curs 5

REZISTENŢA MATERIALELOR I ELEMENTE FUNDAMENTALE Prof.dr.ing.DANIELA FILIP VĂCĂRESCU

5.4 Variaţia momentelor de inerţie cu rotaţia axelor, axe principale, momente de

inerţie principale

Pentru suprafaţa din figura 5.7 se cunosc momentele de inerţie Iz, Iy, Izy faţă de axele zOy şi

se determină momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rectangulare z1Oy1 rotit cu unghiul α faţă

de primul.

fig. 5.7

Elemente geometrice (fig. 5.7)

z1 = BC1 = DF − DD1 = z cosα − y sinα

y1 = BE1 = BD1 + D1E1 = y cosα + z sinα

Se aplică relaţiile de definiţie

I1z = =∫ dAy

A

21 ( )∫ α+α

A

2 dAsinzcosy = cos2α ∫A

2dAy + 2 sinα cosα +∫A

dAzy sin2α

∫A

2dAz = = Iz cos2α + Iysin2α + Izy sin2α

I1y şi I

11yz se obţin în mod similar.

Momentele de inerţie faţă de axe rotite au expresiile:

I1z = Iz cos2α + Iy sin2α + Izy sin2α (a)

I1y = Iz sin2α + Iy cos2α − Izy sin2α (5.19) (b)

I11yz =

2II yz − sin2α + Izy cos2α (c)

Dacă se adună cele două momente de inerţie faţă de axele z1 şi y1 date de formulele (5.19) a

şi b rezultă:

y

F

C C1

B

α

D1 D

E E1

α

y1

z z1

α

z1

z

y

dA

O

y1


I1z + I

1y = Iz ( )α+α 22 cossin + Iy ( )α+α 22 cossin =Iz + Iy (5.20)

care arată că suma momentelor de inerţie axiale în raport cu orice pereche de axe ortogonale

ce trece printr-un pol dat este constantă şi egală cu momentul de inerţie polar.

Se înlocuiesc funcţiile trigonometrice

α2cos = 2

2cos1 α+ ; α2sin = 2

2cos1 α− ;

cos2α = α−α 22 sincos = 1 − 2 α2sin = 2 α2cos − 1

în relaţiile (5.19) şi se obţine:

α−α−

++

=α−α−

+α+

= 2sinI2cos2

II2

II2sinI

22cos1I

22cos1II zy

yzyzzyyzz1

(5.21)

α+α−

−+

=α+α+

+α−

= 2sinI2cos2

II2

II2sinI

22cos1I

22cos1II zy

yzyzzyyzy1

(5.22)

α+α−

= 2cosI2sin2

III zy

yzyz 11

(5.23)

Se remarcă în relaţiile (5.21),(5.22) şi (5.23) că momentele de inerţie sunt funcţii periodice

de unghiul α în intervalul unei perioade 0 ≤ 2α ≤ 2π şi 0 ≤ α ≤ π.

Deci în timpul rotirii axelor z1 şi y1 momentele de inerţie 1zI şi

1yI variază trecând prin

maxime şi minime.

Se poate determina poziţia axelor (unghiul α) pentru care 1zI este maxim şi

1yI minim,

derivând relaţiile (5.21) şi (5.22) în raport cu 2α şi anulând derivatele:

( )( ) α−α

−−==

α2cosI2sin

2II

02dId

zyyzz1 (5.24)

( )( ) 11

1yzzy

yzy I2cosI2sin2

II0

2dId

=α+α−

−==α

(5.25)

Rezultă că momentele de inerţie axiale sunt extreme faţă de axe rotite în raport cu care

momentul de inerţie centrifugal este nul. Aceste direcţii se numesc direcţii principale şi sunt date de

relaţia care rezultă din (5.24):

yz

zy

III

2tg−

−=α (5.26)

Momentele de inerţie faţă de aceste axe se numesc momente de inerţie principale.


Ecuaţia (5.26) dă două soluţii ale lui 2α diferind între ele cu π; 2α1 = 2α; (α1 = α) şi

2α2 = 2α1 + π ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+α=α212 .

Direcţia principală pentru care există moment de inerţie maxim rezultă din condiţia

semnului derivatei de ordinul II a momentului de inerţie 1zI , care pentru o funcţie de o variabilă

trebuie să fie negativ pentru a da maxim.

Acest lucru conduce la următoarele interpretări:

- dacă Izy < 0 şi 2α > 0 prima soluţie α1 = α; 0 ≤ α1 ≤ 90o dă direcţia principală

maximă care va trece prin primul cadran;

- dacă Izy < 0 şi 2α < 0 soluţia α1 = α + 2π dă direcţia principală maximă care va trece prin

al doilea cadran.

Pe scurt, dacă materialul este masat în cadranul I şi III α1 = α şi dacă materialul este mai

aglomerat în cadranele II şi IV, α1 = α + 2π .

Valorile momentelor de inerţie principale se deduc din (5.21) şi (5.22) înlocuind din (5.26)

funcţiile:

sin 2α = ( ) 2

zy2

yz

zy

I4II

I2

+−± şi cos 2α =

( ) 2zy

2yz

yz

I4II

II

+−

−±

sub forma

I1,2 = ( ) 2zy

2yz

yz I4II2

II++±

+ (5.27)

Cunoaşterea valorilor momentelor de inerţie principale şi a direcţiilor principale este

importantă în aplicaţiile practice.

La secţiuni cu cel puţin o axă de simetrie axele centrale (care trec prin centrul de greutate)

sunt şi axe principale. Evident că la secţiuni cu două axe de simetrie care trec prin centrul de

greutate axele principale sunt axele de simetrie.

Observaţie: În unele cazuri este necesar să se calculeze momentul de inerţie centrifugal faţă

de axe rotite, cunoscând poziţia axelor principale 1 şi 2. Este cazul cornierelor, la care axele

centrale diferă de axe principale. Momentul de inerţie centrifugal se deduce în consecinţă din

(5.19c) în care Izy = 0, fiind în raport cu axe principale şi rezultă relaţia

I ϕ−

=αα

2sin2

II 21yz (5.28)


5.5 Raze de inerţie.Elipsa de inerţie.

Prin definiţie mărimile:

iz = AIz şi iy =

AIy (5.29)

se numesc raze de inerţie şi se exprimă în unităţi de lungime [L]. Ele se pot calcula şi faţă de axe

principale

i1 = AI1 şi i2 =

AI2 (5.29')

fig. 5.8

Dacă pentru secţiunea oarecare din figura 5.8 se aleg drept axe de referinţă, axele principale

1 şi 2 şi se scrie momentul de inerţie faţă de o dreaptă OA înclinată cu unghiul α faţă de axa 1

rezultă:

Iα = α+α=α−

−+ 2

22

12121 sinIcosI2cos

2II

2II (a)

obţinută prin particularizarea relaţiei (5.21).

Se împarte cu aria A şi ţinând cont de (5.29) şi (5.29') expresia (a) devine

α+α=α22

222

12 sinicosii (b)

Se alege pe dreapta OA un punct P de coordonate ξ şi η:

ξ = OP cosα = αiii 21 cosα

η = OP sinα = αiii 21 sinα

(c)

şi se înlocuiesc în (b). Rezultă ecuaţia unei elipse, denumită elipsa de inerţie:

1ii 21

2

22

2

=η

+ξ (5.30)

P

2 (η)

1 (ξ)α

O

i1

A (Δ)

i2


Semiaxele elipsei sunt raze de inerţie principale care se aşează i1 pe axa 2 şi i2 pe axa1.

Astfel dacă secţiunea este dezvoltată mai mult într-o direcţie, de exemplu cu I1 mult mai mare decât

I2, elipsa de inerţie are o formă alungită ca şi secţiune.

5.6 Module de rezistenţă

Se defineşte modulul de rezistenţă pentru o secţiune oarecare (fig. 5.9) ca fiind mărimea

geometrică:

Wz = max

z

yI şi Wy =

max

y

zI

(5.31)

fig. 5.9

unde ymax este coordonata y a punctului cel mai depărtat de axa z iar zmax este coordonata z,

a punctului cel mai depărtat de axa z. Dacă punctele cele mai depărtate faţă de axa z au distanţe

diferite se pot calcula:

Wz 1 = 1

z

yI şi Wz 2 =

2

y

yI

(5.32)

În mod similar pentru Wy.

Se mai defineşte şi modulul de rezistenţă polar cu expresia:

Wp = max

p

RI

(5.33)

unde polul se consideră centrul de greutate al secţiunii iar Rmax este raza celui mai depărtat

punct de pe conturul exterior al secţiuni faţă de pol.

Modulele de rezistenţă pentru câteva secţiuni simple rezultă prin aplicarea relaţiilor (5.31) şi

respectiv (5.33)

ymax

z

y

G y1

y2

2

1

zmax

Rmax


- secţiune dreptunghiulară (fig. 5.3)

Wz = max

z

yI =

6bh

2h

12bh

2

3

=

Wy = max

y

zI

= 6

hb

2b

12hb

2

3

=

(5.34)

- secţiune circulară (fig. 5.5)

Se calculează modulul de rezistenţă polar

Wp = 16D

2DI

RI 3

pp π== (5.35)

- secţiune inelară (fig. 5.6)

Wp = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π=

43p

Dd1

16D

2DI

(5.36)

- secţiune dintr-un profil laminat.

Aşa cum s-a precizat anterior modulele de rezistenţă ale profilelor laminate standardizate

sunt date în tabele.

- secţiuni compuse

La secţiuni compuse modulele de rezistenţă se calculează prin stabilirea momentelor de

inerţie ale întregii secţiuni şi aplicarea relaţiilor de definiţie (5.31).

Modulele de rezistenţă nu se calculează deci prin însumarea modulelor de rezistenţă ale

figurilor componente.

În caz cu totul particular (fig. 5.10) când:

a) fiecare figură componentă are centrul de greutate pe axa centrală principală

b) ymax al fiecărei figuri componente este acelaşi cu ymax al întregii figuri

se ajunge la cazul Wz = ∑ 1zW adică modulul de rezistenţă al întregii figuri este suma

modulelor de rezistenţă aparţinând figurilor componente.

Pentru secţiunea din figura (5.10) alcătuită din două profile laminate I40 modulul de

rezistenţă faţă de axa z se poate calcula pe baza observaţiei anterioare

Wz = 21zW


însumând modulele de rezistenţă faţă de axa z a fiecărui profil.

fig. 5.10

Pentru calculul modulului de rezistenţă Wy observaţia nu mai este valabilă. Aceasta se

determină aplicând relaţia (5.30) privitoare la Wy întrucât nici una din condiţiile a) şi b) de mai sus

nu sunt respectate.

zmax

y

z GG1G1 G2

ymax

curs 5

Documents