1

ELEMENTE DE CALCUL PENTRU STRUCTURILE DE PODURI

FEROVIARE CU GRINZI METALICE ÎNGLOBATE ÎN BETON

1. INTRODUCERE

Calculul structurilor de poduri cu grinzi metalice înglobate în beton se bazează pe

rezultatele cercetărilor teoretice şi experimentale ale Uniunii Internaţionale de Căi Ferate (UIC)

realizate prin Subcomitetul de Poduri al Comisiei de Infrastructură. Principiile de calcul se

găsesc în recomandările pentru proiectarea acestor tipuri de structuri, din Fişa UIC 773 R, Ediţia

a 4-a din anul 1997, recomandări care sunt corelate cu exigenţele din normele europene

(Eurocode 4 – Partea a 2-a: Poduri). În România, Institutul de Studii şi Proiectări Căi Ferate a

elaborat în perioada 1998-2000 “Normativul pentru proiectarea structurilor de poduri cu grinzi

metalice înglobate în beton”, considerând recomandările din Fişa UIC 773R-1997.

Metoda de calcul utilizată este la stări limită.

2. ÎNCǍRCǍRI

Încărcările permanente se pot grupa astfel:

a) greutatea grinzilor metalice, cofrajului pierdut dintre grinzi, distanţierilor dintre

grinzi, contravântuirilor dacă acestea există, betonului în care sunt înglobate grinzile

şi a celui din console;

b) greutatea şapei, hidroizolaţiei, componentelor căii (piatră spartă, traverse, şine,

material mărunt de cale), elementelor de trotuar şi parapet, opritorilor de balast,

instalaţiilor etc.;

c) deformaţii permanente determinate de exemplu de tasări de reazeme la structuri

continui pe două sau mai multe deschideri.

Preluarea încărcărilor permanente depinde de etapele de execuţie ale structurii de

rezistenţă. Există două soluţii de execuţie a structurii. Prima soluţie constă în rezemarea grinzilor

din oţel pe toată lungimea lor şi păstrarea reazemelor până la întărirea betonului în care grinzile

sunt înglobate. În acest caz toate încărcările permanente sunt preluate de structura mixtă oţel-

beton. A doua soluţie de execuţie constă în rezemarea grinzilor numai în secţiunile aparatelor de

reazem definitive. În acest caz încărcările permanente din grupa a) sunt preluate numai de

grinzile metalice, iar cele din grupele b) şi c) sunt preluate de structura mixtă oţel-beton.

2

Încărcările permanente se pot considera uniform repartizate la grinzile structurii, în cazul

structurilor care au înălţime constantă longitudinal şi transversal podului.

Pentru căile ferate normale din România, încărcările utile sunt date de convoiul T8.5, iar

în cazul deschiderilor mici (L < 8.37 m) se consideră şi un convoi adiţional dacă efectele acetuia

sunt mai defavorabile. Efectele încărcărilor utile se multiplică cu coeficientul dinamic care se

recomandă să se utilizeze pentru cazul cel mai defavorabil, adică cel al şinelor nesudate.

Numărul de grinzi din structura de rezistenţă care preiau încărcarea utilă se stabileşte

considerând precizările din Fig.1.

Fig. 1 Stabilirea numărului de grinzi care preiau încărcarea utilă

În cazul în care calea pe structură este în curbă, trebuie să se considere efectele forţei

centrifuge, ale dezaxării axei căii faţă de axa structurii şi ale supraînălţării.

Combinaţia crtitică de încărcări pentru stări limită este următoarea:

8.5. G P T T TINC TOT G Q Q (1)

unde:

G este coeficientul parţial de siguranţă pentru încărcările permanente. Pentru Starea

Limită Ultimă valorile coeficientului parţial de siguranţă sunt 1.35 în cazul

efectelor defavorabile şi 0.9 pentru efectele favorabile (Fig.2). În cazul Stării

Limită de Exploatare valoarea coeficientului parţial de siguranţă este 1.0 atât

pentru efectele favorabile cât şi pentru cele defavorabile. În cazul încărcărilor

permanente cu probabilitate mare de variaţie în timpul exploatării structurii, cum

sunt de exemplu prismul de piatră spartă şi instalaţiile de pe pod, coeficientul G

se aplică unei încărcări mai mari cu 30% decât cea normată;

3

P este coeficientul parţial de siguranţă pentru încărcarea datorată convoiului de

calcul. Pentru Starea Limită Ultimă valorile sunt 1.45 în cazul efectelor

defavorabile (Fig.2). În cazul Stării Limită de Exploatare valoarea coeficientului

este 1.0 atât pentru efectele favorabile cât şi pentru cele defavorabile;

T este coeficientul parţial de siguranţă pentru încărcarea pe trotuare. Pentru Starea

Limită Ultimă valorile sunt 1.2 în cazul efectelor defavorabile şi 0.8 pentru

efectele favorabile (Fig.2). În cazul Stării Limită de Exploatare valoarea

coeficientului este 0.8 atât pentru efectele favorabile cât şi pentru cele

defavorabile.

1.35g

1.45qP

1.20qT

x(L-x)/L

x

L L

1.35g 0.90g

1.45qP

1.20qT 0.80qT

L.I. Mx L.I. Mx

x

L

Fig. 2 Exemplu de alegere a coeficienţilor parţiali de siguranţă pentru încărcări (Stări Limită Ultime)

G încărcarea permanentă;

5.8TQ încărcarea datorată convoiului T8.5 sau convoiului adiţional;

TQ încărcarea pe trotuare.

Combinaţiile de încărcări care consideră acţiunea vântului împreună cu alte două

încărcări variabile (încărcarea din trafic şi încărcarea pe trotuare), cât şi cele în care acţiunea

vântului se combină cu o altă încărcare variabilă, nu sunt critice pentru efectele considerate.

Influenţa contracţiei betonului poate fi neglijată.

Efectele datorate variaţiei temperaturii sau diferenţelor de temperatură pot fi neglijate la

proiectarea structurii, dar trebuie considerate pentru aparatele de reazem.

3. CALCULUL EFORTURILOR SECŢIONALE ŞI DEFORMAŢIILOR

Eforturile secţionale (momente încovoietoare, forţe tăietoare) şi deformaţiile structurii se

calculează considerând un model liniar elastic (betonul fără fisuri) şi moment de inerţie constant

4

pe deschidere. Modelarea structurii poate fi sub formă de placă ortotropă sau sub formă de reţea

de grinzi utilizând un program adecvat de analiză structurală bazat pe metoda elementului finit.

Se admite şi modelarea structurii sub formă de grinzi independente care se pot calcula cu

teoria clasică a încovoierii, dacă încovoierea transversală sau torsiunea structurii poate fi luată în

considerare prin armătura transversală. Acesta este cazul structurilor care suţin o singură cale

ferată, au o oblicitate mai mare de 70 şi la care armătura transversală de la partea inferioară este

realizată cu bare din oţel, cu profil periodic, cu distanţe între ele de maxim 300 mm şi cu

diametru de 16 mm, dacă deschiderea structurii este mai mare de 5.00 m şi cu diametru de 20

mm, dacă deschiderea este mai mică de 5.00 m.

4. STAREA LIMITǍ ULTIMǍ DE REZISTENŢǍ

Pentru starea limită ultimă de rezistenţă se va considera numai combinaţia de momente

încovoietoare cea mai defavorabilă care pentru o structură cu grinzi metalice înglobate în beton

ce susţine o singură cale ferată în aliniament are expresia:

8.51.35 1.45 1.2Sd G QT QSM M M M (2)

în care:

SdM este valoarea de proiectare a momentului încovoietor pentru starea limită ultimă

de rezistenţă;

GM este momentul încovoietor rezultat din încărcări permanente;

5.8QTM este momentul încovoietor rezultat din acţiunea convoiului T8.5 sau a convoiului

adiţional dacă este mai defavorabil;

QSM este momentul încovoietor rezultat din încărcarea pe trotuare.

Pentru verificarea structurii în starea limită ultimă de rezistenţă trebuie îndeplinită

condiţia:

RdSd MM (3)

în care:

RdM este valoarea de proiectare a momentului încovoietor rezistent care se poate

determina utilizând o distribuţie birectangulară a eforturilor unitare (Fig.3) pentru

oţel şi beton.

5

b

B

ti

St

Sc

b

Bc

z z

y G

h

H

ct t

y

y

fck/b

FBc

FSc

FSt

fy/a fy/a

yFS

t

y FS

c

y FB

c

Axa neutrapentru comportarea

componentelor sectiunii in domeniul plastic

t t

Fig. 3 Schema de calcul a momentului încovoietor rezistent ultim RdM

Momentul încovoietor rezistent ultim este momentul încovoietor maxim la care secţiunea

transversală poate rezista înainte de rupere. Acest moment încovoietor se poate obţine când toate

fibrele componentelor secţiunii transversale ating rezistenţa de rupere în domeniul plastic

(Fig.3).

Calculul poziţiei axei neutre Gy (Fig.3) se obţine din ecuaţia de echilibru a forţelor

rezultante pe secţiunea transversală la care nu se ţine seama de betonul din zona întinsă. Ecuaţia

de echilibru este:

ScBcSt FFF (4)

în care:

tGita

ySt tytbt

fF

(5)

Gtita

ySc ythtbt

fF

(6)

GtitGb

ckBc ythtbtyHB

fF

(7)

yf este limita de curgere a oţelului din care sunt confecţionate grinzile metalice;

a este un coeficient parţial de siguranţă pentru oţelul din grinzile metalice

( 10.1a );

ckf este rezistenţa caracteristică a betonului stabilită pe cilindru;

6

este un factor de siguranţă pentru rezistenţa caracteristică a betonului ( 85.0 );

b este un coeficient parţial de siguranţă pentru beton ( 50.1b ).

Înlocuind expresiile forţelor rezultante ( BcScSt FFF ,, ) în ecuaţia de echilibru se obţine

necunoscuta care este Gy . Cunoscând poziţia axei neutre există toate datele pentru calculul

excentricităţilor forţelor rezultante (Fig.3) faţă de axa neutră ( FBcFScFSt yyy ,, ). Momentul

încovoietor rezistent ultim este suma momentelor forţelor rezultante ( BcScSt FFF ,, ) faţă de axa

neutră. Se obţine:

FBcBcFScScFStStRd yFyFyFM (8)

5. STǍRILE LIMITǍ DE EXPLOATARE

Verificările la stările limită de exploatare includ:

a) limitarea deformaţiei (săgeţii) structurii;

b) limitarea eforturilor unitare în materialele componentelor structurale (grinzi din oţel,

beton, armătură);

c) limitarea deschiderii fisurilor în beton.

a) Limitarea săgeţii

Calculul săgeţii structurii trebuie să ţină seama de soluţia de execuţie considerată şi

aplicată (vezi precizările de la pct.2 de mai sus). Dacă soluţia de execuţie conduce la preluarea

tuturor încărcărilor numai de către secţiunea mixtă oţel-beton, săgeata totală are două

componente:

pg fff (9)

unde:

gf este săgeata din încărcarea permanentă;

pf este săgeata din încărcarea utilă (acţiunea convoiului de calcul).

Dacă soluţia de execuţie conduce la preluarea unor încărcări permanente numai de către

secţiunea grinzilor din oţel, săgeata totală are trei componente:

pgg ffff 21 (10)

unde:

1gf este săgeata din încărcarea permanentă preluată numai de grinzile din oţel;

7

2gf este săgeata din încărcarea permanentă preluată de structura mixtă;

pf este săgeata din încăcarea utilă (acţiunea convoiului de calcul).

Pentru structuri simplu rezemate, săgeţile se pot evalua astfel:

oo

gg IE

LMf

48

5 21

1 (11)

1

22

2 48

5

Mb

gg IE

LMf (12)

2

2

48

5

Mb

pp IE

LMf (13)

în care:

1gM este momentul încovoietor maxim determinat de încărcarea permanentă preluată

numai de grinzile din oţel;

2gM este momentul încovoietor maxim determinat de încărcarea permanentă preluată

de structura mixtă oţel-beton;

pM este momentul maxim maximorum determinat de convoiul de calcul;

L este deschiderea structurii;

oE este modulul de elasticitate al oţelului din grinzi;

oI este momentul de inerţie al grinzilor din oţel faţă de axa principală de încovoiere

oo zz (axa paralelă cu talpile profilului I);

bE este modulul de elasticitate al betonului;

1MI este momentul de inerţie al secţiunii mixte oţel-beton faţă de axa principală de

încovoiere MM zz , considerând încărcările de lungă durată şi transformarea

secţiunii mixte într-o secţiune echivalentă de beton;

2MI este momentul de inerţie al secţiunii mixte oţel-beton faţă de axa principală de

încovoiere MM zz , considerând încărcările de scurtă durată şi transformarea

secţiunii mixte într-o secţiune echivalentă de beton.

Pentru calculul momentelor de inerţie 1MI şi 2MI se consideră că o parte din betonul

situat în zona întinsă a structurii contribuie la rigiditatea la încovoiere. În consecinţă momentele

de inerţie 1MI şi 2MI se pot calcula, în mod simplificat, astfel:

2

''' 111

MMM

III

(14)

8

2

''' 222

MMM

III

(15)

unde:

1'MI este momentul de inerţie al secţiunii mixte oţel-beton faţă de axa principală de

încovoiere MM zz (Fig.4), considerând încărcările de lungă durată,

transformarea secţiunii mixte într-o secţiune echivalentă din beton şi neglijând

betonul din zona întinsă;

1'' MI este momentul de inerţie al secţiunii mixte oţel-beton faţă de axa principală de

încovoiere MM zz (Fig.5), considerând încărcările de lungă durată,

transformarea secţiunii mixte într-o secţiune echivalentă din beton şi considerând

betonul din zona întinsă;

2'MI este momentul de inerţie al secţiunii mixte oţel-beton faţă de axa principală de

încovoiere MM zz (Fig.4), considerând încărcările de scurtă durată,

transformarea secţiunii mixte într-o secţiune echivalentă din beton şi neglijând

betonul din zona întinsă;

2'' MI este momentul de inerţie al secţiunii mixte oţel-beton faţă de axa principală de

încovoiere MM zz (Fig.5), considerând încărcările de scurtă durată,

transformarea secţiunii mixte într-o secţiune echivalentă din beton şi considerând

betonul din zona întinsă.

Calculul momentelor de inerţie MI ' (Fig.4):

Poziţia axei neutre se obţine din ecuaţia:

GMOGMOOGM yAnyBeAn

yB ''

2

' 2

(16)

0'

2

' 2

OOGMOGM eAnyAn

yB (17)

B

eAn

B

An

B

Any OOOO

GM

2

'2

(18)

9

Fig. 4 Schema de calcul a momentelor de inerţie MI '

Dacă se cunoaşte poziţia axei neutre se poate calcula momentul de inerţie MI ' . Se

obţine:

3

'''

32 CG

OMOOM

yBeAInI

(19)

unde:

n este coeficientul de echivalenţă care se defineşte ca raportul dintre modulul de

elasticitate al oţelului din grinzi şi modulul de elasticitate al betonului în care

grinzile metalice sunt înglobate şi depinde de tipul încărcărilor. Pentru încărcări

de lungă durată se poate considera 18n , iar pentru încărcări de scurtă durată

6n ;

OA aria secţiunii grinzii din oţel;

OI momentul de inerţie al secţiunii grinzii din oţel faţă de axa principală de

încovoiere oo zz (axa paralelă cu talpile profilului I).

Calculul momentelor de inerţie MI '' (Fig.5):

10

Fig. 5 Schema de calcul a momentelor de inerţie MI ''

Poziţia axei neutre se obţine ca pentru o secţiune omogenă din beton folosind coeficienţii

de echivalenţăn , precizaţi mai sus. Se obţine:

bO

bbOO

GM AAn

hAeAn

y

2'' (20)

Momentul de inerţie MI '' va fi:

23

2 ''212

'''

GM

bb

bOMOOM y

hA

hBeAInI (21)

Valorile limită ale săgeţilor care nu trebuie depăşite de valorile calculate sunt precizate în

norme de proiectare şi sunt stabilite în funcţie de sistemul static al structurii, de deschidere, de

viteza de circulaţie pe calea ferată şi de nivelul de confort. Pentru structuri simplu rezemate

succesive, cu cel puţin 3 deschideri şi nivel de confort foarte bun, valorile fa /L se găsesc în

Tabelul 1 (fa = săgeata admisă ; L=deschiderea):

Tabelul 1

VITEZA DE

CIRCULAŢI

E

[km/h]

DESCHIDEREA L, în m

L 15 15 < L 30 30 < L 50 50 < L 90 90 < L 120

V 120 1/800 1/900 1/800 1/600 1/600

120 < V 160 1/900 1/1200 1/1200 1/800 1/600

160 < V 250 1/1000 1/1400 1/1500 1/1300 1/600

11

Valorile din Tabelul 1 vor fi multiplicate cu un factor egal cu: 1.1 pentru structuri

continui, 2.0 pentru structuri cu o deschidere, 1.5 pentru structuri cu două deschideri.

b) Limitarea eforturilor unitare în materialele componentelor structurale (grinzi

din oţel, beton, armătură)

Această stare limită are ca obiectiv să verifice prin calcul eforturile unitare în materialele

componentelor structurale astfel ca nici în betonul din zona comprimată şi nici în oţelul din

grinzi să nu se ajungă la deformaţii ireversibile, pentru orice combinaţie de încărcări posibilă.

Eforturile unitare totale maxime pentru fiecare etapă de execuţie şi în exploatare nu

trebuie să depăşească, în orice punct al structurii, următoarele valori:

eforturile unitare în grinzile din oţel a nu trebuie să depăşească valoarea 15.1/yf

( yf este limita de curgere a oţelului din care sunt confecţionate grinzile). Prezenţa

găurilor din inimile grinzilor, pentru armătura transversală, trebuie luată în

considerare. Eforturile unitare tangenţiale orizontale maxime h , calculate

considerând secţiunea netă şi ipoteza că forţa tăietoare este preluată numai de inimile

grinzilor, trebuie să îndeplinească condiţia: yh f45.0 . Pentru starea plană de

eforturi unitare din zona găurilor pentru armătura transversală, trebuie îndeplinită

condiţia:

2

22

15.17.3

y

h

f . Dacă diametrul găurilor pentru armătura

transversală nu depăşeşte 50 mm, iar distanţa dintre găuri nu este mai mică de 300

mm, cele două condiţii nu mai trebuie verificate;

eforturile unitare maxime de compresiune din beton nu trebuie să depăşească valoarea

ckf6.0 , unde ckf este rezistenţa caracteristică a betonului stabilită pe cilindru.

Eforturile unitare de întindere în beton nu sunt limitate;

eforturile unitare din armătura longitudinală solicitată la întindere nu trebuie să

depăşească valoarea 50.1/yf ( yf este limita de curgere a oţelului din care este

confecţionată armătura).

Calculul eforturilor unitare se efectuează luând în considerare soluţia de execuţie a

structurii şi tipul încărcărilor. Pentru încărcările preluate de structura mixtă oţel-beton, lăţimea

betonului în care este înglobată o grindă se consideră distanţa dintre axele a două grinzi metalice

consecutive pentru grinzile interioare, iar pentru grinzile marginale, jumătate din această distanţă

12

plus distanţa de la axa grinzii marginale la faţa exterioară verticală a betonului care înglobează

grinzile, dar nu mai mult de jumătate din distanţa dintre două grinzi metalice consecutive.

În cazul momentelor încovoietoare pozitive (care determină întinderi la partea inferioară

a structurii), eforturile unitare se calculează considerând ca betonul din zona întinsă este fisurat,

adică se neglijează.

În cazul momentelor încovoietoare negative (care determină întinderi la partea superioară

a structurii), eforturile unitare se calculează considerând betonul din zona întinsă fisurat (adică se

neglijează), dar ţinând seama de armătura longitudinală amplasată deasupra tălpii superioare a

grinzilor metalice.

c) Limitarea deschiderii fisurilor în beton

Pentru structurile continui cu două sau mai multe deschideri, pe reazemele intermediare

este necesară, la partea superioară a structurii, o cantitate minimă de armătură longitudinală în

vederea limitării deschiderii fisurilor în beton. Aria armăturii longitudinale sA trebuie să

îndeplinească condiţia:

s

tccS

fAA

65.0 (22)

unde:

cA este aria betonului întins situat deasupra tălpii superioare a grinzii din oţel (Fig.6);

tcf este rezistenţa la întindere a betonului în momentul când se presupune că se

produce fisurarea;

s reprezintă efortul unitar în armătură (în MPa) în funcţie de valoarea admisă F a

lăţimii (dechiderii) fisurii (Tabelul 2).

Diametrul s din Tabelul 2 este egal cu tc

r f

5.2 , unde r este diametrul barelor de

armătură prevăzute, iar tcf este rezistenţa la întindere a betonului în MPa (Tabelul 3).

Deschiderea maximă a fisurilor admisă F este precizată în prescripţii de proiectare. Pentru poduri

de cale ferată ea nu trebuie să fie mai mare de 0.3 mm.

13

Fig. 6 Definirea termenilor As şi Ac

Tabelul 2

s [mm] 10 12 16 20 25

F=0.3 mm 360 320 280 240 200

F=0.2 mm 280 240 200 180 160

Tabelul 3

Clasa de

rezistenţă a

betonului

C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50

ckf [MPa] 20 25 30 35 40

tcf [MPa] 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5

6. STAREA LIMITĂ DE OBOSEALĂ

Pentru grinzile din oţel laminate fără îmbinări sudate nu este necesară verificarea la

oboseală. Dacă grinzile laminate suferă însă degradări în timpul transportului şi/sau montajului,

în timpul tăierii cu flacăra sau în timpul execuţiei găurilor, sunt necesare reparaţii şi se pot cere

verificări suplimentare la oboseală.

Pentru grinzile din oţel sudate sau grinzile din oţel laminate cu îmbinări sudate,

verificarea la oboseală este necesară în secţiunile cu detaliile constructive şi solicitările cele mai

defavorabile pentru rezistenţa la oboseală.

În starea limită de oboseală se verifică dacă sunt îndeplinite relaţiile:

14

Mf

cEFf

2 (23)

Mf

cEFf

2 (24)

iar în cazul stărilor plane de eforturi unitare, trebuie îndeplinită condiţia:

3 5

2 2 1Ff E Ff E

c c

Mf Mf

(25)

unde:

Ff este coeficientul parţial de siguranţă pentru acţiunile care determină fenomenul de

oboseală. Valoarea acestui coeficient este 1.0, dacă în prescripţii de proiectare sau

în caiete de sarcini nu este precizată altă valoare.

22 , EE sunt ecarturi de eforturi unitare, echivalente efectelor traficului real, care

se calculează cu relaţiile:

pE 22 (26)

pE 22 (27)

reprezintă un factor de echivalenţă a vătămărilor, fiind un produs de 4 factori

( 4321 ). Factorul 1 ţine seama de schema statică, de structura

traficului şi de lungimea încărcată a liniei sau suprafeţei de influenţă. Factorul 2

ţine seama de volumul traficului pe an şi pe o cale ferată. Factorul 3 ţine seama

de durată de viaţă normată a podului. Factorul 4 consideră influenţa mai multor

căi ferate susţinute de aceeaşi structură de rezistenţă. Valorile factorilor i sunt

precizate în prescripţii de proiectare (De exemplu Eurocode 3, Partea a 2-a);

2 este coeficient dinamic. Eurocode 1, Partea a 2-a prevede pentru coeficientul

dinamic expresia:

82.02.0

44.12

L

(28)

unde L este deschiderea în m, pentru structuri simplu rezemate de cale ferată;

15

pp , reprezintă ecarturi de eforturi unitare determinate de modelul de încărcare

la oboseală, în secţiunea elementului structural unde se efectuează

verificarea la oboseală. Pentru poduri de cale ferată normală se foloseşte

Modelul 71 (Fig.7) de încărcare la oboseală.

Fig. 7 Modelul de încărcare 71 pentru poduri de cale ferată normală

Ecarturile de eforturi unitare min,71max,71 ppp şi

min,71max,71 ppp se calculează considerând că o parte din betonul

situat în zona întinsă a structurii contribuie la rigiditatea la încovoiere

(vezi precizările de la pct.5);

Fig. 8 Curbe de rezistenţă la oboseală (Eurocode 3)

16

cc , sunt ecarturi de eforturi unitare pentru solicitări variabile cu amplitudine

constantă care determină degradări prin oboseală la o aplicare a acestora

de 2×106 ori. Ele depind de tipul efortului unitar ( sau ) şi de categoria

detaliului constructiv (grupa de crestare). Valorile c şi c se obţin

din curbele rezistenţelor la oboseală (Fig.8), care se mai numesc şi curbe

de durabilitate la oboseală.