clasa a ii-a - neutrino.ro · v. 348 daniel îşi propune şi reuşeşte să rezolve într-o...

1

Probleme propuse (Se primesc soluţii pânǎ în data de 10 martie 2017, nu mai târziu!.

Pe plic scrieţi clasa în care sunteţi, vă rugăm DIN NOU !)

Clasa a II-a II. 221 Aflaţi numărul a ştiind că 64 este mai mare decât 31a − cu 31.

* * *

2

II. 222 În trei coşuri sunt în total 48 de mere. Dacă din primul coş se iau 4 mere, iar din al doilea se iau 3 mere şi se pun toate în al treilea coş, atunci în fiecare coş va fi un acelaşi număr de mere. Câte mere au fost la început în al treilea coş ?

* * *

3

II. 223 Bogdan şi Cosmina au primit de la bunici un număr egal de portocale. Dacă Bogdan îi dă Cosminei trei portocale, atunci sora sa va avea de patru ori mai multe portocale decât fratele Bogdan. Câte portocale au dăruit bunicii celor doi nepoţi ?

* * *

4

II. 224 Pentru a ajunge la şcoală, Bogdan şi Cosmina merg o porţiune de drm pe jos, apoi cu autobuzul. Cosmina merge către şcoală 12 minute pe jos, apoi 4 minute cu autobuzul. Bogdan merge de două ori mai repede decât Cosmina. În cât timp ajunge Bogdan la şcoală?

* * *

5

II. 225 Adina a citit în 3 zile jumătate din paginile unei cărţi. În fiecare zi a citit un număr dublu de pagini faţă de ziua precedentă. Aflaţi câte pagini are cartea dacă în a treia zi a citit 84 de pagini.

* * *

6

II. 226 Numerele de telefon ale familiilor Albu, Barbu şi Coman sunt: 523716, 541330, respectiv 505871. Găsiţi numărul de telefon al familiei David ştiind că respectă aceeaşi regulă ca şi celelalte şi că este de forma 53a6b2.

* * *

7

II. 227 Sorin s-a născut când Nicolae avea 21 de ani. Sorin are azi, în anul 2017, 44 de ani. În ce an s-a născut Nicolae?

* * *

8

II. 228 Suma a trei numere este 100. Primele două numere au suma 80, iar al treilea număr este cu 8 mai mic decât primul număr. Aflaţi cele trei numere.

* * *

9

II. 229 Mihai are 40 de cărţi de poezii, de poveşti şi de teatru; dintre acestea, 28 nu sunt de poezii, iar 16 nu sunt de poveşti. Aflaţi câte cărţi de fiecare fel are Mihai.

* * *

10

II. 230 La un concurs al tăietorilor de lemne, una dintre probe a constat în tăierea unui trunchi de brad lung de 8 metri în bucăţi de câte 2 metri. Câte minute i-a luat această probă câştigătorului, dacă pentru fiecare tăietură a avut nevoie doar de 40 de secunde?

* * *

11

Clasa a III-a

III. 221 Doamna învăţătoare le-a propus copiilor să rezolve un număr de probleme şi le-a sugerat să rezolve câte 5 pe zi. Bogdan a rezolvat însă cu 3 probleme mai mult în fiecare zi şi astfel a terminat de rezolvat toate problemele cu 3 zile mai repede decât ceilalţi. Câte probleme au avut de rezolvat copiii?

* * *

12

III. 222 Un număr se adună cu el însuşi, apoi cu jumătatea lui, cu sfertul lui, cu întreitul lui, iar la final i se mai adună numărul 7 şi se obţine 76. Care estenumărul iniţial?

* * *

13

III. 223 Lungimea laturii unui pătrat este de 30 cm. O furnică pleacă dintr-un vârf al pătratului şi, mergând în acelaşi sens pe laturile acestuia, parcurge o distanţă de 250 cm. Din punctul în care a ajuns, se întoarce şi, mergând acum în acest nou sens, parcurge încă 175 cm. Aflaţi la ce distanţă faţă de punctul de plecare se situează furnica în final.

* * *

14

III. 224 Compuneţi şi rezolvaţi o problemă pornind de la egalităţile: 13A B+ = şi 31B C+ = .

* * *

15

III. 225 Un stilou şi trei pixuri de acelaşi fel costă în total 100 de lei. Ştiind că un stilou este cu 16 lei mai scump decât un pix, câte stilouri pot cumpăra dacă dispun de 150 de lei?

* * *

16

III. 226 Suma vârstelor a şase elevi este egală cu 58 de ani. Peste câţi ani suma vârstelor acestor elevi va fi egală cu 100 de ani?

* * *

17

III. 227 Dani pleacă de la şcoală spre casă cu viteza de 60 de metri pe minut, iar Ovidiu, tatăl său, pleacă, în acelaşi moment, de acasă spre şcoală, cu viteza de 100 de metri pe minut. Care este distanţa dintre cei doi cu două minute înainte de a se întâlni?

* * *

18

III. 228 Pentru a cumpăra 6 caiete nu am bani suficienţi: îmi lipsesc 2 lei. Cumpăr aşadar doar 5 caiete şi îmi mai rămâne un leu. Ce sumă am avut şi cât costă un caiet?

* * *

19

III. 229 Pentru rezolvarea unei probleme, Daniel trebuie să înmulţească un număr dat cu 5 şi apoi să adune la rezultat 7. În loc să facă aceste operaţii, Daniel înmulţeşte numărul dat cu 7 şi apoi scade din rezultat numărul 5. Cu toate acestea, rezultatul final obţinut este cel aşteptat (corect). Care a fost numărul iniţial dat?

* * *

20

III. 230 Într-o cutie sunt bancnote cu valoarea de 1 leu, 5 lei, 10 lei şi 50 de lei. Ovidiu ia la întâmplare 13 bancnote din cutie şi , calculând suma valorilor, ajunge la concluzia că se obţine 100 de lei. Stabiliţi dacă următoarele afirmaţii sunt adevărate sau false:

(1) Printre cele 13 bancnote sunt şi din cele cu valoarea de 50 de lei. (2) Printre cele 13 bancnote sunt bancnote din toate cele patru feluri.

* * *

21

Clasa a IV-a

IV. 221 De pe un platou cu fursecuri, Ana a mâncat a cincea parte din ele. Dan a mâncat un sfert din ce a mai rămas, iar Maria a mâncat jumătate din fursecurile rămase pe platou. Acum mai sunt 9 fursecuri. Câte fursecuri au fost la început pe platou?

* * *

22

IV. 222 Dacă numerele 37ab c şi 2938d sunt consecutive, calculaţi suma S a b c d= + + + .

* * *

23

IV. 223 Într-o cutie sunt 18 bile albe, 21 verzi şi de două ori mai multe bile roşii decât verzi. Care este numărul minim de bile extrase (fără a ne uita la ele când le extragem) pentru a fi siguri că am extras cel puţin o bilă albă?

* * *

24

IV. 224 O jumătate de sac cu făină costă 80 de lei şi un sfert de sac cu orez costă 120 de lei. Aflaţi cât costă trei saci şi jumătate cu făină şi 2 saci şi jumătate cu orez.

* * *

25

IV. 225 Marius se antrenează urcând în fiecare zi scările de la stadion. În prima zi le-a urcat şi le-a coborât în 24 de minute, iar în a doua zi în 18 minute. În fiecare zi urcă de două ori mai încet decât în ziua precedentă, dar coboară de două ori mai repede. În cât timp va urca şi coborî treptele în a treia zi?

* * *

26

IV. 226 Se consideră şirul de numere naturale 1,5,9,...,97,101 în care fiecare număr este cu 4 mai mare decât cel precedent. Arătaţi că oricum am alege din acest şir 15 numere, există cel puţin două care au suma egală cu 106.

* * *

27

IV. 227 La un concurs sportiv s-au susţinut 3 probe eliminatorii. După prima probă au fost eliminaţi o treime şi 3 persoane din totalul participanţilor. După a doua probă au fost eliminaţi o treime din rest şi încă 3 persoane, rămânând în final 123 de persoane. Câţi participanţi au fost înscrişi la concurs?

* * *

28

IV. 228 Pornind de la unul dintre numerele 6, 7 sau 8, numărând din 5 în 5, am ajuns la numărul 2017. Aflaţi numărul de la care am pornit.

* * *

29

IV. 229 Doi fraţi au despărţit grădina dreptunghiulară moştenită de la părinţi ca în figura alăturată. Perimetrul uneia dintre bucăţi este 320 m, iar al celeilalte este de 480 m. Ştiind că perimetrul întregii grădini este 650 m, aflaţi lungimea gardului care desparte cele două grădini.

* * *

30

IV. 230 Se spune că un număr N de două cifre are proprietatea ( )p dacă numărul N este egal cu de p ori suma cifrelor sale.

(a) Arătaţi că există un singur număr N care are proprietatea (2) . (b) Determinaţi toate numerele N care au proprietatea (7) .

* * *

31

Clasa a V-a

V. 341 În dreapta unui număr format din două cifre scriem acelaşi număr şi obţinem astfel un număr de patru cifre. De câte ori este mai mare numărul de patru cifre faţă de cel de două cifre?

* * *

32

V. 342 La un concurs de matematică au fost propuse spre rezolvare 30 de probleme. Pentru fiecare răspuns corect s-au acordat 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greşit au fost scăzute 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obţinut 118 puncte?

* * *

33

V. 343 O mulţime A⊂ are următoarele proprietăţi: (1) 2 A∈ . (2) 4x A x A∈ ⇒ ∈ . (3) (9 11)x A x A+ ∈ ⇒ ∈ . Arătaţi că 13 A∈ .

* **

34

V. 344 Pe o tablă sunt desenate 20 de cercuri albe, 21 de cercuri roşii şi 22 de cercuri verzi. Andrei şterge două cercuri de culori diferite şi desenează în loc un cerc cu a treia culoare.Andrei repetă această operaţie până când pe tablă rămâne un singur cerc. Ce culoare are cercul rămas pe tablă?

* * *

35

V. 345 Se notează cu H mulţimea numerelor naturale formate numai cu cifrele 1 şi 2, cu cel mult 2017 cifre. (1) Determinaţi câte elemente din mulţimea H au exact 5 cifre. (2) Calculaţi câte elemente are mulţimea H.

* * *

36

V. 346 Bogdan a scris pe tablă toate numerele naturale de la 1 la 2017 (cât timp i-o fi luat?), apoi Cătălin a şters de pe tablă toate numerele care au ultima cifră 0 sau 5 şi l-a întrebat pe Bogdan: „ Crezi că poţi afla ultima cifră a produsului numerelor rămase pe tablă?”. Bogdan i-a răspuns: „Cu siguranţă!” şi i-a explicat cum a procedat. Cum putea proceda Bogdan şi care este cifra găsită?

* * *

37

V. 347 Câţiva turişti pornesc de la o cabană la ora 8 dimineaţa şi merg cu viteza de km/h. La ora 12 în aceeaşi zi se trimite un curier după ei, cu o telegramă. Curierul se deplasează cu viteza de 14 km/h. După cât timp şi la ce distanţă de cabană va ajunge curierul grupul de turişti?

* * *

38

V. 348 Daniel îşi propune şi reuşeşte să rezolve într-o săptămână 70 de probleme, rezolvând zilnic un număr natural de probleme. Dacă în primele două zile a rezolvat 4 probleme, arătaţi că într-o zi a săptămânii Daniel a rezolvat mai mult de 13 probleme.

* * *

39

V. 349 O femeie are n pâini identice ca formă şi greutate şi le împarte pe toate la trei copii în modul următor: primului copil îi dă jumătate din cantitatea de pâine plus o jumătate de pâine, celui de al doilea îi dă jumătate din cantitatea de pâine rămasă plus o jumătate de pâine, iar celui de al treilea îi dă o pâine. Aflaţi numărul n.

* * *

40

V. 350 Se scriu în ordine crescătoare toate numerele naturale de patru cifre care au produsul cifrelor egal cu zero. Al câtelea număr este 2017?

* * *

41

42

Clasa a VI-a

VI. 341 Se consideră numerele 3 2, 2 1, 1a n b n c n= + = + = + , unde n∈ . (a) Demonstraţi că a şi b sunt prime între ele. (b) Arătaţi că numărul [ ] [ ], ,T a b a c= + este pătrat perfect pentru orice număr natural n (s-a notat cu [ ],x y cel

mai mic multiplu comun al numerelor x şi y). * * *

43

VI. 342 Fie n cel mai mic număr natural nenul care împărţit la numerele naturale a, b, c dă câturile 1 2,c c , respectiv

3c şi resturile 1, 1,a b− − respectiv 1c − . Dacă a, b, c sunt două câte două prime între ele, determinaţi numărul natural k pentru care 1 2 3c c c k ab bc ca+ + + = + + .

* * *

44

VI. 343 Se notează cu M mijlocul segmentului ( )AB . De aceeaşi parte a dreptei AB se consideră semidreptele [MN şi [MP astfel încât [MN este bisectoarea unghiului BMP şi [MP este bisectoarea unghiului AMN . Arătaţi că dacă [ ] [ ]MN MP≡ , atunci [ ] [ ]AN BP≡ .

* * *

45

VI. 344 Se consideră punctele coliniare , , ,A B C D în această ordine, astfel încât 5 9 4AB AC AD= − şi 18BD cm= . (a) Aflaţi lungimile segmentelor ( )BC şi ( )DC . (b) Dacă ( )P BC∈ este mijlocul segmentului ( )AD , precizaţi valoarea maximă posibilă, număr natural, a lungimii segmentului ( )AD .

* * *

46

VI. 345 Arătaţi că pentru orice număr natural nenul n , numărul 19 8 3 12

3 6

n n

n na+

+ ⋅ +=

+este natural.

* * *

47

VI. 346 Dan este pasionat de istorie şi, informându-se despre un domnitor, a formulat următoarea problemă: „ Anul istoric este 1 ( 1)xy x + şi verifică următoarea condiţie: suma dintre xy , cifra sutelor şi cifra zecilor este 98”. Despre ce an istoric şi despre ce domnitor s-a informat Dan?

* * *

48

VI. 347 Dacă n şi k sunt numere naturale mai mari decât 2, vom spune că n este atras de k dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

(a) n este divizibil cu k şi are 1k − divizori; (b) suma divizorilor lui n este divizibilă cu k, dar nu este divizibilă cu 1k + .

Determinaţi cel mai mic număr de trei cifre atras de 7. * * *

49

VI. 348 Se consideră punctele distincte A,B, C, D astfel încât B este mijlocul lui ( )AC şi C este mijlocul lui ( )BD . Demonstraţi că:

(a) 4

AC BDBC += ;

(b) 1 1 4AC BD AD

+ < .

* * *

50

VI. 349 Avem 12 bancnote, unele cu valoarea de 5 lei, altele cu valoarea de 10 lei. Grupând bancnotele în diverse moduri, putem obţine exact 17 sume nenule diferite. (O astfel de grupă poate fi formată şi cu o singură bancnotă). Câte bancnote cu valoarea de 5 lei avem la dispoziţie?

* * *

51

VI. 350 Determinaţi toate numerele prime p pentru care 22 p p+ este număr prim.

* * *

52

53

Clasa a VII-a VII. 341 Pentru orice număr întreg k se notează 5 3( )

4kA k −

= şi 7 2( )6

kB k −= .

(a) Arătaţi că există un singur număr întreg k pentru care 1( ) ( ) 13

A k B kk

+ = + .

(b) Demonstraţi că nu există numere întregi k pentru care ( )A k ∈ şi ( )B k ∈ . * * *

54

VII. 342 Comparaţi numerele 1 1 1 1...1 2 3 4 5 6 2015 2016

a = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

şi 1 1 1 1...2 3 4 5 6 7 2016 2017

b = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

* * *

55

VII. 343 Demonstraţi că pentru orice , 2k k∈ ≥ , este adevărată inegalitatea: 1 1 1 1 11 1 1 ... 1

22 3 4 2017k k k k⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

* * *

56

VII. 344 Pentru orice număr natural nenul n se notează ! 1 2 3 ...n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Determinaţi numerele naturale nenule n pentru care numărul 3 !n+ este raţional.

* * *

57

VII. 345 Determinaţi numerele naturale ab pentru care a ab a+ = .

* * *

58

VII. 346 Se consideră mulţimea { }1,2,3,...,120A = şi M o submulţime a lui A care are 30 de elemente. Arătaţi că există cinci submulţimi diferite ale lui M, fiecare având câte două elemente, astfel încât modulul diferenţei elementelor din fiecare submulţime să fie acelaşi.

* * *

59

VII. 347 Se consideră dreptunghiul ,ABCD AB BC> şi (E BC∈ astfel încât ( ) 45om EAB = . Dacă

{ }AE DB Q∩ = , iar paralela prin Q la DC intersectează diagonala AC în punctul G , demonstraţi că: (a) QA GB= ; (b) EG QB⊥ .

* * *

60

VII. 348 Arătaţi că dacă , 2x x∈ ≤ , atunci 2 2 25 7 1 6 2 21x x x+ + + + ≤ .

* * *

61

VII. 349 În triunghiul dreptunghic ABC cu ( ) 90om A = şi ( ) 30om B = se construieşte bisectoarea unghiului C, care intersectează latura AB în punctul D. Se notează cu E piciorul perpendicularei din D pe BC, iar F intersecţia dintre paralela prin E la CD şi dreapta AB. Ştiind că 36AB = , calculaţi EF.

* * *

62

VII. 350 În triunghiul ABC avem ,AD BC D BC⊥ ∈ , E mijlocul lui ( )BC şi 2AB DE= . Determinaţi numărul raţional q pentru care ( ) ( )m B q m C= ⋅ .

* * *

63

Clasa a VIII-a

VIII. 341 Se consideră numărul 2 7 7a n n= + + , unde n este un număr natural impar. Arătaţi că numărul a este iraţional şi determinaţi partea sa întreagă.

* * *

64

VIII. 342 În interiorul unui paralelipiped cu dimensiunile , ,a b c se consideră 3 1n + puncte distincte. Demonstraţi că există cel puţin două puncte cu proprietatea că distanţa dintre ele este cel mult egală cu

2 2 21 a b cn⋅ + + .

* * *

65

VIII. 343 Arătaţi că există o singură pereche ( , )x y de numere naturale pentru care 2 24 3 3x y y= + + .

* * *

66

VIII. 344 Arătaţi că dacă *, ,x y z∈ şi 1 1 1 1x y z+ + = , atunci numărul 1 1 1xy yz zxA

z x y⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠este pozitiv,

iar A∈ . * * *

67

VIII. 345 Se consideră intervalul ( )( ) ,2 , 0I x x x x= − > şi se notează ( ) *( )n card I x= ∩ ∈ . (a) Daţi un exemplu de 2017 numere din intervalul ( )I x . (b) Determinaţi 0x > pentru care 2n = . (c) Demonstraţi că 3n ≠ .

* * *

68

VIII. 346 Arătaţi că dacă a şi b sunt numere naturale nenule şi 2 24 (8 1)a b b a− = + , atunci b este pătrat perfect. * * *

69

VIII. 347 Arătaţi că există un număr întreg k astfel încât [ ]2 10 2 11 , 5;5x x k x− + + = ∀ ∈ − .

* * *

70

VIII. 348 Calculaţi lungimea laturii unui triunghi echilateral ştiind că aria suprafeţei cuprinse între cercul înscris şi cercul circumscris acestuia este egală cu ( )218,75 cmπ .

* * *

71

VIII. 349 Se consideră punctele necoplanare , , ,A B C D cu AB AC= şi se notează cu P mijlocul lui [ ]AD , Mmijlocul lui [ ]BC , G centrul de greutate al triunghiului DBC şi { }AG MP T∩ = . Calculaţi valoarea raportului MTTP

.

* * *

72

VIII. 350 Se consideră prisma patrulateră regulată ' ' ' 'ABCDA B C D şi ( )'M CC∈ astfel încât 1

' 2MCMC

= . Dacă

10AB = şi ' 12AA = , determinaţi numărul natural n ştiind că tangenta unghiului diedru determinat de planele

( )ABC şi ( ')BMD este egală cu 2 12 1

n nn

++

.

* * *

73

Clasa a IX-a

IX. 281 Arătaţi că, dacă o mulţime M , nevidă, de numere reale nenule, are proprietatea că 11x M Mx

⎛ ⎞∈ ⇒ − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

,

atunci M are trei elemente. * * *

74

IX. 282 Se consideră un patrulater convex ABCD, O un punct în interiorul său şi se notează cu 1 2 3 4, , ,G G G G centrele de greutate ale triunghiurilor OAB, OBC, OCD, respectiv ODA. Arătaţi că patrulaterul 1 2 3 4G G G G este paralelogram.

* * *

75

IX. 283 Determinaţi şirul ( ) 1n na ≥ de termeni strict pozitivi care satisfac egalitatea :

( )11 2 ... , .

2n n

na a a

a a a n ∗+ ⋅+ + + = ∀ ∈

* * *

76

IX. 284 Se consideră paralelogramul ABCD având centrul O şi în care se notează mijloacele laturilor (BC),(CD) cu M, respectiv N. Demonstraţi că O este centrul de greutate al triunghiului AMN.

* * *

77

IX. 285 Se consideră funcţia : , ( ) 5f f x x m→ = + , unde m∈ .

a) Dacă există ,a b∈ astfel încât ( ) ( ) 1f a f b− ≤ , arătaţi că 0,2a b− ≤ ; b) Dacă M este o mulţime cu 6 elemente şi [ ]0,1M ⊂ , arătaţi că există , ,x y M x y∈ ≠ , astfel încât

( ) ( ) 1f x f y− ≤ . * * *

78

Clasa a X-a X. 281 Exprimaţi numărul 14log 42x = în funcţie de 14log 21a = şi 14log 6b = .

* * *

79

X. 282 Arătaţi că 1log ( 1) log ( 2)n nn n++ > + , , 2n n∀ ∈ ≥ .

* * *

80

X. 283 Fie z∈ astfel încât 1 1z+ ≤ şi 21 1z+ ≤ . Arătaţi că 1z ≤ .

* * *

81

X. 284 Scrieţi sub formă trigonometrică numărul 1 , .1

ai aai

+∈

−

* * *

82

X. 285 Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 23 7 125 6 2x x x− − ++ = .

* * * Clasa a XI-a

83

XI. 281 Se consideră mulţimea M a matricelor de ordinul trei care au toate elementele egale cu 1 sau cu 1− . Arătaţi că dacă A M∈ , atunci { }det 4,0,4A∈ − .

* * *

84

XI. 282 Dacă ( )2A∈M are proprietatea că există *k∈ astfel încât 2

kA O= , atunci matricele 2I A− şi 2I A+sunt inversabile.

* * *

85

XI. 283 Arătaţi că şirul 1( )n na ≥ definit prin [ ]1 0,1a ∈ şi 2 *

1 ,n n na a a n+ = − ∀ ∈ este convergent. * * *

86

XI. 284 Calculaţi limita şirului definit prin 1

2cos , 1n

nk

a n nn kπ

== − ≥

+∑ .

* * *

87

XI. 285 Calculaţi lim

4 1x

xL x arctgx

π→∞

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟+⎝ ⎠.

* * *

88

Clasa a XII-a XII. 281 Se consideră un grup ( ),G ⋅ şi a G∈ pentru care 3 , .ax x a x G= ∀ ∈ Să se demonstreze că grupul este abelian.

* * *

89

XII. 282 Să se calculeze restul împărţirii numărului 128149a = la 7.

* * *

90

XII. 283 Să se arate că dacă [ ]: ,f a b → este o funcţie strict crescătoare care admite o primitivă F, atunci pentru

orice ( ),a bα ∈ , există [ ]1 2, ,x x a b∈ astfel încât 2 1

2 1

( ) ( ) ( ).F x F x fx x

α−=

−

* * *

91

XII. 284 Să se determine ( )

2

1 , 0,1 .dx xx x

∈−

∫

* * *

92

XII. 285 Să se calculeze 200

1lim x

xtgt dt

x→⋅ ∫ .

* * *