curs1

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue

Cursul 1

Bibliograe

1. A.Precupanu, Analiza Matematica. Functii Reale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1976.

2. A.Precupanu, Culegere de probleme de Analiza Matematica. Functii Reale, vol. 1 si 2, Editura Universitatii"Al.I.Cuza" Iasi, 1982.

3. L.Florescu, Analiza Matematica, Editura Universitatii "Al.I.Cuza" Iasi, 1999.

4. The MacTutor History of Mathematics, www-history.mcs.st-and.ac.uk

Examinare

1. Nota N1: Lucrare scrisa din cursurile 1-4 (2 subiecte teoretice si 2 probleme) / saptama^na 16-21 martie

2. Nota N2: Lucrare scrisa din cursurile 5-8 (2 subiecte teoretice si 2 probleme) / saptama^na 20-25 aprilie

3. Nota N3 = minfAS+PS; 10g: undeAS este nota pentru activitatea de la seminar, iar PS = nr. prezente seminar3

4. Nota N4: Nota pentru temele de acasa

5. Nota seminar: NS =N1 +N2 +N3 +N4

4

6. Nota NES: Examen scris (4 probleme din toata materia)

7. Nota NEO: Examen oral (bilet de examen cu 2 subiecte teoretice, din cursurile 9-14)

8. Nota examen: NE =NES +NEO

2

9. Nota nala = [NE +NS

2+ 0; 5]

Actiunea de a masura a aparut din cele mai vechi timpuri, odata cu aparitia numerelor. De fapt, numereleau fost inventate tocmai din dorinta de a masura lucrurile si de a le stabili un pret. I^n zilele noastre, majoritateaobiectele studiate ^n stiinta au asociata macar o masura. Aceste masuri sunt denite pentru a compara obiectelede acelasi tip si pentru studiul proprietatilor lor.

Notiunea matematica de masura este destinata sa reprezinte concepte din lumea zica cum ar lungimea,aria, volumul, masa, sarcina electrica, etc. Obiectele care urmeaza sa e masurate sunt reprezentate ca multimi,iar masura este interpretata ca o functie aditiva de multimi, adica, valoarea atribuita reuniunii a doua multimidisjuncte este suma valorilor atribuite ecareia. Exemple concrete de masuri si de metode de calcul a masuriianumitor multimi sunt cunoscute ^nca din antichitate. Astfel de concepte au fost considerate pentru prima datade catre grecii antici, ca parte a dezvoltarii unui sistem de numeratie.

O teorie deliberata si sistematica a aparut ^nsa pentru prima data ^n a doua jumatate a secolului al XVII-lea,^n cadrul calculului integral dezvoltat de catre Newton si Leibniz. Teorema fundamentala a calculului integral,care poarta numele celor doi mari matematicieni, si care conecteaza integrala cu derivata, a oferit un instrumentnou si puternic de calcul si a fost utila ^n studiul proprietatilor unor functii ce erau interpretate ca masuri. Astfel,gracul unei functii a fost folosit pentru a descrie frontiera unei multimi a carei masura este integrala functieirespective.

I^n secolul al XIX-lea, datorita ^ntr-o foarte mare masura cercetarilor lui Fourier ^n studiul propagarii caldurii,cercetari ce au condus la necesitatea integrarii unor functii mai complicate deca^t cele considerate pa^na atunci,s-a pus problema reexaminarii notiunilor de functie, continuitate, integrala si derivata. La acest program auluat parte unii dintre cei mai importanti matematicieni ai vremii. Munca lor a condus la o denitie generalaa integralei, data de catre Bernhard Riemann ^n mijlocul secolului XIX, si, de asemenea, la constientizarea ca

1

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue

teorema fundamentala a calculului integral, precum si alte teoreme importante, utilizate pe scara larga, nu maierau valabile fara anumite ipoteze. De asemenea, a condus la luarea ^n considerare a unor multimi mult maicomplicate deca^t cele considerate mai ^nainte, multimi care nu erau descrise prin conditii geometrice sau ziceintuitive, sau prin expresii analitice, cum ar de exemplu multimea punctelor de discontinuitate a anumitorfunctii. Ca urmare, ^n contextul noilor functii si multimi studiate, teoria masurii si integrarii folosite la aceavreme nu mai era sucienta. Astfel, ^n a doua jumatate a secolului al XIX-lea matematicienii au fost preocupatimai ales de cautarea unei notiuni adecvate de masura ca^t si a unui nou tip de integrala, care sa rezolve problemeleaparute. Aceste deziderate au fost atinse abia ^n ultimii ani ai secolului XIX ca^nd matematicianul Emile Borel aintrodus ^n cele din urma o notiune de masura pe dreapta reala, pe deplin acceptata si care urma sa conduca launa dintre cele mai frumoase si mai utilizate teorii din matematica, respectiv Teoria masurii. Dezvoltarea acesteiteorii, precum si aplicatiile sale ulterioare ^n aproape ecare ramura din analiza si ^n alte domenii, constituie unadintre cele mai importante parti ale istoriei matematicii secolului XX.

I^n 1898 Borel a extins notiunea de lungime a intervalelor la o masura denita pe o clasa mai larga desubmultimi de numere reale, care avea proprietatile dorite. Acestea sunt astazi numite masura Borel si respectivmultimile Borel. Pa^na atunci, masurile considerate erau privite ca functii de multime nit aditive. Ideea nouasi revolutionara a lui Borel a fost notiunea de numarabil aditivitate. O functie denita pe o familie de multimieste numarabil aditiva daca valoarea atribuita unui sir innit de multimi disjuncte este suma valorilor atribuiteecarei multimi ^n parte. Borel a considerat pentru ^nceput familia tuturor intervalelor de numere reale pe carea denit functia lungimea intervalului. El a procedat apoi recursiv, marind pas cu pas domeniul de denitie alfunctiei prin adaugarea la ecare etapa a multimilor a caror complemente au fost denit anterior sau a multimilorcare se reprezinta ca o reuniune de multimi disjuncte denite anterior. Familia rezultata ^n nal este ^nchisa ^nraport cu complementul si ^n raport cu reuniunile numarabile, iar masura rezultata este numarabil aditiva. I^nprezent, familiile de multimi ^nchise ^n raport cu diferenta si reuniunile numarabile se numesc clanuri boreliene.

I^n stadiul incipient al dezvoltarii Teoriei masurii, o contributie majora a avut-o matematicianul Henri Le-besgue. I^n celebra sa teza de doctorat, publicata ^n 1902 (si considerata una dintre cele mai valoroase lucraristiintice scrise vreodata de un matematician), Henri Lebesgue a simplicat si extins denitia masurii Borel si adezvoltat o noua teorie a integrarii, pe care se bazeaza o mare parte din analiza actuala. Mai ^nta^i el a consideratdoar submultimi ale intervalului unitate. Deoarece o multime deschisa se poate reprezenta ca reuniunea unui sirde intervale deschise disjuncte, el a denit masura unei astfel de multimi ca suma lungimilor acestor intervale.Deoarece o multime ^nchisa este complementara unei multimi deschise, masura ei a fost denita ca diferenta din-tre 1 si masura complementarei sale. I^n continuare Lebesgue a denit masura exterioara a unei multimi oarecareca marginea inferioara a masurilor tuturor multimilor deschise care o contin si, de asemenea, masura interioaraa unei multimi ca marginea superioara a masurilor tuturor multimilor ^nchise continute ^n ea. Apoi a introdusnotiunea de multime masurabila pentru acele multimi care au masura exterioara egala cu masura interioara, iarvaloarea lor comuna a fost numita masura multimii respective. El a aratat ca familia multimilor masurabilecontine multimile Borel, iar masura sa coincide cu masura Borel pe multimile Borel. De asemenea, a aratat canoua masura este numarabil aditiva si familia multimilor masurabile este o algebra. I^n continuare, Lebesguea extins aceasta masura la ^ntreaga multime a numerelor reale si, prin analogie, a introdus masuri similare ^nspatii euclidiene de dimensiune mai mare, pentru a reprezenta aria ^n plan, volumul ^n spatiul 3-dimensional, etc.

Pentru constructia noii integrale, el a denit mai ^nta^i integrala unei functii pozitive ca masura (bidimen-sionala) a subgracului ei, apoi a denit integrala unei functii oarecare ca diferenta dintre integrala partii salepozitive si integrala partii sale negative. I^n continuare a introdus notiunea de functie masurabila pentru acelefunctii cu proprietatea ca imaginea inversa a unui interval este o multime masurabila si a aratat ca functiilemasurabile si marginite sunt integrabile. Astfel, el a extins integrala Riemann la o clasa mai larga de functii.Dupa vericarea proprietatilor algebrice elementare ale integralei, Lebesgue a demonstrat un rezultat important,cu foarte multe consecinte ^n analiza si anume teorema convergentei dominate: daca un sir de functii masurabile,absolut dominate de o functie integrabila, converge la o functie f , atunci f este integrabila si integrala ei estelimita integralelor. Pentru dimensiuni superioare integrala a fost denita ^ntr-o maniera asemanatoare.

I^n 1904 Lebesgue si-a ^ndreaptat atentia spre procesul de diferentiere. Spunem ca o proprietate are locaproape peste tot daca multimea punctelor ^n care aceasta nu este adevarata are masura nula. Pentru ^nceputLebesgue a stabilit granita integrabilitatii Riemann arata^nd ca o functie marginita pe un interval este integrabilaRiemann daca si numai daca este continua aproape peste tot. Apoi a demonstrat ca o functie monotona, si, prinurmare suma sau diferenta a doua functii monotone, este derivabila aproape peste tot. I^n continuare, a aratatca integrala nedenita a unei functii este derivabila aproape peste tot si derivata sa este egala aproape pestetot cu functia. I^n cele din urma, el a caracterizat toate functiile care pot exprimate ca integrale nedenite:acestea coincid cu functiile absolut continue, notiune introdusa anterior de Giuseppe Vitali. O functie este absolutcontinua daca variatia sa totala pe o multime deschisa tinde la zero atunci ca^nd masura multimii respective tindela zero. Cum o functie cu variatie marginita se poate reprezenta ca diferenta a doua functii monotone, rezultaca este derivabila aproape peste tot. Cu toate acestea, integrala nedenita a derivatei sale nu coincide ^n generalcu ea. Diferenta este caracterizata prin faptul ca derivata ei este zero aproape peste tot. Functiile cu aceastaproprietate se numesc singulare. Astfel, Lebesgue a aratat ca o functie cu variatie marginita poate descompusa

2

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 1 CLASE DE MULTIMI

^n suma dintre o functie absolut continua si o functie singulara, aceasta ind faimoasa teorema de descompunerea lui Lebesgue. Apoi a demonstrat ca functiile absolut continue sunt exact functiile cu variatie marginita caresunt egale cu integrala nedenita a derivatei lor.

I^n concluzie, Henri Lebesgue a stabilit bazele unei teorii a masurii si integrarii care a largit sfera de calcul^ntr-o masura de neimaginat ^nainte de el si care a adus libertatea de a opera cu integrale, derivate, si limite cuun minim de restrictii.

Ulterior, August Radon si Maurice Frechet au prezentat noi generalizari ale notiunii de masura, iar ConstantinCaratheodory a introdus ^n 1918 o teorie axiomatica a masurii, fapt ce a permis extinderea ariilor de aplicabilitateale acestei teorii.

1 Clase de multimi

I^n cursul "Teoria masurii si integrala Lebesgue" vom discuta succint despre o teorie axiomatica a masurii, vomdeni si studia conceptul de functie masurabila, apoi vom deni si studia un nou tip de integrala, mai generaladeca^t integrala Riemann, respectiv integrala Lebesgue.

Sa consideram spre exemplu multimea f1; 2; 3; :::; ng. O masura potrivita pentru aceasta este evident numarulde elemente. Acest numar este ^nsa potrivit doar pentru multimile nite. Multimilor innite le putem atribuimasura 1 sau, pentru ranare, trebuie sa cautam un alt mod de masurare a lor. Pentru intervale de numerereale, de exemplu, este mai potrivit sa folosim ca masura lungimea intervalului: ((a; b]) = b a. Daca dorim samasuram multimi mai complicate, vom extinde aceasta functie mai ^nta^i la reuniuni nite de intervale disjuncte.

O prima observatie pe care o putem face este faptul ca o masura trebuie sa e o functie care asociaza uneimultimi un numar. Proprietatea fundamentala a acestor functii, : C ! [0;1), este numita aditivitate si consta^n (A[B) = (A)+(B) atunci ca^nd A\B = ?. Prin urmare, se impune sa cerem ca domeniul de denitie alfunctiei sa e o familie de multimi ^nchisa la reuniuni nite. I^n continuare vom deni si studia o serie de clasede multimi care vor juca rolul de domeniu de denitie pentru functiile "masura".

Pentru o multime nevida X, vom nota cu P(X) familia tuturor partilor sale.

Denitia 1.1 Fie X 6= ?.a) O familie nevida S de submultimi ale lui X se numeste semiinel (sau semi-clan) de multimi daca:

1. 8A;B 2 S, A \B 2 S,2. 8A;B 2 S cu A B, 9C0; C1; C2; :::; Cn 2 S a.^. CinCi1 2 S, 8i = 1; n si A = C0 C1 ::: Cn = B.

b) O familie nevida C de submultimi ale lui X se numeste inel (sau clan) de multimi daca:1. 8A;B 2 C, A [B 2 C,2. 8A;B 2 C, AnB 2 C.

c) O familie nevida A de submultimi ale lui X se numeste algebra de multimi sau clan daca:1. A este inel de multimi,2. X 2 A.

d) O familie nevida L de submultimi ale lui X se numeste latice de multimi daca:1. 8A;B 2 L, A [B 2 L,2. 8A;B 2 L, A \B 2 L,3. ? 2 L.

Observatia 1.2 Conditia (2) a semiinelului ne spune de fapt ca pentru orice doua multimi A;B din S, cuA B, multimea BnA se poate reprezenta ca o reuniune nita de multimi disjuncte din S. De asemenea, dinconditia (2) a semiinelului mai rezulta ca ? 2 S (se aplica (2) pentru A A, unde A este o multime oarecare asemiinelului).

Exercitiul 1.3 Fie X 6= ?.1. P(X) si f?; Xg sunt algebre de multimi, respectiv cea mai mare si cea mai mica algebra de parti ale lui X,^n sensul relatiei de incluziune.2. Daca X = R, atunci S = f(a; b] j a; b 2 R; a < bg [ f?g este un semiinel de multimi care nu este inel.3. Daca X = R, atunci C = fA R j 9f(ai; bi]gi21;n a.^. (ai; bi] \ (aj ; bj ] = ? pentru i 6= j si A =

n[i=1

(ai; bi]g [f?g este un inel care nu este algebra.4. Daca X este o multime innita, atunci C = fA XjA este nitag este un inel care nu este algebra.5. Daca X este o multime innita, atunci A = fA XjA sau cA este nitag este o algebra de multimi.

Exercitiul 1.4 Fie X 6= ? si L o latice de submultimi ale lui X. Atunci familia S = fA n B j A;B 2 Lg esteun semiinel.

3


Propozitia 1.5 Fie X 6= ? si C P(X) un inel de multimi. Atunci:a) ? 2 C;b) 8A1; :::; An 2 C;

n[i=1

Ai 2 C;c) 8A;B 2 C, AB 2 C;d) 8A;B 2 C, A \B 2 C;e) 8A1; :::; An 2 C;

n\i=1

Ai 2 C.

Demonstratie. a) C 6= ?) 9A 2 C ) ? = AnA 2 C.b) Demonstram prin inductie matematica. Consideram armatia P (n) : 8A1; :::; An 2 C;

n[i=1

Ai 2 C.Din proprietatile inelului rezulta ca P (2) este adevarata.

Presupunem ca P (n) este adevarata si e 8A1; :::; An+1 2 C. Atuncin[i=1

Ai 2 C si decin+1[i=1

Ai = (n[i=1

Ai)[An+1 2 C.Prin urmare P (n)) P (n+ 1) si atunci P (n) este adevarata 8n 2 N.c) Fie 8A;B 2 C. Atunci AnB;BnA 2 C si deci AB = (AnB) [ (BnA) 2 C.d) Fie 8A;B 2 C. Atunci A [B;AB 2 C si deci A \B = (A [B)n(AB) 2 C.e) Se demonstreaza prin inductie dupa n folosind (d).

Observatia 1.6 Prin urmare, orice inel este semiinel si latice. De asemenea, orice inel este parte stabila ^nraport cu diferenta simetrica si intersectia. Mai mult avem:

Exercitiul 1.7 Fie X 6= ? si C P(X) un inel de multimi. Atunci (C;;\) este un inel algebric.

Propozitia 1.8 Fie X 6= ? si A 6= ? o familie de submultimi ale lui X: A este o algebra de multimi daca sinumai daca:

1) 8A;B 2 A, A [B 2 A,2) 8A 2 A, cA 2 A,3) ? 2 A.

Demonstratie.")":

Presupunem ca A este o algebra. Cum A este inel, din cele de mai sus rezulta ca ? 2 A si A[B 2 A; 8A;B 2 A.Cum X 2 A rezulta imediat si (2 )."(":Presupunem (1 ),(2 ),(3 ) adevarate. Aratam pentru ^nceput ca A este un inel de multimi.Din (1 ) avem ca 8A;B 2 A; A [B 2 A. Fie A;B 2 A. Deoarece cA 2 A rezulta:c(AnB) = cA [B 1)2 A 2)) AnB = c(c(AnB)) 2 A. Prin urmare A este un inel.Cum ? 2 A 2)) X = c? 2 A si deci A este o algebra.

Propozitia 1.9 Orice intersectie nevida de inele(algebre) este un inel(algebra).

Demonstratie. Fie X 6= ? si e fCg2 o familie arbitrara de inele din P(X) astfel ^nca^t\

2

C 6= ?.

Notam\

2

C cu C. Daca A;B 2 C, atunci A;B 2 C ; 8 2 si cum ecare C este un inel, rezulta ca

A [B;AnB 2 C ; 8 2 . Deci A [B;AnB 2 C. Prin urmare C este un inel.Daca ecare C este o algebra, atunci X 2 C ; 8 2 si deci X 2 C.

Denitia 1.10 Fie X 6= ? si F P(X);F 6= ?. Se numeste inelul generat de familia F multimeaC(F) = T

C inelFCC.

Deoarece C(F) este o intersectie nevida de inele, este inel. C(F) este cel mai mic inel, ^n sensul relatiei deincluziune, care contine pe F . Analog se deneste algebra generata de familia F .

4


Propozitia 1.11 Fie X 6= ? si F ;F1;F2 P(X) nevide. Atunci avem:a) F C(F);b) F = C(F), F inel de multimi;c) F1 F2 ) C(F1) C(F2).Demonstratie. a) Rezulta imediat din denitie.b) Daca F = C(F), cum C(F) este un inel, rezulta ca F este un inel.Presupunem acum ca F este un inel de multimi. Cum F F , rezulta ca C(F) F . Deoarece F C(F), obtinemca F = C(F).c) Cum F1 F2 C(F2) si C(F2) este un inel, obtinem ca C(F1) C(F2).

Teorema 1.12 Fie X 6= ? si S P(X) un semiinel de multimi. Atunci

C(S) =(A Xj 9fAigi=1;n S astfel ^nca^t Ai \Aj = ? pentru i 6= j si A =

n[i=1

Ai

):

Demonstratie. Fie C =(A Xj 9fAigi=1;n S astfel ^nca^t Ai \Aj = ? pentru i 6= j si A =

n[i=1

Ai

)si vom

arata ca C este inel de multimi. Fie A;B 2 C nevide.

A 2 C ) 9A1; A2; :::; Am 2 S astfel ^nca^t Ai \Ai0 = ? pentru i 6= i0 si A =m[i=1

Ai

B 2 C ) 9B1; B2; :::; Bn 2 S astfel ^nca^t Bj \Bj0 = ? pentru j 6= j0 si B =n[

j=1

Bj

Daca A \B = ?, atunci Ai \Bj = ?; 8i 2 1;m; 8j 2 1; n, si deci A [B =m[i=1

Ai [n[

j=1

Bj 2 C. Deci avem:

8A;B 2 C cu A \B = ?; A [B 2 C: (1)Folosind (1), se demonstreaza prin inductie ca:

8fMiji 2 1; pg C asa ^nca^t Mi \Mj = ? pentru i 6= j; rezultap[

i=1

Mi 2 C: (2)

Pe de alta parte, deoarece Ai; Bj 2 S si S este semiinel, rezulta Ai \Bj 2 S.Daca (i; j); (i0; j0) 2 f1; :::;mg f1; :::; ng astfel ^nca^t (i; j) 6= (i0; j0) (adica i 6= i0 sau j 6= j0), atunci

(Ai \Bj) \ (Ai0 \Bj0)

Ai \Ai0 = ?; daca i 6= i0Bj \Bj0 = ?; daca j 6= j0 ) (Ai \Bj) \ (Ai0 \Bj0) = ?:

Prin urmare avem A \B =m[i=1

n[j=1

(Ai \Bj) 2 C si deci

8A;B 2 C; A \B 2 C: (3)Folosind (3), se demonstreaza prin inductie ca:

8fMiji 2 1; pg C;p\

i=1

Mi 2 C: (4)

Fie acum P;Q 2 S. Deoarece S este un semiinel rezulta:P \Q 2 SP \Q Q

) 9C0; C1; :::; Cp 2 S astfel ^nca^t CinCi1 2 S; 8i = 1; p si P \Q = C0 C1 ::: Cp = Q:

Rezulta atunci QnP = Qn(P \Q) = C0 [ (C1nC0) [ (C2nC1) [ ::: [ (CpnCp1) 2 C. Prin urmare avem:

8P;Q 2 S; QnP 2 C: (5)

Cum Ai; Bj 2 S; 8i 2 1;m; 8j 2 1; n (5)) AinBj 2 C; 8i 2 1;m; 8j 2 1; n (4))n\

j=1

(AinBj) 2 C; 8i 2 1;m.

5


Deoarece AnB =m[i=1

Ainn[

j=1

Bj =m[i=1

n\j=1

(AinBj) sin\

j=1

(AinBj) \n\

j=1

(Ai0nBj) Ai \ Ai0 = ? pentru i 6= i0,

rezulta ca AnB 2 C. Prin urmare avem:

8A;B 2 C; AnB 2 C: (6)Deoarece A[B = (AnB)[ (BnA)[ (A\B), iar AnB;BnA 2 C (din (6)) si A\B 2 C (din (3)), din (2) obtinemca A [B 2 C. Deci avem:

8A;B 2 C; A [B 2 C: (7)Din (6) si (7) obtinem ca C este un inel. Cum S C rezulta

C(S) C: (8)

Fie acum A 2 C si e A1; A2; :::; Am 2 S astfel ^nca^t A =m[i=1

Ai si Ai \Aj = ? pentru i 6= j.

Daca C0 P(X) este un inel de multimi astfel ^nca^t S C0, atunci Ai 2 C0; 8i = 1;m si deci A 2 C0. Prin urmareC C0, 8C0 inel cu S C0 si deci

C \

C0 inelSC0

C0 = C(S): (9)

Din (8) si (9) rezulta C(S) = C.

Exemplul 1.13 Fie X = R si S = f(a; b] j a; b 2 R; a < bg [ f?g. Deoarece S este un semiinel de multimirezulta:

C(S) =(A R j 9 f(ai; bi]gi=1;n S astfel ^nca^t (ai; bi] \ (aj ; bj ] = ? pentru i 6= j si A =

n[i=1

(ai; bi]

)[ f?g:

Exercitiul 1.14 Fie X 6= ? si L P(X) o latice de multimi. Atunci avem:

C(L) =(A Xj 9fAi; Bigi=1;n L astfel ^nca^t (Ai nBi) \ (Aj nBj) = ? pentru i 6= j si A =

n[i=1

(Ai nBi)):

Denitia 1.15 Fie X 6= ? si un sir de submultimi (An)n2N P(X).1) Sirul (An)n2N se numeste monoton crescator (sau ascendent) daca An An+1; 8n 2 N. I^n acest caz

[n2N

An

se numeste limita sirului si o vom nota cu limAn.2) Sirul (An)n2N se numeste monoton descrescator (sau descendent) daca An An+1; 8n 2 N. I^n acest caz\n2N

An se numeste limita sirului si o vom nota cu limAn.

3) Se numeste limita inferioara a sirului (An)n2N multimea[n

\kn

Ak, pe care o notam cu lim inf An.

4) Se numeste limita superioara a sirului (An)n2N multimea\n

[kn

Ak, pe care o notam cu lim supAn.

Observatia 1.16 Fie (An)n2N P(X) un sir de multimi si e Cn =\kn

Ak, Dn =[kn

Ak; 8n 2 N. Atunci

(Cn) este ascendent cu limCn = lim inf An si (Dn) este descendent cu limDn = lim supAn.

Propozitia 1.17 Fie X 6= ? si C P(X) un inel de multimi. Daca (An)n2N C, atunci exista un sir(Bn)n2N C astfel ^nca^t:

1) Bn An; 8n 2 N;2)[n2N

Bn =[n2N

An;

3) Bm \Bn = ? pentru m 6= n.

6


Demonstratie. 1) Denim B0 = A0 si Bn = Annn1[k=0

Ak; 8n 2 N. Atunci avem B0 2 C si 8n 2 N:

(Ak) CC inel

)

n1[k=0

Ak 2 C )Bn 2 C:

Deci (Bn) C.De asemenea avem Bn An; 8n 2 N, de unde rezulta

[n2N

Bn [n2N

An.

2) Fie un x 2[n2N

An. Atunci multimea fn 2 N j x 2 Ang 6= ? si cum multimea numerelor naturale este bine

ordonata, exista n0 = minfn 2 N j x 2 Ang. Atunci x 2 An0 si x 62 Ak; 8k < n0, adica x 2 Bn0 . Deci x 2[n2N

Bn.

Prin urmare[n2N

Bn [n2N

An, care implica[n2N

Bn =[n2N

An.

3) Fie m;n 2 N;m 6= n. Presupunem ca m < n. Atunci Am n1[k=0

Ak si deci Bm\Bn Am\ Ann

n1[k=0

Ak

!= ?,

de unde obtinem ca Bm \Bn = ?.

Denitia 1.18 Fie X 6= ?:a) O familie A P(X) se numeste inel daca:

1. A este inel de multimi,2. 8(An)n2N A,

\An 2 A.

b) O familie A P(X) se numeste inel (sau clan borelian) daca:1. A este inel de multimi,2. 8(An)n2N A,

[An 2 A.

c) O familie A P(X) se numeste algebra daca:1. A este inel de multimi,2. X 2 A.

Exercitiul 1.19 Fie X 6= ?.1) Atunci P(X) si f?; Xg sunt algebre, respectiv cea mai mare si cea mai mica algebra de parti ale lui X,^n sensul relatiei de incluziune.2) Daca X este o multime nenumarabila atunci A = fA X j jAj @0g este un inel, dar nu este algebra.3) Daca X este o multime innita atunci A = fA X j jAj @0 sau jcAj @0g este o algebra.

Propozitia 1.20 Orice inel este un inel.Demonstratie. Fie o multime nevida X si A P(X) un inel. Fie un sir (An)n2N A si A =

[n

An.

Deoarece A este inel, rezulta ca A 2 A si A nAn 2 A; 8n. Atunci avem:

An\n

An =[n

(AnAn) 2 A ) An An\n

An

!| {z }A\TnAn=

TnAn

2 A:

Deci\n

An 2 A si deci A este un inel.

Corolar 1.21 Fie X o multime nevida si A P(X) un inel. Atunci:i) Pentru orice sir monoton (crescator sau descrescator) (An) A avem limAn 2 A.ii) Pentru orice sir (An) A avem lim inf An; lim supAn 2 A.

Exercitiul 1.22 Orice intersectie nevida de inele (inele, algebre) este un inel (inel, algebra).

Denitia 1.23 Fie X 6= ? si F P(X); F 6= ?.a) Se numeste inelul generat de familia F multimea

7


(F) = TD inelFD

D.

b) Se numeste inelul generat de familia F multimea(F) = T

S inelFS

S.

c) Se numeste algebra generata de familia F multimeaA(F) = T

A algebraFA

A.

Din Exercitiul 1.22 rezulta ca (F) este un inel. (F) este cel mai mic inel, ^n sensul relatiei de incluziune,care contine pe F . De asemenea, (F) este cel mai mic inel care contine pe F , iar A(F) este cea mai micaalgebra care contine pe F .

Exercitiul 1.24 Fie X 6= ? si F ;F1;F2 P(X) nevide. Atunci avem:1) F (F);2) F = (F), F este inel;3) F1 F2 ) (F1) (F2):

Proprietati similare avem si pentru inele si algebre.

Exercitiul 1.25 Fie X 6= ? si D P(X) un inel de multimi. Atunci

(D) =(A Xj 9fAngn2N D astfel ^nca^t A =

[n2N

An

):

Denitia 1.26 Fie X 6= ?. O familie nevida M P(X) se numeste familie monotona daca pentru orice sirmonoton (An) M avem limAn 2M.

Exercitiul 1.27 Au loc urmatoarele:a) Orice inel este o familie monotona.b) Daca o familie monotona este inel atunci aceasta este si inel.

Exercitiul 1.28 Orice intersectie nevida de familii monotone este o familie monotona.

Denitia 1.29 Fie X 6= ? si F o familie nevida de submultimi ale lui X. Se numeste familia monotona generatade F multimea

M(F) =\

M familie monotonaFM

M:

Din Exercitiul 1.28 rezulta ca M(F) este cea mai mica familie monotona, ^n sensul relatiei de incluziune, carecontine pe F .

Exercitiul 1.30 Fie X 6= ? si F ;F1;F2 P(X) nevide. Atunci avem:1) F M(F);2) F =M(F), F este inel;3) F1 F2 )M(F)1 M(F)2:

Teorema 1.31 Fie X 6= ? si E P(X) o algebra de multimi. Atunci M(E) = A(E).Demonstratie. Deoarece A(E) este un inel, A(E) este o familie monotona si cum E A(E) rezulta caM(E) A(E). Pentru a arata incluziunea inversa vom arata mai ^nta^i ca M(E) este o algebra.Fie A 2 P(X) si e L(A) = fE 2 P(X)jE n A 2 M(E); A n E 2 M(E); E [ A 2 M(E)g. Observam caE 2 L(A), A 2 L(E). Cum M(E) este o familie monotona, rezulta imediat ca L(A) este o familie monotona.De asemenea, daca A 2 E , ^ntruca^t E este o algebra si E M(E), rezulta ca 8E 2 E , E 2 L(A). Prinurmare E L(A). Cum L(A) este o familie monotona, obtinem atunci ca M(E) L(A). De aici rezulta:E 2 M(E)) E 2 L(A)) A 2 L(E). Prin urmare, daca E 2 M(E), atunci A 2 L(E); 8A 2 E . Deci E L(E)si deci M(E) L(E). Cum M(E) L(E); 8E 2 M(E), din denitia lui L(E) urmeaza ca M(E) este un inel.Deoarece X 2 E M(E), rezulta ca M(E) este o algebra. Din exercitiul 1.27(b) obtinem atunci ca M(E) esteo algebra si prin urmare A(E) M(E).

8


Denitia 1.32 Fie X 6= ?: Se numeste topologie pe X; orice familie nevida P(X) astfel ^nca^t:1) 8(Ai)i2I ;

Si2I

Ai 2 ,2) 8A;B 2 ; A \B 2 ,3) X;? 2 .

I^n acest caz (X; ) se numeste spatiu topologic.

Fie (X; ) un spatiu topologic. Elementele lui se numesc multimi deschise. O multime A X se numeste^nchisa daca cA este deschisa. Notam F = fF Xj F este ^nchisag.

Denitia 1.33 Daca (X; ) este un spatiu topologic, A() se numeste algebra multimilor boreliene si senoteaza cu B .

Exercitiul 1.34 Fie (X; ) un spatiu topologic. Atunci B = A(F ) = A(C()) = A(C(F )).

Exercitiul 1.35 Fie (X; kk) un spatiu normat nit dimensional, topologia normei si K familia submultimilorcompacte. Atunci B = A(K ).

Exercitiul 1.36 Fie X = R si urmatoarele familii de multimi:0 = topologia uzuala a lui R,I1 = f(a; b) j a; b 2 R; a < bg,I2 = f(a; b) j a; b 2 Q; a < bg,I3 = f(a; b] j a; b 2 R; a < bg,I4 = f[a; b) j a; b 2 R; a < bg,I5 = f[a; b] j a; b 2 R; a bg,

Atunci avem B0 = A(I1) = A(I2) = A(I3) = A(I4) = A(I5).Cu notatiile de la exercitiul precedent, vom determina ^n continuare cardinalul familiei B0 . Pentru aceasta vomutiliza teorema urmatoare, a carei demonstratie poate citita ^n lucrarea [2], vol.1, pag.120.

Teorema 1.37 (teorema lui Hewitt si Stromberg) Fie X 6= ?; F P(X) asa ^nca^t ? 2 F si card(F) = 2. Atunci card(A(F)) @0 .

Teorema 1.38 Cardinalul multimii B0 este egal cu puterea continuului.Demonstratie. Puterea continuului este numarul cardinal c = card(R) = card(P(N)) = 2@0 .Consideram functia f : QQ! I2, denita prin

f(a; b) =

8

curs1

Documents