8/3/2019 Curs10_11_MC

1/34

CURS 10+11

MECANICACONSTRUCIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

8/3/2019 Curs10_11_MC

2/34

CINEMATICA SOLIDULUIRIGID

In cadrul cinematicii punctului materials-a artat ca astudia micarea unui punct nseamn a determina la oricemoment t

de timp, poziiar(t), viteza v(t)

si acceleraiaa(t)

ale acestuia.

In cadrul cinematicii solidului rigidproblema se puneanalog, cu deosebirea ca este vorba de infinitatea

punctelor materiale care alctuiesc solidul.

8/3/2019 Curs10_11_MC

3/34

Micarea general a solidului rigid

Cunoscndu-se micarea unui solid rigid n raport cu unsistem de referin fix O1x1y1z1, se cere s se determineexpresiile generale ale vectorului de poziie, vitezei iacceleraiei unui punct oarecare Pial acestuia.

Pentru a cunoate poziia solidului rigid, respectiv asistemului de referin solidar cu rigidul este necesar scunoatem n orice moment de timp vectorul de poziier10i poziia versorilork, j, i.Punctul Pinu i schimb poziia relativa n raport cusistemul Oxyz, deci coordonatele lui rmn constante ntimp.

8/3/2019 Curs10_11_MC

4/34

Micarea general a solidului rigid

8/3/2019 Curs10_11_MC

5/34

n relaiile (1) apar 12 parametri scalari de poziie. inndcont de relaiile (2), vom avea 12 6 = 6 parametri scalaride poziie a solidului rigid. Putem concluziona c solidulrigid n micare general are ase grade de libertate.

(1)

Versorii sunt vectori unitari i doi cte

doi perpendiculari ntre ei

(2)

8/3/2019 Curs10_11_MC

6/34

unde

ntre vectorul de poziie ri1 al unui punct din solidul rigid,definit fa de sistemul fix, vectorul de poziie rialpunctului fa de un sistem mobil (legat invariabil de

solid) i vectorul de poziie r10al originii sistemului mobil,fa de sistemul fix, exist relaiile:

(3)

(4)

8/3/2019 Curs10_11_MC

7/34

Proiectm relaia (1) pe axele sistemului de coordonatefix O1x1y1z1i obinem:

(5)

Relaiile (5) reprezint ecuaiile parametrice ale traiectorieipunctelor Pi.

8/3/2019 Curs10_11_MC

8/34

Prin derivarea relaiei (3) n raport cu timpul obinem:

Deoarece:

(6)

(7)

Relaia (7), cunoscut sub denumirea de relaia lui Eulerreprezint distribuia de vitezea punctelor unui solid rigid.

8/3/2019 Curs10_11_MC

9/34

Prin proiectarea relaiei (7) pe axele sistemului dereferin Oxyz:

rezult componentele vectorului vi n sistemul Oxyz:

(8)

i i i

8/3/2019 Curs10_11_MC

10/34

Din relaia (7) se observ c proieciile a dou puncteale solidului rigid pe direciile determinate de acesteasunt egale ntre ele. Fie punctele Pi, respectiv Pjale

solidului rigid pentru care se aplic relaia lui Euler.

8/3/2019 Curs10_11_MC

11/34

Pentru obinerea formulei lui Euler pentrudistribuia deacceleraiise deriveaz relaia (7):

unde:(9)

acceleraia punctului O;

acceleraia unghiular a solidului rigid,respectiv a sistemului mobil Oxyz;

Se stie c i

(10)

8/3/2019 Curs10_11_MC

12/34

Prin proiectarea relaiei (10) pe axele de coordonatese obine:

8/3/2019 Curs10_11_MC

13/34

n final se obin componenetele vectorului acceleraie a

punctelor Piale sistemului rigid, n raport cu sistemul dereferin mobil Oxyz:

(11)

8/3/2019 Curs10_11_MC

14/34

Solidul rigid poate executa o micare general sau omicare particular.

Exist dou micri simple ale solidului rigid: micareade translaiei micarea de rotaie n jurul unui ax fix.

Celelalte micri particulare ale solidului rigid: micareade roto-translaie, micarea plan-paralel, micarea derotaie n jurul unui punct fixse obin prin combinarea

celor dou micri simple.

8/3/2019 Curs10_11_MC

15/34

Micarea de translaie a solidului rigid

Un solid rigid execut o micare de translaie dac n tottimpul micrii o dreapt solidar cu rigidul rmneparalel cu o dreapt fix din spaiu sau cu ea nsi.Pentru studiul micrii de translaie alegem dou sistemede referin: unul fix O

1

x1

y1

z1

i unul mobil Oxyza cruiaxe rmn tot timpul paralele cu axele sistemului fix.

8/3/2019 Curs10_11_MC

16/34

Micarea de translaie a solidului rigid

8/3/2019 Curs10_11_MC

17/34

(12)

Din relaiile (12) rezult c solidul rigid aflat n micare de

translaie posed trei grade de libertate ntruct poziiaacestuia este determinat prin coordonatele x10, y10respectiv z10.

8/3/2019 Curs10_11_MC

18/34

Derivm prima relaie din (12) i obinem:

Deoarece: i

(13)

(14)

adica, vitezele tuturor punctelor solidului rigid la unmoment oarecare tsunt egale ntre ele.

Prin derivarea relaiei (14) rezult:(15)

acceleraiile tuturor punctelor solidului rigid n micarea

de translaie, la un moment oarecare t, sunt egale ntre ele.

8/3/2019 Curs10_11_MC

19/34

Micarea de rotaie a solidului rigid cu ax fix

Un solid rigid execut o micare de rotaie cu ax fix dacn tot timpul micrii sale dou puncte ale sale rmnsuprapuse cu dou puncte fixe din spaiu. Pentru studiulacestei micri axa Oza sistemului mobil coincide cu axa

O1z1a sistemului fix i n plus, originile celor dou sistemecoincid O1 O.

8/3/2019 Curs10_11_MC

20/34

Micarea de rotaie a solidului rigid cu ax fix

8/3/2019 Curs10_11_MC

21/34

Solidul rigid n micare de rotaie n jurul unei axe fixe Ozare un singur grad de libertate ntruct poziia acestuiaeste determinat prin unghiul format de planul fix x1O1y1

i planul mobil xOy. Ambele plane conin axa de rotaie.Poziia punctelorPieste dat de relaia:

(16)

(17)adic:

Ecuaia (17) arat c traiectoriapunctelor Pieste un cerccu centrul plasat pe axa de rotaie.

8/3/2019 Curs10_11_MC

22/34

Derivnd ecuaia (16) rezult:

Relaiile: i arat c

vectorii i au ca suport axa de rotaie.

Deoarece: i

(18)

relaie ce exprim distribuia cmpului vitezeloralepunctelor unui solid rigid aflat n micare de rotaie cu

ax fix.

8/3/2019 Curs10_11_MC

23/34

Proiectnd relaia (18) pe axele sistemului de referinmobil Oxyz, rezult:

(20)

(19)

Modulul vitezei este:

(21)

8/3/2019 Curs10_11_MC

24/34

Pentru determinarea acceleraiilor punctelorPiderivmrelaia (18):

Prin proiectarea relaia (22) pe axele sistemului de

referin mobil:

(22)

(23)

8/3/2019 Curs10_11_MC

25/34

unde:

8/3/2019 Curs10_11_MC

26/34

Modulul acceleraiei este:

(24)

Proprietile distribuiei de viteze i acceleraii:

vitezele (acceleraiile) punctelor rigidului ce aparin axeide rotaie sunt nule;vitezele (acceleraiile) punctelor rigidului n micarea derotaie cu ax fix sunt plasate n plan perpendicular pe axade rotaie (v

iz

=0 , aiz

=0);

vitezele (acceleraiile) ce aparin unei drepte 1paralelcu axa de rotaie sunt egale ntre ele;

vitezele (acceleraiile) punctelor solidului rigid ce aparinunei drepte 2, perpendicular pe axa de rotaie, au o

variaie liniar n funcie de poziia lor pe aceast dreapt.

8/3/2019 Curs10_11_MC

27/34

Distribuia de viteze (acceleraii) pe o dreaptparalel cu axa de rotaie

8/3/2019 Curs10_11_MC

28/34

Micarea de roto-translaie a solidului rigidUn solid rigid execut o micare de rototranslaie atunci

cnd n tot timpul micrii dou puncte aparinnd acestuiarmn permanent pe o dreapt fix Oz1.

Micarea solidului rigid se poate descompune ntr-omicare de translaie rectilinie n lungul axei fixe Oz1i o

micare de rotaie efectuat n jurul aceleiai axe.Traiectoria unui punct oarecare Pi, aparinnd rigidului nmicare de rototranslaie fa de axa fix Oz1, este o curbaparinnd cilindrului circular drept avnd ca ax de

simetrie axa Oz1i ca raz, distana de la punctul Pila axaOz1. La un moment oarecare, poziia rigidului se poatedetermina dac se cunoate distana OO1i unghiul .

Putem concluziona c rigidul n micare de rototranslaie

are dou grade de libertate.

8/3/2019 Curs10_11_MC

29/34

Micarea de rototranslaie a solidului rigid

8/3/2019 Curs10_11_MC

30/34

Micarea plan-paralel a solidului rigid

Un solid rigid execut o micare plan-paralel dac ntot timpul micrii, un plan aparinnd acestuia rmnesuprapus cu un plan fix din spaiu.

Pentru studiul micrii alegem dou sisteme dereferin: unul fix O1x1y1z1i unul mobil Oxyz, solidar cusolidul rigid, al crui plan xOyrmne tot timpul micriisuprapus cu planul fix x1O1y1.

Solidul rigid n micare plan-paralel are 3 grade delibertate, deoarece sunt necesari 3 parametri scalari depoziie: x10, y10i n determinarea poziiei acestuia.

8/3/2019 Curs10_11_MC

31/34

8/3/2019 Curs10_11_MC

32/34

Micarea plan-paralel a solidului rigid se realizeaz prinsuprapunerea unei micri de translaie a acestuia,efectuat paralel cu un plan-reper , cu o micare derotaie a rigidului n jurul unei axe perpendiculare peplanul .

La un anumit moment texist un punct pentru care vitezaacestuia este nul. Acest punct notat cuIse numetecentru instantaneu de rotaie.

Locul geometric al punctelor succesive pentru care vitezalor este nul se numete ax instantanee de rotaie.

Locul geometric al CIRfa de sistemul de referin mobilse numete rostogolitoare(centroid mobil).

Locul geometric al CIRfa de sistemul de referin fixpoart numele de baz (centroid fix).

8/3/2019 Curs10_11_MC

33/34

Micarea de rotaie a solidului rigid n jurulunui punct fix

8/3/2019 Curs10_11_MC

34/34

n cadrul micrii de rotaie a rigidului Cn jurulpunctului fix O1, orice rotaie finit poate fi descompus

ntr-o infinitate de rotaii elementare n jurul punctului

su fix. Acestea pot fi nlocuite, din punct de vedere altraiectoriilor i distribuiei cmpului de viteze, prinrotaii elementare efectuate n jurul unor axe instantaneede rotaie cu viteza unghiular .Locul geometric al axelor instantanee de rotaie fa desistemul cartezian fix O1x1y1z1este o suprafa riglatavnd forma unei pnze duble conice cu vrful plasat npunctul fix O

1

, numit axoid fix. Fa de sistemulcartezian mobil Oxyz, locul geometric al axelorinstantanee de rotaie poart denumirea de axoidmobil, fiind tot o suprafa rigid de forma unei pnzeduble conice.