C A P I T O L U L 3

 

CINEMATICA MECANISMELOR.

  3.1.- Generalităţi.

  Cinematica mecanismelor are ca obiect de studiu determinarea poziţiilor, vitezelor şi acceleraţiilor elementelor conduse fără a ţine seama de forţele care le condiţionează mişcarea. În toate cazurile se consideră cunoscută mişcarea elementului sau elementelor conducătoare.

Având în vedere faptul că mecanismele se pot descompune în grupe structurale, analiza cinematică se reduce la studiul acestor grupe în scopul determinării:

- poziţiilor mecanismului pentru poziţii date ale elementelor conducătoare;

- traiectoriilor unor puncte de pe mecanism pentru întregul ciclu;

- vitezelor şi acceleraţiilor unor puncte de pe mecanism;

- vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare ale elementelor conduse;

O altă ipoteză fundamentală a analizei cinematice a mecanismelor se referă la faptul că elementele şi zonele de contact ale cuplelor cinematice se consideră având rigiditate infinită, ele păstrându-şi nemodificate formele şi dimensiunile, independent de intensitatea forţelor generalizate, care le solicită în timpul mişcării.

În timpul funcţionării mecanismelor, elementele se mişcă periodic; adică la un număr de rotaţii complete ale elementului conducător, elementele conduse execută aceleaşi mişcări ca şi în perioada precedentă.

Pentru studiul cinematic al mecanismelor este suficient a se studia mişcarea elementelor şi punctelor respective pentru o singură perioadă. În acest scop se studiază mişcarea mecanismului pentru un număr cât mai mare de poziţii ale elementului conducător.

Analiza cinematică a unui mecanism se poate efectua grafic, grafoanalitic sau analitic.

Datorită simplităţii lor, primele două metode au o utilizare mai largă.

3.2. Determinarea poziţiilor şi traiectoriilor.

  Determinarea poziţiilor şi traiectoriilor descrise de punctele caracteristice ale mecanismului pentru un ciclu cinematic, este necesară atât dimensionării subansamblurilor maşinii - care nu trebuie să vină în contact cu elementele mecanismului ajunse în poziţiile extreme - cât şi stabilirii spaţiului (gabaritului) ce urmează a fi ocupat de mecanism în cadrul maşinii. (Exemplu: - analiza traiectoriilor descrise de diverse puncte ale mecanismului manivelă-bielă-piston în raport cu carterul maşinii).

Pentru determinarea poziţiilor şi traiectoriilor unor puncte aparţinând unor elemente ale mecanismelor, metodele grafice sunt cele mai expeditive.

Aceasta, cu atât mai mult se impune când este vorba de mecanisme care conţin doar diade.

Metoda, oferă avantajul unei reprezentări la scară a traiectoriilor respective, cea ce este deosebit de util în fazele de proiectare.

Pentru aceasta se adoptă o scară kl.

Scara kl , reprezintă raportul dintre lungimea reală a

unui element cinematic, exprimată în metri şi lungimea de pe desen a aceluiaşi element, exprimată în milimetri.

Astfel:

 

(3.1.)

mm

mk l

Considerând că un element cinematic conducător 1 execută o mişcare de rotaţie (figura 3.1.a.) sau o mişcare de translaţie (figura 3.1.b.) faţă de batiu, poziţia acestuia va fi determinată univoc de unghiul , respectiv de abscisa x.

Traiectoriile descrise de puntul A de pe elementul conducător în mişcare de rotaţie sunt cercuri cu centrul în O, iar traiectoriile descrise de punctele B de pe elementul conducător în mişcarea de translaţie, sunt nişte drepte paralele cu axa Ox.

Figura 3.1.

3.2.1. Poziţiile diadelor.

Pentru a putea determina poziţiile elementelor grupelor structurale, este necesar a se cunoaşte poziţiile cuplelor marginale, precum şi geometria elementelor componente.

Poziţiile elementelor cinematice ale grupelor structurale de clasa a II-a, ordinul 2 (diadele), se determină cu ajutorul locurilor geometrice, astfel:

- La diadele de aspectul 1 se cunosc poziţiile cuplelor marginale A, C şi lungimile l1 şi l2, ale elementelor ce o compun (figura 3.2.). Determinarea poziţiei cuplei centrale B şi deci a elementelor 1 şi 2 se face prin trasarea a două cercuri - şi - , cu centrele în A şi C de raze l1 şi l2. Intersecţia acestor cercuri dă poziţiile B, B' ale cuplei centrale. Se alege una din cele două soluţii şi anume cea care corespunde succesiunii mişcării mecanismului din care face parte grupa .

Dacă cercurile - şi - nu se intersectează, problema nu admite soluţie, adică grupa nu există pentru datele iniţiale.

Figura 3.2.

- La diadele de aspectul 2, se cunosc:

- poziţia cuplei marginale A ;

- poziţia ghidajului x - x ;

- lungimea l1 a elementului 1 ;

- distanţa l2 de la cupla centrală B până la ghidajul x - x (fig. 3.3.);

Determinarea poziţiei cuplei centrale B, deci a elementelor 1 şi 2, se face prin trasarea unui cerc - cu centrul în A şi de rază l1, iar la distanţa l2 de ghidajul x - x se duce dreapta - paralelă cu x - x. Intersecţia cercului - cu dreapta - dă poziţiile B şi B' ale cuplei centrale.

Figura 3.3

Din aceste două soluţii se alege cea care corespunde succesiunii mişcării mecanismului din care face parte grupa. Dacă cercul - nu se intersectează cu dreapta - , nu există grupă pentru datele iniţiale.

- La diada de aspectul 3 (figura 3.4.) se cunosc:

- poziţiile cuplelor marginale A, B;

- distanţele l1 şi l2 de la cuplele A şi B la ghidajul x - x al cuplei centrale;

Determinarea poziţiei cuplei centrale care culisează pe ghidajul x - x, se face astfel:

Se trasează cercurile - , - , cu centrele A respectiv B cu razele l1 şi

l2, la care se duce tangenta comună x - x. Dacă cele două cercuri sunt exterioare, se

pot duce patru tangente comune şi anume două exterioare şi două interioare. Din aceste posibilităţi se va alege acel ghidaj x - x al cuplei centrale care corespunde succesiunii mişcării mecanismului din care face parte grupa. Dacă unul din cele două cercuri este interior celuilalt, atunci problema nu admite soluţie.

Figura 3.4.

- La diada de aspectul 4 (figura 3.5.) se cunosc :

- poziţiile ghidajelor x - x, y - y, ale cuplelor marginale;

- distanţele l1, l2 de la cupla centrală la ghidajele x - x, y - y;

Determinarea poziţiei cuplei centrale A a elementelor 1 şi 2 se face astfel:

La distanţa l1 de ghidajul x - x se duce dreapta - // x - x, iar la

distanţa l2 de ghidajul y - y se duce dreapta - // y - y. Intersecţia dreptelor

- , - determină poziţia cuplei centrale A a grupei.

Şi în acest caz, din cele patru soluţii posibile se alege cea corespunzătoare. Problema nu admite soluţie atunci, când - // - .

Figura 3.5.

- La diada de aspectul 5 (figura 3.6.) se cunosc:

- poziţia cuplei marginale A;

- poziţia ghidajului x - x al cuplei marginale de translaţie;

- distanţa l1 de la A la ghidajul y - y al cuplei centrale ;

- unghiul dintre cele două ghidaje x - x , respectiv y - y .

Determinarea poziţiei cuplei centrale de translaţie care culisează pe ghidajul y - y se face astfel:

Cu centrul în A şi de rază l1

se duce cercul - . La acesta se duce o tangentă sub unghiul faţă de ghidajul x - x.

Această tangentă se suprapune peste ghidajul y - y al cuplei centrale.

Din cele patru variante posibile, se alege cea corespunzătoare succesiunii mişcării mecanismului.

Figura 3.6.

3.2.2. Poziţiile triadei.

În cazul grupei de clasa a III - a, ordinul 3 (triada), (figura 3.7.) se cunosc:

- poziţiile cuplelor marginale A, B, C ;

- lungimile

Determinarea poziţiilor elementelor grupei se va face cu ajutorul locurilor geometrice.

;,,,,, '''4

''4

'4321 l l ll l l

Figura 3.7.

Cu centrul în A şi de rază l1 se duce cercul - , iar cu centrul în B şi de rază

l2 se duce cercul - .

Se iau pe - punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6 succesive pentru D, iar cu lungimea l4’

se determină punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale lui E corespunzătoare pe - , respectiv cu lungimile l4’’, l4’’’ se determină punctele succesive 1, 2, 3, 4, 5, 6

ale articulaţiei F care definesc curba de bielă - . Cu centrul în C şi de rază l3 se duce cercul - care va intersecta curba

- în punctele F şi F', dând două poziţii CF, CF' pentru elementul 3.

Se alege acea poziţie a elementului 3 care corespunde succesiunii mişcării mecanismului.

Cu centrul în F ales, se duc arce de cerc de raze l4’’şi l4’’’, care intersectează

cercurile - respectiv - , în punctele E şi D, obţinându-se în acest mod şi poziţiile elementelor 1, 2, 4 ale grupei.

Pentru a obţine mai repede curba bielă - se poate face un şablon corespunzător elementului 4.

Dacă punctele D şi E ale şablonului se pun pe cercurile - şi - în diferite poziţii, punctul F va descrie curba bielă - .

Poziţiile extreme ale unui mecanism

În timpul funcţionării unui mecanism, elementele mobile ale lui pot ocupa anumite poziţii particulare (poziţii critice), care duc la imposibilitatea transmiterii mişcării într-un anumit sens.

Acestea se numesc poziţii moarte sau poziţii extreme.

Exemplu:

- La mecanismul manivelă - bielă - piston (figura 3.8.), când manivela OA şi biela AB sunt coliniare se obţin poziţii moarte, adică mişcarea nu se poate transmite de la pistonul 3 la manivela 1.

Figura 3.8.

3.2.3. Determinarea traiectoriilor .

Punctele elementelor unui mecanism descriu diferite traiectorii în funcţie de mişcările pe care le efectuează.

În timp ce elementele unui mecanism ocupă diferite poziţii şi punctele

acestor elemente vor ocupa diferite poziţii, descriind o traiectorie.

Figura 3.9.

Când elementul execută o mişcare de translaţie, toate punctele lui vor descrie segmente de dreaptă, iar când elementul execută o mişcare de rotaţie, toate punctele vor descrie cercuri concentrice.

În cazul în care un element execută o mişcare plan - paralelă, deci elementul se numeşte bielă, traiectoriile lui se numesc curbe de bielă sau curbele lui Watt.

Punctele D, E, F, G, H aparţinătoare bielei AB a mecanismului patrulater (figura 3.9.) descriu curbe de bielă în timp ce manivela OA execută o mişcare de rotaţie de 360° în jurul lui O, iar balansierul BC execută o mişcare de oscilaţie în jurul lui C.

Curbele de bielă pot avea diferite forme. Astfel, curba e pe porţiunea 6 - 7 - 8 - 9 poate aproxima un arc de cerc, curba f pe porţiunea 11 - 12 - 1 poate aproxima o dreaptă, curba g prezintă puncte duble, curba h prezintă un vîrf etc.

Aceste forme particulare ale traiectoriilor unor puncte de pe biele îşi găsesc multe aplicaţii în construcţia de maşini, cu precădere în procesele de mecanizare şi automatizare ale maşinilor.

3.3. Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor la

elementele unui mecanism.

  3.3.1. Notaţii şi scări.

În cadrul analizei cinematice se caută a se determina vitezele şi acceleraţiile elementelor cinematice ale unui mecanism sau ale unor puncte ale acestora ce intră în structura unui mecanism.

Metodele de analiză cinematică pot fi grafice, grafo-analitice sau analitice.

În vederea reprezentării grafice a vitezei unui punct de pe mecanism se adoptă o scară kv.

Scara kv reprezintă raportul dintre viteza reală a unui punct,

exprimată în [m/s] şi lungimea de pe desen a aceleiaşi viteze, exprimată în [mm], adică:

(3.13.)

mm

smkv

Pentru reprezentarea grafică a acceleraţiei unui punct de pe mecanism se adoptă scara ka.

Această scară reprezintă raportul dintre acceleraţia reală a unui punct exprimată îm [m/s2] şi lungimea de pe desen a aceleiaşi acceleraţii exprimată în [mm], adică:

(3.14.)

Să considerăm un punct A în mişcare pe curba - , care are centrul de curbură în Ao (figura 3.11.). Viteza punctului A, vA este reprezentată în

figură de către vectorul AB, tangent la curbură şi perpendicular pe raza de curbură AAo.

mm

smk

2

a

Figura 3.11

Se poate scrie :

 

Notând raza de curbură (AoA) cu rA, se poate scrie:

unde:

v

A

k

vAB

l

Ao k

rAA

U.desen

U.M.reala

mm

mk1

(3.18.) ;εωrrεrωaaa

(3.17.) ;aaa

(3.16.) ra ;εra

:unde ;k

aAD

(3.15.) ;r||a ;rωr

va

:unde ;k

aAE

;k

aAC

24A

2A

22A

22tA

2nAA

tA

nAA

AtAA

tA

a

tA

AnAA

2

A

2An

A

a

nA

a

A

Figura 3.11

Acceleraţia lui A este reprezentată prin segmentul (AC) şi se descompune în componenta normală (AE) şi tangenţială (AD).

Analog se poate scrie:

Pentru a efectua studiul vitezelor şi acceleraţiilor din punct de vedere analitic, se consideră un element al unui mecanism, având o mişcare oarecare în plan (figura 3.12.).

Un punct A al elementului are viteza vA şi acceleraţia aA.

Vectorii vA şi aA se pot descompune după direcţiile axelor unui sistem

de referinţă.

Figura 3.12.

Rezultă relaţiile:

(3.20.)

sinβay

cosβax

(3.19.)

sinαvy

cosαvx

AA

..

AA

..

AA

.

AA

.

Aşadar, proiecţiile vectorilor viteză şi acceleraţiile se pot exprima în funcţie de mărimile vectorilor vA şi aA şi de unghiurile şi .

Dacă se cunoaşte vA înseamnă că se cunoaşte şi unghiul cu direcţia

elementului, deci :

= + D; (3.21.)

şi analog:

= – D; (3.22.)

Este de asemanea evident că :

 

(3.23.)

 

În calculele analitice se va lucra deci cu proiecţiile vectorilor viteză şi acceleraţie pe axele sistemului adoptat. Sensul vectorului viteză sau acceleraţie este luat în considerare prin semnul respectiv.

2

A

..2

A

..

A

2

A

.2

A

.

A

yxa

yxv

3.3.2.- Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor pentru elemente în mişcarea de translaţie.

Metoda analitică

Se cunoaşte mărimea, direcţia şi sensul vitezei unui punct de pe element (figura 3.14.). Descompunând vectorul vA după cele două axe, se pot scrie relaţiile:

Similar se pot scrie următoarele relaţii pentru acceleraţii:

 

(3.27.) sinDvy

(3.26.) cosDvx

AA

.

AA

.

(3.29.) sinDay

(3.28.) cosDax

AA

..

AA

..

Figura 3.14.

Pentru elementul 1 aflat în mişcatrea de translaţie faţă de baza 2, se poate scrie relaţia:

adică, vitezele tuturor punctelor de pe elementul 1 sunt egale şi paralele între ele. Analog, acceleraţiile tuturor punctelor de pe elementul 1 sunt egale şi paralele între ele, fiind valabilă relaţia:

vvv AB

aaa BA

Figura 3.15.

3.3.3.- Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor pentru elemente

în mişcarea de rotaţie.

Metoda analitică.

De la Mecanică se cunoaşte că pentru elemente spaţiale este valabilă relaţia de calcul a vitezei:

  (3.33.)

 

Pentru elemente plane rezultă:

  (3.34.)

 Proiectând vectorul v pe cele două axe obţinem:

 

kxωyω

jxωzωiyωzω

zyx

ωωω

kji

rωv

yx

zxzyzyx

jxωiyωv zz

(3.36.) ωx y

(3.35.) ωy x.

.

Pentru a calcula acceleraţiile se derivează relaţia vitezelor :

  (3.37.)

şi se obţin următoarele expresii:

 

(3.38.)

rωωrεdt

rdωr

dt

ωd

dt

rωd

dt

vda

kxεyεjxεzεiyεzε

zyx

εεε

kji

rε yxzxzyzyx

kyωzωωxωzωω

jyωzωωxωyωωixωzωωxωyωω

yωyωxωzωyωzω

ωωω

kji

rωω

zyyzxx

zyzyxxzxzyxy

xxzxzy

zyx

(3.39.)

Pentru un element cu mişcare în plan, rezultă:

 

Notând cu r lungimea elementului şi cu D unghiul făcut de element cu axa

+ Ox, se poate scrie:

x = r cos D ; y = r sin D ;

Cu aceste notaţii, relaţiile (3.35.) şi (3.36.) devin:

(3.42.) εx yωy

(3.41.) εy xωx

deci

jyωxεixωyεa

2..

2..

2

zz

2

zz

.)40.3(

(3.46.) εrcosD;rsinDωy

(3.45.) εrsinD;rcosDωx

(3.44.) ωrcosD;y

(3.43.) ωrsinD;x

2..

2..

.

.

Exemplu: - Se consideră elementul din figura 3.16, la care se aplică relaţiile obţinute:

 

Avînd > 0 (sensul trigonometric pentru este sens pozitiv, deoarece v = r), iar D fiind cuprins între 0 şi 90°, rezultă cos D > 0, sin D > 0, deci xA < 0,yA > 0 ceea ce corespunde cu sensurile din figură.

ωrcosD;y

ωrsinD;x

A

.

A

.

Figura 3.16

În cazul acceleraţiilor (figura 3.18.), se scriu relaţiile:

Din aceste relaţii rezultă xA < 0 şi yA > 0, deoarece > 0, > 0, sin D > 0,

cos D > 0, iar proiecţia lui aAt pe axa Oy este mai mare ca proiecţia lui aA

n

pe aceeaşi axă.

Din aceste exemple se constată că relaţiile obţinute sunt corecte.

εrcosD;rsinDωy

εrsinD;rcosDωx

2A

..

2A

..

Figura 3.18

3.3.4.- Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor pentru un element

în mişcare plan - paralelă.

- Metoda grafo - analitică.

Mişcarea unui rigid în care un plan al rigidului alunecă permanent pe un plan fix poartă denumirea de mişcare plan - paralelă sau mişcare plană.

Triunghiul MAB pentru a se deplasa din poziţia iniţială în poziţia M'A'B' (figura 3.19.), se va deplasa printr-o translaţie pînă în poziţia M'A"B", apoi printr-o rotaţie în jurul lui M' se aduce în poziţia M'A'B'.

Figura 3.19.

În acest caz se poate scrie:

unde v este viteza de translaţie, iar este viteza unghiulară în rotaţia în jurul lui M.

Făcând diferenţa între relaţiile (3.47.) şi (3.48.) se obţine:

(3.48.) ;MBωvv

(3.47.) ;MAωvv

B

A

(3.49.) ;BAωvv

sau , MAMBωvv

AB

AB

Exemplu: În cazul unui element în mişcarea plană (figura 3.20.) se dă viteza punctului A şi se cere să se construiască vectorul vitezei vB. Pentru aceasta se duce

printr-o translaţie vA în B; vBA fiind viteza în mişcarea de rotaţie a lui B faţă de A,

va fi dată de relaţia :

(3.51.)

Se duce prin vârful lui vA, o perpendiculară pe AB; pe această dreaptă se

va afla vârful vectorului vB. Cunoscându-se viteza unghiulară a elementului, se

calculează vBA şi se determină vB.Din figura 3.20. se constată că vA şi vB au

aceeaşi proiecţie pe lungimea elementului; de aici rezultă regula proiecţiilor care se enunţă astfel: pentru un element în mişcarea plană, proiecţiile vitezelor a două puncte pe direcţia dreptei care le uneşte sunt egale. Dacă proiecţiile nu ar fi egale, punctele respective de pe element s-ar îndepărta sau s-ar apropria, ceea ce nu este admisibil în construcţia mecanismelor.

ABv ;ωlv BAABBA

Figura 3.20.

În cazul acceleraţiilor, relaţia cunoscută din Mecanică este:

(3.52.)

 unde:

(3.53.)

(3.54.)

 

Sensul lui anBA este spre centrul de rotaţie, deci de la B spre A, iar sensul

lui atBA este sensul lui .

t

BA

n

BAAB aaaa

AB||a ;lωl

va

n

BAAB

2

AB

2

BAn

BA

ABa ;lεat

BAABtBA

Exemplu: În figura 3.21. se duce printr-o translaţie aA în B, apoi se

calculează anBA şi at

BA cunoscând pe şi . Cunoscând şi direcţiile

componentelor anBA şi at

BA, se determină aB.

Observaţie: În cazul unui element în mişcarea plan - paralelă, se poate cunoaşte distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor, dacă se cunosc:

- viteza şi acceleraţia unui punct;

- viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a elementului;

 

Figura 3.21.

-Metoda analitică.

Tot din Mecanică se cunoaşte relaţia:

(3.55.)

 Această relaţie diferă de relaţia (3.33.) prin vectorul vo.

Prin analogie cu cele de mai sus, rezultă relaţiile:

rωvv o

(3.59.) εrcosD;rsinDωyy

(3.58.) εrsinD;rcosDωxx

(3.57.) ωrcosD;yy

(3.56.) ωrsinD;xx

2B

..

C

..

2B

..

C

..

B

.

C

.

B

.

C

.

Exemplu: Fie un element BC ca în figura 3.22. Din această figură se constată că: xB < 0 ; > 0, sin D > 0, deci xC < 0 ; yB > 0 , cos D > 0, deci

yC > 0, ceea ce corespunde cu sensurile din figură.

Dacă se vor lua şi alte cazuri cu alte poziţii ale elementelor BC din ambele figuri de mai sus, se va constata că relaţiile obţinute au caracter de generalitate.

Figura 3.22.

3.3.5.- Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor punctelor elementelor

în mişcarea plan relativă.

3.3.5.1.- Metoda grafo - analitică.

Cazurile analizate mai sus sunt caracterizate prin existenţa în permanenţă a unui punct comun elementelor şi anume, centrul cuplei care le leagă. În cazul cuplelor legate printr-o cuplă de translaţie, elementele nu mai au permanent un punct comun, de aceea se aplică relaţiile cunoscute din mişcarea relativă.    

Figura 3.24.

Mişcarea unui punct B pe o curbă

din planul P se numeşte mişcare relativă. Mişcarea lui P faţă de un plan Po se numeşte

mişcare de transport, iar mişcare lui B faţă de planul Po se numeşte mişcare absolută

(figura 3.24.).

Din Mecanică se cunosc relaţiile:

   

(3.61.) aaaa

(3.60.) vvv

crta

rta

În cazul mecanismelor, elementele 1 şi 2 (figura 3.25.) fiind legate printr-o cuplă de translaţie, există mişcare relativă în cazul când ambele elemente sunt mobile.

În acest caz, la un moment dat, unui punct B, de pe elementul 1, notat cu B1 îi va

corespunde un punct B2 de pe elementul 2; între punctul B2 şi elementul 1 există mişcare

relativă. Relaţiile de calcul sunt:

(3.63.) aaaa

(3.62.) vvvC

B21B21B1B2

B21B1B2

Figura 3.25.

Unde:

vB2 este viteza absolută;

vB1 viteza de transport;

vB21 este viteza relativă.

Analog,

aB2 este acceleraţia absolută;

aB1 este acceleraţia de transport;

aB21 este aceleraţia relativă;

aCB21 este acceleraţia Coriolis.

Observaţii:

- Deoarece mişcarea relativă din elementele 1 şi 2 este o translaţie după direcţia y - y, viteza relativă şi acceleraţia relativă vor avea direcţia paralelă cu direcţia y - y.

- Acceleraţia Coriolis este dată de relaţia:

(3.64.)

unde t este viteza unghiulară în mişcarea de transport.

- Direcţia lui aCB21, este perpendiculară pe vectorul vitezei relative.

Pentru a se determina sensul lui aCB21, se procedează astfel:

- se roteşte viteza relativă cu 90° în sensul lui t, în jurul originii sale (figura

3.25.).

B21t

C

B21 vω2a

3.3.5.2.- Metoda analitică.

În subcapitolul precedent s-a reamintit că viteza absolută va se calculează

cu relaţia (3.60.), unde vt este viteza din mişcarea de transport, iar vr viteza din

mişcarea relativă, având direcţia paralelă cu direcţia mişcării relative, dacă aceasta este o mişcare de translaţie.

În raport cu sistemul de coordonate Oxy, se obţin relaţiile:

(3.66.) vvv

(3.65.) vvv

rytyay

rxtxax

Calculul acceleraţiilor se face cu relaţia (3.61), iar acceleraţia aC numită acceleraţie

Coriolis se poate calcula cu relaţia:

(3.68.)

kωvωvjωvωv

iωvωv2

vvv

ωωω

kji

2vω2a

tyrxtxrytzrxtxrz

tzrytyrz

rzryrx

tztytxrtC

Pentru mişcarea plană se obţine:

(3.69.) jωviωv2a tzrxtzryC

respectiv:

(3.71.) v2ωa

(3.70.) v2ωa

rxtCy

rytCx

Acceleraţia absolută se poate calcula cu relaţiile:

(3.73.) v2ωaaa

(3.72.) v2ωaaa

rxtrytyay

rytrxtxax

3.4.- Cinematica grafică a mecanismelor.

 3.4.1.- Diagrame cinematice.

Determinând poziţiile, vitezele şi acceleraţiile unor puncte ale elementelor conduse pentru diferite poziţii ale elementului conducător, acestea se pot reprezenta grafic, fie în funcţie de timp, fie în funcţie de parametrul independent (coordonata generalizată) care poziţionează elementul conducător. Aceste reprezentări poartă denumirea de diagrame cinematice.

Dacă se reprezintă grafic vectorii reprezentativi ai poziţiilor , vitezelor sau acceleraţiilor unui punct se obţin diagrame cinematice vectoriale, iar dacă se reprezintă doar mărimile reprezentative ale poziţiilor, vitezelor sau acceleraţiilor unui punct, se obţin diagrame cinematice scalare.

Diagramele cinematice vectoriale se mai numesc şi hodografe.

Acestea pot fi:

- locale, atunci, cînd vectorii reprezentativi ai vitezei sau acceleraţiei unui punct se pun chiar în punctul considerat şi li se unesc vârfurile; hodograful poziţiilor unui punct este tocmai traiectoria descrisă de punctul în cauză;

- polare, atunci, când vectorii reprezentativi ai vitezei sau acceleraţiei unui punct se pun cu originea într-un pol şi li se unesc vârfurile.

Mai des utilizate în practică sunt diagramele cinematice scalare.

Într-un sistem de axe rectangulare, aceste diagrame oferă o imagine a variaţiei spaţiului, vitezei sau acceleraţiei unui punct al mecanismului .

Dacă se consideră mecanismul manivelă-bielă-piston (figura 3.28.a.) se poate ridica diagrama spaţiului parcurs de pistonul 3 pentru diferite poziţii ale manivelei (figura 3.28.b.).

Mod de lucru:

- Se împarte cercul pe care-l descrie manivela OA într-un număr de părţi, de preferinţă egale, (exemplu: - 12părţi egale).

- Corespunzător acestor poziţii ale manivelei, se înregistrează spaţiile parcurse de pistonul 3 faţă de o poziţie extremă, Bi a acestuia.

- Pe axa absciselor, la scara k [rad/mm] se pun unghiurile 1, 2,......, 12

corespunzătoare punctelor A1, A2, ....., A12.

- Pe axa ordonatelor , la scara kl [m/mm] se pun spaţiile S1, S2, ..... , S12

corespunzătoare pistonului.

- Scara k se obţine din relaţia:

(3.87.) mmrad

x

2πk

Figura 3.28.

unde x [mm] este segmentul de pe abscisă prin care se reprezintă unghiul de 2 [rad].

Dacă pe axa absciselor, în locul parametrului se pune timpul la scara:

(3.88.)

unde T este perioada (timpul în secunde) a manivelei OA, iar x [mm] este segmentul de pe abscisă prin care se reprezintă perioada T [s], atunci din relaţiile (3.87.) şi (3.88.) rezultă relaţia de legătură între cele două scări:

  (3.89.)

 

Pentru trasarea diagramei vitezei v şi acceleraţiei a a pistonului 3 este necesar să se construiască planul vitezelor şi al acceleraţiilor în cele 12 poziţii ale mecanismului.

Avînd ridicată diagrama cinematică S = S() sau S = S1(t), diagramele

vitezelor v = v() ; v = v1(t), respectiv ale acceleraţiilor a = a() ; a = a1(t), se pot

obţine şi prin derivare grafică succesivă.

mms x

Tk t

tt kωk adica ;kT

2πk

3.4.2.- Trasarea diagramelor cinematice prin metoda calculatorului electronic.

Metoda electronică utilizează facilităţile pachetului de programe

Microcal Origin.

• După deschiderea computerului se vor efectua următoarele operaţii:        

- Alegeţi Programs, apoi Microcal Origin din meniul Start din Windows şi pe ecranul computerului va fi afişată caseta de dialog respectiv tabelul din figura 4.3;

- În coloana A corespunzătoare axei x se vor trece de la consolă valorile unghiurilor , iar în coloana B corespunzătoare axei y, valorile deplasării s a pistonului;

Figura 4.3.

-         - Executaţi clic pe opţiunea Plot, apoi Line din bara de meniuri după care apare caseta de dialog din figura 4.4;

-         - Se selectează coloana B după care se dă clic pe săgeata cu sensul spre coloana y pentru a fi primită de aceasta;

- Se dă clic pe OK şi apare diagrama y=s(), din figura 4.5, ce reprezintă variaţia deplasării s a pistonului în funcţie de unghiul de rotaţie a manivelei;

- De pe bara cu meniuri se dă clic pe Math şi se alege opţiunea Differentiate pentru a deriva funcţia y=s(). Se obţine astfel

diagrama vitezei din figura 4.6. sy..

Figura 4.4.

Figura 4.5.

Pentru a se obţine diagrama acceleraţiei se parcurg următoarele etape:

- Din bara cu unelte (figura 4.7) se selectează semnul de poziţionare a coordonatelor x şi y ale unui punct de pe curba de variaţie a vitezei pistonului, obţinută mai înainte (se utilizează curba punctată obţinută prin corectarea celei reale);

- Se aleg în mod succesiv mai multe puncte de pe curba vitezei prin aplicarea câte unui clic pe fiecare punct selectat. După ce se dă clic pe un punct al curbei în partea de sus a diagramei se imprimă coordonatele x şi y ale acestui punct ca în figura 4.8. Aceste coordonate se înscriu într-un nou tabel de date (Data 2).

- Executaţi clic pe opţiunea Plot, apoi Line din bara de meniuri după care apare caseta de dialog din figura 4.4;

   - Se selectează coloana B după care se dă clic pe săgeata cu sensul spre coloana y pentru a fi primită de aceasta;

- Se dă clic pe OK şi apare aceeaşi diagramă , din figura 4.6;

- De pe bara cu meniuri se dă clic pe Math şi se alege opţiunea Differentiate pentru a deriva funcţia .

- Se obţine astfel diagrama acceleraţiei , figura 4.9.

sy..

sy..

sy

....

Figura 4.9.

3.5. Cinematica analitică a mecanismelor prin metoda contururilor

Analiza cinematică a unui mecanism se poate efectua:

- grafic;

- grafoanalitic;

- analitic.

Datorită simplităţii lor, primele două metode sunt mai expeditive şi intuitive dar mai puţin precise.

Mărirea preciziei de evaluare a mărimilor cinematice ale mecanismelor impune folosirea metodelor analitice.

Pentru analiza cinematică a mecanismelor plane se folosesc metodele cunoscute din geometria analitică, aplicabile schemelor cinematice. Cele mai cunoscute sunt:

-    metoda contururilor independente (ciclurilor);

-    metoda intersecţiilor.

         La utilizarea metodei contururilor independente, ecuaţiile de poziţie

sunt obţinute pe baza relaţiilor vectoriale ale ciclurilor ce schematizează contururile independente formate din elementele mecanismului.

Cu reprezentarea simplificată a acestora prin segmente de dreaptă (figura 2.1), proiecţiile conturului vectorial ABCD…N pe axele de coordonate ale sistemului fix conduc la ecuaţii scalare de forma:

 

(2.1) .0sin....cossinsinsin

;0cos....sincoscoscos

3321

3321

NmA

NmA

YMNdSBCABY

XMNdSBCABX

Figura 2.1. Schematizarea contururilor mecanismelor plane.

Observaţii:

- Sistemul de ecuaţii astfel format, pentru un mecanism alcătuit din mai mult decât două grupe structurale (cinematice), se descompune în subsisteme ce pot fi rezolvate independent.

- Aceasta arată că, pentru analiza mecanismelor, folosirea grupelor structurale prezintă importante avantaje.

- De asemenea, nu trebuie ignorat faptul că numărul grupelor structurale este relativ redus, iar numărul mecanismelor ce pot fi formate şi studiate folosindu-se aceste grupe este foarte mare.

- Metoda contururilor independente este cel mai mult utilizată în analiza cinematică a mecanismelor.

        Metoda intersecţiilor, exprimă faptul că centrul unei cuple de rotaţie se găseşte la intersecţia a două cercuri, sau la intersecţia unei drepte cu un cerc sau cu o altă dreaptă.

Aceasta înseamnă că distanţa dintre oricare două puncte ale unui element sau de la un punct la o dreaptă a aceluiaşi element, este constantă în timpul funcţionării (ipoteza rigidităţii).

Se obţin, în felul acesta, expresii relativ simple pentru funcţiile de transmitere ale grupelor de clasa a II-a (diade), dar mult mai complicate pentru grupele de clase superioare (triade, tetrade).

3.5.2. Analiza cinematică a grupelor structurale active

- Analiza cinematică a grupelor structurale active are ca scop stabilirea funcţiilor de transmitere şi a parametrilor cinematici ai cuplelor potenţiale de ieşire, în funcţie de mărimile variabilelor cuplelor conducătoare şi a celor exterioare de intrare.

- Variabilele cuplelor conducătoare sunt coordonatele, vitezele şi respectiv acceleraţiile generalizate ale problemei, iar parametrii cuplelor potenţiale rezultă în urma analizei cinematice a grupelor precedente.

- Grupa este formată dintr-un singur element numit conducător (figura 2.8), care este conectat prin cupla activă A la elementul i şi prin cupla de ieşire B la elementul j.

- Dreapta translaţiei din cupla activă este definită prin punctul P şi prin unghiul al versorului, prin care se precizează sensul pozitiv al acesteia.

Figura 2.8. Schemele cinematice ale grupelor active R şi T.

3.5.2.1. Analiza cinematică a grupei cu mişcare de rotaţie

a)    - Deplasări

Funcţiile de transmitere ale grupei active cu mişcare de rotaţie (elementului conducător cu mişcare de rotaţie), figura 2.9, sunt:

(2.44)

(2.45)

b)    – Viteze

Prin derivarea relaţiilor (2.44) şi (2.45) rezultă:

(2.46)

(2.47)

c)     – Acceleraţii

Prin derivarea relaţiilor (2.46) şi (2.47) rezultă:

(2.48)

(2.49)

;coslxx 101

.sinlyy 101

;.sin 11 lx

..cos 11 ly

;.sin.cos 12

11 llx

..cos.sin 12

11 lly

Figura 2.9. Schema cinematică a elementului conducător cu mişcare de

rotaţie R.

3.5.2.2. Analiza cinematică a grupei cu mişcare de translaţie

a) – Deplasări

Funcţiile de transmitere ale grupei active cu mişcare de translaţie (elementului conducător cu mişcare de translaţie), figura 2.10, sunt:

(2.50)

(2.51)

;coscos 101 lSxx

.sinsin 101 lSyy

Figura 2.10. Schema cinematică a elementului conducător cu mişcare de translaţie T.

b)    – Viteze

Prin derivarea relaţiilor (2.50) şi (2.51) rezultă:

(2.52)

(2.53)

c)     – Acceleraţii

Prin derivarea relaţiilor (2.52) şi (2.53) rezultă:

(2.54)

(2.55)

;cossx1

.sinSy1

;cosSx1

.sinSy1

3.5.2.3. Analiza cinematică a grupei cu mişcare plană

a) – Deplasări

Funcţiile de transmitere ale grupei active cu mişcare plană (elementului conducător cu mişcare plană), figura 2.11, sunt:

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

;cos213 lxx

;sin213 lyy

;cos 414 lxx

.sin 414 lyy

Figura 2.11. Schema cinematică a elementului conducător cu mişcare plan paralelă.

η

b) – Viteze

Prin derivarea relaţiilor (2.56), (2.57), (2.58) şi (2.59) rezultă:

(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

 c) – Acceleraţii

Prin derivarea relaţiilor (2.60), (2.61), (2.62) şi (2.63) rezultă:

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

unde : = constant.

;.sin 213 lxx ;.cos 213 lyy

;.sin 414 lxx

..cos 414 lyy

;.sin.cos 22

213 llxx

;.cos.sin 22

213 llyy

;.sin.cos 42

414 llxx

..cos.sin 42

414 llyy

3.5.3. Analiza cinematică a grupelor structurale pasive

Necunoscutele problemelor de analiză cinematică a grupelor sunt:

- unghiurile de poziţie ale vectorilor care schematizează elementele, în raport cu sistemul de axe considerat fix, precum şi vitezele şi acceleraţiile unghiulare ale acestora;

- variabilele ce caracterizează poziţiile relative ale perechilor de elemente legate prin cuple cinematice de translaţie, ca şi derivatele acestora în raport cu timpul (sau cu variabila independentă considerată);

- poziţiile relative ale sistemelor de axe mobile anexate elementelor asociate prin cuple superioare.

Toate aceste necunoscute se calculează în funcţie de dimensiunile cinematice ale elementelor grupelor şi de parametrii cinematici ai cuplelor exterioare de intrare (potenţiale).

În raport cu sistemul de axe de coordonate considerat fix, poziţia unei cuple exterioare de rotaţie se defineşte prin coordonatele centrului acesteia, care reprezintă centrul instantaneu al mişcării relative.

Poziţia unei cuple exterioare de translaţie se defineşte – în aceleaşi condiţii – prin poziţia dreptei translaţiei, adică prin coordonatele unui punct al său şi prin unghiul versorului care precizează sensul dreptei, măsurat de la axa OX a sistemului fix.

Mişcarea dreptei translaţiei este luată în considerare prin derivatele coordonatelor punctului şi ale unghiului versorului acesteia.

Sistemele ecuaţiilor de poziţii ale elementelor grupelor nu au soluţii unice.

3.5.3.1. Analiza cinematică a diadei RRR

Se consideră diada de aspectul 1 din figura 2.3.

  a) - Deplasări

Funcţiile de transmitere ale poziţiilor se obţin din ecuaţia vectorială a conturului grupei

,

prin proiecţii pe axele sistemului de coordonate fix (figura 2.3):

  (2.2)  

(2.3)

DCODBCOB

coslxcoslxx 32213

inin slyslyy 32213 .y , x,, 33

Figura 2.3. Schema cinematică a diadei RRR.

3.5.3.2. Analiza cinematică a diadei RRT

  a) - Deplasări.

Poziţia dreptei translaţiei din cupla cinematică exterioară D (figura 2.4) este precizată prin punctul P de coordonate (x2 ; y2) şi prin unghiul dintre axa fixă

Ox şi dreapta 4 care defineşte orientarea ghidajului culisei. Ecuaţiile de proiecţii

ale conturului vectorial , se rezolvă în raport cu necunoscutele şi S4 :

; (2.18)

, (2.19)

DCPDPC

coslcosSxcoslxx 342213

sinlsinSysinlyy 342213

Figura 2.4. Schema cinematică a diadei RRT.

3.5.3.3. Analiza cinematică a diadei RTR

  În figura 2.5. se prezintă o diadă de aspectul 3, (RTR).

  a) - Deplasări.

Conform figurii 2.5. se pot scrie relaţiile:

; (2.30)

. (2.31)

ηαcoslxcosαSxx 32213

ηαsinlysinαSyy 32213

Figura 2.5. Schema cinematică a diadei RTR.

3.5.3.4. Analiza cinematică a diadei TRT

a) - Deplasări

Se consideră diada de aspectul 4 (TRT) din figura 2.6 şi se scriu proiecţiile conturului pe axe. În acest caz se obţin relaţiile:

; (2.36)

, (2.37)

unde: .

β coslλ cosSxα cosl cosSxx 3422113 βsin lλsin Syαsin lsin Syy 3422113

21 kλβ ;kα

Figura 2.6. Schema cinematică a diadei TRT.

3.5.3.5 - Analiza cinematică a diadei RTT

a) - Deplasări

Se consideră diada de aspectul 5 (RTT) din figura 2.7 şi se scriu proiecţiile conturului pe axe. În acest caz se obţin relaţiile:

  (2.42)

(2.43)

unde : = + – .

;λβcoslcosβSxcosαSxx 342213

.λβsinlsinβSysinαSyy 342213

Figura 2.7. Schema cinematică a diadei RTT