4

CMPUL MAGNETIC STAIONAR

4.1. STAREA DE MAGNETIZARE I CMPUL MAGNETIC Asupra corpurilor se pot exercita fore i cupluri de natur diferit de a celor

termomecanice sau electrice, numite fore i cupluri magnetice. Experimental se constat c n lipsa unui tratament termomecanic i la stare electrostatic nul, cristalele naturale de magnetit ( )43OFe au proprietatea c ntre ele i asupra corpurilor din fier, cobalt, nichel sau aliaje ale acestora, se exercit fore i cupluri. n aceste condiii se spune c sistemul format de cristalele de magnetit este n stare de magnetizare i c n regiunea din spaiu exist cmp magnetic.

Cmpul magnetic mai poate fi stabilit i de conductoare parcurse de curent de conducie, de corpurile ncrcate cu sarcini electrice aflate n micare i de fluxul electric variabil n timp.

Cmpul magnetic produs de substanele magnetizate se numete cmp magnetostatic. n acest regim mrimile de stare nu variaz n timp i nu au loc transformri de energie.

Cmpul magnetic produs de curentul continuu se numete cmp magnetic staionar ( mrimile de stare nu variaz n timp dar au loc transformri de energie).

Dac regimul este variabil n timp (mrimile de stare variaz n timp), cmpului magnetic i se asociaz inseparabil cmpul electric i mpreun se condiioneaz reciproc, alctuind cmpul electromagnetic. Cmpul magnetic este cmpul electromagnetic considerat din punctul de vedere al proprietilor lui magnetice. La fel ca n cmp electric experiena arat c n vid cmpul magnetic este practic la fel cu cel din aer.

Introducerea mrimii de stare care caracterizeaz cmpul magnetic n vid se poate face studiind aciunile ponderomotoare pe care acesta le exercit asupra corpurilor ncrcate cu sarcini electrice n micare, asupra corpurilor magnetizate, sau asupra conductoarelor parcurse de curent electric de conducie. Aciunile ponderomotoare de natur magnetic n vid se studiaz cu ajutorul induciei magnetice n vid.

128

4.2. INDUCIA MAGNETIC N VID

Explorarea cmpului magnetic n vid se poate face fie cu ajutorul unui corp

de prob ncrcat cu sarcin electric i aflat n micare, fie cu ajutorul unei spire filiforme parcurs de curent electric de conducie.

Se consider un corp de prob ncrcat cu sarcin electric, utilizat pentru explorarea cmpului electric. Meninut imobil n cmp electric, asupra corpului de prob se exercit numai fora electric. Dac punndu-l n micare, se constat c asupra lui se exercit o for suplimentar care depinde de sarcina electric care-l ncarc i de viteza cu care se deplaseaz, n regiunea din spaiu exist cmp magnetic. Deci acest corp de prob pus n micare este adecvat explorrii cmpului magnetic.

Se consider un sistem de corpuri magnetizate i imobile al cror cmp magnetic invariabil n timp urmeaz a fi explorat cu ajutorul unui corp de prob ncrcat cu sarcina electric q i aflat n micare cu viteza v. n afar de condiiile pe care trebuie s le satisfac corpul de prob pentru explorarea cmpului electric n vid, pentru studiul cmpului magnetic corpul de prob trebuie s nu fie magnetizat.

Se msoar fora magnetic care acioneaz asupra corpului de prob de sarcin q i vitez v, suplimentar fa de fora electric. Se constat c fora magnetic Fmq depinde de sarcina q a corpului de prob, de viteza v i de poziia n cmp reperat prin raza vectoare r:

( )rv,FF q,mqmq = . (4.1)

Efectund experiene n diferite puncte din cmp cu corpuri de prob avnd sarcini electrice i viteze diferite, se constat c fora acioneaz perpendicular pe viteza v i este egal cu produsul vectorial dintre viteza i un vector axial depinznd numai de raza vectoare r , notat cu

mqF

v

q

Fmq Bv

v

Fig. 4.1

( )rBv (fig.4.1):

( )rBvF vmq q= . (4.2)

Aducnd ntr-un punct din cmp un corp de prob ncrcat cu sarcina q i punndu-l n micare cu o vitez v a crei orientare corespunde unei fore maxime Fmq, max, modulul vectorului BBv este egal cu raportul dintre modulul forei i produsul qv:

vq

FB maxmq,v = . (4.3)

Mrimea vectorial de stare a cmpului magnetic n vid, care multiplicat vectorial cu produsul dintre sarcina electric q i viteza v a corpului de prob, determin fora magnetic Fmq care se exercit asupra corpului de prob, se

129

numete inducie magnetic n vid BBv. Relaia (4.3) constituie relaia de detectare a induciei magnetice n vid. Deoarece relaia (4.2) s-a determinat experimental, inducia magnetic n vid este o mrime primitiv. Din punctul de vedere al unitii de msur, relaia (4.3) constituie ns o relaie de definiie i prin urmare inducia magnetic n vid este o mrime secundar. Unitatea de msur a lui corespunde vectorului cmp n care asupra corpului de prob ncrcat cu sarcina electric egal cu un coulomb avnd viteza de un metru pe secund n direcia n care fora este maxim, acioneaz o for magnetic egal cu un newton. n sistemul de uniti S.I., unitatea lui se numete tesla [T].

vB

vBFora (4.2) a fost stabilit de H. A. Lorentz n cadrul teoriei microscopice a

cmpului electromagnetic, n care viteza v este raportat la un sistem inerial, diferit de cel utilizat n teoria macroscopic.

Fora magnetic elementar dFmq care acioneaz asupra sarcinii elementare dq aflat n micare cu viteza v n cmpul magnetic de inducie BBv se determin cu relaia (4.2):

vmq qd BvdF = . (4.4)

Dac sarcina este distribuit cu densitate de volum, dq = vdv, mrimea

vvvvmq

mq dvBJBv

dFf === (4.5)

se numete densitate de volum a forei magnetice. Dac sarcina este distribuit cu densitate de suprafa, dq = AdA, mrimea

vvvAmq

smq ldABJBv

dFf === (4.6)

se numete densitate de suprafa a forei magnetice. Pentru sarcina distribuit cu densitate de linie, fora elementar care se

exercit asupra elementului de linie dl al firului C este: mqdF

( ) ( ) vvvvvvvvvvmq idvdv BdsAJBdsdsABJBJBvdF ===== , (4.7)

unde s-a inut seama de faptul c Jv i ds sunt coliniari. Prin urmare fora magnetic asupra firului are expresia:

=C

vvmq i BdsF . (4.8)

i dFmi

Bv ds

Din punctul de vedere al efectelor mecanice, forei Lorentz (4.8) i corespunde fora magnetic, stabilit de Laplace, care acioneaz asupra conductorului filiform parcurs de curentul de conducie i (fig. 4.2), avnd conturul , situat ntr-un cmp magnetic de inducie B

Fig. 4.2 Bv. Curentul i

n conductor reprezint o micare a sarcinilor electrice n interiorul conductorului.

130

Fie dq sarcina electric elementar coninut n volumul elementului de lungime ds al conductorului. De asemenea, se consider c n intervalul de timp dt sarcina elementar dq strbate drumul ds. Prin urmare, n intervalul de timp dt prin fiecare seciune transversal a conductorului trece sarcina electric elementar dq. Deci

intensitatea curentului electric de conducie este: dtdqi = . Rezult,

dsdsv iidtdt

dq == i nlocuind n relaia (4.4) se obine fora magnetic elementar dFmi care acioneaz asupra elementului de lungime ds al conductorului parcurs de curentul electric de conducie i:

vmi i BdsdF = . (4.9)

Prin urmare, fora magnetic Laplace care acioneaz asupra conductorului filiform parcurs de curentul de conducie i (fig. 4.2), avnd conturul , situat ntr-un cmp magnetic de inducie BBv are expresia:

= vmi i BdsF . (4.10)

Analog, densitii de volum a forei Lorentz (4.5) i corespunde densitatea de volum a forei Laplace fm asupra unui conductor masiv parcurs de curentul i care se repartizeaz cu densitatea de curent J. ntr-adevr, fora Laplace elementar care acioneaz asupra elementului de lungime ds al tubului elementar de curent

se calculeaz cu relaia (4.9): dAJ=di

vvvmi dvdi BJBdsdAJBdsdF === . (4.11)

Din relaia (4.11) se obine densitatea de volum a forei Laplace:

vm BJf = . (4.12)

Analog, densitii de suprafa a forei Lorentz (4.6) i corespunde densitatea de suprafa fms a forei Laplace asupra pnzei curentului de conducie de densitate Jl:

vlsm BJf = . (4.13)

n principiu, introducerea mrimii primitive BBv se poate face fie cu ajutorul curentului de convecie iv, fie cu ajutorul curentului de conducie i. Din punct de vedere experimental se prefer curentul de conducie, deoarece este mai simplu de msurat fora Laplace dect fora Lorentz.

Liniile de cmp ale vectorului ( )rBv se numesc linii de inducie magnetic i au ecuaia vectorial:

0v =Bds . (4.14)

131

Ansamblul liniilor induciei magnetice constituie spectrul magnetic. Liniile de cmp se traseaz astfel nct prin fiecare unitate de arie transversal numrul lor s fie proporional cu modulul vectorului . Cmpul magnetic este omogen sau uniform, dac n fiecare punct vectorul are aceeai valoare i orientare, liniile induciei magnetice fiind paralele i echidistante (fig. 4.3).

vBvB

Se consider o curb nchis ; totalitatea liniilor de cmp prin punctele

curbei alctuiesc o suprafa S numit tub de cmp (fig. 4.4). La fel ca n cmp electric nici o linie de cmp magnetic nu neap suprafaa tubului, iar numrul liniilor de cmp prin orice seciune transversal de contur 1,, n este acelai. Dac aria seciunii transversale este infinit mic, tubul se numete elementar.

4.3. INTENSITATEA CMPULUI MAGNETIC N VID Mrimea vectorial definit de raportul vH

0

vv =

BH (4.15)

se numete intensitatea cmpului magnetic n vid. Mrimea este o constant universal, numit permeabilitatea magnetic

a vidului. n sistemul S.I., are valoarea (v. par. 4.4.1): 0

0

= metruHenry104 70 . (4.16)

Relaia (4.15) este similar cu relaia (2.37) i stabilete analogia dintre mrimile care caracterizeaz cmpul electric n vid Ev, Dv i cmpul magnetic n vid Hv, BBv, iar corespondena formal ar fi:

vv HE , respectiv vv BD . (4.17)

Din punctul de vedere al mrimilor primitive i al modului n care ele intervin n expresiile aciunilor ponderomotoare, corespondena formal este:

vv BE , respectiv vv HD . (4.18)

Bv

1n

Fig. 4.3 Fig. 4.4

132

n sistemul de uniti S.I., unitatea lui Hv (v. par. 4.4.9) se numete amper pe

metru

mA .

4.4. CMPUL MAGNETIC PRODUS N VID DE CONDUCTOARE PARCURSE DE CURENI DE CONDUCIE

Cmpul magnetic determinat de conductoarele parcurse de curent continuu

numit cmp magnetic staionar a fost studiat experimental de Biot i Savart. Analiza teoretic a acestor experiene a fost efectuat n principal de Laplace.

Forele care se exercit asupra conductoarelor filiforme parcurse de cureni electrici numite fore electrodinamice au fost experimentate de Andr-Marie Ampre.

Toate experienele menionate au fost efectuate n aer, dar proprietile magnetice ale aerului fiind asemntoare cu cele ale vidului, ele pot fi considerate efectuate n vid.

Teoria cmpului magnetic staionar n vid se elaboreaz pe baza experienelor lui Biot, Savart i Ampre, a principiului aciunii i reaciunii i a superpoziiei efectelor.

n conformitate cu principiul superpoziiei, inducia magnetic stabilit ntr-un punct din vid de n cureni electrici este egal cu suma induciilor , k =1,2,,n, pe care le-ar produce n acel punct fiecare dintre cureni:

vB

kvB

=

= n1k

vv kBB . (4.19)

4.4.1. Experienele lui Ampre

Fie dou conductoare filiforme rectilinii dispuse paralel n vid la o distan r mult mai mic dect lungimea lor i parcurse de curenii i1 i i2 (fig. 5.1). Forele

Laplace respectiv care se exercit asupra unei poriuni de lungime l a firelor au urmtoarele proprieti:

12F 21F

satisfac principiul aciunii i reciunii; fora pe care o exercit primul fir asupra celui de-al doilea este egal i de semn opus cu fora pe care o exercit cel de-al doilea fir asupra primului: F = -F ;

21F

12

l

F12 21

dac firele sunt parcurse de cureni n acelai sens, forele sunt de atracie, iar dac sunt de semne opuse, forele sunt de respingere; n valoare absolut forele sunt proporionale cu produsul curenilor i1 i i2, cu lungimea i invers

proporionale cu distana r:

r

i1 i2 l u12

F12 u21

F21

Fig. 4.5

C1 C2

133

rii2FF 21m2112l== , (4.20)

unde este o constant universal care se refer la proprietile magnetice ale vidului, avnd n S.I. expresia:

m

=4

0m , (4.21)

0 fiind permeabilitatea vidului. Notnd cu u12, respectiv u21 versorii orientai de la firul 1 ctre firul 2, respectiv de la firul 2 ctre firul 1, forele i devin: 12F 21F

12210

12 r2ii uF

= l ; 2121021 r2ii uF

= l . (4.22)

innd seama de definiia amperului (v. par. 3.3), valoarea lui se obine lund r = 1m, =1m, = = 1A, F

0l 1i 2i 12 = F21 = 7102 N, adic,

m1m1

A1A12

N102 07 = ,

de unde rezult

m/H104A/N104 7270 == . (4.23)

4.4.2. Teorema lui Biot Savart Laplace

Se consider un corp ncrcat cu sarcin electric distribuit cu densitate de volum v. ntr-un cmp electric de intensitate Ev, asupra sarcinii electrice elementare, imobile dq = vdv se exercit numai fora electric elementar (2.4):

dFqv = dqEv = v Ev dv. (4.24)

ntr-un cmp magnetic de inducie BBv, asupra elementului de volum dv al unui conductor masiv parcurs de curentul i care se repartizeaz cu densitatea de curent J acioneaz fora elementar Laplace (4.11):

dvvmi BJdF = . (4.25)

Comparnd relaiile (4.24) i (4.25), rezult c se poate stabili urmtoarea coresponden formal:

v J . (4.26)

Din punctul de vedere al mrimilor primitive i al modului n care ele intervin n expresiile aciunilor ponderomotoare, corespondena formal dintre mrimile care caracterizeaz cmpul electric n vid Ev, Dv i cmpul magnetic n vid BBv, Hv este (4.18):

134

, respectiv vv BE vv HD . (4.27)

De asemenea, din relaiile (2.37) i (4.15) rezult urmtoarea coresponden dintre constantele universale 0 i 0 :

00

1 . (4.28)

Pe de alt parte, cmpul electric produs n vid de corpul ncrcat cu sarcin electric repartizat cu densitate de volum v se calculeaz cu relaia (2.110):

= v 3v0v dvr41 rE . (4.29)

innd seama de corespondenele (4.26), (4.27), (4.28) i de relaia (4.29), prin analogie, rezult expresia induciei magnetice stabilite ntr-un punct din vid de conductorul masiv parcurs de curentul de conducie i care se repartizeaz cu densitatea de curent J (fig. 4.6, a):

=

v3

0v dvr4

rJB . (4.30)

n J

Pr

dA

Jl

rP

a bFig. 4.6

Pentru o pnz de curent de densitate Jl pe suprafaa S (fig. 4.6, b) rezult n mod similar relaia:

=

S3

l0v dAr4

rJB . (4.31)

n cazul n care conductorul parcurs de curent este filiform de seciune constant A (fig. 4.7), elementul de volum este dat de relaia:

P

r

ds J A

Fig. 4.7

dsndsA Adv (4.32) = =

i prin urmare, relaia (4.30) devine:

( dsnrJB Ar4 v 3

0v )= . (4.33)

135

Pentru un conductor filiform vectorii J, ds, A sunt paraleli i de acelai sens i deci n relaia (4.33) vectorii J i ds se pot substitui, obinndu-se:

( JnrdsB Ar4 v 3

0v )

= . (4.34) Dar este intensitatea curentului de conducie a crei valoare este constant n lungul curbei nchise care reprezint linia medie de curent din conductor i deci relaia (4.34) devine:

AJ=i

= 30v r4i rdsB . (4.35)

Sensul vectorului rezult din regula burghiului drept care nainteaz perpendicular pe planul format de ds i r, rotindu-l n sensul dup care trebuie adus ds ctre r pe drumul cel mai scurt.

vB

Relaiile (4.30), (4.31) i (4.35) reprezint expresiile teoremei Biot Savart Laplace pentru diferite repartiii de curent electric n conductoare. Dac n aceste relaii se suprim permeabilitatea 0, se obin formulele Biot Savart Laplace de calcul ale intensitii cmpului magnetic n vid pentru diferite repartiii de curent electric n conductoare:

= v 3v dvr41 rJH ; = S 3lv dAr4

1 rJH ;

= 3v r4i rdsH . (4.36)

4.4.3. Cmpul magnetic n vid al unor repartiii de curent electric

a. Cmpul magnetic n vid al unei poriuni rectilinii de circuit filiform, de lungime , strabtut de curentul i. Se consider o poriune de lungime l a unui conductor rectiliniu i filiform parcurs de curentul i i fie P punctul situat la distana r de conductor, n care trebuie calculat inducia magnetic, respectiv intensitatea cmpului magnetic (fig. 4.8). Fie O piciorul perpendicularei din punctul P pe conductor, pe care l alegem ca origine. Inducia magnetic n punctul P se calculeaz aplicnd teorema Biot Savart Laplace (4.35):

l

( )

= 30v R4

iP RdzB , (4.37)

z O dz z

R r 1 2

P(r,,z)

l

Fig. 4.8

A B i

136

unde curba se consider nchizndu-se pe la infinit. Se observ c produsul vectorial Rdz este mereu perpendicular pe

planul figurii i deci se poate scrie ( ) = uRdzRdz ,sindzR , unde este versorul normal pe planul figurii, iar

u

( ) =

= cos2

sin,sin Rdz . Prin

urmare, inducia magnetic stabilit n punctul P de poriunea de lungime a conductorului rectiliniu i filiform este:

l

( ) dzR

cos4

iPB

A2

0v

= uB . (4.38)

innd seama de relaiile :

= tgrz ; = dcosrdz 2 ; = cos

rR (4.39)

i deoarece r este constant, relaia (4.38) devine:

( ) ==

=

2

1

2

1

dcosr4id

cosr

rcoscos

4iP 022

20

v uuB

( 2100 sinsinr4isin

r4i 2

1+ )

== uu . (4.40)

n cazul particular al unui conductor rectiliniu infinit lung, 21 i

22 , se obine:

r2i;

r2i

v0

v == uHuB . (4.41)

Vectorul inducie magnetic BBv este situat n plane transversale pe conductor, tangent la cercul de raz r cu centrul pe conductor i este orientat n

sensul de rotire al burghiului drept care nainteaz n sensul de referin al

i Bv

Fig. 4.9

r u

i Bv Bv

137

curentului i (fig. 4.9). La fel ca intensitatea cmpului electrostatic E al firului rectiliniu uniform ncrcat cu sarcin electric, vectorul inducie magnetic BvB este invers proporional cu distana r pn la fir. Spre deosebire de liniile de cmp ale lui E, care sunt radiale i deschise, liniile lui BBv sunt circulare i nchise.

b. Cmpul magnetic al unei pnze de curent plane, uniforme, de extensie infinit. Se consider un sistem de coordonate carteziene cu originea O n piciorul perpendicularei pe planul pnzei, cobort din punctul P n care se calculeaz

cmpul magnetic (fig. 4.10,a). O fie de lime dx este echivalent cu un fir parcurs de curentul elementar di = Jl dx, unde Jl este densitatea pnzei de curent. Inducia magnetic elementar stabilit n punctul P de firul parcurs de curentul elementar di se calculeaz cu relaia (4.41) n care se nlocuiete i cu di:

di = Jldx dx

x

y

z

O

r

dBv P

Fig. 4.10

Jl

n n

Bv

Bv

b a

=

= uudBr2dxJ

r2di l00

v . (4.42)

Vectorul dBv se descompune n dou componente, dBvx i dBvz dup axele Ox i Oz:

r2dxcosJdB l0vx

= ; r2

dxsinJdB l0vz = . (4.43)

Deoarece dBvz(x) = -dBvz(-x), rezult Bvz = 0. Prima dintre relaiile (4.43) se poate scrie sub forma urmtoare:

( ) dxzx2 zJdxr2 zJdB 22 l02l0vx +== (4.44)

i prin integrare se obine:

2J

zxarctg

2J

zxdx

2zJB l0l022

l0vx

==+

=

. (4.45)

138

Prin urmare, cmpul pnzei de curent plane, uniforme i de extensie infinit este omogen cu liniile induciei magnetice paralele cu planul pnzei (fig. 4.10,b).

c. Cmpul magnetic al unei spire filiforme, plane, circulare parcurs de curent electric. Fie o spir plan circular, de raz a, parcurs de curentul i i un punct P situat pe axa spirei, normal pe planul acesteia, la distana z de acest plan (fig. 4.11). Pentru calculul intensitii cmpului magnetic n punctul P se aplic teorema Biot-Savart-Lapace:

= 3v R4i RdsH . (4.46)

Fiecare element al spirei, de lungime ds, produce un cmp elementar dHv

perpen

O

dicular pe planul determinat de raza vectoare R i elementul de lungime ds. Se consider dou elemente ale spirei, de lungimi ds1 i ds2, diametral opuse. Intensitatea cmpului magnetic elementar stabilit n punctul P de elementul de lungime ds1, conform teoremei Biot-Savart-Lapace este:

31

1v R4i RdsdH = , (4.47)

unde:

rz1 az;dads uurzRuuds ==== . (4.48)

nlocuind n (4.47), se obine : ( )

3rz

1v Razda

4i uuudH

=

, (4.49)

sau,

( )zr31v azR4dai uudH += , (4.50)

unde s-a inut seama de produsele vectoriale, rz uuu = i zr uuu = .

i

R R

r r

ur

ur

uz

ds2=ds u

uz

ds1=ds u

z

dH1 dH2

Fig. 4.11

P

a

139

Similar, se calculeaz intensitatea cm eti stpului magn c elementar abilit n punctul P de elementul de lungime ds2, diametral opus elementului ds1:

32

2v R4i RdsdH = , (4.51)

unde:

rz2 az;dads uurzRuuds +=+=== . (4.52)

nlocuind n (4.51) i innd seama de produsele vectoriale, rz uuu = i

zr uuu = , rezult:

( )zr32v azR4dai uudH += . (4.53)

Aplicnd principiul suprapunerii efectelor, se obine intensitatea cmpului elementar stabilit n punctul P:

( ) z23222

z3

2

z32v1vv

za2

daiR2daia2

R4dai uuudHdHdH

+=

==+= .(4.54)

Integrnd, se obine intensitatea cmpului magnetic stabilit n punctul P de spira circular:

( ) ( ) z23222

023

22

2

zv

za2

aidza2

ai uuH+

=+

=

. (4.55)

Rezult c vectorul intensitate a cmpului magnetic stabilit n punctul P de spira

ult: circular este normal pe planul spirei. n centrul spirei, adic pentru z = 0, rez

zv a2i uH = . (4.56)

d. Cmpul magnetic al unei bobine cilindrice parcurs de curentul i. Fie o bobina cu N spire, lungime l i raz a (fig. 4.12). Dac pasul de bobinare este foarte mic, se poate echiva a fiecare spir a bobinei cu o spir circular. Considerand spirele uniform distribuite pe unitatea de lungime, un element de

lungime dz este echivalent cu

l

dzndzN = spire, unde n este numrul de spire pe unitatea de lungime a bobinei. Curentul elementar care strbate elementul de lungime dz este:

l

dzindziNdi == l (4.57)

140

i produce n punctul P, situat pe axa de simetrie aelementar de intensitate (v. relaia 4.55):

bobinei, cmpul magnetic

( ) ( ) dzza2aindia 2

3

2

zz = udHza2 2

322

z222 +=

+u . (4.58)

Deoarece,

2a

l

r 1 2P z

dz

Fig. 4.12

dzsin

adz,tgaz 2 == , rezult :

zz2

3

z dsin2ind

sina

asin

2in uudH =

= . (4.59)

Integrnd, se obine intensitatea cmpului magnetic stabilit n puncilindric circular:

ctul P de bobina

( ) ( ) z12z122zz iNinsi2inuH = coscos2coscos2dn

1

uu ==

l. (4.60)

Pentru o bobin infinit lung, 0, 21 i relaia (4.60) devine

:

( ) zlzH (iN ul= . 4.61)

Prin urmare, n interiorul unei bobine infinit lungi

Grassmann

a stabilit expres ni filiformi oarecare, generaliznd rezulta

, cmpul magnetic este uniform.

4.4.4. Teorema forelor electrodinamice. Formula lui Ampre-

Cu ajutorul formulei lui Biot Savart Laplace, Grassmann ia forelor electrodinamice ntre curetele obinute de Ampre. Considerm dou fire conductoare 21, parcurse

de curenii i1, i2 (fig. 4.13). Inducia magnetic BB2 ntr-un punct al conductorului 2, stabilit de curentul i1 este:

141

= 12110i rdsB . (4.62) 1

312

2 r4

Fora electrodinamic care se exercit asupra conrelaia (4.10):

ductorului 2 se calculeaz cu ( )

== 1212210 iii rdsdsBdsF .63)

2 123

1222221 r4

. (4

Dezvoltnd dublul produs vectorial, ( ) ( ) ( )1212122 dsdsrr 11212 dsdsrdsds = , rezult:

( ) ( )

= 2 1 2 1 3121212

312

12221 rr4

dsdsrrsF . (4.64)

Deoarece

1210 ii dds

==

=

12122

1223

12

122

r1d

r1gradds

r1grad

rdsrds , prim

,

a integral din

relaia (4.64) se anuleaz

0r1d

r2121 12

1312

1221 =

=

dsrdsds (4.65)

i se obine: 1

ds1

i1

2 i2

ds2

dF12

dF21 r12

Fig. 4.13

( ) = 2 1 312

21221021 r4

ii dsrF

Procednd la fel, se deduce forF12 care acioneaz asupra conductorului 1:

1ds . (4.66)

a electrodinamic

( )

=1 2

321

212121012 r4

ii dsdsrF . (4.67)

Relaiile (4.66) i (4.67) se numesc formulele Ampre-Grasr12 = -r21, forele electrodinamice respect principiul aciunii i reaciunii: F =

4.4.5. Poten cureni de conducie

smann. Deoarece

21F .

ialul magnetic vector n vid al conductoarelor parcurse de

12

innd seama de identitatea,

=rr 11 = JJJJ r

1rotrotr1

rrot

r. (4.68)

== JJ gradrr 33

142

inducia magnetic stabilit ntr-un punct P din vid de un conductor made curentul de conducie i care se repartizeaz cu densitatea de curent Jse determin cu relaia lui Biot Savart Laplace (4.30), care se poate scrie sub

siv parcurs (fig. 4.6, a)

forma:

= == 03030v dvrotdvdv JrJrJB . (4.69) vvv r4r4r4

n relaia (4.68) rot J = 0, deoarece vectorul J se refer la elementul de Deoarece rotorul este aplicat n punctul P n care se determin vectorumagnetic i nu n puncte din interiorul elementului de volum dv, operatorul rotor

volum dv. l inducie

se poate scoate n afara integralei:

=

= 00v dvrotdvrot4JJB . (4.70) vv r4r

Din ecuaia (4.70) rezult c inducia magnetic n vid este rotorul unui vector, notat cu Av, numit potenial magnetic vector n vid,

BBv = rotAv, (4.71)

unde,

= 0 J

vv dvr4

A . (4.72)

Pentru o pnz de curent de densitate Jl pe sumod similar relaia:

prafaa S (fig. 4.6, b) rezult n

= l0v dvJA . (4.73)

v r4

Dac n expresia induciei magnetice stabilitparcurs de curent de conducie (4.35) se ine seama

n vid de un conductor filiform de identitatea:

rrotrot

r1

rrot

r1grad

rr 33dsdsdsdsdsrrds ==== , (4.74)

se obine:

( ) v030v rotr4irot

r4i AdsrdsrB =

==

(4.75)

i deci potenialul magnetic vector n vid al unui curent filiform es

te:

=

i0 dsA . (4.76)

r4v

143

a. Potenialul magnetic vector n vid al uinfinit lung, parcurs de curentul electric i. n coordonate cilindrice (fig. 4.8), ecuaia (4.41) devine:

nui conductor filiform, rectiliniu,

=

uuu iA 0zvr . (4.77) r2r

Integrnd relaia (4.77) ntre un punct de referin siti punctul curent situat la distana r, se obine:

uat la distana r0 de conductor

rrln

2iA 00v

= . (4.78)

Potenialul magnetic vector al unui conlung, parcurs de curentul electric i este propdistanei la fir i se numete potenial logaritmic. Relaia (4.78) este analoag cu expres

originea sistemului de coordonate n centrul spirei, iar axa Oz este perpendicular pe planul spirei

ductor filiform, rectiliniu, infinit orional cu logaritmul natural al

ia potenialului electrostatic al unui fir infinit lung ncrcat uniform cu sarcin electric (2.179).

b. Potenialul magnetic vector n vid al unei spire circulare plane, parcurs

de curent electric. Alegem

z (fig. 4.14). Considerm c punctul P, n care calculm cmpul, este situat la o distan R mult mai mare dect raza spirei, R >> a. Potenialul magnetic vector n punctul P se calculeaz cu relaia (4.76):

=R4

i0v

dsA . (4.79)

Liniile potenialului vector sunt cercuri coninute n plane paralele cui ale cror centre sunt situate pe axa Oz.

am

planul spirei Prin urmare vectorul Av are o singur a de figura 4.14, rezult: component, Av = Av u. innd se

=+= cossina2acosra2a 222

+=++= cosra2razR 22222

22 acossina21cossina2a

+=+= . (4.80)

Deoarece >> a, termenul

2a

este neglijabil i relaia (4.80) devine

i

R x

z

Fig. 4.14

P(z,r,)

:

a

ds

r

O

Linia vectorului Av

144

cossina21 , R (4.81)

sau,

21

cossina211R1

. (4.82)

innd seama de dezvoltarea binomial,

( ) ( ) ...yx!2

1nnyxnxyx 22n1nnn +++=+ (4.83)

unde x = 1, = cossina2y ,

21n = i reinnd numai pr

dezvoltrii, rezult:

imii doi termeni ai

1

+ cossina1

R1 . (4.84)

nlocuind expresia (4.84) n relaia (4.79) i deoarece elementul de lungime al curbei este , se obine:

== uuds dads

v 4

Deoarece,

+

=2

0

0 dcossina1ai uA . (4.85)

+= cossin yx uuu relaia (4.85) devine:

( ) = y

++=

2

0x

0v dcossin

a1ossin4

ai uu-A

c

( ) =+=

sin4

aidcoscossinsin4

ai2

20

y

2

0

2yx2

20 uuu- . (4.86)

Datorit simetriei cilindrice, rezult:

= sin4

ai2

20

v uA . (4.87)

Pentru o bobin cu N spire relaia (4.87) devine:

4 2v= sinaiN

20uA . (4.88)

145

4.4.6. Teorema fluxului magnetic n vid

Se numete flux magnetic, mrimea scalar egal cu integrala de suprafa a rodusului scalar dintre inducia magnetic i elementul de suprafa, cu simbolul

rafaa este deschis S i p

S dac sup dac suprafaa este nchis ,

= dAnB ;

S

vS

v

Fluxul magnetic este o mrime derivat care caracterizeaz global cmpul netic referitor la o suprafa i ensul de referin corespunde

dAnB . (4.89)

mag s sensului versorului n dac suprafaa este nchis ) sau sensului versorsuprafa dA asociat sensului curbei d suprafaa este d

n sistemul de uniti S.I., unitatea de flux magnetic numit weber (Wb) esteegal

=

( ului elementului de ac eschis (S).

cu fluxul magnetic printr-o suprafa plan de un metru ptrat, traversat de

inducia magnetic de un tesla. Dac se aplic operatorul divergen relaiei (4.71) i se ine seama de faptul c divergena rotorului unui vector este identic nul, rezult:

0div v =B . (4.90)

Deci, n fiecare punct din vid, divergena induciei magnetice este identic

ului magnetic n vid. innd seama de relaia (4.90), fluxul magnetic

este nul:

nul. Prin urmare, inducia magnetic n vid este un cmp de vectori solenoidal. Relaia (4.90) constituie forma local a teoremei flux

printr-o suprafa nchis oarecare

0dvdiv vv === BdAB . (4.91) v

Relaia (4.91) constituie forma global a teoremei fluxului magnetic n vid.

Fie o curb nchis trasat pe supr care separ suprafeele desc

afaa nchis hise S i S

( = SS ) (fig. 4.15), avnd versorii nn i = nn '' asociai sensului de referin al curbei .

='

Fluxul prin suprafaa se descompune n diferena fluxurilor 'S i ''S :

''''''

SSS

''v

S

'v dAdAdA

== nBnB . (4.92)

v=

nB

Conform teoremei fluxului magnetic n vid, = 0 (4.91) i deci:

''' SS = . (4.93)

v

n= nB B

S

S

Fi

Bv

n

n

g. 4.15

146

Din teorema fluxului magnetic n vid rezult urmtoarele concluzii importante: pe curba

Din compararea formei locale a teoremeilocal teoremei fluxului magnetic (4.90), rezult c un cmp de vectori B nu are

Fluxul magnetic Sprin orice suprafa deschis S care se sprijin

nchis este acelai (4.93);

fluxului electric (2.100) cu forma

a vsurse (deoarece divBB

iile (4.90) i (4.91), nu exist sarcini magnetice adevrate

ecia i sensul vectorului Bv;

v = 0). Prin urmare, se poate face afirmaia echivalent, c, n concordan cu relasimilare cu sarcinile electrice adevrate sau c n cmpul magnetic nu se pot exercita fore magnetice cu dir ntr-un cmp vectorial pentru care divergena este nul, numit cmp de vectori solenoidal, liniile de cmp sunt totdeauna nchise. Deci liniile induciei magnetice sunt totdeauna linii nchise, deoarece n cmp magnetic nu exist sarcini magnetice ; innd seama de relaia (4.71) i utiliznd teorema lui Stokes, fluxul magnetic printr-o suprafa deschis S care se sprijin pe curba nchis se poate exprima prin relaia:

===S S

vvvS dArotdA dsAnAnB . (4.94)

Se urmrete transformarea integralei de linie din expresia potenialului magnetic vector stabilit de curentul filiform i ntr-un punctintegral de suprafa. n acest sens, se calculeaz produsul scalar dintre vectorul Av i un vector constant oarecare F:

4.4.7. Potenialul magnetic scalar neuniform al cmpului magnetic n vid

P din vid (4.76) ntr-o

dsFAF

= i0v . (4.95) r4

Folosind teorema lui Stokes, se poate scrie:

dAFAF = v

rrot4i

S

0 , (4.96)

unde S este suprafaa spirei filiforme parcurs de curent. Se va utiliza identitatea:

3rF , (4.97)

r1gradrot

r1

r1rot rFFF ==

n care rot F = 0 i 3rr1 rgrad = .

147

Deoarece n expresia potenialului vector (4.76) intervine vectorul de pozir orientat de la spir spre punctul considerat P, iar conform s se calculeze gradientul i rotorul pe suprafaa S a spirei, se va nlocui r prin r

la punctul P pre spir. Prin urmare, relaia (4.96) devine:

ie relaiei (4.96) urmeaz

(r = - r) orientat de s

=S

3'

'0

v )r(4i dArFAF . (4.98)

innd seama de faptul c produsul mixt a trei vectori are proprietatea de permutare ciclic, relaia (4.98) se poate scrie sub forma:

=S

3'

'0

v )r(4i dArFAF . (4.99)

Deoarece vectorul F este oarecare, iar r = - r, rezult:

3r . (4.100)

=

=S

0

S3

0v 4

ir4

i rdAdArA

ia magnetic n punctul P:

Cunoscnd potenialul vector, se poate determina induc

==

S3

0vv r

rot4

irot rdAAB .

(4.101)

Se va utiliza identitatea:

( ) dAdA divr3

, (4.102) rrrdArdArdA gradrr

gradr

divr

rot 3333

+=

0r1

r1gradivdiv 3 =rn care dr =

= . innd seama de faptul c vectorul

element de suprafa dA este constant, identitatea (4.102) devine:

( ) 3r

Utiliznd identitatea:

3 gradrrot rdArdA =

. (4.103)

( ) dAdA + gradrt 3 , (4.104) rrrdArdArdA ++=

ro

rrgrad

rrot

rgrad 3333

0gradr

,0rot,0rot 3 =rn care: r 3 =

= dArdA , relaia (4.103) devine:

( ) 333 rgradrgradrrotdArrdArdA ==

. (4.105)

148

are, innd seama de relaia (4.10considerat P se calculeaz cu relaia (4.101): Prin urm 5), inducia magnetic n punctul

=S

30

v rgrad

4i dArB . (4.106)

Intensitatea cmpului magnetic n punctul P din vid va fi:

P4S 3S 3v gradi

rgrad

4i

rgrad

4i ==

=

dArdArH , (4.107)

unde

=S

3P rdAr (4.108)

de curba curentului filiform din punctul P, situat n care se calculeaz cmpul. Relaia (4.107) se poate scrie i sub forma:

este unghiul solid sub care se ven vid,

Pv 4igrad =

=H mPVgrad , (4.109)

unde mrimea scalar

== S 3PmP r4i

4iV dAr (4.110)

al crei gradient cu semn schimbat este intensitatea cmpului magnetic Hv, se etic scalar.

innd seama de relaia rot gradVm = 0, rezult:

rot Hv = 0,

tul electric de conducie este . a:

elaia n punct de referin P0 i un

punct oarecare P, rezult c potenialul magnetic scalar n punctul P asimilar cu a potenialului electrostatic

numete potenial magn

(4.111)

adic cmpul magnetic n vid (n punctele n care densitatea de curent este nul, J = 0, vezi par. 4.7.1) stabilit de curen irotaional

Relaia (4.109) se mai poate scrie sub form

dVm = - Hvds, (4.112)

dl fiind vectorul poziiei relative a dou puncte infinit vecine, ntre potenialele crora exist diferena dVm. Integrnd rdA = 2rdr (4.112) ntre u

re o expresie

(2.148):

n z

i

r

r

a

h

Fig. 4.16

P

149

=P

PvmPmP

00

VV dsH , (4.113)

0mPVunde este potenialul magnetic scalar al punctului de referin P0.

a. Potenialul magnetic scalar al unei spire plane circulare, parcurs de imea h (fig. aiei (4.108),

ste:

curent electric. Fie un punct P situat pe axa spirei de raz a la nl4.16). Unghiul solid sub care se vede spira din punctul P, conform rele

,dAr

cosrdA

r S 2S 3S 3P

=== nrdAr (4.114)

unde ( ) 22' hrh

rhcos

+== i .

Rezult:

''drr2dA =

( )[ ] ( )

+=+=

+= 22

a

022'

a

0 23

22'

''

Pha

h12hr

1h2hr

drrh2 . (4.115)

Potenialul magnetic scalar n punctul P, conform relaiei (4.110), este:

+ 22 ha24

== PmP h1iiV . (4.116)

ia (4.112) se poate calcula intensitatea cmpului magnetic n punctul P.

Utiliznd rela

( )2322mP

v 2dhH == . (4.117)

2

ha

aidV

+

n centrul spirei, h = 0 rezult:

a2iHv = . (4.118)

rocednd n acest mod, s-a regsit relaia (4.56) stabilit cu ajutorul teoremei Biot Savart Laplace.

netic este o mrime derivat important att teoretic referitor la determinarea naturii cmpului magnetic, ct i aplicativ, fiind o mrime

P

4.4.8. Tensiune magnetic i tensiune magnetomotoare

Tensiunea mag

150

msurondena

.17), n cmp magnetic tensiunea magnetic se definete cu intensitatea cmpului

):

n regimuri statice i staionaeste invariabil n timp i se noteaz

se noteazinstantanee.

adic sensul elementului de arc al curbei C, se numete sens de referin

abil. La fel ca n cazul cmpului electric n care tensiunea electric se definete cu intensitatea cmpului electric, n conformitate cu coresp(4magnetic.

Se numete tensiune magnetic, cu simbolul 12mu , mrimea scalar egal cu

integrala de linie a produselor scalare dintre intensitatea cmpului magnetic i elementul de lungime ds ntre punctele P1 i P2 ale curbei C (fig. 4.17

dsH= 21

12

P

)C(Pvmu . (4.119)

P

P2

ds C

Fig. 4.17

1Hv

re, tensiunea magnetic cu simbolul U ; dac

12m

este variabil n timp cu simbolul 12m

u i se numete tensiune magnetic

Tensiunea magnetic este o mrime derivat care caracterizeaz global cmpul magnetic referitor la o curb C dat, ntre dou puncte ale acesteia. Sensul de integrare,

al tensiunii magnetice de la punctul P1 la punctul P2. Dac se suprim indicii, sensul de referin al tensiunii magnetice se indic explicit printr-o sgeat orientat de la P1 la P2.

Integrala de linie a intensitii cmpului magnetic efectuat pe o curb nchis se numete tensiune magnetomotoare

m

u :

dsH= vmu . (4.120)

nitatea S.I. de tensiune magnetic sau magnetomotoare este aceeacurentului electric, amperul (v. par. 4.4.9).

pul magne

izexpresia (4.109), se calculeaz tcurbei C:

Hv

P1

P

r

dss i s

P2ds C

Ui cu a intensitii

Tensiunea magnetic n cmpul unei spire parcurse de curent. Se consider o curb deschis C de form oarecare n cm

tic al unei spire filiforme s parcurs de nd relaia (4.120), n care Hcurentul electric i (fig. 4.18). Util v se nlocuiete cu

ensiunea magnetic ntre punctele P1 i P2 ale

( ) ( )=== P

PP

v12m gradiu

22

dsdsH CPCP 4 11( )

2mPmPPPVVi = . (4.121)

1214

Dac punctul P1 este un punct curent P i P2 punct de referin P0, din relaia (4.121) se obine expresia potenialului magnetic scalar n punctul P,

1 2

Fig. 4.18

151

=P

P0vmPmP 0

VV dsH ,

identic

4.4.9. Teorema lui Ampre n vid

Dac n cmp electrostatic integrala curbilinie a vectorului Ev n lungul e identic nul

(4.122)

cu relaia (4.113).

0v =

dsEoricrei curbe nchise est , n cmp magnetic relaia

imilas r 0v =

fcut.

1 e.121),

dsH nu este totdeauna satis

Fie o spir filiform parcurs de curentul i i o curb nchis e de form oarecare trasat prin vid i care nu nlnuie curba parcurs de i (fig. 4.19,a). Tensiunea magnetic ntre punctele P i P situate pe curba se calculeaz cu relaia (4

( ) mPmPPPPmP VV4iu 111 == , (4.123)

unde 1P

, respectiv P este unghiul solid sub care se vede curba din punctul P1,

respectiv P. Se parcurge curba nchis e n sensul ei de referin i la limit, pentru , dup parcurgerea curbei e, se obine tensiunea magnetomotoare :

1PP emu

mPPPmPPmPPPmVlimVulimu

1111e == . (4.124)

ajungnn cazul curbei e, potenialul magnetic VmP variaz continuu n lungul curbei,

d n punctul P1 cu aceeai valoare 111 mPmPPPmPVVlim,V = i deci:

0VVu11 mPmPem== .

rent electric este identic nul:

(4.125)

Prin urmare, tensiunea magnetomotoare n lungul unei curbe nchise e de form oarecare trasat prin vid i care nu nlnuie conductoare parcurse de cu

1

i e

P1 P m

A0B0 B

n

i i a b

Fig. 4.19

152

0ue

e vm==

dsH .

iensiunea magnetomotoare n lungul curbei nchise i este:

(4.126)

Fie o curb nchis i care nlnuie spira parcurs de curentul i (fig. 4.19, b). Sensul de referin al curbei este asociat sensului curentului din spira . T imu

( ) ( ) 00ii nBv

mAvm

innd seama de faptul c din punctul A

+== 00AB

u dsHdsHdsH , (4.127)

2A0 i c din punctul B0 curba se vede sub unghiul solid

v

0 faa superioar, respectiv inferioar a curbei se vede sub unghiul solid = 2s , respectiv iA0 =

00B= , rezu

lt:

( ) ( ) ( )===

000 mAmAmAv d4

grad4

dsdsH

000 BBB ii

( )24

i44

sA0 = (4.128)

i2ii sAB 00 === ;

( ) ( ) ( )===

0

0

0

0

0

0

A

nB

A

nB

A

nBv d4

igrad4i dsdsH

( ) ( ) ( )2i . (4.129) 2

4i

4i

4i i

ABiA 000

====

nlocuind expresiile (4.128) i (4.129) n relaia (4.127) se ob

ine:

i2i

2iu

im=+= . (4.130)

Rezult c tensiunea magnetomotoare n lungul unei curbe nchise i de form oarecare este egal cu intensitatea curentului pe care-l nlnuie:

iui

i vm==

dsH . (4.131)

Tensiunea magnetomotoare depinde numai de curentul electric de conducie

rficial sub a pnzei de curent cu densitate Jl sau cur

suprafa deschis care se sprijin pe curba nchis i trasatcurent

pe care l nlnuie curba nchis i i nu depinde de modul cum se repartizeaz n conductoare, care poate fi cu densitate de curent J, cu repartiie supe

eni filiformi ik. Dac iS este o form exclusiv prin vid,

ul electric total pe care l nlnuie curba i este egal cu curentul total iSi , respectiv solenaia

iS (3.37) care neap suprafaa iS . Relaia (4.131) scris sub forma:

153

iii

i SSvmiu ===

chise i trasate prin vid este egal cu curentul total, respectiv solenaia prin orice suprafa deschis care se sprijin pe curba nchis .

Observaie. Integrala curbilinie a intensitiivalori diferite dup cum curba nlnuie (4.131) sau nu nlnuie (4.126) curent

dsH (4.132)

constituie teorema lui Ampre n vid: tensiunea magnetomotoare n lungul unei curbe n

i cmpului magnetic avnd

electric, potenialul magnetic scalar Vm este o funcie de punct neuniform. Dac curba i nlnuie spirele unei bobine cu N spire, teorema lui Ampre

devine:

Niui

i vm==

sau

dsH , (4.133)

Ni0vi

=

dsB . (4.134)

Din relaia (4.131) rezult c n S.I. unitatea de msur pentru tensiunea netomotoare este amperul, iar pentru intensitatea cmpului magnetic amper pe

etru (A/m).

rice n micare, se mai pot exercita aciuni otoare i asupra unor corpuri situate n cmp magnetic, dintre care cele

mai impo m este de exemmagne

magm

4.5. STAREA DE MAGNETIZARE. MOMENTUL MAGNETIC

n afar de conductoarele parcurse de curent de conducie i de corpurile crcate cu sarcini electn

ponderomrtante sunt corpurile feromagnetice. Materialele din aceast clas, cu

plu magnetita, chiar i fr un tratament prealabil produce cmp tic la fel ca sarcinile electrice n micare sau curentul electric de conducie.

Alte materiale din aceast clas cum sunt fierul, oelul, nichelul, cobaltul i aliaje ale acestora, aduse n prealabil n cmp magnetic exterior, dup suprimarea acestuia produc cmp magnetic la fel ca magnetita; n aceast stare ele se numesc magnei permaneni.

Starea corpurilor care n cmp magnetic sunt acionate de fore i cupluri suplimentare fa de cele condiionate de starea lor electrocinetic sau de starea de ncrcare cu sarcin electric n micare, se numete stare de magnetizare, respectiv de polarizare magnetic. Corpurile aflate n stare de magnetizare se numesc magnetizate.

4.5.1. Momentul magnetic

Se consider un cmp magnetic omogen de inducie BBpunct oarecare mici corpuri magnetizate. Orict de mici ar fi aceste corpuri, ele nu

v i se aduc ntr-un

154

pot fi considerate puncte materiale, deoarece sunt acionate de cupluri. Se constat c pentru o anumit orientare a corpurilor n raport cu vectorul Bv, cuplul se anuleaz; dreapta trasat pe corpul aflat n echilibru stabil i orientat n sensul vectorului BB agnetizare. n orice poziie s-ar afla corpul, rotind

v se numete ax de mu-l n jurul axei sale de magnetizare de versor um, cuplul rmne neschimbat,

axa de rotaie formeaz cu versorul um i vectorul BBv un triedru drept n poziia de cuplu maxim. Printr-o analiz similar cu a strii de polarizare electric a unui mic corp dielectric, cuplul Cm care acioneaz asupra micului corp magnetizat are o expresie analoag expresiei cuplului electric (2.39):

vm BmC = . (4.135)

Mrimea vectorial m caracterizeaz starea de magnetizare a micului corp magnetizat i se numete moment magnetic. Deoarece momentul magnetic m, la fel ca cel electric, s-a introdus exclusiv prin interpretarea datelor experimentale, este o mrime primitiv, cu relaia de detectare (4.135). Din punctul de vedere al unitii de m ur, momentul magnetic este o mrime secundar. n sistemul S.I. unitatea de moment magnetic este amper-metru ptrat

s(Am2) (v. par. 4.6.1).

Dac micul corp magnetizat, de moment magnetic m, este situat ntr-un cmp magnetic staionar i local neuniform, asupra acestuia acioneaz n plus i o for Fm care are o expresie similar cu fora electric Fp (2.41):

( ) vvm gradgrad BmBmF =

= . (4.136)

Deoarece produsul scalar vBm crete cu modulul vectorului BB

p magnetic uniform, fora Fm este nul i asupra corpului se exercit numai cuplul Cm (4.135).

Aciunile ponderomotoare ale cmpului magnetic asupra unui mic corp magne gneti

v, fora magnetic Fm tinde s deplaseze corpul magnetizat spre regiunile unde cmpul este mai intens.

n cm

tizat, imobil, de moment ma c m i n stare electrocinetic nul, const din: fora magnetic Fm (4.136), nenul numai n cmp magnetic neomogen; cuplul rezultant Cm,e care conine o component datorat forei Fm i o component de forma (4.135), ( ) vvmme,m grad BmBmrCFrC +=+= , (4.137)

unde r este raza vectoare a punctului n care se gsete corpul magnetizat n raport

), se constat c n cmp magnetic nu intervin rmeni similari cu qEv i . Deoarece n natur nu se constat fore

magnetice paralele i proporionale cu inducia magnetic Bv de

cu originea referenialului. Comparnd expresiile (4.136), (4.137) cu cele corespunztoare din cazul

cmpului electric (2.43), (2.44vqErte

forma qBBc nu exist sarcin magnetic similar sarcinii electrice.

v, rezult

155

4.5.2. Magnetizaia

Starea de magnetizare a unui corp foarte mic este complet caracterizat de momentul su magnetic. Momentul magnetic m este ns insuficient pentru a descrie complet starea de magnetizare a corpurilor masive magnetizate. Descrierea local a strii de magnetizare a unui corp masiv magnetizat necesit introducerea unei mrimi derivate numit magnetizaie.

Prin fragmentarea ment de volum v a

acroscopic a unui corp magnetizat finit, fiecare fragm re un moment magnetic elementar . Starea de magne

mtizare a corpului finit se caracterizeaz local prin mrimea vectorial egal

cu densitatea de volum a momentului magnetic, numit magnetizaie M,

dvd

vlim

0v

mmM == . (4.138)

Momentul magnetic rezultant m al corpului este egal cu integrala magnetizaiei M efectu pe volumul v,

= dvMm . at

(4.139)

Liniile vectorului M sunt situate n interioruPentru majoritatea corpurilor, experiena pune n eviden o dependen mai

mare tic se anuleaz dup suprimarea cmpului

magnetic n care au fost aduse se numesc cu magnetizare temporar, iar mrimile care le caracterizeaz sunt momentul magnetemporar Mt. Corpurile care prezint o magnetizare chiar i n lipsa unui cmp magne magnetic pstreaz o mag

v

l corpurilor.

sau mai mic a strii lor de magnetizare de cmpul magnetic n care se gsesc. Corpurile al cror moment magne

tic temporar mt i magnetizaia

tic produs din exteriorul lor, sau care aduse ntr-un cmpnetizare dup suprimarea cmpului exterior, se numesc cu magnetizare

permanent. Mrimile care caracterizeaz starea lor de magnetizare sunt momentul magnetic permanent mp i magnetizaia permanent Mp.

n general, momentul magnetic m al unui corp magnetizat este egal cu suma dintre o component temporar mt i o component permanent mp,

( ) pvt mBmm += . (4.140)

Relaiei (4.140) i corespunde relaia similar pentru magnetizaii: ( ) pt MHMM += , (4.141)

componenta temporar a momentului lui magncaracterizat numai de componenta permanent m . Un magnet permanent avndform magnetic, introdus n cmp magnetic indic direcia local i sensul induciei magnetice Bv.

unde H este intensitatea cmpului magnetic n corpuri (v. par. 4.7). entru un magnet permanent situat n cmp magnetic exterior slab, P

etic este neglijabil i el este p

cilindric cu axa de magnetizare longitudinal, utilizat ca ac

156

n cmpul magnetic terestru, acul magnetic se opolii magnetici geografici: extremitatea ctre polul nord geografic se numete pol

t extremitate,

uniti S.I., unitatea de

rienteaz cu extremitile ctre

nord al acului magnetic, respectiv cealalpolul sud. n acest sens, poriunile de pe suprafaa corpurilor magnetizate n care liniile magnetizaiei M se termin, respectiv ncep, sunt de polaritate nord, respectiv sud. n figura 4.20 este reprezentat o sfer uniform magnetizat cu polaritile N i S corespunztoare celor dou emisfere n care se termin, respectiv ncep liniile magnetizaiei.

Magnetizaia este o mrime derivat i n sistemul de

magnetizaie se numete amper pe metru

N

Fig. 4.20

S

mA .

DELUL AMPERIAN AL CORPURILOR MAGNETIZATE

4.6. MO

Unui corp magnetizat i

e un cmp magnetic din exterior, ct i din punctul de vedere al producerii de cmp magnetic.

4.6.1. Bu

Un conductor filiform pa nd o curb nchis de arie

curent se calculeaz cu relaia (4.10):

se poate asocia o repartiie fictiv de curent electric, echivalent att din punctul de vedere al aciunilor ponderomotoare exercitate d

cla elementar de curent

rcurs de curent, formfoarte mic (fig. 4.21) se numete bucl elementar de curent.

Aciunile ponderomotoare asupra buclei de curent n cmp magnetic uniform. Fora magnetic Fmb asupra buclei de

plan

i

d

r O

r

vvmb

innd seama de relaia

i BdrB = . (4.142) i drF = 0=dr , rezult c n c

mp magnetic

a

(4.143)

n raport cu un punct oarecare O, cuplul elementar dCbare expresia:

dCb =

Fig. 4.21

cioneaz asupra unei bucle elementare de curent este nul:

Fmb = 0.

uniform fora care

al forei elementare vm i BdrdF =

r dFm = ir (dr BB idr (Bv) = vB r) iBB

v (rdr). (4.144)

Integrnd, se obine:

157

( ) ( )

drrBrr vi , (4.145)

= dBC vb i

unde

02rdi)

2

v

= Br(i v = drB , deoarece vectorul Bv este constant i integrala

curbilinie a uiile:

nei difereniale totale este nul. innd seama de rela

= S

FgradF dAdr , F = Bv

grad (Bv r) =(Bv grad) r + (r grad) B + B rot r + r rot B , (4.147) ui devine:

dr; (4.146)

v v v

expresia cuplul

( ) vSS

vS

vvb )(i drrBC == iigradi BdABdArBdA ==

. (4.148)

Deoarece A , rezult:

nAdA ==

S

vb i BAC = . (4.149)

n relaia (4.149) A este vectorul arie al buclei de curent, iar n este versorul normalei pozitive, al crui sens se stabilete dup regula burghiului dreptcu sensul curentului. Mrimea vectorial egal cu produsul dintre intensitatea curentului i i

rie A al buclei de curent se numete moment magnetic al buclei t mb:

mb = i A .

Cb = mb Bv. (4.151)

nea forei magnetice Fmb (4.10) este:

n raport

vectorul aelementare de curen

(4.150)

Prin urmare, relaia (4.149) devine:

Aciunile ponderomotoare asupra buclei de curent n cmp magnetic neuniform. Lucrul mecanic elementar dLm efectuat prin deplasarea elementar ds a buclei de curent sub aciu

( ) ( ) == vv drotii AdsBdrdsB . (4.152)

== S

vmbm idL BdrdsdsF

innd seama de relaia rot (Bv

ds) = (ds grad) BvB ds divBB divBv = 0 (4.90), relaia (4.152) devine:

v, i deoarece

( )[ ] ( )[ ] === S

vS

vm igradgradidL dABdsdABds

158

( )[ ] ( )[ ]

=== vbvbbv gradgradgrad BmdsBmdsmBds ,

ce care se exercit asupra buclei de curent n cmp magnetic neuniform:

. (4.154)

Prin urmare, n cmp magnetic neomogen asupra buclei acioneaz un cuplu

(4.153)

unde sgeata indic mrimea care se deriveaz. Identificnd relaiile (4.152) i (4.154) se obine expresia forei magneti

= vbmb grad BmF

(4.151) i o for (4.154).

Cmpul magnetic al buclei de curent. Inducia magnetic n vid BBu relaia (4.106):

v a unei bucle de curent se calculeaz c

==S

0v0v r

grad4

iHB

calculeaz cmpul, relaia (4.155) se poate scrie sub forma

3

dAr . (4.155)

Deoarece dimensiunile suprafeei buclei sunt mult mai mici dect distana r pn la punctul n care se

:

=S

=

=

30

S3

0v r

grad4

ir

grad4

dArdAB

i r

3b0

30

30

rgrad

4i

rgrad

4rgrad

4AA === . (4.156)

M

i mrrr

rimea scalar Vb,

3b

b r41V rm=

este potenialul magnetic scalar al buclei elementare de curent. Prin urmare, inducia magnetic n vid Bv i intensitatea c

n vid Hv a buclei elementare de curent se calculeaz cu relaiile:

(4.157)

mpului magnetic

BB = -0 gradVb ; Hv = - gradVb. (4.158)

4.6.2. Teorema echivale i dintre un elementar de curent

m i m

m = m , (4.159)

v

ne mic corp magnetizat i o bucl

Un mic corp magnetizat i o bucl elementar de curent avnd momentele b egale,

b

159

sunt e se exerci xterior, ct i al cmpului magne

Fm , care se calculeaz

chivalente att din punctul de vedere al aciunilor ponderomotoare care t asupra lor dac sunt situate n camp magnetic etic pe care l produc n vidul din exteriorul lor.

n cmp magnetic uniform se exercit asupra micului corp magnetizat de moment m un cuplu Cm, iar n cmp neuniform se exercit i o for

cu relaiile (4.135), respectiv (4.136) :

Cm = m BB

Cb = mb Bv; = . (4.161)

innd seama de relaia (4.159), rezult:

eea ce demonstreaz echivalena din punctul de vedere al aciunilor ponderomotoare. Se consider cazul particular al introducerii corpului magnetizat, respectiv

e inducie magnetic Bv al unei bucle de . 4.22, a i b), asupra buclei de curent se

exercit forele:

vmbmb vbbmb

v ; ( ) vvm gradgrad BmBmF =

= . (4.160)

Conform relaiilor (5.82) i (5.85), aciunile ponderomotoare la care este supus bucla de curent sunt:

( ) vvbmb gradgrad BmBmF b=

Cm = Cb; Fm = Fmb, (4.162)

c

buclei elementare de curent, n cmpul dcurent (fig. 4.22). n cele dou cazuri (fig

= ' grad BmF ; = '' grad BmF , (4.163)

unde BBvm este inducia magnetic produs n vid de micul corp magnetizat, iar BvbB

v respectiv asupra buclei elementare, se exercit forele:

= vm grad BmF ; =

vbmb grad BmF . (4.164)

Fi

este inducia magnetic produs n vid de bucla elementar de curent. n cmpul magnetic de inducie B produs de bucla de curent, asupra micului orp magnetizat,c

g. 4.22

m

Fm

'mbF

a

mb

Fm

''mbF

b

160

Conform principiului aciunii i reaciunii, mb''

mbm'mb , FFFF == i innd seama de

(4.159), rezult:

''mb

'mb (4.165)

FF = , sau

vbvm BB = , (4.166) ceea ce demonstr

eaz i a doua parte a teoremei. Teorema de echivalen este util un corp masiv magnetizat poate fi divizat

ndul lor pot fi substituite prin bucle de curent echivalente. Deci problema cmpului poate fi tratat ca i cum aceasta ar fi n vid.

poate substitui un sistem de bucle de curent parcurse de cureni numii amperieni sau moleculari. Unui fragment de corp magnetizat de forma unei prisme avnd baza A i nlimea h cu magnetizaia M orientat normal pe A (fig. 4.23, b) cu momentul magnetic elementar m

n tratarea cmpului magnetic n corpuri; n mici corpuri magnetizate, iar acestea

la r

4.6.3. Curentul electric amperian

Deoarece un mic corp magnetizat poate fi nlocuit cu o bucl elementar de curent (fig. 4.23, a), fiecrei poriuni elementare a unui corp finit magnetizat i se

AhMhAMMm )()(v === (4.167)

i se asociaz bucla elementar de curent, de arie A i curent amperian elementar im, cu momentul buclei:

Amb im= . (4.168)

e momentelor magnetice m i mb Identificnd expresiil rezult:

AAhM mi)( = , (4.169)

respectiv la limit:

dhM=mdi . (4.170)

m mb=iA

i

m M= v M mb=im A

a b

hA A

Fig. 4.23

161

n regim staionar, orice corp magnetizat poate fi nlocuit din punctul de edere al cmpului magnetic produs, cu o reparti

nct fiecrei prisme elemeno bucl elementar al crei curent amperian dim este dat de relaia (4.170).

Se consider o

are,

v ie fictiv de curent amperian, tare de nlime dh i se asociaz

S suprafa deschis S trasat n

interiorul unui corp masiv magnetizat (fig. 4.24). Se fragmenteaz corpul masiv n prisme elementare ale cror muchii dh sunt tangente curbei , iar fiecrei prisme i corespunde curentul amperian elementar dim dat de relaia se obine: (4.170). Prin integr

adic, intensitatea curmagnetizaiei M n lun

==

SmS roti dAJdAM , (4.172)

adic densitatea curentului amperian Jm e te egal cu rotorul magnetizaiei M,

gnetizate M = const. i deci Jm = 0. Relaia (4.173) este valabil numai n domeniile n

funcie continu de punct. Fie Sd o suprafa de discontinsepar dou domenii n care magnetiza ile M1 i M2 sunt funcii continue (fig.

sub orma unei pnze de curent amperian

volum intervine rotorul superficial:

= dhMmSi , (4.171)

entului amperian prin suprafaa S este egal cu circulaia gul curbei . Transformnd integrala de linie ntr-o integral

de suprafa, se obine:

M dh

n12

Fig. 4.24

M1

M2

S

Jl M n Jlm

b Fig. 4.25

m

d

a

S

m

s

Jm = rot M. (4.173)

n corpurile omogen ma care magnetizaia M este uitate a magnetizaiei care

i4.25, a). n punctele situate pe suprafaa Sd curenii amperieni se repartizeazf i n relaia (4.173) n locul rotorului de

( )rot MMnMJ 1212slm == . (4.174)

La suprafaa de separaie a unui corp magnetizat, magnetizaia n vidul din exteriorul acestuia fiind nul (fig. 4.25, b), rezult:

nMJ =lm , (4.175)

162

unde n este versorul orientat din interiorul corpului spre exterior.

. par. 4.6.2), cmpul unui mic corp magnetizat de moment magnetic m se

:

4.6.4. Cmpul magnetic al corpurilor magnetizate

n conformitate cu teorema de echivalen (vcalculeaz cu relaia (4.156) n care

mm =b

( ) 3v r40 gradmBr= . (4.176)

Pentru un corp masiv magnetizat n care magnetizaia este funcie continu de punct, inducia magnetic elementar dBv stabilit de elementul de volum dv al c rui moment elementar este dm = M dv, se determin cu relaia (4.176):

( ) dvr

grad4

0v

rMdB 3=

. (4.177)

Prin integrare, se obine:

( ) dvr

grad4 3v

0v

rMB = . (4.178)

4.7. INDUCIA MAGNETIC NTENSITATEA CMPULUI MAGNETIC N CORPURI

Fie o bobin cu N spire, parcurs de curentul introdus un corp (fig. 4.26). Sub aciunea cmpului man bobin, corpul se magnetizeaz. Corpul magnetizat se substituie printr-un sistem

tratat a lui sider o curb nchis

u

I I

i, n interiorul creia este gnetic produs de curentul i

de bucle de curent parcurse de cureni amperieni. Deci problema cmpului poate fi ca i cum aceasta ar fi n vid. Ca urmare, se poate aplica teorem

Ampre. n acest sens, se concare nlnuie toate spirele bobinei i se nchide prin vid. Sensul de parcurgere al curbei se asociaz dup regula burghiului drept cu sensul curentului n bobin. Dac S este o suprafa deschis care se sprijin pe curba , curentul total pe care l nlnuie curba este egal cu suma dintre solenaia bobinei Ni i intensitatea curentului amperian mSi . Prin urmare, teorema lui b forma: Ampre (4.134) se scrie s

+= mS00 iNidsB , (4.179) etic n interiorul corpului.

B

J

unde B este inducia magn

n

m

A

mi

Fig. 4.26

163

nlocuind n relaia (4.179) intensitatea curentului amperian cu expresia (4.171), se obine :

mSi

00 += dsMdsB Ni , (4.180)

respectiv,

Ni0

=

dsM

B .

ectorial din paranteza de sub semnul integral se noteaz cu H i se umete intensitatea cmpului magnetic n interiorul corpului:

(4.181)

Mrimea vn

MBH = 0,

(4.182)

Din (4.182) rezult relaia de legtur dintre inducia magnetic B, intensitatea mpului magnetic H i magnetizaia M: c

( )MHB = +0

Mt este proporional cu intensitatea cmpului magnetic H:

B = 0(H + Mt)

1+ m = r (4.185)

se numete permeaRezult:

B = r H = H, (4.186) unde = este permeabilitatea absolut a materialului.

Magnetizaia M este o mrime care caracterizeaz corpul i dac se presupune dat, ar rezulta c induprintr-o relaie liniar, B = 0(

t numai H. Deoarece

. (4.182)

Un material magnetic este izotrop dac sub aciunea unui cmp magnetic avnd orice orientare n corp se magnetizeaz temporar n direcia cmpului i este liniar dac local magnetizaia temporar

Mt = mH, (4.183)

unde mrimea adimensional m se numete susceptivitate magnetic. Dac materialul este fr magnetizaiei permanent, Mp = 0, relaia dintre B,

H i M (4.183) devine:

= 0H + 0mH = 0(1 + m)H, (4.184)

unde mrimea adimensional :

bilitate relativ a materialului.

0

0 rObservaii. a.

cia B nu este independent deoarece se exprim H+M), n funcie de H i M i deci pentru

caracterizarea cmpului magnetic n corpuri ar fi suficien

164

pentru corpurile cu magnetizaie temporar vectorul Mt este funcie de H (4.183), relaia (4.182) are forma: ( ) ( )[ ]HMHHB += 0 i deci pentru caracterizarea cmpului magnetic n corpuri sunt necesare dou mrimi H i B(H).

b. Mrimile H i B sunt mrimi derivate, iar din punctul de vedere al unitilor de msur sunt mrimi secundare. n sistemul de uniti SI, unitatea lui H este amper pe metru (A/m) i a lui B este tesla (T). 4.7.1. Teorema lui Ampre n corpuri

a. Forma integral a teoremei lui Ampre n corpuri. Cu notaia (4.182), relaia (4.181) devine:

== SNidsH (4.187)

nar n corpuri imobile: integrala curbilinie a intensitii mpului magnetic n lungul unei curbe nchise trasat integral n corpuri,

parte n corpuri i n parte n vid, sau integral norice suprafa S .

=rot dAJdAH , (4.188)

rot H = J. (4.189)

Relaia (4.189) constituie forma local sau diferenrotorul intensitii cmpului magnetic ntr-un punct din conductorul parcurs de

t electric este egal cu densitatea de volum a urn

rma local a teoremei lui Ampre

puncte infinit apropiate de Sd n care intens

s i h. Prin suprafaa S

i constituie forma integral a teoremei lui Ampre n corpuri, valabil n regim staionar i cvasistaio

n vid este egal cu solenaia prin

c

b. Forma local a teoremei lui Ampre n corpuri. Dac curentul i este repartizat cu densitatea de volum J, aplicnd relaiei (4.187) teorema lui Stokes se obine:

SS

sau,

ial a teoremei lui Ampre:

curenc entului electric de conducie,

punctele din exteriorul conductoarelor parcurse de cureni electrici, n care 0=J , rot H = 0 i deci H = - gradVm (vezi par.4.4.7).

Relaia (4.189) este valabil numai n domeniile n care intensitatea cmpului magnetic este funcie continu de punct.

c. Fope suprafee de discontinuitate. Fie Sd o suprafa de discontinuitate a cmpului magnetic

care separ domeniile 1 i 2 i fie dou

1

2 Sd

H1

u

t

H2

t

n12

h

s

Fig. 4.27

itile cmpului magnetic H1 i H2 sunt diferite (fig. 4.27). Se consider conturul de form dreptunghiular cu laturile

1

2

H2t

H1t H1n

H2n

165

solenaia S corespunde curentului electric de conducie repartizat cu densitatea pnzei de curent Jl. Tensiunea magnetomotoare se calculeaz cu relaia (4.187):

sss l12 = tJHtH t , (4.190)

unde t este versorul tangenial la Sd, iar n este versorul normalei la suprafaa S. La limit, pentru h 0, se obine:

H2t H1t = Jl . (4.191)

Pe suprafaa de discontinuitate a cmpului magnetic care separ dou mediitic

curentului electric de conducie. Relaia (4.191) reprezint for

de discontinuitate.

re densitatea de curent este nul, se conserv componentele tensitii cmpului magnetic.

Cm

0 tabilit de cure tu

rcu

imobile, diferena componentelor tangeniale ale intensitilor cmpului magneeste egal cu densitatea de suprafa a

ma local a teoremei lui Ampre pe suprafee

Dac Jl = 0, ecuaia (4.191) devine:

H1t = H2t. (4.192)

Pe suprafaa de discontinuitate a cmpului magnetic care separ dou medii imobile pe ca

tangeniale ale in

pul magnetic al unei bobine toroidale parcurs de curentul i. Se consider torul de seciune circular de raz a, diametru median 2r0 i permeabilitate , nfurat uniform cu N spire parcurse de curentul i (fig. 4.28). Dac a

166

Cmpul magnetic al unui conductor cilindri

curentul de conducie i repartizat uniform cu densitatea de curent

c circular de raz a parcurs de

2z ai

= uJ . otive de s sunt cercuri concentrice cu axa

lindr lui. Aplicnd teorema lui Ampre pe un cerc i de raz ri < a (fig. 4.29), se obine

Din m imetrie, liniile cmpului magnetic ci u

:

= dAJdsH , )

sau,

ii S (4.196

2i2ii ra

ir2H = . (4.197)

Din relaia (4.197) rezult intensitatea cmpului magnetic n interiorul conductorului:

i2i ra2i= . (4.198) H

i J

Pentru un cerc e de raz re > a (fig. 4.29), se obine:

iHr2 == dsH , e eee

sau,

(4.199)

H

r

ee r2 4.

Prin urmare, intensitatea cmpuproporional cu distana ri la ax n interiorul

ctorului, invers proporional cu distana re n pe suprafaa conductorului,

iH = . ( 200)

lui magnetic este Fig. 4.29

conduexteriorul acestuia i este maxim

a2iH ar == . (4.201)

luxului magnetic n corpuri. Considerm un onductor filiform rectiliniu i infinit lung parcurs de curentul electric i i situat

ntr-un mediu avnd permeabilitatea constantAmpre pe un cerc de raz r cu centrul pe conductor i innd seama de relaia (4.186), rezult:

4.7.2. Teorema fluxului magnetic n corpuri

a. Forma local a teoremei fc

(fig. 4.30). Aplicnd teorema lui

167

i=

dsB , (4.202)

sau,

ir2BdsBdsB ttt ===

. (4.203)

Din relaia (4.203) se obine:

,r2

iBB t == (4.204)

sau vectorial

( ) == uuB rB

r2i . (4.205)

Vectorul inducie magnetic B este situat n plane transversale pe conductor, ul de raz r cu centrul pe conductor i este orientat n sensul de rotire

al burghiului drept care nainteaz n sensul de referin al curentului i (fig. 4.30). Laelectrostatic E a firului rectiliniu uniform ncrcat cu

tangent la cerc

fel ca intensitatea cmpului

sarcin electric , vectorul inducie magnetic B este invers proporional cu distana r pn la fir. Spre deosebire de liniile de cmp ale lui E, care sunt radiale i deschise, liniile lui B sunt circulare i nchise (v. par. 4.4.3, a).

Calculnd divergena lui B, rezult:

0z

BBr1

rB

rB zrr =

+div++

= B , (4.206)

Prin urmare, teorema fluxul magnetic n vid este valabil i n interiorul corpurilor,

divB = 0 .

Deci, n fiecare punct din cmp, divergen a induciei magnetice este identic nul. D

lt c inducia magnetic n corpuri este rotorul unui vector A numit otenial magnetic vector,

B = rotA . (4.208)

(4.207)

eoarece divergena rotorului unui vector este identic nul, din ecuaia

(4.207) rezup

innd seama de relaia (4.208) i utiliznd teorema lui Stokes, fluxul magnetic printr-o suprafa deschis S care se sprijin pe curba nchis se poate exprima prin relaia:

i BB

t

Bn

Fig. 4.30

r u

168

== dArotdA dlAnA . (4.209) S S

b. Forma integral a teoremei fluxului magnetic n corpuri. Pentru domeniile de variaie

=S nB

spaial continu a mrimilor, innd seama de teorema ivergenei, se obine:

d

0dA =

Fluxul magnetic printr-o suprafa nchis trasat integral n corp, parial n corp i parial n vid, sa

nB . (4.210)

u integral n vid este nul. Din teorema fluxului magnetic n corpuri rezult concluziile prezentate la

paragraful 4.4.6. Relaia (4.126) este valabil numai n domeniile n care inducia magnetic

este funcie continu de punct.

c. Forma local a teoremei fluxului magnetic pe suprafee de discontinuitate. Fie S o suprafa de discontinuitate a induciei magnetice, care dsepar domeniile 1 i 2 n care induciile magnetice BB1 i B2B e

e versorii feelor cilindrului orienta

sunt funcii continude punct (fig. 4.31). Se consider cilindrul elementar a crui generatoare h est

ormal pe S i fie n i nd 1 2acestuia spre exterior. La limit, 0h , fluxul elementar corespunde numai celor dou fee de arii A

i din interiorul

i relaia (4.210) devine:

(B

n

B1n1 + B2B n2) A = 0, (4.211)

respectiv,

B1n

Deci, pe nduciei m pon

ia (4.212) se poate scrie

1H

unde i sunt permeabilitile cel

Din relaiile (4.192) i (4.2

= B2n . (4.212)

suprafee de discontinuitate a agnetice, com entele ei normale i

sunt egale (se conserv). n cazul mediilor liniare rela i sub forma:

1n = 2H2n , (4.213) 1 2 or dou domenii separate de suprafaa Sd.

4.7.3. Teorema refraciei liniilor de cmp magnetic

13) se obine:

t2t1

n22n11 HHHH= . (4.214)

1 SdB1

n1

B1n

2

B2BBB2nn2

A h

Fig. 4.31

169

n1

t11 H

Htg = i n2

t22 H

Htg =Deoarece , relaia (4.2

14) devine:

2

1

2

1

tgtg=

(4.215)

i reprezint teorema refraciei liniilor de cmp magnetic: la trecerea dintr-un ediu cu permeabilitatea 1 ntr-un mediu cu permeabilitatea 2, raportul

tangentelor unghiurilor de inciden 1 i de permeabilitilor.

Se consider o spir conductoare filiform i nedeformabil, de contur parcurs de curent continuu sau cvasista nar i, situat n mediu omogen, izotrop i liniar de permeabilitate co portul pozitiv dintre fluxul

agnetic

mrefracie 2 este egal cu raportul

4.8. INDUCTIVITI

4.8.1. Inductivitatea proprie

ionstant (fig. 4.32). Ra

Sm prin orice suprafa deschis S care se sprijin pe conturul

te sau

interior al spirei i curentul i, este independent de fluxul magnetic i de intensitatea curentului i se numete inductivita inductan proprie L,

0i

L Sd >= . (4.216)

Inducia magnetic ntr-un punct situat pe suprafaa S se calculeaz cu elaia Biot Savart Laplace (4.35),

r

= 3r

4

i rdsB (4.217)

i fluxul magnetic S prin suprafaa desc

his S are expresia:

==

SSS 4

idA rdsnnB

ia de definiie a

S

B

i

3rdA . (4.218)

nlocuind expresia fluxului magnetic (4.218) n relainductivitii proprii a spirei (4.216), se obine:

n S

dA

Fig. 4.32

ds

r

170

==

S3

S

rdA

4iL rdsn . (4.219)

Din relaia (4.219) rezult c inductivitatea proprie a spirei este independent de fluxul magnetic S i de curentul i i depinde de forma i dimensiunile spirei, respectiv de permeabilitatea . n cazul unei bobine cu N spire, suprafaa care inmagnetic este n general o suprafa elicoidal. Astfel, n figura 4.33, a este

haurat a limitat de un contur n form de elice i care formeaz o bobin cu trei spire. Diferitele linii ale cmpului magnetic strbat aceast suprafa de mai multe ori: liniile 4, 5, 6, 7 i 8 de trei ori, iar linia 3 de dou ori. Calculul fluxului magnetic printr-o astfel de suprafa este dificil. Dac ns spirele bobinei ader strns una de alta, se poate utiliza o reprezentare simplificat. Astfel, se poate

tervine n calculul fluxului S

suprafa

considera c fiecare spir a bobinei este nchis (fig. 4.33, b). n acest caz, suprafaa complex S poate fi mprit n mai multe suprafee simple i anume suprafeele S1, S2 i S3 limitate fiecare n parte de cte o spir a bobinei i suprafaa S0 limitat de conturul format de circuitul sursei de alimentare, de conductoarele de alimentare i de poriunile de conductoare care leag diferitele spire ale bobinei. Fluxul magnetic Sf referitor la o suprafa deschis care se sprijin numai pe o spir a bobinei se numete flux magnetic fascicular. Fluxul magnetic S care strbate ntreaga suprafa 3210 SSSSS = limitat de conturul ntregului circuit se numete flux magnetic total i este egal cu suma dintre fluxul magnetic 0 care strbate suprafaa S0 limitat de circuitul de alimentare i fluxurile

fasciculare 1Sf

, 2Sf

, 3Sf

care strbat suprafeele limitate de contururile celor trei spire ale bobinei:

321 SfSfSf0S+++= . (4.220)

Dac dimensiunile seciunii transversale ale conductorului bobinei sunt mult m ic t etrul bobinei i spirele sunt dispuse e liniile induciei magnetice se nchid pr

ai m i dec diams t in toate spirele bobinei (fig. 4.34) i n plus se neglijeaz fluxul 0, se poate nlocui fluxul magnetic total trns nct toa

S

1 876 5 4

S

S

S

S

3 9

2

i 1 8 7 654

S0

3 9

2

i

S2

S1

S3

i iba

Fig. 4.33

Fig. 4.34

171

prin produsul dintre numrul de spire i fluxul magnetic fascicular Sf referitor la o spir,

= SfS N . (2.221)

Fluxul magnetic fascicular

Sf

este stabilit de induc agnetic ia m

= 3iN dsB

i din expresia fluxului magnetic prin bobin,

r (4.222) r4

dA rdsn (4.223) ===

3

S

2

Sf r4

iNNNS

dAB

e obine inductivitatea proprie a bobinei:

s

=

3

S

2

rdA

4NL rdsn . (4.224)

Inductivitatea proprie definit cu ajutorul fluxul exclusiv la domenii din exteriorul conductoarelor filaceast definiie nu poate fi utilizat deoarece nu esurb i prin care s se calculeze fluxul magnetic. Fluxul magnetic prin orice

rat n figura, limitat de conturul interior 2 al spirei, iar i este ftrec prin corpul conductor. Conductorul formnd o singur

spir, fiecare linie a conductorul, prin urmare

ui magnetic se referiforme. n medii conductoare, te posibil alegerea univoc a

c esuprafa deschis care se sprijin pe conturul exterior al spirei parcurse de curentul i (fig. 4.35), este egal cu suma a dou fluxuri:

= e + i, (4.225)

unde e este fluxul magnetic exterior care strbate suprafaa hau

luxul magnetic interior ale crui linii

fluxului magnetic exterior mbrieaz o singur dat ,

=== 222

2 21S

221S

22e dAdA dsAnrotAnB , (4.226)

nde A

= S

agnetic vector ntr-un punct situat pe conturul 2 i are urmtoarea expresie:

u 1 este potenialul m

= i 1dsA . (4.227)

1r41

ex 1 2

r ds1

ds2

Fig. 4.35

172

nlocuind relaia (4.227) n expresia fluxului mdefiniia (4.216) se obine expresia inductiviti

agnetic (4.226) i innd seama de i proprii exterioare Le:

==1 2

r4iL 21ee

dsds . (4.228)

Pentru o bobin cu N spire, se obine:

=1 2

rNL 21

2 dsds . (4.229)

Inductivitatea proprie interioar Li care coreinteriorul conductorului se definete cu ajutorul eni inductivitatea proprie a spirei este L = Le + Li.

4e

spunde cmpului magnetic din ergiei magnetice (v. par. 5.3.4)

n SI unitatea de inductivitate este numit henry (H) i este inductivitatea bobinei prin care curentul de un amper stabilete fluxul magnetic de un weber.

a. Inductivitatea proprie a bobinei toroidale de seciune circular. Utiliznd relaia (4.195) se obine inducia magnetic n interiorul torului:

medliNB = (4.230)

i fluxul magnetic fascicular prin seciunea A = 2

a a torului,

2

medSf l

aiNB === dAB . (4.231) Inductivitatea proprie a bobinei se determin cu relaia (4.216):

A

Alllii memedmedNANaNNL

d

22

22f

===== . (4.232)

Utiliznd relaia (4.61) se obine o expresie similar penproprie a unei bobine cilindrice foarte lungi,

tru inductivitatea

A

NANL2

2 == l , (4.233) l

unde este lungimea bobinei, iar A aria seciunii t

b. Inductivitatea proprie a bobinei toroidale de seciune dreptunghiular. Se

n ilitatea magnetic consta

ransversale. l

consider o bobin cu N spire nfurat pe un inel care are seciunea transversalreptu ghiular i este confecionat dintr-un material cu permeabd

nt. Raza interioar a inelului este a, iar raza exterioar b. nlimea inelului

173

este h (fig. 4.36). Aplicnd cercului de raz r teorema lui Ampre, se obine inducia magnetic n interiorul torului:

r2iNB

= . (4.234)

entru a calcula fluxul fascicP ular f prin seciunea torului, aceaselemente de suprafa foarte nguste, paralele cu axa de simetrie a

ta se descompune n de forma unor fii

torului, a cror arie este (fig. 4.36):

drhdA = , (4.235)

astfel nct:

abhiNr ln

2rd

2hiN b

aS === dAB . (4.236)

Inductivitatea proprie a bobinei, conform definiiei este:

f

aln

2iL

bhNN 2== .