curs de algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială · punctului m i se asociază x...
TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA DE ŞTIINŢE AGRICOLE ŞI MEDICINĂ VETERINARĂ A BANATULUI TIMIŞOARA
Facultatea de Management Agricol
ID – IMAPA
Conf.Dr. Ciprian RUJESCU
Curs de
Algebră liniară, geometrie
analitică şi diferenţială
- TIMIŞOARA - 2009
CUPRINS
§ 1. Algebră vectorială
§ 2. Dreapta şi planul în spaţiu
§ 3. Geometria diferenţială a curbelor şi suprafeţelor în spaţiu
§ 4. Conice pe ecuaţia generală. Suprafeţe de ordinul II. Sfera
1
28
51
67
Bibliografie 96
§.1. Algebră vectorială
1. Sisteme de coordonate pe dreaptă
Definiţia 1 O dreaptă pe care s-a luat o origine O, o unitate u de măsură şi
un sens de parcurs, se numeşte axă (figura 1).
sens negativ sens pozitiv
O(0) M(x)
u
fig.1.
Punctului M i se asociază x∈R care se numeşte coordonata punctului faţă
de axa considerată şi ea depinde de origine, unitate de măsură şi de sens.
O(0) O'(a)
a
M(x)
M2(x-a)
M1(-x)
fig.2.
Datorită faptului că există un sens pozitiv şi sensul opus este sensul
negativ, punctului M(x) îi corespunde punctul M1(-x).
Dacă luăm o nouă origine O'(a) atunci punctul M are coordonata x faţă de
vechea origine şi coordonata x-a faţă de noua origine (figura 2).
O M2(x2)M1(x1) fig.3.
Definiţia 2 Segmentul M M1 2→
unde M1(x1), M2(x2) se numeşte orientat de
la M1 la M2 şi avem : M M1 2→
= {x∈[x1,x2]},⏐M M1 2→
⏐ = ⏐x2 - x1⏐, lungimea
algebrică M M1 2 = x2 - x1, M M1 2 fiind segmentul neorientat şi
M1M2 = ⏐M M1 2 ⏐ (figura 3).
Observaţia 1 Lungimea algebrică este pozitivă dacă M2 este la dreapta lui
M1 şi negativă, în sens contrar, dacă sensul pozitiv este luat de la stânga la
dreapta.
Teorema 1 (Relaţia lui Chasles). Dacă avem punctele M1(x1), M2(x2),
M3(x3), atunci M M1 2 + M M2 3 + M M3 1 = 0.
Demonstraţie Avem: M M1 2 = x2 - x1
M M2 3 = x3 - x2
M M3 1 = x1 - x3
care prin adunare dau relaţia cerută.
Definiţia 3 Fie M1(x1), M2(x2), x1< x2 şi M(x) atunci x = x x1 2
1++λλ este
coordonata punctului care împarte segmentul M1M2 în raporul λ unde
λ = =−−
M MMM
x xx x
1
2
1
2.
Expresia coordonatei se află uşor din λ =−−
x xx x
1
2 sau λx2 - λx1 = x -x1 sau
x(1-λ) = λx2 + x1 sau x = x x1 2
1++λλ , dacă λ = 1 atunci x =
x x1 22+
şi M este
mijlocul segmentului M M1 2 .
Observaţia 2 Dacă avem M(x), coordonata x se mai numeşte şi abscisă, iar
dacă x∈R, axa pe care se află punctul M se numeşte axa numerelor reale sau axa
reală.
2. Sisteme de coordonate în plan
a) Coordonate carteziene
Mulţimea punctelor ordonate (x,y)∈R2 (figura 1), unde x∈R, y∈R se
numeşte plan, deci un punct M(x,y) are două coordonate şi anume abscisa x şi
ordonata y astfel că dreptele Ox ⊥ Oy se numesc dreapta absciselor şi respectiv
dreapta ordonatelor şi ele formează un sistem cartezian rectangular în plan sau
reper cartezian rectangular, notat xOy.
y
xA(x)
B(y)M(x,y)
O
fig.1.
Dacă avem M1(x1,y1), M(x,y), M2(x2,y2) şi segmentul M M1 2 (figura 2),
punctul M fiind situat pe acest segment atunci raportul în care M împarte
segmentul M1M2 este λ = M MMM
1
2 şi coordonatele lui M sunt x =
x x1 21++λλ ,
y=y y1 2
1++λλ care se află la fel ca cele de pe dreaptă.
MM1 M2 fig.2.
b) Coordonate polare
Dacă avem M(x,y) şi sistemul xOy, cu unghiul θ pe care îl face axa Ox cu
OM şi ρ = ⏐OM ⏐ atunci punctul M poate fi determinat de (ρ,θ) care se numesc
coordonate polare (figura 3). Corespondenţa (x,y)↔(ρ,θ) fiind biunivocă pentru
ρ ≥ 0 şi 0 ≤ θ < 2π. Din figura 3 avem corespondenţa (x,y)→(ρ,θ) prin relaţiile:
x = r cosθ, y = r sinθ. Corespondenţa (ρ,θ)→(x,y) este dată prin relaţiile ρ =
x y2 2+ , θ = arctg yx , pentru determinarea lui θ se alege din mulţimea
soluţiilor ecuaţiei trigonometrice tg θ = yx , valoarea lui θ pentru care cosθ =
xr ,
sinθ = yr , r ≠ 0, deci soluţia dintr-un singur cadran.
y
xx
yM(x,y)
O
θ
ρ
fig.3.
Observaţia 1 θ se numeşte unghi polar şi OM rază polară.
3. Sisteme de coordonate în spaţiu
a) Coordonate carteziene
Mulţimea tripletelor ordonate (x,y,z)∈R3, unde x,y,z∈R se numeşte
spaţiu.
Dacă alegem axele Ox, Oy, Oz astfel ca: Ox ⊥ (Oy, Oz) şi Oy ⊥ Oz
atunci ele formează un sistem sau un reper cartezian rectangular, notat Oxyz.
Axele Ox, Oy, Oz se numesc axe de coordonate, respectiv axa absciselor,
ordonatelor şi cotelor, iar planele Oxy, Oyz, Ozx se numesc plane de
coordonate.
Un punct M(x,y,z) are coordonatele x = abscisa, y = ordonata, z = cota.
Din figura 1 rezultă:
A = (AM'M) ∩ Ox unde (AM'M)⎥⎜Oyz, A(x, 0, 0)
B = (BM'M) ∩ Oy unde (BM'M)⎥⎜Oxz, B(0, y, 0)
C = (CM'M) ∩ Oz unde (CM'M)⎥⎜Oxy, C(0, 0, z)
y
x
M
O
z
M'(x,y,0)
B(0,y,0)
C(0,0,z)
A(x,0,0)
fig.1.
În concluzie M determină punctele A, B, C.
Observaţia 1 Dacă M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), atunci coordonatele
punctului M care împarte segmentul M M1 2 în raportul λ sunt
x = x x1 2
1++λλ , y =
y y1 21++λλ , z =
z z1 21++λλ
şi la fel, dacă λ = 1, atunci M este mijlocul segmentului M M1 2 .
b. Coordonate cilindrice
Punctul M poate fi definit şi de coordonatele (ρ, θ, z), numite coordonate
cilindrice, unde ρ = ⏐OM '⏐ (figura 2), θ este unghiul pe care-l face OM ' cu axa
Ox, z cota punctului M(x, y, z). Deci avem următoarea corespondenţă biunivocă
(x, y, z) ↔ (ρ, θ, z) unde ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, z∈(-∞,∞) = R.
Corespondenţa (x, y, z) → (ρ, θ, z) este dată de relaţiile:
xyz z
===
⎧⎨⎪
⎩⎪
ρ θρ θ
cossin iar corespondenţa ρ, θ, z este dată de relaţiile:
ρ = x y2 2+ , θ = arctg yx , z = z, conform figurii 2.
y
x
M(x,y,z)
O
z
M'
B
C
A
θρ
fig.2.
c) Coordonate sferice
Punctul M(x ,y, z) poate fi definit de (r, θ, ϕ) numite coordonate sferice
unde r = ⏐OM ⏐, θ este unghiul pe care-l face axa Oz cu OM , ϕ este unghiul pe
care-l face axa Ox cu OM ', θ se numeşte latitudine, iar ϕ se numeşte
longitudine.
y
x
M(x,y,z)
O
z
M'
B
C
A
θ
r
ϕ
fig.3.
Din figura 3 rezultă următoarele:
r ≥ 0, θ∈[0,π), ϕ∈[0,2π) şi în continuare, pentru corespondenţa (x,y,z)→(r,θ,ϕ)
vom avea: cosϕ = x
OM ' în ΔOAM' şi deci x = OM'cosϕ, apoi
cosπ
ϕ2 −⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =
yOM ' în ΔOM'B deci y = OM'sinϕ.
În ΔOMM' avem: sin
cos'
πθ
πθ
2
2
−⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =
−⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
zrOM
r
şi deci
z = r cosθ, OM' = r sinθ şi în concluzie avem:
(1) x ry rz r
===
⎧⎨⎪
⎩⎪
sin cossin sincos
θ ϕθ ϕθ
deci (x, y, z) → (r, θ, ϕ)
Corespondenţa (r, θ, ϕ) → (x, y, z) rezultă din (1), astfel că:
r x y zz
x y zyx
= + +
=+ +
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
2 2 2
2 2 2θ
ϕ
arccos
arctg
deci şi aici avem corespondenţa biunivocă
(x, y, z) ↔ (r, θ, ϕ).
Observaţia 2 În unele cărţi se mai obişnuiesc notaţiile (r, u, v) pentru
coordonatele sferice.
4. Vectori pe dreaptă
Noţiunile din fizică de forţă, viteză, acceleraţiile sunt stări fizice
caracterizate prin mărime, direcţie şi sens.
Definiţia 1 Obiectul matematic ataşat unei stări fizice caracterizate prin
mărime, direcţie şi sens se numeşte vector.
În matematică pentru vectori se folosesc segmentele orientate. Pentru
vectorul AB→
avem mărimea ⏐AB→
⏐, direcţia determinată de punctele A şi B, iar
sensul de la A la B.
Vectorul AB→
are A ca punct de aplicaţie iar B extremitatea lui.
Ca notaţii pentru vectori se folosesc duble litere mari: AB→
, CD→
, ... sau
simplu litere mici: rr
a b, , ... .
Pentru vectorul AB→
, dacă A este fix atunci vectorul este legat, dacă ⏐AB→
⏐
este constant şi A mobil atunci vectorul este alunecător.
Definiţia 2 Se numeşte versor al unui vector ra , un vector ru , care are
aceeaşi direcţie şi sens cu ra şi ⏐ ru⏐= 1.
Definiţia 3 Vectorul r0 care are mărimea nulă se numeşte vector nul, el nu
are direcţie şi sens, vectorii ra şi rb sunt egali dacă au aceeaşi mărime, direcţie şi
sens, iar ra este opusul lui rb dacă au aceeaşi mărime, direcţie şi sensuri opuse,
adică ra = -rb .
Teorema 1 Mulţimea vectorilor de pe dreaptă formează grup comutativ
faţă de operaţia de adunare a vectorilor.
Demonstraţie Se definesc următoarele operaţii:
1. λ ra = ra ⋅λ = (aλ) ru , unde ⏐ ru⏐ = 1, unde λ∈R este un scalar (stare
fizică, ce se caracterizează numai prin mărime).
2. rr ra b c+ = , astfel: ra = a ru ,
rb = b ru , rc = (a+b) ru .
Proprietăţile grupului fiind:
- asociativitatea: ( ) ( )r r r r r ra b c a b c+ + = + +
- elementul neutru: ∃ r0, a.î.: r
r r r ra a a+ = + =0 0
- elementul simetric: ∃ - ra , a.î.: − + = + − =r r r r ra a a a( ) 0
- comutativitatea: rr r ra b b a+ = +
Să se demonstreze de exemplu comutativitatea:
r r r r r r r r r ra b au bu a b u b a u bu au b a+ = + = + = + = + = +( ) ( )
Definiţia 4 Vectorii r r rv v vn1 2, ,..., sunt liniar dependenţi dacă există n
scalari λ1, λ2, ... , λn; nu toţi nuli, adică: λ kk
n2
10
=∑ ≠ astfel ca:
λ1rv1+λ2
rv2+...+λnrvn.
Definiţia 5 Vectorii rv1 şi rv2 sunt coliniari, dacă rv1 = λ rv2, λ ≠ 0.
Teorema 2 Vectorii rv1 şi rv2 sunt coliniari dacă şi numai sunt liniari
dependenţi.
Demonstraţie Presupunem că rv1 coliniar cu rv2, atunci rv1 = λ rv2, λ ≠ 0),
deci rv1 - λ rv2 = 0 deci λ1 = 1, λ2 = -λ ≠ 0 şi λ12 + λ2
2 = 1 + λ2 ≠ 0 deci vectorii rv1
şi rv2 sunt liniar dependenţi.
Reciproc, să presupunem că rv1 şi rv2 sunt liniar dependenţi, atunci există
λ1, λ2, λ12 + λ2
2 ≠ 0 (presupunem λ1 ≠ 0), astfel că λ1rv1 + λ2
rv2 = 0, deci
r r rv v v12
12 2= −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
λλ λ , unde λ = −
λλ
2
1, în concluzie vectorii rv1 şi rv2 sunt coliniari.
5. Vectori în plan şi în spaţiu
a) Vectori în plan
Definiţia 1 Vectorul rv AB=→
se numeşte liber, dacă punctul A este
oarecare în plan, direcţia şi sensul fiind aceeaşi şi se numeşte legat, dacă punctul
A este fix.
v
p
q
j
i
(P)
x
y
fig.1.
Un vector în plan se caracterizează prin doi parametri directori care
reprezintă proiecţiile vectorului pe cele două axe de coordonate.
Din figura 1 se observă deci că rv (p,q).
Definiţia 2 Fie rv1(p1,q1), rv2(p2,q2), prin definiţie
rv1 + rv2 = (p1+p2, q1+q2).
Observaţia 1 Mulţimea vectorilor din plan în raport cu adunarea vectorilor
formează grup comutativ.
Definiţia 3 λ rv = rvλ = (λp, λq), deci am definit înmulţirea unui vector cu
un scalar.
Observaţia 2 Mulţimea vectorilor din plan în raport cu înmulţirea cu un
scalar, au proprietăţile:
1) λ(μ rv ) = (λμ) rv = (λμp,λμq);
2) (λ+μ) rv = λ rv + μ rv ;
3) λ( r rv v1 2+ ) = λ rv1 + λ rv2.
În concluzie, conform celor două observaţii, vectorii coplanari formează
spaţiu vectorial.
Observaţia 3 Prin vectori coplanari înţelegem vectorii din plan dar
necoliniari.
Observaţia 4 Adunarea vectorilor din plan se face cu regula
paralelogramului, conform figurii 2.
rv1 rv2
atunci v1
v2 v1+v2
fig.2.
deci suma celor doi vectori reprezintă diagonala paralelogramului construit cu
cei doi vectori după ce au fost aduşi în acelaşi punct de aplicaţie.
Teorema 1 Vectorul oarecare rv , se poate descompune în plan după
direcţiile a doi vectori oarecare ra şi rb , relaţia de descompunere fiind
rv = λ ra + μrb , cu λ şi μ unice.
Demonstraţie Fie a
bv
cei trei vectori
care nu au aceeaşi direcţie, pe care îi fixăm în acelaşi punct de aplicaţie
(conform figurii 3):
v
a
b
fig.3.
Folosind regula paralelogramului au rezultat vectorii rv1 = λ ra , rv2= μrb şi
evident rv = λ ra + μrb .
Pentru demonstrarea unicităţii lui λ şi μ, presupunem că există λ1, μ1 cu
aceeaşi proprietate, adică rv = λ1ra + μ1
rb şi deci prin scădere cu rv = λ ra + μ
rb
obţinem:
r0 = (λ1-λ) ra + (μ1-μ)
rb . Am presupus că ra şi
rb sunt necoliniari, deci liniar
independenţi, atunci λ1-λ = 0, μ1-μ = 0 şi în concluzie λ1 = λ, μ1= μ adică λ şi μ
sunt unice în descompunerea vectorului rv după ra şi rb .
Teorema 2 Trei vectori necoliniari în plan sunt liniar dependenţi şi
reciproc.
Demonstraţie Fie rv , ra , rb din teorema de descompunere, ei fiind
necoliniari vom avea: rv = λ ra + μrb sau rv - λ ra - μ
rb = 0 cu λ1 = 1, λ2 = -λ,
λ3 = -μ şi deci 1+ λ2 + μ2 ≠ 0 chiar dacă λ = μ = 0 deci rv , ra , rb sunt liniar
dependenţi.
Reciproc, dacă rv , ra , rb sunt liniar dependenţi atunci există λ1, λ2, λ3,
astfel ca:
λ1rv1 + λ2
ra + λ3rb = 0 cu λ1 ≠ 0 (cel puţin) deci:
babavrrrrr
μ+λ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλ
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλ
−=1
3
1
21 deoarece λ2 ≠ 0 şi deci rv , ra ,
rb sunt
necoliniari (coplanari).
Observaţia 5 Regula paralelogramului dă descompunerea vectorului rv (p,q) astfel: rv = p
ri + q
rj , unde
ri şi
rj sunt versorii axelor Ox respectiv Oy
(figura 1), unde pri = ra , ⏐ ra⏐= p şi q
rj =
rb , ⏐
rb ⏐= q şi ⏐
ri ⏐=⏐
rj ⏐= 1.
Teorema 3 Proiecţia vectorului rv pe axa Ox, are expresia:
prOxrv = p = ⏐ rv⏐cosϕ (figura 4).
B
A
v
xO p
O ϕ
i
fig.4.
În ΔOAB, cosϕ = pvr , deci p = ⏐ rv⏐cosϕ.
b) Vectori în spaţiu
Fie sistemul cartezian Oxyz şi rv un vector liber cu parametrii directori
(proiecţiile pe axele de coordonate) p, q, r, deci rv (p,q,r).
Observaţia 6 Adunarea vectorilor din spaţiu se face după regula
paralelipipedului, adică suma a trei vectori necoplanari este vectorul diagonală a
paralelipipedului construit cu cei trei vectori (figura 5).
v
v1
v2v3
a
fig.5.
Avem rv1 + rv2 = ra , apoi rv3 + ra = rv1 + rv2 + rv3 = rv
Avem şi aici ca şi în plan următoarea teoremă:
Teorema 3 Vectorii rv1, rv2, rv3, rv necoplanari, sunt liniar dependenţi.
Demonstraţie Demonstraţia se face asemănător ca în cazul a trei vectori
necoliniari în plan.
Fie M(x,y,z) un punct din spaţiu. Vectorul rr r r
r xi yj zk= + + cu originea O
şi extremitatea punctul M, se numeşte vectorul de poziţie al punctului M,
proiecţiile lui pe axele de coordonate fiind coordonatele punctului M.
6. Produsul scalar a doi vectori în spaţiu
Fie rr r r
v x i y j z k1 1 1 1= + + şi rr r r
v x i y j z k2 2 2 2= + + şi ∠( rv1, rv2) = ϕ ;
0 ≤ ϕ < π.
Definiţia 1 Produsul scalar al vectorilor rv1 şi rv2 se defineşte astfel:
rv1⋅rv2 = ⏐ rv1⏐⋅⏐
rv2⏐⋅cosϕ = ⏐ rv1⏐⋅prOxrv2
Produsul scalar are proprietăţile:
PS1. rv1⋅rv2 = rv2⋅
rv1 (comutativitate)
PS2. rv ( rv1 + rv2) = rv ⋅ rv1 + rv ⋅ rv2 (distributivitatea faţă de adunarea
vectorilor)
PS3. rv1⋅rv2 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Demonstraţie
PS1. rv1⋅rv2 = ⏐ rv1⏐⋅⏐
rv2⏐⋅cosϕ = ⏐ rv2⏐⋅⏐rv1⏐⋅cosϕ = rv2⋅
rv1
PS2.
B
v1
v2
CAO
v1 v2+
fig.1.
Avem: rv ⋅ rv1 = ⏐ rv⏐⋅ prOxrv1
rv ⋅ rv2 = ⏐ rv⏐⋅ prOxrv2 , deci:
rv ⋅ rv1 + rv ⋅ rv2 = ⏐ rv⏐⋅(prOxrv1 + prOx
rv2) = ⏐ rv⏐(OB + OA) =
= ⏐ rv⏐(OB + BC) = ⏐ rv⏐OC = ⏐ rv⏐ prOx(rv1 + rv2) = rv ⋅( rv1 + rv2)
PS3. rv1 ⋅ rv2 = (x1ri + y1
rj +z1
rk ) (x2
ri + y2
rj +z2
rk ) =
= x1x2ri ⋅ri +x1y2
ri ⋅rj + x1
ri ⋅rk + y1
rj ⋅ri + y1y2
rj ⋅rj + y1z2
rj ⋅rk +
+ z1x2rk ⋅ri + z1y2
rk ⋅rj + z1z2
rk ⋅rk = x1x2 + y1y2 + z1z2
deoarece conform definiţiei avem:
ri ⋅ri = ⏐
ri ⏐⋅⏐
ri ⏐cos(
ri ⋅ri ) = 1
ri ⋅rj = ⏐
ri ⏐⋅⏐
rj ⏐cos(
ri ⋅rj ) = 0 =
rj ⋅ri
ri ⋅rk = ⏐
ri ⏐⋅⏐
rk ⏐cos(
ri ⋅rk ) = 0 =
rk ⋅ri
rj ⋅rj = ⏐
rj ⏐⋅⏐
rj ⏐cos(
rj ⋅rj ) = 1
rj ⋅rk = ⏐
rj ⏐⋅⏐
rk ⏐cos(
rj ⋅rk ) = 0 =
rk ⋅rj
rk ⋅rk = ⏐
rk ⏐⋅⏐
rk ⏐cos(
rk ⋅rk ) = 1
Consecinţa 1 Fie rv = ari + b
rj +c
rk şi
rv ⋅ rv = ⏐ rv⏐⋅⏐ rv⏐cos( rv , rv ) = v⋅v = v2 = a2 + b2 + c2 deci
v = a b c2 2 2+ +
Consecinţa 2
rv1 ⋅ rv2 = ⏐ rv1 ⏐⋅⏐ rv2⏐cos( rv1, rv2) = v1v2 cosϕ
deci cosϕ = r rv vv v
x x y y z z
x y z x y z1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
12
12
12
22
22
22
⋅⋅ =
+ +
+ + + +
Consecinţa 3 rv1 ⋅ rv2 = 0 dacă ϕ = π2 sau rv1 = 0 sau rv2 = 0.
Observaţia 1 rv1⊥rv2 dacă şi numai dacă cosϕ = 0 sau
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
7. Produsul vectorial a doi vectori în spaţiu
Presupunem că avem rv1, rv2 doi vectori necoliniari.
Definiţia 1 Produsul vectorial a doi vectori rv1 şi rv2 este un vector rv = rv1×
rv2, rv = ⏐ rv1⏐⋅⏐rv2⏐⋅⏐
ru⏐sinϕ, având direcţia normalei la planul ( rv1, rv2) şi
sensul dat de regula burghiului, rv = v⋅ ru , ⏐ ru⏐= 1.
Produsul vectorial are proprietăţile:
PV1. rv1×rv2 = - rv2×
rv1 (anticomutativitatea)
PV2. λ rv1×rv2 = rv1× λ rv2 = λ( rv1×
rv2)
PV3. rv×( rv1 + rv2) = rv× rv2+ rv× rv2
PV4. rv1×rv2 =
r r ri j kx y zx y z
1 1 1
2 2 2
unde rv1= x1ri + y1
rj +z1
rk ,
rv2= x2ri + y2
rj +z2
rk
Demonstraţie
PV4. Avem rv1×rv2 = (x1
ri + y1
rj +z1
rk ) × (x2
ri + y2
rj +z2
rk ) =
= x1x2ri ×
ri + x1y2
ri ×
rj + x1z2
ri ×
rk + y1x2
rj ×
ri + y1y2
rj ×
rj + y1z2
rj ×
rk +
+ z1x2rk ×
ri + z1y2
rk ×
rj + z1z2
rk ×
rk = x1y2
rk + (-x1z2
rj ) + (-y1x2
rk ) +
+ y1z2ri + z1x2
rj + (-z1y2
ri ) = x1y2
rk + y1z2
ri - y1x2
rk - x1z2
rj + z1x2
rj - z1y2
ri =
=
r r ri j kx y zx y z
1 1 1
2 2 2
determinant care se calculează cu formula triunghiului şi se
obţine acelaşi rezultat folosind înmulţirea versorilor ri ,
rj ,
rk din figura 1 cu
regula burghiului şi anume:
ri ×
rj =
rk ;
rj ×
ri = -
rk ;
rk ×
ri =
rj ; ri ×
rk = -
rj ; rj ×
rk =
ri ;
rk ×
rj = -
ri .
şi ri ×
ri =
rj ×
rj =
rk ×
rk = 0 deoarece sunt coliniari şi sinϕ = 0 din definiţie.
x
y
z
i j
k
fig.1.
Observaţia 1 PV1, PV2, PV3 se demonstrează cu ajutorul lui PV4.
Consecinţa 1 Dacă rv1 = λ rv2, atunci sinϕ = 0 şi rv1×rv2 = 0 (sau dacă ⏐ rv1⏐=
0 sau ⏐ rv2⏐= 0).
Consecinţa 2 Fie uvvv rrrr21= sinϕ = ⏐ rv1⏐⋅⏐
rv2⏐sinϕ, de unde rezultă
sinϕ = r r
r rv vv v
1 2
1 2
×
⋅
Consecinţa 3 Modulul produsului vectorial reprezintă aria
paralelogramului construit pe cei doi vectori.
Demonstraţie Deci trebuie să arătăm că ⏐ rv1×rv2⏐= AABCD
AABCD = AD⋅BB' = ⏐ rv2⏐⋅⏐rv1⏐sinϕ = ⏐ rv1×
rv2⏐ deoarece în triunghiul
dreptunghic ABB' avem sinϕ = BBv
'r1
de unde BB' =⏐ rv1⏐sinϕ, conform figurii
2.
A
ϕ
B'
C
B
D
v1
vv2
fig.2.
8. Produse cu trei vectori în spaţiu
Fie r r rv v v1 2 3, , , avem următoarele tipuri de produse cu cei trei vectori:
a) Produsul mixt r r rv v v1 2 3⋅ ×( ) care se mai notează ( r r rv v v1 2 3, , ) şi rezultatul
este scalar.
b) r r rv v v1 2 3× ×( ) se numeşte dublu produs vectorial şi rezultatul este
vector.
Pentru produsul mixt avem proprietăţile:
PM1. ( r r rv v v1 2 3, , ) = V care reprezintă volumul paralelipipedului construit
pe cei trei vectori.
Avem ⏐ r r rv v v1 2 3⋅ ×( )⏐= r r rv v v1 2 3⋅ × cosϕ = BB" r rv v2 3× = BB"⋅ AADD'A' =
VABCDA'B'C'D', deoarece conform figurii 1 avem:
∠( r r rv v v1 2 3, × ) = ϕ şi cosϕ = BBv
"r1
în triunghiul dreptunghic ABD şi deci:
BB" = ⏐ rv1⏐cosϕ
B
C
C'
B'
D'
DB"
A'
A
v3
v2
v1
ϕ
fig.1.
PM2.
333
222
111
321 )(zyxzyxzyx
vvv =×⋅rrr
kzjyixvkzjyixvrrrrrrrr
22221111 , ++=++=
Demonstraţie r r rv v v1 2 3⋅ ×( ) = ( )x i y j z k1 1 1r r+ +
r r ri j kx y zx y z
1 1 1
2 2 2
=
= ( )x i y j z k1 1 1r r+ +
r r ri
y zy z j
x zx z k
x yx y
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2− +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
= xy zy z y
x zx z z
x yx y1
1 1
2 21
1 1
2 21
1 1
2 2− + =
x y zx y zx y z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
determinantul fiind dezvoltat după prima linie.
PM3. Avem relaţiile:
( ) ( )
( ) ( )132
)2(
213
213
)1(
321
,,,,
,,,,
vvvvvv
vvvvvvrrrrrr
rrrrrr
=
=
Demonstraţie
(1) ( ) ( )r r r r r rv v vx y zx y zx y z
x y zx y zx y z
x y zx y zx y z
v v v1 2 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
3 3 3
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
3 1 2, , , ,= = − = =
(2) ( ) ( )r r r r r rv v vx y zx y zx y z
x y zx y zx y z
x y zx y zx y z
v v v3 1 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2 2 2
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 3 1, , , ,= = − = =
PM4. ( r r rv v v1 2 3, , ) = 0 dacă şi numai dacă r r rv v v1 2 3, , sunt coplanari (liniari
dependenţi).
Demonstraţie Relaţia de coplanaritate este r r rv v v1 2 3= +λ μ . Calculăm
produsul mixt şi vom avea:
( )r r rv v vx x y y z z
x y zx y z
1 2 3
2 3 2 3 2 3
2 2 2
3 3 3
, , =+ + +λ μ λ μ λ μ
=
= λ λ λx y zx y zx y z
2 2 2
2 2 2
3 3 3
+ μ μ μx y zx y zx y z
3 3 3
2 2 2
3 3 3
=
= λx y zx y zx y z
2 2 2
2 2 2
3 3 3
+ μx y zx y zx y z
3 3 3
2 2 2
3 3 3
= 0
deoarece dacă într-un determinant două linii sunt egale, determinantul este nul.
Observaţia 1 Determinantul iniţial este nul deoarece prima linie este
combinaţie liniară de celelalte două.
b) Pentru dublu produs vectorial avem următoarea formulă:
( ) ( )r r r r r r r r rv v v v v v v v v1 2 3 1 3 2 1 2 3⋅ × = ⋅ − ⋅( ) unde
( )r r rv x i y j z ki i i i= + + , i = 1,2,3.
Demonstraţie
( )r r r r r
r r r r r r
v v v x i y j z ki j kx y zx y z
i j kx y z
y zy z
z xz x
x yx y
1 2 3 1 1 1 2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
× × = + + × =( ) la
acelaşi rezultat se ajunge şi dacă pornim de la membrul drept al egalităţii.
9. Probleme rezolvate
1. Să se afle coordonatele carteziene ale punctelor:
A(2,-π2
) ;B(- 24
,π ) ; C(2,-π
6)
Rezolvare: Avem corespondenţa: x=ρcosθ, y=ρsinθ astfel prin înlocuire:
xA=2cos(-π2
)=0, yA=2sin(-π2
)=-2, adică A(0,-2) La fel procedăm şi pentru
celelalte două puncte:
xB=− 2 cosπ4
=-1
yB=- 2 sinπ4
=-1 şi
xC=2⋅3
2= 3
yC=-2⋅ 12
=-1
2. Să se afle coordonatele polare ale punctului A(-2 3,2).
Rezolvare: Trecerea la coordonate polare se face după relaţia :
22 yx +=ρ , θ=arctgxy .
Avem atunci: ρ= ( )− +2 3 22 2 =4 şi θ=arctg −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13
Ţinînd cont de faptul că punctul A este situat în al doilea cadran vom avea:
65π
=θ ; deci A(4,56π ).
3. Să se afle coordonatele cilindrice ale punctului A(0,2,3) ştiind că
0 2≤ ≤θ π , ρ ≥ 0
Rezolvare: Corespondenţa între coordonatele carteziene şI coordonatele
cilindrice este:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=θ
+=ρ
zzxyarctg
yx
;
;22
Avem astfel 3,2
,2 =π
=∞=θ=ρ zarctg adică A(2,π2
,3).
4. Să se afle coordonatele carteziene ale punctului A(2,π6
,-2) definit prin
coordonate cilindrice;
Rezolvare: Relaţia de trecere este zzyx =θρ=θρ= ,sin,cos adică
x=2cosπ6
=1, y=2 36
sin =π , z=-2 de unde )2,3,1( −A .
5. Să se afle coordonatele carteziene ale punctului )0,6
,2( πA definit în
coordonate sferice.
Rezolvare: Avem corespondenţa:
cossin θ= rx ϕ, ϕθ= sinsinry , θ= cosrz
Atunci 36
cos2;00sin6
sin2;10cos6
sin2 =π
==π
==π
= zyx , adică
A(1,0, 3).
6. Se dă paralelogramul ABCD şi se notează bBCaABrr
==→→
, . Să se afle valorile
vectorilor ce unesc centrul paralelogramului cu vârfurile sale.
Rezolvare:
baACrr
+=→
şi ţinând cont de faptul că diagonalele unui paralelogram se
înjumătăţesc avem: 2
baOCrr
+=
→
iar 2
baOArr
+−=
→
, 2
abBDrr
−=
→
de unde
2abODrr
−=
→
şi 2
abOBrr
−−=
→
.
7. Două forţe 1Fr
şi 2Fr
au acelaşi punct de aplicaţie şi fac între ele un unghi de o120=ϕ . Forţele au intensităţile NFNF 4,7 21 == . Să se afle intensitatea forţei
rezultante.
Rezolvare: Alegem sistemul de coordonate astfel ca una din forţe să se fale pe
una din axe. (fig.2). Avem atunci : 2cos22 −== ϕFp şi 32sin22 == ϕFq .
Componenta 1p este chiar modulul primei forţe : 71 =p . Deci avem ( )0,71Fr
,
( )32,22 −Fr
de unde şi ( )32,5Fr
iar modulul acesteia : ( ) NNF 3732522 =+=
r.
8. Se dau vectorii jiarrr
−= 2 , kjibrrrr
λ+−= 3 . Să se determine λ astfel încât
unghiul celor doi vectori să fie o60 .
Rezolvare: 21cos =
⋅
⋅=
babarr
rr
ϕ Deci ( )( )( ) ( ) 2
1
3112
0311222222=
+−+−+
⋅+−−+⋅
λ
λ , de unde se
determină 10±=λ .
9. Să se rate că punctele A(2,1,-1), B(4,3,-2), C(6,2,0), D(4,0,1) sunt vârfurile
unui pătrat.
Rezolvare: Vom arăta că laturile, respectiv diagonalele sunt egale. Aplicând
formula ce dă distanţa între două puncte obţinem: 3, ==== ABDACDBCAB şi
23, == ACDCAC .
10. Se dau punctele A(1,-2,1), B(2,1,-1), C(3,2,-6) şi se cere:
a) Produsul vectorial al vectorilor →
AB şi →
AC
b) Aria triunghiului ABC
c) Un vector perpendicular pe planul vectorilor →
AB şi →
AC şi
având lungimea 4
182 .
Rezolvare: a) Determinăm mai întâi expresiile vectorilor →
AB şi →
AC :
( ) ( ) ( ) kjikjiABrrrrrr
23112112 −++=−−+++−=→
,
( ) ( ) ( ) kjikjiACrrrrrr
742162213 −++=−−+++−=→
.
Deci kjikji
ACABrrr
rrr
2313742231 −+−=
−−=×
→→
.
b) Aria triunghiului ABC este jumătate din aria paralelogramului
construit pe →
AB şi →
AC (fig.3) arie ce este dată de: →→
×ACAB . Deci
( ) ( )2
1822
23132
222
=−++−
=×
=
→→
ACABAABC
c)Un vector perpendicular pe planul ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ →→
ACAB, are direcţia dată de
produsul vectorial →→
×ACAB deci )(→→
×λ= ACABvr , kjivrrrr
λ−λ+λ−= 2313 iar
modulul său 2182λ=vr de unde 4
182182 2 =λ .
Deci )2313(41 kjiv
rrrr−+−±= .
11. Să se determine λ astfel ca vectorii: ( ) kjiarrrr
++λ+= 22 , kjibrrrr
−λ+= ,
kjcrrr
+= 4 . Să se fie coplanari.
Rezolvare: Condiţia ca vectorii să fie coplanari este ca volumul
paralelipipedului construit pe cei trei vectori să fie nul, adică ( ) 0,, =cba rrr ,
024011
122=−λ
+λ de unde 4−=λ .
Pentru a descompune vectorul ar după cele două direcţii determinăm acei scalari
α şi β astfel ca : kjikjicbarrrrrrrrr )2()44(22 β+α−+β+α−+α=+−⇔β+α= ,
ceea ce revine la a rezolva sistemul de ecuaţii: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=β+α−−=β+α−
=α
12244
2. Deci
cba rrr
232 += .
12. Să se afle înălţimea paralelipipedului construit pe vectorii: kjiarrrr
−+= ,
kjibrrrr
+−= , kjicrrrr
++−= considerând vectorii barr, ca bază.
Rezolvare: Înălţimea este dată de raportul dintre volumul paralelipipedului şi
aria bazei acestuia, adică ( )bacbaL rr
rrr
×=
,, , ( ) 4111111111
,, =−
−−
=cba rrr ; 22=× barr .
Deci 2=L .
10. Probleme propuse
1. Să se construiască punctele date prin coordonatele polare:
Aπ4 2,
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, B(π,-4), C
74 3π
,⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, D
74 2 2π
,⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, E
34 5π
,⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, F − −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟π
4 2, ,
2. Să se afle coordonatele carteziene ale punctelor:
A −⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟π
2 2, , Bπ4 2,−
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, C −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟π
6 2, R: A(0,-2), B(-1,-1), C( 3,-1)
3. Să se afle coordonatele polare ale punctelor: A(2,-2), B(-2 3,2), C( 3+1,
3-1).
R: A −⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟π
4 2 2, , B56 4π
,⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, C
π12 2 2,⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
4. Să se afle coordonatele cilindrice ale punctelor:
A(0,2,4), B(0,-3,-2), C(2,0,1), D(1,1,1) în condiţiile: 0 ≤ θ < 2π, ρ > 0.
R: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π 4,
2,2A , B 3
32 2, ,π
−⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, C(2,0,1), D 2 4 1, ,
π⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟.
5. Să se afle coordonatele carteziene ale punctelor definite prin coordonatele
cilindrice: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −π 3,2,6
A , B56 2 1π
, ,⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, C(0,1,1), D
π2 2 3, ,
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟, E
π3 0 3, ,
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
R: A( 3,1,-3), B(- 3,1,1), C(1,0,1), D(0,3,2), E(0,0,3)
6. Să se afle coodonatele carteziene ale punctelor definite prin coordonatele
sferice: A(π,π,1), ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ 1,
4,
4B , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ 4,
4,C , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ 10,
43,
23D
R: A(0,0,-1), B(4,4,4 2 ), C(-2 2 ,0,2 2 ), D(0,-5 2 ,-5 2 ).
7. Să se demonstreze că triunghiul format de punctele A(1,-1,0), B(4,3,5),
C(3,0,-2) este dreptunghic.
R: BC2 = AB2 + AC2 deci ∠A = 90°.
8. Să se exprime cu ajutorul laturilor unui triunghi ABC, vectorii bisectoare ai
triunghiului, notând laturile triunghiului astfel: AB c CA b BC a→ → →
= = =r r r, , .
R: cba
bbCCbac
aaBBacb
ccAA rrrrrr
++=
++=
++=
→→→
',','
9. Se dau punctele: A(1,-1,1), B(1,2,3), C(0,1,-1). Să se afle volumul
paralelipipedului construit pe OA, OB, OC ca muchii.
R: VOABC = 5.
10. Se dau punctele A(-1,1,1), B(1,0,2), C(1,1,-1), D(2,3,α). Să se afle α astfel
încât punctele să fie coplanare.
R: α = -8.
11. Să se afle înălţimea paralelipipedului construit pe vectorii: r r r r r r r r r r r ra i j k b i j k c i j k= + − = − + = − + +, , , considerând vectorii r
ra b, ca bază.
R: 2,22,4 ),(),,( === hAV bacbarrrrr
12. Se dau vectorii rr r r r r r r r r r
a i j k b i j k c i j= − + = + − = +2 3 2 2, , λ . Să se determine
λ astfel ca volumul paralelipipedului construit pe aceşti vectori să fie egal cu 5.
R: λ1 = -1, λ2 = -3.
13. Să se descompună vectorul r r r rv i j k= + −2 3 , după direcţiile vectorilor
r r r r r r r r r rv i j k v i j v j k1 2 3 2= + + = − = +, , .
R: r r r rv v v v= − −3 31 2 3.
14. Se dau vectorii rr r r r r r r r r r r
a i j k b i j k c i j k= + + = + + = + +2 3 2 3 3 2, , . Se cere:
1. să se afle înălţimea paralelogramului construit pe vectorii r rb cşi şi este
perpendiculară pe vectorul rc .
2. să se afle înălţime paralelipipedului construit pe vectorii rr ra b c, , şi este
perpendiculară pe vectorul rc .
R: 1. h = 5 42
14 ; 2. h = 6 3
5 .
15. Se dau vectorii r r r r r r r r r r r ra i j k b i j k c i j k= + + = − + = − +2 2 2, ,λ . Să se
determine λ astfel încât vectorul r r r rv a b c= × ×( ) să fie un vector paralel cu planul
xOy (perpendicular pe Oz sau rk ).
R: λ = -1.
16. Se dau vectorii kjickjibkjiarrrrrrrrrrrr 58,2,2 −+=+−=−+= . Să se verifice că
vectorul r r r rα = × ×a b c( ) este perpendicular pe r
r r r ra b c a, ( )β = × × perpendicular
pe r r v r rb c a b, ( )γ = × × este perpendicular pe rc .
§2. Dreapta şi planul în spaţiu
1. Dreapta în spaţiu
a) Ecuaţia unei drepte ce trece printr-un punct şi este paralelă cu o direcţie rv (l,m,n).
Din figura 1 avem (1) vrr rrrλ+= 0 care rezultă din ΔOMM0 astfel:
vMM
rMMrr
rr
λ=
=+→
→
0
00 iar
z
y
x
r0
r
v
M0(x0,y0,z0)M(x,y,z)
(d)O
fig.1.
Proiectând pe axe formula (1), vom avea ecuaţiile:
(2) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ+=λ+=λ+=
nzzmyylxx
0
0
0
care reprezintă ecuaţiile parametrice ale dreptei (d),
parametrul fiind λ∈R. Din ecuaţiile (2) rezultă ecuaţiile
(3) nzz
myy
lxx 000 −
=−
=−
care reprezintă ecuaţiile unei drepte ce trece printr-un punct M0(x0,y0,z0) şi
paralelă cu direcţia rv (l,m,n).
Observaţia 1 rr r r r r r r
r xi yj zk r x i y j z k= + + = + +, 0 0 0 0 şi reprezintă vectorii
de poziţie ai punctelor M(x,y,z) respectiv M0(x0,y0,z0), ecuaţiile (3) se mai
numesc ecuaţiile carteziene.
b) Ecuaţiile dreptei prin două puncte.
Dacă în figura 1, M0 = M1, M1(x1,y1,z1) şi M = M2, M2(x2,y2,z2),
vMM rλ=
→
21 , din ΔOMM0 rezultă vrr rrrλ+= 1 şi din figura 2, 21 rvr rrr
=+ , atunci
(4) r r r rr r r r= + −1 2 1λ( )
z
y
x
r1v
M1
M2
(d)O r2
fig.2.
Proiectând ecuaţiile (4) pe axele de coordonate vom avea ecuaţiile dreptei
(d) prin două puncte.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−λ+=−λ+=−λ+=
)()()(
121
121
121
zzzzyyyyxxxx
sau 12
1
12
1
12
1
zzzz
yyyy
xxxx
−−
=−−
=−− (5).
c) Volumul tetraedrului
Fie M0(x0,y0,z0), Mi(xi,yi,zi), i = 1,2,3 şi M M0 1
→, M M0 2
→, M M0 3
→ muchiile
unui paralelipiped atunci volumul său este:
V = ( M M0 1
→, M M0 2
→, M M0 3
→) =
x x y y z zx x y y z zx x y y z z
1 0 1 0 1 0
2 0 2 0 2 0
3 0 3 0 3 0
− − −− − −− − −
=
=
x y zx y zx y zx y z
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1111
= D şi Vtetr. = 16 V.
Observaţia 2 Dacă M0, M1, M2, M3 sunt coplanare, atunci V = 0 şi deci D
= 0.
d) Distanţa de la un punct la o dreaptă
Pentru calculul distanţei d de la dreapta (D) la punctul M1 avem:
M1(x1,y1,z1)
r1
v(l,m,n) (D)
r0
M0(x0,y0,z0)
d
O fig.3.
Aria paralelogramului format de M M r r0 1 1 0
→= −r r şi rv (l,m,n) este:
A = ⏐ rv⏐⋅d = ⏐M M v0 1
→×r⏐= ⏐( )r r rr r v1 0− × ⏐
de unde dr r v
v=
− ×( )r r r
r1 0 (conform figurii 3).
e) Aria unui triunghi în spaţiu
Fie M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) şi triunghiul în spaţiu format de
punctele M0, M1, M2. Aria paralelogramului construit pe vectorii M M0 1
→,
M M0 2
→, este A = ⏐M M0 1
→× M M0 2
→⏐= ⏐( ) ( )r r r rr r r r1 0 2 0− × − ⏐=
= ⏐
020202
010101
zzyyxxzzyyxx
kji
−−−−−−
rrr
⏐ şi A AM M M0 1 2
12=
conform figurii 4.
O
M1
r1
M0
M2
r0
r2
fig.4.
f) Distanţa dintre două drepte
Fie două drepte (d1) şi (d2):
(d1) x x
ly y
mz z
n−
=−
=−1
1
1
1
1
1, (d2)
x xl
y ym
z zn
−=
−=
−2
2
2
2
2
2 unde
rv1(l1,m1,n1), rv2(l2,m2,n2) direcţiile dreptelor (d1) şi (d2) şi M1(x1,y1,z1),
M2(x2,y2,z2) punctele prin care trec aceste drepte, conform figurii 5.
M1
v1
d
M2
v1
v2
(d1)
(d2)
fig.5.
Volumul paralelipipedului construit pe vectorii: r rv v M M1 2 1 2, ,→
este
),,( 2121 vvMMV rr→
= şi 21 vvdV rr×⋅=
deci
21
2121212121
),,(),,(vv
vvMMdvvdvvMM rr
rrrrrr
×=⇒×⋅=
→→
.
2. Planul. Ecuaţiile planului
a) Ecuaţia generală a planului
Fie M0(x0,y0,z0) şi rv (A,B,C) şi planul (P) care conţine vectorul M M0
→,
M(x,y,z) şi rv⊥(P), atunci M M0
→⋅rv = 0 sau ( )r r rr r v− =0 0. Dacă facem produsul
scalar vom avea (1) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) deoarece
r r r r rr r x x i y y j z z k− = − + − + −0 0 0 0( ) ( ) ( ) şi
r r r rv Ai Bj Ck= + +
Ecuaţia (1) devine Ax + By + Cz + D = 0 (2)
unde D = -(Ax0 + By0 + Cz0) iar dreapta (D) de direcţie rv (A,B,C) şi de ecuaţii:
x x
Ay y
Bz z
C−
=−
=−0 0 0 este normală la planul (P).
Ecuaţia (2) se numeşte ecuaţia generală sau carteziană a planului (P)
(figura 1).
M
M0r1
r0
(P)
v(A,B,C)
x
y
z (D)
O
fig.1.
Observaţie Dacă M0(0,0,0) atunci D = 0 şi ecuaţia planului prin origine
este Ax + By + Cz = 0.
b) Unghiul a două plane
Fie planele (P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
şi normalele rN1(A1,B1,C1),
rN2(A2,B2,C2), calculăm
cosθ = r rN NN N
A A B B C C
A B C A B C1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
12
12
12
22
22
22
=+ +
+ + ⋅ + + şi avem condiţia de
perpendicularitate: A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 deoarece θ = π2 sau condiţia de
paralelism care rezultă din r rN N1 2= λ adică
AA
BB
CC
1
2
1
2
1
2= = = λ .
Observaţia 1 Planul xOy trece prin origine deci D = 0, iar normala la plan rN xOy(0,0,C) deci ecuaţia planului este Cz = 0 sau z = 0. La fel ecuaţia planului
yOz: x = 0 şi zOx: y = 0.
Pentru planele paralele cu planele de coordonate, avem ecuaţiile:
(P1)⎟⎜xOy are ecuaţia Cz + D = 0, rN xOy(0,0,C)
(P2)⎟⎜yOz are ecuaţia Ax + D = 0, rN yOz(A,0,0)
(P3)⎟⎜zOx are ecuaţia By + D = 0, rN zOx (0,B,0)
ele nu trec prin origine, deci D ≠ 0.
c) Ecuaţia planului paralel cu două direcţii r rv v1 2, şi care trece prin
M0(x0,y0,z0).
Fie r rv M M v M M1 0 1 2 0 2= =→ →
, ,
M M r r M M r r M M r r0 0 0 1 1 0 0 2 2 0
→ → →= − = − = −r r r r r r, ,
M0
M
v1
v2
M2
M1
(P) fig.2.
Din figura 2 rezultă că cele trei direcţii M M v v0 1 2
→, ,r r sunt coplanare, deci
produsul lor mixt este nul, ( M M v v0 1 2
→, ,r r ) = 0, sau
x x y y z zx x y y z zx x y y z z
− − −− − −− − −
0 0 0
1 0 1 0 1 0
2 0 2 0 2 0
= 0
deoarece
M M x x i y y j z z kv x x i y y j z z kv x x i y y j z z k
0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0
2 2 0 2 0 2 0
→= − + − + −
= − + − + −= − + − + −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
r r r
r r r r
r r r r
sau
x y zx y zx y zx y z
1111
00 0 0
1 1 1
2 2 2
=
ecuaţia planului care trece prin punctele M0, M1, M2.
d) Ecuaţia planului perpendicular pe r rv v1 2× unde rv1(l1,m1,n1), rv2(l2,m2,n2).
Fie direcţia M M M x y z0 0 0 0 0
→, ( , , )r
, M(x,y,z) şi normala la plan rN (p,q,r)
perpendiculară pe direcţiile r rv v1 2, , deci are parametrii directori componentele
vectorului
r r r
r r r
v v vi j kl m nl m n
= × =1 2 1 1 1
2 2 2
deci componentele normalei rN vor fi:
pm nm n q
n ln l r
l ml m= = =1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2, ,
M0
M
v1
v2
N(p,q,r)
(P) fig.3.
Din figura 3 rezultă M M N0 0→
⋅ =r
sau p(x-x0) + q(y-y0) + r(z-z0) = 0
ecuaţia planului perpendicular pe r rv v1 2× .
Observaţia 2 Direcţiile r r r rr r M M v v− =→
0 0 1 2, , sunt coplanare deci
( M M v v0 1 2
→, ,r r ) = 0 sau
x x y y z zl m nl m n
− − −=
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0
şi reprezintă ecuaţia planului ce trece printr-un punct şi două direcţii.
e) Ecuaţia normală a planului
Fie planul (Q) şi punctele P şi M(x,y,z) în plan. Distanţa ⏐OP→⏐= p şi
OP v OM r→ →
= =r r, vectorul de poziţie al punctului M.
Fie α, β, γ unghiurile pe care le face rv cu axele de coordonate, proiecţiile
pe axe ale lui rv vor fi deci pcosα, pcosβ şi pcosγ şi
r r r r rv p i p j p k v p= + + =( cos ) ( cos ) ( cos ) ,α β γ rezultă:
p p p p2 2 2 2 2 2cos cos cosα β γ+ + = sau cos2α + cos2β + cos2γ = 1, cosα,
cosβ, cosγ reprezintă cosinuşii directori ai direcţiei rv .
(Q)z
y
x
O
P
M
rv
p
fig.4.
Dar din figura 4 avem MP r v→
= −r r deci:
MP x p i y p j z p k→
= − + − + −( cos ) ( cos ) ( cos )α β γr r r
şi deoarece MP v→
⋅ =r 0
rezultă: (x-pcosα)pcosα + (y-pcosβ)pcosβ + (z-pcosγ)pcosγ = 0 sau
(1) xcosα + ycosβ + zcosγ - p = 0 şi reprezintă ecuaţia normală a planului
(Q).
Dacă avem ecuaţia generală a planului
(2) Ax + By + Cz + D = 0 şi cosα =± + +
AA B C2 2 2
,
cosβ =± + +
BA B C2 2 2
,cosγ =± + +
CA B C2 2 2
,− =± + +
pD
A B C2 2 2
atunci ecuaţiile (1) şi (2) sunt echivalente.
f) Distanţa de la un punct la un plan
Fie M0(x0,y0,z0) şi ecuaţia normală a planului:
xcosα + ycosβ + zcosγ - p = 0.
Fie d distanţa de la planul (Q) la planul (P), M0∈(P) (vezi figura 5) atunci
distanţa de la origine la planul (P) este p + d şi ecuaţia normală a planului (P)
este xcosα + ycosβ + zcosγ = p+d sau x0cosα + y0cosβ + z0cosγ - p = d deoarece
M0∈(P), deci distanţa d de la M0 la Q este:
d = ⏐x0cosα + y0cosβ + z0cosγ - p⏐ sau
dAx By Cz D
A B C=
+ + +
± + +0 0 0
2 2 2
(Q)
z
y
x
O
(P)
Mp
d
fig.5.
Consecinţă Fie planele (P1) şi (P2) de ecuaţii:
(P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
atunci planele bisectoare pentru (P1) şi (P2) sunt:
A x B y C z D
A B C
A x B y C z D
A B C1 1 1 1
12
12
12
2 2 2 2
22
22
22
+ + +
+ +=
+ + +
± + +
3. Dreapta şi planul în spaţiu
a) Fascicole de plane
Fie planele (P1) şi (P2) de ecuaţii:
(P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Ecuaţia fascicolului de plane care trec prin dreapta de intersecţie dintre
planele (P1) şi (P2) este P1 + λP2 = 0, λ∈R.
b) Intersecţia a trei plane
Fie (P1), (P2), (P3) de ecuaţii care formează următorul sistem:
A x B y C z DA x B y C z DA x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
000
+ + + =+ + + =+ + + =
⎧⎨⎪
⎩⎪
care reprezintă un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute, cu determinantul D
şi avem cazurile:
1) Dacă D ≠ 0 atunci cele trei plane se intersectează într-un punct.
2) Dacă D = 0 şi Dx = Dy = Dz = 0 atunci planele sunt confundate sau se
intersectează după o dreaptă.
3) Dacă D = 0 şi cel puţin un Dx, Dy, Dz este nenul, atunci planele nu se
intersectează (plane paralele).
c) Intersecţia a patru plane
Fie (P1), (P2), (P3), (P4) patru plane de ecuaţii:
(S)
A x B y C z DA x B y C z DA x B y C z DA x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0000
+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Planele se intersecteză dacă D
A B C DA B C DA B C DA B C D
= =
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0 deoarece conform
teoremei lui Rouche sistemul (S) este compatibil dacă şi numai dacă D = 0.
d) Intersecţia unei drepte cu un plan
Fie dreapta (d) x x
ly y
mz z
n−
=−
=−0 0 0 şi
planul (P): Ax + By + Cz + D = 0. Ecuaţiile parametrice ale dreptei (d) sunt:
x x ly y mz z n
= += += +
⎧⎨⎪
⎩⎪
0
0
0
λλλ
care înlocuite în ecuaţia planului (P) dau relaţia:
Ax0 + By0 + Cz0 + D + (Al + Bm + Cn)λ = 0
sau λ= −+ + ++ + =
Ax By Cz DAl Bm Cn
ab
0 0 0 şi avem cazurile:
1) b ≠ 0 atunci dreapta înţeapă planul într-un punct.
2) b = 0 şi a = 0 atunci dreapta este conţinută în plan.
3) b = 0 şi a ≠ 0 atunci dreapta este paralelă cu planul.
e) Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
θϕ
N(A,B,C) (d)
(p)
fig.1.
Din figura 1, se observă că unghiul dintre dreapta (d) şi planul (P) este ϕ.
Fie (d) şi (P) de ecuaţii:
(d) x x
ly y
mz z
n−
=−
=−0 0 0 şi (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Avem cosθ =+ +
+ + + +
Al Bm CnA B C l m n2 2 2 2 2 2
,
cosθ = cosπ
ϕ2 −⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = sinϕ , astfel că unghiul căutat este:
sinϕ =+ +
+ + + +
Al Bm CnA B C l m n2 2 2 2 2 2
4. Probleme rezolvate
1. Să se scrie ecuaţiile dreptei D ce trece prin punctul A(1,2,3) şi are vectorul
director ( )1,2,3vr .
Rezolvare: Există mai multe modalităţi de a reprezenta o dreaptă şi anume:
→−
=−
=−
13
22
31 zyx ecuaţii parametrice
→⎩⎨⎧
−=−=
4283
zyzx
ecuaţii explicite
→⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
32213
λλλ
zyx
ecuaţii parametrice.
2. Să se scrie ecuaţiile canonice ale dreptei :
( )D ⎩⎨⎧
=−−+=−+−
03220132
zyxzyx
Rezolvare:
Trecerea la ecuaţiile canonice ale dreptei se face căutând două puncte care
aparţin dreptei (care verifică ecuaţia dreptei), iar apoi scriind ecuaţia dreptei ce
trece prin cele două puncte. Pentru aceasta vom da lui x valori particulare iar
apoi vom rezolva sistemul de ecuaţii obţinut :
Pentru x=1 avem :
⎩⎨⎧
=−=+−
12032
zyzy
deci ( ) ( )DP ∈−− 2,3,11 La fel procedăm şi pentru x=3 şi obţinem ( )8,13,32P .
Deci ecuaţia dreptei ce trece prin 1P şi 2P este :
102
163
21 +
=+
=− zyx
sau ( )D 5
28
31
1 +=
+=
− zyx
3. Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctul ( )3,2,11 −P şi de dreapta ( )D
1
32
23
1 +=
−=
+ zyx
Rezolvare:
Căutăm două puncte 2P şi 3P ce aparţin dreptei ( )D iar apoi vom scrie
ecuaţia planului ce trece prin cele trei puncte . Dăm valori particulare lui x şi
obţinem : ( ) ( )DP ∈−− 3,2,12 , ( ) ( )DP ∈0,8,83 . Atunci vom avea:
03107642321=
−−−−+− zyx
Dezvoltând determinantul avem: 0=−− zyx .
4. Să se afle parametrul real λ astfel ca planele :
( )1P 032 =+++ zyxλ
( )2P ( ) 021 =+++++ λλλ zyx să fie perpendiculare.
Rezolvare:
Fie ( )2,1,1 λvr un vector perpendicular pe planul ( )1P . Un vector perpendicular pe
planul ( )2P va fi ( )1,,12 +λλvr cele două plane sunt perpendiculare doar dacă cei
doi vectori vor fi perpendiculari, adică :
02
cos),(cos 21 ==πvv rr
p
Deci vom avea : 00 2121
21 =⋅⇔=⋅⋅
vvvvvv rrrr
rr
.
Deci condiţia ca două plane (doi vectori ) să fie perpendiculare este : 021 =⋅ vv rr .
( ) 24121121 +=++⋅+⋅=⋅ λλλλvv rr de unde vom avea
21
−=λ .
5. Să se scrie distanţa de la punctul )1,2,3( −A la palnul ( )P 01222 =−+− zyx .
Rezolvare:
Distanţa cerută se găseşte astfel : scriem ecuaţia unei drepte ce trece prin punctul
A şi este o perpendiculară pe planul P. Din intersecţia acesteia cu planul ( )P va
rezulta un punct B. În sfârşit distanţa căutată este [ ]BAd , .
B
A
(P) (D)
Fig.4
Un vector perpendicular pe planul (P) va avea componentele ( )2,2,1 −vr . Deci
ecuaţia dreptei ce trece prin punctul A(3,-2,1) şi este paralelă cu
vr (perpendiculară pe plan) este :
(D) 2
122
13 −
=−+
=− zyx
sau sub formă parametrică
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−−=
+=
1222
3
λλ
λ
zyx
Coordonatele punctului B le obţinem rezolvând sistemul :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−+=−−=
+=
0122212
223
zyxzyx
λλ
λ
De unde )35,
38,
310( −B .
Scriind formula distanţei între două puncte vom avea:
1351
382
3103),(
222
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=BAd
6. Să se afle unghiul format de dreptele :
( )1D 343
232
12 +
=+
=+ zyx
( )2D 134
323
312 +
=−+
=+ zyx
Rezolvare:
Unghiul format de cele două drepte este unghiul dintre doi vectori respectivi
paraleli cu cele două drepte : ( )3,2,11vr şi ( )1,3,32 −vr .
( ) ( )( )
0133321
133231,cos222222
21
2121 =
+−+⋅++
⋅+−⋅+⋅=
⋅⋅
=vvvv
vv rr
rrrr
p
Deci ( )2
, 21π
=vv rrp .
7. Să se afle unghiul ϕ format de dreapta
(D) 312
123
234 +
=+
=+ zyx
şi planul (P) 045 =++− zyx .
Rezolvare:
vr
ϕϕ−o90
(D)( )Nr
(P) (D’)
Fig.5
Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de dreaptă cu
proiecţia (D’) pe plan (sau complementul unghiului format de dreaptă cu
normala (N) la plan). Direcţia normalei la plan (un vector perpendicular pe plan)
este: ( )1,5,1 −Nr
iar direcţia dreptei ( )3,1,2vr . Vom avea ( ) 090cos =⋅
⋅=−
vNvNorr
rr
ϕ ,
adică ( ) oo 9090 =−ϕ , sau 0=ϕ , deci dreapta este paralelă cu planul.
8. Să se afle coordonatele simetricului punctului A(-1,2,2) faţă de planul (P)
032 =++ zyx .
Fie ( )γβα ,,A′ simetricul căutat. Acesta se găseşte pe dreapta (D) ce trece prin A
şi este perpendiculară pe planul P (normala la plan), de cealaltă parte a planului
la egală distanţă faţă de aceasta ca şi punctul A (fig.6).
Ecuaţia dreptei (N) este : 3
21
22
1 −=
−=
+ zyx sau parametric ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=−=
23212
λλλ
zyx
( )γβα ,,A′
( )000 ,, zyxB
A(-1,2,2)
(P)(D)
Fig.6
Coordonatele punctului B, de intersecţie al dreptei N cu planul se determină
rezolvând sistemul :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==++=+=−=
03223
212
zyxzyx
λλλ
Astfel vom avea : ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
75,
711,
713B . Vom pune
apoi condiţia ca punctul B să fie situat la mijlocul segmentului AA’ :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
+=
+−=−
22
75
22
711
21
713
γ
β
α
de unde ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−′
74,
78,
719A
r
9. Să se afle coordonatele simetricului punctului A(2,-1,-1) faţă de dreapta (D)
131
21 zyx
=+
=−
.
Ecuaţia unui plan (P) ce trece prin A şi este perpendicular pe dreapta (D) este
( ) ( ) ( ) 0111322 =++++− zyx sau (P) 032 =++ zyx
( )γβα ,,A′
( )000 ,, zyxB
A(2,-1,-1)
(P)
(D)
Fig.7
Coordonatele punctului B de intersecţie al dreptei (D) cu planul (P) sunt soluţiile
sistemului :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=
−=+=
032
1312
zyxzyx
λλλ
adică ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
141,
1411,
78B
Simetricul ( )γβα ,,A′ se găseşte punând condiţia ca punctul B să fie situat la
jumătatea segmentului AA’:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−=
+−=−
+=
21
141
21
1411
22
78
γ
β
α
deci punctul căutat va fi ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −′
78,
74,
72A
10. Să se calculeze distanţa de la punctul
A(3,-2,1) la dreapta (D) 3
322
11 −
=−+
=− zyx .
Rezolvare:
Notăm cu B punctul de intersecţie al planului (P) ce trece prin A şi este
perpendicular pe (D) cu dreapta (D). Distanţa căutată este AB.
Ecuaţia planului (P) este :
(P) 01032 =−+− zyx .
Rezolvând sistemul :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−+=−−=
+=
0103233
221
zyxzyx
λλ
λ
Obţinem coordonatele punctului B şi anume :
715,
710,
75
=−== BBB zyx . Astfel vom avea :
7214
7151
7102
753
222
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=AB
11. Să se scrie ecuaţia planului care trece prin dreapta
(D) ⎩⎨⎧
=+−+=−++
01320232
zyxzyx
şi este perpendicular pe planul
(P) 0223 =++− zyx .
Rezolvare:
Ecuaţia fasciculului de plane ce trece prin dreapta
(D) este :
( ) 0132232 =+−++−++ zyxzyx λ sau
( ) ( ) ( ) 0231322 =−+−++++ λλλλ zyx .
Planul ( )1P căutat se găseşte în acest fascicol şi se determină impunând condiţia
ca vectorii perpendiculari pe planele ( )1P respectiv ( )P notaţi cu 1vr şi 2vr să fie
perpendiculari, adică produsul scalar să fie nul.
( ) ( ) ( ) 10312322321 =⇒=−++−+=⋅ λλλλvv rr .
Ecuaţia planului căutat se obţine înlocuind valoarea obţinută pentru λ în
fascicolul de plane:
( )1P 01253 =−−+ zyx .
5. Probleme propuse
1. Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctul P1(1,-2,3) şi de dreapta
(D) ⎩⎨⎧
=−=−82
432zy
yx.
R: Indicaţie: Se află P2, P3∈D şi rezultă ecuaţia planului:
x - y - z = 0.
2. Să se afle parametrii reali λ, μ astfel ca planele:
(P1) (λ+2)x + 3y + z + 2μ - 1 = 0
(P2) 6λx + (4-μ)y - μz + 1 + λ + 2 = 0 să fie paralele.
R: λ = 1, μ = -2.
3. Să se afle distanţa de la punctul A(3,-2,1) la planul (P) x - 2y + 2z - 12 = 0.
R: Se scrie ecuaţia dreptei (D) care trece prin punctul A şi este
perpendiculară pe plan şi se intersectează cu planul şi rezultă d = 1.
4. Să se afle unghiul format de dreptele:
(D1) 13
34
31 +
=−−
=+ zyx , (D2) 32
31
2 zyx=
−=
+
R: ϕ = π2 , deci (D1) ⊥ (D2)
5. Să se afle ecuaţia planului determinat de punctul A(3,-1,2) şi de dreapta (D)
2 3 2 03 4 0
x y zx y z
− − − =+ − + =
⎧⎨⎩
R: 5x + y - 7z = 0
6. Să se scrie ecuaţia planului ce trece prin dreapta (D) 2 3 2 0
2 3 1 0x y z
x y z+ + − =+ − + =
⎧⎨⎩
şi
este perpendicular pe planul (P) 3x - y + 2z + 2 = 0
R: 3x + 5y - 2z - 1 = 0
7. Să se afle coordonatele simetricului punctului A(1,-2,2) faţă de planul
(P) 2x + y + 3z = 0.
8. Să se afle coordonatele simetricului punctului A(2,0,-1) faţă de dreapta (D)
x y z−=
−=
12
13 1 .
9. Să se calculeze distanţa de la punctul A(3,-2,1) la dreapta: (D) ⎩⎨⎧
=−=+
0302
zxyx
R: d = 47 21
10. Să se afle distanţa dintre dreptele paralele:
(D1) x y z+
=+
=+1
12
23
3 , (D2) x y z+
=+
=+3
12
21
3 .
R: d = 47 21
11. Să se afle distanţa dintre planele paralele:
(P1) x + 2y + 3z + 4 = 0, (P2) 2x + 4y + 6z + 7 = 0.
R: d = 14
28
12. Să se afle distanţa dintre planul (P) şi dreapta (D) unde:
(P) 5x - y - z - 27 = 0; (D) x y z−
=−
=−1
12
23
3 R: d = 3 3
13. Să se scrie ecuaţia planului care trece prin punctul M simetricul punctului
N(1,2,3) faţă de punctul P(3,2,1) şi este paralel cu dreptele:
(D1) x y zx y+ − + =− =
⎧⎨⎩
1 00 şi (D2)
2 3 04 0
x yy z
− − =− + =
⎧⎨⎩
R: (P) 2x - z - 11 = 0
14. Să se scrie ecuaţia planului care conţine dreapta (D) x yx z− − =− + =
⎧⎨⎩
1 01 0 şi este
perpendicular pe planul determinat de punctele M(2,0,0), N(0,-1,0) şi P(0,0,-
1).
R: x - y = 0 planul bisector planelor xOz şi yOz.
15. Se dau punctele A(-5,2,2), B(6,-3,-4), C(1,0,3) şi dreapta
(d) x y z1
13
22=
−− =
+.
a) Să se afle coordonatele punctului D, piciorul perpendicularei coborâte
din punctul A pe dreapta (d).
b) Să se scrie ecuaţia planului care conţine dreapta BC şi este
perpendicular pe dreapta (d) şi să se afle coordonatele lui E, intersecţia planului
cu (d).
16. Să se afle volumul tetraedrului ABDE şi să se explice rezultatul:
R: a) D(0,1,-2)
b) (P) x - 3y + 2z - 7 = 0, E(1,-2,0).
c) V = 0. Punctul B este situat în planul x + y + z + 1 = 0
determinat de dreapta (d) şi punctul A. Deci punctele A, B, D, E sunt coplanare.
17. Să se arate că dreapta (D) x y z−
=+− =
−23
21
34 este situată în planul
(P) 2x + 2y - z + 3 = 0.
§ 3. Geometria diferenţială a curbelor şi suprafeţelor în spaţiu
1. Curbe în spaţiu
a) Reprezentare analitică
Fie M∈ℜ3, M(x,y,z) un punct din spaţiu. O mulţime Γ din spaţiu care
conţine punctele M, se numeşte curbă strâmbă dacă satisface una din relaţiile:
(1) F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0.
(2) z = f(x,y), z = g(x,y); x∈(x1, x2), y∈(y1, y2)
(3) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t∈(t1,t2)
(4) rr = rr (t), t∈(t1,t2), unde M∈ℜ3 are vectorul de poziţie rr .
Funcţiile F, G, f, g, x, y, z, rr satisfac anumite condiţii numite condiţii de
regularitate, iar curbele pe care le reprezintă se numesc curbe netede.
Formulele (1) dau pe z ca funcţii implicite de x şi y. Fie
aD F GD y z b
D F GD z x c
D F GD x y= = =
( , )( , ) ,
( , )( , ) ,
( , )( , ) următorii determinanţi funcţionali:
a
Fy
Fz
Gy
Gz
b
Fz
Fx
Gz
Gx
c
Fx
Fy
Gx
Gy
= = =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
, ,
atunci condiţia de regularitate pentru F şi G se scrie: a2 + b2 + c2 ≠ 0 (5).
Relaţiile (2) se aduc la forma (1) şi condiţiile de regularitate sunt (5).
Pentru funcţiile (3), x(t), y(t), z(t) continue şi cu derivatele continue,
condiţiile sunt:
(6) x'2(t) + y'2(t) + z'2(t) ≠ 0, t∈(t1,t2)
Pentru rr r r
r t x t i y t j z t k( ) ( ) ( ) ( )= + + cu
rr r r
r t x t i y t j z t k'( ) '( ) '( ) '( )= + + condiţia de regularitate este: ⏐r'(t)⏐≠ 0 care sunt
relaţiile (6).
Relaţiile (1), (2), (3), (4) reprezintă respectiv: reprezentarea implicită,
explicită, parametrică şi vectorială a curbei Γ.
b) Tangenta într-un punct la curbă
Definiţia 1 Numim tangenta la curba (Γ) în punctul M, poziţia limită a
coardei MM' când M' → M (figura 1).
M(x,y,z)
P(X,Y,Z)
(Γ)
O y
r(t+Δt) M'
R'
Δrr(t)
z
x fig.1.
Fie curba (Γ) de ecuaţie vectorială rr = rr (t), t∈(t1,t2) şi fie M, M' două
puncte de pe curba (Γ), foarte apropiate şi care au vectorii de poziţie rr (t), rr (t +
Δt). Notăm cu Δrr = rr (t + Δt) - rr (t) care prin împărţire cu Δt şi prin trecere la
limită când Δt → 0 devine:
lim lim( ) ( )
Δ Δ
ΔΔ
ΔΔt t
rt
r t t r tt
drdt→
=+ −
=0
r r r r
.
Dar dacă Δt → 0, atunci M' → M şi Δrr
r MP MPdrdt→ =
→ →, λ deoarece
drdt
r
este coliniar cu MP→
.
În triunghiul OPM avem: OP OM MP→ → →
= + sau (1) r r
r
R r tdrdt= +( ) λ care
reprezintă ecuaţia vectorială a tangentei (T) la curba (Γ) în punctul M.
Ecuaţiile (1) proiectate pe axe devin:
(2) X x tdxdt Y y t
dydt Z z t
dzdt= + = + = +( ) , ( ) , ( )λ λ λ deoarece
drdt
dxdt i
dydt j
dzdt k
rr r r
= + + şi vectorul r r r rR Xi Yj Zk= + + care este vectorul de
poziţie al punctului P(X,Y,Z).
Avem din (2) ecuaţiile:
(3) X x t
x tY y t
y tZ z t
z t−
=−
=−( )
'( )( )
'( )( )
'( ) deoarece
dxdt x t
dydt y t
dzdt z t= = ='( ), '( ), '( ) şi reprezintă ecuaţiile tangentei la curbă
în cazul când curba este dată parametric.
Observaţia 1 Fie (Γ) F x y zG x y z
( , , )( , , )
==
⎧⎨⎩
00 o curbă netedă.
Prin diferenţiere obţinem:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Fx dx
Fy dy
Fy dz
Gx dx
Gy dy
Gz dz
+ = −
+ = −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
, rezolvăm sistemul cu regula lui Cramer şi
obţinem:
dx
Fz
Fy
Gz
Gy
Fx
Fy
Gx
Gy
ac dz=
−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
şi dybdz
c= de unde rezultă proporţia:
dxa
dyb
dzc= = şi rezultă în final:
(4) X x
aY y
bZ z
c−
=−
=−
deoarece dx, dy, dz sunt proporţionale cu a, b,
c şi la fel sunt şi x'(t), y'(t), z'(t) deoarece
dx(t) = x'(t)dt, dy(t) = y'(t)dt, dz(t) = z'(t)dt.
c) Planul normal într-un punct la o curbă
Definiţia 2 Numim plan normal în punctul M la curba (Γ) planul (π) care
trece prin M şi este perpendicular pe tangenta la curbă în punctul M (figura 2).
M(x,y,z)
P(X,Y,Z)
(Γ)
O y
N
Rr
z
x
(π)
(T)
fig.2.
Din definiţia 2 rezultă că MP MN→ →
⋅ = 0 deci ( )r r
r
R rdrdt− = 0 (1),
r r r rr x t i y t j z t k= + +( ) ( ) ( ) .
Proiectăm ecuaţia vectorială (1) pe axe şi vom avea:
(X-x)x'(t) + (Y-y)y'(t) + (Z-z)z'(t) = 0 (2)
Dacă (Γ) este dată sub formă implicită avem ecuaţia:
a(X-x) + b(Y-y) + c(Z-z) = 0 (3)
sau sub formă de determinant:
X x Y y Z zFx
Fy
Fz
Gx
Gy
Gz
− − −
=∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
0 (4) care rezultă din (3) şi reprezintă ecuaţia
planului normal la curba (Γ) în punctul M, unde punctul P(X,Y,Z) este punctul
curent al planului (π).
d) Elementul de arc
Fie M(x,y,z)∈(Γ) şi r rr r t= ( ) ecuaţia curbei (Γ). Diagonala
paralelipipedului de laturi dx, dy, dz (figura 3) este:
ds dx dy dz x t y t z t dt dr= + + = + + =2 2 2 2 2 2' ( ) ' ( ) ' ( ) r
M(Γ)
O y
z
x
A dxdy
dz
fig.3.
Deci 1ds
rdsau1ds
rd==
rr
(1) şi atunci, dacă x x sy y sz z s
===
⎧⎨⎪
⎩⎪
( )( )( )
rezultă că
r r r rr s x s i y s j z s k( ) ( ) ( ) ( )= + + şi relaţia (1) se scrie ⏐rr s'( )⏐= 1 adică:
x'2(s) + y'2(s) + z'2(s) = 1 deci vectorul rr s( ) este versorul tangentei la
curba (Γ) în punctul M şi dxds
dyds
dzds, , se numesc cosinusurile directoare ale
tangentei la curbă în punctul M, notate cu α, β, γ.
2. Elemente de teoria suprafeţelor
a) Reprezentarea analitică
Fie (1) x f u vy g u vz h u v
===
⎧⎨⎪
⎩⎪
( , )( , )( , )
unde (u,v)∈D⊂ℜ2, funcţii continue cu derivatele
parţiale de ordinul I continue în D. Mulţimea punctelor M∈ℜ3 cu
A2 + B2 + C2 ≠ 0 unde AD g hD u v B
D h fD u v C
D f gD u v= = =
( , )( , ) ,
( , )( , ) ,
( , )( , ) reprezintă
ecuaţiile parametrice ale suprafeţei netede (S) (figura 1).
(C)
(S) y
x
z
cu
ru
c'v
r0
r M0
O
dr
fig.1.
Ecuaţia (2) r rr r u v= ( , ) reprezintă ecuaţia vectorială a suprafeţei (S). Dacă
din (1) eliminăm parametrii u,v atunci obţinem forma implicită a suprafeţei (S)
(3) F(x,y,z) = 0, din care rezultă (4) z = ϕ (x,y) forma explicită a suprafeţei (S).
b) Prima formă fundamentală a unei suprafeţe
Dacă în ecuaţia vectorială r rr r u v= ( , ) , facem u = u0 avem curbele cv iar
dacă v = v0 avem curbele cu numite curbe parametrice ale suprafeţei (S). Dacă
intersectăm cu cu cv avem punctul M0(x0,y0,z0) unde x0 = f(u0,v0), y0 = g(u0,v0),
z0 = h(u0,v0) atunci M0(u0,v0), u0 şi v0 se numesc coordonate curbilinii ale lui
M0∈(S). Vectorii tangenţi la curbele cu, cv în punctul M0 sunt:
khjgifriskhjgifr vvvvuuuu
rrrrrrrr++=++=
Dacă (C) x t f u t v ty t g u t v tz t h u t v t
( ) ( ( ), ( ))( ) ( ( ), ( ))( ) ( ( ), ( ))
===
⎧⎨⎪
⎩⎪, t∈[a,b]
atunci:
r rr r
r rr t r u t v tru
dudt
rv
dvdt r
dudt r
dvdtu v'( ) '( ( ), ( ))= = + = +
∂∂
∂∂ şi dr r t dtr r
= '( ) atunci
dr r du r dvu vr r r= + vector dirijat după tangenta la curba (C) fiind coliniar cu
vectorul rr t'( ) .
Elementul de arc al curbei (C)∈(S) este: ds = ⏐drr⏐ sau
ds dr dr dr2 2= = ⋅r r r sau ds r du r r dudv r dvu u v v
2 2 2 2 22= + +r r r r şi în concluzie:
(5) ds Edu Fdudv Gdv2 2 22= + + care reprezintă prima formă
fundamentală a unei suprafeţe,
unde (6) E r f g hF r r f f g g h hG r f g h
u u u u
u v u v u v u v
v v v v
= = + += = + += = + +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
r
r r
r
2 2 2 2
2 2 2 2
şi ffu f
fv g
gu g
gv h
hu h
hvu v u v u v= = = = = =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂, , , , , fiind derivatele
parţiale ale funcţiilor f, g, h în raport cu u şi v.
c) Observaţii
Observaţia 1 Se ştie că (7) ds2 = dx2 + dy2 + dz2 şi formulele (6) se obţin
dacă înlocuim în relaţia (7) pe dx2, dy2, dz2 din:
dxfu du
fv dv dy
gu du
gv dv dz
hu du
hv dv= + = + = +
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂, ,
Observaţia 2 Relaţia lui Lagrange:
2vu
2vu
2v
2u )rr()rr(rr rrrrrr
×=−⋅ ne dă EG - F2 ≥ 0.
Observaţia 3 dsu2 = Edu2 şi dsu = E du
dsv2 = Gdv2 şi dsv = G dv
Observaţia 4 Versorul normalei la suprafaţă în M0 este:
rr r
r r
r r
nr rr r
r r
EG Fu v
u v
u v=×
± ×=
×
± − 2
Observaţia 5 Ecuaţia planului tangent la suprafaţă în M0 este:
0zyxzyx
zzyyxxsaurrrr
000
000
vvv
uuu
000
vu0 =−−−
μ+λ+=rrrr
Observaţia 6 Unghiul curbelor cu, cv este dat de unghiul vectorilor r rr ru v, şi
anume: cosϕ = r r
r rr r
r rFEG
u v
u v
⋅
⋅=
d) Elementul de arie al unei suprafeţe
Fie suprafaţa (S) şi curbele cu, cv cu tangentele r rr ru v, , ca în figura 2.
N
PQ
M
cv
cu
ru
rv
(S)
θ
fig.2.
Elementul de arie al suprafeţei (S) este:
d MN MQ r du r dv r r dudv r r dudv
EG dudv EGFEGdudv EG F dudv
u v u v u vσ θ
θ
= × = × = × = =
= − = − = −
→ → r r r r r r sin ( )
cos1 122
2
în concluzie d EG Fσ = − 2 dudv.
3. Probleme rezolvate
1. Să se scrie ecuaţiile tangentei la curba: (C) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=++−
=++−
0606
32
23
zyxzyx
în punctul A(-1,-2,-1).
Rezolvare: Curba este reprezentată implicit. Fie F(x,y,z) = 0 şi G(x,y,z) = 0
respectiv ecuaţiile sistemului. Calculăm derivatele parţiale în raport cu fiecare
componentă în punctul A:
( ) 3,3 2 =′=′ AFxF xx ( ) 1,1 =′=′ AGG xx
( ) 4,2 =′=′ AFyF xy ( ) 4,2 =′−=′ AGyG yy
( ) 1,1 =′=′ AFF zz ( ) 3,3 2 =′=′ AGzG xx
Minorii cu semn ai matricii: 31
44
13 sunt : 8
3414==a , 8
3113
−=−=b ,
84143==a . Deci tangenta la curbă va avea ecuaţiile:
(t) 1
112
11
81
82
81 +
=−+
=+
⇔+
=−+
=+ zyxzyx
2. Se consideră curba: tztxtx === ,4,3 23 . Să se scrie ecuaţiile tangentei şi
planului normal la curbă în punctul ( )1,4,30M
Rezolvare: Direcţia tangentei la curbă este dată de valoarea derivatelor fiecărei
componente în 0M . Determinăm mai întâi valoarea lui t0∈R, astfel ca:
( ) ( ) ( ) 1,4,3 000 === tztytx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=
144
33
0
20
30
tt
t
deci 10 =t
( ) ( ) ( ) 1,88,99 01012
0 =′==′==′ tzttyttx .
Deci ecuaţiile tangentei şi a planului normal în 0M vor fi
(t) 1
18
49
3 −=
−=
− zyx
(P) ( ) ( ) ( ) 014839 =−+−+− zyx sau
(P) 06089 =−−+ zyx .
3. O curbă (C) este reprezentată vectorial prin ecuaţia
kttj
tti
ttr
rrrr
12
112
122
222 ++
+++
++−
=
a)Să se afle punctele de pe curba (C) la distanţele extreme de originea
sistemului de coordonate.
b)Să se calculeze lungimea arcului cuprins între punctele astfel
determinate.
c)Să se determine punctele de pe curbă în care tangenta este
perpendiculară pe direcţia ( )1,2,2vr
Rezolvare: Reprezentarea parametrică a curbei este:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
+−
=
12112122
2
2
2
ttz
tty
ttx
a)Punctele căutate sunt cele pentru care 0=t şi ∞→t adică ( )1111 ,, zyxM şi
( )2222 ,, zyxM .
( ) 201 −== xx 0)(lim2 ==∞→
txxt
( ) 101 == yy 0)(lim2 ==∞→
tyyt
( ) 201 == zz 0)(lim2 ==∞→
tzzt
b)Lungimea arcului de curbă este dat de expresia: ∫∞
′+′+′=0
222 dtzyxl ,
( )22
2
1242
+
++−=′
tttx ;
( )22
2
1222
+
+−−=′
ttty ;
( )22
2
114
+
+−−=′
tttz
Ridicâd la pătrat şi înlocuind în expresia de mai sus obţinem: ∫∞
=+
=0
2 23
13 πdt
tl .
Determinăm parametrii 0t pentru care vectorii ( )1,2,2vr , şi vectorul tangent la
curbă ( ) ( ) ( )( )000 ,, tztytxt ′′′r sunt perpendiculari adică 0=⋅ tv
rr .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 014222224220122 222000 =+−−++−−+++−⇔=′⋅+′⋅+′⋅ tttttttztytx ,
de unde 10 ±=t .
Pentru aceste valori obţinem punctele: ( ) ( ) ( )( )1,1,11 zyxP şi ( ) ( ) ( )( )2,2,22 zyxP adică
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
23,
23,01P , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
21,
21,21P .
4. Să se scrie ecuaţiile tangentei şi planului normal la curba (C) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
11
22
22
zyyx în
punctul ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
22,
22,
22
0M
Rezolvare: Reprezentarea implicită a curbei este:
( ) 01, 22 =−+= yxyxF , `
( ) 01, 22 =−+= zyyxG .
Derivatele parţiale ale lui F şi G în 0M sunt:
( ) 22220 ==
∂∂ xM
xF ( ) 00 =
∂∂ M
xG
( ) 22220 −==
∂∂
−yM
yF ( ) 22
220 −==
∂∂
−yM
yG
( ) 00 =∂∂ M
zF ( ) 22
220 ==
∂∂ zM
zG
Minorii cu semn ai matricei: 220022
−− sunt :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−=
222
cba
Ecuaţiile tangentei sunt:
(t) 1
22
122
122
222
222
222
−=
+=
−⇔
−
−=
−
+=
−
− zyxzyx
iar a planului normal (P) 022=−+= zyx .
5. Să se scrie ecuaţia planului tangent şi expresia analitică a versorului
normalei la suprafaţă: (z) ( ) kujuvivvurrrrr 2, ++= în punctul ( )10 == vuM .
Rezolvare: Reprezentarea parametrică a suprafeţei este:
(z) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
2uzuvyvx
iar punctul ( )1,1,10M , se obţine înlocuind 1== vu în ecuaţiile parametrice.
Ecuaţia planului tangent la suprafaţă este :
( )tP ( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzCyyBxxA
unde A, B, C sunt minorii cu semn ai matricii:02
11
10
adică 1,2,2 −==−= CBA . Deci:
( )tP ( ) ( ) ( ) 01220111212 =−+−⇔=−−−+−− zyxzyx
Un vector normal la suprafaţă are direcţia ( )1,2,2 −vr . Vectorul vvu r
rr= este un
vector de modul 1, având direcţia normalei la suprafaţă deci este versorul căutat.
Ţinând cont de sensul acestuia obţinem:
( )
( )kjikjinrrr
rrrr
+−−=+−+
+−−= 22
31
122
22222
.
6. Fie suprafaţa ( ) uzvuyvux 2,sin,cos: =−=+=Σ şi ( )2,0,10M pe suprafaţă.
a) Să se determine unghiul curbelor de coordonate (parametrice) ce trec
prin 0M .
b)Să se arate că tangenta în 0M la curba (C) vu sin= coincide cu tangenta
în 0M la una din curbele de coordonate.
Rezolvare:
a) Unghiul curbelor de coordonate ce trece prin 0M este dat de relaţia:
GE
F⋅
=ϕcos
Înlocuind obţinem 21cos −=ϕ de unde
32πϕ = .
Raţionamentul teoretic ce a condus la această formulă este următorul: unghiul
curbelor de coordonate uc şi vc în 0M este unghiul vectorilor tangenţi 1tr şi 2t
r la
cele două curbe în punctul 0M .
2tr
1tr
)( uc
)( vc
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ==
2,10
πvuM
( )uc ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−==
uz
uyux
2
1 ( )vc ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=+=
2
sin1cos1
z
vyvx
Vectorii tangenţi în 0M vor avea direcţiile:
( ) ( ) ( )( )1,1,11 uuu zyxt ′′′r , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛′
2,
2,
22πππ
vvv zyxtr adică ( )2,1,11t
r şi ( )0,0,12 −tr .
Unghiul dintre cei doi vectori se determină din relaţia:
21cos
21
21 −=⋅⋅
=ttttrr
rr
ϕ . Deci 3
2πϕ = .
b) Parametrizând curba (C) obţinem: (C) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+=
vz
yuvx
sin2
0cossin
(reprezentarea parametrică a curbei C, se obţine înlocuind în ecuaţia suprafeţei
vu sin= ).
Derivând observăm că direcţia tangentei în 0M este ( )0,0,1−tr . Deci aceasta
coincide cu tangenta la curbă.
7. Se dă suprafaţa reprezentată vectorial: ( )Σ ( ) ( ) ( ) kvujvuivuvurrrrrrr
⋅+−+−== 22, .
Să se determine prima formă fundamentală a suprafeţei.
Rezolvare: Expresia primei forme fundamentale este: 222 2 GdvFdudvEdusd ++= , unde vuu rrFrE ′′=′=
rrr ,2 şi 2vrG ′=r ,
kvjuiru
rrrr++=′ 2 , kujvirv
rrrr+−−=′ 2
2212 vuvrrrE uuu++=′⋅′=′=
rrr , 1341 −−=+−−=′′= uvuvuvrrF vurr ,
22412 uvrrrG vvv ++=′⋅′=′=rrr .
Deci ( ) ( ) ( ) 2222222 4113241 dvuvdudvuvduvusd ++++−++= .
4. Probleme propuse
1. Se dă rr r r
r t i t j t k t( ) cos sin sin= + +2 2 2 . Să se arate că rr t( ) este perpendicular
pe rr t'( ) .
Indicaţie: Se arată că rr t( )⋅ rr t'( ) = 0.
2. Să se arate că tangentele la curba:
(C) x a t ty a t tz De t
= += −=
⎧
⎨⎪
⎩⎪ −
(sin cos )(sin cos )
intersectează planul xOy după cercul: x2 + y2 = 4a2.
Indicaţie: z = 0 şi avem x = 2a cos t, y = 2a sin t de unde rezultă cercul:
x2 + y2 = 4a2.
3. Să se scrie ecuaţia planului normal la curba: (C) x = ln t, y = 2t,
z = t2, t > 0, paralel cu dreapta (D): x + 4y = 0, y - z = 0.
R: x + 2y - 2z - 6 = 0
4. Să se scrie ecuaţiile tangentei la curba (C): xy
zy
= = −2 3
3, , y∈ℜ, paralele cu
planul: (P) 3x - 2y - 2z -1 = 0.
R: (T1) x y z0 0 2= = ; (T2)
2 14
3 13
12
x y z−=
−=
−;
(T3) 81 8
481 8
39 4
1x y z−
=+
− =−
5. Se dă curba (C): x2 + z2 - 4 = 0, x2 + y2 - 4 = 0. Să se afle tangenta şi planul
normal într-unul din punctele M, de cotă z = 1.
R: Pentru z = 1, x = ± 3, y = ±1. Alegem M0( )3 11, , şi avem:
(T) x y z−− =
−=
−31
13
13
şi (P) x - 3y - 3z + 3 = 0
6. Se consideră curba (C): rr r r
r t ti t j tk( ) ln= + +2 2 unde t > 0. Să se afle lungimea
arcului cuprins între punctele P1(2,1,0), P2(4,4,ln2).
R: Se arată că P1 şi P2 se află pe curbă şi apoi l(P1,P2) = 3 + ln2
7. Să se scrie ecuaţiile tangentei şi planului normal la curba (C) y = x2, z = 13x
în
punctul M0(1,1,1).
R: (T) x y z−
=−
=−−
11
12
13 , (P) x + 2y - 3z = 0
8. Să se afle ecuaţia planului tangent şi ecuaţiile normalei pentru suprafeţele: a)
xu vu v
yu vu v
zuv
u v=
−+
=++
=−+
2 2
2 2
3 3
2 2 2 21
, , în punctul M0(u =1,v =1)
b) zxz y= +ln în M0(1,1,1).
R: a) (P) y - z - 1 = 0, (N) x = 0, y + z = 1
b) Fie F = z - lnx
y2 − avem rN F F Fx y z( , , )′ ′ ′ şi (P) x + y - 2z = 0,
(N) x y z−
=−
=−−
11
11
12
9. Fie rr (u,v) = ui vj u v kr r r+ + +sin( ) ecuaţia unei suprafeţe.
a) Să se afle unghiul dintre curbele (C1) u + v = 0 şi (C2) u - v = 0;
b) Să se scrie ecuaţia normalei şi a planului tangent în punctul u = 0,
v = 0 şi să se calculeze unghiul dintre direcţia normalei şi direcţia versorului rk .
R: a) cosθ= Edu u F du v dv u Gdv v
Edu Fdudv Gdv E u F u v G vδ δ δ δ
δ δ δ δ+ + +
+ + ⋅ + +
( )2 2 2 22 2
⇒ cosθ = 0, θ = π2 . b) cosϕ =
33
§ 4. Conice pe ecuaţia generală. Suprafeţe de ordinul II. Sfera
1. Conice pe ecuaţia generală. Aducerea la forma canonică
Ecuaţia generală a conicelor are forma:
(1) a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Ecuaţiei (1) îi corespund două numere şi anume:
D = a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
d = a aa a
11 12
21 22 unde aij = aji; i,j = 1,2,3, i ≠ j
Observaţia 1 Dacă D ≠ 0 avem o conică propriu-zisă, iar dacă D = 0,
avem o conică degenerată.
Forma canonică a conicelor este:
xa
yb
2
2
2
2 1 0+ − = pentru elipsa cu centrul în origine şi cu semiaxele a,b
(figura 1).
y
x
ba
O
M(x,y)
fig.1.
xa
yb
2
2
2
2 1 0− − = pentru hiberbola cu centrul în origine şi de semiaxe a, b
(figura 2).
y
x
ba
O
M(x,y)
fig.2.
şi y2 = 2px pentru parabolă care este o conică fără centru şi cu focarul Fp2 0,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ca în figura 3.
y
xO
M(x,y)
F(p/2,0)
fig.3.
Pentru aducerea la forma canonică a ecuaţiei generale (1), vom avea
cazurile:
Cazul I a12 = 0, a11a22 ≠ 0. În ecuaţia generală (1) formăm două pătrate
perfecte:
a xaa a y
aa a
aa
aa11
13
11
2
2223
22
2
33132
11
232
220+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + − − =
Dar D = a a
a aa a a
11 13
22 23
31 32 33
00 = a11(a22a33 - a23
2 ) - a22a132 =
= a11a22a33 - a11a232 - a22a13
2 deci vom avea:
(2) a xaa a y
aa
Da a11
13
11
2
2223
22
2
11 220+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + =
Dacă facem schimbarea de variabile:
X x
aa
Y yaa
= +
= +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
13
11
23
22
care reprezintă un nou sistem XO'Y unde Oaa
aa' ,− −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟13
11
23
22
este noul centru translatat din O(0,0), ecuaţia (2) devine:
(3) a11X2 + a22Y2 + D
a a11 22 = 0 şi avem subcazurile:
I.1) D = 0, rezultă din (3) ecuaţia a11X2 + a22Y2 = 0, care reprezintă două
drepte reale dacă a11a22 < 0 şi dacă a11a22 > 0, două drepte imaginare.
Dar d = a11a22 - a122 = a11a22 şi deci dacă d < 0 avem două drepte reale şi
dacă d > 0, avem două drepte imaginare.
I.2) D ≠ 0. Dacă a11 > 0, a22 > 0, D
a a11 22> 0 sau toate negative, avem o
elipsă imaginară de formă canonică xa
yb
2
2
2
2 1 0+ + = .
Fie a11 > 0, atunci considerăm cazurile:
1) d > 0, rezultă a11a22 > 0, deci a22 > 0, pentru ca raportul D
a a11 22< 0
trebuie ca D < 0 şi avem:
a11X2 + a22Y2 + D
a a11 22 = 0 −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a aD
11 22 , rezultă:
− − − =a a
D Xa a
D Y112
22 2 222
11 2 1 0
Notăm: a2 = - D
a a112
22 > 0, b2 = -
Da a22
211
> 0 şi rezultă
Xa
Yb
2
2
2
2 1 0+ − = elipsă reală cu semiaxe a, b şi centru O'.
2) d < 0, atunci a22 < 0 şi rezultă D > 0, cu notaţiile a2 = - D
a a112
22 > 0, b2
= D
a a222
11 > 0 şi (3) reprezintă hiperbola:
Xa
Yb
2
2
2
2 1 0− − = cu semiaxele a, b şi centru O'.
Cazul II a12 = 0 şi a11a22 = 0.
Observaţia 2 Pentru a11a22 = 0 se consideră că numai un factor este nul
deoarece dacă a11 = 0, a22 = 0 atunci ecuaţia (1) se reduce la o dreaptă.
Fie deci a11 = 0, atunci d = 0 şi ecuaţia (1) devine:
(4) a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Avem subcazurile:
II.1) a13 = 0, ecuaţia (4) devine:
(5) a22(y-y1)(y-y2) şi reprezintă două drepte confundate dacă y1 = y2,
reale dacă y1,y2∈ℜ şi imaginare dacă y1,y2∈C.
Observaţia 3 Deoarece a11 = a22 = a13 = 0 şi D = 0 deci avem o conică
degenerată de ecuaţie (5)
II.2) a13 ≠ 0, ecuaţia (1) devine:
a yaa a x
a a aa a22
23
22
2
1322 33 23
2
22 132 0+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + +
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
Notăm X xa a a
a a= +−22 33 23
2
22 13, Y = y +
aa
23
22 cu centrul axelor
Oa a a
a aaa' ,23
222 33
22 13
23
22
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ şi forma canonică devine:
Yaa X2 13
222 0+ = parabola care are unghiul θ, unghi de rotaţie a axelor
dat de ctg2θ = a a
a11 22
122−
şi p = −aa
22
13.
În concluzie vom avea discuţia genului conicelor dată în tabelul 1.
D ≠ 0 D = 0
d > 0
elipsă - reală
- imaginară
drepte imaginare
d < 0
hiperbolă
drepte reale
drepte concurente
d = 0
parabolă
drepte reale paralele
drepte imaginare paralele
drepte reale confundate
Tabelul 1.
Observaţia 4 Din tabelul 1 rezultă următorul procedeu practic pentru
aducerea la forma canonică a conicelor:
1) Dacă D ≠ 0 atunci forma canonică este:
a11X2 + a22Y2 + D
a a11 22 = 0 şi dacă d ≠ 0 avem conice cu centru şi anume:
dacă d > 0 elipsă cu centrul în Oaa
aa' ,− −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟13
11
23
22 iar dacă d < 0 avem hiperbolă şi
în final dacă d = 0 avem parabola cu centrul noului sistem de axe
Oa a a
a aaa' ,23
222 23
22 13
23
22
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
2) Dacă D = 0 atunci avem conice degenerate şi se rezolvă ecuaţia de
gradul II în x sau y pentru a afla ecuaţiile dreptelor în care degenerează conica.
Observaţie Centrul unei conice se poate afla dacă rezolvăm sistemul:
′ =′ =
⎧⎨⎩
ff
x
y
00 unde f(x,y) = 0 este ecuaţia generală a conice, sistemul devine:
a x a y aa x a y a
11 12 13
21 22 23
00
+ + =+ + =
⎧⎨⎩
şi se observă că dacă d ≠ 0, d = a aa a
11 12
21 22, sistemul este unic determinat, deci
avem conică cu centru, iar dacă d = 0, sistemul este nedeterminat sau
incompatibil, deci avem conică fără centru.
Observaţia 5 Dacă se dau două conice: f(x,y) = 0, g(x,y) = 0 atunci
ecuaţia fasciculului format de cele două conice este: f(x,y) + λg(x,y) = 0, λ∈ℜ.
2. Suprafeţe de ordinul II
Definiţia 1 Mulţimea punctelor M(x,y,z) care satisface la una din
ecuaţiile (1) F(x,y,z) = 0, (2) z = f(x,y), (3) x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), se
numeşte suprafaţă de ordinul II.
a) Suprafeţe cilindrice
Definiţia 2 O suprafaţă generată de o dreaptă care se deplasează în spaţiu
paralel cu ea însăşi, sprijinindu-se pe o curbă fixă numită directoare, se numeşte
suprafaţă cilindrică.
Fie (G) x - λ = y - μ = z dreapta generatoare care înţeapă planul xOy în
punctul M(λ,μ,0) şi are direcţia rv (p,p,p) deoarece se deplasează paralel cu ea
însăşi şi trece prin punctul variabil M (figura 1).
z
x
y(D)
(G)
M(λ,μ,0)
fig.1.
Dreapta directoare este (D) F x y zG x y z
( , , )( , , )
==
⎧⎨⎩
00.
Considerăm sistemul (1) x y zF x y zG x y z
− = − ===
⎧⎨⎪
⎩⎪
λ μ( , , )( , , )
00
care este un sistem de patru
ecuaţii cu trei necunoscute şi în general nu este compatibil. Eliminând x, y, z
între ecuaţiile sistemului (1) va rezulta o condiţie de compatibilitate f(λ,μ) = 0
(2).
Din (1) rezultă x zy z= += +
⎧⎨⎩
λμ şi
λμ= −= −
⎧⎨⎩
x zy z înlocuite în (2) dau suprafaţa
cilindrică f(x-z, y-z) = 0.
b) Suprafeţe conice
Definiţia 3 O suprafaţă generată de o dreaptă care trece printr-un punct
fix numit vârf şi se sprijină pe o curbă fixă numită directoare, se numeşte
suprafaţă conică (figura 2).
V(a,b,c)
(G)
(D)
fig.2.
Fie(G) (1) x a y b z c−
=−
=−
λ μ 1 dreapta generatoare şi
(D) (2) F x y zG x y z
( , , )( , , )
==
⎧⎨⎩
00 curba directoare.
Generatoarea trece printr-un punct fix numit vârf V(a,b,c) şi are o
direcţie variabilă rv (p,q,r) sau rvpr
qr, ,1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ sau rv (λ,μ,1) unde λ =
pr , μ =
qr .
Eliminând x,y,z între cele patru ecuaţii ale lui (G) şi (D) avem:
f(λ,μ) = 0. (3)
Din (1) avem: λ μ=−− =
−−
x az c
y bz c, şi rezultă: f
x az c
y bz c
−−
−−
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =, 0
suprafaţa conică căutată.
c) Suprafeţe de rotaţie
Definiţia 4 Se numeşte suprafaţă de rotaţie, o suprafaţă generată de o
curbă (C) care se roteşte în jurul unei axe fixe numită axă de rotaţie.
Fie M0(x0,y0,z0), dreapta (d) de ecuaţii
(d) x x
ly y
mz z
n−
=−
=−0 0 0 (1) şi cercul generator (G) care rezultă din
intersecţia unei sfere cu centrul în M0(x0,y0,z0) şi rază variabilă λ, cu un plan
perpendicular pe (d) cu termenul liber variabil (figura 3).
M0
d(C)
(G)
fig.3.
deci (G) ( ) ( ) ( )x x y y z zlx my nz− + − + − =+ + =
⎧⎨⎩
02
02
02 2λ
μ (2) şi curba directoare
(C) F x y zG x y z
( , , )( , , )
==
⎧⎨⎩
00 (3). Avem f(λ,μ) = 0 sau
( )f x x y y z z lx my nz( ) ( ) ( ) ,− + − + − + + =02
02
02 0 suprafaţa de
rotaţie căutată.
d) Generarea unor suprafeţe particulare
d1) Elipsoidul
Este generat de o elipsă variabilă deplasându-se paralel cu ea însăşi pe o
elipsă fixă.
Fie elipsa generatoare (G) xa
yb
z
2
2
2
2+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪λ
μ şi elipsa directoare (fixă)
(D) xa
zc
y
2
2
2
2 1
0
+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪, elipsele fiind în spaţiul xOyz. Eliminând x,y,z între cele 4
ecuaţii avem λ = 1 - μ 2
2c apoi înlocuind pe λ şi μ în (6) avem ecuaţia:
xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1+ + = care reprezintă ecuaţia elipsoidului din figura 4.
y
z
x
BB'
A
A'
O
C
fig.4.
Planele de simetrie sunt: xOy, yOz, zOx. Axele de simetrie sunt: Ox, Oy,
Oz şi centru de simetrie O(0,0,0).
Dacă F(x,y,z) = xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1+ + − atunci pentru a arăta că xOy este plan
de simetrie trebuie să arătăm că dacă M(x,y,z) este pe elipsoid, atunci şi M'(x,y,-
z) este pe elipsoid. Într-adevăr F(x,y,-z) = F(x,y,z).
Intersecţia cu planele de simetrie, anume:
∩xOy: xa
yb
z
2
2
2
2 1 0
0
+ − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪; ∩yOz:
yb
zc
x
2
2
2
2 1 0
0
+ − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪; ∩zOx:
xa
zc
y
2
2
2
2 1 0
0
+ − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ se
observă că sunt elipse reale.
Intersecţia cu axele de simetrie sunt cele 6 vârfuri (figura 4) care rezultă din
sistemele de ecuaţii:
xay z
2
2 1
0
=
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ pentru intersecţia cu axa Ox,
ybx z
2
2 1
0
=
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ pentru intersecţia cu axa Oy,
zcx y
2
2 1
0
=
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ pentru intersecţia cu axa Oz,
şi avem punctele A(a,0,0), A'(-a,0,0), B(0,b,0), B'(0,-b,0), C(0,0,c),
C'(0,0,-c).
Observaţia 1 Dacă a = b avem elipsoidul de rotaţie în jurul axei Oz, iar
dacă a = b = c avem sfera de rază a.
d2) Hiperboloidul cu o pânză
Este generat de o elipsă variabilă care se sprijină pe o hiperbolă fixă.
Deci se elimină x,y,z din ecuaţiile (G) xa
yb
z
2
2
2
2+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
λ
μ şi (D)
xa
zc
y
2
2
2
2 1
0
− =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ şi
rezultă λ - μ 2
2c - 1 = 0 şi din (G) avem:
xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1 0+ − − = care reprezintă
ecuaţia hiperboloidului cu o pânză (figura 4).
BB' O
A
A'
y
z
x
fig.4.
Planele de simetrie sunt: xOy, yOz, zOx. Axele de simetrie sunt: Ox, Oy,
Oz şi centru de simetrie O(0,0,0) deoarece dacă:
F(x,y,z) = xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1+ − − atunci F(-x,-y,-z) = F(x,y,z).
Intersecţia cu planele de simetrie reprezintă elipsă
pentru intersecţia cu xOy: xa
yb
z
2
2
2
2 1 0
0
+ − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ şi hiperbole pentru intersecţia cu
yOz: yb
zc
x
2
2
2
2 1 0
0
− − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ şi cu zOx:
xa
zc
y
2
2
2
2 1 0
0
− − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ .
Intersecţia cu axele de simetrie sunt cele 6 vârfuri dintre care 4 reale şi
două imaginare şi anume ele rezultă din rezolvarea sistemelor de ecuaţii:
xay z
2
2 1
0
=
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ pentru Ox,
ybx z
2
2 1
0
=
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ pentru Oy,
zcx y
2
2 1
0
= −
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ pentru intersecţia
cu axa Oz, de unde rezultă punctele A(a,0,0), A'(-a,0,0), B(0,b,0), B'(0,-b,0)
reale şi C(0,0,ic), C'(0,0,-ic) imaginare, i = −1.
d3) Hiperboloidul cu două pânze
Este generat de o elipsă variabilă (G) xa
yb
z
2
2
2
2+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
λ
μ şi o hiperbolă fixă de
ecuaţii (D) xa
zc
y
2
2
2
2 1 0
0
− + =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪.
Se obţine legătura λ - μ 2
2c + 1 = 0 şi din (G) rezultă ecuaţia:
xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1 0+ − + = care reprezintă ecuaţia hiperboloidului cu două pânze
(figura 6). x
y
zO CC'
fig.6.
Planele de simetrie sunt: xOy, yOz, zOx. Axele de simetrie sunt: Ox, Oy,
Oz şi centru de simetrie O(0,0,0).
Dacă F(x,y,z) = xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1+ − + = 0 atunci Ox este axă de simetrie
deoarece F(x,-y,-z) = F(x,y,z), etc.
Intersecţia cu axa xOy este elipsa imaginară: xa
yb
z
2
2
2
2 1 0
0
+ + =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ iar cu yOz:
yb
zc
x
2
2
2
2 1 0
0
− + =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ şi cu zOx:
xa
zc
y
2
2
2
2 1 0
0
− + =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪ sunt hiperbole.
Intersecţia cu axa Ox: xay z
2
2 1 0
0
+ =
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪şi Oy:
ybx z
2
2 1 0
0
+ =
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪ dă punctele
imaginare A(ia,0,0), A'(-ia,0,0), B(0,ib,0), B'(0,-ib,0) şi cu Oz avem două puncte
reale şi C(0,0,c), C'(0,0,-c) (vezi figura 6).
d4) Paraboloidul eliptic
Este generat de o elipsă variabilă (G) xa
yb
z
2
2
2
2+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
λ
μ, λ,μ∈ℜ+ şi o
parabolă fixă (D) xa
z
y
2
2 2 0
0
− =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪. Prin eliminarea lui x,y,z din cele 4 ecuaţii
rezultă λ - 2μ = 0 care împreună cu (G) dă ecuaţia xa
yb
z2
2
2
2 2+ = care reprezintă
paraboloidul eliptic din figura 7.
y
z
x fig.7.
Planele de simetrie sunt: yOz, zOx iar axă de simetrie sunt este Oz.
Intersecţia yOz şi zOx sunt parabolele: y a zx
2 220=
=⎧⎨⎩
cu yOz şi x a zy
2 220==
⎧⎨⎩
cu zOx. Intersecţia cu axa de simetrie Oz este soluţia sistemului: xa
yb
z
x y
2
2
2
2 2
0
+ =
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪
adică x = y = z = 0 deci singurul punct, originea sistemului O(0,0,0).
Observaţia 2 Dacă a = b avem paraboloidul eliptic de rotaţie în jurul axei
Oz şi anume:
xa
ya
z2
2
2
2 2+ = sau x2 + y2 = 2a2z.
d5) Paraboloidul hiperbolic (şaua)
Este generat de o parabolă variabilă (G) yb
z
x
2
2 2− =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪λ
μ care se sprijină pe
parabola directoare (D) xa
z
y
2
2 2 0
0
− =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪, fixă după cum se vede în figura 8. Vom
avea μ 2
2a - λ = 0 şi din (G) rezultă
xa
yb
z2
2
2
2 2− = , ecuaţiile paraboloidului
hiperbolic.
Oy
z
x fig.8.
Planele de simetrie sunt: yOz, zOx iar axă de simetrie sunt este Oz.
Intersecţia cu planele de simetrie sunt parabolele: y b zx
2 220= −
=⎧⎨⎩
cu yOz şi
x a zy
2 220==
⎧⎨⎩
cu zOx. Intersecţia cu axa Oz ca axă de simetrie este originea
sistemului O(0,0,0) ca soluţie a sistemului: xa
yb
z
x y
2
2
2
2 2
0
− =
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪.
3. Sfera
Definiţia 1 Se numeşte sferă, locul geometric al punctelor M(x,y,z) din
spaţiu, egal depărtate de un punct fix C(a,b,c) numit centrul sferei.
a) Ecuaţia generală a sferei
Din figura 1 se observă că CM = R (raza sferei)
sau ( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =2 2 2 de unde rezultă ecuaţia sferei sub formă
de pătrate, centrul sferei fiind C, iar raza R.
O y
y'
z'z
x
x'
P1
P3
u M
M1
P2
v
C
fig.1.
(1) (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
Din (1) rezultă:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 unde d = a2 + b2 + c2 - R2, iar dacă m
= -2a, n = -2b, p = -2c vom avea:
(2) x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + d = 0, ecuaţia (2) fiind ecuaţia generală a
sferei, trecerea de la (2) la (1) se face dacă:
am
bn
cp
R a b c d= − = − = − = + + −2 2 22 2 2, , ,
b) Ecuaţiile parametrice ale sferei
Din figura 1 avem OC CM OM→ → →+ = sau
(3) ( ) ( ) ( )ai bj ck x i y j z k xi yj zkr r r r r r r r r+ + + + + = + +' ' ' vectorul CM fiind
vectorul de poziţie al punctului M faţă de sistemul x'cy'z'.
Din egalitatea (3) avem: x x ay y bz z c
x a xy b yz c z
'''
sau'''
= −= −= −
⎧⎨⎪
⎩⎪
= += += +
⎧⎨⎪
⎩⎪
Dar din figura 1 mai avem:
(4) x CP CM v CM u v R u vy CP CM v CM u v R u vz CP CM u R u
' cos sin cos sin cos' sin sin sin sin sin' cos cos
= = = == = = == = =
⎧⎨⎪
⎩⎪
1 1
2 1
3
, deoarece în
triunghiul CM1M avem cosπ2 −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟u = sin u =
CMCM
1 sau CM1 = CM sin u şi în
concluzie ecuaţiile parametrice ale sferei sunt:
(5) x a R u vy b R u vz c R u
uvR
= += += +
⎧⎨⎪
⎩⎪
≤ ≤≤ <≤ < ∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
sin cossin sincos
şi00 20
ππ
deci sunt de forma x f u vy g u vz h u v
===
⎧⎨⎪
⎩⎪
( , )( , )( , )
care reprezintă ecuaţiile parametrice ale unei suprafeţe în spaţiu.
Observaţia 1 Ecuaţiile (5) reprezintă şi coordonatele sferice ale punctului
M(x,y,z) cu originea în C translatată din O; în §313c aveam notaţiile u = θ, v =
ϕ pentru longitudine şi latitudine.
c) Ecuaţia sferei determinată de 4 puncte
Fie Mi(xi,yi,zi), i =1 4, patru puncte necoplanar. Ne propunem să scriem
ecuaţia sferei circumscrise tetraedului M1M2M3M4, deci punctele Mi, i =1 4,
verifică ecuaţia sferei de ecuaţie (2) adică:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++−=+++
++−=+++
++−=+++
)zyx(dpznymx...
)zyx(dpznymx)zyx(dzpynxm
24
24
24444
21
21
21111
222
care este un sistem de 5 ecuaţii cu 4 necunoscute şi el este compatibil dacă
determinantul caracteristic este nul (conform teoremei lui Rouche).
x y z x y zx y z x y z
x y z x y z
11
1
0
2 2 2
1 1 1 12
12
12
4 4 4 42
42
42
− + +− + +
− + +
=
( )( )
( )K K K K K
sau
x y z x y zx y z x y z
x y z x y z
2 2 2
12
12
12
1 1 1
42
42
42
4 4 4
11
1
0
+ ++ +
+ +
=K K K K K
care reprezintă ecuaţia sferei determinată de 4 puncte.
d) Plan tangent la sferă într-un punct
Definiţia 2 Se numeşte tangentă la sferă, orice dreaptă care intersecteză
sfera în două puncte confundate.
Definiţia 3 Se numeşte plan tangent la sferă într-un punct dat, locul
geometric al dreptelor tangente la sferă în punctul dat.
Fie M0(x0,y0,z0) situat pe sfera de ecuaţii (1), atunci:
x y z ax by cz d02
02
02
0 0 02 2 2 0+ + − − − + =
Fie dreapta (D) ce trece prin M0 şi de direcţie rv (l,m,n):
(6) x x ly y mz z n
= += += +
⎧⎨⎪
⎩⎪
0
0
0
λλλ
C(a,b,c)
(D) v(l,m,n)M0
fig.2.
Din figura 2 rezultă că (D) este tangentă la sferă dacă CM0
→⊥M T0
→ sau
CM0
→⋅M T0
→ = 0, rezultă relaţia:
(7) (x0-a)l + (y0-b)m + (z0-c)n = 0
Din (6): lx x
my y
nz z
=−
=−
=−0 0 0
λ λ λ, , şi înlocuim în (7) rezultă:
(x-x0)(x0-a) + (y-y0)(y0-b) + (z-z0)(z0-c) = 0
sau x0x + y0y + z0z - (ax + by + cz) + (ax0 + by0 + cz0) - (x y z02
02
02+ + ) = 0,
dar x y z02
02
02+ + = 2(ax0 + by0 + cz0) - d şi în final rezultă:
(8) x0x + y0y + z0z - a(x+x0) - b(y+y0) - c(z+z0) + d = 0
şi reprezintă ecuaţia planului tangent la sferă în M0(x0,y0,z0).
Ecuaţia (8) se mai scrie: Ax + By + Cz +D = 0 unde
A = x0 - a, B = y0 - b, C = z0 - c, D = d - (ax0 + by0 + cz0) şi normala în M0 la
sferă are ecuaţiile:
x x
Ay y
Bz z
C−
=−
=−0 0 0
4. Probleme rezolvate
1. Să se determine natura conicelor :
a) 01266 22 =−++++ yxyxyx
b) 044423 22 =−++++ yxyxyx
c) 01222 22 =−+−++ yxyxyx
Rezolvare:
a) Identificăm în ecuaţia generală a conicei şi obţinem :
1,1,3,1,3,1 332313221211 −====== aaaaaa
016113
113331
>=−
=D , 081331
<−==d
Conica este o hiperbolă.
b) D = -64, d = 8 elipsă.
c) D = -2, d = 0 parabolă.
2. Să se scrie ecuaţiile tangentei la conica : 06452 22 =++−− yxyx în punctul ei
de intersecţie cu axele de coordonate.
Rezolvare: Vom determina mai întâi punctele în care axele taie conica.
Intersecţiile cu axa Ox se determină punând y = 0 iar valorile absciselor din
ecuaţia :
0652 =+− xx .
Astfel vom avea A(2,0), B(3,0). Pentru a afla punctele de intersecţie cu axa Oy
punem x=0. Ecuaţia 0642 2 =++− yy are soluţiile 3 şi –1 . Deci punctele căutate sunt C(0,3) şi D(0,-1).
Ecuaţia tangentei într-un punct ( )000 , yxM ce aparţine curbei este :
062
42
52 0000 =+
++
+−−
yyxxyyxx
(ecuaţia este obţinută prin dedublare :
2,
2,, 00
02
02 yy
yxx
xyyyxxx+
→+
→→→ ).
Înlocuind punctul 0M cu fiecare din A,B,C şi D obţinem:
( ) 024: =−− yxct A ( ) 02485: =−+ yxctB
( ) 034: =−+ yxctB ( ) 0885: =−− yxctD .
3. Să se scrie ecuaţia conului cu vârful în origine şi cu directoarea dată de
ecuaţiile : ( ) ( ) .4,95: 222 ==−++ zzyxD
Rezolvare: Ecuaţia fascicolului de drepte ce trece prin origine este
( )cz
by
axD ==:
unde a,b,c sunt variabile reale. Observăm că vectorul ce dă direcţia dreptelor :
( )cbav ,,r are aceeaşi direcţie cu ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1,,1 c
bcavr sau ( )1,,2 μλvr . Deci pentru a simplifica
calculele putem scrie :
( ) zyxD ==μλ
: .
Ne propunem să găsim o condiţie de compatibilitate a sistemului de 4 ecuaţii cu
3 necunoscute (o relaţie între λ şi μ ):
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==−++
==
495
1222
zzyx
zyxμλ
Eliminând între ele necunoscutele sistemului vom avea :
zxzx =⇒= λλ
(1)
zyzy =⇒= μμ (2)
( ) ( ) ( ) 95 222 =−++ zzz μλ iar pentru z = 4
12281616 2222 =+⇔=+ μλμλ deci condiţia de compatibilitate.
Dacă dorim să interpretăm această condiţie, vom spune că orice dreaptă din
fascicolul (D) care are proprietatea că λ şi μ (componentele direcţiei) satisfac
condiţia de mai sus, va intersecta curba directoare deci aparţine suprafeţei
conice.
Înlocuind cu relaţiile (1), (2) avem :
022122 2222
2
2
2
=−+⇔=+ zyxzy
zx
adică ecuaţia unui con cu vârful în originea sistemului de axe.
4. Să se scrie ecuaţia suprafeţei generate de o dreaptă care în tot timpul
mişcării sale trece prin punctul M(0,b,0) şi alunecă pe hiperbola :
(H) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−−
0
012
2
2
2
yax
cz
Rezolvare: Ecuaţia va reprezenta tot o suprafaţă conică prin urmare fascicolul
de drepte ce trece prin 0M o include:
(D) : 1zbyx
=−
=μλ
Pentru a determina condiţia de compatibilitate a sistemului
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=−−
=−
=
0
01
1
2
2
2
2
yax
cz
zbyxμλ
Eliminăm necunoscutele între ele şi obţinem:
zxzx =λ⇒λ= ,
z
bybzy −=⇒+= μμ .
012
22
2
2
=−−a
zcz λ
iar pentru curba y = 0 avem μbz −= ,
001 222
222
2
22
2
2
22
2
2
2
=−−⇔=−− cacbbaa
b
c
b
μλ
μμ
λμ
deci condiţia căutată. Aplicăm condiţia asupra dreptelor şi obţinem :
( ) ( )
0222
22
222
2
222
=−−
⋅⋅−
−ca
by
zzxcb
byzba .
sau:
( ) 02
2
2
2
2
2
=−
−−b
byax
cz .
5. Să se afle locul geometric al dreptelor ce trec prin A(3,0,5) şi formează cu
planul xoy un unghi de o45 .
Rezolvare:
C
A(3,0,5)
z
O
x
yB(3,0,0)
Fig.8
Fie punctul variabil C obţinut intersecţia cu planul xoy al unei drepte ce trece
prin A şi formează un unghi de o45 cu planul xoy iar B proiecţia lui A pe acest
plan. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel , deci distanţa BC este constantă
BC = 5. Deci locul geometric cerut este pânza conică cu vârful în punctul A şi
curba directoare cercul ( )Γ având centrul în ( )0,0,3B şi raza 5=r .
Ecuaţia lui ( )Γ este dată de intersecţia sferei cu centrul în b şi de rază 5=r cu
planul xoy :
( )Γ ( )⎩⎨⎧
==++−
0253 222
zzyx
Procedăm ca şi în problemele precedente şi obţinem ca o condiţie de
compatibilitate a sistemului :
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−
−==
−
253
153
222 zyx
zyxμλ
relaţia 122 =+ μλ . Deci ecuaţia cerută va fi : ( ) ( ) 053 222 =−−+− zyx .
6. Să se afle locul geometric al tangentelor duse prin origine la sfera :
( ) ( ) 01615 222 =−+++− zyx .
Rezolvare: Mulţimea tangentelor la sferă se găseşte în fascicolul de drepte ce
trece prin origine .
(D) : 1zyx
==μλ
O dreaptă de acest tip este tangentă la sferă dacă soluţiile sistemului:
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+++−
==
01615
1222 zyx
zyxμλ
sunt confundate (intersecţia este un singur punct).Vom avea : zyzx μλ == ,
de unde:
( ) ( ) 01615 222 =−+++− zzz μλ ⇔
( ) ( ) 0101021222 =+−+++ λμμλ zz .
Pentru a verifica condiţia de mai sus, impunem ca discriminantul ecuaţiei să fie
nul :
( ) ( ) 010109150140102 22222 =−−−⇔=++−−=Δ λμμλμλλμ
Deci locul geometric căutat este mulţimea tuturor dreptelor din fascicol care are
proprietatea de mai sus. Înlocuind λ şi μ din ecuaţia dreptelor obţinem :
( ) ( ) 010501010915 2222222 =++−−⇔=−+− zyxxyzxyyx deci o suprafaţă conică.
7. Să se afle ecuaţia suprafeţei cilindrice ale cărei generatoare sunt paralele cu
dreapta
(D): zyx ==
şi având ca directoare cercul
(C): 0,122 ==+ zyx .
Rezolvare: Fără a restrânge generalitatea putem considera că dreptele paralele
(D) trec prin punctul variabil ( )0,,μλM , punct ce aparţine planului xoy . Direcţia
dreptei (D) este dată de vectorul ( )pppv ,,r astfel ecuaţia familiei de drepte
paralele cu D este:
(D) zyx =−=− μλ .
Ca şi în problemele precedente vom impune condiţia de compatibilitate a
sistemului:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+
=−=−
0122
zyx
zyx μλ
familiei de drepte.
Aceasta va fi :
( )γ : 122 =+ μλ
rezultat obţinut prin eliminarea lui x, y şi z în sistemul de mai sus.
Deci orice dreaptă din familia (D) pentru care λ şi μ satisfac condiţia ( )γ va
aparţine suprafeţei cilindrice.
Ecuaţia suprafeţei cilindrice căutate va fi :
( ) ( ) 122 =−+− zyzx
8. Să se scrie ecuaţia sferei care are punctul A(2,-3,5) , B(4,1,-3) diametral
opuse.
Rezolvare: Pentru a scrie ecuaţia sferei e necesar să cunoaştem coordonatele
centrului şi raza acestuia. Centrul sferei este situat la mijlocul segmentului AB
deci C(3,-1,1) iar raza este lungimea segmentului AC adică 21 .
Deci ecuaţia sferei este:
( ) ( ) ( ) 21113 222 =−+++− zyx .
9. Să se scrie ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinute prin rotaţia cercului :
(C): ⎩⎨⎧
==+
0
222
yRzx
în jurul axei Oz.
Rezolvare: Ecuaţiile cercului generator sunt :
( )1C ⎩⎨⎧
==++
μλ
zzyx 2222
Pentru ca cercul ( )1C să se sprijine pe cercul (C) e necesar ca sistemul:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==+
==++
0
222
2222
yRzx
zzyx
μλ
să fie compatibil, de unde relaţia de compatibilitate: 022 =− rλ .
Ecuaţia suprafeţei de rotaţie se obţine eliminând λ şi μ între ecuaţiile sistemului
:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
==++
022
2222
Rz
zyx
λ
μλ
şi după cum era de aşteptat obţinem ecuaţia sferei cu centrul în O(o,o,o) de rază
R:
(S) 2222 Rzyx =++ .
5. Probleme propuse
1. Să se determine natura conicelor:
a) 5x2 + 4xz - 8y2 - 32x - 56y + 80 = 0
b) 8y2 + 6xz – 12x + 26y + 11 = 0
c) x2 - 4xz + 4y2 + 2x + 2y -1 = 0
d) x2 - 2xy - 2y2 - 4x - 6y - 13/3 = 0
e) x2 - 4xy + 4y2 + 2x - 4y - 3 = 0
R: a) elipsă, b) hiperbolă, c) parabolă
d) două drepte reale concurente: 3(x-y-2) ± (3y+5) = 0
e) două drepte paralele: x-2y+1±2 = 0.
2. Să se aducă la forma canonică următoarele conice:
a) 16x2 - 9y2 - 32x - 36y - 164 = 0
b) 5x2 - 6xy + 5y2 - 8 = 0
c) 9x2 + 24xy + 16y2 + 120x - 90y = 0
R: a) Hiperbola ( ) ( )x y−
−+
=1
92
16 12 2
cu centrul C(1,-2),
a = 3, b = 4, axa transversă Oy.
b) Se face schimbarea de axe x X Yy X Y= °− °= °+ °
⎧⎨⎩
cos sinsin cos
45 4545 45 care
duce la X Y2 2
4 1 1 0+ − = cu a = 2, b = 1, elipsă.
c) Avem (3x + 4y)2 + 120x - 90y = 0 şi aplicând
transformarea x X Yy X Y= −= +
⎧⎨⎩
cos sinsin cos
θ θθ θ unde luăm tgθ = −
34 , 90°< θ < 180°, avem
sinθ = 35 , cosθ = −
45 şi curba devine Y2 = 6X, care este o parabolă cu
p = 3.
3. Să se afle mijlocul coardei tăiate de conica:
x2 + 4xy + 3y2 + 3x - 3y = 0 pe dreapta (D) x + 3y - 12 = 0.
R: M(-3,5)
4. Să se scrie ecuaţia cilindrului circumscris sferei x2 + y2 + z2 = 1 ştiind că
generatoarea sa formează unghiuri egale cu cele trei axe de coordonate.
R: 3[(x-z)2 + (y-z)2 -1] - (x + y - 2z)2 = 0
5. O dreaptă (D) paralelă cu planul xOy se deplasează sprijinindu-se tot timpul
pe axa Oz şi rămâne tangentă în fiecare poziţie a sa sferei:
(x-1)2 + (y-1)2 + z2 = 1. Să se scrie ecuaţia suprafeţei generate de (D).
R: x2z2 + y2z2 - 2xy = 0
6. Să se scrie ecuaţia locului geometric al punctelor situate la două unităţi
distanţă de punctul C(5,-3,7).
R: x2 + y2 + z2 - 10x + 6y - 14z + 79 = 0 (sferă)
7. Să se afle centrul şi raza sferei: x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 4 = 0.
R: C(-1,2,0), r = 3.
8. Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul C(1,4,-7) tangentă planului:
(P) 6x + 6y - 7z + 42 = 0.
R: (x-1)2 + (y-4)2 + (z+7)2 - 121 = 0
9. Să se scrie ecuaţia sferei determinată de punctele: O(0,0,0), A(2,0,0),
B(0,5,0), C(0,0,3).
R: ( )x y z− + −⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ + −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ −1
52
32
192
22 2
= 0
10. Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul în punctul C(6,-8,3) şi tangentă la Oz.
R: (x-6)2 + (y+8)2 + (z-3)2 - 100 = 0
11. Să se afle centrul şi raza cercului
(C) ( ) ( ) ( )x y zx y z− + − + + − =+ − − =
⎧⎨⎩
4 7 1 36 03 9 0
2 2 2 R: C(1,6,0), r = 5
12. Să se scrie ecuaţia sferei cu centrul în punctul C(4,5,-2) ştiind că sfera:
x2 + y2 + z2 - 4x - 12y + 36 = 0 este tangentă interioară sferei căutate:
R: (x-4)2 + (y-5)2 + (z+2)2 - 25 = 0.
B I B L I O G R A F I E 1. ANGHEL C., Curs de matematică şi statistică biologică, Lito Inst. Agr.
Timişoara, 1988
2. CERCHEZ M.; Aplicaţii ale matematicii în practică, E.D.P., Bucureşti,
1975
3. CHIRIŢĂ S., Probleme de matematici superioare, E.D.P. Bucureşti 1974
4. CREŢ F., Elemente de modelare şi matematici speciale, Editura Mirton,
Timişoara 2000
5. CREŢ F., Curs de matematică, Lito USAMVBT, 1996
6. CREŢ F., RUJESCU C., ROTARIU L., BOLDEA M., IVAN M.;
Elemente de matematici speciale. Teorie şi aplicaţii, Editura Mirton,
Timişoara 2000
7. CRIVEANU D., DAVID GH., FUCHS W., STANCIU P.; Culegere de
probleme pentru cursul de matematică aplicată în economie, Tipografia
Universităţii din Timişoara, 1971.
8. CRSTICI B. & colab.; Matematici speciale, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1981
9. DEMIDOVITCH B. & colab.; Recueil d’exercices et problemes d’analyse
matematique, Edition MIR Moscou 1971
10. DINESCU C., SĂVULESCU B.; Metode de matematică modernă, E.D.P.,
Bucureşti 1975
11. DINESCU C.; Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme.,
Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 1996
12. ENE D., Curs de matematică şi biometrie, Lito Inst. Agr. Bucureşti, 1979
13. FILIPESCU D., GRECU E., MEDINŢU R.; Matematici generale pentru
subingineri, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979
14. FLONDOR D., DONCIU N.; Algebră şi analiză matematică, Culegere de
probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
15. IVAN GH, PUTA M.,; Elemente de algebră şi geometrie euclidiană 3-
dimensională, Tipo Universitatea de Vest, Timişoara, 1991
16. LANCASTER K.; Analiza economico-matematică, Editura ştiinţifică,
Bucureşti 1973
17. MEGAN M., HIRIŞ V.; Analiza matematică în exerciţii şi probleme,
Fascicolul I şi II, Tipo Universitatea din Timişoara, 1972
18. MERCIA, E.; Culegere de probleme de matematică şi statistică biologică,
Litografia IAT Timişoara, 1980
19. MIHĂILĂ N., POPESCU O.; Matematici speciale aplicate în economie,
E.D.P., 1978
20. MOŢ G., PETRUŞEL A., Matematici superioare pentru ingineri şi
economişti, Ed. Mirton, 1999
21. NICOLESCU M.; Analiză matematică, vol. I, II, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1971.
22. OTIMAN P.I., CREŢ F. Elemente de matematici aplicate în economia
agroalimentară, Ed. Agroprint 2002
23. ROŞCULEŢ M.; Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1984.
24. STAMATE I., DUCARU N. ; Curs de matematici superioare, Cluj-Napoca,
1976
25. STANCIU P., CRIVEANU D.,DAVID GH., FUCHS W.; Matematici
aplicate în economie, Ed. Facla, Timişoara,1981
26. STAVRE P., Matematici speciale cu aplicaţii în economie, Scrisul
românesc, 1982
27. ŞABAC GH.; Matematici speciale, vol. I, II, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1981
28. TEODORESCU N., OLARIU V., Ecuaţiile fizicii matematice, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970
29. TIHONOV A., SAMARSKI A.A., Ecuaţiile fizicii matematice, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1956
30. VASILIU D.P.; Matematici economice, Ed. Eficient, Bucureşti, 1996.
31. VĂLEANU I., HÂNCU M.; Elemente de statistică generală, Ed. Litera,
Bucureşti, 1990