Capitolul 4

SPAŢIUL PUNCTUAL EUCLIDIAN AL VECTORILOR LIBERI

Introducerea noţiunii de vector liber în spaţiul geometric E3 a fost posibilă ţinând seama de noţiunile fundamentale ale geometriei euclidiene cum ar fi punctul, dreapta, planul, distanţa, precum şi de axiomele la care sunt supuse aceste noţiuni.

În ultimul paragraf al capitolului precedent au fost puse în evidenţă câteva proprietăţi, fără a apela la noţiunea de distanţă. Gama acestor proprietăţi se îmbogătăţeşte mult dacă pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi se defineşte un produs scalar. Se defineşte astfel noţiunea de spaţiu punctual euclidian al vectorilor liberi õ3. Produsul scalar defineşte la rândul său noţiunile de normă euclidiană a unui vector, unghiul a doi vectori şi respectiv noţiunea de distanţă euclidiană. În cele ce urmează, vom aborda calea construcţiei acestuia aşa cum a decurs în matematică şi vom evidenţia apoi echivalenţa noţiunilor introduse cu cele definite în cazul general. Vom folosi unele noţiuni definite în cadrul structurii de spaţiu afin geometric al vectorilor liberi şi vom pune în evidenţă diferenţele specifice ce apar în cazul structurii euclidiene.

§1. Proiecţii ortogonale

Fie E3 spaţiul de puncte al geometriei euclidiene ,definit cu ajutorul unui sistem axiomatic, în care considerăm introdusă noţiunea de vector.

Lungimea unui vector Î V3 a fost definită de numărul real d(AB), adică distanţa dintre punctele A şi B, pe care o vom nota în continuare cu | |, modulul vectorului sau lungimea geometrică a vectorului .

Un vector cu proprietatea | | = 1 se numeşte versor sau vector unitate. Orice vector Î V3 coliniar cu , poate fi scris sub forma = | | × .

69

Am definit în paragraful precedent proiecţia pe o dreaptă paralelă cu un plan şi respectiv proiecţia pe un plan paralelă cu o dreaptă.

Dacă dreapta d Ì E3 este perpendiculară pe planul a Ì E3 atunci proiecţia paralelă cu planul a a vectorului Î V3 pe dreapta d va fi numită proiecţia ortogonală a vectorului pe dreapta d şi va fi notată cu , iar proiecţia paralelă cu dreapta d a vectorului pe planul a va fi numită proiecţia ortogonală a vectorului pe planul a şi va fi notată cu .

Se demonstrează uşor că proiecţia unui vector pe două drepte paralele ne procură acelaşi vector, ceea ce înseamnă că proiecţia unui vector pe o dreaptă depinde numai de direcţia acesteia. De aceea dacă este un vector nenul care defineşte direcţia dreptei d, atunci putem vorbi de proiecţia lui pe , pe care o vom nota cu .

Dacă este versorul lui , adică = | | , atunci pentru " Î V3 , este un vector coliniar cu , = | | × .

Numărul real | | se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale pe care o vom nota simplu , şi care reprezintă coordonata vectorului pe direcţia determinată de .

1.1 Teoremă. Pentru Î V3 \ { } " , Î V3 , şi " l Î R avem:

(1.1)

Demonstraţie. Fie o dreaptă având aceeaşi direcţie cu şi vectorii , , având suma (fig. 1).Notând cu şi respectiv proiecţiile vectorilor şi pe

dreapta d rezultă

Analog (fig. 2)

70

fig. 1 fig.2

Proprietăţile din teorema 1 ale proiecţiei ortogonale, induc aceleaşi proprietăţi pentru mărimea algebrică a acestei proiecţii, adică

(1.2)

Dacă considerăm două semidrepte |OA şi |OB în spaţiul punctual E3, atunci numim unghi al vectorilor liberi nenuli, şi , notat cu

, unghiul j Î [O, p] format de semidreptele |OA şi |OB.

Vectorii şi nenuli sunt ortogonali dacă unghiul lor este .

Unghiul vectorilor şi nu depinde de alegerea reprezentanţilor şi respectiv . Convenim că vectorul nul este ortogonal pe orice vector.

Noţiunea de unghi permite explicitarea mărimii algebrice a proiecţiei unui vector în funcţie de lungimea vectorului şi unghiul dintre vector şi direcţia dreptei pe care se face proiecţia (fig. 3).

fig. 3

(1.3)

Cu aceste elemente putem introduce noţiunea de produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.

§2. Produsul scalar

71

v

u

w

A

A¢

B¢ C¢

C

B

(d)

vA

A¢

B¢ C¢

CB

(d)

l

v

u

A

A¢

j

0

d

Fie V3 spaţiul vectorial real al vectorilor liberi

2.1 Teoremă. Funcţia ¢¢×¢¢ :V3 ´ V3 ® R, definită prin

(2.1)defineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.

Demonstraţie. Să verificăm cele patru condiţii ce definesc un produs scalar. 1. , V 3

Din definiţia produsului scalar şi proprietatea (1.3) avem = =|| × | | = | | × | | , " Î V3 \ { } deci = =| |

× | | = = = = · + · .

2. (a )· = a( · ), " , Î V3, " a Î R.(a )· = | | | |=a | | | |=a ( · ), " , ÎV3, "aÎ R.

3. · = · , " , Î V3 . Comutativitatea rezultă din comutativitatea produsului în mulţimea numerelor reale.

4. · ³ 0, · = 0 Û = , " Î V3.< , > = | |2 ³ 0, | |2 = 0 Û = .

Pentru cazul în care cel puţin un factor al produsului scalar este vectorul nul proprietăţile rezultă imediat.

2.2 Consecinţă. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi V3 înzestrat cu produsul scalar (2.1) este un spaţiu vectorial euclidian real.

2.3 Consecinţă. Spaţiul afin A3 = ( E3, V3, j ) având ca spaţiu vectorial asociat spaţiul euclidian V3 , devine un spaţiu punctual euclidian pe care-l vom nota cu õ3.

Observaţii. 1° În paragraful precedent au fost evidenţiate bijecţiile naturale

dintre spaţiile E3, V3 şi R3. Astfel, având fixat un reper cartezian R (O; ) în spaţiul afin A3, funcţia de coordonate f: V3 ® R3, definită prin f ( ) = ( x1, x2, x3) Î R3, " Î V3 , realizează o bijecţie între cele două

72

spaţii vectoriale. Această bijecţie reprezintă un izomorfism de spaţii vectoriale care permite transportul structurii euclidiene canonice definită pe R3 pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi V3.

Se verifică uşor că aplicaţia :

< ,> :V3 ´ V3 ® R, ( , ) ® < , > =: <f( ), f( )>R (2.2)

este un produs scalar pe V3, unde < , >R este produsul scalar definit pe R3.Cu ajutorul acestui produs scalar se defineşte în mod natural norma ||

|| = = R

Dacă considerăm două puncte arbitrare A, B Î E3 şi vectorii de poziţie şi caracterizaţi de ternele ( x1, x2, x3) Î R3 , şi respectiv ( y1, y2, y3) Î R3, atunci vectorul va fi caracterizat de terna (y1

– x1, y2 – x2, y3 – x3) şi va avea norma dată de = = R =

= = = | |.Acest rezultat arată că norma || || definită de produsul scalar (2.2)

coincide cu lungimea geometrică | | , a vectorului .Unghiul a doi vectori nenuli şi Î V3 definit de produsul

scalar < , > coincide cu unghiul (geometric) definit de direcţiile semidreptelor |OA şi |OB . În adevăr,

= = =

.În consecienţă, produsul scalar (2.2), indus de bijecţia f, pe spaţiul

vectorial V3 al vectorilor liberi, coincide cu produsul scalar (2.1).2° Cunoaşterea produsului scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor

liberi permite calculul lungimii vectorilor şi a unghiului dintre doi vectori:

|| || = , , ( ) (2.3)

3° Doi vectori nenuli sunt ortogonali produsul lor scalar este nul.Fie B = { } o bază în spaţiul vectorial V3.Dacă şi , atunci obţinem:

(2.4)

Deci, produsul scalar a doi vectori este perfect determinat dacă se cunoaşte înmulţirea scalară a vectorilor bazei B.

73

O bază în V3 formată din vectori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate euclidiene.

În geometria euclidiană se demonstrează că printr-un punct există trei drepte perpendiculare două câte două de unde rezultă existenţa unui reper cartezian ortonormat în spaţiul punctual euclidian õ3.

Dacă B = { , , } este o bază ortonormată în V3 atunci , , adică produsul scalar al vectorilor bazei

B este dat de tabelul× k

1 0 00 1 00 0 1

Produsul scalar a doi vectori oarecare şi

va avea expresia canonică

(2.5)Proiecţia ortogonală a vectorului pe direcţia vectorului este dată

de , analog şi .

Astfel coordonatele euclidiene ale vectorului reprezintă mărimile proiecţiilor ortogonale ale lui pe cele trei axe ale reperului cartezian ortonormat . Expresiile analitice ale normei unui vector şi respectiv unghiului a doi vectori vor fi date de

|| || = (2.6)

= , j Î [0, p] (2.7)

În particular vectorii şi sunt ortogonali dacă şi numai dacă

a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 (2.8)

§3. Produsul vectorial

Fie vectorii şi Î V3. Pentru ¹ şi ¹ notăm cu j Î [0, p] unghiul dintre şi .

3.1 Definiţie. Se numeşte produs vectorial, operaţia binară internă “´”:V3 ´ V3 ® V3 , care asociază perechii ordonate (

74

, ) vectorul notat cu ´ , caracterizat de

1° || ´ || = || || × || || × sin j2° = ´ este ortogonal pe şi 3° Sensul vectorului = ´ este dat de regula mâinii drepte când rotim pe peste sub un unghi ascuţit (regula burghiului drept) (fig. 4)

fig. 4

Dacă notăm cu versorul direcţiei ortogonale pe şi atunci ´ = || || × || || × sin j × .

3.2 Propoziţie. Produsul vectorial are următoarele proprietăţi:1. ´ = - ´ (anticomutativitatea)2. ´ ( + ) = ´ + ´ (distributivitatea)3. (a ) ´ = ´ (a ) = a × ´ (omogenitatea)4. pentru , Û 5. pentru , norma || ´ || reprezintă aria paralelogramului construit pe reprezentanţii într-un punct ai vectorilor şi .

Demonstraţie. 1.Din definiţia produsului vectorial rezultă că vectorii ´ şi

´ au aceeaşi normă, aceeaşi direcţie, dar sensuri opuse.

75

b

ba ´

a

2. Să considerăm reprezentanţii , şi ai vectorilor şi şi respectiv în punctul O Î E3 şi planul p prin O perpendicular pe direcţia vectorului . (fig. 5)

fig. 5

Notând cu , obţinem

´ = || || × || || × sin j × = || || × || || × = ´ = analog ´ = ´ =

Dacă + = iar paralelogramul OB¢D¢C¢ este proiecţia paralelogramului OBDC pe planul p , atunci = .

Vectorul se obţine rotind cu un unghi de p /2 vectorul în planul p, şi înmulţind vectorul obţinut cu || ||. Analog se obţine din

. Prin rotirea paralelogramului OB¢D¢C¢ cu un unghi de p /2 şi înmulţind cu || || se obţine tot un paralelogram (asemenea cu primul) de unde rezultă că ^ şi || || = || || × || ||.

Deci

Similar se demonstrează distributivitatea produsului vectorial în raport cu primul factor, adică

76

O

C

C¢

C¢¢B

B¢B¢¢

D

D¢¢

D¢p

A

3. Pentru a > 0, vectorul a are direcţia şi sensul vectorului iar (a)´ şi a( ´ ) au aceeaşi direcţie şi acelaşi sens. În plus,

Pentru a < 0, vectorul a are direcţia şi sensul lui - iar (a ) ´ şi a( ´ ) au aceeaşi direcţie şi acelaşi sens. În plus,

Analog se demonstrează ´ (a ) = a ( ´ ).Pentru a = 0, din 3 rezultă ´ = .

4. Dacă , ¹ , din ´ = 0 rezultă că || ´ || = 0 Û sinj = 0, adică vectorii şi sunt coliniari, = l .

Din definiţia produsului vectorial avem || ´ || = 0 , de unde obţinem ´ = 0 .

Dacă = l atunci ´ = ´(l ) = l ( ´ ) = 0.5. Pentru şi necoliniari construim paralelogramul OACB (fig. 6)

B Ch

j AO

fig. 6

adică aria paralelogramului determinat de şi .Dacă B ( , , ) este o bază ortonormată în V 3 atunci folosind

definiţia produsului vectorial şi proprietăţile acestuia, obţinem tabelul

´

(3.1)-

--

77

Astfel, produsul vectorial a doi vectori şi , şi , va avea expresia canonică

, (3.2)

Expresia canonică (3.2) se poate obţine dezvoltând după prima linie determinantul formal

(3.2)¢

Doi vectori sunt coliniari ( ´ = ) dacă şi numai dacă

(3.3)

3.3 Propoziţie. Pentru doi vectori oarecare şi este satisfăcută identitatea lui Lagrange:

( )2 + ( ´ )2 = || ||2 × || ||2 (3.4)

Demonstraţie. Din definiţia produsului scalar avem

( )2 = , iar ( ´ )2 =

Insumând cei doi termeni obţinem egalitatea (3.4).

§4. Dublu produs vectorial

4.1 Definiţie. Fie vectorii , , Î V3. Se numeşte dublu produs vectorial al vectorilor , şi vectorul

(4.1)

Din definiţia produsului vectorial rezultă că vectorul este coplanar cu vectorii şi (vectorii din paranteză). Dacă construim vectorul ( ´ ) ´ = , acesta va fi un vector coplanar cu şi de unde rezultă că

.Se poate demonstra uşor, folosind expresiile analitice ale vectorilor

, şi , formula de dezvoltare a dublului produs vectorial

78

(4.2)

sau sub forma determinantului simbolic

(4.3)

§5. Produsul mixt

5.1 Definiţie. Fie vectorii , , Î V3. Se numeşte produsul mixt al vectorilor , şi numărul real ( , , ) dat de

( , , ) = : ( ´ ) (5.1)

5.2 Teorema. Produsul mixt are următoarele proprietăţi:

1) ( ) = ( , , ) + ( , , )2) (a , , ) = a ( , , )3) ( , , ) = es ( ) , s Î S3, es = ± 1.4) ( , , ) = 0 Û , , sunt liniar dependenţi (coplanari)5) |( , , )| = , pentru " , , Î V 3 \ {0}

Proprietăţile 1) şi 2) , aditivitatea şi respectiv omogenitatea, rezultă din definiţia produsului mixt şi se extinde pentru orice factor.

Proprietatea 3) se poate exprima echivalent prin proprietăţile:

3)¢ ( , , ) = ( , , ) = ( , , )

ce exprimă invarianţa produsului mixt la permutări circulare, adică es = + 1 (s Î S3 - permutare pară) şi

3)¢¢ ( , , ) = - ( , , ) ,

şi celelalte relaţii corespunzătoare permutărilor impare care exprimă proprietatea de anticomutativitate pentru orice doi factori alăturaţi.

Echivalenţa 4) rezultă imediat pentru cel puţin un factor egal cu vectorul nul, iar pentru , , Î V 3\ {0}, anularea produsului mixt este echivalentă cu ortogonalitatea vectorilor şi ´ , adică coplanaritatea vectorilor , şi .

79

Dacă notăm cu volumul paralelipipedului format de reprezentanţii vectorilor , , într-un punct O Î E3 (fig.7 ) şi notând cu q = < ( , ) , cu j = < ( , ´ ), obţinem

fig.7

Dacă B = ( , , ) este o bază ortonormată în spaţiul vectorial al vectorilor liberi V 3, iar = + + , şi

sunt expresiile analitice ale vectorilor , şi respectiv , atunci produsul mixt are expresia canonică dată de

(5.2)

Ţinând seama de proprietăţile determinanţilor şi de expresia analitică canonică a produsului mixt pot fi uşor de verificat proprietăţile 1-5.

Spunem că o bază B = { , , } Ì V 3 este pozitiv (negativ) orientată dacă produsul mixt ( , , ) este pozitiv (negativ).

80

A

BO

C

b

cb ´

j

q

a

ch

§6. Probleme propuse

1. Să se arate că, în orice triunghi: a) medianele; b) înălţimile; c) bisectoarele; d) mediatoarele, sunt concurente.

2. Fiind date două coarde AMB şi CMD perpendiculare între ele într-un cerc de centru O, să se demonstreze că:

3. H este ortocentrul triunghiului ABC dacă şi numai dacă au loc egalităţile: .

4. Într-un tetraedru ABCD, muchiile opuse sunt perpendiculare două câte două dacă şi numai dacă: .

5. Dreptele care unesc mijloacele muchiilor opuse ale unui tetraedru sunt concurente.

6. Să se arate că, dacă vectorii şi sunt coliniari, atunci vectorii şi sunt coliniari.

7. Fie , , unde || || = 5 , || || = 3 , < (

, ) = . Să se calculeze:

a) lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe şi ;b) unghiul dintre diagonale;c) aria paralelogramului determinat de şi .

8. Fie şi doi vectori perpendiculari, cu || || = 3, || || = 4. Să se calculeze || ||.

9. Fie , , vectori necoplanari. Să se studieze liniara independenţă a vectorilor

81

10. Să se demonstreze identitatea lui Jacobi:

11. Să se demonstreze relaţia .Dacă , , sunt coplanari, atunci ei sunt şi coliniari.

12. Să se dovedească identitatea lui Lagrange:

+ || ||2 = .

13. Fie , , necoplanari. Arătaţi că există vectorii , , cu proprietăţile:

= 1, = 0, = 0= 0, = 1, = 0 = 0, = 0, = 1

14. Dacă , , sunt reciprocii vectorilor , , , se cere:

a) să se exprime produsul mixt ( , , ) în funcţie de produsul mixt ( , , ). În ce condiţii , , sunt coliniari?

b) să se demonstreze că volumul tetraedrului construit pe vectorii , , este egal cu volumul

tetraedrului construit pe , , .c) să se deducă egalitatea .

15.Fie . Să se determine a şi b astfel încât să fie perpendicular pe vectorii şi . Să se calculeze unghiul dintre şi .

16. Se dau vectorii , , . Să se calculeze: ( , , ), ´ ( ´ ) şi + + .

17. Să se determine l astfel încât vectorii = , = , = să fie coplanari şi să se găsească relaţia de dependenţă liniară.

18. Să se calculeze aria şi înălţimea din A în triunghiul ABC dat de A (0, 1, 0), B ( 2, 0, 1), C ( -1, 0, -4).

82

19. Să se calculeze volumul tetraedrului ABCD şi înălţimea din A a acestuia, unde A ( 3, 2, -1), B ( 4, 3, -1), C ( 5, 3, -1), D ( 4, 2, 1).

20. Se consideră punctele A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C ( 0, 0, c). Să se arate că aria triunghiului ABC este cel mult egală cu a4 + b4 + c4. În ce condiţii are loc egalitatea?

21. Se dau vectorii , , necoplanari şi = - 2 + 3 , = a - + , = 3 + - .

a) să se determine a Î R astfel că V( , , ) = 5V( , , ).b) în cazul când a = 2 şi vectorii formează un tetraedru regulat de

latură 1, să se determine unghiul dintre şi planul determinat de şi .

22. Să se rezolve ecuaţia ( , - daţi).

23. Dacă ( , , ) ¹ 0, să se rezolve sistemul:

24. Fie sistemul de ecuaţii:

unde ´ ¹ a) să se arate că sistemul are soluţii dacă şi numai dacă || || = ||

|| şi să se rezolve în acest caz.b) dacă , atunci . Reciproca este adevărată?

83