1

Curs 1

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL

1. Integrale reductibile la integrale din funcii raionale ( )2, dI R x ax bx c x= + +

a) dac 0a > se face substituia 2ax bx c x a t+ + = + b) dac 0c > se face substituia 2ax bx c c x t+ + = + c) dac 0 > se face substituia ( )2 1ax bx c t x x+ + = , sau

( )2 2 .ax bx c t x x+ + =

Exemplu 1

20

d.

6xI

x x=

+ +

Soluie

2. Integrala binome

( ) d , , , .pm nI x ax b x m n p= + a) dac p se face substituia x t= , unde este cel mai mic

multiplu comun al numitorilor lui m i n.

b) dac 1, mpn

+ , se face substituia nax b t+ = , unde

este numitorul lui p.

2

c) dac 1 1, ,m mp pn n

+ + + , se face substituia

n

n

ax bt

x

+= , unde este numitorul lui p.

Exemplu 3 41 dxI x

x

+= .

Soluie

3. Integrale improprii

Pentru [ ]: , ,f a b integrabil, avem ( ) ( ) ( )db

a

f x x F b F a= .

( ) ( ) ( ) ( )d , d , d , d .bb

a a

f x x f x x f x x f x x

+

+ +

Exemplu

020

1 d arctg lim arctg .21 x

x x xx

pi+

= = =

+ Integrala este convergent.

Criterii de convergen a integralelor improprii 1) La infinit, dac exist ( )lim

xx f x

< pentru 1 > , integralele

de tipul ( ) ( ) ( )d , d , db

a

f x x f x x f x x+ +

sunt convergente.

3

2) n puncte de valori finite, dac exist ( ) ( )limx ax a

x a f x>

<

pentru 1 < , respectiv ( ) ( )limx bx b

b x f x , deoarece ( )( ) 22 2 21 1

11 1 xx t x

++ +, iar integrala

020

1 d arctg21

x xx

pi

= =

+ deci este convergent.

Integrala lui Euler de spea a doua

( ) 10

e d , 0.p xp x x p

= >

Proprieti

1) ( ) ( ) ( )10 0

1 1e d e d 1 .p x p xp x x x x p

p p

= = = +

Rezult ( ) ( )1 .p p p + = 2) Din proprietatea 1) obinem

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 ...1 2 ... 1 , .

p n p n p n

p n p n p p p n

+ = + + = == + + +

Pentru 1p = rezult ( ) ( )1 !, .n n n + =

Integrala lui Euler de prima spe

( ) ( )1

11

0, 1 d , , 0.qpB p q x x x p q= >

Proprieti

1) ( ) ( ) ( )( ), .p q

B p qp q

=

+

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 0,1 .sinp p pppi

pi =

6

Exemplu 1 1 11 .

12 2 2sin

2

pipi pi

pi

= = =

Aplicaii seminar

1) S se calculeze ( ) 2

d.

1 3 2xI

x x x=

+

2) S se calculeze 3 5

d.

1

xIx x

=

+

3) S se studieze convergena integralei 2

1

d.

1

xIx x

=

+

4) S se studieze convergena integralei 1

3 40

d.

1

xIx

=

5) S se calculeze integrala

( ) ( )11 1 1

2 2 2

0 0

1 11 1 2 2d 1 d , .2 2 1

I x x x x x x B

= = = =

6) S se calculeze integrala ( )4

20

d .1

xI xx

=

+

Ind. Se face substituia .1

tx

t=

7) S se calculeze integrala 2

40

d .1

xI xx

=

+

Ind. Se face substituia 4 .1

tx

t=