curs3_mathcad

7/25/2019 Curs3_Mathcad

http://slidepdf.com/reader/full/curs3mathcad 1/7

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii

1. Rezolvarea sistemelor liniare de ecuaţii

Fie sistemul liniar de n ecuaţii cu n necunoscute:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...........................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + =

+ + = + + =

Pentru rezolvarea sistemului, cu pachetul Mathcad, se apelează funcţia lsolve care areca argumente matricea coeficienţilor sistemului şi vectorul termenilor liberi.

Se defineşte matricea coeficienţilor sistemului astfel:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...:

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a A

a a a

=

, iar vectorul termenilor liberi

1

2:...

n

b

bb

b

=

.

Se apelează funcţia lsolve(A,b), urmată de semnul de evaluare a expresiei (=) şi seobţine vectorul coloană al soluţiilor sistemului.

Observa ţ ie: matricea A trebuie să fie matrice pătrată, iar vectorul b să aibă aceeaşidimensiune cu numărul de linii al matricei.

Utilizând facilităţile permise de utilizarea Mathcad-ului legate de definirea vectorilorşi matricelor, se pot găsi şi alte modalităţi de rezolvare a sistemelor liniare de ecuaţii. Omodalitate simplă de rezolvare se obţine dacă ecuaţia matriceală care înlocuieşte sistemulliniar de n ecuaţii cu n necunoscute, de forma:

: A X b⋅ = ,

unde X este vectorul ce are drept componente necunoscutele sistemului:1

2:...

n

x

x X

x

=

,

se înmulţeşte la stânga cu inversa matricei A, rezultând vectorul X de forma:1: X A b

−= ⋅ ,

care urmată de operaţia de evaluare “X=” determină obţinerea soluţiilor sistemului.

Aplica ţ ie: Să se determine soluţiile sistemului liniar de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 13 0

2 3 1

x x x x x x

x x x

− + =− + =

− + + = −

Se definesc:



A

1

1

1−

2−

1−

2

1

3

3

:=

b

1

0

1−

:=

Rezulta solutiile:

X lsolve A b,( ):=

X

1−

1−

0

=

2. Rezolvarea sistemelor neliniarePentru rezolvarea sistemelor neliniare Mathcad-ul dispune de două funcţii: find şi

minerr. Pentru aproximarea soluţiei căutate este necesar să se precizeze un punct iniţial (de

obicei în apropierea soluţiei căutate) cu care va începe procesul iterativ al funcţiilor find şiminerr. Dacă punctul iniţial nu este ales din domeniul de convergenţă al procesului iterativ,procesul nu va converge sau va converge către o altă soluţie.

Cuvântul cheie given trebuie să preceadă ecuaţiile sistemului. Semnul “ ═ ” dintre parteastângă şi partea dreaptă a ecuaţiilor se realizează prin apăsarea simultană a tastelor Ctrl şisemnul = (egal) sau din paleta Evaluation and Boolean Palette.

Aplica ţ ie1: S ă se rezolve sistemul neliniar:

2 2

log 1

0.4 2

220

y x

z

y z x

y z x

= +

= + − ⋅

= + ⋅

Se va rezolva sistemul în apropierea soluţiei: : 1, : 2, z:=2 x y= = .Pentru rezolvarea sistemului se scrie cuvântul rezervat given, apoi, ecuaţiile sistemului

cu semnul “egal” (dintre partea stângă şi partea dreaptă) prin apăsarea simultană a tastelorCtrl şi = (egal) sau din paleta Evaluation and Boolean Palette. Se inserează funcţia minerr şi rezultă soluţia:

1.088

minerr( , , ) 2.624

2.143

x y z

=

.

Aplica ţ ie2: S ă se rezolve sistemul neliniar:2

2 2

tan( )0.5 2 1

x y x

x y

⋅ =

⋅ + ⋅ =,

în apropierea soluţiei : 0.2, : 0.9 x y= = −



Aplica ţ ie3: S ă se rezolve sistemul neliniar: 2 2 6

2

u v

u v

+ =

+ =,

în apropierea soluţiei : 1; : 1u v= =

u 1:= v 1:=

Given

u2 v2+ 6

u v+ 2

Find u v,( )0.414−

2.414

=

Rezolvarea ecuaţiilor

1.

Ecua ţ ii algebrice

Forma generală a unei ecuaţii algebrice este următoarea:1

1 1 0... 0n n

n na x a x a x a−

−⋅ + ⋅ + + ⋅ + = unde:

−

n este gradul polinomului;−

ak sunt coeficienţii polinomului, care pot fi numere reale sau complexe.Rezolvarea ecuaţiei presupune utilizarea funcţiei polyroots care determină toate

rădăcinile polinomului. Pentru aceasta, se defineşte vectorul care conţine coeficienţiipolinomului, ak, (începând cu termenul liber, pe prima poziţie) după care se aplică funcţiapolyroots acestui vector rezultând rădăcinile polinomului P.

Aplica ţ ie: Fie polinomul:

5 4 3 2( ) : 7 3 11 8 0.4 0.9P x x x x x x= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

Se defineşte vectorul coeficienţilor polinomului:0.9

0.4

8:

11

3

7

a

−

= −

Se inserează funcţia polyroots, din meniul Insert - submeniul Function ,

x 0.2:=

y 0.9−:=

given

tan x y⋅( ) x2

0.5x2⋅ 2 y2⋅+ 1

Find x y,( ) 8.464− 108−

×

0.707− =



şi se aplică vectorului a, determinându-se soluţiile ecuaţiei:

2.

Ecua ţ ii transcendente

Pachetul Mathcad utilizează funcţia root pentru rezolvarea acestor ecuaţii. Pentruaplicare funcţiei root trebuie definită ecuaţia, dar şi o valoare, în apropierea unei soluţii a

ecuaţiei, care reprezintă punctul de pornire al procesului iterativ utilizat de această funcţie.Trebuie subliniată importanţa alegerii punctului iniţial cât mai aproape de soluţia căutată.Altfel, funcţia root nu converge la soluţia căutată.

Pentru determinarea valorii iniţiale necesare în aplicarea funcţiei root, se reprezintă grafic funcţia, f(x)=membrul stâng al ecua ţ iei transcendente, iar din meniul Format , comandaGraph, subcomanda Trace… se determină valoarea x0 cu care se iniţializează algoritmulpentru determinarea soluţiei ecuaţiei.

Forma generală de aplicare a funcţiei root este următoarea:

0: x x=

( ( ), )root f x x = , rezultând soluţia ecuaţiei transcendente.

Aplica ţ ie Să se rezolve ecuaţia transcendentă:

cos( )2

x x =

Se reprezintă grafic funcţia ( ) cos( )2

x f x x= − şi se determină valoarea iniţială a

variabilei (x:=1.0297), iar apoi cu funcţia root(f(x),x) se determină soluţia ecuaţiei, ca înfigura următoare.

polyroots a( )

1.711

0.299

0.405

0.588 0.523i

0.588 + 0.523i

=



Observa ţ ie Pentru definirea ecuaţiei de rezolvat, în Mathcad, semnul “ ═ ” dintre membrul stâng şi

drept al ecuaţiei se obţine prin apăsarea simultană a tastelor Ctrl şi semnul = (egal) sau dinpaleta Evaluation and Boolean Palette.

Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor de o variabilă

1. Interpolarea funcţiilor de o variabilă Problema aproximării unei funcţii de o variabilă se poate pune în situaţii diverse,

următoarele două fiind mai frecvente:

1.

funcţia este cunoscută, dar are o formă complicată, dificil de manipulat în calcule;2. funcţia nu este complet cunoscută, fiind date numai valorile ei pe o mulţime discretă şi

finită de puncte.În primul caz, aproximarea se poate face destul de exact, restricţiile fiind legate de

condiţia ca funcţia care aproximează să fie cât mai simplă.În al doilea caz informaţiile sunt reduse şi se completează cu presupuneri suplimentare,

privind gradul de regularitate al funcţiei. Este cazul pe care îl vom prezenta.Fiind dată o funcţie, f , cunoscută prin măsurători efectuate asupra ei, în punctele x

1,...,

xn, numite noduri de interpolare, y

i= f ( x

i), se cere să se determine valoare aproximativă a

acestei funcţii în punctul a≠ xi, (∀)i=1÷n.În Mathcad problema poate fi rezolvată prin interpolare liniar ă sau spline.

1.

Interpolare liniar ă Următoarea secvenţă rezolvă această problemă, realizând o interpolare liniară, prin

funcţia predefinită linterp:



ORIGIN 1

x1

1 x2

1.3 x3

2 x4

2.8 x5

3

y1

1.5 y2

1.3 y3

1.7 y4

1.4 y5

1.

l a( ) linterp x y, a,( ) a 1 1.001, 3.. i 1 5..

l a( )

yi

a xi

,

1 2 31.2

1.4

1.6

1.8

2

l 1.5( ) 1.414=

2.

Interpolare spline aproximează prin funcţii spline caracterizate prin trei formediferite, pe subintervalele dintre două noduri şi prin anumite condiţii de racordare în noduri.

Funcţia predefinită în Mathcad este interp. Astfel, interp(vs,x,y,a) returnează valorileinterpolării spline pentru vectorul y în punctele a. Primul argument al funcţiei interp, vs,returnează vectorul derivatelor de ordinul doi pentru vectorii de date x şi y şi poate fi:

• cspline(x,y), funcţie spline de ordinul trei, curba rezultantă între noduri fiind cubică;•

pspline(x,y), funcţie spline de ordinul doi, rezultând segmente de parabolă racordate înnoduri;

• lspline(x,y), funcţie spline de ordinul întâi, rezultând o linie poligonală între noduri.

Următoarea secvenţă rezolvă aceeaşi problemă, realizând o interpolare spline, prinfuncţia predefinită interp:

ORIGIN 1

x1 1 x2 1.3 x3 2 x4 2.8 x5 3

y1

1.5 y2

1.3 y3

1.7 y4

1.4 y5

1.9

a 1 1.001, 3.. i 1 5..

sc a( ) interp cspline x y,( ) x, y, a,( )

sp a( ) interp pspline x y,( ) x, y, a,( )

sl a( ) interp lspline x y,( ) x, y, a,( )

sc a( )

sp a( )

sl a( )

yi

a a, a, xi

,

1 2 31.2

1.4

1.6

1.8

2

sl 1.5( ) 1.379=

sp 1.5( ) 1.395=

sc 1.5( ) 1.407=



2. Extrapolarea funcţiilor de o variabilă

Pentru extrapolarea funcţiilor de o variabilă se foloseşte funcţia predefinită predict(v,m,n), care determină următoarele n valori estimate în funcţie de m valoriconsecutive ale vectorului v şi în care s-au folosit notaţiile:

v vectorul care conţine valorile date; m, n numere întregi. Aplica ţ ie:

ORIGIN 1

k 1 50..

vk

expk

100sin

k

10.

p predict v 20, 10,( )

i 1 3, 10..

vk

pi

k i 51,

0 20 40 601

0

1

p

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.556

-0.525

-0.49

-0.45

-0.407

-0.361

-0.311

-0.26

-0.207

-0.153

=

curs3_mathcad

Documents