Universitatea Transilvaniadin BrasovFacultatea de MatematicaInformaticaCatedra de InformaticaERNEST SCHEIBERCALCULNUMERICBrasov2008 - 2009REPROGRAFIA UNIVERSITII TRANSILVANIA DIN BRAOVCuprinsI INTERPOLARESIAPLICATII 31 Diferent enite 41.1 Diferent e nite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Elementedinteoriainterpolarii 82.1 Interpolarea Lagrange-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Diferent e divizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Formuledederivarenumerica 263.1 Aproximarea derivatei prin diferent e . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.1 Extrapolarea Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Aproximarea derivatei prin interpolare . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Formuledeintegrarenumerica 324.1 Formule de tip Newton - Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Formula trapezului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Formula lui Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Polinoame Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Polinoamele lui Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.8 Polinoame Cebsev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9 Formule de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.10Formula dreptunghiului (n = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Metodacelormaimicipatrate 615.1 Determinarea unui polinom de aproximare. . . . . . . . . . . . . . 615.2 Polinom trigonometric de aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 Funct iisplinepolinomiale 686.1 Interpolare cu funct ii spline cubice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682CUPRINS 3II METODENUMERICE INALGEBRALINIARA 767 Elementedeanalizamatriceala 777.1 Denit ii, notat ii, proprietat i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 Rezolvareasistem. algebriceliniare 818.1 Metoda Gauss - Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.2 Inversarea unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.3 Factorizarea LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.4 Cazul matricelor simetrice - Factorizarea Cholesky . . . . . . . . . 938.5 Rezolvarea sistemelor tridiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.6 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959 TransformareaHouseholder 1009.1 Transformata Householder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1009.2 Descompunerea QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102III ANEXE 107ANot iunideteoriaerorilor 108A.1 Eroare absoluta si eroare relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108A.2 Reprezentarea numerelor n virgula mobila . . . . . . . . . . . . . .109A.3 Aritmetica numerelor n virgula mobila . . . . . . . . . . . . . . .110A.4 Protocolul IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111A.5 Controlul erorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113BImplementareametodeloriterative 117CDeterminareaunorparametrinumerici 119Bibliograe 123ParteaIINTERPOLARESIAPLICATII4Capitolul1Diferent enite1.1 Diferent eniteDiferent elenitestaulabazamultormetodedecalcul numericprivindin-tegrareasi derivareanumerica, integrareaecuat iilordiferent ialeordinaresi cuderivatepart iale. Funct iilecareintervin nacestcapitolsuntfunct iirealedeovariabila reala. Printr-o diferent a nita de nt elege un operator de formahf(x) = Af(x +ah) Bf(x +bh) (1.1)undeA, B, a, b sunt constante reale. Se observa caracterul liniar al operatoruluih(f +g) = hf +hg.Diferent ele nite de ordin superior se introduc recursiv0hf = fnhf = h(n1hf), n > 1.Diferent ele nite uzuale sunt:diferent a nita progresivahf(x) = f(x +h) f(x);diferent a nita regresivahf(x) = f(x) f(x h);diferent a nita centratahf(x) = f(x +h2) f(x h2).56 CAPITOLUL1. DIFERENT EFINITEIn cele ce urmeaza vom studia doar diferent ele nite uzuale.Formulele explicite de calcul ale unei diferent e nite de ordin superior suntTeorema1.1.1Au loc egalitat ile:(i) nhf(x) = nk=0

nk

(1)nkf(x +kh);(ii) nhf(x) = nk=0

nk

(1)kf(x kh);(iii) f(x +nh) = nk=0

nk

khf(x);(iv) f(x nh) = nk=0

nk

(1)kkhf(x).(1.2)Demonstrat ie. nhf(x) se exprima ca o combinat ie liniara a valorilor lui f nx, x +h, . . . , x +nh, adica are loc o formula de formanhf(x) =nk=0Akf(x +kh).Pentru determinarea coecient ilor (Ak)0kn, alegemf(x) = exsi atunciex(eh1)n=nk=0Akex+kh.Dezvoltand binomul din membrul stang gasimnk=0

nk

(1)nkex+kh=nk=0Akex+kh.Identicand coecient ii luiex+khgasimAk =

nk

(1)nk, adica relat ia (i).In mod asemanator se pot justica si celelelte relat ii.Stabilim o serie de proprietat i ale diferent ei nita progresiva. Rezultate ase-manatoare se pot deduce si pentru celelalte diferent e nite.Teorema1.1.2(Teoremademedie) Daca funct iafeste derivabila de ordinn atunci existac (x, x +nh) astfel ncatnhf(x) = hnf(n)(c). (1.3)1.1. DIFERENT EFINITE 7Demonstrat ie. Prin indut ie matematica dupan,pentrun = 1, utilizand teo-rema de medie a lui Lagrange avem succesivhf(x) = f(x +h) f(x) = hf

(c) x < c < x +h.Presupunem relat ia (1.3) adevarata pentru diferent ele de ordin n1. Daca g(x) =

n1nf(x)hn1atuncinhf(x)hn= h(n1hf(x))hn=

n1hf(x+h)hn1 n1hf(x)hn1h==g(x +h) g(x)h= g

( c) =ddx[n1hf(x)hn1][x= cundex