cap3_iia criterii de plasticitate

7/18/2019 Cap3_IIa Criterii de Plasticitate

http://slidepdf.com/reader/full/cap3iia-criterii-de-plasticitate 1/6

Capitolul 3

NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR

- III-

3.4. Criterii de plasticitate

Criteriile de plasticitate au apărut din necesitatea de a stabili care sunt factoriide care depinde trecerea materialului în starea plastică. Cu alte cuvinte, ce condiţiitrebuie să fie satisfăcute pentru ca deformaţiile produse într-un element al uneistructuri să se menţină şi după înlăturarea încărcării.

Criteriul de plasticitate reprezintă o condiţie care indică la ce nivel al

tensiunii se iniţiază deformaţii plastice. În cazul unei solicitări monoaxiale, ce poate fi studiată prin teste de tipul celor

descrise în §3.3.3, iniţierea deformaţiilor plastice are loc în punctul A din i!. 3.",a,

av#nd coordonatele $ cε % cσ &. În cazul unei solicitări complexe, triaxiale, criteriul de plasticitate defineşte o

suprafaţă limită a plasticităţii, reprezent#nd o !eneralizare a punctului de iniţiere acur!erii din solicitarea uniaxială în cazul spaţiului tridimensional al tensiunilor.

În cazul unui corp aflat într-o stare spaţială de tensiune se acceptă că există ofuncţie k , F ijσ , depinz#nd de componentele tensorului tensiunilor şi de unparametru de material k, astfel înc#t comportamentul materialului să fie elastic dacă

0<k , F ijσ şi plastic dacă 0=k , F ijσ . În forma !enerală, un criteriu de plasticitate $de cur!ere& se poate scrie astfel'

( ) ( ) 02

=−= k f k , F ijij σ σ , $3.3(&

unde ij f σ este o funcţie numai de tensiuni, numită funcţie de curgere (de plasticitate).

)arametrul de material k se poate obţine pe bază de studii experimentale.

*xistă mai multe criterii de plasticitate, asociate cu teoriile de rezistenţă, caredescriu condiţiile de producere a cur!erii în cazul metalelor şi al materialelor ductile.Cele mai cunoscute sunt următoarele'

Criteriul Rankine, al tensiunii normale maxime% Criteriul Tresca, al tensiunii tan!enţiale maxime% Criteriul von Mises, al ener!iei de distorsiune maxime% Criteriile MohrCoulom! "rucker#rager , av#nd la bază teoria

dislocaţiilor .

În continuare vor fi prezentate cele două criterii mai des utilizate în activitateain!inerească, în special pentru piese din materiale metalice.

1



a! Criteriul Tresca

+cest criteriu a fost enunţat de aint-nant şi se bazează pe experienţele lui/.0resca, cu privire la scur!erea metalelor prin orificii.

e enunţă astfel'

#entru o stare spaţială de tensiune curgerea se produce atunci c$ndtensiunea tangenţială ma%imă din orice punct al materialului depă&e&tevaloarea tensiunii tangenţiale corespunzătoare curgerii 'n cazul solicitării latracţiune monoa%ială.

)lanele pe care tensiunile tan!enţiale au valori maxime se numesc plane delunecare. *xistă două astfel de plane, care trec printr-una din direcţiile principale şi împart în două părţi e!ale un!1iurile diedre respective ale triedrului 123, aşa cum s-aarătat în §3.3.2.

Cum tensiunea tan!enţială maximă este valoarea absolută a uneia dintre cele

trei tensiuni tan!enţiale principale'

2131323212

1

2

1

2

1σ−σ=τσ−σ=τσ−σ=τ ;; , $3.3"&

condiţia de plasticitate enunţată mai sus se poate exprima astfel'

uniaxial test cτ τ ≥1 %

sau uniaxial test cτ τ ≥2 % $3.3&

sau uniaxial test cτ≥τ 3 .

În cazul unui test uniaxial, 0321 =σ=σσ=σ ;c şi deci tensiunea tan!enţială

corespunzătoare începerii cur!erii este

cuniaxial test cmax σ=σ=τ=τ2

1

2

1

1 . $3.34&

+v#nd in vedere relaţiile de mai sus, criteriul de plasticitate 0resca poate fiexprimat matematic sub forma'

;cσ σ σ ≥− 21

sau ;cσ≥σ−σ 32 $3.35&

sau cσ≥σ−σ 13 .

În cazul unei stări plane de tensiune $unde 03 =σ & criteriul de plasticitate0resca capătă forma'

;cσ≥σ−σ 21

sau ;cσ≥σ 2 $3.36&sau cσ≥σ 1 .

7eprezentarea !rafică a relaţiei $3.36& este dată în fi!ura 3.6.

2



"acă o stare plană de tensiune se află 'n interiorul he%agonului ha&urat,se produc numai deformaţii elastice.

Curgerea 'ncepe c$nd starea de tensiune se află pe conturulhe%agonului.

OBSERVAŢIE: În cazul unei stări spaţiale de tensiune, criteriul deplasticitate Tresca poate fi reprezentat su for!a unei pris!e cu "ase feţe,prezentată #n fi$ura %&'(& Analo$ cu fi$ura %&), toate punctele de pe aceastăsuprafaţă reprezintă stări li!ită de tensiune plastică iar cele din interiorcorespund stărilor elastice&

ig..* ig..+

"! Criteriul #o$ Mises

+cest criteriu are la bază consideraţii ener!etice. *ner!ia specifică dedeformaţie se poate descompune în două părţi, una asociată variaţiei volumuluicorpului $efect al tensorului sferic, av#nd componentele mσ=σ=σ=σ 321 & şi altaasociată sc1imbării formei corpului $efect al tensorului deviator care are dreptcomponente tensiunile normale principale reduse si - relaţia 3.5&.

*xperimental s-a dovedit că deformaţiile plastice sunt determinate de tensoruldeviator.Criteriul de plasticitate von 8ises se poate enunţa astfel'

-n cazul unei stări spaţiale de tensiune curgerea se produce atunci c$ndenergia specifică de schim!are a formei corpului (energia specifică dedistorsiune) depă&e&te valoarea energiei specifice de distorsiunecorespunzătoare curgerii la solicitarea la tracţiune monoa%ială.

În concordanţă cu această condiţie de plasticitate, cur!erea începe c#nd'

uniaxial test f spatiala stare f U U 11 = $3.(9&

3



*ner!ia specifică de sc1imbare a formei unui corp dintr-un material izotrop$caracterizat de constantele elastice E şi ν &, aflat într-o stare spaţială de solicitare,are forma'

( ) ( ) ( )[ ]213

2

32

2

2116

1σ−σ+σ−σ+σ−σ

ν+=

E U f . $3.(:&

În cazul unui test uni-axial $tracţiune mono-axială& 0321 =σ=σσ=σ ;c , iarener!ia specifică de sc1imbare a formei corpului este

( ) 2211 2

6

12

6

1

cuniaxial test f E E

U σ ν

σ ν +

=+

= . $3.(2&

;in#nd seamă de relaţiile $3.(9& < $3.(2&, rezultă expresia matematică acriteriului de plasticitate von 8ises'

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2 cσ σ σ σ σ σ σ =−+−+− . $3.(3&

Compar#nd $3.(3& cu $3.3(&, rezultă că în cazul criteriului de plasticitate von8ises funcţia de plasticitate este

( ) ( ) ( ) ( ) 2132

322

21 σ σ σ σ σ σ σ −+−+−=ij f , $3.((&

iar parametrul de material este

ck σ 2=

. $3.("&

;in#nd seamă de $3.:2&, criteriul de plasticitate von 8ises se poate exprima înfuncţie de intensitatea tensiunilor tangenţiale S astfel'

cS σ =3 , $3.(&

adică

t tanconsk

S ==

6. $3.(4&

%$ co$clu&ie criteriul de plasticitate von Mises este echivalent cucondiţia de constanţă a intensităţii tensiunilor tangenţiale (

.const =++ 2

32

22

1 τ τ τ ) .

În cazul stărilor plane de tensiune $ 03 =σ &, condiţia de plasticitate se scriesub forma

22221

21 cσ σ σ σ σ =+− , $3.(5&

care este ecuaţia unei elipse av#nd forma din fi!ura 3.::.

4



Cele opt puncte marcate pe elipsă s-au obţinut astfel'

0est uniaxial' c; σ σ σ ±== 21 0 %

c; σ σ σ ±== 12 0 .

0racţiune bi-axială' c; σ σ σ σ σ ±=== 1221 .

0orsiune $forfecare pură&' c ,; σ σ σ σ ⋅±≅±=−= 5770

3

1121 .

În fi!ura 3.:2 se prezintă interpretarea !eometrică, în spaţiul tensiunilorprincipale, a suprafeţei limită de plasticitate pentru o stare spaţială de tensiune.

)unctele din interiorul elipsei $în cazul stării plane de tensiune&, respectiv celedin interiorul cilindrului $în cazul stării spaţiale& reprezintă deformaţii elastice.

ig..++ ig..+

)entru a face o comparaţie între cele două criterii, în fi!ura 3.:3,a se prezintă,pe aceeaşi fi!ură, interpretările !eometrice ale acestora pentru stări plane detensiune.

e poate constata că diferenţa este foarte mică. =e exemplu, în cazul stării deforfecare pură, criteriul von 8ises dă o valoare a tensiunii de forfecarecorespunzătoare cur!erii cu aprox.:"> mai mare dec#t valoarea determinată cucriteriul 0resca.

În fi!ura 3.:3,b s-au reprezentat, pe aceeaşi fi!ură, în spaţiul tridimensional al

tensiunilor principale, suprafeţele limită corespunzătoare celor două criterii. +xa ?), e!al înclinată faţă de direcţiile principale, este normală la planul

octaedric $numit şi planul @π A&, de ecuaţie 0321 =σ+σ+σ şi are cosinusurile

directoare ( 313131 / ; / ; / .tarea de tensiune dintr-un punct al corpului poate fi descrisă de un vector OA

$punctul + se află pe suprafaţa limită&, ce poate fi descompus în două componente'O', în lun!ul axei ?), reprezent#nd componenta 1idrostatică $ mσ=σ=σ=σ 321 & şicomponenta O( perpendiculară pe direcţia ?), aflată în planul B, reprezent#ndcomponenta tensorului deviator $cu componentele s1, s2 , s3 ). Curbele , carereprezintă intersecţia suprafeţelor limită cu planul B, se numesc cur!e de curgere.

5



a& b&ig..+

"este la tracţiune !i#a$ială au demonstrat o mai !ună concordanţă cure%ultatele e$perimentale a criteriului &on 'ises dec(t a criteriului "resca, mai ales nca%ul materialelor metalice.

6

cap3_iia criterii de plasticitate

Documents