metoda monte carlo acul lui buffon

25
Statistica si Probabilitati Metoda Monte Carlo Acul lui Buffon

Upload: realpaladin

Post on 03-Jul-2015

990 views

Category:

Documents


30 download

TRANSCRIPT

Page 1: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Statistica si ProbabilitatiMetoda Monte Carlo

Acul lui Buffon

Page 2: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Descriere

In cele ce urmeaza vom urmari o scurta aplicatie a Metodei Monte Carlo in Statistica, precizand faptul ca acest gen de metoda esti foarte raspandita in multe alte domenii, inclusiv cel ingineresc. In aceasta scurta prezentare vom parcurge mai multe etape, pornind de la o notiune de concept si pundand in practica cu ajutorul softwear-ului (limbajelor de programare).

Aplicatia se va numi Acul lui Buffon, si are la baza conceptul de aproximare al numarului Pi, cu ajutorul Metodei Monte Carlo, Buffon fiind matematicianul francez al sec XVIII care a dezvoltat acest concept.

Page 3: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Metode Monte Carlo

Metode stohastice: se bazeaza pe numere aleatoare, probabilitati si statistica

Larg raspindite: de la economie, la fizica nucleara, reglementarea traficului rutier

Modul de aplicare difera de la domeniu la domeniu Chiar in cadrul statisticii exista zeci de subtipuri si tehnici MC Analiza Monte Carlo: Metoda matematica folosita pentru a gasi

solutia aproximativa a unei probleme complexe. Foloseste calcule repetate si numere aleatorii pentru a defini intervalul in care s-ar gasi solutia cea mai probabila. Aceasta metoda se poate folosi pentru stabilirea probabilitatii de manifestare a riscurilor.

Page 4: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Limbajul de programare MATLAB

MATLAB(de la Matrix Laboratory) este un mediu de dezvoltare pentru calcul numeric si analiză statistică care conţine limbajul de programare cu acelaş nume, creat de MathWorks. MATLAB permite manipularea matricilor, vizualizarea funcţiilor, implementarea algoritmilor, crearea de interfaţe si poate interacţiona cu alte aplicaţii. Chiar daca e specializat in calcul numeric, exista pachete care îi permit sa interacţioneze cu motoarele de calcul simbolic gen Maple. Un pachet adiţional, Simulink, oferă posibilitatea de a realiza simulări a sistemelor dinamice şi îmbarcate utilizând modele matematice. MATLAB e utilizat pe larg in industrie, în universitaţi şi e disponibil cross-platform, sub diverse sisteme de operare: Windows, GNU/Linux, UNIX şi Mac OS.

Istorie

Abrevierea MATLAB a fost creată la sfârşitul anilor ' 70 de catre Cleve Moler, preşedintele departamentului de informatică a Universităţii din New Mexico. Iniţial creat pentru a permite accesul studenţilor săi la librăriile LINPACK şi EISPACK, fără necesitatea de a studia limbajul FORTRAN, in curand se răspândi in alte universităţi găsind un public larg în domeniul matematicii aplicate. Jack Little, inginer de formaţie, a intrat in contact cu MATLAB in timpul unei vizite a lui Moler la Universitatea Stanford in 1983. Riconoscând imediat potenţialul său comercial, se uni cu Cleve Moler si Steve Bangert rescriindu-l in limbajul C. In anul 1984 au fondat MathWorks continuând dezvoltarea aplicaţiei.

Page 5: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Acul lui Buffon

Georges-Louis Leclerc de Buffon

Georges-Louis Leclerc, baron de Buffon (n. 7 septembrie 1707 - d. 16 aprilie 1788) a fost naturalist, matematician, biolog şi scriitor francez. Preocupările sale multiple s-au concretizat printr-o operă (nu numai teoretică, ci şi practică) ce a influenţat decisiv generaţiile următoare de naturalişti, printre care Jean-Baptiste de Lamarck şi Charles Darwin.

Acul lui Buffon Acest exemplu se bazează pe un experiment celebru, dar nu unic, de

estimare a constantei pi folosind simulările probabilistice. Presupunem o suprafaţă plană, pe care vom trasa linii orizontale, paralele, la distanţa unitară. Daca aruncăm un ac de lungime 1, aleator, pe această suprafaţă, putem observa de câte ori acul intersectează una din linii.

Page 6: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Aplicatia: Acul lui Buffon in Matlab

Fie: d = distanţa de la centrul acului la cea mai apropiată linie; theta = unghiul ascuţit între ac şi cea mai apropiată linie; cu 0<= d <=1/2 şi 0<= theta <= pi/2 Acul intersectează cea mai apropiată linie, dacă distanţa de la centrul sau la

linia intersectată este: d <= 1/2, adică . Vom presupune, în continuare, că atunci când aruncăm acul, perechea

(theta, d) este aleasă la întâmplare , în dreptunghiul:0<= theta <= pi/2, 0<= d <=1/2. Probabilitatea producerii evenimentului E (intersectarea acului cu o linie)

este P(E)={d<=1/2sin(theta)} şi reprezintă o fracţiune din suprafaţa dreptunghiului, în interiorul căruia putem delimita suprafaţa E: - suprafaţa dreptunghiului: - suprafaţa E: Probabilitatea: .

Page 7: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

În continuare se prezintă programul de simulare a experimentului Buffon în vederea estimării numărului pi (pi=2/P(E)). Ulterior se va arăta că pentru acest gen de estimare eroarea nu va fi mai mare ca 5/sqrt(n), unde n reprezintă numărul de aruncări ale acului:

% Experimentul:"Acul lui Buffon" folosit pentru estimarea constantei pi nr_incercari=input(' Num?r încerc?ri : '); c=0;x3=[1:1:nr_incercari];for m=1:nr_incercaric=0; for n=1:nr_incercari d=(1/2)*rand; theta=(pi/2)*rand; if d<=((1/2)*sin(theta)) c=c+1; end; end; nr=2*nr_incercari/c; hold on; plot(m,nr,'o');end; disp(' Estimarea lui pi ='); disp(2*nr_incercari/c);

Page 8: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Programul in Matlab

Page 9: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Numar de aruncari = 3

Page 10: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Numar de aruncari = 10

Page 11: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Dupa 50 de aruncari

Page 12: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Dupa 200 de aruncari…

Page 13: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

O mie de aruncari…

Page 14: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Numar de aruncari = 5.000

Page 15: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

30.000 de aruncari …

Page 16: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Concluzii

In matlab cu ajutorul graficelor se arata foarte elegant cum prin repetarea algoritmului de aproximare a numarului Pi, dupa un numar cat mai mare de aruncari cu atat aproximarea acestei valori fundamentale este mai precisa de cea adevarata, fapt ce arata ca experimentul este foarte util in calcularea sau mai bine spus aproximarea valorii Pi. Proportionalitatea dintre numarul de aruncari si numarul de aproximare arata stransa legatura intre aceste doua relatii.

Page 17: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Aplicatia Acul lui Buffon ilustrat

Fig 1. podeaua pe care se va face experimentul se va considera acest patrat trasat de linii orizontale plasate la aceeasi distanta una fata de cealata iar acul va avea lungimea egala cu dinstanta dintre aceste linii (va avea distanta unitara).

Page 18: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Primul ac

Oricauri ac care va atinge podeaua si va intersecta o linie a acesteia I se va atribui o anumita valoare in cazul de fata cuprinsa intre 3,04 si 3,24. Vom lua ca centru a acestor doua valori, punctul 3,14 (estimat ca fiind numarul Pi)

Page 19: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Dupa un numar de ace…

Pai dupa un anumit numar de ace, in partea dreapta vom construi cu fiecare cadere un grafic, asemanator cu cel al unei functii, in cazul de fata dupa un numar de 30 de incercari graficul nostru tinde sa se indrepte treptat catre valoarea de centru…dupa mai multe incercari graficul va arata astfel:

Page 20: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Dupa 554 de aruncari

Dupa un numar de 554 de aruncari la intamplare ale acului de pe masa, precizand faptul ca acul a cazut de fiecare data de la aceeasi distanta, vom incepe sa constatam un fapt (un fenomen) destul de interesant, vom observa ca valorile pe care o ia functia tind sa ne apropie de centrul intervalului stabilit precedent, adica de numarul Pi

Page 21: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Dupa o mie de aruncari…

Dupa aproximativ o mie de aruncari lucrurile se pronunta vizibil, concret si ne ofera o mai buna intelegere a procesului care implicit ne ridica un semn de scepticism…

Page 22: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Doua mii de aruncari…

Mai precis 2344 graficul functie ne arata cum acest proces …aplicat recursiv de sute, chiar mii de ori ne aduce mai aproape de aceea aproximare pe care Buffon a gasit-o numarului Pi.

Page 23: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Trei mii de repetari…

Acest experiment a fost realizat teoretic de Buffon in sec al XVII-lea si cu tehnologia moderna de astazi il putem studia chiar practic si faptul ca ceea ce a spus Buffon se adevereste ne arata inca o data cat de veche este aceasta stiinta, aceasta ramura a firii umane,cea matematica; Uimitor graficul tinde catre Pi, catre aproximarea acestuia, cu numarul 3,10103…

Page 24: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Dupa multe multe repetari…

Mai exact 4535 putem trage o concluzie, aceea ca matematicianul Buffon in teorie a aproximat numarul pi cu acest proces…mai exact cu valorile care survin in urma acestui proces de cadere a acului pe podea, fiind un proces probabilistic, statistic, Acul lui Buffon a deschis multe posibilitati in vasta lume a stiintei.

Page 25: Metoda Monte Carlo Acul Lui Buffon

Bibliografie

Nume : Arva Mihai Catalin Student: Univ. Pit. Ing. Electrica IE 1.1.3 Prof. Coord. : Cazacu D. Dumitru (Statistica si Prelucrarea

datelor experimentale)

Sursa informatii : Java mapple Monte Carlo Methods Matlab