algoritmi computa ţionali şi experimentali de tip monte ... · pdf filealgoritmi...

ACADEMIA ROMÂNĂ

INSTITUTUL DE MECANICA SOLIDELOR

TEZĂ DE DOCTORAT

REZUMAT

Algoritmi computaţionali şi experimentali de tip Monte Carlo în modelarea sistemelor

cu caracteristici de tip histeretic CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC DOCTORAND Dr. Mat. Veturia CHIROIU Iulian Andrei GIRIP

2014

Algoritmi computationali si experimentali de tip Monte Carlo in modelarea sistemelor cu caracteristici de tip histeretic

2

CUPRINS

CAPITOLUL 1: INTRODUCERE CAPITOLUL 2: PRELIMINARII 2.1. Metoda cvasi-Monte Carlo

2.1.1. Ansamblul canonic 2.1.2. Metoda Metropolis 2.1.3. Tranziţia în spaţiul de stare

2.2. Operatori histerezis 2.2.1. Modele reologice elasto-vâscoase 2.2.2. Modele reologice elasto-plastice

2.3. Ecuaţii cu derivate parţiale cu histerezis CAPITOLUL 3: GENERAREA SECVENŢELOR KRONECKER 3.1. Secvenţe Kronecker modificate 3.1.1. Secţiunea de aur 3.1.2. Secţiunea metalică 3.2. Paralelism şi implementare 3.3. Reprezentarea incertitudinii în sistemele bazate pe cunoştinţe 3.4. Problema jucătorului 3.5. Test de rezolvare a unei ecuaţii cu derivate parţiale 3.6. Test de generare date virtuale de tip experimental 3.7. Concluzii CAPITOLUL 4: COMPOZIT SONIC CU CARACTERISTICI HISTERETICE 4.1. Definiţia compozitului sonic 4.2. Generarea intervalelor de frecvenţă full band-gap 4.3. Compozit sonic cu rezonatoare piezoelectrice de tip Reddy 4.4. Metodă cuplată LISA-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate 4.5. Rezultate 4.5. Concluzii CAPITOLUL 5: COMPORTAREA UNUI IZOLATOR DE TIP FUNIE 5.1. Descrierea modelului 5.2. Rezolvarea sistemului de ecuaţii cu metoda cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate 5.3. Rezultate 5.4. Concluzii CAPITOLUL 6: BARĂ ELASTICĂ CU AMORTIZARE ADĂUGATĂ 6.1. Materiale auxetice 6.2. Teoria nelocală a amortizării 6.3. Bară elastică cu elemente ataşate de amortizare 6.4. Rezolvarea problemei de valori proprii cu metoda cvasi-Monte-Carlo 6.5. Rezolvarea problemei prin metoda Visintin 6.6. Concluzii


3

CAPITOLUL 7: REZULTATE ORIGINALE, CONCLUZII ŞI DIRECŢII VIITOARE 7.1. Rezultate originale 7.2. Concluzii 7.3. Direcţii viitoare de studiu ANEXA Metoda cnoidală BIBLIOGRAFIE

CAP.1. INTRODUCERE

Metoda Monte Carlo a fost inventată de cercetătorii care lucrau la bomba atomică în anii 1940. Matematicianul polonez Stanislaw Marcin Ulam (1909-1984) a numit această metodă de la numele oraşului din Monaco, faimos pentru cazinouri şi jocuri de noroc. Ideia de bază a metodei este utilizarea unor secvenţe aleatoare pentru simularea parametrilor şi a valorilor variabilelor necesari pentru descrierea comportării unui sistem complex multi-dimensional, cu incertitudine semnificativă. Astfel, probleme complexe ale fizicii cum ar fi difuzia neutronilor au fost evaluate numeric utilizând computerul vremii MANIAC.

Contribuţii importante în dezvoltarea metodei Monte Carlo au fost aduse de fizicianul american de origine greacă Nicolas Metropolis (1915 - 1999).

Metoda Monte Carlo este o metodă de simulare, ce produce soluţii aproximative pentru o mare varietate de probleme matematice caracterizate prin diverse grade de incertitudine. Metoda efectuează experimenţe statistice computaţionale. Se poate aplica atât problemelor deterministe, cât şi celor probabilistice şi este folositoare în obţinerea de soluţii numerice pentru probleme prea dificile pentru a fi rezolvate analitic. Are la bază generarea de numere aleatoare şi observarea faptului că o parte dintre acestea verifică o proprietate sau anumite proprietăţi.

Orice eveniment fizic care poate fi văzut ca un proces stochastic este un candidat în a fi modelat prin metoda Monte Carlo [Iulian Stoleriu 2000].

Reprezentarea cunoştinţelor incerte are asociate metode de inferenţă specifice care modelează un rationament ce propagă incertitudinea de la date şi ipoteze la concluzii. Aceste metode de reprezentare a cunoştinţelor pot fi folosite în rezolvarea problemelor ce implică date nesigure, vagi, incomplete sau chiar inconsistente. O astfel de categorie de probleme este, de exemplu, domeniul diagnosticării medicale.

În cazul lucrării de faţă, sistemele histeretice admit incertitudini atunci când sistemele sunt solicitate cu încărcări variabile în timp sau încărcări aleatoare. Încărcările aleatoare au un caracter întâmplător, imprevizibil în timp. Valoarea instantanee a acestor sarcini este caracterizată prin funcţii de probabilitate. Ele au un spectru continuu într-o bandă de frecvenţe dată. Încărcările aleatoare se produc între limite variabile şi după legi oarecare. Aceasta este situaţia reală a solicitărilor în exploatare a majorităţii maşinilor şi instalaţiilor.


4

Solicitările variabile ciclice staţionare reprezintă variaţii ale unui parametru al solicitării, de exemplu, tensiunea normală între aceleaşi limite constante în timp, modul de variaţie repetându-se, un interval de timp nedeterminat. Solicitările ciclice staţionare sunt într-o mare măsură teoretice, deoarece se întâlnesc în realitate relativ rar. Mai frecvent, se aproximează prin astfel de cicluri unele solicitări variabile, care se apropie de acestea.

Adăugăm la lista incertitudinilor şi condiţii iniţiale şi condiţii pe frontieră pentru sisteme dinamice perturbate datorită forţelor exterioare aleatoare.

Simularea histerezis-ului prin metoda Monte Carlo a fost aplicată de Garcia-Otero et al. (1999) pentru analiza comportării cristalelor cubice anizotrope. Fenomenul de histerezis analizat cu metoda Monte Carlo pentru materiale cu anizotropie uniaxială a fost analizată de Stoner şi Wonlfarth în 1948. Lucrarea acestor autori a fost retiparită in 1999 în IEEE Transactions Magazine.

În altă lucrare [Laosiritaworn, Kanchiang şi Yimnirun 2011], metoda Monte Carlo a fost aplicată în studiul dependenţei de dimensiune a histeresis-ului dinamic în sisteme 2D feroelectrice. Competiţia dintre parametrii câmpului electric şi dimensiunea sistemului s-a dovedit a juca un rol crucial în definirea proprietăţilor histeretice ale sistemului.

Vom utiliza metoda cvasi-Monte Carlo, care utilizează secvenţe cvasi-aleatoare, cum ar fi secvenţele Kronecker, Halton sau Sobol, care au o rată de convergenţă rapidă (1/ )O N . Aceasta în contrast cu metoda generală Monte Carlo care

se bazează pe secvenţe pseudo-aleatoare cu rată de convergenţă 0,5( )O N − . Secvenţele Kronecker fac parte din categoria secvenţelor cvasi-aleatoare larg

utilizate în metodele de rezolvare a ecuaţiilor cu algoritmi de tip Monte Carlo, datorită simplicităţii lor. In aceste secvenţe, pentru a genera fiecare punct se utilizează partea fracţionară a numerelor iraţionale multiple.

În această teză propunem utilizarea secvenţelor Kronecker modificate pe bază de secţiunea metalică (o generalizare a secţiunii de aur), care asigură succesul aplicării metodei cvasi–Monte Carlo în aplicaţii complexe precum histerezisul structurilor mecanice. Aceasta datorită faptului că, spre deosebire de secvenţele Kronecker originale care suferă de o corelaţie neconsistentă dintre dimensiuni care rupe uniformitatea reprezentării, secvenţele modificate Kronecker sunt de înaltă calitate, sunt convergente şi au proiecţii dimensionale uniforme.

Pentru înţelegerea modului în care o ecuaţie diferenţială se rezolvă cu metoda cvasi–Monte Carlo, se prezintă problema jucătorului [Thomson 2000]. Metoda combină metoda diferenţelor finite cu secvenţele Kronecker modificate. În plus, implementarea în algoritmii de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale şi cu derivate parţiale este simplă. Acurateţea rezolvării ecuaţiilor cu derivate parţiale sau a ecuaţiilor diferenţiale care comportă un grad ridicat de incertitudine, cu algoritmul Monte Carlo este demonstrată prin comparaţii cu alte metode. Secvenţele Kronecker modificate se pot utiliza şi pentru generarea de date virtuale de tip experimental, bazate pe observaţii experimentale reale.

Înţelegerea fenomenului de histerezis este esenţială în aplicarea lui în mod pozitiv, de exemplu la dispozitivele de protecţie antiseismică utilizate la izolarea la bază a clădirilor sau ca sisteme cu contravântuiri

Dintre cauzele histezisului amintim neliniaritatea dinamicǎ care apare, în general, la sistemele cu frecare şi sistemele materiale inteligente.

Ewing în 1885 defineşte astfel histeresizul: Atunci când avem două cantităţi M şi N astfel încât variaţia ciclicǎ a lui N cauzează variaţii ciclice ale lui M şi dacă


5

schimbările lui M rămân în urma celor ale lui N , putem spune că avem un fenomen histerezis în relaţia dintre M şi N .

În anul 1897, Lordul Rayleigh a propus un model de histerezis feromagnetic, dezvoltat apoi de Duhem (1903) sub forma unui operator histerezis definit ca un operator cu memorie independent de vitezǎ (operator rate-independent). Operatorul histerezis este rate-independent dacă aspectul buclelor histerezis este acelaşi independent de timp sau frecvenţă. Dacă aspectul buclelor histerezis depinde de timp sau frecvenţă avem un histerezis rate-dependent [Oh şi Bernstein 2005]. În multe probleme de vâscoelasticitate, vâscoplasticitate, feromagnetism, feroelectricitate, efectele de memorie nu sunt pur independente de viteză şi histerezisul se cuplează cu efecte de tip vâscos. Definiţia operatorului rate-independent exclude orice tip de memorie de tip vâscos ca cea reprezentată de funcţii convoluţii în timp.

Modul de trecere de la variabila de intrare la variabila de ieşire depinde de proprietăţile sistemului dinamic şi de forma variabilei de intrare. Cel mai simplu mod de trecere a fost numit de Krasnoselskii (1970), Krasnoselskii şi Pokrovskii (1983, 1989) traductor histerezis sau histeron. Modelul generalizat Duhem are drept cazuri particulare modelele cunoscute de frecare şi anume modelele Dahl, LuGre şi Maxwell de frecare cu alunecare. Modelul Dahl este cunoscut ca fiind un model generalizat Duhem rate-independent. Similar, modelul LuGre este un model generalizat Duhem rate-dependent.

Cu ajutorul unui model diferenţial simplu propus iniţial de Bouc (1967) şi generalizat apoi de Wen (1980) se pot obţine o mare varietate de forme ale curbei de histerezis. Amintim câteva lucrări remarcabile elaborate în cadrul Institutului de Mecanica Solidelor din Bucureşti, care utilizează modelul Bouc-Wen (Sireteanu şi Giuclea (2000), Giuclea at al (2004), Giuclea, Sireteanu, Stăncioiu şi Stammers (2004), Giuclea, Sireteanu, Mitu şi Ghiţă (2006), Sireteanu, Giuclea şi Mitu (2009a şi b), Sireteanu, Giuclea şi Mitu (2010).

Echivalenţa matematică dintre modelele Bouc-Wen şi Duhem este discutată pe larg de Visintin (1994).

În domeniul histerezisului feromagnetic, amintim lucrările remarcabile ale lui Madelung (1905), Weiss (1906), Heisenberg (1928), Landau şi Lifshitz (1935) care au studiat atât teoretic cât şi experimental buclele de histerezis feromagnetic, punând în evidenţă proprietaţile specifice ale fenomenului. Aceste rezultate au fost preluate şi dezvoltate de către Preisach (1935) într-un model, cunoscut în prezent drept modelul Preisach care se aplică atât în domeniul feromagnetismului cât şi în mecanică.

Modelul Preisach care descrie histerezisul în magnetism (1935) a fost dezvoltat de Mayergoyz (1985, 1991, 2003) şi de Krasnoselski-Pokrovski (1983, 1989), Mayergoyz şi Bertotti (2006) pentru a fi aplicat în mecanică, prin includerea în model a teoriilor neliniare ale elasticităţii, vâscoelasticităţii şi plasticităţii. Astfel au rezultat modelul P-M (Preisach-Mayergoyz) şi modelul K-P (Krasnoselskii-Pokrovskii).

Ideea de bază a acestor modele este introducerea interpretării geometrice a modelului lui Preisach. Deşi se bazează pe ipoteze privind mecanismele fizice ale magnetismului, aceste modele fac parte acum din categoria modelelor fenomenologice, înlăturându-se orice interpretare fizică a fenomenului histeretic. Acest fapt s-a dovedit a fi un avantaj considerabil, oferind posibilitatea aplicării modelelor pentru studiul fenomenelor de histerezis cu origini diferite, de exemplu pentru materialele superconductoare, piezoceramice, aliaje cu memoria-formei, precum şi în studiul fenomenului de histerezis ce apare în şomajul economic. Această


6

proprietate de universalitate a fost întărită de studiile matematice ale modelului care au oferit o descriere pur matematică, complet separată de conotaţia fizică.

Conexiunea dintre operatorii histerezis şi o ecuaţie cu derivate parţiale asociată este analizată de Visintin (1993, 1995) şi Kofkova (2007). Operatorii Stop şi Play, operatorii Prandtl-Ishlinskii pot fi reanalizaţi în sensul lui Visintin (2002) prin prisma unor rezultate ale teoriei neliniare a grupurilor (Barbu (1976)). Şi alţi operatori histerezis pot fi reanalizaţi ca operatori generalizaţi în sensul lui Visintin (Visintin (1993, 1995, 2002, 2008), Kofkova (2004, 2007), Girip, Munteanu şi Gliozzi (2011), Ionescu at al. (2011), Poienariu at al. (2011).

Prezenta teză de doctorat are drept scop realizarea unor algoritmi computaţionali şi respectiv, experimentali de tip cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate în scopul modelării şi simulării sistemelor cu caracteristici de tip histeretic. Ne referim aici la analiza şi simularea comportării compozitelor sonice cu rezonatori locali alcătuiţi din ceramică piezoelectică de tip Reddy, la comportarea izolatoarelor de tip funie utilizaţi la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA), şi respectiv la bare elastice cu elemente externe de amortizare alcătuite din material auxetic. Caracteristica comună a acestor sisteme dinamice constă în existenţa unor incertitudini legate de încărcări aleatoare, condiţii iniţiale şi condiţii pe frontieră perturbate.

Teza este compusă din 7 capitole, o anexă şi bibliografie. Capitolul 1 intitulat Introducere este dedicat celor mai importante aspecte ale

lucrării. Se prezintă pe scurt conţinutul capitolelor şi se menţionează rezultatele originale obţinute de autor în cadrul fiecărui capitol.

În Capitolul 2 intitulat Preliminarii, se prezintă conceptele fundamentale

privind metoda cvasi-Monte Carlo şi operatorii histeretici primari în vederea definirii unei conexiuni dintre un operator histeretic, ecuaţia de evoluţie şi metoda cvasi-Monte Carlo.

Modelul dinamic al unui sistem cu caracteristici histeretice se poate construi prin cuplarea ecuaţiei de evoluţie cu un operator histeretic primar. Un algoritm computaţional de tip cvasi-Monte Carlo şi respectiv, un algoritm experimental de tip cvasi-Monte Carlo bazat pe observaţii experimentale reale, stau la baza rezolvării problemei de evaluare a comportării unui sistem dinamic cu caracteristici histeretice. Acuratetea rezultatelor este influenţată semnificativ de calitatea numerelor aleatoare generate.

În capitol se prezintă metoda cvasi-Monte Carlo bazată pe secvenţe Kronecker, precum şi operatorii histeretici primari la care ne referim în această teză: operatorul Stop, operatorul Play, operatorul Prandtl-Ishlinski cu ecruisare cinematică în serie, care este o combinaţie în serie ale modelelor Play şi Stop, operatorul Prandtl-Ishlinski cu ecruisare cinematică în paralel, care este o combinaţie în paralel ale modelelor Play şi Stop, operatorul generalizat Play, operatorul Play cu limitare şi operatorul discontinuu de tip releu. Generarea secvenţelor Kronecker se realizează cu programul Scalable Parallel Random Number Generators Library (SPRNG) (http://sprng.fsu.edu/). În această lucrare s-a utilizat programul SPRNG 2.0 instalat pe un computer paralel cu mai multe procesoare (poate efectua simultan operaţii multiple) de la Politehnica din Torino. Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Chi (2013), Ökten and Willyard (2010), Wang şi Fang (2003), Visintin


7

(1993, 1995, 2002, 2008) şi Kofkova (2004, 2007). In capitol se prezintă rezultatele originale ale autorului publicate în lucrarea Girip, Munteanu şi Gliozzi (2011).

Capitolul 3 este intitulat Generarea secvenţelor Kronecker modificate şi este

dedicat generării secvenţelor Kronecker modificate pe baza secţiunii metalice (o generalizare a secţiunii de aur), care asigură succesul aplicării metodei Monte Carlo în aplicaţii precum histerezis-ul structurilor mecanice. Aceasta se poate face datorită faptului că, spre deosebire de secvenţele Kronecker originale care suferă de o corelaţie neconsistentă dintre dimensiuni care rupe uniformitatea reprezentării, secvenţele modificate Kronecker sunt de înaltă calitate, sunt convergente şi au proiecţii dimensionale uniforme. În plus, implementarea în algoritmii de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale şi cu derivate parţiale este simplă. Acurateţea rezolvării cu algoritmul cvasi-Monte Carlo a ecuaţiilor cu derivate parţiale sau a ecuaţiilor diferenţiale care comportă un grad ridicat de incertitudine datorită condiţiilor iniţiale şi a condiţiilor pe frontieră, este demonstrată prin comparaţii cu alte metode.

Secvenţele Kronecker modificate fac parte din categoria secvenţelor cvasi aleatoare cu proiecţii dimensionale uniforme, larg utilizate în metodele de rezolvare a ecuaţiilor cu grad înalt de incertitudine şi a generării de date virtuale de tip experimental pe baza unor observaţii reale, în lipsa unor date experimentale reale.

Pentru înţelegerea modului în care o ecuaţie diferenţială se rezolvă cu metoda cvasi – Monte Carlo, se prezintă problema jucătorului. Metoda combină metoda diferenţelor finite cu secvenţele Kronecker modificate.

Pentru test se consideră o ecuaţie 1D neliniară şi anume ecuaţia KdV clasică pentru care se cunoaşte soluţia exactă. Apoi se consideră ecuaţia KdV modificată prin prezenţa unui termen perturbator. Se calculează erorile de estimare ale soluţiei ecuaţiei, prin secvenţe Kronecker modificate şi Ruge Kutta de ordinul 2.

Secvenţele Kronecker modificate se pot utiliza şi pentru generarea de date virtuale de tip experimental, bazate pe observaţii experimentale reale.

Al doilea test este de generare de date virtuale de tip experimental într-o problemă de identificare a obstacolelor într-un mediu acustic infinit.

Secvenţele Kronecker modificate sunt eficiente datorită simplicităţii lor, şi mai ales a convergenţei foarte bune. Se observă că nu se obţin deosebiri semnificative de consum de timp şi viteză de calcul pentru generarea secvenţelor Kronecker modificate pentru secvenţe de mică dimensiune 50s < şi respectiv, pentru secvenţe de dimensiune mare 50 100s< < .

Pentru generarea secvenţelor Kronecker modificate se utilizează programul Scalable Parallel Random Number Generators Library SPRNG Version1.0 pt C [Mascagni şi Srinivasan 2000].

Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Chi (2013), Ökten and Willyard (2010), Wang şi Fang (2003), Thomson (2000), Cesaratto şi Valée (2012). In capitol se prezintă rezulatale originale obţinute de autor în lucrarea Girip, Munteanu şi Gliozzi (2011).

Capitolul 4 este intitulat Compozite sonice cu caracteristici histeretice. Capitolul studiază un compozit sonic alcătuit dintr-un aranjament 3D de

rezonatoare acustice alcătuite din material piezoceramic care suportă legea de funcţionalitate Reddy. Proprietatea acestui compozit sonic constă în reducerea sau oprirea totală a propagării sunetului (zgomotului) într-o bandă de frecvenţă dorită, numită full bad-gap (bandă totală sau bandă interzisă în care sunetul nu se


8

propagă). În acest interval de frecvenţe energia sonoră nu se propagă datorită reflexiilor de tip Bragg care apar la diferite frecvenţe invers proporţionale cu distanţa centrală dintre două rezonatoare. Reflexiile de tip Bragg sunt complete într-o gamă de frecvenţe în care toate benzile locale corespunzătoare direcţiilor diferite se suprapun. Dacă intervalele locale band-gap (benzi locale interzise propagării sunetului) sunt suficient de mari, atunci se suprapun şi formeaza full band-gap. Astfel benzile locale în care propagarea sunetului nu este posibilă se pot suprapune pentru a forma în final banda totală – full band gap. Generarea full band-gap depinde de dimensiunea şi materialul din care sunt alcătuite rezonatoarele acustice şi de modul în care rezonatoarele locale sunt dispuse în aranjamentul 3D.

Rezonatoarele acustice sunt bare subţiri cilindrice încorporate într-o matrice epoxidică. Comportarea compozitului sonic precum şi analiza efectului contactului normal cu frecare la interfaţa rezonator-matrice asupra generării de full band-gaps în compozit, se realizează prin cuplarea metodei LISA (Metoda de simulare a interacţiunilor locale) cu un algoritm cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate.

Secvenţele Kronecker modificate se utilizează pentru generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA. Datele virtuale de tip experimental se referă la determinarea din măsurători efectuate de observator, a câmpului de presiuni necesare construirii condiţiilor pe frontieră. Din această cauză, condiţiile pe frontieră conţin un grad ridicat de incertitudine.

Pentru generarea de date virtuale se utilizează Scalable Parallel Random Number Generators Library SPRNG Version1.0 pt C [Mascagni şi Srinivasan 2000].

Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Delsanto et al (1992, 1994), Chiroiu et al (1998), Munteanu şi Chiroiu (2010), Munteanu (2012) şi Munteanu et al (2014). In capitol se prezintă rezulatale originale obţinute de autor în lucrările Munteanu, Girip et al. (2012), Girip et al (2013 a,b,c), Girip şi Ioan (2014).

În Capitolul 5 intitulat Comportarea unui izolator de tip funie, se dezvoltă o

metodă nouă pentru descrierea comportării histeretice a unui izolator de tip funie utilizat la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA).

Metoda se bazează pe modelul Bouc-Wen-Baber-Noori, ales pentru a depăşi dificultăţile de descriere a comportării histeretice a acestor izolatori supuşi la excitaţii armonice şi aleatoare [Girip et al. 2013a]. Aceste dificultăţi provin din observaţiile experimentale ale unor fenomene histeretice precum degradarea rigidităţii şi a rezistenţei, şi respectiv, ondulaţii histeretice [Ko, Ni şi Tian 1992]. Descrierea şi prezicerea comportării unor astfel de izolatori cu caracteristici histeretice de tip forfecare la excitaţii aleatoare reprezintă principalul obiectiv al acestui capitol.

Sistemul de ecuaţii ale modelului Bouc-Wen-Baber-Noori se rezolvă cu metoda cvasi-Monte Carlo în care funcţiile test se construiesc cu secvenţe Kronecker modificate.

Algoritmul generează aceste secvenţe foarte rapid, de ordinul 110− sec. Rezolvarea sistemului de ecuaţii se realizează în două dimensiuni într-o plajă de frecvenţe de la 5Hz până la 50Hz, pentru 5 40s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = .

Rezultatele obţinute în cazul excitaţiei armonice sunt comparate cu date experimentale raportate în literatura de specialitate [Ko, Ni şi Tian 1992; Wong, Koand şi Ni 1994]. Pentru excităţii aleatoare, rezultatele se compară cu observaţiile experimentale obţinute de Gliozzi (2013) privind efectul amplitudinii excitaţiei asupra valorilor rigidităţii efective.


9

Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Bouc (1967), Wen (1976), Baber and Noor (1986), Ko, Ni şi Tian (1992); Wong, Koand şi Ni (1994), Gliozzi (2013). In capitol se prezintă rezultatele originale obţinute de autor în lucrarea Girip et al. (2010) .

În Capitolul 6 se analizează comportarea histeretică a barelor elastice echipate

cu elemente externe de amortizare confecţionate dintr-un material auxetic. Materialul auxetic are coeficientul Poisson negativ. Comportamentul materialului auxetic se distinge de comportamentul unui material tradiţional prin aceea că la întindere el expandează în loc să se subţieze. Comparativ cu materialele tradiţionale, materialul auxetic are o mare capacitate de amortizare.

Ca model pentru bara elastică s-a ales un model care ţine seama de forţa de forfecare, şi anume s-a ales modelul Shear. După cum se ştie, modelul Shear aproximează modelul Timoshenko pentru valori mari ale raportului dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a barei. Forţa de amortizare este modelată printr-o teorie nelocală, ca o medie ponderată a câmpului de viteze în domeniul spaţio-temporal. Această forţă este determinată de funcţia nucleu bazată pe măsura de distanţă.

Problema de valori proprii este rezolvată cu metoda cvasi-Monte Carlo, cu secvenţe Kronecker modificate. Sunt prezentate primele şase frecvenţe proprii pentru 1, 2, 3 şi 4 elemente de amortizare ataşate barei. Se compară valorile frecvenţelor proprii obţinute cu secvenţele Kronecker modificate şi respectiv, secvenţele Kronecker originale, cu frecvenţele obţinute cu FEM, pentru patru elemente de amortizare ataşate barei. Comparaţiile demonstrează superioritatea secvenţelor Kronecker modificate în raport cu cele standard. Existenţa elementelor externe de amortizare are drept efect apariţia histerezisului. Se prezintă diagramele histeretice pentru variaţia unghiului de rotaţie transversal al secţiunii datorită momentului de încovoiere în raport cu unghiul de deformare datorită forfecării, pentru un ciclu sinusoidal de variaţie ciclică a deplasării, atât pentru histerezis-ul temporal cât şi pentru histerezis-ul spaţial. Potrivit acestor diageame, se observă că histerezisul temporal prezintă curbe mai largi şi prin urmare mai multă energie disipată.

Problema barei Shear cu amortizare adăugată se rezolvă şi prin metoda Visintin. Ecuaţia barei Shear fără amortizare se cuplează cu operatorul generalizat de tip Play pentru a obţine ecuaţia barei Shear cu amortizare.

Capitolul se bazează pe lucrările Visintin (1993, 1995, 2002), Lei, Friswell şi Adhikari (2006), Cowper (1966), Stephen (1968) şi Ionescu, Munteanu, Chiroiu (2011). Capitolul conţine rezultate le originale obţinute de autor în lucrările Poienariu, Girip et al. (2011a,b).

În Capitolul 7 intitulat Rezultate originale, concluzii şi direcţii viitoare, se

prezintă principalele rezultate originale obţinute în această lucrare precum şi concluziile şi respectiv, direcţiile viitoare de studiu.

În Anexa intitulată Metoda cnoidală, se prezintă pe scurt această metodă de

calcul pentru rezolvarea analitică a ecuaţiilor cu derivate parţiale neliniare. Principala sursă de informare este monografia Munteanu şi Donescu (2004).


10

CAP. 2. PRELIMINARII

Capitolul prezintă conceptele fundamentale privind metoda cvasi-Monte Carlo şi operatorii histeretici primari în vederea definirii unei conexiuni dintre un operator histeretic, ecuaţia de evoluţie şi metoda cvasi-Monte Carlo.

Modelul dinamic al unui sistem cu caracteristici histeretice se construieşte prin cuplarea ecuaţiei de evoluţie cu un operator histeretic primar. Un algoritm computaţional de tip cvasi-Monte Carlo şi respectiv, un algoritm experimental de tip cvasi-Monte Carlo bazat pe observaţii experimentale reale, stau la baza rezolvării problemei de evaluare a comportării unui sistem dinamic cu caracteristici histeretice. Acurateea rezultatelor este influenţată semnificativ de calitatea numerelor aleatoare generate.

În capitol se prezintă metoda cvasi-Monte Carlo bazată pe secvenţe Kronecker, precum şi operatorii histeretici primari la care ne referim în această teză: operatorul Stop, operatorul Play, operatorul Prandtl-Ishlinski cu ecruisare cinematică în serie care este o combinaţie în serie ale modelelor Play şi Stop, operatorul Prandtl-Ishlinski cu ecruisare cinematică în paralel care este o combinaţie în paralel ale modelelor Play şi Stop, operatorul generalizat Play, operatorul Play cu limitare şi operatorul discontinuu de tip releu. Generarea secvenţelor Kronecker se realizează cu programul Scalable Parallel Random Number Generators Library (SPRNG) (http://sprng.fsu.edu/). În această lucrare s-a utilizat programul SPRNG 2.0 instalat pe un computer paralel cu mai multe procesoare (poate efectua simultan operaţii multiple) de la Politehnica din Torino. Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Chi (2013), Ökten and Willyard (2010), Wang şi Fang (2003), Visintin (1993, 1995, 2002, 2008) şi Kofkova (2004, 2007). In capitol se prezintă rezultatele originale ale autorului publicate în lucrarea Girip, Munteanu şi Gliozzi (2011).

2.1. Metoda cvasi-Monte Carlo

Metoda cvasi-Monte Carlo utilizează secvenţe cvasi-aleatoare, cum ar fi secvenţele Kronecker, Halton sau Sobol, care au o rată de convergenţă rapidă (1/ )O N . Aceasta în contrast cu metoda generală Monte Carlo care se bazează pe secvenţe pseudo-aleatoare cu rată de convergenţă 0,5( )O N − .

Secvenţelor Kronecker fac parte din categoria secvenţelor cvasi-aleatoare larg utilizate în metodele de rezolvare a ecuaţiilor cu algoritmi de tip Monte Carlo, datorită simplicităţii lor. În aceste secvenţe, pentru a genera fiecare punct se utilizează partea fracţionară a numerelor iraţionale multiple. Kronecker a arătat că secvenţa de numere nα este densă în intervalul unitate, unde α este un număr iraţional. Operaţia este definită ca partea fracţionară a numărului, de exemplu 5,34123 = 0,34123. Weyl a demonstrat că nα este o distribuţie uniformă, şi de aceea se mai numeşte secvenţă Weyl.

În implementarea standard a secvenţelor Kronecker multidimensionale [Cesaratto şi Valée 2012] iα sunt alese ca rădăcina pătrată a numerelor prime ip ,

pentru 1, 2,3,...i = .


11

Spre deosebire de secvenţele Halton sau Sobol, secvenţele Kronecker se pot aplica cu un grad ridicat de convergenţă la rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale şi a ecuaţiilor diferenţiale, cu date inţiale şi pe frontieră cu grad semnificativ de incertitudine. Cu tote acestea, secvenţele Kronecker au o proiecţie bidimensională de slabă calitate, aşa cum se observă în Fig. 2.1.1.

De exemplu, in Fig. 2.1.1 se prezintă pentru comparaţie, proiecţia 2D a 1000 puncte de diferite dimensiuni pentru o secvenţă Halton [Winnicki 2008]. S-a dovedit însă că aceste secvenţe au o proiecţie bidimensională de slabă calitate, în sensul că se pierde uniformitatea reprezentării şi acest fapt are o influenţă negativă asupra convergenţei [Chi 2013].

Fig.2.1.1. Proiecţia 2D a 1000 puncte de dimensiune 65 şi 66 pentru o secvenţă Halton [Winnicki 2008].

2.2. Operator histerezis

Răspunsul sistemului nu poate fi reprezentat printr-o funcţie simplă deoarece unei singure variabile de intrare îi corespund cel puţin două variabile de ieşire şi anume o linie verticală poate avea intersecţii multiple cu curba intrare-ieşire. Cu alte cuvinte, valoarea de ieşire, după un anumit timp, nu depinde doar de valoarea intrării, ci şi de starea internă/iniţială ( )0 0w t w= a sistemului. De aceea se spune că un sistem

cu histerezis are memorie. Cum relaţia între mărimea de intrare şi cea de ieşire nu poate fi reprezentată ca o funcţie cu o singură valoare, obţinem bucle parcurse fie în sens trigonometric, fie invers.


12

Proprietatea de memorie a histerezisului este descrisă astfel: la orice moment de timp t , variabila de ieşire ( )w t depinde de evoluţia anterioară a lui u şi de starea iniţială a sistemului. Acest lucru se exprimă astfel

0( ) [ ( , )]( )w t F u w t= , [0, ]t T∀ ∈ . (2.2.1)

Presupunem că

0( (0), )u w L∈ , 0 0[ ( , )](0)F u w w= .

Prin definiţie, 0( , )F u w reprezintă un operator histerezis care acţionează în

spaţiul funcţiilor dependente de timp, pentru orice 0w fixat. Acest operator este

cauzal: pentru orice [0, ]t T∈ , variabila de ieşire ( )w t este independentă de [ , ]| t Tu ,

adică

1 [0, ] 2 [0, ] 1 0 2 0| | [ ( , )]( ) [ ( , )]( )t tu u F u w t F u w t= ⇒ = , (2.2.2)

O proprietate a operatorilor histerezis se referă la dependenţa sau independenţa lor de viteză. În cazul rate-independenţei, forma şi aspectul buclelor histerezis este aceeaşi pentru orice timp sau frecvenţă. În cazul rate-dependenţei, forma şi aspectul buclelor histerezis depinde de timp sau frecvenţă [Oh şi Bernstein 2005].

Spunem că operatorul 0( , )F u w este rate-independent dacă evoluţia perechii

de funcţii ( , )u w este invariantă în raport cu difeomorfismul crescător :[0, ] [0, ]T Tϕ → .

0 0( , ) ( , )]F u w F u wϕ = ϕo o în [0, ]T . (2.2.3)

Cu alte cuvinte, pentru orice 0w fixat avem

0 0( , ) : ( , ) :f w u w f w u w⋅ ⇒ ⋅ ϕ ϕa o a o .

Aceasta înseamnă că pentru orice moment de timp t , w depinde de ([0, ])u t şi de ordinea în care aceste valori au fost atinse înainte de momentul t . Intuitiv, operatorul histerezis este rate-independent dacă aspectul buclelor histerezis este acelaşi independent de timp. În acest caz, operatorul F are următoarea proprietate de semigrup

0( , ) Dom( )u w F∀ ∈ , 1 2[ , ] (0, ]t t T∀ ⊂ ,

1 0 1( ) : [ ( , )]( )w t F u w t= , (2.2.4)

0 2 1 1 2 1[ ( , )]( ) [ ( ( ), ( ))]( )F u w t F u t w t t t= + ⋅ − .

În cazul rate-dependenţei, evoluţia funcţiilor ( , )u w nu este invariantă în raport cu difeomorfismul crescător :[0, ] [0, ]T Tϕ → definit în (2.2.3). Definiţia operatorului rate-independent exclude orice tip de memorie de tip vâscos ca cea reprezentată de funcţii convoluţii în timp. În cazul histerezisului rate-dependent, variabila de ieşire se scrie ca o sumă de doi operatori, unul histerezis şi altul vâscos.

( ) : ( ) ( )tot hys visw F u F u F u= = + . (2.2.5)


13

2.3. Ecuaţii cu derivate parţiale cu histerezis

Considerăm modelul generalizat Play 0: ( , ) :w A u w R R+= →

Fie u o funcţie continuă pe porţiuni în R+ , liniară pe 1[ , ]i it t− , 1, 2,...i = Definim

0( ) ( , )( )w t A u w t= astfel

0( ) min ( (0)), max ( (0)),l rw t u u w= γ γ pentru 0t = şi 0w R∈ ,

1( ) min ( ( )), max ( ( )), ( )l i r i iw t u t u t w t −= γ γ , pentru 1( , ), 1,2,...i it t t i−∈ = (2.3.2)

unde , :l r R Rγ γ → sunt funcţii monotone, posibil funcţii multivaloare

inf ( ) sup ( )r lu uγ ≤ γ u R∀ ∈ . (2.3.3)

De aici, operatorul clasic Play se poate obţine alegând

( ) , ( )l ru u r u u rγ = + γ = − , (2.3.4)

cu 0r ≥ un parametru, ( )u t funcţia input continuă pe [0, ]T şi 0 [ , ]rw r r∈ − starea iniţială. Relaţia dintre operatorul histerezis şi PDEs se scrie sub forma (Kofkova 2007)

[ ]0( , ) ( ( ,...), ( )) ( )w x t A u x w x t= in [0, ]Q T= Ω× , (2.3.5)

unde Ω este un domeniu din nR . Operatorii histerezis discutaţi aici sunt disipativi, în sensul că || ( ) || || ||I A x xλ − ≥ λ pentru 0∀λ > , unde I este vectorul identitate.

PDE cu histerezis pot fi transformate într-un sistem diferenţial cu incluziuni. Operatorul generalizat Play se poate defini astfel ca o soluţie a unei ecuaţii variaţionale cu incluziuni de tipul

, ( , )tw u w∈φ în (0, )T , 0(0)w w= , (2.3.6)

unde ( , )u wφ este dat de

if inf ( ),

[0, ] if ( ) \ ( ),

0 if sup ( ) inf ( ),( , )

[ ,0] if ( ) \ ( ),

if sup ( ),

[ , ] if ( ) ( ).

r

r l

r l

l r

r

l r

w u

w u u

u w uu w

w u u

w u

w u u

∞ < γ⎧⎪ +∞ ∈γ γ⎪⎪ γ < < γ⎪φ = ⎨ −∞ ∈γ γ⎪⎪ −∞ > γ⎪−∞ +∞ ∈γ ∩ γ⎪⎩

(2.3.7)

Definiţia operatorului de tip releu (Visintin): Fie 0 ([0, ))rC T spaţiul funcţiilor

continue pe [0, )T . Pentru orice pereche 21 2: ( , ) Rρ = ρ ρ ∈ operatorul de tip releu

(delayed sau relay) se defineşte astfel 0 0: ([0, ]) 1, 1 (0, ) ([0, ))h C T BV T C Tρ × − → ∩ . (2.3.11)

Relaţia (2.3.11) se mai numeşte relaţia de închidere deoarece asigură unicitatea soluţiei w în [0, T].


14

Prin urmare, pentru orice 0 ([ ])u C T∈ şi [ 1, 1]ξ∈ − , putem defini un set

( , )w k uρ∈ ξ dacă şi numai dacă w este măsurabilă în ]0, [T , şi

1

1

1 2

2

2

1 daca (0) ,

1, ] daca (0) ,

(0) daca (0) ,

[ ,1] daca (0) ,

1 daca (0) ,

u

u

w u

u

u

− < ρ⎧⎪ − ξ = ρ⎪⎪= ξ ρ < < ρ⎨⎪ ξ = ρ⎪

> ρ⎪⎩

(2.3.16)

1

1 2

2

1 daca ( ) ,

( ) : [ 1, 1] daca ( ) ,

1 daca (0) ,

u t

w t u t

u

− < ρ⎧⎪= − ρ ≤ ≤ ρ⎨⎪ > ρ⎩

(2.3.17)

CAP. 3. GENERAREA SECVENŢELOR KRONECKER

MODIFICATE

Capitolul prezintă generarea secvenţelor Kronecker modificate pe baza secţiunii metalice (o generalizare a secţiunii de aur), care asigură succesul aplicării metodei Monte Carlo în aplicaţii precum histerezis-ul structurilor mecanice. Aceasta se poate face datorită faptului că, spre deosebire de secvenţele Kronecker originale care suferă de o corelaţie neconsistentă dintre dimensiuni care rupe uniformitatea reprezentării, secvenţele modificate Kronecker sunt de înaltă calitate, sunt convergente şi au proiecţii dimensionale uniforme. În plus, implementarea în algoritmii de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale şi cu derivate parţiale este simplă. Acurateţea rezolvării cu algoritmul cvasi-Monte Carlo a ecuaţiilor cu derivate parţiale sau a ecuaţiilor diferenţiale care comportă un grad ridicat de incertitudine datorită condiţiilor iniţiale şi a condiţiilor pe frontieră, este demonstrată prin comparaţii cu alte metode.


Pentru înţelegerea modului în care o ecuaţie diferenţială se rezolvă cu metoda cvasi Monte Carlo, se prezintă problema jucătorului. Metoda combină metoda diferenţelor finite cu secvenţele Kronecker modificate.

Pentru test se consideră o ecuaţie 1D neliniară şi anume ecuaţia KdV clasică pentru care se cunoaşte soluţia exactă. Apoi se consideră ecuaţia KdV modificată prin prezenţa unui termen perturbator. Se calculează erorile de estimare ale soluţiei ecuaţiei, prin secvenţe Kronecker modificate şi Ruge Kutta de ordinul 2.

Secvenţele Kronecker modificate se pot utiliza şi pentru generarea de date virtuale de tip experimental, bazate pe observaţii experimentale reale.


15

Al doilea test este de generare de date virtuale de tip experimental într-o problemă de identificare a obstacolelor într-un mediu acustic infinit.

Secvenţele Kronecker modificate sunt eficiente datorită simplicităţii lor, şi mai ales a convergenţei foarte bune. Se observă că nu se obţin deosebiri semnificative de consum de timp şi viteză de calcul pentru generarea secvenţelor Kronecker modificate pentru secvenţe de mică dimensiune 50s < şi respectiv, pentru secvenţe de dimensiune mare 50 100s< < .

Pentru generarea secvenţelor Kronecker modificate se utilizează programul Scalable Parallel Random Number Generators Library SPRNG Version1.0 pt C [Mascagni şi Srinivasan 2000].

Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Chi (2013), Ökten and Willyard (2010), Wang şi Fang (2003), Thomson (2000), Cesaratto şi Valée (2012). În capitol se prezintă rezulatale originale obţinute de autor în lucrarea Girip, Munteanu şi Gliozzi (2011).

3.1. Secvenţe Kronecker modificate

Secvenţele Kronecker fac parte din categoria secvenţelor cvasi aleatoare larg utilizate în metodele de rezolvare a ecuaţiilor de evoluţie cu algoritmi de tip Monte Carlo, datorită simplicităţii lor. Pentru a genera fiecare punct din secvenţă se utilizează partea fracţionară a numerelor iraţionale multiple. Kronecker a arătat că secvenţa de numere nα este densă în intervalul unitate, unde α este un număr iraţional. Operaţia este definită ca partea fracţionară a numărului, de exemplu 5,34123 = 0,34123. Weyl a demonstrat că nα este o distribuţie uniformă, şi de aceea se mai numeşte secvenţă Weyl.

În implementarea standard a secvenţelor Kronecker multidimensionale [Cesaratto şi Valée 2012] iα sunt alese ca rădăcina pătrată a numerelor prime ip ,

pentru 1, 2,3,...i = . Printre primele 40 de numere prime, există zece perechi de numere prime

gemene, de forma : (3, 5), (5, 7), (1, 13), (17, 19), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (149, 151).

S-a dovedit însă că acestea au o proiecţie bidimensională de proastă calitate, în sensul că se pierde uniformitatea [Chi 2013].

O secvenţă Kronecker s -dimensională este secvenţa de puncte

( )1 2 , ,..., sn n nα α α , (3.1.1)

unde 1 21, , ,..., ss Rα α α ∈ şi acele elemente iα care sunt sunt liniar independente în Q

sunt numere raţionale.

Important este de a alege optim elementele iα pentru diferite dimensiuni,

prin combinarea raportului de aur cu numere raţionale. În mod normal i ipα = .

Calculăm în continuare coeficientul de corelaţie dintre două numere iraţionale atunci

când două iα sunt foarte apropiate, ca de exemplu i ipα = şi 2i ipα = + .

3.1.1. Secţiunea de aur

În continuare se utilizează secţiunea de aur (numită uneori şi raportul de aur, proporţia de aur, numărul de aur) este primul număr iraţional descoperit şi definit în istorie. El


16

este aproximativ egal cu 1,618033 şi poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare

împrejurări. În imaginea din Fig. 3.1.1, dacă ( ) /a b a a b+ = , atunci segmentul a b+ a fost

împărțit intr-o secţiune de aur. Raportul de aur este un număr iraţional şi se poate calcula din

a b a

a b

+ = = φ , (3.1.4)

care conduce la 2 1 0φ −φ− = . (3.1.5)

3.1.2. Secţiunea metalică

Generalizarea secţiunii de aur numită şi secţiunea metalică [Stakhov 2007] este definită astfel

2 1 0pφ − φ− = , (3.1.8)

cu p întreg pozitiv. Secţiunea metalică

2 4

2

p p+ +φ = , (3.1.9)

este soluţia pozitivă a ecuaţiei (3.1.8) În ceea ce urmează alegem

2 4

2i i

i i

p p+ +α = φ = , (3.1.10)

cu ip şi 2 4ip + numere prime.

Beneficiul alegerii (3.1.10) constă în posibilitatea de a creşte ip pentru ca corelaţia dintre dimensiuni să fie uniformă.

Pentru a dovedi acest lucru, se calculează proiecţia 2D a unui număr de puncte de diferite dimensiuni pentru o secvenţă originală Kronecker, şi apoi se recalculează aceste proiecţii cu ajutorul secţiunii metalice (3.1.10).

Proiecţia 2D a 1000 puncte de dimensiune 1 şi 2 pentru o secvenţă modificată Kronecker este prezentată în Fig. 3.1.4.


17

Fig. 3.1.4. Proiecţia 2D a 1000 puncte de dimensiune 1 şi 2 pentru secvenţa

modificată Kronecker [Chi 2013]. 3.3. Reprezentarea incertitudinii în sistemele bazate pe cunoştinţe

Reprezentarea cunoştintelor în cazul sistemelor histeretice se poate extinde prin asocierea unei măsuri numerice a certitudinii (incertitudinii) diverselor entităţi din baza de cunoştinţe. Sistemul trebuie sa fie capabil sa raţioneze cu această reprezentare, tipul de raţionament efectuat numindu-se raţionament statistic.

Reprezentarea cunoştinţelor incerte are asociate metode de inferenţă specifice care modelează un raţionament ce propagă incertitudinea de la date şi ipoteze la concluzii. Aceste metode de reprezentare a cunoştinţelor pot fi folosite în rezolvarea problemelor ce implică date nesigure, vagi, incomplete sau chiar inconsistente. O astfel de categorie de probleme este, de exemplu, domeniul diagnosticării medicale.

În cazul nostru, sistemele histeretice admit incertitudini atunci când sistemele sunt solicitate cu încărcări variabile în timp sau încărcări aleatoare. Încărcările aleatoare au un caracter întâmplător, imprevizibil în timp. Valoarea instantanee a acestor sarcini este caracterizată prin funcţii de probabilitate. Ele au un spectru continuu într-o bandă de frecvenţe dată. Încărcările aleatoare se produc între limite variabile şi după legi oarecare. Aceasta este situaţia reală a solicitărilor în exploatare a majorităţii maşinilor şi instalaţiilor.

Solicitările variabile ciclice staţionare reprezintă variaţii ale unui parametru al solicitării, de exemplu, tensiunea normală între aceleaşi limite constante în timp, modul de variaţie repetându-se, un interval de timp nedeterminat. Solicitările ciclice staţionare sunt într-o mare măsură teoretice, deoarece se întâlnesc în realitate relativ rar. Mai frecvent, se aproximează prin astfel de cicluri unele solicitări variabile, care se apropie de acestea.

Adăgăm la lista incertitudinilor şi condiţii iniţiale şi condiţii pe frontieră pentru sisteme dinamice perturbate datorită forţelor exterioare aleatoare.

3.5. Test de rezolvare a unei ecuaţii cu derivate parţiale

Pentru test considerăm o ecuaţie 1D neliniară pentru care cunoaştem soluţia exactă, şi anume ecuaţia KdV. În 1895 Korteweg şi de Vries au dedus ecuaţia


18

neliniară de evoluţie care le poartă astăzi numele (ecuaţia KdV) şi care modelează propagarea undelor solitare într-un canal rectangular, în direcţia x .

, , ,6 0t x xxxu uu u− + = , (3.5.1)

unde ( ),u x t este înălţimea undei care depinde de coordonata x şi de timpul t , iar

virgula notează derivata parţială în raport cu variabila specificată. Considerăm ecuaţia KdV modificată prin prezenţa unui termen perturbator

( , )t xεη

, , ,6 ( , )t x xxxu uu u t x− + = εη , (3.5.2)

în condiţiile

d d 0u x x≡ η =∫ ∫ , (3.5.3)

unde 0 1< ε ≤ este un proces aleator neted în variabila x şi zgomot alb în t , iar η este forţa aleatoare de tip Gaussian

0

( ) ( )s s ss Z

b t e xt ∈

∂η = β∂ ∑ , 0 \0Z Z= . (3.5.4)

În (3.5.4) ( )s tβ sunt funcţii standard independente ale procesului Wiener, sb

sunt constante reale, iar ( )se x sunt definite astfel

cos pentru 0,( )

sin pentru 0.s

sx se x

sx s

>⎧= ⎨ <⎩

(3.5.5)

Considerăm mai întâi ecuaţia neperturbată (3.5.1), a cărei soluţie este unda solitară

20

1 1( ) sec h ( )

2 2u c c

⎧ ⎫θ = − θ−θ⎨ ⎬⎩ ⎭

. (3.5.17)

În continuare rezolvăm ecuaţia KdV neperturbată (3.5.1) prin metoda cvasi-

Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate, pentru 5 40s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = .

Generarea secvenţelor Kronecker se realizează cu programul SPRNG 2.0 instalat pe un computer paralel cu mai multe procesoare (poate efectua simultan operaţii multiple) de la Politehnica din Torino.

Proiecţia 2D a 20000 de puncte de dimensiune 36 şi 37 pentru secvenţa Kronecker modificată este prezentată în Fig. 3.5.2.


19

Fig. 3.5.2. Proiecţia 2D a 20000 puncte de dimensiune 36 şi 37 pentru secvenţa modificată Kronecker.

În Tabelul 3.5.1 sunt prezentate estimări ale soluţiei pentru c = 1, 0θ = 0

pentru un număr de simulări N , cu secvenţe Kronecker modificate. Se observă că procedeul este stabil şi convergent, dacă N este suficient de mare. Eroarea relativă este mai mică decât 3,5% pentru N > 1000.

Tabel 3.5.1. Erori de estimare ale soluţiei ecuaţiei (3.5.1) prin secvenţe

Kronecker modificare şi Runge Kutta de ordinul 2.

Generator N eroare ( s = 20) eroare ( s = 25) eroare ( s = 40)

Kronecker 1000 7,3e−2 2,7e−1 3,5e−1

Kronecker 7000 4,6e−2 2,3e−1 3,2e−2

Kronecker 20000 3,4e−2 4,8e−2 2,9e−2

Kronecker 40000 1,9e−2 3,3e−2 1,7e−2

Kronecker 60000 0,1e−2 0,5e−3 0,2e−3


20

Fig. 3.5.3. Rezultatele numerice obţinute prin aplicarea secvenţelor Kronecker

modificate, comparativ cu soluţia exactă a ecuaţiei (3.5.17) şi cu metoda Runge-Kutta de ordinul 2.

Fig. 3.5.4. Reprezentarea grafică a undei solitare perturbate (3.5.2). În Fig. 3.5.3 se prezintă rezultatele numerice obţinute pentru ecuaţia KdV

neperturbată, prin aplicarea secvenţelor Kronecker modificate, comparativ cu soluţia exactă a ecuaţiei (3.5.2) şi cu metoda Runge-Kutta de ordinul 2.


21

În continuare rezolvăm ecuaţia KdV perturbată (3.5.2) prin metoda Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate, pentru 50 100s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = , şi

1sb = . Reprezentarea grafică a undei solitare perturbate se reprezintă grafic în Fig.

3.5.4, pentru patru termeni ai forţei aleatoare (3.5.4), s = -1, -2, 1, 2. Se observă declanşarea unui proces de distorsiune a pulsului simulat datorită forţei aleatoare (3.5.4).

Se observă că nu avem deosebiri semnificative de consum de timp şi viteza de calcul pentru generarea secvenţelor Kronecker modificate pentru secvenţe de mică dimensiune 50s < şi pentru secvenţe de dimensiune mare 50 100s< < .

3.6. Test de generare date virtuale de tip experimental

Considerăm problema identificării unui obstacol 3D notat cu D , de frontieră Γ , încorporat într-un mediu acustic infinit 3

eD R D= − . Obstacolul este supus

acţiunii unei unde armonice de presiune incidentă cunoscută ( ) exp( i )incp x t− ω% , care

satisface ecuaţia de undă Helmholtz 2( ) 0inck p∆ + =% în domeniul eD , unde /k c= ω

este numărul de undă şi c viteza undei. Câmpul de presiune indus de prezenţa obstacolului se notează cu ( )p p xΓ=% % . Această problemă a fost propusă de Bonnet

(1993) şi rezolvată cu BEM

2( ) 0k p∆ + =% in eD ,

, , 0n inc np p+ =% % on eD DΓ = ∂ = ∂ cu ,( ) ( )n n

∂⋅ ≡ ⋅∂

, (3.6.1)

unde ,( ) ( )n n

∂⋅ ≡ ⋅∂

, şi n este normala unitară a frontierei Γ spre interior, direcţionată

în afara domeniului eD . Forma domeniului eD şi suprafaţa Γ sunt necunoscute, iar p%

depinde de Γ , şi notăm această dependenţă cu p pΓ=% % .

Pentru construirea prin metoda Monte Carlo a datelor experimentale se rezolvă mai întâi ecuaţiile (3.6.1) folosind secvenţele Kronecher modificate pentru 5 40s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = . Odată generate aceste soluţii, le comparăm cu soluţiile

generalizate determinate cu metoda cnoidală (Anexa) [Munteanu şi Donescu 2004]. Datele virtuale experimentale determinate cu metoda cvasi-Monte Carlo

pentru 40s = şi 1 2 ... sa a a= = = sunt utilizate în continuare pentru identificarea

suprafeţelor necunoscute Γ ale conului şi paralelipipedului dreptunghic. În Fig. 3.6.1a sunt prezentate aceste forme, iar în Fig. 3.6.1b se prezintă

suprafeţele reale pentru comparaţie.


22

Fig. 3.6.1. Suprafeţele obstacolelor determinate cu a) metoda cvasi-Monte Carlo şi b) suprafeţele reale.


23

3.7. Concluzii


Secvenţele Kronecker modificate se construiesc cu ajutorul secţiunii metalice (o generalizare a secţiunii de aur). Spre deosebire de secvenţele Kronecker originale care suferă de o corelaţie neconsistentă dintre dimensiuni care rupe uniformitatea reprezentării, secvenţele modificate Kronecker sunt de înaltă calitate, sunt convergente şi au proiecţii dimensionale uniforme. Acurateţea rezolvării cu algoritmul cvasi-Monte Carlo a ecuaţiilor cu derivate parţiale sau a ecuaţiilor diferenţiale care comportă un grad ridicat de incertitudine datorită condiţiilor iniţiale şi a condiţiilor pe frontieră, este demonstrată prin comparaţii cu alte metode.

CAP. 4. COMPOZITE SONICE CU CARACTERISTICI HISTERETICE

Capitolul studiază un compozit sonic alcătuit dintr-un aranjament 3D de

rezonatoare acustice alcătuite din material piezoceramic care suportă legea de funcţionalitate Reddy. Proprietatea acestui compozit sonic constă în reducerea sau oprirea totală a propagării sunetului (zgomotului) într-o bandă de frecvenţă dorită, numită full band-gap. În acest interval de frecvenţe energia sonoră nu se propagă datorită reflexiilor de tip Bragg care apar la diferite frecvenţe invers proporţionale cu distanţa centrală dintre două rezonatoare. Reflexiile de tip Bragg sunt complete într-o gamă de frecvenţe în care toate benzile locale corespunzătoare direcţiilor diferite se suprapun. Dacă intervalele locale band-gap sunt suficient de mari, atunci se suprapun şi formeaza full band-gap. Generarea full band-gap depinde de dimensiunea şi materialul din care sunt alcătuite rezonatoarele acustice şi de modul în care rezonatoarele locale sunt dispuse în aranjamentul 3D.

Rezonatoarele acustice sunt bare subţiri cilindrice încorporate într-o matrice epoxidică. Comportarea compozitului sonic precum şi analiza efectului contactului normal cu frecare la interfaţa rezonator-matrice asupra generării de full band-gaps în compozit, se realizează prin cuplarea metodei LISA (Metoda de simulare a interacţiunilor locale) cu un algoritm cvasi- Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate.

Secvenţele Kronecker modificate se utilizează pentru generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA. Datele virtuale de tip experimental se referă la determinarea din măsurători efectuate de observator, a câmpului de presiuni necesare construirii condiţiilor pe frontieră. Din această cauză, condiţiile pe frontieră conţin un grad ridicat de incertitudine.

Pentru generarea de date virtuale se utilizează Scalable Parallel Random Number Generators Library SPRNG Version1.0 pt C [Mascagni şi Srinivasan 2000].

Ca principale surse de informare s-au folosit lucrările Delsanto et al (1992, 1994), Chiroiu et al (1998), Munteanu şi Chiroiu (2010), Munteanu (2012) şi


24

Munteanu et al (2014). In capitol se prezintă rezulatale originale obţinute de autor în lucrările Munteanu, Girip et al. (2012), Girip et al (2013 a,b,c), Girip şi Ioan (2014).

4.1. Definiţia compozitului sonic

Un compozit sonic este alcătuit dintr-un aranjament 3D de rezonatoare acustice de dimensiune finită (sfere, bare, lanţuri cu diferite geometrii confecţionate din materiale funcţionale, piezoelectrice, oţel sau alte materiale), încorporate într-o matrice omogenă [Hirsekorn şi Delsanto 2004; Munteanu 2012].

Proprietatea de excepţie a compozitelor sonice constă în reducerea sau oprirea totală a propagării sunetului (zgomotului) într-o bandă de frecvenţă dorită, numită full bad-gap. În acest interval de frecvenţe energia sonoră nu se propagă datorită reflexiilor de tip Bragg care apar la diferite frecvenţe invers proporţionale cu distanţa centrală dintre două rezonatoare. Reflexiile de tip Bragg sunt complete într-o gamă de frecvenţe în care toate benzile locale corespunzătoare direcţiilor diferite se suprapun. Dacă intervalele locale band-gap sunt suficient de mari, atunci se suprapun şi formeaza full band-gap. Generarea full band-gap depinde de dimensiunea şi materialul din care sunt alcătuite rezonatoarele acustice şi de modul în care rezonatoarele locale sunt dispuse în aranjamentul 3D.

Prin design şi arhitecturare, aceste compozite au multe aplicaţii, cum ar fi filtre acustice, panouri sonice, scuturi de sunet, transductoare, ghiduri de unde acustice pentru oprirea zgomotului în spaţii închise (pentru controlul confortului acustic în inginerie şi aplicaţii aeronautice). Scopul acestora este de protecţie împotriva zgomotului într-o bandă de frecvenţă dorită, datorita reflexilor complete ale sunetului într-o gamă de frecvenţe în care toate benzile locale corespunzătoare direcţiilor diferite se suprapun.

4.2. Generarea intervalelor de frecvenţă full band-gap

Pentru transmiterea sunetului în intervale de frecvenţe full band-gaps selective, nu există în momentul actual nici o tehnologie. În prezent, cunoştinţele cu privire la controlul şi manipularea sunetului sunt într-o dezvoltare continuă. De exemplu, metamaterialele acustice sunt promiţătoare pentru manipularea sunetului, incluzând camuflajul (acoperirea) acustic şi transmisia [Li et al 2009]. În literatura de specialitate sunt raportate rezultate interesante, teoretice şi experimentale, privind proiectarea metamaterialelor acustice (pentru camuflaj acustic) [Munteanu şi Chiroiu 2013; Munteanu et al 2014; Chiroiu et al. 2013, 2014].

4.3. Compozit sonic cu rezonatoare piezoelectrice de tip Reddy

Considerăm o placă compusă dintr-un aranjament periodic de N rezonatoare acustice încorporate într-o matrice de răşină epoxidică (Fig.4.3.1). Lungimea plăcii este l , lăţimea este d , şi grosimea este e a> . Diametrul barelor este notat cu a . Interfaţa rezonator-matrice are o grosime foarte mică pe care o notăm cu a% , a a<<% .

Rezonatoarele acustice sunt bare subţiri cilindrice de diametru a , alcătuite din material piezoelectric, care suportă legea de funcţionalitate Reddy [Reddy 1987; Reddy şi Liu 1987; Reddy, Wang şi Kitipornchai 1999]

(1 )p zM M M= µ+ −µ , (4.3.1)


25

unde 0 1≤ µ ≤ , pM şi zM sunt constantele de material al celor două materiale

constituiente şi anume PZT-4 şi respectiv, ZnO. Cazul 0µ = corespunde unei bare alcătuite din PZT-4, iar 1µ = , unei bare alcătuite din ZnO.

Proprietatea de bază a materialelor piezoelectrice este de a transforma o mărime mecanică (deformaţia sau tensiunea) într-una electrică în cazul efectului piezoelectric direct, şi invers, de a transforma o mărime electrică într-una mecanică, în cazul efectului piezoelectric invers. Această proprietate a fost descoperită în anul 1880 de către Jacques şi Pierre Curie.

Fig. 4.3.1. Compozitul sonic a) dimensiuni; b) secţiune longitudinală

Presupunem că la interfaţa de contact dintre rezonator şi matrice, forţa de contact este de forma [Gilardi şi Sharf 2002; Demiral, Roy şi Silberschmidt 2010]

( , )cF f= δ δ& , (4.3 2)

cu o formă explicită dată de

cF k b= δ + δ& , (4.3.3)

unde δ este componenta normală a deplasării, k şi b sunt constante care depind de materialul şi geometria rezonatorului. Acest model are limitări; în primul rând, forţa de contact este discontinuă datorită amortizării. Pentru o deplasare care tinde către zero, viteza relativă a celor doi constituienţi în contact tinde să fie negativă. Ca rezultat, este prezentă o forţă negativă care ţine constituienţii împreună.

Altă formă a legii (4.3.2) este modelul lui Hertz n

cF k= δ , (4.3.4)


26

unde k şi n sunt constante. Altă formă a legii (4.3.2) este modelul lui Hunt şi Crossley (1975)

n p q

cF k b= δ + δ δ& , (4.3.5)

unde , ,n p q sunt constante, iar coeficientul k depinde de materialul şi geometria rezonatorului, iar b este definit în raport cu coeficientul de restituire în cazul contactului dinamic cu impact 0 1e≤ ≤ . Aceşti coeficienţi se calculează pe baza teoriei vâscoelasticităţii.

Forţa de frecare tF care apare la contactul dintre corpuri este definit astfel

[Johnson 1985]

t t tF k= δ , (4.3.6)

unde tδ este componenta tangenţială a deplasării în punctul de contact, iar tk este

rigiditatea tangenţială. În cele urmează considerăm că forţa de contact şi respectiv, forţa de frecare la

interfaţa dintre rezonator şi matrice sunt date de (4.3.5) şi (4.3.6). Ecuaţiile care guvernează comportarea plăcii pentru câmpul de deplasare

( , , )u x z t şi de tensiune ( , , )x z tσ sunt 1. Ecuaţii de mişcare

, ,ij j c m iuσ = ρ && , 1,3i = , (4.3.10)

unde virgula reprezintă derivata în raport cu variabila specificată ix ( 1x x≡ , 2x y≡ ,

3x z≡ ), iar punctul reprezintă derivata în raport cu timpul. ,c mρ este densitatea

rezonatorului şi respectiv, densitatea matricei. În cele ce urmează, fără a restrânge generalitatea problemei, presupunem că 2 0u = , ,2. 0= . Singurele deplasări nenule

sunt 1u şi 3u , iar tensiunile nenule sunt 11σ , 13σ and 33σ . 2. Legi constitutive

, ,2ij m c kk ij m c ijσ = λ ε δ + µ ε , (4.3.11)

, ,

1( )

2ij i j j iu uε = + , , , 1,3i j k = , (4.3.12)

unde , ( )m c xλ şi , ( )c xµ sunt constantele Lamé de elasticitate a materialelor.

3. Condiţii pe frontieră

11 11

13 13

(2 , ) (2 , )

(2 , ) (2 , )x

z

nh t nh t p

nh t nh t p

− +

− +

σ = σ =σ = σ =

. (4.3.13)

unde xp and zp se determină din date experimentale măsurate de observator. Forţele de contact şi de frecare se determină din relaţiile (4.3.6’).

4.4. Metodă cuplată LISA-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate

Metoda LISA (local interaction simulation approach) a fost dezvoltată de [Delsanto et al 1992, 1994] pentru simularea propagării undelor în medii compozite alcătuite din materiale diferite cu proprietăţi diferite, în conjucţie cu procesarea


27

paralelă. Materialul este discretizat în celule, fiecare celulă având proprietăţi mecanice şi fizice diferite, iar procesoarele independente sunt puse în corespondenţă cu aceste celule. Proprietăţile materialelor constituiente (în cazul nostru ceramică piezoelectrică şi răşină epoxidică) sunt introduse ca date iniţiale în fiecare procesor. Scopul metodei este de a “învăţa” procesoarele cum să reacţioneze la sosirea undei în celulă şi pe urmă la propagarea ei către celulele vecine. În acest sens se utilizează un mecanism de interacţiune. Pentru generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA se aplică metoda Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate. Se folosesc secvenţele Kronecher modificate pentru 5 40s≤ ≤ cu

1 2 ... sa a a= = = .

Observaţiile pe baza cărora se construieşte câmpul de presiuni xp şi zp

necesar scrierii condiţiilor pe frontieră (4.3.13) sunt furnizate de metoda LISA.

4.5. Rezultate

Considerăm o placă compozită având lungimea l = 18 cm, lăţimea d =11 cm şi grosimea e =12 mm. Diametrul barei este a =10,5 mm, grosimea interfeţei rezonator-matrice este a =% 0,5 mm.

Aplicăm metoda LISA în cazul unei unde plane longitudinale P cu unghiul de incidenţă 015θ = . Placa are un număr de bare egal cu N = 8, 20, 40 şi 60. La intrarea în placă pulsul incident este Gaussian. Propagarea sunetului este caracterizată de suprapunerea multiplelor unde reflectate.

Secvenţele Kronecker modificate se utilizează pentru generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA, şi anume pentru construirea condiţiilor pe frontieră (4.3.13) cu ridicat caracter de incertitudine. Condiţiile pe frontieră necesită cunoaşterea din experiment a câmpului de presiuni xp

şi zp , în măsurările efectuate de observator. Metoda Monte Carlo se bazează pe secvenţe Kronecker modificate, pentru

5 40s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = , şi se aplică pentru generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA.

Fig. 4.5.1 prezintă curba de dispersie care include câteva intervale parţiale band-gaps pentru N = 8. Variabila adimensională pentru frecvenţă este / Pkvω , cu Pv viteza longitudinală de propagare a sunetului în bară. Se observă din Fig. 4.5.1 că aceste intervale de frecvenţă locale nu se suprapun deoarece nu au valori comune. Prezentăm Fig. 4.5.1 doar pentru a ilustra generarea de band-gaps locale care corespund valorilor complexe ale vectorului de undă.


28

Fig. 4.5.1. Curba de dispersie pentru placa cu 8 bare.

Fig. 4.5.2. Propagarea sunetului prin material pentru 0, 0.3, 0.5, 1µ = .

Fig. 4.5.2 prezintă variaţia atenuării undei exprimată în decibeli, în raport cu frecvenţa pentru 0, 0.3, 0.5, 1µ = . Se observă o atenuare semnificativă pentru

0.5µ = . Fig. 4.5.3 prezintă forma undei longitudinale (P) incidente cu unghiul de

incidenţă 15θ = o după propagarea în placa compozită cu 8, 20, 40 şi 60 bare pentru 0.5µ = . Se observă o lărgire progresivă a undei, fapt dovedit experimental de

Burridge şi Chang (1989).


29

Fig. 4.5.3. Unda incidentă longitudinală (P) pentru 15θ = o după propagarea în placa cu 8, 20, 40 şi 60 bare, pentru 0.5µ = .

Fig. 4.5.4. Valoarea maximă a presiunii normale de contact la interfaţa dintre

rezonator şi matrice.

Valoarea maximă a presiunii de contact la interfaţa dintre rezonator şi matrice este prezentată în Fig. 4.5.4, pentru 0.3µ = şi 0.5µ = (pentru N = 8). Variaţia presiunii este similară în ambele cazuri.

Aşa cum am mai spus, observaţiile pe baza cărora se construieşte câmpul de presiuni xp and zp necesar scrierii condiţiilor pe frontieră (4.3.13), sunt furnizate de

soluţiile corespunzătoare indicelui 2I N= + , rezervat pentru pulsul output la x c= . Forţa normală de contact la interfaţa rezonator şi matrice este prezentată în

Fig. 4.5.5 pentru 0.5µ = şi N = 8, 20, 40 şi 60 de bare. Se observă că forţa normală de contact la interfaţa rezonator şi matrice este mai mare atunci când în compozit sunt mai mulţi rezonatori acustici.

Forţa de frecare la interfaţa rezonator si matrice este prezentată în Fig. 4.5.6 pentru 0.5µ = şi N = 8, 20, 40 şi 60 de bare. Se observă că şi forţa de frecare la interfaţa rezonator şi matrice este mai mare atunci când în compozit sunt mai mulţi rezonatori acustici.


30

Fig. 4.5.5. Forţa normală de contact la interfaţa rezonator şi matrice.

Fig. 4.5.6. Forţa de frecare la interfaţa rezonator şi matrice.


31

Fig. 4.5.7. Eroarea relativă în determinarea deplasării 1u . Comparaţii privind eroarea în determinarea deplasării 1u pentru 60 de bare

(linie albastră) şi pentru 40 de bare (linie roşie) pentru datele experimentale virtuale generate de algoritmul Monte Carlo, şi pentru datele experimentale simulate teoretic (linia întreruptă neagră) pentru 60 de bare şi (linia continuă neagră) pentru 40 de bare, sunt realizate în Fig. 4.5.7. Se observă, ca şi în capitolul precedent că nu există deosebiri semnificative de consum de timp şi viteză de calcul pentru generarea secvenţelor Kronecker modificate pentru secvenţe de mică dimensiune 50s < şi pentru secvenţe de dimensiune mare 50 100s< < .

Un algoritm de determinare teoretică a unor “date de tip experimental” se obţin prin multiplicarea artificială a rezultatelor teoretice cu 1 r+ , r fiind un număr aleator distribuit uniform în intervalul [ , ]−ε ε . În cazul nostru datele experimentale

simulate teoretic au fost calculate pentru 310−ε = . 4.6. Concluzii

Proprietatea de excepţie a compozitelor sonice constă în reducerea sau oprirea totală a propagării sunetului (zgomotului) într-o bandă de frecvenţă dorită, numită full bad-gap. În acest interval de frecvenţe energia sonoră nu se propagă datorită reflexiilor de tip Bragg care apar la diferite frecvenţe invers proporţionale cu distanţa centrală dintre două rezonatoare. Reflexiile de tip Bragg sunt complete într-o gamă de frecvenţe în care toate benzile locale corespunzătoare direcţiilor diferite se suprapun. Dacă intervalele locale band-gap sunt suficient de mari, atunci se suprapun şi


32

formeaza full band-gap. Generarea full band-gap depinde de dimensiunea şi materialul din care sunt alcătuite rezonatoarele acustice şi de modul în care rezonatoarele locale sunt dispuse în aranjamentul 3D.

În acest capitol este analizat comportamentul histeretic al unui compozit sonic alcătuit dintr-un aranjament 3D de rezonatoare acustice alcătuite din material piezoceramic care suportă legea de funcţionalitate Reddy. Rezonatoarele sunt bare subţiri cilindrice încorporate într-o matrice epoxidică. Se analizează efectul contactului normal cu frecare asupra generării de full band-gaps în compozit, prin cuplarea metodei LISA cu un algoritm Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate.

Secvenţele Kronecker modificate se utilizează pentru generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA. Datele virtuale de tip experimental se referă la determinarea din măsurătorile efectuate de observator, a câmpului de presiuni xp şi zp necesare construirii condiţiilor pe frontieră. Din

această cauză, condiţiile pe frontieră conţin un grad ridicat de incertitudine.

CAP. 5. COMPORTAREA UNUI IZOLATOR DE TIP

FUNIE

Capitolul dezvoltă o metodă nouă pentru descrierea comportării histeretice a

unui izolator de tip funie utilizat la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA). Metoda se bazează pe modelul Bouc-Wen-Baber-Noori, ales pentru a depăşi

dificultăţile de descriere a comportării histeretice a acestor izolatori supuşi la excitaţii armonice şi aleatoare [Girip 2013]. Aceste dificultăţi provin din observaţiile experimentale ale unor fenomene histeretice precum degradarea rigidităţii şi a rezistenţei, şi respectiv, ondulaţii histeretice [Ko, Ni şi Tian 1992]. Descrierea şi prezicerea comportării unor astfel de izolatori cu caracteristici histeretice de tip forfecare la excitaţii aleatoare reprezintă principalul obiectiv al acestui capitol.

Sistemul de ecuaţii ale modelului Bouc-Wen-Baber-Noori se rezolvă cu metoda cvasi-Monte Carlo în care funcţiile test se construiesc cu secvenţe Kronecker modificate.

Algoritmul generează aceste secvenţe foarte rapid, de ordinul 110− sec. Rezolvarea sistemului de ecuaţii se realizează în două dimensiuni într-o plajă de frecvenţe de la 5Hz până la 50Hz, pentru 5 40s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = .

Rezultatele obţinute în cazul excitaţiei armonice sunt comparate cu date experimentale raportate în literatura de specialitate [Ko, Ni şi Tian 1992; Wong, Koand şi Ni 1994]. Pentru excitaţii aleatoare, rezultatele se compară cu observaţiile experimentale obţinute de Gliozzi (2013) privind efectul amplitudinii excitaţiei asupra valorilor rigidităţii efective.

Capitolul se bazează pe lucrările Lei, Friswell şi Adhikari (2006), Cowper (1966), Stephen (1968), Ionescu, Munteanu şi Chiroiu (2011). În capitol se prezintă rezultatele originale ale autorului publicate în lucrările Poienariu, Girip et al. (2011a,b), Girip et al. (2013a).


33

5.1. Descrierea modelului

Izolatorii de tip funie utilizaţi la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA) servesc . Izolatorii de tip funie sunt structuri alcătuite din frânghii înfăşurate în jurul unui miez metalic sau fibros. Frânghia are formă helicoidală şi este montată între două opritoare [Gilbert şi Lekuch, 1982; Tinker, 2000]. Structura este caracterizată de diametrul şi lungimea frânghiei, numărul de frânghii, tipul de răsucire şi de opritoare.

Fig. 5.1.2 prezintă modelul izolatorului frânghie aşezat pe o platformă de încercare la vibraţii.

Fig. 5.1.2. Modelul izolatorului de tip funie legat la o platformă oscilantă

[Ko, Ni şi Tian, 1992]. Două plăci rigide sunt suspendate în paralel cu un suport prin patru ţevi de oţel

rigide legate prin articulaţii fără frecare, pentru a forma un sistem asemeni unui pendul dublu. Rolele suplimentare de ghidare previn mişcarea laterală a sistemului. Izolatorul este montat şi fixat cu bare de aluminiu la plăcile superioare şi inferioare pentru testarea comportamentului histeretic la forfecare. Placa superioară de masă m de deasupra izolatorului este fixată orizontal la postament printr-un traductor de forţă. Placa inferioară de masă m de sub izolator este excitată la unul din capete şi conectată la traductorul de deplasare la celălalt capăt. Placa de jos este acţionată de o forţă de tipul ( )F t . Deplasarea relativă dintre aceste plăci este 2 1u x x= − .

Ecuaţia de mişcare scrisă în funcţie de deplasarea u este

( , , ) ( )mu cu R u z t F t+ + =&& & , (5.1.1)


34

unde cu& este forţa de revenire cu amortizare, cu c coeficientul de amortizare, şi ( , , )R u z t forţa de revenire fără amortizare

( , , ) (1 )R u z t ku kz= α + −α , (5.1.2)

compusă din forţa de revenire liniară kzα , şi din forţa de revenire histeretică (1 )kz−α , unde 0 1< α < este un raport care descrie ponderea de participare relativă a celor doi termeni. Aici, ( )z t este o variabilă auxiliară histeretică reprezentând funcţia de deplasare histeretică care depinde de istoria în timp a funcţiei u . Variabila ( )z t este legată de ( )u t prin legea constitutivă forţă-deplasare [Foliente, 1993]

( )1d( ) ( sgn( ) | | | | )

dn nz

h z A u z z zu

−η = −ν β + γ& , (5.1.3)

unde ( )h z este funcţia de ondulare a curbei histeretice (pinching function) (pentru 1h = funcţia nu are efect de ondulare), A este un parametru care controlează

rigiditatea tangenţială şi limita de rezistenţă histeretică, β , γ , n sunt parametrii de formă ai curbei histeretice şi ν , η funcţii de degradare a rigidităţii şi respectiv, a rezistenţei (pentru 1ν = η = , nu avem degradare). Aceste funcţii depind de energia histeretică disipată. Legea constitutivă (5.1.3) extinde modelul Bouc-Wen pentru a include şi alte fenomene histeretice reale.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii care guvernează compoetarea structurii se utilizează metoda cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate. Totodată se identifică parametrii rămaşi 1, ,ν ηδ δ ζ şi 2ζ , care nu pot fi evaluaţi direct din

experiment.

5.2. Rezolvarea sistemului de ecuaţii cu metoda cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate

Funcţiile test din metoda cvasi-Monte Carlo se calculează cu secvenţe Kronecker modificate. Algoritmul generează aceste secvenţe foarte rapid, de ordinul

110− sec. Rezolvarea sistemului de ecuaţii ale structurii se realizează în două dimensiuni într-o plajă de frecvenţe de la 5Hz până la 50Hz, pentru 5 40s≤ ≤ cu

1 2 ... sa a a= = = . Proiecţia 2D a 20000 de puncte de dimensiune 32 şi 33 pentru secvenţa modificată Kronecker este uniformă.

Se calculează atât variaţia forţei de revenire în raport cu deplasarea, cât şi variaţia variabilei auxiliare z în raport cu deplasarea.

Fig. 5.2.2 prezintă simulări Monte Carlo (o singură buclă) pentru frecvenţele 4,5 Hz, 5 Hz, 6 Hz, 9 Hz şi 10 Hz.


35

Fig. 5.2.2. Simulări cvasi-Monte Carlo forţă revenire-deplasare, pentru

frecvenţele 4,5Hz, 5Hz, 6Hz, 9Hz şi 10Hz.

Fig. 5.2.3. Simulări cvasi-Monte Carlo variabila auxiliară z -deplasare, pentru frecvenţele 4 Hz, 4,5 Hz, 6 Hz, 9 Hz şi 10 Hz.


36

5.3. Rezultate

Modelul este verificat, în primul rând, pentru cazul excitaţiei armonice. Simularea numerică a fost realizată pe baza datelor experimentale raportate în [Ko, Ni şi Tian, 1992]. Semnalul de excitaţie este furnizat de o excitaţie armonică sinusoidală. Semnalele forţei histeretice de revenire, de accelerare şi ale deplasărilor sunt măsurate pentru un număr de 11 frecvenţe de la 5 Hz la 50 Hz, cu cel puţin 5 niveluri de amplitudini diferite în fiecare caz, înregistrate într-un mod sincron pe un casetofon şi observate cu un analizor digital de semnal.

Fig. 5.3.1 prezintă bucla experimentală a forţei histeretice de revenire în raport cu deplasarea, pentru cazul excitaţiei periodice constante, fără filtrare conform cu Ko, Ni şi Tian (1992). Comparând Fig. 5.3.1 cu Fig. 5.2.2 a simulărilor Monte Carlo, observăm că pentru 6 Hz, curbele sunt similare.

După filtrare, curba histeretică este prezentată în Fig. 5.3.2. Se observă şi aici o similaritate dintre simularea Monte Carlo din Fig. 5.2.2 pentru 6 Hz. Necesitatea filtrării se datorează asincronismului care poate apărea în timpul înregistrării între forţa revenire şi deplasare. Acest asincronism poate denatura forma şi aria buclei. Prin urmare, aceste semnale trebuie să fie măsurate simultan pentru fiecare înregistrare.

Parametrii , ,α β γ şi n sunt evaluaţi direct din experiment, iar parametrii 1, ,ν ηδ δ ζ

şi 2ζ sunt obţinuţi cu algoritmul cvasi-Monte Carlo. Parametrii utilizaţi în simularea numerică pentru cazul excitaţiei armonice, sunt prezentaţi în Tabelul 5.3.1 [Girip et al., 2013].

Tabel 5.3.1.Valorile parametrilor utilizaţi în simularea numerică pentru cazul excitaţiei armonice.

α β γ n 1ζ 2ζ νδ ηδ

0,26 0,33 0,88 1,89 0.42 0,33 0,11 0,10

În urma comparaţiilor efectuate, am ajuns la concluzia că rezultatele pentru excitaţia armonică sunt în concordanţă cu rezultatele prezentate de Ko, Ni şi Tian (1992).


37

Fig. 5.3.1. Bucla histerezis experimentală a forţei de revenire în raport cu

deplasarea, fără filtrare [Ko, Ni şi Tian, 1992].


38

Fig. 5.3.2. Bucla histerezis experimentală a forţei de revenire în raport cu deplasarea, cu filtrare [Ko, Ni şi Tian, 1992].

Fig. 5.3.3. Forţa de revenire în raport cu deplasarea, pentru 6 Hz

Analizăm în continuare cazul excitaţiei aleatoare. S-au studiat observaţiile experimentale obţinute de Gliozzi în 2013, legate de variaţia rigidităţii efective (rigiditatea geometrică) în raport cu amplitudinea excitaţiei.

Semnalul de excitaţie a fost reprezentat ca suma unui număr de sinusoide cu faze şi frecvenţe aleatoare 0.25 /100l + π , 20,..., 40l = [Stammers şi Sireteanu, 2000]. Domeniul de frecvenţă este de aproximativ 5-10Hz.

Simularea numerică a buclei histerezis de excitaţie în raport cu deplasarea este prezentată în Fig. 5.3.4. Deşi această diagramă arată ca şi bucla histeretică experimentală fără filtrare, prezentată în Fig. 5.3.1, această comportare nu are nimic de-a face cu sincronismul dintre forţa de excitaţie şi deplasare. Manifestarea acestui comportament se realizează prin caracteristica aleatorie a încărcării. Un comportament similar a fost obţinut de Dimizas şi Koumousis (2005) pentru sistemul pendul cu frecare sub încărcări dinamice severe, cum ar fi cutremurele.

Parametrii utilizaţi în simularea numerică pentru cazul excitaţiei aleatoare, sunt prezentaţi în Tabelul 5.3.2 [Girip et al., 2013].

Tabelul 5.3.2. Valorile parametrilor utilizaţi în simularea numerică în cazul excitaţiei aleatoare.

α β γ n 1ζ 2ζ νδ ηδ

0,47 0.87 0,90 2,15 0,94 0,72 0,21 0,22


39

Efectele parametrilor de degradare asupra variaţiei în timp a lui u sunt

prezentate în Fig. 5.3.6, pentru 5 Hz. Simularea numerică a evoluţiei funcţiei de deplasare histeretică ( )z t în raport cu deplasarea relativă dintre plăci, u , este prezentată în Fig. 5.3.7, pentru 5 Hz. Reducerea capacităţii de amortizare a curbei histeretice în raport cu creşterea ductilităţii în material conduce la creşterea valorilor deplasării.

Efectul îngustării (pinching) buclei histeretice a forţei de revenire în raport cu deplasarea, pentru 5 Hz, este prezentat în Fig. 5.3.7. Valorile multiple ale forţei de revenire în orice moment, cu excepţia celor care trec prin origine, conduc la efectul de ciupire (îngustare) progresivă a curbei histeretice.

Fig. 5.3.4. Bucla histeretică teoretică a excitaţiei în raport cu deplasarea (6 Hz).


40

Fig. 5.3.5. Bucla histeretică teoretică ( )z t în raport cu deplasarea relativă (6 Hz).

Comparând curba histeretică teoretică din Fig. 5.3.5 cu curbele simulate cu

metoda Monte Carlo din Fig. 5.2.3, se observă o similaritate cu cea obţinută pentru 6 Hz.


41

Fig. 5.3.7 . Efectul îngustării în origine a buclei histeretice a forţei de revenire în

raport cu deplasarea, pentru 5 Hz (pinching) .

În final, se fac comparaţii ale rezultatelor obţinute cu metoda cvasi-Monte

Carlo cu observaţiile experimentale ale lui Gliozzi (2013), privind efectul amplitudinii excitaţiei asupra valorilor rigidităţii efective.

Fig. 5.3.7 prezintă aceste comparaţii. Cu linie roşie sunt reprezentate rezultatele Monte Carlo, iar cu buline albastre, datele experimentale ale lui Gliozzi (2013).


42

Fig. 5.3.8 . Variaţia rigidităţii efective în raport cu amplitudinea excitaţiei: Monte Carlo (linie roşie), date experimentale Gliozzi (buline albastre).

5.5. Concluzii

În acest capitol se studiază comportarea histeretică a unui izolator de tip frâghie utilizat la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA). Se dezvoltă un algoritm cvasi-Monte Carlo care se bazează pe modelul Bouc-Wen-Baber-Noori şi pe măsurări experimentale, care au pus în evidenţă caracteristici histeretice precum degradarea rigidităţii şi a rezistenţei şi respectiv, ondularea curbelor histeretice.

Sistemul de ecuaţii care descrie comportarea izolatorului pentru excitaţii armonice se rezolvă prin metoda cvasi-Monte Carlo cu secvenţele Kronecker modificate. Rezultatele obţinute sunt comparate cu date experimentale raportate în literatura de specialitate. Dependenţa semnificativă a formei curbei histeretice de frecvenţa de excitaţie este explicată de legea constitutivă care extinde modelul Bouc-Wen pentru a include şi alte fenomene histeretice reale. Rezultatele obţinute în cazul excitaţiei armonice sunt comparate cu date experimentale raportate în literatura de specialitate [Ko, Ni şi Tian, 1992; Wong, Koand şi Ni, 1994]. Pentru excitaţii aleatoare, rezultatele se compară cu observaţiile experimentale obţinute de Gliozzi (2013) privind efectul amplitudinii excitaţiei asupra valorilor rigidităţii efective. La excitaţii aleatoare, izolatorul se deformează semnificativ, şi îşi reduce progresiv capacitatea de amortizare, prin degradarea rigidităţii şi a rezistenţei, precum şi prin apariţia ondulaţiilor în curbele histeretice.


43

CAP.6. Bară elastică cu amortizare

adăugată

În capitol se analizează comportarea histeretică a barelor elastice echipate cu elemente externe de amortizare confecţionate dintr-un material auxetic. Materialul auxetic are coeficientul Poisson negativ. Comportamentul materialului auxetic se distinge de comportamentul unui material tradiţional prin aceea că la întindere acesta expandează în loc să se subţieze. Comparativ cu materialele tradiţionale, materialul auxetic are o mare capacitate de amortizare.

Ca model pentru bara elastică s-a ales un model care ţine seama de forţa tăietoare, şi anume s-a ales modelul Shear. După cum se ştie, modelul Shear aproximează modelul Timoshenko pentru valori mari ale raportului dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a barei. Forţa de amortizare este modelată printr-o teorie nelocală, ca o medie ponderată a câmpului de viteze în domeniul spaţio-temporal. Această forţă este determinată de funcţia nucleu bazată pe măsura de distanţă.

Problema de valori proprii este rezolvată cu metoda cvasi-Monte Carlo, cu secvenţe Kronecker modificate. Sunt prezentate primele şase frecvenţe proprii pentru 1, 2, 3 şi 4 elemente de amortizare ataşate barei. Se compară valorile frecvenţelor proprii obţinute cu secvenţele Kronecker modificate şi respectiv, secvenţele Kronecker originale, cu frecvenţele obţinute cu FEM, pentru patru elemente de amortizare ataşate barei. Comparaţiile demonstrează superioritatea secvenţelor Kronecker modificate în raport cu cele standard. Existenţa elementelor externe de amortizare are drept efect apariţia histerezisului. Se prezintă diagramele histeretice pentru variaţia unghiului de rotaţie transversal al secţiunii datorită momentului de încovoiere în raport cu unghiul de deformare datorită forfecării, pentru un ciclu sinusoidal de variaţie ciclică a deplasării, atât pentru histerezis-ul temporal cât şi pentru histerezis-ul spaţial. Potrivit acestor diagrame, se observă că histerezisul temporal prezintă curbe mai largi şi prin urmare mai multă energie disipată. Problema barei Shear cu amortizare adăugată se rezolvă şi prin metoda Visintin. Ecuaţia barei Shear fără amortizare se cuplează cu operatorul generalizat de tip Play pentru a obţine ecuaţia barei Shear cu amortizare.

Capitolul se bazează pe lucrările Visintin (1993, 1995, 2002), Lei, Friswell şi Adhikari (2006), Cowper (1966), Stephen (1968) şi Ionescu, Munteanu, Chiroiu (2011). Capitolul conţine rezultate le originale obţinute de autor în lucrările Poienariu, Girip et al. (2011a,b).

6.1. Materiale auxetice

Materialul auxetic este un material cu coeficientul Poisson negativ. Comportamentul materialului auxetic se distinge de comportamentul unui material tradiţional prin aceea că la întindere acesta expandează în loc să se subţieze. Forţa de amortizare este modelată printr-o teorie nelocală, ca o medie ponderată a câmpului de viteze în domeniul spaţio-temporal. Această forţă este determinată de funcţia nucleu


44

bazată pe măsura de distanţă. Existenţa elementelor externe de amortizare are drept efect apariţia histerezisului.

6.2. Teoria nelocală a amortizării

Ecuaţia care descrie mişcarea unui sistem cu amortizare este [Lei, Friswell şi Adhikari, 2006]

2

2( ) ( , ) ( , ) 0,x u x t M u x t

t t

∂ ∂ρ + =∂ ∂

,x∈Ω [0, ],t T∈ (6.2.1)

unde ( , )u x t este vectorul deplasării, x este variabila spaţială, t este timpul, ( )xρ este densitatea. Operatorul M este definit de

0

( , ) ( , , ) ( , )d d ,t

M u x t C x t ut Ω

∂ ∂= ξ − τ ξ τ τ ξ∂ ∂τ∫ ∫ (6.2.2)

cu ( , , )C x tξ − τ nucleul de amortizare pentru amortizarea externă, care este funcţie de deplasare. Pentru ( , , )C x tξ − τ se poate scrie forma

( , , ) ( ) ( ) ( ).C x t H x c x g tξ − τ = −ξ − τ (6.2.3)

Expresia (6.2.3) reprezintă forma generală a modelului de amortizare vâscoelastica nelocală. Funcţia Heaviside ( )H x notează prezenţa amotizării. Avem

0( )H x H= (constant) dacă x se gaseşte în elementul ataşat, iar ( ) 0H x = altfel. Un caz particular pentru (6.2.3) este modelul amortizării nelocale vâscoase

(histerezis spaţial), unde nucleul este o funcţie delta în timp. In acest caz, forţa depinde numai de valoarea instantanee a vitezei sau de viteza de deformaţie

( ) ( ),g t t− τ = δ − τ (6.2.4)

şi poate depinde şi de distribuţia spaţială a vitezelor. In cazul (6.2.3), avem două posibilităţi pentru : (i) amortizare vâcoelastică (histeresis temporal) cu nucleu care depinde de

istoria în timp a amortizării ( , , ) ( ) ( ) ( ).C x t H x x g tξ − τ = δ −ξ − τ (6.2.9)

(ii) amortizare vâscoasă cu forţa depinzând numai de valoarea instantanee a

vitezei sau de viteza de deformaţie

( , , ) ( ) ( ) ( ).C x t H x x tξ − τ = δ − ξ δ − τ (6.2.10) Modelul (6.2.9) reprezintă cunoscutul model clasic de amortizare vâscoasă.

Pentru ( )g t − τ , avem

0( ) exp( ( )),g t g t− τ = µ −µ − τ (6.2.11)

cu µ constanta de relaxare şi 0g o constantă.

6.3. Bară elastică cu elemente ataşate de amortizare

Considerăm o bară din aluminiu, de lungime L , la care s-a ataşat un număr de

pk elemente de amortizare externe de grosime ph . Aceste elemente sunt alcătuite din

material auxetic şi sunt ataşate în poziţiile:


45

1 1 1( , ),x x x+ ∆ 2 2 2( , ).....x x x+∆ ( , ),k k kx x x+ ∆ 2 1 1,x x x≥ +∆ 1 1,i i ix x x− −≥ + ∆ 2,...,i k=

(Fig. 6.3.1).

Fig. 6.3.1. Bară cu elemente de amortizare din material auxetic.

Parametrii modelului sunt: numărul de elemente pk , coordonatele jx , şi

lungimile elementelor ataşate jx∆ , 1, 2,..., ,pj k= supuse condiţiilor 2 1 1,x x x≥ +∆

1 1,i i ix x x− −≥ + ∆ 2,..., .pi k= De obicei aceşti parametrii sunt cunoscuţi. Ca model pentru grinda elastică s-a ales un model care ţine seama de forţa

tăietoare, şi anume s-a ales modelul Shear. După cum se ştie, modelul Shear aproximează modelul Timoshenko pentru valori mari ale raportului dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a barei [Cowper 1966; Stephen 1968].

Ecuaţia de mişcare pentru modelul Euler-Bernoulli poate fi scrisă sub forma pentru vibraţii libere

, ,( , ) ( , ) 0tt xxxxAv x t EIv x tρ + = . (6.3.4)

Introducând unghiul de rotaţie transversal al secţiunii datorită momentului de încovoiere *α şi respectiv, unghiul de deformare datorită forfecării *β , unghiul total de rotaţie ca suma

( ) ( )* *,, , ( , )xx t x t v x tα +β = . (6.3.7)

Folosind principiul lui Hamilton putem scrie ecuaţia de mişcare pentru modelul Shear

( )( )

*, , ,

* *, ,

( , ) ( , ) ( , ) 0,

( , ) ( , ) ( , ) 0.

tt xx x

xx x

Av x t k GA v x t x t

EI x t k GA v x t x t

⎧ ′ρ − −α =⎪⎨

′α + −α =⎪⎩ (6.3.11)

Prezentăm în continuare modelul barei Shear (6.3.11) în care amortizarea este adaugată prin elemente exterioare ataşate.

Ecuaţia de mişcare (6.3.11) devine

( )( )

*, , ,

* *, ,

( , ) ( , ) ( , ) 0,

( , ) ( , ) ( , ) 0.

tt xx x

xx x



⎧ ′ρ − −α + ϒ =⎪⎨

′α + −α =⎪⎩ (6.3.14)

unde ϒ reprezintă amortizarea nelocală definită pe ( , )i i ix x x+ ∆ , 1,2,...,i k= de (6.2.2)


46

,1

( , , ) ( , )d d .i i

i

x x tk

i x

C x t v+∆

τ= −∞

ϒ = ξ − τ ξ τ τ ξ∑ ∫ ∫ (6.3.15)

În continuare alegem pentru nucleul ( , , )C x tξ − τ , modelele histeresis spaţial şi histerezis temporal, definit de (6.2.3), (6.2.4) şi (6.2.6), şi respectiv, (6.2.8), (6.2.9) şi (6.2.11).

Problema de valori proprii este caracterizată de ecuaţia integro-diferenţială (6.3.15). Problema de valori proprii se reduce la un set de K ecuaţii care depind de nişte parametrii necunoscuţi jp , 1,..., 2 3pj k= +

1 1( )jpλ = ω , 2 2( )jpλ = ω , … ( )K j Kpλ = ω . (6.3.18)

Numărul necunoscutelor, 2 3pM k= + , este mai mare decât numărul de

ecuaţii K M< . Introducem funcţiile reziduale

( )l j l lp rλ −ω = , 1, 2,...,l K= . (6.3.19)

Problema se transformă în determinarea necunoscutelor jp din condiţia de

minimizare a reziduurilor, şi această problemă se rezolvă cu metoda cvasi-Monte Carlo.

6.4. Rezolvarea problemei de valori proprii cu metoda cvasi-Monte-Carlo

Problema de valori proprii este rezolvată cu metoda cvasi-Monte Carlo. Caracteristicile mecanice ale aluminiului sunt: densitate ρ = 2700 kg/m 3 , modulul de

elasticitate longitudinal E = 6,9 1010× Pa, modulul de elasticitate transversal G = 2,59 1010× Pa, şi coeficientul lui Poisson 0,33. Pentru materialul auxetic s-au considerat ρ = 26 kg/m 3 , modulul de elasticitate longitudinal E = 0,15 1010× Pa,

modulul de elasticitate transversal G = 0,15 1010× Pa, şi coeficientul lui Poisson -0,23.


47

Fig. 6.4.1. Eroarea relativă a mediei primelor şase frecvenţe în raport cu

frecvenţele obţinute cu metoda elementului finit, pentru 4 elemente de amortizare ataşate barei în locaţii simetrice faţă de capete; simulările cu secvenţe Kronecker modificate (linie albastră) şi simulări secvenţe Kronecker originale (linie roşie).

Bara este încastrată, are lungimea L = 1200 mm şi secţiunea 12× 12 mm.

Elementele de amortizare din material auxetic sunt în număr de pk = 1, 2, 3, şi 4, cu

grosimea ph =2 mm.

Eroarea relativă a mediei primelor şase frecvenţe faţă de frecvenţele obţinute cu metoda elementului finit, pentru pk = 4 elemente de amortizare ataşate barei în

locaţii simetrice faţă de capete, este prezentată în Fig. 6.4.1. Cu linie albastră sunt notate rezultatele obţinute pentru 7000 simulări cu secvenţe Kronecker modificate, iar cu linie roşie sunt notate rezultatele obţinute pentru 7000 simulări cu secvenţe originale Kronecker. Secvenţele Kronecker modificate se calculează pentru 5 40s≤ ≤ cu 1 2 ... sa a a= = = . Proiecţia 2D a 20000 de puncte de dimensiune 36 şi 37 pentru

secvenţa modificată Kronecker este prezentată în Fig. 3.5.2. În tabelele 6.4.1, 6.4.2, 6.4.3 şi 6.4.4 sunt prezentate primele 6 frecvenţe

proprii obţinute cu metoda cvasi-Monte Carlo, pentru pk =1,2,3 şi 4 elemente de

amortizare ataşate barei în locaţii simetrice faţă de capete.


48

Tabelul 6.4.1. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 1 cu /x L = 1/2 .

f [Hz] Nr.

1f 2f 3f 4f 5f 6f

6,53 7,04 7,75 8,86 9,97 12,28

Tabelul 6.4.2. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 2 la 1 /x L = 1/3 şi 2 /x L = 2/3.

f [Hz] Nr

1f 2f 3f 4f 5f 6f

5,61 6,63 7,22 7,93 8,61 9,62

Tabelul 6.4.3. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 3, cu 1 /x L = 1/4, 2 /x L = 2/4 şi

3 /x L = 3/4 .

f [Hz] Nr.

1f 2f 3f 4f 5f 6f

5,50 6,61 7,20 7,90 8,55 9,52

Tabelul 6.4.4. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 4 la 1 /x L = 1/5, 2 /x L =

2/5, 3 /x L = 3/5 şi 4 /x L = 4/5.

f [Hz] Nr.

1f 2f 3f 4f 5f 6f

5,15 6,54 7,19 7,87 8,55 9,44

6.5. Rezolvarea problemei prin metoda Visintin

Construim acum conexiunea ecuaţiei pentru modelul barei Shear (6.3.11) în care nu apare amortizarea

( )( )

*, , ,

* *, ,

( , ) ( , ) ( , ) 0,

( , ) ( , ) ( , ) 0.

tt xx x

xx x



⎧ ′ρ − −α =⎪⎨

′α + −α =⎪⎩ (6.5.1)

Pentru a obţine o ecuaţie pentru bara Shear cu amortizare pentru a include amortizarea adaugată prin elemente exterioare ataşate, cuplăm ecuaţiile (6.5.1) cu operatorul generalizat Play din Fig. 2.3.1 cu 0: ( , ) :w A u w R R+= → .

În tabelele 6.5.1, 6.5.2, 6.5.3 şi 6.5.4 sunt prezentate primele 6 frecvenţe proprii obţinute cu metoda Visintin asociată cu metoda cnoidală, pentru pk =1,2,3 şi 4 elemente de amortizare ataşate barei în locaţii simetrice faţă de capete.


49

Tabelul 6.5.1. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 1 cu /x L = 1/2 .

f [Hz] Nr.

1f 2f 3f 4f 5f 6f

6,50 7,09 7,78 8,83 9,94 12,26

Tabelul 6.5.2. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 2 la 1 /x L = 1/3 şi 2 /x L = 2/3.

f [Hz] Nr

1f 2f 3f 4f 5f 6f

5,60 6,61 7,20 7,92 8,68 9,69

Tabelul 6.5.3. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 3, cu 1 /x L = 1/4, 2 /x L = 2/4 şi

3 /x L = 3/4 .

f [Hz] Nr.

1f 2f 3f 4f 5f 6f

5,54 6,66 7,25 7,96 8,59 9,50

Tabelul 6.5.4. Bara de lungime L = 1200 mm cu pk = 4 la 1 /x L = 1/5, 2 /x L =

2/5, 3 /x L = 3/5 şi 4 /x L = 4/5.

f [Hz] Nr.

1f 2f 3f 4f 5f 6f

5,18 6,50 7,16 7,81 8,52 9,40 După cum se vede, abaterea de la rezultatele obţinute cu metoda cvasi-Monte

Carlo apar doar la a doua zecimală.

6.6. Rezultate

Coeficientul lui Poisson este dependent de deformaţie şi de dimensiunea porilor, tinzând către zero, având valori pozitive sau negative.

Pentru funcţia nucleu ( )g t − τ avem (6.2.11) cu µ constanta de relaxare în timp, proprie spumei auxetice, iar 0g o constantă.


50

Fig. 6.6.4. Histerezis temporal α% versus β% pentru primul mod de vibraţie.

Fig. 6.6.5. Histerezis spaţial α% versus β% pentru primul mod de vibraţie.


51

În figurile 6.6.4 şi 6.6.5, sunt prezentate curbele histerezis pentru ( , )α β%% pentru un ciclu sinusoidal de variaţie ciclică a variabilei v , pentru ambele cazuri de histerezis temporal şi respectiv, spaţial. Calculele sunt efectuate pentru *

0/α = α α% şi *0/β = β β% ,

unde *α este unghiul de rotaţie transversal al secţiunii datorită momentului de încovoiere şi *β este unghiul de deformare datorită forfecării. Mărimile 0 0,α β sunt valori de referinţă. Potrivit acestor figuri, se observă că histerezisul temporal prezintă curbe mai largi şi prin urmare mai multă energie disipată.

6.7. Concluzii

În capitol se studiază comportarea histeretică a barelor elastice echipate cu elemente externe de amortizare confecţionate din material auxetic. Ca model pentru bara elastică s-a ales modelul Shear care ţine seama de forţa tăietoare. Modelul Shear aproximează modelul Timoshenko pentru valori mari ale raportului dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a barei. Forţa de amortizare este modelată printr-o teorie nelocală, ca o medie ponderată a câmpului de viteze în domeniul spaţio-temporal.

Problema de valori proprii este rezolvată cu metoda cvasi-Monte Carlo, cu secvenţe Kronecker modificate. S-au realizat 7000 simulări cu secvenţe Kronecker modificate, 5 40s≤ ≤ , 1 2 ... sa a a= = = ., şi respectiv, 7000 simulări cu secvenţe

Kronecker originale. S-au calculat primele şase frecvenţe proprii pentru 1, 2, 3 şi 4 elemente de amortizare ataşate barei. Se compară valorile frecvenţelor proprii obţinute cu secvenţele Kronecker modificate şi respectiv, secvenţele Kronecker originale, cu frecvenţele obţinute cu FEM, pentru patru elemente de amortizare ataşate barei.

Comparaţiile demonstrează superioritatea secvenţelor Kronecker modificate în raport cu cele standard. Proiecţia 2D a 20000 de puncte de dimensiune 36 şi 37 pentru secvenţa modificată Kronecker este uniformă şi de înaltă calitate.

Existenţa elementelor externe de amortizare are drept efect apariţia histerezisului. Se prezintă diagramele histeretice pentru variaţia unghiului de rotaţie transversal al secţiunii datorită momentului de încovoiere în raport cu unghiul de deformare datorită forfecării, pentru un ciclu sinusoidal de variaţie ciclică a variabilei v , pentru ambele cazuri de histerezis temporal şi respectiv, spaţial. Potrivit acestor figuri, se observă că histerezisul temporal prezintă curbe mai largi şi prin urmare mai multă energie disipată.

Problema barei Shear cu amortizare adăugată se rezolvă şi prin metoda Visintin. Ecuaţia barei Shear fără amortizare se cuplează cu operatorul generalizat de tip Play pentru a obţine ecuaţia barei Shear cu amortizare. Rezultatele problemei de valori proprii sunt similare cu cele obţinute prin metoda cvasi-Monte Carlo.


52

CAP.7. REZULTATE ORIGINALE, CONCLUZII

ŞI DIRECŢII VIITOARE DE STUDIU

7.1. Rezultate originale

Prezenta lucrare are drept scop realizarea unor algoritmi computaţionali şi respectiv, experimentali de tip cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate în scopul modelării şi simulării sistemelor cu caracteristici de tip histeretic. Ne referim aici la analiza şi simularea comportării compozitelor sonice cu rezonatori locali alcătuiţi din ceramică piezoelectică de tip Reddy, la comportarea izolatoarelor de tip funie utilizaţi la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA), şi respectiv la bare elastice cu elemente externe de amortizare alcătuite din material auxetic. Caracteristica comună a acestor sisteme dinamice constă în existenţa unor incertitudini legate de încărcări aleatoare, condiţii iniţiale şi condiţii pe frontieră perturbate.

Ideea principală a lucrării este utilizarea secvenţelor Kronecker modificate care asigură succesul aplicării metodei cvasi-Monte Carlo în aplicaţii precum histerezis-ul structurilor mecanice. Aceasta se poate face datorită faptului că, spre deosebire de secvenţele Kronecker originale care suferă de o corelaţie neconsistentă dintre dimensiuni care rupe uniformitatea reprezentării, secvenţele modificate Kronecker sunt de înaltă calitate, sunt convergente şi au proiecţii dimensionale uniforme. n plus, acurateţea rezolvării cu algoritmul cvasi-Monte Carlo a ecuaţiilor cu derivate parţiale sau a ecuaţiilor diferenţiale care comportă un grad ridicat de incertitudine, este demonstrată prin comparaţii cu alte metode.

n cazul unei structuri cu amortizare adăugată prin elemente externe ataşate, pentru obţinerea ecuaţiilor de comportament utilizăm conexiunea de tip Visintin dintre ecuaţiile fără amortizare şi un operator histerezis primar. Operatorii histerezis primari la care ne referim aici sunt: operatorul Stop, operatorul Play, operatorul Prandtl-Ishlinski care este o combinaţie în serie ale modelelor Play şi Stop, operatorul Prandtl-Ishlinski care este o combinaţie în paralel ale modelelor Play şi Stop, operatorul generalizat Play, operatorul Play cu limitare, şi operatorul discontinuu de tip releu.

Principalele rezultate originale se pot grupa astfel: Rezultate cu caracter fundamental :

1. Definirea conceptelor fundamentale privind conexiunea dintre metoda cvasi-Monte Carlo şi operatorii histeretici primari;

2. Generarea secvenţelor Kronecker modificate pe baza secţiunii metalice (o generalizare a secţiunii de aur), şi analiza implementării acestor secvenţe în metoda cvasi-Monte Carlo pentru descrierea fenomenului de histerezis al structurilor mecanice;


53

3. Metodă de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale sau a unei ecuaţii cu derivate parţiale cu metoda cvasi-Monte Carlo bazată pe cuplarea metodei diferenţelor finite cu secvenţele Kronecker modificate;

4. Utilizarea secvenţelor Kronecker modificate pentru generarea de date virtuale de tip experimental, bazate pe observaţii experimentale reale.

Rezultate aplicative:

I. Compozit sonic alcătuit dintr-un aranjament 3D de rezonatoare acustice (bare subţiri cilindrice) alcătuite din material piezoceramic care suportă legea de funcţionalitate Reddy, încorporate într-o matrice epoxidică

1. Descrirea modului de reducere sau oprire totală a propagării sunetului (zgomotului) într-o bandă de frecvenţă dorită, numită full bad-gap (bandă totală sau bandă interzisă în care sunetul nu se propagă);

2. Cuplarea metodei LISA (Metoda de simulare a interacţiunilor locale) cu un algoritm cvasi-Monte Carlo cu secvenţe Kronecker modificate pentru descrierea comportării compozitului sonic;

3. Generarea de date virtuale de tip experimental necesare implementării metodei LISA. Datele virtuale de tip experimental se referă la determinarea din măsurări efectuate de observator, a câmpului de presiuni necesare construirii condiţiilor pe frontieră. Din această cauză, condiţiile pe frontieră conţin un grad ridicat de incertitudine.

4. Analiza efectului contactului normal cu frecare la interfaţa rezonator-matrice asupra generării de intervale full band-gaps în compozit;

II. Izolator de tip funie utilizat la conductoarele de linie electrică aeriană (LEA) cu caracteristici histeretice de tip forfecare la excitaţii aleatoare

1. Metodă nouă de descriere a comportării histeretice a izolatorului de tip funie bazată pe modelul Bouc-Wen-Baber-Noori;

2. Rezolvarea sistemulului de ecuaţii ale modelului Bouc-Wen-Baber-Noori cu metoda cvasi-Monte Carlo în care funcţiile test sunt secvenţe Kronecker modificate.

III. Bare elastice echipate cu elemente externe de amortizare confecţionate dintr-un material auxetic

1. Modelarea barei elastice cu modelul Shear care aproximează modelul Timoshenko pentru valori mari ale raportului dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a barei;

2. Determinarea forţei de amortizare ca o medie ponderată a câmpului de viteze în domeniul spaţio-temporal;

3. Rezolvarea problemei de valori proprii cu metoda cvasi-Monte Carlo, cu secvenţe Kronecker modificate şi comparaţii cu secvenţele Kronecker originale şi frecvenţele obţinute cu FEM;

4. Rezolvarea problemei barei Shear cu amortizare adăugată prin metoda Visintin, prin care ecuaţia barei Shear fără amortizare se cuplează cu operatorul generalizat de tip Play;


54

7.2. Listă lucrări Iulian Andrei Girip

Capitol carte Editura Academiei:

1. I. Girip, L.Munteanu, A.Gliozzi, cap.5: Inverse problems in the hysteresis modeling, Inverse Problems and Computational Mechanics, vol.1, Editura Academiei (eds. L.Marin, L.Munteanu, V.Chiroiu), pp.125-146, ISBN: 978-973-27-2146-9, 2011.

Lucrare ISI:

2. V. Chiroiu, C. Brişan, M.A. Popescu, I. Girip, L. Munteanu, On the sonic composites without/with defects, Journal of Applied Physics, 114(16), pp. 164909-1-10, ISSN: 0021-8979, Factor de impact : 2,210, 2013.

Lucrări Baze de date internaţionale:

3. I. Girip, P. Ştiucă, L. Munteanu, On a shape identification problem, Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie de Mecanique Apliquee, 55(3), 211-218, 2010.

4. M. Poienariu, M. F. Ionescu, I. Girip, L. Munteanu, V. Chiroiu, On the damped beams with hysteresis, World Journal of Mechanics (WJM), Scientific Research Publishing, Inc. USA, 1(1), 6-14, 2011.

5. L. Munteanu, V. Moşneguţu, I. Girip, M. A. Popescu, On the influence of density on the wave propagation in fluids, Revue Roumaine des Sciences Techniques – Série de Mécanique Appliquée, 57, 1, pp. 63-70, ISSN: 0035-4074, 2012.

6. I. Girip, Şt. Donescu, M. Poienariu, L. Munteanu, On the behaviour of the hysteretic wire-rope isolators under random excitation, Romanian Journal of Technical Sciences – Applied Mechanics, 58(3), ISSN: 0035-4074, 2013.

7. L. Munteanu, I. Girip, V. Chiroiu, On the tire/road elastic contact, Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, 56(IV), pp. 721-724, ISSN: 1221-5872, 2013.

8. I. Girip, R. Ioan, On the contact interfaces in the sonic composites, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics PAMM, 2014, ISSN: 1617-7061 lucrare prezentată la 85th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM2014), March 10-14, 2014 Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, 2014.

Lucrări Conferinţe şi Simpozioane

9. M. Poienariu, M. F. Ionescu, I. Girip, V. Chiroiu, Numerical modeling and analyzing of the damped beams with hysteresis, Proceedings of the XXIIIth Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics and Session of the Commission of Acoustics SISOM 2011, pp.150-156, 2011.

10. L. Munteanu, M. A. Popescu, I. Girip, V. Chiroiu, On the control of sound and applications, Proceedings of the XXIVth Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics and Session of the Commission of Acoustics SISOM 2012, Bucureşti, 30-31 mai 2012, Editura Mediamira, pp. 329-334, ISSN 2068-0481, 2012.


55

11. I. Girip, St. Donescu, R. Ioan, M. Georgescu, On the nonlinear structural parameter estimation with hysteretic Bouc-Wen nonlinearity Proceedings of the XXVth Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics and Session of the Commission of Acoustics SISOM 2013, Bucureşti, 21-22 mai 2013, Editura Mediamira pp.112-117, ISSN 1843-5459, 2013.

12. I. Girip, R. Ioan, M.A. Popescu, L. Munteanu, V. Chiroiu, On the sonic composites with defects, The 5th International Conference on Computational Mechanics and Virtual Engineering COMEC2013, Braşov, 24-25 octombrie 2013, pp. 171-178, ISBN 978-606-19-0225-5, 2013.

13. L. Munteanu, I. Girip, R. Ilie, On the sonic composites based on auxetic materials, The Twenty-second Annual International Conference on COMPOSITES/NANO ENGINEERING (ICCE-22) July 13-19, Malta, 2014.

14. V. Chiroiu, I. Girip, M. A. Popescu, On the wave propagation in microstructured media, Proceedings of the XXVIth Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics and Session of the Commission of Acoustics SISOM 2014, Bucureşti 22-23 mai 2014.

I. Girip este membru în echipa de cercetare Grant PN II – IDEI – PCE – 2012 – 4 – 0023: Compozite sonice local rezonante cu aplicaţii in mecanică. Coordonator: Institutul de Mecanica Solidelor al Academiei Române. Director proiect: L. Munteanu.

7.3. Direcţii viitoare de studiu

Prezentăm mai jos câteva idei pentru direcţii viitoare de studiu:

1. Studiul arhitecturării pe scări multiple a compozitelor polimerice;

2. Modele noi pentru materiale compozite ierarhice, structurate pe multiple scări metrice (nano-, micro-, macro-), în particular, pentru sistemul carbon-răşină epoxi;

3. Dezvoltarea de coduri şi implementarea lor în sisteme de calcul paralel cu secvenţe Kronecker modificate;

5. Investigarea mecanismelor de deformare pe scări multiple cu scopul de a identifica componentele fizice care determină obţinerea unor proprietăţi deosebite la scară macroscopică.

Anexa Metoda cnoidală Pentru detalii privind această metodă şi modul de aplicare, vezi lucrările

Osborne (1995), Carroll (1991) Dodd et al. (1982), Munteanu şi Donescu (2004).


56

BIBLIOGRAFIE selectivă

F. F. Abraham, Statistical surface physics: a perspective via computer simulation of

microclusters, interfaces and simple films. Rep. Prog. Phys., 45, pp.1113-1161, 1982.

T. T. Baber, Y. K. Wen, Random vibration of hysteretic, degrading systems, J Engng Mech Div ASCE, 107, pp.1069–87, 1981.

V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff, Leyden, 1976.

A. Bezazi, F. Scarpa, Mechanical behaviour of conventional and negative Poisson's ratio thermoplastic polyurethane foams under compressive cyclic loading, International Journal of Fatigue, Vol.29, No.5, pp.922–930, 2007.

M. Bonnet, Shape identification problems using boundary elements and shape differentiation, Proc. of the 2-nd National Conf. on Boundary and Finite Element, ELFIN2 Sibiu, pp.35–48, 1993.

R. Bouc, Forced vibration of mechanical systems with hysteresis, Proc. Fourth Conf. Non-Linear Oscil., Prague, 1967.

M. Brocca, L. C. Brinson, Z. P. Bazzant, Three-dimensional constitutive model for shape memory alloys based on microplane model, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 50, pp.1051–1077, 2002.

R. Burridge, Hung-Wen Chang, Pulse evolution in a multimode, one-dimensional, highly discontinuous medium, Elastic Wave Propagation, M.F. McCarthy, M.A. Hayes, eds., Elsevier Science Publishers B.V., North-Holland 1989.

R. Ceravolo, G. V. Demarie, S. Erlicher, Instantaneous identification of Bouc-Wen-type hysteretic systems from seismic response data, Report Politecnico di Torino, 2006.

B. Cerruti, I. Zapperi, Dynamic hysteresis from zigzag domain walls: Discrete model and Monte Carlo simulations, Phys. Rev. B, 75(6), pp.064416, 2007.

E. Cesaratto, B. Valee, Pseudorandomness of a random Kronecker sequence, in: LATIN 2012: Theoretical Informatics, 10th Latin American Symposium (Arequipa 2012), Lecture Notes in Comput. Sci. 7256, Springer-Verlag, Berlin (2012), pp.157-171.

A. E. Charalampakis, V. K. Koumousis, A Bouc-Wen model compatible with plasticity postulates, Journal of Sound and Vibration, 322, pp.954–968, 2009.

H. Chi, Generation of parallel modified Kronecker seequences, Monte Carlo Methods Appl., 19, pp.261-271, 2013.

C. Chiroiu, Z. Prevorovsky, L. Munteanu, V. Chiroiu, A genetic algorithm for determination the material constants of a viscoelastic monoclinic crystal, Proc. of the Euromech symposium 419 Elastic waves in Nondestructive Testing, Oct. 2000, Praga.


57

V. Chiroiu, D. Iordache, E. Ruffino, M. Scalerandi, Determination of the modulus of dynamic elasticity in thin composite plates by means of LISA, Rev. Roum. des Sci. Techn., tome 43, nr.6, 1998.

V. Chiroiu, P. P. Delsanto, R. B. Mignogna, L. Munteanu, M. Scalerandi, Modelling interfaces: analytical and numerical techniques, Proc. of the 14th World Conference on Non-Destructive Testing, New-Delhi, India, pp.2157-2160, 1996.

V. Chiroiu, C. Chiroiu, Probleme inverse in mecanica, Editura Academiei, Bucuresti., 2003.

V. Chiroiu, St. Donescu, L. Munteanu, V. Moşneguţu, The dynamics of beams with auxetic patches, Proceedings of the International Conference on Advanced Materials for Application in Acoustics and Vibration AMAAV’09, The British University of Egypt 4-6 January, Cairo 2009.

V. Chiroiu, L. Munteanu, St. Donescu, On the beams with external auxetic patches, Advances in Mechanical Engineering, pp.1–10, 2009.

V. Chiroiu, L. Munteanu, V. P. Paun, 2010. On the paddle resonator. Series in Micro and Nanoengineering, Nanostructuring and nanocharacterization, vol.16, pp.83-97, Editura Academiei, 2010.

V. Chiroiu, C. Brişan, M. A. Popescu, I. Girip, L. Munteanu, On the sonic composites without/with defects, Journal of Applied Physics, vol. 114 (16), pp.164909-1-10, 2013.

V. Chiroiu, M. F. Ionescu, T. Sireteanu, R. Ioan, L. Munteanu, On the intrinsic time scale in modeling of hysteretic superelasticity, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 2014.

V. Chiroiu, I. Girip, M. A. Popescu, On the wave propagation in microstructured media, SISOM 2014.

G. R. Cowper, The shear coefficient in Timoshenko's beam theory, Journal of Applied Mechanics, pp.335-340, 1966

M. C. Crandall, T. M. Liggett, Generation of semigroups of nonlinear transformations on general Banach spaces, Amer.J.Math., 93, pp.265–298, 1971.

P. P. Delsanto, V. Chiroiu, T. Sireteanu, L. Munteanu, M. F. Ionescu, A virtual internal bond model for hysteretic media, Revue Roumaine des Sciences Techniqués, serie de Mecanique Appliquée, vol.56, nr.1, 2011.

P. P. Delsanto, A. S. Gliozzi, M. Hirsekorn, M. Nobili, A 2D spring model for the simulation of ultrasonic wave propagation in nonlinear hysteretic media, Ultrasonics, 44, 279–286, 2006.

P. P. Delsanto, M. Scalerandi, A spring model for the simulation of the propagation of ultrasonic pulses through imperfect contact interfaces, J. Acoust. Soc. Am., 104 (5), 1998.

P. P. Delsanto, V. Provenzano, V. H.Uberall, Coherency strain effects in metalic bilayers, J. Phys.: Condens. Matter, 4, pp.3915–3928, 1992.

P. P. Delsanto, T.Whitcombe, H. H. Chaskelis, R. B. Mignogna, Connection machine simulation of ultrasonic wave propagation in materials, I: the one-dimensional case, Wave Motion, 16, pp.65-80, 1992.


58

P. P. Delsanto, R. S. Schechter, H. H. Chaskelis, R. B. Mignogna, R. Kline, Connection machine simulation of ultrasonic wave propagation in materials, II: the two-dimensional case, Wave Motion, 20, 295-314, 1994.

Şt. Donescu, V.Chiroiu, L. Munteanu, On the Young’s modulus of a auxetic composite structure, Mechanics Research Communications, 36(3), pp.294–301, 2009.

Şt, Donescu, L. Munteanu, P. P. Delsanto, V. Moşneguţu, Ch.4: On the advanced auxetic composites, Research Trends in Mechanics, vol.3, Ed. Academiei, 2009.

P. Duhem, The Evolution of Mechanics, Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn (1980). (Original edition: L’évolution de la méchanique. Joanin, Paris, 1903).

R. M. Epenga, D. Frenkel, Monte Carlo study of the isotropic and nematic phases of infinitely thin hard platelets. Mol. Phys., 52, pp.1303-1334., 1984.

A. C. Eringen, Nonlinear theory of Continuous Media, McGraw-Hill, New York, 1962.

K. E. Evans, M. A. Nkansah, I. J. Hutchinson, S. C. Rogers, Molecular network design, Nature, 353, pp.124–125, 1991

J. A. Ewing, Experimental Researches in Magnetism., Philosophical Transactions of Royal Society of London, vol. 176, pp. 523-640, 1885.

M. I. Friswell, S. Adhikari, S., Y.Lei, Vibration analysis of beams with non-local foundations using the finite element method, International Journal of Numerical Methods in Engineering, .71(11), pp.1365–1386, 2007.

G. C. Foliente, Stochastic Dynamic response of wood structural systems, PhD thesis, Blaclsburg, Virginia, 1993.

J. Garcia-Otero, M. Porto, J. Rivas, A. Bunde, Monte Carlo simulation of hysteresis loops of single-domain particles with cubic anisotropy and their temperature dependence, Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 203, pp.268-270, 1999.

H. Gao, P. Klein, A quasicontinuum cohesive model with randomized internal cohesive bounds, Preprint, Division of Mechanics and Computation, Stanford University, March 1997.

H. Gao, P. Klein, Numerical simulation of crack growth in an isotropic solid with randomized internal cohesive bonds, J. Mech. Phys. Solids, 46, pp.187–218, 1998.

G. Gilardi, I. Sharf, Literature survey of contact dynamics modelling, Mechanism and Machine Theory, 37, 1213–1239, 2002.

I. Girip, P. Ştiucă, L. Munteanu, On a shape identification problem, Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie de Mecanique Apliquee, 55(3), pp.211-218, 2010.

I. Girip, L.Munteanu, A. Gliozzi, cap.5: Inverse problems in the hysteresis modeling, Inverse Problems and Computational Mechanics, vol.1, Editura Academiei (eds. L. Marin, L. Munteanu, V. Chiroiu), pp.125-146, ISBN 978-973-27-2146-9, 2011.

I. Girip, Şt. Donescu, M. Poienariu, L. Munteanu, On the behaviour of the hysteretic wire-rope isolators under random excitation, Revue Roumaine des Sciences Techniqués – Série de Mécanique Appliquée, 2013a ISSN: 0035-4074.

I. Girip, St. Donescu, R. Ioan, M. Georgescu, On the nonlinear structural parameter estimation with hysteretic Bouc-Wen nonlinearity, Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics SISOM 2013, Bucureşti, 21-22 mai 2013b.


59

I. Girip, R. Ioan, M. A. Popescu, L. Munteanu, V. Chiroiu, On the sonic composites with defects, The 5th International Conference on Computational Mechanics and Virtual Engineering COMEC2013, Braşov, 24-25 octombrie 2013, pp. 171-178, ISBN 978-606-19-0225-5, 2013c.

I. Girip, R. Ioan, On the contact interfaces in the sonic composites, PAMM, lucrare prezentată la 85th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 2014), March 10-14, 2014 Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, 2014.

M. Giuclea, T. Sireteanu, D. Stancioiu, C. W. Stammers, Model parameter identification for vehicle vibration control with magnetorheological dampers using computational intelligence methods, Proc. Inst. Mech. Eng. 218 Part I: J. Syst. and Control Eng., no.17, pp. 569-581, 2004.

M. Giuclea, T. Sireteanu, A. M. Mitu, Gh. Ghita, Genetic algorithm for parameter identification of Bouc-Wen model., Mecanique Apliquee, no.2, pp.179-188, 2006.

A. S. Gliozzi, L. Munteanu, T. Sireteanu, V. Chiroiu, An identification problem from input-output data, Revue Roumaine des Sciences, 2010.

S. Hirsekorn, P.P. Delsanto, On the Universality of Nonclassical Nonlinear Phenomena and their Classification, Applied Physics Letters, 84, 2004.

K. H. Hunt, F. R. E. Crossley, Coefficient of restitution interpreted as damping in vibroimpact, Journal of Applied Mechanics 42, Series E: 440–445, 1975.

F. Ikhouane , J. Rodellar , Systems with hysteresiz, Analysis, Identification and Control using the Bouc-Wen Model, Wiley, 2007.

M. F. Ionescu, V.Chiroiu, D.Dumitriu, L.Munteanu, A special class of DRIP media with hysteresis, Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie de Mecanique Apliquee, vol.56, nr.1, 2011.

M. F. Ionescu, L. Munteanu, V. Chiroiu, On the KdV equation with hysteresis, World Journal of Mechanics (WJM), Scientific Research Publishing, Inc. USA, 2011a.

M. F. Ionescu, L. Munteanu, V. Chiroiu, ch.7: Inverse problems associated with Bouc-Wen models, in Inverse Problems and Computational Mechanics, vol.1, Ed.Academiei, editori:. L.Marin, L.Munteanu, V.Chiroiu, Editura Academiei, 2011b.

M. F. Ionescu, L. Munteanu, V. Chiroiu, On the hysteresis operators, Annual Symposium of the Insatitute of Solid Mechanics (SISOM2011), 2011c.

W. D. Iwan, L. G. Paparizos, The stochastic response of strongly yielding systems. Probabilistic Engng. Mech., 3, pp.75–82, 1988.

S. John, Strong localization of photons in certain disordered dielectic superlattices, Physical Review Letters, 58, 23, pp.2486, 1987.

K. L. Johnson, Contact Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

A. E. Kaplan, Hysteresis reflection and refraction at the nonlinear interface- a new class of nonlinear optics, JETP Lett., 24, 114–117, 1976.

A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the theory of dynamical systems, Cambridge University Press, 1998.


60

Y. Komura, Nonlinear semi-groups in Hilbert space, Journal of the Mathematical Society of Japan, 19(4), pp.493–507, 1967.

J. Kopfová, Entropy condition for a quasilinear hyberbolic equation with hysteresis, Differential and Integral Equations, 18(4), pp.451–467, 2004.

J. Kopfová, Nonlinear semigroup methods in problems with hysteresis, Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement, 5, pp.80–589, 2007.

M. Krasnoselskii, A. Pokrovskii, Systems with Hysteresis, Springer-Verlag, New York, 1989.

M. Krasnoselski, A. Pokrovski, Systems with Hysteresis, Nauka, Moscow, 1983.

P. Krejci, Convexity, Hysteresis and Dissipation in Hyperbolic Equations, Gakkotosho, Tokyo 1997.

A. Ktena, C. Manassis, Preisach Hysteresis Modeling and Applications, Proceedings of the 2006 IASME International Conference on Energy & Environmental Systems, Chalkida, Greece, May 8-10, pp.232–236, 2006.

R. S. Lakes, Experimental micro mechanics methods for conventional and negative Poisson's ratio cellular solids as Cosserat continua, J. Engineering Materials and Technology, 113, pp.148–155, 1991.

RY. Lei, M. I. Friswell, S. Adhikari, A Galerkin method for distributed systems with nonlocal damping, International Journal of Solids and Structures, 43, pp.3381–3400, 2006.

J. E. Lennard-Jones, On the Determination of Molecular Fields, Proc. R. Soc. Lond. A, 106 (738), 463–477, 1924.

D. Levi, O. Ragnisco, Dressing Method and Bäcklund and Darboux Transfomations, CRM Proceedings and Lecture Notes, Centre de Recherches Mathématiques, vol.29, pp.29–51, 2001.

Y. Li, The anisotropic behavior of Poisson's ratio, Young's modulus, and shear modulus in hexagonal materials, Phys. Status Solidi A, 38, pp.171–175, 1976.

J. M. Liu, Z. G. Liu, Dynamic hysteresis for Potts spin system : a Monte Carlo simulation, Applied Physics A: Materials Science & Pprocessing, 70(1), pp.113-120, 2000.

S. E. Lyshevski, Nano- and microelectromechanical systems, Fundamentals of Nano- and Microengineering, CRC Press, 2000.

L. W. Malvern, Introduction to the Mechanics of a Continuum Medium, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969.

A. Makino, W. R. Hamburgen, J. S. Fitch, Fluoroelastomer pressure pad design for microelectronic applications, Western Research Laboratory, Research Report 93/7, 1993.

M. Mascagni, A. Srinivasan, Algorithm 806: SPRNG: A Scalable Library for Pseudorandom Number Generation, ACM Transactions on Mathematical Software, 26, pp. 436-461, 2000.


61

K. McCall, R. Guyer, A new theoretical paradigm to describe hysteresis, discrete memory and nonlinear elastic wave propagation in rock, Nonlinear Proc. Geophys, 3, pp.89, 1996.

I. R. McDonald, Monte Carlo calculations for one- and tow component fluids in the isotermal-isobaric ensamble. Chem. Pfys. Lett., 3, pp.241-243, 1969.

P. Meyer, Computational Studies of Pure and Dilute Spin Models, Scool of Mathematics and Computing Universitz of Derby, 2000.

M. Mihailescu, V. Chiroiu, Advanced mechanics on shells and intelligent structures, Ed. Academiei, Bucharest, 2004.

A. M. Mitu, Contribuţii la studiul comportării dinamice a sistemelor cu caracteristici de tip histeretic, Teza de doctorat, Institutul de Mecanica Solidelor, 2010.

A. M. Mitu, Teză de doctorat, Contribuţii la studiul comportării dinamice ale sistemelor cu caracteristici de tip histeretic, Academia Română, Institutul de Mecanica Solidelor, 2010.

T. Miyashita, Full band gaps of sonic crystals made of acrylic cylinders in air-numerical and experimental investigations, Japanese Journal of Applied Physics, 41, pp.3170-1-3175, 2002.

L. Munteanu, St. Donescu, Introduction to Soliton Theory: Applications to Mechanics, Book Series Fundamental Theories of Physics, vol.143, Kluwer Academic Publishers, 2004.

L. Munteanu, P. P. Delsanto, D. Dumitriu, V. Moşneguţu, V., ch. 8: On the characterization of auxetic materials, Research Trends in Mechanics, vol. 2, Ed. Academiei (eds. D. Popa, V. Chiroiu, I. Toma), pp.205–234, 2008a.

L. Munteanu, V. Chiroiu, D. Dumitriu, M. Beldiman, On the characterization of auxetic composites, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information Science, Vol.9, No.1, 33–40, 2008b.

L. Munteanu, V. Chiroiu, D. Dumitriu, D. Baldovin, St. Donescu, C. Chiroiu, On the eigenvalues optimization of Euler-Bernoulli beams with nonlocal damping pathes, Révue Roumaine des Sciences Techniques, série de Mécanique Appliquée, 54(1), pp.53–66, 2009.

L. Munteanu, V. Chiroiu, On the dynamics of locally resonant sonic composites, European Journal of Mechanics-A/Solids, 29(5), pp.871–878, 2010.

L. Munteanu, D. Dumitriu, V. Chiroiu, Geometric transformations in designing new materials, Revue Roumaine des Sciences Techniques – Série de Mécanique Appliquée, 56(3), 2011.

L. Munteanu, Nanocomposites, EdituraAcademiei, 2012.

L. Munteanu, V. Moşneguţu, I. Girip, M. A. Popescu, On the influence of density on the wave propagation in fluids, Revue Roumaine des Sciences Techniques – Série de Mécanique Appliquée, 57, 1, pp. 63-70, ISSN: 0035-4074, 2012.

L. Munteanu, M. A. Popescu, I. Girip, V. Chiroiu, On the control of sound and applications, Proceedings of the XXIIIth Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics and Session of the Commission of Acoustics SISOM 2012, Bucureşti, 30-31 mai 2012, Editura Mediamira, pp. 329-334, ISSN 2068-0481, 2012.


62

L. Munteanu, V. Chiroiu, On the modeling of a sonic liner subjected to acoustic loads, Mathematics Engineering, Science and Aerospace MESA, 4(3) 105-112, 2013.

L. Munteanu, I. Girip, V. Chiroiu, On the tire/road elastic contact, Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, 56(IV), pp. 721-724, 2013.

L. Munteanu, V. Chiroiu, Şt. Donescu, C. Brişan, A new class of sonic composites, Journal of Applied Physics, vol.115, pp. 104904-1-11, 2014.

L. Munteanu, I. Girip, R. Ilie, On the sonic composites based on auxetic materials, The Twenty-second Annual International Conference on COMPOSITES/NANO ENGINEERING (ICCE-22) July 13-19, Malta, 2014.

The official US Navy Web Site, Code 6353, 2000. System design and integration section multifunctional materials branch, Naval Research Laboratory, Washington.

O. D. Nwokah, Y. Hurmuzlu (eds.), Mechanical systems design handbook, The Modeling, Measurement, and Control, ch. 24, CRC Press, 2001.

A. K. Padthe, N. A. Chaturvedi, D. S. Bernstein, S. P. Bhat, A. M. Waas, Feedback Stabilization of Snap-through Buckling in a Preloaded Two-Bar Linkage with Hysteresis, Int. J. Non-Linear Mech., vol. 43, pp. 277-291, 2008a.

N. C. Plăviţu, Fizica fenomenelor termice, (Partea a II-a, Note de Curs), pag. 56, Editura Hyperion XXI, Bucureşti, 1992.

M. Poienariu, M. F. Ionescu, I. Girip, L. Munteanu, V. Chiroiu, On the damped beams with hysteresis, World Journal of Mechanics (WJM), Scientific Research Publishing, Inc. USA, 1(1), pp.6-14, 2011a.

M. Poienariu, M. F. Ionescu, I. Girip, V. Chiroiu, Numerical modeling and analyzing of the damped beams with hysteresis, Proceedings of SISOM & ACOUSTICS 2011, pp.150-156, 2011b.

V. Preda, M. F. Ionescu, V. Chiroiu, T. Sireteanu, A Preisach model for the analysis of the hysteretic phenomena, Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie de Mecanique Apliquee, vol.55, nr. 3, 2010.

J. N. Reddy, C. M. Wang, S. Kitipornchai, Axisymmetric bending of functionally graded circular and annular plates, European Journal of Mechanics-A/Solids, 18, pp.185–199, 1999.

J. B. Roberts, P. D. Spanos, Random vibration and statistical linearization, Chichester, John Wiley and Sons, 1990.

C. Rubio, D. Caballero, J. V. Sánchez-Pérez, R. Martínez-Sala, J. Sánchez-Dehesa, F. Meseguer, F. Cervera, The existence of full gaps and deaf bands in two-dimensional sonic crystals, Journal of Lightwave Technology, 17, 11, pp.2202–2207, 1999.

L. Sarkisov, P. A. Monson, Hysteresis in Monte Carlo and Molecular Dynamics Simulations of Adsorption in Porous Materials, Langmuir, 2000, 16 (25), 9857–9860, 2000.

F. Scarpa, J. A. Giacomin, A. Bezazi, W. A. Bullough, Dynamic behaviour and damping capacity of auxetic foam pads, SPIE Proc. Smart Structures and Materials 2006: Damping and Isolation (eds. W. W. Clark, M.A hmadian, A. Lumsdaine), 6169, 2006.


63

T. Sireteanu, M. Giuclea, A. M. Mitu, An analytical approach for approximation of experimental hysteretic loops by Bouc-Wen model, Proc. of Ro. Acad., Series A, 10, no.1, 2009a.

T. Sireteanu, M. Giuclea, A. M. Mitu, On the fitting of Bouc-Wen model by genetic algorithms, Rev.Roum.Sci.Techn.-Méc.Appl., vol.54, no.1, 2009b.

T. Sireteanu, M. Giuclea, A. M. Mitu, Identification of an extended Bouc-Wen model with application to seismic protection through hysteretic devices, Computational Mechanics, Springer Berlin, 2010.

B. F. Spencer, Reliability of Randomly Excited Hysteretic Structures New York: Springer-Verlag, 1986.

B. F. Spencer, S. S. Dyke, M. F. Sain, Phenomenological model of a magnetorheological damper, J. Engr. Mech., martie 1996.

N. D. Stănescu, L. Munteanu, V. Chiroiu, N. Pandrea, Sisteme dinamice. Teorie si aplicatii, vol.1 şi 2, Editura Academiei, 2007, 2011.

N. G. Stephen, On the variation of Timoshenko's shear coefficient with frequency, ASME Journal of Applied Mechanics, pp 695-697, 1978.

I. Stoleriu, Statistica prin Matlab. Note de curs - Facultatea de Matematică, Universitatea “Al. I. Cuza” Iaşi, 2000.

S. P. Timoshenko, On the transverse vibrations of bars of bars of cross-section, Philosophical Magazine, pp.125, 1922.

A. Visintin, Quasi-linear hyperbolic equations with hysteresis. Ann. Inst. H. Poincaré, Nonlinear Analysis, 19, pp.451–476, 2002.

A. Visintin, Homogenization of some models of hysteresis, Physica B 403, pp.245–249, 2008.

P. N. Voronstov-Vel’yaminov, A. M. El’y-Ashevich, L. A. Morgenshtern, V. P. Chakovskikh, Investigations of phase transitions in argon and coulomb gas by the Monte Carlo method using an the isotermally-isobaric ensamble. High Temp (USSR) 8, 261-8, 1970.

Y. K. Wen, Method for random vibration of hysteretic systems, J. Engr. Mech., vol. 102, pp. 249-263, 1976.

P. Weiss, Prof. Dr. Heinrich Friedr. Weber. 1843–1912, Schweizerische Naturforschende Gesellschaf. Verhandlungen, 95, pp. 44–53, 1912.

D. Winnicki, Wycena opcji metodą Quasi – Monte Carlo, 2008.

W. W. Wood, Monte Carlo studies of simple liquid model. In Physics of simple liquids. (ed. H. N. V. Temperly, J.S.Rowlinson and G.S.Rushbrooke), pp.115-230, Nord Holland, Amsterdam, 1968a.

W. W. Wood, Monte Carlo calculations for hard disks in the isotermal-isobaric ensamble. J. Chem. Phys. 48, 415-34, 1968b.

W. W. Wood, NpT-ensamble Monte Carlo calculations for hard disks in the isotermal-isobaric ensamble. J. Chem. Phys. 52, 729-41, 1970.

algoritmi computa ţionali şi experimentali de tip monte ... · pdf filealgoritmi...

Documents