Puncte, direcţii, plane şi sisteme de coordonate principale

utilizate în astronomia geodezică

Sfera cerească

Din orice punct al Globului terestru ar fi privit cerul înstelat, acesta ne apare

ca o calotă sferică infinită, în al cărui centru se află observatorul. Sfera corespondentă a

primit denumirea de sferă cerească, pe care se proiectează stelele. Stelele, inclusiv

Soarele, au mişcări proprii foarte lente, care pot fi puse în evidenţă prin observaţii

astronomice precise, efectuate la intervale relativ mari de timp. De aceea, în multe situaţii,

poziţia stelelor pe sfera cerească este considerată fixă, ipoteză valabilă numai pentru studii

şi determinări de o precizie limitată.

Stelele sunt caracterizate prin anumite proprietăţi, care sunt studiate în amănunt de

specialiştii în astronomie, dintre care le vom specifica pe acelea care au o

importanţă deosebită pentru astronomia geodezică, în general, pentru geodezie în

particular.

O primă proprietate a stelelor derivă din depărtarea acestora faţă de Pământ,

depărtare care poate fi apreciată ca foarte mare. Cea mai apropiată constelaţie (din cele 88

constelaţii catalogate pe sfera cerească) se află la cca 4,3 ani lumină de Pământ (ceea

ce ar corespunde, la o distanţă e≈ 4 • 1013km).

Figura 1

Observarea stelelor pe sfera cerească

Dacă se presupune că din două observatoare M şi M’, situate diametral opuse pe

suprafaţa Pământului (în aproximaţia formei sale sferice), se fac observaţii simultane spre

steaua σ ar rezulta un unghi Δ cu o valoare foarte mica :

1

M’

M

Δ''=ρ''

ρ" = 206 264,806 = numărul de secunde sexagesimale cuprinse într-un radian;

R = 6370 km = raza medie (aproximativă) a Pământului.

Instrumentele actuale nu permit măsurători unghiulare cu o precizia rezultată din

relaţia de mai sus .

Consecinţă: Direcţiile măsurate, la un anumit moment, din 2 observatoare

situate chiar diametral opuse pe suprafaţa Pământului, spre o stea oarecare de pe

sfera cerească, pot fi considerate paralele.

Consecinţa se poate extinde asupra unui unghi dintre două stele, observat de pe

Pământ, care va rezulta cu mărime fixă, indiferent de poziţia observatorului pe suprafaţa

Pământului (a nu se uita condiţiile iniţiale: observaţii la acelaşi moment, efectuate, desigur,

asupra aceloraşi două stele).

O a doua proprietate a stelelor, care are relevanţă în geodezie, se referă la faptul că

acestea au lumina lor proprie, caracterizată, printre altele, de străluciri specifice

proprii. Planetele nu au lumina proprie, fiind corpuri cereşti stinse, luminate de către

Soare.

Aparent sfera cerească execută o mişcare diurnă uniformă de la răsărit spre apus(în

sens trigonometric negativ, numit în astronomie sens retrograd). În realitate, Pământul este

cel care execută mişcarea de rotaţie de la apus spre

răsărit(sens trigonometric pozitiv sau sens direct).

Rotaţia sferei cereşti se poate pune în evidenţă

îndreptând un aparat fotografic spre pol şi folosind o

expunere mare.

Datorită mişcării diurne vedem stelele descriind

cercuri paralele, ale căror centre se află pe o dreaptă numită

axa lumii, aflată în prelungirea axei de rotaţie a

Pământului. Axa lumii intersectează sfera cerească în două

puncte fixe, numite poli cereşti.

2

Planul perpendicular pe axa lumii ce trece prin centrul O al sferei cereşti(adică prin

centrul Pământului) taie sfera cerească după un cerc mare EE’, numit ecuator ceresc. Firul

cu plumb, într-un loc dat, ne dă direcţia verticalei acelui loc. Această dreaptă intersectează

sfera cerească în două puncte: unul Z, deasupra capului, numit zenit, iar al doilea N,

diametral opus primului, numit nadir. Planul perpendicular pe verticala locului, într-un

punct dat de pe Pământ, se numeşte planul orizontului. El taie sfera cerească după un cerc

mare HH’, numit orizont matematic.

Planul determinat de axa lumii şi verticala locului taie sfera cerească după

meridianul locului(cercul mare PZP’) şi planul orizontului după meridiana locului. Ea taie

orizontul în două puncte: punctul nord H’, de aceeaşi parte cu polul nord, şi punctul sud H,

diametral opus.

O stea în mişcarea sa diurnă aparentă descrie un cerc paralel cu ecuatorul, numit

paralel ceresc. El taie meridianul locului în două puncte: unul la sud de pol, numit punctul

de culminaţie superioară(Cs), altul la nord de pol, numit punctul de culminaţie

inferioară(Ci) a stelei. Intersecţiile cu orizontul ale paralelului descris de stea sunt: punctul

de răsărit(R) şi punctul de apus(A) al stelei. Unele stele, aproape de poli, descriu cercuri

aflate în întregime deasupra orizontului(cercul C’sC’i). Acestea se numesc stele

circumpolare iar celelalte sunt stele cu răsărit şi apus.

Verticala locului este reprezentată (intuitiv) de direcţia firului cu plumb, intr-un

punct dat, sau de direcţia perpendicularei la suprafaţa unui lichid aflat in stare liniştită.

Datorită, in special, structurii interne a Pământului, dar şi a altor cauze care se vor

examina intr-un alt capitol al manualului, verticala locului este o curbă oarecare

3

(denumită şi linie de forţă). Tangenta la linia de forţă intersectează sfera cerească în două

puncte: zenitul (Z) şi nadirul (Z').

După această direcţie se măsoară acceleraţia gravităţii (g) şi se

calează(orizontalizează) în staţie orice instrument topografic sau geodezic în punctul

considerat M.

Din motivele menţionate anterior, indiferent de poziţia observatorului M, pe

suprafaţa Pământului, se poate considera că punctele Z şi Z' ocupă o aceeaşi poziţie

(constantă) pe sfera cerească.

Orizontul locului este planul care trece prin poziţia observatorului M şi este normal la

verticala locului. Zenitul şi nadirul sunt polii orizontului. Orice plan care conţine cei doi

poli este perpendicular pe orizont şi intersectează sfera cerească după un cerc vertical.

Figure 2

Puncte, plane şi cercuri principale pe sfera cerească

Almucantarat este planul care trece prin steaua σ şi este paralel cu orizontul.

Înălţimea stelei deasupra orizontului (h) este unghiul format de direcţia spre stea şi

orizontul locului.

Direcţia zenitală (z) a unei stele este unghiul complementar înălţimii stelei:

z = 90°- h.

Datorită mişcării de rotaţie zilnice a Pământului în jurul axei sale, se crează iluzia că

4

sfera cerească execută o rotaţie completă, în interval de o zi, denumită în astronomic mişcare

aparentă diurnă. Aceasta declanşează răsăritul, respectiv apusul Soarelui, a Lunii precum

şi a celorlalte stele şi planete din univers, care aparent se rotesc de la est la vest, (în sens

invers celui real, specific mişcării de revoluţie a Pământului).

Direcţia care uneşte centrul orbitei pe care are loc mişcarea de rotaţie aparentă a

stelelor şi observatorul terestru M este denumită axa lumii sau axa polilor. Această axă

înţeapă sfera cerească în două puncte PN şi PS denumite polul nord ceresc şi respectiv

polul sud ceresc, fiind denumite şi polii lumii. La latitudinea medie a ţării noastre, polul

nord ceresc PN se află situat in imediata apropiere de Steaua Polară din constelaţia Ursa

Mare (cunoscută curent sub denumirea de Carul Mare).

Cercul orar al unei stele σ din figură este intersecţia planului care trece prin

punctele PN, σ, PS cu sfera cerească.

Ecuatorul ceresc este intersecţia dintre un plan care trece prin centrul sferei cereşti

şi este perpendicular pe axa lumii.

Deoarece s-a arătat că indiferent de poziţia pe Pământ a observatorului M, se poate

considera că acesta se află în centrul sferei cereşti, planul ecuatorului ceresc trece prin

centrul Pământului, determinând prin intersecţie cu suprafaţa sa ecuatorul (astronomic)

terestru.

Polul nord ceresc şi respectiv polul sud ceresc sunt polii ecuatorului ceresc.

Ecuatorul ceresc împarte sfera cerească în două emisfere: emisfera nordică şi respectiv

emisfera sudică.

Planul meridian al observatorului M este determinat de verticala locului şi

axa lumii. Aceasta intersectează sfera cerească după meridianul locului, fiind

perpendicular şi pe ecuatorul ceresc şi pe orizontul locului. Intersecţia planului meridian cu

suprafaţa terestră se numeşte meridian astronomic al punciului M.

Mişcarea de revoluţie a Pământului

Pământul, la fel ca toate planetele, se mişcă în univers după legi care au fost

formulate de marele învăţat Johannes Kepler (1571-1630):

Legea 1. Traiectoria după care se deplasează planetele în univers are forma

unei elipse, Soarele fiind situat într-o poziţie fixă într-unul dintre cele două focare

(mişcarea heliocentrică)

5

Legea 2. Raza vectoare a planetei descrie arii egale în intervale de timp egale.

Legea 3. Raportul dintre pătratul perioadei de rotaţie (T) şi cubul semiaxei mari a

elipsei (a) este o mărime constantă:

T2/a3=constant,

pentru toate planetele din univers.

Legile lui Kepler, deduse din observaţii proprii pe perioade îndelungate de timp

(1609-1619) au la bază mai multe ipoteze principiale: acţiunile forţelor de atracţie

exterioare sunt neglijate, planetele sunt considerate corpuri punctiforme şi omogene

ş.a. Mai târziu, Isaac Newton (1643-1727) a completat şi generalizat formulările lui

Kepler prin celebra sa lege a gravitaţiei universale.

Traiectoria pe care se roteşte Pământul in jurul Soarelui intr-un an se numeşte

ecliptică. În Fig. 3 sunt reprezentate punctele caracteristice ale eclipticii, care poate fi

aproximată printr-un cerc cu raza de cca. 150 000 000 km.

Figure 3 Ecliptica

Ecuatorul ceresc şi ecliptica se intersectează sub un unghi ε ≈ 23°27', denumit

oblicitatea eclipticii. Aceasta se modifică in timp, cu cca. 47"/secol, datorită, în special,

atracţiei exercitate de planetele Venus şi Jupiter, fenomen denumit în astronomie

precesie planetară. Acest fenomen este permanent studiat şi anticipat cantitativ de

către astronomie. Astfel, s-a preconizat pentru anul 2000 oblicitatea eclipticii va avea

valoarea e = 23°26'21",448. Datorită unor cauze complexe şi incomplet elucidate, a căror

descriere nu face obiectul cursului, durata în care Pământul execută mişcarea de revoluţie

6

Echinocţiu de primăvară(~21 martie)

Periheliu (~3 ianuarie)

Echinocţiu de toamnă (~23 septembrie)

Afeliu (~3 iulie)

pe ecliptică este în scădere permanentă. Este adevărat că această scădere este mică, de

cca. 0",0016/secol, dar influenţa sa este luată în consideraţie in calculele care intervin

în studiile astronomice precise:

Punctele în care ecliptica intersectează ecuatorul ceresc, notate γ şi respectiv γ', se

numesc puncte echinoxiale, deoarece la acele momente (~21 martie, respectiv ~23

septembrie) ziua este egală cu noaptea pe întregul Pământ. Punctul γ este denumit punct

vernal şi îndeplineşte un rol deosebit în astronomic.

Cu noţiunile introduse până acum se poate defini sistemul de coordonate

ecuatoriale (fig. 4) folosit frecvent în astronomic pentru poziţionarea stelelor pe sfera

cerească în cataloagele de stele şi anuarele astronomice:

· α = ascensia dreaptă;

· β = declinaţia;

· γ = distanţa polară:

p = 90° — α

Pentru a simplifica, într-o oarecare măsură, studiile complexe care se întreprind în

astronomia geodezică, în etapele de început se acceptă unele aproximaţii, care sunt, în

continuare, eliminate succesiv.

Figura 4

Sistemul de coordonate ecuatoriale

7

cercul orar al stelei σ

axa lumii

sfera cerescăpunctul vernal

ecliptica

Ecuatorul ceresc

cercul orar al punctului

vernal

PS

PN

Modelul simplificat al astronomiei geodezice conţine următoarele ipoteze

(Grafarend, 1988):

1. Pământul este un corp rigid şi cu potenţial constante în timp;

2. Direcţia axei de rotaţie a Pământului este fixă în interiorul său şi în spaţiu;

3. Viteza de rotaţie a Pământului este constantă;

4. Centrul de masă al Pământului se deplasează pe o orbită plană în jurul Soarelui;

5. Stelele ocupă poziţii fixe pe sfera cerească;

6. Stelele sunt infinit depărtate(o primă excepţie acceptată este Soarele);

7. Viteza luminii este infinită;

8. Propagarea razelor de lumină se face în linie dreaptă.

Unele dintre ipotezele menţionate se pot elimina relativ uşor, ca urmare a

recomandărilor. periodice pe care le face Asociaţia lnternaţională de Geodezie (AIG), în

colaborare cu alte organisme internaţionale.

Astfel, la a XXI -a Adunare Generală a AIG, desfâşurată la Boulder

(Colorado-SUA) în perioada 2-14 iulie 1995 s-au recomandat:

ω = viteza de rotaţie a Pământului = 7 292 115.10-11 rad s-1,

cu o variaţie în timp de:

(-4,5 ± 0,1) * 10-22 rad s-1

Pentru viteza de propagare a luminii (in vid înaintat) se foloseşte valoarea:

c = 2, 99792458 • 108 ms-1

În continuare se va examina, doar descriptiv şi succint, ipoteza 2, care are o

8

deosebită semnificaţie pentru astronomia geodezică.

Mişcarea polului

La fenomenul de precesie planetară, definit mai sus, se adaugă precesia luni-

solară determinată de acţiunile de atracţie exercitată de către Lună şi Soare asupra

Pământului. Suma acestor fenomene este denumită precesie generală sau mai simplu

precesie.

Figura 5

Precesia şi nutaţia

Dintre efectele multiple ale precesiei menţionăm în continuare doar pe cele mai

semnificative.

Punctul vernal γ se deplasează pe ecliptică, în sensul creşterii ascensiei drepte cu cca

0",13/an.

Axa de rotaţie a Pământului nu rămâne fixă ci, descrie o mişcare conică, care se

închide după cca. 26 000 ani, având o rată de cca. 50",37/an.

Datorită, în special, înclinării orbitei Lunii în raport de ecliptică (cu 5°) peste

fenomenul de precesie se suprapune o oscilaţie permanentă a axei de rotaţie a

9

Pământului, denumită nutaţie. Deci conul precesiei nu este neted, ci este un con ondulat

cu perioada de cca. 18,6 ani.

Examinând mai în amănunt aceste modificări temporale ale poziţiei axei

de rotaţie a Pământului şi, îu consecinţă, a poziţiei polului ceresc pe sfera

cerească, astronomia a pus în evidenţă că aceasta din urmă efectuează,

suplimentar, o mişcare de rotaţie proprie, sub forma unei spirale neregulate, cu

perioada de aproximativ 437 zile (renumita perioadă Chandler).

Prin urmare, măsurătorile astronomice trebuie să introducă noţiuni suplimentare:

- axa instantanee (momentană) de rotaţie a Pământului;

- poziţia instantanee (momentană) a polului ceresc.

Din acest motiv, AIG a hotărât în anul 1960 adoptarea unui pol mediu

determinat din media observaţiilor continuie de latitudine, efectuate în perioada

1900-1905 în cinci observatoare astronomice fundamentale, situate în jurul Globului,

la latitudini foarte apropiate.

Observatoare astronomice fundamentale

Observatorul latitudine longitudine

Carloforte/Italia 39°08' 8°19'

Gaithersburg/SUA 39°08' 282°48'

Kitab/Rusia 39°08' 66°53'

Mizusawa/Japonia 39°08' 141°08'

Ukiah/SUA 39°08' 236°48'

Pentru observatorul astronomic Kitab a fost considerată perioada 1935-1940. Polul

mediu definit astfel de către Asociatia lnternatională de Astronomie (AIA) a fost însuşit

de AIG în anul 1960.

Una dintre problemele fundamentale ale astronomiei moderne constă în

determinarea coordonatelor x, y ale polului instantaneu de rotaţie în raport de

Originea Conventională Internatională (CIO), reprezentată de poziţia polului nord

ceresc mediu. Această activitate de cercetare permanentă este coordonată de Serviciul

International al Mişcării Polului (cu sediul la Mizusawa). În prezent, datorită

tehnologiilor perfecţionate utilizate, puterea de rezoluţie a determinării perioadelor

de mişcare a polului a crescut deosebit de mult (Fig. 6).

10

Figure 6

Determinări recente ale mişcării polului

Determinări „de poziţie" ale astronomiei geodezice

Astronomia geodezică are un obiect de studiu deosebit de complex, în care

poziţionarea punctelor geodezice pe suprafaţa Pământului ocupă un loc principal,

preocupările respective fiind încadrate în capitolul denumit astronomie de poziţie. Aceste

mărimi sunt preluate apoi în calculele laborioase care se efectuează în marile reţele

astronomo-geodezice de sprijin.

În fig. 7 se aduc unele completări la noţiunile introduse până acum, astfel încât să se

poată defini determinările la care ne-am referit anterior. Observatorul astronomic Greenwich

(situat în apropiere de Londra) îndeplineşte un rol deosebit de important în astronomie.

Meridianul astronomic al punctului Greenwich a fost adoptat ca meridian origine.

Meridianul locului (al punctului M) intersectează orizontul locului în două puncte:

· punctul mai apropiat de polul nord ceresc este denumit punctul cardinal

nord (N);

· celălalt punct este denumit punctul cardinal sud (S). Dreapta N-S

este denumită meridiană.

Ecuatorul ceresc intersectează orizontul locului, de asemenea în două puncte:

· punctul din care răsar stelele deasupra orizontului este denumit punctul

cardinal est (E);

11

· celălalt punct, diametral opus, este denumit punctul cardinal vest (W)

Primul vertical este planul determinat de verticala locului şi de direcţia EW.

Intersecţia sa cu sfera cerească este denumită cercul primului vertical.

Coordonatele de poziţie determinate de astronomia geodezică sunt coordonate

naturale, deoarece se raportează la mărimi care există în universul real.

Latitudinea astronomică Φ poate fi definită in următoarele moduri (fig. 7):

- unghiul format de axa lumii cu orizontul locului (al punctului M);

- înălţimea polului (nord ceresc) deasupra orizontului (locului);

Figura 7

Determinări de poziţie

- unghiul format de verticala locului cu planul ecuatorului ceresc.

Longitudinea astronomică Λ este reprezentată de unghiul diedru format de

meridianul locului cu meridianul origine.

Coordonatele Φ , Λ, definesc poziţia verticalei locului în punctul oarecare M.

Azimutul astronomic a al direcţiei M-σ este unghiul a format de direcţia M σo cu

12

direcţia N-S. Punctul σo este reprezentat de intersecţia cercului vertical al stelei σ cu

orizontul locului. În astronomie se alege ca origine, pe orizontul locului, punctul S, iar ca

sens pozitiv sensul S, W, N, E, astfel încât se poate considera că azimutul astronomic

variază între 0° şi 360°. Uneori se consideră variaţia sa numai între 0° şi 180°, azimutele

determinate spre W primind semnul (+) iar cele spre E semnul (-).

Azimutul astronomic a al direcţiei M- σ mai poate fi definit şi ca unghiul diedru

format de cercul vertical al stelei σ cu meridianul locului.

- distanţa zenitală z a stelei σ;

- înălţimea h a stelei σ.

Recapitulând, astronomia geodezică determină mărimile naturale Φ , A, a, z (h) .

Mărimilor naturale menţionate mai sus le corespund în geodezie mărimile convenţionale

B,L, A, ζ, care se referă la suprafeţe care nu există în lumea reală, şi care vor fi clarificate în

celelalte.

Elipsoidul de referinţă

Figura Pământului este aproximată în mod curent în geodezie cu un elipsoid

de rotaţie cu turtire mică la poli. Elipsoidul cu trei axe, care ar reprezenta o

aproximaţie mai bună pentru acest scop, a cunoscut până în prezent o aplicabilitate

restrânsă. Ca urmare, în decursul timpului s-a dezvoltat un capitol distinct al Geodeziei,

denumit la noi în ţară geodezie elipsoidală, iar în alte ţări Geodezie matematică,

Geodezie superioară sau Geodezie sferoidală. În acest capitol se studiază metodele de

rezolvare a problemelor geodezice pe suprafaţa elipsoidului de referinţă. Trebuie atras

atenţia că, în mod obişnuit, rezolvările pe elipsoidul de referinţă cuprind numai operaţiuni

cu coordonatele geodezice (B, L respectiv X, Y, Z), altitudinile punctelor geodezice

urmând să fie calculate în mod separat. Prin această strategie, geodezia clasică separă

determinarea poziţiei punctelor geodezice în două etape şi anume: problema de

poziţie ,problema de înălţime .

În mod obişnuit în cadrul geodeziei elipsoidale sunt studiate şi reducerile

observaţiilor geodezice efectuate pe suprafaţa fizică a Pământului la suprafaţa

elipsoidului de referinţă (ceea ce ar presupune cunoştinţe dezvoltate de geodezie fizică,

precum şi alte probleme de mai mare complexitate, cum ar fi, de exemplu, calculele

13

de trecere de la un elipsoid de referinţă la altul (aşa - numitele formule diferenţiale).

Deşi în geodezia elipsoidală se operează cu puncte proiectate pe suprafaţa

elipsoidului de referinţă (notate S'0 în Fig. 3), pentru simplificarea notaţiilor în cadrul

expunerilor viitoare, aceste puncte vor prelua notaţia aferentă poziţiei lor de pe elipsoid (în

cazul considerat S).

Similar cu situaţia examinată, în geodezia elipsoidală sistemele locale

îndeplinesc un rol principal, în care se pot descrie măsurătorile efectuate în teren.

Sistemul elipsoidal local se defineşte analog cu sistemul astronomic local, iar

coordonatele elipsoidale polare locale D, A, şi ζe se pot transforma în coordonate

elipsoidale carteziene locale cu ajutorul unei formule :

unde:

· D - distanţa geodezică;

· A - azimutul geodezic;

· ζe - unghiul zenital geodezic.

Figura 8

Sistemul global geodezic (elipsoidal)

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de rotaţie

Elipsoidul de referinţă, adică elipsoidul folosit la un moment dat, într-o ţară sau în

mai multe ţări, pentru rezolvarea problemelor geodezice, este un elipsoid de rotaţie cu

14

turtire mică la poli. Ecuaţia generală a unui elipsoid de rotaţie, exprimată sub formă

implicită:

este puţin folosită în geodezia elipsoidală.

a b

Figura 9

Elipsoidul de rotaţie de referinţă

Parametrii prin care se poate defini, geometric, un elipsoid de rotaţie sunt:

a = OE = OW - semiaxa mare (raza ecuatorială);

b = OP = OP’ - semiaxa mică;

- turtirea (geometrică);

- excentricitatea liniară;

e= - prima excentricitate (numerică);

- a doua excentricitate (numerică);

15

c= - raza de curbură polară.

Primii trei parametri se mai numesc şi parametri geometrici principali.

Definirea unui elipsoid de rotaţie se poate realiza numai cu doi dintre parametrii

geometrici menţionaţi, dintre care unul trebuie să fie mărime metrică (pentru definirea

dimensiunilor sale).

În tabelul de mai jos se prezintă valorile numerice ale parametrilor a şi f pentru

elipsoizii de referinţă care au fost utilizaţi în decursul anilor în ţara noastră, precum şi

pentru elipsoidul recomandat de AIG. în anul 1980, acceptat în mai multe lucrări de

specialitate publicate în ţara noastră (Ghiţău, Ghiţău & Şomârdolea, 1989 ş.a).

Elipsoizi de referinţă folosiţi în România

Denumirea elipsoiduluide referintă

Anuldeterminării

Semiaxa mare a[m]

Turtirea numericăf

Perioada de ut.ilizareîn România

Bessel 1841 6 377 397,115 1:299,1528 1873-1916

Clarke 1880 6 378 243,000 1:293,5 1916-1930

Hayford 1909 6 378 388,000 1:297,0 1930-1951

Krasovski 1940 6 378 245,000 1:298,3 1951-prezentSistemul geodezic dereferintă 1980

,

1980 6 378 137,000 1:298,257 -

WGS - 84 1,984 6 378 137,000 1:298,25722 1990-prezent

Relaţiile principale de legătură dintre parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaţie sunt :

b = (1-f);

b2=a2(1-e2);

f=1- ;

e2=2f-f2= ;

;

e=a

E;

16

;

În geodezia elipsoidala se operează frecvent cu ecuaţiile parametrice,în funcţie de

coordonatele B şi L, adică:

X=X(B,L); Y=Y(B,L); Z=Z(B,L)

Pentru deducerea acestora este util sa se determine, în prealabil, ecuaţiile parametrice ale

elipsei meridiene:

x=x(B); z=z(B),

din legătura dintre coordonatele X,Y,Z şi respectiv x,z avem:

X-=xcosL; Y=xsin L; Z=z

x= ,

z= .

Ultimele două relaţii reprezintă ecuaţiile parametrice ale elipsei meridiene în

funcţie de latitudinea geodezică B. Pentru scrierea mai concentrată a acestor ecuaţii,

precum şi pentru uşurarea calculelor practice, se folosesc frecvent următoarele funcţii

auxiliare :

W= ;

În acest mod, ecuaţiile parametrice ale elipsei meridiene se pot exprima şi sub

forma:

x=

z= , rezultă

X=

Y=

Z=

Secţiuni normale

17

În continuare se va prezenta, pe scurt, modalitatea de calcul a razelor de curbură ale

secţiunilor normale principale.

Raze de curbură principale

Liniile de coordonate sunt reprezentate de meridiane (L = const.) şi paralele

(B=const.)

Considerăm un punt S pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie care este proiecţia, după normala

la elipsoid, a unui punct de pe suprafaţa terestră. Prin această normală trec o infinitate de

plane. Toate aceste plane sunt perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului în

punctul considerat S.

Curbele plane care rezultă din intersecţia planelor perpendiculare pe

planul tangent la suprafaţa elipsoidului în punctul considerat cu suprafaţa elipsoidului

se numesc secţiuni normale. Dintre aceste secţiuni normale există două,

perpendiculare între ele, care au curbura maximă şi, respectiv, minimă, numite

secţiuni normale principale. Una se numeşte secţiunea meridiană (secţiunea

elipsei meridiene) iar cealaltă secţiunea primului vertical.

Z

18

P'

Figura 10

Secţiuni normale.

Raza de curbură a elipsei meridiane

Planul meridian este definit de axa polilor (PP’) şi normala la elipsoid dusa

prin punctul considerat.

Secţiunea meridiană este dată de intersecţia planului meridian cu elipsoidul

de rotaţie şi are forma unei elipse .

Se consideră două puncte S1, şi, respectiv, S2 infinit apropiate aflate la distanţa

Δs unul de celălalt .

Δα este unghiul infinit mic dintre tangentele duse prin punctele S1 şi S2, unghi

egal cu cel format de cele două normale:

Δα= Δs

Raza de curbură a elipsei meridiane, notată cu M, se determină prin definiţie, cu

relaţia:

=

Se observă că raza de curbură a elipsei meridiane creşte odată cu variaţia latitudinii

geodezice B de la ecuator spre pol:

M0º = a(1– e2); M 9 0 º =

19

Mărimea razei de curbură a elipsei meridiane se poate extrage din tabele în

funcţie de latitudinea geodezică a punctului considerat .

Raza de curbură a primului vertical

Primul vertical este reprezentat de secţiunea normală perpendiculară pe secţiunea

meridiană. Raza sa de curbura se poate determina prin utilizarea teoremei Meusnier

(Ghiţău, 1983 - pg. 110). Pentru o suprafaţă oarecare, această teoremă se poate scrie sub

forma:

ρ = ρncos ψ ,

· ρ - raza de curbură a unei secţiuni înclinate, care trece printr-un punct oarecare

S;

· ρn - raza de curbură a secţiunii normale, care trece prin acelaşi punct S şi are

tangenta comună cu secţiunea înclinată menţionată, formând cu aceasta unghiul ψ .

Revenind la figura 9, se poate aplica teorema Meusnier în punctul S, deoarece

ambele secţiuni trec prin acest punct şi sunt perpendiculare pe secţiunea meridiană :

- secţiunea normală a primului vertical

- secţiunea înclinată, a paralelului punctului S

au aceeaşi tangentă. Se obţine astfel legătura dintre raza de curbură a primului vertical,

notată N, şi raza de curbură a paralelului r:

r = N cos B

La rândul său, raza de curbură a paralelului este egală cu coordonata x din figura 9:

având o variaţie, în funcţie de latitudinea geodezică, de la ecuator spre pol:

r 0 º = a ; r 9 0 º = 0 .

Prin urmare:

Se observă că raza de curbură a primului vertical are o variaţie de la ecuator spre pol:

N0º = a; N9 0 º =

valorile exacte putând fi extrase din tabele, în funcţie de latitudinea geodezică B a

punctului considerat şi se mai numeşte şi marea normală.

20

Raza de curbură a unei secţiuni normale în funcţie de azimut

Se demonstrează (Ghiţău, 1983 s.a) că raza de curbură a unei secţiuni normale în funcţie de

azimut se determină cu formula Euler:

în care mărimea curburii unei secţiuni normale este exprimată funcţie de azimutul său şi, în

cazul elipsoidului de rotaţie, de curburile secţiunii meridianului şi respectiv primului

vertical. Aşa cum s-a menţionat, din infinitatea secţiunilor normale care trec prin punctul

S, două au razele de curbura minimă şi respectiv maximă, fiind denumite secţiuni

normale principale, iar razele lor de curbură raze principale de curbură.

Poziţiile secţiunilor normale principale pot fi deduse din relaţia de mai sus

prin deducerea condiţiilor de minim (maxim), respectiv:

- curbura minimă;

- curbura maximă.

Valorile extreme se obţin prin urmare pentru:

A = 0g - secţiunea meridiană;

A = 100g - secţiunea primului vertical,

care sunt secţiunile normale principale în cazul elipsoidului de rotaţie de referinţă. Rezultă

că aceste secţiuni sunt perpendiculare între ele

M = N, situaţie întâlnită pentru B = 90°, adică la pol.

În concluzie: M ≤ ρn ≤ N

Figura 11

Secţiuni normale şi raze de curbură pe elipsoidul de rotaţie

21

Raza medie de curbură (raza medie Gauss)

Raza de curbură a unei secţiuni normale oarecare, de azimut A, situată

pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie, rezultă dintr-o transformare simplă a relaţiei lui

Euler

Media aritmetică a razelor de curbură ale secţiunilor normale care trec printr-un

punct situat pe elipsoid, atunci când numărul acestor secţiuni tinde către infinit, se

numeşte rază medie de curbură sau rază medie Gauss, notată R:

R=

R0º = b; R9 0 º = ,

Expresia:

K=

este denumita curbura totală sau curbura Gauss, iar expresia :

H=

curbura medie.

22