cap 3 prob stat

CAPITOLUL CAPITOLUL 3

VARIABILE ALEATOARE

3.1 Definiţia variabilei aleatoare

Majoritatea experimentelor de interes practic au ca rezultate valori numerice.

Aceasta înseamnă că rezultatul unei probe al unui experiment, poate fi

caracterizat de un număr sau de un cuplu de numere. Se poate, astfel considera

că fiecărei probe al unui experiment i se poate asocia un număr sau de un cuplu

de numere. Se poate atunci introduce noţiunea de variabilă aleatoare

(întâmplătoare) ca o funcţie reală definită pe mulţimea evenimentelor

elementare asociate experimentului considerat. Cuvântul aleator, subliniaza

faptul că se lucrează cu elemente generate de fenomene întâmplătoare, care nu

sunt guvernate de legi strict deterministe. Elementul dificil în analiza acestor

fenomene constă în faptul că deşi acestea au o anumită regularitate, este

imposibil de precizat cu certitudine rezultatul unei probe întâmplătoare.

Fie mulţimea evenimentelor elementare asociată unui anumit experiment,

rezultatele posibile fiind notate cu . Este posibil ca acesta să nu fie un rezultat

numeric în sine, dar i se poate atribui o anumită valoare numerică. De exemplu,

la distribuirea unor cărţi de joc, se poate atribui o anumită valoare numerică

fiecărei cărţi şamd.

DEFINIŢIE Orice funcţie f definită pe şi care ia valori în mulţimea

numerelor reale R, se numeşte variabilă aleatoare.

Prin urmare, fiecărui rezultat , , îi corespunde numărul real

, .

OBSERVAŢIE Numărul rezultatelor , , distincte este mai mic cel mult

egal cu n.

EXEMPLU Se consideră experimentul aruncării unui zar. Fie , ,

evenimentele care constau în apariţia feţei cu un număr i de puncte. Se poate

defini o variabilă aleatoare, ca fiind dată de .

Variabile aleatoare77

77

Se consideră acum că variabila aleatoare f înregistrează s valori distincte

, în condiţiile în care sunt înregistrate n evenimente elementare

, . Fie , evenimentele elementare pentru care

, . Notând , atunci:

.

EXEMPLU Se consideră o variabilă aleatoare g, dată de recolta de grâu pe un

hectar. În această situaţie variabila aleatoare poate avea orice valoare dintr-un

interval şi prin urmare apare următoarea clasificare, generată de natura

valorilor înregistrate.

DEFINIŢIE O variabilă aleatoare se numeşte discretă (discontinuă) dacă poate

lua numai valori izolate. Numărul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare

discrete poate fi finit sau infinit.

O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă poate lua valori care umplu

un interval finit sau infinit. Evident, numărul valorilor posibile ale unei

variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.

3.2 Repartiţia unei variabilei aleatoare discrete

Pentru a defini o variabilă aleatoare discretă este suficient să se enumere

toate valorile posibile pe care aceasta le poate lua. Însă, pentru a o cunoaşte

complet trebuie enumerate şi probabilităţile corespunzătoare fiecărei valori

înregistrate.

Se numeşte repartiţie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea valorilor

posibile ale variabilei aleatoare şi a probabilităţilor corespunzătoare acestora.

De obicei repartiţia unei variabile aleatoare discrete se scrie sub forma unui

tablou în care prima linie conţine toate valorile posibile, iar a doua linie,

probabilităţile corespunzătoare :

, sau , .


78

Ţinând seama că într-un experiment variabila aleatoare ia una şi numai una

din valorile sale posibile, rezultă că evenimentele care constau în aceea că

variabila ia valorile sau ,…, sau formează - după cum se ştie – un

sistem complet de evenimente. Prin urmare, suma probabilităţilor acestor

evenimente este egală cu unitatea :

.

3.3 Operaţii cu variabile aleatoare discrete

DEFINIŢIE Puterea de ordinul k a variabilei aleatoare f este variabila aleatoare

cu repartiţia :

.

DEFINIŢIE Dacă este un număr real, produsul dintre şi este variabila

aleatoare , cu repartiţia :

.

Fie şi două variabile aleatoare, având respectiv repartiţiile:

şi .

Se consideră evenimentul care constă în aceea că ia valoarea ,

şi ia valoarea , . Acest eveniment notat şi care

este intersecţia evenimentelor şi , constând în aceea că ia

valoarea , respectiv ia valoarea , are o probabilitate bine determinată:

.


79

Cum evenimentele , , , în număr de ,

formează un sistem complet de evenimente, atunci :

.

DEFINIŢIE Variabila aleatoare are repartiţia:

, , .

DEFINIŢIE Variabila aleatoare are repartiţia:

, , .

Există vreo legătură între probabilităţile şi ?

Răspunsul la această întrebare este afirmativ, însă legătura dintre aceste

probabilităţi nu este întotdeauna simplă. Un caz în care această legătură este

foarte simplă este acela în care şi sunt independente.

DEFINIŢIE Variabilele şi se numesc independente probabilistic dacă pentru

orice şi , , , evenimentele şi sunt

independente. Prin urmare:

,

adică

.

În mod analog se pot defini sumele şi produsele a mai mult de două

variabile aleatoare, ca şi noţiunea de independenţă a unui număr oarecare de

variabile aleatoare.


80

3.4 Momentele unei variabile aleatoare discrete

Se consideră două variabile aleatoare şi şi se presupune că poate lua

valorile , iar poate lua valorile . Pentru fiecare pereche

, fie probabilitatea ca să ia valoarea şi să ia valoarea ,

adică:

, , .

DEFINIŢIE Probabilităţile , , constituie repartiţia comună a

variabilelor aleatoare , .

DEFINIŢIE Variabilele aleatoare şi sunt independente, dacă pentru orice ,

şi orice , are loc:

.

Se consideră acum mai mult de două variabile aleatoare. Fie ,

variabile aleatoare, unde variabila aleatoare ia valorile ,

.

DEFINIŢIE Probabilităţile :

constituie repartiţia comună a variabilelor aleatoare .

DEFINIŢIE Variabilele aleatoare sunt independente, dacă pentru orice

, :

.


81

DEFINIŢIE Variabilele aleatoare 1 sunt independente, dacă

orice număr finit de variabile aleatoare din acest şir sunt independente.

Introducem acum o caracteristică numerică foarte importantă, asociată

unei variabile aleatoare.

DEFINIŢIE Numărul

se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare .

EXEMPLU În experimentul cu zarul :

.

DEFINIŢIE Fie un număr întreg, . Numărul

se numeşte moment de ordinul al variabilei aleatoare .

OBSERVAŢIE Momentul de ordinul este valoarea medie.

DEFINIŢIE Numărul

se numeşte dispersia variabilei aleatoare .

Cu ajutorul acestor noţiuni introduse, se pot demonstra o serie de proprietăţi.

PROPRIETATEA 1 Fie o variabilă aleatoare şi un număr întreg, .

Atunci

1 Vom nota un şir şi sub forma


82

Demonstraţie. Fie variabila aleatoare cu repartiţia

.

Atunci variabila aleatoare va avea evident repartiţia :

;

cu alte cuvinte, valorile şi au aceeaşi probabilitate ,

şi deci

( )

Din proprietatea anterioară se deduce imediat:

PROPRIETATEA 2 Fie o variabilă aleatoare care poate lua o singură valoare

cu probabilitatea (adică ). Atunci:

.

PROPRIETATEA 3 Fie o variabilă aleatoare şi un număr real. Atunci:

.

Demonstraţie. Fie variabila aleatoare cu valorile , având

probabilităţile şi fie . Această nouă variabilă aleatoare ia

valorile cu aceleaşi probabilităţi şi deci:

( )


83

PROPRIETATEA 4 Fie variabile aleatoare . Atunci valoarea medie a

sumei acestor variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii, adică:

.

Demonstraţie. Fie mai întâi numai două variabile aleatoare şi . Se

presupune că variabila aleatoare ia valorile cu probabilităţile

, iar variabila aleatoare ia valorile cu probabilităţile

. De asemenea fie :

, , .

Fie ; această nouă variabilă aleatoare ia valoarea cu

probabilitatea , , . Prin urmare :

.

Suma , este suma probabilităţilor tuturor evenimentelor de forma

, unde indicele este acelaşi pentru toţi termenii sumei, iar

indicele variază de la un termen la altul, parcurgând toate valorile de la la

. Deoarece evenimentele pentru indici diferiţi sunt incompatibile

două câte două, suma este probabilitatea producerii unui eveniment

oarecare din cele evenimente , . Dar, a spune că s-a

produs un eveniment oarecare din evenimentele , , este

echivalent cu a spune că s-a produs evenimentul . Într-adevăr, dacă s-a

produs unul din evenimentele , , este evident că s-a

produs şi evenimentul ; reciproc, dacă s-a produs evenimentul ,

atunci întrucât variabila aleatoare ia neapărat una din valorile sale posibile

, trebuie să se producă şi un eveniment oarecare din evenimentele


84

, . Aşadar, fiind probabilitatea producerii unui

eveniment oarecare din evenimentele , , este egală cu

probabilitatea evenimentului , adică

, .

În mod analog se deduce:

, .

Ţinând seamă de aceste expresii în relaţia , se obţine :

.

Pentru mai mult de două variabile aleatoare, se procedează prin inducţie. Fie

şi se presupune teorema adevărată pentru . Atunci :

.

Aplicând proprietatea pentru două variabile aleatoare, se obţine :

. ( )

PROPRIETATEA 5 Dispersia unei variabile aleatoare este dată de relaţia :

.

Demonstraţie.


85

,

dacă se ţine seama de proprietatea precedentă. Mai departe, aplicând de două

ori proprietatea 1., se obţine :

.

PROPRIETATEA 6 Fie şi două variabile aleatoare independente. Atunci

valoarea medie a produsului acestor variabile aleatoare este egală cu produsul

valorilor medii, adică :

.

Demonstraţie. Se presupune că variabila aleatoare ia valorile cu

probabilităţile , iar variabila aleatoare ia valorile cu

probabilităţile . De asemenea :

, ,

şi cum f şi g sunt variabile independente:

, , .

Fie ; această nouă variabilă aleatoare ia valoarea cu

probabilitatea , , . Prin urmare:

.

PROPRIETATEA 7 Fie variabile aleatoare independente două câte

câte două. Atunci dispersia sumei acestor variabile aleatoare este egală cu suma

dispersiilor, adică:


86

.

Demonstraţie. Din proprietatea 6 se deduce

.

Dacă se ţine seama de faptul că variabilele aleatoare sunt

independente, atunci din proprietatea 6 rezultă că cele două sume duble de mai

sus se reduc şi deci :

.

PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea lui Cebîşev) Fie o variabilă aleatoare şi un

număr pozitiv oarecare. Atunci

,

sau

Demonstraţie. Fie o variabilă aleatoare care ia valorile cu

probabilităţile . Dispersia variabilei aleatoare este :

.


87

Fie este un număr oarecare; dacă din suma de mai sus se elimină toţi

termenii pentru care şi rămân numai termenii pentru care

, suma poate numai să se micşoreze, adică

.

Această sumă se va micşora şi mai mult dacă în fiecare termen al ei vom

înlocui factorul prin valoarea inferioară :

.

Suma din partea dreaptă reprezintă suma probabilităţilor tuturor acelor valori

ale variabilei aleatoare care se abat de la valoarea medie de o parte

şi de alta cu mai mult de ; conform proprietăţii de aditivitate a două

evenimente incompatibile, aceasta este probabilitatea ca variabila aleatoare să

ia una din aceste valori. Cu alte cuvinte, această sumă este .

Adică :

,

ceea ce permite aprecierea probabilităţii abaterilor mai mari decât un număr

dat dinainte, cu condiţia numai să fie cunoscută dispersia .

Cu ajutorul proprietăţilor 7 şi 8 se poate demonstrăm următorul rezultat

foarte important, cunoscut sub numele de legea numerelor mari.

PROPRIETATEA 9 Fie un şir de variabile aleatoare

independente care au aceeaşi repartiţie şi deci, aceeaşi valoare medie şi

aceeaşi dispersie . Atunci, pentru orice şi arbitrari, , , există un

număr natural astfel încât îndată ce , are loc :


88

.

Demonstraţie. Din proprietăţile 1 şi 4, se deduce:

şi deci, aplicând proprietatea 8, se obţine:

.

Dar:

,

de unde rezultă:

.

Fiind daţi , , se poate determina un număr natural , care

depinde de şi , astfel încât îndată ce , să rezulte :

;2

Prin urmare :

.

2 Drept putem lua primul număr natural pentru care .


89

Cu alte cuvinte, proprietatea 9 arată că dacă variabilele aleatoare

sunt independente şi dacă au aceeaşi medie şi aceeaşi

dispersie , atunci pentru un suficient de mare, expresia va diferi

oricât de puţin de cu o probabilitate oricât de apropiată de .

Studiul independenţei a două variabile aleatoare se poate realiza şi prin

intermediul coeficientului de corelaţie.

DEFINIŢIE Se numeşte corelaţie a două variabile aleatoare, media produsului

abaterilor acestora:

.

PROPRIETATE .

Demonstraţie

DEFINIŢIE Se numeşte coeficient de corelaţie:

.

TEOREMĂ Corelaţia a două variabile aleatoare independente este nulă.

Demonstraţie Dacă variabilele X, Y sunt independente, atunci şi ,

respectiv sunt independente.

PROPRIETĂŢI

1) ;


90

2) dacă şi numai dacă între variabilele X şi Y există o relaţie de

legătură liniară.

Demonstraţie 1) Fie , . , .

Calculând media variabilei aleatoare U, se obţine :

.

Calculând discriminantul şi impunând condiţia ca acesta să fie pozitiv,

rezultă proprietatea dată.

2) Fie , , .

3.5 Repartiţii discrete clasice

Repartiţia binomială

.

Parametrii acesteia sunt : , .

Repartiţia Poisson

.


91

Parametrii acesteia sunt : , .

Repartiţia Poisson poate fi scrisă şi în forma:

, .

Distribuţia hipergeometrică

.

Parametrii acesteia sunt : , ,

Revenind la calculul parametrilor repartiţiilor, se obţine :

Repartiţia binomială

.

Fie binomul :

.

Derivând după x, rezultă:

.

Înmulţind cu x, rezultă:

Pentru .

Dacă derivăm încă o dată după x, rezultă:

şi înmulţind cu x .


92

Pentru , de unde

rezultă că: .

Repartiţia Poisson

Considerând dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei în jurul originii rezultă:

,

.

Atunci

, adică .

Pentru determinarea dispersiei este necesar să se calculeze:

.

Prin urmare, repartiţia Poisson are .

Repartiţia hipergeometrică


93

.

.

.

, unde , .

3.6 Mediana, cuantile, moda, asimetrie şi exces

DEFINIŢIE Fie o variabilă aleatoare care are densitatea de repartiţie . Se

numeşte modă a lui şi se notează cu abscisa punctului de maxim a

lui .

Dacă are un singur maxim, atunci se numeşte unimodală, iar dacă

are mai multe puncte de maxim se va numi plurimodală.


94

EXEMPLU Se poate observa uşor că dacă , , atunci are

un singur maxim în şi deci .

OBSERVAŢIE Între valoarea medie , mediana şi moda

există aşa numita relaţie a lui Pearson:

DEFINIŢIE Raportul

dacă există, se numeşte asimetrie a repartiţiei lui , sau a lui .

DEFINIŢIE Expresia

dacă există se numeşte exces.

OBSERVAŢIE Mărimile sau indicatorii numerici definiţi mai sus sunt utili în

general în statistică pentru a studia diferite repartiţii.

3.7 Funcţia de repartiţie

DEFINIŢIE Pentru orice variabilă aleatoare , de numeşte funcţie de repartiţie a

lui funcţia

.

OBSERVAŢIE Din definiţie, se observă, că dacă este o variabilă aleatoare

discretă, atunci este dată de suma tuturor probabilităţilor valorilor lui

situate la stânga lui .


95

EXEMPLU Fie . Atunci, conform definiţiei :

.

Expresia se numeşte salt al funcţiei în

punctul şi se poate observa că:

.

PROPOZIŢIE Dacă este o variabilă aleatoare discretă şi funcţia de

repartiţie a acesteia, atunci pentru orice două numere date, Are loc:

1)

2)

3)

4) .

Demonstraţie. Fie , ,

şi . , , . Ca

urmare a proprietăţilor probabilităţii , se poate scrie că:

1) ,

2) ,

3)

,

adică tocmai afirmaţiile din propoziţie.


96

PROPOZIŢIE Dacă este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare , atunci

, ( este nedescrescătoare).

Demonstraţie. Din propoziţia 1.:

, , adică ,

.

3.8 Funcţia generatoare de momente

DEFINIŢIE Dacă există, expresia

se numeşte generatoare de momente asociată variabilei aleatoare .

OBSERVAŢIE Precizarea ,,dacă există’’ se referă la convergenţa sumei

sau a integralei când acestea o cer. Se presupune că şi

derivatele sale de ordin superior există. În plus, se constată că:

, , ,…

OBSERVAŢIE Utilizarea funcţiei generatoare de momente este recomandată

atunci când se pot calcula mai repede momentele decât pe cale directă.

EXEMPLU Fie , , , , .

Atunci . .

.


97

3.9 Funcţia caracteristică

DEFINIŢIE Fiind date variabilele aleatoare şi , se numeşte variabilă

aleatoare complexă , unde se numeşte partea reală, iar se

numeşte partea imaginară. Valoarea medie a lui este, prin definiţie

.

Fie o variabilă aleatoare reală cu funcţie de repartuţie

, este o variabilă aleatoare complexă, având

şi deci, mărginită. Valoarea medie a acesteia există şi este o funcţie

, , pe care o numim funcţie caracteristică a variabilei aleatoare .

DEFINIŢIE Numim funcţie caracteristică a variabilei aleatoare expresia:

presupunând că suma este convergentă.

PROPOZIŢIA 1 , , .

PROPOZIŢIA 2 Două funcţii de repartiţie şi sunt identice dacă şi

numai dacă funcţiile lor caracteristice şi coincid.

PROPOZIŢIA 3 Fie şi două variabile aleatoare. Dacă , atunci

.

Demonstraţie.

.

PROPOZIŢIA 4 Dacă şi sunt variabile aleatoare independente, atunci

.

Demonstraţie


98

.

PROPOZIŢIA 5 Dacă momentul de ordinul ( ) al unei variabile aleatoare

există, atunci derivata există pentru orice şi au loc relaţiile :

.

EXEMPLUL 1

.

3.10 Probleme rezolvate

1. Variabila aleatoare are şi . Se cere o

margine inferioară pentru probabilitatea .

Soluţie. Inegalitatea lui Cebîşev : ,

.

, deci

, de unde, conform inegalităţii lui Cebîşev:

.

2. Pentru variabila aleatoare sunt cunoscute media şi

momentul iniţial de ordinul doi . Stabiliţi o margine inferioară

pentru probabilitatea .


99

Soluţie. Putem determina dispersia variabilei :

. Din

.

3. Să se determine dispersia variabilei aleatoare cu media şi

dacă inegalitatea lui Cebâşev este .

Soluţie. şi ,

, .

4. Variabila aleatoare discretă este dată de

. Determinaţi constanta şi aflaţi

.

Soluţie. este variabilă aleatoare dacă astfel încât

,

.

Distribuţia variabilei este .

.

5. Considerăm că şi sunt variabile aleatoare independente, iar

distribuţiile lor sunt:


100

, , .

Să se scrie distribuţia variabilelor , , , . Pentru ce valori

ale lui ?

Soluţie.

, .

Distribuţia variabilei

3.11 Probleme propuse

1. Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete ale căror repartiţii sunt date în

tabelele incomplete de mai jos:

Y-2 -1 0 1 2


101

X

-1

0

1

Y0 1 2 3 4

X

0

1

2

a) Să se completeze tabelul în fiecare caz (dacă este posibil) pentru ca să

conţină repartiţia comună ( ) precum şi repartiţiile individuale ( ) şi ( ) ale

lui şi ;

b) scrieţi variabilele aleatoare şi corespunzătoare;

c) calculaţi .

2. Fie variabilele aleatoare şi . Dacă

să se determine repartiţia comună a variabilelor aleatoare

şi şi apoi să se calculeze .

3. Pentru variabilele aleatoare:


102

a) ; b) ;

a1) calculaţi , , , , , ;

a2) care din următoarele mărimi pot fi calculate şi care nu? De ce?

; , , ,

, ;

a3) calculaţi mărimile de la punctul a2) pentru care răspunsul este afirmativ.

4. Fie variabila aleatoare discretă , , . Să se calculeze

funcţia generatoare şi apoi funcţia caracteristică şi cu ajutorul acestora, pe rând

să se determine şi .

5. Calculaţi funcţia generatoare de momente şi funcţia caracteristică pentru

variabilele aleatoare

1) ; 2)

şi apoi verificaţi dacă momentele obţinute pe cale directă coincid cu cele

obţinute cu ajutorul acestor funcţii.

6. Scrieţi funcţia de repartiţie şi schiţaţi graficul acesteia pentru variabilele

aleartoare:

; .

7. Fie variabilele aleatoare independente:

; .

a) calculaţi , , , , , ;

b) care din următoarele mărimi pot fi calculate şi care nu? De ce?

; , , ,

, ;

c) calculaţi mărimile de la punctul b) pentru care răspunsul este afirmativ.


103


, să se determine repartiţia comună a variabilelor

aleatoare şi şi apoi să se calculeze . Să se facă discuţie după .

9. Dacă , , , şi .

Calculaţi pentru:

.

10. Să se determine variabilele aleatoare şi

, ştiind că , , şi .

Calculaţi apoi , şi presupunând că X şi

sunt independente.

11. Fie variabilele aleatoare

1) ; 2) .

a) să se determine variabilele aleatoare;

b) să se scrie funcţia de repartiţie;

c) Să se reprezinte grafic .


şi determinaţi repartiţia comună a

variabilelor aleatoare şi şi apoi calculaţi .

13. Fie variabila aleatoare discretă , , , , .

Să se calculeze funcţia generatoare şi apoi funcţia caracteristică şi cu ajutorul

acestora, pe rând să se determine şi .

14. Să se determine variabilele aleatoare:


104

şi ştiind că şi

. Să se calculeze apoi ; , , şi

.

15. Dacă şi sunt două variabile aleatoare astfel că ,

, şi , să se calculeze pentru

ştiind că .


105

cap 3 prob stat

Documents