cap. 3.doc

47
3. OSCILAŢII ŞI UNDE MECANICE 3.1. Definiţii, clasificări, mărimi caracteristice. Prin oscilaţie se înţelege variaţia periodică sau cvasiperiodică în timp sau/şi în spaţiu a mărimilor caracteristice ale unui sistem fizic, însoţită de o transformare a energiei dintr-o formă în alta. În cazul oscilaţiilor mecanice, poziţia corpurilor (oscilatorilor) variază periodic în timp de o parte şi de alta a unei poziţii de echilibru, energia cinetică transformându-se în energie potenţială şi reciproc. Oscilaţiile mecanice care odată amorsate se autoîntreţin - în sistemele ideale lipsite de pierderi - se numesc oscilaţii libere. Oscilaţiile care se întreţin prin aport energetic din exterior se numesc oscilaţii forţate sau întreţinute. Dacă amplitudinea oscilaţiilor rămâne constantă în timp oscilaţiile sunt neamortizate, iar dacă amplitudinea lor scade în timp oscilaţiile se numesc amortizate. Forţele care acţionează asupra corpurilor determinând mişcarea oscilatorie se numesc forţe de revenire şi ele pot fi de tip elastic sau de tip gravitaţional. Deplasarea corpului la un moment dat faţă de poziţia de echilibru se numeşte elongaţie. Elongaţia maximă, adică depărtarea maximă faţă de poziţia de echilibru, se numeşte amplitudine. Se numeşte perioadă, T, intervalul de timp în care se efectuează o oscilaţie completă. Frecvenţa, , reprezintă numărul de oscilaţii efectuate în unitatea de timp. Dacă într-un interval de timp t se efectuează un număr de n oscilaţii complete, atunci: (3.1) [T] şi: 31

Upload: costy-costin

Post on 08-Sep-2015

286 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Partea nti: MECANICA NEWTONIANA

3. OSCILAII I UNDE MECANICE

3.1. Definiii, clasificri, mrimi caracteristice.

Prin oscilaie se nelege variaia periodic sau cvasiperiodic n timp sau/i n spaiu a mrimilor caracteristice ale unui sistem fizic, nsoit de o transformare a energiei dintr-o form n alta.

n cazul oscilaiilor mecanice, poziia corpurilor (oscilatorilor) variaz periodic n timp de o parte i de alta a unei poziii de echilibru, energia cinetic transformndu-se n energie potenial i reciproc.

Oscilaiile mecanice care odat amorsate se autontrein - n sistemele ideale lipsite de pierderi - se numesc oscilaii libere. Oscilaiile care se ntrein prin aport energetic din exterior se numesc oscilaii forate sau ntreinute. Dac amplitudinea oscilaiilor rmne constant n timp oscilaiile sunt neamortizate, iar dac amplitudinea lor scade n timp oscilaiile se numesc amortizate.

Forele care acioneaz asupra corpurilor determinnd micarea oscilatorie se numesc fore de revenire i ele pot fi de tip elastic sau de tip gravitaional.

Deplasarea corpului la un moment dat fa de poziia de echilibru se numete elongaie. Elongaia maxim, adic deprtarea maxim fa de poziia de echilibru, se numete amplitudine.

Se numete perioad, T, intervalul de timp n care se efectueaz o oscilaie complet. Frecvena, , reprezint numrul de oscilaii efectuate n unitatea de timp. Dac ntr-un interval de timp t se efectueaz un numr de n oscilaii complete, atunci:

(3.1)

[T]

i:

(3.2)

cu:

Se observ c ntre perioad i frecven exixt relaia:

Se vor analiza n continuare, oscilaiile sistemelor cu un singur grad de libertate (oscilaiile unidimensionale); analiza oscilaiilor sistemelor cu mai multe grade de libertate realizndu-se comod n mecanica analitic.

3.2. Oscilaii liniar armonice

Un punct material efectueaz o oscilaie liniar armonic dac se afl ntr-un cmp de fore de potenial:

(3.3)

Pentru a demonstra aceasta, se consider x0 poziia de echilibru a punctului material, poziie n care energia potenial este minim (n general are un extremum), ceea ce nseamn c:

Pentru o poziie oarecare x, n ipoteza micilor oscilaii, energia potenial U(x) poate fi exprimat ca o dezvoltare n serie Taylor n jurul punctului x0:

sau, avnd n vedere c ;

Notnd: k=, alegnd axele astfel nct i considernd rezult, n final: .

Fora care acioneaz asupra punctului material este:

(3.4)

i, n cazul unidimensional analizat:

(3.5)

adic, o for de tip elastic.

Ecuaia de micare a punctului material este:

(3.6)

sau:

,

(3.7)

unde s-a avut n vedere c: i s-a notat , numind mrimea pulsaie proprie.

Ecuaia (3.7) este o ecuaie diferenial de ordinul doi, omogen, cu coeficieni constani.

Ecuaia caracteristic asociat acesteia este:

(3.8)

cu soluiile complex conjugate:

.

(3.9)

Soluia general a ecuaiei (3.7) este:

(3.10)

unde C1 i C2 sunt dou constante care, n general, pot fi scrise sub forma:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 i

EMBED Equation.3

(3.11)

cu A i ( dou noi constante (ce nlocuiesc constantele C1 i C2) i care se determin din condiiile iniiale ale micrii. nlocuind relaiile (3.11) n relaia (3.10) se obine:

(3.12)

Avnd n vedere relaiile lui Euler:

(3.13)

expresia (3.12) se scrie:

(3.14)

reprezentnd legea de micare pentru oscilaia liniar armonic (fig 3.1).

Derivnd relaia (3.14) n raport cu timpul se obine viteza micrii oscilatorii armonice:

(3.15)

i apoi acceleraia:

(3.16)

.

Fig. 3.1

3.3. Oscilaii amortizate

Oscilaiile a cror amplitudine scade n timp se numesc oscilaii amortizate. Ele sunt datorate existenei unei fore cu caracter rezistiv cu care mediul n care are loc oscilaia acioneaz asupra oscilatorului.

Ecuaia de micare, n cazul unidimensional, are expresia:

(3.17)

unde reprezint fora rezistiv (for de tip Stockes), r fiind o constant pozitiv.

Ecuaia (3.17) poate fi scris i sub forma:

(3.18)

dac se noteaz: (numindu-se coeficient de amortizare) i ( fiind numit ca n paragraful anterior, pulsaie proprie). Ecuaia (3.18) este o ecuaie diferenial de ordinul doi omogen cu coeficieni constani i are ecuaia caracteristic:

(3.19)

Soluiile ecuaiei (3.19) sunt:

.

(3.20)

Sunt posibile urmtoarele trei cazuri:

a). Cazul frecrilor relativ slabe (0). Rdcinile ecuaiei caracteristice (3.19) sunt n acest caz reale:

(3.34)

unde am notat . Soluia general a ecuaiei difereniale (3.18) este:

x(t)=[exp-

(3.35)

sau avnd n vedere relaiile:

exp(

(3.36)

Se obine:

x(t)=

(3.37)

unde A=C1+C2 i B=C1+ se determin din condiiile iniiale. n funcie de aceste condiii putem avea mai multe dependene ale elongaiei x de timp (fig.3.4.).

Fig.3.4

3.4. Oscilaii forate (ntreinute). Rezonana.

Pentru a compensa pierderile energetice ale sistemelor oscilante n medii rezistive, este necesar intervenia unei fore externe care, prin aport energetic din exterior, s ntrein oscilaiile.

Se presupune, pentru simplitate, c aceast for este de forma:

.

(3.38)

Experimental se constat dup trecerea unui regim tranzitoriu se stabilete regimul permanent n care sistemul oscilant efectueaz oscilaii forate de amplitudine constant i de frecvena forei externe perturbatoare.

Pentru cazul unidimensional, ecuaia de micare a oscilatorului este:

(3.39)

sau, avnd n vedere notaiile folosite deja:

i ;

ecuaia (3.39) se scrie:

(3.40)

Aceast ecuaie este o ecuaie diferenial neomogen de ordinul doi a crei soluie general are forma:

x(t)=xomogen+xparticular

(3.41)

Ecuaia omogen:

a fost rezolvat n . 3.3 i pentru cazul frecrilor relativ reduse (caz de interes practic) are soluia:

().

Soluia particular a ecuaiei (3.40) este presupus de forma membrului drept, adic:

(3.42)

unde constantele D i se cer determinate. Pentru aceasta se deriveaz n raport cu timpul relaia (3.42) i se obine:

i . (3.43)

nlocuind relaiile (3.42) i (3.43) n ecuaia (3.40) rezult:

. (3.44)

Cum:

,

(3.45)

nlocuind n relaia (3.44) i ordonnd dup sin(i cos(se obine:

. (3.46)

Relaia (3.44) este valabil pentru orice moment de timp. Particulariznd aceast relaie pentru dou momente t1 i t2, astfel nct: (=0 i (=rezult:

(3.47) i respectiv:

.

(3.48)

Ridicnd la ptrat relaiile (3.47) i (3.48) i nsumndu-le apoi membru cu membru se obine:

de unde rezult:

.

(3.49)

Din raportul relaiilor (3.47) i (3.48) se obine:

.

(3.50)

n final, soluia general a ecuaiei (3.40) este, innd cont de relaiile (3.41), (3.24), (3.42), (3.49) i (3.50):

()

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (3.51)

n aceast relaie primul termen al sumei reprezint o micare oscilatorie amortizat a crei amplitudine tinde n timp asimptotic ctre zero, ceea ce nseamn c oscilaia proprie a sistemului se anuleaz i rmne doar oscilaia datorat forei exterioare (al doilea termen al sumei) care i impune frecvena proprie de vibraie.

Legea de micare a oscilatorului supus oscilaiilor ntreinute devine, dup trecerea regimului tranzitoriu:

()=

EMBED Equation.3 (3.52)

Se va determina, n continuare, maximul amplitudinii D pentru cazul cnd frecvena a forei exterioare variaz. Din condiia:

rezult:

(3.53)

deci:

de unde:

(3.54)

Fig. 3.5.

Soluiile ecuaiei (3.54) sunt:

,

(3.55)

(3.56)

Cum nu este un caz de extrem pentru D, soluia care intereseaz este numit frecvena de rezonan. Pentru aceast frecven amplitudinea D are valori extreme:

(3.57)

n fig.3.5 sunt reprezentate curbele de rezonan i se observ c maximul amplitudinii este cu att mai mare cu ct factorul de amortizare este mai mic. Din relaia (3.57) se observ c pentru

3.5. Compunerea oscilaiilor

Se va studia micarea rezultant pe care o execut un punct material cnd este supus simultan la mai multe micri oscilatorii armonice ce pot s aib aceeai direcie sau direcii diferite. n acord cu principiul suprapunerii aciunii forelor, micarea rezultant reprezint compunerea oscilaiilor respective.

a) Compunerea oscilaiilor de aceeai frecven i n aceeai direcie

Dac:

(1)

(3.58)

i

+(2)

(3.59)

reprezint oscilaiile simultane la care este supus punctul material, atunci micarea rezultant va fi tot o oscilaie armonic:

(3.60)

unde constantele A i ( se cer determinate. Pentru aceasta, nlocuind expresiile pentru i n relaia (3.60) i dezvoltnd funciile sinus se obine:

(3.61)

Aceast relaie este valabil pentru orice moment de timp, astfel nct se pot alege dou momente de timp t1=0 i pentru care se particularizeaz relaia (3.61) i rezult:

,

(3.62)

respectiv:

.

(3.63)

Ridicnd la ptrat relaiile (3.62) i (3.63) i nsumndu-le apoi membru cu membru se obine:

(3.64)

Relaia (3.64) exprim dependena amplitudinii rezultante A de diferena de faz .

Cum cos rezult c, n general:

(3.65)

Cazurile extreme se obin pentru:

i) =2n; n=0;i atunci, oscilaiile fiind n faz;

ii) =(2n+1);iar A=, oscilaiile fiind n opoziie de faz;

Faza micrii rezultante se obine din raportul relaiilor (3.62) i (3.63):

.

(3.66)

Se menioneaz c rezultatele anterioare puteau fi obinute i folosind metoda fazorilor (vectorilor rotitori) ai lui Fresnel.

b) Compunerea oscilaiilor paralele de frecvene diferite. Fenomenul de bti.

n acest caz oscilaiile armonice care se compun sunt:

(1)

(3.67)

i

+(2)

(3.68)

Se cere legea de micare a oscilaiei rezultante:

(3.69)

Notnd: i rezult:

i .

(3.70)

Expresia oscilaiei rezultante va fi:

,

(3.71)

unde:

(3.72)

i

. (3.73)

Se observ c oscilaia rezultant nu mai este armonic deoarece att amplitudinea ct i faza iniial variaz n timp. Prezint interes cazul cnd pulsaiile (i deci i frecvenele) micrilor componente au valori apropiate, caz n care:

(3.74)

iar funciile A(t) i ((t) variaz foarte lent comparativ cu funciile sint i cost. Micarea rezultant este n acest caz o oscilaie modulat att n amplitudine ct i n frecven (fig.3.6); amplitudinea variind ntre limitele i A1+A2.

c). Compunerea oscilaiilor perpendiculare de frecvene egale

n acest caz, punctul material este supus simultan la dou oscilaii armonice perpendiculare:

(1)

(3.75)

i

+(2)

(3.76)

Intereseaz ecuaia traiectoriei punctului material i pentru aceasta se elimin timpul ntre relaiile (3.75) i (3.76). Pentru aceasta, din relaiile (3.75) i (3.76) se obine:

(3.77)

(3.78)

nmulind relaia (3.77) cu cos iar relaia (3.78) cu -cos i adunnd apoi rezultatele, rezult:

(3.79)

Pe de alt parte, nmulind (3.77) cu sini (3.78) cu -sin i adunnd rezultatele, se obine:

(3.80)

unde:

(3.81)

este faza relativ.

Ridicnd acum la ptrat relaiile (3.79) i (3.80) i nsumnd membru cu membru rezultatele, se obine, n final:

(3.82)

de unde se observ c ecuaia traiectoriei punctului material este ecuaia unei conice.

n funcie de defazajul

i de valorile amplitudinilor A1 i A2 sunt posibile urmtoarele forme particulare ale traiectoriei punctului material.

(i) Dac

=n, unde oscilaiile iniiale sunt n faz iar conica (3.82) degenereaz n dou drepte confundate, fig.3.7 - a, e.:

(3.83)

(ii) Dac =, unde

oscilaiile iniiale sunt la cvadradur, iar ecuaia (3.82) conduce la:

(3.84)

adic ecuaia unei elipse raportat la axele sale, fig.3.8 c,g. Dac, n plus, amplitudinile A1 i A2 sunt egale:

A1=A2=A

(3.85)

elipsa degenereaz ntr-un cerc.

(iii) n cazul general, i determinantul asociat conicei (3.82) este:

(3.86)

adic, ecuaia (3.82) descrie o elips nscris n dreptunghiul ale crui laturi sunt paralele cu axele Ox i Oy i ale cror lungimi sunt 2A1 i 2A2. Elipsa atinge laturile acestui dreptunghi n punctele, fig.3.7. - b,d,f,h.:

(3.87)

(3.88)

Fig. 3.7

Se precizeaz c traiectoria este parcurs n sens trigonometric pentru - i n sens antitrigonometric pentru .

d) Compunerea oscilaiilor perpendiculare de frecvene diferite

n cazul n care cele dou oscilaii se efectueaz pe direcii perpendiculare i au frecvene diferite:

(3.89)

i

(3.90)

traiectoria nu mai are forma unei elipse.

Dac raportul pulsaiilor (frecvenelor) este un numr raional, traiectoriile obinute sunt curbe nchise numite figurile Lissaujous. Forma lor este dependent de rapoartele: i de diferena de faz (fig. 3.8). Raportul pulsaiilor este egal cu numrul de atingeri ale curbei Lissaujous cu laturile dreptunghiului n care este nscris.

Dac raportul pulsaiilor (frecvenelor) este un numr iraional traiectoria nu se mai nchide, curbele fiind mai complicate.

Fig. 3.8.

3.6. Unde mecanice. Definiii, clasificri, mrimi caracteristice.

Unda reprezint o oscilaie n propagare spaio-temporal. Existena ei este condiionat de doi factori: sursa de oscilaie i mediul de propagare. Oscilaia produs de surs este transmis din aproape n aproape prin intermediul unui cmp. n funcie de natura acestui cmp putem avea unde mecanice (elastice), unde electromagnetice, .a.

n cazul undelor mecanice mediul n care are loc propagarea trebuie s fie continuu i elastic, adic format din particule ntre care se exercit interaciuni care permit propagarea perturbaiei cauzat de surs.

O consecin a micrii care trece de la o particul la alta a mediului este c energia poate fi transmis la distan prin propagarea undei.

Propagarea undei mecanice impune ca mediul s aib dou proprieti: elasticitate i inerie (n acest sens se remarc c viteza de propagare a unei perturbaii mecanice este finit i se exprim totdeauna sub forma unei rdcini ptrate a raportului dintre un parametru care definete rezistena mediului la deformaie i un parametru ce definete ineria mediului). Dac mediul nu ar avea elasticitate, atunci, la aplicarea unei excitaii localizate s-ar constata imediat, n orice punct la mediului, o perturbaie sub forma unei fore interne sau o acceleraie. Apoi dac mediul ar fi lipsit de inerie, nu ar exista nici o ntrziere n deplasarea particulelor i transmiterea perturbaiei de la o particul la alta ar avea loc instantaneu.

Perturbaia care se propag este - n general - funcie de coordonatele spaiale i de timp, adic, notnd cu mrimea perturbat:

(3.91)

unde se numete funcie de und.

Se numete front de und locul geometric al punctelor cele mai deprtate de surs atinse la un moment dat de micare. Se numete suprafa de und locul geometric al punctelor care oscileaz cu aceeai faz. n cazul mediilor izotrope perturbaia se propag cu aceeai vitez n toate direciile i atunci frontul de und coincide cu suprafaa de und.

Se numete lungime de und, , distana la care oscilaia s-a propagat ntr-o perioad n direcia de propagare, astfel dac v este viteza de propagare, T perioada, frecvena, lungimea de und este:

(3.92)

Exist mai multe criterii de clasificare a undelor mecanice:

a) dup direcia de oscilaie fa de direcia de propagare avem: unde longitudinale (dac direciile sunt paralele) i unde transversale (dac direciile sunt perpendiculare);

b) dup numrul de dimensiuni ale mediului cuprinse de und avem:unde unidimensionale, bidimensionale i tridimensionale.

c) dup forma frontului de und: unde plane i unde sferice;

d) dup dependena vitezei de propagare de lungimea de und: unde nedispersive (dac nu depinde de ) i dispersive (dac este funcie de );

e) dup frecven (tab.3.1):

Tab.3.1 Scara undelor mecanice

Mrimi caracteristiceFrecvena

(Hz)Lunfimea de und,(m)

Gaze

v=320ms-1Lichide

v=1200 ms-1Solide

v=4000 ms-1

Domeniul

Infrasunete

(infraacustic)10-2104--

1.6(102(107,5(102,5(102

Sunete (acustic)

1,6(102(107,5(102,5(102

1,6(1042(10-27,5(10-22,5(10-1

Ultrasunete

(ultraacustic)1,6(1042(10-27,5(10-22,5(10-1

2(1091,6(10-76(10-72,5(10-6

Hipersunete

(hiperacustic)2(1091,6(10-76(10-72,5(10-6

3(1010

1(101110-8--

f) dup numrul de unde: unda plan singular i grupul (pachetul sau trenul) de unde;

g) dup poriunea din spaiu cuprins de und: und plan singular infinit i unda staionar.

3.7. Ecuaia undei plane

Pentru a stabili ecuaia undei plane considerm o und care se propag de-a lungul unei drepte (fig. 4.10) ntr-un mediu elastic. Punctul S este sursa de oscilaie, creia i fixm coordonata x=0, de la care pornete att unda progresiv, ct i cea rezgresiv.

Fig. 3.10

Limitndu-ne la cazul undei progresive, ne propunem s studiem micarea unei particule P aflat la dreapta particulei surs S. Oscilaia particulei surs o presupunem de forma:

(3.93)

Timpul necesar ca perturbaia s se propage de la S la P este:

(3.94)

unde x este distana de la S la P, iar v este viteza de propagare a perturbaiei.

Micarea punctului P la momentul de timp t este aceeai cu micarea punctului S la momentul anterior ceea ce se obine nlocuind n (3.93) pe t cu , adic:

(3.95)

innd cont de relaia (4.94), ecuaia (4.95) se poate scrie:

(3.96)

sau, cum iar :

(3.97)

Definind numrul de und:

(3.98)

ecuaia undei plane (3.97) devine:

(3.99)

Din relaiile , (4.92) i (4.98) se obine c:

(3.100)

La un moment de timp t relaiile (3.95), (3.96), (3.97), (3.99) dau deplasarea de la poziia de echilibru a unei particule n funcie de coordonata x a acesteia.

Considernd propagarea undei n spaiul tridimensional, generaliznd relaia (3.99) se obine:

(3.101)

sau:

(3.102)

unde este vectorul de und; versorul direciei de propagare a undei; kx, ky, kz componentele carteziene ale vectorului de und:

(3.103)

( fiind versorii axelor Ox, Oy, Oz), iar:

(3.104)

Notnd faza undei:

(3.105)

frecvena undei, , definit ca viteza de variaie a fazei este:

(3.106)

iar vectorul de und este:

(3.107)

Semnul - corespunznd undei progresive, iar semnul + undei regresive.

Se remarc periodicitatea spaio-temporal a undei. Astfel, dac considerm cazul unidimensional, faza undei (3.105) devine:

(3.108)

Periodicitatea temporal este dat de condiia:

(3.109)

adic:

(3.110)

unde:; iar periodicitatea spaial este dat de condiia:

(3.111)

adic:

(3.112)

unde .

Vom numi viteza de faz , vf, viteza de propagare a suprafeelor de faz constant. Expresia vitezei de faz se obine prin diferenierea condiiei:

(3.113)

adic:

(3.114)

de unde:

(3.115)

Se observ c viteza de faz vf coincide cu viteza de propagare v a undei plane monocromatice.

3.8. Ecuaia de propagare a undelor mecanice

Considerm o und plan ce se propag n spaiul tridimensional:

(3.102)

sau:

(3.101)

Pentru a stabili ecuaia de propagare se calculeaz derivatele pentru funcia de und (3.101) i se obine:

(3.116)

(3.117)

(3.118)

(3.119)

Cum:

(3.120)

innd cont de relaiile (3.116), (3.117), (3.118), (3.119) se obine:

(3.121)

sau:

(3.122)

sau, mai condensat:

(

(3.123)

Relaiile (3.121), (3.122), (3.123) sunt expresii ale ecuaiei de propagare a undelor (mecanice - n particular). n scrierea lor am avut n vedere urmtorii operatori:

-operatorul vectorial diferenial nabla (n coordonate carteziene):

(3.124)

-operatorul Laplace (n coordonate carteziene):

(3.125)

-operatorul lui DAlambert:

(=

(3.126)

Dei pentru obinerea ecuaiei de propagare a undelor am pornit de la o form particular a soluiei (3.101), nu este limitat valabilitatea rezultatelor (de fapt, ca orice alt operaie a fizicii matematice, i ecuaia de propagare a undelor poate fi postulat, valabilitatea ei fiind confirmat de dezvoltrile ulterioare n acord cu faptele experimentale).

n general, soluia ecuaiei de propagare a undelor (3.121), (3.122), (3.123) depinde de condiiile iniiale, iar forma suprafeei de und depinde de forma sursei de perturbaie i de proprietile mediului elastic.

n cazul undei unidimensionale ecuaia de propagare a undei devine:

(3.127)

Pentru a determina soluia general a ecuaiei se fac schimbrile de variabil:

i

(3.128)

Ecuaia (3.127) devine:

(3.129)

de unde, deoarece este este independent de (, rezult:

(3.130)

i, dup integrare:

(3.131)

Tot din (3.129), deoarece i este independent de (, avem:

(3.132)

i, dup integrare:

(3.133)

innd cont de relaiile (3.131), (3.133), soluia general a ecuaiei (3.129) este:

(3.134)

iar pentru ecuaia (3.127) soluia devine-avnd n vedere schimbrile de variabil (3.128):

(3.135)

Grupurile de variabile i sunt dictate de forma ecuaiei (3.127) n timp ce funciile f i g sunt arbitrare, dar sunt determinate din condiiile la limit. Dei nu sunt precizate funciile f i g, soluia (3.135) precizeaz proprietile funciei de und. Astfel, considernd c la momentul t1 n punctul x1 avem f (x1-vt1) pentru ca la momentul t2 n punctul x2 s avem:

f (x2-vt2)= f (x1-vt1)

(3.136)

este necesar ca (funciile f i g fiind injective):

(3.137)

ceea ce nseamn c funcia f (x-vt) se propag fr deformaie n sensul pozitiv al axei Ox i de aceea se numete und progresiv. Un raionament analog conduce la precizarea funciei g(x+vt) ca und regresiv.

3.9. Unda sferic. Unda plan. Unda armonic plan.

a). Unda sferic - este unda produs de o surs punctiform. Pentru a rezolva n acest caz ecuaia de propagare (3.122) alegem un sistem de coordonate sferice cu originea n surs (fig.3.11) astfel c:

Fig.3.11

(3.138)

Expresia ecuaiei de propagare (3.122) capt forma: (n coordonatele sferice laplaceanul are expresia :

)

(3.139)

Pentru unda sferic-datorit simetriei:

(3.140)

astfel c ecuaia (3.139) capt forma:

(3.141)

Cum:

iar

ecuaia (3.141) devine:

(3.142)

Fcnd schimbarea de variabil ecuaia (3.142) devine:

(3.143)

adic o ecuaie de forma (3.127) a crei soluie este de forma (3.135), adic:

(3.144)Avnd n vedere schimbarea de variabil efectuat, obinem pentru funcia de und a undei sferice expresia:

(3.145)

unde primul termen din membrul drept reprezint unda progresiv, iar al doilea unda regresiv.

b). Unda plan-este generat fie de o surs plan, fie de o surs sferic n condiia n care domeniul de observaie (D) este situat la o distan foarte mare de surs (fig. 3.12).Considerm domeniul (D) de forma unei sfere de raz R i centrul n O fixat la o distan r1>>R de sursa S.

Raza de curbur a suprafeelor () de aceeai faz este cuprins n intervalul [r1-R, r1+R], deci cu dimensiunile domeniului, ceea ce permite ca suprafeele () s poat fi aproximat prin familia de plane paralele (), tangente la acestea n punctele situate pe dreapta determinat de S i O. ntr-un punct P din domeniul D la un moment dat t faza este definit exclusiv de abscisa x a planului de aceeai faz () pe care se afl P, abscisa fiind msurat pe o direcie normal la acest plan. Deci faza este:

(3.146)

iar n cazul undei progresive:

(3.147)

Fig. 3.12

n domeniul D se poate aproxima , astfel nct:

(3.148)

Unda (3.148) poart numele de und plan, datorit faptului c suprafeele de aceeai faz sunt plane. Direcia perpendicular pe planele de aceeai faz poart numele de direcie de propagare a undei.

c). Unda armonic plan - este o noiune idealizat reprezentnd o und nentrerupt extins la infinit, lungimea de und (frecvena) unei asemenea unde posednd o anumit valoare.

n acest caz , funcia de und depinde, de exemplu, exponenial de faz:

(3.149)

unde faza este:

(3.150)

unde este faza iniial.

Expresia (3.150) reprezint, de fapt, notaia n reprezentarea complex fa de reprezentarea cosinusoidal:

(3.151)

O und a crei funcie de und este:

(3.152)

se numete und armonic plan.

Importana undei armonice plane-ce nu exist n realitate-rezid din faptul c o und orict de complicat poate fi ntotdeauna reprezentat prin intermediul integralei Fourier ca o sum de perturbaii elementare de forma: adic:

(3.153)

unde A() este imaginea Fourier a funciei

3.10. Ecuaia atemporal a undelor

Ecuaia de propagare a undelor (3.122) este o ecuaie de tip dAlambert. n cazul n care soluia acestei ecuaii este o und armonic plan:

(3.154)

Ecuaia (3.122) se transform ntr-o ecuaie cu derivate pariale de tip Helmholtz:

(3.155)

numit ecuaia atemporal a undelor.

Se observ c pentru a fi obinut, n relaia (3.154) sunt separate prile spaiale i temporale, adic:

3.11. Deformarea solidelor produs de unde

a). n cazul n care unda ce se propag n solid este o und longitudinal apar n interiorul solidului comprimri i rarefieri. Vrem s determinm deformaia elastic relativ la momentul de timp t din planul transversal, care are poziia de echilibru de coordonat x, raionamentul fcndu-se unidimensional dup axa Ox. Delimitm n interiorul solidului un element de lungime dx n stare neperturbat ntre punctele P1(x) i P2(x+dx) (fig.3.13).

Datorit propagrii undei longitudinale starea elementului de solid considerat este perturbat, coordonatele punctelor P1 i P2 fiind: i ; i reprezentnd acum deplasrile planelor x i x+dx.

Prin definiie, deformaia elastic relativ este dat de raportul dintre deformaia absolut datorit propagrii undei longitudinale i lungimea a elementului considerat. Alungirea absolut este:

Dezvoltnd n serie Taylor:

EMBED Equation.3 alungirea absolut devine:

(3.156)

i n final pentru deformaia elastic relativ se obine:

(3.157)

b). n cazul n care n solid se propag o und transversal apar n interiorul solidului alunecri (sau forfecri). Dac unda transversal se propag n direcia axei Ox, particulele au deplasri (elongaii) transversale (perpendiculare) pe direcia de propagare Ox. Dou puncte infinit vecine n starea neperturbat P1 (x, 0) i P2 (x+dx, 0) se vor deplasa (odat cu ntregul plan transversal) n poziiile i (fig.3.14). Deci, planele vecine x i x+dx au suferit o lunecare unul fa de altul, lunecare ce definete prin unghiul de forfecare ce se cere determinat. Acest unghi considerat mic, astfe nct se aproximeaz:

(3.158)

Fig.3.14Din fig.3.14 se observ c:

(3.159)

i cum:

(3.160)

,

(3.161)

rezult:

(3.162)

3.12. Viteza de propagare a undelor n solide

a). Cazul undelor longitudinale.

Considerm un element de mas dm i volum dV0=S0dx al solidului avnd densitatea n stare neperturbat. n urma propagrii undei, elementul de mas va avea volumul dV i densitatea (fig.3.15).Fig.3.15

Alungirea elastic relativ a elementului este (conform paragrafului 3.11.a):

(3.157)

i este datorat forei rezultante ce acioneaza asupra elementului considerat:

(3.158)

unde: S0 este seciunea elementului de mas; este efortul unitar i am folosit dezvoltarea n serie Taylor:

(3.159)

Avnd n vedere legea lui Hooke:

(3.160)

unde E este modulul de elasticitate (Young) al mediului solid din relaiile (3.157), (3.158) rezult:

(3.161)

Pe de alt parte, fora rezultant poate fi scris conform principiului fundamental al dinamicii newtoniene:

(3.162)

unde:

dm=

iar aeste acceleraia unei particule atins de und.

Deci:

(3.163)

i egalnd relaiile (4.161) cu (4.163) se obine:

(3.164)

Dup simplificri i aranjarea convenabil a termenilor, relaia (3.164) capt forma:

(4.165)

care, comparat cu ecuaia (3.127), stabilete viteza de propagare a undelor longitudinale n solide (relaia (3.166) se numete formula lui Newton):

(3.166)

b). Cazul undelor transversale.

n acest caz fora rezultant ce acioneaz asupra elementului de mas dm considerat este transversal pe direcia de propagare, fiind dat de tensiunea elastic tangenial datorit forfecrii (lunecrii), (fig. 3.16).

Fig.3.16

Considernd o lege de tip Hooke pentru deformaiile de forfecare (alunecare):

(3.167)

unde este efortul unitar tangenial, unghiul de forfecare, iar G modulul de frecare (lunecare) avem:

sau dezvoltnd n serie Taylor:

(3.168)

innd cont de relaiile (3.167) i (3.162):

(3.169)

Pe de alt parte, conform principiului fundamental al dinamicii newtoniene:

dF=a dm

adic:

(3.170)

Egalnd relaiile (3.169) i (3.170) dup simplificri i aranjarea convenabil a termenilor, se obine:

(3.171)

relaie care comparat cu (3.127) definete viteza de propagare a undelor transversale n solide:

(3.172)

n general vtransv.