suport de curs algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferenţială şi trigoometrie...

Suport de curs pentru Algebr Liniar, Geometrie Analitic, Geometrie Diferenial i Trigoometrie Sferic

CAPITOLE DE ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC I DIFERENIAL, TRIGONOMETRIE SFERIC

5

Prefa

Prezenta lucrare cuprinde o versiune a cursului de algebr, geometrie

analitic, trigonometrie sferic i geometrie diferenial, pe care l-am inut

studenilor din anul I n cadrul Academiei Navale Mircea cel Btrn.

Intenia mea a fost de a cuprinde ntr-un volum de dimensiuni

rezonabile un numr ct mai mare de rezultate de baz, care s acopere

programa propus, expuse ntr-o manier accesibil oricrui student al

anului I dintr-o instituie tehnic.

La redactarea acestei lucrri am avut n vedere att rigoarea

matematic ct i claritatea i accesibilitatea expunerii.

Camelia Ciobanu


6

BIBLIOGRAFIE

1. Gh. Atanasiu .a., Culegere de probleme de algebr liniar, geometrie

analitic, diferenial i ecuaii difereniale, Editura 1995. 2. S. Barnett, Matrices: Methods and Applications, Clarendon Press, Oxford,

1990. 3. T.S.Blyth. E.F. Robertson, Matrices and Vector Spaces, Chapman and Hall, London,

1986. 4. N. Bourbaki, Algbre, Chapt. II (Algbre lineaire), Chap. III (Algbre

multilinaire) Sci. Ind. Hermann, Paris. 5. C. Ciobanu, Algebr liniar, geometrie analitic, geometrie diferenial,

Editura Academia Naval Mircea cel Btrn, Constana, 1996. 6. C. Ciobanu, Algebr i geometrie, Editura Academia Naval Mircea cel

Btrn, Constana, 2002. 7. C. Ciobanu, Capitole de Algebr liniar, geometrie analitic i diferenial,

trigonometrie sferic, Editura Muntenia, Constana, 2005. 8. C. Ciobanu, Capitole de Algebr liniar, geometrie analitic i diferenial,

trigonometrie sferic - Aplicaii, Editura Muntenia, Constana, 2005. 9. M. Craioveanu, I. Albu, Geometrie afin i euclidian, Editura Facla,

Timioara, 1982. 10. Creang, C. Reischer, Gr. C. Mrculescu, Algebr liniar, Editura Didactic i

Pedagogic, Bucureti, 1970. 11. V. Cruceanu, Elemente de algebr liniar i geometrie, Editura Didactic i

Pedagogic, Bucureti, 1990. 12. N. Donciu, D. Flondor, Algebr i analiz matematic, culegere de probleme,

Vol. I, II, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1990. 13. N.V. Efimov, E.R. Rozendorn, Linar Algbra and Multidimensional

Geometry, Editura Mir. Moscow, 1975. 14. I.M. Ghelfand, Lecii de algebr liniar, Editura Tehnic, Bucureti, 1953. 15. G. Gndac, S. Corbu, Culegere de probleme de algebr liniar i geometrie

analitic i diferenial, I.P.B., Bucureti, 1965. 16. Gh. Gheorghiev, R. Miron, D. Papuc, Geometrie analitic i diferenial,

Vol. I, II, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1965. 17. P.R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, D. Van Nostrand Co.,

Princeton, 1958. 18. Howard, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, New York,

Chichester, Brisbane, Toronto, 1977. 19. M. Ikramov, Recueil de Problmes dAlgbre Linaire, Ed. Mir., Moscow,

1977. 20. I.D. Ion, N. Radu, C. Ni, D. Popescu, Probleme de algebr, Editura

Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981.


7

21. D. Ion, N. Radu, Algebra, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981. 22. N. Jacobson, Basic Algebra, Freemann, San Francisco, 1974, 1980. 23. Kostrikin, Introduction lalgbre, Edition Mir., Moscow, 1977. 24. Serge Lang, Algbra, Ed. Columbia University - New York, 1965. 25. P. Lankaster, Theory of matrics, Academic Press, New York, London, 1969. 26. E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de geometrie analitic i

diferenial, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1974. 27. C. Nstsescu, M. ena, C. Andrei, I. Otranu, Probleme de structuri

algebrice, E.A.R.S.R., Bucureti, 1981. 28. Hans Samelson, An Introduction to Linear Algbra, Standford University,

Standford, California, 1974. 29. S. Sburlan, Principiile fundamentale ale matematicii moderne, Editura

Academiei Romne, Bucureti, 1991. 30. L. Schwartz, Cours Profess lEcole Polytchnique, Paris II, Hermann,

1967. 31. D. Teodorescu, Geometrie analitic i elemente de algebr liniar, ed. a II-a,

Editura Didactic i Pedagogic, 1972. 32. C. Udrite, Probleme de algebr liniar, geometrie analitic i diferenial,

Editura Didactic i Pedagogic, 1976. 33. C. Udrite, C. Radu, C. Dicu, O. Mlncioiu, Probleme de algebr, geometrie

i ecuaii difereniale, Editura Didactic i Pedagogic, 1981.


8

CAPITOLUL 1 SPAII VECTORIALE

Algebra liniar studiaz multe obiecte matematice importante printre care i

spaiile vectoriale. Acest capitol este dedicat studiului general al spaiilor i subspaiilor vectoriale, operaiilor cu subspaii vectoriale precum si al dependenei si independenei liniare care nu trebuie confundat cu cea funcional.

Tehnica modern de vrf cere stabilirea unor modele tot mai perfecionate ale diverselor procese, ale cror legi de evoluie se traduc n ecuaii n spaii vectoriale. Din aceasta cauz obiectivele urmrite au fost alegerea noiunilor fundamentale, enunarea corect a rezultatelor precum i clasificarea logic a exemplelor.

1.1 Spaiu vectorial. Spaii vectoriale izomorfe Una din structurile algebrice folosite n acest curs este aceea de corp

comutativ sau cmp, structur prezentat deja la orele de algebr din clasa a XII-a; cu toate acestea reamintim definiia.

Definiia 1.1. Fie K o mulime nzestrat cu dou operaii: una aditiv,

cealalt multiplicativ. Tripletul +,,K se numete corp comutativ (cmp) dac satisface axiomele: 1. +,,K este inel comutativ unitar, cu 10 ; 2. Orice element nenul din K este inversabil. Exemple: ( ) ( ) ( ) ( ) NpZCRQ p ++++ ,,,,,,,,,,,, numr prim. n cele ce urmeaz prin K se va nelege ( )( +,,RR - corpul numerelor reale)

sau ( )( +,,CC - corpul numerelor complexe). Spaiul vectorial este structura algebric ce va fi des utilizat n disciplinele

aplicate i ea se definete astfel: Definiia 1.2. Fie V o mulime arbitrar nevid, K un cmp i dou aplicaii: ( ) VyxyxyxVVxV += ,,,,:

( ) VyKyyVVxK = ,,,,: unde este o lege de compoziie intern numit ''adunarea vectorilor'', iar este o lege de compoziie extern numit ''nmulirea vectorilor cu scalari''.


9

Dac ( )+,V este grup abelian i legea extern verific axiomele: a) ( ) VxKxxx +=+ ,,, b) ( ) VyxKyxyx +=+ ,,,, c) ( ) ( ) VxKxx = ,,, d) VxKxx = ,1,1

atunci mulimea V se numete spaiu vectorial sau spaiu liniar peste corpul K i se noteaz KV / .

Elementele lui V se numesc vectori, elementul neutru al grupului ( )+,V numindu-se vectorul zero, notat cu V0 .

Elementele lui K se numesc scalari. Pentru ( )CRK = KV / se numete spaiu vectorial real (complex). Teorema 1.1. Dac V este un spaiu vectorial peste K, atunci: a) VV xx 00 == sau 0= ; b) ( ) ( ) ( )( ) VxKxxxxx === ,,, ; c) ( ) ( ) VyxKyxyxxxx == ,,,,, Demonstraie:

(a) Fie 0= i xy = 0 ; ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) Vyyyyyyyyyyyyyxxxxy

00

00000 =+=

++=++=+=+=+=+==

Deci Vx 00 = analog artndu-se c VV 00 = . Reciproc, presupunem c Vx 0= dac 0 atunci

( ) ( ) VVxxxx 001 111 ===== Analog pentru Vx 0 . (b) Din ( )( ) ( ) ( )xxxxxVV +=+== 00 este opusul vectorului

x deci ( ) VxKxx = ,, . Analog se arat c ( ) xx = i atunci

( )( ) ( )( ) ( ) VxKxxxx === ,, . (c) ( ) ( )( ) ( ) VxKxxxxxx =+=+= ,,,

( ) ( )( ) ( ) VyxKyxyxyxyx =+=+= ,,, .

atunci dar


10

Exemple: 1. Orice cmp K este un spaiu vectorial peste el nsui.

Fie nVVV ,,, 21 K spaii vectoriale peste K. Produsul cartezian ( ){ }niVxxxxVVV iinn ,1,,,, 2121 == KK

este un spaiu vectorial peste K dac definim: ( ) ( ) ( )nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ,,,,,,,,, 22112121 KKK , ( ) ( ) KniVyxxxxxxx iiinn == ,,1,,,,,,,,, 2121 KK

Spaiul nVVV K21 se numete produsul direct al spaiilor vectoriale nVVV ,,, 21 K .

n particular ( ){ }niKKKKK inn ,1,,,, 21 === KK este un spaiu vectorial peste K, numit spaiul vectorial aritmetic de dimensiune n. 2. Spaiul vectorial [ ]( )RC n ba , cu [ ] RbaNn ,, al funciilor reale de clas nC definite pe [ ]ba, este format din funciile [ ] Rbaf ,: cu derivatele de ordin n continue pe [ ]ba, . Operaiile sunt cele obinuite de adunare a funciilor i de nmulire a funciilor cu scalari. 3. Spaiul vectorial XV , unde V este un spaiu vectorial peste K, iar X o mulime nevid, { }VXffV X = :: . Operaiile sunt cele obinuite de adunare a funciilor i de nmulire a funciilor cu scalari. 4. Spaiul vectorial NK este spaiul irurilor de scalari din K, reprezentnd o particularizare a exemplului de mai sus. 5. Spaiul vectorial ( ), ;M m n K al matricilor de tip ( ),m n cu elemente din K. Operaiile sunt cele de adunare a matricilor i de nmulire ale acestora cu scalari. 6. Spaiul vectorial [ ]XKn al polinoamelor n nedeterminata X de grad cel mult n, cu coeficieni n K,

[ ]

===

=KnpgradfXfXK i

p

i

iin ,:

1

Operaiile considerate aici sunt cea de adunare al polinoamelor i cea de nmulire a acestora cu scalari. 7. Spaiul vectorial al soluiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaii cu n necunoscute, cu coeficieni din K:

=

==n

jjij mix

1,1,0


11

Definiia 1.3. Fie V i W dou spaii vectoriale peste cmpul K. O aplicaie WVF : care satisface condiiile:

1) ( ) ( ) ( ) VyxyFxFyxF +=+ ,, 2) ( ) ( ) VxKxFxF = ,,

se numete transformare liniar.

Definiia 1.4. O transformare liniar bijectiv se numete izomorfism de spaii vectoriale.

Observaia 1.1. Sunt izomorfisme: ( )

( ).;1,:;;,1:

KnMKFKnMKF

n

n

1.2 Subspaiu vectorial

Definiia 1.5. Fie V un spaiu vectorial peste cmpul K i ,1 VV 01 V se numete subspaiu vectorial al lui V dac KV /1 este spaiu vectorial n raport cu operaiile induse pe V1 de operaiile din V.

Teorema 1.2. O submulime nevid V1 a unui spaiu vectorial V peste K este

subspaiu vectorial al lui V dac i numai dac sunt ndeplinite condiiile: a) 11, VuVu + b) 11, VuVuK Observaia 1.2. Condiiile a) i b) sunt echivalente cu: c) 11,,, VuVuK + Consecina 1.1. Vectorul V0 e comun tuturor subspaiilor vectoriale.

Exemple:

1. ( ) ( ){ }MMKnnMKnS `;,:, == - mulimea matricilor ptratice de ordinul n simetrice. 2. ( ) ( ){ }MMKnnMMKnA ';,:, == - mulimea matricilor ptratice de ordinul n antisimetrice.


12

3. ( ) ( ) [ ]{ 0,;,:, === ijijs MKnnMMKnT pentru }njiji ,1,, => - mulimea matricilor ptratice de ordin n superior triunghiulare. 4. ( ) ( ) [ ]{ 0,;,:, === ijiji MKnnMMKnT pentru }njiji ,1,, =< - mulimea matricelor ptratice de ordin n inferior triunghiulare.

5. ( ) ( ) [ ]{ 0,;,:, === ijijMKnnMMKnD pentru }njiji ,1,, = - mulimea matricelor ptratice de ordin n diagonale. 1-5 Furnizeaz exemple de subspaii vectoriale pentru spaiul vectorial

( ), ; .M n n K 6. Dac { }RRfR R = :: este mulimea funciilor reale de variabil real, atunci

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ }RxxfTxfRRfRPerRxxfxfRRfRI

RxxfxfRRfRP

r =+=====

,::

,::

,::

sunt subspaii vectoriale ale lui RR . 7. Fiind dat V/K, atunci mulimea { }V0 este subspaiu al spaiului V/K i se numete subspaiul nul. 8. V este subspaiu al spaiului / .V K V i { }V0 se numesc subspaii vectoriale improprii.

Definiia 1.6. Fie V/K un spaiu vectorial i S o submulime nevid a sa. Un

vector Vu de forma =

==n

iiiii niKSvvu

1,,1;;;

se numete combinaie liniar finit de elemente din S.

Teorema 1.3. Dac S este o submulime nevid a lui V/K, atunci mulimea tuturor combinaiilor liniare finite de elemente din S este un subspaiu vectorial al lui V.

Acest subspaiu se numete subspaiu generat de submulimea S sau acoperirea liniar a lui S i se noteaz cu L(S); mulimea S se numete sistem de generatori al lui L (S).


13

Demonstraie: Fie

( )( )

( ) ( )

==

= +=+

=

=p

iiiin

iii

m

iii

SLuSL

SLu

1

1

1

unde ( )nmp ,max= . ( ) ( ) ( )

====

m

iii

m

iii SLuSLuK

11,

Deci ( )SL este subspaiu vectorial conform teoremei 1.2. Consecina 1.2. a) ( )SLS ; b) { }( ) { }VVL 00 = ; c)

( )( ) ( )3132

21 SLSSLSSLS

1.3 Operaii cu subspaii vectoriale

Teorema 1.4. Dac V1 i V2 sunt dou subspaii vectoriale ale spaiului vectorial V/K, atunci:

a) { }22112121 ,: VVVV +==+ numit suma dintre V1 i V2 este un subspaiu vectorial al lui V;

b) { 121 : VVV = I i }2V este subspaiu vectorial al lui V; c) { 121 : VVV = U sau }2V nu este subspaiu vectorial al lui V, n

general (dac 21 VV sau 2112 VVVV U este subspaiu vectorial). Demonstraie:

a)

+=+=+

21

2121 ,,,

uuuKVVu

cu 111, Vu i 222 , Vu . Cum V1, V2 sunt subspaii vectoriale

++

222

111

VuVu

.


14

Deci: ( ) ( ) 212211 VVuuu ++++=+ . b) ( ) 2121 ,,, VVvuKVVvu II + . c) Fie 2121, VVvv U astfel nct

1222

2111

i i

VvVvVvVv

2121221

121 VVvvVvvVvv U+

++ .

Teorema 1.5. Fie V1 i V2 dou subspaii vectoriale ale lui V/K i 21 VVv + .

Descompunerea 1 2v v v= + este unic dac i numai dac { }1 2 0 .VV V =I

Demonstraie: Dac { }VV 0V 21 =I s artm c descompunerea este unic. Presupun c n-ar fi unic. Fie 1 2 1 2. = + = + Deoarece 1 1 2, ,V i

2 2 2, ,V vectorul 1 1 2 2u = = e coninut i n 1V i n 2 ,V deci 1 2.u V V I Dar { }1 2 0 ,VV V =I deci descompunerea este unic, adic

1 1 2 2 i . = = Reciproc, dac 21 vvv += e unic, s artm c { }VVV 021 =I . ntr-adevr, n caz contrar orice vector nenul 1 2w V V I ar avea cel puin

dou descompuneri 2 1

0 0V Vw w w= + = + contradicie cu descompunerea unic, deci { }1 2 0 .VV V =I

Definiia 1.7. Fie V1 i V2 dou subspaii vectoriale ale lui KV / . Dac { }1 2 0 ,VV V =I atunci 1 2V V+ se numete sum direct i se noteaz

21V V . Dac VV = 21V , atunci V1 i V2 se numesc subspaii suplimentare.


15

1.4 Dependen i independen liniar

Definiia 1.8. Mulimea KVS / se numete liniar dependent i se noteaz SdepK , dac exist o mulime finit de elemente distincte din S, { } 1,i i nv = i

scalarii { } 1, ,i i n K= nu toi nuli, astfel nct = =n

iViiv

1

0 . Definiia 1.9. Mulimea KVS / se numete liniar independent i se

noteaz SindK dac oricare ar fi mulimea finit de elemente din S, { } 1,i i nv = i scalarii { } 1, ,i i n K= astfel nct

niv in

iVii ,1,00

1===

=

Consecina 1.3. Dac SdepK atunci cel puin unul dintre vectorii { } niiv ,1= este o combinaie liniar de ceilali.

Demonstraie: Presupunem 0i . Atunci, din

=+++ Vnnvvv 02211 K ( )nniiiiiiiii vvvvv 1111111111 ++ +++++= KK . Consecina 1.4. Dac ,kind S atunci dintre vectorii { } 1,i i nv = nici unul nu este o

combinaie liniar de ceilali.

Consecina 1.5. Dac =

=n

iiivv

1 unde { } Vvind iK , atunci { } Knii = ,1 este

unic determinat. Demonstraie: Presupunem

( )===

===n

iViii

n

iii

n

iii vvvv

1

'

1

'

1

0 , dar { } nivind iiiK ,1,' == .


16

Teorema 1.6. Fie { } 1, , / ,i Ki nS v S V K ind S== i L(S) este acoperirea liniar a lui S. Orice mulime de ( )1n + elemente din ( )L S este liniar dependent.

Demonstraie: Fie { } ( )SLw nii = ,1 atunci 1,1,1

+===

nivwn

jjjii .

O combinaie liniar de { } 1,1 += niiw este : =

+

=

+

===

n

jVjji

n

ii

n

iii vw

1

1

1

1

10

de unde rezult =

+

==

n

jVj

n

ijii v

1

1

10 , dar SindK , deci +

===

1

1,1,0

n

ijii nj , ceea

ce reprezint un sistem de n ecuaii cu n + 1 necunoscute. Deoarece 1,1, 1

j njii n

rang n== +

= atunci sistemul admite i soluii nenule, deci 0 i astfel

nct +=

=1

10

n

iiiw , de unde { } 1,1 += niiK wdep .

Observaia 1.3.

a) Dac { } ( )1, , 1, i ,i jii n i j nw L S rang n= = = atunci { } niiK wind ,1= . b) Dac SindK i { } niivS ,1== , atunci orice { } ( ) SindSLSuS Kmii ,,,1 = = are nm .

c) Dac Kdep S conine n vectori, atunci orice S S i conine cel puin ( )1n + vectori este .Kdep S

Cazuri particulare: 1. Dac / , / , , KS V K S V K S S dep S atunci 'SdepK . 2. Dac / , / , , KS V K S V K S S ind S atunci SindK . 3. Orice sistem KVS / ce conine vectorul nul este SdepK . 4. Orice sistem KVS / ce conine cel puin doi vectori egali este SdepK . 5. Un sistem KVS / i { }1vS = este SdepK dac i numai dac Vv 01 = . 6. Un sistem KVS / i { }1vS = este SindK dac i numai dac Vv 01


17

7. Dac { }21,vvS = i 21 vv = atunci SdepK . Observaia 1.4. Nu trebuie s se confunde dependena i independena liniar

cu cea funcional.

Exemplu: ( ) 0,,,,,1,2, 2122

21

2

1

=

=

vuRMvu , 21 ;

u i sunt dependeni funcional i independeni liniar. Astfel,

=

22

21

2

1

2

1

00

, dar

=

+

=+00

0 22

21

22

1121

Mvu

00

0212

2221

21211 ==

=+=+

.


18

CAPITOLUL 2 SPAII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE

Una din justificrile principale ale introducerii i studiului spaiilor aritmetice n-dimensionale const n aceea c evoluia unor sisteme fizice este strns legat de indicarea la fiecare moment a parametrilor lor de stare, care pot fi considerai ca n mrimi fizice, prin urmare seturile ordonate de n parametri de stare sunt tocmai elemente ale acestor spaii.

O alt motivaie const n simplificarea notaiilor. Astfel orice funcie ( ) nn RARAfxxxf ,:,,,2,1 K de n variabile reale cu valori reale, poate fi considerat ca o funcie f(x) de o singur variabil vectorial ( )nxxxx ,,, 21 K= .

Acest capitol este structurat pe dou subcapitole, cel de baz i cel de coordonate i de schimbri de coordonate.

Obiectivele urmrite sunt cele de a nelege i de a defini corect noiunile de baz i coordonate, precum i cel de a argumenta necesitatea lucrului n raport cu baza canonic.

2.1 Baza i dimensiunea unui spaiu vectorial

Definiia 2.1. Fie V un K - spaiu vectorial, o mulime B de vectori din V se numete baz a lui V dac:

1) BInd K ; 2) ( ) VBL = Definiia 2.2. Spaiul vectorial V se numete finit dimensional dac are o baz

finit (adic format dintr-un numr finit de elemente) sau dac { }VV 0= . n caz contrar se numete infinit dimensional.

Definiia 2.3. Se numete dimensiunea unui spaiu vectorial finit dimensional

V i se noteaz Vdim , numrul { }

== VVn

V0 dac ,0

n vectoricu baz o are V dac,dim

Dac V nu e finit dimensional spunem c are dimensiunea i notm =Vdim .


19

Teorema 2.1. (Teorema nlocuirii a lui Steinitz). Dac { }neeeB ,,, 21 K= e o baz a unui spaiu vectorial finit dimensional

{ }( )VVV 0 i { }pvvvS ,,, 21 K= este Sind K atunci: 1) np , 2) reindexnd vectorii lui B, mulimea { }npp eevvvB ,,,,,, 121` KK += este o

baz a lui V. Demonstraie. Prin inducie dup p. Presupun { }1,1 vSp == .

0,1,,,0,11

11 ==< =

i

n

iiiiV niKevvn ,

de exemplu 01 . Atunci nn eeve

12

1

21

11

1

= K . Deci { }neev ,,, 21 K genereaz V. S artm c este liniar independent.

n: Vnneev 02211 =+++ K folosim =

=n

iiie

11

( ) ( ) =+++++ Vnnn eee 012221111 K nii ,1,0000,0 21111 =====

Deci { }neev ,,, 21 K este liniar independent. Presupunem adevrat pentru 1p .

{ }121 ,,, = pvvvS K are proprietile: 1) np 1 ; 2) { }npp eevvvB ,,,,,, 121` KK = e baz a lui V. Din np


20

np

np

p

pp

p

p

ppp

pp eevvvve

= ++

KK 11112211

1

Deci { }npp eevvv ,,,,,, 121 KK + genereaz V. S artm { }nppK eevvvind ,,,,,, 121 KK + . Fie 011112211 =+++++++ ++ nnpppppp eevvvv KK Dar

=

=+=

n

pkkk

p

iiip vvv

1

1. Deci

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0111

111222111

=+++++++++++++

+++

nnnpppppp

pppppp

eee

KK

Folosind ipoteza de inducie matematic rezult

niip

pn

pp

pp

ppp

p

p

,1,00

0

00

0

0

0

11

11

22

11

===

=+

=+=

=+

=+=+

++

KKKKKKK

KKKKKKK

Deci { }npp eevvv ,,,,,, 121 KK + este liniar independent i conform procedeului induciei matematice am demonstrat ceea ce trebuia.

Teorema 2.2. Fie V/K un spaiu vectorial finit dimensional. Orice dou baze ale lui V au acelai numr de elemente.

Demonstraie. Fie B i Bdou baze ale lui V. Fie n numrul de elemente ale

lui B i n numrul de elemente ale lui .B Atunci din ( ) ,L B V n n= iar din ( ) , deci . L B V n n n n = =

Teorema 2.3. Condiia necesar i suficient ca dou spaii vectoriale V/K i

W/K finit dimensionale s aib aceeai dimensiune este ca ele s fie izomorfe.


21

Demonstraie. Fie nWV == dimdim i cele dou baze VB i WB . Avem izomorfismele (sisteme de coordonate)

nKVf : i nKW Cum 1g e tot izomorfism WVfgF = :1 o este tot izomorfism. Reciproc fie V i W izomorfe: WVF : - izomorfism. Vectorul nul din V trece n vectorul nul din W, WV 00 . Apoi VvvvV =+ ,0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) WVVV FvFFvFvF 0000 =+=+= Dac { }nV eeeB ,,, 21 K= , atunci ( ) ( ) ( ){ }nV eFeFBF ,,1 K= . Dar ( ) ( ) niFeeeF iVnn ,1,0,02211 ===+++ K adic

( ) ( ) ( ) nieFeFeF iWnn ,1,002211 ===+++ K Dac

==

n

iiin evKVv

1,/

( ) ( ) nVdeciKWweFvF ni

ii ====

dim,/1

Consecina 2.1. Toate spaiile finit dimensionale izomorfe au aceeai

dimensiune. Observaia 2.1. Putem studia proprietile unui spaiu /nV K studiind spaiul

nK cu care nV e izomorf. Exemple de baze canonice. 1. Baza canonic n nK este:

( )neeeB ,,, 21 K= n care ( )1 2, , ,i i i ine a a a= K i ( ) ( )( )

==

===1,,0,0,,1

0,,0,1,0,0,,0,1,,0 21KK

KKn

ij ejieeadicji

2. Baza canonic n ( ), ;M m n k este ( ) 1,1,

,i nijj n

B E ==

= cu

[ ] 1,1,

0, ,,

1, ,k mij kl kll n

k i l jE

k i l j== = = = =


22

0 0 0 00 0 0 0

1 1

0 0 0 0

j

ijE i

=

K KK K

K K K KK K K K K K

K K

3. Baza canonic n [ ]XKn este ( )nXXXB ,,,,1 2 K= .

2.2 Coordonate. Schimbarea coordonatelor a) Coordonate: n spaiile vectoriale finit dimensionale se pot introduce i

defini coordonatele. Pentru aceasta, este necesar s completm definiia bazei astfel:

Definiia 2.4. Fie nV un spaiu vectorial peste cmpul K, o mulime

{ } KVnieB ni /,,2,1 == K se numete baz pentru V dac: 1) BInd K 2) ( ) nVBL = .

Consecina 2.2. Orice vector nx V admite o exprimare de forma =

=n

iiiexx

1

n care { } BeniKx inii == ,,1,,1 Definiia 2.5. a) Mulimea { } Kx nii = ,1 ordonat ( ) niix ,1= = ( )nxxx ,,, 21 K se

numete mulimea coordonatelor lui x n baza B.

Notm [ ] ( )1

21 2

2

: .t nB

n

xx

x x x x

x

= =

KM matricea coordonatelor vectorului x n

baza B.


23

b) Egalitatea =

=n

iiiexx

1 se numete relaia de descompunere a vectorului

nx V n baza B sau expresia lui x n baza B; pentru a exprima aceasta notm

1

:n

i i Bi

x x e x=

= = i formal se poate scrie [ ] .B Bx B x=

Consecina 2.3. ntr-o baz dat a lui / ,nV K oricrui nx V i corespunde un singur n-uplu ordonat ( )1 2, , , nnx x x KK i reciproc. Deci exist o bijecie

nnB KVf : adic un izomorfism ntre spaiile vectoriale /nV K i nK .

Dac vom considera ( )1 2, , , nnx x x KK ca fiind coordonatele unui vector nKw n baza canonic, putem scrie:

( )=

==n

iiiexw

10,,0,1,0,,0,0 KK

Definiia 2.6. Izomorfismul : nB nf V K prin care unui vector nV i corespunde vectorul nw K ale crui coordonate n baza canonic a lui nK sunt tocmai coordonatele lui n baza dat B, se numete izomorfism canonic.

Definiia 2.7. Bijecia : nB nf V K definit mai sus ( )1 2, , ,Bf nx x x x K se numete sistem de coordonate n nV .

c) Schimbri de baze. Fie B i B dou baze ale lui nV atunci: ( ) ( )1 2 1 2, , , i , , ,n nB e e e B e e e = =K K

au acelai numr de vectori liniar independeni.

Notnd ( ), 1,

,tj ij i j ne = = avem = ==n

iiijj niee

1

` ,1,

'1e

'2e K K K 'ne

1e 11 12 K K K n12e 21 22 K K K n2M M M M ne 1n 2n K K K nn


24

Astfel vom obine matricea ( )11 12 1

21 22 2,

n

nM B B

=

KK

M M M MKn1 n2 nn

numit

matricea de trecere de la baza B la baza .B Observaie. Matricea de trecere de la o baz B la o baz B este de forma ( ) [ ] [ ] [ ]( )BnBB eeeBBM ``2`1`, K= , adic matricea are coloana j format din

coordonatele vectorului je n baza B. Formal se poate scrie: ( ) ( ) ( )`21``2`1 , BBMeeeeee nn KK = adic ( )`` , BBBMB = Dac vom considera ( )BBMBB ,``= obinem, cu relaia anterioar: ( ) ( ) ( )BBMBBBMBBMBB ,,, ```` ==

dar ( ) ( ) nK IBBMBBMBind = ,, `` , deci ( ) ( )`1` ,, BBMBBM = (adic matricile de trecere de la o baz la alta sunt inverse una alteia).

Dac ( ) ( ) ( )== `````````` ,,, BBMBBBMBBMBB ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

==

=BInd

BBMBBBMBBBMBBBMBDar

BBMBBBMB

K

``````

````

`````` ,,,,

,,

( ) ( ) ( )`````` ,,, BBMBBMBBM = acestea n ipoteza c , i B B B sunt baze ale aceluiai K - spaiu vectorial.

d) Schimbri de coordonate la schimbarea bazei.

Fie [ ] ( )nB xxxx K21= i ( )``2`1 nxxx K se caut legtura ntre [ ]Bx i [ ] ,Bx adic ntre coordonatele aceluiai vector x n baze diferite.

Se consider: [ ][ ]

( )[ ] ( )[ ]

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] .,,

,

,'1'

'

''

''

''

'''

BBBB

K

BBBB

BB

xBBMxxBBMx

BIndxBBBMxB

BBBMB

xBxxsixBxx

===

=====


25

CAPITOLUL 3 SPAII VECTORIALE EUCLIDIENE

ncepem acest capitol cu studiul noiunii fundamentale de spaiu cu produs

scalar, care nlesnete o extindere fascinant i util a geometriei euclidiene, permind s vorbim de norm i distane, de unghiul dintre doi vectori n-dimensionali nenuli. Spaiile cu produs scalar i operatorii pe astfel de spaii constituie obiectele matematice principale ale mecanici cuantice.

Urmrim nsuirea noiunilor de spaiu euclidian, spaiu metric i normat precum i capacitatea de a identifica i clasifica aceste spaii.

3.1 Produs scalar. Spaiu vectorial euclidian

Pe spaiile vectoriale euclidiene vom putea introduce noiunea de unghi i distan.

Definiia 3.1. Se numete produs scalar pe un spaiu RV / o aplicaie

RVVp : care are urmtoarele proprieti: P1) ( ) Vxxxp ,0, i ( ) 0, =xxp dac i numai dac Vx 0= , P2) ( ) ( ) Vyxxypyxp = ,,,, , P3) ( ) ( ) ( ) RVyxxyxpyxpyxxp +=+ 212122112211 ,,,,,,,, Vom nota ( ) ( )xyyxp ,, = , iar n ( ) xyyxpR n =,: .

Consecine din axiome: 3.1. ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , , , , , , , .x y y x y x y x y y V + = + R 3.2. ( ) ,,,0,0)0,( Vyxyx xv ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0y,xy,xyy,xy,0,0y,xy,xyy,x)0,x( xv ====== 3.3 ( ) VyVxyx 0,0, == Dac

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) =

=++=+=+=

0,0,,

,,,0,,0,

yxyyyx

yyyxyyxdaryyxVxyx

( ) Vyyy 00, == 3.4 ( ) ( ) ( ) RVyxyxyxyx == ,,,,,,


26

( ) ( )yxyx ,, = din p3 ( ) ( )yxyx V ,,0 =+ iar ( ) ( ) ( ) ( )yxxyxyyx ,,,, === 3.5. Notnd ( ) Rxxx = 2, avem:

( ) ( ) Vyxyyxxyx ++=+ ,,,2 222 (3.1) ntr-adevr: ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=++=+ yxyyxxyxyxyx ,,,2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ,2,,,, yyxxyyxyyxxx ++=+++=

Definiia 3.2. Un spaiu vectorial real V pe care s-a definit un produs scalar se numete spaiu vectorial euclidian. Se noteaz cu E .

Exemple. 1. n spaiul nR se definete pentru nRyx ,

( ) =

=n

iii yxyx

1,,

care este un produs scalar pe nR . 2. n spaiul [ ] ( )RC ba0 , se definete pentru [ ] ( )RCgf ba0 ,,

( ) ( ) ( )= ba dxxgxfgf , care este produs scalar.

3. n orice spaiu vectorial finit dimensional Vn se poate introduce un produs scalar astfel: nVyx , .

( ) [ ] [ ]BBt yxyx =, . Teorema 3.1. ntr-un spaiu RV / euclidian este satisfcut inegalitatea

Cauchy-Schwartz: ( ) Vyxyxyx ,,, 222 (3.2)

Egalitatea are loc dac i numai dac vectorii x i y sunt { }yxdepK , .

Demonstraie. a) Dac 0Vx = sau ( ) 0,0 == yxy V i 2 0x = sau 2 0,y = deci are loc

egalitatea. b) Dac ( ) 00,0 2 yxyx VV deci,

( ) ( ) 0,2, 222 = yyxxyxyx . Un trinom de gradul doi n este pozitiv pentru R dac


27

( ) 0,0 222 yxyx de unde relaia din teorem. c) Presupunem { }yxdepK , atunci y x= i ( ) ( ) ( ) ( )( ) 222222 ,,,,, yxxxxxxxxxyx ==== d) Presupunem ( ) 222, yxyx = deci 0 = n b)

( ) 0,2 222 =+ yyxx adic ( ) { }yxdepxyyxyxyx KV ,00, ===

Definiia 3.3. Se numete norm pe un spaiu vectorial real V o funcie RVg : care verific proprietile:

N1) ( ) Vxxg ,0 i ( ) 0=xg dac i numai dac Vx 0= ; N2) ( ) ( ) VxRxgxg = ,, ; N3) ( ) ( ) ( ) Vxxxgxgxxg ++ 212121 ,, .

Se noteaz ( )g x x= i se numete norma lui x. Un spaiu vectorial pe care s-a introdus o norm se numete spaiu vectorial

normat. Teorema 3.2. Fie E un spaiu euclidian. Funcia + RE: definit prin

( )xxx ,= este o norm pe E (norma euclidian). Demonstraie. 1) Din ( ) ( ) 0,,0,:)1 = xxxExxxp i

( ) Rdef xxx 00, == deci ( ) Rdef xxxx 00, === 2) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxx ==== ,,, 2 3) ( ) ( ) ++=++=+ 222121212121 ,2, xxxxxxxxxx

( ) ( ) ++=++ 2222121222121 ,2,2 xxxxxxxx =++=++ 22212122222121 22 xxxxxxxx ( ) 21221 xxxx +=+=

Egalitatea are loc dac i numai dac 12 xx = cu 0 sau Vx 01 = .


28

Norma, ,x se mai numete i lungimea vectorului x. Cu notaia pentru norm acum inegalitatea Cauchy-Sehwartz devine: ( ) yxyx , (3.2`)

care pentru Rx 0 i Ry 0 devine: ( ) 1,

yxyx (3.2)

Definiia 3.4. Vectorul Ee se numete vector unitate sau versor dac

1=e .

Consecina 3.6. Fie RxEx 0, atunci xe1= x este un versor ( )1e = .

Deci orice Ee cu Rx 0 se poate scrie: 1, == eexx (3.3)

n acest caz e se numete versorul lui x i se noteaz cu 0,x astfel c:

0xxx = (3.3) Acum folosind (3.2) putem da: Definiia 3.5. Fie E un spaiu vectorial euclidian real i Eyx , Ryx 0,

Numrul real [ ] ,0 definit de relaia ( )

yxyx,cos = (3.4)

se numete unghiul neorientat al vectorilor x, y i se noteaz cu ( )yx, .

Definiia 3.6. Fie V un spaiu vectorial real. Se numete distan ( metric) pe V o aplicaie RVVd : care are proprietile:

D1) ( ) Vyxyxd ,,0, i ( ), 0d x y = dac i numai dac yx = ; D2) ( ) ( ) Vyxxydyxd = ,,,, ; D3) ( ) ( ) ( ) Vzyxyzdzxdyxd + ,,,,,, . Un spaiu vectorial nzestrat cu o distan se numete spaiu metric.


29

Teorema 3.3. Fie V un spaiu vectorial dotat cu norma euclidian. Funcia real definit prin ( ) Vyxyxyxd = ,,, , este o distan (metric) pe V.

Demonstraie. 1) 0 ,x y x y V i 0= yx dac i numai dac 0x y = adic yx = ; 2) Vyxxyyx = , ;

1) i 2) sunt adevrate datorit definiiei normei. 3) Vzyxyzzxyzzxyx ++= ,, (definiia normei).

3.2 Ortogonalitate

Definiia 3.7. Fie E un spaiu vectorial euclidian. Doi vectori Eyx , ortogonali dac ( ), 0.x y = Se noteaz .x y

O mulime ES se numete ortogonal dac ( ) 0,,, = yxSyx . O mulime ES se numete ortonormat dac ( ) 0,, = yxSyx i

1== yx .

Consecina 3.7. Vectorul nul este ortogonal cu orice vector. Teorema 3.4. Orice mulime ortogonal, dintr-un spaiu vectorial euclidian

E , format din elemente nenule este liniar independent. Dac nE =dim , atunci orice mulime ortogonal care conine n elemente din

E este o baz a spaiului E . Demonstraie. Fie { } { }Rnii E 0\,1 = s considerm combinaia liniar:

=

=n

iRii

10 , de unde ( )

===

n

ijii nj

1,1,0,

Dar ( )

==

jiji

iji ,

,02 de unde:

niiii ,1,002 === deci { } niiKind ,1=


30

Definiia 3.8. Fie E un spaiu vectorial euclidian i REu 0,, se numete proiecia vectorului u pe v, vectorul (3.7) ( )( )

,,

u vv

v v iar numrul ( )( )

,,

u vv v

se

numete mrimea algebric a proieciei vectorului u pe vectorul v. Definiia 3.9. Un vector E se numete ortogonal mulimii ES dac

este ortogonal cu orice vector din S. Mulimea tuturor vectorilor ortogonali lui S se numete S ortogonal i se noteaz cu .S

Consecina 3.8. S este subspaiu al lui E iar dac S este subspaiu al lui

SE se numete complementul ortogonal al lui S.


31

CAPITOLUL 4 BAZ ORTONORMAT

n spaiile euclidiene reale sau complexe de dimensiune n exist baze ortonormate. In raport cu acestea se pot determina mult mai uor distanele, msurile unghiurilor i lungimile vectorilor. Putem spune c de ndat ce este fixat o baz a unui spaiu vectorial de dimensiune n finit, un vector x este bine determinat prin componentele vectorului relativ la baza respectiv. In acest mod vectorii abstraci admit realizri numerice i ''pot fi programai''.

Capitolul este structurat pe dou subcapitole i anume cel de baz ortonormat i cel de construcie a acesteia.

Ca obiective urmrite le putem preciza pe cele de nelegerea i aprofundarea noiunilor de spaii euclidiene.

4.1 Baz ortonormat

Definiia 4.1. O baz ( ) nn EeeeB = ,,, 21 K se numete ortonormat dac ( )

===

jiji

ee ijji ,0,1

, ij se numete simbolul lui Kronecker.

Exemplu. n nR fa de ( ) =

=n

iii yxyx

1

, baza canonic ( )neeeB ,,, 21 K= este ortonormat.

Teorema 4.1. Fie nE un spaiu vectorial euclidian i ( )neeeB ,,, 21 K= o

baz ortogonal a lui.

Dac =

=n

iiiex

1

atunci ( )( )ji ii eeex

,,= iar dac B este baz ortonormat,

atunci ( ) niex ii ,1,, ==


32

Demonstraie. Din ( ) ( )==

==n

ijiij

n

iii eexeex

11

,, cum:

( ) ( ) ( )iiiij

ji eexejieji

ee ,,,

,0, 2 =

== deci ( )( )ii

ii ee

ex

,,=

Dac ( ) ijji ee =, , atunci ( )ii ex ,= . Concluzia este c ntr-o baz ortogonal ( )

( ) in

i ii

i eeee

==

1 ,, (4.1)

iar ntr-o baz ortonormat

( ) ini

i ee=

=1

, (4.2) n acest caz ( )ii ex ,= se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului nE .

4.2 Construcia unei baze ortonormate pornind de la o baz dat

Teorema 4.2. n orice spaiu euclidian de dimensiune n, nE , exist baze

ortonormate. Demonstraie. Fie ( )nfffB ,,, 21 K= o baz oarecare n nE i ne propunem

s construim o baz ( )neeeB ,,, 21' K= ortogonal prin urmtoarea transformare de baz:

+++++=

++=+=

=

nnnnnnnn eeeeef

eeefeef

ef

11332211

32231133

21122

11

KKKKKKKKKKKK

n acest caz putem scrie c:


33

( )

=

1 0 0 0

0

1 00 10

1

,

1

3

223

11312

'

KKMMM

MKMMMMKMM

KKK

nn

n

n

n

BBM

Cum vectorii ie se construiesc prin inducie ca s ndeplineasc ( ) jiee ji = ,0, , obinem: ( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

++++=

+++=

++=

+==

nnnn

nnnnn eeee

efeeeefe

eeeff

eeeeefe

eeefe

eeeff

eeeeefe

eeeff

eeeeeff

ef

111

12

22

21

11

1

4333

342

22

241

11

144

3222

231

11

133

2111

122

11

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,,,

K

KKKKKKKKKKK

Deci:

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

=

=

==

111

12

22

21

11

1

333

342

22

241

11

1444

222

231

11

1333

111

1222

11

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,,,

nnn

nnnnnn eee

efeeeefe

eeeffe

eeeefe

eeefe

eeeffe

eeeefe

eeeffe

eeeeffe

fe

K

KKKKKKKKKKK


34

Vom norma acum baza ( )neeeB ,,, 21' K= fcnd n plus transformarea: ( ) niee

eeee

ii

i

i

ii ,1,,* ===

Noua baz ( )**2*1'' ,,, neeeB K= fiind ortonormat este cea cutat. Observaie. Bazele ortonormate simplific mult calculul: astfel, dac ( )neeeB ,,, 21 K= este o baz ortonormat n spaiul nE i = =

==n

i

n

iiiii eyyexx

1 1, , atunci:

( ) ( ) ( ) ( )===

===n

iii

n

iii

n

ii yxyxdyxyxxx

1

2

11

2 ,,,,, .


35

CAPITOLUL 5 TRANSFORMRI LINIARE

Algebra liniar constituie cadrul matematic abstract pentru tratarea problemelor ''liniare'' (care conduc la ecuaii i sisteme de gradul nti) din diverse domenii. Alturi de noiunea de spaiu vectorial, un concept de baz l constituie cel de aplicaie liniar sau, cum se mai spune, operator liniar, ca ''purttor de informaie liniar'' de la un spaiu vectorial la altul.

Structurarea capitolului este fcut pe patru subcapitole i anume cel legat de definiii i proprieti generale apoi cel dedicat operaiilor cu transformri liniare, ca n final s ne ocupm de nucleul i imaginea unei transformri liniare.

Obiectivele pe care le-am urmrit au fost acelea de a familiariza studentul cu noiunile noi legate de transformri liniare, de a-l obinui pe acesta s stabileasc natura unei aplicaii folosind demonstraiile cele mai simple dar corecte precum i a-i dezvolta puterea de analiz a fenomenelor legate de acestea.

5.1 Definiie. Proprieti generale

Definiia 5.1. Fie U i V dou K-spaii vectoriale. O funcie VUF : cu proprietatea ( ) ( ) ( ) UyxKyFxFyxF +=+ ,,,, (5.1)

se numete transformare liniar (operator liniar sau morfism) de la U la V. Mulimea morfismelor de la U la V se noteaz cu sau ( )VUHom , . Vectorul ( ) VxF pentru x U se numete imaginea vectorului x prin F, iar Ux a crui imagine este se numete preimagine a lui ( )xF . Cazuri particulare.

1. Un morfism injectiv VUF : se numete monomorfism. 2. Un morfism surjectiv VUF : se numete epimorfism. 3. Un morfism bijectiv VUF : se numete izomorfism. n acest caz exist i

UVF :1 tot izomorfism. 4. Un morfism UUF : se numete endomorfism. 5. Un morfism KUF : se numete form liniar. 6. Un morfism bijectiv UUF : se numete automorfism.


36

Exemple: 1. Produsul scalar a doi vectori din ,nE dac fixm unul din vectori, este o

form liniar. 2. n [ ] ( ) ( ) ( ) ( )= baba dxxgxfgfRC ,:0 , cu ( )f x fixat este o form liniar. Teorema 5.1. Dac atunci: 1. ( ) VUF 00 = . 2. Dac U1 este subspaiu vectorial al lui U, atunci ( )1UF este subspaiu

vectorial al lui V. 3. Dac { } niiuS ,1== este Kdep S atunci: ( ) ( ){ } niiuFSF ,1== este ( )SFdepk .

Demonstraie: 1. n definiia (5.1.) facem ( ) ( )xFxF == 0 i pentru = 0

( ) VUF 00 = . 2. U1 - subspaiu vectorial al lui U atunci:

K , i 11, UyxUyx + deci ( ) ( ) ( ) ( )1UFyFxFyxF +=+ . 3. { } UuS nii = = ,1 i Kdep S , deci

0 a.i. ,101

===

i

n

iUii niu .

Aplicnd F putem scrie:

( ) ( ) 0 a.i. ,10011

===

==

i

n

iViiU

n

iii niuFFuF , deci ( )SFdepK .

Teorema 5.2. Fie Un i V dou K-spaii vectoriale, B o baz n nU ,

( )neeeB ,,, 21 K= iar { } nii ,1= n vectori arbitrari n V, atunci: 1. Exist i este unic cu proprietatea:

( ) nieF ii ,1, == .


37

2. Dac { } niiKind ,1= atunci cu proprietatea ( ) nieF ii ,1, == este monomorfism.

Demonstraie: 1. Existena: Fie ,nx U atunci

[ ]Bni

formal

iiB xBexxx =

===1

.

Regula ( ) =

=n

iiixxFx

1 definete o funcie VUF n : cu proprietatea

( ) nieF ii ,1, == asta din ( ) ( )=

=n

iii eFxxF

1 sau formal

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]Bn xeFeFeFxF K21= , iar dac notm ( ) ( ) ( )( ) ( )BFeFeFeF n =K21 atunci ( ) ( )[ ]BxBFxF = .

Unicitatea: Demonstrm prin reducere la absurd. Presupunem c mai exist cu proprietatea

atunci de unde 2. Pentru nUyx , i ( ) ( )= yFxF ( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ] [ ]( ) VBBBB yxBFyBFxBF 0==

dar ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] yxyBxByxBFind BBBBK === deci F e monomorfism.

Teorema 5.3. Dac este monomorfism, atunci au loc: 1. Dac { } ( ) ( ){ } niiKnii uFSFSinduS ,1,1 , == == este ( )SFind K . 2.Dac { } niieB ,1== este baz a lui U, atunci ( )BF este ( )BFind K . 3. Dac nVU == dimdim i B este baz a lui U, atunci ( )BF este baz a lui

V. Demonstraie:

1. ;0,,10:1

====

iUi

n

iiK niuSind F monomorfism i

( ) ViUi uFu 00 , iar pentru ( ) ( )jiji uFuFjiuu , .


38

Deci ( ) ( ) 0,,1,0011

====

==

i

n

iViiU

n

iii niuFFuF . Acum 2. i 3.

rezult din 1.

5.2 Operaii cu transformri liniare

Definiia 5.2. Fie mulimea tuturor transformrilor liniare de la U la V, adic:

( ) ( ) ( ) ( ){ }, : , , , , .U V U V x y x y K x y U= + = + L F F F F n aceast mulime definim:

1. egalitatea : = 2. adunarea

3. nmulirea cu scalari

Proprieti: 1. Transformarea liniar 0 :U V cu proprietatea ( ) Uxx V = ,00 este

transformarea nul. 2. Transformarea VUF :' cu proprietatea ( ) ( ) UxxFxF = ,' unde

se numete opusa transformrii 3. formeaz grup comutativ fa de adunarea definit mai sus innd

seama de 1. i 2. 4. mpreun cu operaiile 2. i 3. definite la (5.2) formeaz un spaiu

vectorial peste K. Cazuri particulare. se numete spaiul endomorfismelor lui V. - mulimea formelor liniare de la V la K se numete dualul lui V. Definiia 5.3. Fie i atunci

se numete compunerea sau produsul transformrilor liniare i se noteaz:


39

Proprieti: 1. Produsul a dou transformri liniare este o transformare liniar:

2. Produsul transformrilor liniare este asociativ i n general nu e comutativ. 3. Produsul transformrilor liniare este distributiv la stnga n raport cu

adunarea transformrilor liniare. Dac i atunci

4. Produsul este distributiv i la dreapta n raport cu adunarea. Dac

i atunci

5. n mulimea ( ),U UL a endomorfismelor introducem transformarea identic: ( ) UxxxJUUJ = ,,: . Astfel ( ),U UL se transform n inel n raport cu adunarea i nmulirea transformrilor liniare.

Dac este mulimea automorfismelor, adic cu proprietatea atunci

este corp. 6. n mulimea ( ),U UL a endomorfismelor introducem puterile naturale ale

unei transformri astfel:

5.3 Nucleul i imaginea unei transformri liniare

Definiia 5.4. (1) Fie se numete nucleul transformrii liniare mulimea preimaginilor vectorului V0 adic:

( ){ } ( ) KerFFuFUu VV === :00 1 (2) Se numete imaginea transformrii liniare F , mulimea imaginilor lui Uu , adic:

( ){ } ( ) FuFuFUuV Im:, ===

=


40

Teorema 5.4. Fie atunci: 1) KerF este un subspaiu vectorial al lui U; 2) FIm este subspaiu vectorial al lui lui V. Demonstraie. 1) ( ) VuFKKerFuu 0,,, 121 = i ( ) VuF 02 = . Deci ( ) ( ) ( ) KerFuuuuFuFuF VV +=+=+ 212121 00 . 2) UuuKF 2121 ,,,Im, a. . ( ) 11 =uF i ( ) 22 =uF . Deci ( ) ( ) ( ) VuuFuFuF +=++=+ 2121211 2 adic

FIm21 + . Teorema 5.5. Dac atunci FIm este finit dimensional i:

nUFKerF dimImdimdim ==+ . Dimensiunea nucleului se numete defectul lui ,F iar dimensiunea imaginii se

numete rangul transformrii F. Demonstraie. Fie dim i dim .nU n Ker p= =F Dac 0,p = atunci

{ }UKerF 0= , adic ( )nn UFUF : este un izomorfism. Ori dou spaii izomorfe au aceeai dimensiune, deci ( ) nFUF n == Imdimdim i 0n n= + , adic relaia din teorem este adevrat pentru 0.p =

Dac 1,p iar { }peeeB ,,, 21 K= este o baz pentru KerF pe care o completm pn la o baz a spaiului { }1 2 1, , , , , , ,n p p nU B e e e e e+ = K K s considerm nx U atunci

1

.n

i ii

x x e=

= Aplicnd F i innd seama de faptul c B este baz n KerF obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) FxFeFxeFxxF nnpp Im,11 ++= ++ K . Deci ( ) ( ){ }np eFeF ,,1 K+ este un sistem de generatori pentru spaiul FIm .S

artm c acest sistem de vectori este i liniar independent. Dac am presupune c este un sistem de vectori liniar dependent, deci ar

exista cel puin un coeficient nenul, de exemplu 1p+ din relaia ( ) ( ) ( ) ( )VnnppVnnp eeFeFepF =++=+++ +++ KK 111 01 ar rezulta c:


41

KerFee nnpp ++ ++ K11 . Cum n { }peeeBKerF ,,,, 21 K= e baz rezult:

ppnnpp eeeee +++=++++ KK 221111 cu 01 +p , deci npp eeeee ,,,,,, 121 KK + sunt liniar dependeni. Contradicie cu { }npp eeeeeB ,,,,,, 121' KK += - baz.

Deci ( ) ( ){ }np eFeF ,,1 K+ este un sistem de vectori liniar independent, formnd chiar baz n FIm .

Prin urmare KerFUF n dimdimImdim = .


42

CAPITOLUL 6 REPREZENTAREA ANALITIC A UNEI TRANSFORMRI

LINIARE. VECTORI I VALORI PROPRII

Acest capitol reprezint un dicionar perfect, privind corespondena ntre aplicaii liniare i matrici. Vom studia cum se schimb matricea asociat unei aplicaii liniare cnd se schimb bazele i cum se pot determina vectorii i valorile proprii corespunztoare acesteia.

Capitolul cuprinde trei subcapitole dedicate reprezentrii analitice, vectorilor proprii i valorilor proprii asociate unei transformri liniare.

Obiectivele urmrite au fost cele legate de nelegerea i nsuirea noilor noiuni, precum i cel legat de dezvoltarea capacitii de lucru, folosind cele mai eficiente metode numerice.

6.1 Reprezentarea analitic a unei transformri liniare. Matricea transformrii

Teorema 6.1. Fie o baz a lui ,nU i

( )pVB ,,, 21 K= o baz a lui pV atunci: (1) exist i este unic o matrice ( ) ( )KnpMBBFM VU ,,,, astfel nct ( ) ( )VUVU BBFMBBF ,,= (6.1) (2) pentru nUx

( )[ ] ( )[ ]UV BVUB

xBBFMxF ,,= (6.2)

Demonstraie. (1) Existena: pentru nUx ( ) ( ) ( )[ ]VBVp

xFBxFVxF = de unde ( ) ( )[ ] njujFBuF

VBVj,1, ==

astfel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ]( )

VV

VVV

BnBV

BnVBVBV

nnU

uFuFB

uFBuFBuFBuFuFuFuuuFBF

,,

,,, ,,,,,,

1

21

2121

KK

KK

===

===


43

Notnd cu

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )VV BnBVU

uFuFBBFM ,,,, 1 K= (6.3) matricea celular ale crei coloane sunt coloanele coordonatelor vectorilor ( ) niuF i ,1, = n baza VB putem scrie c: ( ) ( )VUVU BBFMBBF ,,= .

Deci am demonstrat c exist matricea ( )VU BBFM ,, numit matricea transformrii liniare F corespunztoare bazelor , ;U VB B ea are n coloane, iar fiecare coloan are p linii, deci ( ) ( ); , , ; .U VM B B M p n KF

Unicitatea: Prin reducere la absurd, presupunem c exist i ( )VU BBFM ,,1 astfel nct ( ) ( )VUVU BBFMBBF ,,1= deci: ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )VUVU

nVUVUV

VUVVUV

BBFMBBFMBBFMBBFMBBBFMBBBFMB

,,,,0,,,,

,,,,

1

,11

1

===

aceasta rezultnd din VK Bind . (2) [ ]

UBUn xBxUx = aplicnd ( ) ( )[ ] ( )[ ]UU BVUVBU xBBFMBxBFxFF ,,==

Adic: ( ) ( )[ ]

UBVUV xBBFMBxF ,,= (6.4) (6.4) este numit expresia transformrii liniare F n baza .VB innd seama

i de ( ) ( )[ ]VBV

xFBxF = din (6.4) rezult c: ( )[ ] ( )[ ]

UV BVUBxBBFMxF ,,=

Caz particular. (1) n cazul unui endomorfism fie ( )nuuuB ,,, 21 K= o baz a lui .nU Atunci ( ) ni UuF deci ( ) ( )[ ]Bii uFBuF = . n acest caz: ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ).,,,

,,, ,,,

21

21

21

BnBB

BnBB

n

uFuFuFBuFBuFBuFB

uFuFuFBF

KK

K

===

==

Matricea ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )BFMuFuFuF BnBB ,:,,, 21 =K este o matrice celular avnd n coloane, iar fiecare coloan este matricea coloan a coordonatelor vectorului ( )iuF n baza { }niB ,,2,1, K , deci ( ) ( ); , ; .M B M n n KF


44

Dac ( ) ( ) ( ) ( )( )nuFuFuFBBFM ,,,0,det 21' K= este o baz a lui ,nU iar ( );M B F este tocmai matricea de trecere de la baza B la baza B i putem scrie ( ) ( )BFMBBF ,= .

Teorema 6.2. Fie dou endomorfisme i ,B B dou baze

n .nU Matricele ( ) ( ); i M B M F F;B reprezint aceeai transformare liniar dac i numai dac ( ) ( ) ( ) ( )1; , ,M B M B B M M B B =F F;B , n care ( )', BBM este matricea de trecere de la baza B la .B

Demonstraie. Dac i aplicnd obinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ; ; ,B B M B B B M B BM B M B B = = F F F F ( ) ( ) ( ) ( )1; , ; , ,B M B B M B B M B M B B =F F

innd seama de ( ) ( ) ( ) ( )1; , ; , .Kind B M B M B B M B M B B =F F Reciproc, presupunnd c are loc relaia:

( ) ( ) ( ) ( )1; , ; , ,M B M B B M B M B B =F F rezult imediat, parcurgnd demonstraia anterioar n sens invers, c .'FF =

6.2 Vectori proprii

Definiia 6.1. Fie un endomorfism. Un vector { }UnUx 0\ , se numete vector propriu al endomorfismului F dac exist Kx astfel nct: ( ) xxF x = (6.5)

x se numete valoarea proprie a endomorfismului F corespunztoare lui x. Mulimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului F se numete

spectrul lui F . Notnd ( ) nnn UxxxIUUI = ,,: , atunci (6.5) devine: ( )( ) { }unU UxxIF 0\,0 = ,

ceea ce arat c ( )IFKerx .

Proprietate. Dac ( ) xxF x= , atunci ( ) { }0\, KkkxkxF x = .


45

Teorema 6.3. (1) Unui vector propriu al endomorfismului F i corespunde o singur valoare proprie.

(2) Vectorii proprii corespunztori la valori proprii distincte sunt liniari independeni.

(3) Mulimea ( ) ( ){ },S x x x fixat = = F este un subspaiu vectorial al lui U, numit subspaiu propriu.

(4) Subspaiile proprii corespunztoare la valori proprii distincte sunt disjuncte.

Demonstraie. (1) Prin reducere la absurd: presupun c ( ) uuF 1= i

( ) uuF 2= cu 21 atunci din ( ) 0021 == uu U , contradicie cu definiia (6.1.), deci 21 = .

(2) Fie p ,,, 21 K valori proprii distincte i ( ) pixxF iii ,1, == . S demonstrm { } piiK xind ,1= prin inducie dup p.

Dac ( ) { }UUxxxFp 0\,1 1111 == , deci Ux 01 e liniar independent. Presupunem c vectorii 121 ,,, pxxx K corespunztori valorilor proprii

distincte 121 ,,, p K sunt liniar independeni. S considerm:

Up

iii x 0

1=

= (6.6)

de unde

Up

iii xF 0

1=

= (6.7)

sau

Up

iiii x 0

1=

= (6.8)

Acum, din (6.6), p - (6.8) obinem Up

iiii

p

iiip xx 0

11=

== adic

( ) ( ) Upi

ppppiipi xx 01

1=+

=

de unde, innd seama de { } 1, = piiiK xind , ( ) 0, cu 0, 1, 1 deci 0, 1, 1.i p i p i ii p i p = = = =


46

Astfel (6.6) devine 0=pp x dar { } piUx ipUp ,1,000\ ===

ceea ce trebuia demonstrat.

(3) ( )Syx , i ( )( ) ( ) ( ) ( )yxyFxFyyFxxF

K +=+

== :,

i ( ) ( ) ( ) ( )yxyxyFxFyxF +=+=+=+ , deci ( ) Syx + . (4) Fie 21 . Pentru ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

==

xxFSxxxFSx

SSx22

1121

I ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 2

00 deci i sunt disjuncte. U U

x x xx S S

= = =

Teorema 6.4. Condiia necesar i suficient ca matricea ( ); BM F a

endomorfismului s fie diagonal este ca vectorii bazei s fie vectori proprii ai acestei transformri.

Demonstraie. Presupunem c ( ) nkeeF kkk ,1, == i ( )nU eeeB .,, 21 K= ,

atunci: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nB B BM e e e= = KF;B F F F

( )knDn

,

0 0

0000000

2

1

=

MMMKMK

Reciproc presupunem c ( ) ( )knDBFM ,, , atunci:

( ) =

n

neee

0 0

0000000

,,,2

1

21

MMMKMK

K

( )nneee K2211= adic ( ) nkeeF kkk ,1, ==


47

6.3 Polinom caracteristic

S considerm [ ]BxBx = atunci folosind (6.4), relaia (6.5) devine: ( )[ ] [ ]BB xBxBFBM =, de unde folosind Bind K rezult: ( )[ ] [ ]BB xxBFM =, sau, dac notm cu ( ), ;nI M n n K matricea unitate, atunci obinem ecuaia:

( )( )[ ] ( ),1;0n M n KBM I x =F;B care se numete ecuaia vectorilor proprii. Aceast ecuaie d coordonatele vectorului propriu Bx cunoscnd valorile proprii . Notnd:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 , 1,n ijB B B i j nM e e e = = = KF;B F F F ecuaia anterioar se poate scrie:

( )KnM

nnnnn

n

n

O

x

xx

,1,2

1

21

22221

11211

=

MK

MMMMKK

care este un sistem omogen, iar soluia banal nu convine problemei, deoarece un vector propriu { }UUx 0\ i atunci notm ( )( ) ( ) PIBFM n = :,det i numim polinomul ( )P polinom caracteristic. Evident ( ) ngradP = , iar ecuaia

( )( )det ; 0nM B I =F se numete ecuaia caracteristic. Rdcinile polinomului caracteristic sunt valorile proprii ale endomorfismului .F

Teorema 6.5. Polinomul caracteristic al unui endomorfism este un invariant la schimbarea bazei.

Demonstraie. Fie ,B B dou baze n nU i ( ) ( )',,, BFMBFM matricele

transformrii liniare corespunztoare endomorfismului. S artm c: ( )( ) ( )( )nn IBFMIBFM = ,det,(det '


48

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( ).,det

,det,det,det

1

,det,det,det

,,,det

,,,,,det,(det

''

''1

''1

''1''1'

n

n

n

n

nn

IBFM

IBFMBBMBBM

BBMIBFMBBMBBMIBFMBBM

BBMBBMIBBMBFMBBMIBFM

=====

====

Teorema 6.6. Dac matricea endomorfismului F n baza B, ( )BFM , este real i simetric, atunci valorile proprii sunt reale. (Ecuaia caracteristic are toate soluiile reale).

Demonstraie. Considerm:

( )[ ] [ ]BB xxBFM =, (6.9) conjugnd complex obinem: ( )[ ] [ ]BB xxBFM =, (6.10) deoarece ( ) ( )BFMBFM ,, = .

nmulind la stnga (6.9) cu [ ]Bt x i tot la stnga pe (6.10) cu [ ]Bt x obinem: [ ] ( )[ ] [ ] [ ]BBtBBt xxxBFMx =, [ ] ( )[ ] [ ] [ ]BBtBBt xxxBFMx =, aplicnd transpusa celei de-a doua relaii obinem: [ ] ( )[ ] [ ] [ ]BBtBBt xxxBFMx =, care comparat cu prima d: ( ) [ ] [ ] 0= Bt xx dar [ ] [ ] Rxx BBt = 0 .


49

CAPITOLUL 7 TRANSFORMRI LINIARE PE SPAII EUCLIDIENE

n cadrul analizei funcionale sunt caracterizate funcionalele liniare (i continue) pe spaii nzestrate cu diverse structuri, din aceast cauz este absolut necesar cunoaterea n primul rnd a transformrilor liniare pe spaii euclidiene.

Capitolul este dedicat studiului transformrilor liniare simetrice, apoi celor ortogonale translaiilor i izometriilor.

Obiectivele urmrite au fost nelegerea i nsuirea fenomenelor care se produc n spaiile euclidiene relativ la transformrile liniare.

7.1 Transformri liniare simetrice

Definiia 7.1. Un endomorfism se numete simetric dac verific egalitatea

Teorema 7.1. Condiia necesar i suficient ca endomorfismul

s fie simetric este ca ( ) ( )knSBFM ,, ntr-o baz ortonormat. Demonstraie. Dac nUu , , iar ( )neeeB ,,, 21 K= e baza ortonormat,

atunci ==

==n

jjj

n

iii eeuu

11, , deci:

( ) ( )= ===

=

=

n

i

n

jjiji

n

jjj

n

iii eeueeuu

1 111,,,,

dar ( ) ijji ee =, , deci: ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]BBtBBtn

iii uuuu ===

=1,

sau ceea ce se mai poate scrie: [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]BBtBBtBB uuBuB ==, Deci ( )( ) [ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]BBtBB BFMuBFBMuBFu ,,,, == ,

( )( ) ( )[ ] [ ]( ) [ ] ( )[ ]BtBtBB BFMuBuBFBMuF ,,,, == Dac F este simetric, din ultimele relaii rezult ( )BFMBMF t ,, = , deci ( ) ( )knSBFM ,, .

(7.1)

n


50

Reciproc: Presupunnd c ( ) ( ); ,M B S n KF atunci nUu , : [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ]BBtBtBtBBt uBFMBFMuBFMu ,,, ==

deci [ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] [ ]( )BBBB BuBFBMBFBMuB ,,,, = , adic: ( )( ) ( )( ) ,, uFFu = .

7.2 Transformri ortogonale

Definiia 7.2. Transformarea liniar se numete ortogonal dac ea conserv produsul scalar, adic: ( ) ( )( ) ( ) nEyxyxyFxF = ,,,,

Notm cu Teorema 7.2. Condiia necesar i suficient ca o transformare liniar s fie ortogonal este ca ea s conserve norma vectorilor, adic:

( ) nExxxF = , (7.2) Demonstraie. Presupunem F ortogonal, atunci din definiie: ( ) ( )( ) ( ) ( ) xxFxxxFxF == ,, Reciproc: presupunnd c ( ) nExxxF = , , atunci:

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )yFxFyFxFyFxF

yFxFyxF

yxyxyxyxyx

,21

21

21

21,

22

222

222222

=+=

=+=

=+=+=

Consecine: 1. Nucleul unei transformri ortogonale conine numai vectorul nul. 2. Transformarea ortogonal este injectiv. 3. O transformare ortogonal este bijectiv dac i numai dac este surjectiv.


51

Teorema 7.3. 1) Produsul a dou transformri ortogonale este o transformare ortogonal.

2) Inversa unei transformri ortogonale surjective este o transformare ortogonal.

Demonstraie.

1) Fie i ortogonale atunci: ( )( ) ( ) nExxxFxFF == ,112 2) Fie ortogonal surjectiv, atunci ea este bijectiv i exist

deci np EEF :1 i ( ) xyFEy p = 1 , deci: ( ) ( ) yxFxyF ===1

Consecin. Mulimea endomorfismelor ortogonale surjective formeaz grup

n raport cu nmulirea. Teorema 7.4. Condiia necesar i suficient ca s fie

ortogonal este ca matricea ( )',, BBFM a transformrii n raport cu orice baze ortonormate ,B B din nE respectiv din pE s verifice egalitatea: ( ) ( ) nt IBBFMBBFM ='' ,,,,

Demonstraie. Presupun c ortogonal, deci: Pentru nEx , ( ) xxF = , adic ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ]BBt xxxxxFxF == ,, , iar ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] '', BBt xFxFxFxF = de unde ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]BBtBBt xxxFxF = '' . Dar ( )[ ] ( ) [ ]BBB xBBFMxF = ',,' care nlocuit mai sus: [ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ]BBtBtBt xxxBBFMBBFMx = '' ,,,,' ,

de unde ceea ce trebuia demonstrat i parcurgnd n sens invers obinem: ( ) xxF = . Consecine:

1. Dac n p= atunci matricile ( )RnnMA ,, care verific InAAAA tt == se numesc ortogonale. Deci n cazul unui endomorfism ortogonal

este matrice ortogonal.


52

2. innd seama c dac ( )RnnMBA ,,, , atunci ( ) BABA detdetdet = , rezult c n cazul matricilor ortogonale avem c: ( ) 1detdetdetdet == AAIAA tnt , dar AAt detdet = , deci ( ) 1det 2 =A , de unde 1det =A .

3. Un endomorfism ortogonal cu ( ) 1,det =BFM se numete rotaie.

7.3 Translaii. Izometrii

Definiia 7.3. Endomorfismul definit prin ( ) nEaaxxF += , se numete translaie de vector a pe nE .

Teorema 7.5. 1). Dac 1F e o translaie de vector 1a pe nE i 2F este o

translaie de vector 2a pe nE , atunci 12 FF este translaie de vector 21 aa + pe nE .

2. Dac F este translaie de vector a pe nE , atunci 1F este translaie de

vector a pe nE . Demonstraie. 1) ( )( ) ( )( ) ( ) 21121212 aaxaxFxFFxFF ++=+== . 2) ( )( ) ( )( ) ( ) xaxFxxFFxxFF =+== 111 o . nlocuind x cu ax , obinem ( ) axxF =1 . Consecin. Mulimea tuturor translaiilor pe nE formeaz un grup comutativ

n raport cu compunerea, grup izomorf cu grupul aditiv pe nE . Definiia 7.4. O transformare surjectiv care pstreaz

distana euclidian ( ) nEyxyxyxd = ,,, se numete izometrie. Adic ( ) ( )( ) ( )yxdyFxFd ,, = . Teorema 7.6. Translaia de vector a este o izometrie. Demonstraie. Fie

astfel: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxdyxayaxyFxFyFxFd ,, ==++== . deci F este izometrie.


53

CAPITOLUL 8 FORME BILINIARE I PTRATICE

ntr-unul din capitolele anterioare am introdus produsul scalar, care este o

aplicaie biliniar hermitic pozitiv definit, prin urmare era absolut necesar introducerea acestei noiuni, mai ales c analiza matematic va cere determinarea punctelor critice, ori acest lucru se poate face foarte elegant folosind studiul formelor ptratice.

Structurarea capitolului este fcut pe patru subcapitole i anume: forme biliniare, forme ptratice, reducerea formelor ptratice la expresia canonic i signatura unei forme ptratice reale.

Acest capitol urmrete cu precdere dezvoltarea deprinderilor de a aplica rezultatele legate de transformari liniare, pe care le-au studiat anterior, i sintetizarea noilor noiuni n scopul utilizrii acestora n cadrul capitolelor urmtoare.

8.1 Forme biliniare

Definiia 8.1. Fie nV un K spaiu vectorial. O aplicaie KVxVF nn : se numete form biliniar dac este form liniar n ambele variabile, adic: ( ) ( ) ( ) KVyxxyxFyxFyxxF n +=+ 212122112211 ,,,,,,,, , ( ) ( ) ( ) KVxyyyxFyxFyyxF n +=+ 212122112211 ,,,,,,,, .

Consecine 1) ( ) ( ) nVV VyxxFyF == ,,00,,0 . Din definiie pentru: ( ) ( ) ( ) 0,0

0,,0

2

22221 =

===

yFyxFyxF

V

Analog pentru 0,0 21 == . 2) ( ) [ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyxF ,= . n adevr:

( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]( )( )( )

===

,

,,

,,,, 21

n

Bt

Bt

B

eF

yeFyeF

xyBFMxyxBFyxF M ,

( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]Bniii

BiBii

yeeFeeFeeFyBxeFMyBeFyeF

,,, ,,,

21 K====

,


54

[ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyFx ,, = ,

unde: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

nnnn

n

n

eeFeeFeeF

eeFeeFeeFeeFeeFeeF

BxBFM

,,,

,,,,,,

:,

21

22212

12111

KMMM

KK

.

Exemplu: Produsul scalar pe un spaiu vectorial real. Teorema 8.1. Fie ( )neeeB ,,, 21 K= o baz arbitrar n .nV O form

biliniar KVxVF nn : este complet determinat dac se cunosc valorile sale: ( ) njieeF ijji ,1,,, == Demonstraie. Fie [ ] [ ]BBn yByxBxVyx == ,, sau

==

==n

jjj

n

iii eyyexx

11,

Deci ( ) ( )= ===

=

=

n

i

n

jjiji

n

jjj

n

iii eeFyxeyexFyxF

1 111,,, .

Deci F e complet determinat dac se cunosc: ( )ji eeF , cu nji ,1, = . Expresia ( ) ( )

= ==

n

i

n

jjiji eeFyxyxF

1 1,, se numete expresia analitic a formei

biliniare n baza considerat, ( )ji eeF , se numesc coeficienii formei biliniare n baza considerat iar matricea ( )[ ] ( )BxBFMeeF

njiji,:,

,1,== se numete matricea

formei biliniare n baza considerat. Deci sub form matricial ( ) [ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyxF ,, =

sau ( ) [ ] ( )[ ]BtBt xBxBFMyyxF ,, =

de unde ( ) [ ] ( )[ ]( )BBtt yBxBFMxyxF ,, = . Forma biliar se va numi nedegenerat dac ( )BxBFM , este nesingular,

adic ( ) 0,det BxBFM n caz contrar ea va fi degenerat, iar rangul formei biliniare este dat de rang ( )BxBFM ,


55

Definiia 8.2. 1). Forma biliniar se numete simetric dac ( ) ( ) nVyxxyFyxF = ,,,, . 2) Forma biliniar se numete antisimetric dac ( ) ( ) nVyxxyFyxF = ,,,, . Exemplu: Produsul scalar pe nV - spaiu vectorial real este o form biliniar

simetric. Teorema 8.2. 1). O form biliniar este simetric dac i numai dac ( ) ( )KnSBxBFM ,, . 2) O form biliniar este antisimetric, dac i numai dac ( ) ( )KnABxBFM ,, oricare ar fi nVB .

Demonstraie. Presupun c ( ) ( ) nVyxxyFyxF = ,,,, i fie B o baz

oarecare n .nV Atunci ( ) [ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyxF ,, 1= , iar ( ) [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]BtBtBBt xBxBFMyxBxBFMyxyF ,,, ==

de unde ( ) ( )BxBFMBxBFM t ,, = . Presupunnd acum c ( ) ( )BxBFMBxBFM t ,, = i parcurgnd calea

invers, obinem: ( ) ( ) nVyxxyFyxF = ,,,, . 2. Se demonstreaz analog. Teorema 8.3. Fie o form biliniar KVxVF nn : dat n baza ( )neeeB ,,, 21 K= i fie ( )''2'1' ,,, neeeB K= o alt baz a lui .nV Dac ',MB este

matricea de trecere de la B la baza 'B , atunci: ( ) ( ) ( ) ( )''' ,,',, BBMBxBFMBBMBxBFM t= . Demonstraie. Fie [ ] [ ] '', BBn xBxBxVyx == i [ ] [ ] '' BB yByBy ==

astfel putem scrie c: ( ) [ ] [ ]( ) [ ] ( )[ ] '''' '''' ,,, BBtBB yBxBFMxyBxBFyxF == i

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] .,,,

,,,,

''

''

''

''

Bt

Bt

BB

yBBMBxBFMBBMx

yBBBMxBBBMFyxF

===

Dar ( ) [ ] ( )[ ] '' '',, BBt yBxBFMxyxF = , de unde: ( ) ( ) ( ) ( )'''' ,,,, BBMBxBFMBBMBxBFM t= .


56

Definiia 8.3. Fie KVxVF : o form biliniar simetric, mulimea ( ){ } KerFVyyxFVx == :,0, se numete nucleul formei biliniare.

Teorema 8.4. Nucleul unei forme biliniare simetrice este un subspaiu

vectorial al lui V.

Demonstraie. Fie ( )( ) VzzyF

zxFKerFyx

== ,

0,0,

, .

Pentru orice ( ) ( ) 0,,,, =+ zyFzxFK , adic ( ) VzzyxF =+ ,0, ,

deci KerFyx + .

8.2 Forme ptratice

Definiia 8.4. Aplicaia KVP : definit prin egalitatea ( ) ( )VxxxFxP = ,, n care ( )yxF , e o form biliniar simetric, se numete forma ptratic asociat formei biliniare simetrice F, iar F se numete forma polar sau forma dedublat a lui P.

Exemplu: Forma ptratic corespunztoare produsului scalar real este ptratul

normei euclidiene ( ) 2, xxx = . Teorema 8.5. Dac se cunoate forma ptratic ( )xP atunci forma biliniar

simetric ( )yxF , este determinat prin: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] VyxyPxPyxPyxF += ,,

21, .

Demonstraie.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )yxFxyFyxF

yyFxxFyyFxyFyxFxxF

yyFxxFyxyxFyPxPyxP

,,,21

,,,,,,21

,,,21

21

=+=

=++=

=++=+


57

Consecine: Expresia formei ptratice asociat formei biliniare simetrice ntr-o baz VB se obine din expresia formei biliniare simetrice fcnd yx = astfel ( ) [ ] ( )[ ]BBt xBxBFMxxP ,= .

Matricea i rangul formei ptratice P coincid cu matricea i rangul formei biliniare simetrice F asociate lui P.

Definiia 8.5. Fie KVxVF : o form biliniar simetric. Vectorii

Vyx , se numesc ortogonali n raport cu F, dac ( ) 0, =yxF . Definiia 8.6. Fie 1V un subspaiu vectorial al K - spaiu vectorial V i o form

biliniar simetric KVxVF : . Mulimea ( ){ } == 11 :,0, VVxyxFVy se numete complementul

ortogonal al lui 1V n raport cu F. Definiia 8.7. Fie KVxVF nn : o form biliniar simetric. O baz ( )neeeB ,,, 21 K= al lui nV se numete ortogonal n raport cu forma F dac ( ) njieeF ijijji ,1,,, == . De aici rezult c ntr-o baz ortogonal avem:

( ) ( )KnDBxBFMnn

,

000

000000

, 2211

=

KMKMMM

KK

.

ntr-o astfel de baz avem:

( ) =

=n

iiiii yxyxF

1, ,

iar:

( ) =

=n

iiiii xxxP

1

2 . Aceste expresii se numesc respectiv expresia canonic asociat formei

biliniare simetrice F i expresia canonic asociat formei ptratice P. Se spune n acest caz c forma biliniar simetric, respectiv forma ptratic, au fost reduse la expresia canonic.


58

8.3 Reducerea formelor ptratice la expresia canonic

Teorema 8.6. (Metoda Jacobi) Fie RVP n : o form ptratic i ( )BxBFM , matricea ei n baza ( )neeeB K,, 21= . Dac toi determinanii: ( )BxBFMn ,det,,,,,1

333231

232221

131211

32221

121121110 ===== K

numii determinani minori principali ai matricei ( )BxBFM , sunt nenuli, atunci exist o baz ( ) ,,,,, '''2'1' nn VBeeeB = K n raport cu care expresia formei ptratice, devine:

( ) =

=

n

ii

i

i xxP1

2'1 ,

n care =

=n

jjjexx

1

'' .

Demonstraie: S considerm:

( )

=

nn

n

n

n

BBM

000

000

', 33322322

1131211

MMMMKKK

.Pentru a aduce o form ptratic P la

forma canonic este suficient ca pentru njji ,1,1,1 == s asigurm condiia ( ) 0, '' =ji eeF de unde i ( ) 0, '' =ij eeF ca rezultat al simetriei matricei ( )BxBFM , . Dar ( ) [ ]( ) 0,0, '''' ==

BjijieBeFeeF sau ( )[ ] 0, '' =ji eBxeFM , unde: ( ) ( ) ( ) ( )( )niiii eeFeeFeeFBxeFM ,,,, '2'1'' K=

sau innd seama c =

=j

kkkjj ee

1

' , , atunci ( ) ( )=

=j

kkikjji eeFeeF

1

''' ,, ceea ce nseamn c pentru a realiza ( ) 0, '' =ji eeF e suficient ca:

( )nj

jijk

eeF ji,1

1,1,1

,0, ''

==

== .


59

Pentru a simplifica raionamentul mai presupunem ( ) 1,' =ii eeF Cu aceasta obinem sistemul: ( )

( )

===

1,

1,1,0,'

'

ii

ki

eeFikeeF

Dar: ( ) [ ]( ) [ ] ( )[ ] ( )

( )( )

iiikikik

ik

k

k

iiii

ki

ki

Bit

kBit

kBiki

eeF

eeFe

exBFMeeeBFeeF

+++=

=

=

=

===

K

MKM

2211

2

1

21'

'''

,,,,

,

,,,

de unde sistemul:

=

10

00

2

1

2

1

21

11211

2212

12111

MM

KK

MMMKK

ii

ii

i

i

iiii

iiii

i

i

de unde .1i

iij

= Teorema 8.7. Fie nE un spaiu vectorial euclidian. Dac REP n : e o

form ptratic, atunci exist o baz ( )''2'1' ,,, neeeB K= a lui nE n raport cu care expresia canonic a formei este:

( ) =

=n

iii xxP

1

2' , n care sunt valorile proprii ale matricei formei ( )BxBFM , , fiecare valoare proprie este scris de attea ori ct este multiplicitatea sa, iar:

=

=n

jjj exx

1

'' .

Demonstraie. Deoarece ( ) ( )RnSBxBFM ,, ea admite numai valori

proprii reale i se poate diagonaliza. Atunci baza cutat ( )''2'1' ,,, neeeB K= este


60

format din vectorii proprii ortonormai ai matricei formei. n aceast baz obinem expresia canonic a formei.

8.4 Signatura unei forme ptratice reale

Definiia 8.8. Fie o form ptratic REP n : dac: 1. ( ) nExxP ,0 , se numete pozitiv semidefinit; 2. ( ) nExxP > ,0 se numete pozitiv definit; 3. ( ) nExxP < ,0 se numete negativ definit; 4. ( ) nExxP ,0 se numete negativ semidefinit. Teorema 8.8.(Criteriul lui Sylvester). Dac sunt ndeplinite condiiile

teoremei Jacobi (8.6.), atunci forma ptratic este pozitiv definit dac i numai dac nii ,1,0 => i negativ definit dac i numai dac ( ) nkkk ,1,01 => .

Demonstraie. Fie P o form pozitiv definit. Presupun prin absurd c

npp = 1,0 , atunci una din liniile lui p este o combinaie liniar de celelalte, adic pkk ,,1 K nu toate nule astfel nct:

pikkk pipii ,1,02211 ==+++ K , adic: ( ) ( ) ( )

( ) .,1,0,0,,,

2211

2211

pieekekekF

eeFkeeFkeeFk

ipp

ippii

==+++=+++

KK

Cum F e biliniar simetric, amplificnd cu piki ,1, = i sumnd obinem: 0,,,

1122

111 =

++

+

===

p

ipiip

p

iii

p

iii eekFkeekFkeekFk K sau:

00,111

==

===

n

iii

n

iii

p

iii ekekekF (deoarece F este pozitiv definit).

Cum piki ,1, = nu sunt toi nuli, atunci neee ,,, 21 K sunt liniar dependeni - contradicie cu ipoteza ( )neee ,,, 21 K baz n nV . Deci npp ,1,0 = .

Mai mult, conform teoremei Jacobi, exist o baz n nV n care:


61

( ) 2'1

1i

n

i i

i xxP =

=

i cum P e pozitiv definit, 01 >

i

i , adic nii ,1,0 => .

Reciproc, dac nii ,1,0 => , atunci nii

i ,1,01 => i, din

( ) 2'1

1i

n

i i

i xxP =

= atunci ( ) 0xP

( ) ,00 ''2'1 ===== nxxxxP K deci 0=x .

n concluzie, ( ) .0,0 > xxP Dac ( )xP e negativ definit, atunci P e pozitiv definit i totul se repet ca

mai sus avnd n vedere c matricea lui P este [ ] .,1, njiij

A ==


62

CAPITOLUL 9

SPAII ALE VECTORILOR DIN E3 Unul dintre primele exemple istorice de spaii vectoriale care st la baza

interpretrilor geometrice ale algebrei liniare sau n mod dual, a raionamentelor geometrice prin metode de algebr este spaiul vectorilor liberi.

Studiul vectorilor a fost puternic impulsionat de fizic (mecanic, electromagnetism etc.) modelnd operaiile cu fore, viteze. Acest studiu este datorat deopotriv eforturilor unor matematicieni i fizicieni ca W.R. Hamilton (1805-1865), H. Grassmann (1809-1877), A. Cayley (1821-1895), J. C. Maxwel (1831-1879) i J. W. Gibbs (1830-1903).

Am structurat acest capitol pe patru subcapitole dedicate segmentelor orientate, spaiului vectorilor legai, spaiului vectorilor liberi, bazelor i reperelor.

n urma parcurgerii acestui capitol cred c au fost atinse obiectivele urmrite i anume cel de familiarizare cu noile noiuni i nsuirea acestora precum i dezvoltarea capacitii de operare cu vectori i de folosire a proprietilor acestora n interpretarea diverselor fenomene.

9.1 Segmente orientate. Echipolen Notm cu 3E spaiul punctual tridimensional euclidian din geometria

elementar, adic al geometriei n care este admis axioma paralelelor: ''Printr-un punct exterior unei drepte d, trece cel mult o dreapt paralel cu dreapta dat''.

Punctul, dreapta, planul i spaiul 3E sunt noiuni primare legate prin anumite axiome, care sunt axiomele geometriei elementare.

Considerm mulimea a tuturor dreptelor din 3E . n mulimea x introducem relaia 1 2 1 2: sau .d d d d = = Aceast relaie are proprietile:

reflexiv, 11 dd ; simetric, 1221 dddd ; tranzitiv, 21 dd i 3132 dddd ,

adic este o relaie de echivalen pe pe care o notm cu .


63

Submulimea, }{ Cldddd = :'' a tuturor elementelor care sunt echivalente cu un element dat d se numete clas de echivalen ce conine d.

Deoarece d d, atunci Cldd i orice element Cldd ' se numete reprezentant al clasei Cld .

Ca proprietate semnalm urmtoarea: mulimea claselor de echivalen prin relaia este o partiie a mulimii , n sensul c este o reuniune de submulimi disjuncte.

Definiia 9.1. Se numete direcia dreptei ,d clasa de echivalen a

relaiei 21 dd sau 21 dd = n care d este un reprezentant al acestei clase. Altfel exprimat, o direcie este mulimea tuturor dreptelor din spaiul 3E cu

proprietatea 21 dd sau 21 dd = . Definiia 9.2. Se numete segment orientat orice pereche ( ) 33, ExEBA n

care A i B sunt puncte din 3E i se noteaz ( ) ABBA =, . Grafic se reprezint printr-o sgeat de la A la B. A se numete originea

segmentului orientat AB, iar B se numete extremitatea segmentului orientat AB Dreapta determinat de punctele A i B se numete suportul segmentului orientat

i se noteaz ABAB sup:= .

A B Caz particular: Dac A B= segmentul orientat AA se numete segment

orientat nul, grafic se reprezint printr-un singur punct A, iar AAsup este nedeterminat.

Definiia 9.3. (1) Lungimea, norma sau modulul unui segment orientat AB este

distana dintre A i B i se noteaz ( ) ABBAd :, = . (2) Direcia unui segment orientat AB cu A B este direcia ABsup .

Segmentele orientate nule au direcia nedeterminat. (3) Segmentele orientate AB i BA se numesc opuse. Dac BABAAB == .


64

(4) Fie AB un segment orientat nenul, se numete sens de parcurs pe ABsup sensul de la A spre B.

(5) O dreapt mpreun cu alegerea unui sens de parcurs se numete dreapt orientat.

(6) O direcie mpreun cu unul din cele dou sensuri posibile se numete direcie orientat.

(7) Dou segmente orientate nenule AB i CD au acelai sens dac: a) dCDAB == supsup i sensul de parcurs determinat de AB pe d este

acelai cu sensul de parcurs determinat de CD pe d; b) CDAB supsup i extremitile lor B i D se afl n acelai semiplan din

planul dreptelor suport, determinat de ACsup , adic ( )BACD ,sup sau ( )DACB ,sup .

Definiia 9.4. Dou segmente orientate nenule se numesc echipolente dac au

aceeai direcie, acelai sens i aceeai lungime. Dac AB i CD sunt echipolente, aceasta se noteaz cu AB CD.

Teorema 9.1. Relaia de echipolen are urmtoarele proprieti: 1) este o relaie de echivalen. 2) AB CD BA DC. 3) AB i 33 ! EDEC astfel nct AB CD. 4) AB CD AC BD. Demonstraia o lsm ca tem cititorului.


65

9.2 Spaiul vectorilor legai din E3

Fie 3EO un punct fixat i mulimea { } ( )303 : ETEMOM = a segmentelor orientate din 3E cu originea n O. Introducem n ( )30 ET operaiile:

1. Adunarea segmentelor orientate din ( )30 ET este definit de relaia: OPONOM =+

n care P este simetricul punctului O fa de mijlocul segmentului [ ]MN . Aceast regul e echivalent cu regula paralelogramului sau cu regula triunghiului.

2. Operaia de nmulire a segmentelor orientate cu numere reale este definit

astfel: i) Dac

00rOMr i 0 atunci OM este segmentul orientat care are

( )OMOM supsup = , acelai sens cu OM dac 0> i sens contrar dac 0,


66

1. Fie d o dreapt n 3E i ,O d mulimea { } ( )10: ETdMOM = este un subspaiu vectorial al lui ( )30 ET . Subspaiul ( )10 ET se numete dreapta vectorial tangent n O la 3E .

2. Fie un plan i ,O mulimea { } ( )20: ETdMOM = este un subspaiu vectorial al lui ( )30 ET i se numete plan vectorial tangent n O la 3E .

9.3 Spaiul V al vectorilor liberi din E3. Vectori coliniari, vectori coplanari n E3

Definiia 9.5. 1) Clasele de echivalen ale segmentelor orientate relativ la

relaia de echipolen se numesc vectori liberi. Direcia, sensul i lungimea care sunt comune segmentelor orientate ce

definesc un vector liber se numesc direcia, sensul i lungimea vectorului liber. Fiecare segment orientat din clasa numit vector liber este un reprezentant al

clasei. Notm mulimea vectorilor liberi din spaiul 3E cu V. Vectorii liberi i vom

nota cu litere mici ale alfabetului latin, prevzute cu sgei deasupra. 2) Fie i a b

rr doi vectori liberi i 3EO . Fie OA un reprezentant al clasei lui ar i OB un reprezentant al clasei lui b . Se numete sum a vectorilor i a b

rr vectorul liber cr OBOAOC += i notm .c a b= + rr r

3) Fie RVa ,r i 3EO . Fie OA un reprezentant al clasei lui .ar Se numete produsul vectorului ar cu scalarul , vectorul br OA i notm

a=b . Propoziia 9.1. Mulimea vectorilor liberi V din 3E nzestrat cu operaiile

definite mai sus formeaz un spaiu vectorial. Definiia 9.6. 1. Doi vectori { }, , \ 0Va b c Vr rr r se numesc coliniari dac au

aceeai direcie. Vectorul nul avnd direcia nedetermin se consider coliniar cu orice vector din V.

2. Trei vectori { }, , \ 0Va b c Vr rr r se numesc coplanari dac 3EO reprezentanii OA, OB, OC ai claselor lui ,a b

rr respectiv cr sunt situai ntr-un plan. Vectorul nul se consider coplanar cu oricare doi vectori din V.


67

Teorema 9.3. 1. Doi vectori { }, \ 0Va b Vr rr sunt coliniari dac i numai dac ei sunt liniar dependeni.

2. Trei vectori { }, , \ 0Va b c Vr rr r sunt coplanari dac i numai dac ei sunt liniar dependeni.

Demonstraie. 1. Presupunem c { }, \ 0Va b Vr rr sunt coliniari atunci cu 0, 0a b a b

a b=

rr rrrr

de unde:

Vbaab 0rrrrr = ,

deci { }badepR rr, . Acum presupunem c R , astfel nct 022 + i Vba 0

rrr =+ . Dac 0 = i VV ab 00,0,00

rrrr === , deci 0,0 de unde ba

rr= , adic i a brr sunt coliniari.

2. Presupunem c { }, , \ 0Va b c Vr rr r i { }, ,Rdep a b crr r deci R ,, , 0222 ++ , astfel nct Vcba 0

rrrr =++ . Fie 0 atunci: bacrrr

= .

Reprezentanii claselor respective OA, OB, OC,

suport de curs algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferenţială şi trigoometrie...

Documents