UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIOARA FACULTATEA DE CONSTRUCII DEPARTAMENTUL DE CONSTRUCII METALICE I MECANICA CONSTRUCIILOR Centrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor i Sigurana Structurilor CEMSIG Ioan Curea 1, 300224 Timioara, ROMNIA Telefon Departament:++40.256.403911 CEMSIG:++40.256.403932 e-mail: dan.dubina@ct.upt.ro Fax ++40.256.403917 ++40.256.403932 http://cemsig.ct.upt.ro Contract nr. 424/08.12.2009 Verificarea la stabilitate a elementelor din oel n conformitate cu SR EN 1993-1.1 Recomandri de calcul, comentarii i exemple de aplicare Redactarea I-a Timioara, august 2010 COLECTIV DE ELABORARE ef Proiect Prof. Dr, Ing. Dan DUBIN_____________________ Membri: Conf. Dr. Ing. Viorel UNGUREANU_____________________ Conf. Dr. Ing. Raul ZAHARIA_____________________ Asist. Dr. Ing. Adrian DOGARIU_____________________ Drd. Ing. Andrei CRIAN_____________________ Drd. Ing. Iulia UCA_____________________ Drd. Ing. Clin NEAGU_____________________ CUPRINS 1. INTRODUCERE 2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITII. ASPECTE GENERALE 2.1 Pierderea stabiliti prin bifurcarea i prin limitarea echilibrului 2.1.1 Stri de echilibru 2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului 2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului 2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric 2.3 Instabilitatea barelor ncovoiate 2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu perei subiri 3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE 3.1Calcululncrcriicriticedeflambajlaprinncovoierelabareidealecomprimatecentric. Determinarea lungimilor de flambaj 3.2 Efectul imperfeciunilor 3.3 Flambajul prin rsucire. Flambajul prin ncovoiere-rsucire 3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a seciunilor transversale pentru profile cu perei subiri 3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric n conformitate cu SR EN 1993-1-1 3.6 Voalarea elementelor realizate din plci plane 3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centric 3.7.1 Bare compuse din ramuri puin deprtate 3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zbrele respectiv cu plcue ExemplulE.1.Verificareastabilitiigeneraleaunuistlpsupuslacompresiuneuniform (flambaj) Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilitii generale a unui element cu seciunea de clasa 4 supus la compresiune uniform Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stlp cu blocaje laterale Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stlp dintr-un cadru multietajat Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stlp in trepte ExemplulE.6.Determinarearezisteneilapierdereastabilitiiaunuielementcompussupusla compresiune uniform Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la compresiune Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere ExemplulE.9.CalcululunuistlpcuseciunetransversaldetipCformatlarece,solicitatla compresiune 4. ELEMENTE SOLICITATE LA NCOVOIERE 4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la ncovoiere 4.2 Efectul modului de ncrcare i al condiiilor de rezemare 4.3 Efectul imperfeciunilor i efectul plasticizrii 4.4 Verificarea laflambaj lateral prin ncovoiere rsucirea barelor ncovoiate n conformitate cu SR EN 1993-1-1 4.4.1. Metoda general de calcul 4.4.2Metodaalternativdecalculpentruprofilelaminatesauseciunisudate echivalente 4.4.3 Metode pentru mbuntirea capacitii elementului structural ncovoiat 4.5 Metoda simplificat pentru grinzi cu legturi transversale, fcnd parte din structuri Exemplul E.10. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire ExemplulE.11.Determinarearezistenteilapierdereastabilitiiprinncovoiere-rsucireaunui element cu legaturi transversale continue Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere 5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE I NCOVOIERE 5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor 5.2 Rezistena barelor comprimate i ncovoiate la pierderea stabilitii generale 5.2.1 Bazele teoretice 5.2.2 Flambajul prin ncovoiere i flambajul prin ncovoiere-rsucire 5.3Baresupuselancovoiereicompresiunecuseciunetransversaluniform.Utilizarea factorilor de interaciune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1 5.4 Metoda general de verificare a elementelor structurale la flambaj prin ncovoiere i flambaj prin ncovoiere rsucire a componentelor structurale Exemplul E.13. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii interaciunea M-N Exemplul E.14. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii a unui cadru portal ExemplulE.15.Determinareauneiseciuniiechivalentepentruverificareaelementelorcuseciune variabila supuse la M-N Exemplul E.16. Calculul unui stlp cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat la compresiune cu ncovoiere ANEXAI:Coeficientuldezvelteetransformatpentrubarelecuseciunicuoaxdesimetrie supus la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire ANEXA II: Lungimi de flambaj ale stlpilor structurilor multietajate II.1 Baze teoretice II.2Determinarealungimilordeflambajalestlpilorstructurilormultietajatecumetoda Wood II.3 Metoda Merchant - Rankine ANEXA III: Lungimi de flambaj ale stlpilor structurilor parter ANEXA IV: Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zbrele ANEXAV:MonogramelepentrucoeficieniC1iC2,pentruelementestructuralesubefectul combinatalmomentelorncovoietoareaplicatelacapeteialncrcrilortransversaledirect aplicate ANEXA VI: Clase de seciuni ANEXA VII: Calculul prin metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5 VII.1 Utilizarea imperfeciunilor VII.2 Proprietile materialelor VII.3 ncrcri ANEXA VIII: Imperfeciuni VIII.1 Imperfeciuni pentru analiza global a cadrelor VIII.2 Imperfeciuni pentru calculul sistemului de contravntuiri VIII.3 Imperfeciunile elementelor BIBLIOGRAFIE 1. INTRODUCERE Problemeledestabilitateastructurilormetalicesuntnunumaicomplicatedaricupondere majornasigurareasiguraneistructurilor.nSUAseelaboreazdectreSSRCStructural StabilityResearchCouncil,periodic(la5ani),Ghidulpentruverificarealastabilitatea structurilormetalice,careconinecirca600depagini.nEuropa,ConveniaEuropeanapentru ConstruciiMetaliceaeditatipublicatn2008unManualexplicativpentrucalcululla stabilitateastructurilormetalice,nconformitatecuEN1993-1-1cuexemple,avnd250de pagini.nMareaBritanie,SteelConstructionInstituteaelaboratoserientreagadedocumente dedicate verificrilor i calculelor de stabilitate a diferitelor tipuri de elemente structurale. La fel, astfeldematerialeaufostelaboratenFrana,laCTIMiOTUA,saunGermania documentaiile DASt. Peplannaionalnuexistdocumentecucaracternormativsaughidurideproiectarecares abordeze problema verificrilor de stabilitate n format Eurocode (SR EN 1993-1-1), n condiiile ncareverificriledestabilitate,nformatSREN1993-1-1,diferformaldecelecucare proiectanii romni erau obinuii in conformitate cu STAS 10108/0-78. n ultimele decade s-au investiteforturiuriaendezvoltareaEurocodurilorpentruconstrucii,acrorscopestedea dispunedeunsetdedocumentecaresaformezeobazcomunnEuropapentruproiectarea structurilorrealizatedindiversemateriale.VersiuneafinalaEurocodurilorsebazeazpe cercetrirecenteiintroducastfel,formuledecalculnoi,carepermitoproiectaremai economic.Deasemenea,nEN1993suntdatemetodologiiderezolvarecuajutorul programelor de calcul structural a unor probleme de stabilitate. Prin urmare, procedurile SR EN 1993suntnoinunumainconinut,daricaform,ncomparaiecuproceduriledinSTAS 10108/0-78. Documentul de fa este conceput ca un instrument de explicitare i aplicare a SR EN 1993-1-1. VersiuneafinalaSREN1993-1-1areoabordarecomplex,uneoriconfuzaproblemelorde stabilitateastructurilordinbare.Pentruelementelecareipotpierdestabilitateaprin ncovoierersucire, n norma se dau trei metode, din care se alege, de ctre proiectant, cea care seaplic,existndnscondiiiimpuseirestriciinaplicareaacestoralaanumitecazurisau clasedeprobleme.nnormnusedauindicaiipentrudeterminareamomentuluincovoietor criticsauaaltorformulesimilare.Nusuntprecizriexplicitepentruverificarealastabilitate general, a elementelor cu seciuni de clasa 4, trebuind combinate prevederile din EN 1993-1-1 cuceledinEN1993-1-3iEN1993-1-5.Nusuntprevederiexplicitepentrustlpiicuseciune variabil,liniarsauntrepteicucondiiiderezemarealteledectcelecorespunztoare cazurilor fundamentale. Toate aceste aspecte (i nu numai) sunt tratate n cadrul prezentei lucrri, careprezintbazanormativ(SREN1993-1-1,SREN1993-1-3,SREN1993-1-5)pentru verificarea la stabilitate a elementelor structurale din oel, cu relaiile de calcul i prevederile de proiectare, respectiv comentarii privind aplicarea acestora, nsoite de aplicaii. Lucrarea trateaz verificarealastabilitateabarelordinoel.Lucrareanutrateazverificarealastabilitatea structurilor din plci plane solicitate la ncrcri n plan sau n afara planului i nici verificarea la stabilitate a plcilor curbe subiri. Lucrarea prezint si informaii complementare neconflictuale cu prevederile SR EN 1993. Unele dintre aceste informaii sunt strict necesare n calcule, altele sunt prezentate datorit caracterului practic. Ca surs de documentare s-a folosit i baza Access Steel (www.access-steel.com, 2006). ncuprinsullucrriis-auutilizatcoeficieniidesiguranastabiliiprinAnexeleNaionale.n Anexa Naionala SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008 s-a pstrat valoarea recomandat n cadrul EN 1993-1-1, adic valoarea unitar pentru coeficientul parial de siguran M1 pentru verificarea de stabilitate.ncadrulSREN1993-1-3/NB:2008,s-aadoptatcoeficientulM1=1,10(fade valoarea unitar recomandat n EN 1993-1-3) datorit fenomenului de interaciune a modurilor deflambajlocaligeneral,carecaracterizeazcomportareaprofilelorcupereisubiri.nzona de interaciune, influena imperfeciunilor crete, producnd eroziunea ncrcrii critice teoretice. Capitol 2 al lucrrii debuteaz cu prezentarea unor aspecte generale referitoare la fenomenul de pierderealstabilitii.Seprezintnoiuneadencrcarecriticdeflambajiproblemade bifurcareaechilibrului,dupcareseprezintmetodadivergeneiechilibruluicuconsiderarea imperfeciunilorstructuraleiacelorgeometrice.nacestcapitolseprezintflambajulprin ncovoiere,prinrsucireiprinncovoierersucireabarelorcomprimatecentric,respectiv pierdereastabilitiibarelorncovoiate.Totnacestcapitolseprezintproblemelespecificede stabilitate pentru profile cu perei subiri. Capitolul3estedestinatfenomenuluidepierdereastabilitiielementelorcomprimatecentric. Capitoluldebuteazcucalcululncrcriicriticedeflambajprinncovoierelabareideale comprimate centric, nsoit de determinarea lungimilor de flambaj pentru cazurile elementare de rezemare.Suntdatencontinuareformuleledecalculpentruncrcareacriticdeflambajprin rsucireipentruncrcareacriticdeflambajprinncovoiere-rsucire.Cainformaie complementar neconflictual cu prevederile SR EN1993-1-1, n relaie cu acest capitol, Anexa I prezintcalcululcoeficientuluidezvelteetransformatpentrubarelecuseciunicuoaxde simetrie supus la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire. Totincadrulacestuicapitolseprezintmoduldedeterminareacaracteristiciloreficacea seciunilortransversalepentruprofilecupereisubiri,pentruainecontdeefectulvoalrii pereilorseciuniitransversale(flambajullocal).Capitolulprezintncontinuareefectul imperfeciuniloriproceduradeverificarelaflambajabarelorcomprimatecentricn conformitate cu SR EN 1993-1-1. Pentru cazul general al unui element ntr-o structur, pentru stabilirea ncrcrii critice i implicit alungimiideflambaj,nAnexaIIseprezintometodologiededeterminarealungimilorde flambajpentrustlpiistructurilorncadremultietajate(metodaWood),iarnAnexaIIIse prezinttabelepentrudeterminarealungimilordeflambajpentrustlpiistructurilorpartercu seciune constant sau n trepte. De asemenea, n Anexa II, se prezint o metod de determinare a ncrcriiultimedecedare(MetodaMerchant-Rankine)pentrustructurimultietajatecunoduri rigide.DeiacestemetodologiideverificarenuaparnnormaSREN1993-1-1,s-aconsiderat utilprezentareaacestora,cainformaiecomplementaraneconflictual,necesarncalcululde verificarelastabilitate,sauavndnvederecaracterulpracticalacestora(MetodaMerchant-Rankine). Capitolultrateaznfinalparticularitileverificriilaflambajabarelorcompuseuniforme solicitatelacompresiunecentric(cazulbarelorcomprimatecompusealecrorramurisuntn contactsausuntpuindeprtateilegatecufururi),respectivabarelorcomprimatesolidarizate cu zbrele respectiv cu plcue. Exempleledecalculaferenteacestuicapitolconinverificareastabilitiigeneraleabarelor supuselacompresiuneuniform,inclusivacelorcuseciuneadeclasa4(cudeterminarea caracteristiciloreficace)iabarelorcuseciunecompussolidarizatcuplcue,influena blocajelorlaterale,determinarealungimiideflambajastlpilordintr-uncadrumultietajat, respectiv determinarea lungimii de flambaj a stlpilor cu seciune variabil n trepte. Capitol 4 este destinat fenomenului de pierdere a stabilitii elementelor ncovoiate. Se prezint instabilitatea n domeniul elastic, urmat de instabilitatea n domeniul inelastic, cu determinarea momentuluicriticelasticpentruelementesolicitatelancovoiere.Sestudiazefectelemodului dencrcareiacondiiilorderezemarelacapetelebareiasupramomentuluicriticelastic, precum i efectul imperfeciunilor i efectul plasticizrii. Se prezint metodele de verificare la flambaj prin ncovoiere rsucire, conform SR EN 1993-1-1, att Metoda general de calcul, ct i Metoda alternativ de calcul pentru profile laminate sau seciunisudateechivalente.Seprezintimetodasimplificatpentrugrinziculegturi transversale, fcnd parte din structuri. Ca informaie complementar neconflictual cu prevederile SR EN 1993-1-1, n relaie cu acest capitol,AnexaVprezintoprocedurdecalculpentrucoeficieniC1iC2,pentruelemente structurale sub efectul combinat al momentelor ncovoietoare aplicate la capete i al ncrcrilor transversale direct aplicate. Exempleledecalculaferenteacestuicapitolconindeterminarearezisteneilapierderea stabilitiiprinncovoiere-rsucireabarelorncovoiatepentrucazulbareisimplurezemate nefixate lateral (se prezint de asemenea, determinarea momentului critic pentru diverse situaii dencrcare,rezemare,respectivfixarelaterala),respectivauneipanedeacoperisolicitat alternant(severificcondiiilencaretablaasigurfixareatlpiisuperioareiseconsiderde asemeneaipotezautilizriiunortiranidefixarelateral).Exempleledecalculprezintde asemenea verificarea barelor cu seciuni de clasa 4. Capitolul5prezintstabilitateaelementelorsolicitatelancovoierecucompresiuneaxial.La nceputsetrateazaspectelegatedeproducereafenomenului,respectivbazelemetodelorde calculaplicatenpractic.ncontinuareseprezintmetodeledeverificareaelementelor conform SR EN 1993-1-1: (1) Bare supuse la ncovoiere i compresiune cu seciune transversal uniform. Utilizarea factorilor de interaciune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1; (2) Metoda general de verificare a elementelor structuralelaflambajprinncovoiereiflambajprinncovoierersucire:aplicarela componentele structurale i la cadre parter. Exempleledecalculaferenteacestuicapitolconindeterminarearezisteneilapierderea stabilitii a barelor cu seciune constant, a barelor cu seciune variabil (3 tlpi) i a barelor cu seciunecompussolidarizatecuplcue.Deasemenea,seprezintdeterminareaseciunii echivalente pentru verificarea barelor cu seciune variabil supuse la interaciunea M-N, precum i verificarea barelor cu seciuni de clasa 4. Lucrareaseadreseazfirmelordeproiectare,experilor,verificatorilor,precumiunitilorde nvmnt de profil. 2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITII. ASPECTE GENERALE 2.1 Pierderea stabiliti prin bifurcarea i prin limitarea echilibrului 2.1.1 Stri de echilibru Teoriaclasicastabilitiistabiletecondiiilencareunsistemstructural,sauunelement structuralaflatiniialnstaredeechilibru,nceteazamaifistabil.ntermenigenerali, stabilitatea unui sistem fizic poate fi definit ca abilitatea sistemului respectiv de a se ntoarce n starea de echilibru iniial, dup ce a fost uor perturbat. Pentru un sistem mecanic (fenomenul de pierdere a stabilitii elementelor de rezisten utilizate n construcii poate fi descris utiliznd noiunile de mecanic clasic) poate fi adoptat definiia datdeDirichlet:Echilibrulunuisistemmecanicestestabil,dacprindeplasareapunctelor sistemuluidinpoziiadeechilibrucuocantitateinfinitezimalidndfiecruipunctovitez iniial,deplasrilediferitelorpunctealesistemuluirmn,ntimpulmicrii,coninutentre anumite limite. n spiritul definiiei date de Dirichlet, dac se consider un sistem elastic conservativ aflat iniial nstaredeechilibrusubaciuneaunuisetdefore,sistemulvaprsistareadeechilibrudoar dac va fiacionat de ofor exterioar sistemului iniial n echilibru (n conformitate cu prima legeaMecaniciiClasiceaacumafostenunatdeNewtonLegeaineriei).Considernd energiatotal,E,introdusnsistemdectreforaperturbatoare,sepoatescrieurmtoarea ecuaie de echilibru, n virtutea legii de conservare a energiei: E = Ec + Ep = constant (2.1) n care Ec este energia cinetic a sistemului, respectiv Ep este energia potenial a acestuia. Ocretereaenergieicineticeestensoitdeoscdereaenergieipotenialeiinvers,n conformitateculegeaconservriienergiei.Dacsistemulesteiniialntr-oconfiguraiede echilibrucuenergiepotenialminim,atuncienergiapotenialdinecuaiadeconservarea energiei crete i n aceste condiii energia cinetic datorat micrii sistemului, trebuie s scad. Astfel,deplasareadinstareainiialdeechilibrunurmaperturbriisistemuluicuofor exterioar va rmne mic i starea de echilibru este una stabil. Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din Figura 2.1, cu ajutorulunuicorprigidsfericpeosuprafacurb.Dacnstareainiialdeechilibrusferase afl pe o suprafa concav (a se vedea Figura 2.1a), atunci echilibrul este stabil; dac sfera este scoas din poziia iniial cu energie potenial minim, aceasta va ncepe s oscileze i, n cele dinurm,varevenilapoziiadeechilibru.Dacsferaseaflapeosuprafaconvex,ntr-o poziiedeenergiepotenialmaxim(asevedeaFigura2.1c),atuncioperturbareapoziiei iniiale conduce la creterea energiei cinetice, respectiv la scderea energiei poteniale i sfera se va ndeprta cu vitez tot mai mare de poziia iniial de echilibru. n acesta situaie se spune c echilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrat de modelul mecanic prin sfera pe un plan orizontal (a se vedea Figura 2.1b), n care pentru orice vecintate a poziiei iniiale de echilibru, energia potenial este aceeai. Sepoatefacemaideparteoanalogientrecomportamentulmodeluluimecaniccucorprigidi comportamentul unui element structural (bara comprimat) pentru definirea strilor de echilibru aleacestuia.Sepresupunebaraidealcomprimat(perfectdreapt,frimperfeciuni,cuun comportamentdematerialperfectelastic)dinFigura2.1a,aflatiniialnstarenedeformat, solicitat la o for axial de compresiune N. a) echilibru stabilb) echilibru indiferentc) echilibru instabil Fig. 2.1: Analogia ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid i comportamentul unui element structural pentru definirea strilor de echilibru Dacseperturbpoziiadeechilibruaacesteia,spreexemplucuoforconcentratde intensitateredusaplicatorizontallamijloculnlimii,baravasuferioncovoiere.Poziiade echilibrustabil,prinanalogiecumodelulmecanic,presupunecadupanulareaforei perturbatoare, bara revine n poziia dreapt sub aciunea forei N. Dac se mrete treptat fora N, se constat c bara revine din ce n ce mai greu la poziia iniial nedeformatdupanulareaforeiperturbatoare.Pentruoanumitvaloareaforeide compresiune N = Ncr, bara nu mai revine n poziia iniial dup anularea forei perturbatoare i varmnenpoziiadeformatsubaciuneaforeiNcr.Aceastaestesituaiadeechilibru indiferentpentrubaracomprimat,ncare,lalimit,potexistasubaciuneaforeide compresiune Ncr, dou configuraii de echilibru a barei: poziia iniial dreapt, n absena forei perturbatoare, sau poziia deformat, dup aciunea forei perturbatoare cu intensitate redus. Dac fora de compresiune este mai mare dect valoarea Ncr, bara se deformeaz accentuat la cea maimicforperturbatoare.DepirealuiNcrconducelapierdereastabilitiiechilibrului (cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedareaelementului prin flambaj). Situaia N > Ncr corespunde situaiei de echilibru instabil. 2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului Exempleleintuitiveprezentatemaisusaratcstabilitateaunuisistemestelegatdeenergia potenial a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structural sau a unei structuri) poate fi exprimat i prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire la Figura 2.1a, n cazul modelului mecanic, derivata energiei poteniale n raport cu deplasarea este rigiditatea sistemului dat de panta suprafeei. n cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dat de rigiditatea la ncovoiere a acesteia, care depinde de seciunea transversal, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului din careestealctuitinunultimulrnddecondiiilederezemare.Toateacestecaracteristici reprezint, n calculul structurilor pentru construcii, parametrii care condiioneaz fenomenul de instabilitate. n consecin, o rigiditate pozitiv a sistemului implic o stare stabil de echilibru, n timp ce n situaia de echilibru indiferent rigiditatea devine nul. Pentru o structur de rezisten, rigiditatea este dat sub forma matriceal (matrice de rigiditate a structurii), care dac este pozitiv definit garanteazstareadeechilibrustabilastructurii.Punctulncarestareaunuielementsausistem structural elastic trece din starea de echilibru stabil n cea de echilibru indiferent definete starea limit de stabilitate a elementului sau a structurii. Comportamentul barei ideale comprimate din Figura 2.1 poate fi definit prin caracteristica for de compresiune sgeat la mijlocul barei deformate, aa cum se arat n graficul din Figura 2.2 (ESDEP,1994).Punctulcriticdinacestgrafic,corespunztoratingeriiforeiNcr,dupcare, pentru o fora perturbatoare foarte mic deplasrile sistemului devin mari i se produce flambajul barei,senumetepunctdebifurcare.Acesttipdepierdereastabilitiiechilibruluiunui element structural (sau a unei structuri), n care n punctul de bifurcare sunt posibile dou forme deechilibru,aacumsearatinFigura2.2,unadescrisdecaracteristicafora-deplasare primardeechilibru(echilibruinstabilnconfiguraianedeformat),respectivdecaracteristica secundardeechilibru,nconfiguraiadeformat(curbapost-critic),senumetepierderede stabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare. Fig. 2.2: Stabilitatea barei comprimate drepte fr imperfeciuni flambaj prin bifurcarea echilibrului (ESDEP, 1994) Dacbaranuesteiniialdreapt(existimperfeciuni,definiteprintr-ocurburiniialabarei) sgeatacreteodatcuncrcareaNinusemaiproduceopierderedestabilitatebruscprin bifurcarea echilibrului; n acest caz exist o cretere continu accentuat a deplasrilor, aa cum se arat n Figura 2.3 (ESDEP, 1994). Acest fenomen este numit divergen a echilibrului i nu mai exist, n acest caz, o limit strict de stabilitate. Dac materialul rmne elastic, aa cum s-a presupus iniial, rigiditatea barei comprimate (dat aici de panta caracteristicii for - deplasare) estentotdeaunapozitiv,darocreteremicdeforaxialimplicunsporimportantde deplasare. (a) Bara comprimata cu imperfeciuni(b) caracteristica for axial - deplasare Fig. 2.3: Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfeciuni iniiale (ESDEP, 1994) Reducerearigiditiiunuielementstructuralsedatoreazngeneralschimbriingeometria acestuia, sau a proprietilor mecanice. Reducerea rigiditii datorit doar modificrii geometriei elementuluincazulelementelorideale,cuuncomportamentdematerialperfectelastic,nu cauzeazntotdeaunapierdereadestabilitate,darconduceladeplasrimari.Pedealtparte, reducerisubstanialederigiditatealeelementuluipotfirezultatulschimbriiproprietilor mecanice, care conduc la cedarea elementului. Acest aspect important va fi discutat n seciunea 3.2.Estedemenionataici,totui,faptulcmodelulfiziccelmaiapropiatderealitatea fenomenuluideinstabilitateestecelaldivergeneiechilibrului,aacumafostdefinitdectre Dutheil(1966),carestlabazacalcululuidestabilitatealelementelorstructuraledinoel,n conformitatecunormeledecalculeuropene.Acestmodelseapliclabarareal,afectatde imperfeciuni,carepotfiasimilatecuocurburiniial(asevedeaFigura2.2a).Dacnacest modelseinecontideplasticizareamaterialului,odatcucretereancrcrii,gradulde plasticizareaceleimaisolicitateseciunitransversale(seciuneadelamijloculbarei,pentru modeluldebardublu-articulatlacapetecucurburiniial,solicitatlacompresiunecu ncovoiere),micoreazlaunmomentdatgradientuldecreterealmomentuluincovoietor, obinutprinreducereaforelorinterioare.Astfel,cretereaefortuluimomentncovoietorajunge n divergen cu creterea momentului exterior (dat de fora de compresiune prin sgeata barei) iechilibruldevineinstabil,producndu-seastfelcedareabarei(Mateescu.a.,1980).Aacum s-amenionatanterior,aspectelelegatedeplasticizarevorfireluatenseciunea3.2.n continuare,naceastseciune,sevorprezentadoaraspectelelegatedecedareaprinflambaja elementelor care prezint un comportament al materialului perfect elastic. Duppunctuldebifurcare,aacumafostdefinitnFigura2.2,pentrucaracteristicade comportamentfordeplasarepost-criticpotsapartreisituaii,funciedetipulsistemului structural.Figura2.4prezintcurbeledeechilibrualesistemuluiperfect,respectivasistemului cuimperfeciuni(imperfect)pentruceletreisituaiimenionate.naceastfigur,Neste ncrcareaaplicat,esteodeplasareaunuipunctdinstructuriesteamplitudinea imperfeciunii. Figura2.4a(ESDEP,1994)prezintsituaiaflambajuluiprinbifurcaresimetricstabil.n aceastsituaie,comportamentulpost-criticnuesteafectatdesemnulimperfeciunilor(spre exemplu, la bara comprimat cu imperfeciuni din Figura 2.3, nu conteaz sensul curburii iniiale ncomportamentulpost-critic).Imperfeciunilepozitivesaunegativeauefectsimilariconduc laocurbpost-criticstabil,ncarecretereadeplasrilorsefaceodatcucreterea ncrcrilor.Acesttipdecomportamentaparespreexemplulabaradreaptcomprimat(ase vedeaFigura2.2),laplciplane,saulastructuri,cumestecazulcadruluidublu-articulatdin Figura 2.5 (ESDEP, 1994). Figura2.4b(ESDEP,1994)prezintsituaiaflambajuluiprinbifurcaresimetricinstabil.n aceastasituaie,imperfeciunilejoacunrolimportantnmodificareacomportriisistemului structural, acestea introducnd o ncrcare de cedare mai mic dect ncrcarea critic. Acest tip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat ncrcat radial, aa cum se arat n Figura 2.6 (ESDEP, 1994). a) Bifurcare simetric stabil b) Bifurcare simetric instabil c) Bifurcare nesimetric Fig. 2.4: Comportamentul post-critic (ESDEP, 1994) Figura2.4c(ESDEP,1994)prezintsituaiaflambajuluiprinbifurcarenesimetric.naceast situaie,comportamentulpost-criticdepindedesensulimperfeciunilor.Pentruvalorimiciale imperfeciunilor negative, spre exemplu, aa cum se arat n Figura 2.4c, curba post-critic este stabil. Pentru valori mici ale imperfeciunilor pozitive, sistemul i poate pierde stabilitatea la o ncrcare limit (ncrcare ultim Nu) mult redus fa de ncrcarea critic Ncr. Un exemplu tipic destructurcuacesttipdecomportamentesteprezentatnFigura2.7(ESDEP,1994)(bara cotit, pentru care imperfeciunea pozitiv sau negativ este dat de punctul de aplicare al forei concentrate,spreexteriorulcadruluincazulcomportriipost-criticestabile,respectivspre interiorul cadrului n cazul comportrii post-critice instabile). Fig. 2.5: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric stabil (ESDEP, 1994) Fig. 2.6: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric instabil (ESDEP, 1994) Fig. 2.7: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric instabil (ESDEP, 1994) nconcluzie,flambajulprinbifurcareaechilibruluiaparengenerallastructuriideale,fr imperfeciuni,saulastructuripentrucaredeformaiaprimaracomponenteipre-criticenu cuprindedeformaiadeinstabilitate.ncazulncaredeformataprimarpre-criticcuprinde deformata de instabilitate, pierderea de stabilitate se produce, la fel ca n exemplul din Figura 2.7 pentru imperfeciuni pozitive, prin limitarea echilibrului i ncrcarea limit n aceast situaie se numete ncrcare ultim Nu. Nu toate structurile ideale, fr imperfeciuni, i pierd stabilitatea prinbifurcare;potsaparsituaiincareostructurfrimperfeciuniipierdestabilitatea prin limitarea echilibrului, aa cum se arat n continuare. 2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului Aacums-amenionatn2.1.2,flambajulprinbifurcareaechilibruluinu estesinguraformde instabilitatecarepoatesapar.Pentruanumitestructurielastice,pentrucaredeformata pre-criticcuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atunci cndcaracteristicancrcare-deplasareiniialstabildevineinstabillaatingereaunuimaxim local al ncrcrii (ncrcarea ultim Nu), denumit punct limit al sistemului structural, aa cum searatnFigura2.8(ESDEP,1994).naceeaifigur,searatcpentruastfeldesisteme structurale,rspunsulaceluiaisistemcuimperfeciuniestesimilarcucelalsistemuluiperfect, diferenaconstndnvaloareancrcriiultimeasistemuluicuimperfeciuni,carepoatefi superioarsauinferioarncrcriiultimeasistemuluiperfect,funciedesensul imperfeciunilor.Tipicpentruacestmoddepierderealstabilitiiestecdupatingerea ncrcrii ultime deplasrile cresc fr creterea suplimentar a ncrcrilor. Fig. 2.8: Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem fr imperfeciuni geometrice, respectiv pentru un sistem cu imperfeciuni (imperfect) (ESDEP, 1994) Existstructuricuoconfiguraiesimilarcareipotpierdestabilitateanceledoumoduri diferite. Acestaeste, spre exemplu, cazul arcului pleotit ideal, fr imperfeciuni, care n cazul rezemriiarticulateipoatepierdestabilitateaprinbifurcare(deformataprimuluimodde flambajnesimetric,corespunztoarencrcriicriticeminime,aacumsearatnFigura2.6), nacestcazdeformataprimarfiinddiferitdedeformatapost-critic,respectivcarencazul rezemriincastrateipierdestabilitateaprinlimitareaechilibrului(deformatasimetricdup atingereancrcriiultime),nacestcazdeformataprimarfiindaceeaicudeformatadedup atingerea ncrcrii ultime. 2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, n general, prin ncovoiere n jurul axei principaleminimedeinerieaseciuniitransversale,subforadecompresiunecritic,Ncr,aa cum se arata n Figura 2.9a. n cazul barelor cu seciune transversal deschis, dublu-simetric (centrul de tiere coincide cu centruldegreutate),sauchiarcuseciunemono-simetric(T,cornierecuaripiegale),lacare rigiditilelancovoierenraportcuaxeleprincipalesuntapropiatecavaloare,poatesapar flambajulprinrsuciresautorsiune,subforadecompresiunecritic,Ncr,T.Flambajulprin rsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale, aa cum se arat n Figura 2.9b (daSilva .a., 2010). Flambajulprinncovoierersucire,subforacriticdecompresiune,Ncr,TF,aparelabarelecu seciune transversal deschis mono-simetric sau cu seciune oarecare, la care centrul de tiere nucoincidecucentruldegreutateipentrucarerigiditatealancovoierenraportcuaxade simetrie are valori apropiate de rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa perpendicular cu axa de simetrie.Flambajulprinncovoierersucireseproduceprinrotireaseciuniitransversalen jurul axei longitudinale, concomitent cu ncovoierea elementului n lungul axei, aa cum se arat n Figura 2.9c (daSilva .a., 2010). Pierdereadestabilitateprinncovoierersucireestecaracteristicaelementelorcomprimatecu seciunetransversaldeschis,cumarfispreexemplucorniere,profileU,sauseciuninT, pentrucarerigiditatealatorsiuneesteredus.Evident,existntotdeaunaposibilitateapierderii stabilitiiprinncovoierenraportcuaxadeinerieprincipalminimioastfeldeverificare trebuieefectuat.PentrubarelecomprimatecuseciuneIsauH,modulcriticdepierderea stabilitiieste,nmodnormal,flambajulprinncovoiere.Totui,nprezenaimperfeciunilor, inerente, i aceste bare i pot pierde stabilitatea prin rsucire, prin urmare o verificare din acest punctdevedereestenecesar.Doarbarelecomprimatecuseciunitubulare,circularesau rectangulare, pot fi considerate la adpost de pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire. a) ncovoiereb) Rsucirec) ncovoiere-rsucire Fig. 2.9: Flambaj prin ncovoiere, rsucire i ncovoiere rsucire pentru bare comprimate centric (daSilva .a., 2010) 2.3 Instabilitatea barelor ncovoiate Dimensionarea barelor sub aciunea momentului ncovoietor conduce la seciuni cu rigiditate la ncovoieremarenplanuldeaciunealmomentuluincovoietorimultmairedusnplan perpendicular.Flambajullateralprinncovoierersucireestecaracterizatprintr-otranslaiea zonei comprimate a seciunii transversale (talpa comprimat, spre exemplu, n cazul profilelor I sauH),perpendicularpeplanuldesimetriealseciuniicareconineaxaprincipalminimde inerie,concomitentcuorsucireaseciuniielementuluinjurulaxeilongitudinale.Aceast parteaseciuniitransversalesecomportcaunelementcomprimat,careipierdestabilitatea prinncovoiere,dararedeplasareampiedicatdezonantinsdinseciune,carenuareiniial tendinadeasedeplasalateral.AacumsearatnFigura2.10,ncareflambajullateralprin ncovoiere-rsucireesteilustratpentruogrindnconsol,deformarearezultantaseciunii transversaleincludeattncovoierealateral(dupaxaminimdeinerieaprofilului)cti torsiunea, de unde i denumirea fenomenului. Fig. 2.10: Flambajul lateral prin ncovoiere - rsucire pentru elemente ncovoiate 2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu perei subiri Utilizareaprofilelorcugrosimireduseiaoelurilorcurezisteneridicateimplicrezolvarea unorproblemedeproiectaredeosebite,carenusuntntlnitenproiectareastructurilordinoel clasice. Instabilitatea structural se produce mai repede, ca rezultat al voalrii pereilor seciunii transversale,careinteracioneazcuflambajulglobalalelementului.Utilizareaoelurilorcu rezistene ridicate poate face ns ca tensiunea critic corespunztoare voalrii pereilor seciunii transversale s fie aproximativ egal cu limita de curgere. n analiza comportrii barelor cu perei subiri trebuie s se in cont de cele trei moduri specifice de pierdere a stabilitii care apar, dup cum se prezint n Figura 2.11: 1.Moduriledeinstabilitatelocale,careseproducprinvoalareaunuiasaumaimultorperei componeniaiprofilului.nacestcaznodurilecaredescriuseciuneatransversali pstreaz poziia iniial i, are loc deformarea pereilor ntre aceste noduri. 2.Modurile de instabilitate distorsionale, sunt moduri de instabilitate care se produc atunci cnd rebordurileseciuniitransversalenuausuficientrigiditatei,astfel,arelocorotirea ansamblului talp-rebord n jurul inimii, deci nodurile care descriu seciunea transversal nu i mai pstreaz poziia iniial ca n cazul voalrii. 3.Moduriglobaledeinstabilitate,careaulocprinflambajulbareiprinncovoiere,prin ncovoiere-rsucire(ncazulelementelorcomprimate)sauprinncovoierelateralcu ncovoiere-rsucire(denumitnliteraturadespecialitateilateral-torsionalbucklingsau deversement, caracteristic barelor solicitate la ncovoiere pur). Modurilelocaleidistorsionaledeinstabilitateaparcuprecderencazulzvelteilordebar reduse,isuntcaracterizatedelungimidesemiunddiferite.Flambajullocaliceldistorsional pot fi considerateca fiind moduri de flambaj secional i pot interaciona att ntre elect i cu moduri globale de flambaj (Dubina, 1996). Din punct de vedere al analizei de stabilitate, o bar cu perei subiri se caracterizeaz prin: -zvelteea redus de bar( ) ; -zvelteea redus de perete ( p ); -fora critic elastic (Ncr) sau momentul critic elastic (Mcr) pentru flambajul de bar, instabilitatea global; -fora critic (NL) pentru voalarea pereilor (instabilitatea local). Funciedevalorilezvelteilorreduse( ) i( p ),respectivdevaloarearaportului(Ncr/NL),se disting trei categorii de bare: -bare scurte, care sunt caracterizate de instabilitatea local sau distorsional; -bare lungi, care sunt caracterizate de instabilitatea global; -bare de lungime medie, la care apar i interacioneaz ambele moduri de instabilitate. nFigura2.10seprezintctevamodurideflambajsimpleicuplatepentruoseciuneC solicitatlacompresiune.Rezultateleaufostobinuteprintr-oanalizdestabilitatecuelement finit. (a)(b)(c)(d)(e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)Fig. 2.11: Moduri de flambaj pentru un profil C format la rece comprimat Moduri simple: (a) local (L); (b) distorsional (D); (c) ncovoiere (F); (d) torsional (T); (e) ncovoiere-rsucire (FT). Moduri cuplate (interaciune): (f) L + D; (g) F + L; (h) F + D; (i) FT + L; (j) FT + D; (k) F + FT. Pentru o seciune dat se pot obine diferite moduri de pierdere a stabilitii funcie de lungimea deflambaj,aacumsearatnFigura2.12(Hancock,1998).Figura2.12s-aobinutnurma unei analize cu un program bazat pe metoda fiilor finite i descrie modificarea forei critice de flambaj funcie de lungimea de semiund. Primul minim (punctul A) apare pe curb la o lungime de semiund de 65mm i reprezint flambajul local. Flambajul local se produce prin deformarea inimii elementului, fr rotirea ansamblului talp-rigidizarea n jurul punctului de legtura dintre inimitalp.AldoileaminimpecurbaparenpunctulB,laolungimedesemiundde 280mm.Acestaestemoduldeflambajprindistorsiune,iseproduceprinrotireaansamblului talp-rigidizareafadeinimaprofilului,frodeplasaredeansambluaseciuniitransversale. Efortulcorespunztorflambajuluidistorsional(npunctulB)esteuormaimaredectefortul corespunztorflambajuluilocal(npunctulA)incazulunuiprofillungsolicitatla compresiune,mpiedicatsflambezeglobal,estedeateptatcaacestasipiardstabilitatea prinflambajlocal,mairepededectprintr-unflambajdistorsional.Elementulipierde stabilitateageneralprinncovoieresauncovoiere-rsucirelalungimidesemiundmari (puncteleC,DiE).nacestcazparticular,pentruseciuneaconsideratnFigura2.12, pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire apare pn la lungimi de semiund de aproximativ 1800mm. La lungimi de semiund mai mari se produce flambajul prin ncovoiere. Linia punctat din Figura 2.12, adugat figurii originale a lui Hancock (1998), reprezint curba modurilorcuplatedeflambaj.Efectulinteraciuniidintremoduriledeflambajsecionalei globaleconstncretereasensibilitiielementuluilaimperfeciuni,conducndlaeroziunea ncrcriicriticedeflambaj(zonelehauratenFigura2.12).Defapt,nrealitate,datorit prezeneiimperfeciunilor,interaciuneamodurilordeflambajaparentotdeaunancazul profilelor formate la rece cu perei subiri, n special n cazul barelor cu lungimi medii i lungi. Incovoiere-rasucireA BRezistenta la flambaj (Mpa)800700600500400300200100010 100100010000Lungime de semi-unda (mm)VoalareDistorsiuneFlambaj prinincovoiere-rasucireToate modurile (interactiune)65mm 280mmCDE Fig. 2.12: Moduri de flambaj funcie de lungimea de semiund pentru un profil C solicitat la compresiune (Hancock, 1998) Figura2.13aratdiferenadecomportamentdintreobarcupereigroiiobardeaceeai lungimecupereisubiri.Attcazulbareiidealecticazulbareicuimperfeciunisunt prezentate.Pentruprimasituaie(baracupereigroi),sepoateobservacnpunctulB,cnd fibrelemarginalencepsseplasticizeze,barancepesipiardrigiditateapnlaatingerea striilimitultime,Nu,npunctulC,dupcaretindeasimptoticsprecurbateoreticde comportamentrigid-plastic.Teoriaelasticestecapabilsdeterminedeplasrileitensiunile pn n punctul n care se atinge limita de curgere. Poziia curbei rigid-plastice determin limita absolut a capacitii portante. ncazulncarebaraestecupereisubiri,fenomenuldeinstabilitateprinvoalarelocala pereiloraparenainteanceputuluiplastificriiseciunii,npunctulL.Prinvoalareapereilor apare o pierdere prematur de rigiditate a barei, ns nu se produce cedarea acesteia. Plastificarea ncepenpunctulB,lacolurileseciuniitransversale,cupuinnaintedecedareaelementului, cndflambajulsecionalsetransformntr-unmecanismplasticlocal,simultancuapariia flambajuluigeneral(Dubina,2000).nacestcaz,ncrcareaultimabareiestemaimicdect cea a unei bare la care nu apare voalarea. De fapt, flambajul secional apare naintea flambajului general,iarnpracticaproiectriiseopereazcucaracteristicigeometriceredusealeseciunii transversale. f0 f N N N Npl Ncr Nu f0 Initiatiere plastificare B C D Elasto-plastic Rigid-plastic Ideal elastic Elastic cu imperfectiuni f N Npl Ncr Nu NL f0 Aparitie voalare L C D Elasto-plastic Rigid-plastic Ideal elastic Elastic cu imperfectiuni f Initiatiere plastificare B Fig. 2.13: Comportarea unui profil comprimat cu (a) seciune obinuit i (b) perei subiri 3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE 3.1 Calculul ncrcrii critice de flambaj la prin ncovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj Aacums-aartatn2.1,ncrcareacriticelasticdeflambajprinncovoiere,Ncr(ncrcarea criticEuler),sedefinetecafiindvaloareaforeidecompresiunepentrucare,obarideal, ncrcat exclusiv cu fora axial, poate s prezinte i deplasri laterale. Flambajul prin ncovoiere auneibareidealecomprimatecentricesteilustratnFigura3.1(daSilva.a.,2010).ncrcarea critic corespunde punctului de bifurcare a echilibrului. Pentru calculul ncrcrii critice elastice a barei comprimate rezemata articulat la ambele capete, cuseciunetransversalconstantpetoatalungimeaelementului,seconsiderurmtoarele ipoteze: -materialul are un comportament liniar elastic; -nu exist imperfeciuni geometrice i nici tensiuni reziduale; -ncrcarea se aplic perfect centric; -este valabil teoria micilor deplasri. Fig. 3.1: Flambajul prin ncovoiere al barei ideale (Euler) (daSilva .a., 2010) Pn n momentul atingerii ncrcrii critice elastice de pierdere a stabilitii, bara se deformeaz doar axial. Dup pierderea stabilitii, bara este ncovoiat i apar deplasri laterale. Condiia de echilibrustaticnpoziiadeformat,lundnconsiderareimomentulncovoietorprodusde fora axial (dup axa z) prin deplasrile laterale, este dat de urmtoarea ecuaie: 022= + Nydxy dEI (3.1) ncareEestemodululdeelasticitatealmaterialuluiiIestemomentuldeineriealseciunii transversale dup axa perpendicular pe planul ncovoierii (dup axa z). Ecuaia diferenial are soluia: ( ) ( ) kx C kx C y cos sin2 1+ = (3.2) n care:( )2/ k N EI = . Impunnd condiiile de margine (deplasrile laterale sunt nule pe reazeme), rezult: pentru y(x = 0) = 0C2 = 0; pentru y(x = L) = 0C1 sin (k L) = 0; soluia C1 = 0, care nu intereseaz, deoarece nseamn c bara nu se deformeaz, sau rmne rezolvarea ecuaiei sin (k L) = 0: soluiak=0nuintereseaz,deoarecenseamncP=0idecinuarexista fora de compresiune, soluia ecuaiei este, n aceste condiii kL = n. ncrcarea critic de pierdere a stabilitii se obine n consecin din: EINLnk n kL = = =22 22 (3.3) ncrcareacriticminim,corespunztoareconfiguraieideformatedinFigura3.1estedatde formula: 22LEINcr= (3.4) n concluzie, pentru o bar ideal, ncrcarea critic elastic de pierdere a stabilitii depinde de rigiditatea la ncovoiere, de lungimea acesteia i de condiiile de rezemare. Pentru alte condiii de rezemare,caalternativlarezolvareaecuaieidifereniale,ncrcareacriticpoatefiobinut direct, nlocuind n formul lungimea real L cu lungimea de flambaj Lcr.Lungimea de flambaj Lcraunuielementestedefinitcalungimeabareiechivalentedubluarticulate,pentrucare ncrcarea critic este egal cu ncrcarea critic a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fi definitcafiinddistanadintredoupunctedeinflexiunesuccesivepedeformatadepierderea stabilitiibarei,egalculungimeauneisemiunde.AceastainterpretareesteilustratnFigura 3.2(daSilva.a.,2010),ncaresuntartatelungimiledeflambajpentrubaraidealcudiverse condiii de rezemare. Fig. 3.2: Lungimea de flambaj Lcr funcie de lungimea real a barei, pentru diverse condiii de rezemare (daSilva .a., 2010) Tensiunea critic se obine mprind ncrcarea critic la aria seciunii transversale a barei: 2222 EALEIEcr= = (3.5) n care = Lcr / i este zvelteea barei i/ i I A =este raza de giraie a seciunii. Pentru o bar fr imperfeciuni, cu un material avnd un comportament elasto-plastic (aa cum sepoateconsidera,nmodideal,pentruoelulobinuitpentruconstrucii),cedareaseproduce prinflambajndomeniulelastic,dactensiuneacriticesteinferioarlimiteidecurgerefy. Pentru o bar scurt, cu zveltee redus, cedarea se produce prin curgerea seciunii transversale, cnd tensiunea aplicat este egal cu limita de curgere, adic atunci cnd = NA = fy. Limita dintre cele dou tipuri de comportament este dat de o valoare a zvelteii, notat 1, care depinde de limita de curgere a materialului, dat de: 2121 cr yyE Eff = = = (3.6) Funcie de zvelteea 1, zvelteea relativ a barei (adimensional) se obine cu formula: cryNAf= =1 (3.7) Comportamentuluneibarefrimperfeciuni,solicitatlacompresiune,funciedezvelteea acesteia, este reprezentat n Figura 3.3. Fig. 3.3: Relaia tensiune zveltee pentru bara comprimat fr imperfeciuni 3.2 Efectul imperfeciunilor n structurile reale, imperfeciunile nu pot fi evitate i, n general, cedarea se produce nainte de atingereavaloriincrcriicritice,aacumafostdefinitanterior.Imperfeciunilepotfi clasificatendoutipuri:imperfeciunigeometrice(curburialeelementelor,excentricitiale ncrcrilor) i imperfeciuni de material (tensiuni reziduale). Pentruadeterminaefectulimperfeciunilor,seconsiderbaracomprimatadinFigura3.4a (daSilva .a., 2010), cu o configuraie iniial deformat cu o curbur sinusoidal: ||

\|=Lxe ysin0 0(3.8) Ecuaia diferenial a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfeciuni este: 0 ) (0 22= + + y y Ndxy dEI (3.9) a) Deformata iniial sinusoidalb) relaia ncrcare deplasare laterala Fig. 3.4: Bara cu imperfeciune iniial (daSilva .a., 2010) Introducnd expresia (3.8) n ecuaia (3.9) i considernd condiiile de margine y(0)=0 i y(L)=0, se obine urmtoarea soluie: ||

\|=LxNNeycrsin10(3.10) n care Ncr este ncrcarea critica elastic Euler. Ecuaia deformatei totale a elementului se obine funcie de ncrcarea aplicata N cu formula: ||

\|= + =LxeNNy y ycrtsin110 0(3.11) Valoarea maxim, notat cu e, care se obine pentru x=L/2, este dat de formula: crNNee=10(3.12) Odeformatiniialabarei,chiarpentruvaloriredusealeforeiaxialeN,produceunmoment ncovoietor, dat de formula: ||

\|= + =LxeNNN y y N x Mcrsin11) ( ) (0 0(3.13) care cauzeaz o cretere progresiva a deplasrii laterale. Relaia dintre deplasarea lateral maxim i ncrcarea aplicat este reprezentat n Figura 3.4.b. Pentruunelementcuuncomportamentdematerialperfectelastic,cuoconfiguraieiniial deformat,deplasrilencepscreascdelavaloriredusealencrcrii,nmodasimptotic,pe msurcencrcareaaplicattindesprencrcareacritic(pentrubarafrimperfeciuni).n aceast situaie, nu mai exist punct de bifurcare a echilibrului. Referitorlaimperfeciuniledematerial,ncazulelementelordinoel,tensiunilerezidualeapar datorit rcirii difereniate pe seciunea transversal, n urma laminrii la cald sau a altor procese tehnologicecareimplictemperaturinalte(sudare,tierecuflacretc.),saunurmaformrii seciunilortransversalelareceprinndoire.Acestetensiunischimbcomportamentulseciunii transversale pe ansamblu, chiar dac formeaz un sistem n echilibru, aa cum se arat n Figura 3.5(daSilva.a.,2010),ncareseexemplificdistribuiatensiunilorrezidualecareaparpe seciunea transversal a unui profil I n urma laminrii la cald. Fig. 3.5: Tensiuni reziduale ntr-un profil I laminat la cald (daSilva .a., 2010) Figura3.6(daSilva.a.,2010)ilustreazrezultateleunortesteexperimentalepebare comprimate, avnd zveltei diferite, n comparaie cu comportamentul teoretic al elementelor fr imperfeciuni(ECCS,1976).Seobservcpentruvaloriredusealezvelteiirelative,cedarea bareiseproduceprinplastificareaseciuniitransversale(valorileraportuluitensiune/limitde curgere mai mari dect unitatea apar datorit ecruisrii). Pentru valori mari ale zvelteii relative, cedareaseproduceprinflambajndomeniulelastic,imperfeciunileneavndoinfluen important.Pentruvaloriintermediarealezvelteiirelative,cedareaseproduceprinflambaj elasto-plastic.Acestaestedomeniulncareimperfeciunilejoacunrolimportant,ncare rezultatele experimentale deviaz mult de la curba teoretic. compresiune ntindere CalcululrezisteneibarelorcomprimatecentricnSREN1993-1-1,sebazeazpecurbele europene de flambaj (ECCS, 1977), care relaioneaz raportul tensiune i limita de curgere (dat defactoruldereducere=/fy)izvelteeaadimensional .Carezultatalunuiimportant program experimental i numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfeciunile posibile aleelementelorreale(curburainiial,excentricitateancrcrii,tensiunireziduale),aufost stabilite cinci curbe de flambaj, funcie de tipul seciunii transversale i axa principal a seciunii transversaledupcareseproduceflambajul.Imperfeciunileaufostdefinitestatisticnurma uneicampaniiextinsedemsurtori(StratingiVos,1973)careapermisadoptareaunor imperfeciuni iniiale sinusoidale n simulrile numerice. Fig. 3.6: Rezultate experimentale pe elemente comprimate (daSilva .a., 2010) Formularea analitic a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere ), prezentat n continuare,afostrealizatdectreMaquoiiRondal(1978),fiindbazatpeformulaAyrton-Perry,considerndodeformatiniialsinusoidal,ncareamplitudineadeformateiafost calibrat astfel nct s reproduc efectul tuturor imperfeciunilor. Pentruacalculafactoruldereducere,seconsiderelementulcomprimatcentric,dublu-articulat, cu o configuraie a deformatei iniiale sinusoidal, dat de formula (3.8). Considernd c elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale seciunii transversale se produce cnd este ndeplinit urmtoarea condiie: yelfWe NAN= +max max(3.14) n care: Nmaxeste valoarea maxim a forei de compresiune N (limitat de Ncr); eeste deplasarea lateral corespunztoare forei Nmax; Weleste modulul de rezisten elastic al seciunii transversale. Relaia poate fi scris ntr-o forma adimensional nlocuind amplitudinea deformatei cu formula (3.12) i mprind toi termenii la fy: 11max0 max max=|||

\|+plcrplplelplNNNNNWA e NNN(3.15) curba Euler Dac se noteaz plN N /max= se obine: 1) 1 (02=+elWA e (3.16) sau = = elWA e02) 1 )( 1 ( (3.17) carereprezintformadebazaecuaieiAyrton-Perry(MaquoiiRondal,1978).Notaia reprezintimperfeciuneageneralizatiniialcarepoatefiutilizatpentruestimareaefectelor tuturorimperfeciunilorcareaparntr-unelementreal.Deoareceinfluenaunoradintreaceste imperfeciuniestelegatdelungimeaelementului,s-aalesexprimareatermenuluiprin urmtoarea formul: ) 2 . 0 ( = (3.18) n carefactorul de imperfeciune depinde de forma seciunii transversale, axa principal dup careseproduceflambajuletc.,iar0.2definetelungimeaplatouluinlungulcruiafactorulde reducere are valoare unitara. Formula (3.17) poate fi astfel rescris astfel: ) 2 . 0 ( ) 1 )( 1 (2 = = (3.19) iar soluia minim a ecuaiei este: 222 = (3.20) n care ] ) 2 . 0 ( 1 [ 5 . 02 + + = (3.21) Expresiafinalafactoruluidereducere,careinecontderisculdepierderealstabilitii elementului comprimat prin ncovoiere, aa cum se regsete i n SR EN 1993-1-1, este (funcie de zvelteea adimensional i de factorul de imperfeciune): 221 += (3.22) 3.3 Flambajul prin rsucire. Flambajul prin ncovoiere-rsucire Aacums-aartatnparagraful2.2,ncazulbarelorcuseciunetransversaldeschis,este posibilcarezistenabareilaflambajprinrsuciresauprinncovoiere-rsuciresfieinferioar rezistenei la flambaj prin ncovoiere. ncrcareacriticdeflambajprinrsucirepentruelementecomprimatecentricsecalculeazcu formula: 2,2 21wcr T to TEIN GIi L| |= +| |\ (3.23) ncrcareacriticdeflambajprinncovoiere-rsucirepentruelementecomprimatecentricse calculeaz cu formula (a se vedea Figura 2.9c): 2, , , , , , ,1( ) ( ) 42cr TF cr y cr T cr y cr T cr y cr TN N N N N N N (= + + ( (3.24) n care: ioeste raza de giraie polar, 2 2( ) /o o y zi y I I A = + + ; G Iteste rigiditatea la torsiune a seciunii transversale; It este momentul de inerie la rsucire liber al seciunii transversale; E Iweste rigiditatea la rsucire mpiedicat a seciunii transversale; Iweste momentul de inerie la rsucire mpiedicat al seciunii transversale; LTesteolungimedeflambajechivalentcaredepindedecondiiilederezemaredinpunct de vedere al rsucirii i deplanrii la capetele seciunii; Ncr,yestencrcareacriticpentruflambajprinncovoieredupaxadeineriey-yaseciunii transversale (axa y-y este ax de simetrie); Atunci cnd seciunea este simetric dup axa z-z, n ecuaia (3.24), Ncr,y trebuie nlocuit cu Ncr,z. esteunfactorcaresecalculeazcuformula=1(yo/io)2,ncareyoestedistanan lungul axei y dintre centrul de tiere i centrul de greutate al seciunii transversale. n Anexa I se prezint coeficientul de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax de simetrie supus la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire. 3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a seciunilor transversale pentru profile cu perei subiri nseciunea2.4s-auprezentatproblemelespecificedestabilitatepentruprofileledinoelcu pereisubiri.Reducerearigiditiibareicuseciunetransversaldeacesttip,caurmarea voalrii, poate fi modelat cu ajutorul unei seciuni transversale reduse a profilului n comparaie cuseciuneasabrut.Aceastseciunesenumeteseciuneeficaceiseobineevalund limile eficace ale pereilor. Pentru definirea limii eficace de perete, se poate utiliza exemplul unui element comprimat. De exemplu,inimaprofiluluisecomportcaoplacrectangularlung,perfectplaniniial, articulatdupceledoulaturilongitudinaleisupusnsenslongitudinaluneisolicitride compresiune uniform (a se vedea Figura 3.7). Cnd aceast compresiune uniform depete efortul unitar critic de voalare cral plcii, apar unde de voalare care se amplific pe msur ce crete tensiunea. Fibrele longitudinale situate n zonaundelor,datoritcurburiilor,prezintorezistenmaimiclacompresiune,careseva descrcaasuprazonelormairigide,ctrereazeme.Rezultodiagramdeefortunitarcare prezintoadnciturlamijlocullungimiiei,respectivvalorimajoratectrereazeme.nfinal, aceste valori majorate pot atinge limita elastic a materialului fy (a se vedea Figura 3.8). Fig. 3.7: Voalarea pereilor comprimai bb b1max2maxfy< 1max < cr 2max = fy Fig. 3.8: Starea de efort unitar ntr-un perete plan care voaleaz Pornind de la aspectul diagramelor din Figura 3.8, a aprut ideea nlocuirii plcii n stare voalat prin dou fii longitudinale, avnd fiecare limea beff/2 i reprezentndzona eficace (activ) a seciunii.Astfel,rezultefortulunitarmajorat max consideratuniformpentreagalime eficace, aa cum se vede din Figura 3.9. P>PcrbayxP>PcrmaxmedxP>PcrbP>Pcraybef/2x(y)maxbef/2 Fig. 3.9: Seciunea eficace a unui perete voalat Seadmitecrezistenaultimaplciiseatingeatuncicnd max devineegalcufy.Pentrua determina limea eficace beff a plcii n stare limit ultim, se utilizeaz ipoteza lui Von Karman (autorulconceptuluidelimeeficace)conformcreiatensiunea max corespunznd domeniuluipostcritic,esteegalcutensiuneacriticelasticcorespunzndlimiieficace, deci( )max creff = . tiind c n general tensiunea critic de voalare a plcii se scrie: 2p22crbt) 1 ( 12Ek|||

\|=(3.25) rezult: 2 22max2( )12(1 )pcr eff creff effbE tkb b | | | |= = =|| ||\ \ (3.26) n care: keste coeficient de voalare; Eeste modul de elasticitate; este coeficientul lui Poisson. La starea limit ultim: ( )2max.pcr yefeffbfb | |= =| |\ (3.27) sau: effcrp ybb f = = (3.28) Deci,conformultimeirelaii,limeaeficace,beff,seobinenmulindlimeaplantotala plcii, bp, cu un coeficient de reducere1 (deci eff pb b = ), n care: p ycr1f = =(3.29) iar crypf =este zvelteea redus de plac. Coeficientul de voalare kia valori diferite funcie de modul cum este rezemat placa i de tipul solicitriinplanulplcii(compresiune,ncovoiere,forfecare).Astfel,sepoatefacedeosebirea ntrepereiirigidizai(plcirezematepeceledoulaturilongitudinale)ipereiinerigidizai (plcirezematepeosingurlaturlongitudinal).Pebazalimiloreficacedeterminate,sepot obine mai departe caracteristicile eficace ale seciunii. Procedeul de fabricaie influeneaz anumitecaracteristici mecanice igeometrice ale profilelor formatelarece.nprimulrnd,formarealareceproducemodificareacurbeicaracteristicea oelului.Prinecruisare,laminarealarececonducelacreterealimiteidecurgere,uneoriia rezistenei la rupere, fenomen mai accentuat n colurile profilelor i apreciabil n inimi i tlpi. Presarea la rece las aceste caracteristici aproape neschimbate n inimi i tlpi. Profilelelaminatelacaldsuntafectatedetensiunirezidualedetipmembran,caredepindde formaseciuniitransversaleiauoinfluensemnificativasupracomportamentuluila stabilitate.Deaceea,tensiunilerezidualeauconstituitfactorulcelmaiimportantpentru ncadrarea profilelor laminate la cald pe diferite curbe de flambaj n normele de calcul europene. ncazulprofilelorformatelarece,tensiunilerezidualesuntnprincipaldencovoiere,iar influena acestora asupra comportamentului la stabilitate este mai puin important dect cele de tipmembran.Pedealtparte,procedeuldeformarelareceinflueneazmrimeatensiunilor reziduale; laminarea la rece produce tensiuni reziduale de ncovoiere mai mari dect presarea la rece. Datorit faptului c proprietile mecanice ale profilelor formate la rece sunt diferite de cele ale profilelor formate la cald, ar trebui luate n considerare curbe de flambaj distincte, dar pentru simplitatea procesului de proiectare se utilizeaz aceleai curbe de flambaj ca i pentru profilele formate la cald. nFigura3.10seprezintcomparaiadintrecurbeledeflambajpentruunprofilCsolicitatla compresiune,calculatenconformitateSREN1993-1-1,considerndcaracteristicilebruteale seciuniitransversale(frconsiderareaflambajuluilocal)icaracteristicileredusealeseciunii (caz n care se produce interaciunea dintre modul secional i cel global). N=N/Npl (Npl=Afy) NE (Euler) Sectiune redusa (Aeff) 1.0 N=Aeff/A1.2 40 mm< tf 100 mm y-y z-z b c a a tf 100 mm y-y z-z b c a a Profile laminate h/b1.2 tf> 100 mm y-y z-z d d c c tf 40 mm y-y z-z b c b c Seciuni I-sudate tf>40 mm y-y z-z c d c d finisate la caldoricareaa0 Seciuni tubulare formate la receoricarecc n generaloricarebb Chesoane sudate grosime perei: a>0.5tf b/tf (3.42b) unde /28.4ypcrfb tk = =este raportul de tensiuni; b este limea peretelui (pentru definiii, vezi Tabelul 5.2 din SR EN 1993-1-1) bwpentru inimi; bpentru elemente interne de talp (exceptnd seciunile tubulare rectangulare); b - 3 tpentru tlpi ale seciunilor tubulare rectangulare (RHS); cpentru tlpi n consol; hpentru corniere cu aripi egale; hpentru corniere cu aripi inegale; keste coeficientul de pierdere a stabilitii corespunztor raportului de tensiuni i condiiilor de margine (k se prezint n Tabelul 3.3 sau Tabelul 3.4, dup caz); teste grosimea; creste efortul unitar critic de voalare; 2235/yf N mm = ( . Tabelul 3.3: Elemente comprimate rezemate pe dou laturi Distribuia tensiunilor (compresiune pozitiv)Limea eficace beff = 1: beff = b be1 = 0.5 beff be2 = 0.5 beff 1 > 0: beff = b eff eb b =521be2 = beff - be1 < 0: beff = bc = b / (1-) be1 = 0.4 beff be2 = 0.6 beff = 2/111 > > 000 > > -1-1-1 > > -3 Factor de voalare k 4.08.2 / (1.05 + )7.817.81 6.29 + 9.78223.95.98 (1 - )2 Tabelul 3.4: Elemente comprimate n consol Distribuia tensiunilor (compresiune pozitiv)Limea eficace beff 1 > 0: beff = c < 0: beff = bc = c / (1-) = 2/110-11 -3 Factor de voalare k0.430.570.850.57 0.21 + 0.072 1 > 0: beff = c < 0: beff = bc = c / (1-) = 2/111 > > 000 > > -1-1 Factor de voalare k0.430.578 / ( + 0.34)1.701.7 - 5 + 17.1223.8 b 12 bbe2 e1b 1 2 b be2e1 b 1 2 b b b b e2 te1 c 2 1bc eff 2 1bb b eff tc 1 2 b c eff 1 2 b cb b eff t PentruelementedetalpaleseciunilordetipIinchise,raportuldetensiuniutilizatn Tabelul3.3iTabelul3.4trebuiessebazezepeproprietileseciuniitransversalebrute, datoritfaptuluicsepermiteefectuldeshearlagntlpi,dacecazul.Pentruelementede inim raportul tensiunilor folosit n Tabelul 3.3 va fi obinut utiliznd o distribuie a tensiunilor bazat pe aria eficace a tlpii comprimate i aria brut a inimii. 3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centric Barelecompusecuseciuneuniformseanalizeaznconformitatecusubcapitolul6.4dinSR EN 1993-1-1. 3.7.1 Bare compuse din ramuri puin deprtate n cazul barelor comprimate compuse ale cror ramuri sunt n contact sau sunt puin deprtate i legatecufururi,asevedeaFigura3.14,saualecrorramurisuntcornieredispusencrucei legate prin perechi de plcue, ele nsi dispuse n cruce, a se vedea Figura 3.15, pot fi proiectate mpotriva pierderii stabilitii ca o bar cu seciune unitar, omogen, neglijnd efectul rigiditii laforfecare(SV=),cucondiiarespectriidistaneimaximedintreprinderi.Pentruelemente legate cu uruburi sau cordoane de sudur, distana maxim este de 15imin, iar pentru elementele legatecuperechideplcue,distanamaximestede70imin,ncareiminesterazadegiraie minim a seciunii transversale a unuia dintre elementele solidarizate. yzzy yzzy yzzy yzzy Fig. 3.14: Bare compuse din elemente puin deprtate Fig. 3.15: Bare compuse din corniere dispuse n cruce legate prin perechi de plcue n cruce 3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zbrele respectiv cu plcue nseciunea3.6.1s-aprezentatcazulbarelorcompusecuseciuneuniform,alecrorramuri suntncontactsausuntpuindeprtateilegatecufururi,pentrucaresepoateneglijaefectul rigiditiilaforfecare(rigiditatealaforfecaresepoateconsiderainfinit).Verificareade stabilitate pentru acest tip de bare se poate face la fel ca i n cazul barelor uniforme cu seciune unitar, ncadrnd seciunea n curbele de flambaj corespunztoare. Barele cu seciune compus din elemente ndeprtate pot fi realizate prin solidarizare cu zbrele sau cu plcue, aa cum se arat n Figura 3.16. (a) (b)Fig. 3.16: Bare cu seciune compus solidarizate cu (a) zbrele sau (b) plcue Problema specific pentru acest tip de bare compuse este flambajul n raport cu axa care nu taie profilelecarecompunseciuneatransversal,deoarecerigiditatealaforfecarenumaipoatefi presupusafiinfinit.Deformaiiledinforatietoarenelementeledesolidarizaresunt importanteinupotfineglijate.Deformaiiledinforatietoareaelementelordesolidarizare reducrigiditatealancovoiereiforacriticcapabilabareicompuse.Foracriticabarei compuse poate fi determinat cu relaia: vcrcrv crcomp crSNNS NN+=+=111 11,(3.43) n care: Ncreste fora critic Euler, calculat neglijnd forfecarea cu formula 22LEINeffcr=(3.44) Ieffeste momentul de inerie efectiv a seciunii compuse care se poate calcula astfel: -pentru cazul barelor compuse cu zbrele: 205 . 0 h A Ich eff= (3.45a) -pentru cazul barelor compuse cu plcue 200.5 2eff ch chI A h I = + (3.45b) unde: Acheste aria seciunii transversale a unei ramuri (a se vedea Figura 3.16); h0este distana ntre centrele de greutate ale ramurilor; Icheste momentul de inerie la ncovoiere al unei ramuri n plan; Sv este rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu zbrele sau plcue: ech vGA S = unde: G este modulul de elasticitate transversal; Aech este aria inimii pline echivalente a stlpului, aa cum se prezint n Figura 3.17. Fig. 3.17: Seciune compus echivalent (principiu de calcul) SREN1993-1-1abordeazcalcululdestabilitatealacestortipuridebareprintr-uncalculde ordinulII,considerndefectulimperfeciunilordeansambluconinutintr-odeformat echivalent sinusoidal cu o amplitudine iniial L/500, aa cum se arat n Figura 3.18. Modelul decalculalbareicompuseseaplicdaczbrelelesauplcueledesolidarizarealctuiescn lungulbareicompusepanouriidenticecuramuriparaleleiexistminimtreipanourinbara compus.Acestecondiiiminimalepermitconsiderareauneistructuriordonatealecrei elemente structurale discrete pot fi considerate ca un mediu continuu. Fig. 3.18: Deformata iniial echivalent Relaiadeverificarearamurilorseciuniicompusesefacecuexpresia(6.4.2.1(1)dinSREN 1993-1-1): ,,1.0ch Edb RdNN (3.46) n care Nch,Edeste valoarea de calcul a efortului de compresiune n ramur, care acioneaz la jumtatea lungimii barei compuse; Nb,Rdeste valoarea de calcul a rezistenei ramurii la flambaj; lungimea de flambaj se consider distanntreelementeledeprindere;pentrucazurispecialedealctuireasistemuluide solidarizare se consider valorile precizate n Figura 6.8 din SR EN 1993-1-1. Efortulaxialdecalculntr-oramurNch,Edrezultprinsuprapunereaefortuluiaxialde compresiunealbareicompusecaresedistribuieperamurileseciuniitransversale,lacarese adaugforaaxialrezultatdinefectulmomentuluideordinulII,calculatfunciede excentricitateaechivalente0lamijloculnlimiibarei(asevedeaFigura3.18).ncalculul efortului Nch,Ed intervine i este rigiditatea la forfecare Sv a modulelor de zbrele sau de plcue desolidarizare,caresecalculeazdiferitpentruceledoucazuri(tabeluldinFigura6.9, respectiv formula (6.73) din SR EN 1993-1-1). 0,0.52Ed chch Ed EdeffM h AN NI= + (3.46) n care 01IEd EdEdEd Edcr vN e MMN NN S += + NEdeste valoarea de calcul a efortului de compresiune care acioneaz n bara compus; MEdeste valoarea de calcul a momentului de ncovoiere maxim, care acioneaz la jumtatea lungimii barei compuse, lund n considerare efectele de ordinul doi; IEdM este valoarea de calcul a momentului de ncovoiere maxim, care acioneaz la jumtatea lungimii barei compuse, fr a lua n considerare efectele de ordinul doi. Anexa BB.1 din SR EN 1993-1-1 ofer informaii pentru alegerea lungimilor de flambaj n cazul flambajuluiprinncovoiereabarelordinstructurilecuzbrele.ngeneral,pentruevaluarea rezistenei la flambaj a tlpilor grinzilor cu zbrele, lungimea de flambaj Lcr se poate lua egal cu lungimeaefectivL,nafardecazulcndovaloareinferioarpoatefijustificatprintr-o analiz. Lungimea de flambaj a unei tlpi cu seciune I sau H poate fi luat egal cu 0.9L, pentru flambaj n planul structurii. Lungimea de flambaj a unei tlpi cu seciunea tubular, poate fi luat egal cu 0.9L att pentru flambajul n plan perpendicular ct i pentru flambajul n plan, (L este lungimea efectiv n planul considerat). Lungimea efectiv n plan este distana ntre dou noduri consecutive. Lungimea efectiv n plan perpendicular este distana ntre reazemele laterale, dac acesteaexist,nafardecazulncareovaloareinferioarestejustificatprintr-oanaliz. Zbrelelepotficalculatepentruflambajulnplanutilizndolungimedeflambajinferioar lungimii lor efective, cu condiia ca tlpile s realizeze o ncastrare adecvat la extremitile lor i ca prinderile la extremiti s asigure un grad de fixare corespunztor (cel puin dou uruburi n caz de prindere cu uruburi). n aceste condiii, n structurile triunghiulare obinuite, lungimea deflambajLcrazbrelelorpentruflambajulnplanpoatefiluategalcu0.9L,cuexcepia barelor alctuite din corniere. nAnexaIVseprezintlungimideflambajpentrubarecarefacpartedingrinzicuzbrele, conform STAS 10108/0-78, respectiv normei belgiene NB51-002. ncontinuareseprezintexempledecalculceacoperparteateoreticaacestuicapitol,i anume: ExemplulE.1.Verificareastabilitiigeneraleaunuistlpsupuslacompresiuneuniform (flambaj); Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilitii generale a unui element cu seciunea de clasa 4 supus la compresiune uniform; Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stlp cu blocaje laterale; Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stlp dintr-un cadru multietajat; Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stlp in trepte; ExemplulE.6.Determinarearezisteneilapierdereastabilitiiaunuielementcompussupusla compresiune uniform; Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la compresiune; Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere; ExemplulE.9.CalcululunuistlpcuseciunetransversaldetipCformatlarece,solicitatla compresiune. EXEMPLE DE CALCUL E.1. Verificarea stabilitii generale a unui stlp supus la compresiune uniform (flambaj) Descrierea problemei Seconsiderostructurparter.Stlpulcadruluitransversalesterealizatdinprofile laminateIiarenlimeade6m.Riglaesterealizatnsoluiegrindcuzbrelerezemat articulatpestlp.Cadrelelongitudinalesuntcontravntuite.Seceressefacverificarea stabilitii generale a stlpului cadrului. Schema static NLzyNLzy Figura E.1.1. Schema statica si lungimea de flambaj dup axele zz, respectiv yy Datele problemei Pentru verificarea de rezisten i flambaj a stlpului sunt necesare urmtoarele date: Fora axialNEd = 900 kN Lungimea elementuluiL = 6,00 m Marca oeluluiS355 Clasa seciuniiClasa 1 Determinarea lungimii de flambaj Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y);fL_y = 2,00 Lungimea de flambaj (y-y);Lcr,y = fL_y L = 12,00 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z);fL_z = 1,00 Lungimea de flambaj (z-z)Lcr,z = fL_z L = 6,00 m Dimensiunile i caracteristicile geometrice ale seciunii transversale HE 100 B - Marca S355; nlimeah = 100,0 mm Limea tlpilorb = 100,0 mm Grosimea inimiitw = 6,0 mm Grosimea tlpilor tf = 10,0 mm Raza de racordr = 12,0 mm Aria seciunii transversaleA = 26,0 cm2 Momentul de inerie / yyIy = 450 cm4 Momentul de inerie / zzIz = 167 cm4 zybhtwtfryz Figura E.1.2. Seciunea transversala Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oel S355 Deoarece grosimea maxim a pereilor seciunii transversale este 10 mm 40 mm, limita de curgere este fy = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 Coeficienii pariali de siguran M1 = 1,00 SREN 1993-1-1 6.1 (1) Verificarea de rezisten a seciunii transversale a stlpului Rezistena la compresiune Pentru a determin rezistena de calcul a seciunii transversale a stlpului la compresiune uniform se folosete relaia de definiie corespunztoare clasei de seciune 1: 2,026 10 355923000 N 923 kN1, 0yc RdMA fN = = = = SREN 1993-1-1 (6.10) Dup determinarea capacitii portante se trece la verificarea condiiei: ,9000, 975 1, 0923Edc RdNN= = Seciunea verific SREN 1993-1-1 (6.9) Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului supus la compresiune uniform PentruadeterminrezistenalaflambajastlpuluiNb,Rd,estenecesardeterminarea factoruluidereducerepentruflambajprinncovoierecorespunztorcurbeideflambajpentru seciunea transversal a stlpului. Acest factor se determin cu ajutorul zvelteii relative . se calculeaz n funcie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat i rezistenadecalculaseciuniitransversalestlpuluilacompresiuneuniform.Secalculeaz folosind proprietile seciunii transversale brute. Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie: 22 5 4,2 2,3,14 2,1 10 450 1064704 N 64, 7 kN12000ycr ycr yE INL = = = = 2 2 5 4,2 2,3,14 2,1 10 167 1096049 N 96 kN6000zcr zcr zE INL = = = =Efortul axial critic (3.4) undeEestemodululdeelasticitatelongitudinal,E=210000N/mm2iLcreste lungimea de flambaj n planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m i Lcr,z = 6,00 m Zvelteea relativ Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei: 2,26 10 3553, 7764704yycr yA fN = = = 2,26 10 3553,1096049yzcr zA fN = = =SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Pentru elemente cu zvelteea 0.2 sau cu raportul NEd / Ncr 0.04 verificarea de pierdere a stabilitii generale a elementului nu este necesar fiind suficient verificarea de rezisten a seciunii transversale. SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (4) Factorul de reducere pentru flambaj prin ncovoiere ncazulelementelorsupuselacompresiuneuniformvaloareafactoruluidereducere depindedezvelteeareduscetrebuiedeterminatinndseamadecurbeledeflambaj corespunztoare: 2 21 = + ns1 n care: 20, 5 1 ( 0, 2) ( = + + ; este factor de imperfeciune. SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Pentrualegereacurbeideflambajpentruseciuneatransversaltrebuieslumn considerare urmtoarele condiii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): HEB 100 profil laminat; Raportul 1001 1, 2100hb = = ; Grosimea tlpilor10 mm 100 mmft = Marca de oel S355 Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1); 2 20, 5 1 ( 0, 2) 0.5 1 0, 34 (3, 77 0, 2) 3, 77 8, 213y y y y (( = + + = + + = 2 2 2 21 10, 06458, 213 8, 213 3, 77yy y y = = = + + Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune Z = 0.49 2 20,5 1 ( 0, 2) 0, 5 1 0, 49 (3,10 0, 2) 3,10 6, 016z z z z (( = + + = + + = 2 2 2 21 10, 08956, 016 6, 016 3,10zz z z = = = + + = min (1.0, y, z) = 0.0645 (n cazul n care > 1 atunci = 1) Rezistena la flambaj Rezistena la flambaj se determin cu urmtoarei relaie: 2,26 10 3550, 0645 59533 N 59,5 kN1, 00yb RdA fN = = = = SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3) Verificarea condiiei: ,90015, 2 159.3Edb RdNN= = elementul nu verific i trebuie aleas o alt seciune transversal (profil). SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1) Observaie: Cu toate caelementul satisface cerinele de rezisten,rezistena lapierderea stabilitiigeneraleestedepitdepeste15oriceeacesubliniaznecesitateaefecturii verificrilor de stabilitate n cazul elementelor de oel. n concluzie este nevoie s alegem o alt seciune transversal. Vom alege HEB 220. Dimensiuni i caracteristici geometrice ale seciunii transversale HE 220 B - Marca de oel S355; nlimea; h = 220,0 mm Limea tlpilorb = 220.,0 mm Grosimea inimiitw = 9,5 mm Grosimea tlpilor tf = 16,0 mm Raza de racordr = 18,0 mm Aria seciunii transversaleA = 91,0 cm2 Momentul de inerie / yyIy = 8091 cm4 Momentul de inerie / zzIz = 2843 cm4 Efortul critic de flambaj Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie: 22 5 4,2 2,3,14 2,1 10 8091 101163371 N 1163 kN12000ycr ycr yE INL = = = = 2 2 5 4,2 2,3,14 2,1 10 2834 101629956 N 1630 kN6000zcr zcr zE INL = = = =Efortul axial critic (3.4) unde, E este modulul de elasticitate longitudinal E = 210000 N/mm2 i Lcr este lungimea de flambaj n planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m i Lcr,z = 6,00 m Zvelteea relativ 2,91 10 3551, 6661163371yycr yA fN = = = 2,91 10 3551, 4081629956yzcr zA fN = = =SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Factorul de reducere Pentrualegereacurbeideflambajpentruseciuneatransversalatrebuiesluamn considerare urmtoarele condiii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): HEB 220 profil laminat Raportul 2201 1, 2220hb = = Grosimea tlpilor16 mm 100 mmft = Marca de oel S355 Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1); 2 20, 5 1 ( 0, 2) 0,5 1 0, 34 (1, 666 0, 2) 1, 666 2,137y y y y (( = + + = + + = 2 2 2 21 10, 2882,137 2,137 1, 666yy y y = = = + + Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune Z = 0.49

2 20,5 1 ( 0, 2) 0, 5 1 0, 49 (1, 408 0, 2) 1, 408 1, 784z z z z (( = + + = + + = 2 2 2 21 10.3461, 748 1, 748 1, 408zz z z = = = + + = min (1,0, y, z) = 0,288(n cazul n care > 1 atunci = 1) Rezistena la flambaj Rezistena la flambaj se determin cu urmtoarei relaie: 2,91 10 3550, 288 930384 N 930 kN1, 00yb RdA fN = = = = SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3) Verificarea condiiei: ,9000, 968 1930Edb RdNN= = elementul verific SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1) E.2. Verificarea de pierdere a stabilitii generale a unui element cu seciunea de clasa 4 supus la compresiune uniform Descrierea problemei SeconsiderogrindacuzbrelecudiagonalenVcutlpiparalelerealizatdineav ptratformatalarece.TlpileexecutatedinSHS350x350x12.Seceresseefectueze verificarea la flambaj a diagonalei comprimate realizate din SHS 200 x 200 x 5. Schema static NL Figura E.2.1. Schema statica Element dublu articulat. Datele problemei Pentru verificarea de rezisten a stlpului sunt necesare urmtoarele date: Fora axialNEd = 1000 kN Lungimea elementuluiL = 2.75 m Marca oeluluiS355 Dimensiunile i caracteristicile geometrice ale seciunii transversale SHS 300 x 300 x 5 Marca S355; nlimeah = 200.0 mm Limeab = 200.0 mm Grosimeat = 5.0 mm Aria seciunii transversaleA = 39.0 cm2 Clasa seciunii Clasa 4 (ex.2) Aria eficaceAeff = 35.22 cm2 Momentul de inerie / yyIy = 2,473 cm4 Momentul de inerie / zzIz = 2,473 cm4 Determinarea clasei de seciune Pentru a determin clasa seciunii transversale trebuie calculat supleea pereilor comprimaii. Toi pereii seciunii sunt perei interiori supui la compresiune. Parametrul depinde de limita de curgere a mrcii de oel: 2235 2350.81355[ / ]yf N mm = = =Perete interior supus la compresiune 2 200 3 537 425c h tt t = = = > seciune de clasa IV SREN 1993-1-1 Tabel 5.2(1) Determinarea seciunii efective ntreaga seciune este supusa la compresiune deci raportul ntre tensiunile unitare de la capetele peretelui1 =factorul de flambajk 4.0= beff1 beff2beff1beff2eficace Figura E.2.2. Aria eficace 0, 903 200 1810.5 0,5 181 90,5efel effb b mmb b mm= = == = = EN 1993-1-5 Tabel 4.1 Factorul de reducere al limii se calculeaz pentru pereii interiori: 2 20, 055 (3 )0,804 0, 055 (3 1)0, 9030,804pp + + = = = EN 1993-1-5 4.4 (2) Zvelteea redus a plcii se calculeaz: / (200 3 5) / 50,80428, 4 28, 4 0,81 4, 00pb tk = = = Calculul ariei efective 20, 903 3900 3522 mmeffA A = = =EN 1993-1-5 4.4 (1) Alternativ aria efectiv poate fi calculat astfel:

24 ( ) 3900 4 5 (200 181) 3520 mmeff effA A t b b = = = Rezistena la compresiune Pentru a determin rezistena de calcul a seciunii transversale stlpului la compresiune uniform se folosete relaia de definiie corespunztoare clasei de seciune 4: 2,035, 22 10 3551250310 N 1250 kN1, 0net yc RdMA fN = = = = SREN 1993-1-1 (6.11) Dup determinarea capacitii portante se trece la verificarea condiiei: ,10000,8 1, 01250Edc RdNN= = Seciunea verific SREN 1993-1-1 (6.9) Determinarea lungimii de flambaj Deoarecegrindacuzbreleestecutlpiparalele,cudiagonalenV,itlpileexecutate dinSHS350x350x12sepoateconsidercmultiplicatorullungimiideflambajeste0,75n ambele planuri. SREN 1993-1-1 BB1.3 (2) B 2000,57 0, 6350diagonalatalpahh= = Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y);fL_y = 0,75 Lungimea de flambaj (y-y);Lcr,y = fL_y L = 2,06 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z);fL_z = 0,75 Lungimea de flambaj (z-z)Lcr,z = fL_z L = 2,06 m Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului supus la compresiune uniform PentruadeterminrezistenalaflambajadiagonaleiNb,Rd,estenecesardeterminarea factoruluidereducerepentruflambajprinncovoierecorespunztorcurbeideflambajpentru seciuneatransversaladiagonalei.Acestfactorsedetermincuajutorulzvelteiirelative funciedeefortulcriticdeflambaj,elastic,pentrumoduldeflambajconsiderat,bazatpe proprietile seciunii transversale brute i rezistena de calcul a seciunii transversale stlpului la compresiune uniform. Zvelteea relativ Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei: 11 2063 1 35220, 32279, 63 76, 4 3900effcryALi A = = = 193, 9 76, 4yEf = = =SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Pentru determinarea ariei eficace vezi exemplu de calcul 2.8.3. Factorul de reducere pentru flambaj prin ncovoiere ncazulelementelorsupuselacompresiuneuniformvaloareafactoruluidereducere depindedezvelteeareduscetrebuiedeterminatinndseamadecurbeledeflambaj corespunztoare: 2 21 = + ns1 n care: 20, 5 1 ( 0, 2) ( = + + ; este factor de imperfeciune. SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Pentrualegereacurbeideflambajpentruseciuneatransversaltrebuieslumn considerare urmtoarele condiii : (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): SHS 200 x 5 seciune tubular format la rece Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y sau z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune y = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1): 220,5 1 ( 0, 2)0,5 1 0, 49 (0, 322 0, 2) 0, 322 0,582y z z z z ( = = + + = (= + + = 2 2 2 21 10, 9370,582 0,582 0, 322y zz z z = = = = + + = min (1.0, y, z) = 0.937 (n cazul n care > 1 atunci = 1) Rezistena la flambajRezistena la flambaj se determin cu urmtoarea relaie: 2,135, 22 10 3550, 937 1171540 N 1172 kN1, 00eff yb RdMA fN = = = = SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3) Verificarea condiiei: ,10000,85 11172Edb RdNN= = elementul verific SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1) E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stlp cu blocaje laterale Descrierea problemei Seconsiderstlpuldecolaluneihaleparter,cuprinderealabazrealizatansoluie articulatpeambeledirecii. Attcadrullongitudinalcticadrultransversaldefrontonsunt contravntuite.Riglacadruluitransversalreazemarticulatpestlptransmindu-iacestuia doarefortaxial.nchiderilestructuriisuntrealizatedintablcutatcesprijinperiglelede perete fixate pe stlpi cadrului longitudinal din 2.5 m n 2.5m. Schema static L1zyL2L3NLzyN Figura E.3.1. Schema statica si lungimile de flambaj dup axa yy, respectiv zz Datele problemei Pentru verificarea de rezisten i flambaj a stlpului sunt necesare urmtoarele date: Fora axialNEd = 1100 kN Lungimea elementuluiL = 7,50 m Marca oeluluiS235 Clasa seciuniiClasa 1 Determinarea lungimii de flambaj Prezenta riglelor de perete nu modifica comportarea elementului la pierderea stabilitii n planul cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y)fL_y= 1.00 Lungimea de flambaj (y-y)Lcr,y = fL_y L = 7,50 m ncazulncareseinecontdeprezentariglelordeperetecarefixeazelementulnafara planului cadrului: Lungimea de flambaj (z-z) pe cele 3 intervale: Lcr,z,1 = 2,50 m Lcr,z,2 = 2,50 m Lcr,z,3 = 2,50 m Lcr,z = max(Lcr,z,1; Lcr,z,2; Lcr,z,3) = 2,50 m ncazul ncarenuse inecontde prezentariglelordeperetecarefixeaz elementul n afara planului cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z);fL_z = 1,00 Lungimea de flambaj (z-z);Lcr,z = fL_z L = 7,50 m Dimensiunile i caracteristicile geometrice ale seciunii transversale HE 200 B Marca de oel S235; nlimea; h = 200,0 mm Limea tlpilorb = 200,0 mm Grosimea inimiitw = 9,0 mm Grosimea tlpilor;tf = 15,0 mm Raza de racord;r = 18,0 mm Aria;A = 78,1 cm2 Momentul de inerie / yy; Iy = 5696 cm4 Momentul de inerie / zzIz = 2003 cm4 Caracteristici mecanice limita de curgere Marca S235 Deoarece grosimea maxim a pereilor seciunii transversale este 15,0 mm 40 mm, limita de curgere este fy = 235 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 Coeficienii pariali de siguran M0 = 1,00 M1 = 1,00 SREN 1993-1-1 6.1 (1) Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului supus la compresiune uniform PentruadeterminrezistenalaflambajastlpuluiNb,Rd,estenecesardeterminarea factoruluidereducerepentruflambajprinncovoierecorespunztorcurbeideflambajpentru seciuneatransversalastlpului.Acestfactorsedetermincuajutorulzvelteiirelative funciedeefortulcriticdeflambaj,elastic,pentrumoduldeflambajconsiderat,bazatpe proprietile seciunii transversale brute i rezistena de calcul a seciunii transversale stlpului la compresiune uniform. Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie:

22 5 4,2 2,3,14 2,1 10 5696 102098778 N 2099 kN7500ycr ycr y EINL = = = =

2 2 5 4,2 2,3,14 2,1 10 2003 106642323 N 6642 kN2500zcr zcr z E INL = = = =(3.4) n cazul n care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral:

2 2 5 40 z,2 2,3,14 2,1 10 2003 10738036 N 738 kN7500cr zcr z E INL = = = = Zvelteea relativ Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei: 2y,78,1 10 2350, 9372089778ycr yA f N = = = 2,78,1 10 2350, 5266642323yzcr zAf N = = =n cazul n care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral: 20,78,1 10 2351,577738036yzcr zAf N = = =SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Factorul de reducere Pentrualegereacurbeideflambajpentruseciuneatransversaltrebuiesluamn considerare urmtoarele condiii: HEB 200 - profil laminat Raportul 2001 1, 2200hb = = Grosimea tlpilor15 mm 100 mmft = Marca de oel S235 Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0,34

220,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0, 34 (0, 937 0, 2) 0, 937 1, 064y yy y ( ( = + + = + + = ( 2 2 221 10, 6381, 064 1, 064 0, 937yyy y = = =+ + Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune z = 0.49

22z0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0, 49 (0, 526 0, 2) 0,526 0, 718zz z ( ( = + + = + + = ( 2 2 221 10,8290, 718 0, 718 0, 526-zzz z = = =+ + n cazul n care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral: Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z in cazul n care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral: Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune z = 0.49

20 2z0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0, 49 (1, 577 0, 2) 1, 577 2, 081zz z ( ( = + + = + + = ( 00 2 20 0 2 21 10, 2912, 081 2, 081 1, 577( ) ( )zzz z = = =+ + = min (1.0, y, z) = 0,638 (n cazul n care > 1 atunci = 1) Rezistena la flambaj 2y,178,1 10 2350, 638 1170953 N 1171 kN1, 00b RdMA fN = = = = SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3) Verificarea condiiei: ,11000, 94 1.01171Edb RdNN= = elementul verific SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1) n cazul n care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral: 20 0,178,1 10 2350, 291 534087 N 534 kN1, 00yb RdMA fN = = = = SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3) Verificarea condiiei: 0,11002, 06 1, 0534Edb RdNN= = elementul nu verific SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1) E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stlp dintr-un cadru multi-etajat Descrierea problemei Acestexempludecalculipropunesdeterminelungimeadeflambajirezistenala pierdereastabilitiigeneraleprinncovoiereaunuistlpdintr-uncadrumultietajatcunoduri rigide. Vor fi considerate dou situaii de comportare global a cadrului. n prima ipoteza cadrul va fi considerat cu noduri fixe, iar n a doua situaie va fi considerat cu noduri deplasabile. Va fi analizat un stlp interior alctuit dintr-un profil laminat european HEM. Determinareacomportriiglobaleacadruluiperansamblunufaceobiectulacestui exemplu, ns clasificarea se face conform SREN 1993-1-1 paragraful 5.2.1 (3) analiza globala. Datele problemei Coeficienii pariali de siguran M0 = 1,00 M1 = 1,00 SREN 1993-1-1 6.1 (1) Date geometrice Deschiderea grinzii superioare stngal11 = 6,00 m Deschiderea grinzii superioare dreaptal12 = 6,00 m Deschiderea grinzii inferioare stngal21 = 6,00 m Deschiderea grinzii inferioare dreaptal22 = 6,00 m nlimea stlpului studiatlc = 3,50 m nlimea stlpului de la etajul superiorl1 = 3,50 m nlimea stlpului de la etajul superiorl2 = 3,80 m Marca oeluluiS275 Clasificarea seciunii transversaleClasa 1 Caracteristici geometrice ale seciunilor transversale Stlpul studiat HE 220 M Iy = 14600 cm4;A = 149,4 cm2; Stlpul superior HE 200 MIy = 10642 cm4;A = 131,3 cm2; Stlpul inferior HE 240 MIy = 24290 cm4;A = 199,6 cm2; Grind superioar stnga IPE 400Iy = 23128 cm4;A = 84,5 cm2; Grind superioar dreapta IPE 400Iy = 23128 cm4;A = 84,5 cm2; Grind inferioar stnga IPE 450 Iy = 33743 cm4;A = 98,8 cm2; Grind inferioar dreapta IPE 400Iy = 23128 cm4;A = 84,5 cm2; a) Cadru cu noduri fixe lcl1l11,l21 l12,l22l2c1121 221212 Figura E.4.1. Cadru transversal cu noduri fixe b) Cadru cu noduri deplasabile l2lcl1l11,l21c1121 221212l12,l22 Figura E.4.2. Cadru transversal cu noduri deplasabile Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oel S275 Deoarece grosimea maxim a pereilor seciunii transversale este 26,0 mm 40 mm, limita de curgere este : fy = 275 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 k11k21k12k22kck2k1 Figura E.4.3. Notaiile folosite pentru rigiditile elementelor Cadru cu noduri fixe k11k21k12k22kclN1 Figura E.4.4. Forma de pierdere a stabilitii a unui stlp parte a unei structuri cu noduri fixe Determinarea lungimii de flambaj n cele dou ipoteze de comportare global a cadrului Determinarea lungimii de flambaj se face n conformitate cu P100/2006 anexa F paragraful F.5. (vezi anexa II.2) Factori de distribuie a rigiditii 1 i 2 Seconsidercgrinzilenusuntsolicitatelaeforturiaxialeirmnn domeniul elastic sub aciunea momentelor de calcul. Rotirea la captul opus poate fi considerat egal i de semn opus cu cea de la captul studiat (simpl curbur). (P100/2006 Tabel F.3.(1)). Rigiditatea poate fi calculat astfel: Rigiditatea stlpilorcccIkl=Rigiditatea grinzilor0.5ijijijIkl= (vezi Tabel II.1) astfel obinem urmtori factori de distribuie: 111 11 1214600 10462350 3500, 65214600 10462 23128 231280, 5 0, 5350 350 600 600cck kk k k k++= = =+ + ++ + + (vezi II.1) 222 21 2214600 24290350 3800, 69014600 24290 33743 231280, 5 0, 5350 380 600 600cck kk k k k++ = = =+ + ++ + + (vezi II.2) RaportulntreLcr/LsepoateobinedindiagramaprezentatnFiguraF.4.P100/2006 (vezi Fig. II.4) sau aplicnd formula (II.3): 21 2 1 220, 5 0,14 ( ) 0, 055 ( )0, 5 0,14 (0, 652 0, 690) 0, 055 (0, 652 0, 690) 0, 787crLL= + + + + == + + + + = Lungimea de flambaj a stlpului se poate obine: _0, 787 3500 2755 mmcr cr yL f L = = = Anexa F - P100-1/2006 (Fig. II.4) Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului supus la compresiune uniform PentruadeterminrezistenalaflambajastlpuluiNb,Rd,estenecesardeterminarea factoruluidereducerepentruflambajprinncovoierecorespunztorcurbeideflambajpentru seciuneatransversalastlpului.Acestfactorsedetermincuajutorulzvelteiirelative funciedeefortulcriticdeflambaj,elastic,pentrumoduldeflambajconsiderat,bazatpe proprietile seciunii transversale brute i rezistena de calcul a seciunii a transversale stlpului la compresiune uniform. Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie: 22 5 4,2 2,3,14 2,1 10 14605 1039842 kN2755ycr ycr y E INL = = = Zvelteea relativ Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei: 2y,149, 4 10 2750, 32139841616ycr yA f N = = =Printr-o formulare alternativ zvelteea relativ poate fi calculat astfel: y127,850, 32186,81y = = = ,275527,8598, 94cr yyLi = = = 193, 9 86,81yEf = = = Factorul de reducere Pentrualegereacurbeideflambajpentruseciuneatransversaltrebuieslumn considerare urmtoarele condiii: HEM 240 - profil laminat Raportul 2401, 062 1, 2226hb = = Grosimea tlpilor26 mm 100 mmft = Marca de oel S275 Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0.34;

220,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0, 34 (0, 321 0, 2) 0, 321 0,572y yy y ( ( = + + = + + = ( 2 2 221 10, 9570, 572 0,572 0, 321yyy y = = =+ + Rezistena la flambaj 2,1149, 4 10 2750, 957 3931835 N 3932 kN1, 00yb RdMA fN = = = = SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3) Cadru cu noduri deplasabile k11k21k12k22kcN1N2 Figura E.4.5. Forma de pierdere a stabilitii a unui stlp parte a unei structuri cu noduri deplasabile Factori de distribuie a rigiditii 1 i 2 Seconsidercgrinzilenusuntsolicitatelaeforturiaxialeirmnndomeniulelasticsub aciuneamomentelordecalcul.Rotirealacaptulopuspoateficonsiderategalcuceadela captul studiat (dubl curbur).(P100/2006 - Tabel F.3. (1)). Rigiditatea poate fi calculat astfel: Rigiditatea stlpilor cccIk ll= Rigiditatea grinzilor1,5ijijijIkl= (vezi Tabel II.2) astfel obinem urmtori factori de distribuie: 111 11 1214600 10462350 3500, 38414600 10462 23128 231281,5 1, 5350 350 600 600cck kk k k k++= = =+ + ++ + + (vezi II.1)

222 2