geometrie - usab-tm.ro codruta... · observat¸ie. ˆin locul corpului k se poate folosi un inel r,...

CODRUȚA CHIȘ

ALGEBRĂ LINIARĂ,

GEOMETRIE

ANALITICĂ ȘI

DIFERENȚIALĂ

PARTEA I

ALGEBRĂ LINIARĂ

Cuprins

I Algebră liniară

1 Elemente de calcul matriceal ……………………….…….9

1.1 Matrice ………………………………………..……………………...9

1.1.1 Operații cu matrice………………………………………………..10

1.2 Determinanți………………………………….…………...………...13

1.3 Operația de inversare a unei matrice nesingulare…………………...15

1.4 Rangul unei matrice…………………………………………………16

1.5 Sisteme de ecuații liniare……………………………………..…......17

2 Transformări elementare………………….……..………19

2.1 Matrice elementare și transformări elementare……..…….….……..19

2.2 Aplicații ale transformărilor elementare în calculul matricial..…..…23

2.2.1 Calculul rangului unei matrice…………………………….….23

2.2.2 Calculul determinantului și a inversei unei matrice pătratice...24

2.3 Probleme propuse………..…………………………………….……30

3 Spații liniare…………………...………….………………33

3.1 Spațiul liniar real Rn …………….…………………………………35

3.2 Dependența și independența liniară a vectorilor din Rn………..…..36

3.3 Probleme propuse …………………………………………………39

4 Dependența și independența liniară a vectorilor …..…41

4.1 Probleme propuse …………………………………………………43

5 Baze de vectori. Coordonate………………………………………...45

5.1 Probleme propuse………………………………………………….47

6 Aplicații liniare………….………………………………51

6.1 Operații cu aplicații liniare…………………….……………….....53

6.2 Vectori și valori proprii ale unei transformări liniare……………..54

6.2.1 Alte metode de determinare a polinomului caracteristic ale unei

transformări liniare……………………………………………………57

6.3 Probleme propuse ………………………………………………...60

7 Spații vectoriale euclidiene ……………..………………63

7.1 Produs scalar. Normă. ……………..…………………………….. 63

7.2 Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt…………………………..65

7.3 Aplicații liniare ortogonale ..…………………………………….. 69

7.4 Probleme propuse……………..…………………………………. 69

8 Forme biliniare și forme pătratice ………….…………73

8.1 Metoda Gauss-Lagrange. Teorema lui Jacobi…………………….75

8.2 Metoda transformărilor ortogonale……………………………….77

8.3 Probleme propuse…………………………………………………78

9. Bibliografie……….……………………………………81

Capitolul I

Algebrǎ liniarǎ

7

1

Elemente de calcul matriceal

1.1 Matrice

Definiţie. Fie K un corp şi m, n ∈ N∗. O funcţie

A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} −→ K

se numeşte matrice de tip (m, n) cu elemente din corpul K.

Observaţie. În locul corpului K se poate folosi un inel R, caz ı̂n care

vorbim de matrice cu elemente din inelul R.

Notaţie. Dacǎ pentru i = 1, m, j = 1, n, avem date valorile A(i, j) =

aij ∈ K, notǎm A = (aij)i=1,m, j=1,n sau putem prezenta matricea A, scriindvalorile aij ı̂ntr-un tablou dreptunghiular cu m linii şi n coloane:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

Mulţimea tuturor tuturor matricelor de tip (m, n) cu elemente complexe se

noteazǎ Mm×n(K). În cazul ı̂n care m = n notǎm mai simplu Mn(K).Terminologie. Valorile aij ale unei matrice A se numesc elementele lui

A. Pentru A ∈ Mm×n(K), numǎrul m reprezintǎ numǎrul liniilor, iar nnumǎrul coloanelor matricei A. Acestea sunt dimensiunile matricei A. O

matrice de tip (m, 1) se numeşte matrice coloanǎ. O matrice de tip (1, n)

se numeşte matrice linie. O matrice de tip (n, n) se numeşte matrice

pǎtraticǎ de ordin n. Diagonala principalǎ a unei matrice de tip (m, n),

9

10 1. ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL

A ∈ Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n, este sistemul ordonat de elemente(a11, a22, . . . , add), unde d = min(m, n).

Observaţie. Douǎ matrice cu aceleaşi dimensiuni A, B ∈ Mm×n(K),A = (aij)i=1,m, j=1,n, B = (bij)i=1,m, j=1,n, sunt egale dacǎ şi numai dacǎ

aij = bij, (∀)i = 1, m, j = 1, n.

1.1.1 Operaţii cu matrice

Adunarea matricelor

Definiţie. Fie date douǎ matrice de acelaşi tip A, B ∈ Mm×n(K), A =(aij)i=1,m, j=1,n, B = (bij)i=1,m, j=1,n. Suma A + B a matricelor A şi

B este matricea C ∈ Mm×n(K), C = (cij)i=1,m, j=1,n, având elementelecij = aij + bij, (∀)i = 1, m, j = 1, n. În acest mod este definitǎ o operaţie

+ : Mm×n(K)×Mm×n(K) −→Mm×n(K) : (A, B) 7−→ A + B ,

numitǎ operaţia de adunare a matricelor de tip (m, n).

Propoziţie. Adunarea matricelor are proprietǎţile:

1. Asociativitate: (A + B) + C = A + (B + C), (∀)A, B, C ∈Mm×n(K).2. Comutativitate: A + B = B + A, (∀)A, B ∈Mm×n(K).3. Element neutru: (∃)Omn ∈Mm×n(K), Omn = (0)i=1,m, j=1,n: A + Omn =Omn + A = A, (∀)A ∈Mm×n(K).4. Elemente simetrice: (∀)A ∈ Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n, (∃)(−A) ∈Mm×n(K), (−A) = (−aij)i=1,m, j=1,n: A + (−A) = (−A) + A = Omn.Observaţie. Proprietǎţile de mai sus pot fi rezumate spunând cǎ (Mm×n(K), +)formeazǎ un grup comutativ.

Înmulţirea matricelor

Definiţie. Fie date douǎ matrice A ∈ Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n, şiB ∈ Mn×p(K), B = (bjk)j=1,n, k=1,p, cu proprietatea cǎ numǎrul coloanelormatricei A este egal cu numǎrul liniilor matricei B. Produsul A · B almatricelor A şi B este matricea D ∈ Mm×p(K), D = (dik)i=1,m, k=1,p,

1.1. MATRICE 11

având elementele

dik =n∑

j=1

aij · bjk .

În acest fel este definitǎ o operaţie

· : Mm×n(K)×Mn×p(K) −→Mm×p(K) : (A, B) 7−→ A ·B ,

numitǎ operaţia de ı̂nmulţire a matricelor.

Propoziţie. Înmulţirea matricelor are proprietǎţile:

1. Asociativitate: (A · B) · C = A · (B · C), (∀)A ∈ Mm×n(K), B ∈Mn×p(K), C ∈Mp×r(K).2. Element neutru: (∃)In ∈Mn(K), In = (δij)i,j=1,n,

δij =

1 , dacǎ i = j0 , dacǎ i 6= jcu proprietatea cǎ A · In = A, (∀)A ∈ Mm×n(K), In · B = B, (∀)B ∈Mn×p(K).3. Distributivitate bilateralǎ faţǎ de adunarea matricelor:

A · (B + C) = A ·B + A · C, (∀)A ∈Mm×n(K), B, C ∈Mn×p(K) ,(A + B) · C = A · C + B · C, (∀)A, B ∈Mm×n(K), C ∈Mn×p(K) .

Observaţie. În general, dacǎ este definit produsul A ·B al unei matrice Acu o matrice B, nu este neapǎrat definit şi produsul B ·A. Chiar dacǎ suntdefinite ambele produse, ele nu au neapǎrat aceleaşi dimensiuni(de exemplu,

dacǎ A ∈Mm×n(K), B ∈Mn×m(K)). Chiar dacǎ A ·B şi B ·A au aceleaşidimensiuni(̂ın acest caz A şi B sunt obligatoriu pǎtratice, de aceeaşi dimen-

siune), nu este obligatoriu ca produsele sǎ fie egale - ı̂nmulţirea matricelor

este necomutativǎ.

Observaţie. Pentru matrice pǎtratice, (Mn(K), +, ·) formeazǎ un inelnecomutativ cu divizori ai lui zero pentru n ≥ 2. (Pentru n = 1, M1(K)poate fi identificat cu K, prin identificarea, pentru orice a ∈ K a matricei1× 1 (a) cu elementul a.)

Înmulţirea matricelor cu scalari

Definiţie. Fie datǎ o matrice A ∈ Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n, şiλ ∈ K. Produsul λA al matricei A cu scalarul λ este matricea P =


(pij)i=1,m, j=1,n, având elementele pij = λaij, (∀)i = 1, m, j = 1, n. În acestmod este definitǎ o operaţie

· : K×Mm×n(K) −→Mm×n(K) : (A, B) 7−→ A + B ,

numitǎ operaţia de adunare a matricelor de tip (m, n).

Propoziţie. Operaţia de ı̂nmulţire cu scalari are proprietǎţile:

1. λ · (A + B) = λ · A + λ ·B, (∀)λ ∈ K, A, B ∈Mm×n(K).2. (λ + µ) · A = λ · A + µ · A, (∀)λ, µ ∈ K, A ∈Mm×n(K).3. (λ · µ) · A = λ · (µ · A), (∀)λ, µ ∈ K, A ∈Mm×n(K).4. 1 · A = A, (∀)A ∈Mm×n(K), (∀)A ∈Mm×n(K).Aceste proprietǎţi indicǎ faptul cǎ Mm×n(K) are o structurǎ de spaţiu vec-torial peste K.

De asemenea,

5. λ · (A · B) = (λ · A) · B = A · (λ · B), (∀)λ ∈ K, A ∈ Mm×n(K), B ∈Mn×p(K).

Transpunerea unei matrice

Definiţie. Fie datǎ o matrice A ∈Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n. Trans-pusa AT a matricei A este matricea AT ∈Mn×m(K), AT = (αji)j=1,n, i=1,mdefinitǎ prin

αji = aij, (∀)i = 1, m, j = 1, n .

În acest mod este definitǎ o operaţie

(·)T : Mm×n(K) −→Mn×m(K) : A 7−→ AT ,

numitǎ operaţia de transpunere a matricelor.

Propoziţie. Operaţia de transpunere are proprietǎţile:

1. Aditivitate: (A + B)T = AT + BT , (∀)A, B ∈Mm×n(K).2. Omogenitate: (λ · A)T = λ · AT , (∀)λ ∈ K, A ∈Mm×n(K).3. Antimultiplicativitate: (A · B)T = BT · AT , (∀)A ∈ Mm×n(K), B ∈Mn×p(K).

1.2. DETERMINANŢI 13

1.2 Determinanţi

Definiţie. Fie A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n, o matrice pǎtraticǎ. Elemen-tul det(A) ∈ K, definit prin

det(A) =∑

σ∈Snsgn(σ)a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n)

se numeşte determinantul matricei A.

Observaţie. Sn reprezintǎ mulţimea tuturor permutǎrilor de grad n, i.e.

ale mulţimii {1, 2, . . . , n}. Sn este grup ı̂n raport cu operaţia de compunere apermutǎrilor. Pentru o permutare σ ∈ Sn, sgn(σ) reprezintǎ signatura(sausemnul) permutǎrii σ, definitǎ prin (−1)m(σ), unde m(σ) este numǎrul in-versiunilor permutǎrii σ, i.e. numǎrul perechilor (i, j) cu proprietatea cǎ

1 ≤ i < j ≤ n şi σ(j) < σ(i).Notaţie. Determinantul unei matrice A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n, senoteazǎ cu det(A) sau ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Propoziţie. Principalele proprietǎţi ale determinanţilor sunt:

a) det(AT ) = det(A).

b) Dacǎ toate elementele unei linii(respectiv ale unei coloane) sunt nule,

atunci det(A) = 0.

c) Dacǎ toate elementele unei linii k(respectiv ale unei coloane k) sunt de

forma akj = λa′kj(respectiv aik = λa

′ik), atunci det(A) = λ · det(A′), unde

A′ este matricea obţinutǎ prin ı̂nlocuirea liniei(respectiv coloanei) k din

matricea A cu linia(respectiv coloana) formatǎ din elementele a′kj(respectiv

a′ik).

c) Dacǎ toate elementele unei linii k(respectiv ale unei coloane k) sunt de

forma akj = a′kj +akj”(respectiv aik = a

′ik +aik”), atunci det(A) = det(A

′)+

det(A”), unde A′, respectiv A”, sunt matricele obţinute prin ı̂nlocuirea lin-

iei(respectiv coloanei) k din matricea A cu linia(respectiv coloana) formatǎ

din elementele a′kj(respectiv a′ik), respectiv cu linia(respectiv coloana) for-

matǎ din elementele akj”(respectiv aik”).

e) Dacǎ matricea A′ se obţine din matricea A prin interschimbarea a douǎ


linii(respectiv coloane), atunci det(A′) = −det(A).f) Dacǎ o matrice A are douǎ linii(respectiv coloane) egale sau, mai general,

proporţionale, atunci det(A) = 0.

g) Dacǎ o linie(respectiv coloanǎ) a unei matrice A este o combinaţie liniarǎ

a celorlalte linii(respectiv coloane), atunci det(A) = 0.

Definiţie. Fie A ∈ Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n, o matrice oarecare,k ∈ N, 1 ≤ k ≤ min(m, n), un numǎr natural, care nu depǎşeşte dimen-siunile matricei, 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ m, k numere de linii fixate,iar 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n, k numere de coloane fixate. MatriceaA′ = Aj1,j2,...,jki1,i2,...,ik ∈ Mk(K), A

′ = (aij)i∈{i1,i2,...,ik}, j∈{j1,j2,...,jk}, se numeşte

submatrice pǎtraticǎ a matricei A, iar elementul

M j1,j2,...,jki1,i2,...,ik = det(A′) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ai1j1 ai1j2 . . . ai1jk

ai2j1 ai2j2 . . . ai2jk...

.... . .

...

aikj1 aikj2 . . . aikjk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∈ K

se numeşte minor(de dimensiune k) al matricei A.

Definiţie. Fie A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n, o matrice pǎtraticǎ şiAj1,j2,...,jki1,i2,...,ik o submatrice pǎtraticǎ a sa. Complementul sǎu algebric este

elementul

Mj1,j2,...,jki1,i2,...,ik

= (−1)(i1+i2+...+ik)+(j1+j2+...+jk) ·M{1,2,...,n}\{j1,j2,...,jk}{1,2,...,n}\{i1,i2,...,ik}

În particular, complementul algebric al elementului aij al matricei A este

Aij = M{j}{i} .

Propoziţie. Dacǎ A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n, este o matrice pǎtraticǎ,atunci pentru orice linie i0 şi orice coloanǎ j0

det(A) =∑n

j=1 ai0j · Ai0j = ai01 · Ai01 + ai02 · Ai02 + . . . + ai0n · Ai0ndet(A) =

∑ni=1 aij0 · Aij0 = a1j0 · A1j0 + a2j0 · A2j0 + . . . + anj0 · Anj0

Observaţie. Ţinând cont de proprietatea (f) de mai sus, dacǎ i0 şi i1

sunt douǎ numere de linii distincte, iar j0 şi j1 douǎ numere de coloane

distincte,atunci

∑nj=1 ai1j · Ai0j = ai11 · Ai01 + ai12 · Ai02 + . . . + ai1n · Ai0n = 0∑ni=1 aij1 · Aij0 = a1j1 · A1j0 + a2j1 · A2j0 + . . . + anj1 · Anj0 = 0

1.3. OPERAŢIA DE INVERSARE A UNEI MATRICE NESINGULARE15

Propoziţie. (Regula lui Laplace) Fie A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n, omatrice pǎtraticǎ. Pentru orice k ∈ N, 1 ≤ k < n şi orice numere de linii1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n fixate are loc

det(A) =∑

1≤j1


Propoziţie. O matrice pǎtraticǎ A ∈ Mn(K) este inversabilǎ dacǎ şinumai dacǎ este nesingularǎ. În acest caz,

A−1 =1

det(A)· A∗ .

Propoziţie. Mulţimea GLn(K) = {A ∈ Mn(K)|det(A) 6= 0} a matricelorinversabile formeazǎ un grup, numit grupul genral liniar de grad n.

Definiţie. Operaţia de inversare este definitǎ prin

(−)−1 : GLn(K) −→ GLn(K) : A 7−→ A−1 .

Propoziţie. Operaţia de inversare are proprietǎţile:

a) (A−1)−1 = A, (∀)A ∈ GLn(K).b) (AT )−1 = (A−1)T , (∀)A ∈ GLn(K).c) (A ·B)−1 = B−1 · A−1, (∀)A, B ∈ GLn(K).

1.4 Rangul unei matrice

Definiţie. Fie A ∈ Mm×n(K) o matrice oarecare şi r ∈ N, 0 ≤ r ≤min(m, n). Numǎrul r se numeşte rangul matricei A, notat rang(A),

dacǎ reprezintǎ cea mai mare dimensiune a unui minor nenul al matricei A,

i.e. dacǎ existǎ un minor nenul de dimensiune r al matricei A(mai puţin ı̂n

cazul matricei nule Omn, pentru care r = 0), iar orice minor de dimensiune

> r al matricei A este egal cu 0. Un minor nenul de dimensiune r = rang(A)

al matricei A se numeşte minor principal al matricei A.

Propoziţie. Pentru orice matrice A ∈Mm×n(K), B ∈Mn×p(K) are loc

rang(A ·B) ≤ min(rang(A), rang(B)) .

Corolar. Dacǎ A ∈ GLn(K), atunci

rang(A ·B) = rang(B) , (∀)B ∈Mn×p(K) şirang(B · A) = rang(B) , (∀)B ∈Mm×n(K) .

1.5. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 17

1.5 Sisteme de ecuaţii liniare

Definiţie. Un sistem de ecuaţii de forma

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

se numeşte sistem de ecuaţii liniare. Matricea A ∈Mm×n(K), A = (aij)i=1,m, j=1,n,se numeşte matricea(coeficienţilor) sistemului, matricea coloanǎ X ∈Mn×1, X = (xj)j=1,n se numeşte matricea necunoscutelor sistemului,matricea coloanǎ B ∈ Mm×1(K), B = (bi)i=1,m se numeşte matricea ter-menilor liberi ai sistemului, iar matricea A = (A|B) ∈ Mm×(n+1)(K)obţinutǎ prin adjuncţionarea la matricea A a matricei coloanǎ B se numeşte

matricea extinsǎ a sistemului.

Observaţie. Sistemul de ecuaţii liniare se poate transcrie matriceal ı̂n

forma

A ·X = B .

Definiţie. Un sistem de ecuaţii liniare A ·X = B se numeşte compatibildacǎ existǎ X0 ∈Mn×1(K) astfel ı̂ncât sǎ fie verificatǎ egalitatea A·X0 = B.În acest caz, X0 se numeşte soluţie a sistemului.

Definiţie. Un sistem de ecuaţii compatibil A ·X = B se numeşte deter-minat dacǎ soluţia X0 ∈ Mn×1(K) este unic determinatǎ. În caz contrar,i.e. dacǎ existǎ mai multe soluţii ale sistemului, sistemul se numeşte nede-

terminat.

Teoremǎ. (Kronecker-Capelli) Un sistem de ecuaţii liniare A ·X = Beste compatibil dacǎ şi numai dacǎ rang(A) = rang(A).

Definiţie. Dacǎ A · X = B şi rang(A) = r, existǎ un minor nenul dr dedimensiune r al lui A, numit minor principal al sistemului. Orice minor

al matricei extinse A obţinut prin bordarea submatricei corespunzǎtoare

minorului principal dr cu elemente din coloana termenilor liberi şi una din-

tre liniile rǎmase(̂ın caz cǎ r < m) se numeşte minor caracteristic al

sistemului.

Teoremǎ. (Rouché) Un sistem de ecuaţii liniare A ·X = B este compat-ibil dacǎ şi numai dacǎ toţi minorii caracteristici ai sistemului sunt nuli.

2

Transformǎri elementare

2.1 Matrice elementare şi transformǎri ele-

mentare

Fie Mn(R) inelul matricelor pǎtrate de ordin n cu coeficienţi din R şi Inmatricea unitate din Mn(R). S-a notat cu GLn(R) grupul multiplicativ almatricelor inversabile ı̂n inelul Mn(R).

Pentru i, j ∈ N, 1 ≤ i, j ≤ n, notǎm cu eij matricea din Mn(R) care arela intersecţia liniei i cu coloana j elementul 1 ∈ R şi 0 pe celelalte poziţii.Se verificǎ imediat:

eij · est =

0, j 6= seit, j = s .

Pentru i, j ∈ N, 1 ≤ i 6= j ≤ n şi a ∈ R, fie Aij(a) matricea

Aij(a) = In + a · eij ∈Mn(R),

numitǎ matrice elementarǎ. Se observǎ cǎ matricea Aij(a) conţine la intersecţia

liniei i cu coloana j elementul a ∈ R, 1 pe diagonala principalǎ şi 0 pe cele-

19

20 2. TRANSFORMǍRI ELEMENTARE

lalte poziţii:

Aij(a) =

1...

. . ....

. . . . . . 1 . . . a . . . . . .. . .

...

1...

. . .... 1

.

Cum i 6= j, pentru oricare a, b ∈ R avem:

Aij(a) · Aij(b) = In + a · eij == In + (a + b) · eij == Aij(a + b).

Aij(0) = In

Aij(a) · Aij(−a) = Aij(0) = Aij(a).

Deducem cǎ oricare matrice elementarǎ este inversabilǎ ı̂n Mn(R) şi cǎinversa unei matrice elementare este tot o matrice elementarǎ :

Aij(a)−1 = Aij(−a)

Observǎm cǎ det(Aij(a)) = 1. Fie A ∈ Mm×n(R) şi Aij(a) ∈ MM(R).Matricea A′ = Aij(a)·A este egalǎ cu matricea care se obţine din A adunândla linia i linia j a acesteia ı̂nmulţitǎ cu a. O asemenea operaţie se numeşte

transformare elementarǎ asupra matricei A şi vom nota

AAij(a)−→ A′.

Analog, se observǎ cǎ matricea A” = A · Aij(a) este egalǎ cu matriceacare se obţine din A adunând la coloana j coloana i ı̂nmulţitǎ cu a. Operaţia

de mai sus se va numi transformare elementarǎ asupra coloanelor matricei

A şi vom nota:

AAij(a)=⇒ A”.

2.1. MATRICE ELEMENTARE ŞI TRANSFORMǍRI ELEMENTARE21

Pentru i, j ∈ N, 1 ≤ i < j ≤ n, definim matricele din Mn(R):

Qij =

1...

.... . .

......

1...

...

. . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . −1 . . . . . . . . .... 1

......

. . ....

... 1...

. . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . ....

... 1...

.... . .

...... 1

,

Pij =

1...

.... . .

......

1...

...

. . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . .... 1

......

. . ....

... 1...

. . . . . . . . . −1 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . ....

... 1...

.... . .

...... 1

,

care ı̂n poziţiile nespecificate conţin elemente nule. Observǎm cǎ :

Qij = Aij(−1) · Aji(1) · Aij(−1)

Rij = Aji(−1) · Aij(1) · Aji(−1)

Dacǎ A ∈ Mm×n(R) şi Qij ∈ Mm(R) atunci matricea A′ = Qij · A esteegalǎ cu matricea care se obţine din matricea A punând ı̂n locul liniei i linia

j ı̂nmulţitǎ cu (−1) şi ı̂n locul liniei j linia i.


Matricea

M1 0 . . . 0

0 M2 . . . 0

. . . . . .. . . . . .

0 0 . . . Mn

∈Mn(R),

se noteazǎ diag(M1, M2, . . . ,Mn). Definim matricele:

Mi(d) = diag(1, . . . , 1, d, 1, . . . , 1)

Pij = Mi(−1) ·Qij =

1...

.... . .

......

1...

...

. . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . .... 1

......

. . ....

... 1...

. . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . ....

... 1...

.... . .

...... 1

.

Avem cǎ

det(Aij(a)) = 1,

det(Pij) = −1,

det(Mi(d)) = d.

Matricele

(I) Aij, a ∈ R, 1 ≤ i 6= j ≤ m,(II) Mi(d), d ∈ R, d 6= 0, 1 ≤ i ≤ m,(III) Pij, 1 ≤ i < j ≤ m,se numesc matrice elementare respectiv de tipul I, II, III. Dacǎ A ∈Mm×n(R) atunci ı̂nmulţirea la stânga a matricei A respectiv cu o matriceelementarǎ de tip I, II, III va fi numitǎ transformare elementarǎ(a liniilor

lui A) respectiv de tip I, II, III, adicǎ:

(I) adunarea la linia i a lui A a liniei j ı̂nmulţitǎ cu a;

2.2. APLICAŢII ALE TRANSFORMǍRILOR ELEMENTARE ÎN CALCULUL MATRICIAL23

(II) ı̂nmulţirea liniei i a lui A cu un numǎr nenul d;

(III) permutarea liniilor i şi j ale matricei A.

Prin ı̂nmulţirea la dreapta a unei matrice A cu o matrice elementarǎ se

obţin urmǎtoarele transformǎri elementare:

(I)′ adunarea coloanei i a lui A ı̂nmulţitǎ cu a la coloana j;

(II)′ ı̂nmulţirea coloanei i a lui A cu un numǎr nenul d;

(III)′ permutarea coloanelor i şi j ale matricei A.

2.2 Aplicaţii ale transformǎrilor elementare

ı̂n calculul matricial

2.2.1 Calculul rangului unei matrice

Deoarece matricele elementare sunt inversabile, prin aplicarea transformǎrilor

elementare, rangul unei matrice nu se modificǎ(̂ın general are loc ı̂nsǎ ine-

galitatea

rang(A ·B) ≤ min(rang(A), rang(B)) ;

vezi şi Exerciţiul 1).

Modul de determinare a rangului este atunci urmǎtorul:

Se aplicǎ transformǎri elementare cu scopul de a anula cât mai multe din

elementele matricei. Algoritmul se ı̂ncheie atunci când matricea conţine cel

mult câte un element nenul pe fiecare linie şi fiecare coloanǎ. Rangul este

atunci egal cu numǎrul elementelor nenule rǎmase.

Remarcǎ. Rezultatul acesta poate fi obţinut fǎrǎ a utiliza alte transformǎri

decât cele de tip I şi I ′!

Exemplu. Fie matricea

A =

1 −2 1 31 −2 −1 12 −4 0 4

.

Amintim cǎ notǎm cu −→ transformǎrile elementare care acţioneazǎ asupraliniilor şi cu =⇒ pe cele care acţioneazǎ asupra coloanelor.


Avem:

AA21(−1)−→

1 −2 1 30 0 −2 −22 −4 0 4

A31(−2)−→

1 −2 1 30 0 −2 −20 0 −2 −2

A32(−1)−→

A32(−1)−→

1 −2 1 30 0 −2 −20 0 0 0

A12(2)=⇒

1 0 1 3

0 0 −2 −20 0 0 0

A13(−1)=⇒

A13(−1)=⇒

1 0 0 3

0 0 −2 −20 0 0 0

A14(−3)=⇒

1 0 0 0

0 0 −2 −20 0 0 0

A34(−1)=⇒

A34(−1)=⇒

1 0 0 0

0 0 −2 00 0 0 0

= E.Avem E = U · A · V , unde U = A32(−1) · A31(−2) · A21(−1), iar V =A12(2) · A13(−1) · A14(−3) · A34(−1). Obţinem cǎ

rang(A) = rang(E) = 2.

2.2.2 Calculul determinantului şi a inversei unei ma-

trice pǎtratice

Fie A ∈ Mn(R) o matrice pǎtraticǎ. Calculând ca mai sus, putem deter-mina rangul lui A. Dacǎ rang(A) < n, atunci det(A) = 0 şi A este o matrice

neinversabilǎ(sau singularǎ).

Dacǎ rang(A) = n, atunci putem proceda ı̂n felul urmǎtor pentru a calcula

det(A):

-Sǎ presupunem cǎ am folosit doar transformǎri de tipul I şi I ′ pentru

determinarea rangului şi cǎ am obţinut o matrice care conţine exact(!) câte

un element nenul pe fiecare linie şi fiecare coloanǎ.

-Folosind transformǎri de tipul III şi/sau III ′ putem transforma ultima

matrice ı̂ntr-o matrice diagonalǎ D = diag(M1, . . . ,Mn).

Vom avea atunci

det(A) = (−1)k ·n∏

i=1

Mi,


unde k este numǎrul transformǎrilor de tip III şi III ′ folosite.

Exemplu. Sǎ calculǎm cu metoda descrisǎ determinantul matricei:

A =

2 0 −2 11 1 1 3

0 2 1 1

1 2 2 2

.

Avem:2 0 −2 11 1 1 3

0 2 1 1

1 2 2 2

A21(−1)·A23(−1)·A24(−3)

=⇒

2 0 −2 10 1 0 0

−2 2 −1 −5−1 2 0 −4

A32(−2)·A42(−2)−→

−→

2 0 −2 10 1 0 0

−2 0 −1 −5−1 0 0 −4

A24(−1)=⇒

2 0 −2 −70 1 0 0

−2 0 −1 3−1 0 0 0

A34(−2)·A14(2)−→

−→

0 0 −2 −70 1 0 0

0 0 −1 3−1 0 0 0

A34(3)=⇒

0 0 −2 −130 1 0 0

0 0 −1 0−1 0 0 0

A13(−2)−→

−→

0 0 0 −130 1 0 0

0 0 −1 0−1 0 0 0

P14(3)−→

−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 00 0 0 −13

Obţinem deci cǎ

det(A) = (−1)1 · [(−1) · 1 · (−1) · (−13)] = 13.

Pentru a calcula inversa unei matrice A o aducem ca mai sus la forma di-

agonalǎ, dupǎ care cu ajutorul unor transformǎri de tip II sau II ′ ajungem

la matricea unitate. Punând ı̂n evidenţǎ transformǎrile folosite, obţinem o

egalitate de forma U · A · V = In, de unde A−1 = V · U .


Observaţie. Folosind doar transformǎri asupra liniilor(resp. coloanelor),

se poate obţine o egalitate de forma U · A = In(resp. A · V = In), de underezultǎ evident cǎ A−1 = U(resp. A−1 = V ).

O metodǎ practicǎ de a calcula matricea A−1 este atunci urmǎtoarea: Se

aplicǎ ı̂n paralel aceleaşi transformǎri elementare numai asupra liniilor(resp.

coloanelor) matricei A şi ale matricei In, pânǎ când matricea A se trans-

formǎ ı̂n matricea unitate In. În acel moment matricea unitate va fi trans-

formatǎ ı̂n matricea U = A−1(resp. V = A−1).

Observaţie. Cunoscând A−1 = U(resp. A−1 = V ), care este scrisǎ ca un

produs de matrice elementare, putem obţine o descompunere A = U−1(resp.

A = V −1) a matricei A ca produs de matrice elementare, descompunere utilǎ

de exemplu ca o altǎ modalitate de a calcula determinantul matricei A.

Observaţie. Metoda transformǎrilor elementare va fi rafinatǎ mai

târziu, când vom discuta schimbǎri de baze ı̂n spaţii liniare şi vom prezenta

aşa-numita metodǎ a pivotului.

Exemplu. Vom calcula inversa şi determinantul matricei urmǎtoare,

folsind metoda transformǎrilor elementare, expusǎ mai sus:

A =

1 1 2 1

0 1 3 2

2 1 3 2

1 2 1 1

.

Pentru aceasta vom utiliza doar transformǎri elementare asupra coloanelor,

transformǎri pe care le vom indica ı̂n partea dreaptǎ a unor tabele care vor

conţine matricea A şi matricea unitate.

Avem:


1 1 2 1 1 0 0 0 A12(−1)

0 1 3 2 0 1 0 0 A13(−2)

2 1 3 2 0 0 1 0 A14(−1)

1 2 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 -1 -2 -1 M4(12)

0 1 3 2 0 1 0 0

2 -1 -1 0 0 0 1 0

1 1 -1 0 0 0 0 1


1 0 0 0 1 -1 -2 −12

A43(−3)

0 1 3 1 0 1 0 0 A42(−1)

2 -1 -1 0 0 0 1 0

1 1 -1 0 0 0 0 12

1 0 0 0 1 −12

−12

−12

M3(−1)

0 0 0 1 0 1 0 0

2 -1 -1 0 0 0 1 0

1 1 -1 0 0 −12

−32

12

1 0 0 0 1 −12

12

−12

A32(1)

0 0 0 1 0 1 0 0 A31(−2)

2 -1 1 0 0 0 -1 0

1 1 1 0 0 −12

32

12


1 0 0 0 0 0 12

−12

M4(12)

0 0 0 1 0 1 0 0 P24

0 0 1 0 2 -1 -1 0

-1 2 1 0 -3 1 32

12

1 0 0 0 0 −12

12

0 A43(−1)

0 1 0 0 0 0 0 12

A41(1)

0 0 1 0 2 0 -1 −12

-1 0 1 1 -3 12

32

12

1 0 0 0 0 −12

12

0

0 1 0 0 12

0 −12

12

0 0 1 0 32

0 −12

−12

0 0 0 1 −52

12

1 12

Dupǎ calculele prezentate ı̂n tabelul de mai sus am obţinut urmǎtoarele


rezultate:

A−1 =

0 −12

12

0

12

0 −12

12

32

0 −12−1

2

−52

12

1 12

,

A = A41(−1) · A43(1) · P24 ·M2(2) · A31(2) · A32(−1)·

·M3(−1) · A42(1) · A43(3) ·M4(2) · A14(1) · A13(2) · A12(1),

det(A) = 1 · 1 · (−1) · 2 · 1 · 1 · (−1) · 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 1 = 4.

2.3 Probleme propuse

1. Sǎ se calculeze rangurile matricelor:

a)

1 2 2 4

4 5 8 10

3 1 6 2

b)

1 2 −1−1 3 0

2 α 3

, α ∈ R

c)

1 0 1 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

d)

1 −2 32 1 2

4 2 4

3 6 9

e)

3 2 −1 2 04 1 0 −3 02 −1 1 1 13 1 3 −9 −1

f)

3 0 3 0 3

0 2 0 2 0

3 2 0 2 3

0 2 0 2 0

g)

3 2 0 1 4

−1 5 2 3 56 −12 3 −7 −8

10 2 7 1 10

h)

5 4 2 2 3

1 0 3 −3 11 −1 −1 4 −13 4 3 −2 −9

2.3. PROBLEME PROPUSE 31

2. Sǎ se calculeze inversele matricelor:

a)

1 1 1

1 2 3

1 3 6

b)

2 2 3

1 −1 0−1 2 α

, α ∈ R

c)

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

d)

1 2 −30 1 2

0 0 1

e)

3 2 −14 −3 03 1 3

f)

3 0 3

0 2 0

1 2 3

3

Spaţii liniare

Definiţie. Fie M o mulţime nevidǎ. O aplicaţie

φ : M ×M −→ M

se numeşte lege de compoziţie internǎ sau operaţie binarǎ internǎ pe mulţimea

M .

Definiţie. Fie Ω şi M douǎ mulţimi nevide. O aplicaţie

Ψ : Ω×M −→ M

se numeşte lege de compoziţie externǎ pe M sau operaţie externǎ pe M cu

operatori ı̂n Ω.

Definiţia noţiunii de spaţiu liniar.

Fie V o mulţime nevidǎ şi K un corp. Spunem cǎ V este un spaţiu liniar(sau

spaţiu vectorial) peste corpul K, dacǎ V este ı̂nzestrat cu o operaţie binarǎ

internǎ, notatǎ aditiv

+ : V × V −→ V : (v, w) 7−→ v + w

şi cu o lege de compoziţie externǎ cu operatori ı̂n corpul K, notatǎ multi-

plicativ

· : K× V −→ V : (α, v) 7−→ α · v,

care satisfac urmǎtoarele axiome:

SL1. (u + v) + w = u + (v + w), (∀)u, v, w ∈ V .SL2. v + w = w + v, (∀)v, w ∈ V .

33

34 3. SPAŢII LINIARE

SL3. (∃)0 ∈ V : 0 + v = v + 0 = v, (∀)v ∈ V .SL4. (∀)v ∈ V (∃)(−v) ∈ V : (−v) + v = v + (−v) = 0.SL5. α · (v + w) = α · v + α · w, (∀)α ∈ K, (∀)v, w ∈ V .SL6. (α + β) · v = α · v + β · v, (∀)α, β ∈ K, (∀)v ∈ V .SL7. (α · β) · v = α · (β · v), (∀)α, β ∈ K, (∀)v ∈ V .SL8. 1 · v = v, (∀)v ∈ V .

Observaţie. Axiomele SL1-SL4 afirmǎ cǎ (V, +) este un grup abelian.

Axiomele SL5-SL8 exprimǎ proprietǎţile operaţiei externe.

Terminologie:

i) Elementele mulţimii V se numesc vectori.

ii) Elementele corpului K se numesc scalari.

iii) Legea de compoziţie internǎ(+) se numeşte adunarea vectorilor.

iv) Legea de compoziţie externǎ(·) se numeşte ı̂nmulţirea vectorilor cu scalari.v) Elementul neutru 0 al grupului (V, +)(vezi SL3) se numeşte vectorul nul.

vi) Dacǎ K = R, atunci V se numeşte spaţiu liniar real.

3.1. SPAŢIUL LINIAR REAL RN 35

3.1 Spaţiul liniar real Rn

Mulţimea Rn = R×R× . . .×R︸︷︷︸n ori

= {(x1, x2, . . . , xn)|xi ∈ R} a sistemelor

ordonate de câte n numere reale o identificǎm cu mulţimea Mn×1(R) amatricelor cu n linii şi o singurǎ coloanǎ, scriind cele n numere ale unui

sistem (x1, x2, . . . , xn) ı̂ntr-o matrice coloanǎ

X =

x1

x2...

xn

.

Un asemenea sistem ı̂l vom numi atunci vector ı̂n Rn.

Definim o operaţie de adunare a vectorilor prin:

Dacǎ X =

x1

x2...

xn

şi Y =

y1

y2...

yn

, atunci X + Y =

x1 + y1

x2 + y2...

xn + yn

.

De asemenea, definim o operaţie de ı̂nmulţire a vectorilor cu scalari prin:

Dacǎ α ∈ R şi X =

x1

x2...

xn

, atunci αX =

αx1

αx2...

αxn

.

În raport cu aceste operaţii, Rn este atunci un spaţiu liniar real, care se

numeşte spaţiul aritmetic real n-dimensional.


3.2 Dependenţa şi independenţa liniarǎ a vec-

torilor din Rn

Definiţie. Fie X1, . . . , Xm ∈ Rn m vectori din Rn şi α1, α2, . . . , αm ∈ Rscalari reali. Expresia

α1X1 + α2X2 + . . . + αmXm

se numeşte combinaţia liniarǎ a vectorilor daţi cu coeficienţii α1, α2, . . . ,

αm.

Observaţie. Orice combinaţie liniarǎ a unor vectori din Rn este de aseme-

nea un vector din Rn.

Definiţie. Spunem cǎ vectorii X1, X2, . . . , Xm ∈ Rn formeaǎ un sistem degeneratori pentru spaţiul liniar Rn, dacǎ orice vector X ∈ Rn poate fi scrisca o combinaţie liniarǎ a vectorilor X1, X2, . . . , Xm cu anumiţi coeficienţi

α1, α2, . . . , αm:

X = α1X1 + α2X2 + . . . + αmXm.

Observaţie. Evident, vectorul nul poate fi scris ca o combinaţie a oricǎror

vectori folosind coeficienţi egali cu 0.

Definiţie. O combinaţie liniarǎ a vectorilor X1, X2, . . . , Xm având ca rezul-

tat vectorul nul

α1X1 + α2X2 + . . . + αmXm = 0,

ı̂n care nu toţi coeficienţii sunt nuli, se numeşte relaţie de dependenţǎ liniarǎ

ı̂ntre vectorii X1, X2, . . . , Xm.

Definiţie. Un sistem de vectori S = {X1, X2, . . . , Xm} ⊆ Rn se numeşteliniar dependent dacǎ existǎ o relaţie de dependenţǎ liniarǎ ı̂ntre vectorii

sistemului, i.e. dacǎ existǎ numere reale α1, α2, . . . , αm, nu toate nule, astfel

ı̂ncât

α1X1 + α2X2 + . . . + αmXm = 0.

Definiţie. Un sistem de vectori S = {X1, X2, . . . , Xm} ⊆ Rn se numeşteliniar independent dacǎ nu existǎ nici o relaţie de dependenţǎ liniarǎ ı̂ntre

vectorii sistemului, i.e. dacǎ relaţia

α1X1 + α2X2 + . . . + αmXm = 0

3.2. DEPENDENŢA ŞI INDEPENDENŢA LINIARǍ A VECTORILOR DIN RN37

poate avea loc numai dacǎ α1 = α2 = . . . = αm = 0.

Exemplu. Fie vectorii V1 = [1−1−5]T , V2 = [2 2−1]T , V3 = [4 8 7]T . Vomstudia cu ajutorul definiţiei dependenţa liniarǎ a sistemului S = {V1, V2, V3}.Putem rescrie o combinaţie liniarǎ nulǎ a vectorilor V1, V2, V3 cu scalarii

λ1, λ2, λ3 ı̂n felul urmǎtor:

λ1 · V1 + λ2 · V2 + λ3 · V3 = 0 ⇐⇒

⇐⇒ λ1

1

−1−5

+ λ2

2

2

−1

+ λ3

4

8

7

=

0

0

0

⇐⇒

⇐⇒

λ1 + 2λ2 + 4λ3 = 0

−λ1 + 2λ2 + 8λ3 = 0−5λ1 − λ2 + 7λ3 = 0

care este un sistem omogen de trei ecuaţii cu necunoscutele λ1, λ2, λ3. Acest

sistem admite soluţii nebanale dacǎ şi numai dacǎ rangul matricei asociate

sistemului este mai mic decât 3. Într-adevǎr, avem

AS =

1 2 4

−1 2 8−5 −1 7

şi rang(AS) = 2. Notând λ3 = α, obţinem λ1 = 2α şi λ2 = −3α, deci

2α · V1 − 3α · V2 + α · V3 = 0,

relaţie care are loc pentru orice α ∈ R. Pentru valori particulare nenuleoarecare ale parametrului α, se obţin diferite relaţii de dependenţǎ linarǎ

ı̂ntre vectorii sistemului. De exemplu, pentru α = 1 avem relaţia:

2V1 − 3V2 + V3 = 0,

astfel cǎ sistemul S este liniar dependent.

Observaţie. A gǎsi o relaţie de dependenţǎ liniarǎ ı̂ntre m vectori X1, X2, . . . , Xm ∈


Rn, unde

Xj =

a1j

a2j...

aij...

anj

,

este echivalent cu a cǎuta soluţii nenule pentru un sistem liniar omogen

cu n ecuaţii(corespunzǎtor celor n componente ale vectorilor din Rn) şi m

necunoscute α1, α2, . . . , αm:

α1a11 + α2a12 + . . . + αma1m = 0

α1a21 + α2a22 + . . . + αma2m = 0

. . . . . . . . .

α1an1 + α2an2 + . . . + αmanm = 0

Acest sistem are matricea

AS = [ X1 X2 . . . Xm ],

formatǎ prin alǎturarea celor m coloane ale vectorilor daţi.

Prin urmare:

• Condiţia ca un astfel de sistem sǎ aibǎ soluţii nenule este ca rangulmatricei AS a sistemului sǎ fie mai mic decât numǎrul m al necunos-

cutelor.

• Condiţia ca sistemul sǎ aibǎ doar soluţia nulǎ este ca rangul matriceiAS a sistemului sǎ fie egal cu numǎrul m al necunoscutelor.

Teorema 1. Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, m} ∈ Rn este liniardependent dacǎ şi numai dacǎ rang(A) < m.

Teorema 2. Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, m} ∈ Rn este liniarindependent dacǎ şi numai dacǎ rang(A) = m.

Corolar. Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, n} ∈ Rn este liniar depen-dent dacǎ şi numai dacǎ det(A) 6= 0.

Observaţie. Dacǎ m > n, i.e. numǎrul vectorilor este mai mare decât

dimensiunea spaţiului, atunci rangul matricei AS ∈ Mn×m(R) nu poate


depǎşi numǎrul n, deci este mai mic decât m, astfel cǎ un asemenea sistem

de vectori este liniar dependent.

Exemplu. Fie ı̂n R3 vectorii X1 = [2 3 1], X2 = [4 1 0], X3 = [5 1 1],

X4 = [1 0 0]. Matricea asociatǎ sistemului S = {X1, X2, X3, X4} este

A =

2 4 5 1

3 1 1 0

1 0 1 0

.

Evident rang(A) < 4, astfel cǎ S este un sistem liniar dependent. Se observǎ

cǎ rangul matricei

A′ =

2 4 5

3 1 1

1 0 1

este 3, cu det(A) = −11, prin urmare vectorii X1, X2, X3 formeazǎ unsistem liniar independent.

Definiţie. Rangul unui sistem de vectori S este numǎrul maxim de vectoriai unui subsistem liniar indenpdent conţinut ı̂n S.Propoziţie. Rangul unui sistem de vectori S = {X1, X2, . . . , Xm} ⊆ Rn

este rangul matricei asociate:

rang(S) = rang(AS).


1. Determinaţi relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre urmǎtorii vectori din

R4: V1 = [1 2 2 4]T , V2 = [4 5 8 10]

T , V3 = [3 1 6 2]T .

2. Fie ı̂n R3 urmǎtorul sistem de vectori: S = {V1 = [1 2 − 1]T , V2 =[−1 3 0]T , V3 = [2 α 3]T}.a) Pentru ce valori ale lui α, α ∈ R, sistemul S este liniar independent.b) Determinaţi relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre vectorii sistemului S ı̂ncazul ı̂n care acesta este liniar independent.


3. Verificaţi existenţa unei relaţii de dependenţǎ liniarǎ ı̂ntre urmǎtorii vec-

tori din R4: V1 = [1 0 1 0]T , V2 = [1 1 0 0]

T , V3 = [0 1 1 0]T , V4 = [0 0 1 1]

T .

4. Verificaţi dependenţa liniarǎ a urmǎtorilor vectori din R3, şi deduceţi

relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre ei: V1 = [1 − 2 3]T , V2 = [2 1 2]T , V3 =[4 2 4]T , V4 = [3 6 9]

T .

5. Sǎ se arate cǎ urmǎtorii vectori din R5 sunt liniari dependenţi şi sǎ se

deducǎ relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre ei:

a) V1 = [3 2 − 1 2 0]T , V2 = [4 1 0 − 3 0]T , V3 = [2 − 1 1 1 1]T , V4 =[3 1 3 − 9 − 1]T .b) V1 = [3 0 3 0 3]

T , V2 = [0 2 0 2 0]T , V3 = [3 2 0 2 3]

T , V4 = [0 2 0 2 0]T .

c) V1 = [3 2 0 1 4]T , V2 = [−1 5 2 3 5]T , V3 = [6 − 12 3 − 7 − 8]T , V4 =

[10 2 7 1 10]T .

d) V1 = [5 4 2 2 3]T , V2 = [1 0 3 − 3 1]T , V2 = [1 − 1 − 1 4 − 1]T , V4 =

[3 4 3 − 2 − 9]T .

4

Dependenţa şi independenţa

liniarǎ a vectorilor

Fie spaţiul vectorial Rn şi S = V1, V2, . . . , Vm ⊂ Rn un sistem finit de vectoridin Rn.

Definiţie. Spunem cǎ sistemul de vectori S este liniar independent (sau

cǎ vectorii sistemului sunt liniar independenţi) dacǎ relaţia

(1) λ1V1 + λ2V2 + · · ·λmVm = Θ

are loc numai dacǎ λi = 0,∀i = 1, m (Θ este vectorul nul).În caz contrar sistemul se numeşte liniar dependent (vectorii sistemului

sunt liniar dependenţi), iar o egalitate de tipul (1) se numeşte it relaţie de

dependenţǎ liniarǎ ı̂ntre vectorii sistemului S.

Expresia din membrul stâng a relaţiei de mai sus se numeşte combinaţie

liniarǎ a vectorilor V1, . . . , Vm cu scalarii λ1, . . . , λm.

Exemplu. Fie vectorii V1 = [1 −1 −5]T , V2 = [2 2 −1]T , V3 = [4 8 7]T .Vom studia cu ajutorul definiţiei de mai sus sistemul S = {V1, V2, V3}. Fieo combinaţie liniarǎ nulǎ a vectorilor V1, V2, V3 cu scalarii λ1, λ2, λ3.

λ1 · V1 + λ2 · V2 + λ3 · V3 = Θ ⇐⇒

⇐⇒ λ1

1

−1−5

+ λ2

2

2

−1

+ λ3

4

8

7

= Θ ⇐⇒

41

42 4. DEPENDENŢA ŞI INDEPENDENŢA LINIARǍ A VECTORILOR

⇐⇒

λ1 + 2λ2 + 4λ3

−λ1 + 2λ2 + 8λ3−5λ1 − λ2 + 7λ3

=

0

0

0

⇐⇒

⇐⇒

λ1 + 2λ2 + 4λ3 = 0

−λ1 + 2λ2 + 8λ3 = 0−5λ1 − λ2 + 7λ3 = 0

,

care este un sistem omogen de trei ecuaţii cu necunoscutele λ1, λ2, λ3. Acest

sistem admite soluţii nebanale dacǎ şi numai dacǎ rangul matricei asociate

sistemului este mai mic decât 3. Într-adevǎr, avem

A =

1 2 4

−1 2 8−5 −1 7

şi rang(A) = 2. Notând λ3 = α, obţinem λ1 = 2α şi λ2 = −3α, deci

2α · V1 − 3α · V2 + α · V3 = Θ,

relaţie care are loc pentru orice α ∈ R. Pentru valori particulare nenuleoarecare ale parametrului α, se obţin diferite relaţii de dependenţǎ linarǎ

ı̂ntre vectorii sistemului. De exemplu, pentru α = 1 avem relaţia:

2V1 − 3V2 + V3 = Θ,

astfel cǎ sistemul S este liniar dependent.

Pentru un sistem oarecare de vectori {Xj | j = 1, m}, unde

Xj =

a1j

a2j...

aij...

anj

,

relaţia (1) se transcrie astfel:

(2)m∑

j=1

λjaij = 0, (∀)i = 1, n.

Notând A = [aij]n×m, au loc teoremele:


Teorema 1. Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, m} ∈ Rn este liniardependent dacǎ şi numai dacǎ rang(A) < m.

Teorema 2. Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, m} ∈ Rn este liniarindependent dacǎ şi numai dacǎ rang(A) = m.

Corolar. Sistemul de vectori S = {Xj | j = 1, n} ∈ Rn este liniar depen-dent dacǎ şi numai dacǎ det(A) 6= 0.

Exemplu. Fie ı̂n R3 vectorii X1 = [2 3 1], X2 = [4 1 0], X3 = [5 1 1],

X4 = [1 0 0]. Matricea asociatǎ sistemului S = {X1, X2, X3, X4} este

A =

2 4 5 1

3 1 1 0

1 0 1 0

.Evident rang(A) < 4, astfel cǎ S este un sistem liniar dependent. Se observǎ

cǎ rangul matricei

A′ =

2 4 5

3 1 1

1 0 1

este 3, cu det(A) = −11, prin urmare vectorii X1, X2, X3 formeazǎ unsistem liniar independent.


1. Determinaţi relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre urmǎtorii vectori din

R4: V1 = [1 2 2 4]T , V2 = [4 5 8 10]

T , V3 = [3 1 6 2]T .

2. Fie ı̂n R3 urmǎtorul sistem de vectori: S = {V1 = [1 2 − 1]T , V2 =[−1 3 0]T , V3 = [2 α 3]T}.a) Pentru ce valori ale lui α, α ∈ R, sistemul S este liniar independent.b) Determinaţi relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre vectorii sistemului S ı̂ncazul ı̂n care acesta este liniar independent.

3. Verificaţi existenţa unei relaţii de dependenţǎ liniarǎ ı̂ntre urmǎtorii vec-

tori din R4: V1 = [1 0 1 0]T , V2 = [1 1 0 0]

T , V3 = [0 1 1 0]T , V4 = [0 0 1 1]

T .

44 4. DEPENDENŢA ŞI INDEPENDENŢA LINIARǍ A VECTORILOR

4. Verificaţi dependenţa liniarǎ a urmǎtorilor vectori din R3, şi deduceţi

relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre ei: V1 = [1 − 2 3]T , V2 = [2 1 2]T , V3 =[4 2 4]T , V4 = [3 6 9]

T .

5. Sǎ se arate cǎ urmǎtorii vectori din R5 sunt liniari dependenţi şi sǎ se

deducǎ relaţia de dependenţǎ liniarǎ dintre ei:

a) V1 = [3 2 − 1 2 0]T , V2 = [4 1 0 − 3 0]T , V3 = [2 − 1 1 1 1]T , V4 =[3 1 3 − 9 − 1]T .b) V1 = [3 0 3 0 3]

T , V2 = [0 2 0 2 0]T , V3 = [3 2 0 2 3]

T , V4 = [0 2 0 2 0]T .

c) V1 = [3 2 0 1 4]T , V2 = [−1 5 2 3 5]T , V3 = [6 − 12 3 − 7 − 8]T , V4 =

[10 2 7 1 10]T .

d) V1 = [5 4 2 2 3]T , V2 = [1 0 3 − 3 1]T , V2 = [1 − 1 − 1 4 − 1]T , V4 =

[3 4 3 − 2 − 9]T .

5

Baze de vectori. Coordonate.

Definiţie. Se numeşte bazǎ ı̂n Rn un sistem format din n vectori liniar

independenţi ı̂n Rn.

Fie B = {V1, . . . , Vn} o bazǎ ı̂n Rn, Vk = [a1k . . . ank]T , k = 1, n. Vomnota cu B matricea asociatǎ sistemului celor n vectori care formeazǎ baza

B: B = [aik]n×n.Folosind corolarul Teoremei 2 din paragraful 2.1 putem da urmǎ-toarea

caracterizare a bazelor de vectori din Rn:

Teoremǎ. Condiţia necesarǎ şi suficientǎ pentru ca un sistem format din

n vectori din Rn sǎ fie bazǎ este ca determinantul matricei asociate sǎ fie

nenul.

Fie B o bazǎ fixatǎ ı̂n Rn şi X ∈ Rn un vector oarecare. Atunci X seexprimǎ liniar ı̂n funcţie de vectorii bazei B astfel:

(1) X = x1B · V1 + · · ·+ xnB · Vn,

numerele reale xkB, k = 1, n numindu-se coordonatele vectorului X ı̂n baza

B. Vom nota(2) XB = [x1

B . . . xnB]T .

Din relaţiile (1) şi (2) rezultǎ cǎ

X = B ·XB.

Cum B este o bazǎ, avem det(B) 6= 0, deci existǎ inversa B−1. Înmulţindla stânga cu aceastǎ inversǎ, obţinem:

(3) XB = B−1 ·X,

45

46 5. BAZE DE VECTORI. COORDONATE.

relaţie ce exprimǎ coordonatele vectorului X ı̂n raport cu baza B.Exemplu. Vom determina coordonatele vectorului X = [1 0 2]T ı̂n

raport cu baza formatǎ din vectorii V1 = [2 3 1]T , V2 = [4 1 0]

T , V3 = [5 1 1]T .

Inversa matricei B asociate bazei B = {V1, V2, V3} este

B−1 =

− 111

411

111

211

311

−1311

111

− 411

1011

.

Coordonatele vectorului X ı̂n raport cu baza B sunt atunci:

XB = B−1 ·X =

111

−2411

2111

.

Fie acum B1 = {V1, . . . , Vn} şi B2 = {W1, . . . ,Wn} douǎ baze diferiteale spaţiului liniar Rn, şi fie V un vector din Rn. Sǎ notǎm cu X, XB1 ,

respectiv XB2 cordonatele acestui vector ı̂n raport cu baza canonicǎ Bc,baza B1, respectiv baza B2. Am dori sǎ putem da o legǎturǎ ı̂ntre acestecoordonate ı̂n diferite baze.

Ţinând seama de formulele (3), putem scrie

(∗) XB1 = B−11 X,

(∗∗) XB2 = B−12 X,

unde B1 şi B2 sunt matricile de trecere de la baza canonicǎ la bazele B1,respectiv B2. Relaţia (∗) se poate rescrie sub forma

(∗′) X = B1XB1 ,

astfel cǎ putem ı̂nlocui exprimarea (∗′) a coordonatelor X ı̂n relaţia (∗∗),care devine:

(4) XB2 = B−12 B1XB1 .


Ultima formulǎ exprimǎ legǎtura ı̂ntre coordonatele vectorului V ı̂n cele

douǎ baze.

Exemplu. Fie date bazele

B1 = {V1 = [ 1 1 1 ]T , V2 = [ 2 1 −3 ]T , V3 = [ −2 −4 5 ]T} şiB2 = {W1 = [ −1 1 0 ]T , W2 = [ 2 −2 1 ]T , W3 = [ 3 −2 3 ]T}.Vom detemina formulele de trecere de la baza B1 la baza B2. Notǎm XB1 =[x1 x2 x3]

T , respectiv XB2 = [y1 y2 y3]T .

Matricile ataşate celor douǎ baze sunt:

B1 =

1 2 −21 1 −41 −3 5

, B2 =−1 2 3

1 −2 −20 1 3

.

Ţinând cont de formula (4), vom avea XB2 = B−12 B1XB1 . Deoarece

B−12 =

−4 −3 2−3 −3 1

1 1 0

,avem

B−12 B1 =

−5 −17 30−5 −12 23

2 3 −6

,şi vom obţine formulele de transformare a coordonatelor:

y1 = −5x1 − 17x2 + 30x3y2 = −5x1 − 12x2 + 23x3y3 = 2x1 + 3x2 − 6x3 ,

adicǎ exact ceea ce cǎutam.


1. Verificaţi dacǎ urmǎtoarele sisteme de vectori formeazǎ baze:

a) {V1 = [ 1 −1 1 ]T , V2 = [ 0 1 3 ]T , V3 = [ −2 4 5 ]T}.b) {V1 = [ 2 3 −1 3 1 ]T , V2 = [ 2 3 −1 1 3 ]T ,V3 = [ 2 1 1 4 6 ]

T , V4 = [ −2 −5 3 0 2 ]T ,


V5 = [ −2 5 −3 0 −2 ]T}.c) {V1 = [ 3 1 2 −1 ]T , V2 = [ 1 3 −2 −1 ]T ,V3 = [ −4 6 2 1 ]T , V4 = [ 0 2 −2 3 ]T}.d) {V1 = [ −1 1 0 1 ]T , V2 = [ 1 2 1 0 ]T ,V3 = [ −1 −1 1 2 ]T , V4 = [ 0 −2 3 0 ]T}.e) {V1 = [ 1 0 2 ]T , V2 = [ 2 1 2 ]T , V3 = [ 3 2 −1 ]T}.

2. Determinaţi coordonatele vectorului X ı̂n raport cu baza B = {V1, V2, V3}dacǎ :

a) V1 = [ 1 1 1 ]T , V2 = [ 1 2 3 ]

T , V3 = [ 1 3 6 ]T , iar X =

[ 2 0 1 ]T .

b) V1 = [ 3 −3 1 ]T , V2 = [ −3 5 −2 ]T , V3 = [ 1 −2 1 ]T , iarX = [ 7 −8 3 ]T .c) V1 = [ 2 1 1 ]

T , V2 = [ 1 0 2 ]T , V3 = [ 3 1 2 ]

T , iar X =

[ 3 −2 4 ]T .d) V1 = [ −2 −1 2 ]T , V2 = [ 4 1 −3 ]T , V3 = [ 1 1 −1 ]T , iarX = [ 4 −2 −3 ]T .

3. Se dǎ sistemul de vectori

V1 = [ −1 1 0 ]T ,V2 = [ 2 1 −1 ]T ,V3 = [ 0 −1 −1 ]T ,V4 = [ 1 1 1 ]

T ,

V5 = [ −1 0 1 ]T .Se cere:

a) Sǎ se stabileascǎ dacǎ vectorii acestui sistem sunt liniar dependeţi sau

independeţi.

b) Sǎ se construiascǎ o bazǎ de vectori, punând ı̂n evidenţǎ un subsistem

maximal de vectori liniar independenţi.

c) Sǎ se exprime vectorii rǎmaşi ı̂n afara bazei ı̂n funcţie de cei din bazǎ.

d) Sǎ se stabileascǎ numǎrul maxim de baze ce se pot construi şi apoi sǎ se

punǎ ı̂n evidenţǎ toate aceste baze posibile.

4. Sǎ se determine formulele de trecere de la baza B1 = {V1, V2, V3} labaza B2 = {W1, W2, W3} unde


a) V1 = [ 1 2 3 ]T , V2 = [ −1 −2 5 ]T , V3 = [ 2 1 3 ]T ;

W1 = [ 2 1 3 ]T , W2 = [ −3 1 −4 ]T , W3 = [ 1 1 −2 ]T .

b) V1 = [ 1 1 2 ]T , V2 = [ −3 2 1 ]T , V3 = [ 5 4 3 ]T ;

W1 = [ −1 2 0 ]T , W2 = [ 6 5 2 ]T , W3 = [ 0 8 1 ]T .c) V1 = [ 2 0 1 ]

T , V2 = [ −2 3 2 ]T , V3 = [ 4 1 5 ]T ;W1 = [ −3 1 0 ]T , W2 = [ 0 2 1 ]T , W3 = [ 0 −1 3 ]T .

6

Aplicaţii liniare

Fie Rn şi Rm douǎ spaţii liniare.

Definiţie. O aplicaţie f : Rn −→ Rm se numeşte aplicaţie liniarǎ dacǎsatisface urmǎtoarele douǎ condiţii:

(1) f(X + Y ) = f(X) + f(Y ) (∀)X,Y ∈ Rn,

(2) f(αX) = αf(X) (∀)α ∈ R, X ∈ Rn.

Observaţie. Condiţia (1) se numeşte condiţia de aditivitate a aplicaţiei f ,

iar condiţia (2) este condiţia de omogenitate a aplicaţiei f .

Aceste douǎ condiţii se pot ı̂nlocui cu una singurǎ:

(3) f(αX + βY ) = αf(X) + βf(Y ) (∀)α, β ∈ R, X, Y ∈ Rn.

Condiţia (3) reprezintǎ condiţia de liniaritate a aplicaţiei f .

Observaţie. În cazul când m = n şi f este o aplicaţie liniarǎ a spaţiului

liniar Rn ı̂n el ı̂nsuşi f se mai numeşte şi transformare liniarǎ. De asemenea,

dacǎ f : Rn −→ R este o aplicaţie liniarǎ ı̂n R, ea se numeşte formǎ liniarǎ.Fie f : Rn −→ Rm o aplicaţie liniarǎ, şi Bn = {V1, V2, . . . , Vn}, respec-

tiv Bm = {W1, W2, . . . , Wm} baze de vectori fixate ı̂n Rn, respectiv Rm.Deoarece pentru orice i ∈ {1, . . . , n}, f(Vi) este un vector din Rm, el sepoate exprima ı̂n raport cu baza Bm:

(4i) f(Vi) = a1iW1 + a2iW2 + . . . + amiWm,

unde coeficienţii aki, k = 1, m, sunt numere reale.

Fie acum V = x1V1 + x2V2 + . . . + xnVn un vector oarecare din Rn şi

51

52 6. APLICAŢII LINIARE

W = y1W1 + y2W2 + . . . + ymWm = f(V ) imaginea sa ı̂n Rm, exprimatǎ ı̂n

raport cu baza Bm. Ţinând cont de formulele (4i), pentru coordonatele yj,j = 1, m, avem relaţiile:

yj = aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn =n∑

i=1

ajixi.

Cu notaţiile A = [aji], X = [xi] şi Y = [yj] aceste formule pot fi restrânse

sub forma

(5) Y = AX,

care reprezintǎ scrierea matricialǎ ı̂n raport cu bazele Bn şi Bm a aplicaţieiliniare f .

Exemplu. Fie datǎ aplicaţia f : R2 −→ R3 definitǎ prin

f(x1, x2) = (2x1 − x2, x1 + 3x2, 4x1 + x2).

Pentru aceastǎ aplicaţie se verificǎ uşor proprietǎţile de aditivitate şomogenitate,

astfel cǎ f este o aplicaţie liniarǎ. Ea poate fi descrisǎ şi pe compo-

nente(i.e.coordonate ı̂n raport cu bazele canonice din R2 şi R3):

(f)

y1 = 2x1 − x2y2 = x1 + 3x2

y3 = 4x1 + x2.

Matricea asociatǎ aplicaţiei liniare f este atunci(elementele sale se pot citi

din scrierea pe componente de mai sus):

A =

2 −11 3

4 2

.Fie acum B′n şi B′m douǎ baze ı̂n Rn, respectiv Rm. De asemnea, fie

A′ ∈Mm×n(R) matricea aplicaţiei liniare f ı̂n raport cu aceste douǎ baze,şi P ∈Mn(R), respectiv Q ∈Mm(R), matricile de trecere de la baza Bn laB′n, respectiv de la baza Bm la B′m. Dacǎ X ′ = [x′i] reprezintǎ coordonatelevectorului V ı̂n raport cu baza B′n, iar Y ′ = [y′j] sunt coordonatele imaginiisale W = f(V ) ı̂n raport cu baza B′m, ţinând cont de formula

(5′) Y ′ = A′X ′,

precum şi de formulele de schimbare a coordonatelor, pentru matricea A′

avem formula

(6) A′ = Q−1AP.

6.1. OPERAŢII CU APLICAŢII LINIARE 53

6.1 Operaţii cu aplicaţii liniare

Definiţie. Fie f : Rn −→ Rm o aplicaţie liniarǎ, şi fie α ∈ R un numǎrreal. Definim atunci aplicaţia αf : Rn −→ Rm prin regula foarte naturalǎ

(αf)(X) = αf(X), (∀)X ∈ Rn.

Se verificǎ uşor, pe baza proprietǎţilor operaţiilor ı̂ntr-un spaţiu liniar, cǎ

aplicaţia astfel definitǎ este o aplicaţie liniarǎ, numitǎ ı̂nmulţirea cu scalarul

α a aplicaţiei liniare f .

Observaţie. Dacǎ matricea asociatǎ aplicaţiei liniare f este A, atunci ma-

tricea asociatǎ aplicaţiei liniare αf va fi αA.

Definiţie. Fie f1, f2 : Rn −→ Rm douǎ aplicaţii liniare. Definim atunci

aplicaţia f1 + f2 : Rn −→ Rm prin legea de asociere

(f1 + f2)(X) = f1(X) + f2(X), (∀)X ∈ Rn.

Proprietǎţile operaţiilor dintr-un spaţiu liniar ne asigurǎ cǎ aplicaţia f1 +f2

este o aplicaţie liniarǎ, numitǎ suma celor douǎ aplicaţii liniare f1 şi f2.

Observaţie. Dacǎ aplicaţiile liniare f1 şi f2 au matricile asociate A1 şi A2,

atunci aplicaţia liniarǎ f1 + f2 are matricea asociatǎ A1 + A2.

Observaţie. Mulţimea L(Rn,Rm) = {f : Rn −→ Rm|f -aplicaţie liniarǎ}are ı̂mpreunǎ cu cele douǎ operaţii definite mai sus o structurǎ de spaţiu

liniar.

Definiţie. Fie f : Rn −→ Rm şi g : Rm −→ Rp douǎ aplicaţii liniare.Definim atunci aplicaţia g ◦ f : Rn −→ Rp prin legea

(g ◦ f)(X) = g(f(X)), (∀)X ∈ Rn.

Din liniaritatea aplicaţiilor f şi g rezultǎ cǎ şi aplicaţia g ◦f este o aplicaţieliniarǎ, numitǎ compusa aplicaţiilor liniare f şi g.

Observaţie. Dacǎ aplicaţiile liniare f şi g au matricile asociate A ∈Mm×n(R) şi B ∈Mp×m(R), atunci aplicaţia liniarǎ compusǎ g ◦ f a celordouǎ aplicaţii f şi g are matricea asociatǎ B · A.


Observaţie. Mulţimea End(Rn) = L(Rn,Rn) a transformǎrilor liniare alespaţiului liniar Rn, are ı̂mpreunǎ cu operaţiile de adunare şi compunere a

aplicaţiilor liniare o structurǎ de inel(necomutativ pentru n ≥ 2).

Definiţie. Fie f : Rn −→ Rn o transformare liniarǎ a spaţiului liniar Rn şisǎ presupunem cǎ f este o aplicaţie bijectivǎ. Atunci f este o aplicaţie in-

versabilǎ, şi datoritǎ liniaritǎţii sale rezultǎ cǎ şi aplicaţia f−1 : Rn −→ Rn

este o transformare liniarǎ, numitǎ inversa transformǎrii liniare bijective f .

Observaţie. O transformare liniarǎ f ∈ End(Rn) este bijectivǎ dacǎ şinumai dacǎ matricea asociatǎ ei este inversabilǎ, adicǎ dacǎ şi numai dacǎ

matricea asociatǎ are determinant nenul.

Observaţie. Dacǎ matricea asociatǎ transformǎrii liniare bijective f este

A, atunci matricea asociatǎ transformǎrii liniare f−1 este A−1.

Observaţie. Mulţimea GL(Rn) = {f ∈ End(Rn)|f -inversabilǎ} are ı̂mpreunǎcu operaţia de compunere a transformǎrilor liniare inversabile o structurǎ

de grup(necomutativ dacǎ n ≥ 2).

6.2 Vectori şi valori proprii ale unei trans-

formǎri liniare

Fie T : Rn −→ Rn o transformare liniarǎ fixatǎ, şi fie de asemenea λ ∈ Run numǎr real fixat.

Definiţie. Spunem cǎ λ este o valoare proprie a transformǎrii liniare T

dacǎ existǎ un vector nenul V ∈ Rn cu proprietatea cǎ

(∇) T (V ) = λV.

Un asemenea vector se numeşte vector propriu al transformǎrii liniare T

asociat valorii proprii λ.

Se presupunem cǎ am fixat o bazǎ ı̂n spaţiul liniar Rn, şi fie A = [aij] ∈Mn(R), respectiv X = [xi] ∈ Mn×1, matricea transformǎrii T , respectivmatricea-coloanǎ a coordonatelor lui V ı̂n raport cu aceastǎ bazǎ. Atunci

6.2. VECTORI ŞI VALORI PROPRII ALE UNEI TRANSFORMǍRI LINIARE55

relaţia (∇) devine(∇′) AX = λX.

Observaţie. Când o matrice pǎtraticǎ A, un numǎr λ şi o matrice-coloanǎ

X satisfac o relaţie de tipul relaţiei (∇′), atunci spunem cǎ λ este o val-oare proprie a matricii A, iar ”vectorul” nenul X este un vector propriu al

matricii A corespunzǎtor valorii proprii λ.

Relaţia (∇′) se mai poate scrie şi ı̂n forma

(∗) (A− λIn)X = 0.

Ţinând cont de aceastǎ ultimǎ relaţie, putem deduce o condiţie pentru ca

un numǎr λ sǎ fie valoare proprie pentru o transformare liniarǎ, respectiv o

matrice. Dacǎ privim relaţia (∗) ca pe o ecuaţie matricialǎ cu necunoscutaX, condiţia ca λ sǎ fie valoare proprie este ca sistemul de ecuaţii liniare

asociat ecuaţiei matriciale (∗)

(∗∗)

(a11 − λ)x1 +a12x2+ . . . +a1nxn = 0a21x1 +(a22 − λ)x2+ . . . +a2nxn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1 +an2x2+ . . . +(ann − λ)xn = 0

sǎ permitǎ şi soluţii nebanale. Acest lucru se ı̂ntâmplǎ exact dacǎ deter-

minantul matricii sistemului este nul. Astfel, condiţia ca numǎrul λ sǎ fie

valoare proprie a matricii A(şi deci a transformǎrii liniare T , reprezentate

ı̂n baza fixatǎ cu ajutorul matricii A) este

(∗ ∗ ∗) det(A− λIn) = 0.

Polinomul pA(λ) = det(A− λIn) se numeşte polinomul caracteristic asociatmatricii A, iar relaţia (∗ ∗ ∗) este ecuaţia caracteristicǎ asociatǎ matricii A.Corolar. Un numǎr λ este valoare proprie a matricii A dacǎ şi numai

dacǎ este o soluţie a ecuaţiei caracteristice(i.e. o rǎdǎcinǎ a polinomului

caracteristic) asociate matricii.

Observaţie. Vectorii proprii asociaţi unei valori proprii λ pot fi gǎsiţi re-

zolvând sistemul (compatibil nedeterminat!) (∗∗).

Teorema Hamilton-Cayley. Orice matrice pǎtraticǎ ı̂şi satisface propria

ecuaţie caracteristicǎ; i.e.

pA(A) = 0n, (∀)A ∈Mn(R).


Exemplu. Vom determina valorile proprii şi vectorii proprii ai urmǎtoarei

transformǎri liniare:

T : R3 −→ R3, T (X) =

0 1 0

1 1 1

0 1 0

·X.

Polinomul caracteristic asociat acestei transformǎri liniare este

pT (λ) = det(A− λI3) =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 1 0

1 1− λ 10 1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + λ2 + 2λ

Rezolvând ecuaţia caracteristicǎ

−λ3 + λ2 + 2λ = 0

obţinem valorile proprii ale transformǎrii liniare T :

λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2.

Pentru a determina vectorii proprii, avem de rezolvat trei sisteme de ecuaţii

liniare, şi anume:

(S0)

x2 = 0

x1 + x2 + x3 = 0

x2 = 0,

(S−1)

x1 + x2 = 0

x1 + 2x2 + x3 = 0

x2 + x3 = 0,

(S2)

−2x1 + x2 = 0

x1 − x2 + x3 = 0x2 − 2x3 = 0,

Mulţimea vectorilor proprii asociaţi valorii proprii λ1 = 0 este datǎ de

soluţiile primului sistem, anume

V0 = {[α 0 − α]T |α ∈ R∗}.


Mulţimea vectorilor proprii asociaţi valorii proprii λ2 = −1 este

V−1 = {[α − α α]T |α ∈ R∗}.

În fine, mulţimea vectorilor proprii asociaţi valorii proprii λ1 = 2 este

V2 = {[α 2α α]T |α ∈ R∗}.

6.2.1 Alte metode de determinare a polinomului car-

acteristic al unei transformǎri liniare

Formulele lui Bôcher

Fie A ∈Mn(R), A = [aij]n×.Definiţie. Suma elementelor de pe diagonala principalǎ a unei matrice se

numeşte urma matricei şi se noteazǎ cu tr(A) :

tr(A) = a11 + a22 + a33 + . . . + ann.

Dacǎ notǎm cu τ1 = tr(A), τ2 = tr(A2), . . . , τn = tr(A

n), coeficienţii poli-

nomului caracteristic

pA(λ) = (−1)n(λn + α1λn−1 + α2λn−2 + . . . + αn−1λ + αn)

sunt daţi de formulele de recurenţǎ ale lui Bôcher:

α1 = −τ1α2 = −12(α1τ1 + τ2)α3 = −13(α2τ1 + α1τ2 + τ3). . . . . . . . .

αn = − 1n(αn−1τ1 + αn−2τ2 + α1τn−1 + τn).


Exemplu. Vom determina, folosind formulele lui Bôcher, polinomul carac-

teristic al matricei

A =

2 −2 31 1 1

1 3 −1

.Avem:

A2 =

5 3 1

4 2 3

4 −2 7

şi

A3 =

14 −4 1713 3 11

13 11 3

.Urmele acestor matrici sunt:

τ1 = tr(A) = 2, τ2 = tr(A2) = 14, τ3 = tr(A

3) = 20.

Pentru coeficienţii polinomului caracteristic avem:

α1 = −τ1 = −2,α2 = −12(α1τ1 + τ2) = −

12(−4 + 14) = −5,

α3 = −13(α2τ1 + α1τ2 + τ3) = −13(−10− 28 + 20) = 6.

Astfel cǎ vom obţine urmǎtorul polinom caracteristic

pA(λ) = (−1)3(λ3 − 2λ2 − 5λ + 6).

Formulele lui Faddeev-Sominskii

Aceste formule sunt relativ mai simple decât cele ale lui Bôcher şi se

bazeazǎ pe urmǎtoarele calcule:

A1 := A, β1 = tr(A1), B1 = A1 − β1In,A2 := B1A, β2 =

12tr(A2), B2 = A2 − β2In,

......

...

Ak := Bk−1A, βk =1ktr(Ak), Bk = Ak − βkIn,

......

...

An := Bn−1A, βn =1ntr(An), Bn = An − βIn = 0.


Ultima formulǎ se numeşte formula de control. Polinomul caracteristic va

fi atunci dat de

pA(λ) = (−1)n(λn − β1λn−1 − β2λn−2 − . . .− βn).

În plus, dacǎ A este o matrice inversabilǎ, inversa sa este datǎ de formula

A−1 =1

βnBn−1

Exemplu. Determinǎm cu ajutorul formulelor lui Faddeev polinomul car-

acteristic al matricei

A =

2 −1 25 −3 3

−1 0 −2

.Vom avea:

β1 = tr(A) = 2− 3− 2 = −3,

B1 = A1 + 3I3 =

5 −1 25 0 3

−1 0 1

,

A2 = B1A1 =

3 −2 37 −5 4

−3 1 −4

,β2 =

12tr(A2) = −3,

B2 = A2 + 3I3 =

6 −2 37 −2 4

−3 1 −1

,

A3 = B2A2 =

−1 0 0

0 −1 00 0 −1

,β3 = −1.

Deci

pA(λ) = (−1)3(λ3 + 3λ2 + 3λ + 1).

Inversa matricei A va fi

A−1 = −B2 =

−6 2 −3−7 2 −4

3 −1 1

.



1. Sǎ se verifice care dintre aplicaţiile de mai jos sunt liniare.

a) f : R3 −→ R3 : (x1, x2, x3) 7−→ (x21, x22, x23).b) f : R2 −→ R2 : (x1, x2) 7−→ (ex1 , ex2).c) f : R3 −→ R3 : (x1, x2, x3) 7−→ (x1 + 1, x2 + 1, x3 − 1).d) f : R3 −→ R3 : (x1, x2, x3) 7−→ (x1 + x2, 0, x1 + x2 + x3).d) f : R4 −→ R4 : (x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, x1 + x2 +x3 + x4).

2. Fie f : R3 −→ R2 o aplicaţie liniarǎ datǎ prin imaginile vectorilor dinbaza canonicǎ f(E1) = (2, 1), f(E2) = (0, 1), f(E3) = (1, 1).

a) Sǎ se determine imaginea unui vector oarecare din R3.

b) Sǎ se determine imaginea vectorului V = [ 2 3 − 1 ]T .

3. Dacǎ f1, f2 ∈ End(R3) sunt date ı̂n raport cu baza canonicǎ prin matri-cile

A1 =

3 1 0

0 2 1

1 2 3

, A2 =−1 4 2

0 4 1

0 0 5

,

a) Sǎ se determine imaginea vectorului X = [ 0 1 − 1 ]T prin f1, f−11 , f2,f−12 .

b) Sǎ se determine imaginea vectorului Y = [ 1 3 − 2 ]T prin f1 + f2,(f1 + f2)

−1.

c) Sǎ se determine imaginea vectorului Z = [ 1 2 0 ]T prin f1 ◦ f2, f2 ◦ f1.

4. Se considerǎ aplicaţiile liniare S, T : R2 −→ R2, definite prin

S(x, y) = (4x−2y,−3x+32y), T (x, y) = (x+

3

2y, 2x+3y), (∀)(x, y) ∈ R2.

a) Sǎ se determine aplicaţiile 3S şi S + T .

b) Sǎ se determine aplicaţiile S ◦ T şi T ◦ S şi sǎ se verifice cǎ operaţia decompunere a transformǎrilor liniare nu este neapǎrat comutativǎ.


5. Fie T : R2 −→ R3, S : R3 −→ R2 aplicaţiile liniare definite prin:

T (E1) = 3F1 + 2F2 − F3T (E2) = −2F1 − F2 + F3 ,

S(F1) = −2E1 + 3E2S(F2) = 3E1 − 2E2S(F3) = −E1 + 5E2

,

unde {E1, E2} şi {F1, F2, F3} sunt bazele canonice din R2 şi R3.a) Sǎ se calculeze T (x1, x2) şi S(y1, y2, y3), unde (x1, x2) ∈ R2 şi (y1, y2, y3) ∈R3.

b) Sǎ se arate cǎ S ◦ T = 1R2 şi T ◦ S 6= 1R3 .c) Sǎ se arate cǎ T este injectivǎ, iar S surjectivǎ.

6. Sǎ se determine matricile transformǎrilor liniare fi : R3 −→ R3, i = 1, 3

ı̂n raport cu baza formatǎ din vectorii V1 = [ 1 2 3 ]T , V2 = [ 2 1 3 ]

T ,

V3 = [ 1 1 1 ]T , ştiind cǎ ı̂n raport cu baza canonicǎ acestea au matricile

A1 =

3 2 0

−1 0 00 0 0

, A2 =−1 2 −3−2 2 −6−2 2 −6

, A3 =

1 −1 23 −3 62 −2 4

,7. Sǎ se determine valorile şi vectorii proprii ai transformǎrilor liniare din

exerciţiul precedent.

8. Sǎ se determine valorile şi vectorii proprii ai matricilor urmǎtoare:

A =

4 41 4

, B = 2 5

4 3

, C =−1 2 −3

2 2 −6−2 2 −6

,

D =

−7 4 −4 4−8 5 −6 6−2 2 −3 5

4 −4 4 2

, E =

0 7 −6−1 4 0

0 2 −2

, F =

0 1 5 9

2 1 6 8

0 0 0 3

0 0 1 −2

.

9. Fie datǎ matricea

A =

0 1 1

1 0 1

1 1 0

.a) Sǎ se determine valorile proprii ale matricii A.

b) Sǎ se determine vectorii proprii.


c) Sǎ se calculeze puterea a p−a a matricii A.

10. Cunoscând valorile proprii ale matricei A, sǎ se gǎseascǎ valorile proprii

ale matricei

a) A−1 b) A2 c) Am d) f(A), unde f este un polinom.

11. Sǎ se arate cǎ polinoamele caracteristice ale matricilor AB şi BA coin-

cid, oricare ar fi matricile pǎtrate A şi B.

12. Folosind teorema Hamilton-Cayley, determinaţi inversele urmǎtoarelor

matrici:

A =

3 1 1

2 0 2

1 1 0

, B =

2 1 −11 2 1

1 1 2

, C =

5 3 0 0

0 0 2 1

3 3 0 0

0 0 1 1

.

7

Spaţii vectoriale euclidiene

7.1 Produs scalar. Normǎ.

Fie spaţiul vectorial Rn şi X,Y ∈ Rn, X = [x1, . . . , xn]T , Y = [y1, . . . , yn]T .Definiţie. Numǎrul real

(1) (X,Y )def= x1 · y1 + . . . + xn · yn

se numeşte produsul scalar(euclidian) al vectorilor X şi Y din Rn. Relaţia

din definiţia de mai sus se poate scrie şi sub forma

(1′) (X, Y ) =n∑

i=1

xi · yi.

Proprietǎţile produsului scalar sunt date de urmǎtoarea

Teoremǎ. Pentru oricare X,Y, Z ∈ Rn şi α ∈ R au loc proprietǎţile:(P1) (X, X) ≥ 0, (X, X) = 0 ⇐⇒ X = Θ.(P2) (X + Y, Z) = (X, Z) + (Y, Z).

(P3) (αX, Y ) = α(X, Y ).

(P4) (X, Y ) = (Y,X).

(P5) | (X, Y ) |≤√

(X, X) · (Y, Y ).Lǎsǎm cititorului ca exerciţiu verificarea propritǎţilor (P1)− (P5).

Definiţie. Spaţiul Rn ı̂nzestrat cu produsul scalar (·, ·) se numeştespaţiu euclidian n-dimensional.

Definiţie. Funcţia

‖ · ‖ : Rn −→ R+

defintǎ prin

‖X‖ =√

(X, X) =√

x12 + . . . + xn2

63

64 7. SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE

se numeşte norma euclidianǎ a spaţiului Rn. Numǎrul ‖X‖ se numeştenorma vectorului X.

Definiţie. Un vector având norma egalǎ cu 1 se numeşte vector unitar.

Observaţie. Oricǎrui vector nenul dat V ı̂i putem asocia un vector unitar:

Definiţie. Vectorul

U =1

‖V ‖V

se numeşte versorul vectorului V .

Observaţie. Pentru n = 1 avem X = x1 şi atunci ‖X‖ =√

(X, X) =√

x12 =| X |, deci norma este egalǎ cu funcţia modul pe R.Proprietǎţile normei euclidiene sunt date de urmǎtoarea teoremǎ:

Teoremǎ. Pentru orice X,Y ∈ Rn şi α ∈ R au loc urmǎtoarele:(N1) ‖X‖ = 0 ⇐⇒ X = Θ;(N1) ‖α ·X‖ = |α| · ‖X‖; (N3) ‖X + Y ‖ ≤ ‖X‖+ ‖Y ‖.

Definiţie. Spaţiul Rn ı̂nzestrat cu normǎ euclidianǎ se numeşte spaţiu

euclidian normat.

Definiţie. Funcţia

d : Rn ×Rn −→ R+

definitǎ prin

d(X, Y ) = ‖X − Y ‖, X, Y ∈ Rn,

se numeşte distanţǎ euclidianǎ pe Rn. Fie X = [x1 x2 . . . xn]T şi Y =

[y1 y2 . . . yn]T vectori oarecare din Rn. Atunci ţinând cont de definiţia

normei euclidiene, distanţa (euclidianǎ ) dintre vectorii X şi Y este

d(X, Y ) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ·+ (xn + yn)2

Dacǎ Y = Θ,atunci

d(X, Θ) = ‖X‖

,pentru orice X ∈ Rn,adicǎ norma euclidianǎ a unui vector oarecare este distanţa de la acel punct

la originea spaţiului Rn.

Urmǎtoarea teoremǎ ne dǎ proprietǎţile distanţiei euclidiene:

7.2. METODA DE ORTOGONALIZARE A LUI SCHMIDT 65

Teoremǎ. Pentru orice X,Y, Z ∈ Rn au loc urmǎtoarele proprietǎ ţi :(d1)d(X,Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y ;(d2)d(X, Y ) = d(Y,X);

(d3)d(X, Y ) ≤ d(X, Z) + d(Z, Y ) (inegalitatea triunghiului).Definiţie. Fie X, Y ∈ Rn. Vectorii X, Y sunt ortogonali dacǎ produsullor scalar este nul, adicǎ

( X, Y ) = 0.

Definiţie. Un sistem S de vectori din Rn se numeşte sistem ortogonal dacǎ

(X, Y ) = 0, (∀)X, Y ∈ Rn, X 6= Y.

7.2 Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt

Definiţie. Fie S = {V1, V2, . . . , Vm} ∈ Rn, m ≤ n, un sistem de vectori.Determinantul Gram asociat sistemului de vectori S este numǎrul

Gram(V1, V2, . . . , Vm) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(V1, V1) (V1, V2) . . . (V1, Vm)

(V2, V1) (V2, V2) . . . (V2, Vm)

. . . . . . . . . . . .

(Vm, V1) (Vm, V2) . . . (Vm, Vm)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣unde (Vi, Vj), i, j = 1, m, sunt produsele scalare ı̂ntre vectorii sistemului.

O proprietate importantǎ legatǎ de determinantul Gram al unui sistem

de vectori este datǎ de urmǎ toarea

Teoremǎ. Condiţia necesarǎ şi suficientǎ pentru ca un sistem de vectori

S = {V1, V2, . . . , Vm} sǎ fie liniar independent este

Gram(V1, . . . , Vm) 6= 0.

Corolar. Orice sistem de vectori care conţine vectorul nul este liniar de-

pendent.

Corolar. Un sistem de vectori nenuli şi ortogonali doi câte doi este liniar

independent.

Corolar. Numǎrul maxim de vectori ortogonali doi câte doi este egal cu

dimensiunea spaţiului.


Exemplu. Fie sistemul de vectori S = {V1 = [ 1 1 0 0 ]T , V2 = [ 5 6 0 1 ]T , V3 =[ 2 4 3 − 1 ]T} ∈ R4. Determinantul Gram al acestui sistem este

Gram(V1, V2, V3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(V1, V1) (V1, V2) (V1, V3)

(V2, V1) (V2, V2) (V2, V3)

(V3, V1) (V3, V2 (V3, V3)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Calculând produsele scalare dintre vectori, obţinem

Gram(V1, V2, V3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 6

11 62 33

6 33 30

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 36 6= 0.Definiţie. Fie S = {V1, V2, . . . , Vm} ∈ Rn un sistem de vectori. Spunemcǎ un vector V ∈ Rn este ortogonal pe S dacǎ este ortogonal pe fiecare dinvectorii sistemului,i.e.

V ⊥ S ⇐⇒ (V, Vi) = 0, (∀)i = 1, m.

Definiţie. O bazǎ B = {V1, V2, . . . , Vn} ∈ Rn se numeşte bazǎ ortogonalǎdacǎ oricare doi vectori sunt ortogonali ı̂ntre ei, i.e.

(Vi, Vj) = 0, (∀)i, j = 1, n, i 6= j.

Definiţie. O bazǎ B = {V1, V2, . . . , Vn} ∈ Rn se numeşte bazǎ ortonrmatǎdacǎ ea este bazǎ ortogonalǎ formatǎ din vectori unitari, i.e.

(1) (Vi, Vj) = 0, (∀)i, j = 1, n, i 6= j,

(2) ‖Vi‖ = 1, (∀)i = 1, n.

Observaţie. Relaţiile (1) şi (2) sunt echivalente cu

(3) (Vi, Vj) = δij, (∀)i, j = 1, n,

care se poate scrie şi sub forma

(3′) [(Vi, Vj)] = In.

Definiţie. Fie V, W ∈ Rn, W 6= Θ. Vectorul

prW V =(V, W )

(W, W )W,

7.2. METODA DE ORTOGONALIZARE A LUI SCHMIDT 67

se numeşte proiecţia vectorului V pe W , iar

α =(V, W )

(W, W ),

se numeşte mǎrimea algebricǎ a proiecţiei vectorului V pe W .

Observaţie. Fie V, W ∈ Rn doi vectori fixaţi, şi fie

W ′ = V − prW V.

Atunci W ′ ⊥ W .Exemplu. Fie V = [ 2 4 ]T şi W = [ 3 0 ]T doi vectori din R2. Proiecţia vec-

torului V pe direcţia lui W este prW V = [ 2 0 ]T . Vectorul W ′ = V−prW V =

[ 0 4 ]T va fi atunci ortogonal pe W , dupǎ cum se vede foarte uşor:

��4

V

6

W ′

-W

-prW V

2 3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Proiecţie ortogonalǎ.

Exemplu. Fie V1 = [ 1 1 ]T , V2 = [ 4 2 ]

T ∈ R2 doi vectori liniar independenţi.Ei formeazǎ o bazǎ care ı̂nsǎ nu este ortogonalǎ, deoarece (V1, V2) = 6 6= 0.Construim vectorii

W1 = V1 = [ 1 1 ]T

W2 = V2 − prW1V2 = [ 1 − 1 ]T .

Conform observaţiei de mai sus, aceşti doi vectori sunt nenuli şi ortogonali,

deci formeazǎ o bazǎ ortogonalǎ pentru R2.


Pentru a obţine o bazǎ ortonormatǎ, definim vectorii

U1 =1

‖W1‖W1 = [√

22

√2

2]T

U2 =1

‖W2‖W2 = [√

22−

√2

2]T

��

��

��

��*

��

��

��

��

@@@R

��

@@R&%

'$V2

..........

..............................

W2

U2

U1

V1 = W1

prW1V2

Metoda de ortogonalizare a lui Schmidt permite construirea unei

baze ortogonale, pornind de la o bazǎ oarecare B = {V1, V2, . . . , Vn} aspaţiului Rn. Pentru aceasta construim vectorii:

W1 = V1,

W2 = V2 − prW1V2,W3 = V3 − prW1V3 − prW2V3,. . . = . . .

Wn = Vn − prW1Vn − . . .− prWn−1Vn.

Sistemul de vectori astfel construit este un sistem liniar independent şi or-

togonal, deci am obţinut o bazǎ ortogonalǎ

B⊥ = {W1, W2, . . . ,Wn}.

Dacǎ vrem sǎ obţinem o bazǎ ortonormatǎ, este suficient sǎ construim vec-

torii

Ui =1

‖Wi‖Wi, i = 1, n,

astfel cǎ o bazǎ ortonormatǎ va fi

B⊥q = {U1, U2, . . . , Un}.

Bazele ortonormate prezintǎ foarte mari avantaje din punct de vedere

al calculelor.

7.3. APLICAŢII LINIARE ORTOGONALE 69

Exemplu. Fie B⊥q = {U1, U2, . . . , Un} o bazǎ ortonormatǎ şi fie V ∈ Rn

un vector oarecare fixat, având ı̂n raport cu baza B⊥q expresia

V = x1U1 + x2U2 + . . . + xnUn.

Ţinând cont de faptul cǎ baza B⊥q este ortonormatǎ, avem cǎ:

xi = (V, Ui), (∀)i = 1, n.

7.3 Aplicaţii liniare ortogonale

Definiţie. Dacǎ f : Rn −→ Rm este o aplicaţie liniarǎ care satisface unadin urmǎtoarele douǎ condiţii echivalente:

(f(V ), f(W )) = (V, W ), (∀)V, W ∈ Rn,‖f(V )‖ = ‖V ‖, (∀)V, W ∈ Rn,

atunci spunem cǎ f este o aplicaţie liniarǎ ortogonalǎ.

Observaţie. Dacǎ f : Rn −→ Rm este o aplicaţie liniarǎ ortogonalǎ,atunci

a) f este o aplicaţie injectivǎ.

b) n ≤ m.

Definiţie. O matrice asociatǎ unei transformǎri liniare ortogonale se numeşte

matrice ortogonalǎ.

Observaţie. O matrice pǎtratǎ A este ortogonalǎ dacǎ şi numai dacǎ este

inversabilǎ şi

A−1 = AT .


1. Sǎ se arate cǎ dacǎ U, V ∈ Rn sunt vectori ortogonali, atunci are locegalitatea

‖U + V ‖2 = ‖U‖2 + ‖V ‖2

(Teorema lui Pitagora(!)).


2. Arǎtaţi cǎ

‖U + V ‖2 + ‖U − V ‖2 = 2 · (‖U‖2 + ‖V ‖2), (∀)U, V ∈ Rn

(Teorema paralelogramului).

3. Fie E un spaţiu euclidian real şi U, V,W ∈ E. Sǎ se arate cǎ urmǎtoareleafirmaţii sunt echivalente:

a) U ⊥ V .b) ‖U + V ‖ = ‖U + V ‖.c) ‖U + V ‖2 = ‖U‖2 + ‖V ‖2.

4. Sǎ se verifice urmǎtoarele proprietǎţi:

a) Dacǎ U ⊥ (V −W ) şi V ⊥ (W − U), atunci are loc şi W ⊥ (U − V ).b) ‖U‖ = ‖V ‖ dacǎ şi numai dacǎ (U + V ) ⊥ (U − V ).c) Dacǎ U 6= V , λ ∈ R, şi ‖U‖ = ‖V ‖ = 1, atunci ‖λU + (1 − λ)V ‖ =1 ⇐⇒ λ = 0 sau λ = 1.d) Dacǎ U 6= V , λ ∈ R, şi ‖U‖ = ‖V ‖, atunci ‖λU + (1 − λ)V ‖ < ‖U‖,pentru orice λ ∈ (0, 1).

5. Stabiliţi urmǎtoarele identitǎţi:

a) ‖U − V ‖2 = ‖U‖2 + ‖V ‖2 − 2‖U‖ · ‖V ‖ · cos(θ), unde U 6= 0 6= V , iarθ = (̂U, V ).

b) ‖U + V ‖2 + ‖U − V ‖2 = 2‖U‖2 + 2‖V ‖2.c) 2(U, V ) = (U,U) + (V, V )− (U − V, U − V ).

6. Dacǎ S = {X1, . . . , Xk} este un sistem ortogonal de vectori, atunci

‖k∑

i=1

Xi‖2 =k∑

i=1

‖Xi‖2.

7. Sǎ se stabileascǎ inegalitǎţile:

a) ‖X − Y ‖ · ‖Z‖ ≤ ‖Y − Z‖ · ‖X‖+ ‖Z −X‖ · ‖Y ‖.b) | ‖U‖ − ‖V ‖ |≤ ‖U ± V ‖ ≤ ‖U‖+ ‖V ‖.În ce caz are loc | ‖U‖ − ‖V ‖ |= ‖U − V ‖?


Dar | ‖U‖ − ‖V ‖ |= ‖U‖+ ‖V ‖?

8. Dacǎ V1 = [0 2 4]T şi V2 = [−1 a b]T , sǎ se determine a, b ∈ R astfel

ı̂ncât V2 sǎ fie ortogonal pe V1 şi sǎ aibǎ norma√

6.

9. Dacǎ V1 = [1 1 1]T , V2 = [1 − 2 1]T , V3 = [a b c]T , sǎ se determine o

relaţie ı̂ntre numerele a, b, c ∈ R astfel ca sistemul {V1, V2, V3} sǎ fie ortog-onal.

10. Sǎ se arate cǎ orice sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar inde-

pendent ı̂n Rn.

8

Forme biliniare şi forme

pǎtratice

Definiţie. O aplicaţie g : Rn × Rn =⇒ R care satisface urmǎtoareleproprietǎţi:

(1) g(αX1 + βX2, Y ) = αg(X1, Y ) + βg(X2), (∀)α, β ∈ R,X1, X2, Y ∈ Rn(proprietatea de liniaritate ı̂n primul argument);(2) g(X, αY1 + βY2) = αg(X, Y1) + βg(X, Y2), (∀)α, β ∈ R,X, Y1, Y2 ∈ Rn(proprietatea de liniaritate ı̂n al doilea argument),se numeşte formǎ biliniarǎ pe Rn peste R.

Fie Bc = {E1, E2, . . . , En} baza canonicǎ din Rn. Dacǎ X, Y ∈ Rn, atunci

X = x1E1 + x2E2 + . . . + xnEn =n∑

i=1

xiEi,

Y = y1E1 + y2E2 + . . . + ynEn =n∑

i=1

yiEi,

astfel ı̂ncât dacǎ g este o formǎ biliniarǎ , avem:

g(X, Y ) = g(n∑

i=1

xiEi,n∑

j=1

yjEj) =

=n∑

i=1

xig(Ei,n∑

j=1

yjEj) =n∑

i=1

n∑j=1

xiyjg(Ei, Ej).

Dacǎ notǎm aij = g(Ei, Ej), şi dacǎ A = [aij] ∈ Mn(R), atunci egalitateaprecedentǎ devine

(1) g(X,Y ) =n∑

i=1

n∑j=1

aijxiyj,

73

74 8. FORME BILINIARE ŞI FORME PǍTRATICE

sau echivalent

(2) g(X, Y ) = XT AY, (∀)X,Y ∈ Rn.

Observaţie. Fie B = {V1, V2, . . . , Vn} o bazǎ ı̂n Rn, ı̂n raport cu carevectorii X şi Y au coordonatele X ′ şi Y ′. Dacǎ matricea de trecere de

la baza canonicǎ la baza B este B, atunci ţinând cont de legǎtura dintrecoordonatele ı̂n raport cu baza canonicǎ şi cele ı̂n baza B, relaţia (2) devine:

(2′) g(X,Y ) = X ′T A′Y ′,

unde A′ = BT AB.

Definiţie. Spunem cǎ forma biliniarǎ g este nedegeneratǎ dacǎ det(A) 6= 0,şi respectiv degeneratǎ dacǎ det(A) = 0. Numǎrul det(A) se numeşte dis-

criminantul formei biliniare.

Definiţie. Se numeşte rangul formei biliniare g rangul matricii asociate

acesteia.

Definiţie. Forma biliniarǎ g este simetricǎ, respectiv antisimetricǎ dacǎ

matricea asociatǎ ei ı̂n raport cu o bazǎ a spaţiului Rn este simetricǎ, re-

spectiv antisimetricǎ.

Observaţie. Orice formǎ biliniarǎ se poate descompune ı̂n mod unic ı̂ntr-o

sumǎ a unei forme biliniare simetrice cu o formǎ biliniarǎ antisimetricǎ.

Definiţie. O aplicaţie h : Rn −→ R se numeşte formǎ pǎtraticǎ dacǎexistǎ o formǎ biliniarǎ şi simetricǎ g cu proprietatea cǎ

h(X) = g(X, X), (∀)X ∈ Rn.

Observaţie. Cunoscând forma pǎtraticǎ h, forma biliniarǎ simetricǎ g din

care provine h se poate regǎsi uşor:

g(X, Y ) =1

2(h(X + Y )− h(X)− h(Y ))

Observaţie. Ţinând cont de definiţia unei forme pǎtratice, pentru orice

formǎ pǎtraticǎ h vom putea scrie cu ajutorul coordonatelor

h(X) = XT AX,

8.1. METODA GAUSS-LAGRANGE. TEOREMA LUI JACOBI 75

unde A = [aij] ∈Mn(R) este datǎ de relaţiile

aii = h(Ei), aij =1

2(h(Ei + Ej)− h(Ei)− h(Ej)), i 6= j.

Observaţie. Fie B = {V1, V2, . . . , Vn} o bazǎ ı̂n Rn, ı̂n raport cu care vec-torul X are coordonatele X ′. Dacǎ matricea de trecere de la baza canonicǎ

la baza B este B, atunci ţinând cont de legǎtura dintre coordonatele ı̂nraport cu baza canonicǎ şi cele ı̂n baza B, vom putea scrie

h(X) = X ′T A′X ′,

unde A′ = BT AB.

Definiţie. Dacǎ matricea asociatǎ unei forme pǎtratice are forma diag-

onalǎ(i.e. are elemente nenule doar pe diagonala principalǎ), spunem cǎ

forma pǎtraticǎ are forma normalǎ.

Observaţie. O formǎ pǎtraticǎ ı̂n formǎ normalǎ se poate scrie ca suma a

pǎtratelor coordonatelor precedate de nişte coeficienţi.

Definiţie. A aduce la formǎ normalǎ o formǎ pǎtraticǎ ı̂nseamnǎ a efectua

o schimbare de bazǎ, astfel ı̂ncât ı̂n raport cu noua bazǎ forma pǎtraticǎ

sǎ se poatǎ scrie ca sumǎ a pǎtratelor coordonatelor precedate de nişte

coeficienţi.

Observaţie. Existǎ mai multe metode pentru a obţine o formǎ nor-

malǎ(Atenţie!–pentru o formǎ pǎtraticǎ pot exista mai multe forme nor-

male). Vom prezenta ı̂n continuare trei dintre ele.

8.1 Metoda Gauss-Lagrange. Teorema lui

Jacobi

Metoda Gauss-Lagrange este o metodǎ sistematicǎ de a grupa termenii din

expresia unei forme pǎtratice

geometrie - usab-tm.ro codruta... · observat¸ie. ˆin locul corpului k se poate folosi un inel r,...

Documents