CURS 213.03.2014

CUPRINS

4.7. NOŢIUNI DE TEORIA STRATULUI LIMIT Ă4.7.1. Generalități

4.7.2. Ecuaţiile mişcării în stratul limit ă (Prandtl)

4.7.3. Desprinderea stratului limită şi rezistenţa de formă

4.7. NOŢIUNI DE TEORIA STRATULUI LIMIT Ă4.7.1. Generalit ăți

Metoda are la bază o idee a lui Ludwig Prandtl:domeniul de curgere a fluidului a fost împărţit în două zone a) zona de lângă perete - stratul

limită - în care fluidul se comportă ca un fluid foarte vâscos, chiar în cazul unor coeficienţi de vâscozitate scăzuţi, datorită gradientului mare al vitezei;

b) b) zona din exteriorul stratului limită în care viteza practic nu variază şi în care nu apar tensiuni tangenţiale vâscoase şi fluidul poate fi considerat un fluid ideal. Utilizarea simultană a celor două tipuri de soluţii presupune racordarea lor pe frontiera celor două zone, frontiera exterioară a stratului limită.

x

∞Vr

y

δ

x

( )yvxr

Se defineşte grosimea stratului limită ca distanţa de la suprafaţa corpului la care viteza diferă cu 1% de viteza corespunzătoare curgerii unui fluid ideal (mişcări potenţiale).

∞Vr

n

)(nvr

δ ∞Vr

2

Uneori se mai utilizează grosimea de deplasare definită prin relaţia

1δ

yV

vx d10

1 ∫∞

∞

−=δ

•Grosimea de deplasare reprezintă cu cât trebuie deplasată către exterior frontiera corpului, astfel încât debitul să se păstreze constant şi condiţiile la limită să fie compatibile. Prin aceasta se consideră că mişcarea din interiorul noii frontiere ( ) este potenţială.1δ

4.7.2. Ecua ţiile mi şcării în stratul limit ă (Prandtl)

Se va considera o mişcare plană a unui fluid izodens cu vâscozitate mică, deci la un număr Reynolds mare, în jurul unui corp cilindric subţire de lungime l.

∞Vr

y

( )yvxr

δ

x

∞Vr

l

Pentru o mişcare plană şi permanentă ecuaţiile de mişcare devin

++−=+

2

2

2

21

y

v

x

v

x

pf

y

vv

x

vv xx

xx

yx

x ∂∂

∂∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

++−=+

2

2

2

21

y

v

x

v

y

pf

y

vv

x

vv yy

yy

yy

x ∂∂

∂∂

ν∂∂

ρ∂∂

∂∂

0=∂∂

+∂∂

y

v

x

v yx

•Se urmăreşte obţinerea unor ecuaţii valabile numai în interiorul stratului limită, adică pentru

δ≤≤ y0

•Pentru aceasta Prandtl a făcut două ipoteze. •Prima ipoteză, bazată pe faptul că grosimea stratului limită este foarte mică, consideră forţele masice neglijabile, şi relaţiile devin

++−=+

2

2

2

21

y

v

x

v

x

p

y

vv

x

vv xxx

yx

x ∂∂

∂∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂

∂+

∂

∂ν+

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

2

2

2

21

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vv yyy

yy

x

0=∂∂

+∂∂

y

v

x

v yx

A doua ipoteză este bazată pe aproximarea ordinului de mărime al termenilor ecuaţiilor.

Cu aceste ipoteze anumiţi termeni se neglijează şi ecuaţiile devin

0;0;1

2

2

=+=+−=+y

v

x

v

y

p

y

v

x

p

y

vv

x

vv

yxxxy

xx ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

Ecuaţiile sunt numite ecuaţiile mişcării în stratul limită sau ecuaţiile lui Prandtl. Acestea sunt valabile pentru mişcarea în jurul unei plăci plane paralele cu curentul sau pentru un cilindru drept al cărui contur are o rază de curbură mare.

•Cea de a treia ipoteză admisă de Prandtl, conform căreia în stratul limita forţele de vâscozitate sunt de acelaşi ordin de mărime cu forţele de inerţie (componenta convectivă), permite aprecierea grosimii stratului limită. Aceasta implică

2

2

y

v

x

vv xx

x ∂∂ν∝

∂∂

adică 2δν∝ ∞∞

∞V

l

VV

Deci mişcarea în stratul limită plan poate fi descrisă de ecuaţiile

0;1

2

2

=∂∂

+∂∂

∂∂

ν+∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

y

v

x

v

y

v

x

p

y

vv

x

vv yxxy

yx

x

4.7.3. Aplica ţie. Stratul limit ă laminar pe o plac ă plană.

În cazul unei plăci plane de grosime foarte mică, dar suficient de lungă, o dată cu creşterea abscisei x de la bordul de atac creşte şi grosimea stratului limită, o masă din ce în ce mai mare de fluid fiind frânată datorită frecării cu placa. Particulele de fluid din stratul limită sunt duse de curent şi în aval de placă, unde se mişcă cu viteza mai mică decât a curentului exterior formând dâră hidrodinamică (sau siaj).

∞Vr

strat limită x δ(x)

( )yvxr

O

y ∞Vr

curgere exterioară

xcr,1

∞Vr

y

x

zonă laminară

O xcr,2

zonă de tranziţie

zonă turbulentă

film laminar

frontiera stratului limită vx(y) vx(y)

bord de atac

Există însă cazuri în care mişcarea este turbulentă în exterior. În acest caz, datorită efectului de frânare al plăcii, regimul de mişcare din stratul limită este laminar pentru abscise x mici, deci în apropierea bordului de atac, unde grosimea stratului limita este mică, deci unde variaţia vitezei este bruscă şi tensiunea tangenţială mare .

În cazul mişcării unui fluid în jurul unui corp cu grosimea finită, fluidul din stratul limită nu mai poate urmări conturul corpului pe întreaga suprafaţă a acestuia, desprinzându-se de corp la un moment dat.

Desprinderea particulelor din stratul limită de suprafaţa corpului este însoţită de o curgere în vecinătatea suprafeţei corpului de sens contrar curentului exterior. Acest fenomen se numeşte desprinderea stratului limită

4.7.3. Desprinderea stratului limit ă şi rezisten ţa de form ă

0=∂∂x

p

x

0<∂∂x

p

0>∂∂

x

p

Paradoxul lui d'Alembert

-1

A B R0

x

2∞

∞

ρ−V

pp

0

1

-2

-3

C

D

∞Vr

x

Se exemplifică acest fenomen prin curgerea în jurul unui cilindru circular drept (fluid ideal).

Diagrama de presiuni este simetrică şi deci echilibrată. Pe faţa amonte energia de presiune a fluidului este transformată în energie cinetică, iar pe faţa aval energia cinetică este transformată în energie de presiune.

În zona cu vârtejuri, din aval de cilindru, presiunea este sensibil mai mică în comparaţie cu aceeaşi repartiţie în cazul fluidului ideal, ceea ce face să apară o forţă de presiune dirijată în sensul curgerii şi care reprezintă rezistenţa de presiune (rezistenţa de formă).

În realitate la curgerea unui fluid vâscos în jurul unui corp apare o rezistenţă la înaintare, care se datoreşte atât frecăriifluidului de corp, cât şi dezechilibrării diagramei de repartiţie a presiunii, datorită desprinderii stratului limită. Cele două componente ale rezistenţei la înaintare nu pot fi separate.

CAP. 5 MIȘCAREA TURBULENTĂ5.1. Generalități

Se poate imagina un model al curgerii prin care mişcarea turbulentă este compusă dintr-un ansamblu de vârtejuri de mărimi, forme şi viteze de rotaţie diferite, antrenate într-o mişcare generală, cum se observă în fumul care iese dintr-un coş sau în dâra unui vapor.Deşi la mişcarea turbulentă se observă variaţia în timp a parametrilor mişcării (viteză, presiune, densitate etc.) aceasta nu este dezordonată complet şi poate fi studiată cu ajutorul statisticii matematice.

Mişcarea turbulentă prezintă următoarele caracteristici:a) caracteristica optică.

b. turbulent a. laminar

b) caracteristica cinematică.

1v′v1

v2 v3

2v′

3v′

M

v p

p

t

T

t T+t

(vx)

xv

p

t

(vx)

O O

a

b. staţionar în medie c. tranzitoriu

zzzyyyxxx vvvvvvvvv ′+=′+=′+= ;;( ) ∫+

==Tt

t

zyx tvT

vvvvv d1

,,rrr

∫+

=′+=Tt

t

tpT

pppp d1

cu,

c) caracteristica energetică.

c. mişcare b. mişcare laminară a. fluid ideal 1 2

g

p

ρ1

l

Q 1 2

linie piezometrică

l

hr,1-2

Q 1 2

l

hr,1-2

Q

linie piezometrică

g

p

ρ2

g

p

ρ2

g

p

ρ1 g

p

ρ2

g

p

ρ1

Dacă fluidul este vâscos energia fluidului este disipată de forţele de vâscozitate.Se constată experimental că pierderea de sarcină este mai mare în cazul mişcăriiturbulente decât în cazul mişcării laminare, datorită schimbului de cantitate demişcare între straturile fluide vecine (amestec turbulent) care provoacă tensiunitangenţiale suplimentare (tensiuni de turbulenţă).

5.2. Conceptul de vâscozitate turbulentă. Analogia lui Bahmeteff.

A

B

m BA vmvmrr

−

Bvr

BA vmvmrr

+−

BA vmvM

mv

rrr−=∆

Avr

Fenomenul este analog în cazul mişcării a două straturi de fluid vecine, dacă în locul sacilor se consideră particulele fluide.

a. laminar b. turbulent

Q Q

5.3. Ecuațiile mișcării turbulente. Ecuațiile lui Reynolds

Utilizând ideea lui O. Reynolds, de a scrie fiecare mărime ca fiind compusă din valoarea medie temporală şi o pulsaţie, se urmăreşte determinare unor ecuaţii care să descrie mişcarea turbulentă a fluidelor.Se consideră în general o mişcare turbulentă, staţionară în medie, în care f(x, y,z, t) şi g(x, y, z, t) reprezintă două mărimi variabile, care caracterizează mişcarea, iar a este o constantă. Deci, într-un punct, la un moment dat se poate scrie

gggfff ′+=′+= şi

( ) ( )∫ ∫+ +

====Tt

t

Tt

t

tgT

tzyxggtfT

tzyxff d1

,,,;d1

,,,

unde

Cu aceasta se poate scrie

∫ ∫+ +

===Tt

t

Tt

t

fatfT

atfa

Tfa

rdd

1∫ ∫+ +

===Tt

t

Tt

t

ftT

ftfT

f d1

d1

( )∫ ∫ ∫+ + +

+=+=+=+Tt

t

Tt

t

Tt

t

gftgT

tfT

tgfT

gf d1

d1

d1

0' =−=−= fffff gftgT

ftgfT

gfTt

t

Tt

t

⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫++

d1

d1

∫∫∫+++

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

Tt

t

Tt

t

Tt

tx

ft

x

f

Ttf

xTtf

Txx

fd

1d

1d

1

Deşi 0' şi 0' == gf în general 0'' ≠⋅gf

Turbulenţa se numeşte izotropă dacă în domeniul ocupat de fluid nu există o direcţie preferenţială în ceea ce priveşte pulsaţiile vitezei şi anizotropă în caz contrar (în vecinătatea unui perete turbulenţa este anizotropă deoarece peretele face ca pe direcţia perpendiculară peretelui pulsaţiile să fie mult mai mici decât în lungul lui). Turbulenţa este omogenă dacă structura sa nu depinde de poziţia punctului în interiorul fluidului şi neomogenă în caz contrar.

Mărimile mediate nu dau însă o imagine completă asupra structurii interne a mişcării turbulente. Pentru aceasta se mai utilizează trei parametrii fundamentali, care caracterizează intensitatea, corelaţia şi frecvenţa pulsaţiilor în curgerea turbulentă.

Intensitatea turbulen ţei

′+′+′= 222

3

11zyx vvv

vN r

Valoarea acestui parametru variază de la 0,3 % în atmosfera, la (7...8) % sau chiar mai mult la curgerea unui fluid într-o maşina hidraulică. Dacă mişcarea este foarte puternic perturbată (lărgire bruscă, cot, ramificaţie etc.) coeficientul N poate ajunge la valori mari (30...50) %, adică viteza instantanee se poate anula sau îşi schimbă sensul.

În cazul turbulenţei anizotrope se poate defini intensitatea turbulenţei pe fiecare direcţie,

v

vN

v

vN

v

vN z

zy

yx

x rrr

222 ';

';

'===

Coeficientul de corela ţie

2,2

2,1

,2,121

''

''

xx

xx

vv

vvR

⋅

⋅=−

exprimă gradul de legătură între pulsaţiile vitezei. Dacă distanţa ξ tinde către zero ( ) coeficientul de corelaţie tinde către valoarea unu ( ), iar dacă distanţa ξ creşte, acesta scade foarte mult încât la rezultă

.

0→ξ 121 →−R∞→ξ

021 =−R

Cu ajutorul acestui coeficient de corelaţie se defineşte scara turbulenţei, sau lungimea de corelaţie

∫∞

−ξ ξ=0

21 dRL

care reprezintă o lungime medie (aici în lungul axei Oy) a domeniului în care pulsaţiile sunt legate între ele.

Al treilea parametru este spectrul de turbulen ţă, care arată distribuţia energiei cinetice în funcţie de frecvenţa oscilaţiilor.