1

Aplicaţia 2 - Modele ARMA şi previziuni

Primul pas pe care trebuie să-l parcurgem în această etapă constă în selectarea unui

activ financiar şi al indicelui pieţei utilizate în aplicaţia 1. Astfel, în analiză, am utilizat

indicele pieţei londoneze, FTSE100, şi activul companiei BG. Pentru a putea realiza

previziuni ex-post pe cele două serii de timp, am fragmentat seriile de date iniţiale, care

conţineau 202 observaţii zilnice, în două subserii, luând astfel în considerare doar 180

observaţii.

Pentru fiecare dintre aceste două serii de date vom aplica, pe rând, strategia Box-

Jenkins, care presupune următoarele etape:

1. Transformarea seriei de timp, dacă este necesar, astfel încât ipoteza de staţionaritate

să fie îndeplinită.

2. Determinarea ordinelor p şi q ale procesului, astfel încât modelul să captureze cât mai

bine dinamica seriei de timp.

3. Estimarea coeficienţilor modelului ARMA.

4. Verificarea performanţelor modelului obţinut.

I. Strategia Box-Jenkins pentru indicele pieţei FTSE100

Pentru testarea staţionarităţii, am utilizat un test al rădăcinii unitate de tipul

Augmented Dickey-Fuller, implementat în EViews, definit astfel:

H0: seria are o rădăcină unitate (este nestaţionară)

H1: seria este staţionară

Decizia se ia astfel:

Dacă valoarea calculată < , ne aflăm în zona de respingere a ipotezei nule,

adică seria de timp analizată nu este random walk (este staţionară).

Dacă > , suntem în zona de acceptare a ipotezei nule, adică seria de timp

analizată ar putea fi considerată random walk.

2

Deoarece valoarea calculată (-11,43) este mai mică decât oricare dintre valorile critice

(-3,46; -2,87; -2,57), decizia este de respingere a ipotezei nule, ceea ce sugerează

staţionaritatea seriei. Aceeaşi concluzie se poate desprinde şi prin utilizarea corelogramei.

Întrucât coeficienţii de autocorelaţie au valori mici, putem afirma că seria de date provine

dintr-un proces de tip zgomot alb.

Pentru identificarea ordinelor p şi q ale modelului ARMA, analizăm corelograma:

Întrucât nu avem un model clar de model AR(p), MA(q) sau ARMA(p,q), încercăm

mai multe modele sugerate de corelogramă.

1. Modelul MA(1):

3

Coeficientul estimat al modelului MA(1) este θ = 0,151461, care este semnificativ din

punct de vedere statistic, la un prag de semnificaţie de 5% (p-value < 5%). Coeficientul

Akaike are valoarea de -5,845650.

2. Modelul MA(1) MA(7):

Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = 0,180003 şi θ2 = -0,224608, ambii semnificativ diferiţi

de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul Akaike are valoarea de -5,882694.

3. Modelul MA(1) MA(7) MA(18):

Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = 0,2701713, θ2 = -0,289755 şi θ3 = -0,406531, toţi

semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul Akaike are

valoarea de -5,946984.

4. Modelul MA(1) MA(7) MA(18) MA(23):

4

Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = 0,212382, θ2 = -0,340784, θ3 = -0,426773 şi θ4 =

0,219599, toţi semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul

Akaike are valoarea de -6,038513.

Pentru selectarea celui mai bun test, utilizăm criteriul informaţional al lui Akaike, pe

baza datelor centralizate în tabelul următor:

Nr. crt. Modelul Coeficientul Akaike

1 MA(1) -5,845650

2 MA(1) MA(7) -5,882694

3 MA(1) MA(7) MA(18) -5,946984

4 MA(1) MA(7) MA(18) MA(23) -6,038513

Alegem, astfel, modelul ce corespunde celui mai mic indicator Akaike, adică modelul

nr. 4.

Având în vedere modelul selectat, vom realiza previziuni ex-post pentru cea de-a

doua subserie a seriei de date iniţiale, pornind de la valoarea 181 până la 202.

Varianta statică

Evaluarea bonităţii modelului este dată de indicatorii:

5

a) Mean Absolute Percentage Error (MAPE), ce indică abaterile relative medii ale

valorilor previzionate de la cele observate (în cazul nostru, MAPE este foarte

mare, fiind egal cu 327,6111).

b) Coeficientul Theil este un coeficient de apreciere a evaluării, ce ia valori în

intervalul (0,1). Cu cât valoarea sa este mai apropiată de 0, ajustarea este mai

bună. În cazul nostru, acesta are o valoare destul de ridicată, fiind 0,743475.

c) Ultimii trei indicatori exprimă, proporţional, cele trei componente ale

descompunerii mediei pătratelor abaterilor valorilor previzionate faţă de valorile

observate.

Prima componentă exprimă pătratul abaterii între valorile medii (cea a

datelor previzionate şi cea a datelor observate). A doua componentă exprimă

pătratul diferenţei abaterilor standard corespunzătoare. A treia componentă este

componenta reziduală, ea depinzând de coeficientul de corelaţie dintre cele două

seturi de date (valori observate, valori previzionate).

O previziune este considerată bună dacă primele două componente sunt

mici, ceea ce înseamnă că proporţia celei de-a treia componente se apropie de 1.

În modelul ales, Covariance Proportion este de 98,21%, ceea ce indică o

previziune foarte bună.

Varianta dinamică

6

Se observă faptul că varianta dinamică oferă o previziune mai puţin bună decât cea

statică, întrucât Covariance Proportion are valoarea de doar 82,48%.

II. Strategia Box-Jenkins pentru activul BG Group plc (BG)

Testarea staţionarităţii (Testul Augmented Dickey-Fuller)

Deoarece valoarea calculată (-12,28) este mai mică decât oricare dintre valorile critice

(-3,46; -2,87; -2,57), putem respinge ipoteza nulă, ceea ce înseamnă că seria de date este

staţionară.

În continuare, analizăm corelograma şi încercăm mai multe modele sugerate de

aceasta:

7

1. Modelul MA(3):

Coeficientul estimat al modelului MA(3) este θ = -0,123601, care este semnificativ

din punct de vedere statistic, la un prag de semnificaţie de 10% (la limită). Coeficientul

Akaike are valoarea de -4,738463.

2. Modelul MA(3) MA(7):

Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = -0,131128 şi θ2 = -0,181419, ambii semnificativ diferiţi

de zero, la un prag de semnificaţie de 10% primul, respectiv 5%, al doilea. Coeficientul

Akaike are valoarea de -4,757420.

3. Modelul MA(3) MA(7) MA(18):

8

Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = -0,189706, θ2 = -0,220957 şi θ3 = -0,335771, toţi

semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul Akaike are

valoarea de -4,794586.

4. Modelul MA(3) MA(7) MA(18) MA(19):

Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = -0,180360, θ2 = -0,186561, θ3 = -0,474328 şi θ4 =

0,361837, toţi semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul

Akaike are valoarea de -4,847487.

Centralizând datele obţinute mai sus, putem alege cel mai bun model:

Nr. crt. Modelul Coeficientul Akaike

1 MA(3) -4,738463

2 MA(3) MA(7) -4,757420

3 MA(3) MA(7) MA(18) -4,794586

4 MA(3) MA(7) MA(18) MA(19) -4,847487

Dintre cele patru modele analizate, îl alegem pe cel de-al patrulea, deoarece pentru

acesta s-a obţinut cea mai mică valoare a indicatorului Akaike.

Odată determinat modelul cel mai adecvat, putem realiza previziuni ex-post

(menţinem aceeaşi structură a celor două subserii).

9

Varianta statică

Bonitatea modelului este evaluată, utilizând aceeaşi indicatori ca şi pentru indicele

pieţei:

a) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) are o valoare foarte mare, fiind egal cu

360,2025.

b) Coeficientul Theil este destul de mare, având valoarea de 0,650226.

c) Primii doi indicatori au valori scăzute, ceea ce implică o valoare ridicată pentru cel

de-al treilea indicator (Covariance Proportion este 89,22%). Acest fapt indică o

previziune destul de bună.

Varianta dinamică

10

De data aceasta, varianta dinamică oferă o previziune mai bună decât varianta statică,

întrucât Covariance Proportion este 90,24%, faţă de 89,22%, în primul caz.

III. Cointegrarea

Întrucât seria randamentelor pentru activul financiar şi indicele pieţei selectate sunt

staţionare, nu este posibilă verificarea cointegrării pentru acestea. Putem, însă, verifica

această proprietate pentru seria preţurilor.

Testăm, mai întâi, staţionaritatea seriei pentru activul financiar BG şi pentru indicele

pieţei FTSE100:

Se observă că niciuna dintre cele două serii analizate nu este staţionară (valoarea

calculată este mai mare, în ambele cazuri, decât valoarea critică, indiferent de pragul de

semnificaţie ales).

Dar seriile diferenţelor de ordinul întâi sunt staţionare:

11

Deoarece seriile diferenţelor de ordinul întâi sunt staţionare, rezultă că seriile iniţiale

sunt integrate de ordinul întâi (I(1)). Verificăm, în continuare, dacă există o combinaţie

liniară a celor două serii care să ne conducă la o serie staţionară, adică seria:

, unde: reprezintă seria indicelui pieţei FTSE100, iar -

seria activului financiar BG.

Prin estimarea OLS a modelului de mai sus, obţinem următorul output de EViews:

Se constată faptul că modelul este valid, coeficienţii fiind semnificativi din punct de

vedere statistic, la un prag de semnificaţie de 1%. Salvăm reziduurile acestui model într-un

vector notat RRR şi analizăm dacă el este o serie staţionară.

12

Deoarece valoarea calculată (-2,42) este mai mare decât oricare dintre valorile critice

(-3,46; -2,87; -2,57), se acceptă ipoteza nulă, ceea ce înseamnă că seria nu este staţionară (are

rădăcină unitate).

Prin urmare, nu am găsit o combinaţie liniară a seriilor iniţiale care să fie staţionară,

seriile nefiind cointegrate.

IV. Testarea heteroscedasticităţii - Testul ARCH-LM şi modele ARCH

(GARCH)

Testăm heteroscedasticitatea pentru seria randamentelor aferentă indicelui pieţei

FTSE100. Pentru a identifica forma modelului fundamental, reprezentăm grafic evoluţia

seriei randamentelor:

Seria de date nu pare a avea trend. Prin urmare, estimăm următorul model de regresie:

. Outputul pentru modelul fundamental este următorul:

13

Se observă faptul că α este zero, din punct de vedere statistic, ceea ce ne confirmă

ipoteza că media rentabilităţilor continue este nulă. În continuare, alegem modelul auxiliar

pentru testul ARCH (folosim 3 lag-uri), de forma:

.

Ipotezele testului ARCH-LM:

H0: γ1 = 0, γ2 = 0, γ3 = 0 (model homoscedastic)

H1: există cel puţin un γ ≠ 0 (model heteroscedastic)

Constatăm faptul că doar coeficienţii γ1 şi γ3 sunt semnificativi din punct de vedere

statistic, la un prag de semnficaţie de 1%. Coeficientul γ2 ar fi semnificativ doar dacă am

admite un nivel de semnificaţie de 15%. Prin aplicarea testului ARCH-LM, se poate respinge

ipoteza nulă (p-value este foarte mic), indicând faptul că varianţa poate fi modelată printr-un

model autoregresiv cu 3 termeni (deci, există heteroscedasticitate). La aceeaşi concluzie se

ajunge şi dacă se analizează statistica Obs*R-squared.

Pentru modelarea varianţei, utilizăm un model GARCH(1,1) de forma:

.

Outputul de EViews este următorul:

14

Se constată că ambii coeficienţi ai modelului de regresie sunt semnificativi din punct

de vedere statistic (probabilitatea p-value este mai mică decât pragul de semnificaţie de 1%).