cap 3
TRANSCRIPT
CAP. 3. ANALIZA CINETOSTATICĂ A MECANISMELOR
CU BARE
Acest capitol se ocupă cu studiul forţelor care acţionează asupra elementelor. cinematice ale mecanismelor presupunându-se cunoscută starea de mişcare a elementului conducător (motor).
Cunoaşterea forţelor care acţionează asupra elementelor mecanismelor este
utilă pentru: - studiul mişcării mecanismelor sub acţiunea forţelor aplicate. - dimensionarea elementelor (calculul de rezistenţă al elementelor
mecanismului). Forţele aplicate trebuie să capete astfel de valori, încât să asigure mişcări
precise elementelor cinematice ale mecanismelor şi maşinilor. Cinetostatica foloseşte pentru rezolvarea problemelor, principiul lui d’Alembert
din mecanică, principiu care se enunţă astfel: Forţele şi momentele aplicate, de legătură şi de inerţie formează un sistem în
echilibru.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=++
0
0
ileg
i
MMM
FRF (1)
unde: MF , - forţe şi momente aplicate;
legMR , - forţe şi momente de legătură;
ii MF , - forţe şi momente de inerţie.
Analiza cinetostatică constă în: - se face analiza cinematică a mecanismului, determinându-se vitezele şi
acceleraţiile elementelor; - se izolează corpurile (elementele cinematice); - se aplică principiul lui d’Alembert, scriind sistemul de ecuaţii (1).
3.1. Forţele şi momentele care acţionează asupra elementelor
mecanismelor şi maşinilor
Asupra elementelor cinematice, care fac parte dintr-un mecanism sau maşină, acţionează în timpul funcţionării trei categorii de forţe şi momente:
- Forţe şi momente exterioare (SARCINI) - Forţe şi momente interioare (EFORTURI)
- Forţe şi momente de legătură (REACŢIUNI)
A) FORŢE ŞI MOMENTE EXTERIOARE (SARCINI) În categoria acestor forţe şi momente intră:
A1) FORŢE ŞI MOMENTE MOTOARE: mm MF , (FIG. 3.1)
Fig. 3.1
Ele acţionează asupra elementului conducător (1) în sensul mişcării provocând accelerarea maşinii.
Unghiul o90ˆ <α .
Ele produc pe ansamblul ciclului energetic un lucru mecanic pozitiv:
0dML;0dSFLEE
0mm
S
0mm >ϕ=>= ∫∫
φ (2)
Exemplu de forţe motoare: Forţa gazelor de ardere la motoarele cu combustie internă; forţa apei, aburului
sau gazului asupra paletelor unei turbine hidraulice; forţele electromagnetice la maşinile şi aparatele electrice; forţa elastică a arcurilor. Determinarea acestor forţe şi momente motoare este posibilă numai dacă sunt cunoscute caracteristicile mecanice ale maşinii. Prin caracteristica mecanică se înţelege diagrama de variaţie a forţei motoare sau a cuplului motor în funcţie de unul sau mai mulţi parametrii cinematici (timp, deplasare, viteză, acceleraţie).
A2) FORŢE ŞI MOMENTE DE REZISTENŢĂ UTILĂ (TEHNOLOGICĂ):
rr MF , (FIG. 3.2)
Fig. 3.2
Ele acţionează asupra elementului condus în sens contrar mişcării, provocând frânarea maşinii.
Unghiul . o90ˆ >αEle produc pe ansamblul ciclului energetic, un lucru mecanic negativ:
0dML;0dSFLEE
0mm
S
0mm <ϕ=<= ∫∫
φ (3)
Exemplu de forţe de rezistenţă tehnologică: Forţele de aşchiere la maşinile unelte; sarcina de ridicare a macaralei; forţa de
apăsare la o presă sau la o ştanţă. Ca şi forţele motoare, forţele de rezistenţă tehnologică sunt impuse prin
caracteristicile mecanice ale maşinii.
A3) FORŢELE DE GREUTATE: G .
Sunt aplicate în centrul de greutate al elementelor şi sunt orientate spre centru pământului. Pe un ciclu de funcţionare, lucrul mecanic produs de ele este nul.
00
=⋅= ∫ES
G dSGL (4)
A4) FORŢE ŞI MOMENTE DE FRECARE: ff MF ,
Acţionează asupra suprafeţelor în contact ale cuplelor cinematice. Ele produc lucru mecanic elementar negativ în orice moment al ciclului energetic.
0;0 <ϕ=<= dMdLdSFdL fRfR ff (5)
În anumite situaţii forţele de frecare sunt utile deoarece au un rol fundamental în funcţionarea mecanismelor cu transmisii prin fricţiune, prin curele şi cabluri, la frâne şi cuplaje prin fricţiune.
În general, lucrul mecanic consumat de forţele de frecare se transformă în energie calorică.
A5) FORŢE ŞI MOMENTE DE INERŢIE: ii MF ,
- reprezintă reacţiunea cinetică a masei elementului la acceleraţia ce i se imprimă odată cu mişcarea sa. Ele au valori importante la piesele mari cu mişcare foarte variată cărora le produc modificarea regimului de solicitare mecanică. La maşinile lente efectul forţelor de inerţie poate fi neglijat comparativ cu valorile mari ale forţelor motoare şi rezistente.
Pe un ciclu de funcţionare, ele pot produce un lucru mecanic pozitiv, negativ sau egal cu zero.
NOTĂ: Aceste forţe exterioare pot fi: constante, variabile cu poziţia elementului, variabile cu viteza elementului, variabile cu timpul, variabile concomitent în raport cu mai mulţi dintre factorii menţionaţi.
B) FORŢE ŞI MOMENTE INTERIOARE (EFORTURI): sunt forţe şi momente care iau naştere în secţiunea elementelor cinematice sub acţiunea forţelor şi momentelor exterioare.
C) FORŢE ŞI MOMENTE DE LEGĂTURĂ (REACŢIUNI): iau naştere în cuplele cinematice şi ele se datorează forţelor şi momentelor exterioare. Ele nu produc şi nici nu consumă energie.
3.1.1. Determinarea forţelor de inerţieDeterminarea acestor forţe se face prin două metode: - Metoda reducerii la torsor. - Metoda concentrării maselor.
3.1.1.1. Metoda reducerii la torsor (vezi fig. 3.3)
Forţele de inerţie repartizate pe întreg corpul se reduc în centrul de greutate (G)
al corpului la un torsor: jGi
τ ce are două componente (jGi
F şi )jGi
M .
Fig. 3.3
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ε⋅−=
⋅−=τ
jGi
Gji
ijjG
jjG
jG JM
amF
&: (6)
unde: m - masa elementului [Kg] j - numărul de ordine al elementului cinematic;
jGJ - momentul de inerţie masic al elementului j în raport cu axa
perpendiculară pe planul ce trece prin centrul de greutate (Gj) al
elementului [ ]; 2mKg ⋅
jGa - acceleraţia liniară a centrului de greutate al elementului j
[m/s2].
jGε - acceleraţia unghiulară a centrului de greutate al elementului j
[rad /s2].
Acest torsor jGi
τ prezintă următoarele particularităţi:
A) Pentru un element cinematic în mişcare de translaţie (exemplu o culisă, un contact mobil de la un contactor) – vezi FIG. 3.4.
Fig. 3.4
Torsorul jGi
τ se reduce la o singură componentă: Gi amFG
−= aplicată în
centrul de greutate al elementului cinematic, deoarece 0=ε .
B) Pentru un element cinematic aflat în mişcare de rotaţie B1) Axa de rotaţie trece prin centrul de greutate al elementului cinematic – vezi FIG. 3.5.
Fig. 3.5
Când mişcarea este uniformă: Când mişcarea este variabilă
0=Ga , deci 0=Gi
F 0=Ga , deci 0=Gi
F
0,. =ε=ω ct , deci 0=Gi
M 0,. ≠ω=ω
=ε≠ω &dtdct
deci: 0≠ε⋅−= Gi JMG
&
B2) Axa de rotaţie nu trece prin centrul de greutate al elementului cinematic – vezi FIG. 3.5.
- Când mişcarea este uniformă – vezi FIG. 3.6 a.
Fig. 3.6
)(||||; 02 GAaaaa n
GGnGG ω=≡≡
0≠⋅−= Gi amFG
,0,. =ε=ω ct deci: 0=GiM
- Când mişcarea este variabilă – vezi FIG. 3.6 b.
0≠⋅−= Gi amFG
,0,. ≠ε≠ω ct deci: 0≠ε⋅−= Gi JMG
&
OBSERVAŢIE
Viteza unghiulară: •
ω=ω
=εdtd
.
Când nu se cunoaşte funcţia: )(tω=ω , nu se poate determina nici ε . Ca
urmare nu se poate calcula nici GiM .
Pentru rezolvarea problemei, trebuie să determinăm o forţă de inerţie rezultantă
( iF ) – care produce acelaşi efect ca torsorul de inerţie (jGi
τ ).
a) Pentru un element aflat în mişcare de rotaţie
Fig. 3.7
Forţa de inerţie rezultantă ( iF ) este paralelă cu ( GiF ) şi deplasată într-un punct (K) – numit centru de oscilaţie (vezi FIG. 3.7).
Să se determine poziţia centrului de oscilaţie (K).
i
iii F
MddFM G
G=⇒⋅=
Din triunghiul ϕ
=∆sin
: dGKGPK
Însă: ϕ⋅==ε⋅−=ε⋅−= sin;;; GtG
tG
GiGi aaOGaamFJM
G&
Deci: ϕ
=sin
dGK ϕ⋅⋅
⋅=
ϕ⋅⋅−ε⋅−
=ϕ⋅
=sinsinsin G
tG
G
G
G
i
i
amOGaJ
amJ
FM
G&
&
OGi
OGmJ
OGamaJ GG
G
GG2
sinsin
=⋅
=ϕ⋅⋅⋅
ϕ⋅⋅=
&& (7)
unde : mJi G
G&
=2 (rază de inerţie) (8)
GRAFIC Pentru determinarea centrului de oscilaţie (K), pentru un element în mişcare de
rotaţie, se procedează astfel (vezi FIG. 3.8):
Se cunoaşte: şi poziţia lui (G). AAl 0
Se cere: Centrul de oscilaţie (K). Se duce prin centrul de greutate (G) al elementului cinetic (A0A) o
perpendiculară.
Fig. 3.8
Calculăm raza de inerţie (iG):
[ ]mmmJi G
G =
Punem iG [m m] pe această perpendiculară dusă prin (G) la element. Rezultă punctul B. GiGB = . Unim pe A0 cu B.
Ducem prin B o perpen-diculară la (A0B). La intersecţia cu elementul cinematic (A0A) rezultă centrul de oscilaţie (K).
Iniţial elementul (A0A) - se reprezintă la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl .
b) Când elementul cinematic are o mişcare plan – paralelă vezi FIG. 3.9.
Fig. 3.9
Se cunoaşte: lungimea elementului ( ), poziţia centrului de greutate (G), se
cunosc acceleraţiile punctelor A, B şi G (
AAl 0
GBA aaa ,, ) –
din planul acceleraţiilor (FIG. 3.9 b). Se cere: Să se determine punctul de aplicaţie (T) al rezultantei forţelor de inerţie
( iF ), care să ia în considerare şi efectul lui ( iM ).
Rezolvare:
Iniţial elementul (AB) – se reprezintă la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl .
Se determină mai întâi centrul de oscilaţie (K). Acest lucrul se poate face analitic:
AGmJGK G 1
⋅=&
sau grafic (vezi punctul ,,a”).
Pentru determinarea punctului de aplicaţie (T) se procedează astfel:
- Prin (G) se duce o paralelă la ( apa ′ );
- Prin (K) se duce o paralelă la ( ga ′′ );
- La intersecţia lor rezultă punctul (T);
- Ducem prin (T) o paralelă la ( gpa ′ );
- În sens contrar acceleraţiei ( Ga ) la scara forţelor ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , se reprezintă:
GAGGi amamamF •−•−=⋅−=
- )F( ti )F( r
i
unde: tiF - forţa de inerţie corespunzătoare mişcării de translaţie a
elementului (AB);
riF - forţa de inerţie corespunzătoare mişcării de rotaţie a
elementului (AB).
Această forţă de inerţie ( iF ), care acţionează în (T) ia în consideraţie şi efectul
lui ( iM ).
3.1.1.2. Metoda concentrării maselor
Se consideră un corp aflat în mişcare plană a cărei masă (m) este uniform distribuită (vezi FIG. 3.10).
Fig. 3.10
Se înlocuieşte această masă ,,m“ cu ,,n“ mase concentrate. Condiţiile sunt:
⎪⎩
⎪⎨⎧
′=
′=
)(
)(
IIMM
IFF
ii
ii
unde: ii MF , - forţa de inerţie,
respectiv cuplul de inerţie al corpului de masă m.
ii MF ′′, - forţele respectiv
cuplurile de inerţie produse de cele n mase concentrate.
Gi amF ⋅−= iar )...( 321 nGi mmmmaF ++++⋅′=′ .
Pentru ca aceste mase n să producă aceiaşi forţă de inerţie ( iF ) independent de mişcare, trebuie ca centrul de greutate (G’) să rămână tot în (G), adică sa respecte conditia I:
)...( 321 nGG mmmmaam ++++⋅′=⋅−
unde: nmmmmm ++++= ...321 (9)
GG aa ′= , adică 01
=∑=
n
iii rm (Suma momentelor statice sa fie nula)
(10) Relaţia (10) proiectată pe axe:
⎩⎨⎧
=+++=+++
0...0...
2211
2211
nn
nn
ymymymxmxmxm
(10’)
Pentru ca aceste mase n să producă acelaşi cuplu de inerţie ( iM ) independent de mişcare trebuie ca centrul lor de greutate (G’) să rămână tot timpul în (G), adică sa respecte conditia II:
GGii JJMM '' && ⋅ε=⋅ε⇒= (deoarece 'GG ≡ ) , (11) GG JJ '&& =
Însă: 2233
222
211 ... nnG rmrmrmrmJ ++++=&
sau (11’) )(...)()( 2222
222
21
211 nnnG yxmyxmyxmJ ++++++=&
OBSERVAŢII: - Relaţiile (9) şi (10’), exprimă condiţia de concentrare statică. Concentrarea
statică se recomandă pentru elementele cinematice care au o mişcare de translaţie sau rotaţie uniformă.
- Relaţiile (9), (10’) şi (11’) exprimă condiţia de concentrare dinamică. Concentrarea dinamică se recomandă pentru elementele cinematice care au o mişcare variabilă.
APLICAŢII 1) Se dă elementul cinematic binar de masă (m) – vezi FIG. 3.11.
Se cere: să se facă concentrarea statică a acestei mase m în două puncte A şi B.
Fig.3.11
RezolvarePentru concentrarea statică se vor folosi relaţiile (9) şi (10’).
BA
AB
BA
BA
AABB
BA
xxxmm
xxxmm
xmxmmmm
+=
+=⇒
⎩⎨⎧
=−=+
;0
Deci: BBiBAAiA amFamF ⋅−=⋅−= ;
2) Se dă: elementul cinematic binar din FIG. 3.12 de masă (m). Se cere: Să se facă concentrarea dinamică a acestei mase (m) în trei puncte: A, B şi G.
Fig.3.12
Rezolvare: Pentru concentrarea dinamică se vor folosi relaţiile (9), (10’) şi (11’)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+−=++
GBBAA
BBAA
GBA
Jxmxm
xmxmmmmm
&22
0
Prin rezolvarea sistemului rezultă: mA , mB , mG. 3) Se dă: elementul cinematic ternar din FIG. 3.13 de masă (m).
Se cere: să se facă concentrarea dinamică a masei (m) în punctele A, B, C şi G.
Fig.3.13
Rezolvare: Se vor folosi relaţiile (9), (10’) şi (11’).
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++++
=−+−=++−
=+++
GCCBBBBAAA
CCBBAA
CCBBAA
GCBA
Jyxmyxmyxm
ymymymxmxmxmmmmmm
&)()()(
00
222222
Prin rezolvarea sistemului rezultă: mA , mB , mC , mG.
3.1.2. Forţele de frecare din cuplele cinematice
FRECAREA: este un proces de natură molecularo-mecano-energetica, ce se produce între două suprafeţe în contact, aflate în mişcare relativă sub acţiunea unei
forţe normale ( N ).
Ştiinţa care se ocupă cu studiul frecărilor se numeşte TRIBOLOGIE. Frecarea este uneori utilă, exemplu în cazul ambreiajelor, frânelor, asamblărilor
presate etc. Însă de cele mai multe ori ea este dăunătoare – ea produce în cuplele
cinematice căldură şi uzură. Frecarea în cuple poate fi: a) uscată;
b) limită; c) mixtă; d) fluidă.
a) Frecarea uscată: se produce între două suprafeţe în contact, aflate în mişcare relativă, între care nu se interpune nici un lubrifiant.
Frecarea uscată nu se poate produce decât în condiţii de laborator. b) Frecarea limită: se produce între două suprafeţe în contact aflate în mişcare
relativă, între care se află un strat subţire de lubrifiant mµ÷ −− )1010( 23 , dar puternic ancorat de suprafeţe.
În condiţiile frecării limită, forţele de frecare scad de 2 – 3 ori faţă de frecarea uscată, iar uzura scade de câteva sute de ori.
c) Frecarea mixtă: se produce între două suprafeţe în contact aflate în mişcare relativă, intre care se interpune un strat de lubrifiant a cărei grosime în timpul funcţionării se rupe şi apoi se reface, astfel că se produc şi contacte directe între suprafeţe.
Acest regim este frecvent întâlnit la pornirea şi oprirea maşinilor. d) Frecarea fluidă: se produce între două suprafeţe în contact aflate în mişcare
relativă între care se interpune un strat continuu şi portant de lubrifiant, a cărei grosime depăşeşte suma asperităţilor suprafeţelor.
Acest regim de frecare reduce drastic forţele de frecare, iar uzura scade practic la zero.
La mecanisme se întâlnesc toate categoriile de frecare, însă predominantă este frecarea mixtă.
3.1.2.1. Frecarea în cupla de translaţie
Cupla de translaţie este formată din (vezi FIG. 3.14):
Fig.3.14
element cinematic (1) – care este o suprafaţă plană pe care se deplasează cu viteza
liniară V , elementul cinematic (2) – care este un corp paralelipipedic.
F - este rezultanta forţelor exterioare cu componentele ( nF - componentă
normală şi tF - componentă tangenţială);
N - reacţiunea normală;
T - forţa de frecare care se opune mişcării.
Rezultanta NTR +=
Reacţiunea normală N şi rezultanta R , închid unghiul ( ) – numit unghi de frecare.
ϕ
Se defineste un con de frecare a cărui generatoare este rezultanta R .
µ==ϕNTtg (coeficient de frecare)
Dacă: TFt >ϕ>α : , produce mişcarea lui (2) pe (1) cu acceleraţia:
mTFa t −= .
Dacă: TFt =ϕ=α : , se obţine starea de echilibru a cuplei.
Dacă: TFt <ϕ<α : , are loc blocarea cuplei.
CONCLUZIE: Pentru ca mişcarea cuplei să poată avea loc, trebuie ca ( F ) să fie in afara conului de frecare.
3.1.2.2. Frecarea în cupla de rotaţie (fig. 3.15)
Fig.3.15
Cupla de rotaţie se compune din fusul (1) de rază (r) care se poate roti în interiorul cuzinetului (2).
F - forţa de exploatare (sarcină);
N - reacţiunea normală;
În FIG. 3.15 a, fusul se află în poziţia de repaus, deci nu avem frecare. În acest
caz FN = şi trec prin centrul fusului şi cuzinetului.
În FIG. 3.15 b, fusul (1) începe să se rotească – ia naştere forţa de frecare (T ) în sens invers mişcării. Fusul (1) are tendinţa să urce pe peretele cuzinetului (2), astfel încât contactul fus – cuzinet nu va mai fi în punctul (A), unde era iniţial, ci în punctul (B).
)(µ= fAB
Reacţiunea N trece tot timpul prin centrul fusului (O1) şi al cuzinetului (O).
Rezultanta TNR += este tot timpul paralelă, egală şi de sens contrar cu
sarcina ( F ).
ϕ= cosRN , însă R = F, deci ϕ= cosFN
ϕ⋅µ=⋅µ= cosFNT , unde ϕ=µ tg , deci: ϕ= sinFT
Momentul de frecare:
µ⋅⋅=ρ⋅=ϕ⋅⋅=⋅= rFFrFrTM f sin (12)
unde: µ - coeficient de frecare;
ϕ - unghi de frecare;
ρ - raza cercului de frecare;
)sin(sin ϕ≈µµ⋅=ϕ⋅=ρ rr
3.1.2.3. Frecarea în cuplele cu suprafeţe înclinate (fig. 3.16)
02ˆsin2:0 =α
−=Σ NPyi , de unde:
2ˆsin2 α=
PN (13)
Forţa de frecare:
PPNT ⋅µ′=⋅αµ
=⋅µ=2ˆsin
2 (14)
unde: 2ˆsinα
µ=µ′ (coeficient de frecare aparent)
Fig.3.16
3.1.3. Reacţiuni in cuplele cinematice a) Cupla de rotaţie (cupla de clasa a Va) – vezi FIG. 3.17: Transmiterea forţelor de la elementul (i) la elementul (j) – se face prin presiuni
radiale a căror rezultantă ij ji RR −= trece prin centrul articulaţiei având punctul de
aplicaţie necunoscut.
Rezultă două necunoscute scalare: modulul reacţiunii jiR şi punctul ei de
aplicaţie. În FIG. 3.17 b este dată reprezentarea convenţională. b) Cupla de translaţie (cupla de clasa a Va) FIG. 3.18. În FIG. 3.18 a – este reprezentată o cuplă de translaţie.
Fig.3.17
Transmiterea forţelor de la elementul (i) la elementul (j) – se face prin presiuni
perpendiculare pe suprafaţa de contact a căror rezultantă: ij ji RR −= , având punctul
de aplicaţie necunoscut.
Rezultă două necunoscute scalare: modulul reacţiunii jiR şi punctul ei de
aplicaţie ( . )ijhÎn FIG. 3.18 b şi 3.18 c este dată reprezentarea convenţională. c) Cupla superioară (de clasa aIVa) FIG. 3.19: În FIG. 3.19 este reprezentată o cuplă superioară.
Pe direcţia normalei comune (n – n), ia naştere reacţiunea: ij ji RR −= al cărui
punct de aplicaţie este punctul de contact (A).
Rezultă o singură necunoscută scalară: modulul reacţiunii jiR .
Fig.3.18
Fig.3.19
3.1.3.1. Algoritmul de calcul al reacţiunilor din cuplele cinematice
(vezi fig. 3.20)
Fig.3.20
- Se stabilesc mai întâi forţele şi momentele exterioare (sarcinile) care acţionează asupra elementelor cinematice ale mecanismului (forţe şi cupluri motoare, forţe şi cupluri de rezistenţă utilă, forţe de greutate, forţe şi cupluri de inerţie).
- Se împarte mecanismul în grupe cinematice. - Calculul reacţiunilor din cuple începe cu cea mai îndepărtată grupă
cinematică (cu ultima grupă cinematică). - Se introduc în cuple reacţiunile prin componentele lor:
- componenta normală ( nn RR 3212 , ) – paralelă cu axa elementului cinematic (vezi FIG. 3.20);
- componenta tangenţială ( tt RR 3212 , ) – perpendiculară pe axa elementului cinematic (vezi FIG. 3.20).
- Scriem ecuaţiile de echilibru: - ecuaţii vectoriale pentru forţe (care se rezolvă grafo – analitic
construind poligonul forţelor); - ecuaţii de momente faţă de articulaţii (care se rezolvă analitic).
CONCLUZII: 1) O cuplă inferioară (de clasa aVa) introduce două necunoscute scalare şi ca
atare pentru calculul lor este nevoie de două ecuaţii de echilibru. 2) O cuplă superioară (de clasa aIVa) introduce o necunoscută scalară şi
pentru calculul ei este nevoie de o singură ecuaţie de echilibru.
3.1.4. Cinetostatica fără frecare a diadei
Se consideră cunoscute: forţele şi cuplele exterioare, forţele şi cuplele de inerţie,
reduse în raport cu centrul lor de greutate, sub forma torsorilor: ),( 222MFGτ şi
),( 333MFGτ .
Se cer: reacţiunile din cuple, considerându-se că diada este extrasă dintr-un mecanism.
a) Diada de aspect 1 (R.R.R.) – vezi FIG. 3.21 a:
Fig.3.21
Rezolvare: Se execută desenul diadei la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl , introdu-cându-se
forţele şi momentele care acţionează asupra elementelor.
|12tR| şi || 12
tR Determinarea lui
( )
( )3334333343)2(
2221222212)2(
10:0
10:0
hFMl
RhFMlRM
hFMl
RhFMlRM
BC
tBC
tB
AB
tAB
tB
+=⇒=−−⋅=Σ
+=⇒=−−⋅=Σ
Determinarea componentelor normale: || 12nR şi || 12
nR - rezultă din ecuaţia vectorială de echilibru:
0:0)|(|
43433212)|(|
12)3,2( =+++++=Σ
BC
ntt
AB
nj RRFFRRF
Am subliniat cu două linii forţele care sunt cunoscute complet (direcţie, modul şi sens).
Am subliniat cu o linie numai forţele cunoscute numai ca direcţie. Determinarea modulului şi sensului lor va rezulta din poligonul
forţelor. Poligonul forţelor se va construi la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , scară arbitrar aleasă –
vezi FIG. 3.21 b. În ecuaţia vectorială de echilibru ( 0)3,2( =Σ iF ), necunoscutele se scriu la începutul şi sfârşitul ecuaţiei vectoriale.
[ ] [ ][ ] [ ]N)R()R(R;N)R()R(R
N)ed(k|R|;N)ep(k|R|2t
432n
43122t
122n
1212
Fn43fF
n12
+=+=
==
Determinarea reacţiunii din cupla cinematică interioară (B) – rezultă din ecuaţia vectorială de echilibru:
0:0 3221212)2( =+++=Σ RFRRF tn
j
Reacţiunea 32R se va determina complet din polinomul forţelor (vezi FIG. 3.22
a), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF .
[ ]NpckR fF )(|| 32 =
Fig.3.22
Pentru verificare se va determina reacţiunea 32R , rezolvând ecuaţia vectorială de echilibru scrisă pentru elementul cinematic (3):
0:0 2343433)3( =++++=Σ RRRFF nt
j
Din poligonul forţelor (FIG. 3.22 b), rezultă:
== )(|| 23 fF pckR [ ]NR || 32− .
NOTĂ: Dacă din calculul sau din poligonul forţelor vreuna din componentele reacţiunilor rezultă negativă, înseamnă că în realitate ea are sens contrar celui ales iniţial.
b) Diada de aspect 2 (R.R.T.) – vezi FIG. 3.23 a
Rezolvare: Se execută desenul la scara: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl , introducându-se forţele şi
momentele care acţionează asupra elementelor.
Fig.3.23
Determinarea componentei tangenţiale: || 12tR
( )2221222212)2( 10:0 MhF
lRhFMlRM
AB
tAB
tB −⋅=⇒=⋅−+⋅=∑
Determinarea lui || 12nR şi || 43R rezultă din ecuaţia vectorială de echilibru:
0:0)(
433212)|(|
12)3,2( =++++=
∆⊥∑
C
t
AB
nj RFFRRF
Din poligonul forţelor (vezi FIG. 3.23 b), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , rezultă:
[ ] [ ]
[ ]NRRR
NdckRNpdkR
tn
FfFn
212
21212
4312
)()(
)(||;)(||
+=
==
|43R| Determinarea punctului de aplicaţie (h43) a reacţiunii
( )3343
43334343)3( 10:0 MlF
RhMlFhRM BCBCB +=⇒=−−=∑
Determinarea reacţiunii din cupla interioară (B)
0:0 3221212)2( =+++=∑ RFRRF tn
j
Reacţiunea 32R se va determina complet din poligonul forţelor (vezi FIG. 3.23 c).
[ ]NpckR fFn )(|| 32 =
c) Diada de aspect 3 (R.T.R.) – vezi FIG. 3.24 a
Rezolvare: Se execută desenul diadei la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl , introducându-se
forţele şi momentele care acţionează asupra elementelor.
Determinarea componentei tangenţiale: || 12tR
( ) [ ]NMhFMhFh
R
MhFMhFhRMC
2223331
12
333222112)3,2(
10:0
−++=
=−−+−=∑
Determinarea reacţinii || 32R şi a componentei || 12nR
)(32212
)|(|12
)2( :0AB
t
AB
nj RFRRF
⊥
+++=∑ (vezi FIG. 3.24 b)
Reacţiunile: nR12 şi 32R se vor determina complect din poligonul forţelor,
construit la scara: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF .
[ ] [ ][ ]NRRR
NcbkRRNpckRtn
FFFn
212
21212
233212
)()(
)(||||;)(||
+=
=−==
Fig.3.24
|43R| : rezultă din ecuaţia vectorială de echilibru: Determinarea reacţiunii
0:0 43223)3( =++=∑ RFRFj
Reacţiunea 43R , se va determina complet din poligonul forţelor (vezi FIG. 3.24
c) construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF .
[ ]NpbkR FF )(|| 43 =
|32R| : Determinarea punctului de aplicaţie (h32) a reacţiunii
( )22232
322223232)2( 10:0 hFM
RhhFMhRM A ′⋅+=⇒=′⋅−−⋅=∑
d) Diada de aspect 4 (T.R.T.) – vezi FIG. 3.25 a.
Rezolvare: Se execută desenul diadei la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl , introducându-se
forţele şi momentele care acţionează asupra elementelor.
Fig.3.25
|12R| şi || 43R : Determinarea reacţiunilor
0:0)(
4332)(
12)3,2( =+++=
∆⊥∆⊥∑
CAj RFFRF
Modulul reacţiunilor || 12R şi || 43R se va determina din poligonul forţelor (vezi
FIG. 3.25 b), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF .
[ ] [ ]NcbkRNpckR FFF )(||;)(|| 4312 ==
|12R| : Determinarea punctului de aplicaţie (h12) a reacţiunii
( )22212
122221212)2( 10:0 hFM
RhMhFhRM B ⋅+=⇒=−′⋅+⋅=∑
|43R| : Determinarea punctului de aplicaţie (h43) a reacţiunii
( )33343
433334343)3( 10:0 hFM
RhMhFhRM B ⋅−=⇒=−⋅+⋅=∑
|32R| : rezultă din ecuaţia vectorială de echilibru: Determinarea reacţiunii
0:0 32212)2( =++=∑ RFRFj
Reacţiunea 32R , se va determina complet din poligonul forţelor (vezi FIG. 3.25 c).
[ ]NpbkR FF )(|| 32 =
e) Diada de aspect 5 (R.T.T) – vezi FIG. 3.26 a
Rezolvare: Se execută desenul diadei la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl , introducându-se
forţele şi momentele care acţionează asupra elementelor.
|43R| şi || 23R : Determinarea reacţiunilor
0:0)(
233)(
43)3( =++=
∆⊥∆⊥∑
BCj RFRF
Reacţiunile || 43R şi || 23R se vor determina complet din poligonul forţelor (vezi
FIG. 3.26 b), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF .
[ ] [ ]NpbkRNbakRR FFF )(||;)(|||| 433223 ==−=
|12R| rezultă din ecuaţia vectorială de echilibru: Determinarea reacţiunii
0:0 12232)2( =++=∑ RFRFj
Reacţiunea || 12R se va determina complet din poligonul forţelor (vezi FIG. 3.26
c), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF .
[ ]NpbkR FF )(|| 12 =
Fig.3.26
32R şi 43R : Determinarea punctelor de aplicaţie (h23) şi (h43) ale reacţiunilor
( )
( )22233343
43
2223334343)3,2(
22232
232222332)2(
10:0
10:0
MhFMhFR
h
MhFMhFhRM
MhFR
hMhFhRM
A
A
−⋅−+⋅=⇒
=+⋅+−⋅−⋅=
−⋅−=⇒=+⋅+⋅=
∑
∑
3.1.5. Cinetostatica cu frecare Problema calculului forţelor de frecare şi a momentelor de frecare este o
problemă static nedeterminată – deoarece ele se determină în funcţie de reacţiunile din cuple.
Pentru rezolvarea problemei se foloseşte metoda aproximaţiilor succesive care constă în:
a) Se determină reacţiunile din cuplele cinematice neglijând frecările (Aceste
reacţiuni se notează cu cifra zero, exemplu: ). 0ijR
b) Se calculează: - momentele de frecare din cuplele de rotaţie:
01ijf RrkM
ij⋅⋅µ⋅= (15)
unde: 57,1=k la fusuri nerodate;
27,1=k la fusuri rodate;
µ - coeficient de frecare;
r - raza fusului;
- reacţiunea fără frecare dintre elementul (i) şi elementul (j). 0ijR
- forţele de frecare din cuplele de translaţie:
01ijf RF
ij⋅µ= (16)
Aceste mărimi: ( ) şi ( ) se introduc pe desenul mecanismului în cuplele
cinematice respective, astfel: momentul de frecare ( ) în sens contrar vitezei
unghiulare relative
1ijfM 1
ijfF1
ijfM
ijji ω−ω=ω , iar forţa de frecare ( ) în sens contrar vitezei
liniare
1ijfF
jiij vvv −= .
NOTĂ: În relaţiile (15) şi (16), indicele ,,1” – indică prima treaptă de aproximaţie. c) Se recalculează reacţiunile din cuplele cinematice (după ce au fost introduse
( ) şi ( ) în cuplele cinematice), se obţine ( ). 1ijfM 1
ijfF 1ijR
d) Cu noile valori ale reacţiunilor ( ) se recalculează : 1ijR
12ijf RrkM
ij⋅⋅µ⋅= (17)
12ijf RF
ij⋅µ= (18)
Aceste mărimi: ( ) şi ( ) se introduc pe desenul mecanismului în cuplele
cinematice astfel: momentul de frecare ( ) în sens contrar lui ( ), iar forţa de
frecare ( ) în sens contrar lui ( ).
2ijfM 2
ijfF2ijfM jiω
2ijfF ijv
NOTĂ: În relaţiile (17) şi (18), indicele ,,2” – indică a doua treaptă de aproximaţie. e) Se recalculează reacţiunile din cuplele cinematice (după ce au fost introduse
( ) şi ( ) în cuplele cinematice), se obţine ( ). 2ijfM 2
ijfF 2ijR
NOTĂ: Calculul cinetostatic cu frecare foloseşte de regulă două trepte de aproximaţie – rezultatul din a doua treaptă de aproximaţie fiind suficient de exact.
Exemplu: La diada de aspect 1 (R.R.R) – vezi FIG. 3.27.
Fig.3.27
1) Se consideră că în cuplele A, B, C nu există frecare. Se determină reacţiunile din cuple (aşa cum am făcut în capitolul 3.1.4 punctul a), rezultând reacţiunile:
[ ]NRRRRRR tntn 243
243
043
212
212
012 )()(;)()( +=+=
[ ]NpckRR FF )(023
032 =−= - vezi FIG. 3.22 a şi b
||,|| 4312nn RR - determinate din poligonul forţelor – vezi FIG. 3.21 b.
[ ] [ ]NedkRNpekR Fn
FFn )(;)( 4312 ==
2) Se calculează momentele de frecare din cuple:
032
1043
1012
1 ;; RrkMRrkMRrkM BfCfAf BCA⋅⋅µ⋅=⋅⋅µ⋅=⋅⋅µ⋅=
unde: - razele fusurilor din A, B, C. CBA rrr ,, Sensul momentelor de frecare este determinat de sensul vitezelor relative unghiulare dintre elemente.
De exemplu, dacă 1221 ω−ω=ω roteşte în sens orar, atunci 1AfM va roti în
sens trigonometric.
Analog, dacă 323223 ω−=ω−ω=ω roteşte în sens trigonometric, atunci
va roti în sens orar, iar 1BfM 1
CfM va acţiona în sens invers lui . 34ω
3) Se reface calculul, determinând componentele tangenţiale din prima treaptă de
aproximaţie: || 112tR şi || 1
43tR - vezi FIG. 3.28 a.
( )11222
112
11222
112
2
1
0:0
BA
BA
ffAB
t
ffABt
B
MMMhFl
R
MMMhFlRM
−++=
⇒=−+++⋅−=∑
( )1133343
1133343
)3(
1
0:0
1
1
CB
CB
ffBC
t
ffBCt
B
MMMhFl
R
MMMhFlRM
+−+=
⇒=−+−−⋅=∑
4) Pentru determinarea lui || 112
nR şi || 143nR , scriem ecuaţia vectorială de echilibru:
0)3,2( =∑ jF
0RRFFRR)BC|(|
n143
t14332
t112
)AB|(|
n112 =+++++
Fig.3.28
Din polinomul forţelor (vezi FIG. 3.28 b), construind la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , rezultă:
[ ] [ ][ ]NRRRRRR
NedkRNpekRtntn
Fn
FFn
2143
2143
143
2112
2112
112
143
112
)()(;)()(
)(||;)(||
+=+=
==
5) Pentru determinarea reacţiunii || 132R din cupla interioară B: 0)2( =∑ jF
01322
112
112 =+++ RFRR tn
Din polinomul forţelor (vezi FIG. 3.28 c), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , rezultă:
[ ]NpckRR FF )(|||| 123
132 =−=
6) Se calculează momentele de frecare – pentru a se face a doua treaptă de aproximaţie.
143
2112
2112
2 ;; RrkMRrkMRrkM CfBfAf CBA⋅⋅µ⋅=⋅⋅µ⋅=⋅⋅µ⋅=
Aceste momente de frecare au sens invers sensului vitezelor unghiulare ale elementelor cinematice – vezi FIG. 3.29 a.
7) Se calculează componentele tangenţiale || 212
tR şi || 243
tR :
( )22222
212
22222
212
)2(
1
0:0
BA
BA
ffAB
t
ffABt
B
MMMhFl
R
MMMhFlRM
−++=
⇒=−+++⋅−=∑
( )22333
243
22333
243
)3(
1
0:0
CB
CB
ffBC
t
ffBCt
B
MMMhFl
R
MMMhFlRM
+−+=
⇒=−+−−⋅=∑
8) Pentru determinarea componentelor || 212
nR şi || 243
nR , scriem ecuaţia de
echilibru: 0)3,2( =∑ jF
0)|(|
243
24332
212
)|(|
212 =+++++
BC
ntt
AB
n RRFFRR
Din polinomul forţelor (vezi FIG. 3.29 c), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , rezultă:
[ ] [ ][ ]NRRRRRR
NedkRNpekRtntn
Fn
FFn
2243
2243
243
2212
2212
212
243
212
)()(;)()(
)(||;)(||
+=+=
==
Fig3.29
9) Pentru determinarea reacţiunii || 232R din cupla interioară B: 0)2( =∑ jF
02322
212
212 =+++ RFRR tn
Din polinomul forţelor (vezi FIG. 3.28 c), construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , rezultă:
[ ]NpckRR FF )(|||| 223
232 =−=
OBSERVAŢII: În calculul cinetostatic al mecanismelor se pot întâlni câteva situaţii particulare: a) Element neâncărcat cu forţe exterioare – vezi FIG. 3.30
Fig.3.30
În acest caz, forţele de legătură (reacţiunile) date de elementul anterior şi cel care urmează sunt egale şi de sens contrar.
În FIG. 3.30 a: 3212 RR −= şi au direcţia elementului (AB).
În FIG. 3.30 b, reacţiunea 23R este perpendiculară pe direcţia ghidajului )( B∆
şi 03R are punctul de aplicaţie în B, ( 0323 RR −= ).
b) Mecanisme ce au cuple superioare – vezi FIG. 3.31 În asemenea situaţii se construieşte mecanismul echivalent care are în
componenţa sa numai cuple inferioare de clasa a V-a. Astfel, în cazul din FIG. 3.31, cupla superioară (D) se înlocuieşte prin elementul
cinematic binar (4) având direcţia normalei comune (n - n) la cele două curbe care formează cupla superioară şi cuplele (A) şi (B) amplasate în centrele de curbură ale profilelor în punctul de contact (
32; DD CBCA ≡≡ ). Întrucât elementul înlocuitor
(4) este un element convenţional, el nu poate fi încărcat. Deci, 3424 RR −= acţionează pe direcţia (AB) şi reprezintă reacţiunea din cupla superioară.
Fig.3.31
b) Mecanisme ce au cuple de translaţie cu ghidaj mobil (cuplă de rotaţie suprapusă peste cuplă de translatie) – vezi FIG. 3.32 b.
Dacă dimensiunile pietrei de culisă (2) sunt mai mici, atunci torsorul forţelor de
inerţie se reduce numai la forţa de inerţie G
F1
Fig.3.32
În FIG. 3.32 b cuplele din A s-au desenat separat pentru a se asigura scrierea corectă a ecuaţiei vectoriale de echilibru a forţelor:
0:0 32112)3,2( =++=∑ RFRF
Gj
3.1.6. Determinarea reacţiunilor din cuple folosind metode analitice
A) METODA SOLIDIFICĂRII ŞI A ECHILIBRULUI PĂRŢILOR – din mecanică Teorema solidificării: Dacă fiecare solid dintr-un sistem este în echilibru, atunci şi
sistemul în ansamblu este în echilibru. Teorema echilibrului părţilor: Dacă un sistem de solide rigide este în echilibru,
atunci orice subsistem al său este în echilibru, dacă pe lângă forţele exterioare (sarcini) ce solicită subsistemul se introduc şi forţele de legătură (reacţiunile).
Metoda constă în introducerea reacţiunilor prin componentele lor şi calculul lor din ecuaţii de proiecţii pe axe şi de momente faţă de unele puncte (articulaţii, centre de masă).
Calculul reacţiunilor se începe tot cu ultima grupă cinematică. Exemplu: Să luăm o grupă cinematică (diada de aspect II) – considerând că ea
este ultima grupă a mecanismului – vezi FIG. 3.33.
Fig.3.33
Se cunosc: 232
,,,,, 32 iii MGGFFF
Se cer reacţiunile: ?,?,? === RRR CB
Rezolvare: Pentru cupla din B (vezi FIG. 3.33), se scriu: ecuaţiile de momente faţă de (C) şi
ecuaţiile de proiecţii pe axa (Ox):
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑
∑
0
0)3,2(
2
x
C
F
M
Acest sistem se scrie în mod explicit:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+++
=+++×++×
0
0)()(
2
2
52
2222
iB
iBB
Fxxx
MGyxCCyxCB
Din a doua ecuaţie a sistemului, rezultă || Bx .
Din prima ecuaţie a sistemului, rezultă || By .
Reacţiunea din (B): 22 )()( BBB yxR += .
Pentru cupla de rotaţie din (C) – vezi FIG. 3.34.
Fig.3.34
Se scriu ecuaţia de proiecţii pe axe (Ox) şi ecuaţia de momente faţă de (B):
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑
∑
0
0)2(
)3(
B
x
M
F
Acest sistem scris în mod explicit:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+++×++×
=++
0)()(
0
2
3
2222 iCC
iC
MGyxBCyxBC
FFx
Din prima ecuaţie a sistemului, rezultă || Cx .
Din a doua ecuaţie a sistemului, rezultă || Cy .
22 )()( CCC yxR +=
Pentru cupla de translaţie din (C) – vezi FIG. 3.35.
Pentru determinarea reacţiunii || R , este suficient să scriem ecuaţia de momente faţă de (B):
0)32( =∑ +BM
( ) ( ) 023 22223 =+++×++++× ii MGyxBCFFGRBC
Din ecuaţia vectorială de echilibru de mai sus, rezultă || R .
Fig.3.35
B. METODA NUMERELOR COMPLEXE Forţele şi cuplurile de inerţie ce acţionează asupra elementelor cinematice se pot
determina uşor, dacă în prealabil au fost determinate acceleraţiile şi acceleraţiile unghiulare.
Pentru uşurarea prezentării metodei, se va exemplifica pe mecanismul patrulater articulat din FIG. 3.36 cum pot fi determinate forţele de legătură (reacţiunile) din cuplele cinematice.
Fig.3.36
La mecanismul patrulater din FIG. 3.36 se consideră cunoscute viteza unghiulară
1ω şi momentul de torsiune 1tM la elementul conducător (1) ; acceleraţiile
centrelor de greutate 321
,, GGG aaa ;
acceleraţiile unghiulare 321 ,, εεε ; forţele de inerţie 321
,, iii FFF , plasate însă nu
în centrele de greutate ale elementelor ci în centrele de oscilaţie 321 ,, KKK , pentru a lua în considerare şi efectul cuplului de inerţie.
Pentru simplificare, se va considera mai întâi efectul forţei de inerţie 2iF (ca în
FIG. 3.37) şi se vor determina reacţiunile din cuplele cinematice ce rezultă sub efectul acesteia.
Fig.3.37
Aplicând principiul suprapunerii efectelor, se pot determina şi influenţele forţelor
de inerţie, considerând pe rând mecanismul cu 21
, ii FF şi însumând apoi efectele.
Considerând deci o încărcare ca cea din FIG. 3.37 (numai cu o forţă de inerţie
2iF -cunoscuta, unde forţa de inerţie este deplasată cu distanta e2 faţă de linia de
acţiune a lui 2Ga pentru a cuprinde şi efectul cuplului de inerţie corespunzător, cu:
2222 iFJe ε⋅= & (19)
unde - momentul de inerţie masic al elementului (2). 2J&
Analiza cinetostatică se începe de la elementul condus final (3) spre elementul conducător (1) şi de desfac legăturile (cupele cinematice) introducând în ele reacţiunile ca în FIG. 3.38.
Mărimea forţei de inerţie 2iF este:
)(2
222
π+β⋅⋅= iGi eamF (20)
unde: - arată că sensul forţei de inerţie este opus lui )( 2 π+β2Ga iar m2
este masa elementului (2).
Fig.3.38
În mod convenţional poziţia forţei 2iF a fost exprimată prin distanţa l2 (l2 = AK2 ,
K2 – centrul de oscilaţie).
)sin(:
)sin(
22
222
22
22
22
2
θ+β
ε⋅+=
θ+β+=
iG
G
FJrl
erl
&sau
(21)
Reacţiunile 1223322112 ,, RRRRR == şi 03R sunt necunoscute atât ca mărime cât şi ca direcţie. Ecuaţia de echilibru pentru forţe, scrisă pentru elementul cinematic (2) este:
0
0
22
2
2
32)(
12
3212
=⋅+⋅+⋅
=++
θπ+βγ⋅ iii
i
i
eReFeR
RFR (22)
Separând părţile reale şi imaginare din ecuaţia (4) rezultă:
0sin)sin(sin:)(
0cos)cos(cos:)(
3322212
3322212
2
2
=θ⋅+π+β⋅+γ⋅
=θ⋅+π+β⋅+γ⋅
RFRI
RFRR
i
i (23)
În ecuaţia (23) sunt 3 necunoscute mărimile reacţiunilor 12R şi 32R şi unghiul
. Direcţia lui 2γ 32R este cunoscută, deoarece elementul (3) este numai sub acţiunea
forţei 2iF .
Pentru a determina cele trei necunoscute din ecuaţia (23) este necesară încă o ecuaţie suplimentară. Această ecuaţie este cea de momente în raport cu punctul A sau B. Scriind ecuaţia de momente în raport cu punctul A, se obţine:
)sin(r)sin(lFR
0)sin(lF)sin(rR
232
222i32
222i23232
2
2
sauθ−θ⋅θ−β⋅
=
=θ−β⋅⋅−θ−θ⋅⋅ (24)
După calculul lui 32R cu ecuaţia (24), din ecuaţiile (23) se determină
componenta reală şi imaginară a reacţiunii 12R :
)sin(sinsin:)(
)cos(coscos:)(
233221212
233221212
2
2
π+β⋅−θ⋅−=γ⋅=
π+β⋅−θ⋅−=γ⋅=
i
i
FRRRI
FRRRR (25)
Mărimea rezultantei 12R este:
212
21212 )()( RIRRR ⋅+⋅= (26)
iar direcţia reacţiunii 12R este:
12
122 RR
RI⋅⋅
=γ (27)
Pentru elementul (3) din FIG. 3.38 este de observat că reacţiunea din articulaţia
)( 03RC este egală cu 32R , deoarece în acest element acţionează numai cele două
forţe: 3203 RR = .
În mod similar: 1201 RR = .
Notând cu eM momentul de echilibrare corespunzător elementului conducător (1), acesta are valoarea:
)sin( 2112 γ−θ⋅−= RMe (28)
Calculele anterioare au avut ca scop determinarea reacţiunilor din cuplele cinematice ale mecanismului sub acţiunea efectului inerţiei din elementul cinematic (2). În mod asemănător se poate lua în considerare mecanismul numai sub acţiunea
forţei de inerţie 3iF şi se pot determina reacţiunile din cuplele corespunzătoare
acesteia. Reacţiunile rezultate din fiecare cuplă se obţine pe baza principiului suprapunerii efectelor, însumând separat partea reală şi imaginară a componentelor calculate, de exemplu pentru cupla ∑ ⋅ 12: RRA şi ∑ ⋅ 12RI , având rezultanta:
( ) ( )2122
1212' ∑∑ ⋅+⋅= RIRRR (29)
iar poziţia rezultantei prin unghiul
∑∑
⋅⋅
=γ12
12'RRRI
(30)
Concluzia este că metoda numerelor complexe poate fi utilizată şi la determinarea reacţiunilor din cuplele cinematice ale mecanismelor, principiile fiind aceleaşi ca la calculul ,,clasic” care utilizează ecuaţiile de echilibru pentru forţe şi momente. Numai modul de rezolvare a acestor ecuaţii foloseşte scrierea vectorială sub formă complexă.
3.1.7. Cinetostatica elementului cinematic final
Elementul cinematic final este acel element component al mecanismului asupra
căruia acţionează forţa de echilibru ( eF ) sau cuplul de echilibru ( eM ) care sunt necunoscute. Elementul cinematic final poate fi:
a) Element conducător – când se cunoaşte forţa rezistentă ( rF ) sau cuplul
rezistent ( rM ). În această situaţie forţa de echilibru ( eF ) este forţă motoare. Exemplu la maşinile unelte.
b) Element condus – când se cunoaşte forţa motoare ( mF ) sau cuplul motor
( mM ). În această situaţie forţa de echilibru ( eF ) este forţă rezistentă. Exemplu la motoarele cu ardere internă.
Forţa de echilibru ( eF ) sau cuplul de echilibru ( eM ) sunt mărimi fictive care realizează echilibrul cinetostatic al mecanismului în fiecare moment al ciclului energetic.
În mărimea lor sunt incluse forţele exterioare aplicate (forţa motoare, cuplul motor, forţele şi cuplurile rezistente, forţa de greutate) şi forţele şi cuplurile de inerţie.
Drept consecinţă ( eF ) şi ( eM ) sunt mărimi variabile cu poziţia mecanismului, putând fi pozitive sau negative.
OBSERVAŢII:
1) Suportul forţei de echilibru ( eF ) se alege arbitrar şi este de regulă perpendicular pe manivelă (la elementele cinematice finale rotative) sau paralel cu direcţia ghidajului (la elemente cinematice finale de translaţie cu ghidaj fix).
2) Forţa de echilibru ( eF ) nu trebuie confundată cu forţa motoare necesară acţionării maşinii în regim dinamic, deoarece valorile lor pot diferi foarte mult în funcţie de gradul de neuniformitate al mişcării elementului conducător.
Pe baza valorilor lui ( eF ) sau ( eM ) – rezultate din calculul cinetostatic efectuat pentru un număr de poziţii ale elementului conducător – se pot trasa diagramele lor de variaţie care servesc:
- la identificarea valorilor minime ale forţei sau cuplului de echilibru (atunci turaţia maşinii tinde să crească, apreciindu-se dacă este necesară sau nu montarea unui volant)
- la identificarea valorilor maxime ale forţei sau cuplului de echilibru în momentele când maşina se supraîncarcă, deoarece cuplul rezistent capătă valori superioare cuplului motor al maşinii.
- 3.1.7.1. Element cinematic final legat cu
cuplă de rotaţie
a) Determinarea lui eF – vezi FIG. 3.39.
Se cunoaşte: ,,),(,, 1210GMFRl
GGG iiiAA τ deasemeni se cunoaşte că
suportul forţei de echilibru ( eF ) este perpendicular pe (A0A) şi are punctul de aplicaţie în (E) – arbitrar ales.
Se cere: ?|| =eF ?|| 01 =R
Fig.3.39
Rezolvare:
- Se construieste la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
mkl elementul cinematic.
( )1112110
1102121
1
0:00
hGhRMhFEA
F
hGEAFhRMhFM
GG
GG
iie
eiiiA
⋅−⋅++⋅=⇒
=⋅−⋅−⋅++⋅=∑
Dacă din calcul rezultă că forţei de echilibru ( eF ) este pozitivă, atunci ea are
sensul lui 1ω şi ea reprezintă o forţă motoare instantanee.
Dacă din calcul rezultă că forţei de echilibru ( eF ) este negativă, atunci ea are
sens contrar lui 1ω şi ea reprezintă o forţă rezistentă instantanee.
Reacţiunea ( 01R ) se determină scriind ecuaţia vectorială de echilibru pentru forţe:
001121 =++++ RGFFRGie
Din poligonul forţelor – vezi FIG. 3.39 b, rezultă:
[ ]NpdkR FF )(|| 01 =
b) Determinarea lui eM – vezi FIG. 3.40.
Fig3.40
Se cunosc 121 ,),(,,0
GMFRGGG iiiAA τl
Se cer ?|| =eM ?|| 01 =R
Rezolvare:
112121
112121 0:00
hGMhFhRM
hGMhFMhRM
GG
GG
iiie
iiieA
⋅−+⋅+⋅=⇒
=⋅−+⋅+−⋅=∑
Pentru determinarea reacţiunii || 01R scriem ecuaţia vectorială de echilibru pentru forţe:
001121 =+++ RGFRGi
Din poligonul forţelor – vezi FIG. 3.40 b, construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF rezultă:
[ ]NpdkR FF )(|| 01 =
CAZURI PARTICULARE 1) Element conducător echilibrat (centrul de greutate G1 se află în articulaţia fixă
A0) care se roteşte cu viteza unghiulară .1 ct=ω (vezi FIG. 3.41 a).
Fig.3.41
În această situaţie torsorul 0=τGi , iar forţa de echilibru se determină din
ecuaţia vectorială de echilibru:
0')0()0|(|
0121 =++⊥ AA
eCA
FRR , unde: 01101' RGR +=
Întrucât asupra elementului cinematic acţionează trei forţe coplanare, pentru echilibru trebuie ca ele să fie concurente în (C).
Din poligonul forţelor – vezi FIG. 3.41 b, construit la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF rezultă:
[NcakF Fe )(|| = ] şi [ ]NpdkR FF )(|| 01 = .
În cazul când se determină cuplul de echilibru ( eM ) – vezi FIG. 3.42.
Fig.3.42
01101
2121e
e2121
A
RG'R
hRM0MhR
0M0
+=
⋅==−⋅
=∑
2101
0121
j
R'R
0'RR
0F
−=⇒
=+
=∑
[ ]N)aA(k|'R| 0F01 =
2) Element condus echilibrat ( nGB ≡0 ) care se roteşte cu viteza unghiulară
.ctn ≠ω - vezi FIG. 3.43 a.
În acest caz torsorul de inerţie este constituit numai din nGiM , iar forţa de
echilibru ( eF ) sau cuplul de echilibru ( eM ) reprezintă forţa rezistentă care acţionează asupra elementului condus (n).
Din ecuaţia de momente:
0:0 1,1,0)(
0=⋅−+⋅= −−∑ nnnnie
nB hRMEBFM
nG
şi ecuaţia vectorială de echilibru a forţelor:
0:0 01, =+++= −∑ nennnnj RFGRF
rezultă: ( )nGinnnne MhR
EBF −⋅= −− 1,1,
0
1
Fig.3.43
Reacţiunea || 0nR , rezultă din poligonul forţelor – vezi FIG. 3.43 b, construit la
scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF :
[ ]NpckR FFn )(|| 0 = .
3.1.7.2 Element cinematic final cu cuplă de
translaţie – vezi fig. 3.44 a
,,, 121 GFR GiSe cunosc cunoaştem că 01R este perpendicular pe ( 0∆ ) iar
eF este paralel cu ( ). 0∆
?||,?| 01 == RFe| , punctul de aplicaţie ?01 =h . Se cer
Rezolvare: Forţa de echilibru rezultă din rezolvarea grafică a ecuaţiei vectoriale de echilibru,
construind poligonul forţelor – vezi FIG. 3.44 b.
Fig.3.44
)(||0)(
01211)(| 00|
FFeie pdkFRFRGF G =⇒=++++∆⊥∆
şi [ ]NdckR F )(|| 01 =
( )1101
01
110101
10:0
hGhFhFR
h
hFhFhGhRM
eeii
eeiiA
G
G
⋅−⋅+⋅=
⇒=⋅−⋅−⋅+⋅=∑
3.1.8. Calculul forţei de echilibru prin metoda Jukovski
Calculul cinetostatic al forţei de echilibru prezentat până acum prezintă avantaje
şi dezavantaje. Avantaje: Determinarea tuturor reacţiunilor din cuple care servesc mai departe la
calculul de rezistenţă al elementelor şi cuplelor cinematice. Dezavantaje: Calculul laborios şi scăderea preciziei calculului – datorită
acumulării erorilor pe care le introduce calculul grafic. Aceste dezavantaje pot fi eliminate dacă se utilizează metoda JUKOVSKI. Această metodă se bazează pe principiul puterilor virtuale, a cărei aplicaţie
conduce la obţinerea unei singure ecuaţii scalare din care rezultă direct forţa de echilibru a elementului cinematic final.
Folosind această metodă nu mai este necesar ca în prealabil să determinăm reacţiunile din cuple.
Principiul puterilor virtuale: Suma puterilor virtuale instantanee într-un sistem aflat în echilibru dinamic este nulă.
011
=ω⋅+⋅ ∑∑==
m
jjj
n
kkk MVF (31)
În cazul mecanismelor plane ecuaţia (19) devine:
0coscos11
=β⋅ω⋅+α⋅⋅ ∑∑==
jm
jjj
n
kkkk MVF (32)
unde: kF - forţa care acţionează asupra elementului (k) - vezi FIG. 3.45 a
kV - viteza punctului de aplicaţie al forţei kF ;
- unghiul dintre sensul forţei kα kF şi sensul vitezei corespunzătoa-
re kV - vezi FIG. 3.45 a;
jM - momentul cuplului aplicat elementului cinetic ( j ) – vezi
FIG. 3.45 a;
jω - viteza unghiulară a elementului ( j );
jβ - unghiul dintre sensul momentului jM şi sensul vitezei
unghiulare jω .
3.1.8.1. Algoritmul de calcul al forţei de echilibru prin metoda jukovski (vezi fig. 3.45 a şi b)
a) Vitezele se rotesc cu în sens arbitrar (în FIG. 3.45 b planul vitezelor este rotit în două sensuri).
o90
Fig.3.45
b) În vârful vectorilor viteză (exemplu în vârful vectorului viteză kV , în puntul k) se
transpun forţele exterioare ( kF ) şi cuplurile exterioare în acelaşi sens (ca
în FIG. 3.45 b) sau în sens contrar (ca în FIG. 3.45 b jos).
'jM
ABabMM jj
)('=
c) Se introduce în planul vitezelor rotit cu - vezi FIG. 3.45 b, forţa de echilibru o90)( eF perpendiculară pe viteza )( apV sau cuplul de echilibru necunoscut 'eM .
d) Se rezolvă ecuaţia de momente scrisă în raport cu polul vitezelor ,
rezultând forţa de echilibru
)( Vp)( eF .
Dacă în relaţia (32) se introduc următoarele notaţii:
ABabk
ABVhkhhV VBA
jkVkkkk)(;)(;cos ==ω==α
o0=β j sau o180rezultă relaţia (33):
0)()(11
=⋅+⋅ ∑∑== AB
abkMhkF Vm
jj
n
kVVk (33)
Dacă împărţim relaţia (33) cu , obţinem: )( Vk
0')(11
=+⋅ ∑∑==
m
jj
n
kkk MhF (34)
unde ABabMM jj
)('= .
Relaţia (34) a fost interpretată de savantul rus JUKOVSKI drept ecuaţia de
echilibru a planului vitezelor rabătut cu - considerat ca o pârghie cu punct fix (polul vitezelor) asupra căreia acţionează forţele exterioare şi momentele exterioare.
o90
Echilibrul acestei pârghii este realizat de forţa de echilibru )( eF sau cuplul de
echilibru )( eM - care acţionează asupra elementului cinematic final.
Scriind ecuaţiile:
0')(:0
0')(:0
1
11
11
=′−+⋅=
=−+⋅=
∑∑∑
∑∑∑
−
==
==
em
jj
n
kkkp
eem
jj
n
kkkp
MMhFM
hFMhFM
V
V
unde AAapMM V
ee0
)('=
rezultă: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅= ∑∑
==
m
jj
n
kkk
ee MhF
hF
11')(1
(35)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅= ∑∑
−
==
1
11
0 ')()(
m
jj
n
kkk
Ve MhF
apAAM (36)
NOTĂ: metoda JUKOVSKI se aplică atunci când: - este necesară verificarea corectitudinii calculului cinetostastic.
- se doreşte determinarea forţei de echilibru )( eF pentru o poziţie oarecare ,, j
” a mecanismului, se poate calcula puterea instantanee şi puterea
efectivă :
)( jP)(
efjP
[ ] [kWVFCPVFVFP AeAeAej 10275
]⋅=
⋅=⋅= (37)
m
jj
PP
ef η= (38)
Cunoscând puterile instantanee ale mecanismului pentru diverse poziţii ocupate în timpul ciclului energetic, se poate trasa diagrama acestor puteri (vezi FIG. 3.46).
Fig.3.46
Diagrama de mai sus (FIG. 3.46) serveşte pentru: - calculul puterii medii:
∫φ
ϕφ
=E
dPP jE
m0
1 (39)
- alegerea motorului de antrenare a mecanismului. -
3.2. Echilibrarea maselor mecanismului
În timpul funcţionării mecanismului, datorită maselor aflate în mişcare iau naştere forţe de inerţie.
Forţele de inerţie – produc solicitări suplimentare în elementele şi cuplele cinematice.
Deoarece forţele de inerţie variază în timp ele produc vibraţii. Aceste vibraţii sunt deosebit de periculoase în situaţia în care frecvenţa lor de
oscilaţie devine egală cu frecvenţa de oscilaţie a elementelor cinematice ale mecanismului.
În această situaţie este posibilă apariţia fenomenului de rezonanţă – fenomen care duce la distrugerea maşinii sau mecanismului.
Înlăturarea forţelor de inerţie este practic imposibilă – deoarece nu se pot construi elemente cinematice fără masă.
Însă efectul lor poate fi anihilat prin introducerea sau scoaterea de mase adiţionale (contragreutăţi) din masa totală a elementului cinematic.
Această operaţie de scoatere sau introducere de mase adiţionale din masa totală a elementului cinematic se numeşte echilibrare.
Un sistem mecanic este complet echilibrat dacă torsorul forţelor de inerţie este
nul: 0=τi .
adică ⎪⎩
⎪⎨⎧
=ε⋅−=
=⋅−=τ
0
0
iGi
Gii
i
i
JM
amF
& (40)
Dacă 0=iF iar 0≠iM , se realizează o echilibrare statică.
Dacă 0=iF şir 0=iM , se realizează o echilibrare dinamică.
Problemele pe care le vom aborda în acest subcapitol se referă la: - echilibrarea rotoarelor; - echilibrarea mecanismelor cu bare.
Echilibrarea implică parcurgerea a două etape: Etapa Ia constă în calculul teoretic al repartiţiei maselor. Etapa IIa constă în corectarea echilibrării cu ajutorul maşinilor de echilibrat, deoarece la execuţie sau la montaj apar cauze suplimentare de dezechilibrare.
3.2.1. Cazuri practice de dezechilibrare
a) Dezechilibrarea statică
Exemplu: cazul unui rotor – vezi FIG. 3.47.
Fig.3.47
002
=≠ω⋅⋅−=⋅−=
i
GGi
MamamF
Centrul de greutate ,,C ” nu se află pe axa (OO’) ci pe axa (O1O1’).
Apar în lagăre reacţiuni suplimentare: 21iFR =
CAUZE: uzinarea greşită (prelucrare asimetrică). ECHILIBRAREA: se face prin adăugarea a două mase adiţionale (me), care să aducă centrul de greutate G pe axa (OO’).
b) Dezechilibrarea dinamică Exemplu cazul rotorului din FIG. 3.48.
Fig.3.48
00≠=
i
i
MF
Centrul de greutate ,,C ” se află pe axa (OO’), iar axa de simetrie (O1O1’) (OO’). ≠
În lagăre apar reacţiuni suplimentare: l
MR i=′
CAUZE: neuniformitatea la turnare a roţilor, găuri ovale, găuri necoaxiale. ECHILIBRAREA se face prin adăugarea unei mase adiţionale (me) în stânga
sau în dreapta - care să producă o forţă de echilibrare eF , al cărui moment eFM să
fie egal cu )( iFi MMMe= .
c) Dezechilibrarea statică şi dinamică Exemplu cazul rotorului din FIG. 3.49.
Fig.3.49
Centrul de greutate ,,C ” nu se află pe axa de rotaţie (OO’), iar axa (O1O1’) (OO’). ≠
00
≠≠″−′=
i
iii
MFFF
CAUZE: prelucrarea asi-metrică şi neuniformitatea la turnare.
3.2.2. Echilibrarea statică a rotoarelor plane
a) Echilibrarea rotoarelor plane de lăţime mică – vezi FIG. 3.50 Exemple de astfel de rotoare: roţile de curea, discurile de ambreiaj, rotoarele de
ventilatoare, volanţii etc. Centrul de greutate al rotorului ,,C ” nu se află pe axa de rotaţie (OO’), se află la
distanţa (rC) de O (vezi FIG. 3.50).
2ω⋅⋅−= ci rmF
Pentru echilibrare se introduce o masă adiţională (me) la o distanţă (re) aleasă
arbitrar – care va produce forţa . eee rmF ⋅ω⋅= 2
La echilibru . ei FF =
Fig.3.50
, de unde rezultă masa adiţio-nală (de echilibrare): eec rmrm ⋅ω⋅=ω⋅⋅ 22
e
ce r
rmm ⋅= (41)
b) Echilibrarea rotoarelor plane prin mase concentrate în plan
Fig.3.51
Se consideră un sistem de trei mase concentrate coplanare m1, m2, m3 ce se rotesc cu .ct=ω în jurul unei axe perpendiculare pe planul mişcării (vezi FIG. 3.51 a). La un asemenea model pot fi reduse toate rotoarele plane.
Problema care se pune este determinarea mărimii şi poziţia masei de echilibrare – astfel ca centrul de greutate C al rotorului să fie readus pe axa de rotaţie.
Cele teri mase m1, m2, m3, vor produce în urma rotaţiei cu viteza unghiulară
.ct=ω , forţele de inerţie 321
,, iii FFF , a căror rezultantă este reziF - vezi FIG.
3.51 b,
321 iiirezi FFFF ++=
Forţa de inerţie rezultantă trebuie echilibrară. În acest scop se introduce o masă
punctiformă )( Im care dezvoltă o forţă de inerţie )( IiF în timpul rotaţiei cu .ct=ω
2
233
222
211
3
2
1
ω⋅ρ⋅=
ω⋅ρ⋅=
ω⋅ρ⋅=
ω⋅ρ⋅=
IIIi
i
i
i
mF
mF
mF
mF
Trebuie îndeplinită condiţia de echilibru static:
0321
=+++ Iiiii FFFF
Această ecuaţie vectorială de echilibru se rezolvă grafic, construind poligonul
forţelor la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF , arbitrar aleasă (vezi FIG. 3.51c).
[ ]NpckF FFIi )(=
La echilibru eIi FF =
Alegând distanţa )( Iρ de amplasare a masei de echilibrare )( Im , ea se calculează cu relaţia
22 ω⋅ρ=
ω⋅ρ=
I
e
I
IiI
FFm (42)
3.2.3. Echilibrarea statică şi dinamică a rotoarelor spaţiale
Se presupune un rotor spaţial, aproximat prin trei mase punctiforme relative m1,
m2, m3 aflate în plane paralele (vezi FIG. 3.52).
Fig.3.52
Calculul maselor de echilibrare Datorită rotaţiei cu viteză unghiulară .ct=ω , fiecare din masele punctiforme va
produce o forţă de inerţie )3...1(2 =ω⋅ρ⋅= kmF kkki şi un cuplu de inerţie
)3...1( =×= kFzM kikki , perpendicular pe forţa de inerţie (FIG. 3.52).
)(;)(;)(
;;
333222111
321
321
233
222
211
iiiiiiiii
iii
FFzMFFzMFFzM
mFmFmF
⊥×=⊥×=⊥×=
ω⋅ρ⋅=ω⋅ρ⋅=ω⋅ρ⋅=
Torsorul de inerţie de reducere: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=τ
∑
∑
kirezi
kirezii
MM
FF
.
.
Deci, torsorul de reducere iτ este format din forţa de inerţie )( .reziF şi un
cuplu rezistent )( .reziM , care urmează a fi echilibrat.
Întrucât sunt de îndeplinit două condiţii de echilibrare, vor trebui pentru echilibrare două mase Im şi IIm .
Aceste mase Im şi IIm vor produce forţele de inerţie: 2ω⋅ρ⋅= IIIi mF , 2ω⋅ρ⋅= IIIIIIi mF şi cuplurile 0=IiM şi IIiIIi FzM ×= 0 .
Considerând masele m1, m2, m3 în acelaşi plan şi dacă rabatem pe
321 ,, iii MMM cu în sensul lui (o90 ω ), obţinem FIG. 3.53 a.
Fig.3.53
Ecuaţia vectorială de echilibru:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=+
∑
∑
0
0
IIiIiki
IIiki
FFF
MM
sau ⎪⎩
⎪⎨⎧
=++++
=+++
)(0
)(0
321
321
IIFFFFF
IMMMM
IIiIiiii
IIiiii
Rezolvăm ecuaţia de momente (I) grafic, prin construirea poligonului de
momente la scara ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅mmmNkM , prin rotirea vectorilor momentelor cu (vezi FIG.
3.53 a şi FIG. 3.53 b).
o90
Din poligonul de momente (FIG. 3.53 b), rezultă:
[ ]mNpckM MMIIi ⋅= )(
Însă 200 ω⋅ρ⋅⋅=⋅= IIIIIIiIIi mzFzM
Prin alegerea distanţei IIρ se poate calcula masa de echilibrare ( IIm ),
greutatea ( IIG ) sau forţa de inerţie ( IIiF ).
20
20 ω⋅ρ⋅
⋅=
ω⋅ρ⋅=
II
MM
II
IIiII z
kpc
z
Mm (43)
20 ω⋅ρ⋅
⋅=⋅=
II
MMIIII z
pckggmG (44)
00 z
pck
z
MF
MMIIiIIi
⋅== (45)
Se rezolvă grafic şi ecuaţia (II), luând o scară pentru forţe ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡mm
NkF şi
construind poligonul forţelor (vezi FIG. 3.53 c). Din poligonul forţelor (FIG. 3.53 c) rezultă:
[ ]NpdkF FFIi )(=
Prin alegerea distanţei ( Iρ ), se poate calcula masa ( Im ) şi greutatea ( IG ):
2ω⋅ρ
⋅=
I
FFI
pdkm (46)
2ω⋅ρ
⋅=⋅=
I
FFII
pdkggmG (47)
Amplasarea maselor Im şi IIm
Masa ( Im ) în planul de reducere [P1] pe direcţia )(||1 Fpd∆ dusă din punctul
(O) la distanţa aleasă ( Iρ ).
Masa ( IIm ) în planul de reducere [P2] pe direcţia )(||2 Mpc∆ dusă din
punctul (O’) la distanţa aleasă ( IIρ ).
3.2.4. Echilibrarea statică a mecanismelor cu bare
La mecanismele cu bare se realizează numai echilibrarea statică a forţelor de
inerţie, deoarece cuplurile de inerţie sunt reduse ca valoare. Determinarea centrului de greutate al unui mecanism plan cu bare – prin metoda
vectorilor principali. Se consideră un mecanism format din n bare mobile de mase m1, m2, m3, ... mn –
vezi FIG. 3.54.
Fig.3.54
Este necesar ca:
• 0a0m,amF GGi =⇒≠⋅−= , pentru orice poziţie a mecanismului;
• Centrul de greutate al mecanismului (G) să fie fix tot timpul funcţionării.
nll ...,, 21l (lungimile elementelor cinematice); Se cunosc
nSSSS ...,,, 321 (poziţiile centrelor de greutate).
Se determină vectorii de poziţie ai centrelor de greutate în raport cu (O):
.,,,
...,,,
321321211
321
etcSllrSlrSr
rrrr n
++=+==
iar vectorul de poziţie al centrului de greutate (G) al mecanismului este:
mSm
mmlSm
mmmmlSm
mmmmlSm
mrmr
nnnnnnn
niiG
⋅+
⋅+⋅++
+++⋅+⋅+
++++⋅+⋅
=⋅
=
−−−
∑
11143222
32111
...)...(
)...(
Însă nn lSlSlSlS ||...,||,||,|| 332211
Vectorii principali:
mSmh
mmlSmh
mmmmlSmh
mmmmlSmh
nnn
nnnnn
n
n
=
+=
++++=
++++=
−−−−
)
)...(
)...(
1111
432222
321111
Deci nG hhhhr ++++= ...321
unde DEhCDhBChABhOAh ||,||,||,||,|| 54321 (vezi FIG. 3.55)
Fig.3.55
.1
consthrn
iiG == ∑
= (48)
m
mlSmh
n
iiiii
i
∑=
+= 1 (49)
În concluzie: În G (centrul de greutate al întregului mecanism) se va plasa masa adiţională de echilibrare.
Construcţia se repetă pentru un număr de ( 2412÷ ) de poziţii ale elementului conducător, obţinându-se locul geometric al centrului de greutate, care este o curbă închisă.
3.2.5. APLICAŢII 1) Să se facă echilibrarea statică a mecanismului patrulater – articulat A0ABB0.
Se cunosc: lungimile elementelor cinematice , masele lor m321 ,, lll 1, m2, m3 şi poziţiile centrelor de greutate S1, S2, S3 (vezi FIG. 3.56 a). Rezolvare: Se face concentrarea statică a maselor în articulaţii (vezi FIG. 3.56 b, c,
d):
Fig.3.56
1
111
1
1111
11111
111;
)( 00
0
lSmm
lSlmm
SlmSm
mmmAA
AA
AA=
−=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=+
2
222
2
2222
22222
212;
)( lSmm
lSlmm
SlmSm
mmmBA
BA
BA=
−=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=+
3
333
3
3333
33333
3330
0
0 ;)( l
Smml
SlmmSlmSm
mmmBB
BB
BB=
−=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=+
Masa concentrată în A0:
001
1111 AA m
lSlmm =
−=
Masa concentrată în A:
2
222
1
1121 l
SlmlSmmmm AAA
−+=+=
Masa concentrată în B:
3
333
2
2232 l
SlmlSmmmm BBB
−+=+=
Masa concentrată în C:
3
333 00 l
Smmm BB ==
Dintre aceste mase urmează a fi echilibrate numai masele A şi B, deoarece masele A0 şi B0 fiind fixe nu au nici o influenţă asupra mecanismului. Pentru echilibrarea statică a maselor din articulaţiile A şi B ale mecanismului patrulater sunt posibile două soluţii:
a) echilibrarea cu două mase adiţionale, una amplasată în prelungirea manivelei iar a doua amplasată în prelungirea elementului (3);
b) echilibrarea cu două mase adiţionale, una amplasată în lungul bielei (2) şi cealaltă masă aditionalã amplasată în lungul elementului (1) sau (3).
a) Echilibrarea cu două mase adiţionale Im şi IIIm amplasate în prelungirea manivelei (1) şi a elementului (3) În FIG. 3.57 a este indicată această soluţie de echilibrare.
Masa adiţională ( Im ) este amplasată în prelungirea manivelei (A0A) la distanţa
Iρ , iar masa adiţională ( IIIm ) este amplasată în prelungirea elementului (3) la
distanţa IIIρ - vezi FIG. 3.57 a.
Masele adiţionale Im şi IIIm se obţin din ecuaţia de momente statice scrisă în raport cu articulaţiile fixe A0 şi B0.
31 ; lmmlmm BIIIIIIAII =ρ=ρ , rezultă:
[ ] [ ]KglmmKglmmIII
BIIII
AI ρ=
ρ= 31 ;
Fig.3.57 a
Prin urmare, după echilibrare masa mecanismului patrulater este concentrată în articulaţiile fixe A0 şi B0 (vezi FIG. 3.57 b), având valorile:
IIIBBB
IAAA
mmmm
mmmm
++=
++=
00
00
3*
1*
Fig.3.57 b
Masa întregului mecanism după echilibrare este:
IIIIe mmmm ++=
unde 321 mmmm ++=Drept consecinţă centrul de greutate (G) al mecanismului se va găsi pe linia
articulaţiilor fixe (A0 B0) şi va fi fix (vezi FIG. 3.57 b). Determinarea analitică a poziţiei centrului de greutate al mecanismului
Poziţia centrului de greutate )( 00BAG∈ se determină cu ajutorul vectorului de
poziţie ( Gr ), a cărui valoare rezultă din relaţia momentelor statice scrisă în raport de articulaţia (A0) – vezi FIG. 3.57 b.
[ ]mm
lmrlmrm
e
BGBGe
0*
0* 0
0=⇒=⋅
Determinarea grafică a poziţiei centrului de greutate al mecanismului: Se folosesc relaţiile (48) şi (49).
Se calculează vectorii principali ai mecanismului după echilibrare cu relaţia (49):
mSmh
mmlSmh
mmmlSmh 33
33222
221111
1 ;;)(=
+=
++=
în care: 3321*
32*
1 ;0;0;;0;00
lSSSmmmmm BA ====== .
Înlocuind în relaţiile de mai sus, obţinem:
mlm
hm
lmh
mlm
h BBB 3*
32
*
21
*
1000 ;; ===
Se observă că
.*
03
3
2
2
1
1 0 ctmm
lr
lh
lh
lh
e
BG =λ=====
ceea ce înseamnă că la un mecanism plan articulat centrul său de greutate va fi fix dacă poligonul vectorilor principali este asemenea cu conturul mecanismului. Pe această bază se determină poziţia centrului de greutate (G) al mecanismului, făcând următoare construcţie grafică (vezi FIG. 3.58):
- se unesc între ele articulaţiile A0 şi B0, respectiv A0 şi B;
- se poziţionează vectorul principal ( 1h ) pe manivela (A0A) determinându-se punctul principal (h1).
Fig.3.58
- din (h1) se duce o paralelă la (AB) până intersectează diagonala (A0B) în
punctul (C), obţinându-se vectorul principal ( 2h ).
- din C se duce o paralelă la (BB0) până intersectează linia (A0B0) în centrul de greutate (G).
b) Echilibrarea mecanismului patrulater cu două mase
adiţionale ( III mm ,' ) amplasate în prelungirea manivelei şi a bielei
În FIG. 3.59. este prezentată soluţia de echilibrare în care masa adiţională ( 'Im )
este dispusă în prelungirea uneia din manivelele (A0A sau BB0) la distanţa ( Iρ ), iar
masa adiţională ( IIm ) este montată în prelungirea bielei (AB) la distanţa ( IIρ ).
Fig.3.59
Masa ( IIm ) mută centrul de greutate al sistemului de mase IIBA mmm ,, în
articulaţia mobilă A. Din relaţia de momente statice în raport cu A: 2lmm BIIII =ρ ,
rezultă masa adiţională [ ]KglmmII
BII ρ= 2 .
Se consideră că în A există masa BAA mmm +=′ care se echilibrează cu
masa adiţională ( 'Im ).Din ecuaţia momentelor statice scri-să în raport cu A0:
1lmm AII ′=ρ′ , rezultă masa: [ ]KglmmI
AI ρ
′=′ 1 .
Prin urmare valorile maselor adiţionale sunt:
[KglmmII
BII ρ= 2 ] şi [ ]Kglmm
IAI ρ′=′ 1
unde: IIBBAIIBAA mmmmmmmm +++=++=′ )( 21
şi BBB mmm 32 +=
În acest fel centrul sistemului de mase 0
, AA mm′ şi 'Im se mută în A0.
După echilibrarea masa mecanismului este concentrată în articulaţiile fixe A0 şi B0 având valorile:
;00 1
*AIAA mmmm ′+′+=
00 3*
BB mm =
iar centrul de greutate (G) al mecanismului se va găsi pe dreapta (A0B0) fiind fix. Masa întregului mecanism după echilibrare are valoarea:
IIIe mmmm +′+=
unde: m = m1 + m2 + m3
Poziţia centrului de greutate (G) se determină cu ajutorul construcţiei grafice a vectorilor principali folosită anterior.
Mărimea lui ( Gr ) rezultă din ecuaţia de momente statice scrisă în raport cu (A0)
pentru masa (me) a întregului mecanism după echilibrare şi masa din articulaţia
(B
*0Bm
0).
[ ]mmm
lrlmrme
BGBGe
*
00* 0
0=′⇒⋅=′⋅
NOTĂ: Din examinarea celor două soluţii prezentate la punctle (a) şi (b) se constată că
la soluţiile prezentate la punctul (b):
- masele adiţionale rezultate sunt mai mari ( ;II mm >′
IIIIIII mmmm +>+′ );
- centrul de greutate (G) al mecanismului este mai apropiat de articulaţia fixă
)'(0 GG rrA << .
Deci, această modalitate de echilibrare nu este avantajoasă. Cele două soluţii prezentate la punctele (a) şi (b), conduc la echilibrarea statică
totală a mecanismului patrulater. În practică însă adopta rareori una din aceste soluţii, deoarece masele adiţionale
de echilibrare rezultate sunt prea mari. De aceea cea mai frecventă utilizare este echilibrarea statică parţială, obţinută cu
o singură masă adiţională *Im amplasată în prelungirea manivelei (vezi FIG. 3.60):
[ ]KglmmI
AI ρ= 1*
unde AAA mmm 21 +=
Fig.3.60
2) Să se facă echilibrarea statică a mecanismului manivelă – piston A0AB.
Se cunosc lungimile elementelor cinematice llrl ≡≡ 21 , şi masele
elementelor: m1, m2, m3 plasate în centrele lor de greutate BGGG ≡321 ,, ,
poziţionate faţă de articulaţia anterioară prin vectorii de poziţie 21 , SS (vezi FIG. 3.61 a).
Rezolvare: Se face concentrarea statică a maselor în articulaţii (vezi FIG. 3.61 a, b,
c, d).
rSmm
rSrmm
SrmSm
mmmAA
AA
AA 111
111
1111
111;
)( 00
0 =−
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=⋅
=+
lSmm
lSlmm
SlmSm
mmmBA
BA
BA 222
222
2222
222;
)(=
−=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=⋅
=+
33 mm B =
Dintre aceste mase urmează a fi echilibrate numai masele din A şi B, deoarece masa A0 fiind fixă nu influenţează mişcarea mecanismului.
Fig.3.61
a) Echilibrarea statică totală a maselor mecanismului manivelă – piston Pentru echilibrarea maselor din articulaţiile A şi B se folosesc două mase
adiţionale: masa )( IIm amplasată în prelungirea bielei (AB) – la distanţa prestabilită
IIρ şi masa )( Im amplasată în prelungirea manivelei (A0A) – la distanţa aleasă Iρ (vezi FIG. 3.62).
Prin folosirea masei )( IIm , centrul de greutate al sistemului format din masele
BA mm , şi IIm este adus în articulaţia (A). Scriind ecuaţia momentelor statice în
raport cu (A): lmm BIIII =ρ , rezultă mărimea masei adiţionale )( IIm , adică:
[ ]KglmmII
BII ρ=
Fig.3.62
Sistemul de mase BA mm , şi IIm poate fi înlocuit cu o masă
IIBAA mmmm ++=' amplasată în (A). Folosind masa adiţională Im , centrul de
greutate al maselor şi 0
,' AA mm Im este adus în articulaţia fixă (A0).
Din ecuaţia de momente statice scrisă în raport cu (A0): rmm AII ′=ρ , rezultă
mărimea masei adiţionale ( Im ), adică:
[ ]KgrmmI
AI ρ
′=
În acest fel masa întregului sistem (inclusiv masele adiţionale) este concentrată în articulaţia fixă (A0) care reprezintă centrul de greutate al sistemului.
Dacă se alege rI =ρ se obţine AI mm ′=
Masa totală a sistemului echilibrat este
IAAe mmmm +′+=01
Această soluţie, deşi realizează o echilibrare statică totală a mecanismului, nu se utilizează deoarece conduce la mase adiţionale de echilibrare mari, care îngreunează construcţia.
În practică (la motoarele cu ardere internă sau la compresoare) se aplică variante de echilibrare parţială, folosind o singură masă adiţională amplasată în prelungirea manivelei (A0A).
b) Echilibrarea statică parţială a mecanismului manivelă - piston Se determină forţele de inerţie, cunoscându-se masele ce urmează a fi
echilibrate:
AAA mmm 21 += (masă adiţională);
32 mmm AB += (masă translantă).
unde l
SmmlSlmm
rSmm BAA
222
222
111 ;; =
−==
Aceste mase dezvoltă forţe de inerţie:
( ) =+ϕ+ϕ+ϕ+ϕω⋅⋅=⋅=
ω⋅⋅=⋅=
...6cos4cos2coscos 64221
21
BBBrmamF
rmamF
BBBBi
AAAAi
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ϕ+ϕω⋅⋅= ∑
∞
=12
21 2coscos
kkB kBrm
sau nBiBiBiBiBiBi FFFFFF +++++= ...
6421
unde: 211
ω⋅⋅= rmF BBi - forţa de inerţie de ordinul 1;
ϕ⋅ω⋅⋅= 2cos2212
BrmF BBi - forţe de inerţie de ordinul 2;
ϕ⋅ω⋅⋅= 4cos4214
BrmF BBi - forţe de inerţie de ordinul 4;
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ϕ⋅ω⋅⋅= kBrmF kBBi n2cos2
21 - forţe de inerţie de ordinul 2 k;
În relaţiile de mai sus:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
λ==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
λ−
λ−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
λ+
λ==
...512
66
...563
6444
...164
22
62
62
6
642
42
4
222
22
2
AB
AB
AB
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
lrAkB kk =λ= ;)2( 2
22
Se constată că forţa de inerţie BiF produsă de masa translantă ( Bm ) este compusă dintr-o sumă de termeni cu amplitudini şi perioade de variaţie având frecvenţe de variaţie diferite.
Evident că echilibrarea acestor forţe de inerţie se va putea face numai cu mase adiţionale care au frecvenţa de variaţie corespunzătoare.
Forţele de inerţie de ordin superior (2,4,6, …) dezvoltate de masa ( Bm ) nu pot fi
echilibrate prin mase adiţionale care se rotesc cu viteza unghiulară , deoarece acestea produc numai forţe de inerţie de ordin 1.
1ω
Pentru forţele de inerţie de ordin superior se vor utiliza alte mase adiţionale care se rotesc cu viteza unghiulară ...),3,2,1(2 1 =ω kk .
Echilibrarea statică parţială a forţelor de inerţie de ordin 1 – se calculează modulul forţei de inerţie rezultantei de ordinul 1 şi ecuaţia curbei descrisă de vârful acestui vector în timpul ciclului cinematic.
Modulul forţei de inerţie rezultante de ordinul 1 se obţine însumând geometric proiecţiile pe axe ale forţelor de inerţie de ordinul 1 care sunt dezvoltate de masele
şi
Am
Bm . În acest scop se trasează planul acceleraţiilor rabatut cu direct pe mecanism (FIG. 3.63 a) pentru o poziţie oarecare a manivelei dată de unghiul (
o180ϕ ) şi se
figurează forţele de inerţie )'(|| apF aAi şi )'(|| bpF aBi .
Se proiectează forţele pe axele Ox şi Oy (vezi FIG. 3.61 b) obţinându-se componentele pe axe ale forţei de inerţie rezultante de ordinul 1.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ϕω=ϕ==
ϕ+ω=ϕω+ϕω=
+ϕ=+=
sinsin
cos)(coscos
cos
211
21
21
21
11
rmFFF
mmrrmrm
FFFFF
AAiyAiyi
BABA
BiAiBixAixi
(50)
Fig.3.63
Modulul forţei de inerţie rezultante de ordinul 1 este
)(21
21
211 ϕω=+= iyixii frFFF
Unghiul de înclinare al acestei forţe faţă de axa Ox:
ϕ⋅+
==α tgmm
mF
Ftg
BA
A
xi
yi
1
1
Rezultă că modulul forţei de inerţie rezultante de ordinul 1, 1iF - este variabil în
timpul unui ciclu de funcţionare, depinzând de unghiul de pozitie (ϕ ) al manivelei, iar
direcţia suportului ei este de asemenea variabilă cu )(ϕ .
Ecuaţia curbei descrise de vârful vectorului forţei de inerţie rezultante de ordinul 1 în timpul unui ciclu cinematic se obţine eliminând unghiul (ϕ ) din ecuaţiile de proiecţii (50), prin ridicarea la pătrat şi însumarea lor:
ϕω=
ϕ+ω=224
122
1
2241
221
sin
cos)(
Ayi
BAxi
mrF
mmrF
sau 241
2
212
241
2
212 sin;
)(cos
A
yi
BA
xi
mr
F
mmrF
ω=ϕ
+ω=ϕ
Rezultă relaţia:
1)( 24
12
21
241
2
21 =
ω+
+ω A
yi
BA
xi
mr
F
mmrF
(51)
Relaţia (51), reprezintă ecuaţia elipsei având axele:
)(21 BA mmra +ω= în direcţia Ox;
Amrb 21ω= în direcţia Oy.
Pentru echilibrarea statică parţială a forţei de inerţie de ordinul 1, avem două soluţii:
SOLUŢIA NR.1: masa adiţională ( Im ) se amplasează în prelungirea manivelei
astfel încât momentul ei static în raport cu articulaţia fixă ( ) să fie proporţional cu
semiaxa mare (a) a elipsei descrise de vârful vectorului (
0A
1iF ).
Această soluţie se preferă atunci când planul orizontal care conţine axa (Ox) este mai puţin stabil (cazul maşinilor fixate pe fundaţii) şi are ca scop mutarea efectului forţei
de inerţie (1BiF ) din direcţia ghidajului în direcţia perpendiculară pe ghidaj. Dacă masa
adiţională ( Im ) este amplasată în punctul (C) situat la distanţa ( Iρ ) de articulaţia fixă (A0), atunci conform soluţiei de echilibrare se poate scrie relaţia:
)(11 212
121
BAII mmram +ωω
=ω
=ρ ,
de unde rezultă mărimea mase adiţionale:
)( BAI
I mmrm +ρ
=
Această masă dezvoltă o forţă de inerţie 21ωρ= IICi mF care se
descompune după axele (Ox) şi (Oy) în componentele:
YY
Y
X
X
BiiBA
BAIICiCi
iBA
BAIICiCi
FFmmr
rmrmmFF
Fmmr
rmrmmFF
′+=ϕ+ω=
ϕω+ϕω=ϕωρ=ϕ=
=ϕ+ω=
ϕω+ϕω=ϕωρ=ϕ=
121
21
21
21
121
21
21
21
sin)(
sinsinsinsin
cos)(
coscoscoscos
Rezultă că se echilibrează componentele şi ale forţei de inerţie
rezultante de ordinul 1. Rămâne însă neechilibrată forţa de inerţie
, care transmite fundaţiei eforturi variabile după o sinusoidă.
XiF1 YiF1
ϕω=′ sin21 BBi mrF
Y
SOLUŢIA NR.2: masa adiţională *Im se amplasează în prelungirea manivelei
astfel încât momentul ei static în raport cu articulaţia fixă (A0) să fie proporţională cu semisuma axelor elipsei descrise de vârful vectorului ( ). 1iF Această soluţie se acceptă la motoarele de pe vehicule şi are ca scop
repartizarea egală a efectului forţelor de inerţie de ordinul 1 (1BiF ) în lungul ghidajului
şi perpendicular pe ghidaj, deoarece şasiul maşinii prezintă aceeaşi stabilitate în ambele direcţii. Semisuma axelor elipsei are valoare:
2)(
2
21
21 ABA mrmmrba ω++ω
=+
, adică: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+22B
Ammba
Conform soluţiei de echilibrare:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ω=ρ
2121
*1
bam I
din care, înlocuind şi alegând (2/)( ba + Iρ ), rezultă mărimea masei adiţionale de echilibrare.
I
BAI
rmmmρ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
2*
Dacă se amplasează masa *Im în acelaşi punct C (vezi FIG. 3.63), forţa de
inerţie produsă 21
* ωρ= IICi mF se determină după axele (Ox) şi (Oy) în
componentele:
yBiAiB
AIICiCi
BiAiB
AIICiCi
FFrmrmmFF
FFrmrmmFF
YY
XXX
121
21
21
*
21
21
21
*
sin2
sinsinsin
cos2
coscoscos 1
′+=ϕω+ϕω=ϕωρ=ϕ=
″+=ϕω+ϕω=ϕωρ=ϕ=
Se echilibrează şi şi rămân neechilibrate: xAiF yAiF
- forţa de inerţie ϕω= cos2
" 211 rmF B
xBi ;
- forţa de inerţie ϕω= sin2
" 21rmF B
Bi
c) Echilibrarea statică a forţelor de inerţie de diferite ordine la motorul monocilindric
În acest scop se folosesc proprietăţile vectorilor rotitori. Conform acestor proprietăţi, orice vector de direcţie constantă şi modul variabil după o lege ciclică (sinusoidală, cosinusoidală) se poate înlocui cu doi vectori constanţi în modul care se rotesc în sensuri contrare cu viteze unghiulare egale cu frecvenţa de variaţie a vectorului iniţial. Drept urmare fiecare armonică a vectorului forţei de inerţie dezvoltate de masa translantă ( Bm )
...)4cos2cos(cos 4221 +ϕ+ϕ+ϕω= BBrmF BBi
poate fi înlocuită cu doi vectori rotitori. NOTĂ: Se face echilibrarea statică doar a forţelor de inerţie de ordinul1 şi ordinul 2, acestea fiind cele mai importante ca valoare dintre toate componentele.
Examinând celelalte componente ale forţelor de inerţie de ordin superior, se constată că valoarea lor scade cu ordinul acestora.
Echilibrarea statică a forţelor de inerţie de ordinul 1 (1BiF ) Forţa de inerţie de
ordinul 1 dezvoltată de masa translantă ( Bm ) – de modul ϕω= cos211
rmF BBi
poate fi considerată drept rezultantă a doi vectori
Fig.3.64
rotitori constanţi în modul: CiF şi DiF şi care se rotesc în sensuri contrare cu
vitezele unghiulare ( ) şi respectiv (1ω 1ω− ) – vezi FIG. 3.64.
DiCiBi FFF += (a)
unde: 2111 ωρ== mFF DiCi .
Mărimea masei adiţionale de echilibrare (m1) rezultă din proiectare relaţiei vectoriale (a) pe axa (Ox).
ϕ= cos21 CiBi FF sau: ϕωρ=ϕω cos2cos 2
11121 mrmB
de unde se obţine [ ]Kgrmm B1
1 2ρ= .
De regulă se alege iar relaţia de sus devine: r=ρ1
Bmm21
1 =
Una din mase (m1) se amplasează în prelungirea manivelei (A0A) în punctul (C) la distanţa de axa de rotaţie (vezi FIG. 3.64 b), iar cealaltă masă în punctul D
pe o roată care se roteşte cu viteza unghiulară (
r=ρ1
1ω− ) prin folosirea unui angrenaj având acelaşi număr de dinţi (z1).
Echilibrarea statică a forţelor de inerţie de ordinul 2 (2BiF ): ca şi în cazul
anterior, forţa de inerţie de ordinul 2 dezvoltată de masa translantă ( Bm ) de modul
ϕω=ϕω= 2cos)2(2cos 2122
212
ArmBrmF BBBi
se echilibrează cu două mase rotative (m2) care însă se rotesc cu viteze unghiulare de două ori mai mari (adică ) – vezi FIG. 3.65 a. 12ω
FiEiBi FFF +=2
(b)
unde 2122 )2( ωρ== mFF FiEi .
Mărimea maselor de echilibrare (m2) se determină proiectând relaţia (b) pe axa (Ox).
ϕ= 2cos22 EiBi FF sau ϕωρ=ω 2cos)2(2)2( 2
1222
12 mArmB
Rezultă 22
2 2Armm B ρ
=
unde 164
24
2λ
+λ
=A , iar lr
=λ
Fig.3.65
Prima masă (m2) se amplasează pe roata (2) având numărul de dinţi 12 21 zz =
(care angrenează cu roata dinţată (1) ce are numărul de dinţi z1) iar a doua masă m2 se amplasează pe roata (2’) cu numărul de dinţi z2 (care angrenează cu roata (1’) cu numărul de dinţi z1) – vezi FIG. 3.65 b.