CURS FIZIC CURS FIZIC FARMACEUTIC 4/2008FARMACEUTIC 4/2008

CONF.DR. DOINA DRGNESCUCONF.DR. DOINA DRGNESCU

Agenda cursAgenda curs

Momentul foreiMomentul forei Moment cineticMoment cinetic Micarea de rotaie corpului solid rigid Micarea de rotaie corpului solid rigid Fora centripet; fora centrifugFora centripet; fora centrifug

MOMENTUL UNEI FORE MOMENTUL UNEI FORE FA DE UN PUNCT FIXFA DE UN PUNCT FIX (M (Mf))

M.r. a unui corp - M.r. a unui corp - fora este aplicat unui punct A care se afl la distana fora este aplicat unui punct A care se afl la distana fa de punctul fix Pfa de punctul fix P fora rotete corpul n jurul punctului fixfora rotete corpul n jurul punctului fix

r =r = vectorul vectorul de poziiede poziie al punctului A fa de al punctului A fa de P P MMff= = moment al foreimoment al forei n raport cu P, n raport cu P,

vectorul legat de punctul P, dat de vectorul legat de punctul P, dat de produsul vectorial ntre vectorul produsul vectorial ntre vectorul rr

(de poziie) (de poziie) i vectorul for i vectorul for FF:: Modulul:Modulul:

Direcia:Direcia:

SensulSensul: regula burghiului: regula burghiului

F r F = rr r

sin sinF Fr F r F = =rr r r

( , )F r F rr r

Ec. Dimensional [Mf]S.I = [F] [r] = M L2T-2

U.m. U.m. [[MMff]]S.IS.I = = N mN m

n cazul aciunii mai multor foren cazul aciunii mai multor fore:: Se adun vectorial moment rezultantSe adun vectorial moment rezultant

Cnd suma forelor este 0, corpul va rmne n echilibru:Cnd suma forelor este 0, corpul va rmne n echilibru: rezultant1 1

n n

F Fi i

r Fi i i

= =

= = rr r r

1 10 0

n n

Fi i

Fi i

= =

= = r r

Cuplu de fore. Momentul cupluluiCuplu de fore. Momentul cuplului (c) = = dou fore egale ca modul, paralele, de sens opus, care dou fore egale ca modul, paralele, de sens opus, care

acioneaz asupra unui corpacioneaz asupra unui corp

Rezultanta cuplului este nulRezultanta cuplului este nul ! ! micare de rotaie micare de rotaie Perpendiculara comun la cele dou fore Perpendiculara comun la cele dou fore (d(d11+d+d22=d) ==d) = braulbraul cupluluicuplului Punctul de aplicaie == punctul de rotaie punctul de rotaieSensul de rotaie este cel al cuplului de rotaie este cel al cupluluiDirecia: : ModululModulul::

1 2 1 2 1 2 0F F F F F F= = + =r r r r r r

1 2( , )C F F r rr

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2C

C

C

F F

dar iarFd F d F F F d d dF d

= +

= + = = + =

=

r r r

Momentului cuplului Momentului cuplului c = 0 0 cnd d = 0 cnd d = 0

EEfectul de rotaie al unui cuplu de fore fectul de rotaie al unui cuplu de fore va fi cu att mai mare cu ct forele va fi cu att mai mare cu ct forele sunt mai mari i cu ct braul cuplului sunt mai mari i cu ct braul cuplului este mai mare.este mai mare.

C F d =

MOMENTUL CINETICMOMENTUL CINETIC

= = momentul cantitii de micaremomentul cantitii de micare Considerm un punct material de Considerm un punct material de mas mas mm care se mic cu care se mic cu viteza liniarviteza liniar pe o pe o traiectorie circulartraiectorie circular de raz de raz r r ((origine n centrul de rotaie Oorigine n centrul de rotaie O)) = impuls unghiularimpuls unghiular

Modulul Modulul Direcia Direcia Sensul -Sensul - regula burghiului (sensul de rotaie al punctului material )

Ecuaia dimensional : [ K ] = [ r ] [ m ] [ v ] = M L2 T-1U.m: [K] SI = kg m2/s

Kr

K r p r mV= = r rr r r

sin sin 90 12

K rmV dar K rmVpi

= = = =

( , )K r pr r r

Legile dinamicii pentru micarea circularLegile dinamicii pentru micarea circular Legea foreiLegea forei - - Din L.a II a dinamicii:Din L.a II a dinamicii:

- - Din relaia de definiie a Din relaia de definiie a MMf f ::

LLegea II a dinamicii pentru micarea de rotaieegea II a dinamicii pentru micarea de rotaie n cazul unei interaciuni momentul cinetic al unui corp n n cazul unei interaciuni momentul cinetic al unui corp n

micare circular se modific n timpmicare circular se modific n timp

( )dv dF m a m mvdt dt

= = =

rr r r

F r F = rr r

( ) ( )FF

d dr F r mV r mVdt dt

d Kdar K r mVd t

= =

= =

r r rr r r r

rr rr r

Fd Kd t

=r

r

0d Kd t

r

Legea inerieiLegea ineriei n cazul unui corp n micare circular, n lipsa interaciunilor exterioare (n cazul unui corp n micare circular, n lipsa interaciunilor exterioare (MfMf exterioare exterioare == 0),0), Mcinetic = const. Mcinetic = const.(se conserv )(se conserv ) viteza linear = const. viteza linear = const. iiSe poate scrie:Se poate scrie:

Derivata fiind nul, funcia respectiv este constantDerivata fiind nul, funcia respectiv este constant IntroducndIntroducnd vitez vitezaa unghiular unghiular ::

Notm cu I == moment de inerie moment de inerie

Acceleraia unghiularAcceleraia unghiular

n micarea circular raza este constant astfel nct viteza liniar pe circumferin rmne constant ca urmare a faptului c vectorul K este constant

0 0dKF dt = =

rr

constantK =r

2V r dar K rmV K mr = = =2I mr= K I=

Fdar

d K d dK I K I I Id t d t d t

= = = = =

r rr r rr

dd t

=r

r

2F FI m r = =

rr

Legea conservrii momentului cineticLegea conservrii momentului cinetic

Fie dou corpuri n micare circular avnd momentele cinetice Fie dou corpuri n micare circular avnd momentele cinetice KK1 i i respectiv respectiv KK22; n urma interaciunii lor (ciocnir; n urma interaciunii lor (ciocniree) cele dou corpuri i vor ) cele dou corpuri i vor modifica momentele cinetice n modifica momentele cinetice n KK11 i respectiv i respectiv KK22..

Conform legii conservrii momentului cinetic:Conform legii conservrii momentului cinetic:

SSuma momentelor cinetice nainte de interaciune este egal cu suma momentelor cinetice dup de interaciune

2 21 1K K K K + = +r r r r

MICAREA DE ROTAIE A SOLIDULUI RIGIDMICAREA DE ROTAIE A SOLIDULUI RIGIDSSolid rigidolid rigid == sistem de puncte materiale sistem de puncte materiale ((puncte de maspuncte de mas==elemente ale corpului) elemente ale corpului)

cu distane fixe ntre ele.cu distane fixe ntre ele. se rotete n jurul unui axse rotete n jurul unui ax ffiecare punct de mas efectueaz o micare de iecare punct de mas efectueaz o micare de

rotaie.rotaie.- pentru rotaia unui corp pentru rotaia unui corp impuls impuls (cantitate de micare) p (cantitate de micare) pi i momentul cineticmomentul cinetic K Kii

Dac introducem expresia vitezei liniare n relaia momentului cinetic obinemDac introducem expresia vitezei liniare n relaia momentului cinetic obinem::Momentul cinetic al punctului de mas mMomentul cinetic al punctului de mas mii

Momentul cinetic totalMomentul cinetic total

p m Vi i i=rr

K r m Vi i i iK r m Vi i i i

=

=

r rr

2

2

K m ri i iK m ri i i

=

=

r r

2 2

1 1 1

n n ni i i i i

i i iK K m r m r

= = =

= = = r r r r

I I = = momentul de ineriemomentul de inerie = rezistena pe care o opune un corp aflat n rotaie= rezistena pe care o opune un corp aflat n rotaie [ [ II ] ]S.I.S.I. = Kg m = Kg m22 Momentul de inerie al solidului Momentul de inerie al solidului

Momentul cinetic total al soliduluiMomentul cinetic total al solidului

Caracteristici ICaracteristici I:: arat distribuia masei corpului n raport cu axa de rotaie;arat distribuia masei corpului n raport cu axa de rotaie; poate avea valori diferite funcie de axa de rotaie fa de care este poate avea valori diferite funcie de axa de rotaie fa de care este

calculat;calculat; n rotaie libern rotaie liber, corpurile caut s obin poziia pentru care , corpurile caut s obin poziia pentru care II are are

valoarea cea mai mare.valoarea cea mai mare.DDependent de forma geometricependent de forma geometric a corpului a corpului: : ExempluExemplu: : considerm 2 corpuri cu forme geometrice diferiteconsiderm 2 corpuri cu forme geometrice diferite,, dar mase egale dar mase egale mm11 =m =m22= m= mSe constat c Se constat c momentele de inerie nu vor fi egale i vom avea momentele de inerie nu vor fi egale i vom avea II11 I I22((distribuia maselor fa de axa de rotaie e mai mare la corpul de mas distribuia maselor fa de axa de rotaie e mai mare la corpul de mas mm22))

2

1

ni i

im r I

=

=

K I=r r

Exemplu:

Un patinator care se rotete pe loc are un Un patinator care se rotete pe loc are un moment de inerie de moment de inerie de 5 kg-m5 kg-m22 cnd are cnd are minile ntinse n laterale i de minile ntinse n laterale i de 1 kg-m1 kg-m22 cnd minile sunt aezate pe lng corp. cnd minile sunt aezate pe lng corp.

Dac ncepe s se nvrteasc cu o vitez Dac ncepe s se nvrteasc cu o vitez de de 3 rot/s3 rot/s cnd minile sunt ntinse i apoi cnd minile sunt ntinse i apoi aeaz minile pe lng corp, aeaz minile pe lng corp,

ce ce vitez unghiularvitez unghiular final are? final are?

1 2

( )( ) ( )

11 1 2 2 2 1

2

2rot rots s2

5 kg m3 15

1 kg m

II II

= =

= =

Energia cinetic n micarea de rotaieEnergia cinetic n micarea de rotaie

EcEc a punctului de mas a punctului de mas

EcEc a solidului n micare de rotaie a solidului n micare de rotaie

2 2 2

( ) 2 2i i i i

C im V m r

E

= =

2 2 22

22

( )1 1 1

1

2 2

2

n n ni i

i iC C ii i in

i i Ci

m rE E m r

dar m r I E I

= = =

=

= = =

= =

2

2CIE =

2

2mVE =

CComparaomparaie ntreie ntre mrimile tipice micrii de mrimile tipice micrii de translaie translaie i i rotaierotaie

Micarea translaieMicarea translaie Micarea rotaieMicarea rotaie Spaiul Spaiul SS Unghiul la centruUnghiul la centru Viteza liniarViteza liniar vv Viteza unghiularViteza unghiular AcceleraiaAcceleraia aa Acceleraia unghiularAcceleraia unghiular Fora Fora F = m aF = m a Momentul foreiMomentul forei FF= I MasaMasa mm Moment de inerieMoment de inerie II Cantitate de micareCantitate de micare pp Moment cineticMoment cinetic K = I K = I EEnergia cineticnergia cinetic EEcc==mvmv EEnergia cineticnergia cinetic EEcc==I I

Dinamica micrii de rotaie a solidului rigidDinamica micrii de rotaie a solidului rigidMMrimea caracteristicrimea caracteristic - - momentul cinetic momentul cinetic K K

Legea conservrii momentului cineticLegea conservrii momentului cinetic sausau

Legea inerieiLegea ineriei

n lipsa unei interaciuni, viteza unghiular n lipsa unei interaciuni, viteza unghiular dede rotaie rotaie a a unui corp unui corp trebuie trebuie s se modifice s se modifice astfel nct momentul cinetic astfel nct momentul cinetic (I (I ) ) s rmn constants rmn constant..Legea foreiLegea forei - ntr-o interaciune variaia n timp a momentului cinetic ntr-o interaciune variaia n timp a momentului cinetic este dat de momentul unei foreeste dat de momentul unei fore

1 2 1 2K K K K + = +r r r r

1 1 2 2 1 1 2 2I I I I + = +r r r r

1 1 2 2I I I + =r r r

constantK =r

constant constant

constant 0deci

K I

= =

= =

r r

r r

K I=r r

Fd Kd t

=r

r

LLegiegilele dinamicii pentru corpul dinamicii pentru corpul punctiform punctiform i pentru i pentru corpul solidcorpul solid

LEGEALEGEA Punctul materialPunctul material SolidulSolidul

Mic. Mic. RectilinieRectiliniep = m vp = m v

Mic. Mic. CircularCircularK = r x pK = r x p

Mic. de Mic. de rotaierotaieK = IK = I

conservrii conservrii impulsuluiimpulsului

p = const.p = const. K = const.K = const. K = constK = const

inerieiineriei p = const.p = const. K = const.K = const. K = constK = const

forei (forei (MMf)f) F = m aF = m aF = dp/dtF = dp/dt

F = r x m a F = dK/ dt

F = I F = dK/ dt

FORA CENTRIPET. FORA CENTRIPET. FORA CENTRIFUGFORA CENTRIFUG

F centripetF centripet = = Fora care menine Fora care menine mobilul pe traiectoria circularmobilul pe traiectoria circular

- - orientat mereu spre centrul de rotaie orientat mereu spre centrul de rotaie

L a II a a dinamicii: fL a II a a dinamicii: forei centripete n orei centripete n corespunde o acceleraie avnd aceeai corespunde o acceleraie avnd aceeai direcie cu fora direcie cu fora == acceleraie centripetacceleraie centripet

relaia ntre viteza liniar relaia ntre viteza liniar vv i viteza unghiular i viteza unghiular : : v= v= R R

2Va an cp R= =

2VF ma mcp cp R= =

22( )RF m m R mVcp R

= = =

( )F m Vcp = r rr

Orice for (gravitaional, electromagnetic, etc) poate determina o Orice for (gravitaional, electromagnetic, etc) poate determina o acceleraie centripetacceleraie centripet

Figura: Exemplu de micare circular uniform. O minge fixat cu o bar se afl n micare circular n jurul unei axe de rotaie n sens anti-orar cu o vitez unghiular constant. Viteza mingei este un vector tangenial la orbit i si schimb constant direcia, datorit aciunii forei centripete. Fora centripet este determinat de bara fix.

Conform principiului aciunii i reaciunii forei centripete Fc i se opune o for Conform principiului aciunii i reaciunii forei centripete Fc i se opune o for egal n valoare absolut dar de sens opus egal n valoare absolut dar de sens opus == fora centrifugfora centrifug ((FFcf )

Fora centripet acioneaz asupra corpului n centrul su de greutate. Fora centrifug este aplicat centrului de rotaie.

- pentru V i R = const., FFcf ~ m;- pentru m i R = const., FFcf ~ V 2;- pentru m i = const., FFcf ~ R;- pentru m i V = const. FFcf ~ 1/R.

Concluzii:Pentru corpurile cu aceeai mas i aceeai vitez, fora centrifug este mai

mare pentru corpul aezat mai aproape de centrul de rotaie.Pentru corpurile cu mase i viteze unghiulare egale, corpul mai apropiat de

centrul de rotaie va fi supus unei fore centrifuge mai mici.

2

0cp cpcf cf

cpcf

F F F F

F F ma m R m Vcp

= + =

= = = =

r r r r

cfF mV=

aplicaiiaplicaii

Centrifuga Centrifuga