cap3_rasucire1

7/29/2019 Cap3_Rasucire1

1/15

Capitolul 3

SOLICITAREA LA RSUCIRE A BARELOR DREPTE

O bar dreapt este solicitat la rsucire (torsiune) dac n seciunea transversaltorsorul de reducere a forelor interioare are o singur component, un moment al cruivector este dirijat n lungul axei barei.

Piese tipice solicitate la rsucire sunt arborii mainilor, arborii cutiilor de viteze,elementele elastice de tip bar de torsiune din suspensiile automobilelor precum i barelestructurilor spaiale cu capetele ncastrate.

Studiul rsucirii este simplificat n cazul barelor cu seciune circular sau inelar lacare este valabil ipoteza seciunii plane i la bare cu perei subiri, la care se considerc tensiunile tangeniale sunt constante pe grosimea peretelui.

Unele aspecte calitative privind deformarea barelor solicitate la torsiune pot fi

evideniate prin experiene simple. Probele supuse ncercrii se pot obine din tuburi cuperei subiri confecionate din material plastic. Se constat c n cazul barei cu seciunenchis (Fig. 3.1) se respect ipoteza lui Bernoulli, adic deplasrile axiale (pe direciaOx) sunt egale pentru toate punctele din aceeai seciune normal. n domeniulsolicitrilor elastice deplasrile axiale se pot considera nule.

Fig.3.1 Fig.3.2

Punctele unei seciuni deschise a unei bare (Fig.3.2) au deplasri axiale diferite.Dac asupra acestor deplasri nu sunt impuse restricii, solicitarea este numit rsucireliber (fig. 3.2.b). Bara din figura 3.2.ceste supus la rsucire mpiedicat deoarece areun capt ncastrat la care nu se produc deplasri axiale. n condiii de rsucirempiedicat, n bare apar tensiuni suplimentare, normale i tangeniale.

n cazul tuburilor cu seciune inelar nchis i al barelor cilindrice masive rmnevalabil ipoteza lui Bernoulli chiar dac o seciune este ncastrat (fig. 3.1.c), deci i incazul rsucirii mpiedicate.

1


2/15

3.1. Eforturi

Atunci cnd asupra unei bare acioneaz mai multe cupluri exterioare, avndvectorul dirijat n lungul axei barei, este necesar construcia unei diagrame de momentede rsucire.

Momentul de torsiune ntr-o seciune oarecare se obine prin nsumarea efectelorforelor i cuplurilor exterioare i de legtur (reaciuni) care acioneaz la stnga sau la

dreapta seciunii considerate.Pentru exemplificare se consider arborele din figura 3.3,a pentru care s-a trasat

diagrama de momente de torsiune din figura 3.3,b.

n ncastrare apare reaciunea M5 care se determin din condiia de echilibru(ecuaia de momente fa de axa barei):

( ) 0420 5000 =++= MMMM:Mx . Rezult 05 MM = .Aplicnd principiul seciunii se determin eforturile- momentele de rsucire pe fiecareporiune a barei. De exemplu, pe intervalul 2-3, conform figurii 3.3,c, momentul detorsiune este

000 24223MMMMt == sau 005 223 MMMMt == .

a)

b)

c)

Fig.3.3

Dac un arbore transmite puterea P (kW) la turaia n (rot/min), momentul dersucire se calculeaz cu relaia

n

PMt

=30

. (3.1)

2


3/15

3.2. Rsucirea barelor drepte cu seciune circular sau inelar

3.2.1 Tensiuni

Dac pe suprafaa unei bare cilindrice se traseaz generatoare i cercuri paralele,formnd o reea de ptrate curbilinii (Fig.3.1,a), dup solicitarea barei la rsucire

(Fig.3.1,b i c) ptratele devin romburi, lungimea laturilor rmnnd neschimbat. Deasemenea, aa cum s-a menionat mai sus, seciunile transversale rmn plane. Sededuce c un element de bar din vecintatea suprafeei laterale este solicitat numai detensiuni tangeniale, altfel tensiunile normale ar fi produs alungirea laturilor. Se spune celementul este solicitat la forfecare pur .

n virtutea principiului dualitii, aceste tensiuni trebuie s aib direcia tangentei laconturul seciunii, n vecintatea acestuia. ntr-adevr, dac ntr-o seciune a unei evi, napropierea conturului exterior sau interior, ar exista tensiuni tangeniale pe direcieradial, atunci ar trebui s acioneze tensiuni pereche de acelai module re i ri pesuprafeele exterioar i interioar (Fig.3.4). Dar aceste suprafee sunt suprafee liberede tensiuni (nu sunt aplicate sarcini), adic re = ri= 0. Ca urmare, se admite c ntr-un

punct oarecare al unei seciuni, situat la distana r de axa barei, tensiunea produs de momentul de rsucire Mt are direcia tangentei la cercul de razr.

Fig.3.4

Se fac urmtoarele ipoteze:a. bara este dreapt i are seciune constant pe toat lungimea;b. momentul de torsiune este constant pe toat lungimea barei;c. seciune transversal iniial plan, rmne plan i dup rsucirea barei (este valabil

ipoteza lui Bernoulli);d. seciunile sunt indeformabile i se rotesc ca un rigid n jurul axei barei i, ca urmare, o

linie radial (raz ) trasat ntr-o seciune transversal rmne dreapt n timpulrsucirii barei;e. materialul barei este omogen, izotrop i liniar elastic (este valabil legea lui Hooke)

G= . (3.2)

Dou seciuni, aflate la distana dx una fa de alta, au o rotire relativ

12 =d .

Dintr-o bar ncastrat la un capt, solicitat la rsucire, se decupeaz unelement central de raz ri lungime dx (Fig. 3.5). n urma solicitrii, generatoarea CBocup poziia CB', iar raza OB se rotete n poziia OB'. Unghiul BCB'este unghiul de

3


4/15

lunecare specific iar unghiul BOB', d,este unghiul cu care se rotesc relativ cele douseciuni, situate la distana dxuna fa de alta.

Fig. 3.5.

Astfel, avnd n vedere c este un unghi foarte mic, se deduce relaiaaproximativ

( ) dxdxtandr , (3.3)

care se scrie sub forma

== rxd

dr . (3.4)

S-a notat cuxd

d = unghiul de rsucire specific: unghiul cu care se rotesc una fa

de cealalt dou seciuni situate la o distan egal cu unitatea de lungime.Substituind (3.4) n legea lui Hooke (3.2) se deduce relaia

rG = , (3.5)

care arat c ntr-o seciune transversal a barei tensiunea variaz liniar n raportcu raza.

Ca urmare, condiia de echivalen static ntre eforturi i tensiuni se scrie subforma (v. Fig. 3.6)

= At dArM , (3.6)

unde dA este fora interioar ce acioneaz pe suprafaa elementar drdrdA = , pedirecia tangentei la cercul de raz rdr,r + 50 .

nlocuind (3.5) n (3.6), se obine

pAtIGdArGM ==

2 , (3.7)

n care intervine o caracteristic geometric a seciunii numit moment de inerie polar,care se calculeaz cu formula

= Ap dArI 2 . (3.8)4


5/15

Fig. 3.6.

Din (3.7) se obine expresia rsucirii specifice

p

t

IG

M= , (3.9)

care are la numitor mrimea GIp numit modul de rigiditate la rsucire.

Din (3.5) i (3.9) se deduce formula pentru calculul tensiunilor

rI

M

p

t= , (3.10)

cu care se determin tensiunea maxim pentru maxrr=

p

tmax

p

tmax

W

Mr

I

M== , (3.11)

ce depinde de cuplul Mt i de modulul de rezisten polar al seciunii barei

max

pp

r

IW = . (3.12)

n cazul solicitrii la rsucire condiia de rezisten se scrie sub forma :

ap

tmax

W

M = (3.13)

Ca i la solicitarea axial i pe piesele solicitate la rsucire pot s apar

concentratori de tensiune : modificri de diametru, degajri inelare, canale de pan,guri transversale etc.

Dac n seciunea analizat se manifest un efect de concentrare atensiunilor a crui intensitate este evaluat prin valoarea coeficientului Kt atuncicondiia de rezisten se scrie sub forma

ap

ttmaxW

MK = . (3.14)

Prin condiia de rigiditate se impune ca rsucirea specific maxim s nudepeasc o valoare admis a :

amax , (3.15)5


6/15

3.2.2. Caracteristicile geometrice Ip i Wp

a) Seciunea circular plin

n relaia (3.8) se nlocuiete aria inelului circular de grosime dr (Fig.3.6)drrdA = 2 . Rezult:

==2

0

4

232

2

/d

p ddrrrI ; (3.16)

16

2

323

4

d

d

d

r

IW

max

pp

=== . (3.17)

b) Seciunea inelar

Se noteaz cu di=2Ri i de=2Re diametrul interior i, respectiv, cel exterior alseciunii transversale a barei (fig.3.7).

Fig.3.7Atunci:

( )

==

2

2

442

322

/d

/d

iep

e

i

dddrrrI

; (3.18)

(( ) ( )

16

1

16

2

324344

44

kd

d

dd

d

dd

r

IW e

e

ie

e

ie

max

pp

=

=

==

(3.19)

S-a notat cu k factorul dimensionale

i

d

dk = .

3.2.3. Deformaii la rsucire

Pentru un element de bar de lungime dx, din relaiile (3.5) i (3.10) se obineunghiul de rsucire

dxGI

Mdxd

p

t== (3.20)

6


7/15

Pentru o bar cu lungimealunghiul cu care se rotesc relativ cele dou seciunide la capete este:

==l

p

tl

dxGI

Md

00

. (3.21)

Dac pe lungimea la barei momentul de torsiuneMti rigiditatea la rsucireGIp sunt constante atunci:

p

t

GI

lM= . (3.22)

3.3. Energia de deformaie la rsucire

Pentru un element de bar de lungime dx, lucrul mecanic efectuat de momentulMt, a crui valoare crete liniar cu rotiread, este

p

tp

ttt

GI

dxMGIdxMM

dML

222

2 =

=

=

. (3.23)

Lucrul mecanic este nmagazinat de elementul de bar sub form de energiepotenial de deformaie

LdU = . (3.24)

Atunci, energia de deformaie nmagazinat de toat bara este

==

l

p

tl

GI

dxMdUU

0

2

0 2. (3.25)

Dac pe lungimea l momentul de torsiune i rigiditatea la rsucire GIP suntconstante, atunci:

p

t

GI

lMU

2

2= (3.26)

3.4. Calculul arcurilor cilindrice elicoidale

Arcul cilindric elicoidal este o bar curb n spaiu (Fig.3.8). S-au utilizaturmtoarele notaii:

R- raza de nfurare; d- diametrul seciunii spirei; 0- unghiul de nclinare aspirei; H0-nlimea arcului.

Sub aciunea forei P (Fig.3.8,b) se modific unghiul de nclinare a spirei inlimea arcului cu f , numit sgeat.

Dac nclinarea spirelor este mare atunci fora P, redus n centrul de greutate alseciunii transversale(fig. 3.8, c), produce toate cele patru solicitri simple (ntindere,forfecare, ncovoiere i rsucire), eforturile corespunztoare fiind proieciile pe axa spireii pe normala la aceasta a componentelorFR i MR (componentele torsorului de reducere

a forei F n centrul de greutate al seciunii)

7


8/15

fora axial: sinPsinFN R == ;fora tietoare: cosPcosFT R == ;momentul ncovoietor : sinPRsinMM Ri == ;momentul de torsiune: cosPRcosMM Rt == .

Fig.3.8

La arcurile cu spire strnse la care nclinarea elicei este foarte mic (0


9/15

3.5. Rsucirea liber n cazul barei cu seciune dreptunghiular

Problema rsucirii libere a barei cu seciune dreptunghiular nu se poate rezolvape baza unei abordri elementare ci prin aplicarea metodelor Teoriei elasticitii. ncontinuare vor fi prezentate doar rezultatele care intereseaz n practica proiectriistructurilor.

Caracteristicile geometrice ale seciunii cu h>b (Fig. 3.9) sunt :- momentul de inerie polar echivalent

3bhIt = , (3.30)- modulul de rezisten polar echivalent

2bhWt = , (3.31)unde coeficienii i se iau din tabelul 3.1, sau se calculeaz cu formuleleaproximative

)(23

12

++

;

+

8,13

1,

h

b = (3.32)

Fig. 3.9.

Rsucirea specific se calculeaz cu o relaie de forma (3.9)

t

t

IG

M= , (3.33)

iar tensiunea tangenial maxim (la mijlocul laturii mari), cu formula

t

tzx

W

M=max, . (3.34)

La mijlocul laturii mici apare tensiunea

max,max, zxyx = , (3.35)

n care se introduce coeficientul luat din tabelul 3.1 sau calculat cu formula

5,0)12135(7

1132 +

. (3.36)

Tabelul 3.1 : Valori ale coeficienilor, , h/b 1 1,2 1,5 1,75 2 2,5 3 4 10

1 0,833 0,666 0,571 0,5 0,4 0,333 0,25 0,1 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,312 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,312 1 0,93 0,86 0,82 0,79 0,77 0,75 0,74 -

9


10/15

3.6. Rsucirea liber n cazul profilelor subiri deschise

n cazul barei cu seciune dreptunghiular ngust, numit i platband (Fig. 3.10),avnd raportul hb /= foarte mic tensiunile yx au valori neglijabile, iarzx variaz liniarpe grosimea profilului. n aceste condiii, la aplicarea formulelor (3.33) i (3.34) se va ineseam c din (3.30)-(3.32) rezult

31= , 3

31 hbIt , 2

31 hbWt = . (3.37)

Geometria seciunii unui profil subire (Fig. 3.11) se definete prin forma idimensiunile liniei mediane (care trece pe la mijlocul grosimii, pe fiecare poriune, figuratcu linie-punct n desen).

Fig. 3.10. Fig. 3.11.

Calculul unui profil deschis se bazeaz pe urmtoarele ipoteze simplificatoare: seciunea transversal se deplaneaz datorit deplasrilor axiale ale punctelor

sale, dar nu se modific proiecia liniei sale mediane pe un plan normal pe axa barei; pe fiecare ramur se pot aplica formulele (3.37).Seciunea din figura 3.11 este compus din n dreptunghiuri cu lungimi mari fa

de grosimi si >> i (i = 1, 2, ... , n). Se noteaz cu Mti momentul de rsucire preluat deramura i a profilului i se scrie condiia de echivalen

=

=n

i

tti MM1

. (3.38)

unde Mteste efortul de rsucire din seciunea analizat.n baza primei ipoteze simplificatoare, rsucirile specifice pentru ntregul profil i

pentru ramurile componente sunt considerate egale

n21 ... ==== . (3.39)Avnd n vedere (3.33) i (3.37), aceast condiie se scrie sub forma

t

tn

i

ii

n

i

ti

nn

tntt

IG

M

sG

M

sG

M

sG

M

sG

M =

=

==

=

=

=

=

1

3

1

3322

2

311

1

3

1

3

1...

3

1

3

1, (3.40)

n care intervine o caracteristic geometric a seciunii, momentul de inerie polarechivalent (momentul de inerie convenional la torsiune)

=

=n

i

iit sI1

3

3

1 . (3.41)

Din (3.40) se deduce

t

t

kkkt I

M

sM3

3

1

= . (3.42)10


11/15

Tensiunea maxim pe ramura ka profilului se calculeaz pe baza relaiilor (3.34)i (3.37), astfel

kt

t

kk

tk

tk

tkk

I

M

s

M

W

M

===2

max,

3

1 . (3.43)

Se constat c tensiunea maxim apare n zona de grosime maxim a

profilului. Ca urmare, condiia de rezisten la rsucire este

at

t

I

M = maxmax . (3.44)

3.7. Rsucirea liber n cazul profilelor subiri nchise

n continuare va fi prezentat o soluie aproximativ a problemei rsucirii libere ncazul barei tubulare cu perei subiri a crei seciune (Fig. 3.12) are ca linie median ocurb nchis .

Ca i la profilele deschise se accept ipoteza conform creia proiecia linieimediane a profilului pe un plan normal pe axa barei nu se modific datorit solicitrii

(adic, se rotete ca o linie rigid).Calculul se bazeaz i pe ipotezele lui Bredt: tensiunile tangeniale au direcia tangentei locale la curba i se consider

constante pe segmente normale la linia median a profilului; fluxul de forfecare t, definit prin relaia t = , este constant de-a lungul curbei

, adic ...22 == 11 .

Dup cum rezult din figura 3.12, tensiunile const = repartizate pe suprafaadsdA = se reduc n centrul de greutate al seciunii la o for dAdF = i un cuplu

dArdMt = , (3.45)

unde reste distana de la centrul de greutate al seciunii la suportul forei dF.Reducnd toate forele elementare care acioneaz n seciune n centrul degreutate al acesteia se obine o rezultant nul i un moment de rsucire egal cu efortulMt din bar.

Integrnd (3.45) pe toat lungimea liniei mediane i avnd n vedere cconst = , se obine

== 2tdsrMt , (3.46)unde este aria nchis de curba.

S-a inut seam de faptul c produsul dsr este dublul suprafeei triunghiuluiformat n figura 3.12 (cu baza ds i nlimea r), ceea ce conduce la concluzia c

= 2dsr .Din relaia de definire a fluxului de forfecare i din (3.46) rezult

=

=

2

tMt. (3.47)

De aceea, condiia de rezistena a tubului la rsucire se va scrie sub forma

at

tt

W

MM

=

=

min

max2

. (3.48)

n concluzie, modulul de rezisten convenional la torsiune pentru profilele subiri nchisese calculeaz cu relaia :

min2 =tW (3.49)11


12/15

Fig. 3.12

n continuare va fi stabilit formula pentru calculul rsucirii specifice . Dacseciunea este constant de-a lungul barei, atunci momentul de rsucire M t (aplicatstatic), produce lucrul mecanic

lMML tt ==21

21 , (3.50)

unde leste lungimea barei, iar este rotirea relativ a capetelor sale.Energia potenial U acumulat de profil prin torsionare se calculeaz avnd n

vedere ipotezele lui Bredt i expresia volumului elementar dxdsdxdAdV == .Rezult

( ) ==== dxdsGdVGdVUl

VV 0

22

2

1

22

==

=

ds

G

lMds

G

ldx

ds

G

t

l

2

222

0

22

822

1. (3.51)

n condiiile unei ncrcri lente nu se produc vibraii i se poate considera clucru mecanic efectuat de cuplul aplicat barei este acumulat ca energie potenial dedeformaie ( L=), rezultnd

t

tt

IG

Mds

G

M=

=

24

. (3.52)

A fost utilizat notaia

=

dsIt

24

. (3.53)

Dac seciunea barei are n poriuni cu grosimi constante i (i=1,2, ... ,n) pesegmente de lungimi siale liniei sale mediane, atunci formula anterioar devine

==

=

=

n

i i

isn

i i

t sds

Ii

1

2

01

2 4

1

4

. (3.54)

12


13/15

Exemple de calcul

3.1.S se determine momentul de torsiune maxim ce s-ar putea transmite printr-un ax cugeometria din figura 3.13,a, dac este realizat din OLC 60, cu rezistena rezistenaadmisibil =a 190N/mm2 i modulul deelasticitate transversal G = 8,1104 N/mm2. Se

accept o rotire relativ maxim de o5,0 ntre capetele axului ( o5,0=a ).

Modelul de calcul (fig. 3.13,b) conine poriunea dintre capetele prevzute cu canale depan ale axului. n intervalul 1-2 bara are seciunea inelar cu diametrele: d=25 mm lainterior iD=30 mm la exterior.innd seam de raportul d/D=0,8333 cu au fost calculate caracteristicile geometrice

=12pI 41172 mm4 i =12pW 2744,8 mm3.n zona central, cu seciune circular de diametruD=30 mm, momentul de inerie

polar este =23pI 79521,5 mm4. Caracteristicile geometrice ale seciunii (25) n zona 3-4

sunt =34pI 38349,5 mm4 i =34pW 3067,9 mm3 .

Fig. 3.13.

Tensiunea maxim pe intervalul 1-2 are expresia

tp

t MW

M== 4

1212max 10643,3 .

La dreapta seciunii 3 (pe poriunea 3-4) se evalueaz nivelul solicitrii inndseam de efectul de concentrare a tensiunilor prin coeficientul

++

++

+=23

2 1)1(13

4,3

1

1tK , (3.55)

n carer

d

2= ,

r

dD

2

= , ( r- raza de racordare).

nlocuind valorile numerice d=25 mm,D=30 mm i r = 2 mm au fost obinute25,6= , = 1,25 i =tK 1,4 . Ca urmare

tp

tt M

W

MK == 4

3434max 10563,4 .

13


14/15

Din condiia de rezisten

( ) atM == 434max12maxmax 10563,4,max

rezult 54

max 1016,4563,4

10=

= atM

N mm .

Rotirea relativ a capetelor barei este

=

++==++=

= +

+

834,3

1

952,7

4,0

117,4

1

104

3

1 1,

1,34231214

G

lM

IG

lMt

i iip

iit

tt MMG

l 84 10839,610554,0 == ,

unde au fost considerate valorile numerice al lungimilor celor trei tronsoane1003412 === lll mm i 404,023 == ll mm.

Rotirea relativ maxim admis a capetelor axului este

rad10726,8rad180

5,05,0 3o === a .

Din condiia de rigiditate atM = 8

14 10839,6 , se obine

55

max 10275,1839,6

10726,8=

=tM N mm .

n consecin, soluia problemei este5

maxmaxmax 10275,1),(min == ttt MMM N mm .

3.2.S se compare un profil deschis (fig. 3.14, a) cu profilul nchis care se obine din elprin sudare (fig. 3.14, b), din punct de vedere al momentului maxim de torsiune ce sepoate aplica i al rigiditii. Se consider cunoscute caracteristicile materialului a , G

i raportul hr/ =10 . Tensiunea admisibil este aceeai n cordonul de sudur i n

materialul de baz al profilului.

n figura 3.14 sunt precizate dimensiunile liniei mediane i grosimile pereilorprofilului.Momentele de inerie convenionale la torsiune sunt:

- pentru profilul deschis

[ ] 3333 611,4)6,1(225,1231 hrhrhrhrIt =++= - pentru profilul nchis

hr

h

r

h

r

rIt

342

618,9

6,1

2)5,2(

)25,125,0(4=

++

+=

.

Din condiia de rezisten pentru profilul deschis

at

t

th

hr

M

I

M=

=

= 6,1

611,4 3max

max

max

max ,

rezult at hrM 2

max 88,2 = .14


15/15

Fig. 3.14

Analog se determin momentul maxim de torsiune n cazul profilului nchis. Dincondiia

attt

hr

M

hr

MM

=

=

+

=

=

2

max

2

max

min

maxmax

14,8)25,125,0(22,

s-a obinut at hrM 2

max 14,8 = .

Rsucirile specifice se calculeaz pentru ambele profile cu relaii de forma)/( tt IGM= .

Pentru comparaie se calculeaz rapoartele momentelor maxime i rsucirilorspecifice (calculate pentru acelai efortMt) innd seam c s-a impus hr/ =10 .

Rezultatele obinute

26,28826,2max

max ==

h

r

M

M

t

ti 20808,2

2

=

=

=

h

r

M

IG

IG

M

t

t

t

t

arat c profilul nchis este mult mai rezistent i mai rigid la rsucire liber fa de unprofil deschis cu seciune avnd aceeai form i aceleai dimensiuni.

15

cap3_rasucire1

Documents