Seminar 1

NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL

1. GeneralităţiMărimea scalară

– este o mărime caracterizată complet printr-un singur număr care nu depinde de sistemul de referinţă.

– este o mărime caracterizată de un singur număr pozitiv sau negativ.Exemple de mărimi scalare: lungimea, temperatura, masa, timpul, lucrul mecanic.

Mărimea vectorială este o marime care pe lângă valoarea numerică are şi o orientare în spaţiu, adică direcţie şi sens.

= = vectorul a

= = a = modulul vectorului a

Exemple de vectori: forţa, momentul, viteza acceleraţia.

Scrierea unui vector cu ajutorul coordonatelor carteziene:

, versorul

2. Operaţii cu vectori2.1 Egalitatea a doi vectori:

Doi vectori a şi b sunt egali dacă modulele vectorilor sunt egale, au aceeaşi direcţie şi acelaşi sens.

dacă şi au aceeşi direcţie şi acelaşi sens.

2.2 Coliniaritatea a doi vectori:Doi vectori a şi b sunt coliniari dacă cei doi vectori sunt paraleli cu aceeaşi dreaptă Δ.

, vectori coliniari.

2.3 Vectori opuşiDoi vectori a şi b sunt opuşi dacă modulele vectorilor sunt egale, au aceeaşi direcţie dar sens

contrar., vectorii sunt opuşi.

2.4 Înmulţirea unui vector cu un scalarPrin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine un vector de intensitate λv, cu aceeşi

direcţie, de acelaşi sens dacă scalarul este pozitiv şi de sens contrar dacă scalarul este negativ.

1

originea vectorului/ punct de aplicaţie al vecvectorului

vârful vectoruluia

xy

z

O

M(xM, yM, zM)

i j

k

N(xN, yN, zN)

dacă rezultă , au acelaşi sens;dacă rezultă , au sens contrar.

2

2.5 Suma a doi vectoriSuma a doi vectori liberi şi este vectorul , care are direcţia, sensul şi modulul

determinate fie prin diagonala paralelogramului construit cu vectorii componenţi, fie prin aşezarea vectorilor astfel încât vârful unuia să coincidă cu originea celuilalt.

Matematic scriem:

Grafic avem: - regula paralelogramului (a), - regula triunghiului (b).

2.6 Descompunerea unui vector după două direcţii coplanare, ,

Prin extremităţile vectorului se construiescdreptele paralele cu direcţiile Δ1 şi Δ2. Laturile paralelogramului obţinut determină în mod unic componentele şi .

2.7 Proiecţia unui vector în planVectorul şi dreapta Δ sunt coplanare. este versorul axei pe

care se găseşte vectorul .

Proiecţia unei sume de vectori pe o axă este egală cu suma proiecţiilor vectorilor componenţi.2.8 Descompunerea unui vector după trei direcţii necoplanare

, , - versorii axelor Ox, Oy şi Oz., ,

vx ,vy, vz = proiecţiile vectorului pe axev1, v2, v3 = componentele vectoriale ale vectorului , rezultate la descompunere.

, , , ,

cosα, cosβ, cosγ = cosinusurile directoaremodulul vectorului este:

unde este vectorul de poziţie al lui E.

, , = unghiurile directoare

3

(Δ1)

v1v

2v(Δ2)

II(Δ1)

II(Δ2)

vv

2v1v

1v

2v

1v 2v

a b

x

y

z

AB

C

D

O

E

FG

v

i j

k

1v

2v

3v

B’

A

B

A’

B”

(Δ)

αuv

2.9 Produse de vectori2.9.1 Produsul scalar a doi vectori

Proprietăţi produsul scalar este nul: dacă unul din cei doi vectori este nul, sau

dacă cei doi vectori sunt perpendiculari.Exemplu: , , .

produsul scalar al unui vector prin el însuşi este egal cu pătratul modulului său: Exemplu: , ,

produsul scalar este comutativ: produsul scalar este asociativ cu un factor scalar: produsul scalar este distributiv în raport cu suma vectorială: produsul scalar al unui vector prin versorul al unei axe (Δ) este egal cu proiecţia

ortogonală a vectorului pe axa respectivă.

Exemplu: , ,

Expresia analitică a produsului scalar,

2.9.2 Produsul vectorial a doi vectori

Proprietăţi

produsul vectorial este nul: dacă unul din vectori este nul, sau dacă cei doi vectori sunt paraleli.

produsul vectorial al unui vector prin el însuşi este nul.Exemplu: , ,

produsul vectorial a doi versori ortogonali este tot un versor.Exemplu: , , .

produsul vectorial este comutativ: produsul vectorial este asociativ cu un factor scalar: produsul vectorial este distributiv în raport cu suma vectorială:

Expresia analitică a produsului vectorial,

4

a

bθ

A

B

C(Δ)αu v

vΔ

c

a

bα

2.9.3 Produsul mixt a trei vectori

Modulul produsului mixt este egal cu volumul paralelipipedului construit de cei trei vectori

unde v este aria paralelogramului determinat de şi , h este înălţimea paralelipipedului.

Proprietăţi produsul mixt este nul dacă unul din vectori este nul sau dacă vectorii , , sunt

coplanari. produsul mixt este pozitiv dacă , , în această ordine formează un triedru drept produsul mixt este comutativ produsul mixt este asociativ cu un factor scalar produsul mixt este distributiv în raport cu suma vectorială

Expresia analitică a produsului mixt, ,

2.9.4 Dublul produs vectorial

, , , , , = coplanari

Formula de dezvoltare

Proprietăţi dublul produs vectorial nu este comutativ dublul produs vectorial nu este asociativ cu un factor scalar

Expresia analitică a dublului produs vectorial, ,

5

a

b

β

α

cw

v

h

a

b

φc

v

φ