curs 5-analiza a

8/8/2019 Curs 5-Analiza a

1/11

DIFERENTIABILITATE IN IRp

1. Diferentiabilitate de ordinul I

Diferentiala Gateaux

Fie f = (f1, . . . , f q) : A IRp IRq si a

A.Fie v IRp un vector din IRp, pe care-l vom numi directie. Consideram

functia

v : Avd= {t IR : a + tv A} IRq, v(t)

d= f(a + tv).

Definitie. Spunem ca f este derivabila dupa directiav n punctul a, dacav este derivabila n t0 = 0.

Vectorul (numarul real n cazul q = 1)

v(0) = limt0

v(t) v(0)

t= lim

t0

f(a + tv) f(a)

t

se noteaza cuf(a)

vsi se numeste derivata dupa directia v a functiei f n

punctul a.Definitie. Spunem ca functia f : A IRp IRq este diferentiabila

Gateaux n a A, daca f este derivabila dupa orice directie v IRp n a.Aplicatia

af : IRp IRq, af(v)

d=

f(a)

vse numeste diferentiala Gateaux a functiei f n punctul a.

Daca f : A IRp IRq este diferentiabila Gateaux n a A, atunci feste continua Gateaux n a.

1


2/11

O aplicatie f = (f1, . . . , f q) : A IRp

IRq

este diferentiabila Gateauxn a A daca si numai daca toate componentele sale f1, . . . , f q sunt diferen-tiabile Gateaux n a. Are loc relatia

af(v) = (af1(v), . . . , afq(v)).

Exemplu. Fie f : IR2 IR, f(x1, x2) = x1x2, punctul a = (2, 3) siv = (1, 2).

Derivata dupa directia v a functiei f n punctul a este:

f(a)

v = limt0

f(a + tv) f(a)

t = limt0

f(2 + t, 3 + 2t) f(2, 3)

t =

= limt0

(2 + t)(3 + 2t) 6

t= lim

t0(7 + 2t) = 7.

Pentru a determina diferentiala Gateaux a functiei f ntr-un punct a =(a1, a2) se considera un vector arbitrar v = (v1, v2) si se calculeaza derivatadupa directia v a functiei f n punctul a:

f(a)

v= lim

t0

f(a + tv) f(a)

t

= limt0

f(a1 + tv1, a2 + tv2) f(a1, a2)t

= limt0

(a1 + tv1)(a2 + tv2) a1a2t

= limt0

(a1v2 + a2v1 + tv1v2) =

= a1v2 + a2v1.

Rezulta ca af(v) = a1v2 + a2v1.Diferentiala Gateaux a functiei f n punctul a = (2, 3) este:

(2,3)f : IR2 IR, (2,3)f(v) = 3v1 + 2v2, v = (v1, v2) IR2.

2


3/11

Operatii cu functii diferentiabile GateauxDaca f, g : A IRp IRq sunt diferentiabile Gateaux n a

A, atuncif + g, f si < f, g > sunt diferentiabile Gateaux n a cu

a(f + g) = af + ag,

a(f) = af, IR,

a < f, g > (v) =< af(v), g(a) > + < f(a), ag(v) >, v IRp.

In cazul q = 1 si g(a) = 0 functia f /g este diferentiabila Gateaux n a si

a(f /g)(v) =1

g2(a)(g(a)af(v) f(a)ag(v)).

Propozitie. Daca f : A IRp IRq este diferentiabila Gateaux n a,atunci f este derivabila partial n a si

f(a)

xi= af(ei).

Intr-adevar, daca f este diferentiabila Gateaux n a, ea este derivabila

dupa orice directie n punctul a, prin urmare si dupa directiile e1, . . . , ep.

Diferentiala Frechet

Fie f : A IRp IRq si a

A.Definitie. Functia f este diferentiabila Frechet (pe scurt diferentiabila)

n punctul a si notam f Fa daca exista o aplicatie liniara si continuadaf : IR

p IRq astfel ncat

limxa

f(x) f(a) daf(x a)

x a

= 0.

Aplicatia daf se numeste diferentiala Frechet a functiei f n punctul a.Daca notam x = a + h, atunci limita din definitie se scrie:

limh0

f(a + h) f(a) daf(h)

h= 0.

3


4/11

Definitie. Functia f este diferentiabila pe o multime deschisa A0 Adaca ea este diferentiabila n orice punct a A0.Observatie. Diferentiala unei functii ntr-un punct este o functie.

O functie f diferentiabila ntr-un punct este continua n acel punct.

Definitii echivalente

Definitie. Functia f este diferentiabila n punctul a

A, daca exista1, . . . , p IR

q si o functie : Va IRq continua si nula n a (lim

xa(x) =

(a) = 0), astfel ncat:

f(x) = f(a) +

pi=1

(xi ai)i + x a(x),

pentru orice x Va, unde Va A desemneaza o vecinatate a punctului a.

Definitie. Functia f este diferentiabila n punctul a

A, daca exista1, . . . , p IR

q si functiile 1, . . . , p : Va IRq continue si nule n a, astfel

ncat:

f(x) = f(a) +

pi=1

(xi ai)(i + i(x)),

pentru orice x Va.

Fie f : A IRp IRq si a

A.Propozitie. Daca f este diferentiabila n a, atunci f este diferentiabila

Gateaux n a si af(v) = daf(v), pentru orice vector v IRp.

Propozitie. Daca f este diferentiabila n a, atunci f este derivabila

partial n a sif(a)

xi= daf(ei).

i din definitie sunt derivatele partiale ale lui f n a, adica i =f(a)

xi.

Functia f = (f1, . . . , f

q) : A IRp IRq este diferentiabila Frechet n

a daca si numai daca toate componentele sale f1, . . . , f q sunt diferentiabileFrechet n a. Diferentiala lui f n a este:

daf(v) = (daf1(v), . . . , dafq(v)), v IRp.

4


5/11

Functii reale de variabila vectorialaFie f : A IRp IR (p > 1) si a = (a1, . . . , ap)

A.Propozitie. Daca f este diferentiabila n a, atunci ea are derivate

partiale n acest punct si diferentiala ei n a este:

daf =

pi=1

f(a)

xidxi,

unde dxi : IRp IR, dxi(v) = dxi(v1, . . . , vp) = vi.

Diferentiala lui f n punctul a, calculata n vectorul v = (v1, . . . , vp) se

scrie:

daf(v) =

pi=1

vif(a)

xi.

Teorema. (Criteriu de diferentiabilitate) Daca f : A IRp IR,p > 1, este continua pe o vecinatate V A a lui a si are derivate partialecontinue n a, atunci f este diferentiabila Frechet n a.

Daca f este de clasa C1A, atunci f este diferentiabila Frechet pe oricemultime deschisa continuta n A.

Diferentiala totalaa unei functii diferentiabile pe o multime deschisa este:

df =

pi=1

f

xidxi.

Operatorul d =pi=1

xidxi se numeste operator de diferentiere.

Cazul functiilor reale de doua variabile reale (p = 2)

Fie f : (x, y) A IR2 f(x, y) IR diferentiabila n (a, b)

A.Avem:

d(a,b)f =f(a, b)

x dx +f(a, b)

y dy.

Diferentiala lui f n (a, b) calculata n v = (v1, v2) este:

d(a,b)f(v1, v2) = v1f(a, b)

x+ v2

f(a, b)

y.

5


6/11

Operatorul de diferentiere este:

d =

xdx +

ydy.

Exemple.1. Fie f : IR2 IR, f(x, y) = 2x3 + 3xy2 + 5x 2y si punctul (1, 2) IR2.Functia f este continua si are derivate partiale continue pe IR2, deci ea este

de clasa C1IR2

. Conform teoremei de mai sus, rezulta ca f este diferentiabila.Diferentiala lui f ntr-un punct curent (x, y) este:

df = fx

dx + fy

dy = (6x2 + 3y2 + 5)dx + (6xy 2)dy

si relativ la punctul (1, 2):

d(1,2)f = 23dx + 10dy.

Diferentiala lui f relativ la punctul (x, y) si de argument v = (3, 4) este:

df(3, 4) = 3f

x+ 4

f

y= 3(6x2 + 3y2 +5)+4(6xy 2) = 18x2 + 9y2 + 24xy + 7

si

d(1,2)f(3, 4) = 3f(1, 2)

x+ 4

f(1, 2)

y= 3 23 + 4 10 = 109.

2. Fie f : IR2 IR, f(x, y) = xy3 ln(1 + x2).Functia f este de clasa C1

IR2si, prin urmare, diferentiabila. Diferentiala

sa este:

df =f

xdx +

f

ydy =

y3 ln(1 + x2) +

2x2y3

1 + x2

dx + 3xy2 ln(1 + x2)dy.

3. Fie f : IR3 IR, f(x,y,z) = 3x2y + xyz + x sin z. Operatorul dediferentiere este:

d =

xdx +

ydy +

zdz.

6


7/11

Diferentiala lui f este:

df =f

xdx +

f

ydy +

f

zdz

= (6xy + yz + sin z)dx + (3x2 + xz)dy + (xy + x cos z)dz.

4. Fie f : IR2 IR3, f(x, y) = (xy,x2 + y, 3x 2y).Notam f = (f1, f2, f3), unde f1, f2, f3 : IR

2 IR, f1(x, y) = xy, f2(x, y) =x2 + y, f3(x, y) = 3x 2y.

Functiile f1, f2, f3 sunt diferentiabile pe IR2, deci functia vectoriala f

este diferentiabila. Diferentiala lui f este:

df = (df1, df2, df3) = (ydx + xdy, 2xdx + dy, 3dx 2dy).

Fie punctul (2, 5) IR2. Diferentiala lui f n (2, 5) este:

d(2,5)f = (d(2,5)f1, d(2,5)f2, d(2,5)f3) = (5dx + 2dy, 10dx + dy, 3dx 2dy).

Operatii cu functii diferentiabile Frechet

Daca f, g : A IRp IRq sunt diferentiabile Frechet n a

A, atuncif + g, f si < f, g > sunt diferentiabile Frechet n a cu

da(f + g) = daf + dag,

da(f) = daf,

da < f, g > (v) =< daf(v), g(a) > + < f(a), dag(v) >, v IRp.

Daca f : A IRp IRq este diferentiabila Frechet n a

A si h :f(A) IRm este diferentiabila Frechet n b = f(a), atunci functia h f estediferentiabila Frechet n a cu

da(h f) = df(a)h daf,

(h f)(a)

xi=

qj=1

fj(a)

xi

h(f(a))

yj,

Jhf(a) = Jh(f(a)) Jf(a).

7


8/11

2. Diferentiabilitate de ordinul doiDiferentiala Gateaux de ordinul doi

Definitie. Aplicatia f : A IRp IRq se zice diferentiabila n sens

Gateaux de ordinul doi n a

A si notam f G2a, daca exista o vecinatateV A a lui a ncat f este diferentiabila n sens Gateaux pe V si derivatelepartiale

f

x1, . . . ,

f

xp: V IRq

sunt diferentiabile Gateaux n a.

In cazul q = 1, functia f : A IRp IR este diferentiabila n sens

Gateaux de ordinul doi n a

A, daca si numai daca f este diferentiabila n

sens Gateaux pe o vecinatate V a lui a si gradientul sau f =

f

x1, . . . ,

f

xp

este diferentiabil n sens Gateaux n a.

In acest caz, functia 2af : IRp IRp IR definita prin

2af(u, v)d=< a(f)(u), v >

se numeste diferentiala Gateaux de ordinul doi a functiei (reale) f G2a n

punctul a

A.Pentru cazul unei aplicatii vectoriale f = (f1, . . . , f q) G

2a, aplicatia

2af : IRp IRp IRq, 2af(u, v)

d= (2af1(u, v), . . . ,

2afq(u, v))

se numeste diferentiala Gateaux de ordinul doi a aplicatiei vectoriale f npunctul a.

Propozitie. Daca f este diferentiabila Gateaux de doua ori n a, atuncif are derivate partiale de ordinul doi n a si

2f(a)

xjxi= 2af(ej, ei)

pentru orice i, j = 1, p.

8


9/11

Diferentiala Frechet de ordinul doiDefinitie. O aplicatie f : A IRp IRq se zice diferentiabila n sens

Frechet (pe scurt diferentiabila) de doua ori n a

A si notam f F2a ,daca exista o vecinatate V A a lui a ncat f este diferentiabila pe V si

derivatele partialef

x1, . . . ,

f

xpsunt diferentiabile n a.

In cazul q = 1, functia f : A IRp IR este diferentiabila de doua ori

n a

A, daca si numai daca f este diferentiabila pe o vecinatate V A a

lui a si gradientul sau f = f

x1, . . . ,

f

xp este diferentiabil n a.In acest caz, functia d2af : IR

p IRp IR definita prin

d2af(u, v) =< da(f)(u), v >

se numeste diferentiala de ordinul doi a functiei (reale) f n punctul a.Pentru cazul unei aplicatii f = (f1, . . . , f q) F

2a aplicatia

d2af : IRp IRp IRq, d2af(u, v)

d= (d2af1(u, v), . . . , d

2afq(u, v))

se numeste diferentiala de ordinul doi a aplicatiei vectoriale f n a.

Propozitie. Daca f este diferentiabila de doua ori n a, atunci ea estediferentiabila Gateaux de doua ori n a si 2af(u, v) = d

2af(u, v).

Propozitie. Daca f este diferentiabila de doua ori n a, atunci f are

derivate partiale de ordinul doi n a si2f(a)

xjxi= d2af(ej, ei).

Teorema. (Criteriul de diferentiabilitate de ordinul doi) Daca

f D2a si pentru orice i, j = 1, p aplicatiile2f

xjxisunt continue n a A

(adica f este de clasa C2 n a), atunci f este diferentiabila de doua ori n a.

Diferentiala de ordinul doi a functiei f n a este data de formula:

d2af =

pi,j=1

2f(a)

xixjdxidxj .

9


10/11

Intr-un argument (u, v) IR

p

IRp

ea se scrie:

d2af(u, v) =

pi,j=1

uivj2f(a)

xixj.

Ei i se asociaza matricea simetrica (derivatele partiale de ordinul doi mixtesunt egale)

Hf(a)d=

2f1(a)

x21

2f1(a)

x2x1. . .

2f1(a)

xpx1

2f2(a)x1x2

2f2(a)x22

. . . 2f2(a)

xpx2

. . . . . . . . . . . .

2fq(a)

x1xp

2fq(a)

x2xp. . .

2fq(a)

x2p

numita hessiana functiei f n punctul a.

Observatie. d2af este biliniara si simetrica (d2af(u, v) = d

2af(v, u), pentru

orice u, v IRp).Exemple.1. Fie f : IR2 IR, f(x, y) = 2x3 + 3xy2 + 5x 2y si punctul (3, 1) IR2.Functia f este de clasa C2 pe IR2, deci este diferentiabila de doua ori.

Derivatele partiale de ordinul ntai si doi sunt:

f

x= 6x2 + 3y2 + 5,

f

y= 6xy 2,

2f

x

2= 12x,

2f

yx

=2f

xy

= 6y,2f

y

2= 6x.

Atunci

d2f =

xdx +

ydy

2f =

2f

x2dx2 + 2

2f

yxdxdy +

2f

y2dy2

= 12xdx2 + 12ydxdy + 6xdy2

10


11/11

si relativ la punctul (1, 2):d2(3,1)f = 36dx

2 12dxdy + 18dy2.

Hessiana functiei f este:

Hf =

2f

x22f

yx

2f

xy

2f

y2

=

12x 6y

6y 6x

.

2. Fie f : IR3 IR2, f(x,y,z) = (xy3 + ez, sin x2 yz).

Notam f = (f1, f2). Componentele lui f sunt diferentiabile de doua ori,deci functia vectoriala f este diferentiabila de doua ori.Derivatele partiale de ordinul ntai si doi ale functiilor f1(x,y,z) = xy

3 + ez,respectiv f2(x,y,z) = sin x

2 yz sunt:

f1x

= y3,f1y

= 3xy2,f1z

= ez,

2f1x2

= 0,2f1y2

= 6xy,2f1z2

= ez,

2f1

xy = 3y2

,

2f1

yz = 0,

2f1

zx = 0,

f2x

= 2x cos x2,f2y

= z,f2z

= y,

2f2x2

= 2 cos x2 4x2 sin x2,2f2y2

= 0,2f2z2

= 0,

2f2xy

= 0,2f2yz

= 1,2f2zx

= 0.

Diferentiala de ordinul ntai a lui f este:

df = (df1, df2) = (y

3

dx + 3xy

2

dy + e

z

dz, 2x cos x

2

dx zdy ydz)iar diferentiala sa de ordinul doi este:

d2f = (d2f1, d2f2)

= (6xydy2 + ezdz2 + 6y2dxdy, (2cos x2 4x2 sin x2)dx2 2dydz).

11

curs 5-analiza a

Documents