Legile fundamentale ale mecanicii fluidelor

Caracteristici generale ale fluidelor

Mecanica fluidelor studiază comportarea fluidelor care se află în repaus sau în mişcare.Fluidul este un mediu continuu, infinit divizibil, care îşi modifică forma mult atunci când asupra sa acţionează forţe mici. In categoria fluide intră lichidele şi gazele.Mecanica fluidelor studiază proprietăţile fluidelor la nivel macroscopic, fără a lua în considerare mişcările atomilor sau moleculelor acestora. Aceasta are loc în aproximaţia în care dimensiunile fluidului sunt mult mai mari decât drumul liber mediu al atomilor sau moleculelor (distanţa medie dintre două ciocniri consecutive ale acestora). În caz contrar, fluidul nu mai poate fi considerat un mediu continuu şi pentru a fi studiat este necesară utilizarea unei teorii microcopice, cum ar fi teoria cuantică.

Fluidele sunt caracterizate de o serie de parametri, care descriu starea acestuia în fiecare moment. Aceşti parametri sunt: - densitatea (kg/m3), - presiunea p (N/m2), - câmpul de viteze v

ale diferitelor elemente de fluid,

- temperatura T (K), -vâscozitatea.

Fluidul este un mediu continuu deoarece aceşti parametri au valori bine determinate în fiecare punct al său, în orice moment. Aceşti parametri sunt funcţii continue de punct şi timp.

Un fluid newtonian este un fluid a cărui curgere este identică cu a apei. Un fluid ne-newtonian este un fluid care nu are o vâscozitate bine definită.

Revenim la parametrii care caracterizează un fluid. Densitatea este masa de fluid raportată la unitatea de volum. În cazul unui fluid omogen cu masa m şi volumul V , densitatea este:

V

m . (1)

Pentru un fluid neomogen relaţia (1) defineşte densitatea medie a

acestuia. Pentru definirea densităţii într-un punct se consideră un element de volum infinitezimal dV în jurul punctului respectiv, de masă dm . Densitatea în acest punct este:

dV

dm . (2)

Densitatea unui fluid prezintă în general o variaţie de la punct la punct şi în timp, deci avem:

),(),,,( tryzyx . (3)

Funcţia ),( tr descrie un câmp de densităţi, care este un câmp

scalar. Cele mai mari valoari ale densităţii sunt într-o stea neutronică şi în cazul nucleelor atomice. În tabelul de mai jos sunt prezentate valorile densităţilor pentru diferite substanţe:

Substanţa Densitatea în kg·m-3 Cositor 7310 Iridiu 22650 Titan 4507 Osmiu 22610 Diamant 3500 Platină 21450 Bazalt 3000

Aur 19300 Tungsten 19250 Granit 2700 Uraniu 19050 Mercur 13580 Aluminiu 2700

Grafit 2200 Paladiu 12023 Plumb 11340 Magneziu 1740 Argint 10490 PVC 1300 Cupru 8960 Fier 7870 Apă de mare 1025 Oţel 7850 Apă 1000

Gheaţă 917 Gheaţă 917 Polietilenă 910 Alcool etilic 790 Benzină 730 68

Stele pitice 108-1015

Nuclee atomice 1018

Hidrogen lichid

Densitatea poate să depindă de temperatură şi presiune. În cazul lichidelor această variaţie este slabă, deci densitatea poate fi considerată constantă. În cazul gazelor densitatea prezintă o variaţie mare cu presiunea şi temperatura. Asupra unui fluid acţionează: - forţe exterioare, - forţe interioare.

Forţele exterioare sunt datorate unor cauze exterioare şi se clasifică în forţe de suprafaţă şi de volum. Forţele exterioare de suprafaţă apar datorită acţiunii unor corpuri exterioare care sunt în contact direct cu suprafaţa fluidului. Forţele exterioare de volum acţionează asupra întregului volum de fluid prin intermediul unui câmp fizic (acţiunea unui câmp gravitaţional asupra unui fluid sau acţiunea unui câmp electromagnetic asupra unui fluid încărcat electric). Forţele interioare sunt datorate interacţiunilor dintre diferitele elemente de volum din fluid. Când aceste interacţiuni se realizează prin contactul direct dintre elementele de fluid forţele interioare se numesc forţe de suprafaţă. Dacă interacţiunile se realizează prin intermediul unui câmp, forţele se numesc forţe de volum.

Acţiunea unei forţe exterioare poate fi exprimată prin intermediul presiunii p (N/m2). Presiunea este forţa care acţionează normal pe unitatea de suprafaţă a fluidului:

S

Fp . (4)

În practică, pentru măsurarea presiunii se mai utilizează şi 1atm=1,013·105 N/m2. Dacă forţa variază de la un punct la altul al suprafeţei fluidului este necesară definirea valorii medii a presiunii care este:

dS

dFp , (5)

unde dF este forţa care acţionează normal pe elementul de suprafaţă

dSnSd

, unde n

este versorul normal pe elementul de suprafaţă dS . Dacă presiunea variază de la punct la punct şi în timp avem ),(),,,( trptzyxpp

. Funcţia ),( trp

descrie un câmp de presiuni, care este un câmp scalar.

În cazul unui fluid în mişcare trebuie introdus un câmp de viteze. Viteza este ),(v),,,(vv trtzyx

. Funcţia ),(v tr

descrie un câmp de viteze care este un câmp vectorial. Vâscozitatea este proprietatea fluidului de a se opune la lunecarea unui strat de fluid faţă de straturile vecine. Vâscozitatea determină încetinirea mişcării straturilor de fluid cu viteze mari şi accelerarea celor cu viteze mici. Este caracterizată prin apariţia în fluid a unor forţe tangenţiale de interacţiune între straturile vecine, numite forţe de frecare interne. Vâscozitatea este caracterizată de parametrul de vâscozitate (Pa·s).

Fluidele care prezintă proprietatea de vâscozitate se numesc fluide reale. În această categorie intră gazele reale şi lichidele. Fluidele care nu prezintă proprietatea de vâscozitate se numesc fluide ideale. Modelul fluidului ideal este utilizat ca o primă aproximaţie a fluidelor reale.

Statica fluidelor. Legea fundamentală a staticii fluidelor.

Conceptul de presiune a unui fluid este asociat cu descoperirile lui

Blaise Pascal şi Daniel Bernoulli.

Legea fundamentală a staticii fluidelor (în cazul în care asupra

fluidului acţionează numai forţe exterioare de volum determinate de câmpul

gravitaţional) este dată de:

pg 1

, (6)

În relaţia (6) g

reprezintă vectorul acceleraţiei gravitaţionale şi p este

gradientul câmpului de presiune kz

pj

y

pi

x

pp

.

Blaise Pascal

Daniel Bernoulli

Dacă asupra elementului de fluid considerat acţionează şi alte forţe

exterioare de volum şi rezultanta acestor forţe exterioare de volum se

notează cu f

, legea fundamentală a staticii fluidelor devine:

pf 1

. (7)

Aceasta este o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale de ordinul I. Prin

integrare se obţine câmpul de presiune ),,( zyxpp . Soluţia sa este

complet determinată în cazul în care se specifică condiţiile pe frontiera

fluidului considerat şi este cunoscută dependenţa mărimilor f

şi de

poziţie.

Presiunea hidrostatică. Presiunea hidrostatică este o aplicaţie importantă a legii fundamentale

a staticii fluidelor în cazul unui fluid incompresibil ( .const ). Dacă

avem cazul ),0,0( ggg , din legea fundamentală a staticii fluidelor (6)

rezultă:

gz

p

y

p

x

p

,0,0 . (8)

Presiunea nu depinde de coordonatele x şi y şi depinde de coordonata z şi

avem:

dzgdp . (9)

În cazul unui fluid în repaus, forţa care acţionează asupra unui obiect

este determinată de straturile de fluid de deasupra, situaţie întâlnită în cazul

unui turn de apă.

Presiunea hidrostatică (statică) rezultantă este izotropă şi în conformitate cu

legea lui Pascal rezultă prin integrarea relaţiei (9):

hgp , (10)

unde este densitatea fluidului, g este acceleraţia gravitaţională (9.8 m/s2

) şi h este înălţimea coloanei de fluid ( 2112 ,0, zzhppp ). Legea

lui Pascal exprimă presiunea unui fluid aflat în echilibru mecanic. De

asemenea, conform legii lui Pascal avem diferenţa de presiune dintre două

nivele 1h şi 2h care este dată de:

)( 2112 hhgppp , (11)

unde 1h şi 2h sunt înălţimile coloanelor de fluid. Presiunea hidrostatică nu

depinde de forma recipientului ci numai de diferenţa de nivel dintre straturile

de fluid. De asemenea, din relaţia (11) avem:

)( 2112 hhgpp . (12)

Dacă câmpul de forţe exterioare (de volum) care acţionează asupra fluidului este conservativ (de exemplu, câmpul gravitaţional) atunci forţa de volum

derivă dintr-un potenţial, adică avem UF

şi raportând această forţă la unitatea de masă avem:

Vm

UU

mm

Ff )(

1

, (13)

unde mUV / este potenţialul câmpului exterior. Din relaţiile (13) şi (7) obţinem:

0)(1

Vp

Vp

(14)

şi avem:

.constVp

(15)

Din relaţia (15) rezultă că într-un fluid incompresibil, aflat în repaus într-un câmp exterior de forţe conservative, suprafeţele de presiune constantă sunt şi suprafeţe de potenţial constant (suprafeţe echipotenţiale).

Aplicaţii ale presiunii hidrostatice

- fântâni arteziene, turnuti de apă, diguri, presa hidraulică

Archimede

Dinamica fluidelorDinamica fuidelor studiază fluidele (lichide şi gaze)

aflate în mişcare. Dacă viteza a fluidului în fiecare punct este constantă, curgerea este staţionară. Dacă vitezele variază în mod neregulat de la un punct la altul şi de la un moment la altul, curgerea este turbulentă. Mişcările în care viteza fluidului într-un punct dat depinde de timp se numesc nestaţionare.

Curgerea fluidului poate fi compresibilă sau incompresibilă (fluid compresibil sau fluid incompresibil). Curgerea poate fi vâscoasă sau nevâscoasă (fluid vâscos sau ideal).

Ecuaţia de continuitate

O mărime care caracterizează un fluid aflat în mişcare este debitul volumic VQ care este egal cu volumul de fluid care trece în unitatea de timp

printr-o suprafaţă dată:

)/( 3 smdt

dVQV . (16)

Debitul masic mQ este egal cu masa de fluid care trece în unitatea de

timp printr-o suprafaţă dată:

)/( skgdt

dmQm . (17)

Legătura dintre debitul volumic şi debitul masic este (dV

dm ):

Vm Qdt

dVQ . (18)

Ecuaţia de continuitate exprimă legea conservării materiei. Considerăm un fluid în mişcare, cu un volum V delimitat de suprafaţa închisă S . Masa de fluid din acest volum este:

)(V

dVm , (19)

cu ),( tr densitatea fluidului. Din relaţia (19) avem variaţia masei de

fluid din volumul V în unitatea de timp:

)()( VV

dVt

dVtt

m . (20)

Semnul – indică scăderea în timp a masei de fluid din volumul V .

Avem dSm v sau, în general Sdm v . Masa de fluid care

trece în unitatea de timp prin suprafaţa S este:

)(

vS

Sdt

m . (21)

Din relaţiile (20) şi (21) obţinem:

)()(

vSV

SddVt

. (22)

Utilizând teorema lui Stokes avem:

)()(

)v(VV

dVdVt

(23)

şi

0)v(()(

V

dVt

. (24)

Din relaţia (24) rezultă:

0)v(

t. (25)

Aceasta este ecuaţia de continuitate.

Dacă fluidul este incompresibil ( .const ) gradientul de densitate este zero avem: 0v

. (26) O curgere incompresibilă este descrisă de un câmp de viteze

solenoidal. Vectorul

v

j . (27) este vectorul densităţii fluxului de masă. Direcţia sa coincide cu direcţia mişcării fluidului şi mărimea sa determină cantitatea de fluid care trece în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă orientată normal pe direcţia de mişcare.

Ecuaţia lui Bernoulli

În cazul curgerii unui fluid, o creştere a vitezei determină o scădere a presiunii. Acesta este principiul lui Bernoulli. Acest principiu este o simplificare a ecuaţiei lui Bernoulli

Se consideră curgerea unui fluid ideal (nevâscos) şi incompresibil pritr-un tub de curent (sau conductă) Fig.1 şi se presupune că singura forţă exterioară de volum care acţionează asupra sa este datorată câmpului gravitaţional.

Asupra unui element de volum acţionează forţa de volum de greutate

gdmGd

şi rezultă :

gdm

Gdf

. (28)

Avem ),0,0( ggg şi cu ecuaţia lui Euler fp

dt

d

1v

obţinem pe componente:

z

pg

dt

d

y

p

dt

d

x

p

dt

d

1v

,1v

,1v zyx . (29)

Se înmulţeşte prima ecuaţie (29) cu dx , a doua cu dy şi a treia cu

dz , se adună şi avem:

dzgdzz

pdy

y

pdx

x

p

dt

dzd

dt

dyd

dt

dxd

)(1

vvv zyx , (30)

sau

dzgdpddd 1

vvvvvv zzyyxx . (31)

Pentru viteză avem 2z

2y

2x

2 vvvv şi

)vvvvvv(2)d(v zzyyxx2 ddd şi relaţia (31) devine:

dzgdp 1

)d(v2

1 2 . (32)

De asemenea obţinem:

0)v2

1d( 2 pzg . (33)

Din relaţia (33) rezultă legea lui Bernoulli pentru un fluid ideal, incompresibil aflat într-un câmp gravitaţional uniform:

.v2

1 2 constpzg (34)

În relaţia (34) primul termen reprezintă presiunea dinamică a fluidului, al doilea este presiunea hidrostatică şi cel de al treilea reprezintă presiunea statică.

Legea lui Bernoulli: într-o curgere staţionară a unui fluid ideal, incompresibil, aflat în câmp gravitaţional suma dintre presiunea dinamică, hidrostatică şi statică rămâne constantă de-a lungul unei linii de curent.

În cazul a două secţiuni arbitrare 1S şi 2S ale tubului de curent avem:

222211

21 v

2

1v

2

1pzgpzg , (35)

unde 1v este viteza fluidului la suprafaţa 1S şi 2v este viteza fluidului la

suprafaţa 2S şi 11 hz şi 22 hz sunt înălţimile centrelor suprafeţelor respective.

Fig. 1

Ecuaţia lui Bernoulli exprimă de fapt legea conservării energiei fluidului de-a lungul unei linii de curent.