fractali - curiozitati matematice

8
12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice 1/8 www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali Tweet Tweet 1 Arta Cunoasterii (http://www.artacunoasterii.ro/) Despre Arta Cunoasterii (http://www.artacunoasterii.ro/despre-arta-cunoasterii) Contact (http://www.artacunoasterii.ro/contact) Parteneri (http://www.artacunoasterii.ro/parteneri) (http://feeds.feedburner.com/ArtaCunoasterii) (http://twitter.com/artacunoasterii) Cultura Generala online – ArtaCunoasterii.ro (http://www.artacunoasterii.ro) Arta Cunoasterii – Sursa ta Online de Cultura Generala – Teste, intrebari, raspunsuri, curiozitati, jocuri educative, topuri si multe altele Cultura Generala (http://www.artacunoasterii.ro/) Top 10 (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/top-10) Curiozitati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/curiozitati) Stiati ca (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/stiati-ca) Intrebari si Raspunsuri (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/intrebari-raspunsuri-cultura-generala) Jocuri Cultura Generala (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/jocuri-cultura-generala) Noutati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/stiri-noutati) Superlative (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/superlative) Teste (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/teste-cultura-generala) Fractali – Curiozitati matematice Postat pe 02-10-2010 Fractali – Prezentare generala Fractalii sunt forme si modele extraordinare create cu ajutorul ecuatiilor matematice. O definitie intuitiva a fractalului este aceasta: Un fractal este o figura geometrica fragmentata sau franta (http://www.artacunoasterii.ro/tag/franta) , care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului. Cuvantul “fractal” a fost introdus de matematicianul Benoit Mandelbrot in 1975 si provine din latinescul “fractus”, care inseamna spart sau fracturat. Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici: 1. este auto-similar (macar aproximativ sau stochastic): daca se mareste orice portiune dintr-un fractal, se vor obtine (cel putin aproximativ) aceleasi detalii cu cele ale fractalului intreg. 2. are o definitie simpla si recursiva – pentru a va imagina fractalul corespunzator unei functii f(x), considerati elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc. 3. are detaliere si complexitate infinita: orice nivel de magnificare pare identic si are o structura fina la scari infinit de mici. Termenii cheie din geometria fractala sunt: initiator: segmentul, curba sau forma initiala. generator: regula folosita pentru a construi o noua curba sau forma din cea obtinuta anterior. iteratie: procesul de repetare a aceluiasi pas iar si iar. Exemple celebre de fractali Triunghiul lui Sierpinski – se obtine pornind de la un triunghi si decupand recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecarei laturi. Fulgul de zapada al lui Koch - Curba lui Koch se obtine pornind de la un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat sa se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se executa aceiasi pasi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La Share 37 Share

Upload: gigi-banica

Post on 27-Dec-2015

382 views

Category:

Documents


17 download

DESCRIPTION

cum pot fi înțeleși fractalii,care sunt legile formării și dezvoltării lor.

TRANSCRIPT

Page 1: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

1/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

TweetTweet

1

Arta Cunoasterii (http://www.artacunoasterii.ro/)

Despre Arta Cunoasterii (http://www.artacunoasterii.ro/despre-arta-cunoasterii)

Contact (http://www.artacunoasterii.ro/contact)

Parteneri (http://www.artacunoasterii.ro/parteneri)

(http://feeds.feedburner.com/ArtaCunoasterii) (http://twitter.com/artacunoasterii)

Cultura Generala online – ArtaCunoasterii.ro (http://www.artacunoasterii.ro)

Arta Cunoasterii – Sursa ta Online de Cultura Generala – Teste, intrebari, raspunsuri, curiozitati, jocuri educative, topuri si multe altele

Cultura Generala (http://www.artacunoasterii.ro/)

Top 10 (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/top-10)

Curiozitati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/curiozitati)

Stiati ca (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/stiati-ca)

Intrebari si Raspunsuri (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/intrebari-raspunsuri-cultura-generala)

Jocuri Cultura Generala (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/jocuri-cultura-generala)

Noutati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/stiri-noutati)

Superlative (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/superlative)

Teste (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/teste-cultura-generala)

Fractali – Curiozitati matematice

Postat pe 02-10-2010

Fractali – Prezentare generala

Fractalii sunt forme si modele extraordinare create cu ajutorul ecuatiilor

matematice. O definitie intuitiva a fractalului este aceasta: Un fractal este o figura geometrica fragmentata

sau franta (http://www.artacunoasterii.ro/tag/franta), care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre

acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului.

Cuvantul “fractal” a fost introdus de matematicianul Benoit Mandelbrot in 1975 si provine din latinescul

“fractus”, care inseamna spart sau fracturat.

Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici:

1. este auto-similar (macar aproximativ sau stochastic): daca se mareste orice portiune dintr-un fractal, se vor

obtine (cel putin aproximativ) aceleasi detalii cu cele ale fractalului intreg.

2. are o definitie simpla si recursiva – pentru a va imagina fractalul corespunzator unei functii f(x), considerati elementele x, f(x), f(f(x)),

f(f(f(x))), etc.

3. are detaliere si complexitate infinita: orice nivel de magnificare pare identic si are o structura fina la scari infinit de mici.

Termenii cheie din geometria fractala sunt:

initiator: segmentul, curba sau forma initiala.

generator: regula folosita pentru a construi o noua curba sau forma din cea obtinuta anterior.

iteratie: procesul de repetare a aceluiasi pas iar si iar.

Exemple celebre de fractali

Triunghiul lui Sierpinski – se obtine pornind de la un triunghi si decupand recursiv

triunghiul (central) format de mijloacele fiecarei laturi.

Fulgul de zapada al lui Koch -

Curba lui Koch

se obtine pornind de la un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat sa

se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se executa aceiasi pasi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La

Share

37

Share

Page 2: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

2/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

fiecare iteratie, perimetrul aceste figuri creste cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui numar infinit

de executii ale acestor pasi, si are lungime infinita, in timp ce aria sa ramane finita. De aceea

Fulgul Koch si constructiile similare sunt numite uneori “curbe monstru“.

Alte exemple celebre de fractali sunt:

Multimea Julia

Multimea lui Mandelbrot, Multimea lui Cantor, Covorul lui Sierpinski, Curba dragon, Curba lui Peano, Multimea Julia etc.

Fractali din natura

Benoit Mandelbrot – “parintele fractalilor” – a cercetat relatia dintre fractali si natura. El a aratat ca in natura exista multi fractali si ca

acestia pot modela cu precizie unele fenomene. Mandelbrot impreuna cu colaboratorii sai au

introdus tipuri noi de fractali pentru a modela lucruri mai complexe, cum ar fi arborii si muntii.

Conceptul de similitudine poate fi extins intr-o anumita masura prin introducerea unor mici

schimbari in seria de transformari similare – asa-numitele perturbari. Daca introducem anumite

perturbari intr-un arbore fractal uniform, rezultatul poate semana cu un copac real, un coral sau cu un

burete.

Fractali aproximativi pot fi observati usor in natura; aceste obiecte afiseaza o structura auto-

similara la o scara mare, dar finita. Exemple de fractali din natura: norii, fulgii de zapada, cristalele,

lanturile montane, fulgerele, retelele de rauri, liniile de coasta.

Arborii si ferigile sunt fractali naturali care pot fi

modelati usor pe calculator folosind un algoritm

recursiv. Natura recursiva este evidenta în aceste

exemple — o ramura a unui arbore sau o frunza a unei

ferigi este o copie în miniatura a întregului: nu identice,

dar similare. O alta planta la care se poate observa

usor auto-similitudinea este conopida (sau broccoli).

In corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul

fractalilor: ramificatiile venelor si arterelor, structura

rinichiului si a scheletului, inima si sistemul nervos.

Fractali – aplicatii in diverse

domenii

Complexitatea si proprietatile uimitoare ale fractalilor le permit acestora sa modeleze lucruri din

diferite domenii: biologie, geografie, hidrologie, meteorologie, geologie, economie, medicina, psihologie,

astronomie (http://www.artacunoasterii.ro/tag/astronomie) (modeleaza structura Universului,

distributia galaxiilor si distributia craterelor pe luna – in filmul Apollo 13, o imagine a lunii a fost

generata folosind fractali).

Fractalii si Teoria Haosului

Probabil ca ati auzit de “Efectul fluturelui“, care spune ca un fluture batand din aripi undeva in Europa poate declansa o tornada in

Texas. De fapt asta afirma teoria haosului: mici modificari ale datelor initiale ale unui sistem complex pot conduce la stari finale ale

sistemului foarte diferite.

O posibilitate importanta pentru a investiga sesibilitatea sistemelor haotice este de a le reprezenta comportamentul prin grafica pe

computer. Aceste forme grafice rezultate apar sub forma unor fractali.

Utilitatea geometriei fractale in teoria haosului rezida in faptul ca obiectele nu mai sunt reduse la cateva forme perfect simetrice ca in

Page 3: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

3/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

geometria euclidiana – geometria fractala studiaza asimetria, asperitatea obiectelor, precum si

Munte fractal animat -

mod de obtinere

structurile fractale din natura. In geometria fractala, norii nu mai sunt sfere, muntii nu mai sunt conuri, liniile de

coasta nu mai sunt cercuri.

De fapt, asperitatea nu este numai o imperfectiune a unui lucru ideal, ci este chiar esenta multor obiecte

naturale. Astfel, in timp ce geometria euclidiana servea ca limbaj descriptiv pentru

mecanismele clasice de miscare, geometria fractala este folosita pentru studierea

modelelor produse de haos.

In matematica (http://www.artacunoasterii.ro/tag/matematica), functiile fractale

se comporta ca si sistemele haotice in care schimbari aleatoare asupra valorilor de

pornire pot modifica valoarea functiei in moduri imprevizibile, in interiorul frontierelor

sistemului. Faimoasa Multime Mandelbrot demonstreaza aceasta legatura dintre

fractali si teoria haosului – dintr-o ecuatie matematica foarte simpla se produc

rezultate foarte complexe.

Multimea Mandelbrot

Pentru a intelege fractalii, trebuie distinse acele proprietati fundamentale care nu se schimba de la un obiect studiat la altul. Prin

studierea structurii fractale a sistemelor haotice, e posibil sa se determine punctele critice in care predictibilitatea unui sistem dispare.

Scopul geometriei fractale este acela de a oferi o metoda (http://www.artacunoasterii.ro/tag/metoda) ingenioasa de cunoastere, prin

care fenomene complexe pot fi explicate pornind de la niste reguli simple.

Fractalii in arta

Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni in arta, colorati in manifestarile lor diferite si grupati in galerii de imagini

fractale, pentru a ului si pentru a provoca imaginatia. De asemenea, fractalii mai pot fi utilizati pentru a modela cu precizie muzica produsa

de diferiti compozitori. Fractalii se regasesc si in unele picturi, precum si in arta si arhitectura (http://www.artacunoasterii.ro/tag/arhitectura)

africana.

Generatori de fractali

Fractal generat

Oricine poate crea peisaje deosebite si imagini atragatoare cu ajutorul fractalilor, deoarece exista pe Internet o multime de programe

software generatoare de fractali. Astfel, oricine poate genera fractali, neavand nevoie sa cunoasca notiuni matematice complexe – tot ce

trebuie sa faca este sa modifice functia care genereaza fractalul si alti parametri, si sa selecteze niste culori. De asemenea, va puteti

compune propria muzica fractala cu ajutorul unor programe software specializate.

Fractali – resurse online

Page 4: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

4/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

Rating: +3 (from 5 votes)

TweetTweet

1

Rating: 0 (from 0 votes)

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal (http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal )

http://pixhome.blogspot.com/2010/08/free-3d-fractals-nature-wallpaper-with.html (http://pixhome.blogspot.com/2010/08/free-3d-fractals-

nature-wallpaper-with.html)

http://exper.3drecursions.com/ (http://exper.3drecursions.com/)

Sustineti Arta Cunoasterii !Daca v-a placut acest articol, puteti sustine Arta Cunoasterii, dand share pe Facebook sau Twitter la acest articol, recomandand articolul

si situl ArtaCunoasterii.Ro prietenilor dvs. sau alaturandu-va celor peste 1.500 de fani pe Facebook.

Rating: 9.6/10 (5 votes cast)

Related posts:

1. Curiozitati matematice – Inmultirea cu tabel (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/curiozitati-matematice-inmultirea-cu-tabel)

2. Curiozitati matematice – Sofismul lui Curry sau Paradoxul disectiei triunghiului

(http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/curiozitati-matematice-sofismul-lui-curry-sau-paradoxul-disectiei-triunghiului)

3. Numarul Pi – Curiozitati matematice (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/numarul-pi)

4. Curiozitati matematice – Inmultirea chinezeasca (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/curiozitati-matematice-inmultirea-

chinezeasca)

5. Curiozitati despre animale (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/curiozitati-despre-animale)

Articol din categoria Curiozitati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/curiozitati) Tag-uri: arbori

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/arbori), asimetrie (http://www.artacunoasterii.ro/tag/asimetrie), asperitate

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/asperitate), auto-similar (http://www.artacunoasterii.ro/tag/auto-similar), Benoit Mandelbrot

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/benoit-mandelbrot), curiozitati (http://www.artacunoasterii.ro/tag/curiozitati-2), ecuatie matematica

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/ecuatie-matematica), ferigi (http://www.artacunoasterii.ro/tag/ferigi), fractali

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/fractali), fulgul lui koch (http://www.artacunoasterii.ro/tag/fulgul-lui-koch), galerie

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/galerie), geometria fractala (http://www.artacunoasterii.ro/tag/geometria-fractala), haos

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/haos), imagini (http://www.artacunoasterii.ro/tag/imagini), infinitate

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/infinitate), iteratie (http://www.artacunoasterii.ro/tag/iteratie), matematica

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/matematica), multimea cantor (http://www.artacunoasterii.ro/tag/multimea-cantor), multimea julia

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/multimea-julia), multimea lui mandelbrot (http://www.artacunoasterii.ro/tag/multimea-lui-mandelbrot),

muzica (http://www.artacunoasterii.ro/tag/muzica), recursie (http://www.artacunoasterii.ro/tag/recursie), teoria haosului

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/teoria-haosului), triunghiul lui sierpinski (http://www.artacunoasterii.ro/tag/triunghiul-lui-sierpinski)

« Top 10 cele mai rapide animale (http://www.artacunoasterii.ro/top-10/cele-mai-rapide-animale)

Pesteri neobisnuite din lumea intreaga (http://www.artacunoasterii.ro/stiati-ca/pesteri-din-intreaga-lume) »

Puteti scrie un comentariu (#respond), sau puteti lasa un trackback (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali/trackback) de pe situl

dvs.

4 Responses to “Fractali – Curiozitati matematice”

1. Manuel (http://manubv.wordpress.com) says:

05/10/2010 at 8:13 PM (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali#comment-5)

Asta da subiect greu. Dar e bine ca teoria fractalilor a a jutat la intelegea mai bine a lumii si la intregirea teoriei haosului. Sa

stii ca ar putea fi si o definitie a infinitului, de au ajuns mai multi matematicieni la spitalele de nebuni. E un film pe youtube :

http://www.youtube.com/watch?v=Cw-zNRNcF90 (http://www.youtube.com/watch?v=Cw-zNRNcF90) ; despre subiectul acesta cu

matematicienii. Fractal power.

Rating: 0.0/5 (0 votes cast)

Reply (/curiozitati/fractali?replytocom=5#respond)

Admin says:

07/10/2010 at 1:48 PM (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali#comment-11)

Preocuparea excesiva fata de infinit (mai ales cel temporal) este si trasatura definitorie a civilizatiei maya (vezi articolul

Page 5: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

5/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

Rating: 0 (from 0 votes)

Rating: 0 (from 0 votes)

Rating: 0 (from 0 votes)

din categoria “Stiati ca”) – o civilizatie extrem de avansata si disparuta in mod misterios; sa fie oare obsesia fata de infinit o

preocupare nefasta?

Rating: 0.0/5 (0 votes cast)

Reply (/curiozitati/fractali?replytocom=11#respond)

2. i4ever (http://blidaru.net) says:

11/10/2010 at 10:37 PM (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali#comment-27)

In primul rand multumesc pentru ca am putut citi acest articol gratuit. Cuprinde o multime de informatii foarte utile.

Rating: 0.0/5 (0 votes cast)

Reply (/curiozitati/fractali?replytocom=27#respond)

Admin says:

11/10/2010 at 11:40 PM (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali#comment-30)

Multumim si noi pentru aprecieri. Speram sa-ti placa si celelalte articole

Rating: 0.0/5 (0 votes cast)

Reply (/curiozitati/fractali?replytocom=30#respond)

Leave a Reply

Name (required)

Mail (w ill not be published) (required)

Website

CAPTCHA Code

(#)

Submit Comment

Search

Page 6: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

6/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

Find us on Facebook

Luciana Meret C ornel

C araimaneanu V asile O ana

Irina Zoltan Marian

ArtaCunoasterii.Ro

4,206 people like

ArtaCunoasterii.Ro.

Like

Facebook social plugin

Stiati ca …

“Arborii Sequoia sunt printre cei mai batrani si cei mai mari (atat ca inaltime, cat si ca volum) arbori de pe pamant.”

Cele mai citite articole

Top 10 picturi celebre (http://www.artacunoasterii.ro/top-10/picturi-celebre)

Cel mai mare copac din lume (http://www.artacunoasterii.ro/superlative/cel-mai-mare-copac-din-lume-arborele-general-

sherman)

Cea mai mare cascada din lume (http://www.artacunoasterii.ro/superlative/cea-mai-mare-cascada-din-lume-cascada-victoria)

Cascada Niagara (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/cascada-niagara)

Cele 7 Minuni ale Lumii Antice (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/7-minuni-ale-lumii-antice)

Marele Zid Chinezesc (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/marele-zid-chinezesc)

Top 10 muzee ale lumii (http://www.artacunoasterii.ro/top-10/muzee-ale-lumii)

Curiozitati matematice - Inmultirea chinezeasca (http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/curiozitati-matematice-inmultirea-

chinezeasca)

Semnificatia culorilor (http://www.artacunoasterii.ro/stiati-ca/semnificatia-culorilor)

Statuia Libertatii (http://www.artacunoasterii.ro/stiati-ca/statuia-libertatii)

Tag-uri populare

Africa (http://www.artacunoasterii.ro/tag/africa) antichitate (http://www.artacunoasterii.ro/tag/antichitate) arhitect

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/arhitect) arhitectura

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/arhitectura) astronomie

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/astronomie) atractie gravitationala (http://www.artacunoasterii.ro/tag/atractie-grav itationala) celebru

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/celebru) cel mai (http://www.artacunoasterii.ro/tag/cel-mai)

China (http://www.artacunoasterii.ro/tag/china) Civilizatia Maya (http://www.artacunoasterii.ro/tag/civ ilizatia-maya) civilizatie

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/civilizatie) constructie

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/constructie) destinatii turistice

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/destinatii-turistice) disparitie (http://www.artacunoasterii.ro/tag/disparitie) Egipt

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/egipt) Emil Racovita (http://www.artacunoasterii.ro/tag/emil-racovita) Franta

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/franta) gaura neagra (http://www.artacunoasterii.ro/tag/gaura-neagra) gigant

Page 7: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

7/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/gigant) grec (http://www.artacunoasterii.ro/tag/grec) inaltime

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/inaltime) incendiu (http://www.artacunoasterii.ro/tag/incendiu) Italia

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/italia) lumina (http://www.artacunoasterii.ro/tag/lumina) matematica

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/matematica) minune

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/minune) Moldova (http://www.artacunoasterii.ro/tag/moldov a) monument

istoric (http://www.artacunoasterii.ro/tag/monument-istoric) New York

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/new-york) obiective turistice

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/obiective-turistice) pamant (http://www.artacunoasterii.ro/tag/pamant) parc national

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/parc-national) Paris (http://www.artacunoasterii.ro/tag/paris) pestera

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/pestera) piramida (http://www.artacunoasterii.ro/tag/piramida) recorduri mondiale

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/recorduri-mondiale) Romania (http://www.artacunoasterii.ro/tag/romania) soare

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/soare) Spania (http://www.artacunoasterii.ro/tag/spania) speologie (http://www.artacunoasterii.ro/tag/speologie)

SUA (http://www.artacunoasterii.ro/tag/sua) templu

(http://www.artacunoasterii.ro/tag/templu) top 10 (http://www.artacunoasterii.ro/tag/top10)

turn (http://www.artacunoasterii.ro/tag/turn) volum (http://www.artacunoasterii.ro/tag/volum)

Aboneaza-te GRATUIT prin mail sau RSS

Aboneaza-te GRATUIT prin mail sau RSS. Introdu mai jos adresa de mail:

Ma abonez

Aboneaza-te prin RSS

(http://feeds.feedburner.com/ArtaCunoasterii)

Categorii

Curiozitati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/curiozitati)

Intrebari si Raspunsuri (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/intrebari-raspunsuri-cultura-generala)

Jocuri Cultura Generala (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/jocuri-cultura-generala)

Stiati ca (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/stiati-ca)

Stiri – Noutati (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/stiri-noutati)

Superlative (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/superlative)

Teste (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/teste-cultura-generala)

Top 10 (http://www.artacunoasterii.ro/categorii/top-10)

Parteneri

Bani pe Internet (http://www.academiademarketing.ro/bani-pe-net)

Casa de marcat (http://www.informedia.ro/c1,case-de-marcat)

Ghiduri turistice (http://www.travelwiz.ro/)

Haine copii (http://www.copilas.ro/)

Incarcator laptop (http://www.doctor-laptop.ro/)

Lentile de contact (http://www.lentile-contact.net/)

Obiective turistice (http://www.obiectiveturistice.org/)

Optimizare SEO (http://www.optimizareseo.org/)

Paltoane barbati (http://www.paltoanebarbati.org/)

Pentru copii (http://www.clovniiveseli.ro/)

Sfantul Efrem cel Nou (http://sfantul-mare-mucenic-efrem-cel-nou.blogspot.com/)

Vlad Gidea (http://vladgidea.ro/)

Un blog de nota... 10

Nota medie a art icolelor:

Page 8: Fractali - Curiozitati matematice

12.08.2012 Fractali - Curiozitati matematice

8/8www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

9.4

din 206 v oturi.

Blogroll

geschenkefuxx.de (http://www.geschenkefuxx.de)

Werbe-Blogger.com (http://www.werbe-blogger.com)

Copyright ArtaCunoasterii.ro

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ro/)

www.ArtaCunoasterii.ro este licentiat sub o Licenta Creative Commons Atribuire - Necomercial - Fără

Modificari 3.0 România (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ro/).

Preluarea articolelor se poate face DOAR cu citarea sursei, incluzand la sfarsitul articolului preluat un link valid catre

acest site - Arta Cunoasterii (http://www.artacunoasterii.ro/)

Copyright © Iulian (https://plus.google.com/102807126746425249948) - Cultura Generala online – ArtaCunoasterii.ro

(http://www.artacunoasterii.ro) - Arta Cunoasterii – Sursa ta Online de Cultura Generala – Teste, intrebari, raspunsuri, curiozitati, jocuri

educative, topuri si multe altele

Powered by WordPress (http://wordpress.org/) Harta site-ului (http://www.artacunoasterii.ro/sitemap.xml)