curs3

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 3 MASURI EXTERIOARE

Cursul 3

Denitia 3.9 Fie X 6= ? si : P(X)! [0;1] o masura exterioara pe X. O multime A 2 P(X) se numeste-masurabila daca:

8T 2 P(X) avem (T ) = (T \A) + (T \ cA):

Observatia 3.10 Cum pentru orice A; T 2 P(X) avem

T = T \X = T \ (A [ cA) = (T \A) [ (T \ cA)

si cum este nit subaditiva, rezulta

(T ) (T \A) + (T \ cA):

Prin urmare, pentru a arata ca A este o multime -masurabila, este sucient sa aratam inegalitatea:

(T ) (T \A) + (T \ cA); 8T 2 P(X): (14)

Mai mult, cum inegalitatea (14) este ^ndeplinita daca (T ) = 1, va sucient sa o demonstram doar pentrumultimile T 2 P(X) cu (T )


Cum multimea T 2 P(X) a fost luata arbitrar, rezulta A [B 2M.

2) Daca A 2 M, atunci 8T 2 P(X); (T ) = (T \ A) + (T \ cA) = (T \ ccA) + (T \ cA). Prin urmarecA 2M.

3) Fie T 2 P(X). Deoarece T\? = ?) (T\?) = 0, avem (T ) = (T\X) = (T\c?) = (T\c?)+(T\?).Deci ? 2M.

I^n concluzie, M este o algebra.

Lema 3.12 Fie X 6= ? si : P(X)![0;1] o masura exterioara. Atunci pentru orice (An)n2N M astfel^nca^t Am \An 6= ? pentru m 6= n; avem

[n

An 2M si 8T 2 P(X), T \

[n2N

An

!!=

1Xn=0

(T \An): (19)

Demonstratie. Pentru orice n 2 N consideram armatia:P (n) : 8(Ai)i20;n M astfel ^nca^t Ai \Aj 6= ? pentru i 6= j, avem:

n[i=0

Ai 2M si 8T 2 P(X), T \

n[i=0

Ai

!!=

nXi=0

(T \Ai).

Vom demonstra prin inductie ca P (n) este adevarata pentru orice n 2 N.Fie A0; A1, doua multimi masurabile, asa ^nca^t A0 \A1 = ?. Din Teorema (3.11) avem ca A0 [A1 2M.Cum A0 este masurabila rezulta

8T 2 P(X), (T ) = (T \A0) + (T \ cA0): (20)

Fie T 2 P(X) o multime arbitrara. Lua^nd ^n (20) T := T \ (A0 [A1) obtinem:(T\(A0[A1)) = (T\(A0[A1)\A0)+(T\(A0[A1)\cA0) = (T\A0)+(T\A1\cA0) = (T\A0)+(T\A1)

(^n care am utilizat, A0 \A1 = ?) A1 cA0 ) A1 \ cA0 = A1).Prin urmare, 8A0; A1 2M cu A0\A1 = ?, avem A0[A1 2M si (T\(A0[A1)) = (T\A0)+(T\A1); 8T 2P(X), adica P (1) este adevarata.Presupunem acum ca P (n) este adevarata pentru un n arbitrar si e (Ai)i20;n+1 M astfel ^nca^t Ai \Aj 6= ?

pentru i 6= j. Cum P (n) este adevarata, avem can[i=0

Ai 2M si 8T 2 P(X); T \

n[i=0

Ai

!!=

nXi=0

(T \Ai).

Deoarece P (1) este adevarata, obtinem:n+1[i=0

Ai =

n[i=0

Ai

![ An+1 2 M si 8T 2 P(X);

T \

n+1[i=0

Ai

!!=

T \

n[i=0

Ai

![An+1

!!=

T \

n[i=0

Ai

!!+(T\An+1) =

nXi=0

(T\Ai))+(T\An+1) =n+1Xi=0

(T\Ai).Prin urmare P (n+ 1) este adevarata si atunci, P (n) este adevarata pentru orice n 2 N.Demonstram mai departe ca relatia (19) este adevarata.

Fie (An)n2N M astfel ^nca^t Am \An = ?, pentru m 6= n, si e A =[n2N

An si Bn =

n[i=0

An; 8n 2 N.

Deoarece propozitia P (n) este adevarata, rezulta ca Bn 2M si

8T 2 P(X), (T \Bn) =nXi=0

(T \Ai): (21)

Pe de alta parte, deoarece Bn 2M rezulta

8T 2 P(X); (T ) = (T \Bn) + (T \ cBn): (22)

Fie T 2 P(X) o multime arbitrara. Din (21) si (22) obtinem:

(T ) = (T \Bn) + (T \ cBn) =nXi=0

(T \Ai) + (T \ cBn): (23)

19


Dar Bn A) cA cBn ) T \ cA T \ cBn ) (T \ cA) (T \ cBn) si atunci, din (23) rezulta:

(T ) nXi=0

(T \Ai) + (T \ cA); 8n 2 N: (24)

Treca^nd la limita ^n (24) cu n!1 obtinem:

(T ) 1Xn=0

(T \An) + (T \ cA): (25)

Deoarece este numarabil subaditiva si T \A = T \ [n2N

An

!=[n2N

(T \An), rezulta

(T \A) 1Xn=0

(T \An) (26)

Atunci, din (25) si (26) obtinem(T ) (T \A) + (T \ cA);

care este o conditie sucienta pentru ca A sa e o multime masurabila. Deci A 2M.I^n continuare, lua^nd ^n (25) T := T \A, obtinem

(T \A) 1Xn=0

(T \A \An| {z }An

) + (T \A \ cA| {z }?

) =1Xn=0

(T \An): (27)

Atunci, din (26) si (27) rezulta

T \

[n2N

An

!=

1Xn=0

(T \An):

Teorema 3.13 Fie X 6= ? si : P(X)! [0;1] o masura exterioara pe X. Atunci M este o algebra, iarrestrictia jM este o masura pe clasa M.Demonstratie. Din Teorema 3.11 rezulta ca M este o algebra.Fie un sir (An)n2N M. Din Propozitia 1.17 rezulta ca

9(Bn)n2N M astfel ^nca^t[n2N

Bn =[n2N

An si Bn \Bm = ? pentru n 6= m.

Din Lema 3.12 rezulta atunci ca[n2N

Bn 2M si deci[n2N

An 2M. Prin urmare M este algebra.

Aratam mai departe ca este o masura pe M. Fie un sir (An)n2N M astfel ^nca^t An \ Am = ?, pentrun 6= m. Din Lema 3.12 avem:

8T 2 P(X); T \

[n2N

An

!=

1Xn=0

(T \An):

Lua^nd T := X obtinem

[n2N

An

!=

1Xn=0

(An). Deci este numarabil aditiva.

Deoarece (?) = 0


Demonstratie. Din Teorema II de prelungire (Teorema 3.7), lui ^i asociem masura exterioara cu proprie-tatea ca jC = . Lui ^i asociem multimea M care este o algebra, iar jM este o masura (conformTeoremei 3.13). Fie e = jM .Vom arata ^n continuare ca C M . Pentru aceasta e A 2 C si e T 2 P(X) asa ^nca^t (T ) < 1. Atunci,din denitia lui , pentru un " > 0; 9(An) C astfel ^nca^t

T [n2N

An si1Xn=0

(An) < (T ) + ": (28)

Cum A;An 2 C si C este un inel, avem ca An \A 2 C si An \ cA = AnnA 2 C. Deoarece jC = , rezulta atuncica (An \A) = (An \A) si (An \ cA) = (An \ cA).Pe de alta parte

(T ) = (T \X) = (T \ (A[ cA)) (T \A)+(T \ cA) [n2N

(An \A)!+

[n2N

(An \ cA)!

1Xn=0

(An \A) +1Xn=0

(An \ cA) =1Xn=0

(An \A) +1Xn=0

(An \ cA) =1Xn=0

[(An \A) + (An \ cA)] =1Xn=0

(An \ (A [ cA)) =1Xn=0

(An)(28)< (T ) + ".

Obtinem astfel(T ) (T \A) + (T \ cA) < (T ) + "

si cum " > 0 a fost luat arbitrar, obtinem (T ) = (T \A) + (T \ cA). Prin urmare

(T ) = (T \A) + (T \ cA); 8T 2 P(X) cu (T )


Din Propozitia 1.17, pentru sirul (An) C, exista un sir (Bn) C asa ^nca^t[n2N

Bn =[n2N

An, Bn An; 8n 2 N

si Bm \Bn = ?, pentru m 6= n. Fie B =[n2N

Bn. Atunci B 2 A si

e(B) = e [n2N

Bn

!=

1Xn=0

e(Bn) (55)= 1Xn=0

(Bn)(55)=

1Xn=0

(Bn) =

[n2N

Bn

!= (B):

Deci e(B) = (B) = 1Xn=0

(Bn): (31)

Cum Bn An; 8n 2 N, rezulta (Bn) (An); 8n 2 N si deci

e(B) = 1Xn=0

(Bn)1Xn=0

(An)(30)< e(A) + ":

Atunci e(B) < e(A) + ": (32)Din A

[n2N

An = B rezulta

(A) (B) (31)= e(B) (32)< e(A) + ":Deci (A) < e(A) + " si cum " > 0 a fost luat arbitrar, obtinem

(A) e(A): (33)Prin urmare, am demonstrat ca

8E 2 A cu e(E)


Observatia 3.18 Daca masura (pe inelul C) nu este -nita, pot exista mai multe prelungiri ale lui la A(C).De exemplu, sa consideram X o multime innita si C un inel de submultimi ale lui X asa ^nca^t orice multimenevida din C este innita (un exemplu de astfel de inel este cel din Exercitiul 1.3(3)). Fie functia de multime : C ! [0;1], denita prin

(A) =

0; pentru A = ?1; pentru A 6= ? ; 8A 2 C:

Este evident ca este numarabil aditiva si deci este o masura. Observam de asemenea ca nu este -nita.Fie acum 1 : P(X)! [0;1], denita prin

1(A) =

0; pentru A = ?1; pentru A 6= ? ; 8A 2 P(X)

si e 2 prima masura din Exercitiul 2.7. Atunci 1 si 2 sunt masuri care prelungesc pe la P(X) (deci si laA(C)), iar 1 6= 2.

Observatia 3.19 Daca aplicam procedeul Caratheodory prelungirii Caratheodory a unei masuri, nu obtinem oprelungire "mai buna", la o clasa mai ampla de multimi, ci se obtine tot prelungirea Caratheodory.

Teorema 3.20 Fie X 6= ?, C P(X) un inel astfel ^nca^t 9(En) C cu X =[n2N

En si e : C ![0;1] o

masura. Atunci (e) = si ee = e.Demonstratie. Vom demonstra mai ^nta^i ca (e) = . Pentru aceasta, e A 2 P(X) si e un sir (An)n2N M astfel ^nca^t A

[n2N

An. Deoarece este o masura exterioara, obtinem ca:

(A) [n2N

An

!

1Xn=0

(An) =1Xn=0

e(An)Cum sirul (An) a fost luat arbitrar ^n M cu A

[n2N

An, obtinem:

(A) inf( 1Xn=0

e(An) j (An)n2N M cu A [n2N

An

)= (e)(A): (39)

Fie acum (An)n2N C astfel ^nca^t A [n2N

An. Deoarece (e) este o masura exterioara si pentru orice E 2 Cavem (e)(E) = e(E) = (E), rezulta:

(e)(A) (e) [n2N

An

!

1Xn=0

(e)(An) = 1Xn=0

e(An) = 1Xn=0

(An):

Cum sirul (An) a fost luat arbitrar ^n C cu A [n2N

An, obtinem:

(e)(A) inf ( 1Xn=0

(An)j (An)n2N C cu A [n2N

An

)= (A): (40)

Din (39) si (40) rezulta ca (e)(A) = (A) si cum multimea A a fost luata arbitrar ^n P(X), obtinem (e) = .Prin urmare M(e) =M si atunci ee = (e)jM(e) = jM = e.Observatia 3.21 Prin procedeul Caratheodory, pleca^nd de la o masura pe inelul C, am obtinut ca A(C) M P(X). Se pune atunci resc ^ntrebarea daca incluziunile sunt stricte? De asemenea, daca A(C) esteinclusa strict ^n M , ce multimi mai contine M pe la^nga cele din A(C)? Pot reprezentate acestea folosindmultimile din A(C)? Vom raspunde la aceste ^ntrebari ^n paragrafele urmatoare.

23

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 4 MASURI COMPLETE

4 Masuri complete

Denitia 4.1 Fie X 6= ? si C P(X) un inel de multimi. O masura : C ![0;1] se numeste completa daca

8A 2 C cu (A) = 0; P(A) C:

Propozitia 4.2 Fie X 6= ? si : P(X)![0;1] o masura exterioara pe X. Atunci e = jM este o masuracompleta.

Demonstratie. Fie A 2 M astfel ^nca^t e(A) = 0. Fie B A si e T 2 P(X) o multime arbitrara. Atunciavem:

T \B B A) (T \B) (A) = 0;de unde rezulta ca (T \B) = 0. Prin urmare

(T ) (T \ cB) = (T \ cB) + (T \B);

fapt ce determina ca B este masurabila. Cum B a fost luata arbitrar ^n P(A), rezulta ca P(A) M si decie este o masura completa.Denitia 4.3 Fie X 6= ?, C P(X) un inel de multimi si : C ![0;1] o masura. O multime A 2 C senumeste neglijabila daca (A) = 0.

Exercitiul 4.4 Fie X 6= ?;A P(X) un inel si : A ![0;1] o masura. Notam cu I familia multimilorneglijabile, adica I = fI 2 A j (I) = 0g. Fie A = fA Xj 9A 2 A, 9I 2 I astfel ^nca^t AA Ig. Au locurmatoarele:

1. I este un inel.2. A = fABj A 2 A, B 2 P(X) astfel ^nca^t 9I 2 I cu B Ig:3. A A:4. Daca este o masura completa atunci A =A:5. A este un inel:6. Fie A 2 A si A1; A2 2 A, I1; I2 2 I astfel ^nca^t AA1 I1 si AA2 I2: Atunci A1A2 2 I si

(A1) = (A2):

Observatia 4.5 Punctul (6) din Exercitiul 4.4 ne asigura ca este bine denita functia : A ! [0;1],

(A) = (A); 8A 2 A si A 2 A astfel ^nca^t 9I 2 I cu AA I:

Teorema 4.6 (Teorema IV de prelungire) Fie X 6= ?;A P(X) un inel si : A ![0;1] o masura.Functia , denita mai sus, este o masura completa pe A asa ^nca^t jA = .Demonstratie. Din punctul (5) al Exercitiului 4.4, rezulta ca A este un inel. Aratam ^n continuare ca este numarabil aditiva. Fie un sir (An)n2N A astfel ^nca^t Am \An = ?, pentru m 6= n.Pentru ecare n 2 N, deoarece An 2 A, exista An 2 A si In 2 I astfel ^nca^t AnAn In. Deci (An) =(An);8n 2 N.Consideram sirul (Bn)n2N, denit prin:

B0 = A0 si Bn = Annn1[k=0

Ak; 8n 2 N:

Din Propozitia 1.17 avem ca (Bn)n2N A, Bn An; 8n 2 N,[n2N

Bn =[n2N

An si Bm \Bn = ?; pentru m 6= n.Obtinem atunci:

AnBn =

Ann

n1[k=0

Ak

!

Ann

n1[k=0

Ak

!

n[k=0

(AkAk) n[

k=0

Ik:

24


Din Exercitiul 4.4(1), I este un inel si cum I0; I1; ::::; In 2 I, obtinem can[

k=0

Ik 2 I. Atunci avem:

AnBn n[

k=0

Ik 2 I

AnAn In 2 I

9>=>; Ex. 4.4(6)) (An) = (Bn)Prin urmare

(An) = (Bn); 8n 2 N: (41)De asemenea, au loc urmatoarele: [

n2NAn

![n2N

An [n2N

AnAn

[n2N

In

I este inel(In)n2N I

)[n2N

In 2 I

A este inel(An)n2N A

)[n2N

An 2 A

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;)[n2N

An 2 A si [n2N

An

!=

[n2N

An

!:

Atunci rezulta:

[n2N

An

!=

[n2N

An

!=

[n2N

Bn

!=

1Xn=0

(Bn)(41)=

1Xn=0

(An) =1Xn=0

(An):

Deci este numarabil aditiva.Pentru orice A 2 A avem AA = ? 2 I, de unde deducem ca A 2 A. Deci A A si 8A 2 A, (A) = (A).Prin urmare este o masura pe A si jA = .Aratam ^n continuare ca este completa. Fie A 2 A astfel ^nca^t (A) = 0. Atunci exista A 2 A si I 2 I cuAA I. Deoarece (A) = (A) = 0, rezulta ca A 2 I si deci A [ I 2 I.I^ntruca^t AA I, rezulta A = A(AA) A [ I. Atunci, 8B A, avem B? = B A [ I 2 I si deciB 2 A. I^n consecinta, este o masura completa.

Observatia 4.7 I^n conditiile teoremei anterioare, A se numeste completatul lui A, iar se numeste completatalui . Daca este o masura completa, atunci A = A si = .

Propozitia 4.8 Fie X 6= ? si A P(X) un inel. Daca : A ![0;1] este o masura nita, atunci esteo masura nita.Demonstratie. Fie A 2 A. Atunci 9A 2 A, 9I 2 I asa ^nca^t AA I. Deoarece este nita, pentruA 2 A, 9(An)n2N A astfel ^nca^t A =

[n2N

An si (An)


Prin urmareAM (42)

Aratam acum incluziunea inversa. Fie A 2M asa ^nca^t e(A)

curs3

Documents