c8-variabilealeatoare

7/26/2019 c8-variabilealeatoare

1/8

1

1

VARIABILE ALEATOARE

2

Variabile aleatoare

au valori ce nu pot fi prognozate cucertitudine

se cunoate distribuia valorilor

tipuri:

- unidimensionale

- discrete

- continue

-multi-dimensionale

3

Variabile aleatoare

Se numete variabilaleatoare pe un spaiu fundamentalEi se noteazprin X, o funcie definitpe E cu valori nmulimea numerelor reale.

Unei variabile aleatoare X i se pot asocia diferite probabiliticu care aceast variabil aleatoare poate lua anumitevalori:

Pr( X = a) - probabilitatea ca X sia valoarea a;Pr( a X b ) - probabilitatea ca X sia valoarea sa

n intervalul [a,b].O variabilaleatoare se numete discretdacea poate lua un

numr finit sau cel mult numrabil de valori.

4

Variabile aleatoare

Exemple: Numrul de internri ntr-un spital ntr-un

interval de timp dat X={0,1,2,...,n,...}.Aceasta este o variabil aleatoare discretinfinit.

Numrul de bacterii ntr-un mililitru de apX={0,1,2,...,n,...}.

Numrul de indivizi cu RH-negativ dintr-ungrup de n persoane luate la ntmplareX={0,1,2,...,n}. Aceasta este o variabilaleatoare discretfinit.

5

Variabile aleatoare

O variabil aleatoare este continu atuncicnd variaz n mod continuu ntr-un

interval i poate lua o mulime

nenumrabil de valori.

Exemple de acest fel de variabile aleatoare

sunt: temperatura corporal, concentraia

unei substane n snge, capacitatea

pulmonar, etc.

6

Variabile aleatoare

Distribuia sau legea de probabilitate a

variabilei aleatoare Xdiscretse noteazprin:

X :1 2 n

1 2

x x ... x

p(x ) p(x ) ... p( nx )

.

Probabilitile care apar n distribuia unei

variabile aleatoare finite X verific:

ip(xi 1

n) 1

= = .


2/8

2

7

Exemplu -zarul

Probabilitatea de apariProbabilitatea de apariie a uneiaie a uneia

dintre fedintre feele {1,2,3,4,5,6} ale unui zarele {1,2,3,4,5,6} ale unui zar

este 1/6.este 1/6.

8

Variabile aleatoare

Funcia F:RR, definitprin:

==xxi

)p(xix)Pr(XF(x)

se numete o funcie de repartiie pentru variabilaaleatoare X.

9

Variabile aleatoare

Variabilele aleatoare X i Y se numescindependente dac

Pr(X x i Y y) = Pr(X x) Pr(Y y), pentru orice valori posibile x i y ale celor

douvariabile aleatoare, sau n cazul n

care X i Y sunt discrete Pr(X = x i Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y), pentru orice valori posibile x i y ale celor

douvariabile aleatoare.

10

Variabile aleatoare

Media (sperana matematic, valoareaateptat) a unei variabile aleatoare discreteFie X o v. a. finitavnd distributia:

X :1 2 n

1 2

x x ... x

p(x ) p(x ) ... p( nx )

.

Media sau sperana matematic a lui X se

definete prin:

M(X) x p(xii 1

n

i= = ) .

11

Variabile aleatoare

- Daclegea de probabilitate a lui X este uniform, adic

p(xi) = 1/n , pentru orice i=1,2,...,n, atunci M(X) estemedia aritmetica numerelor x1 , x2, ..., xi, ..., xn.

- Se poate uor arta cdaca este o constanti Y este

o alt variabil aleatoare iar X i Y sunt

independente, atunci:

(6) M(a X) = a M(X)(7) M(X + a ) = M(X) + a(8) M(X + Y) = M(X) + M(Y).

12

Variabile aleatoare

Variaiavariabilei aleatoare X:

V(X) =M( [X- M(X)]2)

sau

V(X) i[xi 1

nM(X)] i

p(x )2==

baterea standardeste:

(X) V(X)= .


3/8

3

13

Variabile aleatoare -proprietati

V(a X) = a2 V(X)

(a X) = a (X),V(X + a) = V(X)

(X + a) =(X).

Obs.: aeste o constant

14

Variabile aleatoare

VARIABILE ALEATOARE CENTRATE

REDUSE

Unei variabile aleatoare X cu media M(X) i

abaterea standard (X) i se poate asocia o variabil

aleatoare Y numitvariabilaleatoare centratredus

definitprin:

YX M(X)

X

=

( ).

Proprieti: M(Y) =0

(Y)=1.

15

Variabile aleatoare

Variabile aleatoare definite pe un spaiu

fundamental infinit

Cazul discret

Noiunile i proprietile prezentate anterior

pentru variabilele aleatoare finite se pot introduce n

mod analog pentru cazul variabilelor aleatoarediscrete avnd o mulime infinit de valori, prin

nlocuirea sumei finite i

n

=

1

cu una infiniti=

1

.

16

Variabile aleatoare

Cazul continuu

In cazul unei variabile aleatoare continue X, se

consider o funcie f:RR numit densitate derobabilitate, care are proprietile:

(i) =b

a

f(x)dxb)XPr(a

(ii) f(x) 0, xR,

(iii) f(x)dx 1=

.

17 18

Variabile aleatoare

Cazul continuu

In cazul unei variabile aleatoare continue X, se

consider o funcie f:RR numit densitate derobabilitate, care are proprietile:

(i) =b

a

f(x)dxb)XPr(a

(ii) f(x) 0, xR,

(iii) f(x)dx 1=

.


4/8

4

19

Variabile aleatoare

Funcia de repartiieF asociatv. a. X este:

=x

-

f(t)dtx)Pr(X=F(x).

20

Variabile aleatoare

De asemenea, media lui Xeste definitprin :

M(X) =xf(x)dx

,

iar variaia lui X

V(X) =[x- M(X)] f(x)dx2

.

Observatie:In cazul variabilelor aleatoare continue, media, variaia i

abaterea standard verifica aceleasi proprietati ca si in cazul

discret.

21

Principalele distributii de probabilitate

Pentru variabilele aleatoare discrete : legea BINOMIAL pentru cazul variabilelor

aleatoare finite

legea lui POISSON pentru cazul variabilelor

aleatoare discrete infinite.

Pentru variabilele aleatoare continue : legea normala Z (Gauss)

legea STUDENT(t)

legea

2 a lui PEARSON

legea F a lui FISHER.22


Legea normal

Variabila aleatoareX este normala de tipul N(m, )

daca distribuia ei depinde de doi parametri: media m

si abaterea standard i are densitatea de

probabilitate:

f(x)

x m

=

1

2

1

22

e

( )

.

Pentru variabila normalX au loc :

M(X) = m

V(X) = .

23

Distributia normala (Gauss)

24


Legea NormalredusEste evident c exist o gam infinit de legi normale, care

corespund cte unei perechi de parametri (m, ). Toate aceste

distribuii normale se pot reduce la una singur, avnd media 0 i

abaterea standard 1, cu ajutorul unei schimbri de variabil:

UX m

=

.

Aceasta este legea normal redus cu densitatea deprobabilitate:

f(x)= 1

2

1

2

2

xe .


5/8

5

25

Distribuia normal

26

Distribuia normal

27

Distributia normala redusa Z

28

Principalele distributii de probabilitateLegea BINOMIALsau distribuia lui

BERNOULLIModelul legii binomiale este urmtorul:

1. Un experiment este alctuit din repetarea unei

ncercri elementare de n ori, n fiind un numr natural

dat.

2. Rezultatele posibile ale fiecrei ncercri

elementare sunt doar douevenimente numite de obicei:

succes(S) i eec(E).3. Probabilitile p de succes i q = 1 - p de eec

sunt constante de la o ncercare la alta.

4. Cele n ncercri repetate sunt independente una

de cealalt.

29


Legea binomialNumrul de succese obinute din cele n ncercri

repetate este o variabilaleatoare de tip binomial care

depinde de parametrii n i p i este de obicei notat

prin Bi(n,p). Aceastvariabilaleatoare X poate sia

valorile 0, 1, 2, ..., n i are tabelul de distribuie:

X:k

C p qnk k n k

adic

P( X = k ) = C p qnk k n k

.

30


Legea binomial

Media sau Sperana matematica legii binomiale este:M(X) = n p,

iar variaiaV(X) =n p q,

i deci abaterea standard

(X) = npq .


6/8

6

31


X fiind Bi(p,q), variabilaleatoare binomial

X= X/n, exprimfrecvena relativkn a succesului

X:

kn

n

k k n k C p q

, adica P( X =

kn ) = C p qn

k k n k .

Pentru variabila aleatoare X cau loc relaiile:

M(X) = p, V(X) =pq

n ,(X')

pq

n= .

32


Comportarea la limita legii binomiale cnd n

este mareSe poate arta catunci cnd np 10 i nq

10, distribuia variabilei binomiale X (frecvena

absolut a succeselor) tinde s se apropie de o

lege normalN(np, npq ).

De asemenea, cnd n este mare, distribuia

variabilei aleatoare X (frecvena realtiv a

succesului) tinde sse apropie de o lege normal

de tipul N(p,pq

n ).

33


Legea lui POISSON

Variabila aleatoare POISSON ia o infinitate

numrabil de valori: 0,1,2,...,k,... , care reprezint

numrul de realizri ntr-un interval dat de timp sau

spaiu ale unui eveniment (numrul de intrri pe an

ntr-un spital, numrul de bacterii ntr-un mililitru de

ap, numrul de dezintegrri ale unei substaneradioactive ntr-un interval de timp T dat, etc).

34


Legea lui POISSON

Modelul acestei variabile aleatoare presupune c :

i) numrul de realizri ale evenimentului ntr-un interval esteindependent de numrul de realizr i n orice alt interval(repartiie aleatoare n timp sau spaiu),

ii) numrul ateptat de realizri ntr-un interval esteproporional cu dimensiunea sa i nu depinde de poziia sa ntimp sau spaiu,

iii) ntr-un interval suficient de mic probabilitatea de a observamai mult de o realizare a evenimentului este neglijabil nraport cu probabilitatea de a observa una singur(nesimultaneitatea realizrii a dou evenimente n timp sauspaiu).

35


Variabila aleatoare Poisson

Este caracterizat de un parametru care reprezintnumrul mediu teoretic (ateptat) de realizri ale

evenimentului n intervalul considerat i are

urmtoarea lege de distribuie:

X:

k

ek

k

!, P( X = k ) =

e k

k

! .

Despre variabila aleatoare de tip Poisson X se

mai spune ceste de tipul Po().Sperana matematici variaia sunt:

M(X) = V(X) = . 36


Variabila aleatoare Student (t)

Variabila aleatoare Student t este o variabil aleatoare

continu care ia valori n intervalul (- , + ), a creifuncie densitate de probabilitate depinde de un singur

parametru k numit numrul de grade de libertate.

Distribuia acestei variabile aleatoare este simetric n

raport cu origineai are o form de clopot:

P[ tk< -x ] = P[ tk> x].

Atunci cnd k tinde la , distribuia Student tinde ctre odistribuie normal redus.

Aceast variabil aleatoare este utilizat, n testul de

comparaie a mediilor numiti testul Student sau testul t.


7/8

7

37

Distributia Student t

38


Distribuia 2a lui Pearson

Distribuia 2 descrie comportarea unei sume de

ptrate a unor variabile independente normal distribuite,

fiecare avnd o medie egal cu zero i abatere standard

egalcu 1. Astfel variabila U, definitprin egalitatea

U X X X n= + + +12

2

2 2.. . ,

unde X i2 reprezint ptratul unei observaii selectate

aleator dintr-o populaie normal distribuit avnd media

zero i deviaia standard 1, este 2distribuit.

39


Distribuia 2a lui Pearson

Forma acestei distribuii depinde de numrul de termeni

X i2independeni din sum. Numrul de termeni X i2 independeni

se numete numrul de grade de libertate .Fiecrui nivel d al gradelor de libertate i se asociaz o

distribuie 2distinct. Media i variaia unei distribuii 2sunt

:

M(

2) = d, V(

2) = 2 d,

unde d este numrul de grade de libertate.

40


Distribuia F a lui Fisher

Distribuia F introdus de R. A. Fisher, este definitpe [0, +

) i descrie comportarea ctului a dou variabile cudistribuie 2 fiecare fiind mprit prin numrul gradelor

sale de libertate.

Un membru al acestei clase de distribuii este determinat

prin numrul de grade de libertate ale numrtorului dn

i

respectiv numrul de grade de libertate ale numitorului dm,

distribuiile F distincte fiind determinate de perechi (dn, dm)

distincte.

41


Distribuia F a lui Fisher

In general, pentru dn i dm > 2 distribuia F este

unimodal i pozitiv asimetric. Atunci cnd

numrul gradelor de libertate crete distribuia F se

apropie pe domeniul su de definiie de o distribuie

normal.

Aceast distribuie este utilizat n testele de

comparaie a variaiilor i ca aplicaie a acestora n

testele ANOVA.

42

Problema 1

Considerm cX este o variabilaleatoare reprezentnd numrul deepisoade de otitn primii doi ani de via. Presupunem caceastvariabilaleatoare are distribuia:

a) Care este numrul ateptat (mediu) de episoade de otitn primiidoi ani de via?

b) Care este abaterea standard i variaia acestei variabile aleatoare?

=

017.0039.0095.0185.0271.0264.0129.0

6543210X

M(X) = 0 0.129 + 1 0.264 + 2 0.271 + ... + 6 0.017 = 2.038

V(X) = 1.967


8/8

8

43

Problema 2

Care este probabilitatea ca un copil n cel puin 3 din 20 familii sfacbronitcronic, tiind cprobabilitatea de a face boala n oricefamilie este de 0.05 ?

Numrul de familii n care copii au bronitcroniceste de 3 i respectodistribuie binomialcu parametrii n = 20 i p = 0.05.

Probabilitatea ca sse observe cel puin 3 cazuri din 20 este:

= 1 - (0.3585 + 0.3774 + 0.1887) = 0.0754

=

=

=

=

=

2

0

202020

3

)95.0()05.0(20

1)95.0()05.0(20

)3Pr(K

KKKK

K KKX

c8-variabilealeatoare

Documents