curs2_mathcad

7/21/2019 Curs2_Mathcad

http://slidepdf.com/reader/full/curs2mathcad 1/11

4. EFECTUAREA CALCULELOR NUMERICE

Principalele noţiuni cu care se operează, în Mathcad, sunt: operatori, identificatori, tipuri dedate.

4.1. Identificatorii Mathcad ( numele date variabilelor, constantelor şi funcţiilor) pot conţineurmătoarele caractere:− Litere latine mari şi mici;− Cifre de la 0÷9;− Litere greceşti;− Caractere speciale: _(linie de subliniere), % (procent), ∞ (infinit), .(punct).

4.2. Lista operatorilor

− Operatorul de atribuire/definire (:=);− Operatorul de evaluare a expresiei (=);− Operatorul de atribuire/evaluare globală (≡);−

Operatorii uzuali pentru introducerea expresiilor algebrice (+,−

, *, /, ^);− Alţi operatori: n! (n factorial), AT (Transpusa matricei A), M (determinantul matricei M ),Suma mai multor termeni (Σ), Produsul mai multor termeni (Π), Integrala unei funcţii ,Derivata unei funcţii, etc.

4.3. Tipuri de date Matcad-ul utilizează următoarele tipuri de date:

a) Variabile numerice reale şi complexe

Pentru a defini o variabilă se tastează numele variabilei, urmat de operatorul de atribuire (:=)şi expresia care defineşte variabila. Pentru a calcula valoarea variabilei definită anterior, se tastează numele acesteia urmată de operatorul de evaluare.

O constantă numerică întreagă se poate defini în baza 10, 8 (numărul este urmat de litera O)sau 16 (numărul este urmat de litera H).Pentru a defini o constantă complexă se utilizează operatorul complex “i”, din paleta

aritmetică.

b) Variabile şirO variabilă şir ale cărei valori sunt numere naturale consecutive se numeşte variabilă indice.

Exemplu:

Pentru a defini un indice k care ia succesiv valorile 2, 3, 4, 5, se scrie:k: 2..5= Prin intermediul unei variabilă indice se poate defini o variabilă şir oarecare, cu sintaxa:Varindice :=expresie

Exemplu:

Dacă k: 2..5= , pentru definirea şirului format din valorile k2, se tastează: k:x 2k = .

Elementele şirului devin vizibile dacă se tastează, adică =x şi se obţine:

[ ]0 0 4 9 16 25 x =

Se observă că au fost tipărite şi valorile 10 x,x care sunt 0 (zero) deoarece nu au fost definite

(variabila indice k ia valorile 2, 3, 4, 5). În Mathcad, numerotarea indicilor începe de la zero.



Pentru definirea unei variabile şir oarecare se utilizează următoarea relaţie:

Var_ şir := Val_ini ţ ială, Val_următoare..Val_finală

unde:Val_următoare poate fi de forma: Val_in ţ ială + pasul de incrementare;Val_ini ţ ială, Val_următoare şi Val_finală pot fi expresii.

Exemplu: : 0.8,1..2 x = ,se obţine şirul de valori:

[ ]0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x =

c) Variabile tablou: vectori şi matriceO variabilă devine variabilă tablou dacă i se atribuie o constantă tablou sau o expresie a cărei

valoare este de tip tablou.Crearea unui vector sau unei matrice se poate realiza în mai multe moduri:

c1. Se atribuie, pe rând, unei variabile cu indice corespunzător, valorile vectorului.

Aplica ţ ia 1:

Pentru vectori:

:

:

:

1

2

3

x 1

x 2

x 3

=

=

=

, de unde rezultă vectorul

0

1

2

3

x

=

.

Pentru matrice se definesc două dimensiuni:Notaţia: Ai, j:= valoare , defineşte elementul din linia i coloana j a matricei A.

Aplica ţ ia 2:

,

,

,

,

:

:

:

:

11

12

2 1

2 2

1

2

3

4

A

A

A

A

=

=

=

=

Rezultă matricea:

0 0 0

A 0 1 2

0 3 4

=

.

c2. Se activează paleta “Vector and Matrix Palette”, submeniul „Matrix or Vector” şi vaapare o fereastră de dialog prin care se defineşte dimensiunea vectorului sau matricei. Înspaţiile afişate se introduc valorile vectorului sau matricei, din poziţiile respective.

Aplica ţ ia 3:

1 2 :

3 4

⇒ =

A



c3. Se citeşte cu funcţia READPRN un fişier ASCII ce conţine valorile vectorului saumatricei. Fişierul ASCII poate fi creat cu un editor de texte (WordPad).

Se atribuie vectorului sau matricei A valorile conţinute în fişierul exterior:A READPRN "Nume_fisier.prn"( )

Numele fi şierului exterior se precizează cu întreaga cale de căutare, sau se găse şte în

acela şi director cu documentul Mathcad care îl apelează.

c4. Crearea unui şir care să conţină valorile unei funcţii, dintr-un interval specificat

Aplica ţ ia 4: Fie funcţia:

21

2( ) : x

f x e

− ⋅

= , şi se propune să se genereze un şir care conţine valorile funcţiei f ,pentru valorile lui x din intervalul [-5,5].

Se definesc valorile de început şi de sfârşit ale variabilei funcţiei, r :_ : 5; _ : 5val initiala val finala= − = .

Se alege numărul de diviziuni ale intervalului : 10n = , rezultând şirul de valori alvariabilei funcţiei, r , pentru intervalul specificat:

_ _: _ , _ .. _1

val finala val initialar val initiala val initiala val finala

n

−= +

−

Programul Mathcad corespunzător este următorul:

Rezultă valorile variabilei şir, r şi valorile funcţiei f(r):

Sirul Valorile functiei

r

5

3.889

2.778

1.667

0.556

0.556

1.667

2.778

3.889

5

f r( )

0.0000037

0.00052

0.0211097

0.2493522

0.8569969

0.8569969

0.2493522

0.0211097

0.00052

0.0000037

Fie functia f(x): f x( ) e

1

2x2

.

Valorile de inceput si de sfarsit ale intervalului

val_i 5 val_f 5

Numarul de diviziuni ale intervalului (>=2):

n 10

Sirul de valori pentru intervalul specificat

r val_i val_ival_f val_i

n 1, val_f ..



Observa ţ ie:

În mod implicit, valoarea iniţială a indicelui unui tablou (vector sau matrice) este 0 (zero).Această valoare poate fi schimbată atribuind variabilei Mathcad ORIGIN altă valoare, de obicei 1.

ORIGIN:=1

c5. Pentru a defini şiruri de vectori sau de matrice se utilizează indici superiori care se obţindin paleta “ Vector and Matrix Palette”, submeniul „Matrix or Vector”, butonul „Matrix

Column”.

Aplica ţ ia 5:

Dacă

=21:0

u şi

−

=12

01: A ,

Atunci pentru i:=0..4, se calculează i+1 i

:=Au u⋅ şi se obţine:

1 1

0u =

2 1=

2u

3 1

0u =

4 1

2u =

.

Rezultă:1 1 1 1

0 2 0 2

1

u= 2

d) FuncţiiPe lângă funcţiile predefinite (trigonometrice, logaritmice, exponenţiale, funcţii speciale etc.)

Mathcad-ul prezintă facilitatea de a permite definirea, de către utilizator, a unor funcţii particularecare trebuie să respecte sintaxa:

Nume_func ţ ie(arg1, arg2,…):=expresie unde:

Nume_func ţ ie reprezintă identificatorul noii funcţii definite de utilizator;

arg1, arg2,… sunt argumentele funcţiei separate de virgulă; := operaţia de atribuire care se obţine prin tastarea semnului „:” ; expresie expresia noii funcţii ce poate fi de tipul scalar, vectorial, matriceal.

Toate variabilele utilizate la scrierea expresie trebuie să fi fost definite anterior în spaţiulMathcad sau să fie părţi ale listei de argumente. În cazul în care o variabilă din expresie nu satisfaceaceste condiţii, ea va fi marcată cu roşu, ca fiind nedefinită. După definirea unei funcţii evaluarea einu se realizează imediat, ci doar în momentul utilizării ulterioare, în spaţiul Mathcad.

Matrix Column



GRAFICE DE FUNCŢII

Se consideră cazul funcţiilor reale de o singură variabilă reală.Se defineşte funcţia ce urmează a fi reprezentată, apoi se alege intervalul real pe care se

doreşte să se facă reprezentarea. Acest interval se va împărţi în părţi egale de mărime δδδδ, rezultândvalori discrete în care se vor calcula valorile funcţiei. Reprezentarea acestor puncte va furniza

graficul funcţiei.Ne propunem să reprezentăm grafic funcţia f(x) pe intervalul (a,b).

Se defineşte variabila x astfel:baa x ..,: δ += , unde a, b, δ sunt mărimi numerice, definite anterior.

Expresiei f(x) “i se atribuie” („:=”) expresia funcţiei, iar variabila x este definită pe intervalul(a,b) care poate fi oricât de mare , dar funcţia f trebuie să fie continuă pe acest interval. Variabilei δ “i se atribuie” („:=”) valoarea 0.005 sau orice altă valoare. Se recomandă ca aceste valori să nu fiemai mici decât 0.0001 şi să nu fie mai mari de 0.1.

Pentru reprezentări grafice produsul Mathcad dispune de operatori specifici conţinuţi în

instrumentul Graph. Pentru a deschide bara de instrumente Graph, se activează butonul dinbara de instrumente Math, sau prin comanda View > Toolbars > Graph din meniuri (Fig. 1).

Operatorii conţinuţi în instrumentul Graph sunt prezentaţi în Tab. 1.Tab. 1

Graph Operator Semnificaţie Tastatură

X-Y PlotReprezentare grafică

într-un sistem de axecartezian

@

Zoom Modificare scara devizualizare a graficului

TraceDeterminare acoordonatelor unuipunct de pe grafic

Polar PlotReprezentare grafică polară

[Ctrl]7

SurfacePlot

Reprezentare grafică asuprafeţelor sub formă de pânze

[Ctrl]2

Fig. 1 Instrumentul Graph



ContourPlot

Reprezentare grafică asuprafeţelor sub formă de linii de contur

[Ctrl]5

3D BarPlot

Reprezentare grafică asuprafeţelor sub formă de bare

3D

ScatterPlot

Reprezentare grafică a

suprafeţelor sub formă de puncte

VectorField Plot

Reprezentare grafică sub formă de câmp devectori

5. Reprezentarea carteziană (X-Y Plot)

Pentru reprezentarea grafică a funcţiilor reale de o singură variabilă reală, se execută următorii paşi:

1. Se defineşte domeniul de variaţie al variabilei pentru care se doreşte reprezentarea grafică afuncţiei.

Înainte de a începe reprezentarea grafică se deschide instrumentul Matrix, din bara deinstrumente Math (se acţionează butonul ), sau comanda View > Toolbars > Matrix din meniuri.

Pentru definirea limitelor de variaţie ale variabilei se poate alege una dintreurmătoarele posibilităţi:

2. Se activează comanda Graph > X-Y Plot din meniul Insert , setastează @, sau se apasă butonul din bara de instrumente Graph pentru a

crea operatorul de plotare X-Y;

3. În locul indicat, pe axa x (axa orizontală), se scrie numelevariabilei (t);

Se tastează: Se obţine: Observaţii:

t: -2[Tab]3 t:=-2..3 Variabila t cuprinde numerele înintervalul de la -2 la 3 cu pasul deincrementare 1

t:-2;3 t:=-2..3 Acelaşi interval pentru variabila t

t:-2,-1.5;3 t:=-2,-1.5..3

Variabila t cuprinde numerele înintervalul de la -2 la 3 cu pasul deincrementare 0.5

X-Y Plot



Polar Plot

4. În locul indicat, pe axa y (axa verticală) se scrie expresiafuncţiei care se reprezintă grafic (t2);Dacă expresia de reprezentat are o formă matematică mai complicată,atunci se defineşte o funcţie f , căreia i se atribuie expresia respectivă ( f(x):=). În locul indicat, pe axa y, se scrie numele funcţiei ( f(x)).

5. Pentru obţinerea reprezentării grafice se apasă click (de lamouse) sau se tastează [Enter].

5.

Reprezentarea polară (Polar Plot)

Pentru a crea o reprezentare polară se execută paşi similari cu reprezentarea carteziană, cumodificarea corespunzătoare a comenzilor:

1. Se defineşte domeniul de variaţie al variabilei: θ := -2⋅π, -4.8 .. 2⋅π;

2. Se activează comanda Graph > Polar Plot din meniul Insert ,sau se tastează [Ctrl]7 , sau se apasă butonul din bara de instrumenteGraph pentru a crea operatorul Polar Plot ;

3. În locul indicat, pe axa unghiulară, se scrie numele variabilei (θ);4. În locul indicat, pe axa radială, se scrie expresia funcţiei de plotat;5. Pentru obţinerea reprezentării grafice se apasă click (de la mouse) în afara graficului sau se

tastează [Enter].

5. Scara de vizualizare a graficului (Zoom)

Pentru a mări o porţiune din grafic se procedează astfel:1. Se selectează graficul;2. Se alege comanda Graph > Zoom din meniul Format , sau se apasă click dreapta pe grafic

şi se alege Zoom, sau se apasă butonul Zoom din bara de instrumente Graph. Ca urmare, se deschidefereastra de dialog X-Y Zoom.

3. Porţiunea din grafic care se doreşte a fi mărită se încadrează într-un dreptunghi;4. Se apasă butonul „+” pentru a vizualiza zona selectată la o scară mărită;5. Revenirea la dimensiunile iniţiale ale graficului se face prin apăsarea butonului

Zoom



5.

Determinarea coordonatelor unui punct de pe grafic

Pentru aflarea coordonatelor unui punct de pe grafic se procedează astfel:1. Se selectează graficul dorit;2. Se alege comanda Graph > Trace din meniul Format , sau se face click dreapta pe grafic şi

se alege Trace, sau se apasă butonul Trace din bara de instrumente Graph. Ca urmare, se deschidefereastra de dialog X-Y Trace.

3. Se indică cu mouse-ul punctul de pe grafic pentru care se vor determina coordonatele.Fereastra X-Y Trace va indica valorile X şi Y pentru punctul ales, în ferestrele X-Value, respectiv Y-

Value.4. Comenzile Copy X şi Copy Y copiază aceste valori.

5. Dacă este activă comanda Track Data Points, mouse-ul va selecta numai puncte de pegrafic.

5.

Personalizarea reprezentărilor grafice

5.1. Setarea proprietăţ ilor axelor (pentru X-Y Plot sau Polar Plot)

Pentru setarea caracteristicilor axelor se face dublu-click pe grafic sau comanda Graph > XY

Plot sau Graph > Polar Plot din meniul Format . Ca urmare, se deschide o fereastră de dialog (Fig.2), în care se selectează eticheta X-Y Axes.

Sunt posibile diferite opţiuni pentru fiecare axă în parte: pentru axele x, respectiv y şisecundară y, sau axele radială şi unghiulară. Prin comanda Apply se pot urmări imediat opţiunile

selectate:• Enable secondary Y-axis Dacă această opţiune este activă, axa secundară y poate fi plasată, în locul indicat, în partea

dreaptă a graficului. În acest caz, pe grafic se obţin două expresii cu scale diferite pe cele două axe y (primară şi secundară). Totodată, în acest dialog, se pot seta opţiunile pentru Secondary Y Axis.

Fig. 2 Setarea op ţ iunilor de plotare

Trace



• Log Scale

Dacă această opţiune este activă se va afişa scară logaritmică pe axa respectivă. Limitele axelor trebuie să fie pozitive. Nueste posibilă pentru scala unghiulară din Polar Plot .

• Grid Lines

Dacă această opţiune este activă, se vor afişa linii de grid pentru axa respectivă. Pentrumodificarea culorii liniilor de grid se face click pe dreptunghiul colorat (din dreapta opţiunii) şi sepoate schimba culoarea liniilor de grid.

• Numbered Dacă această opţiune este activă, semnele marcate pe axa

respectivă vor fi numerotate.

• Autoscale Stabilirea limitele axelor se face în apropierea primului

şi ultimului semn marcat din domeniul de date. Implicit,plotarea este Autoscale pentru ambele axe.

Această opţiune nu este activă pentru Polar Plots.

• Show Markers Se pot adăuga una sau două linii orizontale, verticale sau radiale pe grafic. Dacă această

opţiune este activă vor apare două locuri indicate, pe axe, pentru care marker-ele sunt active. Dacă se completează, în locurile indicate, valoarea dorită prin care să se ducă cele două linii de marker ,după validarea comenzii, aceste linii devin vizibile. Pentru modificarea culorii liniilor de marker se

face click pe dreptunghiul colorat (din dreapta opţiunii) şi se poate schimba culoarea liniilor demarker.Această opţiune nu este posibilă pentru scala unghiulară din Polar Plots.

• Auto Grid Dacă această opţiune este activă, numărul semnelor marcate pe axă se alege în mod automat.

Dacă nu este activă, se poate modifica numărul semnelor de pe axe prin dreptunghiul din dreaptaopţiunii Number of Grids.

Pentru scara logaritmică opţiunea Auto Grid nu poate fi inactivată.

• Number of Grids Numărul liniilor de grid poate fi schimbat dacă comanda Auto Grid nu este activă. Această

valoarea poate fi un număr întreg între 2 şi 99.

• Axes Style – Boxed, Crossed, None Această opţiune permite afişarea graficului astfel:

- Crossed , dacă intersecţia axelor apare în centrul reprezentăriigrafice;- Boxes, dacă apar intersecţiile axelor cu marginile din stângaşi de jos ale reprezentării grafice;- None, dacă axele nu apar.

Log Scale-

Inactivă

Log Scale-

Activă

Numbered Axes

Activă Numbered Axes

Inactivă

Boxed Crossed None



• Equal Scales Dacă această opţiune este activă, axele x şi y au aceeaşi

scală. Dacă această opţiune este inactivă, scala pe axa x esteindependentă de scala pe axa y.

Această opţiune nu este posibilă pentru Polar Plots.

5.2. Setarea tipului liniilor (pentru X-Y Plot sau Polar Plot)

Pentru setarea caracteristicilor liniilor reprezentărilor grafice se selectează eticheta Traces dinfereastra pentru setarea opţiunilor de plotare (Fig. 3), rezultând fereastra de dialog din Fig. 3, careconţine următoarele opţiuni:

• Selectarea graficului dorit din reprezentarea grafică (Legend label), care poate varia întretrace 1 şi trace 16 .

• Simbolul (Symbol) poate fi: none – f ără simbol, x’s cu x-uri, +’s cu plusuri, box cu pătraturi,dmnd cu romburi, o’s cu litera o;

• Linia de trasare (Line) poate fi: Solid, linie continuă; Dot, linie scurtă întreruptă;

Dash, linie lungă întreruptă; Dadot, linie punct.

• Culoarea (Color) graficului (red -roşu, blu-albastru, grn-verde, mag – magenta, cya- cian, brn – maro, blk – negru, wht – alb);

• Tipul liniei (Type) cu care se trasează graficul: lines - grafic cu linii, points – grafic cu puncte, error – grafic cu bare de eroare, numai dacă există două grafice care trebuie comparate, bar – grafic cu bare, step – grafic scară,

Fig. 3 Setarea tipului liniilor

Equal ScalesActivă

EqualScales



draw – grafic desenat, stem – grafic sub formă de bare ce au cerc în capătul barei, solidbar – grafic cu bare pline);

• Grosimea liniei graficului (Weight) ce poate varia între 1 şi 9.

5.3. Setarea etichetelor axelor (pentru plotarea X-Y Plot sau Polar Plot)Pentru afişarea titlului şi etichetelor pe cele două axe, se selectează eticheta Labels din fereastrapentru setarea opţiunilor de plotare (Fig. 2), iar dacă se doreşte şi modificarea setărilor implicite,pentru toate reprezentările grafice din document, se selectează eticheta Defaults, rezultând ferestrelede dialog din Fig. 4, respectiv Fig. 5.

Fig. 4 Setarea etichetelor Fig. 5 Modificarea set ărilor implicite

curs2_mathcad

Documents