Problema nr 1

Dualitatea problemelor de optimizare

Să presupunem că o problemă de optimizare care se poate rezolva cu ajutorul programării liniare cere determinarea a „u” numere xj unde

pentru care funcţia este maximă , cu următoarele restricţii :

Matricea sistemului M poate fi scrisă astfel :

In baza aceloraşi date se poate construi o nouă problemă , numită problema duală a celei propuse . Fie „m” variabile y1 , y2 , ........ym , care să corespundă celor „m” inecuaţii ale mulţimii M .

Problema duală are ca scop găsirea minimului funcţiei în

condiţiile :

Se constată că matricea sistemului M1 scrisă sub forma

este

transpusa matricii A

În amândouă problemele apar aceleaşi constante c j , aij , bi, în schimb. numărul variabilelor xj, yi se schimbă de la „n” la „m” , iar numărul restricţiilor de la „m” la „n” . Cele două probleme formează împreună o uniune de probleme duale .

Pentru simplificarea prezentării , cele două probleme se pot exprima sub formă matricială astfel:

1

a – Problema primară f(max)= maxC’x cu restricţiile Ax B , x 0

unde

, şi

b – Problema duală

g(min)= min B’y în condiţiile A1y C , y 0 unde

Pentru formularea problemei duale este bine să se întocmească următorul tabel :

Matricea generală a problemei duale

Tabel nr. ProduseResurse

c1 c2 .............................cj..........................cm

y1

y2

...

...

...yi

...

...

...ym

a11 a12 .............................a1j .......................a1n

a21 a22 .............................a2j .......................a2n

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................ai1 ai2 .............................aij .......................ain

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................am1 am2 ...........................amj ......................a2n

b1

b2

...

...

...bi

...

...

...bm

x1 x2 .............................xj .......................xn

Problema primară se realizează pe linii , iar cea duală pe coloane .

2

Între două probleme de optimizare prin programare liniară, care formează un cuplu de probleme duale, există legături strânse de interdependenţă a soluţiilor lor, formulate de teorema fundamentală a dualităţii , care arată că pentru orice cuplu de probleme duale este posibilă numai una dintre următoarele trei situaţii :

1. Dacă ambele probleme au soluţii de realizare, atunci ambele probleme au soluţii optime şi valorile funcţiilor obiectiv coincid, adică max C’X = min B’Y

2. Dacă problema primară nu are soluţii realizabile, cea duală are un optim infinit

3. Nici una dintre cele două probleme nu are soluţii realizabile.

Avantajele dualităţii problemelor de optimizare, care se pot rezolva prin programare liniară, se pot sintetiza astfel:

- transformarea minimului unei funcţii liniare într-un maxim şi invers;- se poate alege un program care solicită calcule mai puţine;- rezultatele pot fi verificate.

Pentru exemplificare se ia o problemă de organizare a producţiei din cadrul unei secţii a unei unităţi economice agricole.

Resursele Rj unde j = (1,2) coeficienţii tehnologici aij, stocurile din fiecare resursă a profitului pe unitatea de produs sunt trecute în tabelul următor:

Produse

Resurse

a1 a2 Stocuri

R1 1 1 5R2 2 1 8Profit 5 3

Se urmăreşte determinarea numărului de produse din fiecare sortiment astfel încât profitul total să fie maxim.

Aceasta este problema primară care, matemacic se exprimă astfef: f(max) =max(5x+3y) în care :

x , y reprezintă numărul de produse de fiecare fel .

3

f – profitul total .

Prin rezolvarea sistemului rezultă : x=3 şi y=2 iar f(max)=21 .

Formarea problemei duale urmăreşte determinarea preţurilor unitare p1 şi p2 ale resurselor Rj în aşa fel ca , date fiind stocurile din fiecare resursă şi profitul pe fiecare unitate de produs , valoarea cheltuielilor să fie cât mai mică posibil .

Folosind datele din tabelul de mai sus şi notând cu Ch valoarea cheltuielilor totale putem scrie : minCh = min(5s1+8s2) unde s1 , s2 reprezintă stocurile de resurse . Aşa cum s-a arătat , profiturile sunt de 5 şi respectiv 3 unităţi valorice pentru cele două produse .

Sistemul problemei duale se poate scrie astfel :

Soluţiile problemei duale sunt :s1=1 ; s2=2 .Se obţine astfel minim Ch = 21 unităţi valorice .Prin acest exemplu simplu se constată importanţa programului optim

dual .

4

Problema nr 2

O problemă de optimizare a activităţilor de transport

Două fabrici de conserve Fi unde i = (1,2), aprovizionează trei unităţi comerciale engros Cj unde j = (1, 2, 3) şi plăteşte transportul pe unitatea de conservă, astfel: de la F1 la cele trei unităţi comerciale cu 200, 250, 300 lei, iar de la F2 la cele trei centre cu 400, 200 şi 100 lei.

În fabrica F1 se realizează 40% din întreaga cantitate, iar în F2 60%. Conform necesităţilor, unităţile comerciale Cj absorb 20%, 30%, 50% din producţia de conserve.

Se cere să se găsească un plan de repartiţie a produsului fabricat în Fi

unde i = (1,2), astfel încât costul total de transport să fie minim.Pentru rezolvare se formează în prealabil planul de transport conform

datelor din problemă.

Grafic, planul de transport poate arăta ca în figura următoare:

În continuare, se notează cu Xij cantitatea de produs transportată de la F1, F2 la cele trei centre. Ţinând seama de restricţiile

5

F1

F2

C1

C2

C3

problemei se poate scrie următorul sistem de ecuaţii:

Legendă:

F – reprezintă fabricaC – reprezintă centrul engros X11 + X12 + X13 = 40

X21 + X22 + X23 = 60X11 + X21 = 20X12 + X22 = 30X13 + X23 = 50Xij 0 (i = 1,2 ; j = 1,2,3)

Se ia în considerare că întreaga cantitate de conserve produsă în cele două fabrici F1, F2 este transportată la cele trei centre (C1, C2, C3).

Funcţia de eficienţă, care reprezintă costul total al transportului este:f(min) = 200X11 + 250X12 + 300X13 + 400X21 + 200X22 + 100X23

Din sistemul de egalităţi se pot exprima necunoscutele Xij, în funcţie de X11 şi X12, astfel:

X21 = 20 – X11

X22 = 30 – X12

X13 = 40 – X11 – X12

X23 = 60 – (30 – X12 ) – (20 – X11) = 10 + X12 + X11

Cu aceste valori, funcţia de eficienţă f(min) devine:

f(min) = - 400 X11 – 150X12 + 26000

Dacă se notează X = X11 şi Y = X12 şi ţinând seama de condiţia de nenegativitate (Xij 0) vom obţine:

40 – X – Y 0 X + Y – 40 020 – X 0 X 2030 – Y 0 sau Y 30X + Y + 10 0 X + Y + 10 0X 0 ; Y 0

S-a ajuns astfel la o problemă cu două necunoscute.

6

D C (D4)

(D2) (D1) A

Pentru reprezentarea grafică se stabilesc dreptele:

y (D1): X + Y – 40 = 0 (D2): X + Y + 10 = 0

(D3): X = 20 (D4): Y = 30

B Funcţia de eficienţă se poate scrie sub forma:

0 (D3) x unde

Coordonatele punctului B fac minimă funcţia obiectiv B(20,20).

Soluţia problemei prevede următorul plan de transport:

Ci

Fi

C1 C2 C3

F1 20 20 -

F2 - 10 50

Rezultă că fabrică F1 trebuie să trimită cantitatea în mod egal la centrele C1 şi C2, iar F2 va trimite produsele numai la centrele C2 şi C3.

Funcţia de eficienţă va fi :

f(min) =

7

Problema nr 3

Metode de optimizare a amestecurilor

Problemele de amestecuri constau în determinarea unei diete (raţie) formate dintr-un număr de alimente care să satisfacă anumite cerinţe biologice şi să fie în acelaşi timp şi ieftină.

Probleme de dietă apar, de exemplu, în alcătuirea raţiilor la animale, pentru alcătuirea amestecului optim de îngrăşăminte în agricultură, în industria chimică pentru diverse amestecuri etc.

Pentru exemplificare să considerăm următoarea problemă:

La o unitate economică agricolă, hrana pentru o categorie de animale puse la îngrăşat în timpul unei anumite perioade, este compusă din două feluri A şi B şi se dă sub forma a două amestecuri. Primul conţine 1/3 din A şi restul din B, iar al doilea este format din părţi egale. Amestecurile trebuie distribuite astfel încât un animal să primească din A cel puţin 30 kg, iar din B cel puţin 40 kg.

Se cunoaşte că 1 kg din primul amestec costă 0,5 lei, iar al doilea costă 0,75 lei.

Se pune problema să se găsească cantităţile din fiecare amestec care să asigure o cheltuială minimă.

8

Pentru rezolvare, se notează cu x cantitatea din primul amestec şi cu y cantitatea din al doilea amestec.

Conform restricţiilor date se poate construi următorul sistem:

Se notează cu f – funcţia de minimizare a cheltuielilor, adică: f(min) = 0,50x + 0,75y

Se reprezintă grafic dreptele sistemului:

sau

sau

Funcţia obiectiv (de minimizare a cheltuielilor) se poate scrie şi astfel:

unde

Reprezentarea grafică a dreptei (do):

Se duc paralele cu ea, până la intersecţia dreptelor D1 şi D2, găsindu-se astfel punctul optim al problemei (M).

9

y

(M)(d0) (D1) (D2)

Din rezolvarea sistemului rezultă că x = 30 iar y = 40. rezultă că şi

. Deci, primul amestec conţine 10 kg din A şi 20 kg din B, iar al doilea

amestec conţine 20 kg din A şi 20 kg din B.

Costul minim va fi:

Amestec A

Amestec B TOTAL

10

Problema nr 4

Model de optimizare a investiţiilor în utilaje

În vederea reutilării cu utilaje performante, consiliul de administraţie al unei unităţi economice agroalimentare dispune de suma de 240.000 lei şi are de ales două tipuri de linii de maşini pentru prelucrarea legumelor, A şi B, care, pentru montarea lor sunt necesari 100 de specialişti de o anumită calificare şi 50 specialişti de o altă calificare.

Montarea unei maşini de tipul A necesită 20.000 lei şi 10 specialişti din prima calificare şi un specialist din a doua calificare, iar pentru maşinile de tipul B sunt necesari 30.000 lei, un specialist din prima categorie şi 10 specialişti din a doua categorie.

Cunoscându-se că maşina de tipul B aduce o economie de odată şi jumătate ori cât una de tipul A, să se determine numărul de maşini de fiecare tip ce se pot comanda, astfel încât economiile pe care le vor adduce să fie cât mai mari.

Pentru rezolvare se notează cu x şi y numărul de maşini de tipul A, respectiv B ce se pot comanda şi cu f economiile totale pe care le pot aduce maşinile A şi B.

Tinând seama de restricţiile problemei se poate scrie :20000x + 30000y 24000

10x + y 100 x + 10y 50 x 0 ; y 0

11

Dacă se notează cu « a » economiile aduse de o maşină de tipul A, funcţia de maximizare va fi :

f(max) = ax + 1,5 ay

Reprezentarea grafică a dreptelor inegalităţilor este dată de următoarele relaţii:

Funcţia de eficienţă (de optimizare) se poate scrie astfel:

Reprezentarea grafică a dreptei (do) este dată de relaţia:

Se determină coordonatele B, C prin rezolvarea sistemului:

12

B 2x + 3y = 24

10x + y = 100 sau B ( )

C 2x + 3y = 24

X + 10y = 50 sau C( )

Funcţia f devine maximă pentru toate punctele de pe segmentul BC. Avem 2x + 3y = 24 sau x + 1,5 = 12. Deoarece au fost determinate coordonatele

lui BC şi pentru că x şi y să fie numere întregi între şi nu există decât trei

numere întregi pentru y.

(BC): 2x + 3y = 24; (BC): 2, 3, 4

Pentru aceste valori ale lui y se calculează valorile corespunzătoare ale lui x, astfel:

2x = 24 – 6 = 182x = 24 – 9 = 152x = 2

Problema are două soluţii: x= 9 ; y = 2 sau x = 6; y = 4Între cele două variante se face o alegere ţinând seama de costuri.

y 2 3 4x 9 6

13

y

(D2)

C D B (D3)

x 0 (D1) (d0)

Problema nr 5

Optimizarea unei activităţi de transport

În programarea şi optimizarea proceselor de producţie în agricultură, problemele de transport ocupă un loc important.

Pentru a înţelege bine problemele multiple care le ridică eficientizarea activităţilor de transport, este necesar să se cunoască câteva probleme teoretice. Să plecăm de la următorul exemplu: să considerăm că un anumit produs agricol este stocat la un număr de centre de depozitare „m” notate cu A i în care i = (1,m) în cantităţi ai.

Produsul este cerut în „n” centre de consum Bj, unde j = (1,n) in cantităţi bj. Cunoscând costul de transport Cij al produsului de la depozitul Ai la depozitul Bj se cere să se determine cantităţile Xij de produse ce urmează să fie repartizate de la Ai la Bj, astfel ca disponibilul din stoc să fie epuizat în fiecare depozit, cererea să fie satisfăcută la centrele de consum, iar costul de transport al produsului să fie minim.

Să presupunem că , adică disponibilul din depozite este egal cu

cererea centrelor de consum (problema de echilibru).

Costul total al transportului se obţine din suma produselor dintre costurile Cij si necunoscutele Xij (cantităţi ce pot şi trebuie să fie transportate).

Dacă notăm cu „f” costul total de transport, vom avea:

f = C11X11 + C12X12 + ……+ C1nX1n + C21X21 + C22X22 +……+ C2nX2n + Cm1Xm1 + Cm2Xm2 + ……+ CmnXmn

Sub formă restrânsă, funcţia se poate scrie astfel:

14

F = în care Xij

Depozitul Ai nu poate expedia celor n centre de consum decât cel mult cantitatea de care dispune, adică aij din produsul depozitat, deci:

Ai = Xi1+ Xi2 +……..+ Xin sau

Centrului de consum Bj nu i se poate repartiza decât cantităţile de care are nevoie şi pe care le poate primi de la cele „m” depozite adică bj, rezultă că:

x1j+x2j+............+xmj=bj sau

Faţă de cele prezentate se poate scrie formula de optimizare a problemei de transporturi în felul următor:

in condiţiile

unde

Orice soluţie care satisface pe (C) se numeşte soluţie posibilă a problemei de transport şi soluţia care minimizează funcţia de eficienţă se numeşte soluţie optimă.

Multitudinea soluţiilor posibile ale oricărei probleme de transport ( C ) este o mulţime nevidă şi mărginită. Sistemul de ecuaţii dat de conditiile problemelor de transport ( C ) conţine m + n – 1 ecuaţii independente cu m,n necunoscute.

Datele unei probleme de transport pot fi prezentate sub forma de tabel, astfel:

B1 B2 ........................ Bj .................................Bn ai

A1 C11X11 C12X12……………..C1jX1j………………..C1nX1n a1

A2

...

...

C21X21 C22X22…………......C2jX2j…………….….C2nX2n

.................................................................................................

.................................................................................................

a2........

Ai Ci1Xi1 Ci2Xi2………......…..CijXij…………..…….CinXin Ai

15

...

.....................................................................................................................................................................................................

....

....

Am Cm1Xm1 Cm2Xm2…………...CmjXmj…………..…..CmnXmn am

b1 b2 ……………….bj……………………bn

Problemele de transport se întâlnesc des în activităţile de distribuire a mărfurilor şi repartiţiilor materiilor prime între diverşi consumatori sau integratori.

Să luăm spre exemplificare un caz particular a metodei expuse:În două depozite Ai unde i = (1,2) se găsesc 300 tone, respectiv 500 tone

îngrăşăminte chimice care trebuie transportate la trei exploataţii agricole pentru a le utiliza în procesul de producţie agricol Bj, unde j = (1,23), în cantităţile solicitate de acestea, respectiv 200,400 şi 200 tone.

Costul transportului unei tone de îngrăşământ de la A1 la Bj este de 6,14,5 unităţi monetare, iar de la A2 la Bj de 6,9,8 unităţi monetare.

Se cere să se întocmească un plan de transport optim, adică să se asigure necesarul de îngrăşăminte fiecărei unităţi agricole, iar costul să fie minim.

Modul de rezolvare poate fi următorul:Se notează cu Xij (i= 1,2 şi j = 1,2,3) cantităţile de îngrăşăminte (tone)

care trebuie transportate de la depozite (Ai) la unităţile de producţie agricole (Bj).

Se scriu restricţiile problemei:

X11 + X12 + X13 = 300X21 + X22 + X23 = 500X11 + X21 = 200X12 + X22 = 400X13 + X23 = 200Xij 0

Se notează cu „f” costul total al transporturilor şi se ţine seama de costul transportului unei tone de combustibil de la depozitul Ai la unitatea agricolă Bj. Se obţine:

f = 6X11 + 14 X12 + 5X13 + 6X21 + 9X22 + 8X23

Pentru simplificare se fac notaţiile X=X11 şi Y = X12 relaţiile stabilite se pot scrie astfel:

16

X21 = 200 – XX22 = 400 – YX13 = 300 – X –YX23 = 200 – 300 + X +Y X23 = - 100 + X + Y

Deoarece soluţia sistemului format trebuie să fie nenegativă (Xij 0) se obţine:

300 – X – Y 0 X + Y 300200 –X 0 sau X 200400 – Y 0 Y 400- 100 + X +Y 0 X + Y 100X 0 :Y 0 X 0 :Y 0

În continuare se exprimă funcţia obiectiv „f” prin X şi Y:

f = 6X + 14Y + 5(300 – X – Y) + 6(200 – X) + 9(400 – Y) + 8(-100 + X + Y)

Din efectuarea calculelor se obţine:

f = 3X + 8Y + 5.500

Valorile necunoscutelor X şi Y satisfac sistemul de inegalităţi şi reduce la minimum costul transportului exprimat prin „f”.

Mai întâi se reprezintă grafic dreptele:

(D1) X + Y – 300 = 0(D2) X + Y – 100 = 0(D3) X = 200(D4) Y = 400

17

y (D4)

(D3)

A 0 (D1) x (D2)

Funcţia obiectiv „f” se poate scrie sub forma:

unde si reprezentam grafic dreapta

Se duc drepte paralele cu dreapta (d0) şi se determină cea care corespunde problemei propuse. Din grafic se observă că este cea care trece prin punctul A. Punctul A are coordonatele x =200 , y=0 .Planul optim de transport este următorul:

Unităţi Depozite

U1 U2 U3

Dep 1 A1 200 - 200Dep 2 A2 - 400 -

Funcţia de minimizare a cheltuielilor de transport este:

Deci, costul minim va fi de 6100 unităţi monetare.

18

sau

Probelma nr 6

Alte metode de optimizare a transporturilor

O cantitate de marfă se găseşte depozitată în trei baze de desfacere Ai(i=1,2,3) în cantităţile : 110 t, 130 t, 170 t.Această cantitate trebuie transportată la cinci centre Bj(j=1,2,3,4,5) care necesită urmatoarele cantităţi: 50 t, 60 t, 80 t, 100 t, 120 t.

Cheltuielile de transport de la fiecare bază la fiecare centru sunt date de matricea :

Cij=

Metoda colţului de N-V

B1 B2 B3 B4 B5 a1

A1

A2

A3

50 20 30 70 10070 50 40 60 8060 30 70 50 110

110130170

bj 50 60 80 100 120

Avem : min(110,50)=50 ; x11=50 130-80=50A1-b1=110-50=50;x21=x31=0 min(50,100);x25=0x12=min(60,60);x13=x14=x15=0 100-50=50

50 20 30 70 10070 50 40 60 8060 30 70 50 110

19

si x22=x32=0 min(50,170)=50;170-50=120min(80,130)=80 ; x33=0 min(120,140)=120

Soluţia iniţială posibila este:

B1 B2 B3 B4 B5 a1

A1

A2

A3

50 60 - - -- - 80 50 -- - - 50 120

110130170

bj 50 60 80 100 120

fij=50x11+20x12+30x13+70x14+100x15+70x21+50x22+40x23+60x24++80x25+60x31+30x32+70x33+50x34+110x35

Spre deosebire de procedeul nord – est , acest procedeu ţine seama în determinarea soluţiei iniţiale de costurile unitare cij .

Pentru exemplificare folosim datele din aplicaţia anterioara pentru a1 şi bj

şi construim următorul tabel :

B1 B2 B3 B4 B5 a1

A1

A2

A3

50 20 30 70 10070 50 40 60 8060 30 70 50 110

110130170

bj 50 60 80 100 120

Din matricea cu costuri unitare Cij se alege în fiecare linie elementul cel mai mic , în căsuţa corespunzatoare se repartizează cea mai mică cantitate dintre cantităţile disponibile la expeditor şi acele necesare la destinatar .

In linia întâi , elementul cel mai mic este c12 =20 se va destina pentru . Rezultă ca x22=x32=0 si

a1=a1 – b2=110 – 60 =50. Deci , în A1 au mai ramas 50 t. Se caută în linia intâi imediat superioară lui c12 . Această valoare este dată de c13 =30 . Se va destina pentru x13 următoarea valoare minimă x13=min(a1,b3)=min(50,80)=50 şi x11=x14=x15=0 , deoarece A1 a distribuit întreaga cantitate disponibilă .

Centrul B2 este satisfacut complet şi nu va mai fi luat în considerare în repartiţiile următoare . In continuare se procedează în acelaşi mod cu celelalte linii rămase .

20

In a doua linie , elementul cel mai mic este c23=40 . Se va destina pentru x23=min(a2,b2’)=min(130,30)=30 . Rezultă că x33=0 si a2=a2-b2’ ==130 – 30=100 . Deoarece în A2 au mai rămas t se caută pe această linie valoarea lui c2j imediat superioară lui c23 . Intrucât pe B2 nu-l mai luăm în considerare , această valoare (100) este dată de c24=60 . Vom avea x24=min(a2’,b4)=min(100,100)=100 .

Rezultă că x25=0 . Se trece la a treia linie şi se procedează în acelaşi mod . Se consideră c31=60 , x31=min(50,170)=50 şi x35=min(120,120)=120 .

Rezultatul acestei repartiţii se poate urmări în tabelul urmator :

B1 B2 B3 B4 B5 a1

A1

A2

A3

- 60 50 - -- - 30 100 -50 - - - 120

110130170

bj 50 60 80 100 120 -

Valoarea lui fij=26100 , numărul necunoscutelor xij>0 este m+n – 1=7, deci s-a obţinut o soluţie nedegenerată.

Asemănător cu procedeul elementului minim pe linie este şi procedeul elementului minim pe coloana. Acest procedeu determină valorile necunoscutelor xij ţinând seama de valorile elementelor cij aflate în fiecare coloană, alegând din ele pe cele cu min c ij şi destinându-le în căsuţa corespunzatoare pentru xij , valoarea min(a1,bj) .

Rezultatul aplicării acestui preocedeu este dat în tabelul urmator :

B1 B2 B3 B4 B5 a1

A1

A2

A3

50 60 - - -- - 80 50 -- - - 50 120

110130170

bj 50 60 80 100 120

Valoarea lui fijc=25600 şi s-a obtinut tot o solutie nedegenerată deoarece

numărul necunoscutelor xij 0 este m+n – 1=6 .

21

Procedeul elementului minim pe tabel

Metoda constă ăn repartizarea cantitătilor necesare beneficiarilor după criteriul elementului cij minim pe tabel .

Folosind acelaşi tabel din problema precedentă (minimum pe linie) cu costurile unitare, se va proceda în felul urmator :

Se alege elementul cij dat de c12=20. Se atribuie pentru x12=min(110,60) 60 . Cum B2 a luat întreaga cantitate necesară , coloana respectivă nu se mai utilizează în repartiţiile următoare .

In această situaţie rezultă că x22=x32=0. In locul lui a1 apare a1=110 – 60 50 .Elementul costului superior lui c12 este c13=30 . Vom avea acum

x13=min(a1, b3)=min(50, 80)=50 . De aici rezulta ca x14=x15=0 . Elementul superior lui c13 este c23=40 şi de aici rezultă că x23=min(130,30)=30 şi x33=0, deoarece B3 a fost satisfacut .

x34=min(100, 100)=100 şi x24=0

Pentru costul c34=60 se ia x31=min(170, 50)=50 . Rezulta ca x11=x21=0 ,

x25=100 şi x35=20 .

In urma acestor operaţii soluţia problemelor de transport arată astfel :

B1 B2 B3 B4 B5 a1

A1

A2

A3

- 60 50 - -- - 30 - 10050 - - 100 20

110130170

bj 50 60 80 100 120

Se obţine fij=22100

Cele patru procedee folosite au dus la soluţii de bază nedenegerate .

22

Comparând rezultatele obţinute pentru funcţia obiectiv prin aplicarea procedeelor prezentate se constata :

Prin procedeul colţului NORD-EST se realizează un cost de fij=25600

Prin procedeul minimului pe linie , un cost de fij=26100 Prin procedeul minimului pe coloană un cost de fij=25600 Prin procedeul minimului pe tabel un cost de fij=22100

Problema nr 7

Rezolvarea matricilor decizionale cu punct de echilibru

Dacă matricei decizionale i se poate atribui un punct de echilibru, alegerea alternativei optime se determină cu ajutorul unor criterii sau reguli, aplicate în funcţie de situaţia dată şi nivelul ierarhic la care se află decidentul.

In rezolvarea unor astfel de probleme se folosesc mai multe reguli şi criterii. De exemplu:a- Regula prudenţei (sau criteriul Wold - pesimist), potrivit căruia decidentul trebuie să analizeze rezultatele posibile ale fiecărei alternative în parte şi să opteze pentru rezultatele cele mai nefavorabile.

In activităţile agricole, decidentul poate fi interesat în determinarea unor situaţii dintre cele mai nefavorabile, în care poate să-l pună în condiţii naturale (adoptarea de valori minime). In astfel de cazuri matricea cuprinde elementele ce urmează a fi minimizate.

Criteriul presupune, alegerea variantei optime dintre cele mai slabe, în aşa fel încât să se obţină un maxim de câştig sau un minim din pierderile maxime.

Rezolvarea problemei presupune parcurgerea mai multor etape şi anume:- alegerea matricei decizionale;- determinarea punctelor de echilibru;- fixarea pentru fiecare alternativă a rezultatelor (maxime sau minim după

caz);- alegerea alternativei ce conţine rezultatul cele mai favorabile dintre

rezultatele cele mai nefavorabile;- analiza alternativei şi formularea dispoziţiilor de aplicare în practică.

Daca decidentul, în urma analizei, consideră că natura îi va fi ostilă şi vainfluenţa negativ activitatea de producţie, el va adopta alternativa care îi asigură un anumit nivel minim de producţie, de profit etc, sau un anumit nivel al costurilor. Astfel că, acest criteriu în urma analizei, permite decidentului să transpună problema, din condiţiile de incertitudine în condiţii de certitudine, aproximarea realizându-se prin recurgerea la stările cele mai nefavorabile sau mai favorabile ale naturii.

Cu toate că acest criteriu se bazează pe un exces de prudenăa, prezintă importanţă pentru fundamentarea deciziilor strategice ce se adoptă la niveluri superioare de conducere. Acest criteriu îşi găseşte aplicabilitatea şi în adoptarea deciziilor cu privire la noile obiective de investiţii din agricultură, care, în anii

23

cu cele mai nefavorabile condiţii, trebuie să realizeze un cost al producţiei astfel încât să permită recuperarea integrală a cheltuielilor de producţie, dacă nu se poate obţine şi un anumit profit.

Deci, criteriul porneşte de la realitatea că natura este întotdeauna ostilă decidentului. Prin urmare, decidentul va alege alternativa care realizează cele mai bune rezultate din cele mai slabe posibile.De exemplu, decidentul trebuie să decidă la înfiinţarea culturii de porumb, cu care din soiurile de porumb S1, S2, S3 să însămânţeze, cu probabilitatea de a obţine o anumită valoare a profitului, un volum fizic al producţiei sau o valoare a producţiei deci, pentru elementele de maximizare,

sau de minimizare a costurilor,

Pentru calcul se efectueaza următorii paşi: - se întocmeşte matricea decizională;- se aplică condiţia de echilibru;- sa ia decizia optimă în raport cu natura problemei. Pentru exemplificare, se foloseşte următoarea matrice cu date ipotetice, pentru elementele maximizabile ale profitului (unităţi valorice).1.-Matricea decizională;

2.-Condiţia punctului de echilibru maximin = minimax

punctul de echilibru este 20.3.-Decizia optimă este S3(N1)

Criteriul este criticat deoarece decidentul nu trebuie să considere că natura este ostilă întotdeauna.b- Un alt criteriu este criteriul optimist sau a lui Wald, care porneşte de la ideea că natura este binefăcătoare, adică în perioada de prognoză de referinaţă, vor apărea acele stări ale naturii care vor putea influenţa favorabil desfăşurarea evenimentelor. Dacă decidentul este optimist, procedează astfel:- notează pentru fiecare alternativa, rezultatul cel mai bun,- alege alternativa cu avantajul maxim, care satisface relaţia.

24

Sau minim:

Acest criteriu presupune alegerea acelei alternative care conduce la obţinerea celui mai bun rezultat din cele mai bune posibile (considerând că natura este întotdeauna favorabilă decidentului). Pentru exemplificare se reiau datele din tabelul anterior

1. Matricea decizională.

2. Punctul de echilibru este 20.In matrice sunt înscrise elementele maximizabile. Condiţia punctului de

echilibru este ca unitatea cea mai mare de pe linie să fie cea mai mare de pe coloană.

3. Se aplica condiţia de decizie optimă:

Se alege deci, rezultatul cel mai mare de pe fiecare linie iar decizia optimă este alternativa cu rezultatul cel mai bun. In cazul analizat este .

Criteriul este criticat deoarece natura nu este întotdeauna favorabilă activităţilor agricole, deci nici decidentului. Crtiteriul, deci, nu poate fi generalizat, dar poate fi aplicat pentru fundamentarea unor decizii tactice corecte, fără implicaţii deosebite în activitatea economică a unităţii economice agricole. Se impune ca decidentul să acţioneze raţional şi cu iniţiativă din partea celor ce transpun în practică decizia.c- Un alt criteriu este cel al extremelor a lui Leonid Hurwicz în care intervine un coeficient de optimism – pesimism, permiţând să se ţină seama de valorile cele mai mari şi cele mai mici ale rezultatelor fiecarei alternative. Criteriul este cuprins între 0 şi 1, valoarea „0” corespunde unui pesimism absolut, iar valoarea „1” unui optimism absolut.

Decidentul ia în calcul o probabilitate de apariţie a celor două posibilităţi extreme, care exprimă coeficientul său de optimism – pesimism.

De exemplu, dacă decidentul îşi propune un coeficient de optimism de 3/5 înseamnă că acceptă stări favorabile ale anului agricol şi obţinerea unor rezultateprevăzute cu probabilitatea de 3/5 şi apariţia stării nefavorabile a naturii cu probabilitatea de 2/5, astfel încât adică 3/5+2/5=5/5=1

25

Cu ajutorul probabilităţilor se calculează mărimea „ ”, a cărei valoare arată alternativa optima. Pentru rezolvarea criteriului se parcurg următoarele etape:- se adoptă un anumit coeficient de optimism şi de pesimism (1-)- pentru fiecare alternativă se ia rezultatul cel mai mic şi cel mai mare

şi se calculează mărimea „ ” cea mai mica

sau mărimea cea mai mare .Alegerea alternativei optime este în funcţie de conţinutul matricei rezultatelor

– alternativa optimă este indicată de valoarea maximă sau minimă a lui „ ”.Criteriul îmbină cea mai bună şi cea mai slabă soluţie în proporţiile fixate de

gradul de optimizare, respectiv, de pesimism al decidentului.Pentru exemplificare se folosesc datele din tabelul anterior 1 – se construieşte matricea decizională

2 – punctul de echilibru – 203 – se determină mărimea lui „ ” pentru fiecare linie a matricei - max reprezintă valoarea maximă a rezultatelor pe linie;- min reprezintă valoarea minimă a rezultatelor pe linie;

Se consideră =0,30; 1-=0,70, hi1: 0,30 . 20+0,70 . 10=13,0 hi2: 0,30 . 25+0,70 . 15=21,5 hi3: 0,30 . 30+0,70 . 20=23,03 Se aplică decizia optimă max hI,

Se aplică deci alternativa S3. Critica adusa acestui criteriu este că intervine subiectivismul în alegerea coeficienţilor de optimism.d. Criteriu Savage sau regula regretelor consideră că strategia decidentului în cadrul unui climat de incertitudine trebuie aleasă, având în vedere diferenţa între valoarea rezultatului maxim, ce s-ar putea obţine într-o anumită stare a naturii şi valoarea celorlalte rezultate. Decizia ce se ia într-un astfel de caz trebuie sa reducă la minim regretele posibile. Savage consideră regretul ca o pierdere înregistrată de pe urma posibilităţilor nerealizate şi propune luarea deciziei în urma aplicării criteriului pesimist. In matrice, elementul rij se obţine făcând

26

diferenţa dintre fiecare element al matricei din valoarea elementului de utilitate optimă (max Rij) pe coloana respectivă, adică pentru fiecare stare a naturii.

Metodologic, se procedează în felul următor:- la baza matricei decizionale iniţiale se alcătuieşte o nouă linie formată prin

alegerea valorii maxime, corespunzatoare fiecărei coloane;- se scade valoarea maximă din ultimul rând din fiecare element în parte alcoloanei date, folosind relaţia: şi se obţine o matrice a cărei elemente au valori negative sau zero;- se analizează alternativele din matricea negativă şi se stabileşte soluţia

optimă.Aceasta corspunde alternativei care conţine cele mai multe elemente egale cu zero sau valori în cifre absolute, mai apropiate de zero.

Pentru exemplificare, se folosesc datele din tabelele anterioare .1. Se întocmeşte matricea decizională.

2. Se aplică condiţia de echilibru – 203. Se calculează şi se întocmeşte matricea regretelor, prin efectuarea

diferenţeialgebrice, dintre alternativa maximă şi celelalte alternative.

Dupa calcularea regretelor pe coloane se stabilesc regretele minime pe linii. Decizia optimă este min Rij= -5, deci alternativa este S2

Critica adusă acestui criteriu constă în faptul că adoptarea deciziilor se calculează numai cu pierderile minime, de unde şi similitudinea cu criteriul pesimist.

e) Criteriul Bayes Laplace sau regula echilibrului se bazează pe ideea că dacă probabilităţile diferitelor stări ale naturii sunt necunoscute, ele pot fi egale şi transpune problema decizională din condiţii de incertitudine în condiţii de risc.

27

In acest, caz rezolvarea problemei se face prin calculul speranţei matematice. Decizia optimă se adoptă ţinând seama de elementele înscrise în matrice:- pentru elementele maximizabile

- pentru elementele minimizabile La fel, pentru exemplificare, se folosesc datele din tabelul anterior cu

probabilitatea lui N de 33,3% (egale).1. Se întocmeşte matricea decizională.

2. Se aplică condiţia de echilibru 20.3. Se calculează speranţa matematică pentru fiecare linie.

4. Se adoptă decizia optimă ţinând seama de elementele înscrise în matricea

Decizia optimă este alternativa S3 a cărui rezultat este maxim. Critica adusă acestui criteriu constă în faptul că se operează cu medii probabilistice şi nu se analizează suficient de bine rezultatele alternativelor, şi conduce la o decizie întâmplătoare când două alternative au aceeaşi speranăa matematică. Cu toate aceste inconveniente, criteriul are meritul de a asigura transpunerea unei probleme din condiţii de incertitudine în condiţii de risc.

28

Problema nr 8

Model de dezvoltare în profil local.

Pentru construcţia unui model de dezvoltare locală se utilizează mai mulţi indicatori demografici şi economici şi anume:

- ponderea populaţiei active în totalul populaţiei P(a)

P(a) = ;

în care: L – reprezintă forţa de muncă activă;P(t) – populaţia totală din localitate;

Indicatorul are valoarea cuprinsă între 0 şi 1:

0 < Pa < 1

Ponderea populaţiei active în totalul populaţiei trebuie să aibă un nivel ridicat pentru a se asigura o continuă creştere economică a microsistemului teritorial.

Modelul continuă cu gradul de înzestrare tehnică a forţei de muncă (K), care poate fi calculat cu ajutorul relaţiei:

K =

în care: Ff – volumul fondurilor fixe; L – resursele de muncă.Din ultimele două relaţii rezultă:Ff = Pa • K • Pt

Dacă Pa şi K sunt mărimi constante, atunci valoarea fondurilor fixe depinde de totalul populaţiei din zonă.

Se ia în calcul şi nivelul productivităţii muncii în microsistemele teritoriale (W):

W = ,

în care: Q – volumul producţiei obţinute; L – forţa de muncă.Producţia obţinută pe locuitor (ql) reprezintă un alt indicator care arată

nivelul de dezvoltare teritorială, adică:

29

ql = ;

din această relaţie rezultă ql = Pa • WIndicatorii dezvoltării teritoriale prezentaţi sunt în realitate variabili. Deci

se poate introduce în model indicatorul de creştere a resurselor umane (G):

G(Pt) = ( ) – rata creşterii populaţiei;

G(L) = ( ) – rata creşterii populaţiei active.

Dacă ponderea forţei de muncă în totalul populaţiei (Pa) se consideră constantă, rezultă:

G(L) = G(Pt)

In model se pot introduce rate de creştere care reflectă schimbările în dotarea şi înzestrarea tehnică a forţei de muncă, astfel:

G(Ff) = - rata creşterii fondurilor fixe;

G(K) – rata creşterii gradului de înzestrare tehnică a resurselor de muncă din teritoriu.

Data fiind relaţia K = rezultă:

GK = G(Ff) – G(L)Dacă se admite ipoteza constantei mărimii P(a) se poate obţine relaţia:G(K) = G(Ff) – G(Pt)In baza elementelor constituie se poate scrie modelul de dezvoltare locală

în profil rural.Funcţia particulară a producţiei de tip Cobb-Douglas a microsistemului

teritorial poate fi scris astfel:Q = A L1-α Ff

α

în care A şi α sunt constante. Parametrul α este subunitar 0 < α < 1.Din ultima relaţie se poate scoate funcţia de productivitate a

microsistemului local.

= A

Această relaţie se poate scrie şi astfel:W = Pa • A • Kα

Cu această relaţie se poate efectua simularea dezvoltării microeconomice în diferite momente ale evoluţiei. De exemplu, dacă se iau în analiză două momente ale evoluţiei relaţia de mai susş se poate scrie astfel:

W1 = Pa • A • K1α

W2 = Pa • A • K2α

Pentru intensitatea acumulării fondurilor fixe, relaţiile de mai sus se pot scrie astfel:

30

K1 = ; K2 =

Astfel se poate anticipa, cu o aproximaţie acceptabilă evoluţia înzestrării tehnice a populaţiei active teritoriale iar modelul în ansamblul său poate sta la baza dezvoltării spaţiului rural în cadrul unei regiuni de dezvoltare.

Problema nr 9

Repartizarea optimă a tractoarelor pe tipuri de lucrări se realizează cu ajutorul metodei distributive a programării liniare.

Modelul matematic al functiei scop este minimizarea cheltuielilor totale solicitate de efectuarea lucrărilor, adică:

f(min) = min

La rezolvare se are în vedere respectarea următoarelor condiţii:aij – volumul din lucrarea „i” executată cu tractorul „j”;Ai – volumul de lucrări de felul „i”;

- randamentul tractorului „j” pentru perioada de plan;Cij – costul unei unităţi din lucrarea „i” efectuată cu tractorul de tipul „j”;j – numărul de tractoare;i – numărul de lucrări.La întocmirea modelului de optimizare a folosirii tractoarelor se are în

vedere ca:1. Suprafeţa lucrată de fiecare tip de tractor să fie egală cu volumul posibil

de folosire a acestuia:

Ai = unde i =

2. Suprafeţelor lucrate de un tip de tractor, specific fiecărei categorii de lucrări, să fie egal cu randamentul tractoarelor pe perioada analizată:

= unde j =

3. Volumul total al lucrărilor să fie egal cu suprafeţele lucrate de fiecare tip de tractor şi a randamentelor tuturor tractoarelor, din perioada analizată (problema echilibrată):

=

Soluţia modelului se poate obţine cu ajutorul metodei colţului N.V. sau cu ajutorul calculatorului.

La optimizarea programului de producţie agricolă se iau în calcul şi principalii indicatori de eficienţă economică, printre care:

- a – Veniturile aduse de mijloacele mecanice prin utilizarea lor, exprimate prin economia de mână de lucru; valoarea producţiei suplimentare obţinută în urma recoltelor în perioade optime şi cu pierderi mici;

31

- b – Cheltuielile cu exploatarea mijloacelor mecanice care includ cheltuieli fixe (Chf) (amortismentul, cheltuieli de intreţinere şi reparaţii, impozite şi taxe, asigurări, dobânzi, s.a.);Cheltuielile variabile (Chv) (carburanţi, lubrifianţi, energie electrică,

materiale etc.).Cheltuielile totale (Cht) sunt determinate după relaţia:

Cht = Chf + Chv . nîn care „n” reprezintă numărul zilelor de lucru pe an.

In funcţie de specificul activităţii, la care este folosit mijlocul mecanic, cheltuielile variabile se pot stabili pe ha, to, ore/bucăti etc.

Intotdeauna la achizitionarea unui mijloc mecanic, maşini, instalaţii etc. se ţine seama de substituirea muncii manuale.

De exemplu, la achiziţionarea unei maşini de recoltat furaje, care să înlocuiască munca manuală, se are în vedere:

- Preţul de achiziţie a utilajului – Pa ;- Cheltuielile fixe de exploatare – Chf ex ;- Preţul carburantului – Chcr;- Salariul mecanizatorului – Sm ;- Valoarea lucrării (recoltării) executată manual – Vbm ;- Producţia la hectar – Qha .

Pentru a afla suprafaţa “x” de la care se recomandă cumpărarea maşinii de recoltat furaje trebuie să se rezolve relaţia:

Chf ex + (Chv + Sm). x < Vbm

Rezultă că x <

Cheltuielile pe hectar la folosirea mijlocului mecanic trebuie să fie mai mici decât prin folosirea lucrului manual, sau altfel spus numărul de hectare recoltate este mai mare la folosirea mijlocului mecanic în unitatea de timp.

Concret, dacă se presupune că cheltuielile fixe însumează, la lucrarea de recoltare 500 lei, costul carburantului la ha 30 lei, salariul mecanizatorului cuvenit pentru un ha este de 13 lei. Valoarea lucrarii recoltate manual este de 140 lei iar producţia de furaje la ha este de 60 tone. Aplicând formula de mai sus rezultă că eficienţa economică pentru cumpărarea maşinii de recoltat prin înlocuirea muncii manuale este pentru o suprafată mai mare de 5,15 ha cu o producţie pe hectar de 60 tone:

500 + (30 + 13)• x = 140 • x 500 = 140 x – 43 x, deci

x = = 5,15 ha

Mijlocul mecanic poate să fie achiziţionat în condiţiile în care preţul acestuia este inferior valorii momentului de referintă a profiturilor anticipate, rezultate din folosirea lui, potrivit relaţiei:

Pac < Vap

32

Vap = Pa

în care:Pac – reprezintă preţul mijlocului mecanic;Vap – valoarea de referinţa a profiturilor anticipate;Pa – profitul anual realizat în timpul „n” ani de utilizare a mijlocului

mecanic;r – rata dobânzii la credit (%);n – durata de folosire în ani a mijlocului mecanic.De exemplu, pentru achiziţionarea unui tractor s-a calculat că profitul

anual realizat poate fi de 2.100 lei; durata de viaţă fiind de 10 ani, rata dobânzii de 15% pe an iar preţul de achiziţie de 9.000 mii lei, rezultă:

Pac- Vap < 13.590.

Preţul tractorului fiind mai mic decât valoarea de referinţă a profiturilor anticipate, achiziţia este eficientă.

33