Partea nti: MECANICA NEWTONIANA

1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL Mecanica esta ramura fizicii care studiaz micarea mecanic, adic simpla schimbare n timp a poziiei relative a corpurilor, precum i interaciunile dintre corpuri care determin aceast micare.

n mecanica newtonian, vitezele relative ale corpurilor sunt mici n comparaie cu viteza luminii n vid (a crei valoare msurat este c(2,99792458(108 m/s), iar interaciunea dintre corpuri, descris prin intermediul energiei poteniale de interaciune, se propag instantaneu.

Deplasrile care se efectueaz cu viteze comparabile cu viteza de propagare a luminii n vid i n care interaciunile se propag prin contiguitate (din aproape n aproape) fac obiectul mecanicii relativiste.

Partea mecanicii n care se studiaz modul n care se efectueaz deplasarea corpurilor n funcie de timp se numete cinematic i rspunde la ntrebarea: cum se mic un corp( Partea mecanicii n care deplasarea este studiat ca efect al aciunii forelor asupra corpurilor se numete dinamic i explic cauza micrii corpurilor. Studiul condiiilor n care un corp este n echilibru sau repaus relativ sub aciunea acestor fore se numete static i face obiectul celei de a treia pri a mecanicii.

Diferenierea i clasificarea formelor de micare ale materiei este o operaie de modelare, adic de simplificare a realitii prin accentuarea anumitor aspecte i umbrirea sau chiar neglijarea altora. Infinitatea formelor de manifestare ale micrii materiei i ntreptrunderea lor fac ca aceast operaie de clasificare s fie deosebit de dificil.

1.1. Spaiul i timpulSpaiul i timpul sunt forme fundamentale, universale i obiective de existen ale materiei. n mecanica newtonian, spaiul i timpul sunt dou forme ale intuiiei sub care apare lumea, considerate mrimi izotrope i existnd independent de obiectul micrii. ntre ele, conform teoriei clasice, nu exist o legtur nemijlocit.

Dup Newton, spaiul absolut nu este, din cauza naturii sale nsui, n nici un fel de raport cu vreun obiect oarecare, fiind mereu n micare, iar spaiul relativ este o msur a primului sau a unei pri a acestuia, care este determinat cu ajutorul simurilor noastre prin poziia sa fa de alte corpuri (Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687, Scolie II). Spaiul fizic se consider o varietate tridimensional euclidian, a crui metric este dat de relaia:

ds2=dx2+dy2+dz2 (1.1)

Timpul absolut, adevrat i matematic se scurge prin natura sa nsi, uniform, far nici o relaie cu vreun obiect oarecare (Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687, Scolie I). Existena unui timp universal care curge uniform, adic existena unui singur timp, acelai pentru ntreg universul, constituie postulatul fundamental al fizicii newtoniene.

1.2. Starea punctului material

Corpul material are o structur complex fiind o aglomerare de particule mai mici de substan legate ntre ele dup anumite legi prin intermediul forelor. Analiza micrii corpului material ar trebui s cuprind micarea corpului n ansamblu, micarea diferitelor regiuni unele fa de celelalte, deplasrile i vibraiile moleculelor, atomilor, electronilor .a.m.d. din interiorul corpului. Analiza este, n general, complicat astfel nct se procedeaz treptat prin simplificare introducndu-se concepte i modele simplificatoare. Astfel, un corp care nu se deformeaz sub aciunea forelor ce acioneaz asupra sa, distanele mutuale ale punctelor sau prilor ce-l constituie fiind invariabile, se numete corp solid-rigid. Alegerea unui sistem de referin fa de care dimensiunile corpului rigid i rotaiile proprii ale acestuia sunt neglijabile n problema dat i care este caracterizat numai prin masa sa se numete punct material sau particul. Rezult c punctul material poate fi definit ca un punct geometric caracterizat de mas. n cinematic nu intervine masa, deoarece nu intereseaz cauza micrii corpurilor, i atunci punctul material devine un mobil, adic un punct geometric aflat n micare.

Pentru a stabili dac un corp se afl n micare sau n repaus trebuie s i se raporteze poziia fa de alte corpuri. Aceasta nseamn c micarea mecanic poate fi studiat numai alegnd un corp de referin a crui poziie se consider, din punctul de vedere al observatorului, invariabil. De corpul de referin este legat rigid un sistem de coordonate pentru precizarea poziiei corpurilor n spaiu, mpreun cu un dispozitiv de msurat timpul. Ansamblul format din corpul de referin, sistemul de coordonate i dipozitivul de msurat timpul se numete sistem de referin. Un sistem de coordonate tridimensional a crui origine este asimilat corpului de referin i cruia i se ataeaz un cronometru constituie un astfel de sistem de referin. Exist, evident, o infinitate de astfel de sisteme de referin, alegerea unuia dintre acestea fiind o problem de simplificare n studiul micrii particulare analizate. Sistemul absolut de referin (numit i sistemul astronomic sau sistemul Copernic) este un triedru dreptunghic cu originea n centrul de greutate al sistemului solar cu axele ndreptate spre trei stele fixe. Scopul mecanicii este de a preciza la fiecare moment de timp poziia unui corp n raport cu un sistem de referin ales. n condiia de asimilare a corpului cu un punct material, poziia acestuia n spaiu la un moment dat este definit fa de un sistem de referin prin vectorul de poziie:

(1.2)

unde i sunt versorii (vectorii unitari) ai axelor Ox, Oy i respectiv Oz, (fig.1.1).

Fig. 1.1.

Dependenele temporale:

x=x(t)

y=y(t) (1.3)

z=z(t)

sunt ecuaiile parametrice ale micrii, funcii de dou ori derivabile n raport cu timpul.

Locul geometric al vrfului vectorului de poziie n decursul micrii definete traiectoria punctului material i descrie evoluia spaio-temporal a punctului material (fig.1.1). Eliminnd timpul ntre ecuaiile parametrice ale micrii, (1.3), se obine ecuaia traiectoriei dat implicit prin relaia:

f(x,y,z)=0. (1.4)

1.3. Viteza i acceleraia

Viteza este mrimea fizic care caracterizeaz repeziciunea micrii unui corp. Pentru definirea acestei mrimi fie (s lungimea arcului de traiectorie parcurs de un mobil n intervalul de timp (t=t-t0 , (fig.1.2).

Mrimea:

=

(1.5)

se numete vitez medie a mobilului, iar limita:

EMBED Equation.3 ===v

(1.6)

definete viteza instantanee sau momentan a mobilului la momentul de timp t. n scrierea relaiei (1.6) s-a utilizat relaia lui Newton pentru derivarea n raport cu timpul:

.

Cunoaterea micrii mobilului pe traiectorie implic cunoaterea direciei i a sensului micrii. Astfel, dac se definete vectorul deplasare:

(=,

(1.7)

unde 0=(t0) este vectorul de poziie al poziiei iniiale i =(t) este vectorul de poziie al poziiei finale, atunci vectorul vitez medie este:

((=. (1.8)

Limita acestui raport:

EMBED Equation.3 === (1.9)

reprezint derivata n raport cu timpul a vectorului de poziie i se numete vectorul vitez instantanee sau momentan.

Experienele arat c vectorul vitez instantanee are direcia tangentei la traiectorie n punctul n care se afl mobilul. Notnd cu versorul vectorului vitez instantanee, cum pentru o deplasare elementar se poate scrie:

(1.10)

rezult, prin derivare n raport cu timpul, c:

. (1.11)

n sistemul de coordonate carteziene vectorului vitez are expresia:

vx+vz+vz=. (1.12)

Acceleraia d msura vitezei exprimnd modul de variaie al acesteia n timp. n mod analog definirii vitezei se poate defini:

- acceleraia medie:

(a(=; (1.13)

acceleraia instantanee (momentan):

a=; (1.14)

vectorul acceleraie medie:

; (1.15)

vectorul acceleraie instantanee (momentan):

. (1.16)

Fig. 1.3.

Dac acceleraia este pozitiv atunci micarea se numete accelerat, iar dac acceleraia este negativ atunci micarea se numete ncetinit sau decelerat.

n sistemul de coordonate cartezian vectorul acceleraie are expresia:

. (1.17)

Vectorul acceleraie ntr-un punct este coninut ntr-un plan determinat de normala principal i de tangenta la traiectorie n acel punct (plan osculator) i este dirijat n sensul concavitii traiectoriei. Vectorul acceleraie poate fi descompus dup direcia tangentei, , i a normalei, , n fiecare punct al traiectoriei. Pentru aceasta, se consider o deplasare elementar a mobilului, fig.1.3, i avnd n vedere relaia (1.11), din derivarea n raport cu timpul, rezult:

, (1.18)

unde mrimea:

(1.19)

este un vector tangent la traiectorie i se numete acceleraie tangenial.

Din observaia:

, (1.20)

dup derivarea n raport cu timpul, se obine:

(1.21)ceea ce nseamn c vectorii i sunt perpendiculari.

Se noteaz:

(1.22)

unde este versorul normalei, un vector unitar perpendicular pe . Din fig.1.4. se observ c:

d(= (1.23)

i apoi:

,

. (1.24)

Dac ( este raza de curbur a traiectoriei, atunci se poate scrie pentru deplasarea infinitezimal considerat:

, (1.25)

de unde:

. (1.26)

nlocuind relaia (1.26) n (1.24) rezult:

(1.27)

i apoi din relaiile (1.22) i (1.27) urmeaz:

. (1.28)

n final, se obine pentru relaia (1.18) o expresie de forma:

,

unde:

se numete acceleraie normal.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0

x

y

z

x

y

z

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A(t0)

B(t)

(S

Fig. 1.2

A(t0)

B(t)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x

y

z

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

dS

EMBED Equation.3

d(

O

(

d(

Fig .1.4

PAGE 11

_1016688322.unknown

_1017534250.unknown

_1038986333.unknown

_1038986955.unknown

_1041365390.unknown

_1041365597.unknown

_1136258316.unknown

_1041365557.unknown

_1038987110.unknown

_1038987908.unknown

_1038986414.unknown

_1033897249.unknown

_1033899336.unknown

_1033899561.unknown

_1033900240.unknown

_1033900266.unknown

_1033899769.unknown

_1033899823.unknown

_1033899724.unknown

_1033899387.unknown

_1033898402.unknown

_1033899009.unknown

_1033899037.unknown

_1033899072.unknown

_1033898444.unknown

_1033897889.unknown

_1017534758.unknown

_1017536667.unknown

_1033895881.unknown

_1033896831.unknown

_1033896850.unknown

_1033896671.unknown

_1033895195.unknown

_1017536638.unknown

_1017534568.unknown

_1017534669.unknown

_1017534380.unknown

_1016707738.unknown

_1016976497.unknown

_1017533837.unknown

_1017534183.unknown

_1016978492.unknown

_1016975302.unknown

_1016975378.unknown

_1016975292.unknown

_1016692478.unknown

_1016692545.unknown

_1016697803.unknown

_1016692521.unknown

_1016691547.unknown

_1016691636.unknown

_1016688623.unknown

_1016626378.unknown

_1016687507.unknown

_1016687781.unknown

_1016687945.unknown

_1016687757.unknown

_1016641903.unknown

_1016642137.unknown

_1016641818.unknown

_1016636879.unknown

_1016626030.unknown

_1016626323.unknown

_1016619595.unknown