CURS 2: Relaţii binare (II). Vectori ı̂n spaţiu

Conf. dr. Constantin-Cosmin Todea

Cluj-Napoca

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe

dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare,

bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă

şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;

Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare

dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:

Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte

infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!),

dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1

şi din

(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m;

mnot= inf (A1).

Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).

Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte

supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă),

dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗

şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;

m∗not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.

Definiţia 1.7.1

Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.

Definiţia 1.7.2:

Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗

not= sup(A1).

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}

”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”

Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice

dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi

∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};

Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒

x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;

m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒

x = m.Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:

- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L,

le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;

- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1,

le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;

- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);

- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯

- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente

dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

Diagrama unei latice finite:

Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:

m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.

Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.

2. VECTORI ÎN SPAŢIU

(3D)

2. VECTORI ÎN SPAŢIU (3D)

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k,

v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2k

v = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.

A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric

cu ”regula triunghiului” sau”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”;

de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;

v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k

B Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3

Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;

sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0

opus dacă a < 0;0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

2.3. Operaţii cu vectori

Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau

”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :

av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:

aceeaşi direcţie ca v ;

lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul

acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;

0 ⋅ v = 0;

C Vectori coliniari

= vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţie

v1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari

⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1

⇐⇒ x1x2 =y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă:

Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!

C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =

y1y2= z1z2 ;

D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.

Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:

1

(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR

v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3

RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));

(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)

2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!