ANALIZ�A MATEMATIC�ACALCULUL DIFERENT�IAL

RODICA LUCA{TUDORACHEANALIZ�A MATEMATIC�ACALCULUL DIFERENT�IAL

CUPRINSNotat�ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Capitolul 1 Preliminarii1. Mult�imi. Relat�ii. Fun t�ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Mult�imea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Capitolul 2 S�iruri �si serii de numere reale1. S�iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361.1. S�ir onvergent, �sir divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2. Propriet�at�i ale �sirurilor u limit�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3. Operat�ii u �siruri u limit�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4. Propriet�at�i de ompatibilitate a onvergent�ei u relat�ia de ordine din IR . . 441.5. Teoreme fundamentale �n teoria onvergent�ei �sirurilor reale . . . . . . . . . . . . . . . 461.6. Pun te limit�a ale unui �sir. Limit�a superioar�a �si limit�a inferioar�a . . . . . . . . . . 512. Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1. Serie onvergent�a, serie divergent�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2. Propriet�at�i generale ale seriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3. Criterii de onvergent��a pentru serii u termeni nenegativi . . . . . . . . . . . . . . . . .742.4. Criterii de onvergent��a pentru serii u termeni oare are . . . . . . . . . . . . . . . . . . .922.5. Serii absolut onvergente �si serii semi onvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.6. Produsul Cau hy (produsul onvolutiv) al dou�a serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101Capitolul 3 Spat�ii metri e. Spat�iul IRk1. Spat�ii metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1071.1. Metri �a, spat�iu metri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1071.2. S�iruri de pun te �n spat�ii metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.3. Mult�imi des hise, mult�imi �n hise, pun te deosebite pentru o mult�ime . . . 1191.4. Prin ipiul ontra t�iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302. Spat�ii normate. Spat�ii prehilbertiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323. Spat�iul IRk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141Capitolul 4 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor1. Limite de fun t�ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575

1.1. Cadrul general al spat�iilor metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1571.2. Limite de fun t�ii �n spat�iul IRk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591.3. Extinderi �n IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631.4. Teoreme de ara terizare, propriet�at�i ale fun t�iilor u limit�a . . . . . . . . . . . . . 1681.5. Limite iterate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731.6. Limit�a �n dire t�ia ~!. Limite part�iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1752. Fun t�ii ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782.1. Cadrul general al spat�iilor metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1782.2. Continuitatea fun t�iilor ve toriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792.3. Continuitatea part�ial�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1822.4. Continuitatea lateral�a a unei fun t�ii ve toriale de o variabil�a real�a . . . . . . . 1832.5. Fun t�ii ve toriale uniform ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852.6. Propriet�at�i ale fun t�iilor ontinue pe mult�imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.7. Fun t�ii reale de o variabil�a real�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191Capitolul 5 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�a1. Diferent�iala �si derivata unei fun t�ii �ntr-un pun t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2021.1. De�nit�ia diferent�ialei �si a derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021.2. Operat�ii u fun t�ii diferent�iabile (derivabile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061.3. Derivate laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102. Derivate �si diferent�iale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113. Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164. Formula lui Taylor. Pun te de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2314.1. Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2. Studiul pun telor de extrem u ajutorul derivatelor de ordin superior . . . . 236Capitolul 6 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multevariabile reale1. Diferent�iale �si derivate part�iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2421.1. Diferent�iala �si derivata part�ial�a a unei fun t�ii �ntr-un pun t . . . . . . . . . . . . . 2421.2. Derivate part�iale �si diferent�iale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2531.3. Derivata dup�a o dire t�ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2642. Fun t�ii ompuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656

2.1. Diferent�iala �si derivatele part�iale de ordinul �ntai ale fun t�iilor ompuse . .2652.2. Diferent�iale �si derivate part�iale de ordin superior ale fun t�iilor ompuse . .2712.3. Fun t�ii omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2763. Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774. Fun t�ii impli ite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845. Transform�ari regulate. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�a . . . . . . . 2925.1. Transform�ari regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.2. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966. Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.1. Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.2. Extreme ondit�ionate sau u leg�aturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Index de matemati ieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Bibliogra�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320

7

Notat�ii8 uanti� atorul universal (ori are, ori e)9 uanti� atorul existent�ial (exist�a)2 apartenent�a unui element la o mult�ime (apart�ine)� in luziunea unei mult�imi �n alt�a mult�ime (in lus�a)) semnul impli at�iei logi e (rezult�a), semnul e hivalent�ei logi e (e hivalent)P(X) familia p�art�ilor mult�imii X; mult�imea vid�a[i2IAi reuniune de mult�imi\i2IAi interse t�ie de mult�imiA�B produsul artezian al mult�imilor A �si BA n B diferent�a mult�imilor A �si BIN mult�imea numerelor naturale f1; 2; 3; :::gZ mult�imea numerelor �ntregi f0;�1;�2; :::gQ mult�imea numerelor rat�ionale npq j p; q 2 Z; q 6= 0oIR mult�imea numerelor realeIR� IR n f0gIR+ mult�imea numerelor reale nenegative fx j x 2 IR; x � 0gIR� mult�imea numerelor reale nepozitive fx j x 2 IR; x � 0gIR�+ mult�imea numerelor reale pozitive fx j x 2 IR; x > 0gIR�� mult�imea numerelor reale negative fx j x 2 IR; x < 0gIR dreapta real�a extins�a IR [ f+1;�1gC mult�imea numerelor omplexe fa+ ib j a; b 2 IRgsupA marginea superioar�a a mult�imii Ainf A marginea inferioar�a a mult�imii AV(x) sistemul ve in�at�at�ilor pun tului xlimn!1 an limita �sirului (an)nlim supn!1 an, limn!1an limita superioar�a a �sirului (an)nlim infn!1 an, limn!1an limita inferioar�a a �sirului (an)n8

LIM(an) mult�imea pun telor limit�a ale �sirului (an)n1Xn=1 an seria u termenul general an(X; d) spat�iu metri , u metri a d : X �X ! IR(V; k � k) spat�iu normat, u norma k � k : V ! IR(H;< �; � >) spat�iu prehilbertian, u produsul s alar < �; � >: H �H ! IR (C)S(x; r) sfera des his�a u entrul �n x �si de raz�a r > 0S(x; r) sfera �n his�a u entrul �n x �si de raz�a r > 0A0 mult�imea pun telor de a umulare ale mult�imii A (mult�imea derivat�a)A mult�imea pun telor aderente ale mult�imii A (aderent�a sau �n hiderea mult�imii A)ÆA, intA mult�imea pun telor interioare mult�imii A (interiorul mult�imii A)FrA mult�imea pun telor frontier�a ale mult�imii A (frontiera mult�imii A)IRn = IR� IR� � � � � IR| {z }n ori spat�iul liniar aritmeti u n dimensiuni~f = (f1; f2; : : : ; fm) fun t�ie ve torial�alim~x!~x0 ~f(~x) limita fun t�iei ~f �n pun tul ~x0limx!x0x<x0 ~f(x); ~f(x0 � 0) limita fun t�iei ~f la stanga �n pun tul x0limx!x0x>x0 ~f(x); ~f(x0 + 0) limita fun t�iei ~f la dreapta �n pun tul x0limx!x0f limy!y0 f(x; y)g; limy!y0f limx!x0 f(x; y)g limite iteratef 0(x0); ~f 0(x0) derivata fun t�iei f , respe tiv ~f �n pun tul x0 2 IRdf(x0); d ~f(x0) diferent�iala fun t�iei f , respe tiv ~f �n pun tul x0 2 IRCn(I) mult�imea fun t�iilor f : I ! IR derivabile de n ori pe I, u f (n) ontinu�a pe IC1(I) mult�imea fun t�iilor f : I ! IR are admit derivate de ori e ordin pe I�f�xi (~x0) derivata part�ial�a a fun t�iei f �n raport u variabila xi �n pun tul ~x0 2 IRndf(~x0) diferent�iala fun t�iei f �n pun tul ~x0 2 IRnCk(D) mult�imea fun t�iilor f : D ! IR; D � IRn, are au toate derivatele part�ialepan�a la ordinul k in lusiv ontinue pe Ddfd~! (~x0) derivata fun t�iei f �n raport u ~! (dup�a dire t�ia ~!) �n pun tul ~x0Q.E.D. quod erat demonstrandum (lat.) { eea e trebuia demonstrat.9

Capitolul 1PRELIMINARII1. Mult�imi. Relat�ii. Fun t�iiO ole t�ie (ansamblu) A de obie te avand anumite propriet�at�i omune, are ledeosebes de alte obie te, formeaz�a o mult�ime. Obie tele sale se numes elemente.Da �a a este un element al mult�imii A vom s rie a 2 A �si vom iti "a apart�ine luiA". Da �a a nu apart�ine lui A vom s rie a 62 A.O mult�ime poate � de�nit�a spe i� and individual elementele sale (sinteti ), az �n are elementele se s riu �ntre a olade. De exemplu, A = fa; b; ; dg estemult�imea format�a din elementele a; b; ; d. Un alt mod de de�nire a unei mult�imi onst�a �n spe i� area unei propriet�at�i pe are o au elementele sale (analiti ). Deexemplu, mult�imea pun telor (x; y) din plan are apart�in er ului u entrul �norigine �si raza 1 se noteaz�a A = f(x; y) j x2 + y2 = 1g.Mult�imea are nu are ni i un element se nume�ste mult�imea vid�a �si se noteaz�a u ;.Fie mult�imile A �si B. Da �a �e are element al lui A apart�ine �si lui B sespune �a A este o submult�ime (sau parte) a lui B �si se s rie A � B sau B � A.Se ite�ste "mult�imea A este in lus�a �n mult�imea B" sau "mult�imea B in lude( ont�ine) mult�imea A". Da �a A nu este in lus�a �n B, adi �a exist�a elemente alelui A are nu fa parte din B, se s rie A 6� B �si se ite�ste "mult�imea A nu estein lus�a �n B".Mult�imile A �si B sunt egale da �a ori e element al lui A apart�ine lui B �sire ipro , ori e element al lui B apart�ine lui A; se noteaz�a A = B. De i A = Bda �a �si numai da �a A � B �si B � A.

12 PreliminariiDa �a E este o mult�ime, atun i mult�imea are are a elemente toate submul-t�imile lui A se nume�ste mult�imea p�art�ilor lui E �si se noteaz�a u P(E).Relat�ia de in luziune "�" de�nit�a mai sus �ntre p�art�ile unei mult�imi E (sau�ntre elementele mult�imii P(E)) are urm�atoarele propriet�at�i:a) A � A; 8A 2 P(E) (relat�ia este re exiv�a);b) Da �a A � B �si B � A atun i A = B (relat�ia este antisimetri �a); ) Da �a A � B �si B � C atun i A � C (relat�ia este tranzitiv�a).Mult�imea A este stri t in lus�a �n mult�imea B da �a A � B �si exist�a el put�inun element b 2 B, b 62 A.Operat�ii u mult�imiFie E o mult�ime, iar A �si B dou�a p�art�i ale ei (A � E; B � E).Mult�imea elementelor are apart�in el put�in uneia dintre mult�imile A �si Bse nume�ste reuniunea mult�imilor A �si B; se noteaz�a A[B �si se ite�ste "A reunit u B". De i A [ B = fx j x 2 A sau x 2 Bg:Mult�imea elementelor are apart�in �si lui A �si lui B se nume�ste interse t�iamult�imilor A �si B; se noteaz�a u A \ B �si se ite�ste "A interse tat u B". De iA \ B = fx j x 2 A �si x 2 Bg:Da �a A �si B nu au ni i un element omun, atun i interse t�ia lor este mult�imeavid�a, A \B = ;. In a est az se spune �a mult�imile A �si B sunt disjun te.Operat�iile de reuniune �si interse t�ie au urm�atoarele propriet�at�ia) A [ A = A a') A \ A = A (idempotent�a),b) (A [ B) [ C = A [ (B [ C) b') (A \B) \ C = A \ (B \ C)(aso iativitatea), ) A [ B = B [ A ') A \B = B \ A ( omutativitatea),d) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) d') A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)(distributivitatea),e) A [ ; = A e') A \ ; = ;,f) A [ E = E f') A \ E = A,pentru ori e mult�imi A; B; C � E.

Mult�imi.Relat�ii.Fun t�ii 13Se de�nes �n mod asem�an�ator reuniunea �si interse t�ia unei familii oare arede mult�imi (Ai)i2I , Ai � E, 8 i 2 I, unde I este o familie de indi i �nit�a sauin�nit�aSi2I Ai = fx j 9 i0 2 I astfel �n at x 2 Ai0g;Ti2I Ai = fx j x 2 Ai; 8 i 2 Ig.Mult�imea elementelor are apart�in lui A �si nu apart�in lui B se nume�stediferent�a dintre mult�imile A �si B; se noteaz�a A n B �si se ite�ste "A minus B".De i A nB = fx j x 2 A �si x 62 Bg.Da �a A \B = ; atun i A nB = A �si B n A = B.Diferent�a E n A se mai nume�ste omplementara mult�imii A fat��a de E �si senoteaz�a u CEA sau CA. De iCEA = fx j x 2 E �si x 62 Ag.Mult�imea tuturor pere hilor (a; b), a 2 A �si b 2 B, onsiderate a elemente,se nume�ste produsul artezian al lui A u B; se noteaz�a A�B �si itim "A ori B".De i A� B = f(a; b) j a 2 A �si b 2 Bg.Mult�imile A �si B se numes fa torii produsului artezian A � B, iar a �si b senumes oordonatele sau proie t�iile elementului (a; b).Da �a A = B, �n lo de A� A vom s rie A2, adi �aA2 = f(a1; a2) j a1 2 A �si a2 2 Ag.Dou�a elemente (a; b) �si (a0; b0) ale produsului artezian A�B sunt egale da �a�si numai da �a a = a0 �si b = b0.Se poate de�ni produsul artezian A1�A2�: : : An a nmult�imiA1; A2; : : : ; An, a �ind mult�imea tuturor grupelor (n-uplelor) (a1; a2; : : : ; an), unde a1 2 A1,a2 2 A2, . . . , an 2 An. De iA1 � A2 � : : :� An = f(a1; a2; : : : ; an) j a1 2 A1; a2 2 A2; : : : ; an 2 Ang.Da �a A1 = A2 = : : : = An = A produsul artezian A1 � A2 � � � � � An senoteaz�a u An.Se nume�ste relat�ie binar�a (relat�ie) �ntre mult�imile A �si B, notat�a u R o

14 Preliminariisubmult�ime a produsului artezian A � B. De i R � A � B. Da �a elementelea 2 A �si b 2 B sunt �n relat�ia R, vom nota (a; b) 2 R sau aRb.O relat�ie R � A� A se nume�ste relat�ie de e hivalent��a pe mult�imea A da �aea veri� �a urm�atoarele ondit�iia) (a; a) 2 R, 8 a 2 A (relat�ia este re exiv�a);b) Da �a (a; b) 2 R atun i (b; a) 2 R (relat�ia este simetri �a); ) Da �a (a; b) 2 R �si (b; ) 2 R atun i (a; ) 2 R (relat�ia este tranzitiv�a).O relat�ie R � A � A se nume�ste relat�ie de ordine pe mult�imea A da �a eaveri� �a urm�atoarele ondit�iia) (a; a) 2 R, 8 a 2 A (relat�ia este re exiv�a);b) Da �a (a; b) 2 R �si (b; a) 2 R atun i a = b (relat�ia este antisimetri �a); ) Da �a (a; b) 2 R �si (b; ) 2 R atun i (a; ) 2 R (relat�ia este tranzitiv�a).O mult�ime pe are s-a de�nit o relat�ie de ordine se nume�stemult�ime ordonat�a.Relat�ia de egalitate a mult�imilor este o relat�ie de e hivalent��a, iar relat�ia dein luziune este o relat�ie de ordine pe mult�imea P(E).O relat�ie de ordine R � A�A se nume�ste total�a da �a pentru ori e elementea; b 2 A avem aRb sau bRa. O mult�ime A dotat�a u o relat�ie R de ordine total�ase nume�ste mult�ime total ordonat�a sau lant�.Fie X o mult�ime dotat�a u o relat�ie de ordine "�", iar A � X. ElementulM 2 X se nume�ste majorant pentru mult�imea A da �a a � M; 8 a 2 A, iarelementul m 2 X se nume�ste minorant pentru mult�imea A da �a m � a; 8 a 2 A.O mult�ime are admite majorant�i (minorant�i) se nume�ste majorat�a sau m�arginit�asuperior (respe tiv minorat�a sau m�arginit�a inferior).Unei relat�ii de ordine � de�nit�a pe o mult�ime X i se aso iaz�a o relat�ie "<",numit�a relat�ie de ordine stri t�a, de�nit�a prinx < y def, x � y �si x 6= y.A east�a relat�ie < este tranzitiv�a, dar nu este ni i re exiv�a �si ni i antisimetri �a.Fie A �si B dou�a mult�imi nevide. Se nume�ste fun t�ie sau apli at�ie f a mult�imiiA �n mult�imea B o lege (pro edeu) �n baza �areia ori �arui element a 2 A i seaso iaz�a un element uni , notat f(a) din B. O fun t�ie se noteaz�a f : A! B sau

Mult�imi.Relat�ii.Fun t�ii 15A f! B.O fun t�ie f se poate de�ni �si a o relat�ie binar�a �ntre mult�imile A �si B uurm�atoarele propriet�at�ia) mult�imea fa 2 A j 9 b 2 B astfel �n at (a; b) 2 fg oin ide u A;b) f este univo �a, adi �a 8 (a; b) 2 f �si (a; b0) 2 f ) b = b0.Mult�imea A se nume�ste mult�imea de de�nit�ie sau domeniul de de�nit�ie, iarmult�imea B mult�imea �n are fun t�ia ia valori, domeniul valorilor fun t�iei sau odomeniul fun t�iei.Un element oare are x al mult�imii de de�nit�ie A se nume�ste variabil�a sauargument al fun t�iei f , iar elementul f(x) 2 B se nume�ste valoarea fun t�iei f �npun tul x.O fun t�ie f : A! B poate � de�nit�a sinteti , numind pentru �e are element�n parte din A, elementul e i se aso iaz�a din mult�imeaB, sau analiti , spe i� ando proprietate e leag�a un element arbitrar a 2 A de elementul f(a) din B.Mult�imea Gf a tuturor pere hilor de forma (x; f(x)) u x 2 A se nume�stegra� ul fun t�iei f . De iGf = f(x; f(x)) j x 2 Ag.Gra� ul fun t�iei f este o parte a produsului artezian A�B. Egalitatea y = f(x)veri� at�a de toate elementele (x; y) ale gra� ului �si numai de a estea se nume�stee uat�ia gra� ului fun t�iei f .Fie mult�imile X; Y �si fun t�ia f : X ! Y , iar A � X, B � Y . Mult�imeaf(A) = fy 2 Y j 9 x 2 A astfel �n at f(x) = yg � Yse nume�ste imaginea mult�imii A prin f , iar mult�imeaf�1(B) = fx 2 X j f(x) 2 Bg � Xse nume�ste ontraimaginea lui B prin f .Apli at�ia f : A ! A de�nit�a prin f(a) = a; 8 a 2 A se nume�ste apli at�iaidenti �a a mult�imii A �n ea �ns�a�si, notat�a u 1A sau id.Apli at�ia f : A! B se nume�ste inje tiv�a da �a8 x1; x2 2 A; x1 6= x2 ) f(x1) 6= f(x2)() 8 x1; x2 2 A u f(x1) = f(x2) ) x1 = x2.

16 PreliminariiTeorema 1.1.1. O fun t�ie f : A ! B este inje tiv�a da �a �si numai da �apentru ori e y 2 B exist�a el mult un element x 2 A u f(x) = y.Demonstrat�ie. Presupunem �a f : A ! B este inje tiv�a. Presupunem �a exist�a y0 2 B �si x1; x2 2 A, x1 6= x2 u f(x1) = f(x2) = y0. Din de�nit�iainje tivit�at�ii rezult�a �a x1 = x2, eea e ontrazi e ipoteza noastr�a. De i pre-supunerea f�a ut�a este fals�a, adi �a pentru ori e element y 2 B exist�a el mult unelement x 2 A u f(x) = y. Re ipro , s�a presupunem �a pentru ori e y 2 Bexist�a el put�in un element x 2 A u f(x) = y. Fie x1; x2 2 A u x1 6= x2. Da �apresupunem �a f(x1) = f(x2) �nseamn�a �a pentru elementul y = f(x1) = f(x2)exist�a dou�a elemente distin te x1; x2 2 A u f(xi) = y; i = 1; 2. Obt�inem o ontrazi ere a ipotezei. De i pentru x1; x2 2 A u x1 6= x2 rezult�a f(x1) 6= f(x2),adi �a f este inje tiv�a. Q.E.D.Apli at�ia f : A ! B se nume�ste surje tiv�a da �a pentru ori e y 2 B exist�a el put�in un element x 2 A astfel �n at f(x) = y.Teorema 1.1.2. O fun t�ie f : A ! B este surje tiv�a da �a �si numai da �af(A) = B.Demonstrat�ie. S�a presupunem mai �ntai �a fun t�ia este surje tiv�a. Evidentf(A) � B. Pentru a demonstra in luziunea invers�a, �e y 2 B. Conform de�nit�ieifun t�iei surje tive, exist�a el put�in un element x 2 A astfel �n at f(x) = y, de iy 2 f(A). Astfel obt�inem �a B � f(A), are �mpreun�a u ealalt�a in luziune ne ondu e la f(A) = B. Re ipro , da �a f(A) = B s�a ar�at�am �a f este surje tiv�a.Fie y 2 B arbitrar; deoare e B � f(A) rezult�a �a exist�a un x 2 A astfel �n aty = f(x). De i f este surje tiv�a. Q.E.D.Apli at�ia f : A! B se nume�ste bije tiv�a da �a ea este inje tiv�a �si surje tiv�a.Teorema 1.1.3. O fun t�ie f : A ! B este bije tiv�a da �a �si numai da �apentru ori e y 2 B exist�a exa t un element x 2 A u f(x) = y.Demonstrat�ia Teoremei 1.1.3 rezult�a din de�nit�ia surje tivit�at�ii �si din Teo-rema 1.1.1.Fie f : X ! Y �si g : Y ! Z dou�a fun t�ii. Fun t�ia de�nit�a pe X u valori�n Z prin orespondent�a x! g(f(x)) se nume�ste fun t�ia ompus�a a fun t�iei g u

Mult�imi.Relat�ii.Fun t�ii 17fun t�ia f �si se noteaz�a g Æ f ; se ite�ste "g ompus u f". De ig Æ f : X ! Z; (g Æ f)(x) = g(f(x)); 8 x 2 X.Operat�ia "Æ" se nume�ste operat�ia de ompunere a fun t�iilor �si a east�a operat�ieeste aso iativ�a (f Æ g) Æ h = f Æ (g Æ h).Apli at�ia f : A ! B se nume�ste inversabil�a da �a exist�a o apli at�ie notat�af�1 : B ! A �si numit�a inversa lui f , are satisfa e ondit�iilef Æ f�1 = 1B �si f�1 Æ f = 1A: (1:1:1)Teorema 1.1.4. O apli at�ie f : A! B inversabil�a are inversa uni �a.Demonstrat�ie. Presupunem �a mai exist�a o fun t�ie g : B ! A u pro-priet�at�ile f Æ g = 1B �si g Æ f = 1A. Atun i pentru ori e y 2 B avemg(y) = g(f Æ f�1)(y) = g(f(f�1(y))) = (g Æ f)(f�1(y)) = 1A(f�1(y)) = f�1(y).De i g = f�1, adi �a inversa fun t�iei f este uni �a. Q.E.D.Teorema 1.1.5. Condit�ia ne esar�a �si su� ient�a a apli at�ia f : A ! B s�a�e inversabil�a este a ea s�a �e bije tiv�a.Demonstrat�ie. Presupunem �a fun t�ia f este inversabil�a, de i 9f�1 :B!Aastfel �n at s�a aib�a lo relat�ia (1.1.1). Atun i pentru x; y 2 A u f(x) = f(y)avemf�1(f(x)) = f�1(f(y)) ) (f�1 Æ f)(x) = (f�1 Æ f)(y) ) x = y.De i f este inje tiv�a.Pentru un element y 2 B oare are exist�a un element x = f�1(y) 2 A astfel�n at f(x) = f(f�1(y)) = 1B(y) = y. Rezult�a �a fun t�ia f este surje tiv�a. Din ele de mai sus dedu em �a f este bije tiv�a.Re ipro , s�a presupunem �a f : A ! B este bije tiv�a. Conform Teoremei1.1.3, pentru ori e element y 2 B exist�a un uni element x 2 A astfel �n atf(x) = y. De�nim fun t�ia g : B ! A, g(y) = x (elementul de mai sus). A east�afun t�ie este inversa lui f , deoare e(f Æ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y; 8 y 2 B �si (g Æ f)(x) = g(f(x)) = x; 8 x 2 A.

18 PreliminariiRezult�a �a fun t�ia g este inversa fun t�iei f , adi �a f este inversabil�a. Q.E.D.2. Mult�imea numerelor realeMult�imea numerelor reale este mult�imea de baz�a �n �ntreaga analiz�a mate-mati �a. Ea se noteaz�a u IR �si se poate introdu e �n mai multe moduri. Unuldintre a estea este modul axiomati , pe are �l vom prezenta �n ontinuare.Mult�imea numerelor reale IR este o mult�ime u el put�in dou�a elemente,�nzestrat�a u dou�a operat�ii binare, notate "+", "�" (numite adunarea, respe tiv�nmult�irea) �si o relat�ie, notat�a � �n raport u are sunt �ndeplinite urm�atoareleaxiomeA1: (x+ y) + z = x+ (y + z); 8 x; y; z 2 IR;A2: 9 0 2 IR astfel �n at x + 0 = 0 + x = x; 8 x 2 IR; (0 - elementul zero);A3: 8 x 2 IR; 9 (�x) 2 IR astfel �n at x+ (�x) = (�x) + x = 0;A4: x+ y = y + x; 8 x 2 IR;A5: (x � y) � z = x � (y � z); 8 x; y; z 2 IR;A6: 9 1 2 IR astfel �n at x � 1 = 1 � x = x; 8 x 2 IR; (1 - elementul unu);A7: 8 x 2 IR n f0g 9 x�1 2 IR astfel �n at x � x�1 = x�1 � x = 1;A8: x � y = y � x; 8 x; y 2 IR;A9: x � (y + z) = x � y + x � z; 8 x; y; z 2 IR;A10: 8 x; y 2 IR are lo x � y sau y � x;A11: Da �a x � y �si y � x atun i x = y;A12: 8 x; y; z 2 IR u x � y �si y � z ) x � z;A13: 8 x; y; z 2 IR u x � y ) x+ z � y + z; 8 z 2 IR;A14: 8 x; y; z 2 IR u x � y �si 0 � z ) x � z � y � z;A15: Ori e submult�ime nevid�a majorat�a a lui IR posed�a un el mai mi majorant, numit marginea superioar�a.Relat�ia "�" are este o relat�ie de ordine total�a (A10){(A12) se ite�ste "maimi sau egal", iar x � y se mai poate s rie y � x �si itim "y mai mare sau egal

Mult�imea numerelor reale 19 u x".Din axiomele de mai sus dedu em �a mult�imea numerelor reale (IR;+; �;�)este un orp omutativ total ordonat, are satisfa e proprietatea (A15).Teorema 1.2.1. In mult�imea numerelor reale au lo urm�atoarele propriet�at�ia) 0 � x = 0; 8 x 2 IR;b) (�1) � x = �x; 8 x 2 IR; ) (�x) � y = �(x � y); 8 x; y 2 IR;d) x � y = 0 ) x = 0 sau y = 0;e) 0 � x , �x � 0;f) x � y , �y � �x;g) x � x1 �si y � y1 ) x + y � x1 + y1;h) x � 0 �si y � 0 ) x � y � 0;i) x � y �si z � 0 ) x � z � y � z;j) x; y; x1; y1 � 0 u x � y �si x1 � y1 , x � x1 � y � y1;k) 0 < 1, unde "<" este relat�ia de ordine stri t�a aso iat�a relat�iei de ordine �;l) 8 x; y 2 IR avem x < y sau x = y sau y < x (proprietatea de trihotomie);m) (�x)�1 = �x�1; 8 x 2 IR; x 6= 0;n) 8 x 2 IR; x 6= 0 ) x2 > 0;o) x > 0 , x�1 > 0;p) x < 0 , x�1 < 0;q) 0 < x < 1 , x�1 > 1.Demonstrat�ie. Din axiomele A8 �si A9 obt�inem(x + y) � z = x � z + y � z; 8 x; y; z 2 IR.a) Avem0 � x A2= (0 + 0) � x A8;A9= 0 � x + 0 � x.Adun�am �n ambii membri ai relat�iei de mai sus �0 � x �si obt�inem 0 � x = 0.b) (�1) � x + x A6= (�1) � x + 1 � x A8;A9= ((�1) + 1) � x = 0 � x a)= 0.De i �x = (�1) � x. ) (�x) � y + x � y A8;A9= ((�x) + x) � y = 0 � y = 0. De i �(x � y) = (�x) � y.

20 Preliminariid) Fie x; y 2 IR u x � y = 0. Da �a x = 0 atun i proprietatea este veri� at�a.Da �a x 6= 0 atun i 9 x�1. Inmult�im relat�ia x � y = 0 u x�1 �si obt�inemx�1 � x � y = x�1 � 0 a)= 0 ) y = 0.Proprietatea d) ne spune �a �ntr-un orp nu exist�a divizori ai lui zero.e) Fie 0 � x. Adunand (�x) elor doi membri ai inegalit�at�ii, obt�inem�x � x+ (�x) sau � x � 0. Asem�an�ator se arat�a �a �x � 0 ) 0 � x.f) Da �a x � y, adunand (�x) ambilor membri ai inegalit�at�ii, obt�inemx + (�x) � y + (�x) ) 0 � y + (�x). Adun�am a um (�y) �si obt�inem�y � y + (�x) + (�y) sau �y � y + (�y) + (�x) sau �y � 0 + (�x) sau�y � �x.Asem�an�ator se arat�a ealalt�a impli at�ie �y � �x ) x � y.g) Adun�am y �n ambii membri ai relat�iei x � x1; obt�inem x + y � x1 + y.Apoi adun�am x1 �n ambii membri ai relat�iei y � y1 �si obt�inem y + x1 � y1 + x1.Din relat�iile de mai sus, folosind (A12), dedu em x + y � x1 + y1.h) Conform (A14), �nmult�ind y � 0 u x � 0 obt�inem x � y � x � 0. Folosinda), inegalitatea de mai sus ne d�a x � y � 0.i) Inmult�im inegalitatea x � y u �z � 0. Conform (A14) obt�inemx � (�z) � y � (�z) ) �x � z � �y � z ) x � z � y � z.j) Inmult�im inegalitatea x � y u x1 � 0 �si obt�inem x � x1 � y � x1. Apoi�nmult�im inegalitatea x1 � y1 u y � 0 �si g�asim y � x1 � y1 � y. Din (A12) rezult�ax � x1 � y � y1.k) Conform axiomei (A10) avem 0 � 1 sau 1 � 0. Demonstr�am �a1 � 0 nu poate avea lo . Presupunem �a 1 � 0; adunand (�1) �n ambii membriobt�inem 0 � �1. Inmult�ind inegalitatea 1 � 0 u elementul �1 � 0, rezult�a1 � (�1) � 0 � (�1) ) �1 � 0. Am obt�inut 0 � �1 �si �1 � 0; onform(A11) rezult�a �a �1 = 0. A est lu ru ondu e la faptul �a 8 x 2 IR avem�x = (�1) � x = 0 � x = 0 ) x = 0, adi �a IR s-ar redu e la un singur element.Absurd. De i 1 � 0 nu poate avea lo .Rezult�a atun i 0 � 1 �si deoare e 0 6= 1 (�n az ontrar, adi �a pentru 0 = 1obt�inem a mai sus 8 x 2 IR; x = x � 1 = x � 0 = 0, adi �a IR s-ar redu e la un

Mult�imea numerelor reale 21pun t) dedu em �a 0 < 1.l) Pentru ori e x; y 2 IR avemx � y sau y � x ) (x < y sau x = y) sau (y < x sau y = x) )(x < y) sau (x = y) sau (y < x).m) Da �a x 6= 0 atun i x�1 6= 0 �si avemx = (�x) � (�1) ) (�x)�1 � x = �1 ) (�x)�1 � x = �x�1 � x.Inmult�ind relat�ia obt�inut�a u x�1 g�asim (�x)�1 = �x�1.n) Da �a x > 0, onform (A14), prin �nmult�irea u x obt�inem x �x � 0 �x saux2 � 0. Deoare e x2 6= 0 (da �a x2 = 0 ) x = 0; absurd) dedu em �a x2 > 0.o) Presupunem x > 0. Da �a x�1 < 0 atun i prin �nmult�irea u x > 0 obt�inemx � x�1 � 0 � x ) 1 � 0, eea e este fals. De i x�1 � 0. Cum x�1 6= 0 rezult�a �a x�1 > 0. Asem�an�ator se arat�a ealalt�a impli at�ie.p) x < 0 , �x > 0 o), (�x)�1 > 0 m), �x�1 > 0 , x�1 < 0.q) Da �a x > 0 ) x�1 > 0. Da �a x < 1 rezult�a x � x�1 � x�1 ) 1 � x�1.Deoare e x�1 6= 1 (pentru x�1 = 1 ) x = 1), dedu em �a x�1 > 1.Invers x�1 > 1 > 0 ) x�1 > 0 , x > 0. Prin �nmult�irea inegalit�at�iix�1 > 1 u x > 0 obt�inem 1 � x; dar x 6= 1 (pentru x = 1 avem x�1 = 1), de ix < 1. Q.E.D.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a urm�atoarele relat�ii:x1 < x2 �si 0 < z ) x1 � z < x2 � z;x < y , �x > �y;x < y �si z < 0 ) x � z > y � z;0 < x < y ) x�1 > y�1;0 < x < y ) x2 < y2;x < "; 8 " > 0 ) x � 0.In general semnul "�" de la �nmult�ire se omite, astfel �n at x � y not= xy. Deasemenea x�1 not= 1x �si xy�1 not= xy ; (y 6= 0).Numerele x > 0 se numes pozitive, iar numerele x < 0 se numes negative.Mult�imea format�a din elementele1; 1 + 1 not= 2 ( itim "doi"), 2 + 1 not= 3 ( itim "trei"), ...,

22 Preliminarii onstruit�a indu tiv, se noteaz�a u IN (1 2 IN �si 8 x 2 IN ) 1 + x 2 IN) �si senume�ste mult�imea numerelor naturale. Elementele a estei mult�imi se g�ases �nrelat�iile 1 < 2 < 3 < : : : De iIN = f1; 2; 3; : : :g.Din axiomele (A1){(A4) dedu em �a exist�a opusele elementelor de mai sus�n relat�iile �1 > �2 > �3 > : : : Mult�imea a estor elemente o not�am u �IN .De i �IN = f�1;�2;�3; : : :g.Mult�imea Z := IN [ (�IN)[ f0g se nume�ste mult�imea numerelor �ntregi, iarmult�imea Q := nxy j x; y 2 Z; y 6= 0ose nume�ste mult�imea numerelor rat�ionale.Mult�imile IN , Z �si Q apar a submult�imi �n ori e orp omutativ total ordo-nat. A este mult�imi sunt �n relat�iileIN � Z � Q,unde in luziunile de mai sus sunt stri te.Mult�imea (Q;+; �;�) este �si ea un orp omutativ total ordonat, mai pre iseste un sub orp al lui (IR;+; �;�). Q are proprietatea de minimalitate, �ind elmai mi orp omutativ total ordonat din IR. In mult�imea numerelor rat�ionale nuori e mult�ime majorat�a are margine superioar�a. De exemplu, pentru mult�imeaA = fx 2 Q j x2 < 2g nu exist�a q 2 Q astfel �n at q2 = 2 (se demonstreaz�a prinredu ere la absurd). De i Q nu veri� �a axioma (A15) �si este �n relat�ia Q � IR(in luziunea �ind stri t�a).Mult�imile are satisfa axiomele (A1)-(A15) sunt uni e p�n�a la un izomor-�sm de orpuri omutative total ordonate. Pe ori are dintre a este mult�imi ovom numi mult�imea numerelor reale. Astfel �n IR apar submult�imile remar abileIN; Z; Q, uni e p�n�a la un izomor�sm, �n relat�iileIN � Z � Q � IR,in luziunile de mai sus �ind stri te.Observat�ie. Mult�imea numerelor reale poate � introdus�a �si dire t, u aju-

Mult�imea numerelor reale 23torul fra t�iilor ze imale in�nite sau se poate de�ni mai �ntai mult�imea numerelornaturale (axiomele lui Peano, vezi [8℄) �si apoi, u ajutorul lui IN se onstruies mult�imile Z, Q �si IR ( u �siruri Cau hy de numere rat�ionale { onstru t�ia luiCantor sau u t�aieturi Dedekind, vezi [9℄).Fie A � IR, A 6= ; o mult�ime majorat�a. Conform axiomei (A15) exist�a un el mai mi majorant, de i marginea superioar�a a mult�imii, notat�a supA.Teorema 1.2.2. Elementul m este marginea superioar�a a mult�imii A � IR,A 6= ; (m = supA) da �a �si numai da �a sunt veri� ate ondit�iilea) a � m; 8 a 2 A;b) 8 " > 0 9 a" 2 A astfel �n at a" > m� ".Demonstrat�ie. Da �am = supA atun im este un majorant pentru mult�imeaA, de i are lo a).Deoare e el este el mai mi majorant pentru A, pentru ori e " > 0 arbitrar,momentan �xat, elementul m� " < m nu este majorant pentru A, de i exist�a unelement a" 2 A astfel �n at a" > m� ", adi �a are lo ondit�ia b).Re ipro , s�a presupunem �a au lo propriet�at�ile a) �si b). Proprietatea a) nespune �a m este un majorant pentru mult�imea A. Proprietatea b) ne arat�a �a meste el mai mi majorant pentru A. Intr-adev�ar, da �a ar exista un alt majorantal mult�imii A, m < m, atun i a � m; 8 a 2 A. Luand " = m�m rezult�a din b) �a exist�a a" 2 A astfel �n at a" > m �m +m ) a" > m, eea e ontrazi efaptul �a m este majorant. De i m este el mai mi majorant, adi �a m = supA.Q.E.D.Fie A � IR o mult�ime minorat�a. Un el mai mare minorant se nume�stemarginea inferioar�a a lui A �si se noteaz�a inf A.Teorema 1.2.3. Elementul m este marginea inferioar�a a mult�imii A(m = inf A) da �a �si numai da �a sunt veri� ate ondit�iilea) m � a; 8 a 2 A;b) 8 " > 0 9 a" 2 A astfel �n at a" < m+ ".Demonstrat�ie. Da �a m = inf A atun i m este un minorant pentru A, adi �am � a; 8 a 2 A, de i are lo a). In plus m este el mai mare minorant. Atun i

24 Preliminariipentru ori e " > 0 arbitrar, momentan �xat, m+" nu poate � un minorant pentruA, adi �a exist�a a" 2 A astfel �n at a" < m+ ", de i are lo proprietatea b).Re ipro , s�a presupunem �a au lo propriet�at�ile a) �si b). Proprietatea a)ne spune �a m este un minorant pentru A. Proprietatea b) ne arat�a �a m este el mai mare minorant, deoare e da �a ar exista un alt minorant m > m um � a; 8 a 2 A, atun i luand " = m �m rezult�a �a exist�a a" 2 A astfel �n ata" < m +m �m ) a" < m, eea e ontrazi e faptul �a m este un minorantpentru A. De i m = inf A. Q.E.D.Teorema 1.2.4. Ori e mult�ime A � IR, A 6= ;, minorat�a are margineinferioar�a.Demonstrat�ie. Deoare e A este minorat�a (are minorant�i) rezult�a �a mult�i-mea (�A) este majorat�a, de i onform axiomei (A15) exist�a sup(�A), (�A 6= ;).Din Teorema 1.2.2 avema) �a � sup(�A); 8 a 2 A;b) 8 " > 0 9 (�a") 2 (�A) astfel �n at �a" > sup(�A)� ".Relat�iile de mai sus se pot s rie e hivalent astfela') a � � sup(�A); 8 a 2 A;b') 8 " > 0 9 a" 2 A astfel �n at a" < � sup(�A) + ".Folosind Teorema 1.2.3 de ara terizare a marginii inferioare a unei mult�imi,din a') �si b') rezult�a �a exist�a inf A = � sup(�A), de i A are margine inferioar�a.Q.E.D.Din demonstrat�ia Teoremei 1.2.4 dedu em �a sup(�A) = � inf A. Asem�an�a-tor se demonstreaz�a �a inf(�A) = � supA.Un minorant (majorant) al unei mult�imi A � IR are apart�ine lui A senume�ste el mai mi (respe tiv el mai mare) element al lui A �si se noteaz�a umin A (respe tiv max A).O mult�ime nevid�a A � IR se nume�ste m�arginit�a da �a ea este majorat�a �siminorat�a. O mult�ime A � IR nemajorat�a sau neminorat�a se nume�ste mult�imenem�arginit�a.Teorema 1.2.5. Pentru A � IR mult�ime m�arginit�a, nevid�a, elementele

Mult�imea numerelor reale 25supA �si inf A sunt uni e.Demonstrat�ie. Deoare e mult�imeaA este m�arginit�a, rezult�a �a exist�a supA�si inf A. Presupunem �a exist�a M1; M2 2 IR, M1 = supA, M2 = supA. DinTeorema 1.2.2 avema) x �M1; 8 x 2 A;b) 8 " > 0 9 x1" 2 A astfel �n at x1" > M1 � "�si a') x �M2; 8 x 2 A;b') 8 " > 0 9 x2" 2 A astfel �n at x2" > M2 � ".Fie " > 0 arbitrar, momentan �xat. Din relat�iile b) �si a') avemM1 � " < x1" � M2 ) M1 � " < M2,iar din relat�iile b') �si a) obt�inemM2 � " < x2" � M1 ) M2 � " < M1.Deoare e " este arbitrar, din inegalit�at�ile de mai sus dedu em M1 �M2 �siM2 � M1. De i M1 =M2, adi �a supA este uni . Din relat�ia inf A = � sup(�A)rezult�a �a �si inf A este uni . Q.E.D.Teorema 1.2.6. Mult�imea numerelor reale (IR;+; �;�) este un orp omu-tativ total ordonat arhimedian, adi �a satisfa e ondit�ia8 x 2 IR; 8 y > 0 9n 2 IN astfel �n at ny > x: (1:2:1)Demonstrat�ie. Vom demonstra proprietatea de mai sus prin metoda re-du erii la absurd. Presupunem �a 9 x0 2 IR �si 9 y0 > 0 astfel �n at 8n 2 IN s�aavem ny0 � x0, de i n � x0y0 , 8n 2 IN . Rezult�a astfel �a mult�imea IN a numerelornaturale este majorat�a, de i onform axiomei (A15) exist�a z = sup IN . Deoare ez � 1 < z, din teorema de ara terizare a marginii superioare (Teorema 1.2.2),luand " = 1 rezult�a �a 9m 2 IN astfel �n at m > z � 1, adi �a z < m + 1. Amobt�inut o ontradi t�ie, deoare e m + 1 2 IN , iar z = sup IN . Dedu em astfel �apentru 8 x 2 IR; 8 y > 0 9n 2 IN astfel �n at ny > x. Q.E.D.Rezultatul un pi modi� at se g�ase�ste �n literatura de spe ialitate sub numelede Lema lui Eudoxus-Arhimede

26 Preliminarii8 x 2 IR; 9n 2 IN astfel �n at n > x.Teorema 1.2.7. Mult�imea numerelor rat�ionale Q este dens�a (�n sensul or-dinii) �n IR, adi �a 8 a; b 2 IR u a < b exist�a r 2 Q astfel �n at a < r < b.Demonstrat�ie. Fie a; b 2 IR, a < b. Pentru a 2 IR luand x = �a �si y = 1�n (1.2.1), rezult�a �a 9 p 2 IN astfel �n at p > �a, de i a + p > 0.Not�am u a0 = a+p �si b0 = b+p; avem a0 < b0. Pentru y = b0�a0 > 0 �si x = 1, onform relat�iei (1.2.1) 9n 2 IN astfel �n at 1 < n(b0 � a0) sau na0 + 1 < nb0.Apoi pentru x = na0 �si y = 1 �n (1.2.1) obt�inem existent�a lui fm 2 IN astfel�n at fm > na0. Fie m el mai mi num�ar natural astfel �n at m > na0. De im� 1 � na0. Avemna0 < m � na0 + 1 < nb0 ) na0 < m < nb0 , a0 < mn < b0 ,, a < mn � p < b.De i pentru a; b 2 IR, a < b am g�asit num�arul r = mn � p 2 Q astfel �n ata < r < b. Q.E.D.Exemplu. Mult�imea A = n 11�2 + 12�3 + � � �+ 1n(n+1) ; n 2 INo este format�adin elementele �sirului an = 11�2 + 12�3 + � � �+ 1n(n+1) , n 2 IN . Deoare ean = 1� 12 + 12 � 13 + � � �+ 1n � 1n+1 = 1� 1n+1 = nn+1 ; n 2 IN ,mult�imeaA se poate s rie astfel A = n nn+1 ; n 2 INo. S�irul (an)n2IN �ind res �ator(an<an+1; 8n 2 IN) rezult�a �a inf A=minA=a1 = 12 , iar supA = limn!1an = 1.Intr-adev�ar, pentru ultima a�rmat�ie, veri� �am ele dou�a ondit�ii din Teorema1.2.2 (teorema de ara terizare a marginii superioare)a) an = nn+1 < 1; 8n 2 IN ;b) 8 " > 0 9n" 2 IN astfel �n at an" > 1� ", unden" = 8<: h1�"" i+ 1; 0 < " � 1;1; " > 1;(am notat u [x℄ partea �ntreag�a a num�arului real x).Mult�imea A nu are un element maxim. Da �a am presupune �a exist�a maxA,atun i ar rezulta �a exist�a un element an0 = n0n0+1 = maxA; n0 2 IN , uproprietatea an � an0 ; 8n 2 IN . Inegalitatea obt�inut�a este fals�a, deoare e

Mult�imea numerelor reale 27an > an0 ; 8n > n0. Dedu em astfel �a 6 9 maxA.Dou�a mult�imi A �si B se numes e hipotente sau e hivalente sau spunem �a A �si B au a eea�si putere da �a �ntre elementele a estora se poate stabili o orespondent��a biunivo �a, adi �a exist�a o fun t�ie bije tiv�a f : A ! B. Vom notaA � B. Relat�ia "�" este o relat�ie de e hivalent��a pe mult�imea p�art�ilor uneimult�imi Ea) A � A; 8A;b) A � B ) B � A; ) A � B �si B � C ) A � C; (A; B; C � E).O mult�ime este �nit�a avand p elemente, da �a ea are a eea�si putere u mult�i-mea primelor p numere naturale. Elementele mult�imii vor � notate u a1; a2;: : :; apdup�a orespondent�a u elementele 1; 2; : : : ; p ale mult�imii primelor p numere na-turale.O mult�ime nevid�a are nu este �nit�a se nume�ste in�nit�a. Conform de�nit�ieilui Dedekind o mult�ime este in�nit�a da �a este e hipotent�a u o submult�ime pro-prie a sa. Conform de�nit�iei lui Cantor o mult�ime este in�nit�a da �a ont�ineo submult�ime e hipotent�a u IN . O mult�ime A se nume�ste num�arabil�a da �aea este e hipotent�a u mult�imea numerelor naturale. Elementele unei mult�iminum�arabile se pot reprezenta prin �sirul in�nit de elemente distin te a1; a2; : : : ; an;: : : , dup�a orespondent�a e s-a stabilit u elementele lui IN . O mult�ime se nume�ste el mult num�arabil�a da �a ea este vid�a, �nit�a sau num�arabil�a. O mult�ime in�nit�ase nume�ste nenum�arabil�a da �a ea nu este e hipotent�a u IN sau u o submult�imea ei.Exemple. Mult�imea numerelor naturale pare este num�arabil�a, onform o-respondent�ei f : IN ! 2IN; f(n) = 2n. Asem�an�ator mult�imea numerelor na-turale impare este num�arabil�a, onform apli at�iei bije tive f : IN ! 2IN � 1,f(n) = 2n � 1. Mult�imea numerelor �ntregi este �si ea num�arabil�a, deoare eexist�a apli at�ia bije tiv�af : Z ! IN; f(n) = 8<: 2n; n > 0;�2n + 1; n � 0:

28 PreliminariiTeorema 1.2.8. Mult�imea numerelor rat�ionale Q este num�arabil�a.Demonstrat�ie. Folosind tabloul de mai jos se poate stabili o orespondent��a�ntre mult�imea Q\ (0; 1) = npq j p; q 2 IN; p < qo �si IN dup�a liniile trasate. De iQ \ (0; 1) � IN .S riem Q = [n2Z(Q\ [n; n+1)). Deoare e Q\ [n; n+1) este num�arabil�a (searat�a a mai sus), iar reuniunea unei mult�imi num�arabile de mult�imi num�arabileeste num�arabil�a (vezi Problema 11), rezult�a �a mult�imea Q este num�arabil�a.Q.E.D. 12 ! 13 14 ! 15 16 ! 17 � � �. % . % .23 25 27 29 211 � � �# % . % .34 35 37 38 310 � � �. % .45 47 49 411 412 � � �# % .56 57 � � �...Teorema 1.2.9. (Cantor) Mult�imea numerelor reale nu este num�arabil�a.Demonstrat�ie. Ar�at�am �a mult�imea (0; 1℄ nu este num�arabil�a, de unde varezulta on luzia teoremei. Folosim reprezentarea numerelor sub form�a de fra t�iize imale.Presupunem prin absurd �a mult�imea numerelor din intervalul (0; 1℄ estenum�arabil�a, de i ea poate � exprimat�a a un �sir�1 = 0; a11a12a13a14 : : : a1n : : :�2 = 0; a21a22a23a24 : : : a2n : : :�3 = 0; a31a32a33a34 : : : a3n : : :...�n = 0; an1an2an3an4 : : : ann : : :...

Mult�imea numerelor reale 29Ai i 0; an1an2 : : : reprezint�a num�arul real a a �arui dezvoltare ze imal�a in�nit�a este1Xm=1 anm10m ; (se onsider�a 1 = 0; 999:::9:::).Num�arul real � = 0; b1; b2; : : : bn : : :, unde b1 = a11 + 1, b2 = a22 + 1, : : :,bn = ann + 1, : : : (da �a akk = 9 se ia bk = 1) se g�ase�ste �n (0; 1℄, dar este diferitde �n; 8n. Ceea e am obt�inut ontrazi e faptul �a toate numerele din (0; 1℄se g�ases �n �sirul de mai sus. De i (0; 1℄ este o mult�ime nenum�arabil�a, de underezult�a �a IR este nenum�arabil�a. Q.E.D.Ca o onse int��a a Teoremei 1.2.7, mult�imea numerelor irat�ionale IR nQ esteo mult�ime nenum�arabil�a. Ori e interval I din IR (vezi notat�iile de mai jos) are oin�nitate de numere rat�ionale �si o in�nitate de numere irat�ionale.Cantor a demonstrat �a IR este e hipotent�a u P(IN), (vezi [8℄).Deoare e exist�a o orespondent��a biunivo �a �ntre mult�imea numerelor reale�si mult�imea pun telor de pe o dreapt�a (pe are s-a stabilit o origine, un sens�si o unitate de m�asur�a), vom identi� a mult�imea numerelor reale u pun telea estei drepte, numit�a dreapta real�a. Astfel vom folosi deseori limbajul geometri ,spunand "pun t" pe dreapt�a �n lo de num�ar real sau "dreapta real�a" �n lo demult�imea numerelor reale.Fie IR = IR [ f+1;�1g dreapta real�a extins�a (sau �n heiat�a), unde �1 �si+1 nu sunt numere propriu-zise, i simboluri (elemente), numite minus in�nit,respe tiv plus in�nit. Elementul +1 se mai noteaz�a u 1. Relat�ia de ordine peIR se prelunge�ste pe IR luand�1 < +1 �si 8 x 2 IR; �1 < x; x < +1.Elementele +1 �si �1 se numes numere reale in�nite sau pun tele de la in�nitale dreptei reale, iar numerele reale se mai numes �n a est ontext numere reale�nite. Mult�imea IR este total ordonat�a, iar +1 (�1) este el mai mare (respe tiv el mai mi ) element al ei.Adunarea �si �nmult�irea din IR se extind �n IR luand prin de�nit�ie:x+ (+1) = (+1) + x = +1; (x 6= �1);x+ (�1) = (�1) + x = �1; (x 6= +1);

30 Preliminariix � (+1) = (+1) � x = 8<: +1; da �a x > 0;�1; da �a x < 0;x � (�1) = (�1) � x = 8<: �1; da �a x > 0;+1; da �a x < 0;x+1 = x�1 = 0; (x 2 IR).Urm�atoarele operat�ii nu au sens, de a eea se numes forme nedeterminate:a) (+1)+ (�1); (+1)� (+1); (�1)+ (+1); (�1)� (�1); ( are seredu pe s urt la 1�1);b) 0 � (�1); (�1) � 0, (pe s urt 0 � 1); ) +1+1 ; +1�1 ; � � �, (pe s urt 11)�si ele nu pot �ap�ata un sens de at prin examinarea expresiilor din are provin.Pentru o mult�ime A � IR nemajorat�a vom folosi �si notat�ia supA = +1, iarpentru o mult�ime A � IR neminorat�a vom folosi notat�ia inf A = �1.Vom nota uIR� = IR n f0g;IR+ = fx j x 2 IR; x � 0g { mult�imea numerelor reale nenegative;IR�+ = fx j x 2 IR; x > 0g { mult�imea numerelor reale pozitive;IR� = fx j x 2 IR; x � 0g { mult�imea numerelor reale nepozitive;IR�+ = fx j x 2 IR; x < 0g { mult�imea numerelor reale negative;[a; b℄ = fx j x 2 IR; a � x � bg { interval �n his, (a < b);[a; b) = fx j x 2 IR; a � x < bg { interval �n his la stanga �si des his ladreapta, (a < b);(a; b℄ = fx j x 2 IR; a < x � bg { interval des his la stanga �si �n his ladreapta, (a < b);(a; b) = fx j x 2 IR; a < x < bg { interval des his la stanga �si des his ladreapta, (a < b);[a;+1) = fx j x 2 IR; x � ag { interval nem�arginit la dreapta �si �n his lastanga (sau semiaxa �n his�a la stanga u originea �n a);(a;+1) = fx j x 2 IR; x > ag { interval nem�arginit la dreapta �si des his lastanga (sau semiaxa des his�a la stanga u originea �n a);

Mult�imea numerelor reale 31(�1; a℄ = fx j x 2 IR; x � ag { interval nem�arginit la stanga �si �n his ladreapta (sau semiaxa �n his�a la dreapta u originea �n a);(�1; a) = fx j x 2 IR; x < ag { interval nem�arginit la stanga �si des his ladreapta (sau semiaxa des his�a la dreapta u originea �n a).Pentru un num�ar real x0 2 IR numim ve in�atate a sa, ori e mult�ime denumere (pun te) V � IR are ont�ine un interval des his (a; b) e ont�ine pe x0.De i x0 2 (a; b) � V . Ori e ve in�atate V a lui x0 ont�ine o ve in�atate simetri �aa sa ( 9 " > 0 astfel �n at (x0 � "; x0 + ") � V ).Pentru un num�ar real x 2 IR, mult�imea tuturor ve in�at�at�ilor sale, notat�aV(x) �si numit�a sistemul ve in�at�at�ilor pun tului x, are urm�atoarele propriet�at�iV1) x 2 V; 8V 2 V(x);V2) 8V 2 V(x) �si U � V ) U 2 V(x);V3) 8V1; V2 2 V(x) ) V1 \ V2 2 V(x);V4) 8V 2 V(x) 9U 2 V(x) astfel �n at V 2 V(y); 8 y 2 U .O mult�ime X �n are pentru �e are element x am ata�sat o familie de mult�imiV(x) u propriet�at�ile V1 � V4 se nume�ste spat�iu topologi , iar stru tura determi-nat�a de familia de mult�imi V(x), x 2 X se nume�ste topologie. De i IR este unspat�iu topologi , iar topologia de�nit�a u ajutorul intervalelor des hise se nume�stetopologia uzual�a a lui IR.O familie de ve in�at�at�i V0(x) a pun tului x u propriet�at�ilea) V0(x) � V(x);b) 8V 2 V(x) 9U 2 V0(x) astfel �n at U � V ,se nume�ste sistem fundamental de ve in�at�at�i.Pentru x0 2 IR mult�imea intervalelor des hise f(a; b); a < x0 < b; a; b 2 IRg�si mult�imea intervalelor des hise entrate �n x0 f(x0 � "; x0 + "); " > 0g suntsisteme fundamentale de ve in�at�at�i ale pun tului x0.Numim ve in�atate a elementului +1 ori e submult�ime V � IR are ont�ineun interval nem�arginit la dreapta, des his la stanga �si elementul +1, pe are ovom nota V = (a;+1℄. Numim ve in�atate a elementului �1 ori e submult�imeU � IR are ont�ine un interval nem�arginit la stanga, des his la dreapta �si ele-

32 Preliminariimentul �1, pe are o vom nota U = [�1; b).Ca �si pe IR, se poate introdu e pe IR, pentru �e are element x 2 IR, sistemulve in�at�at�ilor sale, are veri� �a propriet�at�ile V1 � V4. Topologia lui IR de�nit�a ua este ve in�at�at�i este o extindere a topologiei uzuale a lui IR.Mult�imea numerelor omplexe C = f(a; b); a; b 2 IRg � IR � IR dotat�a uoperat�iile"+" : C � C ! C; (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2);"�" : C � C ! C; (x1; y1) � (x2; y2) = (x1x2 � y1y2; x1y2 + y1x2)este un orp omutativ. Elementul (0; 1) se noteaz�a u i, iar z = (x; y) not= x+ iy.Deoare e (0; 1) � (0; 1) = i2 = (�1; 0) se justi� �a s rierea i = p�1. AstfelC = fa+ ib j a; b 2 IRg �si IR � C, in luziunea �ind stri t�a.Se onsider�a �ntr-un plan un sistem ortogonal de axe. Pentru num�arul om-plex z = a + ib, a; b 2 IR pun tul M din plan, de oordonate a �si b se nume�steimaginea geometri �a a lui z. Num�arul z se nume�ste a�xul pun tului M . Unghiul' 2 [0; 2�) dintre semidreapta Ox �si semidreapta OM (par urs �n sens dire ttrigonometri , adi �a invers a elor de easorni ) se nume�ste argumentul redus allui z �si se noteaz�a arg z, (vezi Fig.1). De iarg z = 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>: ar tg ba + k�; da �a a 6= 0; unde 8>>><>>>: k = 0; M 2 adran Ik = 1; M 2 II [ IIIk = 2; M 2 IV ;�2 ; da �a b > 0; a = 0;3�2 ; da �a b < 0; a = 0:Numerele ' + 2k�, k 2 Z se numes argumente ale lui z, iar totalitatea lor senoteaz�a u Arg z. Lungimea segmentului OM se nume�ste modulul num�arului omplex z �si se noteaz�a u r. De i r = jOM j = pa2 + b2. Cu ajutorul lui r �si alui ' obt�inem reprezentarea trigonometri �a a lui z, z = r( os'+ i sin').

Exer it�ii �si probleme 33x

0 a

j

b

y

M

Fig. 1

x

rr

Exer it�ii �si probleme1. S�a se veri� e urm�atoarele propriet�at�ia) A � A [B; 8A; B; b) A � B , A [B = B; ) A � B ) A [ C � B [C; 8C; d) A � C �si B � C ) A [B � C;e) A \B � A; 8A; B; f) A � B , A \B = A;g) A � B ) A \ C � B \C; 8C; h) C � A �si C � B ) C � A \B,(A; B; C � E).2. Fie (Ai)i2I o familie de p�art�i ale unei mult�imi E, (I este o familie de indi i).S�a se demonstreze relat�iile lui Morgana) C([i2IAi) = \i2I(CAi); b) C(\i2IAi) = [i2I(CAi).3. Fie (Ai)i2I , (Bj)j2J dou�a familii de mult�imi �si A o mult�ime (I; J familii deindi i). S�a se arate �aa) ([i2IAi)� ([j2JBj) = [(i;j)2I�J(Ai �Bj);b) (\i2IAi)� (\j2JBj) = \(i;j)2I�J(Ai �Bj).4. Fie fun t�ia f : X ! Y , iar A; B � X �si C; D � Y . Atun i au lo relat�iilea) f(A [B) = f(A) [ f(B);b) f(A \B) � f(A) \ f(B); ) f(A nB) � f(A) n f(B);d) f�1(C [D) = f�1(C) [ f�1(D);e) f�1(C \D) = f�1(C) \ f�1(D);f) f�1(C nD) = f�1(C) n f�1(D).

34 PreliminariiS�a se generalizeze apoi a este relat�ii la familii oare are de mult�imi din X, respe tiv Y .5. Fie f : X ! Y o fun t�ie. S�a se arate �aa) f este inje tiv�a , 9 g : Y ! X surje tiv�a astfel �n at g Æ f = 1X .b) f este surje tiv�a , 9 g : Y ! X inje tiv�a astfel �n at f Æ g = 1Y .6. Fie f : X ! Y �si g : Y ! Z dou�a fun t�ii. S�a se arate �aa) Da �a f �si g sunt inje tive (surje tive) atun i g Æ f este inje tiv�a (respe tivsurje tiv�a).b) Da �a f �si g sunt bije tive atun i g Æ f este bije tiv�a �si (g Æ f)�1 = f�1 Æ g�1.7. S�a se arate, folosind Lema lui Eudoxus{Arhimede, �a ori e num�ar real este egal u marginea superioar�a a mult�imii numerelor rat�ionale mai mi i de at el, adi �a8x 2 IR; x = supfr 2 Q j r < xg.8. Fie A; B � IR dou�a mult�imi m�arginite, nevide. Da �a x � y; 8x 2 A; 8 y 2 Batun i inf A � supA � inf B � supB.9. Fie A; B � IR, A � B. Da �a exist�a inf A; supA; inf B �si supB (2 IR), s�a searate �a inf B � infA � supA � supB.10. Fie A; B � IR dou�a mult�imi nevide. S�a se demonstreze propriet�at�ilea) sup(A+B) = supA+ supB;b) inf(A+B) = inf A+ inf B,unde A+B = fa+ b j a 2 A; b 2 Bg.11. S�a se arate �a reuniunea �nit�a sau in�nit�a dar num�arabil�a de mult�imi num�a-rabile este �si ea o mult�ime num�arabil�a.12. S�a se determine inf A, supA, minA �si maxA, unde A estea) A = (1; 2℄ [ [5; 6);b) A = n 112 + 122 + � � �+ 1n2 ; n 2 INo; ) A = n (�1)nn ; n 2 INo;d) A = n 2n2+1n2�n+1 ; n 2 INo;e) A = n(1� 1n) sin n2 ; n 2 INo.13. (Inegalitatea lui Cau hy-Buniakowski-S hwarz). Fie ai; bi 2 IR, i = 1; n(n 2 IN). S�a se arate �a

Exer it�ii �si probleme 35nXi=1 jaibij � nXi=1 a2i!1=2 � nXi=1 b2i!1=2,egalitatea obt�inandu-se da �a �si numai da �a exist�a �; � 2 IR, nu ambele nule astfel �n at�jbij+ �jaij = 0; 8 i = 1; n.14. (Inegalitatea lui Bernoulli). Fie ai > �1, i = 1; n (n 2 IN), toate numereleavand a ela�si semn. S�a se arate �anYi=1(1 + ai) � 1 + nXi=1 ai!.15. (Inegalitatea mediilor). Fie ai > 0; i = 1; n. S�a se arate �aa1 + a2 + � � � + ann � npa1a2 � � � an � n1a1 + 1a2 + � � � + 1an ,egalit�at�ile obt�inandu-se da �a �si numai da �a a1 = a2 = � � � = an.16. (Inegalitatea lui H�older). Fie ai; bi 2 IR+, i = 1; n, iar p; q > 1 u 1p + 1q = 1.Atun i nXi=1 aibi � nXi=1 api!1=p � nXi=1 bqi!1=q.17. (Inegalitatea lui Minkowski). Fie ai; bi 2 IR+, i = 1; n �si p 2 IR, p � 1.Atun i nXi=1(ai + bi)p!1=p � nXi=1 api!1=p + nXi=1 bpi!1=p.

Capitolul 2S�IRURI S�I SERII DE NUMERE REALE1. S�iruri de numere reale1.1. S�ir onvergent, �sir divergentDe�nit�ia 2.1.1. Se nume�ste �sir de numere reale sau �sir numeri o fun t�iereal�a f de�nit�a pe mult�imea numerelor naturale, f : IN ! IR.Vom nota valorile fun t�iei f(n) u an, n 2 IN , iar �sirul u (an)n2IN sau (an)n.Pentru un �sir de numere reale vom mai folosi notat�ia (an)n2IN � IR.De�nit�ia 2.1.2. Elementele an, n 2 IN se numes termenii �sirului, iar an senume�ste termenul general al �sirului.De�nit�ia 2.1.3. S�irul (an)n2IN se nume�ste majorat sau m�arginit superior(minorat sau m�arginit inferior) da �a mult�imea termenilor s�ai este majorat�a (res-pe tiv minorat�a).De�nit�ia 2.1.4. S�irul (an)n2IN se nume�ste m�arginit da �a este majorat �siminorat.De i �sirul (an)n2IN este m�arginit da �a mult�imea termenilor s�ai este m�arginit�a,adi �a 9m; M 2 IR astfel �n at m � an � M; 8n 2 IN sau e hivalent 9K > 0astfel �n at janj � K; 8n 2 IN .De�nit�ia 2.1.5. S�irul (an)n2IN se nume�ste res �ator (des res �ator) da �aan � an+1; 8n 2 IN (respe tiv an � an+1; 8n 2 IN). Da �a inegalit�at�ile demai sus sunt stri te vom spune �a �sirul este stri t res �ator (respe tiv stri tdes res �ator).De�nit�ia 2.1.6. S�irul (an)n2IN se nume�ste monoton (stri t monoton) da �a eleste res �ator sau des res �ator (respe tiv stri t res �ator sau stri t des res �ator).

S�iruri de numere reale 37De�nit�ia 2.1.7. Fie (an)n2IN un �sir de numere reale, iar (nk)k2IN un �sirstri t res �ator de numere naturale. S�irul (xk)k2IN de�nit prin xk = ank , k 2 INse nume�ste sub�sir al �sirului (an)n2IN . Vom nota (xk)k2IN � (an)n2IN .De�nit�ia 2.1.8. S�irul (an)n2IN � IR are limita a 2 IR da �a �n afara ori �areive in�at�at�i a pun tului se a �a el mult un num�ar �nit de termeni ai �sirului.De i �sirul (an)n2IN are limita a da �a pentru ori e ve in�atate V a pun tului aexist�a un rang nV 2 IN astfel �n at pentru ori e n � nV avem an 2 V .Vom nota limn!1an = a sau an ! a, pentru n ! 1 �si vom spune �a (an)ntinde �atre a.De�nit�ia 2.1.9. Un �sir (an)n2IN � IR u limita a 2 IR se nume�ste �sir onvergent. Un �sir (an)n2IN � IR are nu este onvergent se nume�ste divergent.Teorema 2.1.1. S�irul (an)n2IN este onvergent la a 2 IR da �a �si numai da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jan � aj < ": (2:1:1)Demonstrat�ie. Da �a �sirul (an)n este onvergent atun i pentru " > 0 �sive in�atatea lui a, V = (a� "; a+ ") exist�a un rang nV not= n0(") 2 IN astfel �n atan 2 V; 8n � n0("). De i jan � aj < "; 8n � n0(").Re ipro , presupunem �a are lo ondit�ia (2.1.1). Fie V o ve in�atate a pun -tului a. Atun i exist�a " > 0 astfel �n at (a � "; a + ") � V . Conform relat�iei(2.1.1) pentru " > 0 exist�a n0(") astfel �n at pentru ori e n � n0(") s�a avemjan � aj < " , a� " < an < a+ " , an 2 (a� "; a+ ").Deoare e (a�"; a+")�V dedu em �a an 2 V; 8n � n0("). De i limn!1an=a.Q.E.D.De�nit�ia 2.1.10. S�irul (an)n2IN � IR are limita +1 da �a ori e ve in�atatea pun tului +1 ont�ine tot�i termenii �sirului u ex ept�ia eventual a unui num�ar�nit dintre ei.Not�am limn!1 an = +1 sau an ! +1, pentru n!1.De�nit�ia 2.1.11. S�irul (an)n2IN � IR are limita �1 da �a ori e ve in�atatea pun tului �1 ont�ine tot�i termenii �sirului u ex ept�ia eventual a unui num�ar�nit dintre ei.

38 S�iruri �si serii de numere realeNot�am limn!1an = �1 sau an ! �1, pentru n!1.Teorema 2.1.2. S�irul (an)n are limita +1 da �a �si numai da �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo an > M: (2:1:2)Demonstrat�ie. Presupunem �a �sirul (an)n are limita +1. Pentru M > 0, onsiderand ve in�atatea lui +1, V = (M;+1℄, dedu em existent�a unui rang nV u proprietatea �a an 2 V , 8n � nV , adi �a an > M; 8n � nV .Re ipro , presupunem �a are lo relat�ia (2.1.2). Fie V o ve in�atate a pun -tului +1. Atun i exist�a o mult�ime (M;+1℄ � V , u M > 0. Pentru M exist�anM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo inegalitatea an > M , de i an 2 (M;+1℄sau an 2 V; 8n � nM . Q.E.D.In mod asem�an�ator se arat�aTeorema 2.1.3. S�irul (an)n are limita �1 da �a �si numai da �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo an < �M: (2:1:3)S�irurile u limita +1 sau �1 sunt �siruri divergente.De�nit�ia 2.1.12. Vom numi �siruri u limit�a �sirurile onvergente �si �sirurile u limita +1 sau �1.1.2. Propriet�at�i ale �sirurilor u limit�aTeorema 2.1.4. Limita unui �sir onvergent este uni �a.Demonstrat�ie. Fie (an)n2IN un �sir onvergent. Presupunem �a limn!1an = a�si limn!1an = b u a; b 2 IR; a < b. S�a onsider�am ve in�at�at�ile V1 = (a� "; a+ ")�si V2 = (b � "; b + ") u 0 < " < b�a2 . Evident V1 \ V2 = ;. Pentru V1, dinTeorema 2.1.1 dedu em �a exist�a nV1 2 IN astfel �n at pentru ori e n � nV1 s�aavem an 2 V1 , jan � aj < ". Pentru V2 rezult�a �a exist�a nV2 2 IN astfel�n at pentru ori e n � nV2 s�a avem an 2 V2 , jan � bj < ". Atun i pentrun � maxfnV1 ; nV2g obt�inem jan � aj < " �si jan � bj < " sau an 2 V1 \ V2, eea e este absurd. De i presupunerea f�a ut�a este fals�a, iar limita �sirului este uni �a.Q.E.D.

S�iruri de numere reale 39Teorema 2.1.5. Un �sir onvergent este m�arginit.Demonstrat�ie. Fie (an)n2IN un �sir onvergent u limita a 2 IR. ConformTeoremei 2.1.1 avem8 " > 0 9n0(") astfel �n at 8n � n0(") are lo jan � aj < ".Pentru " = 1 dedu em existent�a unui rang n1 2 IN astfel �n at jan � aj < 1;8n � n1. Consider�am M = maxfja1j; ja2j; : : : ; jan1�1j; ja + 1j; ja � 1jg. Atun ijanj �M; 8n 2 IN , de i �sirul este m�arginit. Q.E.D.Conse int�a 2.1.1. Un �sir nem�arginit este divergent.Teorema 2.1.6. Da �a �ntr-un �sir (an)n � IR u limita a 2 IR s himb�amordinea termenilor, ad�aug�am sau suprim�am un num�ar �nit de termeni, se obt�ineun �sir avand a eea�si limit�a.Demonstrat�ie. Propriet�at�ile din de�nit�ia �sirului onvergent sau u limita+1 sau �1 nu se modi� �a �n urma operat�iilor de mai sus, adi �a �n afara ori �areive in�at�at�i a limitei r�amane el mult un num�ar �nit de termeni. Q.E.D.Teorema 2.1.7. Da �a �sirul (an)n2IN are limita a 2 IR atun i ori e sub�sir als�au are a eea�si limit�a.Demonstrat�ie. In afara ori �arei ve in�at�at�i a limitei a 2 IR r�amane el multun num�ar �nit de termeni ai �sirului, de i �si ai ori �arui sub�sir al s�au. Q.E.D.Conse int�a 2.1.2. Da �a un �sir de numere reale are dou�a sub�siruri u limitediferite, atun i el este divergent.1.3. Operat�ii u �siruri u limit�aTeorema 2.1.8. Fie �sirurile (an)n �si (bn)n u limit�a, iar suma (diferent�a)limitelor are sens. Atun i �sirul sum�a (an+bn)n (respe tiv �sirul diferent��a (an�bn)n)are limit�a �si limn!1(an + bn) = limn!1 an + limn!1 bn,(respe tiv limn!1(an � bn) = limn!1 an � limn!1 bn ).Demonstrat�ie. S�a onsider�am mai �ntai azul limn!1 an=a2IR �si limn!1 bn == b 2 IR. Din Teorema 2.1.1 de ara terizare a limitei avem8 " > 0 9n1("=2) astfel �n at 8n � n1("=2) are lo jan � aj < "=2 �si

40 S�iruri �si serii de numere reale8 " > 0 9n2("=2) astfel �n at 8n � n2("=2) are lo jbn � bj < "=2 .Atun i pentru un " > 0 �si n � n0(") def= maxfn1("=2); n2("=2)g rezult�aj(an+bn)�(a+b)j = j(an�a)+(bn�b)j � jan�aj+ jbn�bj < "=2+"=2 = ".Obt�inem �a limn!1(an + bn) = a + b.Fie a um �sirul (an)n u limita a 2 IR, iar �sirul (bn)n u limita +1. De i8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jan � aj < " �si8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo bn > M .Fie M > 0; pentru " = a exist�a n0(a) not= n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 arelo 0 < an < 2a. Atun i pentru n � maxfn1; nMg avem an + bn > 0 +M = M ,de i limn!1(an + bn) = +1.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a azurilelimn!1 an = a 2 IR; limn!1 bn = �1 ) limn!1(an + bn) = �1;limn!1 an =1; limn!1 bn =1 ) limn!1(an + bn) =1;limn!1 an = �1; limn!1 bn = �1 ) limn!1(an + bn) = �1,pre um �si ele referitoare la diferent�a �sirurilor (an)n �si (bn)n. Q.E.D.Teorema 2.1.9. Fie �sirurile (an)n2IN �si (bn)n2IN u limit�a, iar produsullimitelor are sens. Atun i �sirul produs (anbn)n2IN are limit�a �silimn!1(anbn) = � limn!1 an� � � limn!1 bn� :Demonstrat�ie. S�a onsider�am �si ai i mai �ntai azul limn!1an = a 2 IR� �silimn!1 bn = b 2 IR. Avem8 " > 0 9n1(") 2 IN astfel �n at 8n � n1(") are lo jan � aj < " �si8 " > 0 9n2(") 2 IN astfel �n at 8n � n2(") are lo jbn � bj < ".S�irul (bn)n este m�arginit, de i exist�a M > 0 astfel �n at jbnj � M; 8n 2 IN .Pentru " > 0 de�nim n0(") = maxnn1 � "2M � ; n2 � "2jaj�o. Atun i pentru ori en � n0(") avemjanbn � abj = janbn � abn + abn � abj = j(an � a)bn + a(bn � b)j �� jan � aj � jbnj+ jaj � jbn � bj < "2M �M + jaj � "2jaj = "2 + "2 = ",adi �a limn!1 anbn = ab.Da �a limn!1 an = 0, iar limn!1 bn = b 2 IR atun ijanbnj �M janj < M � "M = "; 8n � n1("=M),

S�iruri de numere reale 41de i limn!1(anbn) = 0. Mai sus am folosit doar m�arginirea �sirului (bn)n, adi �a da �alimn!1an = 0, iar (bn)n este m�arginit, rezult�a �a (anbn)n are limit�a �si a easta este0, limn!1(anbn) = 0.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a �si elelalte azurilimn!1an =1; limn!1 bn = b > 0 ) limn!1(anbn) =1;limn!1an =1; limn!1 bn = b < 0 ) limn!1(anbn) = �1;limn!1an = �1; limn!1 bn = b > 0 ) limn!1(anbn) = �1;limn!1an = �1; limn!1 bn = b < 0 ) limn!1(anbn) =1;limn!1an =1; limn!1 bn =1 ) limn!1(anbn) =1;limn!1an = �1; limn!1 bn = �1 ) limn!1(anbn) =1;limn!1an =1; limn!1 bn = �1 ) limn!1(anbn) = �1. Q.E.D.Teorema 2.1.10. Fie �sirurile (an)n2IN �si (bn)n2IN u limit�a, u bn 6= 0;8n2IN , iar atul limitelor are sens. Atun i �sirul at �anbn �n2IN are limit�a �silimn!1 anbn = limn!1 anlimn!1 bn .Demonstrat�ie. S�a onsider�am azul limn!1 an = a 2 IR� �si limn!1 bn = b 2 IR�.Atun i, din Teorema 2.1.1 avem8 " > 0 9n1(") 2 IN astfel �n at 8n � n1(") are lo jan � aj < " �si8 " > 0 9n2(") 2 IN astfel �n at 8n � n2(") are lo jbn � bj < " .Deoare e b 6= 0, rezult�a �a 9 > 0 �si 9n3 2 IN astfel �n at jbnj � ; 8n � n3.Atun i pentru " > 0 �si n � n0(") = max nn1 � "2 � ; n2 � " jbj2jaj � ; n3o avem����anbn � ab ���� = ����an � abn + a� 1bn � 1b����� � jan � ajjbnj + jaj � jbn � bjjbj � jbnj << 1 � "2 + jajjbj � 1 � " jbj2jaj = "2 + "2 = ".De i limn!1 anbn = ab .In mod asem�an�ator se demonstreaz�a �si elelalte azurilimn!1an = 0; limn!1 bn = b 2 IR� ) limn!1 anbn = 0;limn!1an =1; limn!1 bn = b > 0 ) limn!1 anbn =1;limn!1an =1; limn!1 bn = b < 0 ) limn!1 anbn = �1;

42 S�iruri �si serii de numere realelimn!1 an = �1; limn!1 bn = b > 0 ) limn!1 anbn = �1;limn!1 an = �1; limn!1 bn = b < 0 ) limn!1 anbn =1;limn!1 an = a; limn!1 bn = �1 ) limn!1 anbn = 0; : : : Q.E.D.Observat�ia 2.1.1. In enunt�ul Teoremei 2.1.10 se poate �nlo ui ipotezabn 6= 0; 8n 2 IN u limn!1 bn = b 6= 0. In a est az exist�a n0 2 IN astfel �n atbn 6= 0; 8n � n0 �si modi� and primii termeni ai �sirului obt�inem un �sir (b0n)n ub0n 6= 0; 8n 2 IN .Teorema 2.1.11. a) Fie � > 0; � 6= 1 �si �sirul (an)n2IN � IR u limitaa 2 IR. Atun i �sirul (�an)n2IN are limita �a.b) Fie (an)n2IN u limn!1 an =1. Da �a � > 1 atun i limn!1�an =1, iar da �a0 < � < 1 atun i limn!1�an = 0. ) Fie (an)n2IN u limn!1 an = �1. Da �a � > 1 atun i limn!1�an = 0, iar da �a0 < � < 1 atun i limn!1�an =1.Demonstrat�ie. Pentru pun tul a) s�a onsider�am � > 1. Presupunem prinredu ere la absurd �a �an 6! �a, pentru n ! 1. Rezult�a atun i �a exist�a uninterval u entrul �n �a, (u; v), �n exteriorul �aruia se a �a o in�nitate de termeniai �sirului (�an)n. Dedu em existent�a unui sub�sir (�ank )k � (�an)n u proprietatea �a pentru ori e k 2 IN are lo �ank > v, (presupunand �a la dreapta lui v sunt oin�nitate de termeni). Fie � 2 IR u �� = v. Atun i pentru ori e k 2 IN avemank > �, eea e este o ontradi t�ie, �a i � > a.Da �a � < 1, notand �0 = 1� avem �an = 1(�0)an . Atun i onform elor de maisus obt�inem �a (�0)an ! (�0)a, de i �an ! �a; pentru n!1.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a pun tele b) �si ). Q.E.D.Teorema 2.1.12. a) Fie � > 0 �si �sirul (an)n2IN de numere reale, onvergent u limita a > 0. Atun i limn!1 log�an = log�a.b)Da �a an ! 0 �si an > 0; 8n 2 IN , atun i limn!1 log�an = �1, ( limn!1 log�an == +1) pentru � > 1 (respe tiv � < 1). ) Da �a an ! +1 atun i limn!1 log�an = +1, ( limn!1 log�an = �1) pentru� > 1 (respe tiv � < 1).

S�iruri de numere reale 43Demonstrat�ie. a) Demonstr�am teorema mai �ntai �n azul a = 1 �si pre-supunem �a � > 1. Presupunem prin redu ere la absurd �a log�an 6! 0, pentrun ! 1. Rezult�a atun i �a exist�a un interval (u; v) u entrul �n 0 �si un sub�sir(ank)k al �sirului (an)n astfel �n at log�ank > v sau ank > �v, 8 k 2 IN . Deoare ev > 0 �si �v > 1 rezult�a �a ank 6! 1, eea e este o ontradi t�ie, deoare e an ! 1,pentru n!1.Da �a � < 1 s riem log�an = �log 1�an. Conform elor de mai sus log 1�an ! 0,de unde rezult�a �a log�an ! 0, pentru n!1.Pentru azul general a 6= 1, avem ana ! 1, pentru n ! 1. Atun i onformprimei p�art�i a demonstrat�iei rezult�a �a log�an � log�a = log� ana ! 0. De ilog�an ! log�a, pentru n!1.b) Fie � > 1, iar M > 0 un num�ar real pozitiv. Pentru ��M exist�a un rangn0 de la are an < ��M , (an ! 0). Rezult�a �a log�an < �M pentru n � n0,adi �a limn!1 log�an = �1.In mod asem�an�ator se arat�a �a pentru � < 1 avem limn!1 log�an = +1. ) Da �a � > 1, iar an ! 1, pentru n ! 1, atun i pentru M1 > 0 exist�anM1 2 IN astfel �n at an > M1, 8n � nM1. Fie M > 0, iar M1 = �M . Rezult�aatun i �a exist�a nM1 not= n1 2 IN astfel �n at an > �M sau log�an > M , 8n � n1.De i limn!1 log�an = +1.In mod asem�an�ator se arat�a �a da �a � < 1 �si an !1, pentru n!1 atun ilimn!1 log�an = �1. Q.E.D.Teorema 2.1.13. Fie �sirurile (an)n2IN �si (bn)n2IN u limit�a, an>0, 8n2IN ,iar operat�ia ab are sens, unde a = limn!1 an, b = limn!1 bn. Atun i �sirul (abnn )n2IN arelimit�a �si limn!1 abnn = ab.Demonstrat�ie. (I) S�a onsider�am azul limn!1an = a > 0 �si limn!1 bn = b 2 IR.Presupunem mai �ntai �a a = 1. Vom ar�ata �a da �a an > 1; 8n 2 IN (sauan < 1; 8n 2 IN) atun i abnn ! 1. In primul az (an > 1; 8n 2 IN) putempresupune �a bn > 0; 8n 2 IN , �e bn < 0; 8n 2 IN . Consider�am bn > 0; 8n 2 IN ;presupunem prin redu ere la absurd �a abnn 6! 1, pentru n!1. Deoare eabnn > 1; 8n 2 IN , rezult�a �a exist�a un sub�sir �abnknk �k al �sirului (abnn )n astfel

44 S�iruri �si serii de numere reale�n at pentru ori e k 2 IN , abnknk > v, (v > 1). De i bnk > lg vlgank , de unde rezult�abnk ! +1, eea e este o ontradi t�ie. Da �a bn < 0; 8n 2 IN , atun i onform elor de mai sus a�bnn ! 1, de i abnn = 1a�bnn ! 1, pentru n!1.In al doilea az (an < 1; 8n 2 IN), not�am a0n = 1an . Atun i abnn = 1(a0n)bn �si onform primei p�art�i a demonstrat�iei (a0n)bn ! 1, de i abnn ! 1, pentru n!1.Pentru azul general a > 0, not�am u n = �ana �bn . Atun i onform elor demai sus rezult�a �a n ! 1, �ana ! 1�. Deoare e abnn = n �abn , din Teorema 2.1.11�si Teorema 2.1.9 rezult�a �a limn!1abnn = ab.(II) S�a onsider�am a = 0 �si b > 0. Presupunem prin redu ere la absurd �aabnn 6! 0, pentru n!1. Rezult�a atun i �a exist�a un num�ar real Æ > 0 �si un sub�sir�abnknk �k��abnn �n astfel �n at pentru ori e k2IN avem abnknk � Æ. Putem presupune �a bnk > 0; 8 k 2 IN . Dedu em astfel �a lgank � lg Æbnk �si de i limn!1 lgank � lg Æb .Am obt�inut o ontradi t�ie, �a i, onform Teoremei 2.1.12 limn!1 lgank = �1.F�ar�a probleme deosebite se demonstreaz�a �si elelalte azuria = +1; b > 0; limn!1abnn = +1;a = +1; b < 0; limn!1abnn = 0;a 2 IR; a > 1; b = +1; limn!1 abnn = +1;a 2 IR; 0 < a < 1; b = +1; limn!1 abnn = 0;a 2 IR; a > 1; b = �1; limn!1abnn = 0;a 2 IR; 0 < a < 1; b = �1; limn!1abnn = +1. Q.E.D.Observat�ia 2.1.2. Din Teorema 2.1.13 dedu em �a pentru � 2 IR, limn!1 a�n == a�, pentru a > 0 sau pentru a = 0 �si � > 0.1.4. Propriet�at�i de ompatibilitate a onvergent�ei u relat�ia deordine din IRTeorema 2.1.14. Fie (an)n2IN �si (bn)n2IN � IR u an � bn; 8n 2 IN (saude la un rang �n olo). Da �a limn!1 an = a 2 IR �si limn!1 bn = b 2 IR atun i a � b.Demonstrat�ie. Deoare e limn!1an = a �si limn!1 bn = b avem8 " > 0 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo jan � aj < " �si8 " > 0 9n2 2 IN astfel �n at 8n � n2 are lo jbn � bj < ":

S�iruri de numere reale 45Pentru " > 0 �si n � n0 = maxfn1; n2g obt�inem, t�inand ont �si de inegalitateadin enunt�, a� " < an � bn < b + ". De i a < b + 2"; 8 " > 0. Presupunem prinredu ere la absurd �a a > b. Atun i pentru " = a�b2 , din inegalitatea de mai sus,dedu em �a a < b + 2a�b2 , de unde rezult�a �a a < a. Contradi t�ia obt�inut�a ne ondu e la on luzia a � b. Q.E.D.Observat�ia 2.1.3. Teorema de mai sus se extinde �si la azurile a 2 IR,b 2 IR �si anumea = �1; b 2 IR sau a = �1; b = +1 sau a 2 IR; b = +1, onform ordinii din IR.Teorema 2.1.15. Fie �sirul (an)n2IN�IR �si a2IR. Da �a exist�a (�n)n2IN�IR+ u limn!1�n = 0 astfel �n at jan�aj � �n; 8n 2 IN (sau exist�a n0 2 IN astfel �n ats�a aib�a lo inegalitatea de mai sus pentru n � n0) atun i limn!1 an = a, ( riteriulmajor�arii).Demonstrat�ie. Deoare e �n ! 0; pentru n!1 avem8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo �n < ".Atun i pentru " > 0 �si n0(") de mai sus, obt�inem jan � aj � �n < ", de ilimn!1an = a. Q.E.D.Teorema 2.1.16. Fie �sirurile (an)n2IN , (�n)n2IN , (�n)n2IN � IR astfel �n at�n � an � �n; 8n 2 IN (sau de la un rang �n olo). Da �a limn!1�n = limn!1�n = aatun i exist�a limn!1an = a ( riteriul le�stelui).Demonstrat�ie. Din ipotez�a avem8 " > 0 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo j�n � aj < " �si8 " > 0 9n2 2 IN astfel �n at 8n � n2 are lo j�n � aj < ":Atun i pentru " > 0 �si n � maxfn1; n2g not= n0 avema� " < �n � an � �n < a + ",de unde rezult�a jan � aj < ". De i limn!1 an = a. Q.E.D.Observat�ia 2.1.4. Teorema se extinde �si la azul a = �1 sau a = +1.

46 S�iruri �si serii de numere reale1.5. Teoreme fundamentale �n teoria onvergent�ei �sirurilorrealeTeorema 2.1.17. (Bolzano{Weierstrass) (I)Un �sir de numere reale res �ator�si m�arginit superior este onvergent, iar limita sa este marginea superioar�a amult�imii termenilor �sirului.(II) Un �sir de numere reale des res �ator �si m�arginit inferior este onvergent,iar limita sa este marginea inferioar�a a mult�imii termenilor �sirului.Demonstrat�ie. (I) Fie (an)n2IN un �sir res �ator, an � an+1; 8n 2 IN �sim�arginit superior, adi �a 9M 2 IR astfel �n at an � M; 8n 2 IN . Conformaxiomei (A15) dedu em �a exist�a supfan; n 2 INg not= � 2 IR.Din Teorema 1.2.2 de ara terizare a marginii superioare avema) an � �; 8n 2 IN ;b) 8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at an0 > �� ".Deoare e �sirul (an)n este res �ator, dedu em �a pentru " > 0 arbitrar, mo-mentan �xat, avem an � an0 > �� "; 8n � n0. De i�� " < an � � < �+ "; 8n � n0.Rezult�a �a pentru 8 " > 0 9n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 are lo jan��j < ", eea e ne spune (Teorema 2.1.1) �a limn!1 an = �.(II) Se poate demonstra �n a eea�si manier�a a �n prima parte a demonstrat�iei,folosind Teorema 1.2.3 sau se poate obt�ine rezultatul folosind prima parte a teo-remei (I) �n felul urm�ator: da �a (an)n este un �sir des res �ator �si m�arginit inferior,atun i �sirul (�an)n este res �ator �si m�arginit superior, de i onform primei p�art�ia teoremei avemlimn!1(�an) = supf�an; n 2 INg = � inffan; n 2 INg )limn!1 an = inffan; n 2 INg. Q.E.D.Conse int�a 2.1.3. Un �sir monoton este onvergent da �a �si numai da �a eleste m�arginit.Teorema 2.1.18. (Cantor) Fie

S�iruri de numere reale 47[a1; b1℄ � [a2; b2℄ � : : : � [an; bn℄ � [an+1; bn+1℄ � : : :un �sir des res �ator de intervale �n hise ale lui IR astfel �n at limn!1(bn � an) = 0.Atun i exist�a un pun t uni 2 IR omun tuturor intervalelor, adi �a\1n=1[an; bn℄ = f g.Demonstrat�ie. Deoare e [an+1; bn+1℄ � [an; bn℄; 8n 2 IN rezult�aan � an+1 � bn+1 � bn; 8n 2 IN .S�irul (an)n este res �ator �si m�arginit superior de b1, iar �sirul (bn)n este des- res �ator �si m�arginit inferior de a1. Conform Teoremei 2.1.17 rezult�a �a exist�a = limn!1an �si 0 = limn!1 bn. Deoare e limn!1(bn � an) = 0 dedu em �a = 0.Ar�at�am �n ontinuare �a pentru ori e k 2 IN pun tul 2 [ak; bk℄. Fie k 2 IN�xat. Atun i ak � ak+p � bk+p � bk; 8 p 2 IN .Pentru p ! 1, deoare e limp!1ak+p = limp!1 bk+p = , (�sirurile (ak+p)p �si (bk+p)psunt �sirurile (ap)p �si (bp)p din are s-au suprimat primii k termeni), obt�inemak � � bk.De i 2 [ak; bk℄. Deoare e k era arbitrar, dedu em �a 2 \1k=1[ak; bk℄.Pun tul este uni determinat. Intr-adev�ar, da �a ar mai exista un pun t 1 u proprietatea an � 1 � bn; 8n 2 IN , tre and la limit�a pentru n ! 1,obt�inem � 1 � , adi �a 1 = . Q.E.D.Teorema 2.1.19. (Lema lui Cesaro) Un �sir m�arginit de numere reale are el put�in un sub�sir onvergent.Demonstrat�ie. Fie (xn)n2IN un �sir m�arginit de numere reale. Atun i exist�aun interval [a1; b1℄ are ont�ine tot�i termenii �sirului. Imp�art�im a est interval[a1; b1℄ �n dou�a subintervale egale, luand mijlo ul s�au pun tul a1+b12 . Cel put�inunul dintre ele dou�a subintervale formate ha1; a1+b12 i �si ha1+b12 ; b1i va ont�ine oin�nitate de termeni ai �sirului. Not�am u [a2; b2℄ un subinterval din ele dou�a are ont�ine o in�nitate de termeni ai �sirului. Cu intervalul [a2; b2℄ pro ed�am �na ela�si mod a �si u [a1; b1℄, adi �a �l �mp�art�im �n dou�a, alegem un subinterval �n are se g�ase�ste o in�nitate de termeni ai �sirului �si �l not�am u [a3; b3℄. Construimastfel prin re urent��a un �sir des res �ator de intervale �n hise

48 S�iruri �si serii de numere reale[a1; b1℄ � [a2; b2℄ � : : : � [an; bn℄ � [an+1; bn+1℄ � : : : are ont�in o in�nitate de termeni ai �sirului dat.Din onstru t�ie avemb2 � a2 = b1�a12 , b3 � a3 = b2�a22 = b1�a122 , : : :, bn � an = b1�a12n�1 ,de unde rezult�a �a limn!1(bn � an) = 0.Prin urmare �sirul de intervale ([an; bn℄)n2IN satisfa e ondit�iile din Teorema2.1.18 (Cantor). Rezult�a �a exist�a un singur pun t omun tuturor intervalelor[an; bn℄, iar = limn!1 an = limn!1 bn.Vom ar�ata �n ontinuare �a exist�a un sub�sir al �sirului (xn)n2IN are onvergela . Deoare e �n �e are interval exist�a o in�nitate de termeni ai �sirului (xn)n,putem sele ta elementelexn1 2 [a1; b1℄; xn2 2 [a2; b2℄ u n2 > n1, : : :�si �n general xnk 2 [ak; bk℄ u nk > nk�1; k 2 IN . Am obt�inut astfel sub�sirul(xnk)k2IN al �sirului (xn)n astfel �n atak � xnk � bk; k 2 IN .Pentru k!1, folosind Teorema 2.1.16 rezult�a �a limk!1xnk = . Q.E.D.Teorema 2.1.20. a) Un �sir nemajorat ont�ine un sub�sir u limita +1.b) Un �sir neminorat ont�ine un sub�sir u limita �1.Demonstrat�ie. a) Fie (xn)n2IN un �sir nemajorat, adi �a 8M > 0 9nM 2 INastfel �n at xnM > M sau supfxn; n 2 INg = +1. S�a onsider�am mult�imeaVk = (k;+1), k > 0 arbitrar, momentan �xat. O astfel de mult�ime ont�ineo in�nitate de termeni ai �sirului. Intr-adev�ar, da �a am presupune �a a east�amult�ime ont�ine doar un num�ar �nit de termeni xp1 ; xp2; : : : ; xpm atun i, on-siderand M = maxfjxp1j; jxp2j; : : : ; jxpmjg > 0, intervalul (M;+1) nu va ont�ineni i un termen al �sirului. Ceea e am obt�inut este absurd, deoare e �sirul (xn)neste nemajorat. De i mult�imea Vk ont�ine o in�nitate de termeni ai �sirului. Pen-tru V1 = (1;1) alegem un termen al �sirului xn1 2 V1, de i xn1 > 1. PentruV2 = (2;1) alegem xn2 2 V2, u n2 > n1, de i xn2 > 2. In general pentruVk = (k;+1) alegem xnk 2 Vk u nk > nk�1, de i xnk > k. In a est fel am onstruit un sub�sir (xnk)k2IN al �sirului (xn)n2IN u xnk > k; 8 k 2 IN . De i

S�iruri de numere reale 49limk!1xnk =1.b) Fie �sirul (xn)n2IN neminorat, adi �a 8M > 0 9nM 2 IN astfel �n atxnM < �M sau inffxn; n 2 INg = �1. Atun i se arat�a asem�an�ator �a ori emult�ime Uk = (�1;�k); k 2 IN ont�ine o in�nitate de termeni ai �sirului.Construim sub�sirul (xnk)k astfelxn1 2 U1 ) xn1 < �1;xn2 2 U2; n2 > n1 ) xn2 < �2;...xnk 2 Uk; nk > nk�1 ) xnk < �k;...Astfel limk!1xnk = �1. Q.E.D.Din Teorema 2.1.19 �si Teorema 2.1.20 dedu emConse int�a 2.1.4. Un �sir de numere reale are el put�in un sub�sir u limit�a.De�nit�ia 2.1.13. Un �sir (xn)n2IN � IR se nume�ste �sir fundamental sau �sirCau hy da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n; m � n0(") are lo jxn � xmj < ": (2:1:4)Luand m = n+ p obt�inem de�nit�ia e hivalent�aDe�nit�ia 2.1.14. S�irul (xn)n2IN este fundamental da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jxn+p � xnj < "; 8 p 2 IN:(2:1:5)Teorema 2.1.21. (Cau hy) Un �sir de numere reale este onvergent da �a �sinumai da �a este �sir fundamental.Demonstrat�ie. Presupunem �a �sirul (xn)n2IN este onvergent u limita x.De i 8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jxn � xj < ".Atun i pentru " > 0 arbitrar, momentan �xat �si ori e m; n � n0("=2) not=en0(") avemjxn � xmj = j(xn � x) + (x� xm)j � jxn � xj+ jx� xmj < "2 + "2 = ".

50 S�iruri �si serii de numere realeDe i pentru ori e " > 0 exist�a en0(") 2 IN astfel �n at 8m; n � en0(") avemjxn � xmj < ". Rezult�a �a �sirul (xn)n este �sir Cau hy.Re ipro , s�a presupunem �a (xn)n este un �sir Cau hy, adi �a are lo relat�ia(2.1.4). Vom ar�ata mai �ntai �a �sirul (xn)n este m�arginit. Intr-adev�ar, luand " = 1�n (2.1.4) rezult�a �a exist�a n0(1) not= n1 2 IN astfel �n at pentru ori e m; n � n1are lo jxn � xmj < 1. Pentru m = n1 avem jxn � xn1 j < 1; 8n � n1 �sijxnj = jxn � xn1 + xn1 j � jxn � xn1 j+ jxn1 j < 1 + jxn1 j; 8n � n1.Da �a not�am u M = maxfjx1j; jx2j; : : : ; jxn1�1j; 1 + jxn1 jg atun i jxnj �M;8n 2 IN , adi �a �sirul (xn)n este m�arginit.Conform Teoremei 2.1.19, �sirul (xn)n2IN ont�ine un sub�sir onvergent (xnk)k2IN .Fie x = limk!1xnk . Vom ar�ata �a �sirul (xn)n2IN are limita x, de i este onvergent.Conform Teoremei 2.1.1 avem8 " > 0 9 k0("=2) 2 IN astfel �n at 8 k � k0 are lo jxnk � xj < "=2.S�a onsider�am pentru un " > 0, n1(") = maxfn0("=2); k0("=2)g. Atun ipentru n � n1("), onsiderand un k � n1("), obt�inem nk � k � n1(") �sijxn � xj = jxn � xnk + xnk � xj � jxn � xnk j+ jxnk � xj < "2 + "2 = ".De i pentru ori e " > 0 exist�a n1(") 2 IN astfel �n at pentru 8n � n1(")avem jxn � xj < ", de unde dedu em �a �sirul (xn)n este onvergent, u limita x,(limita sub�sirului (xnk)k). Q.E.D.Observat�ia 2.1.5. Teorema lui Cau hy este foarte important�a, deoare e ned�a o ara terizare a unui �sir onvergent, �n are nu apare limita sa.Observat�ia 2.1.6. Se poate ar�ata �a ori are dintre Teoremele 2.1.17, 2.1.18,2.1.19 �si 2.1.21 �mpreun�a u Axioma lui Eudoxus-Arhimede (Teorema 1.2.6) estee hivalent�a u axioma (A15) de existent��a a marginii superioare.Exemplul 2.1.1. S�irul an = sin 12 + sin 222 + � � �+ sinn2n , n 2 IN , este un �sirCau hy. Intr-adev�ar, s�a onsider�am un " > 0 arbitrar, momentan �xat. Atun ijan+p � anj = �����sin 12 + sin 222 + � � �+ sinn2n + sin(n + 1)2n+1 + � � �+ sin(n+ p)2n+p ��12 � 122 � � � � � sinn2n ���� = �����sin(n+ 1)2n+1 + sin(n+ 2)2n+2 + � � �+ sin(n + p)2n+p ����� �

S�iruri de numere reale 51� j sin(n+ 1)j2n+1 + j sin(n + 2)j2n+2 + � � �+ j sin(n+ p)j2n+p � 12n+1 + 12n+2 + � � �+ 12n+p == 12n �1� 12p� < 12n ; 8 p 2 IN .Punand ondit�ia 12n < " obt�inem n > log21" . De i rangul n0(") din de�nit�ia�sirului Cau hy esten0(") = 8><>: �log2 1"�+ 1; da �a 0 < " � 1;1; da �a " > 1:Atun i pentru ori e n�n0(") �si pentru ori e p2IN avem jan+p�anj<". De iavem veri� at�a ondit�ia (2.1.5), adi �a �sirul (an)n este �sir Cau hy. Din Teorema2.1.21 dedu em �a �sirul (an)n este onvergent, de i 9 limn!1 an = a 2 IR.Exemplul 2.1.2. S�irul an = 1+ 12+ 13+ � � �+ 1n; n 2 IN , nu este �sir Cau hy.Presupunem prin redu ere la absurd �a �sirul (an)n 2 IN este �sir Cau hy,adi �a are lo (2.1.5). Pentru " = 12 rezult�a �a exist�a n0 �12� not= n1 2 IN astfel�n at pentru ori e n � n1 �si ori e p 2 IN avem jan+p � anj < 12 . Luand p = nobt�inem ja2n � anj < 12 ; 8n � n1.Dar ja2n � anj = 1n+ 1 + 1n + 2 + � � �+ 12n � n2n = 12 ; n 2 IN , eea e ontrazi e inegalitatea obt�inut�a mai sus. De i presupunerea f�a ut�a estefals�a, adi �a �sirul (an)n 2 IN nu este �sir Cau hy, de i nu este onvergent ( onformTeoremei 2.1.21).Deoare e (an)n2IN este stri t res �ator (an < an+1; 8n 2 IN) rezult�a �alimn!1an =1.1.6. Pun te limit�a ale unui �sir. Limita superioar�a �si limitainferioar�aDe�nit�ia 2.1.15. Spunem �a elementul x 2 IR este pun t limit�a al �sirului(xn)n2IN � IR da �a ori e ve in�atate a lui x ont�ine o in�nitate de termeni ai�sirului.Da �a (xn)n2IN � IR are limita x 2 IR atun i x este pun t limit�a pentru �sirul(xn)n. Exist�a �siruri f�ar�a limit�a, are au pun te limit�a, de exemplu �sirul divergentxn = (�1)n; n 2 IN are pe 1 �si �1 pun te limit�a. Intr-adev�ar ori e ve in�atate

52 S�iruri �si serii de numere realea lui 1 ont�ine termenii x2k = 1; k 2 IN �si ori e ve in�atate a lui �1 ont�inetermenii x2k�1 = �1; k 2 IN .Teorema 2.1.22. Elementul x 2 IR este pun t limit�a al �sirului (xn)n2INda �a �si numai da �a (xn)n2IN ont�ine un sub�sir u limita x.Demonstrat�ie. Fie x 2 IR un pun t limit�a al �sirului (xn)n. Avem treisituat�ii a) x 2 IR, b) x = +1, ) x = �1.a) Da �a x 2 IR s�a onsider�am ve in�atatea V1 = (x�1; x+1) a lui x. Deoare eV1 ont�ine o in�nitate de termeni ai �sirului, alegem xn1 2 V1, de i jxn1 � xj< 1.Pentru ve in�atatea V2 = �x� 12 ; x+ 12� are ont�ine �si ea o in�nitate de termeniai �sirului alegem xn2 2 V2, u n2 > n1, de i jxn2 � xj < 12 . Continu�am pro edeulde sele t�ie a termenilor �sirului (xn)n; astfel presupunand �a l-am ales pe xnk 22 Vk = �x� 1k ; x+ 1k�, din ve in�atatea Vk+1 = �x� 1k+1 ; x+ 1k+1� alegem untermen xnk+1 2 Vk+1, u nk+1 > nk. In felul a esta onstruim sub�sirul (xnk)k2IN �� (xn)n2IN u jxnk � xj < 1k ; 8 k 2 IN . De ai i rezult�a �a limk!1xnk = x.b) Da �a x = +1 este pun t limit�a pentru �sirul (xn)n2IN , atun i onsiderandve in�at�at�ile lui +1, Vk = (k;+1℄; k 2 IN , onstruim a �n Teorema 2.1.20, a)sub�sirul (xnk)k, xnk 2 Vk, de i limk!1xnk = +1. ) Da �a x = �1, pentru ve in�at�at�ile lui �1, Uk = [�1;�k); k 2 IN onstruim sub�sirul xnk 2 Uk ( a �n Teorema 2.1.20 b)), de i limk!1xnk = �1.Re ipro , da �a �sirul (xn)n2IN ont�ine un sub�sir (xnk)k2IN u limita x, atun i�n ori e ve in�atate a lui x se g�ases tot�i termenii sub�sirului, u ex ept�ia eventuala unui num�ar �nit dintre ei. De i �n ori e ve in�atate a lui x se a �a o in�nitate determeni ai �sirului (xn)n. Rezult�a �a x este pun t limit�a al �sirului (xn)n. Q.E.D.Conse int�a 2.1.5. Un �sir de numere reale are el put�in un pun t limit�a.Demonstrat�ie. Da �a �sirul este m�arginit, din Teorema 2.1.19 dedu emexistent�a unui sub�sir onvergent. Limita a estui sub�sir este un pun t limit�a al�sirului dat.Da �a �sirul este nemajorat, Teorema 2.1.20 a) ne spune �a el ont�ine un sub�sir u limita +1, de i +1 este pun t limit�a pentru �sirul nostru.Da �a �sirul este neminorat, Teorema 2.1.20 b) ne d�a existent�a unui sub�sir u

S�iruri de numere reale 53limita �1, de i �1 este pun t limit�a pentru �sirul dat. Q.E.D.Conse int�a 2.1.6. Mult�imea pun telor limit�a ale unui �sir (xn)n2IN � IReste nevid�a.Teorema 2.1.23. Mult�imea pun telor limit�a ale unui �sir are un el maimare element (�nit sau in�nit) �si un el mai mi element (�nit sau in�nit).Demonstrat�ie. Fie (xn)n2IN un �sir de numere reale. Vom demonstra �a mult�imea pun telor sale limit�a are un el mai mare element. Da �a �sirul(xn)n este nemajorat atun i +1 este pun t limit�a al �sirului (xn)n (Conse int�a2.1.5), de i +1 va � el mai mare pun t limit�a. Da �a �sirul (xn)n este ma-jorat, atun i exist�a M > 0 astfel �n at xn � M; 8n 2 IN . S�a not�am uA = fx 2 IR; x este pun t limit�a al lui (xn)ng mult�imea pun telor limit�a �niteale �sirului (xn)n. Deoare e (xn)n este majorat, el nu poate avea pe +1 a pun tlimit�a ( onform de�nit�iei). Avem dou�a azuri: a) A = ; �si b) A 6= ;.a) Da �a A = ; rezult�a �a �1 este singurul pun t limit�a pentru �sirul nostru,de i el va � �si el mai mare (�si el mai mi ) pun t limit�a.b) Da �a A 6= ; atun i onform axiomei (A15) exist�a supA 2 IR. Vom ar�ata �a supA 2 A, de i supA = maxA. Conform Teoremei 1.2.2 avemi) a � supA; 8 a 2 A;ii) 8 " > 0 9 a" 2 A astfel �n at a" > supA� ".Ori e ve in�atate V a lui supA, V = (supA� "; supA+ "), " > 0, ont�ine unelement a" 2 A, de i a" 2 A\V . Deoare e a" este pun t limit�a �nseamn�a �a ori eve in�atate a sa V1 = (a"�"1; a"+"1), u 0 < "1 < minfa"� supA+"; supA�a"g ont�ine o in�nitate de termeni ai �sirului. Din in luziunea V1 � V dedu em �aV ont�ine o in�nitate de termeni ai �sirului, de i supA este �si el un pun t limit�aal �sirului (xn)n, adi �a supA 2 A. Rezult�a �a supA = maxA, de i mult�imeapun telor limit�a are un el mai mare element.In mod asem�an�ator se arat�a �a mult�imea pun telor limit�a pentru un �sir (xn)nare un el mai mi element (�nit sau in�nit). Q.E.D.Not�am mult�imea pun telor limit�a ale unui �sir (xn)n2IN u LIM (xn). ConformConse int�ei 2.1.6 avem LIM (xn) 6= ;.

54 S�iruri �si serii de numere realeDe�nit�ia 2.1.16. Cel mai mare pun t limit�a al unui �sir (xn)n2IN � IR senume�ste limita superioar�a a �sirului �si se noteaz�a u lim supn!1 xn sau limn!1xn. Celmai mi pun t limit�a al unui �sir (xn)n2IN � IR se nume�ste limita inferioar�a a�sirului �si se noteaz�a u lim infn!1 xn sau limn!1xn.De�nit�ia 2.1.17. Limita superioar�a �si limita inferioar�a ale unui �sir (xn)n senumes limitele extreme ale �sirului.Evident lim infn!1 xn � lim supn!1 xn.Teorema 2.1.24. Fie (xn)n2IN un �sir de numere reale, iar a 2 IR.a) Da �a xn � a; 8n 2 IN atun i � � a; 8� 2 LIM (xn).b) Da �a xn � a; 8n 2 IN atun i � � a; 8� 2 LIM (xn).Demonstrat�ie. a) Deoare e �sirul este majorat, +1 nu este pun t limit�apentru �sirul (xn)n. Fie � 2 LIM (xn). Da �a � = �1 atun i se veri� �a imediatinegalitatea � � a. S�a onsider�am a um un pun t limit�a � 2 IR (da �a exist�a).Conform de�nit�iei exist�a un sub�sir (xnk)k2IN � (xn)n2IN u limk!1xnk = �, adi �a8 " > 0 9 k0(") 2 IN astfel �n at 8 k � k0(") are lo jxnk � �j < ".De i �� " < xnk � a; 8 k � k0. Rezult�a �a �� " < a; 8" > 0, adi �a � � a.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a partea a doua a teoremei. Q.E.D.Teorema 2.1.25. Un �sir (xn)n2IN � IR are limit�a da �a �si numai da �alimitele sale extreme sunt egale. Da �a �sirul are limit�a, limitele extreme �si limita�sirului sunt egale.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a (xn)n are limita x 2 IR. Inseamn�a �aori e sub�sir al s�au are a eea�si limit�a (Teorema 2.1.7), de i �sirul are un singurpun t limit�a, pe x 2 IR. De i LIM (xn) = fxg, de unde rezult�a �alim supn!1 xn = lim infn!1 xn = x.Re ipro , s�a presupunem �a limitele extreme sunt egale, adi �alim supn!1 xn = lim infn!1 xn not= x 2 IR.Atun i LIM (xn) = fxg �si x = limn!1xn, deoare e ori e ve in�atate a lui x ont�inetot�i termenii �sirului u ex ept�ia eventual a unui num�ar �nit dintre ei. Intr-a-dev�ar, �n az ontrar, da �a ar exista o ve in�atate u proprietatea �a �n afara eir�amane o in�nitate de termeni ai �sirului, atun i din a ea in�nitate de termeni

S�iruri de numere reale 55se poate onstrui un sub�sir u limit�a (Conse int�a 2.1.4 �si Conse int�a 2.1.5), iarlimita respe tiv�a ( 6= x, onform Teoremei 2.1.24) ar trebui s�a apar�a �n LIM (xn).Contradi t�ia la are am ajuns ne ondu e la on luzia �a limn!1xn = x. Q.E.D.Exemplul 2.1.3. Pentru �sirul onvergent an = n2n + 1 ; n 2 IN , u limita12 , mult�imea pun telor sale limit�a este LIM (an) = n12o, de ilim supn!1 an = lim infn!1 an = limn!1an = 12.Exemplul 2.1.4. Fie �sirul an = (�1)n �1 + 1n�n+ sin n�2 ; n 2 IN . Pentrua determina mult�imea pun telor sale limit�a, des ompunem �sirul �n patru sub�siruri onvergentea4k = (�1)4k �1 + 14k�4k + sin 4k�2 ! e; pentru k !1;a4k�1 = (�1)4k�1 �1 + 14k � 1�4k�1 + sin (4k � 1)�2 ! �e� 1; pentru k !1;a4k�2 = (�1)4k�2 �1 + 14k � 2�4k�2 + sin (4k � 2)�2 ! e; pentru k !1;a4k�3 = (�1)4k�3 �1 + 14k � 3�4k�3 + sin (4k � 3)�2 ! �e + 1; pentru k !1.De i LIM (an) = f�e� 1;�e + 1; eg, lim supn!1 an = e, lim infn!1 an = �e� 1.Teorema 2.1.26. (I) a) L = lim supn!1 2 IR ,8<: 1) 8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo xn < L + ";2) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 > L� ":b) L = lim supn!1 xn = +1 ,b1) 8M > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 > M ,b2) 8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at xnM > M (�sirul este nemajorat). ) L = lim supn!1 xn = �1 ,8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo xn < �M ( limn!1xn = �1).(II) a) l = lim infn!1 2 IR ,8<: 1) 8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo xn > l � ";2) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 < l + ":b) l = lim infn!1 xn = +1 ,8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo xn > M ( limn!1xn = +1).

56 S�iruri �si serii de numere reale ) l = lim infn!1 xn = �1 , 1) 8M > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 < �M , 2) 8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at xnM < �M (�sirul este neminorat).Demonstrat�ie. (I) a) Fie L = lim supn!1 xn 2 IR. Deoare e L este pun tlimit�a pentru �sirul (xn)n2IN , rezult�a �a exist�a sub�sirul (xnk)k2IN u limk!1xnk = L,de i 8 " > 0 9 k0(") 2 IN astfel �n at 8 k � k0 are lo jxnk � Lj < " )8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 = nk � n (k � k0) astfel �n at jxnk � Lj < " )xn0 > L� "; adi �a are lo pun tul 2).Demonstr�am 1) prin redu ere la absurd. Presupunem �a nu are lo 1), adi �a9 "0 > 0 astfel �n at 8n 2 IN 9n0 � n u xn0 � L+ "0.De i la dreapta lui L + "0 se g�ase�ste o in�nitate de termeni ai �sirului, de iexist�a un sub�sir al �sirului (xn)n u toate elementele mai mari sau egale u L+ "0.A est sub�sir are onform Conse int�ei 2.1.4 el put�in un pun t limit�a � are veri� �ainegalitatea � � L+ "0. A est pun t este pun t limit�a �si pentru �sirul (xn)n, eea e este absurd, deoare e L era el mai mare element din LIM (xn). Rezult�a astfel �a are lo relat�ia 1).Re ipro , s�a presupunem �a au lo relat�iile 1) �si 2). Vom ar�ata �aL = lim supn!1 xn. Din 2) avem �a8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 > L� ".Combinand u 1) �si luand n � N(") rezult�a �a 9n0 � n astfel �n at xn0 < L + ".De i pentru " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at pentru 8n � N(") 9n0 � n ujxn0 � Lj < ", adi �a (xn)n are un sub�sir u limita L. Rezult�a �a L este pun tlimit�a pentru �sirul (xn)n2IN .Vom ar�ata �n ontinuare �a L este el mai mare pun t limit�a. Presupunemprin redu ere la absurd �a exist�a L1 > L, L1 2 LIM (xn). Consider�am mai �ntai azul L1 2 IR. Ve in�atatea V = (L1 � "0; L1 + "0), unde "0 = L1�L2 ont�ine oin�nitate de termeni ai �sirului. Da �a lu�am �n relat�ia 1), " = L1�L2 obt�inem �a9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo xn < L + " = L + L1�L2 , de underezult�a xn < L+L12 . De i la dreapta lui L+L12 se g�ase�ste un num�ar �nit de termeni

S�iruri de numere reale 57ai �sirului. Contradi t�ia la are am ajuns ne ondu e la on luzia �a presupunereaf�a ut�a este fals�a. De i L este el mai mare pun t limit�a. Asem�an�ator se arat�a �ase obt�ine o ontradi t�ie da �a onsider�am L1 =1.b) Avem L = lim supn!1 xn = +1 , 9 (xkn)k2IN u limita +1, adi �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo xkn > M ,8M > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 > M ,de i are lo b1).Relat�iile b1) �si b2) sunt e hivalente. Evident are lo impli at�ia b1))b2).Pentru ealalt�a impli at�ie b2))b1), vom folosim metoda redu erii la absurd. Pre-supunem �a nu are lo b1), adi �a9M0 > 0; 9n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 are lo xn �M0.Lu�am fM = max fM0; x1; x2; : : : ; xn0�1g; �n intervalul (fM;1) nu exist�a ni i untermen al �sirului (xn � fM; 8n 2 IN). Ceea e am obt�inut ontrazi e b2) ( uM = fM). ) L = lim supn!1 xn = �1 , LIM (xn) = f�1g (ori e sub�sir al s�au arelimita �1, �n az ontrar ar apare a pun t �n mult�imea LIM (xn)).Ori e ve in�atate a lui �1, U = [�1;�M) ont�ine o in�nitate de termeniai �sirului. De fapt ont�ine tot�i termenii �sirului u ex ept�ia unui �nit dintre ei.Intr-adev�ar, da �a ar exista o astfel de ve in�atate U0 = [�1;M0) u proprietatea �a �n afara ei r�amane un num�ar in�nit de termeni, am avea dou�a posibilit�at�i. Oposibilitate este existent�a unui interval �n are se g�ases a ei termeni, az �n are, onform Lemei lui Cesaro, exist�a un sub�sir onvergent, de i limita sa ar trebuis�a apar�a �n LIM (xn), eea e este absurd. A doua posibilitate este nem�arginireamult�imii termenilor, de i +1 2 LIM (xn), eea e este din nou absurd. De ilimn!1xn = �1.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a partea a doua a teoremei, orespunz�a-toare limitei inferioare. Q.E.D.Teorema 2.1.27. (I) Da �a �sirul (xn)n2IN este majorat atun iL = lim supn!1 xn 2 IR [ f�1g ,L = limn!1 (sup fxk; k � ng) = infn2IN (supfxn; xn+1; : : :g).

58 S�iruri �si serii de numere reale(II) Da �a �sirul (xn)n2IN este minorat atun il = lim infn!1 xn 2 IR [ f+1g ,l = limn!1 (inf fxk; k � ng) = supn2IN (inffxn; xn+1; : : :g).Demonstrat�ie. (I) Deoare e �sirul (xn)n este majorat, rezult�a �a 9M > 0astfel �n at xn �M; 8n 2 IN . Fie L = lim supn!1 xn 2 IR[f�1g. De�nim pentruori e n 2 IN , yn = sup fxk; k � ng = sup fxn; xn+1; : : :g 2 IR. S�irul (yn)n estedes res �ator, deoare eyn+1 � yn; 8n 2 IN , supfxn+1; xn+2; : : :g � sup fxn; xn+1 : : :g; 8n 2 IN .Atun i limn!1 yn = infn2IN yn. Avem dou�a posibilit�at�i a) L 2 IR sau b) L = �1.a) Da �a L 2 IR avem onform Teoremei 2.1.26 (I)a)1) 8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo xn < L+ ";2) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at xn0 > L� ".Din 1) rezult�a �a8 " > 0; yn = sup fxk; k � ng � L + "2 < L+ ", 8n � N("=2) not= n0(").Din 2) avem 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at L� "=2 < xn0 , de underezult�a L� "2 � sup fxk; k � n0g = yn0 � sup fxk; k � ng = yn.De i 8 " > 0 �si 8n 2 IN avem L�" < yn, de unde obt�inem L � yn; 8n 2 IN .Astfel am obt�inut �a pentru ori e " > 0 9n0(") astfel �n at 8n � n0(") avemL � yn < L + " ) jyn � Lj < ", adi �a limn!1 yn = L.b) Da �a L = �1 atun i onform Teoremei 2.1.26 (I) ) rezult�a �alimn!1xn = �1 , 8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo xn < �M .Atun i obt�inem8M > 0 9n0M = n2M astfel �n at 8n � n0M are lo yn = sup fxk; k � ng � �2M < �M;adi �a limn!1 yn = �1.Re ipro , �e L = limn!1 yn, yn = sup fxn; xn+1; : : :g. Vom ar�ata �aL = lim supn!1 xn. S�i ai i avem dou�a posibilit�at�i a) L 2 IR sau b) L = �1.a) Da �a L 2 IR atun i

S�iruri de numere reale 598 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jyn � Lj < " ,L� " < yn < L + ".De i pentru ori e " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") avemxn � sup fxn; xn+1; : : :g = yn < L+ ",adi �a avem veri� at�a ondit�ia 1) din Teorema 2.1.26 (I)a).Deoare e (yn)n este monoton des res �ator, rezult�a �a yn � L sausup fxn; xn+1; : : :g � L. Astfel pentru ori e " > 0, 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n atxn0 > sup fxn; xn+1; : : :g � " � L� ", adi �a ondit�ia 2) din Teorema 2.1.26 (I)a).Rezult�a �a L = lim supn!1 xn.b) Presupunem �a L = �1. Atun i limn!1 yn = �1 ,8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo yn < �M ,sup fxn; xn+1; : : :g < �M ) xn < �M .Rezult�a astfel �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo xn < �M ,de i limn!1xn = �1 �si lim supn!1 xn = �1.Asem�an�ator se demonstreaz�a partea a doua a teoremei. Q.E.D.Observat�ia 2.1.7. Da �a (xn)n2IN este nemajorat atun isup fxk; k � ng = +1; 8n 2 IN , (iar lim supn!1 xn =1).Da �a (xn)n2IN este neminorat atun iinf fxk; k � ng = �1; 8n 2 IN , (iar lim infn!1 xn = �1).Teorema 2.1.28. Da �a (an)n2IN � IR, atun ia) lim supn!1 (�an) = � lim infn!1 an;b) lim infn!1 (�an) = � lim supn!1 an.Demonstrat�ie. a) Fie l = lim infn!1 an 2 IR. Din Teorema 2.1.26 (II)a) avem1) 8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo an > l � ";2) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at an0 < l + "., 10) 8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo �an < (�l) + ";20) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at �an0 > (�l)� ".Din Teorema 2.1.26 (I)a) dedu em �a �l = lim supn!1 (�an), adi �a lim supn!1 (�an) =

60 S�iruri �si serii de numere reale= � lim infn!1 an.Da �a l = lim infn!1 an = +1, atun i din Teorema 2.1.26 (II)b) avem �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo an > M ,8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo �an < �M .De i din Teorema 2.1.26 (I) ) rezult�a �a lim supn!1 (�an) = �1, de i lim supn!1 (�an) == � lim infn!1 an.Da �a l = lim infn!1 an = �1, onform Teoremei 2.1.26 (II) ) avem8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at anM < �M ,8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at �anM > M .Din Teorema 2.1.26 (I)b) rezult�a �a lim supn!1 (�an) = +1, de i lim supn!1 (�an) == � lim infn!1 an.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a pun tul b). Q.E.D.Teorema 2.1.29. Fie (an)n2IN , (bn)n2IN � IR u an � bn; 8n 2 IN (even-tual exist�a n0 2 IN astfel �n at an � bn; 8n � n0). Atun i(I) lim supn!1 an � lim supn!1 bn; (II) lim infn!1 an � lim infn!1 bn.Demonstrat�ie. (I) Fie l1 = lim supn!1 an �si l2 = lim supn!1 bn. Avem trei azuridup�a valorile lui l1.a) Da �a l1 = �1 atun i inegalitatea l1 � l2 este evident�a.b) Da �a l1 2 IR �si l2 = +1, inegalitatea este de asemenea evident�a. S�apresupunem �a l2 < +1. Ar�at�am �n ontinuare �a l2 nu poate � �1. Intr-ade-v�ar da �a l2 ar � �1, atun i onform Teoremei 2.1.26 am avea8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo bn < �M .Dedu em atun i �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo an � bn < �M ,adi �a l1 = lim supn!1 an = �1. Contradi t�ia la are am ajuns ne ondu e la on- luzia �a l2 2 IR. Atun i din Teorema 2.1.26 avem1) 8 " > 0 9N1(") 2 IN astfel �n at 8n � N1(") are lo an < l1 + ";2) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at an0 > l1 � "�si 10) 8 " > 0 9N2(") 2 IN astfel �n at 8n � N2(") are lo bn < l2 + ";

S�iruri de numere reale 6120) 8 " > 0; 8n 2 IN 9n00 � n astfel �n at bn00 > l2 � ".Atun i pentru " > 0 arbitrar �si pentru ori e n 2 IN exist�a n0 � n astfel �n atl1 � " < an0. Luand n � N2(") dedu em �a 9n0 � n � N2(") astfel �n atl1 � " < an0 � bn0 < l2 + ".De i pentru ori e " > 0 avem l1 � " < l2 + ", de unde rezult�a l1 � l2. ) Da �a l1 =1 atun i8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at anM > M )8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at bnM � anM > M ,adi �a l2 = +1.Pentru inegalitatea a doua lim infn!1 an � lim infn!1 bn, se poate pro eda a maisus folosind Teorema 2.1.26 sau se poate folosi Teorema 2.1.28 �si anumean � bn ) (�an) � (�bn) (I)) lim supn!1 (�bn) � lim supn!1 (�an) )� lim infn!1 bn � � lim infn!1 an ) lim infn!1 an � lim infn!1 bn. Q.E.D.Teorema 2.1.30. Fie (xn)n2IN un �sir de numere reale pozitive. Atun i arelo urm�atorul �sir de inegalit�at�ilim infn!1 xn+1xn � lim infn!1 npxn � lim supn!1 npxn � lim supn!1 xn+1xn .Demonstrat�ie. Inegalitatea din mijlo lim infn!1 npxn � lim supn!1 npxn este evi-dent�a. Trebuie s�a demonstr�am inegalit�at�ile extreme1) lim infn!1 xn+1xn � lim infn!1 npxn �si 2) lim supn!1 npxn � lim supn!1 xn+1xn .Not�am l = lim infn!1 xn+1xn �si L = lim supn!1 xn+1xn .a) Da �a l = 0 atun i inegalitatea 1) este evident�a. Avem de demonstratinegalitatea 2). Pentru L = 1, inegalitatea 2) este evident�a. Pentru L < 1(L � 0) avem8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo xn+1xn < L+ ".De i xN(")+1xN(") < L+ "; xN(")+2xN(")+1 < L+ "; : : : ; xnxn�1 < L + ",de unde rezult�axnxN(") < (L+ ")n�N(") ) npxn < npxN(")(L+ ")1�N(")=n; n � N(") + 1.Tre em �n inegalitatea de mai sus la limite superioare �si obt�inem, onformTeoremei 2.1.29

62 S�iruri �si serii de numere realelim supn!1 npxn� lim supn!1 � npxN(")(L + ")1�N(")=n�= limn!1 � npxN(")(L+ ")1�N(")=n�== L + ".De i pentru ori e " > 0 avem lim supn!1 npxn � L + ", adi �a lim supn!1 npxn � L.b) Da �a l 2 IR�+ atun i avem dou�a situat�ii L =1 sau L <1.b1) Da �a L =1 inegalitatea 2) este evident�a �si trebuie s-o demonstr�am pe1). Din Teorema 2.1.26 avem8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo xn+1xn > l � ".De i xN(")+1xN(") > l � "; xN(")+2xN(")+1 > l � "; : : : ; xnxn�1 > l � ",de unde rezult�axnxN(") > (l � ")n�N(") ) npxn > npxN(")(l � ")1�N(")=n; 8n � N(") + 1.Tre and la limita inferioar�a, obt�inem onform Teoremei 2.1.29lim infn!1 npxn � lim infn!1 � npxN(")(l � ")1�N(")=n� = l � ".De i 8 " > 0 avem lim infn!1 npxn � l � ", de unde rezult�a lim infn!1 npxn � l.b2) Da �a L < 1 atun i trebuie demonstrate ambele inegalit�at�i 1) �si 2).Demonstrat�iile sunt ele de mai sus: a) pentru 1) �si b) pentru 2). ) Da �a l =1 atun i �si L =1 �si este su� ient s�a demonstr�am inegalitatea1). Avem8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo xn+1xn > M )xnM+1xnM > M; xnM+2xnM+1 > M; : : : ; xnxn�1 > M )xnxnM > Mn�nM ) xn > xnMMn�nM ) npxn > npxnMM1�nM=n; 8n � nM+1.Tre and la limite inferioare obt�inemlim infn!1 npxn � lim infn!1 � npxnMM1�nM=n� = limn!1 � npxnMM1�nM=n� =M .De i 8M > 0 avem lim infn!1 npxn �M , adi �a lim infn!1 npxn=1 (=lim supn!1 npxn).Q.E.D.Conse int�a 2.1.7. Fie (xn)n2IN un �sir de numere reale pozitive. Da �a exist�al = limn!1 xn+1xn 2 IR atun i exist�a limn!1 npxn = l.

Exer it�ii �si probleme 63Exer it�ii �si probleme1. Folosind teoremele de ara terizare ale limitelor unor �siruri (Teoremele 2.1.1,2.1.2, 2.1.3) s�a se arate �aa) limn!1 3n+ 14n+ 1 = 34; b) limn!1(2n+ 1) =1; ) limn!1(�3n2 + 2) = �1.2. S�a se arate �aa) �sirul en = �1 + 1n�n ; n 2 IN este stri t res �ator �si m�arginit;b) �sirul yn = �1 + 1n�n+1 ; n 2 IN este stri t des res �ator �si m�arginit; ) �1 + 1n�n < e < �1 + 1n�n+1 ; unde e = limn!1 en = limn!1 yn,(e = 2; 718281828459:::).3. S�a se arate �alimn!1�1 + 11! + 12! + � � �+ 1n!� = e.4. S�a se arate �a �sirulbn = 1 + 12 + 13 + � � �+ 1n � lnn; n 2 INeste stri t des res �ator �si m�arginit.Limita �sirului (bn)n se nume�ste onstanta lui Euler �si se noteaz�a u ( = 0; 577215:::).5. S�a se demonstreze �aa) limn!1� 1n+ 1 + 1n+ 2 + � � � + 1kn� = lnk; 8 k 2 IN; k � 2:b) limn!1�1� 12 + 13 � 14 + � � �+ 12n� 1 � 12n� = ln2.6. S�a se studieze monotonia �si m�arginirea urm�atoarelor �siruria) an = 1 + 1p2 + 1p3 + � � �+ 1pn � 2pn; n 2 IN ;b) bn = 1 + 1p3 + 1p5 + � � �+ 1p2n� 1 �p2n; n 2 IN ; ) n = 1 + 13p2 + 13p3 + � � �+ 13pn � 32 3pn2; n 2 IN ;d) dn = 1 + 1pp2 + 1pp3 + � � �+ 1ppn � pp� 1n p�1p ; n 2 IN; p 2 IN; p � 2;e) en = 1+ 1pp3 + 1pp5 + � � �+ 1pp2n� 1 � pp� 1 � 1pp2n p�1p ; n 2 IN; p 2 IN; p � 2.S�a se al uleze apoilimn!1�1 + ebn�pn, unde fbn = bn � b, b = limn!1 bn �silimn!1 (1 + e n) 3pn, unde e n = n � , = limn!1 n.

64 S�iruri �si serii de numere reale7. S�a se studieze onvergent�a urm�atoarelor �siruri �si apoi s�a se al uleze limitelelor a) xn = 1 + sin(xn�1 � 1); n 2 IN; x1 = 0;b) xn+1 = 13 �a+ xn + x2n�1� ; n � 2; x1 = x2 = 0; 0 � a � 1; ) xn = 12 �xn�1 + �xn�1� ; n � 2; x1 > 0; � > 0; (�sirul lui Heron);d) xn+1 = xn + xn�1; n � 2; x1 = x2 = 1 (�sirul lui Fibona i);e) yn+1 = yn + yn�1; n � 2; y1 = 2; y2 = 1 (�sirul lui Lu as).8. Fie x1 > x2 > 0 �si xn+1 = xn + xn�12 ; n � 2. S�a se arate �aa) Sub�sirul (x2k�1)k2IN este des res �ator, iar sub�sirul (x2k)k2IN este res �ator.b) S�irul (xn)n2IN este onvergent.9. S�a se al uleze limitele urm�atoarelor �siruria) an = n+1p(n+ 1)!� npn!; n 2 IN (�sirul lui Traian Lales u);b) an = n "�1 + 1n+ 1�n+1 � �1 + 1n�n# ; n 2 IN .10. (Teorema lui Stolz-Cesaro) Fie �sirurile (an)n2IN , (bn)n2IN � IR are satisfa ondit�iilei) bn > 0; 8n 2 IN ; �sirul (bn)n este stri t res �ator u limn!1 bn =1;ii) 9 limn!1 an+1 � anbn+1 � bn = l 2 IR.Atun i 9 limn!1 anbn = l.11. S�a se al uleze limitele urm�atoarelor �siruria) xn = 1p + 2p + � � �+ npnp+1 ; n 2 IN; p 2 IN ;b) xn = 1n ��a+ 1n�p + �a+ 2n�p + � � �+ �a+ n+mn �p� ; n 2 IN; a 2 IR;m 2 IN; p 2 IN ; ) xn = ns33n(n!)3(3n)! ; n 2 IN ; d) xn = 1 +p2 + 3p3 + � � �+ npnn ; n 2 IN .12. Fie (an)n2IN ; (bn)n2IN � IR dou�a �siruri de�nite astfelan+1 = an �1 + 12n� ; bn+1 = bn �1 + 1n� ; n 2 IN , u a1; b1 2 IR�+ �xat�i. S�a se arate �alimn!1 a1 + a2 + � � � + anb1 + b2 + � � �+ bn = 0.13. a) S�a se determine � 2 IR astfel �n at �sirul (xn)n2IN de�nit prinx1 = 13 ; xn+1 = �xn + 1; n 2 INs�a �e onvergent.

Exer it�ii �si probleme 65b) S�a se determine � 2 IR astfel �n at �sirurile (xn)n2IN �si (yn)n2IN de�nite prinx1 = y1 = 1; xn+1 = �xn + 14yn; yn+1 = xn + 12yn; 8n 2 INs�a �e onvergente.14. Folosind Teorema 2.1.21 (Cau hy) s�a se studieze onvergent�a �sirurilora) an = os 1!1 � 2 + os 2!2 � 3 + � � � + osn!n(n+ 1) ; n 2 IN ;b) bn = sinx12 + sin 2x22 + � � �+ sinnxn2 ; n 2 IN; x 2 IR; ) n = os x3 + os 2x32 + � � � + osnx3n ; n 2 IN; x 2 IR.15. S�a se arate �a �sirurilea) an = 1 + 1p2 + 1p3 + � � �+ 1pn; n 2 IN ;b) bn = 1 + 15p2 + 15p3 + � � � + 15pn; n 2 INsunt divergente.16. S�a se determine mult�imea pun telor limit�a LIM (an), lim infn!1 an, lim supn!1 anpentru urm�atoarele �siruria) an = sin n�3 ; n 2 IN ; b) an = [1 + (�1)n℄n(�1)n + os n�6 ; n 2 IN ; ) an = (�1)n.�1 + 1n + e1=n� ; n 2 IN .17. Fie �sirurile (xn)n, (yn)n de numere reale m�arginite. S�a se arate �aa) lim supn!1 (xn + yn) � lim supn!1 xn + lim supn!1 yn;b) lim infn!1 (xn + yn) � lim infn!1 xn + lim infn!1 yn; ) lim supn!1 (xnyn) � �lim supn!1 xn��lim supn!1 yn�;d) lim infn!1 (xnyn) � �lim infn!1 xn��lim infn!1 yn�,ultimele dou�a inegalit�at�i avand lo pentru (xn)n, (yn)n � IR+.18. Fie (xn)n, (yn)n � IR. Da �a �sirul (xn)n este onvergent �si limn!1xn > 0 atun ia) lim supn!1 (xnyn) = � limn!1xn��lim supn!1 yn�;b) lim infn!1 (xnyn) = � limn!1xn��lim infn!1 yn�.19. S�a se demonstreze �a da �a xn > 0; 8n 2 IN �si lim supn!1 xn 6= 0, iarlim supn!1 xn � lim supn!1 1xn = 1atun i �sirul (xn)n este onvergent.20. Fie (xn)n, (yn)n dou�a �siruri de numere reale. Da �a limn!1xn = 1 atun i �sirurile(xnyn)n �si (yn)n au a elea�si pun te limit�a.

66 S�iruri �si serii de numere reale2. Serii de numere reale2.1. Serie onvergent�a, serie divergent�aFie �sirul (an)n2IN de numere reale. De�nim �sirul (Sn)n2IN �n felul urm�atorS1 = a1; S2 = a1 + a2; : : : ; Sn = a1 + a2 + � � �+ an; : : :De�nit�ia 2.2.1. Pere hea ((an)n2IN ; (Sn)n2IN) se nume�ste serie de termengeneral an. S�irul (Sn)n2IN se nume�ste �sirul sumelor part�iale aso iat �sirului (an)nsau seriei. Elementele �sirului (an)n se numes termenii seriei.Vom nota seria u a1 + a2 + � � �+ an + � � � sau 1Xn=1 an.De�nit�ia 2.2.2. Seria 1Xn=1 an se nume�ste onvergent�a da �a �sirul sumelorpart�iale (Sn)n este onvergent. Limita S a �sirului (Sn)n se nume�ste suma seriei �sise noteaz�a 1Xn=1 an = S.De�nit�ia 2.2.3. Seria 1Xn=1 an se nume�ste divergent�a da �a �sirul sumelorpart�iale (Sn)n este divergent.Da �a limn!1Sn = +1 sau limn!1Sn = �1 spunem �a suma seriei este +1,respe tiv �1 �si not�am 1Xn=1 an = +1, respe tiv 1Xn=1 an = �1.Uneori primul termen al �sirului (an)n este notat a0. Atun i seria se de�ne�ste1Xn=0 an = a0 + a1 + a2 + � � �+ an + � � �,iar �sirul sumelor part�iale (Sn)n�0 este S0 = a0, S1 = a0 + a1; : : :, Sn = a0 + a1++ � � �+ an; : : :Exemplul 2.2.1. Seria 1Xn=1 qn�1 = 1 + q + q2 + � � �+ qn�1 + � � � se nume�steseria geometri �a (de rat�ie q). Avem an = qn�1; n 2 IN �siSn = a1 + a2 + � � �+ an = 1+ q + q2 + � � �+ qn�1 = 8><>: 1� qn1� q ; da �a q 6= 1;n; da �a q = 1:

Serii de numere reale 67Pentru jqj < 1 seria 1Xn=1 qn�1 este onvergent�a u suma S = limn!1Sn = 11� q .De i 1Xn=1 qn�1 = 11� q .Pentru jqj � 1 seria este divergent�a, deoare e limn!1Sn este +1 da �a q � 1 �sinu exist�a pentru q � �1.Exemplul 2.2.2. Seria 1Xn=1 1n2 este onvergent�a, deoare e �sirul sumelorpart�iale este onvergent. Intr-adev�ar �sirul (Sn)n este res �ator �si m�arginit su-perior, deoare eSn = 1 + 122 + � � �+ 1n2 < 1 + 11 � 2 + � � �+ 1(n� 1)n = 1 + 1� 12 + 12 � 13++ � � �+ 1n� 1 � 1n = 2� 1n < 2; 8n 2 IN; n � 2; de i Sn < 2; 8n 2 IN:De i onform Teoremei 2.1.17 �sirul (Sn)n este onvergent, iar suma seriei1Xn=1 an este S = limn!1Sn � 2.Exemplul 2.2.3. Seria 1Xn=1 1n = 1+ 12 + � � �+ 1n+ � � �, numit�a seria armoni �aeste divergent�a. S�irul sumelor part�iale este Sn = 1 + 12 + � � �+ 1n; n 2 IN , areeste divergent u limita +1 (Exemplul 2.1.2).Teorema 2.2.1. Seria 1Xn=1 an este onvergent�a u suma S da �a �si numaida �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo ja1+a2+ � � �+an�Sj < ":(2:2:1)Demonstrat�ie. Conform De�nit�iei 2.2.2 seria 1Xn=1 an este onvergent�a usuma S da �a �si numai da �a �sirul (Sn)n este onvergent u limita S, adi �a onformTeoremei 2.1.1 avem8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jSn � Sj < " ,8" > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo ja1+ a2+ � � �+ an�Sj<":Q.E.D.Teorema 2.2.2. (Cau hy) Seria 1Xn=1 an este onvergent�a da �a �si numai da �a

68 S�iruri �si serii de numere realeare lo relat�ia8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jan+1 + an+2 + � � �+ an+pj < "; 8 p 2 IN: (2:2:2)Demonstrat�ie. Seria 1Xn=1 an este onvergent�a da �a �si numai da �a �sirul (Sn)neste onvergent, de i e hivalent, onform Teoremei 2.1.21, �sirul (Sn)n este �sirfundamental, adi �a8" > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jSn+p � Snj < "; 8p 2 IN ,8" > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jan+1 + an+2 + � � �+ an+pj<";8p 2 IN: Q.E.D.2.2. Propriet�at�i generale ale seriilorTeorema 2.2.3. Da �a o serie este onvergent�a, atun i �sirul termenilor eieste onvergent la zero.Demonstrat�ie. Fie seria onvergent�a 1Xn=1 an u suma S. De i limn!1Sn = S,unde Sn = a1 + a2 + � � � + an. Exprimand pe an sub forma an = Sn � Sn�1,obt�inem la limit�alimn!1 an = limn!1Sn � limn!1Sn�1 = S � S = 0: Q.E.D.Conse int�a 2.2.1. Da �a pentru seria 1Xn=1 an �sirul (an)n2IN nu are limit�a sauare limit�a nenul�a, atun i seria este divergent�a.Exemplul 2.2.4. Seria 1Xn=1 1npn este divergent�a, deoare e termenul generalan = 1npn tinde la 1 6= 0, pentru n!1.Observat�ia 2.2.1. Condit�ia an ! 0, pentru n!1 este o ondit�ie ne esar�apentru onvergent�a unei serii, nu su� ient�a. De exemplu seria armoni �a 1Xn=1 1n estedivergent�a, de�si limn!1 1n = 0.Teorema 2.2.4. Da �a �ntr-o serie se s himb�a ordinea unui num�ar �nit determeni se obt�ine o serie u a eea�si natur�a u seria dat�a. Da �a seria dat�a aresuma �nit�a sau in�nit�a seria obt�inut�a are a eea�si sum�a.

Serii de numere reale 69Demonstrat�ie. Fie seria 1Xn=1 an �si an1 ; an2; : : : ; anq (n1 < n2 < � � � < nq)termenii �arora le-am s himbat pozit�ia �n seria dat�a. Fie m1; m2; : : : ; mq (m1 << m2 < � � � < mq) rangurile elor q termeni �n seria nou obt�inut�a, notat�a 1Xn=1 bn.Da �a (Sn)n este �sirul sumelor part�iale pentru seria 1Xn=1 an, iar (Tn)n este �sirulsumelor part�iale pentru seria 1Xn=1 bn, atun i pentru n � n0 = maxfnq; mqg avemSn = Tn. Rezult�a �a ele dou�a serii au a eea�si natur�a, iar da �a seria 1Xn=1 an aresum�a �nit�a sau in�nit�a (S = limn!1Sn 2 IR) atun i �si seria 1Xn=1 bn are a eea�si sum�aS. Q.E.D.Teorema 2.2.5. Da �a unei serii i se adaug�a sau i se suprim�a un num�ar�nit de termeni atun i natura ei nu se s himb�a.Demonstrat�ie. Fie seria 1Xn=1 an �si s�a presupunem �a �nl�atur�am p termenian1, an2 ; : : : ; anp (n1 < n2 < � � � < np). Conform Teoremei 2.2.4 putem s�a-iadu em mai �ntai pe termenii an1 ; : : : ; anp pe primele p lo uri, f�ar�a s�a s himb�amnatura seriei �si ni i suma ei, �n azul �n are seria are sum�a. De i f�ar�a a restrangegeneralitatea problemei, presupunem �a �nl�atur�am termenii a1; a2; : : : ; ap. Seriaobt�inut�a 1Xn=1 bn are termenul general bn = ap+n, de ib1 + b2 + � � �+ bn + � � � = ap+1 + ap+2 + � � �+ ap+n + � � �.Atun i leg�atura dintre Sn { suma part�ial�a de ordinul n pentru seria 1Xn=1 an �siTn { suma part�ial�a de ordinul n pentru seria 1Xn=1 bn este Tn = Sn+p � Sp, undeSp = a1 + a2 + � � � + ap. Dedu em astfel �a natura �sirurilor (Sn)n �si (Tn)n estea eea�si, de i �si natura seriilor 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn este a eea�si.Da �a exist�a limn!1Sn 2 IR atun i exist�a limn!1Tn = S � Sp, de i suma seriei1Xn=1 bn este suma seriei 1Xn=1 an din are am s �azut suma termenilor �nl�aturat�i.

70 S�iruri �si serii de numere realeS�a presupunem a um �a ad�aug�am seriei 1Xn=1 an un num�ar �nit de termeni 1; 2; : : : ; p, introdu�si printre eilalt�i termeni ai seriei 1Xn=1 an sau hiar la �n eputulseriei. Obt�inem seria 1Xn=1 bn. Cele dou�a serii au a eea�si natur�a onform primeip�art�i a teoremei, deoare e seria 1Xn=1 an se obt�ine din 1Xn=1 bn prin �nl�aturarea ter-menilor 1; 2; : : : ; p. De a east�a dat�a suma seriei 1Xn=1 bn (da �a exist�a) este egal�a u suma seriei 1Xn=1 an, la are se adaug�a suma termenilor ad�augat�i. Q.E.D.Teorema 2.2.6. Da �a �ntr-o serie u suma S 2 IR aso iem termenii seriei�n grupe �nite, u p�astrarea ordinii, atun i seria obt�inut�a are a eea�si natur�a �sia eea�si sum�a u seria init�ial�a.Demonstrat�ie. Fie seria 1Xn=1 an u suma S = limn!1Sn 2 IR, unde Sn == a1 + a2 + � � � + an. Consider�am seria 1Xn=1 bn obt�inut�a prin gruparea terme-nilor seriei 1Xn=1 an �n grupe �nite, avand n1 elemente, n2 � n1 elemente, n3 � n2elemente,: : :, unde (nk)k2IN este un �sir stri t res �ator de numere naturale(a1+a2+� � �+an1)+(an1+1+an1+2+� � �+an2)+� � �+(ank�1+1+ank�1+2+� � �+ank)+� � �(2:2:3)De i bk = ank�1+1+ ank�1+2+ � � �+ ank ; k 2 IN (n0 = 1); iar suma part�ial�ade ordinul k pentru 1Xn=1 bn este Tk = b1+ b2+ � � �+ bk = a1+ a2+ � � �+ ank = Snk .Dedu em �a (Tk)k2IN este un sub�sir al �sirului (Sn)n2IN . Da �a S = limn!1Sn 2 IRatun i limk!1Tk = S, de i 1Xn=1 bn are a eea�si natur�a u seria 1Xn=1 an �si a eea�si sum�aS. Q.E.D.Observat�ia 2.2.2. Da �a seria 1Xn=1 an este divergent�a, atun i prin aso iereatermenilor s�ai �n grupe �nite, �n a eea�si ordine, putem obt�ine o serie divergent�asau onvergent�a. De exemplu pentru seria divergent�a 1Xn=1(�1)n+1 = 1� 1 + 1�

Serii de numere reale 71�1 + � � � da �a aso iem ate trei termeni onse utivi obt�inem seria (1� 1 + 1)++(�1+1�1)+(1�1+1)+(�1+1�1)+� � � ; adi �a seria init�ial�a, divergent�a. Da �aaso iem ate doi termeni onse utivi obt�inem seria (1�1)+(1�1)+(1�1)+� � � == 0 + 0 + 0 + � � � = 1Xn=1 0, o serie onvergent�a.Teorema 2.2.7. Fie seria 1Xk=1 bk, unde bk = nkXi=nk�1+1 ai, iar (nk)k2IN este un�sir stri t res �ator de numere naturale u n0 = 1, adi �a seria (2.2.3). Da �a este�ndeplinit�a una dintre ondit�iile de mai josa) seria (2.2.3) este onvergent�a �si termenii are ompun �e are grup�a (ai)nk�1<i�nk ;k 2 IN , au a ela�si semn;b) limn!1an = 0, seria (2.2.3) este onvergent�a �si exist�a p � 1 astfel �n at �e aregrup�a (ai)nk�1<i�nk ; (k 2 IN) are el mult p termeni; ) da �a seria (2.2.3) este onvergent�a, iar �sirul ( k)k de�nit prin 1 = ja1j+ ja2j+ � � �+ jan1j, 2 = jan1+1j+ jan1+2j+ � � �+ jan2j,... k = jank�1+1j+ jank�1+2j+ � � �+ jank j,...este onvergent la zero,atun i seria 1Xn=1 an este onvergent�a �si are a eea�si sum�a u seria (2.2.3).Demonstrat�ie. Fie S = limk!1Tk, unde Tk = b1+b2+� � �+bk, bk = nkXi=nk�1+1 ai.Atun i8 " > 0 9 k0(") 2 IN astfel �n at 8 k � k0(") are lo jS � Tkj < ": (2:2:4)a) Fie " > 0, m > nk0 arbitrar, momentan �xat �si k � k0 u nk < m � nk+1.Atun i da �a Sm = a1 + � � �+ am putem s rieSnk � Sm � Snk+1; da �a termenii ank+1; : : : ; ank+1 sunt � 0 sauSnk+1 � Sm � Snk ; da �a termenii ank+1; : : : ; ank+1 sunt � 0.Deoare e S � " < Tk = Snk < S + "; S � " < Tk+1 = Snk+1 < S + "

72 S�iruri �si serii de numere realerezult�a �a S � " < Sm < S + " ) jSm � Sj < ".Cumm este arbitrar, mai mare de at nk0 dedu em �a jSm�Sj < "; 8m � nk0+1.De i limm!1Sm = S, adi �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a u suma S.b) Seria 1Xk=1 bk este onvergent�a, de i are lo relat�ia (2.2.4). Deoare e limn!1 an == 0 rezult�a �a8 " > 0 9n0(") astfel �n at 8n � n0(") are lo janj < "p .Fie " > 0, n00 def= maxfn0("); nk0(")g, iar m > n00 arbitrar, momentan �xat, unk < m � nk+1 (k � k0). Atun i avemSm = Snk + Xnk<i�m ai = Tk + Xnk<i�m ai,de i jS � Smj � jS � Tkj+ Xnk<i�m jaij < "+ p "p = 2".Rezult�a �a pentru m � n00 + 1 avem jS � Smj < 2", adi �a limm!1Sm = S �side i seria 1Xn=1 an este onvergent�a u suma S. ) Fie " > 0 �si m > nk0 arbitrar, momentan �xat (k0 din (2.2.4)) �si k � k0 u nk < m � nk+1. Atun i pentru Sm = a1 + � � �+ am putem s riejSm � Snk j = jank+1 + ank+2 + � � �+ amj � jank+1j+ jank+2j+ � � �+ jamj �� jank+1j+ jank+2j+ � � �+ jank+1j = k+1.De i jSm�Snk j = jSm�Tkj � k+1. Pentru m!1 (de i �si k !1), t�inand ont �a k+1 ! 0, rezult�a �a Sm�Tk ! 0. Dar limk!1Tk = S, de i �si limm!1Sm = S,adi �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a u a eea�si sum�a S a �si a seriei 1Xk=1 bk. Q.E.D.Conse int�a 2.2.2. Fie an � 0; 8n 2 IN . Atun i seria 1Xn=1 an este onver-gent�a da �a �si numai da �a ori are ar � �sirul stri t res �ator (nk)k � IN (e hivalentexist�a un �sir stri t res �ator (nk)k2IN astfel �n at) seria 1Xk=1 bk u bk = ank�1+1++ � � �+ ank ; k 2 IN (n0 = 1) este onvergent�a. In a est az ele au a eea�si sum�a.Observat�ia 2.2.3. Da �a termenii are ompun �e are grup�a (ai)nk�1<i�nk ,(k 2 IN) din seria (2.2.3) nu au a ela�si semn este posibil a seria are se obt�ine prin

Serii de numere reale 73diso ierea termenilor s�a �e divergent�a. De exemplu seria 1Xn=1(1 + (�1)) = 1Xn=1 0este onvergent�a, �n timp e seria 1 + (�1) + 1 + (�1) + � � � este divergent�a.De�nit�ia 2.2.4. Fie seria 1Xn=1 an, an 2 IR. Se nume�ste seria rest de ordinulp (p 2 IN) seria 1Xn=p+1 an.Teorema 2.2.8. Seria 1Xn=1 an este onvergent�a da �a �si numai da �a 8 p 2 IN(e hivalent 9 p 2 IN astfel �n at) seria 1Xn=p+1 an este onvergent�a. Da �a seria1Xn=1 an este onvergent�a, iar Rp 2 IR este suma seriei 1Xn=p+1 an (p 2 IN) atun ilimp!1Rp = 0.Demonstrat�ie. Prima parte a teoremei rezult�a din Teorema 2.2.5. Da �aseria 1Xn=1 an este onvergent�a, iar S este suma seriei 1Xn=1 an �si Rp suma seriei1Xn=p+1 an, atun i din relat�ia Sn+p = Sp + �n (unde Sn = a1 + a2 + � � � + an,�n = ap+1 + ap+2 + � � � + ap+n) obt�inem, pentru n ! 1, S = Sp + Rp. De iRp = S�Sp. Pentru p!1 rezult�a limp!1Rp = limp!1(S�Sp) = S�S = 0. Q.E.D.Teorema 2.2.9. Fie 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn dou�a serii onvergente de numere reale are au sumele S, respe tiv T . Atun i seria 1Xn=1(an + bn) este onvergent�a �si aresuma S + T .Demonstrat�ie. Fie Sn = nXk=1 ak, Tn = nXk=1 bk, S = limn!1Sn, T = limn!1Tn, iarVn = nXk=1(ak + bk). Atun i avem Vn = Sn + Tn; 8n 2 IN . Prin tre ere la limit�apentru n!1 obt�inem limn!1Vn = S+T , adi �a seria 1Xn=1(an+bn) este onvergent�a u suma S + T . Q.E.D.Teorema 2.2.10. Da �a � 2 IR n f0g atun i seriile 1Xn=1 an �si 1Xn=1(�an) aua eea�si natur�a.

74 S�iruri �si serii de numere realeDemonstrat�ie. Da �a Sn = nXk=1 ak, iar S�n = nXk=1(�ak) atun i S�n = �Sn.Dedu em �a ele dou�a �siruri (Sn)n �si (S�n)n au a eea�si natur�a, de i seriile 1Xn=1 an�si 1Xn=1(�an) au �si ele a eea�si natur�a. Q.E.D.Teorema 2.2.11. Fie 1Xn=1 an o serie de numere reale nenegative. Atun iseria 1Xn=1 an este onvergent�a da �a �si numai da �a �sirul sumelor part�iale (Sn)n estemajorat, unde Sn = a1 + a2 + � � �+ an.Demonstrat�ie. Deoare e an � 0; 8n 2 IN , rezult�a �a �sirul sumelor part�iale(Sn)n este monoton res �ator. Atun i �sirul (Sn)n este onvergent da �a �si numaida �a �sirul (Sn)n este majorat. In a est az limn!1Sn = supn2IN Sn, de i 1Xn=1 an == supn2IN nXi=1 ai. Q.E.D.Observat�ia 2.2.4. Da �a seria 1Xn=1 an u termeni nenegativi este divergent�a,atun i S = limn!1Sn = +1.2.3. Criterii de onvergent��a pentru serii u termeni nenegativiTeorema 2.2.12. (Criteriul de omparat�ie u m�arginire de prima spe ie)Fie seriile 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn, u an; bn � 0, pentru are exist�a M > 0 astfel �n atan � Mbn; 8n 2 IN: (2:2:5)Atun ia) da �a 1Xn=1 bn este onvergent�a, atun i �si 1Xn=1 an este onvergent�a;b) da �a 1Xn=1 an este divergent�a, atun i �si 1Xn=1 bn este divergent�a.Demonstrat�ie. Fie Sn = nXk=1 ak �si Tn = nXk=1 bk. Din inegalitatea (2.2.5)rezult�a �a Sn �MTn; 8n 2 IN: (2:2:6)

Serii de numere reale 75a) Da �a seria 1Xn=1 bn este onvergent�a atun i �sirul (Tn)n este majorat. Dininegalitatea de mai sus rezult�a �a �si �sirul (Sn)n este majorat, de i seria 1Xn=1 an este onvergent�a, onform Teoremei 2.2.11.b) Da �a seria 1Xn=1an este divergent�a, atun i �sirul (Sn)n este nemajorat (limn!1Sn= 1). Din inegalitatea (2.2.6) dedu em �a �sirul (Tn)n este �si el nemajorat, ulimn!1Tn =1. De i onform Teoremei 2.2.11 rezult�a �a seria 1Xn=1 bn este divergent�a.Q.E.D.Observat�ia 2.2.5. Teorema 2.2.12 are lo �si da �a inegalitatea an � Mbneste veri� at�a pentru ori e n � n0 (n0 2 IN).Exemplul 2.2.5. Pentru seria 1Xn=1 13pn , termenul ei general veri� �a inega-litatea 13pn � 1n; 8n 2 IN . Deoare e seria armoni �a 1Xn=1 1n este divergent�a,dedu em onform Teoremei 2.2.12 �a seria 1Xn=1 13pn este divergent�a.Teorema 2.2.13. (Criteriul de omparat�ie u m�arginire de a doua spe ie)Fie seriile 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn u an; bn > 0; 8n 2 IN . Da �a are lo inegalitateaan+1an � bn+1bn ; 8n 2 IN (2:2:7)atun ia) da �a 1Xn=1 bn (C) ) 1Xn=1 an (C);b) da �a 1Xn=1 an (D) ) 1Xn=1 bn (D).Demonstrat�ie. Din relat�ia (2.2.7) avema2a1 � b2b1 ; a3a2 � b3b2 ; : : : ; anan�1 � bnbn�1 .Inmult�ind inegalit�at�ile de mai sus membru u membru obt�inemana1 � bnb1 ; 8n 2 IN ) an � a1b1 bn; 8n 2 IN ,adi �a are lo inegalitatea (2.2.5) u M = a1=b1. Astfel teorema rezult�a dinTeorema 2.2.12. Q.E.D.

76 S�iruri �si serii de numere realeObservat�ia 2.2.6. Teorema 2.2.13 are lo �si da �a inegalitatea (2.2.7) arelo pentru n � n0 (n0 2 IN).Teorema 2.2.14. (Criteriul de omparat�ie u limite extreme) Fie seriile1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn u an; bn > 0; 8n 2 IN . Not�am u l� = lim infn!1 anbn �si l� == lim supn!1 anbn .a) Da �a l� 2 [0;1) atun i 8>>>><>>>>: a1) da �a 1Xn=1 bn (C) ) 1Xn=1 an (C);a2) da �a 1Xn=1 an (D) ) 1Xn=1 bn (D):b) Da �a l� 2 (0;1℄ atun i 8>>>><>>>>: b1) da �a 1Xn=1 an (C) ) 1Xn=1 bn (C);b2) da �a 1Xn=1 bn (D) ) 1Xn=1 an (D): ) Da �a 0 < l� � l� <1 atun i ele dou�a serii au a eea�si natur�a.Demonstrat�ie. a) S�a onsider�am l� = lim supn!1 anbn 2 [0;1). Din Teorema2.1.26 dedu em �a8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo anbn < l� + ".Pentru " = 1 rezult�a �a 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 avem an < (l�+1)bn.Con luziile teoremei rezult�a din Teorema 2.2.12, unde M = l� + 1.b) Da �a l� 2 (0;1) atun i onform Teoremei 2.1.26 avem8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo anbn > l� � ".Pentru " = l�=2 rezult�a �a 9n2 2 IN astfel �n at 8n � n2 are lo an > l�2 bn.Din Teorema 2.2.12 dedu em on luziile teoremei �n a est az.Da �a l� =1 din Teorema 2.1.26 rezult�a �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo anbn > M .Dedu em �a pentru M = 1 exist�a n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 are lo an > bn.Folosind Teorema 2.2.12 rezult�a astfel on luziile teoremei. ) Da �a 0 < l� � l� <1 ombinand pun tele a) �si b) obt�inem �a1Xn=1 an (C) ) 1Xn=1 bn (C); 1Xn=1 an (D) ) 1Xn=1 bn (D);

Serii de numere reale 771Xn=1 bn (C) ) 1Xn=1 an (C); 1Xn=1 bn (D) ) 1Xn=1 an (D),adi �a ele dou�a serii au a eea�si natur�a. Q.E.D.Pentru dou�a serii are au a eea�si natur�a vom folosi notat�ia 1Xn=1 an � 1Xn=1 bn.Conse int�a 2.2.3. (Criteriul de omparat�ie u limit�a) Fie seriile 1Xn=1 an�si 1Xn=1 bn u an; bn > 0; 8n 2 IN �si l = limn!1 anbn .a) Da �a l 2 (0;1) atun i ele dou�a serii au a eea�si natur�a.b) Da �a l = 0 atun i 8>>>><>>>>: 1Xn=1 bn (C) ) 1Xn=1 an (C)1Xn=1 an (D) ) 1Xn=1 bn (D): ) Da �a l =1 atun i 8>>>><>>>>: 1Xn=1 an (C) ) 1Xn=1 bn (C)1Xn=1 bn (D) ) 1Xn=1 an (D):Exemplul 2.2.6. Seria 1Xn=1 sin 1n este divergent�a, deoare e are a eea�si natur�a u seria armoni �a 1Xn=1 1n (divergent�a). Intr-adev�ar avem l = limn!1 sin 1n1n = 1 22 (0;1).Teorema 2.2.15. (Criteriul de ondensare al lui Cau hy) Fie seria 1Xn=1 an uan � 0; 8n 2 IN . Da �a �sirul (an)n2IN este monoton des res �ator atun i seriile1Xn=1 an �si 1Xn=0 2na2n au a eea�si natur�a.Demonstrat�ie. Fie (Sn)n2IN �sirul sumelor part�iale pentru seria 1Xn=1 an, iar(Tn)n�0 �sirul sumelor part�iale pentru seria 1Xn=0 2na2n = a1 +2a2+4a4+8a8+ � � �.Observ�am �a pentru ori e n 2 IN exist�a k 2 IN [ f0g astfel �n at 2k � n <

78 S�iruri �si serii de numere reale< 2k+1 � 1. Atun iSn = a1 + a2 + � � �+ an � a1 + a2 + � � �+ an + � � �+ a2k+1�1 == a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + � � �+ (a2k + a2k+1 + � � �+ a2k+1�1) �� a1 + 2a2 + 4a4 + � � �+ 2ka2k = Tk: (2:2:8)Deoare e n � 2k avemSn = a1 + a2 + � � �+ an � a1 + a2 + � � �+ a2k == a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + � � �+ (a2k�1+1 + � � �+ a2k) �� a1 + a2 + 2a22 + 22a23 + � � �+ 2k�1a2k � 12Tk: (2:2:9)Din inegalit�at�ile (2.2.8) �si (2.2.9) obt�inem 12Tk � Sn � Tk; de unde de-du em �a seriile 1Xn=1 an �si 1Xn=0 2na2n au a eea�si natur�a. Q.E.D.Conse int�a 2.2.4. Seria lui Riemann 1Xn=1 1n� , numit�a �si seria armoni �ageneralizat�a de exponent �, � 2 IR, este onvergent�a pentru � > 1 �si divergent�apentru � � 1.Demonstrat�ie. Da �a � � 0 atun i limn!1 1n� 6= 0, de i seria 1Xn=1 1n� estedivergent�a.Da �a � > 0 atun i �sirul an = 1n� este monoton des res �ator. ConformTeoremei 2.2.15 seria 1Xn=1 an are a eea�si natur�a u seria 1Xn=0 bn, unde bn = 2na2n == 2n 1(2n)� = (2n)1��= (21��)n. Seria 1Xn=0 bn este seria geometri �a u rat�ia 21��.Din Exemplul 2.2.1 rezult�a �a da �a 21�� < 1 , � > 1 seria 1Xn=0 bn este onver-gent�a, iar da �a 21�� � 1 , � � 1 seria 1Xn=0 bn este divergent�a.In on luzie 1Xn=1 an este onvergent�a da �a � > 1, iar pentru � � 1 estedivergent�a. Q.E.D.

Serii de numere reale 79Teorema 2.2.16. (Criteriul raportului al lui d'Alembert, forma u m�arginire)Fie 1Xn=1 an, an > 0; 8n 2 IN .a) Da �a 9 � < 1 �si 9n0 2 IN astfel �n at an+1an � �; 8n � n0 atun i seriaeste onvergent�a.b) Da �a 9n1 2 IN astfel �n at an+1an � 1, 8n � n1 atun i seria este diver-gent�a.Demonstrat�ie. a) Putem �nlo ui primii n0 � 1 termeni ai seriei, f�ar�a s�amodi� �am natura ei, u alte numere astfel �n at s�a �e veri� at�a inegalitateaan+1an � �; 8n 2 IN: (2:2:10)Atun i s riind inegalitatea (2.2.10) pentru n := 1; 2; : : : ; n� 1, obt�inema2a1 � �; a3a2 � �; : : : ; anan�1 � �.Inmult�ind inegalit�at�ile de mai sus membru u membru, dedu emana1 � �n�1 ) an � a1�n�1; 8n 2 IN .Deoare e seria 1Xn=1 a1�n�1 u � < 1 este onvergent�a (este seria geometri �a u rat�ia mai mi �a de at 1), rezult�a onform Teoremei 2.2.12 �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a.b) S�i ai i putem presupune �a inegalitatea an+1an � 1 are lo pentru 8n 2 IN ,�nlo uind primii n1 � 1 termeni ai seriei sau pur �si simplu eliminandu-i din serie.Astfel avem an+1 � an; 8n 2 IN , inegalitate are ne ondu e la on luzia �a �sirul(an)n este un �sir res �ator de numere pozitive, de i (an)n nu poate s�a onvearg�ala zero. Rezult�a �a seria 1Xn=1 an este divergent�a. Q.E.D.Teorema 2.2.17. (Criteriul raportului al lui d'Alembert u limite extreme)Fie 1Xn=1 an, an > 0; 8n 2 IN �si �e l� = lim supn!1 an+1an , l� = lim infn!1 an+1an .a) Da �a l� < 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l� > 1 atun i seria este divergent�a. ) Da �a l� � 1 sau l� � 1 nu putem pre iza natura seriei ( az de dubiu).

80 S�iruri �si serii de numere realeDemonstrat�ie. a) Din Teorema 2.1.26 (I)a) dedu em �a8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo an+1an < l� + ".Alegem " > 0 astfel �n at l� + " < 1; de exemplu pentru " = 1� l�2 , rezult�a �aexist�a n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 avem an+1an < l� + 1� l�2 ) an+1an < l� + 12 .De i 9 � = l� + 12 < 1 �si 9n0 2 IN astfel �n at an+1an < �; 8n � n0. ConformTeoremei 2.2.16 a) rezult�a �a 1Xn=1 an este onvergent�a.b) Da �a l� 2 (1;1) atun i din Teorema 2.1.26 (II)a) rezult�a �a8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo an+1an > l� � ".Alegem " > 0 astfel �n at l� � " > 1; de exemplu pentru " = l� � 12 rezult�a �a9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo an+1an > l� + 12 > 1. De i 9n1 2 IN astfel�n at 8n � n1 avem an+1an > 1. Conform Teoremei 2.2.16 b) rezult�a �a seria1Xn=1 an este divergent�a.Da �a l� =1 atun i limn!1 an+1an =1, adi �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo an+1an > M .Pentru M = 1 rezult�a �a 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo an+1an > 1.Conform Teoremei 2.2.16 b) dedu em �a seria 1Xn=1 an este divergent�a. ) Da �a l� � 1 sau l� � 1 nu putem pre iza natura seriei. Exist�a serii areveri� �a inegalit�at�ile de mai sus �si are sunt onvergente, iar altele sunt divergente.De exemplu seria 1Xn=1 2(�1)n�n are an = 2(�1)n�n = 12n�(�1)n � 12n�1 . Deoare eseria 1Xn=1 12n�1 este onvergent�a, rezult�a din Teorema 2.2.12 �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a. Pentru a east�a serie aveml� = lim infn!1 an+1an = lim infn!1 22(�1)n+1�1 = 18 < 1, iar l� = lim supn!1 an+1an = 2 > 1.Pentru seria 1Xn=1 2n�(�1)n avem an = 2n�(�1)n �si limn!1 an = 1, de i seria este

Serii de numere reale 81divergent�a. Limitele extreme de mai sus sunt �n a est azl� = lim infn!1 an+1an = lim infn!1 21+2(�1)n = 12 < 1, iar l� = 8 > 1. Q.E.D.Exemplul 2.2.7. Pentru seria 1Xn=1 2 (�1)n2 �2n avemlim supn!1 an+1an = lim supn!1 2(�1)n+1�2 = 12 < 1, �lim infn!1 an+1an = 18 < 1�.De i seria este onvergent�a.Exemplul 2.2.8. Pentru seria 1Xn=1 2 (�1)n2 +2n avemlim infn!1 an+1an = lim infn!1 2(�1)n+1+2 = 2 > 1, �lim supn!1 an+1an = 8 > 1�.De i seria este divergent�a.Conse int�a 2.2.5. (Criteriul raportului al lui d'Alembert u limit�a) Fieseria 1Xn=1 an u an > 0; 8n 2 IN �si �e l = limn!1 an+1an .a) Da �a l < 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l > 1 atun i seria este divergent�a. ) Da �a l = 1 nu putem pre iza natura seriei.Teorema 2.2.18. (Criteriul radi alului (r�ad�a inii) al lui Cau hy, forma um�arginire) Fie seria 1Xn=1 an u an � 0; 8n 2 IN .a) Da �a 9 � < 1 �si 9n0 2 IN astfel �n at npan � �; 8n � n0 atun i seriaeste onvergent�a.b) Da �a 9n1 2 IN astfel �n at npan � 1; 8n � n1 atun i seria este diver-gent�a.Demonstrat�ie. a) Ca �si �n demonstrat�ia Teoremei 2.2.16 putem presupune �a are lo inegalitatea npan � � pentru 8n 2 IN . Atun i rezult�a an � �n; 8n � 1.Deoare e seria geometri �a 1Xn=1 �n este onvergent�a (� < 1), din Teorema 2.2.12dedu em �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a.b) Da �a npan � 1 , an � 1; 8n � n1 rezult�a �a an 6! 0, adi �a seria1Xn=1 an este divergent�a. Q.E.D.Teorema 2.2.19. (Criteriul radi alului al lui Cau hy{Hadamard u limit�a

82 S�iruri �si serii de numere realesuperioar�a) Fie seria 1Xn=1 an; an � 0; 8n 2 IN �si �e l� = lim supn!1 npan.a) Da �a l� < 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l� > 1 atun i seria este divergent�a. ) Da �a l� = 1 nu putem pre iza natura seriei.Demonstrat�ie. a) Da �a l� < 1 din Teorema 2.1.26 (I)a) dedu em �a8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo npan < l� + ".Pentru " = 1� l�2 rezult�a �a 9n0 2 IN astfel �n at npan < l� + 12 . De i9 � = l� + 12 < 1 �si 9n0 2 IN astfel �n at npan < �; 8n � n0. Conform Teoremei2.2.18 rezult�a �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a.b) Da �a l� 2 (1;1) atun i onform Teoremei 2.1.26 (I)a) avem8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0pan0 > l� � ".Fie " = l� � 12 ; atun i 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0pan0 > l� + 12 > 1. De ipentru 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at an0 > 1, adi �a (an)n nu onverge la 0.Rezult�a �a seria este divergent�a.Da �a l� =1 atun i onform Teoremei 2.1.26 (I)b) avem8M > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0pan0 > M .Pentru M = 1 rezult�a �a 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0pan0 > 1 ) an0 > 1.De i (an)n nu onverge la zero, de unde dedu em �a seria este divergent�a. ) Da �a l� = 1 nu putem pre iza natura seriei. Exist�a serii onvergente,altele divergente pentru are l� = 1. Astfel, de exemplu, pentru seria armoni �ageneralizat�a avem lim supn!1 ns 1n� = 1; 8� 2 IR. Cunoa�stem �a a east�a serie este onvergent�a pentru � > 1 �si divergent�a pentru � � 1. Q.E.D.Conse int�a 2.2.6. (Criteriul radi alului al lui Cau hy u limit�a) Fie seria1Xn=1 an u an � 0; 8n 2 IN �si �e l = limn!1 npan.a) Da �a l < 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l > 1 atun i seria este divergent�a. ) Da �a l = 1 nu putem pre iza natura seriei.

Serii de numere reale 83Exemplul 2.2.9. Pentru seria 1Xn=1 2(�1)n�n avemlim supn!1 npan = lim supn!1 2 (�1)nn �1 = limn!1 2 (�1)nn �1 = 12 < 1.Rezult�a onform Teoremei 2.2.19 (Conse int�a 2.2.6) �a seria este onvergent�a.Exemplul 2.2.10. Pentru seria 1Xn=1 2n�(�1)n avemlim supn!1 npan = lim supn!1 21� (�1)nn = limn!1 21� (�1)nn = 2 > 1.Dedu em onform Teoremei 2.2.19 (Conse int�a 2.2.6) �a seria este divergent�a.Exemplul 2.2.11. Pentru seria 1Xn=1 "5 + (�1)n2 #n avemlim supn!1 npan = lim supn!1 5 + (�1)n2 = 3 > 1.Rezult�a onform Teoremei 2.2.19 �a seria este divergent�a.Observat�ia 2.2.7. Din Teorema 2.1.30 dedu em �a da �a are lo Teorema2.2.17 ( riteriul raportului) atun i are lo �si Teorema 2.2.19 ( riteriul radi alului).De i riteriul radi alului este mai puterni (tare), el putandu-se apli a �si pentruserii pentru are nu se poate apli a riteriul raportului (vezi Exemplele 2.2.9{2.2.10 �si demonstrat�ia Teoremei 2.2.17).Teorema 2.2.20. (Criteriul lui Kummer u limite extreme) Fie �sirul (�n)n2IN� IR�+ �si seria 1Xn=1 an u an > 0; 8n 2 IN .a) Da �a l� = lim infn!1 �n anan+1 � �n+1! > 0 atun i seria 1Xn=1 an este onver-gent�a.b) Da �a seria 1Xn=1 1�n este divergent�a, iar l� = lim supn!1 �n anan+1 � �n+1! < 0atun i seria 1Xn=1 an este divergent�a.Demonstrat�ie. a) Da �a l� 2 (0;1) atun i din Teorema 2.1.26 avem8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo �n anan+1 � �n+1 > l� � ".Pentru " = l�2 atun i 9n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 avem �n anan+1��n+1 > l�2 ,�nan � �n+1an+1 > l�2 an+1: (2:2:11)

84 S�iruri �si serii de numere realeS riem inegalitatea (2.2.11) pentru n := n0; n0 + 1; : : : ; n� 1 �si obt�inem�n0an0 � �n0+1an0+1 > l�2 an0+1;�n0+1an0+1 � �n0+2an0+2 > l�2 an0+2;...�n�1an�1 � �nan > l�2 an:Adunand inegalit�at�ile de mai sus rezult�a�n0an0 � �nan > l�2 (an0+1 + an0+2 + � � �+ an) ; 8n � n0 + 1 )an0+1 + an0+2 + � � �+ an < 2l� (�n0an0 � �nan) < 2l��n0an0 ; 8n � n0 + 1 )a1 + a2 + � � �+ an < (a1 + a2 + � � �+ an0) + 2l��n0an0; 8n � n0 + 1 )Sn �M; 8n � n0 + 1; unde M = a1 + a2 + � � �+ an0 + 2l��n0an0 ;de unde rezult�a �a Sn � maxfS1; S2; : : : ; Sn0; Mg; 8n 2 IN . Dedu em �a �sirul(Sn)n este m�arginit, iar seria 1Xn=1 an este onvergent�a.Da �a l� =1 atun i limn!1 �n anan+1 � �n+1! =1, de i8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo �nan � �n+1an+1 > Man+1.Pentru M = 1 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 avem �nan � �n+1an+1 > an+1.La fel a mai sus obt�ineman1+1 + an1+2 + � � �+ an < �n1an1 � �nan < �n1an1; 8n � n1 + 1 )Sn � a1 + a2 + � � �+ an1 + �n1an1 =M; 8n � n1 + 1 )Sn � maxfM; S1; S2; : : : ; Sn1g; 8n 2 IN .Rezult�a �a �sirul (Sn)n2IN este m�arginit, iar seria 1Xn=1 an este onvergent�a.b) Da �a l� = lim supn!1 �n anan+1 � �n+1! 2 (�1; 0) atun i avem8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo �n anan+1 � �n+1!< l� + ".Pentru " = � l�2 rezult�a �a 9n2 2 IN astfel �n at 8n � n2 avem�n anan+1 � �n+1! < l�2 < 0 ) anan+1 < �n+1�n ) an+1an > �n�n+1 = 1�n+11�n .

Serii de numere reale 85Deoare e seria 1Xn=1 1�n este divergent�a, din Teorema 2.2.13 rezult�a �a seria1Xn=1 an este divergent�a.Da �a l� = �1 atun i limn!1 �n anan+1 � �n+1! = �1, de i8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo �n anan+1 � �n+1 < �M .Pentru M = 1 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 avem �n anan+1 ��n+1 < �1 < 0, deunde rat�ionamentul ontinu�a a mai sus �si obt�inem �a seria 1Xn=1 an este divergent�a.Q.E.D.Teorema 2.2.21. (Criteriul lui Raabe-Duhamel u limite extreme) Fie seria1Xn=1 an u an > 0; 8n 2 IN �si �e l� = lim supn!1 n anan+1 � 1!, iar l� == lim infn!1 n anan+1 � 1!.a) Da �a l� > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l� < 1 atun i seria este divergent�a.Demonstrat�ie. Folosim Teorema 2.2.20, luand �n = n 2 IR�+.a) Da �a lim infn!1 n anan+1 � n� 1! > 0 , lim infn!1 n anan+1 � 1! > 1 ,l� > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a lim supn!1 n anan+1 � n� 1! < 0 , lim supn!1 n anan+1 � 1! < 1 ,l� < 1 atun i seria este divergent�a (seria 1Xn=1 1n este divergent�a). Q.E.D.Observat�ia 2.2.8. Criteriul lui Raabe-Duhamel este mai tare de at riteriulraportului al lui d'Alembert. Intr-adev�ar, da �a lim supn!1 an+1an = � < 1 atun ilim infn!1 n anan+1 � 1! = +1 > 1, de i onform Teoremei 2.2.21 seria 1Xn=1 an este onvergent�a. Da �a lim infn!1 an+1an = � > 1 atun i lim supn!1 n anan+1 � 1! = �1 < 1,de i onform Teoremei 2.2.21 seria 1Xn=1 an este divergent�a. Criteriul lui Raabe-Duhamel se folose�ste �n azul de dubiu din Criteriul raportului.

86 S�iruri �si serii de numere realeConse int�a 2.2.7. (Criteriul lui Raabe-Duhamel u limit�a) Fie 1Xn=1 an uan > 0; 8n 2 IN �si �e l = limn!1n anan+1 � 1!.a) Da �a l > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l < 1 atun i seria este divergent�a.Exemplul 2.2.12. Fie seria 1Xn=1 an, unde an = 2 � 7 � 12 � � � (5n� 3)3 � 8 � 13 � � � (5n� 2). Avemlimn!1 an+1an = limn!1 5n+ 25n+ 3 = 1, adi �a azul de dubiu �n Criteriul raportului (Con-se int�a 2.2.5). Folosind Criteriul lui Raabe-Duhamel (Conse int�a 2.2.7) avemlimn!1n anan+1 � 1! = limn!1n�5n+ 35n+ 2 � 1� = limn!1 n5n+ 2 = 15 < 1.Dedu em �a seria este divergent�a.Un riteriu mai puterni de at riteriul lui Raabe-Duhamel esteTeorema 2.2.22 (Criteriul lui Bertrand u limite extreme) Fie 1Xn=1 an uan > 0; 8n 2 IN �si �e l� = lim supn!1 "n anan+1 � 1!� 1# lnn, iar l� == lim infn!1 "n anan+1 � 1!� 1# lnn.a) Da �a l� > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l� < 1 atun i seria este divergent�a.Demonstrat�ie. Folosim Teorema 2.2.20 (Criteriul lui Kummer), luand �n == n lnn 2 IR�+, pentru n � 2. Conform Teoremei 2.2.15 (Criteriul de ondensareal lui Cau hy) seria 1Xn=2 1�n are a eea�si natur�a u seria1Xn=1 2n 12n ln 2n = 1Xn=1 1n ln 2 = 1ln 2 1Xn=1 1n , are este divergent�a. De i seria 1Xn=1 1�n este divergent�a.Criteriul lui Kummer ne spune �a da �alim infn!1 "n lnn � anan+1 � (n+ 1) ln(n+ 1)# > 0 ,lim infn!1 (lnn "n anan+1 � 1!� 1#+ (n + 1) ln nn+ 1) > 0 ,

Serii de numere reale 87lim infn!1 lnn "n anan+1 � 1!� 1#� 1 > 0 , l� > 1atun i seria 1Xn=1 an este onvergent�a, adi �a avem pun tul a).Mai sus am folosit proprietatea lim infn!1 ( n + dn) = lim infn!1 n + limn!1dn, undedn = (n+ 1) ln nn+ 1, iar limn!1 dn = limn!1 ln�1� 1n+ 1�n+1 = �1.Da �a lim supn!1 "n lnn � anan+1 � (n+ 1) ln(n+ 1)# < 0 ,lim supn!1 lnn "n anan+1 � 1!� 1#� 1 < 0 , l� < 1atun i seria 1Xn=1 an este divergent�a, adi �a are lo pun tul b). Q.E.D.Conse int�a 2.2.8. (Criteriul lui Bertrand u limit�a) Fie 1Xn=1 an, u an > 0;8n 2 IN �si �e l = limn!1 "n anan+1 � 1!� 1# lnn.a) Da �a l > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l < 1 atun i seria este divergent�a.Exemplul 2.2.13. Fie seria 1Xn=1 an, unde an = 12 � 52 � 92 � � � (4n� 3)232 � 72 � 112 � � � (4n� 1)2 .Avemlimn!1 an+1an = limn!1 (4n+ 1)2(4n+ 3)2 = 1,limn!1n anan+1 � 1! = limn!1n (4n+ 3)2(4n+ 1)2 � 1! = limn!1 n(16n+ 8)(4n+ 1)2 = 1; iarlimn!1 "n anan+1 � 1!� 1# lnn = limn!1 � lnn(4n+ 1)2 = 0 < 1.Conform Criteriului lui Bertrand (Conse int�a 2.2.8) rezult�a �a seria 1Xn=1 aneste divergent�a.Teorema 2.2.23. (Criteriul lui Gauss) Fie seria 1Xn=1 an, u an>0; 8n2 IN .Presupunem �a 9�; � 2 IR, > 0, (�n)n2IN un �sir m�arginit �si n0 2 IN astfel�n at anan+1 = �+ �n + �nn1+ ; 8n � n0:a) Da �a � > 1 sau f� = 1 �si � > 1g atun i seria este onvergent�a.

88 S�iruri �si serii de numere realeb) Da �a � < 1 sau f� = 1 �si � � 1g atun i seria este divergent�a.Demonstrat�ie. Din Criteriul lui d'Alembert (Conse int�a 2.2.5) avemi) da �a � < 1 atun i limn!1 anan+1 = � < 1, de i seria este divergent�a;ii) da �a � > 1 atun i limn!1 anan+1 = � > 1, de i seria este onvergent�a.Da �a � = 1 avem limn!1n anan+1 � 1! = �. Din Criteriul lui Raabe-Duhamel(Conse int�a 2.2.7) rezult�a �a pentru � < 1 seria este divergent�a, iar pentru � > 1seria este onvergent�a.Pentru � = 1 �si � = 1 folosim Criteriul lui Bertrand (Conse int�a 2.2.8).Deoare e limn!1 "n anan+1 � 1!� 1# lnn = limn!1 �n � lnnn = 0 < 1;rezult�a �a seria este divergent�a. Q.E.D.Exemplul 2.2.14. Fie seria 1Xn=0 an, undean = �(�+ 1) � � � (� + n� 1)�(� + 1) � � � (� + n� 1)n! ( + 1) � � � ( + n� 1) ; n 2 IN , a0 = 1,numit�a seria hipergeometri �a a lui Gauss.Avem anan+1 = (n + 1)( + n)(� + n)(� + n) = 1 + + 1� �� �n + �nn2 ,unde �n = n2( � �� � � � � � + �� + �2 + �2)� n��( + 1� �� �)(n+ �)(n+ �) .S�irul (�n)n este m�arginit (este onvergent u limita � �� � � � � � + ��++�2 + �2). Conform Criteriului lui Gauss (Teorema 2.2.23) dedu em �a da �a + 1 � � � � > 1 , � � � � > 0 atun i seria 1Xn=1 an este onvergent�a, iarda �a + 1� �� � � 1 , � �� � � 0 atun i seria 1Xn=1 an este divergent�a.Teorema 2.2.24. (Criteriul logaritmi u limite extreme) Fie seria 1Xn=1 an u an > 0; 8n 2 IN �si l� = lim supn!1 ln 1anlnn , iar l� = lim infn!1 ln 1anlnn .a) Da �a l� > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l� < 1 atun i seria este divergent�a.Demonstrat�ie. a) Da �a l� 2 (1;1) atun i

Serii de numere reale 898 " > 0 9N(") 2 IN; N(") � 2 astfel �n at 8n � N(") are lo ln 1anlnn > l��".Pentru " = l� � 12 rezult�a �a 9n0 � 2 astfel �n at 8n � n0 avemln 1anlnn > l� + 12 = � > 1 ) ln 1an > lnn� ) an < 1n� .Conform Teoremei 2.2.12 �si Conse int�ei 2.2.4 (seria 1Xn=1 1n� u � > 1 este onvergent�a) rezult�a �a 1Xn=1 an este onvergent�a.Da �a l� =1 atun i limn!1 ln 1anlnn =1; de i8M > 0 9nM 2 IN; nM � 2 astfel �n at 8n � nM avem ln 1anlnn > M .Pentru M = � > 1 rezult�a �a 9n� 2 IN; n� � 2 astfel �n at 8n � n� are lo ln 1anlnn > � ) an < 1n� ; de unde dedu em a �si mai sus �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a.b) Da �a l� < 1 atun i8 " > 0 9N(") 2 IN; N(") � 2 astfel �n at 8n � N(") are lo ln 1anlnn < l�+".Pentru " = 1� l�2 rezult�a �a 9n1 2 IN; n1 � 2 astfel �n at 8n � n1 avemln 1anlnn < l� + 12 = � < 1 ) an > 1n� .Conform Teoremei 2.2.12 �si a Conse int�ei 2.2.4 rezult�a �a seria este diver-gent�a.Da �a l� = �1 atun i limn!1 ln 1anlnn = �1, adi �a8M > 0 9nM 2 IN; nM � 2 astfel �n at 8n � nM are lo ln 1anlnn < �M .Pentru M = 1 9n1 2 IN; n1 � 2 astfel �n at 8n � n1 avemln 1an < � lnn ) an > n. De i an 6! 0, de unde dedu em �a seria estedivergent�a. Q.E.D.Conse int�a 2.2.9. (Criteriul logaritmi , forma u limit�a) Fie 1Xn=1 an uan > 0; 8n 2 IN �si �e l = limn!1 ln 1anlnn .

90 S�iruri �si serii de numere realea) Da �a l > 1 atun i seria este onvergent�a.b) Da �a l < 1 atun i seria este divergent�a.Exemplul 2.2.15. Fie seria 1Xn=1nln�, � > 0 u termenul general an = nln�.Avem limn!1 ln 1anlnn = limn!1 lnn� ln�lnn = � ln�.Da �a � ln� > 1 , ln� < �1, � < e�1 atun i seria este onvergent�a.Da �a � ln� < 1 , ln� > �1 , � > e�1 atun i seria este divergent�a.Da �a � ln� = 1 , � = e�1 riteriul logaritmi nu ne d�a ni i o informat�iedespre natura seriei. Inlo uind �n seria noastr�a pe � = e�1 obt�inem seria armoni �a1Xn=1 1n , are este divergent�a.De i 1Xn=1nlnx este onvergent�a pentru 0 < � < e�1 �si este divergent�a pentru� � e�1.Teorema 2.2.25. (Criteriul integral al lui Ma -Laurin{Cau hy) Fie 1Xn=1 an u an � 0; 8n 2 IN . Presupunem �a exist�a o fun t�ie ontinu�a �si monotondes res �atoare f : [1;1)! IR+ u f(n) = an; 8n 2 IN . Atun i seria 1Xn=1 an este onvergent�a (divergent�a) da �a �si numai da �a �sirul (Fn)n2IN , Fn = Z n1 f(x) dx este onvergent (respe tiv divergent).Demonstrat�ie. Deoare e f este ontinu�a u valori �n IR+ rezult�a �a Fn estebine de�nit pentru ori e n 2 IN �si �n plus �sirul (Fn)n este monoton res �ator.Seria 1Xn=1 an u an = f(n) este onvergent�a da �a �si numai da �a, onformTeoremei 2.2.2 (Cau hy) avem8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo an+1 + an+2 + � � �+ an+p < " , f(n+ 1) + f(n+ 2) + � � �+ f(n+ p) < ":(2:2:12)S�irul (Fn)n2IN este onvergent da �a �si numai da �a �sirul (Fn)n este �sir Cau hy,

Serii de numere reale 91adi �a8 " > 0 9 en0(") 2 IN astfel �n at 8n � en0(") are lo Fn+p � Fn < "; 8 p 2 IN, Z n+p1 f(x) dx� Z n1 f(x) dx < " , Z n+pn f(x) dx < ": (2:2:13)AvemZ n+pn f(x) dx = Z n+1n f(x) dx+ � � �+ Z n+pn+p�1 f(x) dx.Deoare ef(n+ 1) � Z n+1n f(x) dx � f(n);f(n+ 2) � Z n+2n+1 f(x) dx � f(n+ 1);...f(n+ p) � Z n+pn+p�1 f(x) dx � f(n+ p� 1),obt�inem prin adunaref(n+ 1) + f(n+ 2) + � � �+ f(n+ p) � Z n+pn f(x) dx �� f(n) + f(n+ 1) + � � �+ f(n+ p� 1); 8 p 2 IN: (2:2:14)Din relat�ia (2.2.14) rezult�a �a (2.2.12) �si (2.2.13) sunt e hivalente, adi �a seria1Xn=1 an este onvergent�a da �a �si numai da �a �sirul (Fn)n este onvergent.Partea a doua a teoremei poate � dedus�a din prima parte sau se poate ar�ata a mai sus �a (Sn)n !1 , (Fn)n !1, unde (Sn)n este �sirul sumelor part�ialepentru seria 1Xn=1 an. Q.E.D.Exemplul 2.2.16. Fie seria 1Xn=2 1n lnp n , p > 0. Consider�am fun t�iaf : [2;1) ! IR+, f(x) = 1x lnp x , ontinu�a �si monoton des res �atoare. Atun ida �a p 6= 1 avemF (n) =Z n2 f(x) dx=Z n2 1x lnp x dx= (lnx)�p+1�p+ 1 ����n2 = 11� p h(lnn)�p+1 � (ln 2)�p+1i.S�irul (Fn)n�2 este onvergent , p > 1 �si este divergent , p < 1.Da �a p = 1 atun i Fn = Z n2 dxx lnx = ln(lnx)����n2 = ln(lnn) � ln(ln 2) ! 1,pentru n!1.

92 S�iruri �si serii de numere realeDe i seria este onvergent�a pentru p > 1 �si divergent�a pentru 0 < p � 1.2.4. Criterii de onvergent��a pentru serii u termeni oare areTeorema 2.2.26. (Lema lui Abel) Fie 1; 2; : : : ; p, d1; d2; : : : ; dp 2 IR(p 2 IN) u urm�atoarele propriet�at�ia) jAij � K; 8 i = 1; p, unde A1 = 1; A2 = 1+ 2, : : :, Ap = 1+ 2+� � �+ p;b) d1 � d2 � � � � � dp � 0.Atun i are lo inegalitateaj 1d1 + 2d2 + � � �+ pdpj � Kd1: (2:2:15)Demonstrat�ie. Din de�nit�ia numerelor Ai; i = 1; p avem 1 = A1; 2 = A2 � A1; 3 = A3 � A2; : : : ; p = Ap � Ap�1.Atun ij 1d1 + 2d2 + � � �+ pdpj = jA1d1 + (A2 � A1)d2 + � � �+ (Ap � Ap�1)dpj == jA1(d1 � d2) + A2(d2 � d3) + � � �+ Ap�1(dp�1 � dp) + Apdpj �� jA1(d1 � d2)j+ jA2(d2 � d3)j+ � � �+ jAp�1(dp�1 � dp)j+ jApdpj == jA1j(d1 � d2) + jA2j(d2 � d3) + � � �+ jAp�1j(dp�1 � dp) + jApjdp �� K(d1 � d2 + d2 � d3 + � � �+ dp�1 � dp + dp) = Kd1,adi �a inegalitatea (2.2.15). Q.E.D.Teorema 2.2.27. (Criteriul lui Diri hlet) Fie seria 1Xn=1 anbn, u an; bn 2 IR.Da �aa) seria 1Xn=1 an are �sirul sumelor part�iale m�arginit, iarb) �sirul (bn)n2IN este monoton des res �ator, onvergent la 0,atun i seria 1Xn=1 anbn este onvergent�a.Demonstrat�ie. Fie (Sn)n �sirul sumelor part�iale pentru seria 1Xn=1 an. Dinipoteza a) rezult�a �a 9M > 0 astfel �n at jSnj � M; 8n 2 IN . Apoi, deoare e(bn)n este monoton des res �ator �si limn!1 bn = 0 dedu em �a bn � 0; 8n 2 IN �si8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo bn < ": (2:2:16)

Serii de numere reale 93Fie " > 0 arbitrar, momentan �xat. Pentru "2M > 0 relat�ia (2.2.16) ne d�aexistent�a unui rang n0 � "2M � not= n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo bn < "2M .Vom ar�ata �a seria 1Xn=1 anbn veri� �a Teorema 2.2.2 (Teorema lui Cau hy).Fie p 2 IN ; not�am 1 = an+1, 2 = an+2, : : :, p = an+p; d1 = bn+1, d2 = bn+2; : : :,dp = bn+p �si veri� �am ipotezele din Teorema 2.2.26 (Lema lui Abel). AvemjAij = j 1 + 2 + � � �+ ij = jan+1 + an+2 + � � �+ an+ij = jSn+i � Snj �� jSn+ij+ jSnj � 2M; 8 i = 1; p,de i este veri� at�a ondit�ia a) din Teorema 2.2.26 u K = 2M .Condit�ia b) din Teorema 2.2.26 este �si ea veri� at�a, deoare e (bn)n este mono-ton des res �ator, de i d1 � d2 � � � � � dp � 0, (bn+1 � bn+2 � � � � � bn+p � 0).Atun i, din Lema lui Abel rezult�a �a j 1d1+ 2d2+ � � �+ pdpj � Kd1; adi �ajan+1bn+1 + an+2bn+2 + � � �+ an+pbn+pj � 2Mbn+1 < 2M "2M = ",pentru n+ 1 � n1 sau n � n1 � 1.De i pentru ori e " > 0 9 en0(") = n1 � 1 astfel �n atjan+1bn+1 + � � �+ an+pbn+pj < ", 8 p 2 IN .Dedu em astfel onform Teoremei 2.2.2 �a seria 1Xn=1 anbn este onvergent�a. Q.E.D.Exemplul 2.2.17. S�a onsider�am seria 1Xn=1 sinnxn , x 2 IR. Pentru x = k�,k 2 Z, seria devine 1Xn=1 0 �si este onvergent�a. Pentru x 6= k�; k 2 Z, not�aman = sinnx �si bn = 1n . S�irul (bn)n este monoton des res �ator, onvergent la 0. Se-ria 1Xn=1 an are �sirul sumelor part�iale (Sn)n, unde Sn = sin nx2 sin (n+1)x2sin x2 ; 8n 2 IN:Rezult�a �a jSnj � 1���sin x2 ��� ; 8n 2 IN , adi �a �sirul (Sn)n este m�arginit. ConformTeoremei 2.2.27 dedu em �a seria 1Xn=1 sinnxn , pentru x 6= k�; k 2 Z, este on-vergent�a. In on luzie seria dat�a este onvergent�a pentru ori e x 2 IR.Teorema 2.2.28 (Criteriul lui Abel) Fie seria 1Xn=1 anbn, u an; bn 2 IR. Da �a

94 S�iruri �si serii de numere realea) seria 1Xn=1 an este onvergent�a, iarb) �sirul (bn)n este monoton �si m�arginit,atun i seria 1Xn=1 anbn este onvergent�a.Demonstrat�ie. Deoare e �sirul (bn)n este monoton �si m�arginit, onformTeoremei 2.1.17 (Teorema lui Bolzano-Weierstrass) rezult�a �a el este onvergent.Presupunem �a (bn)n este monoton des res �ator. Not�am u b = limn!1 bn �si �e �sirul(b0n)n, unde b0n = bn � b, are este monoton des res �ator, onvergent la 0. Seria1Xn=1 an este onvergent�a, de i are �sirul sumelor part�iale m�arginit. Conform Teo-remei 2.2.27 (Criteriul lui Diri hlet) dedu em �a seria 1Xn=1 anb0n este onvergent�a.Dar anb0n = anbn � anb, de i anbn = anb0n + anb, iar 1Xn=1 anbn = 1Xn=1 anb0n + b 1Xn=1 an.Rezult�a �a seria 1Xn=1 anbn este suma a dou�a serii onvergente, de i este �si ea on-vergent�a.Da �a �sirul (bn)n este monoton res �ator, atun i (�bn)n este monoton des- res �ator �si onform primei p�art�i a demonstrat�iei dedu em �a seria 1Xn=1 an(�bn) == 1Xn=1(�anbn) este onvergent�a. De i �si seria noastr�a 1Xn=1 anbn = � 1Xn=1(�anbn)este onvergent�a. Q.E.D.Exemplul 2.2.18. Seria 1Xn=1 ann� , unde a 2 IR, jaj < 1 �si � > 0 este on-vergent�a, onform Teoremei 2.2.28, deoare e seria 1Xn=1 an este onvergent�a (seriageometri �a), iar �sirul � 1n��n este monoton des res �ator (la 0) �si m�arginit.Teorema 2.2.29. (Criteriul lui Leibniz) Fie seria alternat�a 1Xn=1(�1)n�1�n, u �n � 0; 8n 2 IN . Da �a �sirul (�n)n este monoton des res �ator �si onvergentla 0 atun i seria 1Xn=1(�1)n�1�n este onvergent�a.Demonstrat�ie. Apli �am Teorema 2.2.27 pentru an = (�1)n�1 �si bn = �n.

Serii de numere reale 95Avem �ndeplinite ipotezele din a east�a teorem�a. Intr-adev�ar seria 1Xn=1(�1)n�1are �sirul sumelor part�iale m�arginit jSnj � 1; n 2 IN , iar �sirul (bn)n este mono-ton des res �ator, onvergent la 0. Dedu em astfel �a seria 1Xn=1(�1)n�1�n este onvergent�a. Q.E.D.Exemplul 2.2.19. Seriile 1Xn=1 (�1)n�1n , 1Xn=1 (�1)n�1n2 sunt onvergente on-form Criteriului lui Leibniz, deoare e �sirurile � 1n�n, � 1n2�n sunt monoton des res- �atoare, onvergente la 0.2.5. Serii absolut onvergente �si serii semi onvergenteDe�nit�ia 2.2.5. Seria 1Xn=1 an se nume�ste absolut onvergent�a da �a seriamodulelor 1Xn=1 janj este onvergent�a. Not�am 1Xn=1 an (A.C.).De�nit�ia 2.2.6. Seria 1Xn=1 an se nume�ste semi onvergent�a sau simplu on-vergent�a da �a ea este onvergent�a, dar nu este absolut onvergent�a. Not�am 1Xn=1 an(S.C.).Exemplul 2.2.20. Seria 1Xn=1 (�1)n�1n2 este absolut onvergent�a, deoare eseria modulelor 1Xn=1 1n2 este onvergent�a, (este seria armoni �a generalizat�a u � == 2 > 1).Exemplul 2.2.21. Seria 1Xn=1 (�1)n�1n este semi onvergent�a, deoare e eaeste onvergent�a onform Criteriului lui Leibniz (vezi Exemplul 2.2.19), iar seriamodulelor 1Xn=1 1n este divergent�a.Teorema 2.2.30. O serie 1Xn=1 an absolut onvergent�a este onvergent�a.Demonstrat�ie. Deoare e 1Xn=1 an este absolut onvergent�a, rezult�a �a 1Xn=1 janjeste onvergent�a. Conform Teoremei 2.2.2 rezult�a �a 8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel�n at 8n � n0(") are lo jan+1j+ jan+2j+ � � �+ jan+pj < "; 8 p 2 IN:

96 S�iruri �si serii de numere realeAtun i 8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") �si 8 p 2 IN avemjan+1 + an+2 + � � �+ an+pj � jan+1j+ jan+2j+ � � �+ jan+pj < ".Am obt�inut ara terizarea Cau hy (Teorema 2.2.2) pentru seria 1Xn=1 an, de underezult�a �a a easta este onvergent�a. Q.E.D.Observat�ia 2.2.9. La seriile u termeni nenegativi absoluta onvergent��a oin ide u onvergent�a.Pentru a studia absoluta onvergent��a a unei serii putem folosi ori are dintre riteriile de onvergent��a prezentate pentru seriile u termeni nenegativi. Vom da�n ontinuare dou�a dintre a este riterii, avand �n vedere on luziile deosebite alelor. Teorema 2.2.31. (Criteriul raportului) Fie 1Xn=1 an u an 2 IR�; 8n 2 IN ,iar l� = lim supn!1 ����an+1an ���� �si l� = lim infn!1 ����an+1an ����.a) Da �a l� < 1 atun i seria este absolut onvergent�a.b) Da �a l� > 1 atun i seria este divergent�a.Demonstrat�ie. Apli �am Criteriul raportului al lui d'Alembert u limiteextreme (Teorema 2.2.17) pentru seria 1Xn=1 janj. Da �a l� < 1 rezult�a �a 1Xn=1 janjeste onvergent�a, adi �a 1Xn=1 an este absolut onvergent�a.Da �a l� 2 (1;1) atun i din Teorema 2.1.26 (II)a) rezult�a �a8 " > 0 9N(") 2 IN astfel �n at 8n � N(") are lo ����an+1an ���� > l� � ".Pentru " = l� � 12 dedu em �a 9n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 are lo ����an+1an ���� > l� + 12 > 1 ) jan+1j > janj. Rezult�a �a janj 6! 0 �si de i an 6! 0, adi �aseria 1Xn=1 an este divergent�a.Da �a l� =1 atun i limn!1 ����an+1an ���� =1, adi �a8M > 0 9nM 2 IN astfel �n at 8n � nM are lo ����an+1an ���� > M .Pentru M = 1 rezult�a �a 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo ����an+1an ���� > 1 ,

Serii de numere reale 97jan+1j > janj. De i an 6! 0 �si astfel 1Xn=1 an este divergent�a. Q.E.D.Teorema 2.2.32. (Criteriul radi alului) Fie 1Xn=1 an u an 2 IR; 8n 2 IN �sil� = lim supn!1 nqjanj.a) Da �a l� < 1 atun i seria 1Xn=1 an este absolut onvergent�a.b) Da �a l� > 1 atun i seria 1Xn=1 an este divergent�a.Demonstrat�ie. Da �a l� < 1 atun i din Teorema 2.2.19 dedu em �a 1Xn=1 janjeste onvergent�a, de i seria 1Xn=1 an este absolut onvergent�a.Da �a l� 2 (1;1) atun i din Teorema 2.1.26 rezult�a �a8 " > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0qjan0 j > l� � ".Pentru " = l� � 12 dedu em �a 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0qjan0j > l� + 12 > 1) jan0j > 1. Rezult�a �a (an)n nu onverge la 0, adi �a seria 1Xn=1 an este divergent�a.Da �a l� =1 atun i onform Teoremei 2.1.26 avem8M > 0; 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0qjan0j > M .Pentru M = 1 obt�inem �a 8n 2 IN 9n0 � n astfel �n at n0qjan0j > 1) jan0j > 1.De ai i dedu em �a an 6! 0 �si �a 1Xn=1 an este divergent�a. Q.E.D.De�nit�ia 2.2.7. O serie 1Xn=1 an se nume�ste omutativ onvergent�a sau ne- ondit�ionat onvergent�a da �a ori e serie obt�inut�a din ea prin s himbarea ordiniitermenilor este onvergent�a.Teorema 2.2.33. Da �a seria 1Xn=1 an este absolut onvergent�a, atun i ori eserie 1Xn=1 bn obt�inut�a din seria 1Xn=1 an prin s himbarea ordinii termenilor este ab-solut onvergent�a �si are a eea�si sum�a u seria 1Xn=1 an.Demonstrat�ie. Deoare e 1Xn=1 an este absolut onvergent�a rezult�a �a 9M > 0

98 S�iruri �si serii de numere reale(M este suma seriei 1Xn=1 janj) astfel �n atja1j+ ja2j+ � � �+ janj �M; 8n 2 IN .Atun i jb1j + jb2j + � � � + jbnj � M; 8n 2 IN , de i �si seria 1Xn=1 bn este absolut onvergent�a.Fie S �si T suma seriei 1Xn=1 an, respe tiv suma seriei 1Xn=1 bn, adi �a S = 1Xn=1 an,T = 1Xn=1 bn, iar (Sn)n �si (Tn)n �sirul sumelor part�iale pentru seria 1Xn=1 an, respe tiv�sirul sumelor part�iale pentru seria 1Xn=1 bn. Fie bije t�ia lui IN pe IN uan = b (n); 8n 2 IN .Pentru �e are n 2 IN not�am u kn = maxf (1); (2); : : : ; (n)g. Atun idiferent�aTkn � Sn = b1 + b2 + � � �+ bkn � (a1 + a2 + � � �+ an) = b1 + b2 + � � �+ bkn�� �b (1) + b (2) + � � �+ b (n)�este egal�a u 0 sau u o sum�a de termeni am u m > n. De ijTkn � Snj � japj+ jap+1j+ � � �+ jaqj; (2:2:17)unde q � p > n.Fie " > 0. Deoare e seria 1Xn=1 an este absolut onvergent�a, din Teorema 2.2.2rezult�a �a 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jan+1j+ jan+2j+ � � �+ jan+pj < ".De i pentru n � n0(") din (2.2.17) dedu em �a jTkn � Snj < "; adi �alimn!1(Tkn � Sn) = 0 �si de i T = S. Q.E.D.Conse int�a 2.2.10. O serie 1Xn=1 an absolut onvergent�a este omutativ on-vergent�a.Teorema 2.2.34. (Riemann) Fie seria 1Xn=1 an semi onvergent�a. Atun is himband onvenabil ordinea termenilor putem obt�inea) o serie onvergent�a u suma un num�ar real dat;b) o serie divergent�a u suma +1;

Serii de numere reale 99 ) o serie divergent�a u suma �1;d) o serie divergent�a, pentru are �sirul sumelor part�iale nu are limit�a (ni i�nit�a, ni i in�nit�a).Nu vom prezenta demonstrat�ia Teoremei 2.2.34, are este onstru tiv�a (vezi[5℄). Fie o serie de numere reale 1Xn=1 an. Not�am ua+n = 8<: an; da �a an � 0;0; da �a an < 0; a�n = 8<: 0; da �a an � 0;�an; da �a an < 0:Atun i an = a+n � a�n ; janj = a+n + a�n ; 8n 2 IN ;a+n = janj+ an2 ; a�n = janj � an2 ; 8n 2 IN: (2:2:18)De�nit�ia 2.2.8. Seriile1Xn=1 a+n = a+1 + a+2 + � � �+ a+n � � � ;1Xn=1 a�n = a�1 + a�2 + � � �+ a�n + � � � ; (2:2:19)se numes seriile termenilor nenegativi, respe tiv a termenilor nepozitivi, �nmult�it�i u (�1) aso iate seriei 1Xn=1 an.Eliminand eventualii termeni nuli ai seriilor de mai sus (nu modi� �am naturaa estora), obt�inem seriile termenilor pozitivi �si ai termenilor negativi, �nmult�it�i u (�1), aso iate seriei 1Xn=1 an.Exemplul 2.2.22. Pentru seria 1Xn=1 (�1)n�1n = 1� 12 + 13 � 14 + 15 � � � � ;seriile (2.2.19)1;2 sunt1 + 0 + 13 + 0 + 15 + � � � ; respe tiv 0 + 12 + 0 + 14 + 0 + 16 + � � �.Ele au a eea�si natur�a u seriile1 + 13 + 15 + � � � ; (seria termenilor pozitivi), respe tiv12 + 14 + 16 + � � � ; (seria termenilor negativi �nmult�it�i u (�1)).

100 S�iruri �si serii de numere realeTeorema 2.2.35. O serie 1Xn=1 an este absolut onvergent�a da �a �si numaida �a atat seria termenilor nenegativi 1Xn=1 a+n , at �si seria termenilor nepozitivi�nmult�it�i u (�1), 1Xn=1 a�n sunt onvergente.Seria 1Xn=1 an onvergent�a este semi onvergent�a da �a �si numai da �a seriile1Xn=1 a+n �si 1Xn=1 a�n sunt divergente.Demonstrat�ie. Da �a 1Xn=1 an este absolut onvergent�a, de i 1Xn=1 janj este on-vergent�a, atun i din relat�iile (2.2.18)2 dedu em �a seriile 1Xn=1 a+n �si 1Xn=1 a�n sunt onvergente.Re ipro , da �a seriile 1Xn=1 a+n �si 1Xn=1 a�n sunt onvergente, atun i din (2.2.18)1rezult�a �a seria 1Xn=1 janj este onvergent�a, de i seria 1Xn=1 an este absolut onver-gent�a.Da �a seria 1Xn=1 an este onvergent�a, dar seria 1Xn=1 janj este divergent�a, atun idin (2.2.18)2 rezult�a �a seriile 1Xn=1 a+n �si 1Xn=1 a�n sunt divergente. Re ipro , da �aseriile 1Xn=1 a+n �si 1Xn=1 a�n sunt divergente, relat�iile (2.2.18)2 ne ondu la on luzia �a seria 1Xn=1 janj este divergent�a, de i seria 1Xn=1 an nu este absolut onvergent�a.Q.E.D.Teorema 2.2.36. O serie 1Xn=1 an este absolut onvergent�a da �a �si numaida �a ea este omutativ onvergent�a.Demonstrat�ie. Prima parte a teoremei rezult�a din Conse int�a 2.2.10.Re ipro , da �a seria 1Xn=1 an este omutativ onvergent�a atun i ea este onver-gent�a. Da �a presupunem prin redu ere la absurd �a seria 1Xn=1 an nu este absolut

Serii de numere reale 101 onvergent�a, atun i din Teorema 2.2.34 dedu em �a, s himband onvenabil or-dinea termenilor putem obt�ine o serie divergent�a. A est lu ru ontrazi e faptul �a seria 1Xn=1 an este omutativ onvergent�a. De i presupunerea f�a ut�a este fals�a�si �n on luzie seria 1Xn=1 an este absolut onvergent�a. Q.E.D.2.6. Produsul Cau hy (produsul onvolutiv) al dou�a seriiDe�nit�ia 2.2.9. Numim serie produs Cau hy sau serie produs onvolutiv alseriilor 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn seria 1Xn=1 n = 1 + 2 + � � �+ n + � � �, unde n = a1bn++a2bn�1 + � � �+ an�1b2 + anb1; n 2 IN .Teorema 2.2.37. (Mertens) Seria produs Cau hy dintre o serie onvergent�a�si una absolut onvergent�a este o serie onvergent�a, iar suma sa este egal�a uprodusul sumelor elor dou�a serii.Demonstrat�ie. Fie seria 1Xn=1 an absolut onvergent�a, iar seria 1Xn=1 bn on-vergent�a. Not�am u (An)n, (Bn)n �sirurile sumelor part�iale pentru seriile 1Xn=1 an,respe tiv 1Xn=1 bn, iar u A �si B sumele a estor serii.Pentru seria produs Cau hy 1Xn=1 n al seriilor 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn, not�am �sirulsumelor part�iale u (Cn)n.Deoare e seria 1Xn=1 bn este onvergent�a, rezult�a �a limn!1Bn = B. Da �a not�am u �n = Bn � B, n 2 IN , atun i limn!1�n = 0. AvemCn = 1+ 2+� � �+ n = a1b1+(a1b2+a2b1)+� � �+(a1bn+a2bn�1+� � �+anb1) == a1(b1 + b2 + � � �+ bn) + a2(b1 + b2 + � � �+ bn�1) + � � �+ anb1 == a1Bn+ a2Bn�1+ � � �+ anB1 = a1(�n+B)+ a2(�n�1+B)+ � � �+ an(�1+B) == B(a1+a2+ � � �+an)+a1�n+a2�n�1+ � � �+an�1 = BAn+a1�n+a2�n�1+ � � �++an�1.

102 S�iruri �si serii de numere realeDe i Cn � BAn = a1�n + a2�n�1 + � � �+ an�1; de unde rezult�a �ajCn�BAnj � ja1�n+ a2�n�1+ � � �+ an�1j � ja1jj�nj+ ja2jj�n�1j+ � � �+ janjj�1j:(2:2:20)Deoare e seria 1Xn=1 an este absolut onvergent�a, adi �a 1Xn=1 janj este onver-gent�a, rezult�a �a �sirul sumelor part�iale este m�arginit, adi �a9K > 0 astfel �n at ja1j+ ja2j+ � � �+ janj � K; 8n 2 IN: (2:2:21)S�irul (�n)n este onvergent la 0, de i8 " > 0 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 avem j�nj < "2K : (2:2:22)Pe de alt�a parte limn!1an, adi �a8" > 0 9n2 2 IN astfel �n at 8n � n2 are lo janj< "2(j�1j+ j�2j+ � � �+ j�n1�1j) :(2:2:23)Atun i, folosind (2.2.21){(2.2.23) obt�inem pentru " > 0 �si n � n0 = maxfn1;n1 + n2 � 2gja1jj�nj+ � � �+ janjj�1j = (ja1jj�nj+ � � �+ jan�n1+1jj�n1j)++(jan�n1+2jj�n1�1j+ � � �+ janjj�1j) � "2K (ja1j+ ja2j+ � � �+ jan�n1+1j)++ "2(j�1j+ � � �+ j�n1�1j)(j�n1�1j+ � � �+ j�1j) < "2KK + "2 = ".De i din inegalitatea de mai sus �si relat�ia (2.2.20) rezult�a �a pentru 8 " > 09n0 astfel �n at pentru 8n � n0 avem jCn�BAnj < "; adi �a limn!1(Cn�BAn) = 0.Deoare e limn!1An = A, dedu em �a limn!1Cn = limn!1(Cn � BAn + BAn) = AB.Astfel seria produs Cau hy 1Xn=1 n este onvergent�a, u suma AB. Q.E.D.Conse int�a 2.2.11. Seria produs Cau hy al dou�a serii onvergente u ter-meni nenegativi este o serie onvergent�a, u suma egal�a u produsul sumelor elordou�a serii.Conse int�a 2.2.12. Seria produs Cau hy al dou�a serii absolut onvergenteeste o serie absolut onvergent�a, u suma egal�a u produsul sumelor elor dou�aserii.

Exer it�ii �si probleme 103Demonstrat�ie. Fie seriile 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bn absolut onvergente. ConformConse int�ei 2.2.11 rezult�a �a seria produs Cau hy 1Xn=1 dn al seriilor onvergente1Xn=1 janj �si 1Xn=1 jbnj este onvergent�a, ( u suma egal�a u produsul sumelor elordou�a serii).Atun i termenul general n al seriei produs Cau hy al seriilor 1Xn=1 an �si 1Xn=1 bnveri� �a inegalitateaj nj= ja1bn+a2bn�1+� � �+anb1j�ja1jjbnj+ja2jjbn�1j+� � �+janjjb1j = dn; 8n 2 IN ,de i j nj � dn; 8n 2 IN .Folosind Criteriul de omparat�ie u m�arginire de prima spe ie (Teorema2.2.12) dedu em �a seria 1Xn=1 j nj este onvergent�a, de i seria 1Xn=1 n este absolut onvergent�a.Partea a doua a Conse int�ei 2.2.12 rezult�a din Teorema 2.2.37. Q.E.D.Observat�ia 2.2.10. Seria produs Cau hy al dou�a serii semi onvergente nueste neap�arat o serie onvergent�a; ea poate � o serie divergent�a, a�sa um vomvedea din exemplul are urmeaz�a.Exemplul 2.2.23. S�a onsider�am seria semi onvergent�a 1Xn=1 (�1)n�1pn . Ter-menul general al seriei produs al seriei de mai sus u ea �ns�a�si este n = a1an + a2an�1 + � � �+ ana1; unde an = (�1)n�1pn sau n= (�1)n�1pn + (�1)n�1q2(n� 1)+ (�1)n�1q3(n� 2)+� � �+(�1)n�1pn =(�1)n�1 nXk=1 1qk(n� k + 1).De i seria produs este 1Xn=1(�1)n�1 24 nXk=1 1qk(n� k + 1)35.Deoare e j nj = nXk=1 1qk(n� k + 1 � nn = 1, 8n 2 IN , rezult�a �a n 6! 0, pentrun!1, de i seria 1Xn=1 n este divergent�a.

104 S�iruri �si serii de numere realeExer it�ii �si probleme1. S�a se studieze �sirul sumelor part�iale pentru urm�atoarele serii, dedu andu-seapoi natura a estora �si suma lor, �n az de onvergent��aa) 1Xn=1 1(3n� 2)(3n + 1); b) 1Xn=1 3n�1 sin3 a3n ; a 2 IR; ) 1Xn=1 14n os2 a2n ; a 2 [0; 1℄;d) 1Xn=1(pn+ �+ 1� 2pn+ �+pn+ �� 1); � > 0;e) 1Xn=1 5n2 + 12n+ 8n2(n+ 1)3(n+ 2)3 ; f) 1Xn=1 ln n+ 1n ; g) 1Xn=1 3n2 + n� 2n! .2. Fie 1Xn=1 an o serie onvergent�a u an � 0; 8n 2 IN �si a1 6= 0, iar Sn= nXk=1 ak,n 2 IN . S�a se demonstreze �a urm�atoarele serii sunt onvergentea) 1Xn=1 anSn ; b) 1Xn=1 anS2n .3. Fie 1Xn=1 an o serie onvergent�a u an > 0; 8n 2 IN . S�a se arate �a urm�atoareleserii sunt onvergentea) 1Xn=1panan+1; b) 1Xn=1�a�1n + a�1n+1��1.4. S�a se arate �a da �a seria 1Xn=1 an u an � 0, 8n 2 IN este onvergent�a, atun i �siseriilea) 1Xn=1 an1 + an ; b) 1Xn=1 pannsunt onvergente.5. Fie seria 1Xn=1 an u an � 0; 8n 2 IN divergent�a. S�a se arate �a seria 1Xn=1 an1 + aneste divergent�a.6. Folosind riteriile de omparat�ie s�a se dedu �a natura urm�atoarelor seriia) 1Xn=1 p3nn2 + 2n+ 5; b) 1Xn=1 annpn! ; a 2 IR�+; ) 1Xn=1 2n sin �3n ; d) 1Xn=1 lnnn3 ;e) 1Xn=1 ar sin 3n7n2 + 1; f) 1Xn=1 hesin n�n3+1 � 1i ; g) 1Xn=1 1 � 3 � 5 � � � (2n� 1)2 � 4 � 6 � � � (2n) � 1pn .7. S�a se studieze u ajutorul riteriului radi alului al lui Cau hy urm�atoarele seriia) 1Xn=1�2n+ 15n+ 3�n ; b) 1Xn=1 6n2 + 7n+ 42n2 + 5n+ 7!n ; ) 1Xn=1 �q(n+ 1)(n+ a)� n�n ;

Exer it�ii �si probleme 105a > 0; d) 1Xn=1 "13 + 23 + � � �+ n3n3 � n4#n ; e) 1Xn=1 �3 + (�1)n5 �n.8. S�a se studieze natura urm�atoarelor serii u termeni pozitivi u ajutorul riteri-ilor lui d'Alembert, al lui Raabe-Duhamel sau al lui Bertranda) 1Xn=1 xnns ; x > 0; s > 0; b) 1Xn=1 n!n2n ; ) 1Xn=1 1 � 3 � 5 � � � (2n� 1)2 � 5 � 8 � � � (3n� 1) ;d) 1Xn=1 ann!nn ; a > 0; e) 1Xn=1 n!�(� + 1) � � � (�+ n� 1) ; � > 0;f) 1Xn=1(2n+ 1) � �(�� 1) � � � (�� n+ 1)(�+ 1)(� + 2) � � � (�+ n)�2 ; � 2 IR; � 6= �1;�2; : : :;g) 1Xn=1 1(1 + tg a)(1 + tg a2 ) � � � (1 + tg an) ; a 2 �0; �2�;h) 1Xn=1 �a(a+ r) � � � (a+ nr � r)b(b+ r) � � � (b+ nr � r) �� ; a > 0; b > 0; r > 0; � 2 IR.9. S�a se studieze, folosind Criteriul radi alului al lui Cau hy �si Criteriul raportuluial lui d'Alembert u limite extreme, natura serieix+ xy + x2y + x2y2 + � � � + xnyn�1 + xnyn + � � � ; (x; y > 0).10. S�a se arate, folosind indu t�ia dup�a p 2 IN �si Criteriul de ondensare al luiCau hy, �a seriile 1Xn=2 1Lpn sunt divergente, unde L1n = n lnn; L2n = n lnn � ln lnn,: : :, Lpn = n lnn � ln lnn � � � ln ln � � � ln| {z }p ori n; (pentru p = 1 vezi demonstrat�ia Teoremei2.2.22).11. (Criteriul general al lui Bertrand, numit �si Criteriul logaritmi al lui Bertrand)Fie seria 1Xn=1 an, u an > 0; n 2 IN .a) Da �a 9 p 2 IN [f0g astfel �n at lim infn!1 �Lpn anan+1 � Lp(n+ 1)� > 0 atun i seriaeste onvergent�a.b) Da �a 9 p 2 IN [f0g astfel �n at lim supn!1 �Lpn anan+1 � Lp(n+ 1)� < 0 atun i seriaeste divergent�a,unde L0n = n, iar Lpn, p 2 IN sunt de�nite �n Problema 10.Indi at�ie. Se folose�ste Criteriul lui Kummer u an = Lpn.12. S�a se studieze urm�atoarele serii folosind Criteriul logaritmi a) 1Xn=2 1(ln lnn)lnn ; b) 1Xn=2 1(lnn)ln lnn ; ) 1Xn=1 n 3pn2 + 2n3 + 2n+ 1.13. Folosind Criteriul integral al lui Cau hy s�a se studieze seria

106 S�iruri �si serii de numere reale1Xn=2 1n lnn � (ln lnn)q ; q > 0.14. S�a se studieze onvergent�a (absolut�a sau simpl�a) a urm�atoarelor seriia) 1Xn=1(�1)n�1 5pnn+ 1; b) 1Xn=1(�1)n�1 2n+ 13n ; ) 1Xn=1(�1)n�1 (n!)2(2n)! ;d) 1Xn=1(�1)n�1 �1 � 3 � � � (2n� 1)2 � 4 � � � (2n) �� ; � 2 IR; e) 1Xn=1 sinn�n� ; � 2 IR; � 2 IR;f) 1Xn=1 osn�n� ; � 2 IR; � 2 IR; g) 1Xn=1 sinn � sin 1nn� ; � > 0;h) 1Xn=1 sin n�3lg(n+ 1) ; i) 1Xn=1 sinn � osn2n� ; � > 0.15. S�a se arate �a da �a �ntr-o serie alternat�a 1Xn=1(�1)n�1�n are satisfa e ondit�iiledin Criteriul lui Leibniz (�sirul (�n)n este monoton des res �ator u limita egal�a u 0),�nlo uim suma seriei u suma part�ial�a Sn fa em o eroare mai mi �a de at primul termenneglijat �n+1. Eroarea este prin lips�a da �a n este par �si prin adaos da �a n este impar.16. S�a se al uleze seria produs pentru urm�atoarele serii, omentandu-se apoirezultatelea) 1Xn=0 1(n)! �si 1Xn=0 (�1)n(n)!(a+ n) ; a > 0;b) "1� 1Xn=1�32�n# �si "1 + 1Xn=1�32�n�1 � �2n + 12n+1�#.(Pentru seriile 1Xn=0 an �si 1Xn=0 bn seria produs Cau hy este 1Xn=0 n, unde 0 = a0b0; 1 = a0b1 + a1b0; : : : ; n = a0bn + a1bn�1 + � � � + anb0; : : :).

Capitolul 3SPAT�II METRICE. SPAT�IUL IRk1. Spat�ii metri e1.1. Metri �a, spat�iu metri De�nit�ia 3.1.1. Fie X o mult�ime nevid�a. Se nume�ste metri �a sau distant��ape X o apli at�ie d : X �X ! IR are satisfa e urm�atoarele propriet�at�i, numiteaxiomele metri iia) d(x; y) � 0; 8 x; y 2 X; d(x; y) = 0 , x = y;b) d(x; y) = d(y; x); 8 x; y 2 X; ) d(x; y) � d(x; z) + d(z; y); 8 x; y; z 2 X, (numit�a inegalitatea triunghiu-lar�a).De�nit�ia 3.1.2. O mult�ime X 6= ; dotat�a u o metri �a d se nume�ste spat�iumetri �si se noteaz�a u (X; d).De�nit�ia 3.1.3. Pentru un spat�iu metri (X; d) elementele mult�imii X senumes pun te, iar pentru x; y 2 X num�arul d(x; y) se nume�ste distant�a dintrex �si y.Teorema 3.1.1. Da �a (X; d) este un spat�iu metri atun i au lo urm�atoareleinegalit�at�i1) d(x1; xn) � d(x1; x2) + d(x2; x3) + � � �+ d(xn�1; xn), pentru ori e n pun tex1; x2; : : : ; xn 2 X (n 2 IN , n � 3).2) jd(x; z)� d(y; z)j � d(x; y); 8 x; y; z 2 X.3) jd(x; y)� d(x1; y1)j � d(x; x1) + d(y; y1), pentru ori e pun te x; y; x1;y1 2 X, (inegalitatea patrulaterului).Demonstrat�ie. 1) Vom demonstra inegalitatea prin indu t�ie dup�a n 2 IN ,

108 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkn � 3. Pentru n = 3 avemd(x1; x3) � d(x1; x2) + d(x2; x3),inegalitate adev�arat�a, onform axiomei ) din De�nit�ia 3.1.1. Presupunem ine-galitatea adev�arat�a pentru n pun te �si o vom demonstra pentru (n + 1) pun te.De i �e x1; x2; : : : ; xn+1 2 X. Atun i din axioma ) a metri ii avemd(x1; xn+1) � d(x1; xn) + d(xn; xn+1),de unde rezult�a folosind ipoteza (inegalitatea adev�arat�a pentru n pun te) �ad(x1; xn+1) � d(x1; x2) + d(x2; x3) + � � �+ d(xn�1; xn) + d(xn; xn+1).Astfel din prin ipiul indu t�iei matemati e rezult�a �a are lo proprietatea 1)pentru ori e n pun te x1; x2; : : : ; xn 2 X.2) Fie x; y; z 2 X. Conform axiomei ) avem d(x; z) � d(x; y)+ d(y; z); deunde rezult�a d(x; z)� d(y; z) � d(x; y): (3:1:1)Apoi din inegalitatea d(y; z) � d(y; x) + d(x; z) obt�inemd(y; z)� d(x; z) � d(y; x): (3:1:2)Din (3.1.1), (3.1.2) �si axioma b) a metri ii rezult�a inegalitatea 2).3) Fie x; y; x1; y1 2 X. Apli �am proprietatea 1) pentru x; x1; y1; y; avemd(x; y) � d(x; x1) + d(x1; y1) + d(y1; y),de unde rezult�a d(x; y)� d(x1; y1) � d(x; x1) + d(y1; y): (3:1:3)Apoi, onform a eleia�si propriet�at�i, pentru x1; x; y; y1 avemd(x1; y1) � d(x1; x) + d(x; y) + d(y; y1),de unde obt�inem d(x1; y1)� d(x; y) � d(x1; x) + d(y; y1): (3:1:4)Din (3.1.3), (3.1.4) �si axioma b) rezult�a proprietatea 3). Q.E.D.Exemplul 3.1.1. Mult�imea X = IR u metri a d : IR� IR! IR,d(x; y) = jx� yj este spat�iu metri , deoare e

Spat�ii metri e 109a) d(x; y) = jx� yj � 0; 8 x; y 2 IR; d(x; y) = jx� yj = 0 , x = y;b) d(x; y) = jx� yj = jy � xj = d(y; x); 8 x; y 2 IR; ) d(x; y) = jx� yj = j(x� z) + (z � y)j � jx� zj + jz � yj = d(x; z)++d(z; y); 8 x; y; z 2 IR.Exemplul 3.1.2. Fie X 6= ;. Apli at�iad : X �X ! IR; d(x; y) = 8<: 1; x 6= y;0; x = yeste o metri �a, numit�a metri a dis ret�a. Spat�iul (X; d) se nume�ste spat�iu metri dis ret.Intr-adev�ar, din de�nit�ie dedu em imediat �a d(x; y) � 0; d(x; y) = 0 ,x = y �si d(x; y) = d(y; x); 8 x; y 2 X. S�a veri� �am inegalitatea triunghiular�ad(x; y) � d(x; z) + d(z; y); 8 x; y; z 2 X.Da �a x = y atun i d(x; y) = 0 �si inegalitatea de mai sus este veri� at�a pentruori e z 2 X. Da �a x 6= y atun i d(x; y) = 1, iar pentru z 2 X avem urm�atoareleposibilit�at�ii) da �a z = x atun i d(x; z) = 0 �si d(z; y) = 1; de i inegalitatea de mai susdevine 1 � 1;ii) da �a z = y atun i d(y; z) = 0 �si d(x; z) = 1; inegalitatea de mai sus devine1 � 1;iii) da �a z 6= x �si z 6= y atun i d(x; z) = 1 �si d(y; z) = 1; inegalitatea de maisus devine 1 � 2.De i �n toate azurile este veri� at�a axioma ) a metri ii.Exemplul 3.1.3. Fie mult�imeaIRn = IR� IR� � � � � IR| {z }de n ori = f~x = (x1; x2; : : : ; xn); xi 2 IR; i = 1; ng, n 2 IN .Urm�atoarele apli at�ii d : IRn�IRn !IR, Æ : IRn�IRn !IR, � : IRn�IRn !IRde�nite prind(~x; ~y) = vuut nXi=1(xi � yi)2; Æ(~x; ~y) = nXi=1 jxi � yij; �(~x; ~y) = maxi=1;n jxi � yij,unde ~x = (x1; x2; : : : ; xn); ~y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 IRn, sunt metri i.Vom veri� a axiomele pentru apli at�ia d. Avem

110 Spat�ii metri e. Spat�iul IRka) d(~x; ~y) � 0; 8 ~x; ~y 2 IRn �sid(~x; ~y) = 0 , vuut nXi=1(xi � yi)2 = 0 , nXi=1(xi � yi)2 = 0 ,(xi � yi)2 = 0; 8 i = 1; n , xi = yi; 8 i = 1; n , ~x = ~y;b) d(~x; ~y) = vuut nXi=1(xi � yi)2 = vuut nXi=1(yi � xi)2 = d(~y; ~x); 8 ~x; ~y 2 IRn; ) d(~x; ~y) � d(~x; ~z) + d(~z; ~y); 8 ~x; ~y; ~z 2 IRn.Inegalitatea de mai sus este e hivalent�a uvuut nXi=1(xi � yi)2 � vuut nXi=1(xi � zi)2 +vuut nXi=1(zi � yi)2.Da �a not�am xi � zi = ai, zi � yi = bi, i = 1; n atun i xi � yi = ai + bi; i = 1; n �siinegalitatea devinevuut nXi=1(ai + bi)2 � vuut nXi=1 a2i +vuut nXi=1 b2i , are este adev�arat�a (este inegalitatea lui Minkowski, vezi Problema 17, Capitolul1, u p = 2).Propunem ititorului s�a veri� e axiomele a){ ) pentru apli at�iile Æ �si �.Exemplul 3.1.4. Apli at�ia d1 : IR � IR ! IR, d1(x; y) = jx� yj1 + jx� yj este ometri �a pe IR, deoare ea) d1(x; y) � 0; 8 x; y 2 IR; d1(x; y) = 0 , x = y;b) d1(x; y) = d1(y; x); 8 x; y 2 IR; ) d1(x; y) � d1(x; z) + d1(z; y); 8 x; y; z 2 IR ,jx� yj1 + jx� yj � jx� zj1 + jx� zj + jy � zj1 + jy � zj ; 8 x; y; z 2 IR.Primele dou�a propriet�at�i de mai sus sunt evidente. Pentru a demonstrainegalitatea de la pun tul ), s�a onsider�am fun t�ia f : IR ! IR, f(x) = x1 + x , are este res �atoare (f 0(x) � 0; 8 x 2 IR+). Atun i pentru x1 � x2 obt�inemf(x1) � f(x2).Luand x1 = jx � yj �si x2 = jx � zj + jy � zj (evident x1 � x2) rezult�af(x1) � f(x2) saujx� yj1 + jx� yj � jx� zj + jy � zj1 + jx� zj+ jy � zj � jx� zj1 + jx� zj + jy � zj1 + jy � zj ,

Spat�ii metri e 111adi �a inegalitatea de la pun tul ).Fie (X; d) un spat�iu metri .De�nit�ia 3.1.4. Se nume�ste sfer�a des his�a u entrul �n x0 2 X �si de raz�ar > 0 mult�imea Sd(x0; r) = fx 2 X j d(x0; x) < rg.De�nit�ia 3.1.5. Se nume�ste sfer�a �n his�a u entrul �n x0 2 X �si de raz�ar > 0 mult�imea Sd(x0; r) = fx 2 X j d(x0; x) � rg:Sferele de mai sus se noteaz�a uneori mai simplu u S(x0; r), respe tiv S(x0; r).De�nit�ia 3.1.6. Mult�imea A din spat�iul metri (X; d) este m�arginit�a da �aexist�a x0 2 X �si M > 0 astfel �n at A � S(x0;M).De i A � (X; d) este m�arginit�a da �a exist�a x0 2 X �si M > 0 astfel �n atd(x; x0) �M; 8 x 2 A.De�nit�ia 3.1.7. Mult�imea A din spat�iul metri (X; d) se nume�ste nem�ar-ginit�a da �a A nu este m�arginit�a.De�nit�ia 3.1.8. Se nume�ste ve in�atate a pun tului x0 2 X o mult�imeV � X are ont�ine o sfer�a des his�a u entrul �n x0; de i exist�a r > 0 astfel�n at S(x0; r) � V .Observat�ia 3.1.1. Ori e sfer�a des his�a S(x0; r), r > 0 este o ve in�atatepentru x0.De�nit�ia 3.1.9. Mult�imea tuturor ve in�at�at�ilor unui pun t x 2 X senume�ste sistemul de ve in�at�at�i ale pun tului x.Vom nota sistemul de ve in�at�at�i u V(x).Teorema 3.1.2. Sistemul de ve in�at�at�i V(x) ale unui pun t x 2 X areurm�atoarele propriet�at�iV1) 8V 2 V(x); x 2 V ;V2) 8V 2 V(x) �si U � V atun i U 2 V(x);V3) 8V1; V2 2 V(x); V1 \ V2 2 V(x);V4) 8V 2 V(x) 9W 2 V(x) astfel �n at 8 y 2 W rezult�a V 2 V(y).Demonstrat�ie. V1) Pentru V 2 V(x) exist�a S(x; r) � V , r > 0. Atun ix 2 S(x; r) � V .

112 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkV2) Da �a V 2 V(x) atun i exist�a S(x; r) � V , r > 0. Pentru U � V avemS(x; r) � V � U , de unde rezult�a �a U 2 V(x).V3) Fie V1; V2 2 V(x), iar S(x; r1) � V1 �si S(x; r2) � V2, unde r1; r2 > 0.Atun i pentru r = minfr1; r2g avem S(x; r) � V1 \ V2, de i V1 \ V2 2 V(x).V4) Fie V 2 V(x), iar S(x; r) � V . Vom ar�ata �a mult�imea W are veri� �a ondit�ia din V4) este S(x; r). Intr-adev�ar pentru un element arbitrar y 2 S(x; r),momentan �xat, exist�a S(y; r0) � S(x; r), unde r0 < r� d(x; y). Pentru a veri� aultima in luziune avem8 z 2 S(y; r0), adi �a d(y; z) < r0 rezult�a d(x; z) � d(x; y) + d(y; z) << d(x; y) + r0 < d(x; y) + r � d(x; y) = r; de unde dedu em �a z 2 S(x; r).Astfel W este ve in�atate pentru �e are din pun tele sale. Q.E.D.Conse int�a 3.1.1. Un spat�iu metri este un spat�iu topologi (vezi Capi{tolul 1).De�nit�ia 3.1.10. Fie x 2 X. Mult�imea U(x) este un sistem fundamentalde ve in�at�at�i pentru x da �aa) U(x) � V(x);b) 8V 2 V(x) 9U 2 U(x) astfel �n at U � V .Exemplul 3.1.5. Mult�imea tuturor sferelor S(x; r), r > 0, este un sistemfundamental de ve in�at�at�i pentru x 2 X, fS(x; r) j r > 0g = U(x). Intr-adev�arU(x) � V(x) �si pentru o ve in�atate V 2 V(x) oare are, momentan �xat�a, exist�aS(x; r) � V , r > 0, adi �a exist�a U = S(x; r) 2 U(x) astfel �n at U � V .Exemplul 3.1.6. Mult�imea tuturor sferelor entrate �n x �si u raza 1n , n 2 INeste un sistem fundamental de ve in�at�at�i, fS(x; 1n) jn 2 INg = eU(x). Intr-adev�aravem eU(x) � V(x). Apoi pentru ve in�atatea V 2 V(x), exist�a S(x; r) � V ,r > 0. Pentru r > 0 exist�a n0 2 IN astfel �n at 1n0 < r. Atun i S(x; 1n0 ) 2 eU(x)�si S(x; 1n0 ) � S(x; r) � V .De�nit�ia 3.1.11. Metri ile d1 �si d2 de�nite pe mult�imea X se numes e hivalente da �aa) pentru ori e x 2 X �si ori e r > 0 exist�a � > 0 astfel �n at Sd2(x;�) �� Sd1(x; r) �si

Spat�ii metri e 113b) pentru ori e x 2 X �si ori e r > 0 exist�a � > 0 astfel �n at Sd1(x;�) �� Sd2(x; r).Teorema 3.1.3. Da �a pentru dou�a metri i d1; d2 : X � X ! IR exist�a onstantele a; b 2 IR; 0 < a � b astfel �n atad1(x; y) � d2(x; y) � bd1(x; y); 8 x; y 2 X; (3:1:5)atun i metri ile d1 �si d2 sunt e hivalente.Demonstrat�ie. Fie x 2 X �si r > 0. Atun i pentru � = ar avem Sd2(x;�) �� Sd1(x; r). Intr-adev�ar pentru ori e y 2 Sd2(x;�), adi �a d2(x; y) < � avemd1(x; y) � 1ad2(x; y) < �a = r; de unde rezult�a �a y 2 Sd1(x; r).Pentru � = rb avem Sd1(x; �) � Sd2(x; r). Intr-adev�ar pentru ori e y 22 Sd1(x;�), adi �a d1(x; y) < � avemd2(x; y) � bd1(x; y) < b� = r; de unde rezult�a �a y 2 Sd2(x; r).Dedu em astfel �a metri ile d1 �si d2 sunt e hivalente. Q.E.D.Exemplul 3.1.7. Metri ile d, Æ �si � de�nite pe IRn (din Exemplul 3.1.3)sunt e hivalente, deoare e exist�a inegalit�at�ile1pnÆ(~x; ~y) � d(~x; ~y) � Æ(~x; ~y) �si�(~x; ~y) � d(~x; ~y) � pn�(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn.Intr-adev�ar avemÆ(~x; ~y) = nXi=1 jxi � yij � nXi=1(xi � yi)2!1=2 � n1=2 = pn d(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn, onform inegalit�at�ii lui Cau hy (Problema 13, Capitolul 1).Apoi d(~x; ~y) = vuut nXi=1(xi � yi)2 � nXi=1 jxi � yij = Æ(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn.Pentru inegalit�at�ile dintre d �si � avemd(~x; ~y) = vuut nXi=1(xi � yi)2 � rn �maxi=1;n(xi � yi)2 = pn �maxi=1;n jxi � yij == pn�(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn �si�(~x; ~y) = maxi=1;n jxi � yij � vuut nXi=1(xi � yi)2 = d(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn.Observat�ia 3.1.2. Inegalit�at�ile (3.1.5) sunt ondit�ii su� iente nu �si ne esarepentru e hivalent�a a dou�a metri i. De exemplu pe IR metri ile d(x; y) = jx�yj �si

114 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkd1(x; y) = jx� yj1 + jx� yj sunt e hivalente, dar nu satisfa dubla inegalitate (3.1.5).Metri ile d �si d1 sunt e hivalente. Pentru x 2 IR arbitrar, momentan �xat �sipentru r > 0 exist�a � = r1 + r astfel �n at Sd1(x;�) � Sd(x; r). Ultima in luziuneeste adev�arat�a, deoare e8 y 2 Sd1(x;�) ) d1(x; y) < � ) jx� yj1 + jx� yj < r1 + r ) jx� yj < r )y 2 Sd(x; r).Iar pentru x 2 IR �si r > 0 exist�a � > 0 astfel �n at Sd(x;�) � Sd1(x; r). Da �ar � 1 atun i putem alege ori e � > 0 astfel �n at s�a �e veri� at�a in luziunea demai sus. Da �a r < 1 lu�am � = r1� r ; atun i8 y 2 Sd(x;�) ) d(x; y) < � ) jx� yj < r1� r ) f(jx� yj) << f � r1� r� , jx� yj1 + jx� yj < r ) d1(x; y) < r ) y 2 Sd1(x; r),unde f(x) = x1 + x; x � 0.Dar metri ile d �si d1 nu satisfa dubla inegalitate ad(x; y) � d1(x; y) �� bd(x; y) pentru ni i o pere he de valori (a; b), u 0 < a � b. Intr-adev�ar,da �a am presupune �a 9 a > 0 astfel �n at d(x; y) � 1ad1(x; y) atun i, deoare ed1(x; y) < 1; 8 x; y 2 IR, ar rezulta �a d(x; y) < 1a , jx� yj < 1a ; 8 x; y 2 IR, eea e este absurd.1.2. S�iruri de pun te �n spat�ii metri eFie (X; d) un spat�iu metri .De�nit�ia 3.1.12. O apli at�ie f : IN ! X se nume�ste �sir de pun te dinspat�iul metri (X; d).Vom nota �sirul de pun te f u (xn)n2IN , unde xn = f(n); 8n 2 IN .De�nit�ia 3.1.13. S�irul de pun te (xn)n2IN � (X; d) este onvergent ulimita x 2 X da �a pentru ori e ve in�atate V a pun tului x exist�a nV 2 IN astfel�n at 8n � nv are lo xn 2 V .Pentru un �sir onvergent vom folosi notat�ia limn!1xn = x sau xn d! x, pentrun!1 sau mai simplu xn ! x, pentru n!1.

Spat�ii metri e 115De�nit�ia 3.1.14. Un �sir (xn)n2IN are nu este onvergent se nume�ste diver-gent.De�nit�ia 3.1.15. S�irul (xn)n2IN � (X; d) este m�arginit da �a mult�imeatermenilor �sirului este m�arginit�a, adi �a exist�a x 2 X �si M > 0 astfel �n atxn 2 S(x;M) , d(xn; x) �M; 8n 2 IN .De�nit�ia 3.1.16. Fie �sirul (xn)n2IN � (X; d). S�irul (xnk)k2IN , unde (nk)keste un �sir stri t res �ator de numere naturale, se nume�ste sub�sir al �sirului (xn)n.Teorema 3.1.4. S�irul (xn)n2IN � (X; d) onverge la x 2 X da �a �si numaida �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo d(xn; x) < ": (3:1:6)Demonstrat�ie. Fie " > 0 �si V = S(x; ") sfera des his�a u entrul �n x �si deraz�a ". Conform De�nit�iei 3.1.13 rezult�a �a exist�a nV not= n0(") 2 IN astfel �n at8n � n0(") are lo xn 2 S(x; "), adi �a d(xn; x) < ".Re ipro , presupunem �a are lo relat�ia (3.1.6). Fie V o ve in�atate a lui x.Din De�nit�ia 3.1.8 rezult�a �a exist�a S(x; ") � V , u " > 0. Din ipotez�a, pentru" > 0 exist�a n0 2 IN astfel �n at d(xn; x) < "; 8n � n0. Rezult�a �a �n afara sfereiS(x; ") exist�a un num�ar �nit de termeni ai �sirului, de i �si �n afara lui V r�amaneun num�ar �nit de termeni ai �sirului. De i xn ! x, pentru n!1. Q.E.D.Teorema 3.1.5. Limita unui �sir onvergent (xn)n � (X; d) este uni �a.Demonstrat�ie. Presupunem prin redu ere la absurd �a limn!1xn = x �silimn!1xn = y u x 6= y. Conform Teoremei 3.1.4 avem8 " > 0 9n0 2 IN astfel �n at 8n � n0 are lo d(xn; x) < " �si8 " > 0 9n1 2 IN astfel �n at 8n � n1 are lo d(xn; y) < ".Fie d0 = d(x; y) > 0. Atun i pentru " = d03 din ele de mai sus rezult�a �a exist�a n2 2 IN , n2 = maxfn0; n1g astfel �n at d(xn; x) < d03 �si d(xn; y)< d03 ;8n � n2. De ai i dedu emd0 = d(x; y) � d(x; xn2) + d(xn2 ; y) < d03 + d03 = 2d03 , eea e este absurd. De i presupunerea f�a ut�a este fals�a. Dedu em astfel �a limitalui (xn)n este uni �a. Q.E.D.

116 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkObservat�ia 3.1.3. Proprietatea are a ap�arut �n demonstrat�ia Teoremei3.1.5, adi �a8 x; y 2 X; x 6= y; 9S1(x; a); a > 0; S2(y; b); b > 0 u S1 \ S2 = ;este proprietatea de separare (Hausdor�) a spat�iilor metri e.Teorema 3.1.6. Un �sir onvergent este m�arginit.Demonstrat�ie. Fie (xn)n2IN � (X; d) un �sir onvergent u limn!1xn = x.Conform Teoremei 3.1.4 avem veri� at�a relat�ia (3.1.6). Lu�am " = 1; atun iexist�a n1 2 IN astfel �n at d(xn; x) < 1, 8n � n1. De�nim M astfelM = maxfd(x1; x); d(x2; x); : : : ; d(xn1�1; x); 1g > 0.Atun i avem d(xn; x) �M; 8n 2 IN , adi �a �sirul (xn)n este m�arginit. Q.E.D.Din De�nit�iile 3.1.13 �si 3.1.14 dedu emPropozit�ia 3.1.1. a) Da �a s himb�am ordinea termenilor unui �sir (xn)nnatura sa (proprietatea de a � onvergent sau divergent) nu se s himb�a.b) Da �a ad�aug�am sau suprim�am un num�ar �nit de termeni dintr-un �sir,natura sa nu se s himb�a.Din Teorema 3.1.4 (relat�ia 3.1.6) rezult�aConse int�a 3.1.2. S�irul (xn)n2IN � (X; d) este onvergent u limita x 2 Xda �a �si numai da �a limn!1 d(xn; x) = 0.Teorema 3.1.7. Ori e sub�sir al unui �sir onvergent este onvergent �si area eea�si limit�a u �sirul dat.Demonstrat�ie. Fie (xn)n2IN � (X; d), iar (xnk)k un sub�sir al s�au. ConformTeoremei 3.1.4 avem veri� at�a relat�ia (3.1.6). Atun i pentru " > 0 �si k � n0avem nk � k � n0 �si de i d(xnk ; x) < ". Dedu em astfel �a limk!1xnk = x. Q.E.D.Teorema 3.1.8. Fie (xn)n2IN � (X; d), x 2 X, iar (�n)n2IN � IR+ ulimn!1�n = 0 astfel �n at d(xn; x) � �n; 8n 2 IN . Atun i limn!1xn = x, ( riteriulmajor�arii).Demonstrat�ie. Deoare e limn!1�n = 0, avem onform Teoremei 2.1.18 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo �n < ".Atun i pentru " > 0 �si n0(") de mai sus, din ipotez�a rezult�a �a d(xn; x) << ", 8n � n0("). De i limn!1 d(xn; x) = 0. Conform Conse int�ei 3.1.2 rezult�a �a

Spat�ii metri e 117limn!1xn=x. Q.E.D.Teorema 3.1.9. Metri ile d1; d2 : X � X ! IR sunt e hivalente da �a �sinumai da �ai) 8 x 2 X �si 8 (xn)n � X; xn d2! x, pentru n ! 1 atun i xn d1! x; pentrun!1.ii) 8 x 2 X �si 8 (xn)n � X; xn d1! x, pentru n ! 1 atun i xn d2! x; pentrun!1.Demonstrat�ie. Vom demonstra �a ondit�ia a) din De�nit�ia 3.1.11 estee hivalent�a u ondit�ia i) de mai sus. Presupunem �a are lo a) din De�nit�ia3.1.11, adi �a8 x 2 X �si 8 r > 0 9� > 0 astfel �n at Sd2(x;�) � Sd1(x; r).Fie x 2 X �si (xn)n � X u xn d2! x, adi �a8 ">0 9n0(")2IN astfel �n at 8n�n0(") are lo d2(xn; x)<" , xn2Sd2(x; "):Consider�am " > 0 arbitrar, momentan �xat. Pentru r = " rezult�a �a exist�a� > 0 �si n1 = n0(�) astfel �n at 8n � n1 avemxn 2 Sd2(x;�) � Sd1(x; ") ) xn 2 Sd1(x; ") , d1(xn; x) < ",adi �a xn d1! x, pentru n!1.Re ipro , presupunem �a avem �ndeplinit�a ondit�ia i). Presupunem prinredu ere la absurd �a nu are lo ondit�ia a) din De�nit�ia 3.1.11, adi �a9 x0 2 X �si 9 r0 > 0 astfel �n at 8� > 0 are lo Sd2(x0; �) 6� Sd1(x0; r0) sau9 x0 2 X �si 9 r0 > 0 astfel �n at 8� > 0 9 x� 2 Sd2(x0;�) �si x� 62 Sd1(x0; r0).Pentru � = 1n 9 x� not= xn 2 Sd2(x0; 1n) �si xn 62 Sd1(x0; r0). De i xn d2! x0�si d1(xn; x0) � r0, adi �a xn d16! x0. Ceea e am obt�inut ontrazi e ipoteza i)(xn d1! x0). Dedu em �a presupunerea f�a ut�a este fals�a, de i are lo ondit�ia a)din De�nit�ia 3.1.11.In mod asem�an�ator se arat�a �a ondit�ia b) din De�nit�ia 3.1.11 este e hiva-lent�a u ii). Q.E.D.De�nit�ia 3.1.17. S�irul (xn)n2IN � (X; d) se nume�ste �sir fundamental sau

118 Spat�ii metri e. Spat�iul IRk�sir Cau hy da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n; m � n0(") are lo d(xn; xm) < " ,(3:1:7)8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo d(xn+p; xn) < "; 8 p 2 IN:(3:1:8)Teorema 3.1.10. Un �sir fundamental (xn)n2IN � (X; d) este m�arginit.Demonstrat�ie. Pentru " = 1 �n (3.1.7) rezult�a �a exist�a n0(1) not= n1 2 INastfel �n at 8n; m 2 IN , n; m � n1 are lo d(xn; xm) < 1. De i pentru ori en � n1 avem d(xn; xn1) < 1. De�nimM = max fd(x1; xn1); d(x2; xn1); : : : ; d(xn1�1; xn1); 1g.Atun i avem d(xn; xn1) � M; 8n 2 IN sau xn 2 S(xn1 ;M), adi �a �sirul (xn)neste m�arginit. Q.E.D.Teorema 3.1.11. Un �sir onvergent este �sir fundamental.Demonstrat�ie. S�irul (xn)n2IN � (X; d) este onvergent u limita x ( onformTeoremei 3.1.4) da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo d(xn; x) < ".Pentru " > 0 onsider�am rangul n0("=2) not= en0(") pentru are d(xn; x) < "=2;8n � en0("). Atun i pentru ori e m; n � en0(") are lo d(xn; xm) � d(xn; x) + d(x; xm) < "2 + "2 = ".Rezult�a �a (xn)n2IN veri� �a relat�ia (3.1.7), adi �a este �sir fundamental. Q.E.D.De�nit�ia 3.1.18. Spat�iul metri (X; d) se nume�ste omplet da �a ori e �sirfundamental este �sir onvergent.Exemplul 3.1.8. Spat�iul metri (IR; d) u d(x; y) = jx � yj este spat�iumetri omplet, deoare e are lo Teorema 2.1.21 (Cau hy): un �sir de numerereale este onvergent da �a �si numai da �a este �sir fundamental.Observat�ia 3.1.4. Exist�a spat�ii metri e are nu sunt omplete. De exempluspat�iile metri e (Q; d) u d(x; y) = jx � yj �si (Q; d1) u d1(x; y) = jx� yj1 + jx� yj .S�irul xn = �1 + 1n�n 2 Q este �sir Cau hy, dar nu este onvergent �n (Q; d) �si ni i

Spat�ii metri e 119�n (Q; d1), deoare e limn!1xn = e 62 Q.1.3. Mult�imi des hise, mult�imi �n hise, pun te deosebite pentruo mult�imeFie (X; d) un spat�iu metri .De�nit�ia 3.1.19. O mult�ime A � X se nume�ste des his�a da �a ea esteve in�atate pentru ori e pun t al ei.De�nit�ia 3.1.20. O mult�ime A � X se nume�ste �n his�a da �a omplemen-tara sa este des his�a.Spat�iul �ntreg X este o mult�ime des his�a. Prin onvent�ie mult�imea vid�a ; se onsider�a mult�ime des his�a. Conform De�nit�iei 3.1.20 dedu em �a X �si ; sunt �simult�imi �n hise.Teorema 3.1.12. Sferele des hise din spat�iul metri (X; d) sunt mult�imides hise.Demonstrat�ie. Fie S(x; r0) � (X; d), r0 > 0, x 2 X. Vom ar�ata �a pentruori e element y 2 S(x; r0) exist�a o sfer�a S(y; r) � S(x; r0). Fie y 2 S(x; r0) �sisfera S(y; r) entrat�a �n y �si de raz�a egal�a u r = r0� d(x; y). Vom demonstra �aS(y; r) � S(x; r0), (vezi Fig.1). Pentru a easta, �e z 2 S(y; r), adi �a d(y; z) < r.Atun id(z; x) � d(z; y) + d(y; x) < r + d(y; x) = r0 � d(x; y) + d(x; y) = r0.De i z 2 S(x; r0), de unde rezult�a �a S(y; r) � S(x; r0). Q.E.D.y

Fig. 1

x

z

ro

r

y

Fig. 2

x

ro r

120 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkTeorema 3.1.13. Sferele �n hise din spat�iul metri (X; d) sunt mult�imi�n hise.Demonstrat�ie. Fie S(x; r0) � (X; d), r0 > 0, x 2 X. Vom ar�ata �a S(x; r0)este o mult�ime �n his�a, ar�atand �a mult�imea X nS(x; r0) este o mult�ime des his�a,adi �a este ve in�atate pentru �e are pun t al ei.Fie y 2 X n S(x; r0), (d(x; y) > r0) �si S(y; r), unde r = d(x; y) � r0 > 0,(vezi Fig.2). Atun i S(y; r) � X n S(x; r0). Intr-adev�ar, da �a z 2 S(y; r), adi �ad(y; z) < r, atun id(z; x) � d(x; y)� d(y; z) > d(x; y)� r = d(x; y)� d(x; y) + r0 = r0.Rezult�a �a z 62 S(x; r0), adi �a z 2 X n S(x; r0). Q.E.D.Teorema 3.1.14. a) Reuniunea unei familii oare are de mult�imi des hiseeste o mult�ime des his�a. Interse t�ia unei familii �nite de mult�imi des hise esteo mult�ime des his�a.b) Interse t�ia unei familii oare are de mult�imi �n hise este o mult�ime �n his�a.Reuniunea unei familii �nite de mult�imi �n hise este o mult�ime �n his�a.Demonstrat�ie. a) Fie (Ai)i2I o familie oare are de mult�imi des hise �siA = [i2IAi. Fie x 2 A; rezult�a �a 9 i0 2 I astfel �n at x 2 Ai0 . Deoare e Ai0este des his�a rezult�a �a Ai0 este ve in�atate pentru x, de i exist�a S(x; r0) � Ai0 .Atun i S(x; r0) � A, adi �a A este ve in�atate pentru x. Pun tul x �ind arbitrar,dedu em �a mult�imea A este des his�a.Fie (Ai)ni=1 o familie �nit�a de mult�imi des hise �si A = \ni=1Ai. Fie x 2 A;rezult�a �a x 2 Ai; 8 i = 1; n. Deoare e mult�imile Ai sunt des hise, rezult�a �a elesunt ve in�at�at�i pentru x, adi �a exist�a S(x; ri) � Ai, i = 1; n. Atun i mult�imeaS(x; r), unde r = minfri; i = 1; ng, este in lus�a �n A. De i A este ve in�atatepentru pun tul x, de unde dedu em �a A este des his�a.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a b). Q.E.D.De�nit�ia 3.1.21. Un pun t x 2 X se nume�ste pun t de a umulare pentruo mult�ime A � X da �a ori e ve in�atate a sa ont�ine pun te din A, diferite de x,adi �a 8V 2 V(x); V \ (A n fxg) 6= ;.

Spat�ii metri e 121Teorema 3.1.15. Pun tul x 2 X este pun t de a umulare pentru mult�imeaA da �a �si numai da �a exist�a un �sir (xn)n2IN � A, xn 6= x; 8n 2 IN u limn!1xn = x.Demonstrat�ie. Presupunem �a x este pun t de a umulare pentru mult�imeaA. S�a lu�am V = S(x; 1n); n 2 IN . Deoare e V \ (A n fxg) 6= ;, exist�a el put�inun element xn 2 V \ (A n fxg), adi �a xn 2 A, xn 6= x �si d(xn; x) < 1n . Dininegalitatea obt�inut�a dedu em �a limn!1xn = x.Re ipro , presupunem �a exist�a (xn)n2IN�A, xn 6= x, 8n 2 IN u limn!1xn=x.Fie V o ve in�atate arbitrar�a, momentan �xat�a a pun tului x. Rezult�a �a exist�ao sfer�a des his�a S(x; "), " > 0 in lus�a �n V . Pentru a east�a sfer�a S(x; ") exist�an0(") 2 IN astfel �n at xn 2 S(x; "), 8n � n0("). Astfel obt�inem �a xn0(") 22 S(x; ") � V , xn0 2 A, xn0 6= x, de i V \ (A n fxg) 6= ;. Q.E.D.De�nit�ia 3.1.22. Pun tul x 2 X se nume�ste pun t aderent pentru mult�imeaA da �a ori e ve in�atate a sa ont�ine pun te din A, adi �a8V 2 V(x); V \ A 6= ;.Teorema 3.1.16. Pun tul x 2 X este pun t aderent pentru mult�imea Ada �a �si numai da �a exist�a un �sir (xn)n2IN � A, u limn!1xn = x.Demonstrat�ie. Presupunem �a x este pun t aderent pentru mult�imea A.S�a onsider�am ve in�atatea S(x; 1n). Deoare e S(x; 1n) \ A 6= ;, rezult�a �a exist�a el put�in un element, s�a-l not�am u xn 2 S(x; 1n) \ A, de i d(xn; x) < 1n . De ilimn!1xn = x.Re ipro , presupunem �a exist�a (xn)n2IN � A u limn!1xn = x. Atun i ori eve in�atate V a lui x ont�ine tot�i termenii �sirului u ex ept�ia unui num�ar �nitdintre ei, de i V \ A 6= ;. Q.E.D.De�nit�ia 3.1.23. Un pun t x 2 X se nume�ste pun t izolat al mult�imii Ada �a el apart�ine mult�imii, dar nu este pun t de a umulare pentru A.De�nit�ia 3.1.24. Un pun t x 2 X se nume�ste pun t interior pentrumult�imea A da �a exist�a o ve in�atate a sa in lus�a �n mult�imea A.De�nit�ia 3.1.25. Un pun t x 2 X se nume�ste pun t frontier�a pentrumult�imea A da �a ori e ve in�atate a sa ont�ine pun te atat din mult�ime, at �sidin omplementara sa.

122 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkDe�nit�ia 3.1.26. Mult�imea pun telor de a umulare pentru o mult�ime A �� (X; d) se nume�ste mult�imea derivat�a a lui A �si se noteaz�a u A0.De�nit�ia 3.1.27. Mult�imea pun telor aderente ale unei mult�imiA se nume�steaderent�a sau �n hiderea lui A �si se noteaz�a u A.De�nit�ia 3.1.28. Mult�imea pun telor interioare ale mult�imii A se nume�steinteriorul lui A �si se noteaz�a u ÆA sau intA.De�nit�ia 3.1.29. Mult�imea pun telor frontier�a ale mult�imii A se nume�stefrontiera lui A �si se noteaz�a u FrA.Teorema 3.1.17. Intr-un spat�iu metri (X; d) sunt veri� ate urm�atoarelepropriet�at�i ale interiorului unei mult�imia) ÆA� A; 8A.b) A este des his�a , A = ÆA. ) A1 � A2 ) ÆA1� ÆA2.Demonstrat�ie. a) Fie x 2 ÆA un element arbitrar, momentan �xat. DinDe�nit�ia 3.1.24 rezult�a �a exist�a o ve in�atate V a pun tului x astfel �n at V � A.Dar x 2 V � A, de i x 2 A. Deoare e x este arbitrar rezult�a �a ÆA� A.b) Da �a A este o mult�ime des his�a, onform De�nit�iilor 3.1.19 �si 3.1.24, eaeste format�a numai din pun te interioare, de i A � ÆA. Deoare e ÆA� A (pun tula)) rezult�a �a A = ÆA. Re ipro da �a A = ÆA rezult�a �a pun tele mult�imii A suntpun te interioare, de i onform De�nit�iilor 3.1.24 �si 3.1.19, mult�imea A este omult�ime des his�a. ) Fie A1, A2 dou�a mult�imi ale spat�iului metri (X; d) u A1 � A2 �si �ex 2 ÆA1. Rezult�a �a exist�a o ve in�atate V a pun tului x astfel �n at V � A1. DarA1 � A2, de i rezult�a �a V � A2, adi �a x este pun t interior �si pentru mult�imeaA2. De i x 2 ÆA2. Deoare e x este arbitrar �n mult�imea ÆA1, rezult�a �a ÆA1� ÆA2.Q.E.D.Teorema 3.1.18. Interiorul unei mult�imi A � (X; d) este o mult�ime des- his�a �si este ea mai mare mult�ime des his�a in lus�a �n mult�imea respe tiv�a.Demonstrat�ie. Da �a ÆA= ; atun i prin onvent�ie ÆA este o mult�ime des his�a.Da �a ÆA 6= ;, s�a onsider�am un element oare are, momentan �xat, x 2 ÆA. Conform

Spat�ii metri e 123De�nit�iei 3.1.24 rezult�a �a exist�a o ve in�atate V � A are ont�ine o sfer�a des his�aS(x; ") � V , " > 0. De i x 2 S(x; ") � A. Tre and la interioare (Teorema3.1.17, )) obt�inem Æz }| {S(x; ") � ÆA. Dar onform Teoremelor 3.1.12 �si 3.1.17 b) avemÆz }| {S(x; ") = S(x; "), de i S(x; ") � ÆA. Deoare e S(x; ") este o ve in�atate a pun tuluix, rezult�a �a x este pun t interior pentru mult�imea ÆA. Dedu em astfel �a ÆA arenumai pun te interioare, de i mult�imea ÆA este des his�a.Pentru a demonstra �a ÆA este ea mai mare mult�ime des his�a in lus�a �nmult�imea A, s�a onsider�am o mult�ime des his�a D � A. Conform Teoremei 3.1.17 ) avem ÆD� ÆA �si onform Teoremei 3.1.17 b) obt�inem D � ÆA. Q.E.D.Teorema 3.1.19. Intr-un spat�iu metri (X; d) au lo urm�atoarele propriet�at�ia) ÆÆA= ÆA; b) Æz }| {A1 \ A2 = ÆA1 \ ÆA2; ) ÆA1 [ ÆA2� Æz }| {A1 [ A2,8A; A1; A2 � X.Demonstrat�ie. a) Din Teorema 3.1.18 rezult�a �a ÆA este o mult�ime des his�a,de i onform Teoremei 3.1.17 b) ea oin ide u interiorul s�au, adi �a ÆÆA= ÆA.b) Fie x 2 Æz }| {A1 \ A2. Rezult�a �a exist�a o ve in�atate V a pun tului x astfel�n at V � A1 \ A2, de i exist�a o ve in�atate V a pun tului x astfel �n at V � A1�si V � A2. Dedu em astfel �a x 2 ÆA1 �si x 2 ÆA2, de i x 2 ÆA1 \ ÆA2. Rezult�a �aÆz }| {A1 \ A2 � ÆA1 \ ÆA2.Re ipro , �e x 2 ÆA1 \ ÆA2, adi �a x 2 ÆA1 �si x 2 ÆA2. Rezult�a �a exist�a ove in�atate V1 a lui x astfel �n at V1 � A1 �si exist�a o ve in�atate V2 a pun tuluix astfel �n at V2 � A2. Atun i V = V1 \ V2 este o ve in�atate a pun tului x uproprietatea V � A1 \ A2. Dedu em astfel �a x 2 Æz }| {A1 \ A2, de i ÆA1 \ ÆA2�� Æz }| {A1 \ A2, are �mpreun�a u ealalt�a in luziune ne d�a egalitatea b). ) Avem ÆA1� A1 � A1 [ A2, de unde rezult�a �a ÆÆA1� Æz }| {A1 [ A2 sauÆA1� Æz }| {A1 [ A2. Asem�an�ator ÆA2� Æz }| {A1 [ A2. Rezult�a astfel �a ÆA1 [ ÆA2� Æz }| {A1 [ A2.Q.E.D.

124 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkObservat�ia 3.1.5. In luziunea Æz }| {A1 [ A2 � ÆA1 [ ÆA2 nu are lo pentru ori emult�imi A1; A2. De exemplu �n spat�iul metri (IR; d) u d(x; y) = jx � yj, s�a onsider�am mult�imile A1 = [2; 3℄, A2 = [3; 4℄. AvemÆz }| {A1 [ A2 = Æz }| {[2; 4℄ = (2; 4); iar ÆA1 [ ÆA2= (2; 3) [ (3; 4),adi �a, �n a est exemplu, mult�imea ÆA1 [ ÆA2 este stri t in lus�a �n mult�imeaÆz }| {A1 [ A2.Teorema 3.1.20. Intr-un spat�iu metri (X; d), pentru ori e mult�ime A � Xau lo urm�atoarele relat�iia) CA = Æz}|{CA; b) C ÆA= CA.Demonstrat�ie. a) Fie x 2 CA , x 62 A , 9V ve in�atate a pun tului xastfel �n at V \A = ; , 9V ve in�atate a lui x astfel �n at V � CA , x 2 Æz}|{CA.Rezult�a astfel relat�ia a).b) Vom demonstra folosind pun tul a) �a omplementarele elor dou�a mult�imidin relat�ia b) C ÆA �si CA sunt egale. AvemC(C ÆA) = ÆA= Æz }| {C(CA) a)= C(CA).De i C ÆA= CA. Q.E.D.Teorema 3.1.21. Intr-un spat�iu metri (X; d) sunt veri� ate urm�atoarelepropriet�at�i ale aderent�ei unei mult�imia) A � A; 8A.b) A este �n his�a , A = A. ) A este �n his�a , ori e �sir onvergent de pun te din A are limita �nmult�imea A.d) A1 � A2 ) A1 � A2.Demonstrat�ie. a) Fie x 2 A. Atun i pentru ori e ve in�atate V a pun tuluix avem V \ A � fxg, de unde rezult�a �a V \ A 6= ;, de i x 2 A. Dedu em �aA � A.b) Da �a A este �n his�a atun i CA este des his�a. Conform Teoremei 3.1.17 b)

Spat�ii metri e 125mult�imea CA este des his�a da �a �si numai da �a CA = Æz}|{CA. Dar Teorema 3.1.20a) ne spune �a Æz}|{CA = CA. De i CA este des his�a , CA = CA , A = A. ) Presupunem �a A este �n his�a �si �e (xn)n � A u limn!1xn = x. ConformDe�nit�iei 3.1.13 rezult�a �a pentru ori e ve in�atate V a pun tului x exist�a nV 2 INastfel �n at xn 2 V , 8n � nV . Rezult�a �a 8V; V \A 6= ;, (xn 2 V \A; 8n � nV ),adi �a x este pun t aderent pentru A. Dedu em �a x 2 A. Conform pun tuluib) avem A = A, de i x 2 A. Re ipro , s�a presupunem �a ori e �sir onvergent depun te din A are limita �n mult�imea A. Vom ar�ata �a A � A, de unde �mpreun�a u in luziunea A � A va rezulta �a A = A, de i onform pun tului b) mult�imeaA este �n his�a. Fie x 2 A. Conform Teoremei 3.1.16 exist�a un �sir de pun te(xn)n � A u limn!1xn = x. Din ipotez�a avem �a x 2 A. De i A � A.d) Fie A1; A2 dou�a mult�imi ale spat�iului metri (X; d) u A1 � A2 �si �ex 2 A1. Rezult�a �a pentru ori e ve in�atate V a pun tului x avem V \ A1 6= ;.Deoare e A1 � A2 dedu em �a V \A1 � V \A2 �si V \A2 6= ;. De i pentru ori eve in�atate V a pun tului x, V \ A2 6= ;, adi �a x este pun t aderent pentru A2,x 2 A2. Deoare e x este arbitrar �n mult�imea A1 rezult�a �a A1 � A2. Q.E.D.Teorema 3.1.22. Aderent�a unei mult�imi A � (X; d) este o mult�ime �n his�a�si este ea mai mi �a mult�ime �n his�a are ont�ine a ea mult�ime.Demonstrat�ie. Conform Teoremei 3.1.20 avem CA = Æz}|{CA. Rezult�a �a CAeste o mult�ime des his�a, onform Teoremei 3.1.18 (este interiorul mult�imii CA),adi �a A este o mult�ime �n his�a. Pentru a demonstra �a A este ea mai mi �amult�ime �n his�a are ont�ine pe A, s�a onsider�am o mult�ime �n his�a E � A.Conform Teoremei 3.1.21 d) avem A � E �si folosind Teorema 3.1.21 b) dedu em �a A � E, (E = E). Q.E.D.Teorema 3.1.23. Intr-un spat�iu metri (X; d) au lo urm�atoarele propriet�at�ia) A = A; b) A1 [ A2 = A1 [ A2; ) A1 \ A2 � A1 \ A2,8A; A1; A2 � X.Demonstrat�ie. a) Din Teorema 3.1.22 rezult�a �a A este o mult�ime �n his�a,de i onform Teoremei 3.1.21 b) ea oin ide u aderent�a sa, adi �a A = A.

126 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkb) Vom ar�ata �a omplementarele mult�imilor A1 [ A2 �si A1 [ A2 sunt egale,de unde va rezulta egalitatea b). Folosind Teoremele 3.1.20 a) �si 3.1.19 b), pre um�si relat�iile lui Morgan (Problema 2, Capitolul 1) avemC(A1 [ A2) = Æz }| {C(A1 [ A2) = Æz }| {CA1 \ CA2 = Æz }| {CA1 \ Æz }| {CA2 = CA1 \ CA2 == C(A1 [ A2).De ai i dedu em �a A1 [ A2 = A1 [ A2. ) Avem A1 \ A2 � A1 �si A1 \ A2 � A2; de unde, folosind Teorema 3.1.21d) dedu emA1 \ A2 � A1; A1 \ A2 � A2; de i A1 \ A2 � A1 \ A2. Q.E.D.Observat�ia 3.1.6. In luziunea A1 \ A2 � A1 \ A2 nu are lo pentru ori emult�imi A1; A2 � X. De exemplu, �n spat�iul metri (IR; d) u d(x; y) = jx � yj,s�a onsider�am mult�imile A1 = (1; 2) �si A2 = (2; 3). AvemA1 \ A2 = ; = ;; iar A1 \ A2 = [1; 2℄ \ [2; 3℄ = f2g,adi �a, �n a est exemplu, mult�imea A1 \ A2 este stri t in lus�a �n A1 \ A2.Teorema 3.1.24. Intr-un spat�iu metri (X; d) au lo urm�atoarele propriet�at�ia) A1 � A2 ) A01 � A02; b) (A1 [ A2)0 = A01 [ A02; ) (A1 \ A2)0 � A01 \ A02; 8A1; A2 � X.Demonstrat�ie. a) Fie A1; A2 u A1 � A2 �si �e x 2 A01. Atun i pentru ori eve in�atate V a pun tului x, V \ (A1 n fxg) 6= ;. Deoare e A1 � A2 rezult�a �a8V; V \ (A2 n fxg) 6= ;; de i x 2 A02. Dedu em astfel �a A01 � A02.b) Fie x 2 (A1 [ A2)0; de i pentru ori e ve in�atate V a pun tului x avemV \ ((A1 [ A2) n fxg) 6= ;. Presupunem prin redu ere la absurd �a x 62 A01 [ A02,de i x 62 A01 �si x 62 A02. Rezult�a �a exist�a o ve in�atate V1 a pun tului x astfel�n at V1 \ (A1 n fxg) = ; �si exist�a o ve in�atate V2 a pun tului x astfel �n atV2 \ (A2 n fxg) = ;. Atun i mult�imea V = V1 \ V2 este o ve in�atate a lui x are satisfa e ondit�ia V \ ((A1 [ A2) n fxg) = ;; eea e ontrazi e ipoteza �ax 2 (A1 [A2)0. De i rezult�a �a x 2 A01 [A02 �si �n on luzie (A1 [A2)0 � A01 [A02.Pentru ealalt�a in luziune avem A1 � A1 [ A2 ) A01 � (A1 [ A2)0 �siA2 � A1 [ A2 ) A02 � (A1 [ A2)0. De i A01 [ A02 � (A1 [ A2)0.Din ele dou�a in luziuni dedu em �a (A1 [ A2)0 = A01 [ A02.

Spat�ii metri e 127 ) Fie x 2 (A1 \ A2)0. Rezult�a �a pentru ori e ve in�atate V a pun tului xavem V \((A1\A2)nfxg) 6= ;. Din a east�a relat�ie dedu em �a V \(A1nfxg) 6= ;�si V \ (A2 n fxg) 6= ;. De i x 2 A01 �si x 2 A02, adi �a x 2 A01 \ A02. Q.E.D.Observat�ia 3.1.7. In luziunea A01 \A02 � (A1\A2)0 nu are lo pentru ori edou�a mult�imi A1; A2�X. De exemplu �n spat�iul metri (IR; d) u d(x; y)= jx�yj,s�a onsider�am mult�imile A1 = (0; 1) �si A2 = (1; 3). Atun i (A1 \ A2)0 = ;0 = ;,iar A01 \ A02 = [0; 1℄ \ [1; 3℄ = f1g. In a est exemplu mult�imea (A1 \ A2)0 estestri t in lus�a �n mult�imea A01 \ A02.Teorema 3.1.25. Pentru ori e mult�ime A din spat�iul metri (X; d) au lo urm�atoarele relat�iia) A0 � A; b) A = A [ A0; ) A n A � A0.Demonstrat�ie. a) Fie x 2 A0; de i ori e ve in�atate V a pun tului x areproprietatea V \ (A n fxg) 6= ;. Atun i din V \ A � V \ (A n fxg), rezult�a �aV \ A 6= ;. De i x este pun t aderent pentru mult�imea A, adi �a x 2 A. Amobt�inut A0 � A.b) Din in luziunile A � A (Teorema 3.1.21 a)) �si A0 � A (pun tul a)) rezult�a �a A [ A0 � A. Pentru a demonstra ealalt�a in luziune, s�a onsider�am x 2 A.Atun i ori e ve in�atate V a pun tului x are proprietatea �a V \ A 6= ;. Pentrupun tul x exist�a dou�a posibilit�at�i: x 2 A sau x 62 A. Da �a x 2 A atun ix 2 A[A0. Da �a x 62 A atun i ori e ve in�atate V a pun tului x are proprietateaV \A = V \(Anfxg) 6= ;. Rezult�a �a x este pun t de a umulare pentru mult�imeaA, de i x 2 A0 � A[A0. Dedu em astfel �a A � A[A0. Din ele dou�a in luziunirezult�a �a A = A [ A0. ) AvemA n A = (A [ A0) n A = (A n A) [ (A0 n A) = ; [ (A0 n A) = A0 n A � A0.Q.E.D.Conse int�a 3.1.3. Mult�imea A este �n his�a da �a �si numai da �a A0 � A.Demonstrat�ie. Conform Teoremelor 3.1.21 b) �si 3.1.25 b) avemA este �n his�a , A = A , A = A [ A0 , A0 � A. Q.E.D.Teorema 3.1.26. Pentru ori e mult�ime A din spat�iul metri (X; d) au lo

128 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkurm�atoarele relat�iia) FrA = A \ CA; b) FrA = Fr (CA); ) FrA = An ÆA; d) ÆA= A n FrA;e) A = A [ FrA:Demonstrat�ie. a) Conform De�nit�iei 3.1.25 pun tul x 2 FrA da �a �si nu-mai da �a ori e ve in�atate a sa ont�ine pun te atat din mult�imea A, at �si din omplementara sa, de ix 2 FrA def, x 2 A \ CA; adi �a FrA = A \ CA.b) Avem Fr (CA) = CA \ (C(CA)) = CA \ A = FrA. ) Din pun tul a) �si Teorema 3.1.20 b) dedu em �a FrA = A\C ÆA= An ÆA.d) Folosind Teoremele 3.1.21 a) �si 3.1.17 a) avemA n FrA = A n (A \ CA) = A n (A \ C ÆA) = A \ C(A \ C ÆA) == A \ (CA[ ÆA) = (A \ CA) [ (A\ ÆA) = ; [ (A\ ÆA= ÆA.e) Avem A [ FrA = A [ (A \ CA) = (A [ A) \ (A [ CA) = A \X = A,deoare e A [ CA = X, (A [ CA � X �si X = A [ CA � A [ CA). Q.E.D.Exemplul 3.1.9. S�a determin�am interiorul, mult�imea derivat�a, aderent�a �sifrontiera urm�atoarelor submult�imi ale lui (IR; d), unde d(x; y) = jx� yja) A = (0; 1℄ [ (2; 3); b) B = � 1n ���n 2 IN�.Pentru mult�imea A avem ÆA= (0; 1) [ (2; 3); A0 = [0; 1℄ [ [2; 3℄ = A; iarFrA = f0; 1; 2; 3g.Pentru mult�imea B ar�at�am mai �ntai �a interiorul s�au este mult�imea vid�a,adi �a mult�imea B nu are pun te interioare. Intr-adev�ar, ori e element x = 1n 2 Bnu este pun t interior, deoare e 6 9V ve in�atate a pun tului x astfel �n at V � B.Ori e ve in�atate V = � 1n � "; 1n + "�, " > 0 ont�ine numere irat�ionale are nuapart�in lui B.Pun tele mult�imii B sunt hiar izolate. Pentru ori e element x = 1n 2 Bexist�a o ve in�atate V a pun tului x astfel �n at V \ B = fxg; de exempluV = � 1n � "; 1n + "� u 0 < " < 1n � 1n+1 = 1n(n+1) are proprietatea V \ B = n 1no.Mult�imea derivat�a este B0 = f0g. Intr-adev�ar, pentru ori e ve in�atate apun tului 0, V = (�"; "), " > 0, avem V \ (B n f0g) = V \ B 6= ;. Pentrun = h1"i+ 1 elementul 1n 2 V \ (B n f0g) = V \B. Ori e pun t al mult�imii B nu

Spat�ii metri e 129este pun t de a umulare, �ind pun t izolat. De asemenea se arat�a �a ori e pun tx0 6= 0, x0 6= 1n , n 2 IN nu este pun t de a umulare pentru mult�imea B.Aderent�a mult�imii B, onform Teoremei 3.1.25, este B = B [B0, de iB = n0; 1n ; n 2 INo, iar frontiera mult�imii B, onform Teoremei 3.1.26 ), esteFrB = Bn ÆB= B n ; = B.De�nit�ia 3.1.30. O mult�ime A din spat�iul metri (X; d) se nume�ste om-pa t�a da �a ori e �sir (xn)n2IN de elemente din A ont�ine un sub�sir (xnk)k2IN on-vergent la un pun t din A.Compa titatea de�nit�a mai sus se nume�ste ompa titate prin �siruri sau om-pa titate se vent�ial�a.Teorema 3.1.27. O mult�ime ompa t�a A � (X; d) este m�arginit�a �si �n his�a.Demonstrat�ie. Vom demonstra mai �ntai �a mult�imea A este m�arginit�a.Presupunem prin redu ere la absurd �a A este nem�arginit�a. Fie u 2 A; atun ipentru ori e r > 0 avem A 6� S(u; r). De i 9 x 2 A �si x 62 S. Pentru r = n 2 INexist�a xn 2 A, xn 62 S(u; r), adi �a d(xn; u) > n. Am onstruit astfel un �sir (xn)nde elemente din A. Deoare e A este ompa t�a, rezult�a onform De�nit�iei 3.1.30 �a exist�a un sub�sir onvergent (de i �si m�arginit) (xnk)k � (xn)n. Dar (xnk)keste nem�arginit, deoare e d(xnk ; u) > nk sau limk!1d(xnk ; u) =1. Contradi t�ia la are am ajuns ne ondu e la on luzia �a ipoteza f�a ut�a este fals�a. De i A estem�arginit�a.Demonstr�am �n ontinuare �a A este �n his�a. Fie (xn)n un �sir onvergentde pun te din A �si �e x = limn!1xn. Ori e sub�sir (xnk)k � (xn)n are limita x.Deoare e mult�imea A este ompa t�a rezult�a �a x 2 A. Conform Teoremei 3.1.21 ) dedu em �a mult�imea A este �n his�a. Q.E.D.Observat�ia 3.1.8. Re ipro a Teoremei 3.1.27 nu este adev�arat�a.In Se t�iunea 3 vom ar�ata �a �n spat�iul IRk re ipro a Teoremei 3.1.27 esteadev�arat�a.De�nit�ia 3.1.31. Fie spat�iul metri (X; d) �si A; B � X, u A; B 6= ;.Spunem �a mult�imile A �si B sunt separate da �a A \ B = ; �si A \ B = ;.De�nit�ia 3.1.32. Spat�iul metri (X; d) se nume�ste spat�iu onex da �a nu

130 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkexist�a dou�a mult�imi nevide A; B � X, separate astfel �n at A [B = X.Urm�atoarele dou�a de�nit�ii sunt e hivalente u De�nit�ia 3.1.32.De�nit�ia 3.1.33. Spat�iul metri (X; d) este spat�iu onex da �a nu exist�adou�a mult�imi A; B �n hise, nevide, disjun te astfel �n at X = A [ B.De�nit�ia 3.1.34. Spat�iul metri (X; d) este spat�iu onex da �a nu exist�a dou�amult�imi des hise A; B � X, u A; B 6= ;, A \ B = ; astfel �n at X = A [ B.De�nit�ia 3.1.35. O submult�ime A a unui spat�iu metri este onex�a da �aprivit�a a subspat�iu este spat�iu onex.Urm�atoarele dou�a de�nit�ii sunt e hivalente u de�nit�ia 3.1.35.De�nit�ia 3.1.36. O mult�ime A � (X; d) se nume�ste onex�a da �a nu exist�adou�a mult�imi des hise G1 �si G2 astfel �n atA � G1 [G2; A \G1 6= ;; A \G2 6= ; �si (A \G1) \ (A \G2) = ;.De�nit�ia 3.1.37. Mult�imea A se nume�ste onex�a da �a ori um am des om-pune-o �n dou�a mult�imi A1 �si A2, disjun te �si nevide, A = A1 [A2, el put�in unadintre ele are el put�in un pun t de a umulare al eleilalte.De�nit�ia 3.1.38. O mult�ime A � (X; d) des his�a �si onex�a se nume�stedomeniu.1.4. Prin ipiul ontra t�iilorDe�nit�ia 3.1.39. Fie (X; d) un spat�iu metri . Apli at�ia ' : X ! X senume�ste ontra t�ie da �a 9 q 2 (0; 1) astfel �n atd('(x); '(y)) � q d(x; y); 8 x; y 2 X.De�nit�ia 3.1.40. Pun tul x 2 X se nume�ste pun t �x al apli at�iei ' :X!Xda �a '(x) = x.Teorema 3.1.28. (Teorema de pun t �x a lui Bana h sau prin ipiul on-tra t�iilor) O ontra t�ie ' a spat�iului metri omplet (X; d) are un singur pun t�x. Demonstrat�ie. Demonstr�ammai �ntai �a exist�a un pun t �x pentru apli at�ia'. Fie x0 2 X un element al spat�iului �si onstruim �sirulx0; x1; x2; : : : ; xn; : : : ; xn = '(xn�1); n 2 IN ,

Spat�ii metri e 131numit �sirul aproximat�iilor su esive.Fie Æ = d(x0; x1). Da �a Æ = 0 atun i x1 = x0 = '(x0), de i x0 este pun t �xal apli at�iei '. Da �a Æ > 0 atun i avemd(x2; x1) = d('(x1); '(x0)) � q d(x1; x0) = qÆ,d(x3; x2) = d('(x2); '(x1)) � q d(x2; x1) � q2Æ,...d(xn+1; xn) = d('(xn); '(xn�1)) � qnÆ.Apli and indu t�ia matemati �a dedu em �a inegalitatea de mai sus este ade-v�arat�a pentru 8n 2 IN . Folosind a east�a inegalitate vom ar�ata �a �sirul (xn)n esteun �sir fundamental. Intr-adev�ar pentru 8 p 2 IN avemd(xn+p; xn) � d(xn+p; xn+p�1) + d(xn+p�1; xn+p�2) + � � �+ d(xn+2; xn+1)++d(xn+1; xn) � qn+p�1Æ + qn+p�2Æ + � � �+ qn+1Æ + qnÆ = Æ(qn+p�1 + � � �+ qn) == Æqn1� qp1� q < Æqn1� q .De i d(xn+p; xn) < Æqn1� q ; 8n; p 2 IN: (3:1:9)Deoare e limn!1 qn = 0, pentru n!1, din inegalitatea de mai sus rezult�a �a�sirul (xn)n este �sir Cau hy. Spat�iul (X; d) �ind spat�iu metri omplet, dedu em �a (xn)n este onvergent. Fie = limn!1xn, de i limn!1d(xn; ) = 0. Pun tul estepun t �x al apli at�iei '. Intr-adev�ar pentru 8n 2 IN avem0 � d('(xn); '( )) � qd(xn; ):Din limn!1d(xn; ) = 0, rezult�a �a limn!1 d('(xn); '( )) = 0, de i limn!1'(xn) = '( ),adi �a '( ) = limn!1'(xn) = limn!1xn+1 = .Elementul , pun tul �x al apli at�iei ', este uni . Da �a am presupune �amai exist�a un element 1 2 X u '( 1) = 1 atun i am obt�ine0 � d( ; 1) = d('( ); '( 1)) � q d( ; 1) ) (1� q)d( ; 1) � 0 )d( ; 1) = 0 ) = 1: Q.E.D.Observat�ia 3.1.9. Din inegalitatea (3.1.9) dedu emd(xn; ) � d(xn; xn+p) + d(xn+p; ) < Æqn1� q + d(xn+p; ).Deoare e limp!1d(xn+p; ) = 0, din relat�iile de mai sus obt�inem

132 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkd(xn; ) � Æqn1� q = d(x0; x1)1� q qn; 8n 2 IN .Rezult�a �a eroarea are se fa e �nlo uind solut�ia e uat�iei '(x) = x u apro-ximanta de ordinul n, xn, este mai mi �a sau egal�a u d(x0; x1)1� q qn.Observat�ia 3.1.10. Metoda de demonstrat�ie de mai sus se nume�ste metodaaproximat�iilor su esive, utilizat�a pentru prima dat�a de Pi ard �n anul 1891 pen-tru a demonstra existent�a �si uni itatea solut�iilor e uat�iilor diferent�iale.2. Spat�ii normate. Spat�ii prehilbertieneFie K un orp, iar V o mult�ime nevid�a oare are de elemente, notate u~u; ~v; ~w; : : :.De�nit�ia 3.2.1. Dou�a legi de ompozit�ie de�nite peste tot pe V , una in-tern�a, numit�a adunare, " + " : V � V ! V; �si alta extern�a fat��a de K, numit�a�nmult�irea u elemente din K, " �" : K�V ! V; determin�a o stru tur�a de spat�iuliniar (ve torial) da �aa) adunarea determin�a pe V o stru tur�a de grup omutativ, adi �a1. 8 ~u; ~v; ~w 2 V are lo (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);2. 9~0 2 V astfel �n at 8~v 2 V are lo ~v +~0 = ~0 + ~v = ~v;3. 8~v 2 V 9 (�~v) 2 V astfel �n at ~v + (�~v) = (�~v) + ~v = ~0;4. 8~v; ~w 2 V are lo ~v + ~w = ~w + ~v �sib) �nmult�irea u elemente din K satisfa e ondit�iile5. 8 a 2 K; 8~v; ~w 2 V are lo a(~v + ~w) = a~v + a~w;6. 8 a; b 2 K; 8~v 2 V are lo (a+ b)~v = a~v + b~v;7. 8 a; b 2 K; 8~v 2 V are lo a(b~v) = (ab)~v;8. 8~v 2 V are lo 1~v = ~v.Mult�imea V dotat�a u a east�a stru tur�a se nume�ste spat�iu liniar sau ve torialpeste orpul K. Elementele spat�iului ve torial V se numes ve tori, iar ele ale orpului K se numes s alari. Inmult�irea u elemente din K se mai nume�ste�nmult�irea ve torilor u s alari.

Spat�ii normate. Spat�ii prehilbertiene 133Pentru K = IR, V se nume�ste spat�iu ve torial real, iar pentru K = C, el senume�ste spat�iu ve torial omplex.S�a onsider�am �n ontinuare un spat�iu liniar V peste orpul K (K = IR sauK = C).De�nit�ia 3.2.2. Apli at�ia k � k : V ! IR se nume�ste norm�a pe V da �asatisfa e urm�atoarele propriet�at�i (numite axiomele normei)a) k~uk � 0; 8 ~u 2 V ; k~uk = 0 , ~u = ~0;b) k�~uk = j�j k~uk; 8� 2 K; 8 ~u 2 V ; ) k~u+ ~vk � k~uk+ k~vk; 8 ~u; ~v 2 V .De�nit�ia 3.2.3. Pentru un ve tor ~u 2 V num�arul k~uk se nume�ste normave torului ~u.De�nit�ia 3.2.4. Un spat�iu liniar V pe are s-a de�nit o norm�a k � k senume�ste spat�iu liniar normat sau spat�iu normat; se noteaz�a (V; k � k).Teorema 3.2.1. In spat�iul liniar normat (V; k � k) au lo urm�atoarele pro-priet�at�ia) k � ~uk = k~uk; 8 ~u 2 V ; b) jk~uk � k~vkj � k~u� ~vk; 8 ~u; ~v 2 V .Demonstrat�ie. a) Relat�ia rezult�a din axioma b) a normei u � = �1.b) Avemk~uk = k(~u� ~v) + ~vk � k~u� ~vk+ k~vk ) k~uk � k~vk � k~u� ~vk.De asemenea obt�inemk~vk = k(~v � ~u) + ~uk � k~v � ~uk+ k~uk ) k~vk � k~uk � k~v � ~uk.Din ele dou�a inegalit�at�i de mai sus rezult�a inegalitatea b) din enunt�. Q.E.D.Exemplul 3.2.1. Mult�imea IR este spat�iu liniar peste orpul IR, iar apli at�iaj � j : IR ! IR are aso iaz�a num�arului real x modulul s�au jxj, este o norm�a. In-tr-adev�ara) jxj � 0; 8 x 2 IR; jxj = 0 , x = 0;b) j�xj = j�j jxj; 8� 2 IR; 8 x 2 IR; ) jx + yj � jxj+ jyj; 8 x; y 2 IR.De i (IR; j � j) este spat�iu normat.Exemplul 3.2.2. Mult�imea IRn este spat�iu liniar peste orpul numerelor

134 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkreale �n raport u operat�iile" + " : IRn � IRn ! IRn(~x; ~y)! ~x+ ~y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn); unde ~x = (x1; x2; : : : ; xn),~y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 IRn;" � " : IR� IRn ! IRn(�; ~x)! �~x = (�x1; �x2; : : : ; �xn); unde � 2 IR, ~x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 IRn.Spat�iul IRn se nume�ste spat�iul liniar (ve torial) aritmeti u n dimensiuni.Elementul ~x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 IRn (notat uneori mai simplu u x) se nume�steve tor n-dimensional, iar x1; x2; : : : ; xn se numes omponentele sale. A estea oin id u oordonatele ve torului ~x �n raport u baza anoni �a f~e1; ~e2; : : : ; ~eng �� IRn, unde ~e1 = (1; 0; : : : ; 0); ~e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; ~en = (0; 0; : : : ; 1).Pe spat�iul liniar real IRn apli at�iile k � kd, k � kÆ �si k � k� de�nite prink~xkd = vuut nXi=1 x2i ; k~xkÆ = nXi=1 jxij; k~xk� = maxi=1;n jxij, ~x = (x1; x2; : : : ; xn),sunt norme. Se veri� �a ele trei axiome ale De�nit�iei 3.2.2 pentru �e are dinapli at�iile de mai sus.De�nit�ia 3.2.5. Normele k � k1 �si k � k2 : V ! IR se numes e hivalente da �a9 a; b 2 IR, 0 < a � b astfel �n at ak~uk1 � k~uk2 � bk~uk1; 8 ~u 2 V .Exemplul 3.2.3. Normele k � kd, k � kÆ �si k � k� de�nite pe spat�iul IRn �nExemplul 3.2.2 sunt e hivalente, deoare e1pnk~xkÆ � k~xkd � k~xkÆ �si k~xk� � k~xkd � pnk~xk�; 8 ~x 2 IRn.Demonstrat�iile a estor inegalit�at�i sunt asem�an�atoare u ele orespunz�atoaremetri ilor d; Æ �si � (vezi Exemplul 3.1.7).Teorema 3.2.2. Un spat�iu normat (V; k � k) este spat�iu metri .Demonstrat�ie. De�nim pe V apli at�ia d : V � V ! IR prind(~u;~v) = k~u� ~vk; 8 ~u; ~v 2 V: (3:2:1)Deoare e k � k este o norm�a, avem veri� ate axiomele din De�nit�ia 3.1.1a) d(~u;~v) = k~u� ~vk � 0; 8 ~u; ~v 2 V ; d(~u;~v) = k~u� ~vk = 0 ,~u� ~v = ~0 , ~u = ~v;b) d(~u;~v) = d(~v; ~u) , k~u� ~vk = k~v � ~uk , k~u� ~vk = k � (~u� ~v)k ,

Spat�ii normate. Spat�ii prehilbertiene 135k~u� ~vk = j � 1jk~u� ~vk; 8 ~u; ~v 2 V ; ) d(~u;~v) � d(~u; ~w)+d(~w;~v) , k~u�~vk � k~u� ~wk+k~w�~vk; 8 ~u; ~v; ~w 2 V .Ultima inegalitate este adev�arat�a deoare ek~u� ~vk = k(~u� ~w) + (~w � ~v)k � k~u� ~wk+ k~w � ~vk.Dedu em astfel �a d este o metri �a pe mult�imea V . Q.E.D.De�nit�ia 3.2.6. Metri a de�nit�a pe un spat�iu normat (V; k �k) prin formula(3.2.1) se nume�ste metri a indus�a de norma k � k.Din (3.2.1) pentru ~v = ~0 rezult�a �a k~uk = d(~u;~0); 8 ~u 2 V .Observat�ia 3.2.1. Da �a normele k � k1 �si k � k2 de�nite pe spat�iul liniar Vsunt e hivalente, din Teorema 3.1.3 dedu em �a metri ile induse de a este normed1 �si d2 sunt e hivalente.Observat�ia 3.2.2. Metri ile induse de normele k � kd, k � kÆ �si k � k� pespat�iul liniar real IRn de�nite �n Exemplul 3.2.2 sunt metri ile d, Æ, respe tiv �din Exemplul 3.1.3.Observat�ia 3.2.3. Nu ori e metri �a provine dintr-o norm�a. De exemplumetri a de�nit�a �n Exemplul 3.1.4d1 : IR� IR! IR, d1(x; y) = jx� yj1 + jx� yjnu provine dintr-o norm�a. Demonstr�am a est lu ru prin redu ere la absurd.Presupunem �a exist�a o norm�a k � k : IR ! IR astfel �n at d1(x; y) = kx � yk;8 x; y 2 IR. Pentru y = 0 obt�inem kxk = d1(x; 0) = jxj1 + jxj . A east�a apli at�iek � k nu veri� �a axioma b) a normeik�xk = j�jkxk , j�xj1 + j�xj = j�j jxj1 + jxj ; 8�; x 2 IR.Este su� ient s�a vedem �a pentru x = 1, � = 2 relat�ia de mai sus ne d�a 23 = 1, eea e este fals. De i presupunerea f�a ut�a este fals�a. Dedu em astfel �a metri ad1 nu provine dintr-o norm�a.Sfera des his�a u entrul �n ~x0 2 V �si de raz�a r > 0 este mult�imeaS(~x0; r) = f~x 2 V j k~x� ~x0k < rg,iar sfera �n his�a u entrul �n ~x0 2 V �si de raz�a r > 0 este mult�imeaS(~x0; r) = f~x 2 V j k~x� ~x0k � rg.

136 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkDin (3.2.1) �si De�nit�ia 3.1.6 dedu em �a mult�imea A � V este m�arginit�ada �a �si numai da �a 9M > 0 astfel �n atk~xk �M; 8 ~x 2 A: (3:2:2)Inegalitatea k~xk �M; 8 ~x 2 A arat�a �a A � S(~0;M).Din De�nit�ia 3.1.7 dedu em �a mult�imea A � V este nem�arginit�a da �a8M > 0 9 ~xM 2 A astfel �n at k~xMk > M .Teorema 3.1.4 �si relat�ia (3.2.1) ne d�a ara terizarea u " �si n0(") a unui �sir(~xn)n2IN u limita ~x �si anumeTeorema 3.2.3. S�irul (~xn)n � (V; k � k) este onvergent u limita ~x 2 V ,limn!1~xn = ~x, da �a �si numai da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo k~x� ~xk < ": (3:2:3)Pe baza Teoremei 3.2.3 se dedu urm�atoarele propriet�at�i ale �sirurilor �ntr-unspat�iu normat (V; k � k).Teorema 3.2.4. a) Da �a limn!1~xn = ~x atun i limn!1k~xnk = k~xk.b) Da �a limn!1~xn = ~x �si limn!1 ~yn = ~y atun i pentru 8�; � 2 K are lo limn!1(�~xn + �~yn) = �~x+ �~y. ) Da �a 9 (�n)n � IR, limn!1�n = 0 astfel �n at k~xn � ~xk � �n; 8n 2 INatun i limn!1~xn = ~x.Demonstrat�ie. a) Din inegalitatea b) din Teorema 3.2.1 avemjk~xnk � k~xkj � k~xn � ~xk,de unde rezult�a proprietatea a) din enunt�.b) Din inegalitateak(�~xn+�~yn)�(�~x+�~y)k = k�(~xn�~x)+�(~yn�~y)k � j�j k~xn�~xk+j�j k~yn�~ykrezult�a �a limn!1(�~xn + �~yn) = �~x + �~y. ) Proprietatea rezult�a din inegalitatea din enunt� �si Teorema de ara terizarepentru limn!1�n = 0 (Teorema 2.1.1). Q.E.D.De�nit�ia 3.2.7. Un spat�iu liniar normat (V; k �k) se nume�ste spat�iu Bana hda �a V este spat�iu metri omplet �n raport u metri a indus�a de norm�a.

Spat�ii normate. Spat�ii prehilbertiene 137Exemplul 3.2.4. Spat�iul normat (IR; j�j) este spat�iu Bana h, (vezi Exemplul3.1.8).S�a onsider�am a um un spat�iu liniarH peste orpul K (K = IR sau K = C).De�nit�ia 3.2.8. Apli at�ia g : H � H ! K se nume�ste produs s alar pespat�iul H da �a satisfa e urm�atoarele propriet�at�i (numite axiomele produsuluis alar)a) g(~x; ~x) � 0; 8 ~x 2 H; g(~x; ~x) = 0 , ~x = ~0;b) g(~x; ~y) = g(~y; ~x); 8 ~x; ~y 2 H; ) g(~x+ ~y; ~z) = g(~x; ~z) + g(~y; ~z); 8 ~x; ~y; ~z 2 H;d) g(�~x; ~y) = �g(~x; ~y); 8� 2 K; 8 ~x; ~y 2 H.De�nit�ia 3.2.9. Num�arul real sau omplex g(~x; ~y) se nume�ste produsuls alar al ve torilor ~x �si ~y. El se mai noteaz�a u < ~x; ~y >.De�nit�ia 3.2.10. Un spat�iu liniar H pe are s-a de�nit un produs s alar< �; � > se nume�ste spat�iu prehilbertian; se noteaz�a (H;< �; � >).Exemplul 3.2.5. Pe spat�iul liniar real IRn de�nim apli at�ia< �; � >: IRn � IRn ! IR; < ~x; ~y >= x1y1 + x2y2 + � � �+ xnyn; (3:2:4)~x = (x1; x2; : : : ; xn); ~y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 IRn:A east�a apli at�ie este un produs s alar pe spat�iul IRn, deoare ea) < ~x; ~x >= nXi=1 x2i � 0; 8 ~x 2 IRn; < ~x; ~x >= 0 , nXi=1 x2i = 0 ,xi = 0; 8 i = 1; n , ~x = ~0.b) < ~x; ~y >= x1y1 + x2y2 + � � �+ xnyn = y1x1 + y2x2 + � � � ynxn =< ~y; ~x >;8 ~x; ~y 2 IRn. ) < ~x+~y; ~z >= (x1+ y1)z1+(x2+ y2)z2+ � � �+(xn+ yn)zn = (x1z1+x2z2++ � � �+ xnzn) + (y1z1 + y2z2 + � � �+ ynzn) =< ~x; ~z > + < ~y; ~z >; 8 ~x; ~y; ~z 2 IRn.d) < �~x; ~y >= (�x1)y1 + (�x2)y2 + � � �+ (�xn)yn = �(x1y1 + � � �+ xnyn) == � < ~x; ~y >; 8� 2 IR; 8 ~x; ~y 2 IRn.Rezult�a astfel �a (IRn; < �; � >) u < �; � > de�nit �n (3.2.4) este spat�iuprehilbertian. Prosusul s alar de�nit de (3.2.4) pe spat�iul IRn se nume�ste produsul

138 Spat�ii metri e. Spat�iul IRks alar eu lidian. Pentru n = 1 din ele de mai sus dedu em �a spat�iul liniar realIR este spat�iu prehilbertian u produsul s alar<x; y>=xy; 8x; y 2 IR.Teorema 3.2.5. (Inegalitatea lui Cau hy-Buniakowski-S hwarz) Intr-unspat�iu prehilbertian real sau omplex (H;< �; � >), pentru ori e ~x; ~y 2 H arelo inegalitatea j < ~x; ~y > j � q< ~x; ~x > �q< ~y; ~y >: (3:2:5)Demonstrat�ie. Presupunem �a H este spat�iu liniar real (demonstrat�ia esteasem�an�atoare �si da �a H este spat�iu liniar omplex).Din axiomele d) (pentru � = 0) �si b) din De�nit�ia 3.2.8 rezult�a �a <~x;~0>=0,de i pentru ~x = ~0 are lo inegalitatea (3.2.5).Pentru ~x; ~y 2 H u ~x 6= ~0, iar � 2 IR, din axioma a) a De�nit�iei 3.2.8 avem< �~x� ~y; �~x� ~y >= �2 < ~x; ~x > �2� < ~x; ~y > + < ~y; ~y >� 0: (3:2:6)Inegalitatea obt�inut�a are lo pentru ori e � 2 IR (< ~x; ~x >6= 0) da �a �si numaida �a determinantul aso iat trinomului de mai sus este � � 0. De i4(< ~x; ~y >)2�4 < ~x; ~x > � < ~y; ~y >� 0 , j < ~x; ~y > j � p< ~x; ~x >�p< ~y; ~y >,adi �a avem veri� at�a inegalitatea (3.2.5). Q.E.D.Observat�ia 3.2.4. Egalitatea �n inegalitatea (3.2.5) se obt�ine da �a �si numaida �a ve torii ~x �si ~y sunt oliniari, adi �a 9�; � 2 IR u �2 + �2 6= 0 astfel �n at�~x+�~y = ~0. Intr-adev�ar, presupunem �si ai i �a H este spat�iu liniar real �si �e ~x; ~ydoi ve tori oliniari, adi �a are lo relat�ia de mai sus. Da �a � 6= 0 atun i obt�inem~y = ���~x sau ~y = �~x; � 2 IR. Inegalitatea (3.2.5) devine egalitate, adi �aj < ~x; �~x > j = p< ~x; ~x > � p< �~x; �~x > ,j� < ~x; ~x > j = p< ~x; ~x > � p�2 < ~x; ~x > ,j�j < ~x; ~x >= j�j < ~x; ~x >.Re ipro , s�a presupunem �a (3.2.5) este o egalitate, adi �aj < ~x; ~y > j = p< ~x; ~x > � p< ~y; ~y > , < ~x; ~y >= p< ~x; ~x > � p< ~y; ~y >.Da �a ~x = ~0 atun i ve torii ~x �si ~y sunt oliniari, deoare e ~x = 0~y. Da �a ~x 6= 0rezult�a �a determinantul aso iat trinomului din (3.2.6) este zero, de i trinomul are

Spat�ii normate. Spat�ii prehilbertiene 139solut�ie dubl�a �1 = �2 = < ~x; ~y >< ~x; ~x > = p< ~y; ~y >p< ~x; ~x > . Rezult�a �a < �~x�~y; �~x�~y >= 0pentru � = p< ~y; ~y >p< ~x; ~x > . Conform pun tului a) din De�nit�ia 3.2.8 avem �~x�~y = 0pentru � = p< ~y; ~y >p< ~x; ~x > sau ~y = �~x = p< ~y; ~y >p< ~x; ~x >~x, adi �a ~x �si ~y sunt oliniari.Din inegalitatea (3.2.5) dedu em pentru ~x; ~y 6= ~0 inegalitateaj < ~x; ~y > jp< ~x; ~x >p< ~y; ~y > � 1.Rezult�a �a 9' 2 [0; �℄ astfel �n at os' = < ~x; ~y >p< ~x; ~x >p< ~y; ~y >: (3:2:7)De�nit�ia 3.2.11. a) Unghiul ' de�nit de (3.2.7) se nume�ste unghiul ve to-rilor ~x �si ~y.b) Doi ve tori ~x �si ~y se numes ortogonali da �a < ~x; ~y >= 0.Unghiul nul ~0 este prin de�nit�ie ortogonal pe ori e ve tor. Doi ve tori ~x �si~y nenuli sunt ortogonali da �a �si numai da �a unghiul ' de�nit de (3.2.7) este de90Æ. Teorema 3.2.6. (Inegalitatea lui Minkowski) Pentru ori e doi ve tori ~x; ~ydin spat�iul prehilbertian real sau omplex (H;< �; � >) are lo inegalitateaq< ~x+ ~y; ~x+ ~y > � q< ~x; ~x >+q< ~y; ~y >: (3:2:8)Demonstrat�ie. Presupunem �si ai i �a H este spat�iu liniar real. Conforminegalit�at�ii (3.2.5) avem< ~x + ~y; ~x+ ~y >=< ~x; ~x > +2 < ~x; ~y > + < ~y; ~y >�< ~x; ~x > ++2p< ~x; ~x >p< ~y; ~y >+ < ~y; ~y >= �p< ~x; ~x >+p< ~y; ~y >�2,de unde rezult�a inegalitatea (3.2.8). Q.E.D.Observat�ia 3.2.5. Egalitatea �n inegalitatea (3.2.8) are lo da �a �si numaida �a ~y = �~x u � > 0. Intr-adev�ar da �a ~y = �~x, � > 0 atun i < ~x; �~x >== � < ~x; ~x >, iarp< ~x; ~x >p< ~y; ~y > = p< ~x; ~x >p< �~x; �~x > = � < ~x; ~x >,

140 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkde i are lo egalitatea �n (3.2.8) (vezi demonstrat�ia Teoremei 3.2.6).Re ipro s�a presupunem �a are lo egalitatea �n (3.2.8), adi �a< ~x; ~y >= p< ~x; ~x >p< ~y; ~y >(�n spat�iu liniar real). Atun i din Observat�ia 3.2.4 rezult�a �a ~x �si ~y sunt oliniari~y = �~x u � > 0 (da �a ~x = ~0 sau ~y = ~0 se veri� �a relat�ia de oliniaritate, iarda �a ~x 6= ~0 �si ~y 6= ~0 atun i ~y = p< ~y; ~y >p< ~x; ~x >~x = �~x; � > 0).Teorema 3.2.7. Un spat�iu prehilbertian real sau omplex (H;< �; � >) estespat�iu normat.Demonstrat�ie. De�nim pe H apli at�ia k � k : H ! IR prink~xk = q< ~x; ~x >; 8 ~x 2 H: (3:2:9)Pe baza axiomelor produsului s alar sunt veri� ate axiomele normei (De�nit�ia3.2.2). Intr-adev�ara) k~xk = p< ~x; ~x > � 0; 8 ~x 2 H; k~xk = 0 , p< ~x; ~x > = 0 , ~x = ~0:b) k�~xk=p< �~x; �~x >=qj�j2 < ~x; ~x >= j�j k~xk; 8� 2 IR (C); 8 ~x 2 H. ) k~x + ~yk � k~xk+ k~yk , p< ~x+ ~y; ~x + ~y > � p< ~x; ~x >+p< ~y; ~y >;8 ~x; ~y 2 H, are este inegalitatea lui Minkovski (3.2.8).Rezult�a astfel �a (H; k � k) este spat�iu normat. Q.E.D.De�nit�ia 3.2.12. Norma (3.2.9) de�nit�a pe un spat�iu prehilbertian real sau omplex (H;< �; � >) se nume�ste norma indus�a de produsul s alar.Cu ajutorul normei (3.2.9) inegalitatea lui Cau hy (3.2.5) se s riej < ~x; ~y > j � k~xk k~yk; 8 ~x; ~y 2 H.Norma indus�a de produsul s alar < �; � > pe spat�iul prehilbertian H indu emetri a d : H �H ! IR de�nit�a prind(~x; ~y) = k~x� ~yk = (< ~x� ~y; ~x� ~y >)1=2.De�nit�ia 3.2.13. Un spat�iu prehilbertian H real sau omplex, are este omplet �n norma indus�a de produsul s alar se nume�ste spat�iu Hilbert.Exemplul 3.2.6. Spat�iul liniar real IR u produsul s alar < x; y >= xy estespat�iu Hilbert.

Spat�iul IRk 141Pentru �siruri de elemente dintr-un spat�iu prehibertian avem propriet�at�ile dinTeorema 3.2.4. In plus, �ntr-un spat�iu prehilbertian (H;< �; � >) avemTeorema 3.2.8. a) Da �a limn!1~xn = ~x, iar limn!1~yn = ~y atun ilimn!1 < ~xn; ~yn >=< ~x; ~y >.b) Da �a unul dintre �sirurile (~xn)n sau (~yn)n este m�arginit, iar el�alalt tindela ~0, atun i limn!1 < ~xn; ~yn >= 0.Demonstrat�ie. a) Avemj < ~xn; ~yn > � < ~x; ~y > j = j < ~xn; ~yn > � < ~x; ~yn > + < ~x; ~yn > � < ~x; ~y > j == j < ~xn � ~x; ~yn > + < ~x; ~yn � ~y > j � j < ~xn � ~x; ~yn > j+ j < ~x; ~yn � ~y > j �� k~xn � ~xk � k~ynk+ k~xk � k~yn � ~yk,de unde rezult�a on luzia a).b) Din inegalitatea j < ~xn; ~yn > j � k~xnk � k~ynk obt�inem on luzia b).Q.E.D. 3. Spat�iul IRkDin Se t�iunea 2 �stim �a spat�iulIRk = IR� IR� � � � � IR| {z }k ori = f~x = (x1; x2; : : : ; xk); xi 2 IR; i = 1; kg; (k 2 IN),se organizeaz�a a spat�iu liniar real �n raport u operat�iile" + " : IRk � IRk ! IRk; (~x; ~y)! ~x + ~y = (x1 + y1; : : : ; xk + yk)," � " : IR� IRk ! IRk; (�; ~x)! �~x = (�x1; : : : ; �xk),� 2 IR; ~x = (x1; : : : ; xk); ~y = (y1; : : : ; yk) 2 IRk (vezi Exemplul 3.2.2).Pe a est spat�iu liniar aritmeti u k dimensiuni am de�nit metri ile d; Æ; �(vezi Exemplul 3.1.3)d(~x; ~y) = vuut kXi=1(xi � yi)2; Æ(~x; ~y) = kXi=1 jxi � yij; �(~x; ~y) = maxi=1;k jxi � yij,normele k � kd; k � kÆ; k � k� (vezi Exemplul 3.2.2)k~xkd = vuut kXi=1 x2i ; k~xkÆ = kXi=1 jxij; k~xk� = maxi=1;k jxij�si produsul s alar eu lidian < �; � > (Exemplul 3.2.5)

142 Spat�ii metri e. Spat�iul IRk< ~x; ~y >= kXi=1 xiyi; ~x = (x1; : : : ; xk); ~y = (y1; : : : ; yk) 2 IRk.Norma indus�a de produsul s alar eu lidian este k � kd, numit�a norma eu li-dian�a, iar metri a indus�a de norma eu lidian�a este d, numit�a metri a eu lidian�a.Din Teorema 3.2.3 dedu em �a �sirul (~xn)n2IN � (IRk; k � kd) este onvergent u limita ~x 2 IRk da �a �si numai da �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo k~xn � ~xkd < ": (3:3:1)Relat�ia (3.3.1) se poate s rie �n mod e hivalent astfel8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo k~xn � ~xk < ";unde k�k este norma eu lidian�a sau ori e alt�a norm�a e hivalent�a u a easta (k�kÆ,k � k�; : : :).In ele e urmeaz�a vom lu ra u norma eu lidian�a k � kd.Teorema 3.3.1. Un �sir de elemente din IRk este onvergent da �a �si numaida �a toate ele k �siruri oordonate (�siruri de numere reale) sunt onvergente. Inplus limita �sirului din IRk este k-uplul format din limitele elor k �siruri oordonate.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a (~xn)n2IN este un �sir de elemente din IRk, onvergent u limita ~x 2 IRk, adi �a are lo relat�ia (3.3.1). Not�am omponenteleelementelor �sirului (~xn)n �si ale limitei ~x astfel~x1 = (x11; x21; : : : ; xk1),~x2 = (x12; x22; : : : ; xk2),...~xn = (x1n; x2n; : : : ; xkn),...�si ~x = (x1; x2; : : : ; xk).Deoare e jxin � xij � vuut kXi=1(xin � xi)2 = k~xn � ~xkd; 8 i = 1; k; 8n 2 IN ,rezult�a din (3.3.1) �a pentru ori e i = 1; k avem8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo jxin � xij < ".

Spat�iul IRk 143Dedu em astfel din Teorema 2.1.1 �a pentru ori e i = 1; k, limn!1xin = xi,adi �a �sirurile omponente (xin)n2IN , i = 1; k sunt onvergente u limitele xi ( om-ponentele lui ~x).S�a presupunem a um �a ele k �siruri oordonate (xin)n2IN , i = 1; k sunt onvergente u limitele xi, i = 1; k. Fie ~x = (x1; x2; : : : ; xk) elementul din IRk are are omponentele limitele �sirurilor (xin)n2IN ; i = 1; k. Din Teorema 2.1.1dedu emlimn!1x1n=x1 , 8" > 0 9n1(") 2 IN astfel �n at 8n � n1(") are lo jx1n�x1j< "k ;limn!1x2n=x2 , 8" > 0 9n2(") 2 IN astfel �n at 8n � n2(") are lo jx2n�x2j< "k ;...limn!1xkn=xk , 8" > 0 9nk(") 2 IN astfel �n at 8n � nk(") are lo jxkn�xkj< "k :Fie " > 0; not�am u n0(") = maxfn1("); n2("); : : : ; nk(")g 2 IN . Atun ipentru 8n � n0(") avemk~xn � ~xkd = vuut kXi=1(xin � xi)2 � nXi=1 jxin � xij < k "k = ".De i onform relat�iei (3.3.1) rezult�a �a (~xn)n2IN este onvergent u limita ~x.Q.E.D.Exemplul 3.3.1. S�a al ul�am limita �sirului (~xn)n, unde ~xn = (an; bn; n) 22 IR3, iaran = ns (n!)2(2n)!8n ; bn = nXk=1 k2 + k + 3k(k + 1) � (n+ 1)2n ; n = p� + n�1; n � 2; 1 = p�; � > 0.Pentru �sirul (an)n folosim Conse int�a 2.1.7. Not�am u �n = (n!)2(2n)!8n ; n � 1.Avem�n+1�n = [(n+ 1)!℄2[2(n+ 1)℄!8n+1 � (2n)!8n(n!)2 = (n + 1)28(2n+ 1)(2n+ 2) ! 132 ; pentru n!1.Dedu em astfel �a limn!1 np�n = limn!1 an = 132.Pentru (bn)n avembn = nXk=1 "1 + 3k(k + 1)#� (n+ 1)2n = n+ 3 nXk=1 �1k � 1k + 1�� (n+ 1)2n == n + 3�1� 1n+ 1�� (n+ 1)2n = n2 � 3n� 1n(n + 1) ! 1; pentru n!1.

144 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkPentru �sirul ( n)n2IN vom ar�ata �a el este monoton �si m�arginit. Din relat�ia dere urent��a rezult�a �a n > 0, 8n 2 IN . Demonstr�am �n ontinuare prin indu t�iematemati �a �a �sirul ( n)n2IN este stri t res �ator, adi �a n < n+1, 8n 2 IN .Avem 2 = p�+ 1 = q�+p� > p� = 1. Apoi presupunand �a n < n+1obt�inem n+1 = p� + n < p� + n+1 = n+2, de i n+1 < n+2.S�irul ( n)n2IN este m�arginit superior. Ar�at�am prin indu t�ie matemati �a �a n < 1 + 2�; 8n 2 IN . Avem 1 = p� < 1 + 2� (deoare e 1 + 3� + 4�2 > 0).Apoi din n < 1 + 2� rezult�a �a n+1 = p� + n < p1 + 3� < 1 + 2�, (deoare e4�2 + 4� > 0).Apli and Teorema 2.1.17 dedu em �a �sirul ( n)n2IN este onvergent, de i9 = limn!1 n � 0. Tre and la limit�a �n relat�ia de re urent��a obt�inem = p� + ,de unde rezult�a = 1 +p1 + 4�2 .De i limn!1~xn = 132 ; 1; 1 +p1 + 4�2 !.Pe baza Teoremei 3.2.4 �si a de�nit�iei �sirurilor din IR sau IRk avemTeorema 3.3.2. a) Da �a (~xn)n, (~yn)n sunt dou�a �siruri de elemente din IRk, onvergente la ~x, respe tiv ~y 2 IRk, atun i �sirul sum�a (~xn + ~yn)n este onvergentla ~x+ ~y.b) Da �a (~xn)n � IRk este onvergent la ~x 2 IRk, iar (�n)n � IR este onver-gent la � 2 IR atun i �sirul (�n~xn)n este onvergent la �~x. ) Da �a limn!1~xn = ~x atun i limn!1 k~xnkd = k~xkd.d) Da �a limn!1~xn = ~x �si limn!1 ~yn = ~y atun i limn!1 d(~xn; ~yn) = d(~x; ~y) (,limn!1 k~xn � ~ynkd = k~x� ~ykd).Propriet�at�ile de mai sus stabiles ompatibilitatea dintre onvergent�a �nspat�iul IRk �si stru tura algebri o-topologi �a a lui IRk.Teoremele fundamentale din teoria onvergent�ei �sirurilor reale (Teoremele2.1.17, 2.1.18, 2.1.19 �si 2.1.21) se extind �si �n spat�iul IRk (k � 2).S�a extindem mai �ntai ordinea �si m�arginirea de la spat�iul IR la spat�iul IRk.De�nit�ia 3.3.1. Fie ~x = (x1; x2; : : : ; xk) �si ~y = (y1; y2; : : : ; yk) 2 IRk.

Spat�iul IRk 145Spunem �a ~x este mai mi sau egal u ~y �si not�am~x � ~y da �a xi � yi; 8 i = 1; k: (3:3:2)Relat�ia de�nit�a mai sus pe spat�iul IRk este o relat�ie de ordine- re exiv�a ~x � ~x; 8 ~x 2 IRk;- antisimetri �a ~x � ~y �si ~y � ~x ) ~x = ~y;- tranzitiv�a ~x � ~y �si ~y � ~z ) ~x � ~z.Spre deosebire de relat�ia "�" de�nit�a pe spat�iul IR, relat�ia de mai sus "�"nu este total�a, de i este o relat�ie de ordine part�ial�a.De�nit�ia 3.3.2. Fie mult�imea A � IRk. Elementul ~a 2 IRk se nume�stemajorant pentru A da �a ~x � ~a; 8 ~x 2 A. Elementul ~b 2 IRk se nume�ste minorantpentru A da �a ~b � ~x; 8 ~x 2 A.De�nit�ia 3.3.3. Mult�imea A � IRk se nume�ste majorat�a da �a posed�a elput�in un majorant. Mult�imea A � IRk se nume�ste minorat�a da �a posed�a elput�in un minorant.De�nit�ia 3.3.4. Mult�imea A � IRk se nume�ste m�arginit�a da �a ea estemajorat�a �si minorat�a.De i A � IRk este m�arginit�a da �a 9 ~m; ~M 2 IRk astfel �n at~m � ~x � ~M; 8 ~x 2 A: (3:3:3)Pentru o mult�ime A � IRk, de�nim pentru ori e i=1; k, apli at�ia Pi : A!IR,Pi(~x) = xi, ~x = (x1; : : : ; xk), numit�a proie t�ia mult�imii A pe oordonata i.Teorema 3.3.3. Mult�imea A � IRk este m�arginit�a da �a �si numai da �amult�imile Pi(A) � IR; 8 i = 1; k sunt m�arginite.Demonstrat�ie. Vom fa e demonstrat�ia pentru k = 2. S�a presupunem mai�ntai �a mult�imea A � IR2 este m�arginit�a, adi �a 9 ~m = (m1; m2) �si ~M == (M1;M2) 2 IR2 astfel �n at ~m � ~x � ~M; 8 ~x 2 A ,(m1; m2) � (x1; x2) � (M1;M2); 8 ~x = (x1; x2) 2 A.Din ultimul �sir de inegalit�at�i dedu em �a m1 � x1 � M1; 8 x1 2 P1(A) �sim2 � x2 � M2; 8 x2 2 P2(A). De ai i rezult�a �a mult�imile P1(A) �si P2(A) suntm�arginite �n IR (vezi Fig.3).

146 Spat�ii metri e. Spat�iul IRk0

A

Fig. 3

x1

P (A)1

P (A)2

x2

Re ipro s�a presupunem �a mult�imile P1(A) �si P2(A) sunt m�arginite �n IR,adi �a 9m1; M1 2 IR astfel �n at m1 � x1 �M1, 8 x1 2 P1(A) ,m1 � P1(~x) �M1; 8 ~x 2 A �si9m2; M2 2 IR astfel �n at m2 � x2 �M2, 8 x2 2 P2(A) ,m2 � P2(~x) �M2; 8 ~x 2 A.Atun i De�nit�ia 3.3.1 u relat�iile (3.3.2) ne ondu la(m1; m2) � (x1; x2) � (M1;M2); 8 ~x = (x1; x2) 2 A,adi �a A este m�arginit�a �n IR2. Q.E.D.Norma k � kd de�nit�a pe spat�iul IRk indu e o relat�ie de m�arginire, de�nit�a de(3.2.2) �si anume A � IRk este m�arginit�a (�n norm�a) ,9M > 0 astfel �n at k~xkd �M; 8 ~x 2 A: (3:3:4)Teorema urm�atoare ne spune �a m�arginirea indus�a de ordinea (3.3.2) (De�nit�ia3.3.4) oin ide u m�arginirea indus�a de norm�a (relat�ia (3.3.4)).Teorema 3.3.4. O mult�ime A � IRk este m�arginit�a fat��a de ordinea din IRkda �a �si numai da �a A � IRk este m�arginit�a �n norm�a.Demonstrat�ie. Presupunem �a mult�imea A este m�arginit�a fat��a de ordineadin IRk, adi �a 9 ~m; ~M 2 IRk astfel �n at~m � ~x � ~M; 8 ~x 2 A; ~m = (m1; m2; : : : ; mk); ~M = (M1;M2; : : : ;Mk).Inegalitatea de mai sus ne spune �a(m1; m2; : : : ; mk) � (x1; x2; : : : ; xk) � (M1;M2; : : : ;Mk) sau

Spat�iul IRk 147mi � xi �Mi; 8 i = 1; k; 8 ~x = (x1; : : : ; xk) 2 A.Not�am u Ci = maxfjMij; jmijg; i = 1; k; atun i jxij � Ci; 8 i = 1; k;8 ~x = (x1; : : : ; xk) 2 A. Dedu em atun i �ak~xkd = vuut kXi=1 x2i � kXi=1 jxij � kXi=1Ci = C0 > 0; 8 ~x 2 A.De i A este m�arginit�a �n norm�a.Re ipro , s�a presupunem �a A este m�arginit�a �n norm�a, adi �a 9K > 0 astfel�n at k~xkd � K; 8 ~x 2 A. Atun i jxij � k~xkd � K; 8 i = 1; k; 8 ~x 2 A.Dedu em astfel �a Pi(A) este m�arginit�a �n IR, 8 i = 1; k, de i onform Teoremei3.3.3 mult�imea A este m�arginit�a fat��a de ordinea din IRk. Q.E.D.De�nit�ia 3.3.5. Mult�imeaI(~a;~b) = f~x 2 IRk j~a � ~x � ~bg � IRk, u ~a <~b se nume�ste intervalul �n his (k-dimensional) determinat de elementele ~a�si ~b, iar mult�imeaJ(~a;~b) = f~x 2 IRk j~a < ~x <~bgse nume�ste intervalul des his determinat de ~a �si ~b.Not�am u I(~x0) mult�imea tuturor intervalelor des hise are ont�in pun tul~x0. A east�a mult�ime formeaz�a un sistem fundamental de ve in�at�at�i pentru ~x0.Mai mult �si ai i, a �si �n IR, se pot lua intervalele des hise simetri e I(~x0�~r; ~x0+~r)not= I(~x0;~r), unde ~r > ~0.Avand de�nit�a ordinea �n IRk se introdu �sirurile monoton res �atoare �si elemonoton des res �atoare �n spat�iul IRk.Teorema 3.3.5. (Teorema de onvergent��a a �sirurilor monotone) Un �sir res �ator �si majorat de elemente din IRk este onvergent la un pun t din IRk. Un�sir des res �ator �si minorat de elemente din IRk este onvergent la un element dinIRk. Demonstrat�ie. S�a onsider�am un �sir (~xn)n2IN � IRk res �ator. Rezult�aatun i �a toate ele k �siruri oordonate (x1n)n, (x2n)n; : : : ; (xkn)n � IR sunt res �a-toare. Deoare e �sirul (~xn)n2IN este m�arginit �n IRk rezult�a �a �sirurile oordonatesunt m�arginite �n IR.

148 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkConform Teoremei 2.1.17 (Bolzano-Weierstrass) dedu em �a ele k �siruri o-ordonate sunt onvergente, de i apli and Teorema 3.3.1 rezult�a �a �sirul (~xn)n este onvergent �n IRk.Asem�an�ator se arat�a partea a doua a teoremei. Q.E.D.Teorema 2.1.18 (Cantor) poate � extins�a �n IRk sub dou�a forme u ajutorulintervalelor k-dimensionale (De�nit�ia 3.3.5) sau u ajutorul sferelor.Teorema 3.3.6. (Cantor) FieI(~a1;~b1) � I(~a2;~b2) � � � � � I(~an;~bn) � I(~an+1;~bn+1) � � � �un �sir de intervale k-dimensionale �n hise din IRk, are se in lud des res �ator une-le pe altele, u �sirul diagonalelor mari onvergent la 0, adi �a limn!1 k~an�~bnkd = 0.Atun i exist�a un pun t uni ~ 2 IRk omun tuturor intervalelor 2 \1n=1I(~an;~bn).Demonstrat�ie. Pentru k = 2 vezi Fig.4. Etapele demonstrat�iei sunt a e-lea�si a ale demonstrat�iei Teoremei 2.1.18. S�irul (~an)n este res �ator �n IRk,majorat de ~b1, iar �sirul (~bn)n este des res �ator, minorat de ~a1. Conform Teoremei3.3.5 rezult�a �a �sirurile (~an)n �si (~bn)n sunt onvergente, de i 9 ~ 0; ~ 00 2 IRk astfel�n at limn!1~an = ~ 0 �si limn!1~bn = ~ 00.

Fig. 4

x2

a1

a2

a3

a4

b1

b2

c

b3

b4

x1

0

Fig. 5

x2

x1

x2

x3

x4

c

0

x1

Din ipotez�a avem limn!1 k~an � ~bnkd = 0 = k~ 0 � ~ 00k, de unde dedu em �a~ 0 = ~ 00 not= ~ ; din �sirul de inegalit�at�i~an � ~an+p � ~bn+p � ~bn; 8n; p 2 IN ,rezult�a �a ~ 2 I(~an;~bn); 8n 2 IN , de i ~ 2 \1n=1I(~an;~bn).

Spat�iul IRk 149Pentru uni itate, s�a presupunem �a mai exist�a ~d2IRk, ~d2I(~an;~bn); 8n 2 IN ,adi �a ~an � ~d � ~bn; 8n 2 IN . Din a este inegalit�at�i dedu em �a0 � ~d� ~an � ~bn � ~an, de i k~d� ~ankd � k~bn � ~ankd.Rezult�a astfel �a limn!1~an = ~d; din uni itatea limitei obt�inem ~d = ~ . Q.E.D.Teorema 3.3.7. (Cantor) Fie un �sir de sfere �n hise are se in lud des- res �ator u �sirul razelor tinzand la 0. Atun i sferele au �n omun un element �sinumai unul.Demonstrat�ie. Pentru k = 2 vezi Fig.5. Teorema se poate redu e la Teo-rema 3.3.6, in luzand sferele �n intervale �n hise, obt�inandu-se un �sir de intervalek-dimensionale, are se in lud des res �ator, u �sirul diagonalelor mari onvergentla 0.Sau se poate fa e o demonstrat�ie dire t�a, folosind Teorema lui Cau hy demai jos (vezi Teorema 3.3.8). S�a onsider�am �a avem sferele �n hiseS(~x1; r1) � S(~x2; r2) � � � � � S(~xn; rn) � S(~xn+1; rn+1) � � � � u limn!1 rn = 0.Avem ~xn+p 2 S(~xn; rn); 8 p; n 2 IN ; de ik~xn+p � ~xnkd � rn; 8n; p 2 IN: (3:3:5)Deoare e limn!1 rn = 0 rezult�a �a �sirul (~xn)n2IN este un �sir Cau hy (De�nit�ia3.1.17 u d - metri a eu lidian�a). Conform Teoremei 3.3.8 rezult�a �a (~xn)n este onvergent, de i exist�a ~x = limn!1~xn.In inegalitatea (3.3.5) �l �x�am pe n �si tre em la limit�a pentru p!1. Rezult�a �ak~x� ~xnkd � rn; 8n 2 IN; adi �a ~x 2 S(~xn; rn); 8n 2 IN . Pun tul ~x 2 IRk esteuni , deoare e da �a presupunem �a 9 ~x0 2 IRk u ~x0 2 S(~xn; rn), 8n 2 IN , atun ik~xn � ~x0kd � rn; 8n 2 IN . Deoare e limn!1 rn = 0 rezult�a �a limn!1~xn = ~x0, de i~x = ~x0 (din uni itatea limitei). Q.E.D.Not�iunea de �sir Cau hy, are a ap�arut �si �n demonstrat�ia Teoremei 3.3.7, afost de�nit�a pentru azul general al unui spat�iu metri �n De�nit�ia 3.1.17. Pentru azul spat�iului IRk de�nit�ia este a eea�si u observat�ia �a metri a d este metri aeu lidian�a, iar d(~xn+p; ~xn) se poate s rie u ajutorul normei eu lidiene. De i

150 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkDe�nit�ia 3.3.6. S�irul (~xn)n2IN � IRk este �sir fundamental (Cau hy) da �a8" > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n; m � n0(") are lo k~xn � ~xmkd<" ,8" > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo k~xn+p � ~xnkd<"; 8p 2 IN:(3:3:6)S�tim �a un �sir fundamental este m�arginit, iar un �sir onvergent este �si fun-damental. In spat�iul IRk, a �si �n spat�iul IR, avem Teorema lui Cau hy de maijos, are ne spune �a un �sir fundamental este onvergent. Mai exa t avemTeorema 3.3.8. (Cau hy) Un �sir de elemente din IRk este onvergent da �a�si numai da �a este �sir fundamental.Demonstrat�ie. Da �a �sirul (~xn)n2IN � IRk este onvergent, atun i el este�si �sir fundamental (vezi Teorema 3.1.11). Re ipro , s�a presupunem �a (~xn)n2INeste un �sir fundamental �n spat�iul IRk, adi �a are lo relat�ia (3.3.6) din De�nit�ia3.3.6. Notand ~xn = (x1n; x2n; : : : ; xkn), n 2 IN din (3.3.6) dedu em �a pentru ori ei = 1; k avem8" > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n; m � n0(") are lo jxin�ximj�k~xn�~xmkd<".Rezult�a astfel �a �sirurile oordonate (xin)n2IN , i = 1; k sunt �siruri Cau hy denumere reale. Conform Teoremei 2.1.21 (Cau hy) dedu em �a a este �siruri oor-donate (xin)n2IN , i = 1; k sunt onvergente, adi �a limn!1xin = xi; i = 1; k. Apli anda um Teorema 3.3.1 rezult�a �a �sirul (~xn)n2IN este onvergent u limn!1~xn = ~x, unde~x = (x1; x2; : : : ; xk). Q.E.D.Conse int�a 3.3.1. Spat�iul IRk este spat�iu omplet, de i Bana h �n raport u norma eu lidian�a sau u ori e alt�a norm�a e hivalent�a u a easta. Spat�iul IRkeste spat�iu Hilbert �n raport u produsul s alar eu lidian.Teorema 3.3.9. (Lema lui Cesaro) Ori e �sir m�arginit din IRk ont�inesub�siruri onvergente �n IRk.Demonstrat�ie. Vom fa e demonstrat�ia pentru k = 2, azul general rezultandprin indu t�ie matemati �a dup�a k 2 IN .Fie (~xn)n2IN un �sir m�arginit din IR2, ~xn = (an; bn); n � 1. De i 9K > 0astfel �n at k~xnkd � K; 8n 2 IN . Dedu em astfel �a janj � k~xnkd � K �sijbnj � k~xnkd � K; 8n 2 IN . De i �sirurile oordonate de numere reale (an)n �si

Spat�iul IRk 151(bn)n sunt m�arginite.Conform Teoremei 2.1.19 (Lema lui Cesaro) �sirul (an)n are un sub�sir (ank)k2IN onvergent �n IR. S�a onsider�am a um sub�sirul (bnk)k al �sirului (bn)n ( orespun-z�ator lo urilor pentru are am luat sub�sirul (ank)k). Deoare e �sirul (bn)n estem�arginit, rezult�a �a �si sub�sirul (bnk)k este m�arginit. Apli and Teorema 2.1.19dedu em �a (bnk)k are un sub�sir onvergent (bnki )i.S�a onsider�am a um sub�sirul (anki )i � (ank)k onvergent �si el. Atun i dinTeorema 3.3.1 �sirul (~xnki )i2IN , ~xnki = (anki ; bnki ); i 2 IN este onvergent �n IR2,�ind de altfel un sub�sir al �sirului (~xn)n2IN , de unde rezult�a teorema pentru k = 2.Q.E.D.Teorema 3.3.10. (Bolzano-Weierstrass)Ori e mult�imeA in�nit�a �si m�arginit�adin spat�iul IRk posed�a pun te de a umulare.Demonstrat�ie. Mult�imea A � IRk �ind in�nit�a, ea ont�ine o submult�imenum�arabil�a. De i ea ont�ine un �sir de elemente (~xn)n2IN � A, diferite dou�a atedou�a, adi �a ~xn 6= ~xm pentru n 6= m. S�irul �ind m�arginit, din Teorema 3.3.9dedu em �a (~xn)n posed�a un sub�sir (~xnk)k onvergent la un element ~x0 2 IRk.Elementele sub�sirului (~xnk)k sunt diferite de ~x0, adi �a ~xnk 6= ~x0; 8 k 2 IN , uex ept�ia unuia el mult. Rezult�a �a ~x0 este pun t de a umulare pentru A. Q.E.D.Teorema 3.3.11. O mult�ime A � IRk este ompa t�a da �a �si numai da �a eaeste m�arginit�a �si �n his�a.Demonstrat�ie. Din Teorema 3.1.27 rezult�a �a mult�imea A ompa t�a este�n his�a �si m�arginit�a. Re ipro s�a presupunem �a A este m�arginit�a �si �n his�a �si s�ademonstr�am �a ea este ompa t�a. Fie (~xn)n2IN un �sir de pun te din A. Deoare eA este m�arginit�a, rezult�a �a (~xn)n este m�arginit. Din Teorema 3.3.9 dedu em �a exist�a un sub�sir (~xnk)k2IN onvergent la un element ~x 2 IRk. Elementul ~xeste pun t aderent pentru A ( onform Teoremei 3.1.16), ~x 2 A. Dar A = A,de i ~x 2 A. Dedu em astfel �a ori e �sir de elemente din A ont�ine un sub�sir onvergent la un element din A, de i onform De�nit�iei 3.1.23 rezult�a �a A este ompa t�a. Q.E.D.Observat�ia 3.3.1. In spat�iul IRk mult�imile �nite, sferele �n hise, intervalele

152 Spat�ii metri e. Spat�iul IRk�n hise sunt mult�imi ompa te. Sferele �si intervalele k-dimensionale sunt mult�imi onexe.Teorema 3.3.12. O mult�ime A 6= ; de numere reale, ompa t�a posed�a un el mai mi �si un el mai mare element, adi �a exist�a m; M 2 A astfel �n atm � x �M; 8 x 2 A.Demonstrat�ie. Mult�imea A este ompa t�a, de i m�arginit�a. De i A estemajorat�a �si minorat�a. Conform Axiomei (A15) �si a Teoremei 1.2.4 rezult�a �aexist�a m = inf A 2 IR �si M = sup A 2 IR. Pentru m = inf A avem onformTeoremei 1.2.4a) m � x; 8 x 2 A;b) 8 " > 0 9 x" 2 A astfel �n at x" < m + ".Pentru " = 1n ; n 2 IN , din b) dedu em �a9 xn 2 A astfel �n at xn < m+ 1n .Am onstruit astfel �sirul (xn)n � A astfel �n at m � xn < m + 1n . Rezult�a �a limn!1xn = m. Deoare e A este ompa t�a ea este �n his�a, de i m 2 A = A.Rezult�a �a m este el mai mi element al mult�imii A.Asem�an�ator se arat�a �a A are un el mai mare element. Q.E.D.Observat�ia 3.3.2. Vom identi� a spat�iul IR2 u E2 { mult�imea pun telorunui plan raportat la un sistem de axe ortogonale, aso iind unui element (x; y) 22 IR2 pun tul uni M(x; y) 2 E2. In mod asem�an�ator spat�iul IR3 va � identi� at u E3 { mult�imea pun telor din spat�iu raportat la un sistem de axe triortogonal.Astfel �n urs vom �ntalni elemente (x; y) 2 IR2 sau (x; y; z) 2 IR3 notate �si uM(x; y), respe tiv M(x; y; z). Din a ela�si motiv elementelor ~x = (x1; : : : ; xk) 22 IRk le vom mai spune �si pun te.Exer it�ii �si probleme1. S�a se arate �a distant�a d de�nit�a pe un spat�iu metri (X; d) poate � ara teri-zat�a numai prin urm�atoarele dou�a ondit�iia) d(x; y) = 0 , x = y;

Exer it�ii �si probleme 153b) d(y; z) � d(x; y) + d(x; z); 8x; y; z 2 X,adi �a din a) �si b) rezult�a �a d(x; y) � 0; 8x; y 2 X �si d(x; y) = d(y; x); 8x; y 2 X.(Rezultatul de mai sus apart�ine lui A. Lindenbaum).2. S�a se demonstreze �a da �a d : S�S ! IR este o metri �a pe mult�imea S atun i�si fun t�ia d1 : S � S ! IR de�nit�a prind1(x; y) = d(x; y)1 + d(x; y) ; x; y 2 S,este o metri �a pe mult�imea S.Indi at�ie. Se folose�ste fun t�ia f : IR+ ! IR; f(x) = x1 + x , (vezi Exemplul 3.1.4).3. Fie X = (0;1) � IR. S�a se arate �a apli at�ia d1(x; y) = ����1x � 1y ����, pentrux; y > 0 este o metri �a pe X.Apoi s�a se arate �a metri ile d1 �si d, unde d(x; y) = jx� yj, sunt e hivalente, darnu satisfa dubla inegalitate (3.1.5).4. S�a se arate �a metri a dis ret�a%0 : IR� IR! IR, %0(x; y) = 8<: 1; da �a x 6= y;0; da �a x = y;de�nit�a pe IR nu este e hivalent�a u metri a d : IR� IR! IR, d(x; y) = jx� yj.5. Fie fun t�iaf : IR! IR, f(x) = 8<: x� 1; da �a x � 0;x; da �a x > 0:S�a se arate �a apli at�ia % : IR � IR ! IR de�nit�a prin %(x; y) = jf(x) � f(y)j este ometri �a pe IR, are nu este e hivalent�a u metri a d : IR� IR! IR, d(x; y) = jx� yj.6. S�a se arate �a (IN; d1) este spat�iu metri , unded1 : IN � IN ! IR, d1(m;n) = ���� 1m � 1n ����.S�a se arate apoi �a a est spat�iu metri nu este omplet.7. S�a se arate �a spat�iul metri ((0;1); d1), unded1 : (0;1)� (0;1)! IR; d1(x; y) = ����1x � 1y ����,nu este omplet.8. Fie (Xi; di), i = 1; n spat�ii metri e �si �e X = Qni=1Xi. S�a se demonstreze �aurm�atoarele apli at�ii d; Æ; � : X �X ! IR+ de�nite prind(x; y) =vuut nXi=1 d2i (xi; yi); Æ(x; y) = nXi=1 di(xi; yi); �(x; y) = maxi=1;n di(xi; yi),8x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 X, sunt metri i pe mult�imea X.

154 Spat�ii metri e. Spat�iul IRk9. S�a se pre izeze sferele des hise �si �n hise entrate �n ~x0 �si de raz�a r > 0 �nspat�iile metri e (IR2; d), (IR2; Æ), (IR2;�), (IR3; d), (IR3; Æ), (IR3;�), unde d; Æ; � suntde�nite �n Exemplul 3.1.3.S�a se arate, folosind reprezent�arile gra� e obt�inute �a pe mult�imea IR2 metri iled; Æ; � sunt e hivalente.10. S�a se demonstreze �a (IRn; %), unde % : IRn � IRn ! IR+ este de�nit�a prin%(~x; ~y) = nXi=1 jxi � yij2i(1 + jxi � yij) ; ~x; ~y 2 IRn,este spat�iu metri �si apoi s�a se arate �a a east�a metri �a nu provine dintr-o norm�a.11. Fie E o mult�ime nevid�a, (X; d) spat�iu metri �siB(E;X) = ff j f : E ! X; f m�arginit�ag.S�a se arate �a apli at�ia % : B(E;X) � B(E;X)! IR de�nit�a prin%(f; g) = supx2E d(f(x); g(x)); 8 f; g 2 B(E;X)este o metri �a pe B(E;X), numit�a metri a onvergent�ei uniforme sau metri a luiCeba�sev.12. S�a se arate �aa) Da �a (xn)n2IN �si (yn)n2IN sunt �siruri onvergente �n spat�iul metri (X; d) atun i(d(xn; yn))n2IN este un �sir onvergent �n IR.b) Da �a (xn)n2IN �si (yn)n2IN sunt �siruri Cau hy �n spat�iul metri (X; d) atun i(d(xn; yn))n2IN este �sir Cau hy �n IR.13. Fie A o mult�ime a spat�iului metri (X; d). Num�arul d(A) 2 IR de�nit prind(A) = supx; y2A d(x; y) se nume�ste diametrul mult�imii A (prin onvent�ie da �a A = ;atun i d(A) = 0). S�a se arate �aa) A este m�arginit�a , d(A) <1.b) Da �a A � B atun i d(A) � d(B). ) d(A) = d(A); 8A � (X; d).d) Da �a mult�imea A � X este ompa t�a (A 6= ;) atun i 9 (x0; y0) 2 A � A astfel�n at d(x0; y0) = d(A).14. Fie mult�imea �sirurilor de numere reale onvergente = fx = (xn)n2IN ; xn 2 IR; 8n 2 IN ; (xn)n onvergentg.S�a se arate �a apli at�ia(x; y)! d(x; y) = supn2IN jxn � ynj 2 IR; x = (xn)n2IN ; y = (yn)n2IN 2

Exer it�ii �si probleme 155de�ne�ste o metri �a pe �si �a spat�iul metri ( ; d) este omplet.15. S�a se g�aseas �a interiorul, mult�imea derivat�a, aderent�a �si frontiera urm�atoarelorsubmult�imi ale lui IR, dotat u metri a uzual�a d(x; y) = jx� yja) A = �n+ 1n sin n�3 ; n 2 IN�;b) A = �1 + (�1)n2 + (�1)n n2n+ 3; n 2 IN�; ) A = [(�3; 1) \Q+℄ [ �2 + (�1)nn3n+ 1 ; n 2 IN�.16. Fie A = [0;1) u metri a eu lidian�a d �si �e fun t�ia f : A!IR; f(x) = 11 + x2 ;8x 2 A.S�a se arate �a fun t�ia f satisfa e relat�iad(f(x); f(y)) � d(x; y); 8x; y 2 A�si �a fun t�ia f are un singur pun t �x.17. S�a se al uleze u pre izia de 10�4 uni a r�ad�a in�a real�a a e uat�ieix3 + 12x� 1 = 0.18. Fie C([a; b℄) (notat�a �si C0([a; b℄)) mult�imea tuturor fun t�iilor reale de�nite �si ontinue pe [a; b℄ (a < b)C([a; b℄) = ff j f : [a; b℄! IR; f ontinu�a pe [a; b℄g.S�a se arate �a apli at�iilea) f ! kfk0 = supx2[a;b℄ jf(x)j;b) f ! kfk1 = Z ba jf(t)j dtsunt norme pe C([a; b℄).19. S�a se demonstreze �a mult�imea �sirurilor m�arginite de numere realel1 = fx = (xn)n2IN � IR; (xn)n m�arginitgnotat�a �si u m, u apli at�iax! kxk1 = supn2IN jxnj; 8x = (xn)n2IN 2 l1este spat�iu liniar normat omplet, de i spat�iu Bana h.20. Fie Mm;n(IR) mult�imea matri ilor u elemente reale de tipul m� n (m linii�si n oloane) are se organizeaz�a a spat�iu liniar real (�n raport u adunarea matri ilor�si �nmult�irea u numere reale a a estora) de dimensiune mn. S�a se demonstreze �aapli at�iile

156 Spat�ii metri e. Spat�iul IRkA! kAk1 = 0� mXi=1 nXj=1 a2ij1A1=2;A! kAk2 = maxi=1;m0� nXj=1 jaij j1A;A! kAk3 = maxj=1;n mXi=1 jaij j!;A! kAk4 = max �jaij j; i = 1;m; j = 1; n�;A! kAk5 = mXi=1 nXj=1 jaij j; A 2Mm;n(IR); A = (aij)i=1;m; j=1;n ,sunt norme e hivalente pe spat�iul Mm;n(IR).21. S�a se arate �a urm�atoarele apli at�ii < �; � >: IR3 � IR3 ! IR de�nite prina) < ~x; ~y >= x1y1 + x1y3 + x2y2 + x3y1 + 2x3y3;b) < ~x; ~y >= 2x1y1+x1y2+x2y1+x2y2+x3y3; ~x = (x1; x2; x3); ~y = (y1; y2; y3) 2 IR3,sunt produse s alare pe spat�iul liniar IR3.22. S�a se al uleze limitele urm�atoarelor �siruri din spat�iul IRka) ~xn = (an; bn) 2 IR2;an = 266664 3 nXk=1 k2(n+ 1)3377775�n2 ; n 2 IN; � > 0; bn = bn�1 � n(n+ 1)! ; n � 2; b1 �xat.b) ~xn = (an; bn; n; dn) 2 IR4;an = 1n4 nXk=1 k(k + 1)(k + 2); bn = sin2 �pn2 + n; n = n2 + 1n !1=(2n) ;dn = n(� � 2 ar tg n); n 2 IN .

Capitolul 4LIMITE DE FUNCT�II. CONTINUITATEAFUNCT�IILOR1. Limite de fun t�ii1.1. Cadrul general al spat�iilor metri eFie (X; d1) �si (Y; d2) dou�a spat�ii metri e �si apli at�ia f : D! Y , undeD � X,iar x0 2 X un pun t de a umulare pentru mult�imea D (x0 2 D0).De�nit�ia 4.1.1. (De�nit�ia u ve in�at�at�i) Fun t�ia f are limita l 2 Y �npun tul x0 2 D0 da �apentru ori e ve in�atate V 2 V(l) exist�a o ve in�atate U 2 V(x0)astfel �n at 8 x 2 (U n fx0g) \D are lo f(x) 2 V: (4:1:1)Vom nota limx!x0 f(x) = l sau f(x)! l; pentru x! x0.De�nit�ia 4.1.1 nu se s himb�a da �a pentru l �si x0 se iau sisteme fundamentalede ve in�at�at�i. S�i anume da �a �x�am pentru l �si x0 sistemele fundamentale deve in�at�at�i V0(l), respe tiv V0(x0) atun i avem urm�atoarea de�nit�ie e hivalent�aDe�nit�ie 4.1.2. Fun t�ia f are limita l 2 Y �n pun tul x0 2 D0 da �a8V 2 V0(l) 9U 2 V0(x0) astfel �n at 8 x 2 (U n fx0g) \D are lo f(x) 2 V:(4:1:2)Propozit�ia 4.1.1. De�nit�iile 4.1.1 �si 4.1.2 sunt e hivalente.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a are lo De�nit�ia 4.1.1 �si �e V0 2 V0(l).Deoare e V0(l) � V(l) rezult�a �a V0 2 V(l). Conform De�nit�iei 4.1.1, pentru V0exist�a U 2 V(x0) astfel �n at 8 x 2 (Unfx0g)\D avem f(x) 2 V0. Deoare e V0(x0)este un sistem fundamental de ve in�at�at�i, pentru U 2 V(x0) exist�a U0 2 V0(x0)

158 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorastfel �n at U0 � U . Atun i pentru 8 x 2 (U0 nfx0g)\D � (U nfx0g)\D rezult�a �a f(x) 2 V0, adi �a avem (4.1.2).Re ipro s�a presupunem �a are lo (4.1.2). Fie V 2 V(l). Deoare e V0(l)este sistem fundamental de ve in�at�at�i rezult�a �a 9V1 2 V0(l) astfel �n at V1 � V .Pentru V1, onform (4.1.2), dedu em �a exist�a U 2 V0(x0) � V(x0) astfel �n at8 x 2 (U n fx0g) \D are lo f(x) 2 V1 � V , adi �a am obt�inut (4.1.1). Q.E.D.Considerand sistemul sferelor des hise �n spat�iileX �si Y , obt�inem urm�atoareade�nit�ie e hivalent�a u De�nit�ia 4.1.1.De�nit�ia 4.1.3. (De�nit�ia u sfere des hise) Fun t�ia f are limita l 2 Y �npun tul x0 2 D0 da �a8SY (l; ") 9SX(x0; Æ(")) astfel �n at 8 x 2 (SX(x0; Æ) n fx0g) \Dare lo f(x) 2 SY (l; "): (4:1:3)A east�a de�nit�ie este e hivalent�a uDe�nit�ia 4.1.4. (De�nit�ia u " �si Æ(")) Fun t�ia f are limita l 2 Y �n pun tulx0 2 D0 da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 x 2 D; 0 < d1(x; x0) < Æ(")are lo d2(f(x); l) < ": (4:1:4)Teorema 4.1.1. (Teorema de ara terizare a limitei u ajutorul �sirurilor)Elementul l 2 Y este limita fun t�iei f �n pun tul x0 2 D0 da �a �si numai da �a8 (xn)n2IN � D n fx0g u limn!1xn = x0 are lo limn!1 f(xn) = l: (4:1:5)Demonstrat�ie. S�a presupunem �a limx!x0 f(x) = l, adi �a avem veri� at�a ondit�ia (4.1.4). S�a onsider�am un �sir (xn)n2IN � Dnfx0g u limn!1xn = x0, (exist�aastfel de �siruri, deoare e x0 este pun t de a umulare pentru D, vezi Teorema3.1.15). Atun i, onform Teoremei de ara terizare 3.1.4, avem8 �" > 0 9n0(�") 2 IN astfel �n at 8n � n0(�") are lo d1(xn; x0) < �".Pentru " > 0 arbitrar, momentan �xat, s�a lu�am �" = Æ(") din relat�ia (4.1.4).Rezult�a atun i, onform elor de mai sus, �a exist�a n0(Æ(")) not= n1(") 2 IN astfel�n at 8n � n1(") are lo d1(xn; x0) < Æ("). Deoare e xn 2 D, xn 6= x0; 8n 2 IN

Limite de fun t�ii 159avem d1(xn; x0) > 0. Din (4.1.4) dedu em �a 8n � n1(") avem d2(f(xn); l) < ".De i8 " > 0 9n1(") 2 IN astfel �n at 8n � n1(") are lo d2(f(xn); l) < ".Rezult�a astfel �a limn!1 f(xn) = l.Re ipro , s�a presupunem �a avem (4.1.5). Vom demonstra (4.1.4) prinmetoda redu erii la absurd. Presupunem �a nu are lo (4.1.4), adi �a9 "0 > 0 astfel �n at 8 Æ > 0 9 xÆ 2 D u 0 < d1(xÆ; x0) < Æ �si d2(f(xÆ); l) � "0.Pentru Æ = 1n , n 2 IN dedu em din relat�ia de mai sus �a 9 x1=n not= xn 2 D u 0 < d1(xn; x0) < 1n �si d2(f(xn); l) � "0. Astfel am dedus existent�a unui �sir(xn)n2IN � D n fx0g, u limn!1xn = x0, dar pentru are f(xn) 6! l. Con luzia la are am ajuns ontrazi e ipoteza (4.1.4). Rezult�a de i �a presupunerea f�a ut�aeste fals�a, de unde dedu em �a are lo (4.1.4), adi �a limx!x0 f(x) = l. Q.E.D.Observat�ia 4.1.1. Da �a putem pune �n evident��a un �sir (xn)n2IN � D nfx0g u limn!1xn = x0, pentru are �sirul (f(xn))n2IN nu are limit�a, atun i rezult�a �afun t�ia f nu are limit�a �n x0.Observat�ia 4.1.2. Da �a putem determina dou�a �siruri (x0n)n2IN , (x00n)n2IN �� D n fx0g u limn!1x0n = limn!1x00n = x0 pentru are exist�a limn!1 f(x0n) = l1 �silimn!1 f(x00n) = l2, iar l1 6= l2, atun i fun t�ia f nu are limit�a �n pun tul x0 2 D0.Observat�ia 4.1.3. Din Teorema 4.1.1 rezult�a �a limita fun t�iei f (atun i and exist�a) este uni �a.1.2. Limite de fun t�ii �n spat�iul IRkFie D o mult�ime din IRp �si ~f : D ! IRq o fun t�ie de�nit�a pe D u valori �nspat�iul IRq (pentru q = 1 vom nota fun t�ia u f).Da �a p = q = 1, f se nume�ste fun t�ie real�a de variabil�a real�a.Da �a p > 1, q = 1, f se nume�ste fun t�ie real�a de variabil�a ve torial�a saufun t�ie real�a de p variabile reale.Da �a p = 1, q > 1, ~f se nume�ste fun t�ie ve torial�a ( u valori ve toriale) devariabil�a real�a.Da �a p > 1, q > 1, ~f se nume�ste fun t�ie ve torial�a de variabil�a ve torial�a

160 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorsau fun t�ie ve torial�a de p variabile reale.De i fun t�ia ~f aso iaz�a unui element ~x = (x1; x2; : : : ; xp) 2 D un ele-ment ~y = (y1; y2; : : : ; yq) 2 IRq. Fun t�ia ~f poate � des ompus�a �n q fun t�iireale f1; f2; : : : ; fq : D � IRp ! IR, ~f(~x) = (f1(~x); f2(~x); : : : ; fq(~x)); undef1(~x) = y1; f2(~x) = y2; : : : ; fq(~x) = yq: Fun t�iile f1; f2; : : : ; fq se numes fun t�iile omponente ale lui ~f .Pe de alt�a parte, q fun t�ii reale f1; f2; : : : ; fq de�nite pe o a eea�si mult�imeD � IRp pot � onsiderate �ntotdeauna a �ind omponentele reale ale uneifun t�ii ve toriale ~f : D ! IRq. T� inand seama de a este onsiderat�ii, putemredu e �ntotdeauna studiul unei fun t�ii ve toriale la studiul unor fun t�ii reale.Stru tura de spat�iu liniar a mult�imii IRk ne permite s�a de�nim urm�atoareleoperat�ii u fun t�ii ve toriale.Fie D � IRp �si ~f , ~g dou�a fun t�ii de�nite pe D u valori �n spat�iul IRq. Suma~f + ~g �si produsul u num�arul real �, �~f , sunt fun t�ii de�nite pe D u valori �nIRq (~f + ~g)(~x) = ~f(~x) + ~g(~x); 8 ~x 2 D,(�~f)(~x) = �~f(~x); 8 ~x 2 D.Produsul dintre o fun t�ie real�a ' : D � IRp ! IR �si fun t�ia ve torial�a ~f : D �� IRp!IRq este fun t�ia '~f :D!IRq, de�nit�a prin ('~f)(~x)='(~x)~f(~x); 8~x 2 D.Pentru fun t�iile ~f : E � IRp ! F � IRq �si ~g : F ! IRr se de�ne�ste fun t�ia ompus�a ~h = ~g Æ ~f : E ! IRr astfel~h(~x) = ~g(~f(~x)) = (g1(~f(~x)); g2(~f(~x)); : : : ; gr(~f(~x))); 8 ~x 2 E.A ompune fun t�ia ve torial�a ~g u fun t�ia ve torial�a ~f revine la a ompune omponentele reale gi, i = 1; r ale lui ~g u fun t�ia ~f . Pentru ompunerea uneifun t�ii reale g : F � IRq ! IR u o fun t�ie ve torial�a ~f : E � IRp ! F � IRq sefoloses omponentele f1; f2; : : : ; fq ale fun t�iei ~f . In a est az obt�inem fun t�iah = g Æ ~f : E ! IR; h(~x) = (g Æ ~f)(~x) = g(f1(~x); f2(~x); : : : ; fq(~x)); 8 ~x 2 E.De�nit�ia 4.1.5. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq se nume�ste m�arginit�a (pemult�imea D) da �a mult�imea valorilor f(D) � IRq este m�arginit�a, adi �a 9M > 0astfel �n at k~f(~x)kq �M; 8 ~x 2 D, unde k � kq este o norm�a pe spat�iul IRq.

Limite de fun t�ii 161Propozit�ia 4.1.2. Fun t�ia ve torial�a ~f : D � IRp ! IRq este m�arginit�ada �a �si numai da �a toate omponentele sale f1; f2; : : : ; fq sunt m�arginite.Demonstrat�ie. Fie ~f(~x)=(f1(~x); f2(~x); : : : ; fq(~x)), ~x2D, unde fj :D! IR;j = 1; q. S�a onsider�am pe spat�iul IRq norma eu lidian�a k � kq. Atun i avemjfj(~x)j � k~f(~x)kq � qXj=1 jfj(~x)j; 8 ~x 2 D; 8 j = 1; q.Da �a fun t�ia ~f este m�arginit�a atun i fun t�ia real�a k~f(�)k este m�arginit�a �sidin prima inegalitate dedu em �a fun t�iile jfj(�)j, de i �si fj(�), j = 1; q suntm�arginite.Re ipro , da �a fun t�iile fj(�), j = 1; q sunt m�arginite, atun i �si fun t�iilejfj(�)j, j = 1; q sunt m�arginite, de i �si suma lor qXj=1 jfj(�)j este m�arginit�a. Din adoua inegalitate de mai sus rezult�a �a fun t�ia k~f(�)k este m�arginit�a, de i ~f este�si ea m�arginit�a. Q.E.D.Dedu em astfel �a studiul fun t�iilor ve toriale m�arginite se redu e la studiulfun t�iilor reale m�arginite.De�nit�iile 4.1.1 { 4.1.4, pre um �si Teorema 4.1.1 se pot formula asem�an�ator�si pentru fun t�iile ~f : D � IRp ! IRq.De�nit�ia 4.1.6. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq �n pun tul~x0 2 D0 da �apentru ori e ve in�atate V 2 V(~l) exist�a o ve in�atate U 2 V(~x0)astfel �n at 8 ~x 2 (U n f~x0g) \D are lo ~f(~x) 2 V: (4:1:6)De�nit�ie 4.1.7. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq �n pun tul~x0 2 D0 da �a8V 2 V0(~l) 9U 2 V0(~x0) astfel �n at 8 ~x 2 (U n f~x0g) \D are lo ~f(~x) 2 V:(4:1:7)De�nit�ia 4.1.8. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq �n pun tul~x0 2 D0 da �a8Sq(~l; ") 9Sp(~x0; Æ(")) astfel �n at 8 ~x 2 (Sp(~x0; Æ) n f~x0g) \Dare lo ~f(~x) 2 Sq(~l; "): (4:1:8)

162 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorDe�nit�ia 4.1.9. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq �n pun tul~x0 2 D0 da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D; 0 < dp(~x; ~x0) < Æ(")are lo dq(~f(~x);~l) < ": (4:1:9)Teorema 4.1.2. Elementul ~l 2 IRq este limita fun t�iei ~f : D � IRp ! IRq �npun tul ~x0 2 D0 da �a �si numai da �a8 (~xn)n2IN � D n f~x0g u limn!1~xn = ~x0 are lo limn!1 ~f(~xn) = ~l: (4:1:10)Ment�ion�am �a De�nit�ia 4.1.8 se exprim�a e hivalent u ajutorul normelor dinspat�iile IRp �si IRq astfelDe�nit�ia 4.1.10. Fun t�ia ~f are limita ~l 2 Y �n pun tul ~x0 2 D0 da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D u 0 < k~x� ~x0kp < Æ(")are lo k~f(~x)�~lkq < "; (4:1:11)unde k � kp, k � kq sunt norme �n spat�iul IRp, respe tiv IRq, (~l = (l1; l2; : : : ; lq),~x0 = (x10; x20; : : : ; xp0)).Not�am lim~x!~x0 ~f(~x) = ~l sau ~f(~x)! ~l, pentru ~x! ~x0.De exemplu, da �a lu�am k~xkp = maxi=1;p jxij �si k~ykq = maxj=1;q jyjj relat�ia (4.1.11)ne ondu e la8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D; ~x = (x1; x2; : : : ; xp) u0 < jxi � xi0j < Æ; 8 i = 1; p are lo jfj(~x)� ljj < "; 8 j = 1; q.In mod asem�an�ator se pot g�asi formul�arile pentru limita lim~x!~x0 ~f(~x) = ~l �n azul �n are se onsider�a �si alte norme (k � kd, k � kÆ; : : :) �n spat�iile IRp �si IRq.Observat�ia 4.1.4. In azul spat�iilor IRk, k � 2 nu am introdus pun teimproprii, la in�nit. De i da �a ~f : D � IRp ! IRq, p � 2; q � 2 atat pun tul ~x0, at �si limita ~l sunt pun te obi�snuite �n spat�iul IRp, respe tiv IRq.In azul fun t�iilor reale de mai multe variabile reale f : D � IRp ! IR (q = 1)limita l poate � +1 sau �1 (De�nit�ia 4.1.6 �si Teorema 4.1.2 se pot reformula�si pentru a este azuri).

Limite de fun t�ii 163In azul fun t�iilor ve toriale de o singur�a variabil�a real�a ~f : D � IR ! IRq(p = 1) se pot onsidera �si limitele limx!+1 f(x), limx!�1 f(x), da �a +1 sau �1sunt pun te de a umulare ale mult�imii D (De�nit�ia 4.1.6 �si Teorema 4.1.2 se potreformula �si pentru a este azuri).In azul fun t�iilor ve toriale de o singur�a variabil�a real�a ~f : D � IR ! IRq(p = 1) se pot de�ni limitele laterale �ntr-un pun t x0 2 IR, la fel a �si pentrufun t�iile reale de o singur�a variabil�a real�a. Astfel avem urm�atoarele1.3. Extinderi �n IR1Æ. Pentru q = 1 avem azul unei fun t�ii reale f : D � IRp ! IR. Fie ~x0 2 D0,iar l = 1. Ve in�at�at�ile lui +1 sunt mult�imile V = fy 2 IR; y > Mg [ f+1g,M 2 IR. De i f(x) 2 V , f(x) > M . Atun i De�nit�ia 4.1.6 ne ondu e laurm�atoarea ara terizare (de�nit�ia analiti �a) pentru limita +1 a lui f �n ~x0.De�nit�ia 4.1.11. Fun t�ia f : D � IRp ! IR are limita +1 �n pun tul~x0 2 D0 da �a8M 2 IR 9 ÆM > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D; 0 < k~x� ~x0kp < ÆM are lo f(x) > M:Not�am lim~x!~x0 f(~x) = +1 sau f(~x)! +1, pentru ~x! ~x0.F�ar�a a restrage generalitatea putem lua �n De�nit�ia 4.1.11, M > 0.Asem�an�ator obt�inem pentru limita �1 a fun t�iei f �n pun tul ~x0 2 D0urm�atoarea ara terizare (de�nit�ia analiti �a).De�nit�ia 4.1.12. Fun t�ia f : D � IRp ! IR are limita �1 �n pun tul~x0 2 D0 da �a8M 2 IR 9 ÆM > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D; 0 < k~x� ~x0kp < ÆM are lo f(x) < M .Not�am lim~x!~x0 f(~x) = �1 sau f(~x)! �1, pentru ~x! ~x0.F�ar�a a restrange generalitatea putem lua �n De�nit�ia 4.1.12,M < 0. Tre an-du-l pe M �n �M obt�inem urm�atoarea de�nit�ie e hivalent�a u De�nit�ia 4.1.12.De�nit�ia 4.1.13. Fun t�ia f : D � IRp ! IR are limita �1 �n pun tul~x0 2 D0 da �a8M > 0 9 ÆM > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D, 0 < k~x� ~x0kp < ÆM are lo f(x) < �M .2Æ. Pentru p = 1 avem o fun t�ie ve torial�a de o singur�a variabil�a real�a

164 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor~f : D � IR ! IRq. Putem onsidera limx!1 ~f(x) = ~l sau limx!�1 ~f(x) = ~l, (+1,respe tiv �1 pun t de a umulare pentru D). Obt�inem astfel urm�atoarele ara -teriz�ari analiti e.De�nit�ia 4.1.14. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRq are limita ~l 2 IRq pentrux!1 (1 este pun t de a umulare pentru D) da �a8 " > 0 9M 2 IR astfel �n at 8 x 2 D; x > M are lo k~f(x)�~lkq < ",(putem lua mai sus M > 0).De�nit�ia 4.1.15. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRq are limita ~l 2 IRq pentrux! �1 (�1 este pun t de a umulare pentru D) da �a8 " > 0 9M 2 IR astfel �n at 8 x 2 D; x < M are lo k~f(x)�~lkq < ", 8 " > 0 9M > 0 astfel �n at 8 x 2 D; x < �M are lo k~f(x)�~lkq < ".3Æ. Pentru p = q = 1 avem o fun t�ie real�a de o singur�a variabil�a real�af : D � IR! IR. Pentru limita1 sau �1 �si pentru x0 =1 sau �1 (pun t dea umulare pentru D) obt�inem urm�atoarele ara teriz�ari analiti e.De�nit�ia 4.1.16. Fun t�ia f : D � IR ! IR are limita +1 pentru x ! 1(1 pun t de a umulare pentru D) da �a8M 2 IR 9 h 2 IR astfel �n at 8 x 2 D; x > h are lo f(x) > M ,(putem lua mai sus M > 0; h > 0). Not�am limx!1 f(x) =1.De�nit�ia 4.1.17. Fun t�ia f : D � IR ! IR are limita �1 pentru x ! 1(1 pun t de a umulare pentru D) da �a8M 2 IR 9 h 2 IR astfel �n at 8 x 2 D; x > h are lo f(x) < M, 8M > 0 9 h > 0 astfel �n at 8 x 2 D; x > h are lo f(x) < �M .Not�am limx!1 f(x) = �1.De�nit�ia 4.1.18. Fun t�ia f : D � IR! IR are limita +1 pentru x! �1(�1 pun t de a umulare pentru D) da �a8M 2 IR 9 h 2 IR astfel �n at 8 x 2 D; x < h are lo f(x) > M, 8M > 0 9 h > 0 astfel �n at 8 x 2 D; x < �h are lo f(x) > M .Not�am limx!�1 f(x) =1.De�nit�ia 4.1.19. Fun t�ia f : D � IR! IR are limita �1 pentru x! �1(�1 pun t de a umulare pentru D) da �a

Limite de fun t�ii 1658M 2 IR 9 h 2 IR astfel �n at 8 x 2 D; x < h are lo f(x) < M, 8M > 0 9 h > 0 astfel �n at 8 x 2 D x < �h are lo f(x) < �M .Not�am limx!�1 f(x) = �1.4Æ. Pentru o fun t�ie ve torial�a de o variabil�a real�a ~f : D � IR! IRq (p = 1)putem introdu e not�iunea de limit�a lateral�a.De�nit�ia 4.1.20. O mult�ime Vd(x0) se nume�ste ve in�atate la dreapta pentrupun tul x0 2 IR da �a ea ont�ine un interval [x0; x0 + Æ), u Æ > 0.De�nit�ia 4.1.21. Pun tul x0 2 IR este pun t de a umulare la dreapta pentruD � IR da �a ori e ve in�atate la dreapta a pun tului x0 ont�ine elemente din D,diferite de x0. De i8Vd(x0); (Vd(x0) n fx0g) \D 6= ;.T� inand ont de De�nit�ia 4.1.20, De�nit�ia 4.1.21 este e hivalent�a uDe�nit�ia 4.1.22. Pun tul x0 2 IR se nume�ste pun t de a umulare la dreaptapentru D � IR da �a8 Æ > 0 9 xÆ 2 D u x0 < xÆ < x0 + Æ.In mod asem�an�ator se introdu ve in�atatea la stanga �si pun tul de a umularela stanga.De�nit�ia 4.1.23. O mult�ime Vs(x0) se nume�ste ve in�atate la stanga pentrupun tul x0 2 IR da �a ea ont�ine un interval (x0 � Æ; x0℄, u Æ > 0.De�nit�ia 4.1.24. Pun tul x0 2 IR este pun t de a umulare la stanga pentruD � IR da �a ori e ve in�atate la stanga a pun tului x0 ont�ine elemente din D,diferite de x0. De i8Vs(x0); (Vs(x0) n fx0g) \D 6= ;.Conform De�nit�iei 4.1.23, De�nit�ia 4.1.24 este e hivalent�a uDe�nit�ia 4.1.25. Pun tul x0 2 IR se nume�ste pun t de a umulare la stangapentru D � IR da �a8 Æ > 0 9 xÆ 2 D u x0 � Æ < xÆ < x0.Folosind un argument asem�an�ator u el din demonstrat�ia Teoremei 3.1.15obt�inemTeorema 4.1.3. Pun tul x0 2 IR este pun t de a umulare la stanga (dreapta)

166 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorpentru mult�imea D � IR da �a �si numai da �a 9 (xn)n2IN � D n fx0g u xn < x0(respe tiv xn > x0) onvergent la x0.Da �a x0 este pun t de a umulare la stanga sau la dreapta pentru D atun i eleste pun t de a umulare pentru D. Da �a x0 este pun t de a umulare, nu rezult�aneap�arat �a el este pun t de a umulare la stanga �si la dreapta, dar el este pun tde a umulare m�a ar �ntr-una din ele dou�a p�art�i.De�nit�ia limitei laterale la stanga sau la dreapta �ntr-un pun t este asem�a-n�atoare u de�nit�ia limitei �ntr-un pun t, numai �a �n lo de ve in�at�at�i vor apareve in�at�at�i laterale. S�i anume avemDe�nit�ia 4.1.26. Elementul ~l 2 IRq este limita fun t�iei ~f : D � IR ! IRqla dreapta �n x0 (x0 { pun t de a umulare la dreapta pentru D) da �a8V 2 V(~l) 9Vd(x0) astfel �n at 8 x 2 (Vd(x0)nfx0g)\D are lo ~f(x) 2 V .Not�am limx!x0x>x0 ~f(x) = ~l sau ~f(x0 + 0) = ~l. Considerand Vd(x0) = [x0; x0 + Æ);Æ > 0, De�nit�ia 4.1.26 este e hivalent�a uDe�nit�ia 4.1.27. Elementul ~l 2 IRq este limita fun t�iei ~f : D � IR ! IRqla dreapta �n x0 (x0 { pun t de a umulare la dreapta pentru D) da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 x 2 D; x0 < x < x0 + Æ are lo k~f(x)�~lkq < ".Pentru limita la stanga avemDe�nit�ia 4.1.28. Elementul ~l 2 IRq este limita fun t�iei ~f : D � IR ! IRqla stanga �n x0 (x0 { pun t de a umulare la stanga pentru D) da �a8V 2 V(~l) 9Vs(x0) astfel �n at 8 x 2 (Vs(x0)nfx0g)\D are lo ~f(x) 2 V .Not�am limx!x0x<x0 ~f(x) = ~l sau ~f(x0 � 0) = ~l. Considerand Vs(x0) = (x0 � Æ; x0℄;Æ > 0, De�nit�ia 4.1.28 este e hivalent�a uDe�nit�ia 4.1.29. Elementul ~l 2 IRq este limita fun t�iei ~f : D � IR ! IRqla stanga �n x0 (x0 { pun t de a umulare la stanga pentru D) da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 x 2 D; x0 � Æ < x < x0 are lo k~f(x)�~lkq < ".Cu o demonstrat�ie asem�an�atoare u a Teoremei 4.1.1 obt�inemTeorema 4.1.4. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRq are limita ~ls 2 IRq (~ld 2 IRq)la stanga (respe tiv la dreapta) �n pun tul x0 (x0 { pun t de a umulare la stanga

Limite de fun t�ii 167(respe tiv la dreapta) pentru mult�imea D) da �a �si numai da �a8 (xn)n2IN � D n fx0g; xn < x0 (respe tiv xn > x0); limn!1xn = x0 are lo limn!1 ~f(xn) = ~ls (respe tiv limn!1 ~f(xn) = ~ld).In teorema de mai sus, pentru limita la stanga se pot onsidera �siruri res- �atoare, onvergente la x0, iar pentru limita la dreapta se pot onsidera �sirurides res �atoare, onvergente la x0, (putem realiza a est lu ru prin s himbareaordinii termenilor �sirurilor).Teorema 4.1.5. Da �a x0 2 IR este pun t de a umulare �si la dreapta �si lastanga pentru mult�imea D atun i fun t�ia ~f : D � IR! IRq are limit�a �n x0 da �a�si numai da �a ~f are limit�a �si la stanga �si la dreapta �n x0 �si a estea sunt egale.Demonstrat�ie. Presupunem �a fun t�ia ~f are limita ~l 2 IRq �n pun tulx0 2 D (pun t de a umulare �si la stanga �si la dreapta). Conform De�nit�iei 4.1.10avem8" > 0 9Æ(") > 0 astfel �n at 8x 2 D; 0 < jx�x0j < Æ(") are lo k~f(x)�~lkq < ".Considerand pe rand pun tele x pentru are x < x0 �si x > x0 obt�inemDe�nit�iile 4.1.27 �si 4.1.29. In plus limx!x0x<x0 ~f(x) = limx!x0x>x0 ~f(x) = ~l.Re ipro , presupunem �a 9 limx!x0x<x0 ~f(x) = limx!x0x>x0 ~f(x) = ~l. Din De�nit�iile 4.1.27�si 4.1.29 avem8 " > 0 9 Æ1(") astfel �n at 8 x 2 D; x0 � Æ1 < x < x0 are lo k~f(x)�~lkq < ",8 " > 0 9 Æ2(") astfel �n at 8 x 2 D; x0 < x < x0 + Æ2 are lo k~f(x)�~lkq < ".Pentru " > 0 s�a lu�am Æ(") = minfÆ1("); Æ2(")g. Atun i8 x 2 D; 0 < jx� x0j < Æ(") are lo k~f(x)�~lkq < ",adi �a am obt�inut De�nit�ia 4.1.10. Rezult�a �a limx!x0 ~f(x) = ~l. Q.E.D.Din De�nit�iile 4.1.10, 4.1.27 �si 4.1.29 obt�inemTeorema 4.1.6. Da �a x0 este pun t de a umulare numai la dreapta pentrumult�imeaD (nu este pun t de a umulare la stanga) atun i fun t�ia ~f :D � IR!IRqare limit�a �n x0 da �a �si numai da �a are limit�a la dreapta �n x0.Da �a x0 este pun t de a umulare numai la stanga pentru mult�imea D (nueste pun t de a umulare la dreapta) atun i fun t�ia ~f : D � IR ! IRq are limit�a

168 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor�n x0 da �a �si numai da �a are limit�a la stanga �n x0.Observat�ia 4.1.5. Asem�an�ator, �n azul unei fun t�ii f : D � IR ! IR sede�nes limitele laterale in�nite (+1 sau �1) �ntr-un pun t x0 2 IR (pun t dea umulare la stanga sau la dreapta pentru D).1.4. Teoreme de ara terizare, propriet�at�i ale fun t�iilor ulimit�aRevenim la azul general al unei fun t�ii ~f : D � IRp ! IRq �si prezent�am oteorem�a de ara terizare a limitei unei fun t�ii.Teorema 4.1.7. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq (q > 1) are limita ~l 2 IRq�n pun tul ~x0 2 D0 da �a �si numai da �a toate ele q fun t�ii omponente u valorireale au limit�a �n ~x0, limitele lor �ind oordonatele lui ~l.Demonstrat�ie. Conform Teoremei 4.1.2 fun t�ia ~f = (f1; f2; : : : ; fq), undefj : D � IRp ! IR, j = 1; q, are limita ~l 2 IRq �n pun tul ~x0 2 D0 da �a �si numaida �a8(~xn)n2IN � Dnf~x0g u limn!1~xn = ~x0 are lo limn!1 ~f(~xn)=~l, (~l=(l1; l2; : : : ; lq)).Apli and Teorema 3.3.1 dedu em �a pentru ori e j = 1; q avem8(~xn)n2IN � D n f~x0g u limn!1~xn = ~x0 are lo limn!1 fj(~xn)= lj.Din Teorema 4.1.2 rezult�a �a fun t�iile omponente fj : D � IRp ! IR,j = 1; q au limit�a �n ~x0 2 D0 �si lim~x!~x0 fj(~x) = lj, 8 j = 1; q.Re ipro , da �a fun t�iile fj : D � IRp ! IR, j = 1; q au limit�a (lj; j = 1; q)�n pun tul ~x0 2 D0, se arat�a a mai sus, folosind Teorema 4.1.2 �si Teorema 3.3.1 �a fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq, ~f = (f1; f2; : : : ; fq) are limit�a �n x0, �si anume~l = (l1; l2; : : : ; lq). Q.E.D.Teorema 4.1.8. (Cau hy-Bolzano) Fie ~f : D � IRp ! IRq, ~x0 pun t dea umulare pentru D. Atun i fun t�ia ~f are limit�a �n ~x0 2 D0 da �a �si numai da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x0; ~x00 2 D; 0 < k~x0 � ~x0kp < Æ(");0 < k~x00 � ~x0kp < Æ(") are lo k~f(~x0)� ~f(~x00)kq < ": (4:1:12)Demonstrat�ie. Presupunem �a ~f are limit�a �n pun tul ~x0 2 D0. ConformDe�nit�iei 4.1.10 avem

Limite de fun t�ii 1698 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D; 0 < k~x� ~x0kp < Æ(") are lo k~f(~x)�~lkq < ".Atun i pentru " > 0 arbitrar, momentan �xat �si Æ("=2) not= Æ1(") de mai susrezult�a �a pentru ~x0; ~x00 2 D u 0 < k~x0 � ~x0kp < Æ1; 0 < k~x00 � ~x0kp < Æ1 avemk~f(~x0)�~lkq < "=2 �si k~f(~x00)�~lkq < "=2.De ik~f(~x0)� ~f(~x00)kq = k(~f(~x0)�~l)+(~l� ~f(~x00))kq � k~f(~x0)�~lkq+k~f(~x00)�~lkq << "=2 + "=2 = ",adi �a am obt�inut (4.1.12).S�a presupunem a um �a are lo ondit�ia (4.1.12). Fie (~xn)n2IN un �sir arbitrardin D n f~x0g, onvergent la ~x0 2 D0, adi �a8 " > 0 9n0(") 2 IN astfel �n at 8n � n0(") are lo k~xn � ~x0kp < ": (4:1:13)Pentru " > 0 arbitrar, momentan �xat, (4.1.12) ne d�a existent�a unui elementÆ(") > 0. Considerand " = Æ("), din (4.1.13) dedu em �a 9n0(Æ(")) not= n1(")astfel �n at 8n � n1(") avem k~xn � ~x0kp < Æ(").Atun i pentru ori e n; m � n1(") avem0 < k~xn � ~x0kp < Æ("); 0 < k~xm � ~x0kp < Æ(").Din (4.1.12) dedu em �a k~f(~xn)� ~f(~xm)kq < ".De i pentru 8 " > 0 9n1(") astfel �n at 8n; m � n1(") are lo k~f(~xn)� ~f(~xm)kq < ".Rezult�a �a �sirul (~f(~xn))n2IN este un �sir Cau hy �n spat�iul IRq. Conform Teore-mei 3.3.8 dedu em �a �sirul (~f(~xn))n2IN este onvergent, de i are limit�a �n IRq,( limn!1 ~f(~xn) = ~l).Vom ar�ata �n ontinuare �a ori are ar � �sirurile (~x0n), (~x00n) � D n f~x0g, u limn!1~x0n = ~x0, limn!1~x00n = ~x0, avem limn!1 ~f(~x0n) = limn!1 ~f(~x00n). Intr-adev�ar, s�a onsider�am �sirul ~x01; ~x001; ~x02; ~x002; : : : ; ~x0n; ~x00n; : : :, de pun te din D n f~x0g, are este onvergent la ~x0. Din ele de mai sus dedu em �a �sirul~f(~x01); ~f(~x001); ~f(~x02); ~f(~x002); : : : ; ~f(~x0n); ~f(~x00n); : : :este onvergent. Deoare e �sirurile (~f(~x0n))n �si (~f(~x00n))n sunt sub�siruri ale �siruluide mai sus, rezult�a �a ele sunt onvergente �si au a eea�si limit�a. Q.E.D.

170 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorDin Teorema 4.1.8 dedu em �a Teorema 4.1.2 poate � formulat�a �n spat�iulIRk �n mod e hivalent astfelTeorema 4.1.9. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq are limit�a �n pun tul ~x0 2 D0da �a �si numai da �a 8 (~xn)n � D n f~x0g u limn!1~xn = ~x0, �sirul valorilor (~f(~xn))nare limit�a �n IRq.In mod asem�an�ator Teorema 4.1.7 poate � reformulat�a e hivalent astfelTeorema 4.1.10. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq (q > 1) are limit�a �n pun tul~x0 2 D0 da �a �si numai da �a toate ele q fun t�ii omponente au limit�a �n ~x0.In mod ne esar limita lui ~f �n ~x0 este q-uplul format din limitele fun t�iilor omponente.Observat�ia 4.1.6. Teorema lui Cau hy-Bolzano poate � formulat�a �si �n azul general al unei fun t�ii f : D � (X; d1)! (Y; d2), x0 2 D0, unde (X; d1) estespat�iu metri , iar (Y; d2) este spat�iu metri omplet.Vom prezenta �n ontinuare ateva propriet�at�i ale fun t�iilor u limit�a.Teorema 4.1.11. a) Fie ~f1; ~f2 : D � IRp ! IRq, iar ~x0 2 D0. Da �a9 lim~x!~x0 ~f1(~x) = ~l1 �si 9 lim~x!~x0 ~f2(~x) = ~l2 atun i pentru ori e �; � 2 IR rezult�a �a9 lim~x!~x0(�~f1(~x) + �~f2(~x)) = �~l1 + �~l2.b) Fie ~f : D � IRp ! IRq, iar ' : D ! IR, ~x0 2 D0. Da �a 9 lim~x!~x0 ~f(~x) = ~l �si9 lim~x!~x0 '(~x) = a atun i 9 lim~x!~x0['(~x)~f(~x)℄ = a~l. ) Fie f1; f2 : D � IRp ! IR, iar ~x0 2 D0. Da �a 9 lim~x!~x0 f1(~x) = l1 �silim~x!~x0 f2(~x) = l2 atun i9 lim~x!~x0[f1(~x) � f2(~x)℄ = l1 � l2; (pentru l1; l2 2 IR pentru are are sens l1 � l2),9 lim~x!~x0 f1(~x)f2(~x) = l1l2 (pentru l1; l2 2 IR; l2 6= 0 �si l1l2 are sens),9 lim~x!~x0 f1(~x)f2(~x) = ll21 (l1 > 0 �si ll21 are sens).d) Fie f; F1; F2 : D ! IR, D � IRp; ~x0 2 D0. Da �aF1(~x) � f(~x) � F2(~x); 8 ~x 2 D; u k~x� ~x0kp < a (o ve in�atate a lui ~x0) �si9 lim~x!~x0 F1(~x) = lim~x!~x0 F2(~x) = l atun i 9 lim~x!~x0 f(~x) = l, ( riteriul le�stelui).e) Fie ~' : D � IRp ! E � IRq �si ~f : E � IRq ! IRr, ~x0 pun t de a umulare

Limite de fun t�ii 171pentru D �si �e ~y0 = lim~x!~x0 ~'(~x) pun t de a umulare pentru E, (~'(~x) 6= ~y0, pentru~x 6= ~x0). Da �a 9 lim~y!~y0 ~f(~y) = ~l atun i fun t�ia ~g : D � IRp ! IRr, ~g = ~f Æ ~',~g(~x) = (~f Æ ~')(~x) = ~f(~'(~x)) are limit�a �n ~x0 �si lim~x!~x0 ~g(~x) = ~l.f) Fie ~f : D � IRp ! IRq, ~x0 2 D0 �si lim~x!~x0 ~f(~x) 6= ~0. Atun i exist�a ove in�atate U a lui ~x0 astfel �n at ~f(~x) 6= ~0, ori are ar � ~x 6= ~x0 din U \D.g) Fie f : D � IRp ! IR, ~x0 2 D0 �si lim~x!~x0 f(~x) = l 6= 0. Atun i exist�a ove in�atate U a lui ~x0 astfel �n at f are a ela�si semn u l pe U \D n f~x0g.Demonstrat�ie. a) Fie (~xn)n2IN � D nf~x0g un �sir arbitrar, momentan �xat, u limn!1~xn = ~x0. Deoare e 9 lim~x!~x0 ~f1(~x) = ~l1 �si 9 lim~x!~x0 ~f2(~x) = ~l2, rezult�a onformTeoremei 4.1.2, �a limn!1 ~f1(~xn) = ~l1 �si limn!1 ~f2(~xn) = ~l2. Folosind propriet�at�ile�sirurilor dedu em �alimn!1(�~f1(~xn) + �~f2(~xn)) = �~l1 + �~l2.Apli and din nou Teorema 4.1.2 rezult�a �a 9 lim~x!~x0(�~f1(~x) + �~f2(~x)) = �~l1 + �~l2.In mod asem�an�ator se demonstreaz�a b){d).e) Fie (~xn)n2IN � D n f~x0g u limn!1~xn = ~x0. Atun i limn!1 ~'(~xn) = ~y0, iar din~'(~xn) 6= ~y0, (~xn 6= ~x0) �si lim~y!~y0 ~f(~y) = ~l rezult�a �a limn!1 ~f(~'(~xn)) = ~l.De i apli and Teorema 4.1.2 dedu em �a 9 lim~x!~x0 ~f(~'(~x)) = ~l.f) Da �a ~l = lim~x!~x0 ~f(~x) 6= ~0 atun i 9 i0 2 f1; 2; : : : ; qg astfel �n at li0 6= 0; s�apresupunem �a li0 > 0. De i pentru fun t�ia real�a fi0 : D � IRp ! IR are lo lim~x!~x0 fi0(~x) = li0 > 0. Da �a lu�am V = (0; �), � > li0 , onform De�nit�iei 4.1.6exist�a o ve in�atate U a pun tului ~x0 astfel �n at 8 ~x 2 (U n f~x0g) \D rezult�a �afi0(~x) 2 V , adi �a fi0(~x) > 0. De i fi0(~x) 6= 0, 8 ~x 2 (U n f~x0g) \ D, de undededu em �a ~f(~x) 6= ~0, 8 ~x 2 (U n f~x0g) \D.Pun tul g) rezult�a din demonstrat�ia lui f). Q.E.D.Exemplul 4.1.1. Fun t�ia real�a f : D � IR2 ! IR,f(x; y) = (x2 + y2) sin 1xy ; unde D = f(x; y) 2 IR2; x 6= 0 �si y 6= 0g,are limit�a �n pun tul (0; 0). Intr-adev�ar avem0 � �����(x2 + y2) sin 1xy ����� � x2 + y2; 8 (x; y) 2 D.

172 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorDeoare e lim(x;y)!(0;0)(x2 + y2) = 0, apli and riteriul le�stelui, dedu em �a exist�alim(x;y)!(0;0) f(x; y) = 0.Exemplul 4.1.2. Fun t�ia f : IR2 ! IR, de�nit�a prinf(x; y) = 8><>: xyx2 + y2 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0)nu are limit�a �n pun tul (0; 0).Vom ar�ata a est lu ru folosind Observat�ia 4.1.2 �si anume vom pune �n evident��adou�a �siruri �n spat�iul IR2, onvergente la (0; 0), pentru are �sirurile imaginilor prinfun t�ia f sunt onvergente la elemente diferite.Pentru �sirul (xn; yn) = �1n; 1n�! (0; 0) avemf �1n; 1n� = 1n21n2 + 1n2 = 12 ! 12 = l1; pentru n!1,iar pentru �sirul (x0n; y0n) = � 1n2 ; 1n�! (0; 0), avemf � 1n2 ; 1n� = 1n31n4 + 1n2 = nn2 + 1 ! 0 = l2; pentru n!1.Deoare e limitele de mai sus sunt diferite (l1 = 12 6= l2 = 0), rezult�a �a nu exist�alim(x;y)!(0;0) f(x; y).O alt�a metod�a pentru a demonstra �a 6 9 lim(x;y)!(0;0) f(x; y) este metoda dru-murilor (sau a pantelor), �si anume al ul�am limita fun t�iei f �n (0; 0) pe diversedrumuri. S�a onsider�am ai i drepte de e uat�ie y = mx; m 2 IR (vezi Fig.1) �sitindem la (0; 0) pe a este drepte. Atun ilimx!0 f(x;mx) = limx!0 mx2x2 +m2x2 = m1 +m2 .Fig. 1

0

x

y

Limite de fun t�ii 173Deoare e am obt�inut dependent��a de drum (de panta dreptei; pentru dreptediferite, u oe� ient�i unghiulari diferit�i, obt�inem limite diferite) rezult�a �a6 9 lim(x;y)!(0;0) f(x; y).In metoda drumurilor se pot folosi parabole de e uat�ie y = mx2 sau x = my2,hiperbole de e uat�ii xy = m, et .1.5. Limite iterateFie fun t�ia ve torial�a de p variabile reale ~f : D � IRp ! IRq �si fun t�iile salepart�iale de�nite astfel~f1 : x1 ! ~f(x1; x2; : : : ; xp),~f2 : x2 ! ~f(x1; x2; : : : ; xp),...~fp : xp ! ~f(x1; x2; : : : ; xp), are sunt fun t�ii ve toriale de o singur�a variabil�a real�a.S�a onsider�am urm�atoarele limite ale a estor fun t�iilimxi!ai ~fi(xi) = limxi!ai ~f(x1; x2; : : : ; xp); i = 1; p,�n azul �n are ai este pun t de a umulare al mult�imiiDi = fxi j xi 2 IR; ~x = (x1; : : : ; xp) 2 Dg.Limita fun t�iei ~fi este un element din IRq are depinde de elelalte p� 1 variabilereale, diferite de xi. Apoi se poate onsidera limitalimxj!aj limxi!ai ~f(x1; x2; : : : ; xp); i 6= j.A east�a limit�a depinde de elelalte p� 2 variabile diferite de xi �si xj. Da �ase onsider�a limitele dup�a toate variabilele xi; i = 1; p,limxi1!ai1 limxi2!ai2 � � � limxip!aip ~f(x1; x2; : : : ; xp); fi1; i2; : : : ; ipg=f1; 2; : : : ; pg; (4:1:14)se obt�ine un element din IRq are nu mai depinde de ni i una din variabile.De�nit�ia 4.1.30. Limita (4.1.14) se nume�ste limita iterat�a a fun t�iei ~f .Pentru fun t�ia ~f de p variabile reale exist�a p! limite iterate. De exemplupentru fun t�ia de dou�a variabile ~f(x; y) limitele iterate sunt~l12 = limx!x0 limy!y0 ~f(x; y) �si ~l21 = limy!y0 limx!x0 f(x; y).

174 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorA estea sunt limitele fun t�iei ~f and x �si y tind su esiv �atre x0, respe tiv y0.Leg�atura dintre limite �si limitele iterate este dat�a de urm�atoarea teorem�a.Teorema 4.1.12. Da �a exist�a limita fun t�iei �ntr-un pun t �si una din limi-tele iterate �n a est pun t, atun i a este limite sunt egale.Demonstrat�ie. Pentru a simpli� a s rierea, vom demonstra teorema pentruo fun t�ie de dou�a variabile ~f : D � IR2 ! IRq, (p = 2). Fie (x0; y0) 2 D0 �si s�apresupunem �a 9~l = lim(x;y)!(x0;y0) ~f(x; y) �si ~l12 = limx!x0 limy!y0 ~f(x; y). Vom ar�ata �a~l = ~l12.Pentru x2ProiOxD=D1, not�am u ~F (x)= limy!y0 ~f(x; y), de i ~l12= limx!x0 ~F (x).Fie " > 0 arbitrar, momentan �xat. Deoare e 9~l = lim(x;y)!(x0;y0) ~f(x; y) rezult�a �a (De�nit�ia 4.1.6) exist�a o ve in�atate U a pun tului (x0; y0) astfel �n at pentru8 (x; y) 2 (U n f(x0; y0)g) \D s�a avemk~f(x; y)�~lkq < ": (4:1:15)Deoare e pentru �e are x 2 D1 exist�a limy!y0 ~f(x; y) = ~F (x), atun ilimy!y0 k~f(x; y)�~lkq = k~F (x)�~lkq.Tre and la limit�a �n inegalitatea (4.1.15) dedu em din relat�ia de mai sus �apentru 8 x; x 6= x0 u (x; y0) 2 U \ D avem k~F (x) � ~lkq � ". Dedu em astfel,folosind Teorema 3.2.4, �alimx!x0 k~F (x)�~lkq = k limx!x0 ~F (x)�~lkq = k~l12 �~lkq � ":Deoare e " a fost ales arbitrar, rezult�a �a ~l = ~l12. Q.E.D.Observat�ia 4.1.7. a) Da �a exist�a dou�a limite iterate diferite, atun i fun t�ianu are limit�a �n pun tul respe tiv.b) Da �a exist�a numai una din ele trei limitelim(x;y)!(x0;y0) ~f(x; y), limx!x0 limy!y0 ~f(x; y); limy!y0 limx!x0 ~f(x; y)nu rezult�a �a �si elelalte dou�a limite exist�a. Este posibil a numai una sau numaidou�a din a este limite s�a existe.Exemplul 4.1.3. Pentru fun t�ia f : D � IR2 ! IR, D = IR2 n f(0; 0)g,f(x; y) = x2y2x2y2 + (x� y)2 ,

Limite de fun t�ii 175exist�a limitele iterate limx!0flimy!0 f(x; y)g = limy!0flimx!0 f(x; y)g = 0, dar nu exist�alim(x;y)!(0;0) f(x; y).Intr-adev�ar, avemlimx!0flimy!0 f(x; y)g = limx!0 0 = 0 �si limy!0flimx!0 f(x; y)g = limy!0 0 = 0.Vom ar�ata �a 6 9 lim(x;y)!(0;0) f(x; y) u ajutorul ara teriz�arii u �siruri (Obser-vat�ia 4.1.2). Pentru �sirul zn = � 1n ; 1n�! (0; 0), f(zn) = f( 1n ; 1n) = 1! 1 = l1, iarpentru �sirul ezn = � 1n2 ; 1n� ! (0; 0) avem f(ezn) = f( 1n2 ; 1n) = 11 + n2(1� n)2 !0 = l2. Deoare e l1 6= l2 rezult�a �a 6 9 lim(x;y)!(0;0) f(x; y).Exemplul 4.1.4. Pentru fun t�ia f : D � IR2 ! IR, undeD = f(x; y) 2 IR2; x 6= 0 �si y 6= 0g, f(x; y) = (x + y) sin 1x sin 1ynu exist�a limitele iterate limx!0flimy!0 f(x; y)g �si limy!0flimx!0 f(x; y)g, dar totu�si exist�alim(x;y)!(0;0) f(x; y).Intr-adev�ar, deoare e limy!0 sin 1y nu exist�a � pentru yn = 12n� , sin 1yn = 0! 0,iar y0n = 1�2 + 2n� , sin 1y0n = 1! 1� rezult�a �a6 9 limy!0 f(x; y) = limy!0(x+ y) sin 1x sin 1y = limy!0 x sin 1x sin 1y + y sin 1x sin 1y!,de i 6 9 limx!0flimy!0 f(x; y)g. In mod asem�an�ator se arat�a �a 6 9 limy!0flimx!0 f(x; y)g.Din inegalitatea0 � �����(x+ y) sin 1x sin 1y ����� � jx+ yj; 8 x; y 2 D,prin tre ere la limit�a pentru x! 0 �si y ! 0, obt�inem �a lim(x;y)!(0;0) f(x; y) = 0.1.6. Limit�a �n dire t�ia ~!. Limite part�ialeFie fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq, ~x0 = (x10; x20; : : : ; xp0), ~! = (!1; : : : ; !p) 22 IRp.De�nit�ia 4.1.31. Fun t�ia ~f are limit�a �n ~x0 �n dire t�ia ~! da �a fun t�iat! ~f(~x0 + t~!) 2 IRq; t 2 A = ft � 0 j ~x0 + t~! 2 Dg 6= ;

176 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorare limit�a �n t = 0 2 A0, adi �a exist�a ~l 2 IRq astfel �n atlimt!0t>0 ~f(~x0 + t~!) = limt!0t>0 ~f(x10 + t!1; x20 + t!2; : : : ; xp0 + t!p) = ~l: (4:1:16)In a est az ~l se nume�ste limita fun t�iei ~f �n dire t�ia ~!.Pentru ~! = ~ek (k 2 f1; : : : ; pg) limitalimt!0t>0 ~f(~x0 + t~ek) = limt!0t>0 ~f(x10; x20; : : : ; xk0 + t; : : : ; xp0)este limita �n pun tul ~x0 a fun t�iei ~f �n dire t�ia pozitiv�a a axei Oxk.De�nit�ia 4.1.32. Limita fun t�ieit! ~f(~x0 + t~ek), t 2 B = ft 2 IR j ~x0 + t~ek 2 Dg 6= ;�n pun tul t = 0 2 B0, (atun i and exist�a) se nume�ste limita part�ial�a �n pun tul~x0 a fun t�iei ~f �n raport u variabila xk, (k = 1; n).In mod e hivalent putem introdu e limita part�ial�a u de�nit�ia urm�atoare.De�nit�ia 4.1.33. Limita fun t�iei part�iale~fk : xk ! ~f(x10; x20; : : : ; xk�1;0; xk; xk+1;0; : : : ; xp0)de�nit�a pe mult�imea Dk = fxk j xk 2 IR; (x10; x20; : : : ; xk; : : : ; xp0) 2 Dg �n pun -tul xk0 2 D0k, (atun i and exist�a) se nume�ste limita part�ial�a �n pun tul ~x0 afun t�iei ~f �n raport u variabila xk.Observat�ia 4.1.8. Nu pentru ori e fun t�ie ~f se poate de�ni limita �ntr-unpun t dup�a o dire t�ie ~! sau limitele part�iale, deoare e mult�imea A, respe tiv Bde mai sus poate � ;, sau 0 62 A0, respe tiv 0 62 B0, sau nu exist�a limita (4.1.16),respe tiv limitele din De�nit�ia 4.1.32.Leg�atura dintre limita fun t�iei ~f �si limita dup�a o dire t�ie ~! este dat�a deteorema urm�atoare.Teorema 4.1.13. Da �a exist�a ~l = lim~x!~x0 ~f(~x), iar ~! este un ve tor din IRppentru are ~x0 este pun t de a umulare pentru mult�imeaE = D \ f~x0 + t~!; t � 0g 6= ;,atun i exist�a limita lui ~f �n ~x0 �n dire t�ia ~! �si este egal�a u ~l.Demonstrat�ie. Pentru ori e �sir (tn)n, tn ! 0 avem ~xn = ~x0 + tn~! ! ~x0,de i

Limite de fun t�ii 177limn!1 ~f(~xn) = limn!1 ~f(~x0 + tn~!) = ~l: Q.E.D.Asem�an�ator se poate formula �si demonstra urm�atoarea teorem�a.Teorema 4.1.14. Da �a exist�a ~l = lim~x!~x0 ~f(~x), unde ~x0 este pun t de a umu-lare pentru mult�imea F = D\f~x0+ t~ek; t 2 IRg 6= ;, atun i exist�a limita part�ial�aa fun t�iei ~f �n ~x0 �n raport u variabila xk �si este egal�a u ~l.Re ipro ele Teoremelor 4.1.13 �si 1.1.14 sunt false, dup�a um vom vedea dinexemplele urm�atoare.Exemplul 4.1.5. Fun t�ia f : IR2 n f(0; 0)g ! IR, f(x; y) = xyx2 + y2 arelimit�a �n pun tul (0; 0) �n ori e dire t�ie ~! = ( os�; sin�); � 2 [0; 2�). Intr-ade-v�arlimt!0t>0 f((0; 0) + t( os�; sin�)) = limt!0t>0 f(t os�; t sin�) = limt!0t>0 t2 sin� os�t2 os2 � + t2 sin2 � == sin� os�.In Exemplul 4.1.2 am v�azut �a 6 9 lim(x;y)!(0;0) f(x; y).Exemplul 4.1.6. Fun t�ia f : D � IR2 ! IR, f(x; y) = (x + y) sin 1x sin 1y ,unde D = f(x; y) 2 IR2; x 6= 0 �si y 6= 0g, are limita 0 �n pun tul (0; 0), dup�a umam v�azut �n Exemplul 4.1.4.Pentru a east�a fun t�ie nu putem de�ni (nu putem vorbi de) limitele part�ialeale fun t�iei f �n raport u variabila x sau variabila y, deoare eD \ f(t; 0); t 2 IRg = ;; D \ f(0; t); t 2 IRg = ;.Ins�a pentru fun t�ia g : IR2 ! IR, de�nit�a pring(x; y) = 8><>: (x + y) sin 1x sin 1y ; x 6= 0 �si y 6= 0;0; x = 0 sau y = 0;putem apli a hiar Teorema 4.1.14. Fun t�ia g are limit�a �n pun tul (0; 0), deoare elim(x;y)!(0;0)(x;y)2D g(x; y) = lim(x;y)!(0;0)(x;y)2D1 g(x; y) = lim(x;y)!(0;0)(x;y)2D2 g(x; y) = 0,unde D1 = f(x; y); y = 0g, iar D2 = f(x; y); x = 0; y 6= 0g, (IR2 = D[D1[D2).Limitele part�iale �n raport u variabilele x �si y sunt exa t ultimele dou�a limitede mai sus, adi �a limx!0 g(x; 0) = 0; limy!0 g(0; y) = 0.

178 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor2. Fun t�ii ontinue2.1. Cadrul general al spat�iilor metri eFie (X; d1) �si (Y; d2) dou�a spat�ii metri e �si f : D ! Y , unde D � X, iarx0 2 D.De�nit�ia 4.2.1. Fun t�ia f se nume�ste ontinu�a �n pun tul x0 2 D da �a8V 2 V(f(x0)) 9U 2 U(x0) astfel �n at 8 x 2 U\D are lo f(x) 2 V: (4:2:1)De�nit�ia 4.2.2. Fun t�ia f se nume�ste ontinu�a �n pun tul x0 2 D da �a arelo una din urm�atoarele dou�a situat�iia) x0 este pun t de a umulare pentru D �si exist�a limx!x0 f(x) = f(x0);b) x0 este pun t izolat pentru mult�imea D.Propozit�ia 4.2.1. De�nit�ia 4.2.1 este e hivalent�a u De�nit�ia 4.2.2.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a are lo De�nit�ia 4.2.1. Pun tul x0 2 Deste pun t izolat pentru D sau pun t de a umulare pentru D. Da �a x0 estepun t izolat atun i are lo b). Da �a x0 este pun t de a umulare pentru D, atun iDe�nit�ia 4.2.1 a�rm�a �a f are limit�a �n x0 �si limx!x0 f(x) = f(x0) (vezi De�nit�ia4.1.1), de i are lo a).Re ipro , �e De�nit�ia 4.2.2 �ndeplinit�a �si presupunem �a x0 este pun t izolatpentru D. Atun i exist�a o ve in�atate U 2 V(x0) astfel �n at U \ D = fx0g.Pentru ori e ve in�atate V 2 V(f(x0)) avem8 x 2 U \D ) f(x) = f(x0) 2 V .De i are lo De�nit�ia 4.2.1. Da �a x0 este pun t de a umulare pentru D, onformDe�nit�iei 4.1.1 �si t�inand seama �a f(x0) 2 V , rezult�a (4.2.1). Q.E.D.Considerand sistemele fundamentale de ve in�at�at�i { sferele des hise �n spat�iulX �si �n spat�iul Y obt�inem de�nit�iile urm�atoare, e hivalente u ele de mai sus.De�nit�ia 4.2.3. Fun t�ia f este ontinu�a �n pun tul x0 2 D da �a8SY (f(x0); ") 9SX(x0; Æ); Æ = Æ(") astfel �n at8 x 2 SX(x0; Æ) \D are lo f(x) 2 SY (f(x0); "): (4:2:2)

Fun t�ii ontinue 179De�nit�ia 4.2.4. Fun t�ia f este ontinu�a �n pun tul x0 2 D da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 x 2 D; d1(x; x0) < Æ(")are lo d2(f(x); f(x0)) < ": (4:2:3)Din De�nit�ia 4.2.2 �si Teorema 4.1.1 dedu em urm�atoarea teorem�a.Teorema 4.2.1. Fun t�ia f : D � X ! Y este ontinu�a �n x0 2 D da �a �sinumai da �a8 (xn)n2IN � D u limn!1xn = x0 are lo limn!1 f(xn) = f(x0): (4:2:4)Observat�ia 4.2.1. Continuitatea �si limita unei fun t�ii �ntr-un pun t suntpropriet�at�i lo ale, e depind de omportarea fun t�iei numai pe o anumit�a ve in�a-tate a a elui pun t.De�nit�ia 4.2.5. Fun t�ia f : D � X ! Y este ontinu�a pe mult�imea D da �aea este ontinu�a �n �e are pun t din D.2.2. Continuitatea fun t�iilor ve torialeFie D o mult�ime din spat�iul IRp �si ~f : D ! IRq o fun t�ie ve torial�a de pvariabile reale. De�nit�ia 4.2.4 din azul general al spat�iilor metri e se exprim�ae hivalent u ajutorul normelor din spat�iile IRp �si IRq astfelDe�nit�ia 4.2.6. (De�nit�ia analiti �a a ontinuit�at�ii fun t�iei ~f �n ~x0) Fun t�ia~f este ontinu�a �n ~x0 2 D da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D u k~x� ~x0kp < Æ(")are lo k~f(~x)� ~f(~x0)kq < "; (4:2:5)unde k�kp, k�kq sunt norme �n spat�iul IRp, respe tiv IRq, (~x0 = (x10; x20; : : : ; xp0)).De exemplu, da �a onsider�am �si ai i, a �si �n Se t�iunea 1, k~xkp = maxi=1;p jxij �sik~ykq = maxj=1;q jyjj atun i (4.2.5) se exprim�a astfel8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D; ~x = (x1; x2; : : : ; xp); u 0 < jxi � xi0j < Æ; 8 i = 1; p are lo jfj(~x)� fj(~x0)j < "; 8 j = 1; q:Din Teorema 4.2.1 �si Teorema 3.3.1 rezult�a teorema urm�atoare.

180 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorTeorema 4.2.2. Fun t�ia ve torial�a ~f : D � IRp ! IRq este ontinu�a �n~x0 2 D ( ontinu�a pe D) da �a �si numai da �a toate fun t�iile omponente f1; f2; : : : ;fq : D! IR sunt ontinue �n ~x0 (respe tiv ontinue pe D).Observat�ia 4.2.2. Teorema de mai sus redu e studiul ontinuit�at�ii fun t�iilorve toriale de mai multe variabile reale la a ela al ontinuit�at�ii omponentelor lorreale de mai multe variabile reale.Teorema 4.2.3. a) Da �a fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq este ontinu�a �n ~x0 2 D(sau pe D) atun i fun t�ia k~f(�)kq este ontinu�a �n ~x0 (respe tiv pe D).b) Da �a ~f : D � IRp ! IRq este ontinu�a �n ~x0 �si ~f(~x0) 6= ~0 atun i exist�a ove in�atate U a lui x0 astfel �n at fun t�ia este diferit�a de ~0 pe U \D. ) Da �a fun t�ia f : D � IRp ! IR este ontinu�a �n ~x0 �si f(~x0) 6= ~0 atun iexist�a o ve in�atate U a lui ~x0 astfel �n at fun t�ia are a ela�si semn u f(~x0) peU \D.d) Da �a fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq este ontinu�a �n ~x0 atun i exist�a ove in�atate U a lui ~x0 astfel �n at fun t�ia ~f este m�arginit�a pe U \D.e) Da �a pentru fun t�ia ~f : D n f~x0g � IRp ! IRq, ontinu�a, exist�a lim~x!~x0 ~f(~x)atun i ~f se poate prelungi prin ontinuitate �n pun tul ~x0, punand ~f(~x0) == lim~x!~x0 ~f(~x).Demonstrat�ie. a) Deoare e fun t�ia ~f este ontinu�a �n ~x0 2 D avem relat�ia(4.2.5). Din inegalitateajk~f(~x)k � k~f(~x0)kj � k~f(~x)� ~f(~x0)k,dedu em �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D u k~x� ~x0k < Æ(") are lo jk~f(~x)k � k~f(~x0)kj < ".De i fun t�ia k~f(�)k este ontinu�a �n ~x0.Asem�an�ator se arat�a �a da �a ~f este ontinu�a peD atun i k~f(�)k este ontinu�ape D.Propriet�at�ile b){ ) rezult�a din Teorema 4.1.11, f){g).d) Lu�am �n (4.2.5) " = 1. Atun i9 Æ0 > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D, k~x� ~x0kp < Æ0 are lo k~f(~x)� ~f(~x0)kq < 1,

Fun t�ii ontinue 181de unde rezult�ak~f(~x)kq � k~f(~x)� ~f(~x0)kq + k~f(~x0)kq < 1 + k~f(~x0)kq.De i exist�a U = Sp(~x0; Æ0) astfel �n at k~f(~x)kq �M; 8 ~x 2 U , undeM = 1 + k~f(~x0)kq.e) De�nim fun t�ia ~g : D � IRp ! IRq, prin~g(~x) = 8><>: ~f(~x); ~x 2 D n f~x0g;lim~x!~x0 ~f(~x); ~x = ~x0:Evident ~g este ontinu�a pe D. Q.E.D.Teorema 4.2.4. a) Fie fun t�iile ~f; ~g : D � IRp ! IRq ontinue �n ~x0( ontinue pe mult�imea D). Atun i pentru 8�; � 2 IR, fun t�ia �~f + �~g este ontinu�a �n ~x0 (respe tiv pe mult�imea D).b) Fie fun t�iile ~f; ~g : D � IRp ! IRq ontinue �n ~x0 ( ontinue pe mult�imeaD). Atun i fun t�ia < ~f;~g >: D � IRp ! IR, < ~f;~g > (~x) =< ~f(~x); ~g(~x) > este ontinu�a �n ~x0 (respe tiv pe D). ) Fie ~' : D � IRp ! IRq �si ~f : E � IRq ! IRr. Da �a fun t�ia ~' este ontinu�a �n ~x0, iar fun t�ia ~f este ontinu�a �n pun tul ~y0 = ~'(~x0), atun i fun t�ia~g : D � IRp ! IRr, ~g = ~f Æ ~', ~g(~x) = ~f(~'(~x)), ~x 2 D este ontinu�a �n ~x0.d) Da �a fun t�iile f1; f2 : E � IRp ! IR sunt ontinue �n ~x0 (sau pe mult�imeaD), iar operat�iile impli ate au sens, atun i fun t�iile f1 � f2, f1=f2, (f2 6= 0), f f21sunt ontinue �n ~x0 (respe tiv pe mult�imea D).Demonstrat�ie. Folosim teorema de ara terizare u �siruri (Teorema 4.2.1).a) Fie (~xn)n � D, limn!1~xn = ~x0, iar �; � 2 IR. Atun i limn!1 ~f(~xn) = ~f(~x0),limn!1~g(~xn) = ~g(~x0). Din propriet�at�ile �sirurilor din spat�iul IRk rezult�a �alimn!1(�~f(~xn) + �~g(~xn)) = �~f(~x0) + �~g(~x0).De i �~f +�~g este ontinu�a �n ~x0. Asem�an�ator rezult�a proprietatea �si pentrumult�imea D.b) Din proprietatea limn!1 < ~f(~xn); ~g(~xn) >=< ~f(~x0); ~g(~x0) > (Teorema3.2.8) dedu em pun tul b). ) Pentru (~xn)n � D, limn!1~xn = ~x0 avem ~yn = ~'(~xn) ! ~'(~x0) = ~y0, iar~f(~yn)! ~f(~y0). Rezult�a �a

182 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor~g(~xn) = ~f(~'(~xn))! ~f(~'(~x0)) = ~g(~x0); pentru n!1.Dedu em �a ~g este ontinu�a �n ~x0. Asem�an�ator rezult�a proprietatea pentrumult�imea D.Pun tul d) se demonstreaz�a �n mod asem�an�ator, folosind teorema de ara -terizare u �siruri. Q.E.D.2.3. Continuitatea part�ial�aFie fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq �si ~x0 = (x10; x20; : : : ; xp0) 2 D. S�a onsider�amfun t�ia part�ial�a, de o singur�a variabil�a real�a~fi : xi ! ~f(x10; x20; : : : ; xi�1;0; xi; xi+1;0; : : : ; xp0),de�nit�a pe mult�imeaDi = fxi j xi 2 IR; (x10; x20; : : : ; xi; : : : ; xp0) 2 Dg 6= ;.De�nit�ia 4.2.7. Da �a fun t�ia part�ial�a ~fi este ontinu�a �n pun tul xi0 2 Di,spunem �a fun t�ia ~f este ontinu�a (part�ial) �n raport u variabila xi �n pun tul~x0. Conform De�nit�iei 4.2.6 (pentru p = 1) fun t�ia ~f(x1; x2; : : : ; xn) este ontinu�apart�ial �n raport u variabila xi �n pun tul ~x0 2 D da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 xi 2 Di; jxi � xi0j < Æ(")are lo k~fi(xi)� ~fi(xi0)kq < " , k~f(x10; x20; : : : ; xi; : : : ; xp0)��~f(x10; x20; : : : ; xi0; : : : ; xp0)kq < ": (4:2:6)Observat�ia 4.2.3. Fun t�ia ~f este ontinu�a part�ial �n raport u variabilaxi �n pun tul ~x0 2 D (~fi ontinu�a �n xi0 2 Di) da �a este �ndeplinit�a una dintre ondit�iilea) xi0 este pun t izolat pentru Di;b) xi0 este pun t de a umulare pentru Di, fun t�ia ~f are limit�a part�ial�a �n ~x0�n raport u xi �si a easta este egal�a u ~f(~x0).Da �a fun t�ia ~f este ontinu�a �n pun tul ~x0, vom mai spune �a ~f este ontinu�a�n a est pun t �n raport u ansamblul variabilelor, pentru a fa e distin t�ie �ntrea east�a ontinuitate �si ontinuitatea part�ial�a �n raport u ate o variabil�a.

Fun t�ii ontinue 183Teorema 4.2.5. Da �a fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq este ontinu�a �ntr-unpun t ~x0 2 D (�n raport u ansamblul variabilelor) atun i ea este ontinu�a �na est pun t �n raport u �e are variabil�a.Demonstrat�ie. Deoare e ~f este ontinu�a �n ~x0 2 D avem relat�ia (4.2.5).Considerand k~xkp = pXi=1 jxij dedu em din (4.2.5) �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 D u jxi � xi0j < Æ("); i = 1; p;are lo k~f(~x)� ~f(~x0)kq < ".In parti ular, da �a jx1 � x10j < Æ(") �si x2 = x20; : : : ; xp = xp0 rezult�ak~f(x1; x20; : : : ; xp0)� ~f(x10; x20; : : : ; xp0)kq < ",adi �a are lo (4.2.6). De i ~f este ontinu�a �n raport u variabila x1 �n pun tul ~x0.In mod asem�an�ator se arat�a �a ~f este ontinu�a �si �n raport u elelalte vari-abile. Q.E.D.Observat�ia 4.2.4. Re ipro a Teoremei 4.2.5 este fals�a. S�a onsider�amfun t�ia f : IR2 ! IR; f(x; y) = 8><>: xyx2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0):Deoare e f(x; 0) = 0; 8 x 2 IR, atun i limita part�ial�a a lui f �n (0; 0) �nraport u variabila x este limx!0 f(x; 0) = 0 = f(0; 0), adi �a f este ontinu�a �norigine �n raport u variabila x.De asemenea f(0; y) = 0; 8 y 2 IR, �si limita part�ial�a a lui f �n (0; 0) �n raport u variabila y este limy!0 f(0; y) = 0 = f(0; 0), adi �a f este ontinu�a �n raport uvariabila y.Din Exemplul 4.1.2 �stim �a f nu este ontinu�a �n (0; 0).2.4. Continuitatea lateral�a a unei fun t�ii ve toriale de ovariabil�a real�aFie ~f : D � IR! IRq; iar x0 2 D.De�nit�ia 4.2.8. Spunem �a fun t�ia ~f este ontinu�a la dreapta (stanga) �nx0 2 D da �a x0 este pun t izolat la dreapta (respe tiv stanga) pentru D sau da �ax0 este pun t de a umulare la dreapta (stanga), exist�a limita la dreapta (stanga)

184 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor�n a el pun t �si este egal�a u valoarea fun t�iei �n x0.Teorema 4.2.6. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRq este ontinu�a �n x0 da �a �sinumai da �a ea este ontinu�a la stanga �si la dreapta �n a el pun t.Avem de�nit�ii e hivalente pentru De�nit�ia 4.2.8, date u ajutorul ve in�at�at�ilorsau u "; Æ("). Teorema de ara terizare u �siruri esteTeorema 4.2.7. Fun t�ia ~f : D � IR! IRq este ontinu�a la dreapta (stanga)�n x0 2 D da �a 8 (xn)n � D, xn � x0 (xn � x0) u limn!1xn = x0 are lo limn!1 ~f(xn) = ~f(x0):De�nit�ia 4.2.9. Da �a �ntr-un pun t x0 2 D, ~f : D � IR ! IRq nu este ontinu�a, vom spune �a x0 este pun t de dis ontinuitate.De�nit�ia 4.2.10. Un pun t x0 2 D de dis ontinuitate se nume�ste pun t dedis ontinuitate de spe ia I-a da �a exist�a limita la stanga �n x0, limx!x0x<x0 ~f(x) 2 IRq( and x0 este pun t de a umulare la stanga) �si exist�a limita la dreapta �n x0,limx!x0x>x0 ~f(x) 2 IRq, ( and x0 este pun t de a umulare la dreapta).De�nit�ia 4.2.11. Un pun t de dis ontinuitate are nu este pun t de dis- ontinuitate de spe ia I-a se nume�ste pun t de dis ontinuitate de spe ia a II-a.Exemplul 4.2.1. Pentru fun t�iaf : IR! IR; f(x) = sgn(x) = 8>>><>>>: 1; x > 0;0; x = 0;�1; x < 0;pun tul x = 0 este pun t de dis ontinuitate de spe ia I-a, deoare e9 limx!0x<0 f(x) = �1 �si 9 limx!0x>0 f(x) = 1.Exemplul 4.2.2. Pentru fun t�ia f : IR! IR, f(x) = 8<: 1x ; x 6= 0;0; x = 0;pun tul x = 0 este pun t de dis ontinuitate de spe ia a II-a, deoare elimx!0x<0 f(x) = �1 �si limx!0x>0 f(x) = +1.Exemplul 4.2.3. S�a onsider�am fun t�ia lui Diri hletf : IR! IR, f(x) = 8<: 1; x 2 Q;0; x 2 IR nQ:

Fun t�ii ontinue 185Toate pun tele din IR sunt pun te de dis ontinuitate de spe ia a II-a, deoare epentru 8 x0 2 IR, nu exist�a limx!x0 f(x).Pentru a ar�ata a est lu ru, �e x0 2 Q. Atun i f(x0) = 1, dar 6 9 limx!x0x<x0 f(x).Intr-adev�ar 9 (xn)n2IN � Q, xn < x0; 8n 2 IN , u limn!1xn = x0 �si f(xn) = 1! 1,pentru n ! 1. De asemenea 9 (yn)n2IN � IR n Q, yn < y0; 8n 2 IN , ulimn!1 yn = x0 �si f(yn) = 0! 0, pentru n!1. Analog se arat�a �a 6 9 limx!x0x>x0 f(x).In mod asem�an�ator se arat�a �a pentru 8 x0 2 IR nQ, 6 9 limx!x0x<x0 f(x) �si6 9 limx!x0x>x0 f(x).2.5. Fun t�ii ve toriale uniform ontinueFie fun t�ia ve torial�a ~f : D � IRp ! IRq.De�nit�ia 4.2.12. Fun t�ia ~f se nume�ste uniform ontinu�a pe o mult�imeA � D da �a8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x0; ~x00 2 A; k~x0 � ~x00kp < Æ(")are lo k~f(~x0)� ~f(~x00)kq < "; (4:2:7)(unde k � kp; k � kq sunt norme �n spat�iul IRp, respe tiv IRq).Observat�ia 4.2.5. Not�iunea de uniform�a ontinuitate este o not�iune global�a,de�nit�a pe �ntreaga mult�ime A.Teorema 4.2.8. O fun t�ie ~f uniform ontinu�a pe o mult�ime este �n modne esar ontinu�a pe a ea mult�ime, de i ontinu�a �n �e are pun t al mult�imii.Demonstrat�ie. Fie ~x0 2 A arbitrar, momentan �xat. In (4.2.7) lu�am~x00 = ~x0. Atun i obt�inem8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel �n at 8 ~x 2 A u k~x� ~x0kp < Æ(")are lo k~f(~x)� ~f(~x0)kq < ".Am obt�inut (4.2.5), de i ~f este ontinu�a �n ~x0. Deoare e ~x0 era arbitrar, rezult�a �a ~f este ontinu�a pe A. Q.E.D.Observat�ia 4.2.6. Re ipro a Teoremei 4.2.8 este fals�a, dup�a um se vededin exemplul urm�ator. Fie fun t�ia f : IR ! IR, f(x) = x2, ontinu�a pe IR.

186 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorA east�a fun t�ie nu este uniform ontinu�a pe IR. Vom demonstra a est lu ruar�atand �a9 "0 > 0 astfel �n at 8 Æ > 0 9 xÆ; yÆ 2 IR astfel �n at jxÆ � yÆj < Æ �sijf(xÆ)� f(yÆ)j � "0.Intr-adev�ar pentru "0 = 1 �si Æ > 0 arbitrar, momentan �xat, determin�amelementele xÆ �si yÆ (xÆ > �yÆ) din ondit�iile8<: jxÆ � yÆj = Æ=2jx2Æ � y2Æ j = 1 ) 8<: xÆ � yÆ = Æ=2xÆ + yÆ = 2=Æ;de unde rezult�a xÆ = Æ2 + 44Æ ; yÆ = 4� Æ24Æ .Teorema 4.2.9. O fun t�ie ve torial�a ~f : D � IRp ! IRq este uniform ontinu�a pe A � D da �a �si numai da �a toate omponentele sale f1; f2; : : : ;fq : D! IR sunt uniform ontinue pe A.Demonstrat�ie. Considerand �n De�nit�ia 4.2.12 (�n (4.2.7)) normele eu li-diene k � kp �si k � kq, teorema rezult�a din inegalit�at�ilejfj(~x0)� fj(~x00)j � k~f(~x0)� ~f(~x00)k � qXj=1 jfj(~x0)� fj(~x00)j.Intr-adev�ar, inegalitatea k~f(~x0) � ~f(~x00)k < " impli �a jfj(~x0) � fj(~x00)j < ",pentru �e are j = 1; q, iar inegalit�at�ile jfj(~x0) � fj(~x00)j < "q , pentru j = 1; q,impli �a k~f(~x0)� ~f(~x00)k < ". Q.E.D.Teorema de mai sus redu e studiul fun t�iilor ve toriale de mai multe variabilereale uniform ontinue la studiul ontinuit�at�ii uniforme a omponentelor lor reale.Teorema 4.2.10. Da �a fun t�ia ~f este uniform ontinu�a (�n raport u ansam-blul variabilelor) pe A � D, atun i ea este uniform ontinu�a �n raport u �e arevariabil�a.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a ~f este uniform ontinu�a pe A, de i8 " > 0 9 Æ(") > 0 8 ~x0; ~x00 2 A; k~x0 � ~x00k < Æ(") are lo k~f(~x0)� ~f(~x00)k < ",(~x0 = (x01; x02; : : : ; x0p), ~x00 = (x001; x002; : : : ; x00p)).Da �a lu�am x02 = x002 = a2; : : : ; x0p = x00p = ap atun ijx01 � x001j = k(x01; a2; : : : ; ap)� (x001; a2; : : : ; ap)k.De i da �a jx01 � x001j < ", atun i k~f(x01; a2; : : : ; ap) � ~f(x001; a2; : : : ; ap)k < ". De-

Fun t�ii ontinue 187du em �a ~f este uniform ontinu�a �n raport u variabila x1, atun i and se dau elorlalte variabile valorile (�xate) a2; a3; : : : ; ap.In mod asem�an�ator se arat�a �a ~f este uniform ontinu�a �si �n raport u ele-lalte variabile. Q.E.D.Observat�ia 4.2.7. Da �a f este uniform ontinu�a �n raport u �e are vari-abil�a, nu rezult�a �a ea este uniform ontinu�a. De exemplu fun t�iaf : D � IR2 ! IR; f(x; y) = 8><>: xyx2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0);unde D = f(x; y) 2 IR2; �1 � x � 1; �1 � y � 1g nu este ontinu�a �n origine,de i nu este uniform ontinu�a.Pentru y 2 [�1; 1℄, fun t�ia part�ial�a x ! f(x; y) de�nit�a pe intervalul om-pa t [�1; 1℄ este ontinu�a, de i uniform ontinu�a (vezi Teorema 4.2.12 de maijos). De asemenea pentru 8 x 2 [�1; 1℄, fun t�ia part�ial�a y ! f(x; y) de�nit�a pe[�1; 1℄ este ontinu�a, de i uniform ontinu�a.De�nit�ia 4.2.13. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq se nume�ste h�olderian�a deordin � 2 (0; 1℄ da �a 9K > 0 astfel �n atk~f(~x0)� ~f(~x00)kq � Kk~x0 � ~x00k�p ; 8 ~x0; ~x00 2 D: (4:2:8)De�nit�ia 4.2.14. Fun t�ia ~f : D � IRp ! IRq se nume�ste lips hitzian�a da �a9L > 0 astfel �n atk~f(~x0)� ~f(~x00)kq � Lk~x0 � ~x00kp; 8 ~x0; ~x00 2 D,(este o fun t�ie h�olderian�a de ordin � = 1).Teorema 4.2.11. Ori e fun t�ie h�olderian�a ~f : D � IRp ! IRq este uniform ontinu�a pe D.Demonstrat�ie. Fie " > 0 arbitrar, momentan �xat. Atun i exist�a Æ(") == � "K�1=� > 0 astfel �n at8 ~x0; ~x00 2 D u k~x0 � ~x00kp < Æ(") are lo k~f(~x0)� ~f(~x00)kq (4:2:8)� Kk~x0 � ~x00k�p < K �� "K�1=��� = K "K = ":De i ~f este uniform ontinu�a pe D. Q.E.D.

188 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorExemplul 4.2.4. Fun t�ia f : [0;1) ! IR, f(x) = px este h�olderian�a pe[0;1) u � = 1=2, de i este uniform ontinu�a pe [0;1). Ea veri� �a inegalitateajf(x)� f(y)j � jx� yj1=2 , jpx�pyj � jx� yj1=2; 8 x; y 2 [0;1).Intr-adev�ar avempx = q(x� y) + y � qjx� yj+ y � qjx� yj+py ) px�py �� qjx� yj = jx� yj1=2 �sipy = q(y � x) + x � qjy � xj+ x � qjy � xj+px ) py �px �� qjy � xj = jx� yj1=2:De i jpx�pyj � jx� yj1=2; 8 x; y 2 [0;1).Observat�ia 4.2.8. De�nit�ia 4.2.12 se poate reformula �si �n azul general alspat�iilor metri e. O apli at�ie f : D � (X; d1)! (Y; d2) este uniform ontinu�a peA � D da �a8" > 0 9Æ(") > 0 astfel �n at 8x0; x00 2 A u d1(x0; x00) < Æ(") are lo d2(f(x0); f(x00)) < ".Teorema 4.2.8 r�amane adev�arat�a �n spat�ii metri e.Folosind De�nit�ia 4.2.12 rezult�a urm�atoarea propozit�ie.Propozit�ia 4.2.2. Fie ~f; ~g : D � IRp ! IRq uniform ontinue pe D. Atun ipentru 8�; � 2 IR, fun t�ia �~f + �~g este uniform ontinu�a pe D.Observat�ia 4.2.9. Da �a fun t�iile reale f; g : D � IRp ! IR sunt uniform ontinue pe D, nu rezult�a neap�arat �a f � g este uniform ontinu�a. De exemplufun t�iile f; g : IR ! IR, f(x) = x, g(x) = x sunt uniform ontinue pe IR (severi� �a (4.2.7)), dar f � g = x2 nu este uniform ontinu�a pe IR (vezi Observat�ia4.2.6). Da �a presupunem despre una din fun t�iile f; g �a este m�arginit�a, atun iuniforma ontinuitate se onserv�a �si la produs.2.6. Propriet�at�i ale fun t�iilor ontinue pe mult�imiTeorema 4.2.12. O fun t�ie ontinu�a ~f : D � IRp ! IRq transform�a omult�ime ompa t�a K � D �ntr-o mult�ime ~f(K) ompa t�a.Demonstrat�ie. Fie (~yn)n2IN un �sir de pun te din ~f(K). De i 8n 2 IN9 ~xn 2 K astfel �n at ~yn = ~f(~xn). Deoare e mult�imea K este ompa t�a, �sirul

Fun t�ii ontinue 189(~xn)n ont�ine un sub�sir onvergent (~xnk)k2IN u limk!1~xnk = ~x0 2 K. Din onti-nuitatea lui ~f (Teorema 4.2.1) rezult�a �a limk!1 ~f(xnk) = ~f(~x0). De i �sirul (~yn)n ont�ine sub�sirul (~ynk)k, ~ynk = ~f(~xnk), onvergent la ~f(~x0) 2 ~f(K). Dedu emastfel �a mult�imea ~f(K) este ompa t�a. Q.E.D.Pentru q = 1 obt�inem teorema lui Weierstrass. Mai pre is avemTeorema 4.2.13. (Weierstrass) Fun t�ia real�a ontinu�a f : K � IRp ! IR,unde K este o mult�ime ompa t�a, este m�arginit�a �si ��si atinge efe tiv marginile.Demonstrat�ie. Conform Teoremei 4.2.12, mult�imea f(K) este ompa t�a,de i m�arginit�a �si �n his�a. Fie M = sup~x2K f(~x) 2 IR, m = inf~x2K f(~x) 2 IR. Deoare ef(K) este �n his�a, rezult�a �a m; M 2 f(K), de i 9 ~xM ; ~xm 2 K astfel �n atf(~xM) =M; f(~xm) = m. Q.E.D.Teorema 4.2.14. (Cantor) O fun t�ie ~f : D � IRp ! IRq ontinu�a pemult�imea ompa t�a K � D este uniform ontinu�a pe K.Demonstrat�ie. Presupunem prin redu ere la absurd �a ~f nu este uniform ontinu�a pe mult�imea ompa t�a K, adi �a9"0 > 0 astfel �n at 8Æ > 0 9~x0Æ; ~x00Æ 2 K; k~x0Æ�~x00Æk < Æ �si k~f(~x0Æ)�~f(~x00Æ )k � "0;(lu r�am u normele eu lidiene din IRp �si IRq).Pentru Æ = 1n , 9 ~x0n; ~x00n 2 K u k~x0n � ~x00nk < 1n �si k~f(~x0n) � ~f(~x00n)k � "0.Deoare e K este ompa t�a, �sirul (~x0n)n2IN ont�ine un sub�sir (~x0nk)k2IN onvergentla un element ~x0 2 K. Din inegalitatea k~x0nk � ~x00nkk < 1nk ; 8 k 2 IN , dedu em �a �sirul (~x00nk)k este onvergent �si el la ~x0 2 K. Atun i fun t�ia ~f �ind ontinu�a,obt�inem limk!1 ~f(~x0nk) = ~f(~x0); limk!1 ~f(~x00nk) = ~f(~x0).Dar din ipoteza noastr�a avem �a k~f(~x0nk) � ~f(~x00nk)k � "0. Tre and la limit�aobt�inem 0 = k~f(~x0)� ~f(~x0)k � "0, eea e este absurd. De i presupunerea f�a ut�aeste fals�a. Rezult�a �a ~f este uniform ontinu�a pe mult�imea ompa t�a K. Q.E.D.De�nit�ia 4.2.15. O mult�ime A � IRk se nume�ste onex�a (prin ar e) da �a8 ~x1; ~x2 2 A exist�a un interval [t1; t2℄ � IR �si o fun t�ie ~' : [t1; t2℄ ! IRk uurm�atoarele propriet�at�ia) ~' este ontinu�a pe [t1; t2℄;

190 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorb) ~'(t1) = ~x1; ~'(t2) = ~x2; ) ~'(t) 2 A; 8 t 2 [t1; t2℄.De i mult�imea valorilor fun t�iei ~' al �atuie�ste un drum ontinuu �ntre pun tele~x1 �si ~x2. Geometri , o mult�ime este onex�a, da �a 8 ~x1; ~x2 2 A, ele pot � uniteprintr-un drum ontinuu ont�inut �n A (vezi Fig.2).De�nit�ia 4.2.15 poate � extins�a �si la o mult�ime A dintr-un spat�iu metri (X; d).Conexiunea prin ar e (De�nit�ia 4.2.15) impli �a onexiunea de�nit�a �n Capi-tolul 3 (De�nit�ia 3.1.36). Re ipro a nu este adev�arat�a �n spat�ii metri e, dar �nspat�iul IRk ele dou�a tipuri de onexiuni oin id.Fig. 2

A

t1 t2

x1

x2

Teorema 4.2.15. Imaginea printr-o fun t�ie ontinu�a ~f : D � IRp ! IRq aunei mult�imi onexe E � D este o mult�ime onex�a.Demonstrat�ie. Fie ~y1; ~y2 2 ~f(E). Atun i 9 ~x1; ~x2 2 E u ~f(~x1) = ~y1,~f(~x2) = ~y2. Deoare e E este onex�a, onform De�nit�iei 4.2.15 rezult�a �a 9 [t1; t2℄�si ~' : [t1; t2℄! IRp u propriet�at�ile a){ ).S�a onsider�am fun t�ia ~f Æ ~' : [t1; t2℄! IRq. A east�a fun t�ie are propriet�at�iledin De�nit�ia 4.2.15, adi �aa') ~f Æ ~' este ontinu�a, �ind ompunerea a dou�a fun t�ii ontinue;b') (~f Æ ~')(t1) = ~f(~'(t1)) = ~f(~x1) = ~y1; (~f Æ ~')(t2) = ~f(~'(t2)) = ~f(~x2) = ~y2; ') (~f Æ ~')(t) = ~f(~'(t)) 2 ~f(E); 8 t 2 [t1; t2℄.Dedu em astfel �a ~f(E) este onex�a. Q.E.D.

Fun t�ii ontinue 191Observat�ia 4.2.10. Teoremele 4.2.12, 4.2.14 �si 4.2.15 r�aman adev�arate �sipentru fun t�ii de�nite �n spat�ii metri e, f : D � (X; d1)! (Y; d2).2.7. Fun t�ii reale de o variabil�a real�aVom fa e �n ontinuare ateva pre iz�ari asupra fun t�iilor reale de�nite pe uninterval I � IR �si asupra fun t�iilor reale monotone de�nite pe o mult�ime D � IR.Teorema 4.2.16. (Teorema de interse t�ie a lui Cau hy) Fie fun t�ia ontinu�af : I ! IR, unde I este un interval din IR, iar a; b 2 I u a < b. Da �af(a) � f(b) < 0 atun i exist�a un element 2 (a; b) astfel �n at f( ) = 0.Demonstrat�ie. Conform propriet�at�ii ) din Teorema 4.2.3 (f este ontinu�a�n pun tul a), rezult�a �a exist�a un Æ > 0 astfel �n at f s�a aib�a a ela�si semn uf(a) pe o �ntreag�a ve in�atate la dreapta lui a, [a; a+Æ). S�a presupunem f(a) < 0,iar f(b) > 0. Atun i f(x) < 0; 8 x 2 [a; a+ Æ). Not�am u A mult�imea pun teloru 2 I pentru are f(x) < 0; 8 x 2 [a; u); de iA = fu 2 I j f(x) < 0; 8 x 2 [a; u)g.A east�a mult�ime A este nevid�a, deoare e a + Æ 2 A, iar ori e element almult�imii A este mai mi de at b. Rezult�a �a exist�a marginea superioar�a a lui A;�e = supA. Din Teorema 1.2.2 dedu em �a8 " > 0 9 u" 2 A astfel �n at u" > � ".Cum u" 2 A rezult�a �a f(x) < 0; 8 x 2 [a; u"). Deoare e � " 2 [a; u"), obt�inemf( � ") < 0. Din ontinuitatea lui f �n pun tul , dedu em �alim"!0 f( � ") = limx! x< f(x) = f( ) � 0.De i f( ) � 0, (vezi Fig.3). Presupunem �n ontinuare �a f( ) < 0. Din propri-etatea ) a Teoremei 4.2.3 rezult�a �a exist�a o ve in�atate V a pun tului pe aref are a ela�si semn u f( ), adi �a f( ) < 0; 8 x 2 V = [ � Æ1; + Æ1℄. Cum peintervalul [a; �Æ1) am ar�atat �a f(x) < 0, dedu em �a f(x) < 0; 8 x 2 [a; +Æ1℄.De i + Æ1 2 A, dar + Æ1 > = supA, eea e ontrazi e de�nit�ia lui . Rezult�a �a presupunerea f�a ut�a este fals�a. Atun i �n mod ne esar f( ) = 0; 2 (a; b).Q.E.D.De�nit�ia 4.2.16. Spunem �a fun t�ia f : I � IR ! IR are proprietatea lui

192 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorFig. 3

0

x

a c

- +

bc-e

a+d

y

)

u Ae

Darboux (sau este ontinu�a �n sens Darboux) da �a 8 a; b 2 I, a < b �si 8� 22 [f(a); f(b)℄ sau �2 [f(b); f(a)℄, exist�a un element 2 [a; b℄ astfel �n at f( )=�.Teorema 4.2.17. O fun t�ie f : I ! IR u proprietatea lui Darboux, areproprietatea �a f(I) este un interval.Demonstrat�ie. Din De�nit�ia 4.2.16 rezult�a �a f(I) are proprietatea �a odat�a u dou�a pun te ont�ine �si toate pun tele intermediare, eea e arat�a �a f(I)este interval. Q.E.D.Observat�ia 4.2.11. Re ipro a teoremei de mai sus nu este adev�arat�a, dup�a um arat�a urm�atorul exemplu. S�a onsider�am fun t�iaf : [0; 1℄! IR; f(x) = 8<: x; x 2 Q \ [0; 1℄;x3; x 2 (IR nQ) \ [0; 1℄:A east�a fun t�ie are proprietatea �a f([0; 1℄) este un interval, dar f nu are propri-etatea lui Darboux.Avem in luziunea evident�a f([0; 1℄) � [0; 1℄. Vom ar�ata �a avem hiar e-galitate de mult�imi, adi �a f([0; 1℄) = [0; 1℄. Intr-adev�ar, pentru 8� 2 [0; 1℄,exist�a x0 2 [0; 1℄ astfel �n at f(x0) = �. Da �a � 2 Q atun i putem lua x0 = ��si avem f(x0) = f(�) = �, iar da �a � 62 Q lu�am x0 = 3p� 62 Q pentru aref(x0) = f( 3p�) = �.Ins�a fun t�ia f nu are proprietatea lui Darboux. S�a onsider�am a = 12 �sib = 13p3 . Atun i pentru 8� 2 �f � 13p3� ; f �12�� = �13 ; 12� nu exist�a x0 2 �12 ; 13p3�astfel �n at f(x0) = �. Intr-adev�ar pentru � 2 �13 ; 12� avem8 x0 2 �12 ; 13p3� \Q; f(x0) = x0; iar �12 ; 13p3� \ �13 ; 12� = ;; de i f(x0) 6= � �si8 x0 2 �12 ; 13p3�\ (IR nQ); f(x0) = x30; iar �18 ; 13�\ �13 ; 12� = ;; de i f(x0) 6= �.Teorema 4.2.18. (Cau hy) O fun t�ie ontinu�a f : I � IR! IR are propri-

Fun t�ii ontinue 193etatea lui Darboux.Demonstrat�ie. Da �a f(a) = f(b) atun i pentru � = f(a), pun tul estea sau b. Da �a f(a) 6= f(b), iar � = f(a) atun i lu�am = a, iar da �a � = f(b)lu�am = b. S�a presupunem f(a) 6= f(b), mai pre is f(a) < f(b) (asem�an�atorse arat�a teorema da �a f(a) > f(b)) �si �e � 2 (f(a); f(b)). Introdu em fun t�iaajut�atoare ' : I ! IR, '(x) = � � f(x); 8 x 2 I. Atun i '(a) = � � f(a) > 0,iar '(b) = �� f(b) < 0. Apli and fun t�iei ontinue ' Teorema 4.2.16, dedu em �a 9 2 (a; b) astfel �n at '( ) = 0 , f( ) = �. Q.E.D.Observat�ia 4.2.12. Nu ori e fun t�ie f : I ! IR u proprietatea lui Darbouxeste ontinu�a. De exemplu s�a onsider�am fun t�iaf : [0; 1℄! IR; f(x) = 8><>: sin �x; x 2 (0; 1℄;1; x = 0:A east�a fun t�ie nu are limit�a �n x = 0, de i nu este ontinu�a �n pun tul x = 0.Totu�si fun t�ia are proprietatea lui Darboux. Intr-adev�ar, �e dou�a pun te a; b 22 [0; 1℄ u a<b. Da �a a 6= 0 rezult�a �a f are proprietatea lui Darboux pe [a; b℄,�ind ontinu�a ( ompunere de fun t�ii elementare). Da �a a = 0, iar b 2 (0; 1℄ avemf(0) = 1, f(b) = sin �b . Atun i pe intervalul Ik = � 24k + 3 ; 24k + 1�, f ia toatevalorile din intervalul [�1; 1℄. Pentru b > 0 intervalul [0; b℄ ont�ine o in�nitate deasemenea intervale Ik,� 24k + 3 ; 24k + 1� � [0; b℄.De i f ia de o in�nitate de ori valorile uprinse �ntre sin �6 �si 1.Conse int�a 4.2.1. Da �a f : I ! IR este o fun t�ie ontinu�a pe intervalul I,atun i f(I) este un interval.Teorema 4.2.19. Singurele mult�imi onexe ale lui IR sunt intervalele.Demonstrat�ie. Fie A � IR o mult�ime onex�a. S�a ar�at�am �a ea este uninterval. Not�am u m = inf A 2 IR �si M = supA 2 IR. Vom demonstra �amult�imea A, u ex ept�ia eventual a apetelor m �si M , oin ide u intervaluldeterminat de m �si M .Evident A � [m;M ℄. Avem m 2 A sau m 62 A; vom ar�ata �a (m;M) � A.Fie x un pun t arbitrar, m < x < M . Din teoremele de ara terizare ale lui m �si

194 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorM rezult�a �a 9 a1 2 A �si a2 2 A astfel �n atm < a1 < x < a2 < M .Deoare e A este onex�a, rezult�a �a pentru a1; a2 exist�a un interval [t1; t2℄ �si ofun t�ie ' : [t1; t2℄! IR u propriet�at�ilea) ' este ontinu�a pe t1; t2℄;b) '(t1) = a1, '(t2) = a2; ) '(t) 2 A; 8 t 2 [t1; t2℄.De i '(t1) = a1 < x < a2 = '(t2).Deoare e x este o valoare intermediar�a pentru ', onform Teoremei 4.2.18exist�a �t 2 [t1; t2℄ astfel �n at '(�t) = x. Conform pun tului ) de mai sus dedu em �a '(�t) = x 2 A.Elementul x �ind arbitrar, rezult�a �a (m;M) � A. De i(m;M) � A � [m;M ℄,de unde dedu em �a A este un interval.Re ipro , s�a ar�at�am �a intervalele sunt mult�imi onexe. Fie I un interval, iarx1; x2 2 I, u x1 < x2. Lu�am �n De�nit�ia 4.2.15 drept interval [t1; t2℄, intervalul[x1; x2℄, iar fun t�ia ' fun t�ia identi �a. De i exist�a fun t�ia ' : [x1; x2℄ ! [x1; x2℄(' = id) u propriet�at�ilea') ' este ontinu�a;b') '(t1) = x1; '(t2) = x2; ') '(t) = t 2 I; 8 t 2 [t1; t2℄.Dedu em astfel �a intervalul I este o mult�ime onex�a. Q.E.D.Teorema 4.2.20. O fun t�ie de�nit�a pe un interval, f : I ! IR u propri-etatea lui Darboux, nu poate avea dis ontinuit�at�i de spe ia �ntaia.Demonstrat�ie. Fie x0 2 I un pun t de dis ontinuitate pentru f . Pre-supunem prin redu ere la absurd �a x0 este de spe ia I-a, de i9 limx!x0x<x0 f(x) = ls 2 IR �si 9 limx!x0x>x0 f(x) = ld 2 IR,iar ls 6= f(x0) sau ld 6= f(x0).F�ar�a a restrange generalitatea problemei, presupunem �a ld 6= f(x0) (�n az ontrar tre em fun t�ia f �n ef(x) = f(�x) de�nit�a pe �I, pentru are �x0 este

Fun t�ii ontinue 195pun t de dis ontinuitate la stanga). S�i de asemenea presupunem �a f(x0) < ld(�n az ontrar folosim �f = �f). Fie � �si � astfel �n �tf(x0) < � < � < ld: (4:2:9)Pentru " = ld � � > 0, din De�nit�ia 4.1.27, rezult�a �a 9 Æ > 0 astfel �n atjf(x)� ldj < "; 8 x 2 (x0; x0 + Æ).De i �ld + � < f(x)� ld < ld � �; de unde dedu em �af(x) > �; 8 x 2 (x0; x0 + Æ): (4:2:10)In parti ular f(x0+ Æ2) > �. Din a east�a ultim�a inegalitate �si (4.2.9) dedu em �af(x0) < � < f(x0+ Æ2); de i � este valoare intermediar�a pentru f pe (x0; x0+ Æ2).Conform propriet�at�ii lui Darboux exist�a un pun t 2 (x0; x0 + Æ2) astfel �n atf( ) = �. Dar � < �, iar (4.2.10) pentru x = ne d�a � > �. Contradi t�ia la aream ajuns ne ondu e la on luzia �a presupunerea f�a ut�a este fals�a. De i fun t�iaf nu poate avea pun te de dis ontinuitate de spe ia I-a. Q.E.D.Observat�ia 4.2.13. Un pun t de dis ontinuitate pentru o fun t�ie f : I ! IR u proprietatea lui Darboux este �n mod ne esar de spe ia a doua.De�nit�ia 4.2.17. Fun t�ia f : D ! IR, D � IR se nume�ste res �atoare(stri t res �atoare) pe D, da �a pentru ori e dou�a pun te x1; x2 2 D, u x1 < x2rezult�a f(x1) � f(x2) (respe tiv f(x1) < f(x2)).Fun t�ia f : D! IR, D � IR se nume�ste des res �atoare (stri t des res �atoare)peD, da �a pentru ori e dou�a pun te x1; x2 2 D, u x1 < x2 rezult�a f(x1) � f(x2)(respe tiv f(x1) > f(x2)).O fun t�ie are veri� �a una dintre ondit�iile de mai sus se nume�ste fun t�iemonoton�a.Teorema 4.2.21. Fie fun t�ia monoton�a f : D ! IR. Da �a x0 estepun t de a umulare la dreapta (stanga) pentru D atun i exist�a limx!x0x>x0 f(x) (respe tivlimx!x0x<x0 f(x)) �nit�a sau nu.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a fun t�ia f este res �atoare pe D, iar x0este pun t de a umulare la dreapta pentru D. Fie mult�imea

196 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorA = ff(x) j x 2 D; x > x0g,iar m = inf A. Vom ar�ata �a m = limx!x0x>x0 f(x).Da �a m 2 IR atun i din teorema de ara terizare avema) m � f(x); 8 x 2 D; x > x0;b) 8 " > 0 9 x" 2 D, x" > x0 astfel �n at f(x") < m + ".Fie " > 0 arbitrar, momentan �xat. Intervalul [x0; x"), unde x" este elementuldin relat�ia b) de mai sus, reprezint�a o ve in�atate pentru pun tul x0. Pentrux 2 (x0; x") \D, din monotonia lui f dedu emm� " < m � f(x) � f(x") < m + ".De i jf(x)�mj < "; 8 x 2 ([x0; x") n fx0g) \D.Conform De�nit�iei 4.1.27 rezult�a �a f are limit�a la dreapta �n pun tul x0,egal�a u m, adi �a m = limx!x0x>x0 f(x).Da �a m = �1 dedu em �a8M 2 IR 9 xM > x0; xM 2 D u f(xM) < M .Pentru M 2 IR arbitrar, intervalul [x0; xM) este o ve in�atate la dreapta pentrux0, pentru are avem f(x) < M; 8 x 2 ([x0; xM) n fx0g) \D: Rezult�a �a exist�alimx!x0x>x0 f(x) = �1.Da �a x0 2 D (pun t de a umulare la dreapta) atun i m 2 IR �sif(x0) � limx!x0x>x0 f(x).Da �a x0 este pun t de a umulare la stanga atun i se arat�a a mai sus �alimx!x0x<x0 f(x) = sup ff(x) j x 2 D; x < x0g, �nit�a sau +1,iar pentru x0 2 D limita de mai sus apart�ine lui IR �si limx!x0x<x0 f(x) � f(x0).In mod asem�an�ator se arat�a teorema pentru azul unei fun t�ii des res �atoare.Q.E.D.Observat�ia 4.2.14. Din teorema pre edent�a rezult�a, �n azul unei fun t�ii res �atoare, u x0 pun t de a umulare bilateral pentru D, �a limitele la stanga�si la dreapta �n x0 sunt �nite �si limx!x0x<x0 f(x) � limx!x0x>x0 f(x). Da �a x0 2 D atun i

Fun t�ii ontinue 197limx!x0x<x0 f(x) � f(x0) � limx!x0x>x0 f(x). Asem�an�ator obt�inem on luzia orespunz�atoarepentru o fun t�ie des res �atoare.Teorema 4.2.22. O fun t�ie monoton�a f : D ! IR nu poate avea dis onti-nuit�at�i de spe ia a doua.Demonstrat�ie. Da �a x0 2 D este pun t izolat, atun i fun t�ia f este on-tinu�a prin de�nit�ie. Da �a x0 2 D este pun t de a umulare pentru D �si f nu este ontinu�a �n x0, din Teorema 4.2.21 �si Observat�ia 4.2.14 dedu em �a x0 este pun tde dis ontinuitate de spe ia �ntaia. Q.E.D.Din Teoremele 4.2.20 �si 4.2.22 rezult�aConse int�a 4.2.2. O fun t�ie f : I ! IR, (I interval) monoton�a �si uproprietatea lui Darboux este �n mod ne esar ontinu�a.Teorema 4.2.23. Da �a o fun t�ie f : I ! IR, (I interval) este monoton�a,iar mult�imea valorilor este un interval, atun i fun t�ia este ontinu�a pe I.Demonstrat�ie. Fie J = f(I), are onform ipotezei este un interval �si s�apresupunem �a f este res �atoare. Vom ar�ata �a f este ontinu�a pe I. Fie x0 2 I.Da �a x0 este pun t izolat atun i f este ontinu�a �n x0. S�a presupunem �a x0 2 Ieste pun t de a umulare la stanga. Conform Teoremei 4.2.21 rezult�a �a exist�als = limx!x0x<x0 f(x) � f(x0). Da �a ls < f(x0), atun i pentru x < x0 dedu em (dinDe�nit�ia 4.1.29) �a f(x) � ls. Pentru x > x0 rezult�a �a f(x0) � f(x). Dedu emastfel �a pe intervalul (ls; f(x0)) nu se a �a ni i o valoare a fun t�iei f , adi �a J nueste interval. Contradi t�ia la are am ajuns ne ondu e la on luzia �a ls = f(x0),adi �a f este ontinu�a la stanga �n x0. Asem�an�ator, da �a x0 2 I este pun t dea umulare la dreapta, se arat�a �a f este ontinu�a la dreapta �n x0. Q.E.D.Teorema 4.2.24. Mult�imea pun telor de dis ontinuitate ale unei fun t�iimonotone este el mult num�arabil�a.Demonstrat�ie. Fie fun t�ia f : D ! IR monoton res �atoare �si A mult�imeapun telor sale de dis ontinuitate. S�a presupunem �a A 6= ;. Fie x 2 A, are onform Teoremei 4.2.22 este pun t de dis ontinuitate de prima spe ie. De ils = limy!xy<x f(y) 6= f(x) sau ld = limy!xy>x f(y) 6= f(x) (pentru x pun t de a umulare la

198 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilorstanga, respe tiv pun t de a umulare la dreapta). S�a presupunem �a f(x) 6= ld,de i f(x) < ld. Fix�am un num�ar rat�ional r �ntre f(x) �si ld adi �a f(x) < r < ld,(vezi Fig.4). De�nim fun t�ia ' : A ! Q prin '(x) = r. (Da �a f(x) 6= ls(ls < f(x)) atun i ne alegem un pun t r �ntre ls �si f(x).)Fun t�ia ' este o inje t�ie. Intr-adev�ar pentru x1; x2 2 A, x1 < x2, avemf(x1 � 0) < r1 < f(x1 + 0) = inf ff(x) j x > x1; x 2 Dg �sisup ff(x) j x < x2; x 2 Dg = f(x2 � 0) < r2 < f(x2 + 0).De i f(x1 + 0) � f(x2 � 0), adi �a r1 < r2, de i '(x1) < '(x2). Dedu emastfel �a ' este stri t res �atoare. De ai i dedu em �a ' este inje tiv�a. Rezult�a �a A este izomorf�a u '(A) � Q. Cum mult�imea '(A) este o submult�ime a luiQ, de i �nit�a sau num�arabil�a, rezult�a �a A are a eea�si proprietate. Q.E.D.

Fig. 4

0

x

x

y

ld

r

f(x)

)

Exer it�ii �si probleme1. S�a se arate �a fun t�ia f : IR n f0g ! IR, f(x) = 1x os 1xa) este nem�arginit�a �n ori e ve in�atate a pun tului x = 0;b) nu tinde la 1 atun i and x! 0.2. S�a se determine marginile inferioar�a �si superioar�a ale fun t�iilora) f : (0;1)! IR; f(x) = 2x1 + x3 ; b) f : [��; �℄! IR; f(x) = sinx+ osx; ) f : (0;1)! IR; f(x) = x+ 1x .3. Folosind De�nit�ia 4.1.10 s�a se arate �a

Exer it�ii �si probleme 199a) limx!3x2 = 9; b) limx!�1 1(1 + x)2 =1; ) limx!1(3x2 + 2) =1.4. Fie fun t�ia f : IR! IR; f(x) = 8<: sin 1x ; da �a x 6= 0;a; da �a x = 0; (a 2 IR):S�a se arate �aa) In ori e ve in�atate a originii exist�a pun te unde f ia valorile 1 �si �1.b) Pentru ori e A 2 [�1; 1℄ exist�a un �sir de pun te (xn)n, u limn!1xn = 0 astfel�n at limn!1 f(xn) = A. ) Nu exist�a limx!0x<0 f(x) �si ni i limx!0x>0 f(x), pun tul x = 0 �ind de i pun t de dis onti-nuitate de spe ia a doua.d) Fun t�ia f are proprietatea lui Darboux da �a �si numai da �a a 2 [�1; 1℄,(vezi Observat�ia 4.2.12).5. S�a se determine pun tele de dis ontinuitate ale fun t�iilor f : IR ! IR de�niteprin a) f(x) = 8<: x; x 2 Q;5x; x 2 IR nQ; b) f(x) = 8<: x3; x 2 Q;0; x 2 IR nQ:6. S�a se arate �a fun t�ia f : IR! IR; f(x) = 8<: 0; x 2 IR nQ;1n ; x 2 Q; x = mn ; (m;n) = 1;nu este ontinu�a de at �n pun tele irat�ionale, ((m;n) este el mai mare divizor omunal numerelor m �si n).7. S�a se al uleze urm�atoarele limitea) limx!0 (p1 + x2 + x)n � (p1 + x2 � x)nx ; n 2 IN ;b) limx!�=4 tg 2x � tg ��4 � x� ; ) limx!0 2tg x� tg 2xx(1� os 3x) ;d) limx!0 mp1 + �x� np1 + �xx ; m; n 2 IN; �; � > 0;e) limx!1 �x� nq(x� a1)(x� a2) � � � (x� an)� ; n 2 IN; a1; a2; : : : ; an 2 IR;f) limx!1x��2 � ar sin xpx2 + 1�.8. S�a se demonstreze �a spat�iul liniar C([a; b℄) = ff j f : [a; b℄! IR; f ontinu�ag u apli at�ia f ! kfk0 = supx2[a;b℄ jf(x)j; f 2 C([a; b℄)este un spat�iu Bana h.

200 Limite de fun t�ii. Continuitatea fun t�iilor9. S�a se arate �a urm�atoarele fun t�ii sunt uniform ontinue pe domeniile dede�nit�ie indi atea) f : (0;1)! IR; f(x) = xx+ 1 + x; b) f : [�1; 1℄! IR; f(x) = x4� x2 ; ) f : (0; �)! IR; f(x) = sinxx ; d) f : [0; �℄! IR; f(x) = 8<: x sin 1x; x 6= 0;0; x = 0:10. S�a se arate �a fun t�ia f : (0; 1)! IR; f(x) = sin �x este ontinu�a �si m�arginit�ape (0; 1), dar nu este uniform ontinu�a �n a est interval.11. Folosind De�nit�ia 4.1.10 s�a se arate �aa) lim(x;y)!(0;1)(x3y) = 0; b) limx!1y!1 x+ yx� y = �1; ) lim(x;y)!(2;1) x2 � y2x2 + y2 = 35.12. S�a se determine urm�atoarele limitea) limx!1y!1 x2 + y2x4 + y4 ; b) limx!1y!a �1 + 1x� x2x+y ; a 2 IR; ) limx!1y!1� xyx2 + y2�y2 ;d) lim(x;y;z)!(0;0;0)(x2 + y2 + z2)(xy+yz+zx)2 ; e) lim(x;y)!(0;2) sin(xy)x .13. S�a se arate �a fun t�ia f : IR2 ! IR, de�nit�a prinf(x; y) = 8><>: xy2 + sin(x3 + y5)x2 + y4 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0);de�si are limite part�iale �n pun tul (0; 0), nu are limit�a �n (0; 0).14. S�a se studieze existent�a urm�atoarelor limite �si �n az �a exist�a s�a se al ulezel12 = limx!0� limy!0 f(x; y)� ; l21 = limy!0� limx!0 f(x; y)� ;l1 = limx!0 f(x; 0); l2 = limy!0 f(0; y); l = lim(x;y)!(0;0) f(x; y)pentru fun t�iilea) f : IR2 n f(0; 0)g ! IR; f(x; y) = x2 � y2x2 + y2 ;b) f : E ! IR; E = f(x; y) 2 IR2; x 6= 0g; f(x; y) = x+ y sin 1x ; ) f : E ! IR; E = f(x; y) 2 IR2; x 6= 0g; f(x; y) = y + 1 + x � os2 1x .15. Se d�a fun t�ia f : IR2 ! IR de�nit�a prinf(x; y) = 8>><>>: x�px2 � y + 2y2 � 4 ; da �a y � x2 + 2 �si y 6= 2;18 ; �n rest:S�a se er eteze existent�a limitei �si ontinuitatea fun t�iei f �n pun tul (1; 2).16. S�a se studieze ontinuitatea fun t�iei f : IR2 ! IR; de�nit�a prin

Exer it�ii �si probleme 201f(x; y) = 8><>: (x4 � y2)2x6 ; da �a y2 < x4 �si x 6= 0;0; da �a y2 � x4 sau x = 0:17. Fie fun t�ia f : IR2 ! IR; f(x; y) = 8><>: jxjy2 e� jxjy2 ; da �a y 6= 0;0; da �a y = 0:S�a se arate �a f nu este ontinu�a �n pun tul (0; 0).18. S�a se a e valoarea onstantei a astfel �n at fun t�ia f : D ! IR, undeD = n(x; y) 2 IR2; 0 � x2 + y2 < �2o,f(x; y) = 8><>: 1� ospx2 + y2tg (x2 + y2) ; da �a (x; y) 6= (0; 0);a; da �a (x; y) = (0; 0)s�a �e ontinu�a �n (0; 0).19. Fie fun t�ia ve torial�a ~f : D ! IR2, D = f(x; y) 2 IR2; x2 + y2 � 4g � IR2,de�nit�a prin ~f(x; y) = (f1(x; y); f2(x; y)); (x; y) 2 D, undef1(x; y) = 8><>: tg (xy)x ; da �a (x; y) 2 D; x 6= 0;1; da �a (x; y) 2 D; x = 0;f2(x; y) = 8>>><>>>: (1 + x2) 1x2+x3y ; da �a (x; y) 2 D; x 6= 0; xy 6= �1;e; da �a (x; y) 2 D; x = 0;0; da �a (x; y) 2 D; xy = �1:S�a se studieze existent�a limitei �si ontinuitatea fun t�iei ~f �n pun tul (0; 1).20. S�a se determine pun tele de dis ontinuitate ale urm�atoarelor fun t�iia) f : IR2 ! IR; f(x; y) = 8><>: 1px2 + y2 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0):b) f : IR2 ! IR; f(x; y) = 8<: xyx+ y ; da �a x+ y 6= 0;0; da �a x+ y = 0:21. S�a se arate �a fun t�ia f : IR2 ! IR, f(x; y) = sin(x+ y) este uniform ontinu�ape IR2.22. S�a se arate �a fun t�ia f : E ! IR; E = (0;1)�(0;1) � IR2, f(x; y) = 1x+ ynu este uniform ontinu�a pe mult�imea E.

Capitolul 5CALCULUL DIFERENT�IAL AL FUNCT�IILORDE O VARIABIL�A REAL�A1. Diferent�iala �si derivata unei fun t�ii �ntr-un pun t1.1. De�nit�ia diferent�ialei �si a derivateiS�a onsider�am fun t�ia ve torial�a de o variabil�a real�a ~f : D ! IRm, D � IR,~f = (f1; f2; : : : ; fm), (m 2 IN), iar x0 2 D un pun t de a umulare pentru D(x0 2 D \D0).De�nit�ia 5.1.1. Fun t�ia ~f este diferent�iabil�a �n pun tul x0 da �a exist�a~A = (A1; A2; : : : ; Am) 2 IRm �si fun t�ia ~� : D ! IRm, ~� = (�1; �2; : : : ; �m) upropriet�at�ile limx!x0 ~�(x) = ~�(x0) = ~0 astfel �n at~f(x) = ~f(x0) + ~A(x� x0) + ~�(x)(x� x0); 8 x 2 D: (5:1:1)De�nit�ia 5.1.2. Da �a ~f este diferent�iabil�a �n x0 atun i apli at�iad~f(x0) : IR! IRm; d ~f(x0)(h) = ~Ah; 8 h 2 IR; (5:1:2)se nume�ste diferent�iala fun t�iei ~f �n x0.Observat�ia 5.1.1. Da �a fun t�ia ~f este diferent�iabil�a �n x0 atun i ea este ontinu�a �n pun tul x0. Intr-adev�ar din (5.1.1) avem limx!x0 ~f(x) = ~f(x0).In azul unei fun t�ii reale de o variabil�a real�a f : D ! IR (m = 1) ux0 2 D \D0, De�nit�iile 5.1.1 �si 5.1.2 devinDe�nit�ia 5.1.3 Fun t�ia f : D ! IR este diferent�iabil�a �n x0 da �a exist�aA 2 IR �si fun t�ia � : D! IR u limx!x0 �(x) = �(x0) = 0 astfel �n atf(x) = f(x0) + A(x� x0) + �(x)(x� x0); 8 x 2 D: (5:1:3)

Diferent�iala �si derivata unei fun t�ii �ntr-un pun t 203De�nit�ia 5.1.4. Da �a fun t�ia f : D ! IR este diferent�iabil�a �n x0 atun iapli at�ia df(x0) : IR! IR; df(x0)(h) = Ah; 8 h 2 IR; (5:1:4)se nume�ste diferent�iala lui f �n x0.Din De�nit�iile 5.1.1 �si 5.1.3 rezult�aTeorema 5.1.1. Fun t�ia ~f : D ! IRm, ~f = (f1; f2; : : : ; fm) este diferent�iabil�a�n x0 2 D \D0 da �a �si numai da �a fun t�iile omponente f1; f2; : : : ; fm : D ! IRsunt diferent�iabile �n x0. In plus are lo relat�iad~f(x0)(h) = (df1(x0)(h); df2(x0)(h); : : : ; dfm(x0)(h)); 8 h 2 IRsau s ris�a a o egalitate de fun t�iid~f(x0) = (df1(x0); df2(x0); : : : ; dfm(x0)): (5:1:5)Pentru fun t�ia 1IR : IR! IR, 1IR(x) = x, relat�ia (5.1.3) are lo pentru A = 1�si fun t�ia �(x) = 0; 8 x 2 IR. Intr-adev�ar, pentru ori e x0 2 IR avemx = x0 + 1 � (x� x0) + 0 � (x� x0); 8 x 2 IR.De i diferent�iala fun t�iei 1IR �ntr-un pun t x0 2 IR este fun t�ia d1IR(x0) : IR! IR,d1IR(x0)(h) = h; 8 h 2 IR, adi �a este fun t�ia identi �a. Vom nota d1IR(x0)(= 1IR) u dx. Diferent�iala dx a fun t�iei identi e se nume�ste mai simplu diferent�iala luix. Uneori se �ntrebuint�eaz�a �si denumirea de diferent�iala variabilei independente,dar a east�a denumire este improprie, deoare e not�iunea de diferent�ial�a se refer�anumai la fun t�ii.Relat�ia (5.1.4) se poate s rie df(x0)(h) = Adx(h); 8 h 2 IRsau a o egalitate de fun t�ii df(x0) = Adx: (5:1:6)Asem�an�ator relat�ia (5.1.2) se poate s rie d~f(x0)(h) = ~A dx(h); 8 h 2 IR sau a o egalitate de fun t�ii d~f(x0) = ~A dx (5:1:7)De�nit�ia 5.1.5. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRm se nume�ste derivabil�a �n

204 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�ax0 2 D \D0 da �a fun t�iax! ~f(x)� ~f(x0)x� x0 ; x 2 D n fx0g (5:1:8), x! f1(x)� f1(x0)x� x0 ; f2(x)� f2(x0)x� x0 ; � � � ; fm(x)� fm(x0)x� x0 !are limit�a �n x0 �si a easta apart�ine lui IRm.De�nit�ia 5.1.6. Da �a fun t�ia ~f : D ! IRm este derivabil�a �n x0 atun ilimita de mai sus se nume�ste derivata fun t�iei ~f �n x0. Se noteaz�a ~f 0(x0) saud~fdx (~x0).De i ~f 0(x0) = limx!x0 ~f(x)� ~f(x0)x� x0 : (5:1:9)In azul unei fun t�ii reale de o variabil�a real�a f : D ! IR (m = 1) ux0 2 D \D0, De�nit�iile 5.1.5 �si 5.1.6 devinDe�nit�ia 5.1.7. Fun t�ia f : D � IR! IR se nume�ste derivabil�a �n x0 22 D \D0 da �a fun t�ia x! f(x)� f(x0)x� x0 ; x 2 D n fx0g (5:1:10)are limit�a �n x0 �si a easta apart�ine lui IR.De�nit�ia 5.1.8. Da �a fun t�ia f : D! IR este derivabil�a �n x0 atun i limitade mai sus se nume�ste derivata fun t�iei f �n x0. Se noteaz�a f 0(x0) sau dfdx(x0).De i f 0(x0) = limx!x0 f(x)� f(x0)x� x0 : (5:1:11)Da �a limita fun t�iei (5.1.10) �n pun tul x0 este in�nit�a (+1 sau �1), vomspune �a fun t�ia f are derivat�a �n x0 egal�a u +1, respe tiv �1 �si vom notaf 0(x0) =1 sau f 0(x0) = �1. Evident �a �n a est az fun t�ia f nu este derivabil�a�n pun tul x0. Vom fa e astfel distin t�ie �ntre expresia "fun t�ia f are derivat�a(�nit�a sau in�nit�a)" �si expresia "fun t�ia f este derivabil�a".Din De�nit�iile 5.1.5{5.1.8 rezult�a

Diferent�iala �si derivata unei fun t�ii �ntr-un pun t 205Teorema 5.1.2. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRm este derivabil�a �n x0 2 D \D0da �a �si numai da �a fun t�iile omponente f1; f2; : : : ; fm sunt derivabile �n x0. Ina est az avem ~f 0(x0) = (f 01(x0); f 02(x0); : : : ; f 0m(x0)).Observat�ia 5.1.2. In unele ursuri se introdu e derivata �si diferent�iala uneifun t�ii f �ntr-un pun t x0 2 ÆD� D \D0.Leg�atura dintre diferent�iabilitate �si derivabilitate este dat�a de teorema ur-m�atoare.Teorema 5.1.3. Fun t�ia ~f : D ! IRm este diferent�iabil�a �ntr-un pun tx0 2 D \D0 da �a �si numai da �a este derivabil�a �n x0. In plusd~f(x0)(h) = ~f 0(x0)h; 8 h 2 IR: (5:1:12)Demonstrat�ie. S�a presupunem mai �ntai �a fun t�ia ~f este diferent�iabil�a�n x0. In relat�ia (5.1.1) s�a onsider�am x 6= x0 �si s�a �mp�art�im relat�ia la x � x0.Obt�inem ~f(x)� ~f(x0)x� x0 = ~A+ ~�(x); 8 x 2 D n fx0g.Deoare e fun t�ia ~� este ontinu�a �n x0 dedu em �a exist�a limita membrului stangal relat�iei de mai sus, �si anumelimx!x0 ~f(x)� ~f(x0)x� x0 = ~A:Rezult�a �a ~f este derivabil�a �n x0 �si ~f 0(x0) = ~A.Re ipro , s�a presupunem �a ~f este derivabil�a �n x0; de i onform De�nit�iilor5.1.5 �si 5.1.6 rezult�a �a exist�a ~f 0(x0) = limx!x0 ~f(x)� ~f(x0)x� x0 . De�nim fun t�ia~� : D! IR prin~�(x) = 8>><>>: ~f(x)� ~f(x0)x� x0 � ~f 0(x0); pentru x 2 D n fx0g;0; pentru x = x0:Exist�a limita fun t�iei ~� �n x0 �si anume limx!x0 ~�(x) = 0 = ~�(x0). Apoi pentrux 6= x0 avem~�(x) = ~f(x)� ~f(x0)x� x0 � ~f 0(x0) , ~�(x)(x� x0) = ~f(x)� ~f(x0)� ~f 0(x0)(x� x0).De i

206 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�a~f(x) = ~f(x0) + ~f 0(x0)(x� x0) + ~�(x)(x� x0); 8 x 2 D n fx0g.Deoare e relat�ia de mai sus se veri� �a �si pentru x = x0 obt�inem relat�ia (5.1.1) u ~A = ~f 0(x0). De i d~f(x0)(h) = ~f 0(x0)h; 8 h 2 IR. Q.E.D.Da �a fun t�ia ~f : D ! IRm este diferent�iabil�a (e hivalent derivabil�a) �nx0 2 D \D0 atun i relat�iile (5.1.12) �si (5.1.7) ne ondu lad~f(x0) = ~f 0(x0) dx (5:1:13)sau d~f(x0) = (f 01(x0) dx; f 02(x0) dx; : : : ; f 0m(x0) dx).Pentru m = 1 din teorema de mai sus �si (5.1.6) avem df(x0) = f 0(x0) dx.1.2. Operat�ii u fun t�ii diferent�iabile (derivabile)Teorema 5.1.4. Fie fun t�iile ~f1; ~f2 : D! IRm diferent�iabile (, derivabile)�n x0 2 D \D0. Atun i pentru ori e a; b 2 IR fun t�ia a~f1+ b ~f2 este diferent�iabil�a�n x0. In plus d(a~f1 + b ~f2)(x0) = ad~f1(x0) + bd~f2(x0);(a~f1 + b ~f2)0(x0) = a~f 01(x0) + b ~f 02(x0): (5:1:14)Demonstrat�ie. Deoare e fun t�ia ~f1 este diferent�iabil�a �n x0 rezult�a �a exist�a~A 2 IRm �si fun t�ia ~� : D ! IRm u limx!x0 ~�(x) = ~�(x0) = ~0 astfel �n at~f1(x) = ~f1(x0) + ~A(x� x0) + ~�(x)(x� x0); 8 x 2 D.Asem�an�ator pentru ~f2 rezult�a �a exist�a ~B 2 IRm �si o fun t�ie ~� : D ! IRm ulimx!x0 ~�(x) = ~�(x0) = ~0 astfel �n at~f2(x) = ~f2(x0) + ~B(x� x0) + ~�(x)(x� x0); 8 x 2 D.Atun i pentru a; b 2 IR avema~f1(x) + b ~f2(x) = a~f1(x0) + b ~f2(x0) + (a ~A+ b ~B)(x� x0)++(a~�(x) + b~�(x))(x� x0); 8 x 2 D: (5:1:15)De i exist�a a ~A+ b ~B 2 IRm �si fun t�ia a~� + b~� : D! IRm ulimx!x0(a~�(x) + b~�(x)) = a~�(x0) + b~�(x0) = ~0;astfel �n at s�a aib�a lo relat�ia (5.1.15). Rezult�a onform De�nit�iei 5.1.1 �a fun t�iaa~f1 + b ~f2 este diferent�iabil�a �n x0. In plus au lo relat�iile (5.1.14). Q.E.D.

Diferent�iala �si derivata unei fun t�ii �ntr-un pun t 207Teorema 5.1.5. Fie fun t�iile f1; f2 : D ! IR diferent�iabile (, derivabile)�n x0 2 D \D0. Atun i fun t�iile f1f2, f1=f2 (pentru f2 6= 0) sunt diferent�iabile �nx0 �si d(f1f2)(x0) = f2(x0)df1(x0) + f1(x0)df2(x0),(f1f2)0(x0) = f 01(x0)f2(x0) + f1(x0)f 02(x0),d f1f2! (x0) = f2(x0)df1(x0)� f1(x0)df2(x0)f 22 (x0) , f1f2!0 (x0) = f 01(x0)f2(x0)� f1(x0)f 02(x0)f 22 (x0) .Demonstrat�ie. Vom lu ra u derivatele fun t�iilor f1 �si f2. AvemR(x) = f1(x)f2(x)� f1(x0)f2(x0)x� x0 == f1(x)f2(x)� f1(x0)f2(x) + f1(x0)f2(x)� f1(x0)f2(x0)x� x0 == f1(x)� f1(x0)x� x0 f2(x) + f1(x0)f2(x)� f2(x0)x� x0 .Prin ipotez�a avem �a9 limx!x0 f1(x)� f1(x0)x� x0 = f 01(x0) �si 9 limx!x0 f2(x)� f2(x0)x� x0 = f 02(x0).Dedu em astfel �a 9 limx!x0R(x) = f 01(x0)f2(x0)+f1(x0)f 02(x0). De ai i rezult�a �a d(f1f2)(x0) = (f 01(x0)f2(x0)+f1(x0)f 02(x0)) dx = f2(x0)df1(x0)+f1(x0)df2(x0).Pentru at avemeR(x) = f1(x)f2(x) � f1(x0)f2(x0)x� x0 = f1(x)f2(x0)� f2(x)f1(x0)(x� x0)f2(x)f2(x0) == 1f2(x)f2(x0) "f2(x0)f1(x)� f1(x0)x� x0 � f1(x0)f2(x)� f2(x0)x� x0 #.Prin tre ere la limit�a pentru x! x0 obt�inem �a f1f2!0 (x0) = f 01(x0)f2(x0)� f1(x0)f 02(x0)f 22 (x0) �si de id f1f2! (x0) = f2(x0)df1(x0)� f1(x0)df2(x0)f 22 (x0) : Q.E.D.In mod asem�an�ator se demonstreaz�aTeorema 5.1.6. Fie fun t�iile ~f; ~g : D ! IRm �si � : D ! IR diferent�iabile(derivabile) �n x0 2 D \D0. Atun i fun t�iile �~f : D ! IRm �si < ~f;~g >: D ! IRsunt diferent�iabile �n x0 �si

208 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�ad(�~f)(x0) = ~f(x0)d�(x0) + �(x0)d~f(x0),(�~f)0(x0) = �0(x0)~f(x0) + �(x0)~f 0(x0),d < ~f;~g > (x0) =< d~f(x0); ~g(x0) > + < ~f(x0); d~g(x0) >,< ~f;~g > (x0) =< ~f 0(x0); ~g(x0) > + < ~f(x0); ~g0(x0) >.Teorema 5.1.7. Fie ' : E � IR ! IR diferent�iabil�a �n x0 2 E \ E 0 �si~f : D � IR ! IRm, '(E) � D, diferent�iabil�a �n y0 = '(x0) 2 D \ D0. Atun ifun t�ia ~f Æ ' : E ! IRm este diferent�iabil�a �n x0 �sid(~f Æ ')(x0) = ~f 0(y0)d'(x0);(~f Æ ')0(x0) = ~f 0(y0)'0(x0).Demonstrat�ie. Deoare e fun t�ia ~f este diferent�iabil�a rezult�a �a 9 ~A 2 IRm�si ~� : D! IRm ontinu�a �n y0 = '(x0) u ~�(y0) = ~0 astfel �n at~f(y) = ~f(y0) + ~A(y � y0) + ~�(y)(y � y0); 8 y 2 D: (5:1:16)Pentru fun t�ia ', are este diferent�iabil�a �n x0 2 E \ E 0, exist�a B 2 IR �si ofun t�ie � : E ! IR ontinu�a �n x0 u �(x0) = 0 astfel �n at'(x) = '(x0) +B(x� x0) + �(x)(x� x0); 8 x 2 E: (5:1:17)Fie x arbitrar din E u '(x) 2 D. Luand �n (5.1.16) y = '(x) �si t�inand ontde (5.1.17) obt�inem~f('(x)) = ~f(y0) + ~A('(x)� y0) + ~�('(x))('(x)� y0) == ~f('(x0)) + ~A['(x0) +B(x� x0) + �(x)(x� x0)� y0℄ + ~�('(x))['(x0)++B(x� x0) + �(x)(x� x0)� y0℄ = ~f('(x0)) + ~AB(x� x0)++[ ~A�(x) + ~�('(x))B + ~�('(x))�(x)℄(x� x0).De i (~f Æ ')(x) = (~f Æ ')(x0) + ~AB(x� x0) + ~ (x)(x� x0),unde ~ (x) = ~A�(x) + ~�('(x))B + ~�('(x))�(x).Dedu em asfel �a fun t�ia ~f Æ ' este diferent�iabil�a �n x0 �sid(~f Æ ')(x0) = ~AB dx = ~f 0(y0)'0(x0) dx = ~f 0(y0)d'(x0),(~f Æ ')0(x0) = ~f 0(y0)'0(x0): Q.E.D.Teorema 5.1.8. Fie fun t�ia f : I ! IR de�nit�a pe intervalul I din IR, stri tmonoton�a pe I �si u proprietatea �a J = f(I) este interval. Da �a f este derivabil�a

Diferent�iala �si derivata unei fun t�ii �ntr-un pun t 209�ntr-un pun t x0 2 I �si da �a f 0(x0) 6= 0 atun i fun t�ia sa invers�a ' = f�1 estederivabil�a �n pun tul orespunz�ator y0 = f(x0) 2 J �si'0(y0) = 1f 0(x0) .Demonstrat�ie. Fun t�iile f �si f�1 sunt ontinue deoare e sunt monotone,iar mult�imea valorilor �e �areia este un interval. Din ipotez�a �stim �a exist�alimx!x0 f(x)� f(x0)x� x0 = f 0(x0) 6= 0.Conform Teoremei 4.1.1 dedu em �a pentru ori e �sir (xn)n � I, xn 6= x0, 8n 2 IN , u limn!1xn = x0 avemlimn!1 f(xn)� f(x0)xn � x0 = f 0(x0).S�a onsider�am a um raportul R(y) = '(y)� '(y0)y � y0 ; pentru y 6= y0.Vom ar�ata �a pentru ori e �sir (yn)n � J , yn 6= y0, u limn!1 yn = y0 are lo limy!y0 '(yn)� '(y0)yn � y0 = 1f 0(x0) .Pentru a easta, �e (yn)n � J = f(I) un astfel de �sir. Pentru �e are n 2 IN exist�axn 2 I asfel �n at yn = f(xn), de i xn = '(yn). Deoare e yn 6= y0, iar fun t�ia 'este stri t monoton�a, rezult�a �a '(yn) 6= '(y0), adi �a xn 6= x0.Din ontinuitatea fun t�iei ' �n y0 �si limn!1 yn = y0 avem limn!1'(yn) = '(y0),adi �a limn!1xn = x0. Am obt�inut astfel �sirul (xn)n � I, xn 6= x0, limn!1xn = x0,pentru are limn!1 f(xn)� f(x0)xn � x0 = f 0(x0) 6= 0.Dedu em atun i �alimn!1 '(yn)� '(y0)yn � y0 = limn!1 xn � x0f(xn)� f(x0) = 1f 0(x0) ,de unde rezult�a �a fun t�ia ' este derivabil�a �n pun tul y0 �si '0(y0) = 1f 0(x0) .Q.E.D.De�nit�ia 5.1.9. Fun t�ia ~f : D ! IRm se nume�ste diferent�iabil�a (derivabi-l�a) pe A � D da �a ea este diferent�iabil�a (respe tiv derivabil�a) �n �e are pun tx0 2 A.Teoremele 5.1.4{5.1.7 se pot reformula �si pentru fun t�ii de�nite �si derivabilepe o mult�ime A. Pentru o fun t�ie derivabil�a pe un interval I, Teorema 5.1.8 ne

210 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�a ondu e laConse int�a 5.1.1. Fie fun t�ia f : I ! IR, de�nit�a pe intervalul I � IR,stri t monoton�a pe I �si u proprietatea �a J = f(I) este interval. Da �a f estederivabil�a pe I �si f 0(x) 6= 0, 8 x 6= 0, atun i fun t�ia sa invers�a ' = f�1 estederivabil�a pe J �si pentru 8 y 2 J are lo '0(y) = 1f 0('(y)) :Exemplul 5.1.1. Pentru fun t�ia f : IR! IR, f(x) = ex avemf 0(x) = ex �si df(x) = ex dx; 8 x 2 IR,iar pentru fun t�ia ~f : (0;1)! IR2; ~f(x) = �1x; lnx� avem~f 0(x) = �� 1x2 ; 1x� �si d~f(x) = �� 1x2 ; 1x� dx = �� 1x2dx; 1xdx� ; 8 x 2 (0;1).1.3. Derivate lateraleDe�nit�ia 5.1.10. Fun t�ia ~f : D � IR ! IRm, ~f = (f1; f2; : : : ; fm) senume�ste derivabil�a la stanga (la dreapta) �n pun tul x0 2 D, x0 pun t de a umu-lare la stanga (respe tiv la dreapta) pentru mult�imea D, da �a fun t�ia (5.1.8) arelimit�a la stanga (respe tiv la dreapta) �n x0 �si a easta apart�ine lui IRm. In a est az limita fun t�iei (5.1.8) se nume�ste derivata la stanga (respe tiv la dreapta) afun t�iei ~f �n x0 �si se noteaz�a u ~f 0s(x0) (respe tiv ~f 0d(x0)).Observat�ia 5.1.3. O fun t�ie ~f derivabil�a la stanga (la dreapta) �n x0 este ontinu�a la stanga (respe tiv la dreapta) �n x0. De i o fun t�ie ~f derivabil�a lastanga �si la dreapta �n x0 este ontinu�a �n x0.Pentru o fun t�ie real�a f : D � IR! IR, da �a limita fun t�iei (5.1.10) la stanga�n pun tul x0 este in�nit�a (+1 sau �1) vom spune �a fun t�ia f are derivat�a lastanga in�nit�a �si vom nota f 0s(x0) = +1 sau f 0s(x0) = �1. Asem�an�ator da �alimita fun t�iei (5.1.10) la dreapta �n pun tul x0 este in�nit�a (+1 sau �1) vomspune �a fun t�ia f are derivat�a in�nit�a la dreapta lui x0 �si vom nota f 0d(x0) = +1sau f 0d(x0) = �1.Pentru o fun t�ie ve torial�a ~f : [a; b℄ ! IRm, de�nit�a pe intervalul om-pa t [a; b℄, de�nit�ia derivatei fun t�iei ~f �n pun tul a este e hivalent�a u de�nit�iaderivatei la dreapta �n pun tul a. Asem�an�ator, de�nit�ia derivatei fun t�iei ~f �n

Derivate �si diferent�iale de ordin superior 211pun tul b este e hivalent�a u de�nit�ia derivatei la stanga �n pun tul b.Teorema 5.1.9. O fun t�ie ~f : D ! IRm are derivat�a �ntr-un pun t x0 2 D,pun t de a umulare la stanga �si la dreapta pentru D da �a �si numai da �a ~f arederivate laterale egale �n x0. In a est az~f 0(x0) = ~f 0s(x0) = ~f 0d(x0).Teorema rezult�a din faptul �a fun t�ia (5.1.8) are limit�a pentru x! x0 da �a�si numai da �a fun t�ia (5.1.8) are limite laterale egale �n x0.Pentru m = 1 teorema de mai sus ont�ine �si azul �n are derivatele suntin�nite.Pentru azul general (m > 1) sau azul m = 1 and derivatele sunt �niteTeorema 5.1.9 se poate reformula astfelTeorema 5.1.10. Fun t�ia ~f : D ! IRm este derivabil�a �n x0 2 D (x0 pun tde a umulare la stanga �si la dreapta pentru D) da �a �si numai da �a este derivabil�ala stanga �si la dreapta �n x0 �si derivatele laterale sunt egale.Derivatele �si diferent�ialele fun t�iilor elementare sunt prezentate �n tabelul demai jos. 2. Derivate �si diferent�iale de ordin superiorVom onsidera mai �ntai azul unei fun t�ii reale f : D ! IR. Fie D1 6= ;mult�imea pun telor �n are f este diferent�iabil�a (, derivabil�a).De�nit�ia 5.2.1. Fun t�ia x ! f 0(x); x 2 D1 se nume�ste fun t�ia derivat�asau derivata fun t�iei f . Se noteaz�a u f 0.De�nit�ia 5.2.2. Fun t�ia f este de dou�a ori derivabil�a �n pun tul x0 22 D1 \D01 da �a fun t�ia f 0 este derivabil�a �n x0. In a est az (f 0)0(x0) not= f 00(x0)se nume�ste derivata a doua (sau de ordinul al doilea) a fun t�iei f �n x0.De�nit�ia 5.2.3. Da �a D2 este mult�imea pun telor �n are fun t�ia f este dedou�a ori derivabil�a atun i fun t�ia x! f 00(x); x 2 D2, notat�a u f 00, se nume�stederivata a doua a fun t�iei f .

212 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aTabel u fun t�iile elementare, derivatele �si diferent�ialele lorFun t�ia Derivata Diferent�ialay = y0 = 0 dy = 0y = x� (da �a � 2 IR; x > 0) y0 = �x��1 dy = �x��1 dxy = ax (a > 0) y0 = ax ln a dy = ax ln a dxy = logax y0 = 1x ln a dy = dxx ln a(a > 0; a 6= 1; x > 0)y = sin x y0 = os x dy = os x dxy = os x y0 = � sin x dy = � sinx dxy = tg x ( os x 6= 0) y0 = 1 os2 x dy = dx os2 xy = tg x (sinx 6= 0) y0 = � 1sin2 x dy = � dxsin2 xy = ar sin x; x 2 [�1; 1℄ y0 = 1p1� x2 ; x 2 (�1; 1) dy = dxp1� x2y = ar os x; x 2 [�1; 1℄ y0 = � 1p1� x2 ; x 2 (�1; 1) dy = � dxp1� x2y = ar tg x y0 = 11 + x2 dy = dx1 + x2y = ar tg x y0 = � 11 + x2 dy = � dx1 + x2y = ln (x +px2 + a) y0 = 1px2 + a dy = dxpx2 + a(x +px2 + a > 0)Prin re urent��a vom spune �a fun t�ia f este de n ori derivabi�a �n x0 da �af (n�1) este derivabil�a �n x0 �si f (n)(x0) = (f (n�1))0(x0) se nume�ste derivata a n-a(sau de ordinul n) a fun t�iei f �n x0.In mod asem�an�ator se introdu derivatele laterale de ordin superior alefun t�iei f �ntr-un pun t x0.S�a onsider�am fun t�ia de dou�a variabile(x; h)! df(x)(h) = f 0(x)h 2 IR; 8 (x; h) 2 D1 � IR.Fixand primul argument al fun t�iei de mai sus obt�inem diferent�iala lui f �ntr-un

Derivate �si diferent�iale de ordin superior 213pun t x 2 D1, iar da �a �x�am al doilea argument obt�inem fun t�ia' : x! df(x)(h) = f 0(x)h; x 2 D1; (5:2:1)numit�a fun t�ia diferent�ial�a a lui f orespunz�atoare re�sterii h a variabilei inde-pendente.De�nit�ia 5.2.4. Fun t�ia f se nume�ste de dou�a ori diferent�iabil�a �nx0 2 D1 \D01 da �a fun t�ia (5.2.1) este diferent�iabil�a �n x0, pentru ori e h 2 IR.Deoare e o fun t�ie este diferent�iabil�a da �a �si numai da �a ea este derivabil�a,dedu em �a fun t�ia (5.2.1) este diferent�iabil�a �n x0, pentru ori e h 2 IR da �a �sinumai da �a ea este derivabil�a �n x0, pentru ori e h 2 IR. De i f este de dou�aori diferent�iabil�a �n x0 da �a �si numai da �a ea este derivabil�a de dou�a ori �n a elpun t. Diferent�iala fun t�iei ' �n x0 este fun t�iad'(x0) : IR! IR; d'(x0)(k) = '0(x0)k = f 00(x0)hk.De i pentru �e are h 2 IR avem fun t�iaIR 3 k ! f 00(x0)hk.A east�a familie de fun t�ii se identi� �a u fun t�ia de dou�a variabile(h; k)! f 00(x0)hk; (h; k) 2 IR2.De�nit�ia 5.2.5. Da �a f este de dou�a ori diferent�iabil�a �n x0 2 D1 \ D01,fun t�ia notat�a d2f(x0) : IR2 ! IR de�nit�a prind2f(x0)(h; k) = f 00(x0)hk; (h; k) 2 IR2,se nume�ste diferent�iala de ordinul al doilea sau diferent�iala a doua a fun t�iei f �nx0. Prin re urent��a fun t�ia f este de n ori diferent�iabil�a �ntr-un pun t x0 da �aea este derivabil�a de n ori �n a el pun t. In a est az diferent�iala de ordinul n afun t�iei f �n x0 este fun t�ia notat�a dnf(x0) : IRn ! IR �si de�nit�a prindnf(x0)(h1; h2; : : : ; hn) = f (n)(x0)h1h2 � � �hn; (h1; h2; : : : ; hn) 2 IRn.In mod uzual pentru diferent�ialele de ordin superior (n � 2) se onsider�a nu-mai azul �n are variabilele sunt egale h1 = h2 = � � � = hn = h. De i diferent�ialade ordinul n poate � onsiderat�a o fun t�ie de o singur�a variabil�a real�adnf(x0) : IR! IR; dnf(x0)(h) = f (n)(x0)hn; h 2 IR.

214 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aDeoare e dx(h) = h; 8 h 2 IR (diferent�iala fun t�iei identi e pe IR) relat�ia de maisus se s rie a o egalitate de fun t�ii astfeldnf(x0) = f (n)(x0)(dx)nsau folosind notat�ia (dx)n = dxn avemdnf(x0) = f (n)(x0) dxn,relat�ie adev�arat�a �si pentru n = 1, de i pentru 8n 2 IN .Observat�ia 5.2.1. Din De�nit�ia 5.2.2 rezult�a �a da �a fun t�ia f este deri-vabil�a de dou�a ori �n x0 atun i f este derivabil�a el put�in �n pun tele unui �sir(xn)n � D, xn 6= x0, limn!1xn = x0, (bine�nt�eles derivabil�a �si �n x0). In azul uneifun t�ii f : I ! IR, unde I este un interval din IR (sau o reuniune de intervale)vom presupune pentru o fun t�ie f derivabil�a de dou�a ori �n x0 2 I �a ea estederivabil�a pe o �ntreag�a ve in�atate V a pun tului x0, mai pre is pe V \D, (adi �aderivata �ntaia f 0 exist�a pe V \ D). In general da �a f este derivabil�a de n ori�ntr-un pun t x0 2 I atun i derivata de ordinul n�1, a �si derivatele de ordinmai mi de at n � 1 exist�a nu numai �n x0, i pe o �ntreag�a ve in�atate a lui x0,interse tat�a u D.De�nit�ia 5.2.6. Fun t�ia f : D ! IR se nume�ste diferent�iabil�a (derivabil�a)de n ori pe A � D da �a ea este diferent�iabil�a (respe tiv derivabil�a) de n ori �nori e pun t x0 2 A.In mod asem�an�ator pentru fun t�ia ve torial�a ~f : D � IR! IRm,~f = (f1; f2; : : : ; fm) se de�ne�ste derivata de ordinul n (n � 2) �n pun tul x0~f (n)(x0) = (~f (n�1))0(x0) = (f (n)1 (x0); : : : ; f (n)m (x0))�si diferent�iala de ordinul n a fun t�iei ~f �n x0dn ~f(x0) = ~f (n)(x0) dxn = (f (n)1 (x0) dxn; f (n)2 (x0) dxn; : : : ; f (n)m (x0) dxn).Fun t�ia ~f este derivabil�a (diferent�iabil�a) de n ori �n x0 da �a �si numai da �atoate fun t�iile omponente fi; i = 1; m sunt derivabile (respe tiv diferent�iabile)de n ori �n x0.Fun t�ia ~f : D � IR ! IRm este derivabil�a de n ori pe A � D da �a ea estederivabil�a de n ori �n �e are pun t x0 2 A.Exemplul 5.2.1. Pentru fun t�ia f : IR! IR; f(x) = ex avem

Derivate �si diferent�iale de ordin superior 215f (n)(x) = ex; dnf(x) = ex dxn; 8n 2 IN; 8 x 2 IR.Pentru fun t�ia g : IR! IR; g(x) = sinx avemg(n)(x) = sin�x+ n�2 � ; dng(x) = sin�x+ n�2 � dxn; 8 x 2 IR; 8n 2 IN .Pentru fun t�ia h : IR! IR; h(x) = os x avemh(n)(x) = os�x+ n�2 � ; dnh(x) = os�x + n�2 � dxn; 8 x 2 IR; 8n 2 IN .Pentru fun t�ia ve torial�a ~f : (0;1)! IR; ~f(x) = �1x; lnx� avem~f (n)(x) = (�1)nn!xn+1 ; (�1)n+1(n� 1)!xn ! ; 8 x 2 (0;1); 8n 2 IN �sidn ~f(x) = (�1)nn!xn+1 dxn; (�1)n+1(n� 1)!xn dxn! ; 8 x 2 (0;1); 8n 2 IN .Formulele derivatelor de mai sus se demonstreaz�a prin indu t�ie matemati �a.Folosind rezultatele din Se t�iunea 1 �si indu t�ia matemati �a obt�inem urm�a-toarele teoreme.Teorema 5.2.1. Fie fun t�iile ~f1; ~f2 : D ! IRm. Da �a ~f1 �si ~f2 suntdiferent�iabile (, derivabile) de n ori �n x0 2 D, iar a; b 2 IR, atun i fun t�iaa~f1 + b ~f2 este diferent�iabil�a de n ori �n x0 �sidn(a~f1 + b ~f2)(x0) = adn ~f1(x0) + bdn ~f2(x0),(a~f1 + b ~f2)(n)(x0) = a~f (n)1 (x0) + b ~f (n)2 (x0).Teorema 5.2.2. Fie fun t�iile f1; f2 : D ! IR diferent�iabile (derivabile) den ori �n x0 2 D. Atun i fun t�iile f1f2, f1=f2 (pentru f2 6= 0) sunt diferent�iabilede n ori �n x0.Teorema 5.2.3. Fie fun t�iile ~f; ~g : D ! IRm �si � : D ! IR diferent�iabile(derivabile) de n ori �n x0. Atun i fun t�iile �~f : D ! IRm �si < ~f;~g >: D ! IRsunt diferent�iabile de n ori �n x0.Teorema 5.2.4. Fie ' : E ! IR diferent�iabil�a de n ori �n x0 �si ~f : D! IRmdiferent�iabil�a de n ori �n y0 = '(x0). Atun i fun t�ia ~f Æ ' : E ! IRm estediferent�iabil�a de n ori �n x0.Teorema 5.2.5. Fie f : I ! IR de�nit�a pe intervalul I � IR, o fun t�ie stri tmonoton�a u f(I) = J interval. Da �a f este derivabil�a de n ori �n x0 2 I �si da �af 0(x0) 6= 0 atun i fun t�ia invers�a ' = f�1 este derivabil�a de n ori �n pun tul

216 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�a orespunz�ator y0 = f(x0) 2 J .Propriet�at�ile de mai sus r�aman adev�arate �si �n azul fun t�iilor derivabile den ori pe o mult�ime.Pentru I interval din IR vom notaC(I) = ff : I ! IR j f ontinu�a pe Ig,C1(I) = ff : I ! IR j f derivabil�a pe I u derivata f 0 ontinu�a pe Ig,C2(I) = ff : I ! IR j f derivabil�a de dou�a ori pe I u f 00 ontinu�a pe Ig,...Cn(I) = ff : I ! IR j f derivabil�a de n ori pe I u f (n) ontinu�a pe Ig,...C1(I) = \n2INCn(I) { mult�imea fun t�iilor are admit derivate de ori e ordinpe I, ( ontinue pe I).O fun t�ie f 2 Cn(I), (C1(I)), se nume�ste fun t�ie de las�a Cn (respe tivC1) sau fun t�ie regulat�a de las�a Cn (respe tiv C1).Pentru o fun t�ie ve torial�a ~f : I ! IRm, vom spune �a este de las�a Ck (C1)pe I da �a fi 2 Ck(I); 8 i = 1; m (respe tiv fi 2 C1(I); 8 i = 1; m). Vom nota~f 2 Ck(I) (respe tiv ~f 2 C1(I)).3. Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ialFie fun t�ia f : D � IR! IR, iar x0 2 D.De�nit�ia 5.3.1. Pun tul x0 2 D se nume�ste pun t de maxim lo al (saurelativ) al fun t�iei f da �a exist�a o ve in�atate a pun tului x0, V (x0) astfel �n atf(x) � f(x0), 8 x 2 D \ V (x0).Pun tul x0 2 D se nume�ste pun t de minim lo al (sau relativ) al fun t�ieif da �a exist�a o ve in�atate a pun tului x0, V (x0) astfel �n at f(x) � f(x0),8 x 2 D \ V (x0).Un pun t x0 2 D de minim sau maxim lo al se nume�ste pun t de extremlo al (sau relativ).

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 217De�nit�ia 5.3.2. Da �a f(x) < f(x0); (f(x) > f(x0)), 8 x 2 D\V (x0)nfx0gatun i pun tul x0 se nume�ste pun t de maxim (respe tiv minim) lo al stri t.Da �a f(x) � f(x0), (f(x) � f(x0)), 8 x 2 D pun tul x0 se nume�ste pun t demaxim (respe tiv minim) absolut (sau global).Observat�ia 5.3.1. Ori e pun t de extrem absolut este pun t de extremrelativ. Re ipro a a estei a�rmat�ii este fals�a.Not�iunea de extrem relativ este o not�iune lo al�a; ea nu se s himb�a da �avalorile fun t�iei se s himb�a �n afara unei ve in�at�at�i a pun tului.Teorema 5.3.1. (Fermat) Da �a fun t�ia f : I ! IR, (I interval), estederivabil�a �ntr-un pun t de extrem x0 2 ÆI atun i derivata sa este nul�a �n a estpun t, f 0(x0) = 0.Demonstrat�ie. Presupunem �a x0 este pun t de maxim pentru fun t�ia f .Atun i exist�a o ve in�atate V a pun tului x0 astfel �n at f(x) � f(x0);8 x 2 V \ I. Din ipotez�a, fun t�ia f este derivabil�a �n pun tul x0, adi �a exist�af 0(x0) = limx!x0 f(x)� f(x0)x� x0 2 IR.Folosind Teorema 4.1.1 rezult�a �a 8 (xn)n � V \ I, xn 6= x0, limn!1xn = x0,avem limn!1 f(xn)� f(x0)xn � x0 = f 0(x0).Considerand un �sir (xn)n � V \ I, u limn!1xn = x0 �si xn > x0; 8n 2 IN , atun iobt�inem f(xn)� f(x0)xn � x0 � 0; de i f 0(x0) � 0.Pentru un �sir (xn)n � V \ I u limn!1xn = x0 �si xn < x0; 8n 2 IN , avemf(xn)� f(x0)xn � x0 � 0; de i f 0(x0) � 0.Din ele dou�a inegalit�at�i obt�inute, rezult�a �a f 0(x0) = 0.In mod asem�an�ator se arat�a �a da �a x0 este pun t de minim atun i f 0(x0) = 0.Q.E.D.De�nit�ia 5.3.3. Fie fun t�ia f : I ! IR de�nit�a �si derivabil�a pe intervalulI. Un pun t x0 2 I pentru are f 0(x0) = 0 se nume�ste pun t stat�ionar sau riti .Teorema 5.3.1 a�rm�a �a pun tele de extrem lo al ale unei fun t�ii f : I ! IR,

218 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�adin interiorul intervalului I, sunt pun te stat�ionare.Observat�ia 5.3.2. Re ipro a Teoremei lui Fermat este fals�a. Exist�a fun t�iiderivabile �ntr-un pun t interior domeniului de de�nit�ie, u derivata �n a el pun tegal�a u 0, dar pentru are pun tul respe tiv nu este pun t de extrem. De exemplufun t�ia f(x) = x3; x 2 IR, are �n pun tul x = 0 derivata f 0(0) = 0. Totu�si x = 0nu este pun t de extrem al a estei fun t�ii.Observat�ia 5.3.3. Fun t�ia f poate avea un extrem �ntr-un pun t x0, f�ar�a a ea s�a �e derivabil�a �n x0. De exemplu fun t�ia f(x) = jxj; x 2 IR, are unminim �n pun tul x = 0, dar nu are derivat�a �n a est pun t.Intr-un mod asem�an�ator se demonstreaz�a urm�atoarea teorem�a, generalizarea teoremei lui Fermat.Teorema 5.3.2. Da �a pentru fun t�ia f : I ! IR (I interval), x0 2 ÆI estepun t de extrem, iar f admite derivate laterale �n x0 atun if 0d(x0) � f 0s(x0) � 0,(de i 0 apart�ine intervalului determinat de f 0d(x0) �si f 0s(x0)).Teorema 5.3.3. (Darboux) Da �a f : I � IR ! IR este derivabil�a peintervalul I, atun i derivata sa f 0 are proprietatea lui Darboux pe a est interval.Demonstrat�ie. Fie a; b 2 I u a < b. Vom ar�ata �a pentru ori e � 22 [f 0(a); f 0(b)℄ sau �2 [f 0(b); f 0(a)℄ exist�a un element 2 [a; b℄ astfel �n at f 0( )=�.Da �a f 0(a) = f 0(b) atun i lu�am = a sau = b. S�a presupunem �n ontinuare �a f 0(a) 6= f 0(b), mai pre is f 0(a) < f 0(b). Fie � 2 (f 0(a); f 0(b)) �si s�a onsider�amfun t�ia ajut�atoare h : I ! IR, h(x) = f(x)� �x. Fun t�ia h este derivabil�a pe I,de i �n mod ne esar este ontinu�a. Conform Teoremei 4.2.13, apli at�a pentru hpe intervalul [a; b℄, rezult�a �a exist�a 2 [a; b℄ astfel �n at h( ) = infx2[a;b℄h(x).Din inegalitatea f 0(a) < � < f 0(b) dedu em �a f 0(a)�� < 0 �si f 0(b)�� > 0,de i h0(a) < 0 �si h0(b) > 0. Din Teorema 4.1.11, g) rezult�a, pentru h0(a) < 0, �aexist�a o ve in�atate V1 a lui a astfel �n ath(x)� h(a)x� a < 0; 8 x 2 V1 \ I n fag.In parti ular, pentru x 2 V1 \ (a; b℄ avem x > a �si din inegalitatea de mai susrezult�a h(x) < h(a). De i h ��si atinge marginea inferioar�a �ntr-un pun t diferit

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 219de a.Apoi din inegalitatea h0(b) > 0, dedu em �a exist�a o ve in�atate V2 a lui bastfel �n at h(x)� h(b)x� b > 0; 8 x 2 (V2 \ I) n fbg. In parti ular, pentru x 22V2\[a; b) avem x<b �si din inegalitatea de mai sus rezult�a h(x)<h(b). Dedu emastfel �a h ��si atinge marginea inferioar�a �ntr-un pun t diferit de b. Din ele demai sus rezult�a �a pun tul este �n interiorul intervalului [a; b℄, adi �a 2 (a; b).De i fun t�ia h are este derivabil�a pe I, de i �si �n (pun t de minim (absolut)al fun t�iei h pe [a; b℄), veri� �a ipotezele din Teorema 5.3.1. Rezult�a atun i �ah0( ) = 0, de i f 0( ) = �, eea e trebuia demonstrat.Da �a f 0(a) > f 0(b) demonstrat�ia este asem�an�atoare, u observat�ia �a selu reaz�a u , pun t de maxim pentru h sau se tre e f �n �f . Q.E.D.Conse int�a 5.3.1. Da �a derivata fun t�iei f : I ! IR, (I interval), are�ntr-un pun t a 2 I o valoare mai mi �a de at 0 �si �ntr-un pun t b 2 I o valoaremai mare de at 0, atun i ea se anuleaz�a el put�in �ntr-un pun t uprins �ntre a�si b.Conse int�a 5.3.2. Da �a derivata unei fun t�ii f de�nit�a pe un interval Inu se anuleaz�a �n ni i un pun t din I, atun i ea p�astreaz�a a ela�si semn pe totintervalul I (fun t�ia f este stri t monoton�a pe I).Conse int�a 5.3.3. Derivata unei fun t�ii f de�nit�a pe un interval I nu areni i un pun t de dis ontinuitate de prima spe ie.Teorema 5.3.4. (Rolle) Fie f : I ! IR, I interval, a; b dou�a pun te din I u a < b. Da �aa) fun t�ia f este ontinu�a pe intervalul �n his [a; b℄;b) fun t�ia f este derivabil�a pe intervalul des his (a; b); ) f(a) = f(b),atun i exist�a el put�in un pun t 2 (a; b) astfel �n at f 0( ) = 0.Demonstrat�ie. Deoare e fun t�ia f este ontinu�a pe intervalul ompa t[a; b℄, rezult�a, onform Teoremei 4.2.13, �a f ��si atinge marginile. De i exist�axm; xM 2 [a; b℄ astfel �n atf(xm) = infx2[a;b℄ f(x); f(xM) = supx2[a;b℄ f(x).

220 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aDa �a ambele pun te xm �si xM se a �a �n extremit�at�ile intervalului, adi �a xm = a,xM = b sau xm = b, xM = a, atun i din ipoteza ) rezult�a �a f(xm) = f(xM).Adi �a f este o fun t�ie onstant�a �si atun i f 0(x) = 0; 8 x 2 [a; b℄. Putem lua �na est az drept ori e pun t din (a; b).S�a presupunem a um �a unul dintre pun tele xm �si xM se a �a �n interiorulintervalului, de exemplu xm 2 (a; b). Atun i, din Teorema 5.3.1 dedu em �af 0(xm) = 0, de i putem lua drept pe xm. Q.E.D.Observat�ia 5.3.4. Da �a una din ele trei ondit�ii ale Teoremei 5.3.4 nu esteveri� at�a, atun i on luzia teoremei lui Rolle poate s�a nu mai �e adev�arat�a. Iat�a ateva exemple.a) Fun t�ia f : [0; 1℄! IR, f(x) = 8<: x2; x 2 [0; 1);0; x = 1;este dis ontinu�a �n pun tul x = 1, este derivabil�a pe intervalul des his (0; 1) (defapt este derivabil�a pe [0; 1)) �si veri� �a ondit�iile f(0) = f(1) = 0. Totu�si derivatasa nu se anuleaz�a �n ni i un pun t din (0; 1).b) Fun t�ia f : [�1; 1℄ ! IR; f(x) = jxj este ontinu�a pe [�1; 1℄, derivabil�ape (�1; 1) n f0g (de fapt este derivabil�a pe [�1; 1℄ n f0g) �si f(�1) = f(1) = 1.Mai pre is f 0(x) = 8<: �1; x 2 [�1; 0);1; x 2 (0; 1℄;de i derivata nu se anuleaz�a ni �aieri �n intervalul des his (�1; 1). ) Fun t�ia f : [0; 1℄! IR, f(x) = 2x+1 este ontinu�a pe [0; 1℄, derivabil�a pe[0; 1℄ u f 0(x) = 2; 8 x 2 [0; 1℄, dar f(0) = 1 6= 3 = f(1). Derivata lui f nu seanuleaz�a �n ni i un pun t.Teorema 5.3.5. (Cau hy) Fie f �si g dou�a fun t�ii de�nite pe un interval I�si a; b 2 I u a < b. Da �aa) f �si g sunt ontinue pe intervalul �n his [a; b℄;b) f �si g sunt derivabile pe intervalul des his (a; b); ) g0(x) 6= 0; 8 x 2 (a; b),

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 221atun i g(a) 6= g(b) �si exist�a un pun t 2 (a; b) astfel �n atf(b)� f(a)g(b)� g(a) = f 0( )g0( ) : (5:3:1)Demonstrat�ie. Da �a presupunem �a g(a) = g(b), atun i onform Teoremei5.3.4, rezult�a �a exist�a 2 (a; b) astfel �n at g0( ) = 0, eea e ontrazi e ipoteza ). De i g(a) 6= g(b). S�a onsider�am fun t�ia h(x) = f(x) � �g(x); x 2 [a; b℄.Vom alege � astfel �n at h s�a veri� e ondit�ia ) din Teorema 5.3.4, adi �ah(a) = h(b). Pentru a easta avemf(a)� �g(a) = f(b)� �g(b) ) � = f(b)� f(a)g(b)� g(a) .Deoare e fun t�ia h veri� �a toate ondit�iile din Teorema 5.3.4, rezult�a �a exist�a 2 (a; b) astfel �n ath0( ) = 0 , f 0( ) = �g0( ) sau f 0( )g0( ) = f(b)� f(a)g(b)� g(a) : Q.E.D.Teorema 5.3.6. (Lagrange) Fie fun t�ia f de�nit�a pe un interval I �si a; b 2 I u a < b. Da �aa) f este ontinu�a pe intervalul �n his [a; b℄;b) f este derivabil�a pe intervalul des his (a; b),atun i exist�a el put�in un pun t 2 (a; b) astfel �n atf(b)� f(a) = (b� a)f 0( ): (5:3:2)Teorema 5.3.6 rezult�a din Teorema 5.3.5 onsiderand g(x) = x.Observat�ia 5.3.5. Teorema 5.3.6 este unos ut�a �si sub numele de teo-rema re�sterilor �nite sau prima teorem�a a re�sterilor �nite, iar Teorema 5.3.5 senume�ste a doua teorem�a a re�sterior �nite.Formula (5.3.2) se nume�ste formula re�sterilor �nite sau prima formul�a a re�sterilor �nite sau formula mediei. Formula (5.3.1) se nume�ste formula re�sterilor�nite generalizate sau a doua formul�a a re�sterilor �nite.Vom prezenta �n ontinuare generalizarea Teoremei 5.3.6 la azul fun t�iilorve toriale.

222 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aTeorema 5.3.7. Fie ~f : I ! IRm �si a; b 2 I u a < b. Da �aa) ~f este ontinu�a pe [a; b℄;b) ~f este derivabil�a pe (a; b),atun i exist�a 2 (a; b) astfel �n atk~f(b)� ~f(a)k � k~f 0( )k(b� a); (5:3:3)unde k � k este norma eu lidian�a.Demonstrat�ie. Da �a ~f(b) = ~f(a) atun i inegalitatea (5.3.3) este veri� at�apentru ori e 2 (a; b). S�a presupunem a um �a ~f(b) 6= ~f(a) �si s�a onsider�amfun t�ia real�a x! '(x) =< ~f(b)� ~f(a); ~f(x) >; x 2 [a; b℄.Fun t�ia ' este ontinu�a pe [a; b℄ (Teorema 4.2.4, b)) �si derivabil�a pe (a; b)('0(x) =< ~f(b)� ~f(a); ~f 0(x) >). Conform Teoremei 5.3.6 rezult�a �a exist�a 2 (a; b) astfel �n at '(b)� '(a) = '0( )(b� a). Deoare e'(b)�'(a) =< ~f(b)� ~f (a); ~f(b) > � < ~f(b)� ~f (a); ~f(a) >= k~f(b)� ~f (a)k2;iar '0( ) =< ~f(b)� ~f(a); ~f 0( ) >, obt�inemk~f(b)� ~f(a)k2 � k~f(b)� ~f(a)k � k~f 0( )k � (b� a).Imp�art�ind relat�ia de mai sus prin k~f(b)� ~f(a)k avemk~f(b)� ~f(a)k � k~f 0( )k(b� a): Q.E.D.Conse int�e ale Teoremelor 5.3.5 �si 5.3.6Teorema 5.3.8. Fie fun t�ia f : I ! IR derivabil�a, unde I este un interval.Atun i derivata sa este nul�a pe I da �a �si numai da �a f este onstant�a pe a estinterval.Demonstrat�ie. S�a presupunem �a f 0(x) = 0; 8 x 2 I. Fie x1; x2 2 I ux1 < x2. Pe intervalul [x1; x2℄ fun t�ia f satisfa e ipotezele din Teorema 5.3.6.Rezult�a atun i �a exist�a 2 (x1; x2) u proprietateaf(x2)� f(x1) = f 0( )(x2 � x1).Deoare e f 0( ) = 0 dedu em �a f(x1) = f(x2). Pun tele x1; x2 �ind arbitrare,tragem on luzia �a f este onstant�a pe I.Re ipro a este evident�a. Intr-adev�ar da �a f(x) = ; 8 x 2 I atun i

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 2239 limx!x0 f(x)� f(x0)x� x0 = 0; 8 x0 2 I.De i f 0(x0) = 0; 8 x0 2 I. Q.E.D.Observat�ia 5.3.6. Da �a o fun t�ie f are derivata 0 pe o reuniune de inter-vale, atun i f nu este neap�arat onstant�a pe a ea reuniune de intervale, dar este onstant�a pe �e are interval al mult�imii. De exemplu pentru fun t�iaf : (�1; 0) [ (0;1)! IR; f(x) = 8<: �1; x < 0;1; x > 0;derivata sa este 0, f 0(x) = 0; 8 x 6= 0.Conse int�a 5.3.4. Da �a f �si g sunt dou�a fun t�ii derivabile pe un interval I�si da �a derivatele lor sunt egale pe I, atun i diferent�a lor este onstant�a pe a estinterval.Demonstrat�ie. Se onsider�a fun t�ia h(x) = f(x)� g(x). Deoare ef 0(x) = g0(x); 8 x 2 I, rezult�a �a h0(x) = 0; 8 x 2 I. Conform Teoremei 5.3.8dedu em �a h(x) = C, de i f(x) = g(x) + C; 8 x 2 I. Q.E.D.Teorema 5.3.9. Fie fun t�ia f : I ! IR derivabil�a pe intervalul I. Da �af 0(x) � 0; 8 x 2 I, atun i f este monoton res �atoare pe I. Da �a f 0(x) � 0;8 x 2 I atun i f este monoton des res �atoare pe I.Demonstrat�ie. Presupunem �a f 0(x) � 0, iar x1; x2 2 I u x1 < x2.Conform Teoremei 5.3.6 exist�a 2 (x1; x2) astfel �n atf(x2)� f(x1) = f 0( )(x2 � x1): (5:3:4)Deoare e f 0( ) � 0 dedu em �a f(x2) � f(x1), de i fun t�ia f este res �atoarepe I.Da �a f 0(x) � 0; 8 x 2 I atun i din relat�ia (5.3.4) dedu em �a f(x2) � f(x1),adi �a fun t�ia f este des res �atoare pe I. Q.E.D.Observat�ia 5.3.7. Da �a f 0(x) > 0; 8 x 2 I atun i din (5.3.4) rezult�a �afun t�ia f este stri t res �atoare pe I. Da �a f 0(x) < 0; 8 x 2 I atun i fun t�ia feste stri t des res �atoare pe I.Conse int�a 5.3.5. Da �a x1 �si x2 sunt pun te stat�ionare onse utive aleunei fun t�ii f : I ! IR, derivabil�a pe intervalul I, atun i �ntre a este dou�a

224 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�apun te fun t�ia f este stri t monoton�a.Demonstrat�ie. Fie x1; x2 pun te stat�ionare onse utive, u x1 < x2. De if 0(x1) = f 0(x2) = 0 �si f 0(x) 6= 0; 8 x 2 (x1; x2). Conform propriet�at�ii luiDarboux a derivatei fun t�iei f , dedu em �a f 0 are a ela�si semn pe (x1; x2), adi �af 0(x) > 0 sau f 0(x) < 0, 8 x 2 (x1; x2). Intr-adev�ar, da �a am presupune �a9 y1; y2 2 (x1; x2) astfel �n at f 0(y1) > 0 �si f 0(y2) < 0, atun i din proprietatealui Darboux, rezult�a �a 9 2 (y1; y2) astfel �n at f 0( ) = 0. Ceea e am obt�inuteste fals, �a i f 0(x) 6= 0 pe (x1; x2). De i f 0(x) > 0; 8 x 2 (x1; x2), adi �a f estestri t res �atoare pe (x1; x2) sau f 0(x) < 0; 8 x 2 (x1; x2), adi �a f este stri tdes res �atoare pe (x1; x2). Q.E.D.Da �a mult�imea pun telor stat�ionare ale unei fun t�ii f : I ! IR este for-mat�a din pun te izolate, atun i intervalul I se poate reprezenta a o reuniunede intervale u extremit�at�ile pun te stat�ionare. Pe �e are interval, f este stri tmonoton�a.O ondit�ie su� ient�a a un pun t s�a �e pun t de extrem este a el s�a �e pun tinterior stat�ionar, iar anularea derivatei �n a el pun t s�a se fa �a u s himbarede semn. Da �a anularea derivatei se fa e f�ar�a s himbare de semn, iar pun tulstat�ionar este izolat, atun i el nu este pun t de extrem.Teorema 5.3.10. Fie fun t�ia f : I ! IR, unde I este interval, iar x0 2 I.Da �a f este ontinu�a pe I, derivabil�a pe I n fx0g �si exist�a limx!x0 f 0(x) = l 2 IRatun i exist�a f 0(x0) �si f 0(x0) = l.Demonstrat�ie. S�a onsider�am un �sir (xn)n � I, xn 6= x0; 8n 2 IN , ulimn!1xn = x0. Apli and Teorema 5.3.6 pe intervalul (x0; xn) sau (xn; x0) dedu emexistent�a unui element �n 2 (x0; xn) sau (xn; x0) astfel �n atf(xn)� f(x0)xn � x0 = f 0(�n); 8n 2 IN:Deoare e limn!1 �n = x0 �si �n 6= x0; 8n 2 IN , rezult�a �a limn!1 f 0(�n) = l,de i limn!1 f(xn)� f(x0)xn � x0 = l: S�irul ales (xn)n �ind arbitrar, dedu em �a9 limx!x0 f(x)� f(x0)x� x0 = l,adi �a f are derivat�a (�nit�a sau in�nit�a) �n x0, egal�a u l: f 0(x0) = l. Q.E.D.

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 225Observat�ia 5.3.8. Da �a �n Teorema 5.3.10, limx!x0 f 0(x) 2 IR, atun i f estederivabil�a �n x0, iar derivata f 0 este ontinu�a �n x0.Teorema 5.3.11. Da �a fun t�ia f : I ! IR, unde I este un interval din IR,are derivata m�arginit�a pe I, atun i f este lips hitzian�a pe I, de i este uniform ontinu�a pe I.Demonstrat�ie. Presupunem �a jf 0(x)j � M; 8 x 2 I (M > 0). Fie x�si y 2 I pun te arbitrare, u x < y. Conform Teoremei 5.3.6, exist�a un pun t� 2 (x; y) astfel �n atf(x)� f(y) = f 0(�)(x� y).Atun i jf(x)� f(y)j = jf 0(�)j � jx� yj �M jx� yj.Dedu em astfel �a f este lips hitzian�a, iar din Teorema 4.2.11 rezult�a �a feste uniform ontinu�a pe I. Q.E.D.Teorema 5.3.12. (Cau hy) Fie f �si g dou�a fun t�ii de�nite pe un interval I�si un pun t x0 2 I. Da �aa) f(x0) = g(x0) = 0; b) f �si g sunt derivabile �n x0; ) g0(x0) 6= 0,atun i exist�a o ve in�atate V a lui x0 astfel �n at g(x) 6= 0; 8 x 2 V n fx0g �silimx!x0 f(x)g(x) = f 0(x0)g0(x0) .Demonstrat�ie. Din de�nit�ia lui g0(x0) 6= 0 avemg0(x0) = limx!x0 g(x)� g(x0)x� x0 = limx!x0 g(x)x� x0 6= 0.De i exist�a o ve in�atate V a pun tului x0 astfel �n at pentru 8 x 2 V nfx0g avemg(x) 6= 0. Apoi pentru 8 x 2 V n fx0g obt�inemf(x)g(x) = f(x)� f(x0)g(x)� g(x0) = f(x)�f(x0)x�x0g(x)�g(x0)x�x0 ,de i limx!x0 f(x)g(x) = limx!x0 f(x)� f(x0)x� x0limx!x0 g(x)� g(x0)x� x0 = f 0(x0)g0(x0) . Q.E.D.Teorema 5.3.12 este unos ut�a �si sub numele de prima regul�a a lui l'Hospital.Teorema 5.3.13. Fie I un interval din IR, x0 un pun t de a umulare (�nitsau in�nit) al lui I, iar f �si g dou�a fun t�ii de�nite pe I, u ex ept�ia eventual a

226 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�alui x0. Da �aa) limx!x0 f(x) = 0 �si limx!x0 g(x) = 0;b) f �si g sunt derivabile pe I, u ex ept�ia eventual a lui x0; ) g0(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g;d) 9 limx!x0 f 0(x)g0(x) = l (�nit sau in�nit),atun i1) g(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g;2) fun t�ia fg are limit�a �n x0 �si limx!x0 f(x)g(x) = l.Demonstrat�ie. (I) Vom lua mai �ntai azul �n are x0 2 IR (este �nit).1Æ. Pentru a pre iza mai exa t situat�ia presupunem �a x0 2 ÆI, iarf; g : I n fx0g ! IR. Deoare e g0(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g, rezult�a �a g0 p�astreaz�asemn onstant atat la stanga, at �si la dreapta lui x0. Dedu em astfel �a g estestri t monoton�a la stanga lui x0 �si de asemenea la dreapta lui x0. Rezult�a atun i �a g(x) 6= limx!x0 g(x) = 0, adi �a g(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g.Prelungim prin ontinuitate fun t�iile f; g, de�nind fun t�iile �f; �g pe I astfel�f(x) = 8<: f(x); da �a x 6= x0;0; da �a x = x0; �g = 8<: g(x); da �a x 6= x0;0 da �a x = x0:Atun ilimx!x0 �f(x) = limx!x0 f(x) = 0 = �f(x0); limx!x0 �g(x) = limx!x0 g(x) = 0 = �g(x0).Dedu em astfel �a fun t�iile �f �si �g sunt ontinue �n pun tul x0.In ori e pun t x 2 I n fx0g fun t�iile �f �si �g sunt derivabile �si �f 0(x) = f 0(x),�g0(x) = g0(x) 6= 0.Apli �am pe intervalul [x; x0℄, (x 2 I n fx0g), Teorema 5.3.5 �si obt�inem �a9 2 (x; x0) sau (x0; x) astfel �n at�f(x)� �f(x0)�g(x)� �g(x0) = �f 0( )�g0( ) ) f(x)g(x) = f 0( )g0( ) .Conform ipotezei d) rezult�a �a exist�a limx!x0 f 0(x)g0(x) = l. De i da �a x ! x0atun i ! x0, de i 9 limx!x0 f(x)g(x) = l.Asem�an�ator se demonstreaz�a teorema �n azurile2Æ. x0 2 ÆI, iar f; g : I ! IR;

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 2273Æ. x0 2 I \ Fr I, iar f; g : I n fx0g ! IR sau f; g : I ! IR;4Æ. x0 2 I 0 n I( 6= ;), iar f; g : I ! IR.(II) Presupunem �a x0 este in�nit, �si anume x0 = 1 ( azul x0 = �1se trateaz�a asem�an�ator). De asemenea putem presupune �a I este de formaI = (a;+1) u a > 0 (�n az ontrar putem lua restri t�iile fun t�iilor f �si g laun asemenea interval, eea e nu modi� �a existent�a limitei fun t�iei fg �n pun tul+1).De�nim urm�atoarele fun t�ii pe intervalul �0; 1a�F (y) = f �1y� ; G(y) = g � 1y� ; 0 < y < 1a ; �a < 1y <1�.A este fun t�ii F �si G veri� �a ipotezele teoremei pentru pun tul y0 = 0, uI1 = �0; 1a�, y0 2 I 01 n I1 ( azul 4Æ din (I)). Intr-adev�ar avem1. limy!0+F (y) = limy!0+ f 1y! = limz!1 f(z) = 0;limy!0+G(y) = limy!0+ g 1y! = limz!1 g(z) = 0.2. Fun t�iile F �si G sunt derivabile pe �0; 1a� �siF 0(y) = f 0 � 1y� �� 1y2� ; G0(y) = g0 � 1y� �� 1y2� ; 8 y 2 �0; 1a�.3. G0(y) 6= 0; 8 y 2 �0; 1a� ; deoare e � 1y2 g0 �1y� 6= 0; 8 y 2 �0; 1a�.4. 9 limy!0+ F 0(y)G0(y) = limy!0+ � 1y2 f 0( 1y )� 1y2 g0( 1y ) = limy!0+ f 0( 1y )g0( 1y ) = limx!1 f 0(x)g0(x) = l.Atun i, onform primei p�art�i a demonstrat�iei (I), dedu em �a G(y) 6= 0;8 y 2 (0; 1a) �si limy!0+ F (y)G(y) = limy!0+ F 0(y)G0(y) = l.Rezult�a atun i �a g(x) 6= 0; 8 x 2 (a;1), iarlimx!1 f(x)g(x) = limy!0+ F (y)G(y) = l,adi �a eea e doream s�a ar�at�am, (am notat u limx!0+ h(x) = limx!0x>0 h(x)). Q.E.D.Teorema 5.3.13 este unos ut�a sub numele de regula lui l'Hospital pentru azul 00.Observat�ia 5.3.9. Re ipro a Teoremei 5.3.13 nu este adev�arat�a. Da �a fgare limit�a �n x0, nu rezult�a �a �si f 0g0 are limit�a �n x0, dup�a um vom vedea din

228 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aexemplul urm�ator.Fie f; g : ���2 ; �2�nf0g de�nite prin f(x) = x2 sin 1x , g(x) = sin x, ( azul (I),1Æ). Avem limx!0 f(x)g(x) = limx!0 x2 sin 1xsinx = limx!0 x sin 1xsin xx = 0.Fun t�iile f �si g sunt derivabile pe (��2 ; �2 )nf0g, 9 limx!0 f(x)=0 �si 9 limx!0 g(x)=0,iar g0(x) = os x 6= 0, 8 x 2 (��2 ; �2 ) n f0g. Fun t�ia f 0g0 nu are limit�a �n x = 0.Intr-adev�arf 0(x)g0(x) = 2x sin 1x � os 1x os x = 2x sin 1x os x � os 1x os x .Deoare e limx!0 2x sin 1x os x = 0, dar 6 9 limx!0 os 1x , rezult�a �a 6 9 limx!0 f 0(x)g0(x) .Observat�ia 5.3.10. Regula lui l'Hospital (Teorema 5.3.13) �si Teorema luiCau hy (Teorema 5.3.12) nu au a ela�si amp de apli abilitate (vezi Problema 12).Teorema 5.3.14. Fie I un interval din IR, x0 un pun t de a umulare (�nitsau in�nit) al lui I, iar f �si g dou�a fun t�ii de�nite pe I, u ex ept�ia eventual alui x0. Da �aa) 9 limx!x0 jg(x)j =1;b) f �si g sunt derivabile pe I, u ex ept�ia eventual a lui x0; ) g0(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g;d) 9 limx!x0 f 0(x)g0(x) = l 2 IR,atun i 9 limx!x0 f(x)g(x) = l.Demonstrat�ie. Presupunem mai �ntai �a x0 nu este extremitatea stang�a aintervalului I �si vom demonstra �a fun t�ia fg are �n x0 limit�a la stanga egal�a ul. Vom folosi teorema de ara terizare u �siruri stri t res �atoare a limitei uneifun t�ii (Teorema 4.1.4).Deoare e g0(x) 6= 0 pe intervalul I \ (�1; x0), onform propriet�at�ii luiDarboux, derivata g0 are semn onstant pe a est interval. S�a presupunem �ag0(x) > 0, 8 x 2 I, x < x0. Rezult�a �a fun t�ia g este stri t res �atoare la stangalui x0.

Teoreme fundamentale ale al ulului diferent�ial 229Fie (xn)n � I un �sir stri t res �ator u limn!1xn = x0. Atun i �sirul (g(xn))neste �si el stri t res �ator. Deoare e limn!1 jg(xn)j = 1 (ipoteza a)), rezult�a �a(g(xn))n este nem�arginit.Apli �am Teorema 5.3.5 fun t�iilor f �si g pe �e are interval [xn; xn+1). De-du em existent�a unui pun t �n 2 (xn; xn+1) astfel �n atf(xn+1)� f(xn)g(xn+1)� g(xn) = f 0(�n)g0(�n) .Deoare e limn!1xn = x0 rezult�a �a limn!1 �n = x0, (�n < x0), iar din ipoteza d)dedu em �a limn!1 f 0(�n)g0(�n) = l, de ilimn!1 f(xn+1)� f(xn)g(xn+1)� g(xn) = l.Apli �am a um Teorema lui Stolz-Cesaro (Capitolul 2, Se t�iunea 1, Problema 10)�si dedu em �a 9 limn!1 f(xn)g(xn) = l.S�irul (xn)n �ind arbitrar, onvergent ( res �ator) la x0, rezult�a �a 9 limx!x0x<x0 f(x)g(x) = l.Asem�an�ator se demonstreaz�a teorema da �a g0(x) < 0; 8 x 2 I, x < x0.Da �a x0 nu este extremitatea dreapt�a a intervalului I, se arat�a asem�an�ator �a 9 limx!x0x>x0 f(x)g(x) = l.Da �a x0 este o extremitate a intervalului I, limita �n x0 este egal�a u a ealimit�a lateral�a are are sens �n a est pun t, de i onform elor de mai sus rezult�a �a 9 limx!x0 f(x)g(x) = l.Da �a x0 este pun t interior al intervalului I, din egalitatea limitelor laterale,rezult�a �a fun t�ia fg are limit�a �n x0, egal�a u l. Q.E.D.Teorema 5.3.14 este unos ut�a sub numele de regula lui l'Hospital pentru azul 11 .Vom da �n ontinuare dou�a generaliz�ari ale Teoremelor 5.3.13, 5.3.14 �si 5.3.12.Teorema 5.3.15. Fie I un interval din IR, x0 un pun t de a umulare (�nitsau in�nit) al lui I, iar f; g dou�a fun t�ii de�nite pe I, u ex ept�ia eventual al luix0. Da �aa) fun t�iile f �si g sunt derivabile de n ori pe I, u ex ept�ia eventual a lui x0;

230 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�ab) g(n)(x0) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g; ) limx!x0 f (k)(x) = 0 �si limx!x0 g(k)(x) = 0 k = 0; n� 1 saulimx!x0 jg(k)(x)j = +1; k = 0; n� 1;d) 9 limx!x0 f (n)(x)g(n)(x) = l 2 IR,atun i1) g(x) 6= 0; g0(x) 6= 0; : : : ; g(n�1)(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g;2) limx!x0 f(x)g(x) = limx!x0 f 0(x)g0(x) = � � � = limx!x0 f (n�1)(x)g(n�1)(x) = limx!x0 f (n)(x)g(n)(x) = l.Demonstrat�ie. Pentru n = 1 teorema este demonstrat�a (Teorema 5.3.13 �siTeorema 5.3.14). Presupunem adev�arat�a teorema pentru n�1 �si o vom demonstrapentru n.Apli �am Teorema 5.3.13, respe tiv Teorema 5.3.14 fun t�iilor f (n�1) �si g(n�1).Dedu em �a g(n�1)(x) 6= 0, 8 x 2 I n f0g �silimx!x0 f (n�1)(x)g(n�1)(x) = limx!x0 f (n)(x)g(n)(x) = l.Deoare e am presupus teorema adev�arat�a pentru n� 1 rezult�a �ag(x) 6= 0; g0(x) 6= 0; : : : ; g(n�1)(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g,adi �a are lo pun tul 1) din on luzia teoremei �si9 limx!x0 f(x)g(x) = limx!x0 f 0(x)g0(x) = � � � = limx!x0 f (n�1)(x)g(n�1)(x) ;de unde rezult�a pun tul 2). Q.E.D.Teorema 5.3.16. Fie I � IR un interval, x0 2 I, iar f; g : I ! IR. Da �aa) f �si g sunt derivabile de n ori �n x0, (de i derivabile de n � 1 ori pe ove in�atate a lui x0);b) f(x0) = f 0(x0) = � � � = f (n�1)(x0) = 0;g(x0) = g0(x0) = � � � = g(n�1)(x0) = 0; ) g(n)(x0) 6= 0,atun i1) exist�a o ve in�atate V a lui x0 astfel �n at pentru ori e x 2 V n fx0g s�aavem g(x) 6= 0; g0(x) 6= 0; : : : ; g(n�1)(x) 6= 0 �si

Formula lui Taylor. Pun te de extrem 2312) limx!x0 f(x)g(x) = limx!x0 f 0(x)g0(x) = : : : = limx!x0 f (n�1)(x)g(n�1)(x) = f (n)(x0)g(n)(x0) .Demonstrat�ie. Apli �amTeorema 5.3.12 fun t�iilor f (n�1) �si g(n�1) ; dedu em �a exist�a o ve in�atate V a lui x0 astfel �n atg(n�1)(x) 6= 0; 8 x 2 V n fx0g �si limx!x0 f (n�1)(x)g(n�1)(x) = f (n)(x0)g(n)(x0) .Deoare e fun t�iile f; g; f 0; g0; : : : ; f (n�2); g(n�2) sunt ontinue �n pun tul x0,avem limx!x0 f (k)(x) = f (k)(x0) = 0; k = 0; 1; : : : ; n� 2 �silimx!x0 g(k)(x) = g(k)(x0) = 0; k = 0; 1; : : : ; n� 2.Apli �am Teorema 5.3.15 pentru n� 1 �si obt�inem on luzia teoremei. Q.E.D.4. Formula lui Taylor. Pun te de extrem4.1. Formula lui TaylorFie fun t�ia f : I ! IR, I interval din IR, f derivabil�a de n ori �n x0 2 I.Vom presupune, pentru simplitatea expunerii, �a primele n�1 derivate exist�a pe�ntreg intervalul I.De�nit�ia 5.4.1. PolinomulTn(x) = f(x0)+ f 0(x0)1! (x�x0)+ f 00(x0)2! (x�x0)2+ � � �+ f (n)(x0)n! (x�x0)n; x 2 I(5:4:1)se nume�ste polinomul lui Taylor de gradul (ordinul) n, ata�sat fun t�iei f �npun tul x0.Pentru �e are x 2 I not�am uRn(x) = f(x)� Tn(x): (5:4:2)Atun i avem relat�ia f(x) = Tn(x) +Rn(x); 8 x 2 I: (5:4:3)

232 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aDe�nit�ia 5.4.2. Rn(x) de�nit de (5.4.2) se nume�ste restul de ordinul n,iar relat�ia (5.4.3) se nume�ste formula lui Taylor de ordinul n, orespunz�atoarefun t�iei f �n pun tul x0.Derivatele polinomului lui Taylor suntT 0n(x) = f 0(x0) + f 00(x0)1! (x� x0) + � � �+ f (n)(x0)(n� 1)!(x� x0)n�1,T 00n (x) = f 00(x0) + f 000(x0)1! (x� x0) + � � �+ f (n)(x0)(n� 2)!(x� x0)n�2;...T (n)n (x) = f (n)(x0); T (n+k)n (x) = 0; 8 k 2 IN; 8 x 2 I:Pentru x = x0 obt�inemTn(x0)=f(x0); T 0n(x0)=f 0(x0); : : : ; T (n)n (x0)=f (n)(x0); T (n+k)n (x0)=0; 8k 2 IN .Din De�nit�ia 5.4.2 dedu em �a restul Rn are derivat�a de ordinul n �n pun tulx0. De asemenea, deoare e f �si Tn au derivate pan�a la ordinul n � 1 in lusiv,pe �ntreg intervalul I, rezult�a �a �si restul Rn are derivate pan�a la ordinul n � 1in lusiv, pe I. In plus, avemRn(x) = f(x)� Tn(x); 8 x 2 I;R0n(x) = f 0(x)� T 0n(x); 8 x 2 I;...R(n�1)n (x) = f (n�1)(x)� T (n�1)n (x); 8 x 2 I;R(n)n (x0) = f (n)(x0)� T (n)n (x0).De i Rn(x0) = 0; R0n(x0) = 0; : : : ; R(n�1)n (x0) = 0; R(n)n (x0) = 0.Vom prezenta �n ontinuare dou�a teoreme are ne vor pre iza forma restuluiRn(x) din formula lui Taylor.Teorema 5.4.1. Da �a f este derivabil�a de n ori �n x0 2 I atun i exist�a ofun t�ie � : I ! IR u propriet�at�ile limx!x0 �(x) = �(x0) = 0 astfel �n atf(x) = f(x0)+ f 0(x0)1! (x�x0)+ � � �+ f (n)(x0)n! (x�x0)n+ �(x)n! (x�x0)n; 8 x 2 I:(5:4:4)Demonstrat�ie. Vom ar�ata �alimx!x0 Rn(x)(x� x0)n = 0, unde Rn(x) = f(x)� Tn(x).

Formula lui Taylor. Pun te de extrem 233Pentru a easta s�a not�am u g(x) = (x� x0)n. Avemg0(x) = n(x� x0)n�1; g00(x) = n(n� 1)(x� x0)n�2; : : : ;g(n�1)(x) = n!(x� x0); g(n)(x) = n!.De ig(x0) = 0; g0(x0) = 0; : : : ; g(n�1)(x0) = 0; g(n)(x0) = n! 6= 0, iarRn(x0) = 0; R0n(x0) = 0; : : : ; R(n�1)n (x0) = 0; R(n)n (x0) = 0.Apli �am Teorema 5.3.16 �si dedu emlimx!x0 Rn(x)g(x) = R(n)n (x0)g(n)(x0) = 0n! = 0.Astfel de�nim fun t�ia� : I ! IR; �(x) = 8>><>>: n! Rn(x)(x� x0)n ; x 2 I n fx0g;0; x = x0:Din ele de mai sus avem limx!x0 �(x) = 0 = �(x0). Dedu em �aRn(x) = �(x)n! (x� x0)n; 8 x 2 I: (5:4:5)Q.E.D.De�nit�ia 5.4.3. Restul (5.4.5) se nume�ste restul lui Peano, iar formula(5.4.4) se nume�ste formula lui Taylor u restul lui Peano.Teorema 5.4.2. Da �a fun t�ia f : I ! IR este derivabil�a de (n+1) ori pe I,atun i pentru ori e x1; x2 2 I �si p 2 IN �xat, exist�a un element �n uprins �ntrex1 �si x2, adi �a de forma �n = x1 + �n(x2 � x1), �n 2 (0; 1) astfel �n atf(x2)=f(x1)+ f 0(x1)1! (x2 � x1) + f 00(x1)2! (x2 � x1)2 + � � �+ f (n)(x1)n! (x2 � x1)n++(x2 � x1)pp n! (x2 � �n)n�p+1f (n+1)(�n): (5:4:6)Demonstrat�ie. Fie A onstanta real�a are realizeaz�a egalitateaf(x2) = f(x1)+ f 0(x1)1! (x2�x1)+ f 00(x1)2! (x2�x1)2+ � � �+ f (n)(x1)n! (x2�x1)n++(x2 � x1)pA.S�a onsider�am fun t�ia ' : I ! IR de�nit�a prin'(t) = f(t) + f 0(t)1! (x2 � t) + f 00(t)2! (x2 � t)2 + � � �+ f (n)(t)n! (x2 � t)n+

234 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�a+(x2 � t)pA; 8 t 2 I.Fun t�ia ' este derivabil�a pe I, de i �si pe intervalul (x1; x2) (sau (x2; x1)), iar'(x1) = f(x2); '(x2) = f(x2).Conform Teoremei 5.3.3 rezult�a �a exist�a �n 2 (x1; x2) sau (x2; x1) astfel�n at '0(�n) = 0.Dar'0(t) = f 0(t) + f 00(t)1! (x2 � t)� f 0(t)1! + f 000(t)2! (x2 � t)2 � f 00(t)1! (x2 � t)++f (4)(t)3! (x2� t)3� f 000(t)2! (x2� t)2+ � � �+ f (n+1)(t)n! (x2� t)n� f (n)(t)(n� 1)!(x2� t)n�1��p(x2 � t)p�1A.De i '0(t) = f (n+1)(t)n! (x2 � t)n � p(x2 � t)p�1A.Egalitatea '0(�n) = 0 se s rie atun if (n+1)(�n)n! (x2 � �n)n � p(x2 � �n)p�1A = 0,de unde rezult�a A = f (n+1)(�n)p n! (x2 � �n)n�p+1.De i am obt�inut relat�ia (5.4.6). Q.E.D.Pentru x2 := x �si x1 := x0 relat�ia (5.4.6) se s rief(x) = f(x0) + f 0(x0)1! (x� x0) + f 00(x0)2! (x� x0)2 + � � �+ f (n)(x0)n! (x� x0)n++(x� x0)pp n! (x� �n)n�p+1f (n+1)(�n); (5:4:7)unde �n = x0 + �n(x� x0); �n 2 (0; 1).De�nit�ia 5.4.4. Restul Rn(x) din formula (5.4.7), adi �aRn(x) = (x� x0)p(x� �n)n�p+1p n! f (n+1)(�n),se nume�ste restul lui S hl�omli h-Ro he, iar formula (5.4.7) se nume�ste formula luiTaylor u restul lui S hl�omli h-Ro he.Pentru p = 1 obt�inem restul lui Cau hyRn(x) = (x� x0)(x� �n)nn! f (n+1)(�n),iar pentru p = n + 1 obt�inem restul lui LagrangeRn(x) = (x� x0)n+1(n+ 1)! f (n+1)(�n).

Formula lui Taylor. Pun te de extrem 235Observat�ia 5.4.1. Pun tul intermediar �n depinde de x; x0; n �si p. De i �nformula lui Taylor u restul lui Cau hy pun tul �n este diferit de el din formulalui Taylor u restul lui Lagrange.Da �a not�am u h = x�x0 atun i �n = x0+�nh, iar formula lui Taylor (5.4.7)se s rie f(x0 + h) = f(x0) + f 0(x0)1! h+ � � �+ f (n)(x0)n! hn +Rn,unde Rn poate avea una din formeleRn = hn+1(1� �n)n�p+1p n! f (n+1)(x0 + �nh); (S hl�omli h-Ro he),Rn = hn+1(1� �n)nn! f (n+1)(x0 + �nh); (Cau hy),Rn = hn+1(n+ 1)!f (n+1)(x0 + �nh); (Lagrange).Pentru x0 = 0 2 I formulele lui Taylor de mai sus sunt unos ute �si subnumele de formulele lui Ma -Laurin �si au formele urm�atoare.Teorema 5.4.3. Da �a f este derivabil�a de n ori �n 0 2 I atun i exist�a� : I ! IR u limx!0�(x) = �(0) = 0 astfel �n atf(x) = f(0) + f 0(0)1! x + f 00(0)2! x2 + � � �+ f (n)(0)n! xn + �(x)xnn! ; 8 x 2 I.Teorema 5.4.4. Da �a f este de (n + 1) derivabil�a pe I, (0 2 I), atun ipentru 8 x 2 I �si p 2 IN exist�a �n uprins �ntre 0 �si x, �n = �nx, �n 2 (0; 1) astfel�n atf(x) = f(0)+ f 0(0)1! x+ f 00(0)2! x2+� � �+ f (n)(0)n! xn+ xn+1(1� �n)n�p+1p n! f (n+1)(�nx).Pentru p = 1 restul de mai sus are formaRn(x) = xn+1(1� �n)nn! f (n+1)(�nx),iar pentru p = n+ 1 obt�inemRn(x) = xn+1(n+ 1)!f (n+1)(�nx), (�n depinde de n �si de x).Exemplul 5.4.1. Formula lui Ma -Laurin u restul lui Lagrange apli at�apentru fun t�iilef1(x) = ex; x 2 IR; f2(x) = sinx; x 2 IR; f3(x) = os x; x 2 IR,ne ondu e la formulele urm�atoare. Pentru 8 x 2 IR avemex = 1 + x1! + x22! + � � �+ xnn! + xn+1(n+ 1)!e�x; 0 < � < 1,

236 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�asin x = pXk=1(�1)k�1 x2k�1(2k � 1)! + (�1)p x2p(2p)! sin(�2p�1x); pentru n = 2p� 1;�2p�1 2 (0; 1),sin x = pXk=1(�1)k�1 x2k�1(2k � 1)! + (�1)p x2p+1(2p+ 1)! os(�2px); pentru n = 2p;�2p 2 (0; 1), os x = pXk=0(�1)k x2k(2k)! + (�1)p+1 x2p+1(2p+ 1)! sin(�2px); pentru n = 2p;�2p 2 (0; 1), os x = p�1Xk=0(�1)k x2k(2k)! + (�1)p x2p(2p)! os(�2p�1x); pentru n = 2p� 1;�2p�1 2 (0; 1).4.2. Studiul pun telor de extrem u ajutorul derivatelor deordin superiorFie fun t�ia f : I � IR ! IR. Din Teorema 5.3.1 �stim �a �ntr-un pun t deextrem din interiorul intervalului, �n are f este derivabil�a, derivata fun t�iei seanuleaz�a. Dar nu ori e pun t pentru are f 0(x) = 0 (pun t stat�ionar) este pun tde extrem.Studiul pun telor de extrem pentru fun t�ia f �l putem fa e �e u ajutorulsemnului derivatei de ordinul �ntai �n ve in�atatea lui x0, �e u ajutorul derivatelorde ordin superior ale fun t�iei f �n x0. Pentru metoda a doua prezent�am urm�atorulrezultat.Teorema 5.4.5. Fie f : I ! IR derivabil�a de n ori (n � 2) �ntr-un pun tx0 2 I astfel �n atf 0(x0) = 0; f 00(x0) = 0; � � � ; f (n�1)(x0) = 0; f (n)(x0) 6= 0.a) Da �a n este par, atun i x0 este pun t de extrem pentru f �si anume pun tde maxim da �a f (n)(x0) < 0, �si pun t de minim da �a f (n)(x0) > 0.b) Da �a n este impar, iar x0 este pun t interior al intervalului I, atun i x0nu este pun t de extrem al fun t�iei f .Demonstrat�ie. Din formula lui Taylor de ordinul n u restul lui Peano, �npun tul x0 2 I, avem

Formula lui Taylor. Pun te de extrem 237f(x) = f(x0) + f (n)(x0)n! (x� x0)n + �(x)n! (x� x0)n; x 2 I,unde � : I ! IR �si limx!x0 �(x) = �(x0) = 0. De if(x)� f(x0) = (x� x0)nn! [f (n)(x0) + �(x)℄: (5:4:8)Din propriet�at�ile fun t�iei � dedu em �a limx!x0[f (n)(x0)+�(x)℄ = f (n)(x0) 6= 0.Da �a f (n)(x0) > 0 atun i din Teorema 4.1.11, g) rezult�a �a exist�a o ve in�atateV a lui x0 astfel �n at f (n)(x0)+�(x) > 0; 8 x 2 V \ I. Da �a f (n)(x0) < 0 atun iexist�a o ve in�atate V a lui x0 astfel �n at f (n)(x0) + �(x) < 0; 8 x 2 V \ I.a) Da �a n este par atun i rezult�a �a (x� x0)n � 0; 8 x 2 I.Da �a f (n)(x0) > 0, din relat�ia (5.4.8) dedu em �af(x)�f(x0) > 0; 8 x 2 (V \I)nfx0g , f(x0) < f(x); 8 x 2 (V \I)nfx0g,adi �a x0 este pun t de minim (stri t) pentru f .Da �a f (n)(x0) < 0, din relat�ia (5.4.8) rezult�a �af(x)�f(x0) < 0; 8 x 2 (V \I)nfx0g , f(x0) > f(x); 8 x 2 (V \I)nfx0g,adi �a x0 este pun t de maxim (stri t) pentru f .b) S�a presupunem �a x0 este pun t interior intervalului I, iar n este impar.Atun i (x� x0)n < 0 da �a x < x0 �si (x� x0)n > 0 da �a x > x0.Da �a f (n)(x0) > 0 atun i f (n)(x0) + �(x) > 0; 8 x 2 V , (putem onsideraai i �a V � I), de unde rezult�a �af(x)� f(x0) < 0 , f(x) < f(x0) pentru x 2 V; x < x0 �sif(x)� f(x0) > 0 , f(x) > f(x0) pentru x 2 V; x > x0.Dedu em astfel �a x0 nu este pun t de extrem.Asem�an�ator, da �a f (n)(x0) < 0 atun i f(x) > f(x0); pentru x 2 V , x < x0�si f(x) < f(x0); pentru x 2 V , x > x0. De i x0 nu este pun t de extrem alfun t�iei f . Q.E.D.Conse int�a 5.4.1. Fie f : I ! IR o fun t�ie derivabil�a de dou�a ori �n x0 2 I, u f 0(x0) = 0 �si f 00(x0) 6= 0. Da �a f 00(x0) < 0 atun i x0 este pun t de maxim,iar da �a f 00(x0) > 0 atun i x0 este pun t de minim.

238 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�aConse int�a 5.4.2. Da �a f : I ! IR este derivabil�a de dou�a ori �ntr-unpun t x0 2 ÆI �si da �a f are �n x0 un minim, atun i f 00(x0) � 0, iar da �a f are �nx0 un maxim atun i f 00(x0) � 0.Conse int�a 5.4.3. Da �a f : I ! IR este derivabil�a de trei ori �n pun tulx0 2 ÆI �si da �a f 0(x0) = 0, f 00(x0) = 0, f 000(x0) 6= 0, atun i x0 nu este pun t deextrem al fun t�iei f .Exemplul 5.4.2. S�a onsider�am fun t�iaf : IR! IR; f(x) = 8<: xn; x � 0;xn + e�1=x; x > 0; n 2 IN:In ori e pun t x 6= 0, f are derivate de ori e ordin , �ind o fun t�ie elementar�a.In plus, al uland derivatele laterale �n pun tul x = 0, obt�inem0 = f(0) = f 0(0) = � � � = f (n�1)(0) = f (n+1)(0) = � � � ; iar f (n)(0) = n! > 0.Da �a n este par atun i x = 0 este pun t de minim (global, deoare e f(0) = 0< f(x); 8 x 2 IR�), iar da �a n este impar atun i x = 0 nu este pun t de extrem(este pun t de in exiune).Exer it�ii �si probleme1. S�a se studieze derivabilitatea �si s�a se al uleze derivatele urm�atoarele fun t�iia) f : (0;1)! IR; f(x) = 8<: ln(x2 + 3x); da �a 0 < x < 1;54 (x� 1) + 2 ln 2; da �a x � 1:b) f : IR! IR; f(x) = max�tg x2 ; tg x sinx�. ) f : IR! IR; f(x) = 8<: x2; da �a x 2 Q;�x2; da �a x 2 IR nQ:2. Fie fun t�ia f : IR! IR; f(x) = 8<: x2 sin 1x; da �a x 6= 0;0; da �a x = 0:S�a se arate �a f este derivabil�a pe IR, dar derivata fun t�iei este dis ontinu�a �n origine.3. Fie fun t�ia f : IR! IR, f(x) = 8><>: ar tg 1 + x1� x; da �a x 6= 1;0; da �a x = 1:S�a se arate �a f nu este derivabil�a �n x = 1, de�si 9 limx!1 f 0(x).

Exer it�ii �si probleme 2394. S�a se determine a; b 2 IR astfel �n at fun t�iaf : IR! IR; f(x) = 8<: x2 � x+ 1; da �a x � 0;a sinx+ b os x; da �a x > 0;s�a �e derivabil�a pe IR.5. S�a se demonstreze pentru fun t�iile f; g : I ! IR, (I interval), folosind indu t�iamatemati �a, formula lui Leibniz-Newton(f(x)g(x))(n) = nXk=0Cknf (k)(x)g(n�k)(x); n 2 IN�si apoi s�a se apli e pentru urm�atoarele fun t�iia) f(x) = ex sinx; x 2 IR; b) f(x) = xm lnx; x 2 IR�+; m 2 IN ; ) f(x) = sinax sin bx; x 2 IR; a; b 2 IR�.6. S�a se demonstreze �a polinoamele lui Ceba�sev Pn(x) = 12n�1 os(n ar os x),n 2 IN veri� �a e uat�ia(1� x2)P 00n (x)� xP 0n(x) + n2Pn(x) = 0.7. S�a se demonstreze �a polinoamele lui Legendre Pn(x) = 12nn! [(x2 � 1)n℄(n);n = 0; 1; 2; : : : veri� �a e uat�ia(1� x2)P 00n (x)� 2xP 0n(x) + n(n+ 1)Pn(x) = 0.8. S�a se studieze apli abilitatea teoremei lui Rolle (Teorema 5.3.3) pentru fun t�iaf : [�1; 1℄! IR; f(x) = 8<: x2 + 1; da �a x 2 [�1; 0℄;x+ 1; da �a x 2 (0; 1℄:9. S�a se studieze apli abilitatea teoremei lui Lagrange (Teorema 5.3.6) pentrufun t�ia f : [�4; 3℄! IR; f(x) = 8<: px+ 1; da �a x 2 (0; 3℄;x2 + 1; da �a x 2 [�4; 0℄:10. S�a se studieze apli abilitatea teoremei lui Cau hy (Teorema 5.3.5) pentruurm�atoarele fun t�ii �si apoi s�a se determine onstanta din enunt�ul teoremeif : [0; 3℄! IR; f(x) = 8><>: x33 � x2 + 1; da �a x 2 (1; 3℄;�x+ 43 ; da �a x 2 [0; 1℄;g : [0; 3℄ ! IR; g(x) = x.11. S�a se studieze apli abilitatea Teoremei 5.3.14 (regula lui l'Hospital) pentrufun t�iilef(x) = x+ sinx os x; g(x) = esin x(x+ sinx os x) �si pun tul limit�a x0 = +1.

240 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de o variabil�a real�a12. S�a se arate �a pentru urm�atoarele fun t�ii se poate apli a Teorema 5.3.12, darnu se poate apli a Teorema 5.3.13a) f; g : IR! IR; f(x) = 8<: x2; da �a x 2 Q;0; da �a x 2 IR nQ; g(x) = sinx; �n x0 = 0.b) f; g : ���2 ; �2�! IR; f(x) = 8<: x2 sin 1x; da �a x 6= 0;0; da �a x = 0; g(x) = sinx; �n x0 = 0.13. S�a se al uleze folosind regulile lui l'Hospital (Teoremele 5.3.12{5.3.16) urm�a-toarele limitea) limx!0 sin2 x� x2 os xx3 ; b) limx!1xsin 1x ; ) limx!1��2 � ar tg x�1=ln x;d) limx!0 tg x� sinxsin3 x ; e) limx!1 x2 +pxx2 �px!xpx ; f) limx!�=2x<�=2 (tg x)sin 2x.14. S�a se al uleze derivatele �si diferent�ialele de ordinul n pentru urm�atoarelefun t�iia) f(x) = 1 + x1� x; x 2 IR n f1g; b) f(x) = px; x 2 [0;1); ) ~f(x) = � 1x2 � 3x+ 2 ; ln(x� 2); xm� ; m 2 IN; x 2 (2;1);d) ~f(x) = (sinax; os bx; e x); x 2 IR; a; b; 2 IR.15. S�a se veri� e �a da �a f(x) = (ax+ b)m( x+ d)n�m�1 atun if (n)(x) =m(m� 1) � � � (m� n+ 1)(ad� b )n(ax+ b)m�n( x+ d)�m�1.16. S�a se s rie formula lui Ma -Laurin u restul lui Lagrange pentru urm�atoarelefun t�iia) f(x) = ln (1 + x); x 2 (�1;1); b) f(x) = (1 + x)�; x 2 (�1;1); � 2 IR.17. S�a se dezvolte fun t�ia f(x) = ex; x 2 IR, dup�a puterile binomului (x� 1).18. S�a se dezvolte polinomul P (x) = x5+2x4�x2�x+1 dup�a puterile lui (x+1).19. S�a se al uleze valoarea aproximativ�a pentru 4p83 �si s�a se evalueze eroarea omis�a.20. S�a se al ulezea) 5p250 u 5 ze imale exa te; b) 3p30 u 4 ze imale exa te.21. S�a se al uleze u ajutorul formulei lui Taylor urm�atoarele limitea) limx!0 ex sinx� x(1 + x)x3 ; b) limx!1 �x� x2 ln�1 + 1x��; ) limx!0 x� sinx3 sin 2x� 2 sin 3x ; d) limx!2 px+ 2� 3p3� x� x+ 1ln(x� 1) .

Exer it�ii �si probleme 24122. S�a se determine pun tele de extrem lo al pentru urm�atoarele fun t�iia) f : IR! IR; f(x) = 8><>: min�x3; 1x� ; da �a x 6= 0;0; da �a x = 0;b) f : (0;1)! IR; f(x) = (x� 1) lnx� x; ) f : IR! IR; f(x) = sin4 x os3 x.23. Intr-o sfer�a de raz�a dat�a R s�a se �ns rie un ilindru de volum maxim.24. S�a se ir ums rie unei sfere un on avand volumul minim.25. S�a se �ns rie �ntr-o sfer�a de raz�a R un trun hi de on avand una din baze un er mare �sia) suprafat�a lateral�a maxim�a;b) suprafat�a total�a maxim�a.26. S�a se g�aseas �a volumul maxim al unui on �ns ris �ntr-o sfer�a de raz�a R.

Capitolul 6CALCULUL DIFERENT�IAL AL FUNCT�IILORDE MAI MULTE VARIABILE REALE1. Diferent�iale �si derivate part�iale1.1. Diferent�iala �si derivata part�ial�a a unei fun t�ii �ntr-unpun tFie fun t�ia f : D ! IR, D � IRn, (n � 2), iar ~x0 = (x10; x20; : : : ; xn0) 2 ÆD.De�nit�ia 6.1.1. Fun t�ia f se nume�ste diferent�iabil�a �n ~x0 da �a exist�aapli at�ia liniar�a df(~x0) : IRn ! IR, numit�a diferent�iala fun t�iei f �n ~x0 �si exist�a ofun t�ie � : D ! IR u propriet�at�ile lim~x!~x0 �(~x) = �(~x0) = 0 astfel �n at s�a avemrelat�ia f(~x) = f(~x0) + df(~x0)(~x� ~x0) + �(~x)k~x� ~x0k; 8 ~x 2 D; (6:1:1)unde k � k este norma eu lidian�a pe spat�iul IRn.Lema 6.1.1. Da �a fun t�ia � : D � IRn ! IR are limita 0 �n pun tul ~x0,atun i exist�a fun t�iile �1; �2; : : : ; �n de�nite pe D are au limita 0 �n ~x0 �si areveri� �a egalitatea�(~x)k~x�~x0k = �1(~x)(x1�x10)+�2(~x)(x2�x20)+ � � ��n(~x)(xn�xn0); 8 ~x 2 D.Re ipro , da �a fun t�iile �1; �2; : : : ; �n de�nite pe D au limita 0 �n pun tul~x0, atun i exist�a o fun t�ie � : D! IR u limita 0 �n ~x0 are s�a veri� e egalitateade mai sus.Demonstrat�ie. Vom fa e demonstrat�ia pentru dou�a fun t�ii �1; �2, iar~x0 = (x10; x20).S�a presupunem mai �ntai �a avem fun t�ia � : D! IR u

Diferent�iale �si derivate part�iale 243lim(x1;x2)!(x10;x20)�(x1; x2) = 0. De�nim fun t�iile �1 �si �2 astfel�1(x1; x2) = �(x1; x2) x1 � x10k~x� ~x0k = �(x1; x2) x1 � x10q(x1 � x10)2 + (x2 � x20)2 ;�2(x1; x2) = �(x1; x2) x2 � x20k~x� ~x0k = �(x1; x2) x2 � x20q(x1 � x10)2 + (x2 � x20)2 ;(x1; x2) 6= (x10; x20).Atun i j�1(x1; x2)j = j�(x1; x2)j jx1 � x10jk~x� ~x0k � j�(x1; x2)j;j�2(x1; x2)j = j�(x1; x2)j jx2 � x20jk~x� ~x0k � j�(x1; x2)j;de i lim(x1;x2)!(x10;x20)�1(x1; x2) = 0; lim(x1;x2)!(x10;x20)�2(x1; x2) = 0.In plus pentru (x1; x2) 6= (x10; x20) avem�1(x1; x2)(x1 � x10) + �2(x1; x2)(x2 � x20) = �(x1; x2)(x1 � x10)2k~x� ~x0k ++�(x1; x2)(x2 � x20)2k~x� ~x0k = �(x1; x2)k~x� ~x0k.Re ipro , presupunem �a avem fun t�iile �1(x1; x2) �si �2(x1; x2) ulim(x1;x2)!(x10;x20)�i(x1; x2) = 0, i = 1; 2. De�nim fun t�ia�(x1; x2) = �1(x1; x2)(x1 � x10) + �2(x1; x2)(x2 � x20)k~x� ~x0k ; (x1; x2) 6= (x10; x20).Atun i avem�(x1; x2)k~x�~x0k = �1(x1; x2)(x1�x10)+�2(x1; x2)(x2�x20); 8 (x1; x2) 2 D�si j�(x1; x2)j � j�1(x1; x2)j jx1 � x10jk~x� ~x0k + j�2(x1; x2)j jx2 � x20jk~x� ~x0k �� j�1(x1; x2)j+ j�2(x1; x2)j,de unde rezult�a �a lim(x1;x2)!(x10;x20)�(x1; x2) = 0. Q.E.D.Pentru o fun t�ie �, fun t�iile �1 �si �2 din Lema 6.1.1 nu sunt uni e.Folosind Lema 6.1.1, De�nit�ia 6.1.1 se poate formula �n mod e hivalent �siastfelDe�nit�ia 6.1.2. Fun t�ia f este diferent�iabil�a �n ~x0 da �a exist�a apli at�ialiniar�a df(~x0) : IRn ! IR �si fun t�ia ~� : D ! IRn, ~� = (�1; �2; : : : ; �n) ulim~x!~x0 ~�(~x) = ~�(~x0) = ~0 astfel �n at

244 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realef(~x) = f(~x0) + df(~x0)(~x� ~x0)+ < ~�(~x); ~x� ~x0 >; 8 ~x 2 D ,f(~x) = f(~x0) + df(~x0)(~x� ~x0) + �1(~x)(x1 � x10) + �2(~x)(x2 � x20)++ : : :+ �n(~x)(xn � xn0); 8 ~x 2 D: (6:1:2)Da �a fun t�ia f este diferent�iabil�a �n ~x0 2 ÆD atun i din (6.1.1) dedu em �alim~x!~x0 f(~x) = f(~x0), (deoare e lim~x!~x0 df(~x0)(~x � ~x0) = 0), adi �a fun t�ia f este on-tinu�a �n ~x0. Exist�a fun t�ii ontinue are nu sunt diferent�iabile. O fun t�ie are nueste ontinu�a �ntr-un pun t ~x0 nu este diferent�iabil�a �n a el pun t.De�nit�ia 6.1.3. Da �a fun t�ia f este diferent�iabil�a �n ~x0 2 ÆD, numim gradi-entul fun t�iei f �n ~x0, notat rf(~x0) sau grad f(~x0) sau f 0(~x0), matri ea fun t�io-nalei liniare df(~x0) �n raport u baza anoni �a f~e1; ~e2; : : : ; ~eng din IRn.Da �a df(~x0)(~ek)=Ak; k = 1; n, atun i rf(~x0)= (A1; A2; : : : ; An)= ~A2 IRn�si pentru ori e ~h = (h1; h2; : : : ; hn) 2 IRn avemdf(~x0)(~h) = nXi=1Aihi =< ~A;~h >=< rf(~x0);~h >; 8~h 2 IRn: (6:1:3)Cu ajutorul gradientului, De�nit�ia 6.1.1 este e hivalent�a uDe�nit�ia 6.1.4. Fun t�ia f : D � IRn ! IR se nume�ste diferent�iabil�a �n~x0 2 ÆD da �a exist�a ~A 2 IRn, notat �si rf(~x0), numit gradientul fun t�iei f �n ~x0, �siexist�a fun t�ia � : D ! IR u lim~x!~x0 �(~x) = �(~x0) = 0 astfel �n atf(~x) = f(~x0)+ < ~A; ~x� ~x0 > +�(~x)k~x� ~x0k; 8 ~x 2 D ,f(~x) = f(~x0) + nXi=1Ai(xi � xi0) + �(~x)k~x� ~x0k; 8 ~x 2 D: (6:1:4)De�nit�ia 6.1.2 este atun i e hivalent�a uDe�nit�ia 6.1.5. Fun t�ia f este diferent�iabil�a �n ~x0 da �a exist�a ~A 2 IRn,notat �si rf(~x0), numit gradientul fun t�iei f �n ~x0 �si fun t�ia ~� : D! IRn,~� = (�1; �2; : : : ; �n) u lim~x!~x0 ~�(~x) = ~�(~x0) = ~0 astfel �n atf(~x) = f(~x0)+ < ~A; ~x� ~x0 > + < ~�(~x); ~x� ~x0 >; 8 ~x 2 D ,f(~x) = f(~x0) + nXi=1Ai(xi � xi0) + nXi=1 �i(~x)(xi � xi0); 8 ~x 2 D: (6:1:5)

Diferent�iale �si derivate part�iale 245Observat�ia 6.1.1. Proprietatea de diferent�iabilitate este o proprietate lo- al�a a fun t�iei; da �a s himb�am valorile fun t�iei �n afara unei ve in�at�at�i a pun tu-lui ~x0 atun i proprietatea de diferent�iabilitate nu se s himb�a. De i o fun t�ie estediferent�iabil�a �n ~x0 2 ÆD da �a are lo una din relat�iile (6.1.1){(6.1.5) numai pe ove in�atate a pun tului ~x0.De�nit�ia 6.1.6. Fun t�ia f se nume�ste derivabil�a �n raport u xk(k 2 f1; 2; : : : ; ng) �n pun tul ~x0 2 ÆD da �a apli at�iat! f(~x0+t~ek) = f(x10; x20; : : : ; xk�1;0; xk0+t; xk+1;0; : : : ; xn0); ~x0+t~ek 2 Deste derivabil�a �n t = 0, adi �a exist�alimt!0 f(~x0 + t~ek)� f(~x0)t = limt!0 f(x10; : : : ; xk0 + t; : : : ; xn0)� f(x10; x20; : : : ; xn0)t (6:1:6)�si este �nit�a.Limita (6.1.6) se poate s rie e hivalentlimxk!xk0 f(x10; x20; : : : ; xk; : : : ; xn0)� f(x10; x20; : : : ; xk0; : : : ; xn0)xk � xk0 : (6:1:7)De�nit�ia 6.1.7. Da �a f este derivabil�a �n raport u xk �n pun tul ~x0, limita(6.1.6) sau (6.1.7) se nume�ste derivata part�ial�a �n raport u xk a fun t�iei f �npun tul ~x0; se noteaz�a u �f�xk (~x0) (se ite�ste "df la dxk") sau f 0xk(~x0). De i�f�xk (~x0) = limt!0 f(~x0 + t~ek)� f(~x0)t : (6:1:8)De�nit�ia 6.1.8. Fie Ak � ÆD mult�imea pun telor �n are f este derivabil�a �nraport u variabila xk, (k 2 f1; 2; : : : ; ng). Da �a Ak 6= ; atun i fun t�ia~x! �f�xk (~x) 2 IR; ~x 2 Ak; (6:1:9)se nume�ste derivata part�ial�a a lui f �n raport u variabila xk.Fun t�ia f poate admite n derivate part�iale.Observat�ia 6.1.2. In azul parti ular al fun t�iilor de dou�a variabilef : D! IR, D � IR2, ~x = (x10; x20), limita (6.1.8) pentru k = 1; 2 se s rie astfel

246 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale�f�x1 (x10; x20) = limt!0 f(x10 + t; x20)� f(x10; x20)t == limx1!x10 f(x1; x20)� f(x10; x20)x1 � x10 ;�f�x2 (x10; x20) = limt!0 f(x10; x20 + t)� f(x10; x20)t == limx2!x20 f(x10; x2)� f(x10; x20)x2 � x20 :Da �a not�am variabilele fun t�iei u x �si y, iar ~x0 = (x0; y0) avem�f�x (x0; y0) = limx!x0 f(x; y0)� f(x0; y0)x� x0 ,�f�y (x0; y0) = limy!y0 f(x0; y)� f(x0; y0)y � y0 .Se observ�a �a tre erea la limit�a se fa e pe drumuri paralele u axele de oordonate, (vezi Fig.1).

Fig. 1

0

x

xo

y

yo

pt fy

pt fx

D

Exemplul 6.1.1. Derivatele part�iale ale fun t�iei f(x; y) = xy �n pun tul(1;�1) sunt�f�x (1;�1) = limx!1 f(x;�1)� f(1;�1)x� 1 = limx!1 �x + 1x� 1 = �1,�f�y (1;�1) = limy!�1 f(1; y)� f(1;�1)y + 1 = limy!�1 y + 1y + 1 = 1.Observat�ia 6.1.3. Din ele de mai sus dedu em �a derivata part�ial�a a uneifun t�ii f �n raport u o variabil�a se fa e derivand fun t�ia �n raport u a ea vari-abil�a, a �si um ar � o fun t�ie de o singur�a variabil�a, p�astrand elelalte variabile onstante.De�nit�ia 6.1.9. O fun t�ie f : D � IRn ! IR se nume�ste diferent�iabil�a pe

Diferent�iale �si derivate part�iale 247mult�imea A � ÆD (derivabil�a part�ial �n raport u xk, (k 2 f1; 2; : : : ; ng), pe A)da �a f este diferent�iabil�a (respe tiv derivabil�a part�ial �n raport u variabila xk)�n ori e pun t ~x0 2 A.Folosind regulile de derivare de la fun t�ii de o variabil�a (Capitolul 5) putemastfel dedu e derivatele part�iale ale unei fun t�ii pe mult�imile de de�nit�ie ores-punz�atoare.Exemplul 6.1.2. Pentru fun t�iaf : D! IR; D = f(x; y; z) 2 IR3; x2 + z2 6= 0g,f(x; y; z) = xy2 + x sin(y + z) + ln(x2 + z2); avem�f�x (x; y; z) = y2 + sin(y + z) + 2xx2 + z2 ,�f�y (x; y; z) = 2xy + x os(y + z),�f�z (x; y; z) = x os(y + z) + 2zx2 + z2 ; 8 (x; y; z) 2 D.Leg�atura dintre diferent�iabilitate �si derivabilitate part�ial�a este stabilit�a �nteorema urm�atoare.Teorema 6.1.1. Da �a fun t�ia f : D � IRn ! IR este diferent�iabil�a �n~x0 2 ÆD atun i exist�a toate derivatele part�iale �n ~x0 �sirf(~x0) = �f�x1 (~x0); �f�x2 (~x0); : : : ; �f�xn (~x0)! ; (6:1:10)df(~x0)(~h) =< rf(~x0);~h >= nXi=1 �f�xi (~x0)hi; 8~h=(h1; h2; : : : ; hn)2IRn: (6:1:11)Demonstrat�ie. Da �a fun t�ia f este diferent�iabil�a �n ~x0, atun i avem relat�ia(6.1.2). Luand ~x = ~x0 + t~xk, (k 2 f1; 2; :::; ng momentan �xat) obt�inemf(~x0 + t~ek) = f(~x0) + df(~x0)(t~ek) + �k(~x0 + t~ek)t )f(~x0 + t~ek) = f(~x0) + t df(~x0)(~ek)| {z }Ak +t�k(~x0 + t~ek):Imp�art�ind prin t 6= 0 relat�ia de mai sus obt�inemf(~x0 + t~ek)� f(~x0)t = Ak + �k(~x0 + t~ek),

248 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realede unde pentru t ! 0 dedu em �a exist�a �f�xk (~x0) = Ak. De i fun t�ia f estederivabil�a �n raport u xk �n pun tul ~x0. Deoare e k era arbitrar din mult�imeaf1; 2; :::; ng rezult�a �a f are toate derivatele part�iale �n pun tul ~x0 �sirf(~x0) = �f�x1 (~x0); �f�x2 (~x0); : : : ; �f�xn (~x0)! ; iardf(~x0)(~h) = nXi=1 �f�xi (~x0)hi; 8~h = (h1; h2; : : : ; hn) 2 IRn: Q.E.D.Conse int�a 6.1.1. Da �a fun t�ia f nu admite o derivat�a part�ial�a �n raport u una din variabile, atun i ea nu este diferent�iabil�a.Din Teorema 6.1.1 dedu em �a diferent�iala df(~x0) este uni �a.Re ipro a Teoremei 6.1.1 nu este adev�arat�a, dup�a um vom vedea din exem-plul urm�ator.Exemplul 6.1.3. Fun t�iaf : IR2 ! IR, f(x; y)=8><>: xyx2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0);are derivate part�iale �n (0; 0), dar nu este diferent�iabil�a �n (0; 0). Intr-adev�ar�f�x (0; 0) = limx!0 f(x; 0)� f(0; 0)x� 0 = limx!0 0x = 0;�f�y (0; 0) = limy!0 f(0; y)� f(0; 0)y � 0 = limy!0 0y = 0.Fun t�ia f nu are limit�a �n pun tul (0; 0), (vezi Exemplul 4.1.2), de i nu este ontinu�a �si ni i diferent�iabil�a �n a est pun t.Exemplul 6.1.4. S�a onsider�am fun t�ia f : IR! IR,f(x; y) = 8><>: px2 + y2 os 1x2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0):Din inegalitatea�����px2 + y2 os 1x2 + y2 ����� � px2 + y2; 8 (x; y) 2 IR2 n f(0; 0)g,dedu em �a exist�a lim(x;y)!(0;0) f(x; y) = 0 = f(0; 0), de i f este ontinu�a �n pun tul(0; 0).Dar fun t�ia f nu are derivate part�iale �n (0; 0), deoare e6 9 limx!0 f(x; 0)� f(0; 0)x� 0 = limx!0 jxj os 1x2x ;

Diferent�iale �si derivate part�iale 249�n mod asem�an�ator 6 9 limy!0 f(0; y)� f(0; 0)y � 0 , de i f nu este diferent�iabil�a �n (0; 0).S�a onsider�am fun t�iile parti ulare pi de�nite prin pi(~x) = xi, ~x 2 IRn,i = 1; n. A este fun t�ii pi proie teaz�a pe ~x pe axele Oxi, i = 1; n. Deoare erpi(~x) = (0; 0; : : : ; 0; 1|{z}i ; 0 : : : ; 0) = ~ei; 8 ~x 2 IRn �sidpi(~x)(~h) =< ~ei;~h >= hi; 8 ~x 2 IRn; 8~h 2 IRn,rezult�a �a diferent�iala fun t�iei pi este independent�a de ~x.Am obt�inut �a dpi(~x) = pi; 8 ~x 2 IRn. Se noteaz�a dpi(~x) = dxi; i = 1; n(dxi = pi), de i dxi(~h) = hi, i = 1; n. In mod impropriu fun t�iile dxi se numes diferent�ialele variabilelor independente. Atun idf(~x0)(~h) =< rf(~x0);~h >= nXi=1 �f�xi (~x0)hi = nXi=1 �f�xi (~x0)dxi(~h)sau a egalitate de fun t�ii df(~x0) = nXi=1 �f�xi (~x0)dxi: (6:1:12)De�nit�ia 6.1.10. Apli at�ia d = ��x1 dx1 + ��x2 dx2 + � � �+ ��xndxn,prin are fun t�iei f : D ! IR i se aso iaz�a diferent�iala ei �n ~x0, adi �af ! df(~x0) = nXi=1 �f�xi (~x0)dxise nume�ste operatorul de diferent�iere.Vom prezenta �n ontinuare o teorem�a are ne d�a ondit�ii su� iente pentrudiferent�iabilitate.Teorema 6.1.2. (Criteriu de diferent�iabilitate) Da �a fun t�ia f : D! IR,D � IRn, admite toate ele n derivate part�iale pe o ve in�atate V a pun tului~x0 2 ÆD �si a estea sunt ontinue �n ~x0, atun i f este diferent�iabil�a �n ~x0.Demonstrat�ie. Vom fa e demonstrat�ia �n azul unei fun t�ii de dou�a va-riabile f = f(x; y), iar ~x0 = (x0; y0), azul general demonstrandu-se �n modasem�an�ator.Avemf(x; y)� f(x0; y0) = [f(x; y)� f(x; y0)℄ + [f(x; y0)� f(x0; y0)℄;8 (x; y) 2 V (= S((x0; y0); r)).

250 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeVom apli a teorema lui Lagrange (Teorema 5.3.6) pentru fun t�ia'(y) = f(x; y) u x �xat pe V (x0; y0)x (ve in�atatea V restrans�a la x, adi �a ux = onstant) �si apoi pentru fun t�ia (x) = f(x; y0) pe V (x0; y0)y0 , (vezi Fig.2).Rezult�a �a exist�a � 2 (y0; y) sau (y; y0) astfel �n atf(x; y)� f(x; y0) = '(y)� '(y0) = '0(�)(y � y0) = �f�y (x; �)(y � y0)�si exist�a � 2 (x0; x) sau (x; x0) astfel �n atf(x; y0)� f(x0; y0) = (x)� (x0) = 0(�)(x� x0) = �f�x (�; y0)(x� x0).De i avemf(x; y)� f(x0; y0) = �f�y (x; �)(y � y0) + �f�x (�; y0)(x� x0) == �f�x (x0; y0)(x� x0) + �f�y (x0; y0)(y � y0)++ "�f�x (�; y0)� �f�x (x0; y0)# (x� x0) + "�f�y (x; �)�� �f�y (x0; y0)# (y � y0); 8 (x; y) 2 V: (6:1:13)

Fig. 2

(x,y)

xo

(xo,y )o

V(x y )o, o

V(x y )o, o x

V(x y )yo, o o

yh

y

x

x

yo

0

x

D

S�a onsider�am fun t�iile�1(x; y) = 8><>: �f�x (�; y0)� �f�x (x0; y0); (x; y) 2 V (x0; y0) n f(x0; y0)g;0; (x; y) = (x0; y0);

Diferent�iale �si derivate part�iale 251�2(x; y) = 8><>: �f�y (x; �)� �f�y (x0; y0); (x; y) 2 V (x0; y0) n f(x0; y0)g;0; (x; y) = (x0; y0):Fun t�iile de mai sus veri� �a ondit�iilelim(x;y)!(x0;y0)�1(x; y) = �f�x (x0; y0) � �f�x (x0; y0) = 0; deoare e � este �ntre x0�si x, iar da �a (x; y) ! (x0; y0) atun i (�; y0) ! (x0; y0), iar �f�x este ontinu�a �n(x0; y0); lim(x;y)!(x0;y0)�2(x; y) = �f�y (x0; y0) � �f�y (x0; y0) = 0; deoare e � este �ntre y0�si y, iar da �a (x; y) ! (x0; y0) atun i (x; �) ! (x0; y0), iar �f�y este ontinu�a �n(x0; y0).Atun i relat�ia (6.1.13) devinef(x; y) = f(x0; y0) + A1(x� x0) + A2(y � y0) + �1(x; y)(x� x0)++�2(x; y)(y � y0); 8 (x; y) 2 V ,unde A1 = �f�x (x0; y0), A2 = �f�y (x0; y0). Conform De�nit�iei 6.1.5 �si Observat�iei6.1.1 dedu em �a fun t�ia f este diferent�iabil�a �n pun tul ~x0. Q.E.D.Re ipro a Teoremei 6.1.2 nu este adev�arat�a, dup�a um vom vedea din exem-plul urm�ator.Exemplul 6.1.5. Fun t�ia f : IR2 ! IR,f(x; y) = 8><>: (x2 + y2) sin 1px2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) 6= (0; 0);este diferent�iabil�a �n (0; 0), dar derivatele sale part�iale �f�x �si �f�y are exist�a �nori e pun t (x; y) 2 IR2 nu sunt ontinue �n (0; 0).Intr-adev�ar, din inegalitatea�����(x2 + y2) sin 1px2 + y2 ����� � x2 + y2,rezult�a �a 9 lim(x;y)!(0;0) f(x; y) = 0 = f(0; 0), de i f este ontinu�a �n (0; 0).Apoi derivatele part�iale ale fun t�iei f �n origine suntA1 = �f�x (0; 0) = limx!0 f(x; 0)� f(0; 0)x = limx!0 x2 sin 1jxjx = limx!0x sin 1jxj = 0;

252 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale �����x sin 1jxj ����� � jxj! ;A2 = �f�y (0; 0) = limy!0 f(0; y)� f(0; 0)y = limy!0 y2 sin 1jyjy = limy!0 y sin 1jyj = 0:Pentru a ar�ata �a f este diferent�iabil�a �n (0; 0), (De�nit�ia 6.1.4), vom ar�ata �a exist�a o fun t�ie � : IR2 ! IR u propriet�at�ile lim(x;y)!(0;0)�(x; y) = �(0; 0) = 0astfel �n atf(x; y) = f(0; 0)+A1(x� 0)+A2(y� 0)+�(x; y)px2 + y2; 8 (x; y) 2 IR2.Impunand ondit�ia de mai sus, g�asim pentru fun t�ia � urm�atoarea form�a�(x; y) = 8><>: px2 + y2 sin 1px2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0):Deoare e �����px2 + y2 sin 1px2 + y2 ����� � px2 + y2; dedu em �a exist�alim(x;y)!(0;0)�(x; y) = 0 = �(0; 0). De i fun t�ia � de mai sus satisfa e toate ondit�iiledin De�nit�ia 6.1.4, de unde rezult�a �a f este diferent�iabil�a �n (0; 0).Derivatele part�iale ale fun t�iei f �n raport u x �si y sunt�f�x (x; y) = 8><>: 2x sin 1px2 + y2 � xpx2 + y2 os 1px2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0);�f�y (x; y) = 8><>: 2y sin 1px2 + y2 � ypx2 + y2 os 1px2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0):Se arat�a, folosind de exemplu metoda drumurilor, �a 6 9 lim(x;y)!(0;0) �f�x (x; y) �si6 9 lim(x;y)!(0;0) �f�y (x; y), de i ele dou�a derivate nu sunt ontinue �n (0; 0).Conse int�a 6.1.2. Da �a derivatele part�iale �f�xi , i = 1; n, exist�a �si sunt ontinue pe A � D, (A des his�a), atun i f este diferent�iabil�a pe A.Folosind De�nit�ia 6.1.4 rezult�a urm�atoarea teorem�a.Teorema 6.1.3. Da �a f; g : D! IR sunt diferent�iabile �n ~x0 2 ÆD (sau pe omult�ime A � ÆD), iar �; � 2 IR atun i �si fun t�iile �f + �g, fg, f=g (g 6= 0) suntdiferent�iabile �n ~x0 (respe tiv pe A) �sid(�f + �g)(~x)=�df(~x) + �dg(~x); pentru ~x = ~x0 (respe tiv pentru ori e ~x 2 A),

Diferent�iale �si derivate part�iale 253d(fg)(~x)=g(~x)df(~x)+ f(~x)dg(~x); pentru ~x = ~x0; (respe tiv pentru ori e ~x 2 A),d fg! (~x)= g(~x)df(~x)� f(~x)dg(~x)g2(~x) ; pentru ~x = ~x0, (respe tiv pentru ori e~x 2 A). 1.2. Derivate part�iale �si diferent�iale de ordin superiorFie fun t�ia f : D ! IR, D � IRn, iar Ai � ÆD, (Ai 6= ;) mult�imea pun telor�n are f este derivabil�a �n raport u variabila xi.De�nit�ia 6.1.11. Da �a derivata part�ial�a a fun t�iei f �n raport u variabilaxi, adi �a fun t�ia ~x! �f�xi (~x); ~x 2 Ai,este derivabil�a �n raport u variabila xj �n pun tul ~x0 2 ÆAi, vom spune �a f estederivabil�a de dou�a ori �n pun tul ~x0 �n raport u variabilele xi �si xj. In a est az��xj �f�xi! (~x0) not= �2f�xj�xi (~x0) ( itim "d doi f la dxj dxi") se nume�ste derivatapart�ial�a de ordinul al doilea a fun t�iei f �n pun tul ~x0 �n raport u variabilele xi�si xj. Uneori derivata se mai noteaz�a u f 00xixj(~x0).Da �a i = j derivata �2f�xi�xj (~x0) not= �2f�x2i (~x0), iar pentru i 6= j derivata deordinul al doilea �2f�xi�xj (~x0) se nume�ste derivat�a mixt�a.Fun t�ia f poate avea n2 derivate part�iale de ordinul al doilea �2f�xi�xj ,i; j = 1; n.Prin re urent��a se de�nes derivatele part�iale de un ordin N ale fun t�iei f �npun tul ~x0 2 ÆD. Astfel�Nf�xk1�xk2 � � ��xkN (~x0) = ��xk1 �N�1f�xk2 � � ��xkN ! (~x0);k1; k2; : : : ; kN 2 f1; 2; : : : ; ng, este derivata part�ial�a de ordinul N a fun t�iei f �npun tul ~x0 �n raport u variabilele xkN ; xkN�1 ; : : : ; xk1 .Exemplul 6.1.6. Fie fun t�ia f : IR3 ! IR, f(x; y; z) = x2yz + xy2z + xyz2.Avem�f�x (x; y; z) = 2xyz + y2z + yz2; �f�y (x; y; z) = x2z + 2xyz + xz2;

254 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale�f�z (x; y; z) = x2y + xy2 + 2xyz;�2f�x2 (x; y; z) = ��x �f�x! (x; y; z) = ��x(2xyz + y2z + yz2) = 2yz;�2f�x�y (x; y; z) = ��x �f�y! (x; y; z) = ��x(x2z + 2xyz + xz2) = 2xz + 2yz + z2;�2f�y�x (x; y; z) = ��y �f�x! (x; y; z) = ��y (2xyz + y2z + yz2) = 2xz + 2yz + z2;8 (x; y; z) 2 IR3, et .In exemplul de mai sus avem �2f�x�y (x; y; z)= �2f�y�x(x; y; z); 8 (x; y; z)2 IR3.In general derivatele mixte nu sunt egale, adi �a derivarea nu este permutabil�a �nraport u variabilele. Vom prezenta �n ontinuare dou�a teoreme are dau ondit�iisu� iente pentru a derivatele mixte s�a �e egale.Teorema 6.1.4. (Criteriul lui S hwarz) Fie f : D ! IR, D � IRn, pentru are exist�a derivatele mixte �2f�xi�xj �si �2f�xj�xi (i 6= j) pe o ve in�atate V a pun -tului ~x0 2 ÆD. Da �a a este derivate sunt ontinue �n ~x0 atun i ele sunt egale �na est pun t �2f�xi�xj (~x0) = �2f�xj�xi (~x0).Demonstrat�ie. S�i ai i vom fa e demonstrat�ia pentru azul unei fun t�ii dedou�a variabile f : D ! IR, D � IR2, f = f(x; y), ~x0 = (x0; y0). Prin ipotez�aexist�a V (x0; y0) (S((x0; y0); r)) � D astfel �n at exist�a �2f�x�y (x; y), �2f�y�x(x; y),8 (x; y) 2 V �si9 lim(x;y)!(x0;y0) �2f�x�y (x; y) = �2f�x�y (x0; y0),9 lim(x;y)!(x0;y0) �2f�y�x(x; y) = �2f�y�x (x0; y0).S�a onsider�am expresiaE(x; y) = [f(x; y)� f(x0; y)℄� [f(x; y0)� f(x0; y0)℄.Exist�a un interval I u y0 �n interior astfel �n at pentru ori e v 2 I pun tele (x; v)�si (x0; v) s�a �e �n V . De�nim fun t�ia '(v) = f(x; v) � f(x0; v); v 2 I. Atun iE(x; y) = '(y)� '(y0). Pentru x �xat putem apli a fun t�iei ' Teorema 5.3.6 peintervalul [y; y0℄, deoare e derivabilitatea fun t�iei ' revine la derivabilitatea lui f�n raport u a doua variabil�a. Avem

Diferent�iale �si derivate part�iale 255

Fig. 3

(x,y)( , )x h

(xo,y )o

h

y

x

0

D

V

x

'0(v) = �f�y (x; v)� �f�y (x0; v),de i 9 � 2 (y0; y) sau (y; y0) astfel �n atE(x; y) = '(y)� '(y0) = '0(�)(y � y0) = "�f�y (x; �)� �f�y (x0; �)# (y � y0) == ['1(x)� '1(x0)℄(y � y0),unde '1(u) = �f�y (u; �), u 2 J , iar J este un interval onvenabil ales u x0 �ninterior.Fun t�ia '1 este derivabil�a, deoare e exist�a derivata �n raport u x a derivateilui f �n raport u y �n pun tul (u; �), adi �a 9 ��x �f�y! (u; �) = �2f�x�y (u; �).Atun i exist�a � �ntre x �si x0 (vezi Fig.3) astfel �n at'(y)� '(y0) = '01(�)(x� x0)(y � y0) = �2f�x�y (�; �)(x� x0)(y � y0).De iE(x; y) = �2f�x�y (�; �)(x� x0)(y � y0); 8 (x; y) 2 V n f(x0; y0)g: (6:1:14)Pe de alt�a parte vom s rie pe E(x; y) sub formaE(x; y) = [f(x; y)� f(x; y0)℄� [f(x0; y)� f(x0; y0)℄.Not�am u (u) = f(u; y)� f(u; y0). Atun i E(x; y) = (x)� (x0).In mod asem�an�ator obt�inem pun tele �0 �si �0, �0 �ntre x �si x0, iar �0 �ntre y �si

256 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realey0 astfel �n atE(x; y) = �2f�y�x (�0; �0)(x� x0)(y � y0); 8 (x; y) 2 V n f(x0; y0)g: (6:1:15)Din relat�iile (6.1.14) �si (6.1.15) rezult�a�2f�x�y (�; �)(x�x0)(y�y0)= �2f�y�x(�0; �0)(x�x0)(y�y0); 8(x; y) 2 V nf(x0; y0)g;de unde obt�inem �2f�x�y (�; �) = �2f�y�x(�0; �0).Pentru (x; y) ! (x0; y0) rezult�a �a (�; �) ! (x0; y0) �si (�0; �0) ! (x0; y0), iardin ontinuitatea derivatelor mixte de ordinul al doilea �n (x0; y0) dedu em �a�2f�x�y (x0; y0) = �2f�y�x (x0; y0) : Q.E.D.Conse int�a 6.1.3. Da �a derivatele part�iale mixte de ordinul al doilea aleunei fun t�ii f : D ! IR, D � IRn, exist�a �si sunt ontinue pe mult�imea A � ÆD,atun i ele sunt egale dou�a ate dou�a, adi �a�2f�xi�xj (~x) = �2f�xj�xi (~x); 8 ~x 2 A; i; j = 1; 2; : : : ; n; u i 6= j.Prin indu t�ie matemati �a obt�inemConse int�a 6.1.4. Da �a fun t�ia f : D ! IR, D � IRn, admite derivatepart�iale pan�a la un anumit ordin N , ontinue pe A � ÆD, atun i �n al ulareaderivatelor part�iale mixte nu onteaz�a ordinea de derivare, adi �a pentru 8 p � N�pf�xi1�xi2 � � ��xip (~x) = �pf�xj1�xj2 � � ��xjp (~x); 8 ~x 2 A;unde fj1; j2; : : : ; jpg este o permutare a indi ilor fi1; i2; : : : ; ipg.Teorema 6.1.5. (Criteriul lui Young) Da �a fun t�ia f : D ! IR, D � IRn,are derivate part�iale de ordinul �ntai �f�xi �si �f�xj , u i 6= j pe o ve in�atate Va pun tului ~x0 2 ÆD �si da �a a estea sunt diferent�iabile �n ~x0, atun i derivatelepart�iale mixte de ordinul al doilea �2f�xi�xj �si �2f�xj�xi exist�a �n ~x0 �si sunt egale �na est pun t �2f�xi�xj (~x0) = �2f�xj�xi (~x0).Demonstrat�ie. Demonstr�am teorema pentru azul unei fun t�ii de dou�avariabile f : D � IR2 ! IR, f = f(x; y), iar ~x0 = (x0; y0). Mai �ntai, deoare ederivatele part�iale �f�x �si �f�y sunt diferent�iabile �n ~x0, din Teorema 6.1.1 dedu em

Diferent�iale �si derivate part�iale 257 �a exist�a toate derivatele part�iale de ordinul al doilea �n (x0; y0), de i �si �2f�x�y ,�2f�y�x �n (x0; y0).Fie (x; y) 2 V arbitrar, momentan �xat, u x 6= x0 �si y 6= y0. Consider�amdin nou expresiaE(x; y) = [f(x; y)� f(x0; y)℄� [f(x; y0)� f(x0; y0)℄�si fun t�ia '(v) = f(x; v) � f(x0; v) de�nit�a pe I u y0 interior. Fun t�ia ' estederivabil�a pe I �si '0(v) = �f�y (x; v)� �f�y (x0; v). Atun i, onform Teoremei 5.3.6,exist�a � �ntre y0 �si y astfel �n atE(x; y) = '(y)� '(y0) = '0(�)(y � y0),adi �aE(x; y) = "�f�y (x; �)� �f�y (x0; �)# (y � y0) = " �f�y (x; �)� �f�y (x0; y0)!�� �f�y (x0; �)� �f�y (x0; y0)!# (y � y0).Deoare e fun t�ia �f�y este diferent�iabil�a �n (x0; y0), onform De�nit�iei 6.1.5rezult�a�f�y (x; �)� �f�y (x0; y0) = ��x �f�y! (x0; y0)(x� x0) + ��y �f�y! (x0; y0)(� � y0)++�1(x; �)(x� x0) + �2(x; �)(� � y0),unde lim(x;�)!(x0;y0)�i(x; �) = �i(x0; y0) = 0; i = 1; 2.De asemenea�f�y (x0; �)� �f�y (x0; y0) = ��x �f�y! (x0; y0)(x0�x0)+ ��y �f�y! (x0; y0)(�� y0)++�3(x0; �)(x0 � x0) + �4(x0; �)(� � y0),unde lim�!y0 �j(x0; �) = �j(x0; y0) = 0; j = 3; 4.Deoare e ��y �f�x! = �2f�y�x , expresia E(x; y) se s rieE(x; y) = " �2f�x�y (x0; y0)(x� x0) + �2f�y2 (x0; y0)(� � y0) + �1(x; �)(x� x0)++�2(x; �)(� � y0)� �2f�y2 (x0; y0)(� � y0)� �4(x0; �)(� � y0)# (y � y0) == " �2f�x�y (x0; y0)(x� x0) + �1(x; �)(x� x0) + �2(x; �)(� � y0)�

258 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale��4(x0; �)(� � y0)#(y � y0) = �2f�x�y (x0; y0)(x� x0)(y � y0)++�1(x; �)(x� x0)(y � y0) + �5(x; �)(� � y0)(y � y0),unde am notat u �5(x; �) = �2(x; �)� �4(x0; �). De ilim(x;�)!(x0;y0)�5(x; �) = �5(x0; y0) = 0.In mod asem�an�ator, onsiderand (u) = f(u; y)� f(u; y0) �siE(x; y) = (x)� (x0) = 0(�)(x� x0), unde � este �ntre x0 �si x, obt�inemE(x; y) = �2f�y�x(x0; y0)(x� x0)(y � y0) + e�2(�; y)(x� x0)(y � y0)++e�5(�; y)(� � x0)(x� x0)�si lim(�;y)!(x0;y0) e�2(�; y) = lim(�;y)!(x0;y0) e�5(�; y) = 0.Atun i obt�inem�2f�x�y (x0; y0)(x�x0)(y�y0)+�1(x; �)(x�x0)(y�y0)+�5(x; �)(��y0)(y�y0) == �2f�y�x(x0; y0)(x�x0)(y�y0)+ e�2(�; y)(x�x0)(y�y0)+ e�5(�; y)(��x0)(x�x0).Imp�art�ind ambii membri ai egalit�at�ii de mai sus u (x� x0)(y� y0) (x 6= x0,y 6= y0) dedu em�2f�x�y (x0; y0)+�1(x; �)+�5(x; �) � � y0x� x0 = �2f�y�x(x0; y0)+ e�2(�; y)+ e�5(�; y)� � x0y � y0 :(6:1:16)S�a onsider�am (x; y) 2 V n f(x0; y0)g u x� x0 = y � y0. Atun i dedu em������ � x0y � y0 ����� = ����� � � x0x� x0 ����� � jx� x0jjx� x0j = 1; iar ���� � � y0x� x0 ���� = ������ � y0y � y0 ����� � jy � y0jjy � y0j = 1.Da �a (x; y)! (x0; y0) rezult�a �a � ! x0 �si � ! y0, iar din (6.1.16) dedu em �a �2f�x�y (x0; y0) = �2f�y�x(x0; y0). Q.E.D.Conse int�a 6.1.5. Da �a derivatele part�iale de ordinul �ntai �f�xi , �f�xj , i 6= jale fun t�iei f : D ! IR, D � IRn, exist�a pe A � ÆD �si a estea sunt diferent�iabile peA, atun i derivatele part�iale mixte de ordinul al doilea �2f�xi�xj �si �2f�xj�xi exist�ape A �si sunt egale.Prin indu t�ie matemati �a dedu emConse int�a 6.1.6. Da �a fun t�ia f : D ! IR, D � IRn admite toate

Diferent�iale �si derivate part�iale 259derivatele part�iale de ordinul N � 1 pe o ve in�atate V a pun tului ~x0 2 ÆD �sia estea sunt diferent�iabile �n ~x0, atun i exist�a toate derivatele part�iale de ordinulN �n ~x0 �si �Nf�xi1�xi2 � � ��xiN (~x0) = �Nf�xj1�xj2 � � ��xjN (~x0),ori are ar � permutarea fj1; j2; : : : ; jNg a indi ilor fi1; i2; : : : ; iNg.Exist�a fun t�ii pentru are derivatele mixte sunt diferite, dup�a um vom vedeadin exemplul urm�ator.Exemplul 6.1.7. Fun t�ia f : IR2 ! IR, de�nit�a prinf(x; y) = 8>><>>: xy(x2 � y2)x2 + y2 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0);are derivate part�iale de ordinul al doilea mixte �n pun tul (0; 0), diferite. Intr-a-dev�ar �f�x (x; y) = 8>><>>: x4y + 4x2y3 � y5(x2 + y2)2 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0);�f�y (x; y) = 8>><>>: x5 � 4x3y2 � xy4(x2 + y2)2 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0):Apoi�2f�x�y (0; 0) = ��x �f�y! (0; 0) = limx!0 �f�y (x; 0)� �f�y (0; 0)x� 0 = limx!0 x5x4x = 1;�2f�y�x(0; 0) = ��y �f�x! (0; 0) = limy!0 �f�x(0; y)� �f�x(0; 0)y � 0 = limy!0 �y5y4y = �1:De i �2f�x�y (0; 0) = 1 6= �1 = �2f�y�x(0; 0).De�nit�ia 6.1.12. Da �a fun t�ia f : D ! IR, D � IRn are toate derivatelepart�iale de ordinul al doilea �n pun tul ~x0 2 ÆD, atun i matri ea, notat�aH(f)(~x0) = (aij)i;j=1;n 2 Mn(IR), unde aij = �2f�xj�xi (~x0), se nume�ste hessianasau matri ea lui Hesse a fun t�iei f �n ~x0. De i

260 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeH(f)(~x0) = 0BBBBBBBBBBB�

�2f�x21 (~x0) �2f�x2�x1 (~x0) � � � �2f�xn�x1 (~x0)�2f�x1�x2 (~x0) �2f�x22 (~x0) � � � �2f�xn�x2 (~x0)... ... ...�2f�x1�xn (~x0) �2f�x2�xn (~x0) � � � �2f�x2n (~x0)1CCCCCCCCCCCA 2 Mn(IR).

Fie fun t�ia f : D! IR, D � IRn �si �e A � ÆD (A 6= ;) mult�imea pun telor �n are f este diferent�iabil�a. S�a onsider�am fun t�ia(~x;~h)! df(~x)(~h) =< rf(~x);~h >= nXi=1 �f�xi (~x)hi;8 (~x;~h) 2 A� IRn; ~h = (h1; h2; : : : ; hn): (6:1:17)Da �a �x�am primul argument ~x 2 A �n fun t�ia (6.1.17) obt�inem diferent�ialafun t�iei f �n pun tul ~x 2 A. Da �a �x�am al doilea argument �n fun t�ia (6.1.17)obt�inem fun t�ia � : ~x! df(~x)(~h) =< rf(~x);~h >; ~x 2 A; (6:1:18)numit�a diferent�iala fun t�iei f orespunz�atoare re�sterii ~h sau fun t�ia diferent�ial�a.De�nit�ia 6.1.13. Fun t�ia f este diferent�iabil�a de dou�a ori �n pun tul ~x0 2 ÆAda �a fun t�ia diferent�ial�a de ordinul �ntai (6.1.18) este diferent�iabil�a �n ~x0 pentru�e are ~h 2 IRn.Deoare e�(~x) = df(~x)(~h) = �f�x1 (~x)h1 + �f�x2 (~x)h2 + � � �+ �f�xn (~x)hn; ~h 2 IRn,rezult�a �a fun t�ia � este diferent�iabil�a �n ~x0 2 ÆA, pentru �e are ~h 2 IRn da �a �sinumai da �a fun t�iile derivate part�iale ~x ! �f�xi (~x), i = 1; n sunt diferent�iabile�n ~x0. Intr-adev�ar, da �a ~x ! �f�xi (~x), i = 1; n sunt diferent�iabile �n ~x0, atun i onform Teoremei 6.1.3, rezult�a �a �si ombinat�ia a estora, adi �a fun t�ia � estediferent�iabil�a �n ~x0, pentru 8 h1; : : : ; hn 2 IR. Re ipro , da �a fun t�ia � estediferent�iabil�a �n ~x0 pentru 8~h 2 IRn, atun i luand ~h = (0; 0; : : : ; 1|{z}i ; : : : ; 0)obt�inem �a ~x ! �f�xi (~x) este diferent�iabil�a �n ~x0, 8 i = 1; n. Rezult�a astfel �a

Diferent�iale �si derivate part�iale 261fun t�ia f este diferent�iabil�a de dou�a ori �n ~x0 2 ÆA da �a �si numai da �a toatefun t�iile derivate part�iale de ordinul �ntai sunt diferent�iabile �n ~x0. De i f aretoate derivatele part�iale de ordinul al doilea �n ~x0 �si , onform Teoremei 6.1.5,derivatele part�iale de ordinul al doilea mixte �n ~x0 sunt egale.Da �a f este diferent�iabil�a de dou�a ori �n ~x0 2 ÆA, atun i prin diferent�iala sa deordinul al doilea �n ~x0, notat�a u d2f(~x0) vom �nt�elege mult�imea diferent�ialelorfun t�iilor � �n ~x0 pentru ori e ~h 2 IRn, de i fun t�iile~k ! d�(~x0)(~k) = ���x1 (~x0)k1 + ���x2 (~x0)k2 + � � �+ ���xn (~x0)kn == �2f�x21 (~x0)h1k1 + �2f�x1�x2 (~x0)h2k1 + � � �+ �2f�x1�xn (~x0)hnk1++ �2f�x2�x1 (~x0)h1k2 + �2f�x22 (~x0)h2k2 + � � �+ �2f�x2�xn (~x0)hnk2 + � � �++ �2f�xn�x1 (~x0)h1kn + �2f�xn�x2 (~x0)h2kn + � � �+ �2f�x2n (~x0)hnkn; ~k; ~h 2 IRn.A east�a familie de fun t�ii se identi� �a u fun t�ia de dou�a variabile ve torialed2f(~x0) : (~h;~k)! nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)hjki = nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)hikj.In general se folose�ste azul ~h = ~k. De i vom onsidera diferent�iala a doua afun t�iei f �n pun tul ~x0, apli at�iad2f(~x0) : IRn ! IR; d2f(~x0)(~h) = nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)hihj; ~h 2 IRn; (6:1:19)sau a egalitate de fun t�iid2f(~x0) = nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)dxi dxj; (6:1:20)ultima �ind o form�a p�atrati �a pe spat�iul IRn �n diferent�ialele dxi, i = 1; n alefun t�iilor pi(~x) = xi; i = 1; n.Expresiile (6.1.19) �si (6.1.20) ne du u gandul la operat�ia de ridi are lap�atrat. Astfel este motivat�a introdu erea exponentului, notat f2g �si s rierearelat�iilor (6.1.19) �si (6.1.20) sub forma unor puteri simboli ed2f(~x0)(~h) = ��x1h1 + ��x2h2 + � � �+ ��xnhn!f2g f(~x0); ~h 2 IRn,

262 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realed2f(~x0) = ��x1dx1 + ��x2 dx2 + � � �+ ��xndxn!f2g f(~x0).Prin re urent��a fun t�ia f este de N ori diferent�iabil�a �ntr-un pun t ~x0 da �aea are toate derivatele part�iale de ordinul (N � 1) pe o �ntreag�a ve in�atate V alui ~x0 �si a estea sunt diferent�iabile �n ~x0. Diferent�iala de ordinul N a fun t�iei feste fun t�iadNf(~x0) : IRn � IRn � � � � � IRn ! IR;dNf(~x0)(~h(1);~h(2); : : : ;~h(N)) = NXi1;i2;:::;iN=1 �Nf�xi1�xi2 � � ��xiN (~x0)h(1)i1 h(2)i2 � � �h(N)iN ,unde ~h(i) = (h(i)1 ; h(i)2 ; : : : ; h(i)n ) 2 IRn; i = 1; N .Da �a variabilele sunt egale ~h(i) = ~h, i = 1; n, vom onsidera diferent�iala deordinul N a fun t�iei f �n ~x0 apli at�iadNf(~x0) : IRn ! IR;dNf(~x0)(~h) = NXi1;i2;:::;iN=1 �Nf�xi1�xi2 � � ��xiN (~x0)hi1hi2 � � �hiN == ��x1h1 + ��x2h2 + � � �+ ��xnhn!fNg f(~x0): (6:1:21)Ca egalitate de fun t�ii avemdNf(~x0) = NXi1;i2;:::;iN=1 �Nf�xi1�xi2 � � ��xiN (~x0)dxi1 dxi2 � � �dxiN == ��x1 dx1 + ��x2dx2 + � � �+ ��xn dxn!fNg f(~x0); (6:1:22) are este o form�a N -liniar�a pe spat�iul IRn �n diferent�ialele dxi, i = 1; n.Folosind formula multinomial�a(x1 + x2 + � � �+ xn)N = Xk1+k2+���+kn=N N !k1!k2! � � �kn!xk11 xk22 � � �xknn ,relat�ia (6.1.22) se mai s riedNf(~x0)= Xk1+k2+���+kn=N N !k1!k2! � � �kn! �Nf�xk11 �xk22 � � ��xknn (~x0)dxk11 dxk22 � � �dxknn .De�nit�ia 6.1.14. O fun t�ie f : D ! IR, unde D este o mult�ime des his�adin IRn, este de las�a Ck pe D da �a f are toate derivatele part�iale pan�a la ordinulk in lusiv ontinue pe D.

Diferent�iale �si derivate part�iale 263Mult�imea fun t�iilor de las�a Ck pe D se noteaz�a Ck(D). Prin C0(D) � C(D)vom �nt�elege mult�imea fun t�iilor ontinue pe D.S�a onsider�am o fun t�ie ve torial�a ~f : D � IRn ! IRm, ~f = (f1; f2; : : : ; fm) u fj : D ! IR; j = 1; m. Vom spune �a fun t�ia ~f este diferent�iabil�a �n ~x0 2 ÆD(sau pe o mult�ime A � ÆD) da �a toate fun t�iile omponente f1; f2; : : : ; fm suntdiferent�iabile �n ~x0 (respe tiv pe mult�imea A). Asem�an�ator, spunem �a fun t�ia~f este derivabil�a part�ial �n ~x0 2 ÆD (pe A � ÆD) da �a fun t�iile f1; f2; : : : ; fm suntderivabile part�ial �n ~x0 (respe tiv pe A). In a est az apar mn derivate part�iale�fj�xi , i = 1; n, j = 1; m. De i rat�ionand pentru �e are din ele m fun t�ii u valorireale, putem studia diferent�iabilitatea �si derivabilitatea fun t�iei ve toriale ~f .De�nit�ia 6.1.15. Da �a fun t�ia ~f : D � IRn ! IRm, ~f = (f1; f2; : : : ; fm) aretoate derivatele part�iale �fj�xi , j = 1; m, i = 1; n, �n pun tul ~x0, atun i matri ea �fj�xi!j=1;m; i=1;n 2 Mm�n(IR) se nume�ste gradientul fun t�iei ~f �n ~x0 sau ia obianafun t�iei ~f , notat�a r~f(~x0). De ir~f(~x0) = 0BBBBBBBBBB�

�f1�x1 (~x0) �f1�x2 (~x0) � � � �f1�xn (~x0)�f2�x1 (~x0) �f2�x2 (~x0) � � � �f2�xn (~x0)... ... ...�fm�x1 (~x0) �fm�x2 (~x0) � � � �fm�xn (~x0)1CCCCCCCCCCA 2 Mm�n(IR).

De�nit�ia 6.1.16. Da �a fun t�ia ~f : D � IRn ! IRn, ~f = (f1; f2; : : : ; fn)are toate derivatele part�iale �fj�xi (~x0), i; j = 1; n, �n pun tul ~x0, determinantulgradientului fun t�iei ~f �n ~x0, notat D(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x0) se nume�ste ia obianulsau determinantul fun t�ional al fun t�iei ~f �n ~x0. De i

264 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeD(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x0) = detr~f(~x0) = ����������������

�f1�x1 (~x0) �f1�x2 (~x0) � � � �f1�xn (~x0)�f2�x1 (~x0) �f2�x2 (~x0) � � � �f2�xn (~x0)... ... ...�fn�x1 (~x0) �fn�x2 (~x0) � � � �fn�xn (~x0)���������������� :1.3. Derivata dup�a o dire t�ieFie fun t�ia f : D ! IR, D � IRn, ~x0 2 ÆD, iar ~! 2 IRn, ~! = (!1; !2; : : : ; !n) u k~!k = 1, (unde k � k este norma eu lidian�a).De�nit�ia 6.1.17. Spunem �a fun t�ia f este derivabil�a �n raport u ~! �npun tul ~x0 da �a fun t�ia t ! f(~x0 + t~!), ~x0 + t~! 2 D, t > 0 este derivabil�a ladreapta �n pun tul t = 0. In a est az derivata a estei fun t�ii la dreapta �n t = 0se nume�ste derivata fun t�iei f �n raport u ~! �n ~x0 �si se noteaz�a dfd~! (~x0).Teorema 6.1.6. Da �a fun t�ia ~f : D � IRn ! IR este diferent�iabil�a �n~x0 2 ÆD atun i f este derivabil�a �n raport u ori e ~! �n pun tul ~x0 �sidfd~! (~x0) = df(~x0)(~!) =< rf(~x0); ~! >.Demonstrat�ie. Din De�nit�ia 6.1.1 avemf(~x) = f(~x0) + df(~x0)(~x� ~x0) + �(~x)k~x� ~x0k; 8 ~x 2 D,unde � : D! IR are propriet�at�ile lim~x!~x0 �(~x) = �(~x0) = 0.Lu�am �n relat�ia de mai sus ~x = ~x0 + t~!, t > 0 �si obt�inemf(~x0 + t~!) = f(~x0) + df(~x0)(t~!) + �(~x0 + t~!)kt~!k )f(~x0 + t~!)� f(~x0) = t df(~x0)(~!) + jtj�(~x0 + t~!); (k~!k = 1).De i f(~x0 + t~!)� f(~x0)t = df(~x0)(~!) + �(~x0 + t~!).Tre and la limit�a pentru t! 0 obt�inemdfd~! (~x0) = limt!0 f(~x0 + t~!)� f(~x0)t = df(~x0)(~!) =< rf(~x0); ~! > : Q.E.D.Exemplul 6.1.8. Fie fun t�ia f : IR2 ! IR, de�nit�a prinf(x; y) = 8><>: xyx2 + y2 ; da �a (x; y) 6= (0; 0);0; da �a (x; y) = (0; 0):S�a studiem existent�a derivatei fun t�iei f �n pun tul (0; 0) dup�a versorul~v = ( os �; sin �), � 2 [0; 2�). Conform De�nit�iei 6.1.17 avem

Fun t�ii ompuse 265f((0; 0) + t~v)� f(0; 0)t = t2 sin � os �t2 os2 � + t2 sin2 �.t = sin � os �t = sin 2�2t .Da �a sin 2� = 0, de i � 2 �0; �2 ; �; 3�2 � atun i exist�adfd~v (0; 0) = limt!0 f((0; 0) + t~v)� f(0; 0)t = 0.Da �a sin 2� 6= 0, de i � 2 [0; 2�) n �0; �2 ; �; 3�2 � atun i 6 9 dfd~v (0; 0).2. Fun t�ii ompuse2.1. Diferent�iala �si derivatele part�iale de ordinul �ntai alefun t�iilor ompuseFie fun t�iile~' : D�IRn!IRm; ~x=(x1; x2; : : : ; xn)!~u= ~'(~x)=('1(~x); : : : ; 'm(~x)); ~x 2 D�si f : E � IRm ! IR; ~u = (u1; u2; : : : ; um)! y = f(~u) 2 IR; ~u 2 E,unde D �si E sunt mult�imi des hise, iar ~'(D) � E.De�nim fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' : D! IR,~x! y = F (~x) = (f Æ ~')(~x) = f(~'(~x)) = f('1(~x); : : : ; 'm(~x)); ~x 2 D.Teorema 6.2.1. Da �a fun t�iile 'j, j = 1; m sunt diferent�iabile �n ~x0 2 D,iar fun t�ia f este diferent�iabil�a �n ~u0 = ~'(~x0) 2 E, uj0 = 'j(~x0), j = 1; m,atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' este diferent�iabil�a �n pun tul ~x0. In plusdF (~x0) = mXj=1 �f�uj (~u0)d'j(~x0); (6:2:1)�F�xi (~x0) = mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0); i = 1; n: (6:2:2)Demonstrat�ie. Din diferent�iabilitatea fun t�iei f �n ~u0 �si a fun t�iilor 'j,j = 1; m �n ~x0, avem ( onform De�nit�iei 6.1.1 �si Teoremei 6.1.1)f(~u)� f(~u0) = mXj=1 �f�uj (~u0)(uj � uj0) + �(~u)k~u� ~u0k1; 8 ~u 2 E; (6:2:3)

266 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale u � : E ! IR; lim~u!~u0 �(~u) = �(~u0) = 0 �si'j(~x)� 'j(~x0) = nXi=1 �'j�xi (~x0)(xi � xi0) + �j(~x)k~x� ~x0k2; 8 ~x 2 D; (6:2:4) u �j : D! IR; lim~x!~x0 �j(~x) = �j(~x0) = 0, j = 1; m,unde k � k1 �si k � k2 sunt normele eu lidiene �n spat�iile IRm, respe tiv IRn.Inlo uind relat�ia (6.2.4) �n (6.2.3), adi �a luand ~u = ~'(~x), uj = 'j(~x),~u0 = ~'(~x0), uj0 = 'j(~x0), obt�inemF (~x)� F (~x0) = f(~'(~x))� f(~'(~x0)) = mXj=1 �f�uj ('j(~x0)) " nXi=1 �'j�xi (~x0)(xi � xi0)++�j(~x)k~x� ~x0k2# + �(~'(~x))k~'(~x)� ~'(~x0)k1sau F (~x)� F (~x0) = nXi=10� mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0)1A (xi � xi0)++0� mXj=1 �f�uj (~u0)�j(~x)1A k~x� ~x0k2 + �(~'(~x))k~'(~x)� ~'(~x0)k1 == nXi=10� mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0)1A (xi � xi0) + �(~x); 8 ~x 2 D,unde � : D! IR este fun t�ia�(~x) = 0� mXj=1 �f�uj (~u0)�j(~x)1A k~x� ~x0k2 + �(~'(~x))k~'(~x)� ~'(~x0)k1.De�nim fun t�ia � : D! IR prin�(~x) = 8>><>>: mXj=1 �f�uj (~u0)�j(~x) + �(~'(~x))k~'(~x)� ~'(~x0)k1k~x� ~x0k2 ; ~x 6= ~x0;0; ~x = ~x0:Evident atun i avemF (~x)� F (~x0) = nXi=10� mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0)1A (xi � xi0) + �(~x)k~x� ~x0k2; 8 ~x 2 D:(6:2:5)R�amane s�a ar�at�am �a � veri� �a ondit�iile lim~x!~x0 �(~x) = �(~x0) = 0. A doua ondit�ie este �ndeplinit�a (din de�nit�ia lui �). S�a o veri� �am a um pe prima.

Fun t�ii ompuse 267Avem lim~x!~x00� mXj=1 �f�uj (~u0)�j(~x)1A = mXj=1 �f�uj (~u0) lim~x!~x0 �j(~x) = 0: (6:2:6)Apoik~'(~x)� ~'(~x0)k1 � mXj=1 j'j(~x)� 'j(~x0)j � mXj=1 "����� nXi=1 �'j�xi (~x0)(xi � xi0)�����++j�j(~x)jk~x� ~x0k2# � nXi=10� mXj=1 ������'j�xi (~x0)�����1A jxi � xi0j+ 0� mXj=1 j�j(~x)j1A k~x� ~x0k2 �� 264 nXi=10� mXj=1 ������'j�xi (~x0)�����1A23751=2 nXi=1 jxi � xi0j2!1=2 + 0�mXj=1 j�j(~x)j1A k~x� ~x0k2 == 8>><>>:264 nXi=10� mXj=1 ������'j�xi (~x0)�����1A23751=2 + mXj=1 j�j(~x)j9>>=>>; k~x� ~x0k2.De ik~'(~x)� ~'(~x0)k1k~x� ~x0k2 � 264 nXi=10� mXj=1 ������'j�xi (~x0)�����1A23751=2 + mXj=1 j�j(~x)j; ~x 6= ~x0,iar������(~'(~x))k~'(~x)� ~'(~x0)k1k~x� ~x0k2 ������j�(~'(~x))j8>><>>:264 nXi=10�mXj=1 ������'j�xi (~x0)�����1A23751=2+ mXj=1 j�j(~x)j9>>=>>;.Deoare e limita pentru ~x ! ~x0 a fun t�iei din membrul drept al inegalit�at�iide mai sus este 0, dedu em �alim~x!~x0 �(~'(~x))k~'(~x)� ~'(~x0)k1k~x� ~x0k2 = 0, are �mpreun�a u (6.2.6) ne dau lim~x!~x0�(~x) = 0.Din relat�ia (6.2.5) rezult�a �a fun t�ia F = f Æ ~' este diferent�iabil�a �n ~x0 �siderivatele sale part�iale �n ~x0 sunt�F�xi (~x0) = mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0); i = 1; n.Diferent�iala fun t�iei F �n ~x0 estedF (~x0) = nXi=1 �F�xi (~x0) dxi = nXi=10� mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0)1A dxi == mXj=1 �f�uj (~u0) nXi=1 �'j�xi (~x0) dxi! = mXj=1 �f�uj (~u0) d'j(~x0): Q.E.D.

268 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeObservat�ia 6.2.1. In formulele (6.2.2) am al ulat derivata part�ial�a afun t�iei ompuse F = f Æ ~' �n raport u variabila xi, derivand pe rand �n ra-port u a ea variabil�a (xi) prin intermediul �e �areia din variabilele init�iale uj,j = 1; m �f�uj �'j�xi ! �si adunand apoi rezultatele.Vom prezenta �n ontinuare ateva azuri parti ulare ale formulelor (6.2.1)�si (6.2.2).1. Pentru m = n = 1 avem fun t�iile ' : D � IR ! IR, f : E � IR ! IR u'(D) � E �si fun t�ia ompus�a F = f Æ' : D ! IR, F (x) = (f Æ')(x) = f('(x)),iar x0 2 D, u0 = '(x0) 2 E. Atun idF (x0) = d(fÆ')(x0) = f 0(u0) d'(x0) �si F 0(x0) = (fÆ')0(x0) = f 0(u0)'0(x0).2. Pentru m 2 IN , m � 2 �si n = 1 avem fun t�iile ~' : D � IR ! IRm,~' = ('1; '2; : : : ; 'm), f : E ! IR u ~'(D) � E �si fun t�ia ompus�aF = f Æ ~' : D! IR, F (x) = (f Æ ~')(x) = f(~'(x)),iar x0 2 D, ~u0 = ~'(x0) 2 E. Atun idF (x0) = d(f Æ ~')(x0) = mXj=1 �f�uj (~u0) d'j(x0) �siF 0(x0) = (f Æ ~')0(x0) = mXj=1 �f�uj (~u0)'0j(x0).Da �a m = 2 pentru fun t�ia F (x) = (f Æ ~')(x) = f('1(x); '2(x)), u~u0 = ~'(x0) = ('1(x0); '2(x0)) avemd(f Æ ~')(x0) = �f�u1 (~u0) d'1(x0) + �f�u2 (~u0) d'2(x0) �siF 0(x0) = �f�u1 (~u0)'01(x0) + �f�u2 (~u0)'02(x0).Am al ulat derivata fun t�iei F prin intermediul derivatelor part�iale ale lui f .3. Pentru n 2 IN , n � 2 �si m = 1 avem fun t�iile ' : D � IRn ! IR,f : E � IR ! IR, u '(D) � E �si fun t�ia ompus�a F = f Æ ' : D ! IR,F (~x) = (f Æ ')(~x) = f('(~x)), iar ~x0 2 D, u0 = '(~x0). Atun idF (~x0) = d(f Æ ')(~x0) = f 0(u0) d'(~x0) �si�F�xi (~x0) = f 0(u0) �'�xi (~x0); i = 1; n.Da �a n = 2 pentru fun t�ia F (~x) = (f Æ ')(~x) = f('(~x)), u~x0 = (x10; x20) 2 IR2, u0 = '(~x0) avem

Fun t�ii ompuse 269dF (~x0) = d(f Æ ')(~x0) = f 0(u0) d'(~x0) �si�F�x1 (~x0) = f 0(u0) �'�x1 (~x0); �F�x2 (~x0) = f 0(u0) �'�x2 (~x0).Conse int�a 6.2.1. Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m sunt diferent�iabile pe D,iar f este diferent�iabil�a pe E ( u ~'(D) � E), atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~'este diferent�iabil�a pe D �si au lo formulele (6.2.1) �si (6.2.2) pentru 8 ~x 2 D.Conse int�a 6.2.2. Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale on-tinue pe D, iar fun t�ia f are derivate part�iale ontinue pe E, atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' are derivate part�iale ontinue pe E.Demonstrat�ie. Deoare e �'j�xi , i = 1; n, j = 1; m, �si �f�uj ; j = 1; m sunt ontinue, rezult�a �a 'j; j = 1; m �si f sunt diferent�iabile (de i �si ontinue). Atun irezult�a �a fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' este diferent�iabil�a , iar din formulele (6.2.2)dedu em �a derivatele sale part�iale sunt ontinue. Q.E.D.Teorema 6.2.2. Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale �n raport u variabila xi (i = 1; n) �n pun tul ~x0 2 D, iar fun t�ia f este diferent�iabil�a �npun tul ~u0 = ~'(~x0) 2 E atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' are derivat�a part�ial�a�n raport u xi �n pun tul ~x0, dat�a de formula�F�xi (~x0) = mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0).Demonstrat�ie. Conform ipotezei, avem�'j�xi (~x0) = limt!0 'j(~x0 + t~ei)� 'j(~x0)t = limt!0 'j(~x0 + t~ei)� uj0t ; j = 1; m.Apoi din diferent�iabilitatea lui f �n pun tul ~u0, avem (vezi (6.2.3))f(~u)� f(~u0) = mXj=1 �f�uj (~u0)(uj � uj0) + �(~u)k~u� ~u0k1; 8 ~u 2 E, u � : E ! IR, lim~u!~u0 �(~u) = �(~u0) = 0.Atun i F (~x0 + t~ei)� F (~x0)t == (f Æ ~')(~x0 + t~ei)� (f Æ ~')(~x0)t = f(~'(~x0 + t~ei))� f(~'(~x0))t == 1t0�mXj=1 �f�uj (~u0)('j(~x0 + t~ei)� uj0) + �(~'(~x0 + t~ei))k~'(~x0 + t~ei)� ~'(~x0)k11A== mXj=1 �f�uj (~u0)'j(~x0 + t~ei)� 'j(~x0)t + �(~'(~x0 + t~ei)) ~'(~x0 + t~ei)� ~'(~x0)t 1 :

270 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeFun t�iile t! 'j(~x0 + t~ei) sunt ontinue �n 0 ('j sunt derivabile �n raport uxi �n ~x0), j = 1; m, iar � este ontinu�a �n pun tul orespunz�ator ~u0. Rezult�a �afun t�ia ompus�a t! �(~'(~x0 + t~ei)) este ontinu�a �n 0 �si limt!0 �(~'(~x0 + t~ei)) = 0.Deoare e k � k este o fun t�ie ontinu�a, tre and la limit�a �n relat�ia obt�inut�amai sus, obt�inemlimt!0 F (~x0 + t~ei)� F (~x0)t = mXj=1 �f�uj (~u0) limt!0 'j(~x0 + t~ei)� 'j(~x0)t ++ limt!0 �(~'(~x0 + t~ei)) limt!0 ~'(~x0 + t~ei)� ~'(~x0)t 1 = mXj=1 �f�uj (~u0)�'j�xi (~x0),de i �F�xi (~x0) exist�a, este �nit�a �si este dat�a de formula din enunt�ul teoremei.Q.E.D.Conse int�a 6.2.3. Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale pe D,iar fun t�ia f este diferent�iabil�a pe E, atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' arederivate part�iale pe E date de formulele (6.2.2).Exemplul 6.2.1. S�a onsider�am fun t�iile z = z(t), t(x; y) = bx � ay �sifun t�ia ompus�aF (x; y) = z(t(x; y)) = z(bx� ay).Atun i onform pun tului 3 de la azurile parti ulare ( u f � z, ' � t) avem�F�x (x; y) = z0(t) �t�x (x; y) = bz0(bx� ay); �F�y (x; y) = z0(t) �t�y (x; y) == �az0(bx� ay),iar diferent�iala fun t�iei F estedF (x; y) = z0(t) dt(x; y) = z0(t)(b dx� a dy) = bz0(t) dx� az0(t) dy,( u t(x; y) = bx� ay).Exemplul 6.2.2. S�a onsider�am fun t�iile f = f(u; v), u(t) = t2, v(t) = 1t �sifun t�ia ompus�aF (t) = f(u(t); v(t)) = f �t2; 1t�.Atun i onform pun tului 2 de la azurile parti ulare ( u x � t) avemF 0(t) = �f�u(u(t); v(t))u0(t) + �f�v (u(t); v(t))v0(t) = �f�u �t2; 1t� 2t++�f�v �t2; 1t��� 1t2� ; iar

Fun t�ii ompuse 271dF (t) = �f�u (u(t); v(t)) du(t) + �f�v (u(t); v(t)) dv(t) = 2t�f�u �t2; 1t��� 1t2 �f�v �t2; 1t�! dt.Exemplul 6.2.3. S�a onsider�am fun t�iile f = f(u; v), u(x; y) = xy,v(x; y) = xy �si fun t�ia ompus�aF (x; y) = f(u(x; y); v(x; y)) = f xy; xy! :Din (6.2.1) �si (6.2.2) avem�F�x (x; y) = �f�u xy; xy! �u�x (x; y) + �f�v xy; xy! �v�x(x; y) = y�f�u xy; xy!++1y �f�v xy; xy! ;�F�y (x; y) = �f�u xy; xy! �u�y (x; y) + �f�v xy; xy! �v�y (x; y) = x�f�u xy; xy!�� xy2 �f�v xy; xy! �sidF (x; y) = �f�u xy; xy! du(x; y)+�f�v xy; xy! dv(x; y) = �f�u xy; xy! (y dx+x dy)++�f�v xy; xy! 1y dx� xy2 dy! = "y�f�u xy; xy!+ 1y �f�v xy; xy!# dx++ "x�f�u xy; xy!� xy2 �f�v xy; xy!# dy.Diferent�iala dF putea � s ris�a �si dire t, avand �n vedere �a �stiam derivatelepart�iale, adi �adF (x; y) = �F�x (x; y) dx+�F�y (x; y) dy = "y�f�u xy; xy!+ 1y �f�v xy; xy!# dx++ "x�f�u xy; xy!� xy2 �f�v xy; xy!# dy.2.2. Diferent�iale �si derivate part�iale de ordin superior alefun t�iilor ompuseTeorema 6.2.3. Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale de ordinulal doilea �n pun tul ~x0 2 D, iar fun t�ia f este diferent�iabil�a de dou�a ori �ntr-ove in�atate a pun tului ~u0 = ~'(~x0) 2 E atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' are

272 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realederivate part�iale de ordinul al doilea �n ~x0 �si au lo formulele�2F�xk�xi (~x0) = mXl;j=1 �2f�ul�uj (~u0)�'l�xk (~x0)�'j�xi (~x0)++ mXj=1 �f�uj (~u0) �2'j�xk�xi (~x0); k; i = 1; n: (6:2:7)Demonstrat�ie. Deoare e fun t�ia f este diferent�iabil�a de dou�a ori pe ove in�atate U a pun tului ~x0, ea are derivate part�iale �f�uj ; j = 1; m, diferent�iabilepe U . Rezult�a �a fun t�ia f este diferent�iabil�a pe U . Vom presupune, f�ar�a ami �sora generalitatea problemei, �a derivatele �f�uj ; j = 1; m exist�a pe toat�amult�imea de de�nit�ie E. Deoare e fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale deordinul al doilea �n pun tul ~x0 2 D, ele au derivate part�iale de ordinul �ntai pe omult�ime V are ont�ine segmente paralele u axele Oxi, i = 1; n, are tre prin~x0. S�i ai i vom presupune, f�ar�a a mi �sora generalitatea , �a derivatele part�iale�'j�xi , i = 1; n; j = 1; m exist�a pe toat�a mult�imea D.Deoare e fun t�iile 'j, j = 1; m, au derivate part�iale pe D, iar fun t�ia feste diferent�iabil�a pe E, rezult�a ( onform Conse int�ei 6.2.3) �a fun t�ia ompus�aF = f Æ ~' are derivate part�iale pe D �si�F�xi (~x) = mXj=1 �f�uj (~'(~x))�'j�xi (~x); 8 ~x 2 D; i = 1; n: (6:2:8)Toate fun t�iile din membrul drept al relat�iei de mai sus au derivate �n ~x0(fun t�iile �'j�xi au derivate part�iale �n ~x0, iar fun t�iile �f�uj (~'(~x)); j = 1; m auderivate part�iale �n ~x0, deoare e fun t�iile 'j au derivate part�iale �n ~x0, iar fun t�iile�f�uj (~u); j = 1; m sunt diferent�iabile �n ~u0 (Teorema 6.2.2)). Rezult�a �a fun t�iile�F�xi ; i = 1; n au derivate part�iale �n pun tul ~x0, adi �a fun t�ia ompus�a F arederivate part�iale de ordinul al doilea �n ~x0. Derivand relat�iile (6.2.8) �n raport uxk, k 2 f1; 2; : : : ; ng, �n pun tul ~x0, obt�inem�2F�xk�xi (~x0) = ��xk �F�xi! (~x0) = ��xk 0� mXj=1 �f�uj (~'(~x))�'j�xi (~x)1A (~x0) =

Fun t�ii ompuse 273= mXj=1 ��xk " �f�uj (~'(~x))�'j�xi (~x)# (~x0) = mXj=1 ��xk �f�uj (~'(~x))! (~x0)�'j�xi (~x0)++ mXj=1 �f�uj (~u0) �2'j�xk�xi (~x0) = mXj=1 " mXl=1 �2f�ul�uj (~u0)�'l�xk (~x0)# �'j�xi (~x0)++ mXj=1 �f�uj (~u0) �2'j�xk�xi (~x0) = mXl;j=1 �2f�ul�uj (~u0)�'l�xk (~x0)�'j�xi (~x0)++ mXj=1 �f�uj (~u0) �2'j�xk�xi (~x0); k; i = 1; n: Q.E.D.Conse int�a 6.2.4. Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale deordinul al doilea pe D, iar fun t�ia f este diferent�iabil�a de dou�a ori pe E, atun ifun t�ia ompus�a F = f Æ ~' are derivate part�iale de ordinul al doilea pe D.Teorema 6.2.4. Da �a fun t�iile 'j : D! IR; j = 1; m sunt diferent�iabile dedou�a ori �n ~x0 2 D, iar fun t�ia f este de dou�a ori diferent�iabil�a �ntr-o ve in�atatea pun tului ~u0 = ~'(~x0) 2 E, atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' este diferent�iabil�ade dou�a ori �n pun tul ~x0 �si avemd2F (~x0) = mXl;j=1 �2f�ul�uj (~u0) d'l(~x0) d'j(~x0) + mXj=1 �f�uj (~u0) d2'j(~x0): (6:2:9)Demonstrat�ie. Deoare e fun t�iile 'j; j = 1; m sunt diferent�iabile de dou�aori �n ~x0, atun i ele au derivate part�iale de ordinul �ntai �ntr-o ve in�atate V apun tului ~x0 �si a estea sunt diferent�iabile �n ~x0. Rezult�a �a fun t�ia ompus�a Fare derivate part�iale de ordinul �ntai �n ve in�atatea V date de formula (6.2.2),adi �a �F�xi (~x) = mXj=1 �f�uj (~'(~x))�'j�xi (~x); i = 1; n; ~x 2 V .Toate fun t�iile din membrul drept al relat�iilor de mai sus sunt diferent�iabile�n ~x0 ��'j�xi sunt diferent�iabile �n ~x0, deoare e 'j sunt diferent�iabile de dou�a ori�n ~x0; apoi fun t�iile 'j sunt diferent�iabile �n ~x0, �f�uj sunt diferent�iabile �n ~u0,deoare e f este de dou�a ori diferent�iabil�a pe o ve in�atate a pun tului ~u0, de i�si �f�uj (~'(~x)) sunt diferent�iabile �n ~x0, j = 1; m�. Rezult�a �a �F�xi , i = 1; n suntdiferent�iabile �n ~x0, adi �a F este diferent�iabil�a de dou�a ori �n ~x0. Dedu em deai i �a fun t�ia ompus�a F are toate derivatele de ordinul al doilea �n ~x0 (date de

274 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeformulele (6.2.7)), iar derivatele mixte sunt egale �n ~x0.Inmult�ind (6.2.7) u dxk dxi �si sumand dup�a k �si i de la 1 la n obt�inem relat�ia(6.2.9). Q.E.D.Prin indu t�ie matemati �a se demonstreaz�a teorema urm�atoare are ne d�aexistent�a derivatelor part�iale �si a diferent�ialelor de ordin superior pentru fun t�ia ompus�a F .Teorema 6.2.5. Da �a fun t�iile 'j : D ! IR, j = 1; m sunt diferent�iabilede p ori (sau au derivate part�iale de ordinul p) pe D, iar fun t�ia f : E ! IR(~'(D) � E, ~' = ('1; '2; : : : ; 'm)) este diferent�iabil�a de p ori pe E, atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' este diferent�iabil�a de p ori (respe tiv are derivate part�iale deordinul p) pe D.Da �a fun t�iile 'j; j = 1; m au derivate part�iale de ordinul p, ontinue peD, iar fun t�ia f are derivate part�iale de ordinul p ontinue pe E, atun i fun t�ia ompus�a F = f Æ ~' are derivate part�iale de ordinul p ontinue pe E.Vom prezenta �n ontinuare un az parti ular. Pentru fun t�iile~' : D � IR2 ! IR2, ~'(x; y) = ('1(x; y); '2(x; y)), f : E � IR2 ! IR; ~'(D) � E(n = m = 2), u ~x0 = (x0; y0) 2 D, ~u0 = f(~x0) = (u0; v0) 2 E, fun t�ia ompus�aF : D ! IR, F = f Æ ~' = f('1(x; y); '2(x; y)) are urm�atoarele derivate part�ialede ordinul al doilea�2f�x2 = �2f�u2 �'1�x !2+2 �2f�u�v �'1�x �'2�x + �2f�v2 �'2�x !2+ �f�u �2'1�x2 + �f�v �2'2�x2 ;�2f�y2 = �2f�u2 �'1�y !2+2 �2f�u�v �'1�y �'2�y + �2f�v2 �'2�y !2+ �f�u �2'1�y2 + �f�v �2'2�y2 ;�2f�x�y = �2f�u2 �'1�x �'1�y + �2f�u�v �'1�x �'2�y + �'2�x �'1�y !+ �2f�v2 �'2�x �'2�y ++�f�u �2'1�x�y + �f�v �2'2�x�y ;�2f�y�x = �2f�u2 �'1�y �'1�x + �2f�u�v �'1�y �'2�x + �'2�y �'1�x !+ �2f�v2 �'2�y �'2�x ++�f�u �2'1�y�x + �f�v �2'2�y�x ;unde derivatele part�iale ale fun t�iilor '1(x; y) �si '2(x; y) se al uleaz�a �n pun tul(x0; y0), iar ele ale fun t�iei f(u; v) �n pun tul orespunz�ator (u0; v0).

Fun t�ii ompuse 275Exemplul 6.2.4. S�a al ul�am �2z�x2 , �2z�y2 , �2z�x�y pentru fun t�iaz(x; y) = f(u; v; w), unde u = x2 + y2, v = x2 � y2, w = xy, (f 2 C2(D);D � IR3).Nu vom mai s rie variabilele fun t�iilor are apar �n ompuneri, dar vor �sub�nt�elese �n �e are din azurile respe tive.Derivatele part�iale de ordinul �ntai ale fun t�iei z sunt�z�x = �f�u �u�x + �f�v �v�x + �f�w �w�x = 2x�f�u + 2x�f�v + y �f�w ,�z�y = �f�u �u�y + �f�v �v�y + �f�w �w�y = 2y�f�u � 2y�f�v + x �f�w .Pentru derivata a doua �2z�x2 se poate apli a formula (6.2.7) sau se poate fa eun al ul dire t, a�sa um vom pro eda �n ontinuare. Vom deriva pe �z�x �n raport u x astfel�2z�x2 = ��x �z�x! = ��x 2x�f�u + 2x�f�v + y �f�w! = 2�f�u + 2x ��x �f�u!++2�f�v + 2x ��x �f�v!+ y ��x �f�w!.Vom deriva pe �f�u �n raport u x prin intermediul variabilelor sale u; v; w��x �f�u! = ��u �f�u! �u�x + ��v �f�u! �v�x + ��w �f�u! �w�x = �2f�u2 �u�x++ �2f�v�u �v�x + �2f�w�u �w�x = 2x�2f�u2 + 2x �2f�v�u + y �2f�w�u .In mod asem�an�ator avem��x �f�v! = �2f�u�v �u�x + �2f�v2 �v�x + �2f�w�v �w�x = 2x �2f�u�v + 2x�2f�v2 + y �2f�w�v ,��x �f�w! = �2f�u�w �u�x + �2f�v�w �v�x + �2f�w2 �w�x = 2x �2f�u�w +2x �2f�v�w + y �2f�w2 .Atun i, t�inand ont �a derivatele de ordinul al doilea mixte sunt egale(f 2 C2(D)), obt�inem�2z�x2 = 2 �f�u + �f�v!+ 2x 2x�2f�u2 + 2x �2f�v�u + y �2f�w�u!+ 2x 2x �2f�u�v++2x�2f�v2 + y �2f�w�v!+ y 2x �2f�u�w + 2x �2f�v�w + y �2f�w2! = 2 �f�u + �f�v!++4x2�2f�u2 + 4x2�2f�v2 + y2 �2f�w2 + 8x2 �2f�u�v + 4xy �2f�u�w + 4xy �2f�v�w .

276 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realePentru derivata de ordinul al doilea a fun t�iei z �n raport u y avem�2z�y2 = ��y �z�y! = ��y 2y�f�u � 2y�f�v + x �f�w! = 2�f�u + 2y ��y �f�u!��2�f�v � 2y ��y �f�v!+ x ��y �f�w! = 2 �f�u � �f�v!+ 2y �2f�u2 �u�y++ �2f�v�u �v�y + �2f�w�u �w�y !� 2y �2f�u�v �u�y + �2f�v2 �v�y + �2f�w�v �w�y !++x �2f�u�w �u�y + �2f�v�w �v�y + �2f�w2 �w�y! = 2 �f�u � �f�v!+ 2y 2y�2f�u2 � 2y �2f�v�u++ x �2f�w�u!� 2y 2y �2f�u�v � 2y�2f�v2 + x �2f�w�v!+ x 2y �2f�u�w � 2y �2f�v�w++ x �2f�w2! = 2 �f�u � �f�v!+4y2�2f�u2 +4y2�2f�v2 +x2 �2f�w2 �8y2 �2f�u�v +4xy �2f�u�w��4xy �2f�v�w .Asem�an�ator pentru derivata �2z�x�y obt�inem�2z�x�y = �f�w + 4xy�2f�u2 � 4xy�2f�v2 + xy �2f�w2 + 2(x2 + y2) �2f�u�w++2(x2 � y2) �2f�v�w .2.3. Fun t�ii omogeneDe�nit�ia 6.2.1. O mult�ime D � IRn se nume�ste on u varful �n ~x0 2 IRnda �a pentru ori e ~x 2 D are lo t(~x� ~x0) 2 D; 8 t > 0.De�nit�ia 6.2.2. Fun t�ia f : D ! IR, (D � IRn este on u varful �n ~0) senume�ste omogen�a de gradul � 2 IR da �af(t~x) = t�f(~x); 8 ~x 2 E; 8 t > 0: (6:2:10)Teorema 6.2.6. (Euler) Fie fun t�ia f : D! IR, (D este on u varful �n ~0)diferent�iabil�a pe D n f~0g. Atun i f este omogen�a de grad � da �a �si numai da �ax1 �f�x1 (~x) + x2 �f�x2 (~x) + � � �+ xn �f�xn (~x) = �f(~x); 8 ~x 2 D n f~0g; (6:2:11)(numit�a relat�ia lui Euler).

Formula lui Taylor 277Demonstrat�ie. Presupunem �a f este omogen�a de grad � pe D, adi �a arelo relat�ia (6.2.10). Derivand-o �n raport u t, pentru ~x 2 E n f~0g �xat, avemx1 �f�x1 (t~x) + x2 �f�x2 (t~x) + � � �+ xn �f�xn (t~x) = �t��1f(~x).Pentru t = 1 obt�inem relat�ia (6.2.11).Re ipro , presupunem �a are lo (6.2.11). Pentru ~x 2 D arbitrar, dar �xat, onstruim fun t�ia t! '(t) = f(t~x)t� ; t > 0, are este diferent�iabil�a. Derivand a east�a fun t�ie avem'0(t) = 1t�+1 "(tx1) �f�x1 (t~x) + (tx2) �f�x2 (t~x) + � � �+ (txn) �f�xn (t~x)� �f(t~x)#.Deoare e relat�ia (6.2.11) are lo pentru 8 ~x 2 Dnf~0g rezult�a �a '0(t) = 0; 8 t > 0.De i '(t) = '(1) = f(~x); 8 t 2 (0;1); adi �a are lo relat�ia (6.2.10). Q.E.D.3. Formula lui TaylorFie fun t�ia f : D ! IR, unde D este o mult�ime des his�a din spat�iul IRn,~x0 2 D, ~x0 = (x10; x20; : : : ; xn0). Presupunem �a f este diferent�iabil�a de N ori�n ~x0.De�nit�ia 6.3.1. PolinomulTN(~x) = f(~x0) + 11!df(~x0)(~x� ~x0) + 12!d2f(~x0)(~x� ~x0) + : : :++ 1N !dNf(~x0)(~x� ~x0) = f(~x0) + NXk=1 1k!dkf(~x0)(~x� ~x0) (6:3:1)se nume�ste polinomul lui Taylor de gradul N ata�sat fun t�iei f �n pun tul ~x0.Deoare edkf(~x0)(~x� ~x0)= (x1�x10) ��x1+(x2 � x20) ��x2+� � �+(xn � xn0) ��xn!fkgf(~x0)== Xk1+k2+���+kn=k k!k1!k2! � � �kn! �kf�xk11 �xk22 � � ��xknn (~x0)(x1 � x10)k1 � � � (xn � xn0)kn ,dedu em �a polinomul lui Taylor s ris sub formaTN(~x) = f(~x0) + NXk=1 Xk1+k2+���+kn=k 1k1!k2! � � �kn! �kf�xk11 �xk22 � � ��xknn (~x0)(x1�

278 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale�x10)k1 � � � (xn � xn0)kneste un polinom de gradul N �n omponentele ve torului ~x� ~x0.Teorema 6.3.1. Fie fun t�ia f : D ! IR, unde D este o mult�ime des his�a �si onvex�a din spat�iul IRn, diferent�iabil�a de N +1 ori pe D. Pentru ori e ~x0, ~x 2 Dexist�a un pun t ~�N pe segmentul determinat de a este pun te (~�N = ~x0+�N (~x�~x0),�N 2 [0; 1℄) astfel �n atf(~x) = TN (~x0) + 1(N + 1)!dN+1f(~�N)(~x� ~x0); (6:3:2)unde TN (~x) este polinomul lui Taylor de gradul N al fun t�iei f �n ~x0.De�nit�ia 6.3.2. Fun t�ia~x! RN(~x) = 1(N + 1)!dN+1f(~�N)(~x� ~x0)se nume�ste restul de ordinul N sub forma lui Lagrange.Formula (6.3.2) se nume�ste formula lui Taylor de ordinul N u restul luiLagrange orespunz�atoare fun t�iei f �n pun tul ~x0.In azul unei fun t�ii de dou�a variabile Teorema 6.3.1 se formuleaz�a astfelTeorema 6.3.2. Fie fun t�ia f : D ! IR, D � IR2, diferent�iabil�a de N + 1ori pe mult�imea des his�a �si onvex�a D. Pentru ori e (x0; y0), (x; y) 2 D exist�aun pun t ~� = (�; �) pe segmentul determinat de a este pun te astfel �n atf(x; y) = f(x0; y0) + 11!df(x0; y0)(x� x0; y � y0) + � � �++ 1N !dNf(x0; y0)(x� x0; y � y0) + 1(N + 1)!dN+1f(�; �)(x� x0; y � y0):(6:3:3)Pentru a �nt�elege mai bine lu rurile, vom fa e �n ontinuare demonstrat�iaTeoremei 6.3.2, Teorema 6.3.1 demonstrandu-se �ntr-un mod asem�an�ator.Demonstrat�ia Teoremei 6.3.2. S�a �x�am dou�a pun te P1(x1; y1) �siP2(x2; y2) din D. De�nim fun t�ia ajut�atoare ' : [0; 1℄! IR prin'(t) = f(x1 + t(x2 � x1); y1 + t(y2 � y1)); t 2 [0; 1℄.Din onvexitatea mult�imiiD, pun tele (x1+t(x2�x1); y1+t(y2�y1)) se g�ases �nD, de i fun t�ia ' este bine de�nit�a. Deoare e f este de (N+1) ori diferent�iabil�ape D, iar fun t�iile t! x1+ t(x2�x1) �si t! y1+ t(y2� y1) sunt elementare, de i

Formula lui Taylor 279derivabile pe (0; 1) ( hiar pe [0; 1℄), rezult�a onform Teoremei 6.2.5 �a fun t�ia 'este derivabil�a de (N + 1) ori pe (0; 1); folosind un rat�ionament asem�an�ator u el �ntanit �n demonstrat�ia Teoremei 6.2.5 rezult�a �a ' este derivabil�a �si �n 0 �si 1.Apli and Teorema lui Taylor u restul lui Lagrange (Teorema 5.4.4) obt�inem'(t) = '(0) + t1!'0(0) + t22!'00(0) + � � �+ tNN !'(N)(0) + tN+1(N + 1)!'(N+1)(�N t),pentru �e are t 2 [0; 1℄, u 0 < �N < 1. Pentru t = 1 dedu em'(1) = '(0)+ 11!'0(0)+ 12!'00(0)+ � � �+ 1N !'(N)(0)+ 1(N + 1)!'(N+1)(�N ): (6:3:4)S�a al ul�am derivatele fun t�iei ', folosind formulele de la fun t�ii ompuse.Avem'0(t) = �f�x (x1 + t(x2 � x1); y1 + t(y2 � y1))(x2 � x1) + �f�y (x1 + t(x2 � x1); y1++t(y2 � y1))(y2 � y1) = (x2 � x1)�f�x + (y2 � y1)�f�y ,(f�ar�a s�a mai s riem argumentele lui f),'00(t) = (x2 � x1) "(x2 � x1)�2f�x2 + (y2 � y1) �2f�y�x# + (y2 � y1) "(x2 � x1) �2f�x�y++(y2 � y1)�2f�y2 # = (x2 � x1)2�2f�x2 + 2(x2 � x1)(y2 � y1) �2f�x�y + (y2 � y1)2�2f�y2 == "(x2 � x1) ��x + (y2 � y1) ��y#f2g f(x1 + t(x2 � x1); y1 + t(y2 � y1)); : : : ;'(N+1)(t) = "(x2 � x1) ��x + (y2 � y1) ��y#fN+1g f(x1 + t(x2� x1); y1+ t(y2� y1)).Apoi'(1) = f(x2; y2); '(0) = f(x1; y1);'0(0) = (x2 � x1)�f�x (x1; y1) + (y2 � y1)�f�y (x1; y1) = df(x1; y1)(x2 � x1; y2 � y1),'00(0) ="(x2 � x1) ��x + (y2 � y1) ��y#f2gf(x1; y1) = d2f(x1; y1)(x2�x1; y2�y1); : : : ;'(N)(0) = "(x2 � x1) ��x + (y2 � y1) ��y#fNg f(x1; y1) = dNf(x1; y1)(x2��x1; y2 � y1);'(N+1)(�N ) = "(x2 � x1) ��x + (y2 � y1) ��y#fN+1g f(x1 + �N (x2 � x1); y1+

280 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale+�N (y2 � y1)) = dN+1f(x1 + �N(x2 � x1); y1 + �N(y2 � y1))(x2 � x1; y2 � y1).Inlo uind expresiile de mai sus pentru derivatele lui ' �n (6.3.4) obt�inemf(x2; y2) = f(x1; y1) + 11!df(x1; y1)(x2 � x1; y2 � y1) + � � �++ 1N !dNf(x1; y1)(x2 � x1; y2 � y1) + 1(N + 1)!dN+1f(�; �)(x2 � x1; y2 � y1);(6:3:5)unde � = x1 + �N(x2 � x1); � = y1 + �N (y2 � y1).Tre and pe (x2; y2) �n (x; y), iar pe (x1; y1) �n (x0; y0), relat�ia (6.3.5) esteto mai formula (6.3.3). Fa em pre izarea �a da �a (x; y) 6= (x0; y0) atun i pun tul(�; �) se g�ase�ste pe segmentul des his determinat de pun tele (x0; y0) �si (x; y), iarda �a (x; y) = (x0; y0) atun i (�; �) = (x0; y0). Q.E.D.Pentru N = 0 Teoremele 6.3.1 �si 6.3.2 ne dauConse int�a 6.3.1. Fie fun t�ia f : D ! IR diferent�iabil�a pe mult�imeades his�a �si onvex�a D din spat�iul IRn. Pentru ori e ~x0, ~x 2 D exist�a un pun t ~�pe segmentul determinat de a este pun te astfel �n atf(~x) = f(~x0) + df(~�)(~x� ~x0) , f(~x) = f(~x0)+ < rf(~�); ~x� ~x0 > ,f(~x) = f(~x0)+(x1�x10) �f�x1 (~�)+(x2�x20) �f�x2 (~�)+� � �+(xn�xn0) �f�xn (~�): (6:3:6)Conse int�a 6.3.2. Fie fun t�ia f : D ! IR diferent�iabil�a pe mult�imeades his�a �si onvex�a D din IR2. Pentru ori e (x0; y0), (x; y) 2 D exist�a un pun t(�; �) pe segmentul determinat de a este pun te astfel �n atf(x; y) = f(x0; y0) + (x� x0)�f�x (�; �) + (y � y0)�f�y (�; �): (6:3:7)Formulele (6.3.6) �si (6.3.7) se numes formulele lui Lagrange �si sunt genera-liz�ari ale formulei lui Lagrange (Teorema 5.3.6) de la fun t�ii de o variabil�a real�a.Teorema 6.3.3. Fie fun t�ia f : D ! IR, unde D este o mult�ime des his�a�si onvex�a din IRn. Presupunem �a f are derivate part�iale de ordinul N ontinuepe D �si �e ~x0 2 D. Atun i exist�a � : D ! IR u lim~x!~x0 �(~x) = �(~x0) = 0 astfel�n at f(~x) = TN(~x) + �(~x)N ! k~x� ~x0kN ; 8 ~x 2 D; (6:3:8)

Formula lui Taylor 281unde TN(~x) este polinomul lui Taylor de gradul N al fun t�iei f �n ~x0, iar k � keste norma eu lidian�a �n IRn.De�nit�ia 6.3.3. Fun t�ia ~x! �(~x)N ! k~x� ~x0kN se nume�ste restul de ordinulN sub forma lui Peano, iar formula (6.3.8) se nume�ste formula lui Taylor u restullui Peano.Cazul unei fun t�ii de dou�a variabile ne ondu e laTeorema 6.3.4. Fie fun t�ia f : D! IR, unde D este o mult�ime des his�a �si onvex�a din IR2. Presupunem �a f are derivate part�iale de ordinul N ontinue peD �si �e (x0; y0) 2 D. Atun i exist�a o fun t�ie � : D! IR u lim(x;y)!(x0;y0)�(x; y) == �(x0; y0) = 0 astfel �n atf(x; y) = NXk=1 1k!dkf(x0; y0)(x�x0; y�y0)+�(x; y)N ! k(x; y)�(x0; y0)kN ; 8 (x; y) 2 D:(6:3:9)S�i de a east�a dat�a vom prezenta demonstrat�ia Teoremei 6.3.4, demonstrat�iaTeoremei 6.3.3 �ind asem�an�atoare.Demonstrat�ia Teoremei 6.3.4. Deoare e fun t�ia f are derivate part�ialede ordinul N ontinue pe D, rezult�a �a f este diferent�iabil�a de N ori pe D, de i onform formulei lui Taylor de ordinul N � 1 u restul lui Lagrange (Teorema6.3.2) avemf(x; y) = f(x0; y0)+ 11!df(x0; y0)(x�x0; y�y0)+ � � �+ 1(N � 1)!dN�1f(x0; y0)(x��x0; y � y0) + 1N !dNf(�; �)(x� x0; y � y0); 8 (x; y) 2 D,unde (�; �) = (x0; y0)+�N�1((x; y)�(x0; y0)), �N�1 2 [0; 1℄, (� = x0+�N�1(x�x0),� = y0 + �N�1(y � y0)).Restul din formula de mai sus esteRN�1(x; y) = 1N ! (x� x0) ��x + (y � y0) ��y!fNg f(�; �).Folosind dezvoltarea binomului lui Newton �si faptul �a derivatele mixte deordinul N ale fun t�iei f sunt egale, obt�inemRN�1(x; y) = 1N ! NXi=0CiN(x� x0)N�i(y � y0)i �Nf�xN�i�yi (�; �).

282 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeDeoare e derivatele part�iale sunt ontinue pe D, atun i pentru x ! x0 �siy ! y0 rezult�a �a � ! x0 �si � ! y0, de ilimx!x0y!y0CiN �Nf�xN�i�yi (�; �) = CiN �Nf�xN�i�yi (x0; y0)�si CiN �Nf�xN�i�yi (�; �) = CiN �Nf�xN�i�yi (x0; y0) + �i(x; y);unde lim(x;y)!(x0;y0)�i(x; y) = �i(x0; y0) = 0, i = 0; N .De iRN�1(x; y) = 1N ! NXi=0CiN �Nf�xN�i�yi (x0; y0)(x�x0)N�i(y�y0)i+ 1N ! NXi=0 �i(x; y)(x��x0)N�i(y � y0)i = 1N ! (x� x0) ��x + (y � y0) ��y!fNg f(x0; y0) + 1N !�(x; y)%N ,unde % = q(x� x0)2 + (y � y0)2, iar�(x; y) = 8>><>>: 1%N " NXi=0 �i(x; y)(x� x0)N�i(y � y0)i# ; (x; y) 6= (x0; y0);0; (x; y) = (x0; y0):Deoare e jx� x0j � %, jy � y0j � %, obt�inemj�(x; y)j � 1%N NXi=0 j�i(x; y)j%N = NXi=0 j�i(x; y)j.Din lim(x;y)!(x0;y0) j�i(x; y)j = 0 rezult�a �a lim(x;y)!(x0;y0)�(x; y) = 0(= �(x0; y0)).De i f(x; y) = f(x0; y0) + NXk=1 1k!dkf(x0; y0)(x� x0; y � y0) + 1N !�(x; y)%N ,adi �a inegalitatea (6.3.9). Q.E.D.Pentru N = 2 formula lui Taylor u restul lui Peano (6.3.9) se s rief(x; y) = f(x0; y0) + �f�x (x0; y0)(x� x0) + �f�y (x0; y0)(y � y0)++12"�2f�x2 (x0; y0)(x� x0)2+2 �2f�x�y (x0; y0)(x�x0)(y�y0)+�2f�y2 (x0; y0)(y � y0)2#++12�(x; y)[(x� x0)2 + (y � y0)2℄,unde lim(x;y)!(x0;y0)�(x; y) = �(x0; y0) = 0.Observat�ia 6.3.1. Formulele (6.3.8) �si (6.3.9) r�aman adev�arate da �a f estediferent�iabil�a de N ori pe D �si derivatele part�iale de ordinul N sunt ontinue �n~x0, respe tiv (x0; y0).

Formula lui Taylor 283Pentru ~x0 = ~0 formulele (6.3.2) �si (6.3.8) se mai numes formulele lui Ma -Laurin u restul lui Lagrange, respe tiv u restul lui Peano.Exemplul 6.3.1. S�a dezvolt�am fun t�ia f(x; y) = ex sin y pan�a la termeniide ordinul al treilea u ajutorul formulei lui Ma -Laurin u restul lui Lagrange.Fun t�ia f este de las�a C1 pe IR2, (D = IR2). De i onform formulei (6.3.3) u(x0; y0) = (0; 0) �si N = 3 avemf(x; y) = f(0; 0) + 3Xk=1 1k! x ��x + y ��y!fkg f(0; 0) +R3(x; y),unde R3(x; y) = 14! x ��x + y ��y!f4g f(�; �), u (�; �) = �(x; y), � 2 (0; 1) pentru(x; y) 6= (0; 0) �si (�; �) = (0; 0) pentru (x; y) = (0; 0).Derivatele part�iale ale fun t�iei f sunt�f�x = ex sin y; �f�y = ex os y; �2f�x2 = ex sin y; �2f�x�y = ex os y; �2f�y2 = �ex sin y;�3f�x3 = ex sin y; �3f�x2�y = ex os y; �3f�x�y2 = �ex sin y; �3f�y3 = �ex os y;�4f�x4 = ex sin y; �4f�x3�y = ex os y; �4f�x2�y2 = �ex sin y; �4f�x�y3 = �ex os y;�4f�y4 = ex sin y.Atun i pentru ori e (x; y) 6= (0; 0) avemf(x; y) = y + xy + 13!(3x2y � y3) +R3(x; y),unde R3(x; y) = 14! [e� sin � x4 + 4e� os � x3y � 6e� sin � x2y2 � 4e� os � xy3++e� sin � y4); u � = �x; � = �y; � 2 (0; 1).Exemplul 6.3.2. S�a al ul�am aproximativ num�arul N=qsin2 1; 55 + 8e0;015ple and de la valoarea fun t�iei z(x; y) = psin2 x + 8ey pentru x0 = �2 rad �siy0 = 0 (�=2 � 1; 571).Vom aproxima pe N folosind Conse int�a 6.3.1z(1; 55; 0; 015) � z(x0; y0) + (1; 55� x0)�z�x(x0; y0) + (0; 015� y0)�z�y (x0; y0).Deoare e �z�x (x0; y0)= sin x os xpsin2 x+ 8ey�����(�2 ;0)=0; �z�y (x0; y0)= 4eypsin2 x + 8ey�����(�2 ;0)= 43,

284 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeiar z(x0; y0) = 3, obt�inem N � 3 + 0; 01543 = 3; 02:4. Fun t�ii impli iteFie fun t�ia F : D ! IR, D = A � B, A � IRn, B � IR. S�a onsider�ame uat�iaF (x1; x2; : : : ; xn; y) = 0 , F (~x; y) = 0 u ~x = (x1; x2; : : : ; xn): (6:4:1)De�nit�ia 6.4.1. O fun t�ie de n variabile f(x1; x2; : : : ; xn) = f(~x) de�nit�ape o mult�ime E � A este solut�ie �n raport u y a e uat�iei (6.4.1) pe mult�imea Eda �a F (x1; x2; : : : ; xn; f(x1; x2; : : : ; xn)) = 0; 8 (x1; x2; : : : ; xn) 2 E ,F (~x; f(~x)) = 0; 8 ~x 2 E.Pentru n = 1 e uat�ia (6.4.1) se va s rie F (x; y) = 0, unde F : D! IR;D � A� B � IR2.De�nit�ia 6.4.2. Da �a exist�a o singur�a fun t�ie f de�nit�a pe o mult�ime E are s�a veri� e e uat�ia (6.4.1) �si eventual �si alte ondit�ii suplimentare, vom spune �a fun t�ia f este de�nit�a de e uat�ia (6.4.1). Fun t�ia f se nume�ste fun t�ie de�nit�aimpli it sau mai simplu fun t�ie impli it�a.Exemplul 6.4.1. S�a onsider�am fun t�ia F (x; y) = x � y2 de�nit�a pe IR2.E uat�ia F (x; y) = 0 , x�y2 = 0 are o in�nitate de solut�ii pe mult�imea [0;1).Fie A1 �si A2 dou�a mult�imi disjun te oare are u proprietatea �a A1[A2 = [0;1).Atun i fun t�ia f : [0;1)! IR de�nit�a prinf(x) = 8<: px; da �a x 2 A1;�px; da �a x 2 A2;veri� �a e uat�ia F (x; y) = 0, deoare e x � f 2(x) = 0; 8 x 2 [0;1). Dintre toatesolut�iile �n raport u y ale e uat�iei F (x; y) = 0 numai dou�a sunt ontinue �si anumef1(x) = px �si f2(x) = �px; 8 x 2 [0;1).Exemplul 6.4.2. E uat�ia x2+ y2+4 = 0; (x; y) 2 IR2 nu are ni i o solut�iereal�a ni i �n raport u x, ni i �n raport u y.

Fun t�ii impli ite 285Exemplul 6.4.3. E uat�ia x + 3y = 0; (x; y) 2 IR2 are o singur�a solut�ie �nraport u y pe IR �si anume fun t�ia f(x) = �x3 .Vom prezenta ateva rezultate are dau ondit�ii su� iente de existent��a afun t�iilor impli ite.Teorema 6.4.1. Fie fun t�ia F : D ! IR; D = A � B; A � IRn; B � IR�si (~x0; y0) 2 D, ~x0 2 ÆA, y0 2 ÆB. Da �a sunt �ndeplinite urm�atoarele ondit�iia) F (~x0; y0) = 0;b) exist�a o ve in�atate U � A a pun tului ~x0 �si exist�a o ve in�atate V � B apun tului y0 astfel �n ati) pentru ori e pun t x 2 U �xat, fun t�ia y ! F (~x; y) este ontinu�a �si stri tmonoton�a pe V ;ii) pentru ori e pun t y 2 V �xat, fun t�ia ~x! F (~x; y) este ontinu�a �n ~x0,atun i1) exist�a o ve in�atate U0 � U a pun tului ~x0 �si o ve in�atate V0 � V a luiy0 astfel �n at pentru ori e ~x 2 U0 �xat, e uat�ia �n y (6.4.1) are o solut�ie uni �ay = f(~x); y 2 V , pentru are F (~x; f(~x)) = 0; 8 ~x 2 U0;2) fun t�ia f : U0 ! V0 de�nit�a de e uat�ia (6.4.1) este ontinu�a �n ~x0 �siveri� �a egalitatea f(~x0) = y0.Demonstrat�ie. S�a alegem �; � 2 V � B astfel �n at � < y0 < � �sinot�am V0 = (�; �). Conform ipotezei i) pentru ~x = ~x0, fun t�ia y ! F (~x0; y)este stri t monoton�a pe [�; �℄. Deoare e F (~x0; y0) = 0, iar � < y0 < � rezult�a �a fun t�ia F (~x0; y) are semne diferite �n � �si �. Presupunem �a F (~x0; �) < 0,F (~x0; �) > 0. Din ipoteza ii) fun t�ia ~x! F (~x; �) este ontinu�a �n ~x0. Deoare eF (~x0; �) < 0, exist�a o ve in�atate U 0 � U a lui ~x0 astfel �n at F (~x; �) < 0;8 ~x 2 U 0. De asemenea, din ipoteza ii) fun t�ia ~x ! F (~x; �) este ontinu�a �n ~x0,iar din F (~x0; �) > 0 dedu em �a exist�a o ve in�atate U 00 � U a lui x0 astfel �n atF (~x; �) > 0, 8 ~x 2 U 00.Lu�am U0 = U 0\U 00, are este o ve in�atate a lui ~x0 �si F (~x; �) < 0, F (~x; �) > 0,8 ~x 2 U0. Fie ~x0 2 U0 arbitrar. Din ipoteza i) fun t�ia y ! F (~x0; y) de variabil�ay este ontinu�a �si stri t monoton�a pe [�; �℄. Deoare e este ontinu�a, rezult�a

286 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale �a are proprietatea lui Darboux, adi �a 9 y0 2 (�; �) astfel �n at F (~x0; y0) = 0.Pun tul y0 este uni , deoare e fun t�ia y ! F (~x0; y) este stri t monoton�a. Pun tul~x0 2 U0 �ind ales arbitrar, rezult�a �a pentru 8 ~x 2 U0 �xat, exist�a un singur pun ty = f(~x) 2 V0 astfel �n at F (~x; y) = 0, de unde dedu em pun tul 1).Pentru ~x = ~x0 avem F (~x0; y0) = 0 �si um y0 este singurul pun t din V0 u a east�a proprietate dedu em �a f(~x0) = y0. Ve in�atatea V0 de la �n eputuldemonstrat�iei a fost aleas�a arbitrar. Din demonstrat�ia de mai sus rezult�a �apentru ori e ve in�atate V0 a lui y0 = f(~x0) exist�a o ve in�atate U0 a lui ~x0 astfel�n at pentru ori e ~x 2 U0 s�a avem f(~x) 2 V0. De ai i dedu em �a f este ontinu�a�n ~x0, eea e �n heie demonstrat�ia teoremei. Q.E.D.Conse int�a 6.4.1. Da �a �n Teorema 6.4.1 se �nlo uie�ste ipoteza (ii) uii') pentru ori e y 2 V �xat, fun t�ia ~x! F (~x; y) este ontinu�a pe U ,atun i fun t�ia de�nit�a impli it f este ontinu�a pe U0.Demonstrat�ie. Fie ~a 2 U0 arbitrar, iar b = f(~a) 2 V0. Fun t�ia F veri� �aipotezele Teoremei 6.4.1 pentru pun tul (~a; b) �n lo de (~x0; y0). Atun i exist�a ove in�atate U1 � V1 � U0 � V0 a pun tului (~a; b) �si o fun t�ie uni �a g(~x) : U1 ! V1astfel �n at g(~a) = b �si F (~x; g(~x)) = 0; 8 ~x 2 U1. In plus fun t�ia g este ontinu�a�n ~a.Deoare e f(~a) = b �si F (~x; f(~x)) = 0; 8 x 2 U1 � U0, dedu em �ag(~x) = f(~x); 8 ~x 2 U1, de i fun t�ia f este ontinu�a �n pun tul ~a. Pun tul ~a afost ales arbitrar �n U0, de unde dedu em �a fun t�ia f este ontinu�a �n ori e pun t~x 2 U0. Q.E.D.Teorema 6.4.2. Fie fun t�ia F : D ! IR, D � A� B, A � IRn, B � IR �si(~x0; y0) 2 D, ~x0 2 ÆA, y0 2 ÆB. Da �a sunt �ndeplinite ondit�iilea) F (~x0; y0) = 0;b) F 2 C1(U�V ) (fun t�ia f are derivate part�iale �F�x1 ; : : : ; �F�xn ; �F�y ontinuepe U � V ), unde U este o ve in�atate a lui ~x0, iar V o ve in�atate a lui y0; ) �F�y (~x0; y0) 6= 0;atun i1) exist�a o ve in�atate U0 � U a pun tului ~x0, o ve in�atate V0 � V a pun tului

Fun t�ii impli ite 287y0 �si o fun t�ie uni �a f : U0 ! V0 astfel �n at f(~x0) = y0 �si F (~x; f(~x)) = 0;8 x 2 U0;2) fun t�ia f are derivate part�iale de ordinul �ntai ontinue pe U0(f 2 C1(U0)) �si �f�xi (~x) = � �F�xi (~x; f(~x))�F�y (~x; f(~x)) ; 8 ~x 2 U0; 8 i = 1; n: (6:4:2)3) Da �a F are derivate part�iale de ordinul k ontinue pe U � V(F 2 Ck(U � V )) atun i fun t�ia impli it�a f are derivate part�iale de ordinul k ontinue pe U0 (f 2 Ck(U0)).Demonstrat�ie. Fun t�ia F veri� �a ipotezele Teoremei 6.4.1. Intr-adev�ar,deoare e F 0y este ontinu�a �si nenul�a �n (~x0; y0), ea este diferit�a de 0 pe o �ntreag�ave in�atate a lui (~x0; y0). Putem presupune �a �F�y (~x; y) 6= 0, 8 ~x 2 U , y 2 V .Din ipoteza b) a teoremei, fun t�ia F (~x; y) este diferent�iabil�a, de i ontinu�a peU � V . In parti ular pentru �e are y 2 V �xat, fun t�ia ~x ! F (~x; y) este ontinu�a pe U , de i avem ipoteza b) ii) din Teorema 6.4.1 ( hiar ipoteza ii') dinConse int�a 6.4.1). Apoi, deoare e pentru ~x 2 U �xat, fun t�ia y ! F (~x; y) arederivata F 0y(~x; y) 6= 0 pentru y 2 V , rezult�a �a fun t�ia y ! F (~x; y) este stri tmonoton�a pe V . Fiind derivabil�a, a east�a fun t�ie este ontinu�a pe V �si avemastfel �si ipoteza b) i) veri� at�a. Ipoteza a) este a eea�si �n teorema noastr�a �siTeorema 6.4.1. Dedu em astfel �a are lo pun tul 1) din Teorema 6.4.1. ConformConse int�ei 6.4.1 fun t�ia impli it�a f este ontinu�a pe �ntreaga ve in�atate U0.Vom ar�ata �n ontinuare �a fun t�ia f are derivate part�iale ontinue pe U0.Mai �ntai vom demonstra �a f este diferent�iabil�a pe U0. Fie ~a 2 U0 un pun tarbitrar �si b = f(~a) 2 V0. Deoare e fun t�ia F este diferent�iabil�a pe U � V ,ea este diferent�iabil�a �n pun tul (~a; b) 2 U � V . De i 9�i : U � V ! IR,i = 1; n, � : U � V ! IR u lim(~x;y)!(~a;b)�i(~x; y) = �i(~a; b) = 0, i = 1; n �si

288 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realelim(~x;y)!(~a;b)�(~x; y) = �(~a; b) = 0 astfel �n atF (~x; y)� F (~a; b) = nXi=1 �F�xi (~a; b)(xi � ai) + �F�y (~a; b)(y � b)++ nXi=1 �i(~x; y)(xi � ai) + �(~x; y)(y � b): (6:4:3)Pentru ~x 2 U0 �si y = f(~x) 2 V0 avem F (~x; y) = F (~x; f(~x)) = 0, iarF (~a; b) = F (~a; f(~a)) = 0. Atun i relat�ia (6.4.3) ne ondu e lanXi=1 "�F�xi (~a; b) + �i(~x; f(~x))# (xi�ai)+"�F�y (~a; b) + �(~x; f(~x))# (f(~x)�f(~a)) = 0:(6:4:4)Deoare e fun t�ia f este ontinu�a �n pun tul ~a, iar fun t�iile �i(~x; y) �si �(~x; y)sunt ontinue �n pun tul orespunz�ator (~a; f(~a)) = (~a; b), dedu em �a fun t�iile ompuse �i(~x; f(~x)) �si �(~x; f(~x)) sunt ontinue �n ~a �silim~x!~a�i(~x; f(~x)) = �i(~a; f(~a)) = �i(~a; b) = 0, i = 1; n,lim~x!~a�(~x; f(~x)) = �(~a; f(~a)) = �(~a; b) = 0.Apoi din lim~x!~a "�F�y (~a; b) + �(~x; f(~x))# = �F�y (~a; b) 6= 0, dedu em �a exist�a ove in�atate U1 a lui ~a astfel �n at pentru ~x 2 U1 s�a avem �F�y (~a; b)+�(~x; f(~x)) 6= 0.Din (6.4.4) obt�inem, pentru 8 ~x 2 U1f(~x)� f(~a) = � nXi=1 �F�xi (~a; b) + �i(~x; f(~x))�F�y (~a; b) + �(~x; f(~x)) (xi � ai) == � nXi=1 26664 �F�xi (~a; b)�F�y (~a; b) + �(~x)37775 (xi � ai); (6:4:5)unde am notat�(~x) = �F�xi (~a; b) + �i(~x; f(~x))�F�y (~a; b) + �(~x; f(~x)) � �F�xi (~a; b)�F�y (~a; b) :

Fun t�ii impli ite 289Deoare e lim~x!~a�(~x) = 0, din (6.4.5) rezult�a �a fun t�ia f este diferent�iabil�a �npun tul ~a, iar derivatele sale part�iale �n pun tul ~a sunt�f�xi (~a) = � �F�xi (~a; b)�F�y (~a; b) = � �F�xi (~a; f(~a))�F�y (~a; f(~a)) ; i = 1; n.Pun tul ~a a fost ales arbitrar �si atun i dedu em �a fun t�ia f este diferent�iabil�a�n ori e pun t ~x 2 U0, iar derivatele sale part�iale �n ~x sunt�f�xi (~x) = � �F�xi (~x; f(~x))�F�y (~x; f(~x)) :Deoare e fun t�iile �F�xi �si �F�y sunt ontinue pe U � V , iar fun t�ia f este ontinu�a pe U0, rezult�a �a fun t�iile ompuse �F�xi (~x; f(~x)) �si �F�y (~x; f(~x)) sunt ontinue pe U0 �si de i �si fun t�iile �f�xi , i = 1; n sunt ontinue pe U0.Demonstrat�ia pun tului 3) al teoremei se fa e prin indu t�ie matemati �a.Pentru k = 1 a�rmat�ia a fost demonstrat�a mai sus. S�a presupunem a�rmat�ia dela pun tul 3) adev�arat�a pentru k = p �si o vom demonstra pentru k = p+1. De is�a presupunem �a fun t�ia F (~x; y) are derivate part�iale de ordinul p+ 1 ontinuepe U � V . Atun i ea are derivate part�iale de ordinul p ontinue pe U � V �side i f are derivate part�iale de ordinul p ontinue pe U0. Din ipotez�a, fun t�iile�F�xi ; i = 1; n �si �F�y au derivate part�iale de ordinul p ontinue pe U � V . Atun ifun t�iile ompuse �F�xi (~x; f(~x)); i = 1; n �si �F�y (~x; f(~x)) au derivate part�iale deordinul p ontinue pe U0 �si de i pentru �e are i 2 f1; : : : ; ng fun t�ia�f�xi (~x) = � �F�xi (~x; f(~x))�F�y (~x; f(~x))are derivate part�iale de ordinul p ontinue pe U0. A easta �nseamn�a �a fun t�iaf are derivate part�iale de ordinul p + 1 ontinue pe U0. Astfel prin indu t�iematemati �a rezult�a �a pun tul 3) al teoremei este adev�arat pentru ori e k 2 IN .Q.E.D.

290 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realePentru k = 2 �n pun tul 3) al Teoremei 6.4.2, derivatele part�iale de ordinulal doilea ale fun t�iei f pe U0 sunt date de formulele�2f�xi�xj (~x) == � �2F�xi�xj �F�y !2 � �2F�xi�y �F�xj �F�y � �2F�xj�y �F�xi �F�y + �2F�y2 �F�xi �F�xj �F�y !3 (~x; f(~x));i; j = 1; n.Exemplul 6.4.4. S�a al ul�am �z�x , �z�y , �2z�x2 , �2z�x�y �si �2z�y2 �n pun tulx = y = 2 pentru fun t�ia z(x; y) de�nit�a de relat�ia(x + y)ez � xy � z = 0�si are �n pun tul (2; 2) are valoarea 0, (z(2; 2) = 0).Fun t�ia F (x; y; z) = (x+ y)ez�xy� z satisfa e toate ondit�iile din Teorema6.4.2 F (2; 2; 0) = 0; �F�z (2; 2; 0) = (x+ y)ez � 1����(2;2;0) = 3 6= 0; F 2 C1(IR3)!.Conform formulelor (6.4.2) avem�z�x(2; 2) = � �F�x (x; y; z)�F�z (x; y; z) �����(2;2;0) = � ez � y(x + y)ez � 1 ���(2;2;0) = 13 ;�z�y (2; 2) = � �F�y (x; y; z)�F�z (x; y; z) �����(2;2;0) = � ez � x(x + y)ez � 1 ���(2;2;0) = 13 :Apoi pentru derivatele de ordinul al doilea avem�2z�x2 (2; 2) = � �2F�x2 ��F�z �2 � 2 �2F�x�z �F�x �F�z + �2F�z2 ��F�x �2��F�z �3 �����(2;2;0) == ��2ez(ez � y)[(x+ y)ez � 1℄ + (x+ y)ez(ez � y)2[(x+ y)ez � 1℄3 ���(2;2;0) = �1027 ,�2z�x�y (2; 2) = � �2F�x�y ��F�z �2 � �2F�x�z �F�y �F�z � �2F�y�z �F�x �F�z + �2F�z2 �F�x �F�y��F�z �3 �����(2;2;0) == �(�1)[(x + y)ez � 1℄2 � ez(ez � x)[(x + y)ez � 1℄� ez(ez � y)[(x+ y)ez � 1℄[(x+ y)ez � 1℄3 +

Fun t�ii impli ite 291+(x+ y)ez(ez � y)(ez � x)[(x + y)ez � 1℄3 ���(2;2;0) = � 127 ;�2z�y2 (2; 2) = � �2F�y2 ��F�z �2 � 2 �2F�y�z �F�y �F�z + �2F�z2 ��F�y �2��F�z �3 �����(2;2;0) == ��2ez(ez � x)[(x + y)ez � 1℄ + (x + y)ez(ez � x)2[(x + y)ez � 1℄3 ���(2;2;0) = �1027 .S�a onsider�am a um fun t�ia ve torial�a ~F : D ! IRm, D = A� B, A � IRn,B � IRm, (m > 1), ~F = (F1; F2; : : : ; Fm) �si sistemul de e uat�iiFi(~x; ~y) = 0; i = 1; m (6:4:6)sau e hivalent e uat�ia ve torial�a ~F (~x; ~y) = ~0: (6:4:7)De�nit�ia 6.4.3. Spunem �a un sistem de m fun t�ii reale f1; f2; : : : ; fm(sau e hivalent fun t�ia ve torial�a ~f = (f1; f2; : : : ; fm) de n variabile) de�nite peE � A este o solut�ie a sistemului (6.4.6) �n raport u variabilele y1; y2; : : : ; ym pemult�imea E da �aFi(~x; f1(~x); : : : ; fm(~x)) = 0; 8 ~x 2 E; i = 1; m , ~F (~x; ~f(~x)) = ~0.De�nit�ia 6.4.4. Da �a sistemul (6.4.6) are pe mult�imea E o singur�a solut�ie~f = (f1; : : : ; fm) spunem �a fun t�iile f1; f2; : : : ; fm sunt de�nite impli it de sis-temul de e uat�ii (6.4.6) sau �a sunt fun t�ii impli ite. Se mai spune �n a est az �a fun t�ia ~f este de�nit�a impli it de e uat�ia (6.4.7).Teorema 6.4.3. Fie fun t�ia ~F : D ! IRm, D = A�B, A � IRn, B � IRm,~F = (F1; : : : ; Fm), iar (~x0; ~y0) 2 ÆD. Da �aa) ~F (~x0; ~y0) = ~0;b) fun t�iile Fj 2 C1(U � V ), j = 1; m, unde U este o ve in�atate a pun tului~x0, iar V o ve in�atate a lui ~y0; ) D(F1; F2; : : : ; Fm)D(y1; y2; : : : ; ym) (~x0; ~y0) 6= 0,atun i1) exist�a o ve in�atate U0 � V0 � U � V a pun tului (~x0; ~y0) �si o fun t�ieve torial�a uni �a ~f : U0 ! V0, ~f(~x) = (f1(~x); : : : ; fm(~x)) astfel �n at ~f(~x0) = ~y0 �si

292 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale~F (~x; ~f(~x)) = ~0 �n U0;2) fun t�iile fj : U0 ! IR, j = 1; m au derivate part�iale de ordinul �ntai �fj�xi ontinue pe U0 �si�fj�xi = �D(F1; F2; : : : ; Fj�1; Fj; Fj+1; : : : ; Fm)D(y1; y2; : : : ; yj�1; xi; yj+1; : : : ; ym)D(F1; F2; : : : ; Fm)D(y1; y2; : : : ; ym) ; j = 1; m; i = 1; n:3) Da �a fun t�iile Fj; j = 1; m au derivate part�iale de ordinul k ontinuepe U � V , atun i fun t�iile fj; j = 1; m vor avea derivate part�iale de ordinul k ontinue pe U0.Pentru demonstrat�ia Teoremei 6.4.3, are se fa e prin indu t�ie matemati �a�n raport u m, vezi [12℄.5. Transform�ari regulate. Dependent��a �siindependent��a fun t�ional�a5.1. Transform�ari regulateFie ~f : E ! IRn, E � IRn, ~f = (f1; f2; : : : ; fn).De�nit�ia 6.5.1. Spunem �a fun t�ia ve torial�a ~f este o transformare regulat�a�ntr-un pun t ~x0 2 ÆE da �a fun t�iile f1; f2; : : : ; fn au derivate part�iale de ordinul�ntai ontinue �ntr-o ve in�atate V a lui ~x0 �si da �a determinantul fun t�ional (ia- obianul) J(~x0) � D(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x0) 6= 0.Teorema 6.5.1. O transformare regulat�a ~f �ntr-un pun t ~x0 2 ÆE are urm�a-toarele propriet�at�ia) ~f este regulat�a �ntr-o ve in�atate U a pun tului ~x0;b) ~f este diferent�iabil�a (de i �si ontinu�a) �n pun tul ~x0.Demonstrat�ie. a) Deoare e �fi�xj exist�a �si sunt ontinue �n ve in�atatea Va lui ~x0, rezult�a �a ia obianul J(~x) = D(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x) este ontinuu �n V �sieste diferit de 0 �n ~x0. Dedu em �a 9V 0 ve in�atate a lui ~x0 astfel �n at J(~x) 6= 0;

Transform�ari regulate. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�a 2938 ~x 2 V 0. De i pe V \ V 0 derivatele part�iale �fi�xj sunt ontinue �si J(~x) 6= 0;8 ~x 2 V \ V 0, adi �a ~f este o transformare regulat�a pe V0 = V \ V 0.b) Deoare e �fi�xj sunt ontinue pe V , din riteriul de diferent�iabilitate de-du em �a ~f este diferent�iabil�a �n ~x0 (de i �si ontinu�a �n ~x0). Q.E.D.Teorema 6.5.2. Ia obianul unei transform�ari regulate ~f : D � IRn ! IRnpe domeniul D p�astreaz�a semn onstant pe a est domeniu.Demonstrat�ie. Da �a am presupune �a ia obianul J(~x) ar lua dou�a valoride semne diferite, �ind ontinuu pe D, ar trebui s�a se anuleze �ntr-un pun t~x0 2 D. De i ~f nu ar � regulat�a �n ~x0, eea e ontrazi e ipoteza. Rezult�a astfel �a ia obianul p�astreaz�a semn onstant pe D. Q.E.D.Teorema 6.5.3. (Derivarea fun t�iilor inverse) Fie ~f : E � IRn ! IRn otransformare regulat�a �ntr-o ve in�atate U a pun tului ~x0 2 ÆE. Atun ia) exist�a o ve in�atate U0 � U a pun tului ~x0 �si o ve in�atate V0 � F = ~f(E)a pun tului ~y0 = ~f(~x0) astfel �n at restri t�ia lui ~f la U0 este o apli at�ie bije tiv�aa lui U0 pe V0.b) Transformarea invers�a ~y ! ~x = ~'(~y) = ('1(~y); '2(~y); : : : ; 'n(~y)) 2 U0,~y 2 V0 satisfa e ondit�ia ~x0 = ~'(~y0), este regulat�a �n ~y0 �si �n plusD('1; '2; : : : ; 'n)D(y1; y2; : : : ; yn) (~y0) = D(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x0)!�1 : (6:5:1)Demonstrat�ie. Consider�am fun t�ia~F : E � IRn ! IRn, ~F (~x; ~y) = ~f(~x)� ~y, (Fi(~x; ~y) = fi(~x)� yi; i = 1; n)�si e uat�ia ~F (~x; ~y) = ~0 �n ne unos uta ~x. Fun t�ia ~F �ndepline�ste ondit�iile dinTeorema 6.4.3 astfel �n at e uat�ia ~F (~x; ~y) = ~0 poate � rezolvat�a �n raport u ~x.Intr-adev�ar pun tul ~x0 2 ÆE, ~y0 2 IRn �si ~F (~x0; ~y0) = ~f(~x0) � ~y0 = ~0. Apoi, �eV o ve in�atate oare are a lui ~y0. Fun t�iile Fi; i = 1; n au derivatele part�iale�Fi�xj (~x; ~y) = �fi�xj (~x), �Fi�yj (~x; ~y) = �Æij, (Æij = 0 da �a i 6= j �si Æij = 1 da �a i = j), ontinue �n ve in�atatea U � V �siD(F1; F2; : : : ; Fn)D(x1; x2; : : : ; xn) (~x0; ~y0) = D(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x0) 6= 0.

294 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeConform Teoremei 6.4.3 rezult�a �a exist�a o ve in�atate U 0 � U �si o ve in�atateV0 � V astfel �n at pentru ori e pun t ~y 2 V0 exist�a un pun t uni ~x = ~'(~y) 2 U 0astfel �n at ~F (~x; ~y) = ~0 , ~y = ~f(~x). S-a de�nit astfel fun t�ia ~' : V0 ! U 0 u~'(~y0) = ~x0. De ai i rezult�a �a ~f este bije tiv�a pe U0 = ~f�1(V0) � U 0, adi �afun t�ia ~f : U0 ! V0 este bije tiv�a. Din ontinuitatea fun t�iei ~f �n ~x0, pentruve in�atatea V0 exist�a o ve in�atate U 00 a lui ~x0 astfel �n at ~f(U 00) � V0. De iU 00 � ~f�1(V0) = U0, adi �a U0 este ve in�atate pentru ~x0.Fun t�ia invers�a ~' : V0 ! U0, ~' = ('1; '2; : : : ; 'n) are, onform Teoremei6.4.3, derivate part�iale de ordinul �ntai ontinue pe V0 �si veri� �a egalit�at�ile~'(~y0) = ~x0; ~F (~'(~y); ~y) = ~0 , ~f(~'(~y)) = ~y; 8 ~y 2 V0:S�a ar�at�am �n ontinuare �a determinantul fun t�ional D('1; '2; : : : ; 'n)D(y1; y2; : : : ; yn) estenenul �n ~y0, de unde va rezulta �a ~' este transformare regulat�a �n ~y0. Din relat�ia~f(~'(~y)) = ~y; 8 ~y 2 V0 sau e hivalentfi('1(y1; y2; : : : ; yn); : : : ; 'n(y1; y2; : : : ; yn)) = yi; i = 1; n,prin derivare �n raport u yj; j = 1; n obt�inem�fi�x1 �'1�yj + � � �+ �fi�xn �'n�yj = Æij; 8 i = 1; n.Relat�iile de mai sus se s riunXk=1 �fi�xk �'k�yj = Æij; i; j = 1; n; (6:5:2)�si ele pot � interpretate a elementele produsului matri ilor �fi�xk!ni;k=1 �si �'k�yj !nk;j=1. Determinant�ii a estor matri i suntD(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn) �si respe tiv D('1; '2; : : : ; 'n)D(y1; y2; : : : ; yn) .Din proprietatea det(AB) = det(A)det(B) �si din relat�iile (6.5.2) dedu emD(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x) D('1; '2; : : : ; 'n)D(y1; y2; : : : ; yn) (~y) = 1.

Transform�ari regulate. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�a 295De i D('1; '2; : : : ; 'n)D(y1; y2; : : : ; yn) (~y) 6= 0, 8 ~y 2 V0 �si �n plusD('1; '2; : : : ; 'n)D(y1; y2; : : : ; yn) (~y) = D(f1; f2; : : : ; fn)D(x1; x2; : : : ; xn)(~x)!�1 ; 8 ~y 2 V0; ~x = ~'(~y):(6:5:3)Rezult�a �a ~' este o transformare regulat�a pe V0 �si au lo relat�iile (6.5.3), de i�si (6.5.1). Q.E.D.Conse int�a 6.5.1. Da �a ~f : E � IRn ! IRn este o transformare regulat�ape o mult�ime des his�a D � E, atun i mult�imea ~f(D) este des his�a.Demonstrat�ie. Pentru ori e pun t ~x 2 D, pun tul ~f(~x) este interiormult�imii valorilor ~f(D), de i a east�a mult�ime este format�a numai din pun teinterioare, adi �a este des his�a. Q.E.D.Pentru n = 1 Teorema 6.5.3 ne ondu e laTeorema 6.5.4. Fie f : I ! IR, I interval din IR, x0 2 ÆI. Presupunem �af are derivat�a ontinu�a pe I, iar f 0(x0) 6= 0. Atun i exist�a o ve in�atate U0 � Ia lui x0 �si o ve in�atate V0 a lui y0 astfel �n at f jU0 : U0 ! V0 este bije tiv�a, iarinversa a estei apli at�ii, ' : V0 ! U0 are derivat�a ontinu�a pe U0 �si('�1)0(y) = 1f 0(x) ; 8 y 2 V0; x = '(y).De�nit�ia 6.5.2. O fun t�ie ~f : D � IRn ! IRn, unde D este mult�imedes his�a, se nume�ste lo al bije tiv�a pe D da �a pentru �e are pun t ~x 2 D exist�ao ve in�atate U a sa astfel �n at restri t�ia lui ~f la U este bije tiv�a.O transformare regulat�a pe o mult�ime des his�a, onform Teoremei 6.5.3 estelo al bije tiv�a, dar nu este neap�arat bije tiv�a, dup�a um vom vedea din exemplulurm�ator.Exemplul 6.5.1. Transformarea ~f : IR2 ! IR2, ~f = (f1; f2), undef1(x1; x2) = ex1 os x2, f2(x1; x2) = ex1 sinx2,este regulat�a pe IR2. Intr-adev�ar fun t�iile f1, f2 au derivate part�iale de ordinul�ntai ontinue pe IR2 �siD(f1; f2)D(x1; x2)(x1; x2) = �������� �f1�x1 �f1�x2�f2�x1 �f2�x2 �������� = ������ ex1 os x2 �ex1 sinx2ex1 sinx2 ex1 os x2 ������ =

296 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale= e2x1 os2 x2 + e2x1 sin2 x2 = e2x1 6= 0; 8 (x1; x2) 2 IR2.Apli at�ia ~f nu este bije tiv�a pe IR2, deoare e pun tele (x1; x2+2k�); k 2 Zau a eea�si imagine (ex1 os x2; ex1 sinx2) = ex1( os x2; sinx2).5.2. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�aFie fun t�iile reale f1; f2; � � � ; fm de�nite pe o mult�ime E � IRn.De�nit�ia 6.5.3. Spunem �a fun t�ia real�a ' : E ! IR depinde de fun t�iilef1; f2; : : : ; fm pe o mult�ime D � E da �a exist�a o fun t�ie real�a de m variabile� : B ! IR, B � IRm astfel �n at'(~x) = �(f1(~x); f2(~x); : : : ; fm(~x)); 8 ~x 2 D.De�nit�ia 6.5.4. Fun t�iile reale f1; f2; : : : ; fm de�nite pe mult�imeaE � IRn sunt �n dependent��a fun t�ional�a pe mult�imea D � E sau sunt dependentefun t�ional pe D da �a el put�in una din ele depinde de elelalte pe mult�imea D.Fun t�iile f1; f2; : : : ; fm : E ! IR sunt independente fun t�ional �ntr-un pun t~x0 2 ÆE da �a nu exist�a ni i o ve in�atate a lui ~x0 astfel �n at una dintre ele s�adepind�a de elelalte pe a ea ve in�atate.Fun t�iile f1; f2; : : : ; fm sunt independente pe o mult�ime des his�a D � E da �aele sunt independente �n ori e pun t ~x 2 D.Exemplul 6.5.2. Fie fun t�iile f(x; y) = x2+y2, g(x; y) = xy, h(x; y) = x�yde�nite pe IR2. Deoare ef(x; y) = 2g(x; y) + h2(x; y); 8 (x; y) 2 IR2,rezult�a �a f depinde pe IR2 de fun t�iile g �si h, de i fun t�iile f; g �si h sunt fun t�ionaldependente pe IR2.Exemplul 6.5.3. Fun t�iile f(x) = x2 �si g(x) = 8<: �1; x � 0;1; x > 0;de�nite pe IR sunt independente �n jurul originii. Intr-adev�ar, ori are ar � fun t�ia� avem �(f(�x)) = �(x2) = �(f(x)),iar g(�x) 6= g(x), 8 x 6= 0. De i nu putem avea g(x) = �(f(x)) pentru x 6= 0.Rezult�a �a g nu depinde de f �n ni i o ve in�atate a originii.

Transform�ari regulate. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�a 297In mod asem�an�ator, pentru ori e fun t�ie � avem�(g(x)) = 8<: �(�1); x � 0;�(1); x > 0;de i fun t�ia ompus�a �(g(x)) ia numai dou�a valori, �n ori e ve in�atate a originii,�n timp e mult�imea valorilor fun t�iei f(x) = x2 este in�nit�a, �n ori e ve in�atatea originii. De i nu putem avea f(x) = �(g(x)) �n ni i o ve in�atate a lui 0, adi �af nu depinde de g �n ni i o ve in�atate a originii. Dedu em astfel �a f �si g suntindependente �n jurul originii.Propozit�ia 6.5.1. Da �a fun t�iile reale f1; f2; : : : ; fm de�nite pe E � IRnsunt dependente fun t�ional pe mult�imea D � E, atun i imaginea mult�imii D prinfun t�ia ~f : E ! IRm, ~f = (f1; f2; : : : ; fm) nu ont�ine pun te interioare.Demonstrat�ie. Deoare e fun t�iile f1; f2; : : : ; fm sunt dependente fun t�ionalpe D, una dintre a este fun t�ii, de exemplu fm depinde de elelalte. De i exist�ao fun t�ie � : B ! IR, B � IRm�1 astfel �n atfm(~x) = �(f1(~x); : : : ; fm�1(~x)); 8 ~x 2 D.Fie ~y 2 ~f(D) arbitrar, momentan �xat. De i 9 ~x 2 D astfel �n at ~y = ~f(~x), yi = fi(~x); i = 1; m. Pentru ym obt�inemym = fm(~x) = �(f1(~x); : : : ; fm�1(~x)) = �(y1; y2; : : : ; ym�1).Atun i pentru ori e " > 0 avem ym + " 6= ym, de i ym + " 6= �(y1; y2; : : : ; ym�1).Rezult�a �a pun tul (y1; y2; : : : ; ym�1; ym + ") nu mai apart�ine lui ~f(D).Dedu em astfel �a ori e ve in�atate V a pun tului ~y = (y1; y2; : : : ; ym�1; ym) 22 ~f(D) ont�ine pun te de forma (y1; : : : ; ym�1; ym + ") are nu apart�in lui ~f(D).De i pun tul ~y nu este pun t interior lui ~f(D). Deoare e y a fost ales arbitrar,rezult�a �a ~f(D) nu are pun te interioare. Q.E.D.Teorema 6.5.5. Fie fun t�iile reale f1; f2; : : : ; fm de�nite pe mult�imeaE � IRn, iar ~x0 2 ÆE. Da �a a este fun t�ii au derivate part�iale de ordinul �ntai ontinue �ntr-o ve in�atate a pun tului ~x0 �si da �a rangul matri ii �fi�xj!i=1;mj=1;n �npun tul ~x0 este egal u num�arul fun t�iilor m, atun i fun t�iile sunt independente�n ~x0.

298 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeDemonstrat�ie. Deoare e matri ea fun t�ional�a �fi�xj!i=1;mj=1;n are �n ~x0 rangulm, rezult�a �a exist�a un determinant de ordinul m, diferit de zero �n pun tul ~x0.De ai i dedu em �a m � n.Pentru a ar�ata �a fun t�iile f1; : : : ; fm sunt independente �n ~x0, vom demons-tra �a nu exist�a ni i o ve in�atate V a pun tului ~x0 astfel �n at una dintre eles�a depind�a de elelalte. Vom presupune prin redu ere la absurd �a exist�a ove in�atate V a lui ~x0 astfel �n at una dintre fun t�ii, de exemplu fm depinde de elelalte fun t�ii pe mult�imea V . Conform Propozit�iei 6.5.1, imaginea mult�imii Vprin fun t�ia ~f = (f1; f2; : : : ; fm) nu ont�ine ni i un pun t interior. In parti ularpun tul ~y0 = ~f(~x0) nu este pun t interior mult�imii ~f(V ).Deoare e rang �fi�xj (~x0)!i=1;mj=1;n = m, s�a presupunem �a determinantulD(f1; f2; : : : ; fm)D(x1; x2; : : : ; xm)(~x0) 6= 0. Fixand xm+1 = xm+1;0; : : : ; xn = xn0, fun t�ia ve to-rial�a de m variabile~F (x1; x2; : : : ; xm) = ~f(x1; x2; : : : ; xm; xm+1;0; : : : ; xn0)este o transformare regulat�a �n pun tul ~x00 = (x10; : : : ; xm0) 2 E 0, undeE 0 = f~x 2 E j xm+1 = xm+1;0; : : : ; xn = xn0g.Atun i pun tul ~y0 = ~F (x10; x20; : : : ; xm0) = ~f(~x0) este un pun t interior almult�imii ~F (U), unde U este o ve in�atate a pun tului ~x00 ( onform Teoremei 6.5.3).Alegem U astfel �n at (x1; : : : ; xm; xm+1;0; : : : ; xn0)2V , pentru 8 (x1; : : : ; xm)2U .Dedu em astfel �a ~F (U) � ~f(V ) �si de i ~y0 este pun t interior �si pentru ~f(V ).Contradi t�ia la are am ajuns ne ondu e la on luzia �a ipoteza f�a ut�a este fals�a.De i fun t�iile f1; f2; : : : ; fm sunt independente �n pun tul ~x0. Q.E.D.Conse int�a 6.5.2. Da �a fun t�ia ~f = (f1; : : : ; fm) : E ! IRm este o trans-formare regulat�a �ntr-un pun t ~x0 2 ÆE atun i fun t�iile reale f1; f2; : : : ; fm suntindependente �n ~x0.Demonstrat�ie. Deoare e D(f1; f2; : : : ; fm)D(x1; x2; : : : ; xm)(~x0) 6= 0, rezult�a �a rangul ma-tri ii fun t�ionale �fi�xj!i=1;mj=1;n �n ~x0 este egal u num�arul fun t�iilor m �si de ifun t�iile f1; f2; : : : ; fm sunt independente �n pun tul ~x0, onform Teoremei 6.5.5.

Transform�ari regulate. Dependent��a �si independent��a fun t�ional�a 299Q.E.D.Teorema 6.5.6. Fie fun t�iile f1; f2; : : : ; fm de�nite pe mult�imea E � IRn,iar ~x0 2 ÆE. Da �a fun t�iile fi; i = 1; m au derivatele part�iale de ordinul �ntai ontinue �ntr-o ve in�atate U a lui ~x0 �si da �a rangul matri ii �fi�xj!i=1;mj=1;n este egal u s � m pe U , atun i printre fun t�iile f1; : : : ; fm exist�a s fun t�ii independentepe U , iar elelalte m� s depind de a estea.Pentru demonstrat�ia Teoremei 6.5.6 vezi [12℄.Conse int�a 6.5.3. Da �a num�arul fun t�iilor f1; f2; : : : ; fm este mai marede at num�arul variabilelor x1; x2; : : : ; xn, atun i fun t�iile f1; f2; : : : ; fm nu pot �independente.Demonstrat�ie. Deoare e n < m rezult�a �a rangul matri ii fun t�ionale poate� el mult n, de i mai mi de at num�arul fun t�iilor. Se apli �a astfel Teorema 6.5.6.Q.E.D.Conse int�a 6.5.4. Fie fun t�iile f1; f2; : : : ; fn : D ! IR, D este des his�a, u derivatele part�iale de ordinul �ntai ontinue pe D. Atun i a este fun t�ii suntdependente fun t�ional pe D da �a �si numai da �a determinantul fun t�ionalD(f1; : : : ; fn)D(x1; : : : ; xn) este identi zero pe D.Exemplul 6.5.4. Fie fun t�iilef1(x; y; z) = xy � z; f2(x; y; z) = xz + y; f3(x; y; z) = (x2 + 1)(y2 + z2);(x; y; z) 2 IR3. Deoare eD(f1; f2; f3)D(x; y; z) (x; y; z) = ��������������f1�x �f1�y �f1�z�f2�x �f2�y �f2�z�f3�x �f3�y �f3�z

������������� == ��������� y x �1z 1 x2x(y2 + z2) 2y(x2 + 1) 2z(x2 + 1) ��������� =

300 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale= ��������� 0 0 �1xy + z 1 + x2 x2yz(x2 + 1) + 2x(y2 + z2) 2xz(x2 + 1) + 2y(x2 + 1) 2z(x2 + 1) ��������� == �2(1 + x2) ������ xy + z 1(xy + z)(xz + y) xz + y ������ = 0; 8 (x; y; z) 2 IR3,dedu em �a fun t�iile f1; f2; f3 sunt dependente pe IR3. Relat�ia de leg�atur�a dintrea este fun t�ii este f3 = f 21 + f 22 .6. Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi6.1. Extreme libereFie fun t�ia f : E � IRn ! IR, iar ~x0 = (x10; x20; : : : ; xn0) 2 E.De�nit�ia 6.6.1. Pun tul ~x0 2 E se nume�ste pun t de extrem lo al sau relatival fun t�iei f da �a exist�a o ve in�atate V a pun tului ~x0 astfel �n at diferent�af(~x) � f(~x0) p�astreaz�a semn onstant sau este nul�a pe V \ E. Pun tul ~x0 senume�ste pun t de maxim (pun t de minim) lo al sau relativ al fun t�iei f da �af(~x)� f(~x0) � 0 (respe tiv f(~x)� f(~x0) � 0); 8~x 2 V \ E.De�nit�ia 6.6.2. Da �a �n inegalit�at�ile de mai sus avem f(~x) � f(~x0) = 0numai pentru ~x0, spunem �a ~x0 este pun t de maxim lo al stri t (respe tiv pun tde minim lo al stri t).De�nit�ia 6.6.3. Da �a f(~x)�f(~x0) � 0, (f(~x)�f(~x0) � 0), 8 ~x 2 E atun i~x0 se nume�ste pun t de maxim absolut (respe tiv pun t de minim absolut).Ori e pun t de extrem absolut este pun t de extrem relativ. Re ipro a nueste adev�arat�a, dup�a um se vede din gra� ele fun t�iilor desenate �n �gurile demai jos. In Fig.4 pun tul x0 este pun t de minim absolut (de i �si relativ), iar�n Fig.5 pun tele x1; x2 sunt pun te de maxim relativ, iar pun tele x3; x4 suntpun te de minim relativ.Teorema 6.6.1. (Fermat) Da �a fun t�ia f : E � IRn ! IR are derivatepart�iale �ntr-un pun t de extrem ~x0 2 ÆE, atun i derivatele part�iale se anuleaz�a �n

Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi 301

Fig. 4

x x

yy

xo0

0

Fig. 5

x1 x2

x3 x4

a el pun t, adi �a rf(~x0) = ~0.Demonstrat�ie. S�a onsider�am fun t�iile reale de o variabil�a real�at! Fi(t) = f(~x0 + t~ei); t 2 IR; i = 1; n; u ~x0 + t~ei 2 E.A este fun t�ii sunt derivabile �n t = 0 �si au pe t = 0 a pun t de extrem. ConformTeoremei 5.3.1 rezult�a �a F 0i (0) = 0; 8 i = 1; n, adi �a �f�xi (~x0) = 0; 8 i = 1; nsau e hivalent rf(~x0) = ~0. Q.E.D.De�nit�ia 6.6.4. Un pun t ~x0 2 ÆE se nume�ste pun t stat�ionar sau pun t riti al fun t�iei f da �a f este diferent�iabil�a �n pun tul ~x0 �si da �a diferent�iala saeste nul�a �n a est pun t, df(~x0) = 0.Deoare e df(~x0) = nXi=1 �f�xi (~x0)dxi avem df(~x0) = 0 da �a �si numai da �a�f�xi (~x0) = 0; 8 i = 1; n. De i pun tul ~x0 este pun t stat�ionar al fun t�iei fda �a f este diferent�iabil�a �n ~x0 �si are derivatele part�iale nule �n a est pun t.Teorema 6.6.1 ne spune �a ori e pun t de extrem lo al din interiorul mult�imiiE, �n are fun t�ia f este diferent�iabil�a, este pun t stat�ionar al fun t�iei. Re ipro aTeoremei 6.6.1 nu este adev�arat�a, dup�a um vom vedea din exemplul urm�ator.Exemplul 6.6.1. Fie fun t�ia f(x; y) = x2 � y2, de�nit�a pe IR2. Avem�f�x (x; y) = 2x, �f�y (x; y) = �2y. De i �f�x (0; 0) = 0, �f�y (0; 0) = 0. Fun t�ia estediferent�iabil�a �n (0; 0), (derivatele part�iale sunt ontinue), de i (0; 0) este pun tstat�ionar al fun t�iei f . Totu�si pun tul (0; 0) nu este pun t de extrem, deoare e

302 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realepentru pun tele (x; 0) avem f(x; 0) = x2 � 0 = f(0; 0), iar pentru pun tele (0; y)avem f(0; y) = �y2 � 0 = f(0; 0). De i �n pun tul (0; 0) fun t�ia f nu are ni iminim lo al, ni i maxim lo al.De�nit�ia 6.6.5. Pun tele stat�ionare ale fun t�iei f : E � IRn ! IR are nusunt pun te de extrem se numes pun te �sa.Ca �si �n azul fun t�iilor de o singur�a variabil�a real�a, vom da �n ontinuare ondit�ii su� iente pentru a un pun t stat�ionar s�a �e pun t de extrem. De i vomidenti� a printre pun tele stat�ionare unele pun te de extrem (dar nu neap�arattoate pun tele de extrem).De�nit�ia 6.6.6. Fun t�ia u : IRn ! IR,u(~h) = a11h21+a22h22+ � � �+annh2n+2a12h1h2+ � � �+2an�1;nhn�1hn, ~h 2 IRn, u aij 2 IR, i; j = 1; n, i � j, se nume�ste form�a p�atrati �a pe spat�iul IRn.Unei forme p�atrati e i se aso iaz�a matri ea (aij)ni;j=1 2 Mn(IR), simetri �a,numit�a matri ea formei p�atrati e.Teorema 6.6.2. Fie f : E � IRn ! IR �si �e ~x0 2 ÆE pun t stat�ionar al luif . Da �a f are derivate part�iale de ordinul al doilea ontinue �ntr-o ve in�atate Va lui ~x0 atun i(I) 1. Da �ad2f(~x0)(~h) = h1 ��x1 + h2 ��x2 + � � �+ hn ��xn!f2g f(~x0) = nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)hihjeste o form�a p�atrati �a pozitiv de�nit�a, adi �a d2f(~x0)(~h) > 0; 8~h 2 IRn n f~0g,atun i pun tul ~x0 este pun t de minim.2. Da �a d2f(~x0)(~h) este o form�a p�atrati �a negativ de�nit�a, adi �ad2f(~x0)(~h) < 0; 8~h 2 IRn n f~0g, atun i pun tul ~x0 este pun t de maxim.(II) Da �a d2f(~x0)(~h) este o form�a p�atrati �a nede�nit�a, adi �a 9~h0 6= ~0, ~h00 6= ~0din IRn astfel �n at d2f(~x0)(~h0) < 0 �si d2f(~x0)(~h00) > 0, atun i ~x0 nu este pun tde extrem (~x0 este pun t �sa).(III) Da �a d2f(~x0)(~h) este o form�a p�atrati �a semide�nit�a pozitiv (sau nega-tiv), adi �ad2f(~x0)(~h) � 0; 8~h 2 IRn �si 9~h0 6= ~0 astfel �n at d2f(~x0)(~h0) = 0,

Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi 303(respe tiv d2f(~x0)(~h)�0; 8~h 2 IRn �si 9~h00 6= ~0 astfel �n at d2f(~x0)(~h00)=0),atun i nu putem stabili u ajutorul diferent�ialei a doua natura pun tului stat�ionar~x0. Demonstrat�ie. Deoare e fun t�ia f are derivate part�iale de ordinul al doilea ontinue pe V (putem onsidera V = S(~x0; r) � E, de i V este mult�ime des his�a�si onvex�a), vom apli a Teorema lui Taylor u restul lui Peano (Teorema 6.3.3),de ordinul al doilea. Avemf(~x) = f(~x0) + 11!df(~x0)(~x� ~x0) + 12!d2f(~x0)(~x� ~x0) + �(~x)2! k~x� ~x0k2; 8 ~x 2 V;(6:6:1)unde � : V ! IR; lim~x!~x0 �(~x) = �(~x0) = 0.Pun tul ~x0 este stat�ionar, de i df(~x0)(~x� ~x0) = 0. Atun i relat�ia (6.6.1) ned�a f(~x)� f(~x0) = 12d2f(~x0)(~x� ~x0) + �(~x)2 k~x� ~x0k2; 8 ~x 2 V .Da �a not�am u ~! = ~x� ~x0k~x� ~x0k , avem k~!k = 1, iard2f(~x0)(~x� ~x0) = k~x� ~x0k2d2f(~x0)(~!).De i f(~x)� f(~x0) = 12 hd2f(~x0)(~!) + �(~x)i k~x� ~x0k2; 8 ~x 2 V: (6:6:2)(I) 1. S�a presupunem �a d2f(~x0)(~h) este pozitiv de�nit�a. In a est az fun t�ia~! ! Q(~!) = d2f(~x0)(~!) = nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)!i!j,de�nit�a pe mult�imea � = f~! 2 IRn j k~!k = 1g, este ontinu�a �si stri t pozitiv�a.Deoare e mult�imea � este ompa t�a (�n his�a �si m�arginit�a), rezult�a �a fun t�ia Qeste m�arginit�a �si ��si atinge marginile. Fie m = inf~!2�Q(~!), iar ~!0 un element din� �n are Q ��si atinge marginea inferioar�a, m = Q(~!0) > 0. Atun i din (6.6.2)obt�inem f(~x)� f(~x0) � 12[m + �(~x)℄k~x� ~x0k2; 8 ~x 2 V .Fun t�ia � este ontinu�a �n ~x0, de i pentru m > 0 de mai sus exist�a S(~x0; Æ)astfel �n atj�(~x)j < m; 8 ~x 2 S(~x0; Æ) sau �m < �(~x) < m; 8 ~x 2 S(~x0; Æ).

304 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeRezult�a atun if(~x)� f(~x0) � 12(m�m)k~x� ~x0k2 = 0; 8 ~x 2 S(~x0; Æ),(putem onsidera Æ < r). A east�a ultim�a inegalitate ne ondu e la on luzia �apun tul ~x0 este pun t de minim lo al pentru fun t�ia f .2. Da �a d2f(~x0)(~h) este negativ de�nit�a atun i diferent�iala a doua a fun t�ieig(~x) = �f(~x) este pozitiv de�nit�a. Conform pun tului 1, ~x0 este pun t de minimpentru fun t�ia g, de i ~x0 este un pun t de maxim pentru fun t�ia f .(II) Da �a d2f(~x0)(~h) este o form�a p�atrati �a nede�nit�a, atun i exist�a ve torii~!0 = ~h0k~h0k , ~!00 = ~h00k~h00k 2 � astfel �n at d2f(~x0)(~!0) < 0 �si d2f(~x0)(~!00) > 0.Fun t�iilet! F (t) = f(~x0+ t~!0) �si t! G(t) = f(~x0+ t~!00); ~x0+ t~!0; ~x0+ t~!00 2 Vau derivate de ordinul al doilea ontinue �si satisfa ondit�iileF 0(0) = df(~x0)(~!0) = 0; G0(0) = df(~x0)(~!00) = 0,adi �a t = 0 este pun t stat�ionar pentru fun t�iile F �si G. In plusF 00(0) = d2f(~x0)(~!0) < 0; G00(0) = d2f(~x0)(~!00) > 0.Conform Conse int�ei 5.4.1 rezult�a �a t = 0 este pun t de maxim pentru F �sipun t de minim pentru G, adi �a 9 Æ > 0 astfel �n at pentru 0 < jtj < Æ are lo f(~x0 + t~!0) � f(~x0) �si f(~x0 + t~!00) � f(~x0).De ai i dedu em �a ~x0 nu este pun t de extrem pentru fun t�ia f .(III) Da �a d2f(~x0)(~h) este semide�nit�a pozitiv sau negativ, �nseamn�a �a e-xist�a ~!0 2 � astfel �n at d2f(~x0)(~!0) = 0, 0�~!0 = ~h0k~h0k sau ~!0 = ~h00k~h00k1A. Atun irelat�ia (6.6.2) ne d�af(~x)� f(~x0) = 12�(~x)k~x� ~x0k2; pentru ~x u ~x� ~x0k~x� ~x0k = ~!0; adi �a~x = ~x0 + ~h0 sau ~x = ~x0 + ~h00.Deoare e semnul lui �(~x) nu este unos ut, nu putem stabili natura pun tuluistat�ionar ~x0. Q.E.D.Matri ea formei p�atrati e d2f(~x0)(~h) = nXi;j=1 �2f�xi�xj (~x0)hihj este hessiana

Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi 305H(f)(~x0) = (aij)ni;j=1, u aij = �2f�xj�xi (~x0). In ipotezele Teoremei 6.6.2, a east�amatri e este simetri �a ( onform Criteriului lui S hwarz). S�a onsider�am �sirulminorilor prin ipali ai matri ii H(f)(~x0), adi �a�1 = a11; �2 = ������ a11 a12a21 a22 ������ ; : : : ; �n = ������������� a11 a12 � � � a1na21 a22 � � � a2n... ... ...an1 an2 � � � ann�������������.Combinand Teorema 6.6.2 u Teorema lui Sylvester de la forme p�atrati eobt�inemTeorema 6.6.3. In ipotezele Teoremei 6.6.2 avem1. Da �a �1 > 0; �2 > 0; : : : ;�n > 0 atun i d2f(~x0)(~h) este pozitiv de�nit�a,de i ~x0 este pun t de minim pentru f .2. Da �a �1 < 0; �2 > 0; : : : ; (�1)n�n > 0 atun i d2f(~x0)(~h) este negativde�nit�a, de i ~x0 este pun t de maxim pentru f .3. Da �a�1 � 0; �2 � 0; : : : ;�n � 0 sau �1 � 0; �2 � 0; : : : ; (�1)n�n � 0�si exist�a el put�in un element j 2 f1; 2; : : : ; ng astfel �n at �j = 0 �n �e aredin �sirurile de mai sus, atun i d2f(~x0)(~h) este semide�nit�a pozitiv, respe tivsemide�nit�a negativ, de i nu putem de ide natura pun tului ~x0 u ajutorul luid2f(~x0)(~h).4. Da �a �sirul minorilor prin ipali �1; : : : ;�n nu este �n ni i unul din azurilepre edente, atun i d2f(~x0)(~h) este nede�nit�a, de i ~x0 nu este pun t de extrem.In azul fun t�iilor de dou�a variabile, Teorema 6.6.2 ne ondu e la urm�atoareateorem�a.Teorema 6.6.4. Fie f : E � IR2 ! IR �si (x0; y0) 2 ÆE pun t stat�ionar allui f . Presupunem �a f are derivate part�iale de ordinul al doilea ontinue �ntr-ove in�atate V a lui ~x0 �si not�amA = �2f�x2 (x0; y0); B = �2f�x�y (x0; y0); C = �2f�y2 (x0; y0):Atun i1. Da �a AC �B2 > 0 �si A > 0 atun i (x0; y0) este pun t de minim pentru f .

306 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale2. Da �a AC � B2 > 0 �si A < 0 atun i (x0; y0) este pun t de maxim pentru f .3. Da �a AC � B2 < 0 atun i pun tul (x0; y0) nu este pun t de extrem.4. Da �a AC � B2 = 0 atun i nu putem stabili natura pun tului stat�ionar uajutorul diferent�ialei a doua �n pun tul (x0; y0).Teorema rezult�a din Teorema 6.6.2 t�inand ont �ad2f(x0; y0)(h1; h2) = Ah21 + 2Bh1h2 + Ch22; (h1; h2) 2 IR2.Exemplul 6.6.2. S�a onsider�am fun t�iaz(x; y) = x3 + y3 � 3xy; (x; y) 2 IR2.Pun tele stat�ionare le determin�am rezolvand sistemul8>><>>: �z�x(x; y) = 0�z�y (x; y) = 0 ) 8<: 3x2 � 3y = 03y2 � 3x = 0:Obt�inem pun tele stat�ionare M1(0; 0) �si M2(1; 1).Derivatele de ordinul al doilea ale fun t�iei z sunt�2z�x2 (x; y) = 6x; �2z�x�y (x; y) = �3; �2z�y2 (x; y) = 6y.Pentru pun tul M1(0; 0) avem A = �2z�x2 (0; 0) = 0, B = �2z�x�y (0; 0) = �3,C = �2z�y2 (0; 0) = 0, iar AC � B2 = �9 < 0. Rezult�a �a M1 nu este pun t deextrem (este pun t �sa). Pentru pun tul M2(1; 1) avem A = 6, B = �3, C = 6,iar AC � B2 = 27 > 0, A > 0. Rezult�a �a M2 este pun t de minim lo al pentrufun t�ia z, iar valoarea minim�a este z(1; 1) = �1.Exemplul 6.6.3. S�a onsider�am fun t�iau(x; y; z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z; (x; y; z) 2 IR3.Pun tele stat�ionare ale fun t�iei u sunt solut�iile sistemului8>>>>>><>>>>>>: �u�x(x; y; z) = 0�u�y (x; y; z) = 0�u�z (x; y; z) = 0 ) 8>>><>>>: 3x2 + 12y = 02y + 12x = 02z + 2 = 0Obt�inem pun tele M1(0; 0;�1) �si M2(24;�144;�1).Derivatele part�iale de ordinul al doilea ale fun t�iei u sunt

Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi 307�2u�x2 = 6x; �2u�y2 = 2; �2u�z2 = 2; �2u�x�y = 12; �2u�x�z = 0; �2u�y�z = 0.Diferent�iala a doua a fun t�iei u �n pun tul M1 ested2u(0; 0;�1) = 2dy2 + 2dz2 + 24dx dy.Deoare e �sirul minorilor prin ipali ai formei p�atrati e de mai sus este�1 = 0; �2 = ������ 0 1212 2 ������ = �144; �3 = ��������� 0 12 012 2 00 0 2 ��������� = �288,dedu em �a d2u(0; 0;�1) este nede�nit�a, de iM1 nu este pun t de extrem pentrufun t�ia u.Pentru pun tul M2(24;�144;�1) avemd2u(24;�144;�1) = 144dx2 + 2dy2 + 2dz2 + 24dx dy.Deoare e pentru forma p�atrati �a obt�inut�a avem�1 = 144 > 0; �2 = ������ 144 1212 2 ������ = 144 > 0; �3 = ��������� 144 12 012 2 00 0 2 ��������� = 288 > 0,dedu em �a d2u(M2) este pozitiv de�nit�a, de i M2 este pun t de minim lo alpentru fun t�ia u. Valoarea minim�a a lui u este u(M2) = �6913.6.2. Extreme ondit�ionate sau u leg�aturiFie fun t�ia f : E ! IR, unde E este o mult�ime des his�a din IRn, iar A � E.De�nit�ia 6.6.7. Spunem �a fun t�ia f are �n ~x0 2 A un extrem relativ lamult�imea A, da �a restri t�ia fun t�iei f la mult�imea A are �n pun tul ~x0 un extrem.De i f are �n ~x0 un maxim (minim) relativ la mult�imea A da �a exist�a ove in�atate V a lui ~x0 astfel �n atf(~x) � f(~x0); (respe tiv f(~x) � f(~x0) ) 8 ~x 2 V \ A.Pun tul ~x0 are veri� �a inegalitatea de mai sus se nume�ste pun t de maxim,(respe tiv pun t de minim) al fun t�iei f relativ la mult�imea A.Extremele fun t�iei f relative la o mult�ime A � E se numes extreme ondi-t�ionate, iar extremele unei fun t�ii studiate la �n eputul se t�iunii se mai numes extreme libere sau extreme ne ondit�ionate.

308 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeUn pun t de extrem ondit�ionat este pun t de extrem liber, dar nu ori epun t de extrem liber este pun t de extrem ondit�ionat.In ele e urmeaz�a vom studia urm�atoarea problem�a de extrem ondit�ionat.S�a onsider�am sistemul de m < n fun t�ii reale F1; F2; : : : ; Fm de�nite pe E, iarmult�imea A va � de�nit�a a mult�imea solut�iilor sistemuluiFi(x1; x2; : : : ; xn) = 0; i = 1; m: (6:6:3)De i A = f~x j ~x 2 E; F1(~x) = 0; : : : ; Fm(~x) = 0g. In a est az extremelefun t�iei f relative la mult�imea A se mai numes extreme ondit�ionate de sistemul(6.6.3). Deoare e mult�imea A este format�a din a ele valori ale argumentelor(x1; x2; : : : ; xn) 2 E are sunt legate �ntre ele prin elem e uat�ii Fi = 0; i = 1; m,extremele ondit�ionate de a est tip se mai numes extreme u leg�aturi.De�nit�ia 6.6.8. Fun t�iaL(~x;~�) = f(~x) + �1F1(~x) + �2F2(~x) + � � �+ �mFm(~x)se nume�ste fun t�ia lui Lagrange, iar �1; �2; : : : ; �m se numes multipli atorii luiLagrange.Teorema urm�atoare ne d�a ondit�ii ne esare de existent��a a pun telor de ex-trem ondit�ionat.Teorema 6.6.5. Fie ~x0 2 E o solut�ie a sistemului de e uat�ii (6.6.3), adi �a~x0 2 A. Presupunem �a fun t�ia f �si fun t�iile Fi; i = 1; m au derivate part�ialede ordinul �ntai ontinue �ntr-o ve in�atate V a lui ~x0 �si matri ea fun t�ional�a �Fi�xj!i=1;mj=1;n are �n pun tul ~x0 rangul m. Da �a ~x0 este pun t de extrem al fun t�ieif , ondit�ionat de sistemul (6.6.3), atun i exist�a ~�0 2 IRm astfel �n at (~x0; ~�0)este pun t stat�ionar al fun t�iei L, de i solut�ie a sistemului8>>><>>>: �L�xi (~x;~�) = �f�xi (~x) + �1�F1�xi (~x) + � � �+ �m�Fm�xi (~x) = 0; i = 1; n;�L��j (~x;~�) = Fj(~x) = 0; j = 1; m: (6:6:4)Demonstrat�ie. Deoare e matri ea �Fi�xj!i=1;mj=1;n are �n pun tul ~x0 rangul m

Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi 309rezult�a �a exist�a un determinant fun t�ional de ordinulm al a estei matri i, diferitde zero �n ~x0. Putem presupune �aD(F1; F2; : : : ; Fm)D(x1; x2; : : : ; xm) (~x0) 6= 0.Sistemul (6.6.3) se poate rezolva �n raport u variabilele x1; x2; : : : ; xm �n jurulpun tului ~x0. Intr-adev�ar avem �ndeplinite ipotezele Teoremei 6.4.3. Rezult�a �aexist�a o ve in�atate V1 � A a pun tului ~x10 = (x10; x20; : : : ; xm0) �n spat�iul IRm �sio ve in�atate V2 a pun tului ~x20 = (xm+1;0; : : : ; xn0) �n spat�iul IRn�m astfel �n atpentru ori e pun t ~x2 = (xm+1; : : : ; xn) 2 V2 sistemul (6.6.3) are o solut�ie uni �a~x1 = (x1; x2; : : : ; xm) �n V1, dat�a de8>>>>>>><>>>>>>>: x1 = '1(xm+1; : : : ; xn)x2 = '2(xm+1; : : : ; xn)...xm = 'm(xm+1; : : : ; xn) , 8>>>>>>><>>>>>>>: x1 = '1(~x2)x2 = '2(~x2)...xm = 'm(~x2): (6:6:5)Avem x10 = '1(~x20); : : : ; xm0 = 'm(~x20). Fun t�iile '1; : : : ; 'm au derivatepart�iale ontinue pe V2. S riind �a (6.6.5) este solut�ie pentru (6.6.3) obt�inemFi('1(xm+1; : : : ; xn); : : : ; 'm(xm+1; : : : ; xn); xm+1; : : : ; xn) = 0; i = 1; m.Diferent�ialele a estor fun t�ii sunt egale u 0 pe V2, de i �si �n pun tul ~x20, adi �a�Fi�x1 (~x0)d'1(~x20) + �Fi�x2 (~x0)d'2(~x20) + � � �+ �Fi�xm (~x0)d'm(~x20)++ �Fi�xm+1 (~x0)dxm+1 + � � �+ �Fi�xn (~x0)dxn = 0; i = 1; m: (6:6:6)S�a onsider�am a um fun t�ia ompus�aF (~x2) = f('1(~x2); '2(~x2); : : : ; 'm(~x2); xm+1; : : : ; xn)de�nit�a pe V2. Deoare e fun t�ia f are �n ~x0 un extrem ondit�ionat de sistemul(6.6.3) rezult�a �a fun t�ia F are �n pun tul ~x20 un extrem liber. In a est azdiferent�iala lui F �n pun tul ~x20 este zero, adi �adF (~x20) = �f�x1 (~x0)d'1(~x20) + �f�x2 (~x0)d'2(~x20) + � � �+ �f�xm (~x0)d'm(~x20)++ �f�xm+1 (~x0)dxm+1 + � � �+ �f�xn (~x0)dxn = 0: (6:6:7)

310 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeDin relat�iile (6.6.6) �si (6.6.7) dedu em, pentru ori e sistem de numere �1; �2;: : : ; �m, �a �f�x1 + mXi=1 �i �Fi�x1! d'1 + �f�x2 + mXi=1 �i�Fi�x2! d'2 + � � �++ �f�xm + mXi=1 �i �Fi�xm! d'm + �f�xm+1 + mXi=1 �i �Fi�xm+1! dxm+1++ � � �+ �f�xn + mXi=1 �i �Fi�xn! dxn = 0: (6:6:8)Alegem numerele �1; �2; : : : ; �m astfel �n at oe� ient�ii diferent�ialelor d'1;d'2; : : : ; d'm s�a se anuleze, adi �a�f�xi (~x0) + �1�F1�xi (~x0) + �2�F2�xi (~x0) + � � �+ �m�Fm�xi (~x0) = 0; i = 1; m: (6:6:9)Sistemul de mai sus �n �1; �2; : : : ; �m are solut�ie uni �a ~�0 = (�10; �20; : : : ; �m0),deoare e D(F1; : : : ; Fm)D(x1; : : : ; xm) )(~x0) 6= 0.Cu valorile �10; �20; : : : ; �m0 egalitatea (6.6.8) se s rie �f�xm+1 + mXi=1 �i �Fi�xm+1! dxm+1 + � � �+ �f�xn + mXi=1 �i �Fi�xn! dxn = 0:Pentru a a east�a egalitate s�a aib�a lo pentru ori e valori ale variabilelorindependente dxm+1; : : : ; dxn este ne esar �si su� ient s�a se anuleze oe� ient�iia estor variabile �f�xj (~x0) + mXi=1 �i�Fi�xj (~x0) = 0; j = m + 1; n: (6:6:10)Din (6.6.9) �si (6.6.10) rezult�a �a (~x0; ~�0) este solut�ie a sistemului (6.6.4).Q.E.D.De�nit�ia 6.6.9. Un pun t ~x0 2 E pentru are rang �Fi�xj (~x0)! = m senume�ste pun t stat�ionar ( riti ) al fun t�iei f ondit�ionat de sistemul (6.6.3) da �a9~�0 2 IRm astfel �n at (~x0; ~�0) 2 E � IRm este pun t stat�ionar al fun t�iei luiLagrange, adi �a (~x0; ~�0) este solut�ie a sistemului (6.6.4).Teorema 6.6.5 ne spune �a ori e pun t de extrem ondit�ionat este pun tstat�ionar ondit�ionat. Re ipro a nu este adev�arat�a.

Pun te de extrem libere. Extreme u leg�aturi 311Vom da �n ontinuare ondit�ii su� iente de extrem ondit�ionat. Presupunem �a fun t�ia f �si fun t�iile Fi, i = 1; m au derivate part�iale de ordinul al doilea on-tinue �ntr-o ve in�atate a pun tului ~x0 �si �e (~x0; ~�0) 2 E�IRm solut�ie a sistemului(6.6.4).De�nim fun t�ia�(~x) = L(~x;~�0) = f(~x)+�10F1(~x)+� � �+�m0Fm(~x); ~�0 = (�10; : : : ; �m0).Pun tul ~x0 este pun t stat�ionar al fun t�iei �, de i d�(~x0) = 0. Apoi deoare e�(~x)� �(~x0) = f(~x)� f(~x0); ~x 2 A,rezult�a �a ~x0 este pun t de extrem al fun t�iei f ondit�ionat de sistemul (6.6.3)da �a �si numai da �a ~x0 este pun t de extrem liber pentru �. Trebuie de i s�astudiem natura diferent�ialei a doua a fun t�iei � �n pun tul ~x0, adi �ad2�(~x0) = mXi;j=1 �2��xi�xj (~x0)dxidxj.Diferent�ialele dx1; : : : ; dxn nu sunt independente, relat�iile dintre ele se obt�inprin diferent�ierea e uat�iilor sistemului (6.6.3)�Fi�x1 (~x0)dx1 + � � �+ �Fi�xn (~x0)dxn = 0; i = 1; m.Da �a D(F1; F2; : : : ; Fm)D(x1; x2; : : : ; xm) (~x0) 6= 0, din sistemul de mai sus putem exprima pedx1; : : : ; dxm �n fun t�ie de dxm+1; : : : ; dxn. Obt�inem dxi = n�mXk=1 aikdxm+k;i = 1; m; are introduse �n d2�(~x0) ne daud2�(~x0) = n�mXk;l=1Akldxm+kdxm+l,adi �a o form�a p�atrati �a pe spat�iul IRn�m. Ai i aik se exprim�a �n fun t�ie de�Fi�xj (~x0), iar Akl �n fun t�ie de �Fi�xj (~x0), �2Fi�xj�xl (~x0), �2f�xj�xl (~x0); i = 1; m;j; l = 1; n.Din Teorema 6.6.2 dedu em atun ia) da �a d2�(~x0) este form�a p�atrati �a pozitiv (negativ) de�nit�a, atun i ~x0 estepun t de minim (respe tiv maxim) pentru f ondit�ionat de sistemul (6.6.3);b) da �a d2�(~x0) este form�a p�atrati �a nede�nit�a, atun i ~x0 nu este pun t deextrem pentru f ;

312 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale ) da �a d2�(~x0) este semide�nit�a pozitiv sau negativ, atun i nu putem stabilinatura pun tului ~x0 numai u ajutorul diferent�ialei a doua a lui �.Exemplul 6.6.4. S�a determin�am extremele fun t�iei f(x; y; z) = xyz, on-dit�ionate de e uat�iile x2 + y2 + z2 = 1 �si x+ y + z = 0 �n IR3.Fun t�ia lui Lagrange esteL(x; y; z; �; �) = xyz + �(x2 + y2 + z2 � 1) + �(x + y + z).Pun tele sale stat�ionare sunt solut�iile sistemului8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:�L�x = 0�L�y = 0�L�z = 0�L�� = 0�L�� = 0 ) 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

yz + 2�x+ � = 0xz + 2�y + � = 0xy + 2�z + � = 0x2 + y2 + z2 � 1 = 0x + y + z = 0:Punand ondit�ia a sistemul format din primele trei e uat�ii ale sistemului demai sus �n ne unos utele � �si � s�a �e ompatibil obt�inem e uat�ia��������� yz 2x 1xz 2y 1xy 2z 1 ��������� = 0 ) (y � x)(z � x)(y � z) = 0.Astfel sistemul de mai sus este e hivalent u sistemul8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:� = �13(yz + xz + xy)2�x = ��� yz(y � x)(z � x)(y � z) = 0x2 + y2 + z2 = 1x+ y + z = 0Obt�inem solut�iileM1� 1p6 ; 1p6 ;� 2p6� u � = 12p6 ; � = 16 ; M2�� 1p6 ;� 1p6 ; 2p6� u � = � 12p6 ; � = 16 ;M3� 1p6 ;� 2p6 ; 1p6� u � = 12p6 ; � = 16 ; M4�� 1p6 ; 2p6 ;� 1p6� u � = � 12p6 ; � = 16 ;M5�� 2p6 ; 1p6 ; 1p6� u � = 12p6 ; � = 16 ; M6� 2p6 ;� 1p6 ;� 1p6� u � = � 12p6 ; � = 16 :S�a onsider�am fun t�iile�1(x; y; z) = L(x; y; z; 12p6 ; 16) = xyz + 12p6(x2 + y2 + z2 � 1) + 16(x+ y + z);�2(x; y; z) = L(x; y; z;� 12p6 ; 16) = xyz� 12p6(x2+ y2+ z2� 1)+ 16(x+ y+ z):Vom studia diferent�ialele de ordinul al doilea ale fun t�iei �1 �n pun tele

Exer it�ii �si probleme 313M1; M3 �si M5 �si apoi ale fun t�iei �2 �n pun tele M2; M4 �si M6. Leg�aturile dinproblem�a ne dau8<: x dx+ y dy + z dz = 0dx+ dy + dz = 0 ) 8<: dz = �dx� dy(x� z) dx + (y � z) dy = 0:Pentru pun tul M1 avemd2�1(M1) = 1p6 dx2 + 1p6 dy2 + 1p6 dz2 � 4p6 dx dy + 2p6dx dz + 2p6 dy dz, are �n prezent�a leg�aturilor 8<: dz = �dx� dy3p6 dx + 3p6 dy = 0 ) 8<: dy = �dxdz = 0;devine d2�1(M1) = p6 dx2. Rezult�a �a pun tul M1 este pun t de minim pentrufun t�ia f supus�a la ele dou�a leg�aturi, iar f(M1) = � 13p6 . Asem�an�ator se arat�a �a M3 �si M5 sunt �si ele pun te de minim pentru f , iar f(M3) = f(M5) = � 13p6 .Pentru pun tul M2 avemd2�2(M2) = � 1p6 dx2 � 1p6 dy2 � 1p6 dz2 + 4p6 dx dy � 2p6dx dz � 2p6 dy dz.Leg�aturile dintre diferent�ialele dx; dy �si dz sunt 8<: dz = �dx� dy� 3p6 dx� 3p6 dy = 0 )8<: dz = 0dy = �dx:Obt�inem d2�2(M2) = �p6 dx2. Dedu em �a pun tul M2 este pun t de maximpentru fun t�ia f supus�a la ele dou�a leg�aturi, iar f(M2) = 13p6 . Asem�an�ator searat�a �a M4 �si M6 sunt pun te de maxim pentru f , iar f(M4) = f(M6) = 13p6 .De i fun t�ia f supus�a la ele dou�a leg�aturi admite trei pun te de minimM1; M3 �si M5 u valoarea fmin = � 13p6 �si trei pun te de maxim M2; M4 �si M6 u valoarea fmax = 13p6 .Exer it�ii �si probleme1. S�a se al uleze, folosind de�nit�ia, urm�atoarele derivate part�ialea) �f�x (0; 1) �si �f�y (1;�1) pentru fun t�ia f(x; y) = ar tg xy ;b) �f�x (�1; 0; 1), �f�y (1; 2;�1), �f�z (1; 1;�3) pentru fun t�ia f(x; y; z) = x3 + 3x2y + z3.2. S�a se al uleze derivatele part�iale de ordinul �ntai �si de ordinul al doilea pentru

314 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile realeurm�atoarele fun t�iia) f(x; y) = ln tg yx ; b) f(x; y) = ar tg x+ y1� xy ; ) f(x; y) = xy + xy;d) f(x; y; z) = exyz; e) f(x; y; z) = �xy�z ; f) f(x; y; z) = xy=z ,(fun t�iile �ind de�nite pe domeniile lor de de�nit�ie).3. S�a se arate �a fun t�ia f(x; y) = ex2�y2 sin(2xy) veri� �a relat�ia�2f�x2 + �2f�y2 = 0.4. Ar�atat�i �a fun t�iile de mai jos satisfa relat�iile indi atea) f(x; y) = xy + xey=x; x�f�x + y�f�y = xy + f ;b) f(x; y) = lnp(x� a)2 + (y � b)2 ; �2f�x2 + �2f�y2 = 0; ) f(x; y; z) = ln (tg x+ tg y + tg z); sin 2x�f�x + sin 2y�f�y + sin 2z �f�z = 2;d) f(x; y; z) = exyz; �3f�x�y�z = xy �2f�x�y + 2x�f�x + f .5. S�a se studieze proprietatea de diferent�iabilitate a fun t�iei f �n pun tul (0; 0) �siexistent�a derivatelor part�iale �f�x �si �f�y �ntr-un pun t (x; y) arbitrar din IR2, undef : IR2 ! IR; f(x; y) = 8><>: xy sin 1x2 + y2 ; (x; y) 6= (0; 0);0; (x; y) = (0; 0):6. Fie fun t�ia f : IR2 ! IR; f(x; y) = 8>><>>: y2 ln 1 + x2y2! ; y 6= 0;0; y = 0:S�a se arate �a exist�a derivatele part�iale de ordinul al doilea mixte ale fun t�ieif �n ori e pun t (x; y) 2 IR2, dar a estea nu sunt ontinue �n (0; 0). S�a se studiezeapli abilitatea Teoremelor 6.1.4 �si 6.1.5.7. S�a se al uleze diferent�ialele de ordinul �ntai �si de ordinul al doilea pentruurm�atoarele fun t�iia) f(x; y) = ln(x+px2 + y2); b) f(x; y) = ar tg 2(x+ sin y)4� x sin y ; ) f(x; y; z) = xyz .8. Se onsider�a fun t�ia f(x; y; z) = x2 + 2y2 + 3z2 �si pun tul M0(2; 1; 1). S�a se al uleze dfd~s(M0), unde ~s = � 1p2 ; 0;� 1p2�.9. S�a se determine derivata fun t�iei z(x; y) = ar tg yx �n pun tul M0 �12 ; p32 � areapart�ine er ului de e uat�ie x2 + y2 � 2x = 0, dup�a dire t�ia tangentei la er �n M0.

Exer it�ii �si probleme 31510. Ar�atat�i �a fun t�iile de mai jos veri� �a egalit�at�ile s rise al�aturata) z = xy + x'(t); t(x; y) = yx ; x�z�x + y �z�y = xy + z; �' 2 C1(I); I � IR�;b) u = sinx+f(siny� sinx); �u�y os x+ �u�x os y = os x os y; �f 2 C1(I); I � IR�; ) w = f(u; v); u = xy; v = x2 + y2 � z2; xz�w�x � yz �w�y + (x2 � y2)�w�z = 0;�f 2 C1(D); D � IR2�;d) u(x; y) = xf �xy�+y g �xy� ; x2�2u�x2+2xy �2u�x�y+y2�2u�y2 = 0; �f; g2C2(I); I�IR�.11. S�a se arate �a da �a f : E ! IR (E � IR2 este on u varful �n origine) este ofun t�ie omogen�a de gradul n atun i avem relat�iax2 �2f�x2 + 2xy �2f�x�y + y2�2f�y2 = n(n� 1)f(x; y).S�a se generalizeze apoi relat�ia de mai sus.12. S�a se dezvolte fun t�iaf(x; y; z) = x2 + y2 + z2 + 2xy � yz � 4x� 3y � z + 4 u ajutorul formulei lui Taylor �n ve in�atatea pun tului M0(1; 1; 1).13. S�a se dezvolte polinomul P (x; y) = 2x3�3x2y+2y3+9x2�3y+6x+3 dup�aputerile lui (x+ 1) �si (y � 1).14. S�a se s rie dezvoltarea dup�a puterile lui x �si y a fun t�iei f(x; y) = esin (ax+by)pan�a la termenii de gradul al doilea in lusiv.15. S�a se al uleze aproximativ num�arula) ar tg (1; 02=0; 95) pornind de la valoarea fun t�iei z = ar tg yx pentru x = 1 �siy = 1;b) p5e0;02 + 2; 032 folosind fun t�ia z = p5ex + y2 �si (x0; y0) = (0; 2).16. S�a se al uleze derivatele y0 �si y00 ale fun t�iei y = y(x) pentru x = 1 �si y = 1da �a fun t�ia y este de�nit�a prin 4x2 � xy + y2 � 4 = 0.17. S�a se al uleze �z�x , �z�y , �2z�x2 , �2z�x�y , �2z�y2 pentru x = y = z = 0 da �a fun t�iaz = z(x; y) este de�nit�a prin z2 � xey � yez � zex = 0.18. S�a se al uleze �z�x �si �z�y da �a z = z(x; y) este o fun t�ie impli it�a de�nit�a prinrelat�ia F (x� y; y � z; z � x) = 0; (F 2 C1(D); D � IR3).19. S�a se arate �a da �a (y + z) sin z � y(x + z) = 0 de�ne�ste �n mod impli itfun t�ia z = z(x; y) atun i are lo relat�ia z sin z �z�x � y2 �z�y = 0.

316 Cal ulul diferent�ial al fun t�iilor de mai multe variabile reale20. S�a se al uleze derivatele y0 �si z0 ale fun t�iilor y = y(x) �si z = z(x) de�niteprin sistemul urm�ator8<: x+ y + z � 4 = 0x2 + y2 + z2 � 2x� 10 = 0;�n pun tul A(2; 3;�1), (x = 2; y = 3; z = �1).21. Fie sistemul de e uat�ii 8<: xyu� yv2 + 2v3 = 04u2 + 2v2 � x3y = 0:S�a se arate �a sistemul se poate rezolva g�asind u �si v a fun t�ii de x �si y �ntr-ove in�atate a pun tului (x; y; u; v) = (1; 2; 0; 1) �si s�a se determine �u�x , �u�y , �v�x , �v�y .22. S�a se arate u ajutorul determinant�ilor fun t�ionali �a �ntre grupurile de fun t�iiindi ate �n ontinuare exist�a relat�ii de leg�atur�a dire te. S�a se g�aseas �a apoi a este relat�ii.a) 8>><>>: u = axpx2 + y2v = bypx2 + y2 ; b) 8>>>>>><>>>>>>: u = 1(x� y)(x� z)v = 1(y � z)(y � x)w = 1(z � x)(z � y) ; ) 8>>><>>>: u = x+ y + zv = x3 + y3 + z3 + 6xyzw = xy(x+ y) + yz(y + z) + zx(z + x);d) 8>>><>>>: u = x+ y + zv = x2 + y2 + z2 � xy � yz � zxw = x3 + y3 + z3 � 3xyz:23. S�a se stabileas �a da �a urm�atoarele fun t�iiu = f � y + zy + z � x� ; v = g � z + xz + x� y� ; w = h� x+ yx+ y � z�sunt �n dependent��a fun t�ional�a (f; g; h sunt fun t�ii bije tive).24. S�a se determine fun t�ia ' astfel �n at u = '(x + y) �si v = '(x)'(y) s�a �e �ndependent��a fun t�ional�a.25. S�a se determine extremele urm�atoarelor fun t�iia) z(x; y) = �2x2 + 2xy � 5y2 + 6x+ 6y; (x; y) 2 IR2;b) z(x; y) = (x+ y)e�(x2+y2); (x; y) 2 IR2; ) z(x; y) = x3y2(a� x� y); (x; y) 2 IR2; a > 0;d) z(x; y) = sinx+ sin y + os(x+ y); 0 < x < 3�2 ; 0 < y < 3�2 .e) u(x; y; z) = xy2z3(a� x� 2y � 3z); (x; y; z) 2 IR3; a > 0;

Exer it�ii �si probleme 317f) u(x; y; z) = x+ y24x + z2y + 2z ; x; y; z > 0.26. S�a se determine triunghiul de arie maxim�a are se poate �ns rie �ntr-un er de raz�a dat�a R.27. S�a se �mpart�a num�arul 24 �n trei p�art�i astfel �n at produsul lor s�a �e maxim.28. S�a se arate �a fun t�ia f : IR2! IR de�nit�a prin f(x; y) = (1 + ey) os x� yeyare o in�nitate de maxime lo ale �si ni i un minim lo al.29. S�a se determine pun tele de extrem u leg�aturi ale urm�atoarelor fun t�iia) z(x; y) = x2 + y2; xa + yb = 1; (a; b > 0);b) z(x; y) = os2 x+ os2 y; x� y = �4 ; x; y 2 (0; 2�); ) z(x; y) = x+ y; x2a2 + y2b2 = 1; (a; b > 0);d) u(x; y; z) = xy + xz + yz; xyz = 1; �n domeniul x > 0; y > 0; z > 0;e) u(x; y; z) = xmynzp; x+ y + z = a; (a > 0; m; n; p 2 IN ; m; n; p � 2);f) u(x; y; z) = xyz u xy + xz + yz = 8; x+ y + z = 5.30. Se d�a un er � �si trei pun te �xe A; B; C �n planul er ului. S�a se determinepun tul M pe er astfel �n at suma MA2 +MB2 +MC2 s�a �e maxim�a sau minim�a.31. S�a se determine triunghiul ABC pentru are produsul sinmA sinnB sinpC,m; n; p > 0 este maxim.

318 Index de matemati ieniIndex de matemati ieniAbel, Niels Henrik (1802-1829), matemati ian norvegiand'Alembert, Jean le Rond (1717-1783), mat. fran ezArhimede, din Syra uza (287?-212 �.e.n.), mat. gre Bana h, Stefan (1892-1945), mat. polonezBernoulli, Jakob (Ja ques I) (1654-1705), mat. elvet�ianBertrand, Joseph Louis Fran� ois (1822-1900), mat. fran ezBolzano, Bernard (1781-1848), mat. ehBuniakowski, Vi tor Iakovlevi i (1804-1889), mat. rusCantor, Georg (1845-1918), mat. germanCau hy, Augustin Louis (1789-1857), mat. fran ezCeba�sev, Pafnuti Lvovi i (1821-1894), mat. rusCesaro, Ernesto (1859-1906), mat. italianDarboux, Jean Gaston (1842-1917), mat. fran ezDedekind, Ri hard Julius Wilhelm (1831-1916), mat. germanDiri hlet, Peter Gustav Lejeune (1805-1859), mat. germanDuhamel, Jean Marie Constant (1797-1872), mat. fran ezEu lid, din Alexandria ( a. 450-380 �.e.n.), mat. gre Eudoxus, din Cnidos ( a. 408-355 �.e.n.), mat. gre Euler, Leonard (1707-1783), mat. elvet�ianFermat, Pierre de (1601-1665), mat. fran ezFibona i, Leonardo din Pisa (1175?-1250?), mat. italianGauss, Karl Friedri h Johann (1777-1855), mat. germanHadamard, Ja ques Salomon (1865-1963), mat. fran ezHausdor�, Felix (1868-1942), mat. germanHeron, din Alexandria ( a. 75 e.n.), mat. gre Hesse, Ludwig Otto (1811-1874), mat. germanHilbert, David (1862-1943), mat. german

Index de matemati ieni 319H�older, Otto Ludwig (1859-1937), mat. germanl'Hospital, Guillaume Fran� ois Antoine Marquis de (1661-1704), mat. fran ezKummer, Ernst Eduard (1810-1893), mat. germanLagrange, Joseph Louis (1736-1813), mat. fran ezLales u, Traian (1882-1929), mat. romanLegendre, Adrien Marie (1752-1833), mat. fran ezLeibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), mat. germanLips hitz, Rudolf Otto (1832-1903), mat. germanMa -Laurin, Colin (1698-1746), mat. s ot�ianMertens, F. (1840-1927), mat. germanMinkowski, Hermann (1864-1909), mat. rusMorgan, Augustus de (1806-1871), mat. englezNewton, Isaa (1643-1727), mat. englezPeano, Giuseppe (1858-1932), mat. italianRaabe, Josef Ludwig (1801-1859), mat. elvet�ianRiemann, George Frederi Bernhard (1826-1866), mat. germanRo he, Jean (n.1901), mat. fran ezRolle, Mi hel (1652-1719), mat. fran ezS hl�omil h, Oskar (1823-1901), mat. germanS hwarz, Hermann Amandus (1843-1921), mat. germanSylvester, James Joseph (1814-1897), mat. englezTaylor, Brook (1685-1731), mat. englezWeierstrass, Karl Wilhelm Theodor (1815-1897), mat. germanYoung, William Henri (1863-1942), mat. englez

320 Bibliogra�eBIBLIOGRAFIE1. N. Calistru, Gh. Ciobanu, Curs de Analiz�a Matemati �a, Vol.I, InstitutulPolitehni Ia�si, 1988.2. G.M. Fihtenholt�, Curs de al ul diferent�ial �si integral, Vol.I, Editura Tehni �a,Bu ure�sti, 1963.3. G.M. Fihtenholt�, Curs de al ul diferent�ial �si integral, Vol.II, Editura Tehni �a,Bu ure�sti, 1964.4. G.M. Fihtenholt�, Curs de al ul diferent�ial �si integral, Vol.III, Editura Tehni �a,Bu ure�sti, 1965.5. N. Gheorghiu, T. Pre upanu, Analiz�a matemati �a, Editura Dida ti �a �si Pe-dagogi �a, Bu ure�sti, 1979.6. C. Ia ob, ... ( ole tiv), Matemati i lasi e �si moderne, Vol.I, Editura Tehni �a,Bu ure�sti, 1978.7. O.V. Manturov, N.M. Matveev, A ourse of higher mathemati s, Mir Publi-shers, Mos ow, 1989.8. C. Meghea, Bazele analizei matemati e { Tratat de analiz�a, Editura S�tiint�i� �a�si En i lopedi �a, Bu ure�sti, 1977.9. M. Ni oles u, Analiz�a matemati �a, Vol.I, Editura Tehni �a, Bu ure�sti, 1957.10. M. Ni oles u, Analiz�a matemati �a, Vol.II, Editura Tehni �a, Bu ure�sti, 1958.11. M. Ni oles u, Analiz�a matemati �a, Vol.III, Editura Tehni �a, Bu ure�sti, 1960.12. M. Ni oles u, N. Din uleanu, S. Mar us, Analiz�a matemati �a, Vol.I, EdituraDida ti �a �si Pedagogi �a, Bu ure�sti, 1966.13. A. Pre upanu, Bazele analizei matemati e, Editura Universit�at�ii "Al.I.Cuza",Ia�si, 1993.14. Gh. Siret� hi, Cal ul diferent�ial �si integral, Vol.I, Not�iuni fundamentale, Edi-tura S�tiint�i� �a �si En i lopedi �a, Bu ure�sti, 1985.15. Gh. Siret� hi, Cal ul diferent�ial �si integral, Vol.II, Exer it�ii, Editura S�tiint�i-� �a �si En i lopedi �a, Bu ure�sti, 1985.

Bibliogra�e 32116. O. St�an�a�sil�a, Analiz�a matemati �a, Editura Dida ti �a �si Pedagogi �a, Bu u-re�sti, 1981.17. R. Tudora he, Culegere de probleme de analiz�a matemati �a, Vol.I Cal ululdiferent�ial, Universitatea Tehni �a "Gh. Asa hi", Ia�si, 2000.18. R. Tudora he, Culegere de probleme de analiz�a matemati �a, Vol.II Cal ululintegral, Universitatea Tehni �a "Gh. Asa hi", Ia�si, 2001.