daniel ioan pub - cieac/lmn [email protected]/bazeelth-2-legile el-mg.pdf · legea fluxului...
If you can't read please download the document
TRANSCRIPT
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Bazele Electrotehnicii
2. Legile electromgnetismului
Daniel Ioan
Universitatea Politehnica din Bucuresti PUB - CIEAC/LMN
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
2. Legile electromagnetismului
Lege a unei stiinte = este o afirmatie fundamentala, care nu estedemonstrata ci rezulta prin generalizarea unor observatiii si prinrationamente inductive incomplete.
In teoriile stiintifice axiomatizate sistemul legilor trebuie saindeplineasca urmatoarele conditii:
Independenta orice lege nu este o consecinta logica a celorlante(nu poate fi dedusa din acestea)
Consistenta (noncontradictia) nici o lege nu intra in contradictielogica cu celelalte sau cu o consecinta a lor
Completitudinea sistemul legilor este suficient pentru a decide daca orice afirmatie corect formulata este adevarata sau falsa.
Legile se exprima ca relatii matematice intre marimile primitive. Acest sistem de ecuatii trebuie sa conduca la probleme corectformulate matematic (care au solutie si aceasta este unica).
Se presupune ca legile sunt complete si din punct de vederefizic nu doar logico-matematic, adica orice fenomen este descriscorect de consecintele legilor. In realitate, se condidera din domeniul teoriei doar acele fenomene ce sunt descrise corect.
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
2.1. Legea fluxului electric (Gauss)
D
dvdqD AD
dq =dv
d =DdA
+q -q
1>0 2
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Forma local a legii fluxului electric
Forma locala-diferentiala a legii
Demonstratie bazata pe teorema
Gauss- Ostrogradski
Semnificatia divergentei:
Forma pe suprafete
de discontinuitate:
Conservarea componentei normale
a inductiei pe suprafete nelectrizate
(s=0):
Ddiv
DDAD divdvdvdivd:D
DDD
z
D
y
D
x
D)DDD)(
zyx(div
V/ddiv
zyxzyx
D
DVlim
D
kjikjiDD
ADD0
sss
h
sv
ave
div)(AAhdv
A)(ddd
D
SS
DDDn
DDnADADAD
1212
0
1212
12
2112 0 nn DD)( DDn
n12
S2
h
S1
s
- productivitatea unui punct in linii de camp (nr de linii pe
unitatea elemnatara de volum) pozitiva in izvor si
negativa in sorb (daca este nula, linia este continua).
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatie
Campul electric produs de o sfera
electrizata uniform
3
322
332
3
int
32
int
3
2
4
dv
:electrica sarcina de arbitrara edistributi o de in vid
produsa inductiei a acoulombian integrala :iesuperpozitPrin
4;
433
44
,3
4
33
44
,3
4
4
R
R
q
R
q
R
aD
aRDq
aforRqa
dvdvq
RD
RRDq
aforRR
dvdvq
RDdADDdAd
extextD
D
D
D
D
DD
RD
RD
AD
dq =dv
d =DdA
D(R)
a
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
2.2. Legea fluxului magnetic
1. Enunt: Fluxul magnetic pe orice suprafata inchisa este nul
2. Forma gobala (integrala) a legii:
3. Semnificatie fizica:
nu exista sarcini magnetice
3. Liniile campului magnetic:
Continui (fara punct de inceput
sau sfarsit) curbe inchise
00
ABd
d =BdA
1=0 2=03=0
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Forma locala a legii fluxului magnetic
1. Forma local (diferentiala) a legii:
2. Demo (bazata pe teorema Gauss
Ostrogradski ):
3. Forma de ecuatie cu derivate
partiale in coord. Cartezene
4. Conservarea componentei normale
a inductiei magnetice:
0Bdiv
00
BBAB divdvdivd:D
DD
0
z
B
y
B
x
B)BBB)(
zyx(div z
yxzyx kjikjiBB
0
0
1212
0
1212
12
)(
A)(ddd
h
ave
SS
BBn
BBnABABAB
2112 0 nn BB)( BBn
n12
S2
h
S1
S
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Consecinte integrale
1. Conservarea (continuitatea fluxului magnetic
2. Invarianta fluxului magnetic fata de forma
suprafetei (cu bordura fixa)
3. Relatia lui Kirchhoff pentru fluxurile din
circuitele magnetice
212121
21
0
21
21
SS
SS
dd
dddSS
ABAB
ABABAB
0 )n(k
k
12
1 2
3
...221
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Potentialul magnetic vector (optional)
1. Definitia potentialului magnetic vector
2. Definitia rotorului:
3. Forma in coord. carteziene:
4. Conditia de etalonare:
5. Continuitate potentialului vector (a componentei tangentiale)
0)(
0
AAB
ABB
divrotdiv
rotdiv
zyx
zyx
AAA
zyxAAA
zyxrot
kji
kjikjiAA )()(
s
SA
Adrots
/lim0
rnA
SSSS
dddrotd rArASASB
0)0(?,
0)(
0
000
divgraddivdivdiv
gradrotrotrot
AAA
AAAAAB
A1h
S A22121
212121
0
00
AAAAA
AAnrA
nn
ttSttttave
div
,)AA(l)AA(dlhB
S
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Recapitularea legilor de flux
Camp: Electric Magnetic
Global
Integral
Local diferential
Pe supr de dics.
Conserv.
Linii de camp
Deschise, orientate de la sarcinile pozitive la cele negative
Continui, inchise
Dq
D
dvd AD
s
ss
)(
div
1212 DDn
D
Ddiv
21 nn DD
0
0
ABd
0
0
1212
)(
divs
BBn
B
0Bdiv
21 nn BB
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
2.2. Legea inductiei electromagnetice - Faraday
1. Enunt: Tensiunea electrica pe orice
curba inchisa este egala cu viteza de
scadere a fluxului magnetic de pe orice
suprafata ce se sprijina pe curba respectiva
2. Forma globala (integrala ) a legii:
3. Semnificatie fizica: Variatia in timp a campului magnetic
induce camp electric
4. Ipoteza Hertz: curba si suprafata S sunt antrenate de
corpuri in miscarea lor. In consecinta iductia poate fi
de transformare si/sau de miscare
5. Liniile campului electric indus:
- Sunt curbe inchise
- Inconjoara campul magnetic inductor
- Sensul lor depinde de sensul liniilor campului magnetic
inductor si de modul de variatie al acestuia
- Campul electric indus de un camp magnetic descrescator
in timp are sensul dat de regula burghiului drept si
este opus in cazul campu inductor crescator
S
ddt
dd
dt
du S ABrE
Sdu =Edr
d =BdA
S
B(t)
E(t)
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Forma local a legii inductiei in medii imobile
1. Forma locala
(diferentiala) a legii:
2. Proof (based on Stokes
theorem):
3. Conservation of the
tangential component of
the electric field strength
ttrot
BE
BE
121212
12
21
0
0 when 0
tt
nave
ave
CC
,)(
,h,lhdt
dBd
dt
d
,l)(ddd
S
EEEEn
AB
EEtrErErE
S,dt
ddt
ddcurld
SSS
AB
ABAErE
E2
E1
n12
C2
h
C1
l
t
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Formele local si integrala dezvoltata in medii mobile(optional)
1. Forma locala (diferentiala):
2. Demo (bazata pe teorema Stokes
si derivata de flux:
0S
dt
d)()(curlt
curl AB
rvBEvBB
E
dt
d curl
)(curltdt
)t(d,d
dt
)t(dd)t(
dt
d,d
t
)t(d)t(
dt
d
)d(tddldddd
)(curl)d(t/dt/)dd(ddt
d
d)t(dt
dd
dt
dd)t(
dt
d
f
def
ff
SlSS
SSltS St
)t(S)t(SSS
)t(S
S)t(S)t(S
limlim
BE
vBBB
AB
ABAB
AB
vrsrAABABABAB
dAvBvrBABABABAB
ABABAB
where
Son and 0 because
00
dt
d curl
f BE
3. Forma integrala
dezvoltata
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii ale legii inductiei
1. Principiul transformatorului(inducta in medii imobile)
http://en.wikipedia.org/wiki/Transformer
2. Principiul generatorului de tensiunealternativa (inductie de miscare in camp magnetic constant) http://en.wikipedia.org/wiki/Alternator
)tcos(ABdt
du
),tsin(B)t(
S
0
0
kB
)tsin(abBd)(u
)tsin(BAdt
du
),tcos(BAd
S
SS
rvB
AB
or
http://en.wikipedia.org/wiki/Transformerhttp://en.wikipedia.org/wiki/Alternator
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii ale legii inductiei
3. T.e.m. indusa prin miscare liniara
4. Principiul generatorului homopolar(de c.c.) http://en.wikipedia.org/wiki/Homopolar_generator
B
a
v
x
a
2/)( 20
aBrdrBdea
rvB
vBE
rvBrE
AB
m
S
a
S
S
dBvdrde
Bavdt
dxBad
dt
d
dt
de
)(0
B
http://en.wikipedia.org/wiki/Homopolar_generator
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teorema potentialului electric stationar
In campuri stationare imobile:
Forma globala
Forma locala (diferentiala)
In coordonate carteziene:
Demo:
Definitia gradientului (grad indica directia, sensul si viteza spatiala de crestere a
marimii scalare).
Independenta tensiunii electrice stationare de forma
curbei
)k
V
y
V
x
V(
VgradVcurl
kjiE
EEE 0
S,du 00 rE
0 )V()gradV(curlcurlE
Wdv Vol(WVd
WgradV ) unde ,
1lim
0A
}B,A{CCC,Cuu
uuddddduCCCC
212121
21
2
2
1
1
21
with
0rErErErErE
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Definitia integrala a potentialului electric scalar
1. Unicitatea potentialului
(este definit pana la o constanta aditiva
care se fixeaza prin alegerea
punctului de referinta (masa) in
care V este conventional nul)
2. Definitia integrala a potentialului
scalar (tensiunea pana la masa):
3. Demo:
4. Tensiunea ca diferenta de potential:
POC
d)P(V rE
BAABBACCCC
AB VVuVVdddduOBAOOBAOAB
rErErErE
POPO CC
gradVdd rrE
POPO CC
)P(V)P(V)O(VdVd)k
V
y
V
x
V( rkji
gradV)CV(grad E
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicati ale teoremeipotentialului stationar
Potentialulunei sfereelectrizateuniform in vid
a
V(R)
Integrala coulombiana: potentialul uneidistributii arbitrare de sarcini in vid:
.for ,4
;for 8
)(
4)(
8
3)0(
8
)(
48
)()()(
8
)(
84)()(
4,For
. where,4
)(
For
11
444)(
4/
4,For
0
3
0
22
0
0
3
0
22
0
3
0
22
3
0
22
3
0
2
3
0
3
0
0
0
00
0
0
2
0
2
0
00
2
00
aRCR
q
aRCa
Raq
a
q
RV
a
qV
a
Raq
a
q
a
RaqaVRV
a
Raq
R
a
a
qrrdr
a
qdaVRV
a
qREaR
aRR
qRV
R
RR
q
R
R
r
q
r
drqdRV
R
qDEED
R
qDaR
aa CPPCPP
CPPCPP
rE
rE
rrr
r
';4)(
)'(
;4
0
0
RR
dvV
dvdqR
dqdV
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii
Potentialul logaritmic firul infinit electrizat
.pt ;ln2
;pt C;ln22
)(
)(
ln12
)0(
ln22
)(
2
)()()(
2
)(
42)()(
22222 ;Pentru
,ln2
)(1pentru ln2
)(
lnln22
ln
4)(
2/;cu
222 a;RPentru
0
00
2
0
22
00
00
2
0
22
2
0
22
2
0
22
2
0
2
2
0
2
0
22
2
0
0
00
0
0
0
00
0
00
00
aRCR
aRR
a
a
Ra
RV
R
aV
R
a
a
Ra
a
RaaVRV
a
Ra
R
a
a
rrdr
adaVRV
a
RE
a
R
la
qRRDlRRlDqaR
RRVRR
RRV
RRR
Rr
r
drdRV
RDEED
l
q
RRl
qDqRlDq
l
ll
l
lll
ll
CPP
l
CPP
llD
ll
ll
CPP
l
CPP
ll
lD
aa
rE
rE
R
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Recapitularea legii inductiei electromagnetice
Miscare Nu Da
Global
Integral
Integral dezvoltata
Pe supraf.
Conserv. -
Liniile campului indus
Inconjoara campul magnetic inductor
-
dt
du S
S
ddt
dd ABrE
21 tt EE
dt
du S
S
ddt
dd ABrE
S
dt
d AB
rE
rvBAB
rE d)(dt
d
S
01212 )( EEn 02212 ])()[( vBEvBEn
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
2.4.Legea circuitului magnetic -Ampere-Maxwell
2. Forma globala (integrala) a legii:
3. Semnificatie fizica:
Orice curent electric (de conductie, deplasare sau de
convectie produce camp magnetic ). Variatia in timp a
fluxului electric genereaza camp magnetic.
Viteza de variatie a fost numita de Maxwell curenat de
deplasare, si are densitatea:
. 4. Liniile campului magnetic:
Sunt curbe inchise
Inconjoara liniile de curent de conductie sau deplasare
Sensul lor este dat de regula burgiului drept care
avanseaza in sensul curentului
SS
ddt
ddd
dt
diu SSm ADAJrH
dum =Hdr
di =(J+dD/dt) dA
S
S
J+dD/dt
H(t)
1. Enunt: Tensiunea magnetica pe orice curba inchisa este egala cu suma dintre
curentul electric printr-o suprafata arbitrara care se sprijina pe acea curba
si viteza de variate a fluxului electric de pe acea suprafata.
tdefd
DJ
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Forma locala a legii circuitului magnetic in medii imobile
1. Forma locala (diferentiala) in
mediii imobile
Rotorul unui camp vectorial indica vartejurile acestui
camp (axa si sensul de rotatie a liniilor de camp)
2. Demo (bazata oe teorema lui
Stokes):
3. Conservarea componentei
tangentiale a intensitatii
campului magnetic:
dd
tt
rot
JJ J
JED
JH
.J
hlJlhdt
dDJd
dt
dd
lddd
stts
snave
nave
ave
CC
SS
0 daca,)(
,0 cand ,)(
,)(
121212
12
21
HHJHHn
ADAJ
HHtrHrHrH n12
C2
h
C1
S,d)t
(ddt
dddcurld
SSSS
AD
JADAJAHrH
Ht2
Ht1
l
t
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Forma locala si cea integarla dezvoltata in medii mobile (optional)
1. Forma locala (diferentiala):
2. Demo, bazata pe teorema lui
Stokes si derivata de flux:
0)()()(S
dt
drott
rot AD
vrvDHvDvD
JH
DD
JHvDDvDD
AD
ADAD
ADdAvDDv
ADADADADADAD
divdt
d rot rotdiv
tdt
td
ddt
tddt
dt
dd
t
tdt
dt
dcurldiv
tddddt
ddt
dt
dd
dt
ddt
dt
d
f
def
f
f
S
S St
tStSSS
tSStStS
; ),()(
unde
,)(
)(,)(
)( ,))((
/)(lim)()(
)()(
)()()(
0
)( vDvD
J H
DJ H
rott
rot
dt
d rot
f
3. Forma
integrala
dezvoltata
Densitatilor curentilor de: Coductie, Deplasare, Convectie si Rontgen teoretic.
Doar Electrodinamica relativista da expresia corecta a curentului Rontgen!
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teorema lui Ampere. Cazul stationar
In cazul campurilor stationare din mediile imobile:
Forma globala:
Forma local (diferentiala):
In coord. carteziene:
Demo:
Dependenta tensiunii magnetice de calea de integrare
JHJH rot
SddiuS
Sm ,AJrH
m
S
CCCC
m
gradV
BACCCCuu
iuudddddu
H
J
rHrHrHrHrH
:scalar magnetic potentialun definit fi poate cazacest In
.0 daca numai },{cu , 212121
21
2
2
1
1
21
JD
JH
trot
i
J
kji
HH
zyx HHH
zyxcurl
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii ale legii circuituluimagnetic
Campul magnetic produs de un conductor cilindric
parcurs longitudinal de un curent distribuit uniform
arr
I
r
Ja
ara
IrJr
rH
r
I
r
JaH
IaJJdAdiar
JrHiu
arrJdAJdi
rHdrHdu
aSSS
Sm
SSS
m
pt.,22
pt.,22)(
22
,,For
2/
pt. ,
,2
2
2
2
2
2
AJ
AJ
rH
Un camp electric uniform cu inductia variabila in timp D(t) produces
produce acelas camp magnetic, daca J= dD/dt.
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Recapitularea legii circuitului magnetic
Miscare Nu Da
Global
Integral
Integral dezvoltat
Pe suprafete
Conserv. -
Linii de camp
-
dt
diu SSm
SS
ddt
ddd ADAJrH
21 tt HH
SS
dt
dd AD
AJrH
rvDAD
vJrH d)(d)t
(d
S
s)( JHHn 1212 02212 ])()[( vDHvDHn
dt
diu SSm
SS
ddt
ddd ADAJrH
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Legi generale si legi de material ale electromagetismului
Cele patru legi prezentate descriu fenomenele fundamentale ale e-mg si au caracter general numindu-se din acest motiv legi generale.
Descriu cantitativ relatiile de cauzalitate intre sursele de camp si efectul lor(conform semnificatiileor fizice, campul electric are doua cauze iar campulmagnetic alte doua cauze).
Formele lor locale alcatuiec un sistem de 4 ecuatii PDE ce leaga intre elemarimile el-mg primitive (locale) ale campului si corpurilor.
Pe interfetele intre corpuri se conserva componentele tangentiale ale intensitatilor si componentele normale ale inductiilor electrice si magnetice. In consecinta, tensiunile si fluxurile din corpuri nu se modifica daca in jurulcurbeleor si suprafetelor de definitie se practica fante vide minuscule.
Campul electric stationar nu rezula univoc din aceste legi, deoarece eledescriu divergenta lui D si rotorul campului E. Conform teoremeifundamentale a campurilor de vectori pentru a determina un camp trebuiedate si divergenta si rotorul acestuia. Conditie este indeplinita doar daca estecunoscuta o relatie intre suplimentara E si D. Este deci necesara cel putininca o lege, care sa descrie aceasta dependenta, dar si una pentru legaturaB-H din camp magnetic si alta intre J si E.
In teoria macroscopica aceaste dependente se stabilesc pe cale empirica(spre deosebire de teoriile microscopice, in care aceste relatii se deduc din structura intima a substantei). Forma concreta a relatiei deinzand de tipulsubstante, aceste relatii se numesc legi de material
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
2.5. Legea legaturii dintre D si E (a polarizatiei)
2. Forma generala, locala a legii:
3. Forme locale particulare
in vid:
in dielectrici liniari izotropi:
in in dielectrici liniari anizotropi:
in corpuri polarizate permanent
(modelul afin-aproximare de ordin 1):
in general (in dielectrici neliniari):
In dielectrici liniari:
1)1(,)(,0
)()(
0,, ,
/ ,
/1094
1 ,
)(
00
000
333231
232221
131211
0r0r
900
rtp
pt
p
jiij
mF
EDEEPPP
PEPEEfEDPPED
PED
EEEDED
ED
ED
EfD
3. Semnificatii fizice: Polarizatia marime derivata: descrie polarizarea permanenta (din electreti) - sursa de camp electric
si polarizatrea temporara prin care dielectricii perturba campul in care se afla
0E=Dv
PD
E
1. Enunt: Inductia electrica dintr-un punct din spatiu depinde de intensitatea campului
elctric din acel punct. Forma concreta a dependentei este functie de substanta in
care se afla punctul.
- primii doi termeni din seria Taylorprimii doi termeni din seria Taylor
33: RR f
- caracteristica dielectrica
]/[)()( 200 mCpt PEPEEfEDP
)0(fP defp
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Dielectrici anizotropi- directii si valori principale
ED
z
y
x
z
y
x
E
E
E
D
D
D
333231
232221
131211
333231
232221
131211
D
E
1. In acest caz inductia electrica nu are aceeasi directie cu intensitatea campului.
Unghiul dintre cei doi vectori depinde de orientarea campului.
2. Tensorul permitivitatii:
3. La schimbarea sistemului de referinta componentle vectorilor se modifica astfel:
Tensorul sufera o transformare de similitudine
4. D si E sunt coliniari pentru directiile proprii (principale) ale tensorului, care se
diagonalizeaza in sistemul de referinta cu axele in directiile principale:
1111 , TTTTTTTT EEDEDEEDD
ED
EEEED
Idiag
II
);,,(
;;0)det(0)(0
321321
332211
D2
E2
D
E1,D1
E
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Campul electric in corpuri
1. In vid D si E au linii comune (este suficient un singur camp vectorial E sau D pentru descrie
campul electric iar P=0). Inductia este proportionala cu intensitatea printr-o ct. universala
2. Datorita polarizarii lor temporare, dielectricii devin permeabili la camp (concentrand si dirijind
campul), proprietate descrisa de ct. de material: permitivitate si susceptibilitate
3. Dielectricii anizotropi au D si E cu orientari diferite, deci cele doua spectre difera. In cel putin
trei directii particulare (directiile proprii ale tensorului permitivitatii) E si D sunt totusi coliniare
4. In corpurile polarizate permanent (electreti): Liniile lui D sunt contiune si inchise avand directa
polarizatiei permanente P iar liniile lui E sunt deschise, fiind orientate ca D in exterior si
invers lui D si P in interior (campul este depolarizant)
D, ED, E
D, P
E
1.In vid 2. Dielectric liniar 4. Electret
Interpretatre microscopica: polarizarea dielectricilor consta in orientarea moleculeleor polare in
directii privilegiate. Vectorul polarizatie P indica orientarea si intensitatea acestui fenomen.
Polarizatia temporara dispare/reapare odata cu E iar polarizatia permanenta nu depinde de E.
D,E
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teorema refractiei liniilor de camp electric
1. Pe suprafetele neelectrizate de separatie intre
doua corpuri:
2. Daca 1= 2 linia de camp nu este franta
3. Daca 1 0 (1 > 2) 2 0 or 1 /2
2211
22211121
221121
tg/tg/
E/EE/EEE
EEDD
tntntt
nnnn
1
2n12
1
2
D, E
2
1
2
1
tg
tg
1 >> 2 1
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii ale legii polarizatiei
1. Calculati si reprezentati grafic campul electric E, D si potentialul V produse de
o sfera dielectrica aflata in vid, electrizata uniform cu densitatea de
sarcina si pemitivitatea cunoscute. Incercati generalizarea pentru o
distributie arbitrara a sarcinii in vid (integralele coulombiene).
2. Rezolvati problema anterioara inlocuind sfera cu un cilindru
3. Rezolvati problema anterioara pentru cazul unei placi infinit extinse dar de
grosime finita
4. Calculati si reprezentati grafic campul electric E, D si potentialul V produse de
un cilindru afllata in vid polarizat permanent uniform
5. Determimnati perturbatia unui camp uniform datorata unei sfere dielectrice
nepolarizate si neelectrrizate
6. Calculati campul si potentialul generate de o placa polarizata uniform
7. Determinati forma globala a legii in cazul unui cilindru cu camp uniform,
orientat axial.
a
a
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Legea legaturii dintrew B si H (a magnetizatiei)
1. Enunt: Inductia magnetica dintr-un punct depinde de intensitatea campului
magnetic din acel punct. Forma concreta a dependentei este functie de substanta
in care se afla punctul.
2. Forma locala generala:
3. Forme particulare:
- in vid (si medii nemagnetice):
- in medii linare si izotrope:
- in in medii anizotrope
- in magneti permanenti (model afin):
- in general
- in medii liniare:
4. Magnetizatia: marime derivata descrie magnetizarea
mrmmtp
ppt
prpppp
jiij
mH
1)1(,)(,0
/)0(,)(/)(
)(,
0,, ,
/ ,
viduluitateapermeabili /104 ,
eamagnetizar de ticacaracteris
: ),(
0
000
000
333231
232221
131211
0r0r
7
00
33
HBHHMMM
fMMHMHBMMHB
MHMHBMIIHB
HHHBHB
HB
HB
fHfB RR
5. Semnificatie fizica: legea descrie fenomenele de magnetizarea permanenta sursa de camp magnetic si magnetizarea temporara, datorita careia campul magnetic este perturbat
MB
H
]/[)(/ 0 mApt MHMHBM
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Materiale feromagnetice
1. Materiale feromagnetice moi:
B || H, B = f(H) f:R+ R caracteristica de
magnetizare, de exemplu aproximata
liniar pe portiuni:
2. Materiale magnetice dure prezinta
fenomenul de histerezis magnaetic
(memorie magnetica)- pentru
magneti permanenti.
Modelul afin pt cadranul 2:
T....HB,
HH,H)(H
HH,H)(HH/)H(fM
HH),H)(H(
HH,H)H(fB
ss
sss
s
ss
s
250100000100
for 1
for 1
for 1
for
0rr
r
r
0
r0
0r
pMHB 0
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Materiale feromagnetice moi caracteristici de magnetizare
1.Sheet steel, 2.Silicon steel, 3.Cast steel, 4.Tungsten steel, 5.Magnet steel, 6.Cast iron, 7.Nickel, 8.Cobalt, 9.Magnetite
http://en.wikipedia.org/wiki/Saturation_(magnetic)
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Caracteristici tipice de histerezis
Type of magnets Rare Earth Ferrite Alnico Magnet
Item Unit Nd-Fe-b Sm-CoIsotropic
Ba-Ferrite
Aniso- tropic
Sr-Ferrite
by Dry
Aniso- tropic
sr-Ferrite
by wet
Alnico-5 Alnico-8Haimag
Alnico-5 col
Brr
[ kG ] 12.4 10.5 2.2 3.6 4 12.7 8.8 13.5
( mT ) 1,240 1,050 220 360 400 1,270 880 1,350
bHc
[ kOe ] 11.6 8 1.9 3 3.3 0.65 1.47 0.75
( kA/m ) 923 636 151 238 262 51 117 59
Bhmax
[ MGOe ] 37 24 1 3 3.8 5.3 5.2 7.3
( kJ/G) 294.5 191 8 23.9 30.2 42.2 41.4 58.1
Tempe-
rature
charact-
eristic
of Br
%/ -0.12 -0.04 -0.18 -0.18 -0.18 -0.02 -0.01 -0.02
Curie point C 320 750 460 460 460 850 850 850
Density g/cG 7.4 8.3 4.8 4.8 4.9 7.3 7.3
7.3
http://www.tmcmagnetics.com/magnet_products.html
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Liniile campului magnetic in corpuri
1. In vid B asi H au linii comune (este suficient un singur csmp vectorial pentru a
descrie campul magnetic in vid)
2. Datorita magnetizarii corpurile feromagnetice moi au permeabilitate inaltcon si
centreaza si dirijeaza liniile capului magnetic
3. In corpurile anizotrope B si H pot avea directii diferite
4. In magnetii permanenti:
Liniile lui B sunt continui si inchise, avand directia magnetizatiei permanente Mp
Liniile lui H sunt curbe descise cu directie comuna cu B in exterior si opusa lui B in interior (se spune ca au camp demagnetizant). Din acest motiv este important cadranul 2 din planul B-H.
B, H
B, H
B, Mp
H
In vid
In amgneti permanenti
B, H
In soft materiale
moi
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Teorema refractiei liniilor de camp magnetic
1. Pe interfata dintre doua medii:
2. Cand 1= 1 campul nu este perturbat (liniile de
camp nu se frang)
3. Daca 1 0 ( 1 > 2) 2 0 or 1 /2
2211
22211121
221121
tg/tg/
H/HH/HHH
HHBB
tntntt
nnnn
1
2n12
1
2
D, E
2
1
2
1
tg
tg
>> ext
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii ale legii magnetizatiei
1. Calculati si reprezentati grafic campul magnetic H, B produs de un conductor
cilindric afllata in vid, parcurs de un curent uniform cu orientat longitudinal.
Incercati generalizarea pentru o distributie neuniforma a curentului.
2. Rezolvati problema anterioara pentru cazul unei placi infinit extinse dar de
grosime finite
3. Calculati si reprezentati grafic campul magnetic H,B produse de un cilindru aflat in
vid si magnetizat permanent uniform. Folositi similitudinea cu campul electric
4. Determimnati prin similitudine perturbatia unui camp magnetic uniform datorata
unei sfere de permeabilitate cunoscuta aflata in vid.
5. Calculati campul si potentialul generate de o placa magmetizata uniform
6. Determinati forma globala a legii in camp uniform.
7. Aratati de ce campul dintr-o fanta alungita orientata de-a lungul liniilor de camp
are aceiasi intensitate Ht ca si campul din corp in schimb inductia Bn se
conserva, doar daca fanta este plata si orientata transversal fat de camp.
Aratati ca tensiunea pe curba C dintr-un corp nu se modifica daca se
practica o fanta vida (tunel) de-a lungul curbei C, iar fluxul de pe o suprafata
S nu se modifica daca, se practica o fanta vida in jurul suprafetei S.
a
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Legea conductiei. Ohm
Enunt: densitatea de curent depinde de campul electric:
1. Forma locala a legii:
2. Forme particulare:
in vid
in conductore liniare izotrope
in conductoare liniare anizotrope
in corpuri cu camp imprimat
3. Clasificarea corpurilor: izolante =0; (slabe-, semi-, bune-)conductoare;
supraconductoare = 1/ = 0. Conductivitatea depinde de temperatura.
Strapungerea izolantilor: Modificare ireversibila in conductor, cand E>Emax
4. Semnificatie fizica: Curentul este datorat campului electric. Campul electric imprimat genereaza camp electric. Fenomen ce descrie cauzele ne-electrice ale campului (chimice, ca in pile si acumulatore, termice, mecanice)
5. Liniile de camp electric generate de campul imprimat : sunt deschise si se opun campului imprimat Ei in special in absenta curentului
)(
/,
)(
iEEJ
EJ
JEEJ
J
EfJ
1with
0
E
J
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Recapitularea legilor de material
Camp: Polarizatie Magnetizatie ConductieGeneral
Vid
Liniar
Izotropic
Liniar
anizotropic
Modleul afin
Mediineliniare
Refractialiniilor de camp
)( HfB )( EfD )( EfJ
,ED 0 HB 0 0J
,ED ,HB
EJ
EJ
,ED ,HB
pPED pMHB 0 )( iEEJ
pt )( PEPE
PED
0
0
))(( i EEEJ
))((
)(
pt MHMH
MHB
0
0
2
1
2
1
tg
tg
2
1
2
1
tg
tg
2
1
2
1
tg
tg
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Concluzii privind legile de material
Fiecare substanta are propria comportare din punct de vedere dielectric, magnetic si al conductiei. Formele particulare ale relatiilor de material suntrelatii constitutive ale electromagnetismului. Ele se determina prinproceduri experimentale dedicate, de modelare a materialeleor.
In general relatiile constitutive sunt descrise de functii vectoriale neliniarede variabila vectoriala care se aproximeaza suficient de bine de modeleafine, in care caractersticile de material sunt descrise de un tensor si un camp vectorial. Multe medii admit modele de material si mai simple, la care tensorul are valorile proprii egale si se reduce deci la un simplu scalar iarcomponentele permanete sunt nule. Se obtine astfel modelul liniar izotrop, in care cei doi vectoiri din legile de material sunt coliniari si proportionali, iarsubstanta este caracterizata complet doar de trei constante de material: permitivitate, permeabilitate si conductivitate. In mediile liniare este valabilprincipiul superpozitiei. Mediile liniare cu comportare similara vidului se numesc: nepolarizabile, nemagnetizabile si izolante.
Starea electromagnetica a corpurilor este descrisa de marimile primitive si J dar si de marimile derivate: polarizatia P si magnetizatia M .
Relatiile si pot fi folosite pentru a defini inductiamagnetica si respectiv pe cea electrica, caz in care acestea devin marimiderivate, iar P si M vor fi marimi primitive. O astfel de alegere corespundeunei teorii electromagnetice echivalente, in care campurile sunt caracterizarede doua marimi primitive E si H iar corpurie de patru marimi primitive: , J, P si M. Marimile globale asociate lui P si M se obtin prin integrarea lor pevolum si definesc momentul electric p[Cm], si momentul magnetic m[Am2].
MHB 0 PED 0
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Valori ale constantelor de material
MaterialResistivity
(nm)
Density
(g/cm3)
Resistivity-
density
product
(nmg/cm3)
Aluminium 26.50 2.70 72
Copper 16.78 8.96 150
Silver 15.87 10.49 166
Gold 22.14 19.30 427
Iron 96.1 7.874 757
MaterialRelative
permittivity ErTeflon 2.1
Polyethylene 2.25
Polyimide 3.4
Polypropylene 2.22.36
Polystyrene 2.42.7
Carbon disulfide 2.6
Paper 3.85
Silicon dioxide 3.9 [3]
Concrete 4.5
Pyrex (Glass) 4.7 (3.710)
Rubber 7
Diamond 5.510
Water88, 80.1, 55.3
(0, 20, 100, C)
MediumSuscepti
bility m
Permeability
[H/m]
Relative
Permeability
/0Metglas 1.25101 1,000,000[6]
Mu-metal 50,000[9]
Permalloy 1.0102 8,000[8]
Ferrite (nickel
zinc)
2.0105
8.010416640
Steel 8.75104 100[8]
Nickel 1.25104 100[8] 600
Superconductors 1 0 0
http://en.wikipedia.org/wiki/Aluminiumhttp://en.wikipedia.org/wiki/Copperhttp://en.wikipedia.org/wiki/Silverhttp://en.wikipedia.org/wiki/Goldhttp://en.wikipedia.org/wiki/Ironhttp://en.wikipedia.org/wiki/Polyethylenehttp://en.wikipedia.org/wiki/Polyimidehttp://en.wikipedia.org/wiki/Polypropylenehttp://en.wikipedia.org/wiki/Polystyrenehttp://en.wikipedia.org/wiki/Carbon_disulfidehttp://en.wikipedia.org/wiki/Paperhttp://en.wikipedia.org/wiki/Silicon_dioxidehttp://en.wikipedia.org/wiki/Concretehttp://en.wikipedia.org/wiki/Pyrexhttp://en.wikipedia.org/wiki/Glasshttp://en.wikipedia.org/wiki/Rubberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Diamondhttp://en.wikipedia.org/wiki/Metglashttp://en.wikipedia.org/wiki/Mu-metalhttp://en.wikipedia.org/wiki/Mu-metalhttp://en.wikipedia.org/wiki/Mu-metalhttp://en.wikipedia.org/wiki/Permalloyhttp://en.wikipedia.org/wiki/Ferrite_(magnet)http://en.wikipedia.org/wiki/Steelhttp://en.wikipedia.org/wiki/Nickelhttp://en.wikipedia.org/wiki/Superconductor
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Legea transferului de energie - Joule
1. Enunt: Campul electromagnetic transfera corpurilor o
putere a carei densiatae de volum este:
2. Forma local a legii:
3. Forme particulare
in conductoare limiare:
in conductoare neliniare:
JEJJEJ
EEEEEEJE
JE
JE
ii
iip
JEp
p
2
2
22
3
)(
)(
0
][W/m
4. Semnificatie fizica:- Legea descrie fenomenul electro-termic de incalzire a corpurilor parcurse de curent
(in stare electrocinetica)
- Transferul de energie in conductoare liniare are un caracter ireversibil
5. Definitia densitatii de volum a puterii:
6. Forma integrala a legii:
JE
dt
dW
t
WP
dV
dP
V
Pp
0t0Vlimcu lim
uiTPdtWuidVpdVP
T
0
EJ
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Legea transferului de masa (a electrolizei) - Faraday
1.Enunt: in conductie are loc un transfer de masa cu densitatea fluxului de masa :
2. Forma locala a legii
3. Forma globala legea electrolizei
valentaz
molara masa M
Faraday lui Constanta- /96490F
micelectrochi ulcoeficient k
ielectrolitin ;Fz
Mmetalein ;0
molC
k
3. Semnificatie fizica: Legea descrie transferul
de masa, efect al curentului electric.
4. Definita densitatii fluxului de masa:
J
mkItidtkdtdk
dtdkdtQm
dkdQ
t
t
t
ts
t
t s
t
t
m
s s
m
2
1
2
1
2
1
2
1
AJ
AJ
AJA
masicdebit - ]/[lim
]/[lim
0
2
0
skgdt
dm
t
mQ
mskgdA
dQ
A
Q
tm
mm
A
nn
s].[kg/m 2J k
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Aplicatii, exercitii si probleme
1. In ce conditii este valabila forma globala a legii polarizatiei: = C u ?
2. In ce conditii este valabila forma global a legii magnetizatiei: = Um ?
3. In ce conditii este valabila forma global a legii conductiei: i = G u?
4. In ce conditii este valabila forma global a legii transferului de energie p = ui ?
5. Cum arata expresiile legilor de material in cazul mediilor liniare/neliniare, izotrope/ anizotrope,
omogene/neomogene? Incercati cat mai multe combinatii.
6. Cum se obtine cea mai buna aproximare afina a unei caracteristici neliniare de material.
7. Cautati modele pentru materilele feromagnetice moi anizotrope: expresii matematice ale
caracteristicii de magnetizare B-H
8. Cautati modele pentru fenomenul de histerezis din materialele magnetice dure: ecuatii
matematice care sa descrie relatia B-H
9. Poate depinde denstatea de curent de campul magnetic: J(E, B) ? In ce conditii ?
10. Identificati relatiile constitutive pentru toate materialele din camera in care va aflati
11. De ce F=Ae , constanta lui Faraday supar nr. lui Avogadro da chiar sarcina electronului ?
12. Imaginati-va noua experimente care evidentiaza cele noua fenomene fundamentale ale
electromagnetismului.
C
d)t,()t(u rrH
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Concluzii privind legile de transfer
C
d)t,()t(u rrH
Transfer Energie Masa
Local
Global][W/m 3JE p s][kg/m
2J k
][W uiP ][kg kitm
Legile generale impreuna cu cele de material alcatuiesc un sistem
complet din punct de vedere matematic. Ele descriu cauzele campului
electromagnetic dar nu sunt insa complete din punct de vedere fizic,
deoarece nu descriu si efectele acestui camp. Nici o lege din cele generale
sau de material nu contin marimi fizice comune si altor stiinte fizice.
Legile de transfer descriu efecte ale campului elctromagnetic,
completand astfel sistemul legilor si din punct de vedere fizic. Ele asigura
legatura cu alte discipline fizice.
Legile generale se exprima in general in forma globala, in timp ce legile
de material si cele de transfer se exprima in forma locala. Celelalte forme
sunt consecinte particulare, deci teoreme ale electromagnetismului.
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Diagrama relatiilor cauzale si a fenomenelor el-mg fundamentale
C
d)t,()t(u rrH
J
EJ
EEJ
MHB
PED
DJH
BE
B
D
k
p
t
t
i
p
p
9.
8.
)( 7.
6.
5.
4.
3.
0 2.
1.
0
E, D
H, B
Ei
Pp
Mp
J
1
7
7
4
4
3
5
6
8,9
p,
Ecuatiile lui Maxwell
Forma locala a legilor el-mg:
-
2012 Daniel IOAND. Ioan - Bazele ELTH
_
Referinte
N.N. Rao, Elements of Engineering Electromagnetics,
http://faculty.ece.illinois.edu/rao/EM/Complete_FM.pdf
William Hart Hayt, John A. Buck, Engineering Electromagnetics
http://books.google.ro/books/about/Engineering_electromagnetics.html?id=4cXFQgAACAAJ&redir_esc=y
N. Ida, Engineering Electromagnetics
http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6
Z.& B.D. Popovic INTRODUCTORY ELECTROMAGNETICS - Practice Problems and Labs
http://ecee.colorado.edu/~ecen3400/wbf.pdf
Ecuatiile lui Maxwell
http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
Legea fluxului
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law
Legea inductiei electromagnetice
http://en.wikipedia.org/wiki/Faraday%27s_law_of_induction
Legea circuitului magnetic
http://en.wikipedia.org/wiki/Amp%C3%A8re%27s_circuital_law
Relatiile constitutive
http://en.wikipedia.org/wiki/Constitutive_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Permittivity
http://en.wikipedia.org/wiki/Permeability_(electromagnetism)
http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_conductivity
Legea electrolizei
http://en.wikipedia.org/wiki/Faraday%27s_law_of_electrolysis
C
d)t,()t(u rrH
http://faculty.ece.illinois.edu/rao/EM/Complete_FM.pdfhttp://books.google.ro/books/about/Engineering_electromagnetics.html?id=4cXFQgAACAAJ&redir_esc=yhttp://books.google.ro/books/about/Engineering_electromagnetics.html?id=4cXFQgAACAAJ&redir_esc=yhttp://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://www.springer.com/engineering/electronics/book/978-0-387-20156-6http://ecee.colorado.edu/~ecen3400/wbf.pdfhttp://ecee.colorado.edu/~ecen3400/wbf.pdfhttp://www.filestube.com/e/engineering+electromagneticshttp://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equationshttp://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lawhttp://en.wikipedia.org/wiki/Faraday%27s_law_of_inductionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Amp%C3%A8re%27s_circuital_lawhttp://en.wikipedia.org/wiki/Constitutive_equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Permittivityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Permeability_(electromagnetism)http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_conductivityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Faraday%27s_law_of_electrolysis