cos2cos
3cos2coscos
2coscos1
)3
)cos)(coscos)(coscos(cos2
coscoscoscos
11)cos)(coscos(cos2
)cos)(coscos(cos)cos)(coscos(cos
coscoscoscos2
1cos21cos21cos21cos2
coscoscoscos
2cos2cos2cos2cos2cos
coscoscoscoscos
001
)1(
)1(
2
31
2222
31
21
=∆⇒
=∆
+++
=∆
+
=∆
−−−=∆
++−−=∆
+−+−
−−=∆
+−−+−−
−−=∆
−−
−−=∆
+−
+−
Liniile
aaaaa
aaa
aa
aaaaa
aaa
aa
l l
aaa
aaa
aa
bcacab
acabacab
acacabab
acab
acab
acab
acaba
acaba
cc
cc
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04
)(4
)(4
)(40
)(40
41
)1(
)1(
41
41
41
a
2R cosecA
22
22
)(
)()(
))(())((
2cos
2cos
2sin
2sin
22
coscos22
1
coscos22
1
coscos22
1
)4
2
2
2
2
2
2
31
21
2
2
2
2
2
=−−
−−=∆
−−
−−
=
−−
−−
−
=∆
+−
+−
−
−
−
=∆
=
−=
−=⇒
−=
−=
−−
−−−−
==
=∆
acca
abba
abcp
R
abc
ac R
p
ca
abcab R
pba
abc
ac R
p
ca
abc
ab R
p
babc
R
p
a p
l l
l l
ab
R
p
c p
ac
R
p
b p
bc
R
p
a p
p
c p Btg
Atg
p
b p Atg
C tg
p
a p
p
a p
ab
c p p
ac
b p p
ab
b pa p
ac
c pa p
C B
C B
C tg
Btg
ecBecA B
tg A
tg
ecAecC A
tg C
tg
ecC ecBC
tg B
tg
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θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ θ θ
)1sin(sin
)1cos(cos)1(
)3sin(sin
)3cos(cos)1(
)3sin()1sin(
)3cos()1cos()1(
:linie primadupaDezvoltam
2xcos-1cudivizibileste
3)sin(n1)sin(nsinn
3)cos(n1)cos(ncosn
1
:caaratese)6
2sin
2sin
2sin16
2sin
2sin
2sin8
2sin
2sin
2sin8
02
sin22
sin2
2sin20
2sin2
2sin2
2sin20
2sin21
2sin211
2sin
2cos1cos
01cos1cos
1cos01cos
1cos1cos0
01cos1cos1
1cos01cos1
1cos1cos01
0001
)1(
)1(
)1(
1coscos1
cos1cos1
coscos11
1111
)5
312111
3
3
22
22
22
2222
41
31
21
+
+−+
+
+−+
++
++−=∆
+
++
++
−=−−=∆
−−
−−
−−
=∆
−=−−=−−=−
−−
−−
−−
=
−−
−−
−−=∆
+−
+−
+−
=∆
+++
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x
x x
Sa
cbacbacba
ab
ac
bc
x x x x x
ab
ac
bc
ab
ac
bc
cc
cc
cc
ab
ac
bc
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2
222
2222
22
22
23
23
23
2
33
3
3
3
)2
cos2
(sinsin1
)2
cos2
(sin2
cos2
sin22
sin2
cossin1
2cos21
2cos21
2sin
2cos1cos1
0
sinc1sinc1cosc1
sinb1sinb1cosb1
sina1sina1cosa1
:atunciascutite,unghiurisuntc, b,a,dacaca,arateseSa)7
|1cos2 ]1cos2)[cos2(sin
]cos2)cos2)(cos2([sin
]cos2)cos4([sin
]cos2cos4[sin
]cos2)cos41([sin
]cos2)cos443([sin
]cos2)sin43(cos2[sin
sin]sin4sin3[cossin2
sin3sin2sin
])3sin[(])3sin[(])1()3sin[(
]sin)1cos()1sin([cos
]sin)3cos()3sin([cos)1sin()3cos()3sin()1cos(
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x x
x x
nn xnn xnn
nnnn x
nnnn xnnnn
−=−
+=++=+
=−+=−+=+
=
−++
−++
−++
∆+−⇒+−+=∆
+++−=∆
++−=∆
++−=∆
+−+=∆
++−−=∆
+−−=∆
+−−=∆
+−=∆
−++−+−+−+=∆
+−++
++−+−++−++=∆
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
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www.eReferate.ro -Cea mai buna inspiratie…
)1(
..........
1....
...................
....1
....1
....1
D
n1,2,...,k cosa
1cos2
1)1cos(cos
cosn1....cos3cos2cos
....................
cosn....cos31cos2cos
cosn....cos3cos21cos
cosn....cos3cos2cos1
D
:caarateseSa)8
1
1
31
21
321
321
321
321
k
k
2
1n2n
32
32
32
32
a D
cc
cc
cc
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
k Notam
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+=
+
+
+
+
+
+
+
=
==
+−
++−=
=
+
+
+
+
=
++
φ α
φ α α
φ α φ α
φ α φ α φ α φ α
φ α φ α φ α φ α
φ α φ α φ α φ α
φ α φ α φ α φ α