curs analiza complexa

8/7/2019 Curs analiza complexa

1/59

Curs de analiza complexa

Gabriela Apreutesei

Iasi, 2010

1


2/59

Capitolul IStructura algebrica si topologica a multimii numerelor complexe

I.1. Multimea numerelor reale

Pe tot parcursul acestui curs vom considera binecunoscute informatiile es-entiale referitoare la multimea numerelor reale R, la structura sa algebrica sicea topologica:

Reamintim ca multimea numerelor reale R, mpreuna cu adunarea si n-multirea uzuale, formeaza un corp comutativ.

Pe acest corp se considera relatia de ordine uzuala " "; deci o relatie careeste:

i) reexiva: x x; pentru orice x 2 R;ii) antisimetrica: daca x y si y x atunci x = y;iii) tranzitiva: daca x

y si y

x atunci x

z:

Aceasta relatie este compatibila cu operatiile algebrice de pe R : daca a;b 2 R astfe nct a b; atunci a + c b + c si a d b d, pentru orice c; d 2 R;d 0:

Relatia este de totala ordine, adica oricare ar doua numere reale a si bavem e a b, e b a:

S-a obtinut astfel un corp comutativ total ordonat. n plus, R verica axiomacompletitudinii (sau axioma Cantor-Dedekind): orice multime nevida a lui Rcare este majorata admite cel putin o margine superioara.

Pentru ecare element a 2 R sistemul vecinatatilor V(a) este format dintoate multimile V R care contin intervale deschise centrate n a; adica multim-ile V pentru care exista " > 0 cu (a "; a + ") V:

Denirea sitemului vecinatatilor pentru ecare punct a permis introducerea

urmatoarelor notiuni: sir convergent de numere reale, limita si continuitate aunei functii reale ntr-un punct, functii reale derivabile si integrabile Riemann.Toate aceste denitii vor utilizate n continuare si le vom considera cunoscute.

I.2. Forma algebrica a numerelor complexe

Denitia I.1:Prin multimea numerelor complexe vom ntelege multimeaC = f(a; b) ; a; b 2 Rg; dotata cu doua operatii:adunarea : " + " : C C! C; (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d);nmultirea : " " : C C! C; (a; b) (c; d) = (ac bd;ad + bc):Teorema I.1: Tripletul (C; +; ) formeaza un corp comutativ.Observatia I.1: Remarcam ca R poate identicat cu un subcorp al lui C

prin aplicatia : R ! C;

(x) = (x; 0):

2


3/59

Astfel se poate considera x = (x; 0) pentru orice x 2 R: Deci 0C = 0R:Vom nota n continuare (0; 1) = i; are loc relatia i2 = (

1; 0), adica i2 =

1:

Astfel putem ajunge la urmatoarea scriere a numerelor complexe:

oricare ar (a; b) 2 C avem (a; b) = (a; 0) + (b; 0) (0; 1) = a + bi:

Denitia I.2: Aceasta scriere ( (a; b) = a+ ib) se numeste scrierea algebricauzuala a numerelor complexe.

Atunci cnd am xat un sistem de coordonate ortogonal n plan , orice numar

complex z = a + ib se poate reprezenta n mod unic ca un punct avnd abscisaa si ordonata

b; numerele reale a si b sunt partea reala (Re z), respectiv partea imagi-nara (Im z) a lui z. Reciproc, oricarui punct din plan i corespunde un numar

complex, numit axul punctului respectiv (gura I.1).

Figura I.1

Acest plan, n care reprezentam numerele comlpexe z; l vom numi plancomplex, iar axele orizontala si verticala vor denumite axa reala, respectiv axaimaginara a planului complex si le vom nota cu Ox, respectiv Oiy:

Denitia I.3: Prin functia modul se ntelege aplicatia j j : C ! R;

jz

j=

ja + ib

jdef=

pa2 + b2:

Pentru un element dat z; numarul jzj are semnicatie geometrica si anumeel reprezinta lungimea segmentului determinat de origine si punctul din plan deax z = a + ib:

Din denitia de mai sus rezulta imediat urmatoarele trei proprietati:

3


4/59

Proprietati:1)

jz

j= 0R

,z = 0C;

2) jz1 z2j = jz1j jz2j ;3) jz1 + z2j jz1j + jz2j :Denitia I.4: Prin operatia de conjugare se ntelege functia : C! C;z = a + ib

def= a ib:

n reprezentarea din plan a unui numar complex z, conjugatul sau z estesimetricul lui z fata de axa reala.

Se arata usor ca au loc egalitatile:1) z1 + z2 = z1 + z2; 8z1; z2 2 C;2) z1 z2 = z1 z; 8z1; z2 2 C;3) z = z; 8z 2 C;4)

jzj2

= z

z;8

z2C;

5) z1 = (z)1 ; 8z 6= 0;6) z = z , Im z = 0:

I.3. Scrierea trigonometrica a numerelor complexe

Daca z = a+ib este un numar complex nenul, atunci este bine denit unghiul 2 (; ] format de directia pozitiva a axei Ox cu raza vectoare a punctuluidin plan asociat lui z.

Legatura dintre si z este data de relatiile trigonometrice n triunghiul binedeterminat de punctele O, z, a:

cos =a

jzj; sin =

b

jzj: (1)

Observatia I.2: Unghiul care verica relatiile (1) exista si este unic.

Orice numar complex z 6= 0 se poate scrie sub forma z = jzj

ajzj + i

bjzj

sau

z = jzj (cos + i sin ) : Din cele de mai sus se vede ca exista o corespondentabijectiva ntre numerele complexe nenule z si solutiile ale de sistemului (1).

4


5/59

Figura I.2

Denitia I.4: 1. Scrierea z = jzj (cos + i sin ) a unui numar complexz 6= 0 este numita forma trigonometrica a numarului z (gura I.2):

2. Se poate deni functia bijectiva

arg : Cnf0g ! (; ] , arg z = ;

numita argumentul redus al lui z:3. Daca pentru sistemul (1) nu cerem ca solutiile sa se gaseasca n inter-

valul (; ]; atunci multimea solutiilor o vom nota cu Arg z si este numitaargumentul neredus al lui z.Deci Arg z = farg z + 2k; k 2 Zg; iar daca 2 Arg z; atunciarg z = (mod 2) 2 (; ]:n plus, daca z = a + ib si a 6= 0; atunci arctg ba 2 Arg z:Scrierea trigonometrica a numarului complex z 6= 0 devine:

z = jzj (cos arg z + i sin arg z):

Exemplul I.1: Sa se calculeze modulul, conjugatul si argumentul numaruluicomplex z = 1 + i:

Evident jzj = p2; z = 1 i; cum z = p2p22

+p22

; elementul 2 (; ]pentru care cos = p22 si sin = p22 este = 4 ; deci arg z = 4 :

Observati I.3: Cercetnd scrierea numerelor complexe att n forma loralgebrica, ct si cea geometrica, nu se observa pe multimea C nici o relatie detotala ordine adecvata (compatibila cu operatiile de pe C). Aceasta face sanu putem vorbi pe C de numere pozitive sau negative deoarece aceste notiuni

5


6/59

presupun compararea cu 0: Vom considera ca singura relatie de ordine pe C;ordinea uzuala ntre numerele reale.

I.4. Interpretarea geometrica a operatiilor uzuale pe C

Utiliznd scrierea algebrica a numerelor complexe remarcam ca orice numarcomplex z = a + ib poate identicat cu un vector din plan avnd originea nO si vrful n punctul M din plan de ax z: Daca vom nota versorii de pe axelereala si imaginara cu bx; respectiv by; putem scrie ca z !OM = abx + bby:

Fie acum punctele M1 si M2 de axe respectiv z1 = a1 + ib1 si z2 = a2 + ib2:Atunci

!OM1 +

!OM2 = (a1bx + b1by) + (a2bx + b2by) = (a1 + a2)bx + (b1 + b2)by =

z1+z2; deci adunarea numerelor complexe poate privita ca adunarea vectorilorcorespondenti din plan dupa regula binecunoscuta a paralelogramului (guraI.3).

Figura I.3

Daca acum vom utiliza scrierea trigonometrica a doua numere complexez1 = r1 (cos 1 + i sin 1) si z2 = r2 (cos 2 + i sin 2) ; atunci, conform denitieinmultirii numerelor complexe, avem z1z2 = r1r2[(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2) +i (cos 1 sin 2 + sin 1 cos 2)]; adica z1z2 = r1r2[cos (1 + 2) + sin (1 + 2)]:

Aceasta formula ne indica semnicatia vectoriala a produsului a doua nu-mere complexe: z1z2 este un vector cu vrful n origine, de lungime egala cu

produsul lungimilor vectorilor z1 si z2; iar directia este data de semidreaptacare face axa Ox unghiul suma orientat 1 + 2 (gura I.4). Reamintim nnal formula lui Moivre: daca z = r (cos + i sin ) si n 2 Nf0g atuncizn = rn (cos n + i sin n) ; care poate dedusa din formula de nmultire adoua numere complexe puse sub forma trigonometrica:

6


7/59

Figura I.4

I.5. Ecuatii uzuale n planul complex

Vom rescrie n continuare n limbaj complex binecunoscutele ecuatii eledreptei si ale cercului.

Ecuatia dreptei prin doua puncte date:Consideram M1 si M2 doua puncte distincte din plan, de axe z1 si z2: Sa

exprimam n functie de z1 si z2 axul z al unui punct M de pe dreapta M1M2:Deci daca M 2 M1M2 atunci zz1z2z1 = t 2 R si reciproc.Deci ecuatia canonica a dreptei M1M2 exprimata n temeni de numere com-

plexe estez z1

z2 z1 = t 2 R:

De aici se gaseste usor si ecuatia parametrica a dreptei M1M2 :

z = (1 t)z1 + tz2; t 2 R:Se obtin de asemenea ecuatiile canonice si parametrice ale semidreptei jM1M2 :

M 2 jM1M2 , z z1z2 z1 = t 2 R

+ , z = (1 t)z1 + tz2; t 2 R+;

7


8/59

respectiv ale segmentului jM1M2j :

M 2 jM1M2j , z z1z2 z1 = t 2 [0; 1] , z = (1 t)z1 + tz2; t 2 [0; 1]:

Figura I.5

Distanta dintre doua puncte date:Daca M1 si M2 sunt doua puncte distincte din plan, de axe z1 si z2; sa

exprimam distanta d dintre ele. Pentru aceasta e z1 = x1 + iy1 si z2 = x2 + iy2scrierea lor algebrica. Atunci

d = p(x2 x1)2 + (y2 y1)2 = jz2 z1j :Ecuatia cercului de centru si raza date:Sa presupunem ca avem un punct M0 de ax z0 n planul complex si vrem sa

exprimam ecuatia cercului de centru M1 si raza data r > 0 : daca z este axulpunctului M si z = x + iy; z0 = x0 + iy0; atunci M descrie cercul daca si numaidaca distanta de la M si M0 este r (gura I.6), adica

jz z0j = r:

8


9/59

Figura I.6

I.6. Topologizarea multimii numerelor complexe

Denitia I.6: Prin vecinatate a unui punct z0 2 C ntelegem orice multimeV

C cu proprietatea ca exista D(z0; ") astfel nct: D(z0; ")

V; unde prin

D(z0; ") s-a notat discul deschis de centru z0 si raza " > 0; adica D(z0; ") =fz 2 C j jz z0j < "g (gura I.7):Familia vecinatatilor unui punct arbitrar z0 2 C este V(z0) = fV C; 9 D(z0; ") astfel

nct D(z0; ") Vg:Observam de asemenea ca familia U(z0) = fD(z0; ") j " > 0g formeaza un

sistem fundamental de vecinatati pentru punctul z0:

9


10/59

Figura I.7

Reamintim acum urmatoarele denitii, adaptate multimii C:Denitia I.7:1. O multime D

C se numeste deschisa daca e D =

;,e D

6=

;si

8 z0 2 D 9 D(z0; ") D:2. O multime F C se numeste nchisa daca CnF este deschisa.3. O multime K C se numeste compacta daca este nchisa si marginita:

9 M > 0 astfel nct jzj M; 8 z 2 K:4. O multime D C se numeste conexa daca oricare ar A D; A 6= ;; A

simultan deschisa si nchisa, rezulta ca A = D:5. Un punct z0 2 C se numeste punct de acumularepentru o multime D C

daca orice vecinatate a lui z0 intersecteaza multimea D n macar un punct diferitde

z0 : 8V 2 V(z0); (V8 fz0g) \ D 6= ? :

6. Un punct z0 este punct interior multimii D daca exista un disc D(z0; ") D; unde " > 0:

Sa vedem n cele ce urmeaza la ce revine n aceasta topologie convergenta,respectiv conditia Cauchy pentru un sir de numere complexe.

Denitia I.8: Un sir (zn)n2N (C; j j) se numeste convergent daca existaz0 2 C cu proprietatea ca 8V 2 V(z0) 9nV 2 N astfel nct 8n nV; xn 2 V:

Vom nota zn ! z0:

10


11/59

Teorema I.2: 1. Un sir (zn)n2N C este convergent la z0 2 C daca:

8" > 0

9n"

2N astfel nct

8n

n";

jzn

z0

j< "

2. Un sir (zn)n2N C; zn = xn + iyn; 8 n 2 N; este convergent la z0 =x0 + iy0 daca si numai daca xn ! x0 si yn ! y0 nR:

Observatia I.4: De fapt convergenta unui sir de numere complexe revine laconvergenta a doua siruri de numere reale; acestea pot si sirurile modulelor,respectiv a argumentelor, atunci cnd sirul este nenul.

Denitia I.9: Un sir (zn)n2N C se numeste sir Cauchy daca:8" > 09n" 2 N astfel nct 8n n"; 8p 2 N avem jzn+p znj < ":Teorema I.3: Un sir (zn)n2N C; zn = xn + iyn este sir Cauchy daca si

numai daca sirurile reale (xn)n2N; (yn)n2N sunt siruri Cauchy.

Teorema I.5: Pe spatiul (C; j j) orice sir Cauchy este convergent..Denitia I.11:1. Se numeste serie de numere complexeun culpu de siruri (zn)n2N ; (Sn)n2N,

unde zn 2 C si Sn = z0 + z1 + ::: + zn pentru orice n 2 N: zn se numeste temenulgeneral al seriei, iar Sn se numeste sirul sumelor pertiale. Vom nota seria cu1Xn=0

zn:

2. O serie de numere comlpexe1X

n=1

zn se numeste convergenta daca sirul

sumelor sale partiale Sn = z1 + z2 + ::: + zn este convergent n C: n mod

echivalent (n virtutea faptului ca C este un spatiu Banach) avem

Teorema I.6: Seria1

Xn=1 zn este convergenta daca si numai daca este n-deplinita conditia de tip Cauchy:8" > 09n" 2 N astfel nct8k 2 N si8n n" avem jzn+1 + zn+2 + :::zn+kj 0 astfel nct V C8D(0; ") (gura I.8):

Figura I.8

n cele ce urmeaza vom exprima faptul ca un sir de numere complexe arelimita 1:

Denitia I.13: Un sir (zn)n2N C are limita 1 (sau diverge la 1) daca:

8V

2 V(

1)

9nV

2N astfel nct

8n

nV; xn

2V:

Vom nota zn ! 1.Teorema I.8: Un sir (zn)n2N C are limita 1 daca si numai dacajznj R! +1 sau, echivalent,

zn 6= 0; 8n 2 N( sau ncepnd cu un rang n0) si 1zn

! 0:

12


13/59

Asa cum pentru multimea numerelor complexe am gasit o imagine geome-trica, anume planul complex, am dori sa punem n evidenta un model geometric

si pentru multimea C1: Vom arata ca pentru aceasta poate aleasa o sferadin R3: Pentru usurinta calculelor vom considera sfera cu centrul n origine side raza 1; adica sfera unitate, pe care o vom nota cu S3 (0; 1) (aceasta alegerensa nu este esentiala, demonstratia putndu-se adapta si pentru alte sfere dinR3). Vom descrie aceasta corespondenta bijectiva dintre C1 si S3 (0; 1) mainti printr-o constructie geometrica: e sistemul de coordonate n R3 dat deoriginea O si axele de cooronate x1; x2; x3: Notam cu N punctul de coordonate(0; 0; 1) ; pe care l vom numi polul nord al sferei. Vom identica planul x1Ox2cu planul complex, deci orice punct de coordonate (x1; x2; 0) poate identicatcu punctul de ax z = x1+ix2: Fie acum M(x1; x2; x3) un punct oarecare de peS3 (0; 1) ; diferit de N: Dreapta MN intersecteaza planul x1Ox2 ntr-un punctP de ax z (gura I.9): Consideram aplicatia denita geometric astfel:

: S3 (0; 1) ! C1; (M) = P; daca M 6= N;1; daca M = N:Vom numi aceasta aplicatie proiectia stereograca.

Figura I.9

Teorema I.7: Aplicatia proiectie stereograca este un bijectie ntre sferaunitate S3 (0; 1) si planul complex extins C1.

Vom reveni asupra multimii C1 n capitolul urmator.

13


14/59

Capitolul al II-leaFunctii complexe de o variabila complexa

II.1. Limita si continuitate pentru functii complexe

O functie complexa este o functie f : D C ! C; deci pentru orice z 2 Davem f(z) 2 C; astfel f(z) = u(z) + iv(z); unde u; v : D ! R: Prin identi-carea lui C cu R2 (adica facnd identicarea x + iy (x; y)), putem consideramultimea D ca ind o submultime a lui R2 :

Deci f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y); cu u; v : D R2 ! R: Rezultatele debaza referitoare la functiile reale de doua variabile reale se considera stiute.

Vom adapta n continuare unele denitii cunoscute din cazul real n contextulfunctiilor complexe.

Denitia II.1: Fie f : D C ! C si z0 punct de acumulare pentrumultimea D: Spunem ca functia f are limita l n punctul z0 daca pentru orice

sir (zn)n2N D; zn 6= z0 cu zn ! z0 avem f(zn) ! l: Scriem limz!zo f(z) = l:

Dam unele reguli de calcul, similare cu cele din R:Proprietati (operatii cu limite):I. Fie f; g : D C ! C; z0 punct de acumulare pentru D:

Daca exista limz!z0

f(z) = l1; limz!z0

g(z) = l2 cu l1; l2 2 C atunci:1) Exista lim

z!z0(f + g)(z) = l1 + l2; oricare ar scalarii ,2 C;

2) Exista limz!z0

(f g)(z) = l1 l2;3) Dacag(z) 6= 0 pe o vecinatate a lui z0 si l2 6= 0;atunci exista lim

z!z0

fg

(z) =

l1l2

:II. Daca f : D C ! E C; g : E ! C; z0 este punct de acumulare

pentruD

si exista

limz!z0 f(z) = l;iar

leste punct de acumulare pentru multimea

f(D); cu f(z) 6= l pe o vecinatate a lui z0 si exista limw!l

g(w) = l1; atunci functia

g f : D ! C are limita n z0 si limz!z0

(g f)(z) = l1:Limitele din proprietatea de mai sus sunt nite; facem conventia a +1 = 1

pentru orice a 2 C; iar cazul 1+1 este nedeterminat. Deasemenea 11 = 1;a 1 = 1 daca a 6= 0; iar 0 1 este caz de nedeterminare. Convenim ca a0 = 1daca a 6= 0 si 1a = 1 pentru a 6= 1. Cazul 00 este nedeterminat.

Denitia II.2: Fie f : D C; z0 2 D: f se numeste continua n z0 dacapentru orice sir (zn)n D; zn ! z0 avem f(zn) ! f(z0):

Observatia II.1: Daca z0 este punct de acumulare pentru D, atunci f estecontinua in z0 daca si numai daca exista lim

z!z0f(z) = f(z0):

Daca z0 este punct izolat pentru D, atunci f este n mod sigur continua nz0:

Proprietati (operatii cu functii continue):1. Daca f; g : D ! C; z0 2 D si f; g sunt continue n z0; atunci f + g si

f g sunt continue n z0:

14


15/59

Daca n plus g( z0) 6= 0; atunci este bine denita functia fg pe o vecinatatea lui z0 si este continua n z0:

2. Daca f : D C ! E C; g : E ! C; z0 2 D; f continua n z0 si gcontinua n w0 = f( z0); atunci g f : D ! C este continua n z0:

n mod specic are loc urmatoarea teorema:Teorema II.1 (caracterizarea limitei si continuitatii n C):Fie f : D C ! C; f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y):1) Dacaz0 = x0+iy0 este punct de acumulare pentruD; atunci exista lim

z!z0f(z) =

l1 + il2 daca si numai daca existalim

(x;y)!(x0;y0)u(x; y) = l1 si lim

(x;y)!(x0;y0)v(x; y) = l2:

2) Daca z0 2 D; f este continua n z0 daca si numai daca u; v sunt continuen (x0; y0):.

Teorema II:2: Proiectia streograca denita n paragraful I.7 este un home-omorsm ntre sfera lui Riemann S3 (0; 1) si planul complex extins C1:

Observatia II.2: Daca doua multimi D si E sunt homeomorfe (adica dacaexista ntre ele un homeomorsm ) atunci structura topologica de pe una dintremultimi se trasporta prin n structura topologica a celeilalte. Astfel multimiledeschise, nchise, compacte, conexe ale lui D sunt duse prin n multimi deacelasi tip ale lui E:

II.2. Derivabilitatea si diferentiabilitatea functiilor complexe

Vom considera n cele ce urmeaza multimea deschisa si conexa D

C . Daca

D nu este conexa, se realizeaza studiul pe ecare componenta conexa a lui D:Denitia II.3: Fie f : D C! C; z0 2 D:1) Prin derivata functiei f n punctul z0 ntelegem numarul (unic) din

C [ f1g; notat cu f0(z0); unde f0(z0) = limz!z0

f(z)f(z0)zz0 ; atunci cnd aceasta

limita exista.2) Functia f se numeste derivabila n z0 daca f0(z0) 2 C:3) Spunem ca f este olomorfa pe D daca f este derivabila n orice punct al

lui D:4) f se numeste diferentiabila n z0 daca exista 2 C si ! : D ! C;cu lim

z!z0!(z) = !(z0) = 0; astfel nct

f(z) = f(z0) + (z

z0) + !(z)(z

z0);

8z

2D:

Observatia II.3: Ideea de baza n denitia functiilor diferentiabile este dea aproxima, atunci cnd este posibil, functiile complexe prin functii mai simplesi anume prin functii ane. Cu notatiile de mai sus, o asemenea functie anaeste df(z; z0) = f(z0) + (z z0):

15


16/59

Teorema II.3: Fie f : D C ! C; z0 2 D: Functia f este derivabila nz0 daca si numai daca f este diferentiabila n z0:

n plus, constanta din denitia diferentiabilitatii esteA = f0(z0):

Legatura dintre derivabilitate si continuitate este similara cu cea din R:Teorema II.4: Fie f : D C ! C derivabila n z0 2 D: Atunci f este

continua n z0:

Proprietatea II.1 (operatii cu functii derivabile):I. Fie f; g : D C ! C; z0 2 D; f; g derivabile n z0: Atunci:1) f + g este derivabila n z0 cu (f + g)0(z0) = f0(z0) + g0(z0);2) f g este derivabila n z0 si (f g)0(z0) = f0(z0) g(z0) + f(z0) g0(z0);3) Daca n plus g(z0) 6= 0; atunci fg este derivabila n z0 unde

f

g0

(z0) =f0(z0) g(z0) f(z0) g0(z0)

g2(z0):

II. Fie f : D ! E; g : E ! C; D; E C multimi deschise, z0 2 D siw0 = f(z0): Daca f este derivabila n z0 si g este derivabila n w0; atunci g feste derivabila n z0 cu (g f)0(z0) = g0(f(z0)) f0(z0):

III. Fie D; E multimi deschise din C; f : D ! E bijectie, z0 2 D si inversaf1 : E! D continua astfel nct f0 (z0) 6= 0:

Daca f este derivabila n z0; atunci f1 este derivabila n w0 = f(z0) siare loc:

(f1)0(w0) =1

f0(z0)=

1

f0 (f1 (w0)):

Reamintim ca o functie : D R2 ! R este diferentiabila ntr-un punct(x0; y0) 2 D daca exista 1 si 2 2 R si exista !k : D ! R; k = 1; 2; cu

lim(x;y)!(x0;y0) !k(x; y) = !k(x0; y0) = 0 astfel nct:

(x; y) = (x0; y0) + 1(x x0) + 2(y y0) ++!1(x; y)(x x0) + !2(x; y)(y y0); 8 (x; y) 2 D:

Constantele reale 1 si 2 sunt de fapt derivatele partiale ale functiei nraport cu x; respectiv y : 1 =

@@x

(x0; y0); 2 =@@y

(x0; y0):Urmarim sa stabilim n continuare o caracterizare a derivabilitatii unei functii

complexe prin intermediul partii ei reale si a partii imaginare. Rezultatul diferaesential de cel gasit n cazul continuitatii:

Teorema II.5 (teorema lui Riemann de caracterizare a derivabil-itatii):

Fie f : D C ! C ,f = u + iv;o functie complexa si z0 2 D: Functiaf este derivabila n z0 daca si numai daca functiile u; v : D R2 ! C suntdiferentiabile n (x0; y0) si n plus au loc conditiile Cauchy-Riemann:(

@u@x

(x0; y0) =@v@y

(x0; y0)@u@y

(x0; y0) = @v@x (x0; y0):

16


17/59

n acest caz f0(z0) = @u@x (x0; y0) i @u@y (x0; y0) .

Teorema II.6: Fie D un domeniu (multime deschisa si conexa) si f : D !C olomorfa astfel nct Re f sau Im f este constanta. Atunci rezulta ca f esteconstanta.

Observatia II.4: La baza demonstratiei de mai sus au stat conditiile @v@x

= 0

si @v@y

= 0, deci enuntul se poate reformula n felul urmator:

Corolar II.1: Daca pe o multime deschisa conexa D au loc relatiile @v@x = 0si @v

@y= 0 (sau, echivalent, @u

@x= 0 si @u

@y= 0) atunci f este constanta. n

particular, daca f0 = 0 pe D atunci f este constanta.Corolar II.2: Fie D o multime deschisa si conexa si f : D ! C olomorfa

astfel nct una din urmatoarele functii este constanta: jfj sau arg f (n cazuln care f(z) 6= 0; pentru orice z 2 D). Atunci f este constanta.

II.3 Functii armonice

Vom stabili n continuare legatura care exista ntre functiile armonice u :D R2 ! R si functiile olomorfe f : D C! C:

Denitia II.4: O functie u : D R2 ! R de clasa C2(D) se numestefunctie armonica daca verica ecuatia lui Laplace: u = 0; unde

u =@2u

@2x+

@2u

@2y:

Expresia u se numeste laplace-ianul functiei u; iar conditia u = 0 se

numeste conditia de armonicitate pentru functia u:

Teorema II.7: Fie D C un domeniu (multime deschisa si conexa) sif : D ! C olomorfa, f = u + iv: Daca u; v 2 C2(D) atunci u si v sunt functiiarmonice.

Vom folosi acest rezultat n diverse aplicatii.Reciproca Teoremei II.7 nu are loc, asa cum se poate vedea n Problema

II.13. Totusi, impunnd conditii mai tari pentru domeniul D; proprietatea areloc. Vom avea nevoie, pentru demonstratie, de urmatoarea denitie:

Denitia II.5: O multime D C este convexa daca pentru orice douapuncte z1; z2 2 D segmentul cu capetele n z1 si z2 este continut n ntregime nD (adica z = tz2 + (1 t)z1 2 D;oricare ar t 2 [0; 1]):

Teorema II.8: Consideram D o multime convexa din plan si u : D ! Rarmonica. Atunci exista o functie f : D ! C olomorfa cu f = u + iv:

Observatia II.5: 1. O asemenea functie armonica v se numeste conjugataarmonicaa lui u: n general aceasta nu este unica; stiind v; urmeaza ca si functiav + c (unde c este o constanta reala) este o conjugata armonica a lui u.

2. Teorema II.8 are loc pe multimi mai generale (multimi simplu conexe, pecare le vom deni n capitolul al III-lea). Deoarece n demonstratia teoremei din

17


18/59

acest caz este nevoie sa denim integrala complexa lasam acest rezultat pentrucapitolul IV, ca exercitiu (Problema IV. 16).

3. Demostratia facuta n cazul multimilor convexe (teorema II.8 de mai sus)familiarizeaza cititorul cu metoda care ne permite gasirea unei functii olomorfecunoscndu-i partea reala (a se vedea problemele II.6 - II.9). In esenta ea serefera la a integra partial conditiile Cauchy-Riemann.

II.5. Functii elementare

1. Functia exp onentiala

Denitia II.6: Prin functia complexa exponentiala se ntelege functia exp :C ! C; exp(x + iy) = ex(cos y + i sin y):

Aceasta functie se noteaza de asemenea si prin ez; unde z = x + iy:

Motivatie: n R , sirul xn = 1 +xn

neste convergent cu limita ex ;sirul

complex zn = 1 + znn este de asemenea covergent, iar limita sa este ex(cos y +i sin y) (a se vedea si Problema I.11):

Proprietatea II.2:1. exp jR coicide cu functia exponentiala reala;2. exp este periodica de perioada principala 2i;3. exp(2i) = 1, exp(i) = 1;4. exp(z1 + z2) = exp z1 exp z2;5. exp este functie olomorfa peC cu exp

0

= exp :

2.Functia logaritm

Urmarim, n cele ce urmeaza,sa introducem o functie similara logaritmuluinatural din R:

Functia exponentiala n complex, ind periodica, nu este injectiva, deci nuadmite inversa. Dar daca vom restrnge functia la o banda paralela cu axaimaginara, de latime 2 (perioada principala a functiei este 2i), vom obtine ofunctie injectiva, deci inversabila. De exemplu, sa consideram

D0 = fz 2 C j < Im z < g

siDk = D0 + 2ki = fz + 2ki; z 2 D0g ; k 2 Z:

Vom nota n continuare Cn(1; 0] = Cn fz 2 C; Re z 0g :

18


19/59

Figura II.1

Denitia II.7: Numim determinarea principala a functiei logaritmfunctia f0 :Cn(1; 0] ! D0; f0(z) not= ln z = ln jzj + i arg z:

Mai general, prin determinare a functiei logaritm vom ntelege orice functiefk : Cn(1; 0] ! Dk; fk(z) not= ln z = ln jzj + i arg z + 2ki; k 2 Z:

Proprietatea II.3:1. Restrictia functieif0 la semiaxa reala pozitiva f0 : (0; +1) ! D0 coincide

cu logaritmul natural real .2. Are loc egalitatea efk(z) = z ( adica exp fk = 1Cn(1;0]):3. Totusi fk(ez) = z +2mi; k;m 2 Z; n particular pentru k = 0 si z 2 D0

are loc f0

exp = 1D0 :

4. Pentru orice k 2 Z; functiile fk sunt olomorfe cu f0k(z) = 1z :Observatia II.6: Proprietatea II.3 ne spune ca functia logaritm complex

nu verica toate proprietatile cunoscute ale logaritmului real ( de exempluln exp = 1R asa cum se poate vedea n Problema II.12). Semnalam, de aseme-nea, ca n general, n complex,

ln z1z2 6= ln z1 + ln z2n ln z 6= ln zn; n 2 N: :

Fie z1 = p32 + i

12 si z2 = 12 + i

p32 : Scriem numerele z1 si z2 sub forma

trigonometrica si gasim

z1 = cos7

6+ i sin

7

6; z2 = cos

4

3+ i sin

4

3; :

decijz1

j=

jz2

j= 1, arg z1 = 7

6

si arg z2 = 43

; de unde

ln z1 + ln z2 = ln1 + i7

6+ ln 1 + i

4

3= i

5

2: (1)

Produsul lor este

z1z2 = cos15

6+ i sin

15

6= cos(2 +

2) + i sin(2 +

2) = cos

2+ i sin

2

19


20/59

si astfelln z1z2 = ln1 + i

2: (2)

Confruntnd (1) cu (2) gasim rezultate diferite. n general, daca arg z1 +arg z2 2 (; ] egalitatea are loc, n caz contrar, nu.

3. Functia putere

Denitia II.8: Pentru ecare a 2 C se poate deni functia f : Cn(1; 0] !C; f(z) = ea ln z

not= za; numita functia putere, unde prin ln s-a notat o deter-

minare oarecare a logaritmului complex.

Proprietatea II.4:1. Restrictia la R a functiei putere complexe n cazul a 2 R coincide cu

functia putere reala.2. Daca a = n 2 N; avem o singura determinare a functiei putere, iarn cazul a = m

n(unde m si n sunt numere naturale prime ntre ele) avem n

determinari ale sale.3. Functia putere complexa este olomorfa cu derivata (za)0 = a za1; 8 z 2

Cn(1; 0] (a xat nC):Observatia II.7: Datorita proprietatilor speciale ale functiei logaritm com-

plex va rezulta ca unele dintre relatiile vericate de functia putere din R nu auloc si n C; de exemplu (za)b 6= zab si (za)b 6= (zb)a (n general). Lasam aceastaca un exercitiu pentru cititor.

4. Functiile trigonometrice

Denitia II.9: Vom deni functiile sinus si cosinus n complex prin for-mulele:

sin : C! C; sin z = eiz eiz

2i;

cos : C! C; cos z = eiz + eiz

2:

Proprietatea II.5:1. Restrictiile functiilor sin jR si cos jR sunt tocmai functiile cunoscute din

R:2. sin sicos sunt olomorfe peC cu sin0 = cos; cos0 = sin :3. Au loc formulele cunoscute nR pentru sin si cos; de exemplu:

sin2 z + cos2 z = 1;

sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + sin z2 cos z1;

cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2;

20


21/59

Observatia II.8: Fara a necesita o denire speciala, dar cu un rol importantn teoria functiilor de o variabila complexa, sunt functiile:

-polinomiala: P : C ! C; P(z) = a0zn + a1zn1 + ::: + an1z + a0; cua0;:::;an 2 C si

-rationala: R : Cn fz1;:::;zkg ! C; R(z) = P(z)Q(z) ; unde P; Q sunt functiipolinomiale, iar z1;:::;zk sunt radacinile lui Q : Q(z1) = ::: = Q(zk) = 0 siQ(z) 6= 0 pentru z 6= z1;:::;zk:

21


22/59

Capitolul al III-leaIntegrale curbilinii n Rn

III.1. Drumuri si curbe n Rn

Pentru a deni integralele curbilinii de speta nti si de speta a doua, vomintroduce mai nti notiunile de drum si curba.

Denitia III.1: Numim drum parametrizat n Rn o functie : [a; b] !Rn continua. Pentru t 2 [a; b]; notam (t) = (1(t);:::;n(t)): Ecuatiile

:

8

curs analiza complexa

Documents