curs 5: vectori si valori proprii - utclujusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5-vectori-valori-pr.pdf ·...

CURS 5: Vectori si valori proprii

Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea

Cluj-Napoca

”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”

Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:

mecanica cuantica;

procesarea imaginilor;

algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!

Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).

”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:

mecanica cuantica;





mecanica cuantica;



Ingineria STRUCTURILOR:

-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).


mecanica cuantica;



Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);

-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).


mecanica cuantica;




Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI

S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,

-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n

unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);

In general A · A∗ = det(A) · In;O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este

A−1 =1

detA· A∗.

Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteaz[ cuA∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta (transpusaconjugatei!).


S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,

-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.



S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”.

(K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.



S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).

Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.



S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)

(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.



S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;

Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.



S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;

Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.



S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.




A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n

unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;

( Aij s.n. complementul algebric al aij);


A−1 =1

detA· A∗.




A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.




A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n


In general A · A∗ = det(A) · In;

O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este

A−1 =1

detA· A∗.




A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



A−1 =1

detA· A∗.


Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;

Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R (sau rareoriK = C).

Defn: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.

A · X = λ · X .

In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.

Multimea valorilor proprii ale lui A s.n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .

Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0( Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).

Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R (sau rareoriK = C).

Defn: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.

A · X = λ · X .

In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.

Multimea valorilor proprii ale lui A s.n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .

Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0( Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).

Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.

a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am

si X ramane vector propriu pt. Am;

b) Daca P ∈ K [X ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);

c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;

d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 ·A ·P) atunci λ ramanevaloare proprie pt. B;

e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);

f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.

Demonstratie:-la TABLA.







e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ

(daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.


curs 5: vectori si valori proprii - utclujusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5-vectori-valori-pr.pdf ·...

Documents