CUCU Hortensiu-Liviu

Anca GabrielaPOPA

TEORETTCE APLTCATTI STNTEZE 9rde MATERIALELOR REZISTENTAPartea ll-a a

t"1', .rr.r

-i'li;ii.ii, .':'' ( i.l ;: '

'

i

iiri:

i.,X ij':-i, )il:

".J"^-i"!49*-*(q*MEDIAMIRA 2006

7{CUCU $ef lucriri dr. ing.Hortensiu-Liviu POPA dr. Conferenliar ing.AncaGabriela MATERIALELOR I CE s INTEZETEORETT $l APLICATI DE REZISTENTA

prof. PANTEL Referen{igtiinlifici: dr. ing.Eugen prof^ ing.lronim dr. MARTIAN prof.dr. ing"Adrian Mircea IOANI Tehnoredactarea:

,ILttttlts. t D--

/lL

A

S.R.L. Design" S.C.,,LI L Structural raldesign. ro I Website:www.ilstructu-a

. -TRUCTURhL Corectura: Grafica: Coperta: Autorii Peter VIRAG Autorii

EDITURAMEDIAMIRA str. Horeanr.47-4911 400275Cluj-Napoca c.P. 117.O.P.1Descrierea CIP a Bibliotecii Na{ionale a Romfiniei

cucu, HORTENSIU-LMUSinteze teoretice Ei aplica{ii de rezisten{a materialelor / Hortensiu-Liviu Cucu,Anca Gabriela Popa.- Cluj-Napoca: Mediamira,2006 284p.;2Ax29cul.. Bibliogr. ISBN (r3) 978-973-713-097-6 ISBN (10) 973-713-097-9; I. Popa,Anca Gabriela 539.4(075.8X076)

CopyrightO 2006 din integrald sau parfial5a textuluisau ilustraliilor acest volum este Reproducerea posibild numai cr: acordul prealabilscris al autorilor.

\-

CUPRINScapitolul1: COMPUSE SoLICITAR|1 3 3 13 34eo ug

....... 1.1.lntroducere 1.2.lncovoierecu efort axial . ' 1.2.1. incovoiereoblicdcu efort axial Exemplede calcul

dreapticu efortaxial 1.2.2.incovoiereExemplede calcul 1.3.lncovoiereoblici 1.3.1, incovoiereoblicdcu forte coplanare Exemplede calcul

cu oblicd fortenecoplanare 1.3.2.lncovoiere de Exemple calculProblemepropuse

54 54 63 75 80 95

capitolul 2:

Oe STAREAGENERALA SOLICITARE pland ....... de 2.1, Starea tensiunesPaliali 2.2. Starea tensiune de spatiald de 2.3.Starea deformafie ...".......' elastice intreconstantele Legdturi 2.4. .......... de 2.5.Teorii rezistenle de Exemple calcul propuse Probleme

102 103 104 '105 106 109 116

3: Gapitolul

ENERGETICE METODE

119 .......... 3.1.Introducere 118 Mdrimienergetice 3.1.1. i21 ..,.,...... energetice 3.i.2. Teoreme 124 energetice.......... metodelor 3.2.Aplicatiiale din structurilor punctde vedereal graduluide 3.2.1. Clasificarea 124 nedeterminarestatici metodelorenergetice la sisteme static determinate 126 3.2.2. Aplicarea staticdeterminate sistemelor 3.2.2.1 Calcululdeplasdrilor 126 aplicdndTeoremaI a lui Castigliano ' 128 Exemplede calcul staticdeterminate 3.2.2.2.Calcululdeplasirilorsistemelor 137 aplicindformulalui Maxwell-Mohr -"..... 141 Exemplede calcul 147 la 3.2.3.Aplicareametodelorenergetice sistemestaticnedeterminate teoremeiluiMenabrea 149 AnalizaSSND prinaplicarea 3.2.3.1. 150 de ExemPle calcul AnalizaSSND utilizdndmetodaforlelor(sau metoda 3.2.3.2. 152 eforturilor) 153 de ExemPle calcul 162 Problemepropuse

_-t

"fPESTELIMITADE ELASTICITATE BARE SOLICITATE

Gapitolul 4:

165 4'l.Proprietdli|emecanicealemateriale|orgiipoteze.deca|cul'.'..'.''...... 167 pe secliune i.2.. niiir.^pbst-elastici a stiriide solicitare 167 post-elastic in axialA domeniul 4.2.1.Solicitarea 167 post-elasticd 4.2.2. Incovoierea 169 de calcul ExemPIe 170 incircdrilorlimitd """" 4.3. Determinarea 171 4.3.1.Metodacinematicd 173 axial """" de 4.3.2.Sisteme baresolicitate 173 siaticdeterminate"""" 4'g'2.1.Sisteme 173 de ExemPle calcul 174 4 -3'2'2'Sistemestaticnedeterminate" "' : " " "'' "' 174 de ExemPle calcul """' 178 drepteincovoiate 4.3.3. Calcululplastical barelor 178 staticdeterminate """'" Sisteme 4'9.2.1178 Exemplede calcul 186 4.3.2.2' Sistemestaticnedeterminate 186 Exemplede calcul 196

Prcblerne Prcpuse

Capitolul 5:

FLAMBAJUL BAREI DREPTE 199 199 200 203 206 214 217 222 227 233

..'....' 5 .1.Introducere FlambajulsimPlu 5.2. 5 .3'Ca|cululpractic!aflambaj. ' , . ' . ' . . : ' ' . . . . . axe """"" cu bectiuni ambele materiale 5.3.1. calcul de ExemPle si o Secfiunicu axdmateriali unaimateriald 5.3.2. de ExemPle calcul cu la " solicitate incovoiere compreslune ' ' barelor 5.4.FlambajulExemplede calcul

Probleme Propuse Gapitolul 6: CALCULUL PRAGTIC LA $OC

6.1,Introducere ".".".. dinamic coeficientului 6.2.Evaluarea 6.2.1. vertical $oc 6.2-2. $oc orizontal la girigiditate goc rezistenfd 6.3.CalcululdeExemplede calcul

Probleme ProPuse

239 244 244 241 241 2M 252

AnexeAnexa 1 1.1. Mdrimimecanicegi unitili de misuri

1.2.Denurnirile simbolurile prefixelor pentru formarea 9i gi multiplilorsubmultiplilor uzuali Anexa2 pentru 2.1.Rezistenle calcul de construc{ii civile, gi industriale agricole olel(STAS din 1010810 ,......... - 78) 2.2.Rezistenle gide caracteristice calcul (valoride bazd) ale betoanelor obignuite 2.3.Rezistenle rupere, de limite curgere, de rezistente calcul.... de gi 2.4.Moduli elasticitate coeficienti contraclie de de transversali ... Anexa3 pentru profilul 3.'l. Caracteristici cornier aripiega|e........ cu . pentru profilul............... 3.2.Caracteristici | pentru profilul .............. 3.3.Caracteristici U geometrice secliunilor Anexa4 Caracteristici ale simple ..... Anexa5 Diagrame moment de simple

255 255

256 257 258 259 260 262 263 264 265

gipoziliile Anexa6 Rezultantele greutate pentru centruluide diagramele d e moment simple ........:...... . . 266 Anexa7 Formule integrare de numerici (regula luiVeregciaghin) ......... 267 Anexa8 pentru 8.1,Coeficienli stabilirea lungimii flambaj de 8.2.Coeficienli profil depe 8.3. Tncadrarea curbelede flambaj

8.4.Coeficienli , f pentru OL37 otel e

268 269 270 271

Anexa9 Coeficienli pentru c corectarea momentelor ordinul ........ 272 de ll Anexa10 Valorimaxime sdgefilor ale pentru cAteva tipurideTncirciri simple 273 274

Bibliografie selectivi

__e

Rezlstenta matedalelor ll

Capitolul1

COMPUSE SOLIEITAru1.1INTRODUCEREca materialelor fiind in Soticitareasimptda fostdefinitd primapartea Rezistenlei tip de tensiunilor acelagi (o sau t) nu necesitd pentru caredeterminarea aceasolicitare intri simple solicitirilor in eforturilor. categoria ale de suprapuneri efecte componentelor (solicitarea curentd secliunea efortnenulin pentru careavemun singur toatesolicitirile in purdgi torsiunea). cazulin care existi doud simplS incovoierea axiald, forfecarea, e{ectulacestoraeste diferit unul simpld cu lunecare), eforturinenule (incovoierea simplecare t tangenliale . Solicitirile o, produce normale iar celilalt tensiuni tensiuni 1.1' in sunt de aparin elementele construQii sintetizate Tabelul fn cele ce urmeaz6,vom prezentasoltcftirtb compuse, deci acele solicitdri (in efectulacestora curentdaparcel pulindoui eforturinenule, pentrucareln secliunea Mai exact,vom trata acele solicitiri care se producin mod fiind acetagi. tensiuni) (oblici gi dreapti)cu efort incovoierea de in frecvent elementele constru{ii,gi anume: oblici (cufo(e coplanare necoplanare)' 9i axial gi Tncovoierea unor revenim asupra pentruo maibuni inlelegere noliunilor vorfi introduse, ce a cd Presupunem materialelor. deia ficute in parteaintii a Rezisten{ei consideralii la sistemulde axe pe de o analizdm sec{iune o formi oarecare, care o raportdm axa O de greutate al secliunii, Oy orizontald, ln yOz, avAnd originea centrul ortogonal (figura 1.1)' iaraxaOz verticalSyo -.vr_-.> v

l

tt

. ----? ,o ' .zo -l

1.1 Figura Fald de acest sistemde axe central,se pot calculamomentelede ine(ie axiale

t, = fz'oA 9i l. = Jy'dA, AAgi de precum momentul ine(iecentrifugal lo = Jy'z dA .

-.2

/ r'ill materialelor Rezistenla

axe Pentru o rotirecu un unghi ct a sistemuluide axe, se obline un alt sistem de loo . Din (y"oz"), fa!6 de care valorile acestor momente de ine(ie vor fi lro , lro , la valori extreme mullimeainfinitda valorilorunghiuluia, existi o valoarecr"ce conduce respectivnula ale momentelorde inerfieaxiale (maximi pentru l, 9i minimSpentru lr), pentru momentulde inerlie centrifugallo. Sistemulde axe astfel oblinut poaftd numele de de srstem principal central, iar valorilemomentelorde inerlie axiale calculatefali acesta,av6nd valori extreme,se numesc momente principale de inerfie' Este de relinutfaptul cA, daci secliuneaare o axi de simetrie,acea axi este una pe ea. Planele din axele sistemuluiprincipalcentral, cealalti fiind perpendiculari planele(xOy)qi fonnatede o axi principalicentrali (Oy sau Oz) cu axa barei(Ox),deci (xOz)se numesc PlanePrinciPale.

Nr. crt.1.

Tabelul 1.1 - Solicitirisimple in elementelede construclii Condilii de rezisGnti Tensiuni Efort nenul Solicitare Solicitiri axiale a. intindere

N.

N"

" -= A ;

=Y;.* lo,l,"*

b. compresiuneP .-->

?.

Forfecare

T,

T'

I t._l - lT.l,*< n, | ^4lmaxA",

3.

incovoiere simpl6My

o*=M, T'.(Navier) M., o,-i.= (Navier)T' ' S ,r,

lrrlI =L#TL (o".*u* 0 9i o^,*,n 0 ), 9i se impun diferite semne

N, inr

s R' Io"'""

n" tlo",,"l=

(1 . 1 4 )

b) daci axa neutrd este situati in afara secliunii 9i (o*'."')' br) ambele tensiuni extreme sunt intinderi (O 0 (efortul @bservafie:

ill

g

atuncilo,l,"*= io-.'"1' axialestede compresiune), dacdN, < 0 (efortul 9i are transversali doui axe de simetrie secliunea curente, in cazulaplicaliilor valorile secliune, (figura1.4).Penhuo astfelde poatefi inscrisi intr-undreptunghi normaleapar in punctele"M" 9i "m"' maximi respectivminimd ale tensiunilor ale opuse dreptunghiuluivorfi datede: 9i diagonal colluri reprezentand

t " f f i =N" rlM,iv lt.,J A = [ w r - lM,l)

(1.18)

ffi Waz

:_.-q.._

v

: :fz

1.4 Figura

Rezistenfamaterialelorll

daci sdu (1.18) semnul (,,+" cu in axialNxse introduce relalia Efortul @bservafie: in i-1. o o reprezintd intindere ,,-" 9i daci N, reprezinti compresiune), timpce momentele ;ncovoietoare introduc valoare absolutd. in segeometrice Exemplu: Si presupunemci eforturileseclionale9i caracteristicile au ale secliuniitransversale astfelde valoriincAt

l N "=6 5 N =, lA mm'

N1 I n n' , l * l n a . l = 1= b "Wr W' mm' tensiunea conform observalieienun{atemai sus, dacd N" > 0 (intindere),atunci extremi va fi pozitivi 9i va avea valoarea = Gx.,a* 65 +115= 180# minimd in iimp ce valoarea =65-115=-59-\ ox,min mm' are semn contrar' este mai micd - Tnvaloareabsolutd- 9i general, secliunile in Condiliaderezistenlivatrebuiverificati,incazulce|mai pulin una pericufoase,Prin secfiune periculoasd se inlelege o secliune in care cel seclionaleale un extremglobal' dintrediagrameleeforturilor

ale secfionale uneibaresunt eforturilor ci Exemplu:sd presupunem diagramele cu notate (1),(2)9i (3)' sunt: periculoase, in celereprezentate figura1.5.Secliunile lui ; corespunziftoare lN*1,u, (1)= secliunea lui corespunzitoare lMrl,""; (2) = secliunea lui corespunzAtoarelM,l.""' (3) = sectiunea

1.5 Figura

-)

Rezistenlamaterialelorll

Agadar, pentru a verifica o bara solicitati la incovoiere oblici cu efort axial, trebuieformatetrioletelede eforturi:

lN"l,", lNl'l=)l l1,a(r l' ' ' vIt-l

r 'rmil ll 'l Ll -l -,{ lvf gi apoi, verificatd condilia de rezistenle corespunzdtoare,sub una dintre formele prezentate relaliile(1.14) + (1.17), pentrufiecaredintre cete trei tripletede eforturi.in in cazul in care inegalitatea condilieide rezisten{d corespunzdtoare este verificati pentru fiecare dintre acestea, vom spune cd ,,baraverificd (sau rezisti)"; ln cazul in care cel pulin una dintre tripletele de eforturi conduc la nerespectarea inegalitifii condiliei de rezisten{d, vom spune cA ,,baranu verifici (sau nu rezistd)". @bservafie: Este posibil ca, in unele cazuri,doui sau chiar toate cele trei din (1), (2) gi (3) definitemaisus si coincidA, fapt ce conduce, mod evident,la secliunile in reducerea impuse(de verificat). numiruluide conditiiderezistenld

)l

=f'.4,1*"_ )l lr) llt'ltl:,| t:) JlnltfIitrl!'ll

Ilruf'l

fl'rf)l=lrvr,l Iltrrt!')l

Tipuri de problemela incovoiereoblici cu efgrt axial Dupdcum s-a ardtat partea a Rezistenlei in I materialelor, definite tipuri sunt trei gi probleme de probleme: verificarea, capabil. Formularea dimensionareaefortul acestor gi detalierea pentru modului rezolvare prezentate de sunt cazulgeneric ilustrat fig,qra Tnt. o .

z q

Figura 1.6

Rezlstentamaterialelorll

" Verfficare . la:e - grinda:

secliuniitransversale - forma qi dimensiunile - rezemirile - incircirile (P, Q, q, etc.) - poziliaincircdrilor Pe bard (R) - rezistenlade calcula materialului de . r,riecunoscute: - daci grinda rezistdsau nu (dacdsunt verificatecondiliile rezistenld) '?ezolvai'e: (xOz)9i (xOy)9ise traseazd Se extrag forlele exterioare date in planeprincipale (deci,din fiecarefo(5 elementard de de :;aSramele eforturiprin suprapuneri efecte 9i apoi prin insumare): -;arat a Nx- din fo(ele situatepe axa barei (ox) sau paralelecu aceasta; forlelor din planul (xOz) ce sunt paralelecu . Mv - din fortele sau componentele axa barei (Ox) sau cu axa (Oz), nefiindsituatepe acestea; fo(elor din planul (xOy) ce sunt paralelecu . M. - din fortele sau componentele axa barei (Ox) sau cu axa (Oy), nefiindsituatepe acestea' Se identifici secliunile periculoaseprecum 9i valorile maxime absolute ale

:..

acestoragise formeazhtripletelede afcrturilorlN.l,*, lftlri,"" 9i IM.l,"-corespunz6toare

=ln-1,", ll*f'l Ir'r!,1eforturi:'{

lt!'llnlt!tlI -l

ilruf)l =lM,l** (r)llMf)l ol lluf)ly,l llnft fw' A; fz^ -+ 1',-+ tw. tr, - *

lru.l,,, llnt!"|=

a geometriceale secliuniitransversale barei: aria' Se calculeazdcaracteristicile 3.. de :ccrdonatclcccntruluidc greutate,rnomentele inerlieaxialegi rnoduliiderezistenli

Se verificdcondilia de rezistenli corespunzitoaretipului de material9i solicitirii 4. de tripletd eforturifiecare (1.14)+ (1.17)- pentru oblinute vezi relaliile condilii de rezistenli sunt Observalie: Daci toate inegalitdlile definind verifici (bara rezistd)"' atuncivom spune cA ,,bara indepfinite, ll. Dimensionare . Darlg: - grinda: - rezemdrile (P, - incdrcdrile Q, q, etc.) - pozi{iaincircdrilor Pe bari - forma sectiunii transversale (obignuit, se aleg secliuni dreptunghiularesau alcituite din profile laminate ,,1"sau

ei NU ,,U"); gidimensiunile (R) de - rezistenta calcula materialului

710Rezietenfa materialelor ll

.N@:-dimensiuni|esec1iuniitransversaleagrinzii . Rezolvarg: in 1". Se extrag fo(ele exterioare cele doud plane principale- (xOz) 9i (xOy) - 9i se traseazi diagramelede eforturi: . Nx - prin suprapunereaefectelorforlelor ce aclioneazi paralel cu axa barei

i,l

(ox);r Myi- din fiecarefo(5 din planul (xoz) ac{iondndparalelcu axa barei (Ox) sau cu axa (Oz), nesituatePe acestea; j Mzj - din fiecarefo(d din planul(xoy) , acfiondndparalelcu axa barei (Ox] sau cu axa (Oy), nesituatePe aceasta. pe se nu Observa{ie: ln cazulin care necunoscuta intervine una din direclii, vor o putea suprapunedirect efectele,oblinAndu-se diagramdtotald pe direclia respectivd (in mod obignuitMf"tsauMf'). 2o. Se identificd sec{iunile periculoase gi se formeazi tripletele de eforturi corespunzitoareacestora, @bservatie; Diagrameie cje eforiuri Mu $ilsau M. se ob(in ca aidiurare cie diagrame elementare,trasarea diagramelorglobale Mf"' gi/sau Mft nefiind posibild Tn datoriti prezenlei necunoscutei valorileacestora.tn acest context,din diagrame se unui anumit efort poate ajunge la supoziliacd secliuneapericuloasi corespunzdtoare poate fi situati in mai multe pozilii pe axa barei,in funcfiede valorileluate de variabili (necunoscuti). Se ajunge astfel la un num5r sporit de secliuni periculoase, N, corespunzitoareunor valori maximeabsoluteale eforturilor , Mu9i respectivM'. periculoase refinutein 3o. Se scriu condifiilede rezistenldaferentetuturorsec{iunilor pasul(2'), la limit5, egalitdfi. ca Din rezolvarea ecualiilorastfeloblinute,se vor obline mai multevalori ale necunoscutei. Observatie: Dimensionarea urmiregte stabilirea dimensiunilor secliunii geometriceale transversalea barei. ln condi{iade rezistenldapar insi caracteristici depinz6ndde forma secliunii. acesteia(A, Wv gi Wr) care sunt funclii ale dimensiunilor, Astfel, din condilia de rezisten{5se poate determina numai o singurd caracteristicd geometicd necunoscutd.in cazul general Tnsi sunt necunoscute toate cele trei caracteristicigeometrice, ceea ce implici impunerea unor condi{ii preliminareintre dreptunghiulare impuneun se De sectiunii. exemplu,?n cazul secliunilor dimensiunile = h/b. Pentrusecliunilealcdtuitecu o formi geometrici complexd,se raportal laturilork prin lncercdri. recomandd dimensionarea in final, se va selecta dintre valorile ob{inute la punctul (3"), valoarea pozitivi 4". minimi. ln mod obligatoriu se verificd bara cu valorile efective ale caracteristicilor 5". geometricepentrusecliuneaaleasd.

sdl

I

0il

Ii

I1[

Rezistenp materialelorll

11

se gbservafie: intr-o problemede dimensionare, poate cere fie stabilirea de pozilieipunctului fie transversale, stabilirea ale geornetrice secliunii dimensiunilor a transversaldbareisi se oblini o anumiti in ?ncAt sec[inea al aplicalie uneifo(e, astfel normale. a distribulie tensiunilor semnpe toati sA normale aibi acelasi se De exemplu, poatecereca tensiunile de nu in sectiunea. acestcaz,dimensionarea se va facedin considerente rezistenlici polulfictiv,determinat aceasta, Pentru ca din condilia axa neutri si nu taie secliunea. centralsdmburelui in sd (1.11) trebuie se situeze limitele cu relaliile lll. incircare caPabilS transversale secliunii . rc,: - grinda: - forma9i dimensiunile - rezemdrile uneia - incircirile,cu excePlia pozi{ia lncdrcirilor bard Pe (R) a de rezistenla calcul materialului a . Necunoscute: 'valoareacapabild incircdriineprecizateI

'@!w.:

l!

valorii lntr-o astfel de problemi se cere, in general,stabilirea @bservafie: capabilea unei incirciri, deci valoareamaximi pe care o poate lua incdrcarea cea mai solicitati, din astfelincdt ln punctulcel mai solicitat secliunea respectivi, Cu de rezistenlei calcul. altecuvinte, valoarea normalitotala(of si egaleze tensiunea ca scrisi pentruacestpunctse exprim6 o egalitate' de condilia rezistenld mai cu probleme identic cel descris sus, este de al de Modul rezolvare uneiastfel de fiindreprezentati semnificalia (ll), diferenld de la o problemd dimensionare singura (aici necunoscutei - incircare). curenti a tensiunilornormaletotale(ol"') in secfiunea diaoramei Trasarea oblici cu efortaxial uneibaresupusi la incovoiere pentru trasareadiagramei normaletotale intr-o secliune,,A" se tensiunilor parcurg urmdtorii Pagi: Nf', Mf' 9i Mf). Apoi, se reprezintd seclionale 1o. Se extragvalorileeforturilor transversalia barei, lin6nd cont de semnullor, de acesteeforturipe seciiunea y carecoordonatele9i z sunt | cadranului(cadranulin gi de convenlia semne de pozifia -ambele- pozitive). (Nf ), din din normale fiecare celetreieforturi tensiunilor Zo. Se traseazidiagramele (figura 1.7)' simple de cunoscute la solicitirile de regulile trasare tvtf;) Mf)), aplic6nd Si (A geometrice secliuniitransversale; lv ; l' ; Wr ; ale Caracteristicile @bservafie: se sus-amintite pot preciza din astfelinc6tvalorile diagramele W, ) suntdejacunoscute, complet.

)

Rezistenp materialelorll

3o.

(1.13): pozitia polului cu zo) A(yo; in secliune relaliitp Se stabilegteMlA) y o=N F; zo= N ]oTi

Mll)

efective. cu se undeeforturile introduc semnele (giralie) secliunii: principale inerlie ale de razele 4o. Se stabilesc

i,=\Fi5o. ale axei neutre(n-n):i2

n_ ={F '' 'Z''=- - : .

(Oy 9i Oz) pe tdieturile axelede coordonate (1.11)se stabilesc rela{iile Utiliz6nd Yn'2 .

i3zo

Yo

Apoi, unind puncteleNr (yni0) gi Nz(0; zn),se traseazi axa neutrd(n-n)' Prin collurilecele maiindepdrtateale secliuniise duc doui paralelela axa neutrd 6o. liniade referinli a pe (gi apoi o perpendiculard toate acestetrei drepte,ce va reprezenta normaletotaleeste liniari, cu valoarenulSin axa tensiunilor . diagrameiolotur Diagrama trecf,ndprin collurilesecfiunii. neutrd(n-n)qi cu valoriextremepe cele doud paralele @bservalie: in cazul in care axa neutri nu taie secliunea,diagrama of;td va pistra acelagi semn pe Intreaga secliune,existdnd numai pe zona aferenti secliunii (Figura 1.7)./r

@o2

or=YtM,l oa=ff

",=ffi

1.7 Figura

Rezistenlamaterialelorll

I EXEMPLE CALCUL DE

EI Exemplul : Pentru 1.1 stAlpul figura .8,se cere: din 1 gtiind rezistenla calcul a)verificarea stdlpuluidin OL37, olel cd de esteR = 210N/mm2: b) trasarea diagramei tensiunilornormale labaza st6lpului.

>z)

fre6aDGl-+

v

.va miiIL

lmmj

i

230

1.8 Figura

Rezolvare a) Verificarea st6l pului 1". Extragem fo(ele exterioaredate in planele principale(xOz) gi (xOy) 9i trasim, prin suprapunere efecte,diagrameleN*, M, gi Mr. de Facem men{iuneaimportantdci la trasareadiagramelor momentse respeclS de urmdtoarele convenlii : intotdeaunape parteafibreiintinse; - diagramelevor fi reprezentate - semnul unui momentva fi consideratpozitivdaci produceintindereafibrei din cadranul l. Forlele din planul (xOz) gi diagramele de eforturi corespunzdtoare sunt reprezentate figura1.9. in

14

Rezistenlarnaterialelorll

["

@(o-*-,"

[kNl

200 +1 0 0 =300

1 1 0 0 *0 , 1 7 =1 7

1.9 Figurade La trasareadiagramelor momentincovoietorMr s-a linut cont cd: (i) fibra corespgnzdtoarecadranului | (fibra a cdrei intindere corespunde momentuluipozitiv)este fibra marcatdcu ,dt''; fibrei ,,stg"iar cea a sarciniiuniform (ii) actiuneafo(ei P2determind?ntinderea q distribuite a fibrei,,dr". sunt redate in Forfetedin planul (xOy) gi diagramelede eforturicorespunzdtoare figura1.10.

0,115 m +it\_

@*@f =@'[kNm] [kNm] .|,.u

[kNm]

{vov j\4/

,f-\

RezistenF materlalelorll

15

2' .

s'a diagrame linutcontc5: acestei La trasarea pozitiv estecea unui estecorespunzitoare moment (i) fibraa cirei intindere notatd,,d/' H iar fibrei,,dr" forlaorizontali pe cea intinderea P2 (ii)fortaverticalS produce a fibrei,,stg"' periculoase: (1)- cu lN-1,"sec{iunile Se identifici

(2)- cu lMrln"*(3)- cu lM,l** N*, diagramelor Mv9i M' , se observici: Dinanaliza (1) . secliunea poatefi considerati gi,in consecin!5, lM,l,"*esteconstant oriunde inillimeastdlPului; Pe (2) . secliunea estecu siguranlilabazastAlpului; lMrl,,_9i implicit . (3) afldcu siguranlilabazastdlpului' lM=[.*9i secliunea se a maximdabsolutd unui efort se atingenu numaiintr-o Atuncic6nd valoarea in se pe un interval, va relinepentruanalizlsecliunea carecel pulin distinctici secfune de numaiinseciiunea la se cA Rezultd verificarea va efectua rci un efortesteexlrem. este .aza stAlpului, de undeiripleta valorialeeforturilor kN l= [l ttt" 3oo

l=or lltvt, rru*

:"

||M.l=18,5kNm (1)' caz in acest secliunile (2)qi (3)coincid' aie geomeirice secliunii: Se deierirtiiiicaiacierisliciie- ana: de - momentele inerlie: ' A=23.34-20.30 =182cm" =30.332,67cm4 It =zz.za, _zo.3o3 12 12 ]-t 30.203 =14.473,17cma l, -34'233_

L'

rz

rz

de - modulii rezistentS:

14.473,'l7cmo = 1.258,54cm3 11,Scm

III

r.

la pasul Se verifici indeplinireacondilieide rezistenli Tnsingurasecliunerelinuti cu numirul 2o:

i,., l=ry.H.ffit* lo" =1o",,,nE-t

Rezietenta materialelorll

,t6-t

,

Rezulti:

l- x ! m u

r.-T-.T-

300-10i N

Nmm 63'101

18.5-106 Nrnm--=

182. 1O ' ?m m 2 1 . 7 8 4 , 2 7 . 1 0 'm m ' NN =66,49 "; | t""t" amplasati lel Dacdfo(a de compresiune pe normale zona a are sambureluicentral) loc o redistribuiretensiunilor in afaralimiteloreste: activda secliunii(figura1.28).iniltimea activi a secliunii 0 = 3'c, unde s-a notat h

(1"27) (1 . 2 8 )

" =t-

Rezistenfamaterialelorll

37

@. 6min

_i / ,/:

+rj a1

.r1

.-.-----.)

omax = 0

1.28 Figura valorileextreme ale Evidentci in acest caz putem vorbi numai de compresiune, fiind: ensiunilor

lc.in 3.b.c incovoiereadreapti cu efort axial este un caz particularal incovoieriioblice cu efort axial, prezentatdin paragraful 1.2.1. ln consecin!6,abordarea problemelor de gi dimensionare efort capabilse face in acelagimod. .erificare, Verificarea la compresiune excentrici a sectiunilor dreptunghiulare masive care sunt frecventutilizatein practicacurenti) presupuneurmitoarele etape de calcul: 't', Se stabilesceforturileseclionale(N" 9i Mr) din sectiunearespectivS, oblinute prin fo(elor exterioaredate. 'educereain centrulde greutatea efectelor gise compari cu limitasAmbureluicentral: 2'. Se calculeazi excentricitatea lel= f-4 : ' I lN-l 3'. Se stabilescvalorib extreme ale tensiunilor, linAnd cont de tipul materialului9i de valoarea excentricititii,dupi cum rezultddin tabelulde maijos:

= lo'u* o ; 2.N I =

( 1.2e)

huI

l

i

"J

38

Rezistentamaterialelorll

1.2 Tabelul Materialcare preia intinderi Materialcare nu preiaTntinderi

(n, O) '.

{R'= o}e p, = 33oSportanti a capacitatea Rezulti ci sec[iunea(2-2) nu verifici (se depdgegte pe admisibili teren). terenului, numiti gi presiune

;

rRezistenfa materialelorll

diaEramelor c) Trasarea tensiunilornormale(o) in sectiunile(1-1)si (2-2) ob{inute, poziliaaxelorsistemelor de de Jindnd cont de semneleeforturilor pentru referinliqide convenlia semne de eforturi, avem: . Secliunea (1-1)

@+ @:

omin= 60,08?

@

lN/mm l Y _.->

_(025,8334,25 a6sx = 8,42

Figura 1.31 e=Zo=*16 2 mm

! a

Zn= -L " z^

i'"

tsq.z'=14697mm-162

Valorlle diagrame din sunt: - 500.10rN -Tno)':.1O'? 193,6 rnm'?

= -25,83 N; mm"

-l^n o x ' :

M..

8 1 .1 0 6N .mm = +34,25 N ; 2365.24.103 rnm3 mm-

- in olobr:

:)- ' = + lo,* = -25,83 34,25 a$,!lI mmI

r\l

Fu

IN

| 0,,n = -25,83-34,25 = -60,08-:; t mm-

. Secliunea (2-2)

a 1n

($+ @

1tttmm21

v

o)o-., = o =_______i_ lz

l-

soi* V

I

Figura 1.32

Rezistenfamaterialelorll

43

Valorile diagrame din sunt: . - 516,2 103 N = N; -0,48 ---": -in of': 900.1.200mm' mm'

-in

oY ':

917.fi6 )-6 N.mm = -0,54 N; 900'1200'? mm mm-

=o-I- ; io.",- in olobr:

i o' ' " = ' t *[l Exemplul {.7: Un zid de sprijin din beton simplu este agezat pe o fundalie din *'c{sqi materialgi este supus impingeriipdmAntului cdrei varialiese considerdliniar5, a p. = 10kN/mt gi p, = 30kN/m2,(Fig.1.33,a). a) Sd se verifice secliunea de la baza zidului de sprijin, gtiind ci greutatea specificd betonuluiesteyo =Z2kN/m3 gi rezisten{ele calculale acestuia a de sunt Rt =0,5N/mm2, respectiv = 4,7Nfmmz ^ Sd se reprezinte R" diagrama de varialiea tensiunilor normalein sectiunea la baza zidului. de b) Sd se verifice funda{ia zidului de sprijin gtiind ci greutatea specifice a pimAntuluieste yo =18kN/ms 9i presiunea admisibilipe terenulde fundare este pr :0,5N/mm'. Sd se reprezinte apoi varialiatensiunilor normalepe talpa fundaliei.

Rezolvare Pentru elementelecu lungime mare gi stare de eforturiomogen6,se va calcula un tronsonde lungimeb : 1m. a) Verifica4easecliunii la bazi zidului de s.priiin (sectiunea 1-1) 1o. Se evalueazd mai TntAiforlele gravitalionale{greutatea proprie a zidului ) gi punctele aplica{ie acestora (Fig.1.33,a) de ale =0,4'3'1'22=26,4kN Gr . 6, = =0,8.3.1'22= 26,4kN Se determinJ eforturile centrulde greutate secliunii {Fig.I .33,b) in 1-1 al =G,+G, +P =26,4+26,4+30'1=82,8kN (compresiune) N, M, = -26,4. 0,4- 30 . 0,4+ 26,4' 0,067 10' 3 . f,S* + 20;'3 . = 1 54,21kN .L

1

Reziet6nlamaterialelorll

p, = 10 xN/m?

R r = p1.3m.1m

Fr* 30 kNJm

b)

0.174 N/mm2

1.33 Figura

materialelor Rezistenfa ll

46

2o .

gi ( cu sAmburelui Se calculeazf, excentricitatease compare limita central h,/6 ): 54'21 = o.654m 1'20 o.2t = t .. = & ' Nl 82,8 6

Deoarece excentricitateaeste mai mare decit limita s6mbureluicentral, axa neutri va tiia sectiune, producdndu-se astfel tensiuni normale de intindere gi compresiune. 3". Secliunea poate preluaintinderi (R,;.0), deci tensiunileextremese calculeazd cr relalia(1.25):

( 6.,*=5[, * 9l =;q* 1'0:= 9:99911 [r* 1,2 ) =-ooun xz,ztz). 'ffi A1 ( h, ) 1,2.10".10" [Rezultd: 6,", = 0,157N/mm'zR, = o,SN/mm2 < ( = 4,7 Nfmm 2 , c,rn=-0,295N/mm2; 1"1," R" Cecisecliuneade la baza ziduluiverifici condiliilede rezistenli. in Diagramatensiunilornormaleeste reprezentatd figura 1.33,b. Axa neutrdeste definitdde tiietura:

'.:-'i:: += *=-o'183mb) Verificarea fundatiei (sectiunea 2-2) 'T". Se evalueazi fortplegravita{ionale (flgura1.33,a) - greutateapropriea fundaliei: = G, =2,1'0,8'1'22 36,968kN. de - greutateapropriea masivului pAmf,ntcare descarci pe fundalie: . Gp= 0,3'3'1'22 = 19'8kN in Se determindeforturile centrulde greutateal fundaliei O, (figura1.33,c) Nz =Nr +G, +Gp =82,8+36,96+19,8=139'56kN' u = 1 M, : -(19,8. a,9+ 26,4. 0,55+ 30 . 0,55+ 26,4'0,083)+ 0 . 3' 2,3+'o=' .,t,u 2 = 71,g6kNm gi central: Se calculeazi excentricitatea limitasdmburelui

2".

= o.s15m u. = !!a =,11196'N, 139,56

? =#= o,3bm

Rezistenfamaterialelorll

3".

gi normale taie Deoarece ez:0,512t+=0,35, axaneutrd secliunea tensiunile '6

extremevor avea semne diferite.Terenulde fundareinsd nu preia intinderi,in pe tensiunilor normale talpa de fundare.Presiunea consecinliare loc redistribuirea (1.29) se maximd calculeazS relalia cu

= lol,* * - ?i*fHS"4o. 2'2 fnillimea zonei activeeste: a=3c*1,605m

=0,174N/mm'o,2N/mm'? cr P5

76

Rezistontamaterialelorll

Ecua{iaaxei neutre(n-n), ce trece giin acest caz prin origine,va fi:

* , .=* !!n . u =ol, l, Poziliaaxei neutrepe secliunese stabilegte retalia(1.34) cu I tgp= |.tgcrl-

(1.40)

unde

too = !L -MyObservafie: ln cazulincovoieriioblice fo(e necoplanare se mai poate vorbi cu nu de un plan al fo(elor,valoarea unghiului fiindvariabild la o secfiune alta. o de la Pentru sec{iunilece pot fi inscriselntr-un dreptunghi(secliunicurent TntAlnite in aplica{ii), valorilemaximd 9i minimi ale tensiunilor normaleapar in colluri opuse ale dreptunghiului. Qondiliile de re-zistenfd incovoier.e la ob!ici cu forle necoplanare: pentru un material avand cu rezistenle diferite la intindere gi a) compresiune, * R", gi pentrucares-auobfinut: R,

fo."*=

g

Loru*.0

condiliile rezistenld de se_scriu:

s Jo'"* R' llo'''lv+ r^l \rvz

fffi

Figura'1.67

Rezistenfamaterialelorll

85

Rezolvare: a) Dimengionarea consolei 1". se descompunforlele exterioarein cele doud plane principale; deci, se proiecteazi forleleinclinate gi p2pe direcliile gi z (figura P1 y 1.6g).

sin P = 1,291* x

2o. se traseazi prin suprapunerede efecte diagrameleM, - din fo(ele din planul (xOz)(figura1.69)9i M, - din fo(ete din ptanut xOy (figura1.70).P.,sin a = 8,19kN

Pt cos fi

-

4,83 kN

foqe in o planul (xOz)

'-'-.>

x

VzI

| 8 ,19

/G\ (M,i i\_1,/

+/-;\\ \__!/u ' / M

I r.'-'

/1hYv-/

I

Figura 1.69

-i

86

R6tlstenla materialelorll

P, sin fl = 1,29kl forte fn planul(xoy) " - '- '>Q=3kN /m F 1 co scr = 5 ,7 4kN 2m

x

w/P \

I s,zqI

+

@+/-t\ tM-'l\i,/

=

@Figura1.70 3o. Se identificdsecliunile periculoase.Se observi cd cele doud secliuni coincid, ambeleln lncastrare.Eforturile lM.,l x.si lM-l x producindu-se sunt: | .rma . I v l ma

flrvr | l''' YI

1."* -

= 22,6BkN.m

.m lll"' z l6 u , = 1 5 ,3zkN n r-t4" " Se scrie condiliade rezistenli sub forma.

=# lo*l*""

(t,l*r< lH,''l):n

. in varianta (sectiune W-''n* I =,|,U : a dreptunghiulari, lemn)k =b din astfel : ci ' w' *

w,,n*=e+y,l== 3.1 : 103mm' 3 . 1 5 8 , 1 0 c m3 58,10' . in varianta (secliune profil b laminat din OL37), l, alegem = 8, $i rezulti: k

Rezistentamaterialelorll

87

Wy,n* =

=

= 693,52. = 103mm3 693,52cm3 Se aleg dimensiunile secliunii:

'hfu = b"t". variantaa:

6

!* Sl*L =3.1s3,1ocm3 6--t

i . =il=-rr.= =21,09cm 6 J5 8Jo lo"*= bn* = 31,64cm Lhn"" 1,5.

fb=zzcm s e aleg care , pentru seobline {i = a-",E1 . :3'574'67cmg ^ lW,'': I i2.22' = 2'581'33cm3 lW'., = to . varianla din tabelulcu profile | laminate se alegeprofilul 32, avdnd: l, b; :693,52cm3 = t IWr,* 782cm3 Wu.n""lr lt ata^*3 = o+ ,/r r ilr lvvz,ef ,

[ , ^,

22- 322

valorile ale lnlocuind condilia rezistenld in de efective 5'. Se verificd sectiunile alese, : nodulilor rezistenldWy,"rW,."r de , . variantaa2 2 ,6 8 .1 0 0 N .m m 1 5 ,3 7' 106N .mm ll r " x r m ax ,e9 .T 5 4 ,6 7 .1 0 3 mm3 ' 2 .5 8 1 33.103mm3 f

= 12,00N/mm'R = 13N/mmz < =::"* ---+secliunea avand{? estecorespunzitoare. aleasd, lh = 32cm. variantab 10uN'mm 22,68.106N'mm 15,37' . 84,70 1o3rnm = 210.47 = R = 210N/mm2 Nlmmz

lo*1,""," 782.47,103mm3

, *a/

Rezistenfa materialelor ll

@bservatie: in general,in RezistentaMaterialelor 9i in proiectareacurentd) (ca se admite depSgirearezistenlelor limita a 3o/o; exemplu,dacd avem Tn de lorl*u" > ft = < 210 N/mm2 trebuieca fo'*1,,. 1,03,R= 216,3N/mm2. b) Reprezentareatensiunilor normate totale (o*rot) sectiunea de incastrare in . variantaa (secfiunedreptunghiulari)

,,,.=?#=

60.074,67cma = g#:28.3e4,67cma i t.,ur

= = =143378e5 Footifri#gif# gH[tH f*0=55"06'. Diagrama tensiunilor normale estereprezentati figura1.71. ?n\c x ',/ v 6.04

smin

12,O4

tnt "f Figura 1.71 . varianta6 - din tabelelecu profilelaminateI se obtine:I J

ft = r2.519664 rv,ef r/ = 555cma a?.510cm4 15,37kNm

'

l'''"t

gi rezulti

-ss#m?ltgFl=

_,

=11,2zs4g

-B =86"1 5 ' Diagrama tensiunilor normale totale estereprezentatd figura1.72in

Rezistenlamaterialelorll

89

181.46

@29,00

I

I

Mz=15'32

lr--Ll

omax

210,46

'i l ( n )

/G\\6x

,/

Figura 1.72

EI Ex e r np lu ll.l 6:Pentrugrindametalicddinf ig u ra l. T 3 (R= 2 1 O N/ mm' ), s e c e re : a) stabilirea incirciriicapabile P,,oo, condilia rezistenli; din de b) cu valoareainc&rcdrii capabiledeterminate punctulprecedent, se la si reprezinte (oft) in secliunea varialia tensiunilor normale maxim solicitatd.Pe=3 i

600 x io-l

Figura1.73

.-...t

Sezielgnfa malorialglor ll

Rezolvare: a) Stabilireaincdrcirii capabilep,,*o : 1o. Se traseazd diagramele momente prinsuprapun$b'foefecte de 'Mv,i (i =14 , din fiecaredin cele patrufo(e elementare planurxoz din (figura 1.74\; din ' Mzi (i=1p, din fiecare ceredoudforfeerementare flanurxoy din (figura 1.75).Pz = 3 kttt fo4e ln planul (xOz)

O

@,=ff*@.=@*@,=@

+

2.5ro ,

+.

2,5n )(

@,=@@'=@/*(0) (1I(

figurAt.ZS

Rezistenta materlalelor ll

2".

Se identificfr secliunileunde ar putea sA apare momenteincovoietoare extreme: . lMylr"* poate sA apari in sectiunile: (1) - in dreptul f04ei P1' (2) - la jumitatea deschiderii (3) - pe reazemuldin dreapta poatesd apari in secliunile' lMTlmax (0) * pe reazemuldin stAnga (1) - in dreptul fo(ei P1 Valoriledin fiecarediagrami, corespunzfitoare acestorsectiuni,s-au stabilitdupd cum urmeazi: [(tr,t"),;(M").;(M")o; in -^ {' ''-' Drinasemdndri [(M.),;(M.),; - in (Mr)z , pornindde la schemastaficede grinddsimplu rezematdincircati cu fo(a uniform distribuiti q {determindnd rea{iunile +L 9i, apoi, valoarea momentului sectiuneacurentd(in cazul nostru,x = 2): in q' I .Z-(o.x}. 4 5 .t 2 -!tt.e\. -, i2,5kiim M{x)= 2'i.; " ,, 2 2=i.2_\4

(Ml

=12 [,1(x) kNm f

_

*". 'r.u

Figura 1.76 Astfel,au fost oblinute precizate sus in celepatrudiagrame valorile mai (Mr)gi (M.) ; cu aceste celedouddiagrame valori formeaziperechile: se (0)

Jln,ri''l=okNm llu f,l=1 okNm ;= + - ml"l lt,ozr, 12 0,8 1,zl= 10) t1,02P1+ kNm ll +al lltl,i= l- o,o+n, kNm; =(o,BSp, kNm ui"l=10,65q -1'1,s1 +12,s +10) {l

(1)

(?)

(3)

+ ll*f,l=l*o,srqsl kNm; SkNm Jlrtrf'l= =lokNm ; I n,ti',I

;

Rezistenfamaterialelorll

Se vor pestra doar perechile (1) gi (2), intrucAt in celelalte doud nu intervine necunoscuta (P1). 3". Se calculeazi caracteristicile geometrice secliuniitransversale grinzii: ale a

) n i'=''lu*\ou'z/ l .'- r . t 1l2o 6 9 ,2 =e .o o 5 cm a ,= l ' " l 1tut=-uuo =4.167,bocm" l*" = |"v 32 g'oos =600.33cm3 lw- ={'15 4".

f,

r .g= = ^ l to -z' ,n n^) .31r .l* o'.i33.360cmo

Se scriecondiliade rezistenld limitd(lo*lrr*= R) in secliunile gi (2), linfind la (1) cont de defini{ia modulului; agadar,in cazul termenilor semn incert,vom considera cu succesivsemnelet pentrutermenulrespectiv, . secliunea (1) (t,oz.p, + to).tou tt.mm (- 0,64.q + o) . tou tt.mm * = z',n N - -'" .103mm3 . 4.167,50 600,38 103mm3 mmt (0,2447 . P,+ 2,3995 + (-,|,066 . P,+ 9,9945 = 2 t O 5 1 ) )

Oblinem:

p,(')=-A+0,sgt y

My= 178,9+ kl'lm

\ \

_\___

('min

- 208,78

'il (n)

f-l \y

dmax

208,78

't i")Figura1.79

Rezistenfa materialelorll

95

PROBLEME PROPUSEc Problema 1.1: Un stdlp metalicavand secliunea incircdriledin figura 1.80 este gi "castratintr-o fundaliede beton. 1. ConsiderAnd incdrcirile: P = 700kN H= 50kN Q= 1OkN/m, se cere: a) diagramatensiunilor normalein secliuneaunde aclioneazd forla H; b) diagramatensiunilor normalein secliuneade incastrarea stilpului in fundalie. 2. Pentruipotezade incdrcarecu: P = 700kN H= 50kN I = OkN/m, se cere: diagramatensiunilor normalesub fundafie. Se neglijeazdgreutatea proprie a stAlpului,iar pentru betonul din fundalie se ::nsiderd greutateaspecificdTo= 25kN/m3.

Eoor. Ruperea rezultiatunci cdnd o,u*=o["", unde ,n1'*este valoarealimiti in solicitarea etalon(intindere sau compresiune axialS).ffierrltd condilia o, < R, 9i decioech = ol

(2.22a) (2.22b)

Dacd o, < 0 , trebuieverificati gi condilialo.l< R", ceea ce conducela:O.^r = 16.l

2'. Teoria deformafiilor specifice liniare maxime (teoriall) in aceastd teorie se alege drept criteriudeformalia e,"* , adici r, < eL"", unde ca ffi are aceeagisemnifica{ie gi o$"*. Rezultdo , -F .(o , +or)< R , -o..) Ca gi in cazul teoriei l, daci rs < 0 , trebuie verificati 9i condilia l o u -p .(o ,,* or)< R , o " * , = o r -p .(o,

(2.23a)

o*r,,=los- p .(o,+ or) {2.23b) 3". Teoriatensiunilortangenliale maxime(teoria lll) Aceasti teorie considerica gi criteriude apreciere nivelului solicitare a de rs'lsiunea tangenliali maxime" r* = 9 L _ 5 < to-.. - -max2

rnrvaloarealirnitdla solicitarea etalonva fif-

'max

n

o9-ol2

R2

Rezultd condilia rezistenli de

o ,-o r(ROm h = Ol - o3

(2.24) Aceastiteorieesteaplicatinumai materialelor rezistenle gi cu egalela intindere (R" oornpresiune = R, = P 1. 4". Teoriaenergieipotenfiale modificare formei(teoria de a V) Se aplici, ca gi precedenta, numaimaterialelor R" - R, = R . Parametrul cu de unparalie adoptateste energiapotenliald deformalie de care corespunde varialiei {armeiW

s

*,=#h,-orY +(o., *(o, -o.f -o.,f]

(2.25)

;

108

Rezistenfa materialelorll

Pentru valoarea limitnWf se obline girezultio*n =

Wf =

1;lp

R' (2.261

- oal * 1o,- orf + (o. - o,)'] " {Z [or

ltv

,

5'. Teoriastiirilor limitdde tensiune lui Mohr a Aceastdteorie se bazeazd observalia atingerea pe ci stirii frtitd este foar6 pulininfluenlatd tensiunea de intermediard in esenld, esteobktffiere a teorid or. ea tensiunilor tangenliale maxime la materiale rezisten{e cu diferite la intinderegi (R" compresiune * R,). Tensiunea echivalentd rezultd

= -fi:". oech61

(2.27)

@bservafie: DacdSTPesteconsiderati un cazparticular stdriide tensiune ca al (o, spaliald > o. > ou), rezultd fapt de

",=9U*|J"++*oz =0

""=;-!"e;n*Expresiile tensiuniiechivalente o"* la baresuntdatemaijos:. in teoria o."" . in teoria e*"* . in teoria r,,,"* . ?nteoria W' . in teoria Mohr= o e ch | .| " W *""

=?o *1:1,1;, o""n *oa= ou"n JJt *41 o*n= Jo'*3t'

o*n=[,-*E.[,.*)**tt

Alegerea teorieide rezistenfise bazeazd modulde pe rupere materialului a . materiale casante -+ prezintdrupereprin smulgere,produsd de tensiunile normaleteoriide rezistenli utilizateI . o,"*. tr*

materiale: beton,fontd,o{eldur, sticli; . mateialele ductile -+ prezinti rupere pnn lunecare, produsi de tensiunile tangenliale . oro^ teoriide rezistenli utilizatei .W, materiale: olelde construclii, aluminiuetc.

Rezistenfamaterialelorll

't09

/ EXEMPLE CALCUL DEtrl Exemplul 2.1: Si se studieze stareade tensiune pland definitd prin tensorul tensiunilor( ,'t r*,) (1so T- =l -" l=l 6,) t 50 \!a

uJo) [*/"']

(figura2.4,a).

Figura2.4 Sd se precizezetensiunileprincipale, direcliileprincipalegi tensiuniletangenfiale extreme.

Rezolvare . Tensiunileprincipale calculeazi cu relalia(2_3) se

girezulti:

o, = 158,61N1mm2 o,:-38,61N/mm2

. Direcliile principale oblin (2.2) se dino, = 14"23'38" { lctz= 104"23'38" Tensiunilegi direcliileprincipalesunt reprezentate fig 2.4,b. in . Tensiunile tangenlialeextremese calculeazd relalia(2.5) cu

tg;.u 2ro = #L ' = G*-6y 150+30 = o,5bb +

t.z =-tz.!="+-

158'61-+ = 38'61 98,61N/mm,

giaparpe direcliile bisectoare direcliilor principale. ale

110

Rezistentamaterialelorll

prin de definitd tensorul El Exemplul2.2:Sedd starea tensiune (o. r^, r*) (120 80 o )

L = 1 " * G y r o l = l a o 1 0 o l.[r^ x ,, o .) [0 O 40)

(p teoriide rezistenld = 0,3). o".n in diferitele Sd se determine

Rezolvare 1o, Se determindmai Tntditensiunileprincipale,care sunt soluliileecualiei seculare (2.8), Invarianlii,care reprezinti coeficienliiacestei ecualii, se calculeazdcu relaliile

(2.e):l,r:o* +o'y+oz =120+ 10+40 =170: l, =o"o, +6yoz+ozox-ft-rt * +"u')=12a'rc+10-40+ 4a'fl}-802 =0; "n' *o..*rt)* 2r,rr."co=12a'10'40-(+o'eot)=-208.000. fu=.,"Gr6, -(o*ro' +cr'co" Ecuafiaseculari se scrie sub forma ao -170o' -208,000=0 . Se aduce ecualiala forma normaldprin substitu{ia t. 170 o:X*J="* 3. ecuatiede forma Rezultdo xu*Po'+q=0,

unde

p=t,-f : +:

-e.033,3333

.103 = q = -3t,' * ]t,t, - t" : -2.1703 +208.000 -155,9259 , ' " 27 ' 3' 27 Discriminantul ecualieieste 1, ^^^^^^^rs . = 1 - 1 , =,,(-s.ose,m3)" 1t --,^^-.^r,r = < " -a(-57i,925'103f -3,31i.i010 0 oo' " *r' ceea ce inseamnd cd existi trei rdddcinireale. Pentru rezolvareaecualiei de gradul 3 se apeleazd la formula lui Moivre. Se calculeazi maiintAi, unghiulajutitor -xm?nmv7

Figura 3.6Calcululpractical deplasirilorsistemelor bare se bazeazi pe: de 1) TeoremaI a lui Castigliano; 2) Formulalui Maxwell-Mohr. 3.2.2.1. Galculul deplasirilor sistemelor static determinqlle(SSD) aplicind teoremaI a luiCastiqliano PrimateoremSa luiCastigliano, prin relafia(3.22'y: exprimati matematic

d

2 ira

?

ir

u'=0{-

aPi

permitecalcululdeplasirilorin raportcu o forli generalizatd aclioneazi pe direc{ia ce i. in cazul sistemelor bare alcituite din materiale comportare din cu liniar-elastic5. energiapotenliali de deforma{ie(W = W') se exprimi cu relalia(3.14)respectiv(3.15). lnlocuindacesteexpresiiin relalia(3.22)rezultd:

, =>[(+f+]'. GA (a q ) hE.l[aqj- oG.r oo( aBJj (333) i*+f*'ln,. f,9[+]0,. r+,-f+]..] b *? L n E A \a q )primeiteoreme lui Castigliano pentrubare liniar-elastice. care reprezinti exprimarea a

Rezlstenlematerialelorll

127

@bservafiiprivindnecesitatea luirii in'considerare termenilor a corespunzitori celorpatrueforturi T, M gi M1: N, 1'. Termenul efortaxial(N),trebuieluatin considerare structuri din la alcdtuite (de din barearticulate tipulgrinzilor zdbrele), cu undede fapt estegi singurul efortce aclioneazd; cazulgrinzilor Tn Tncovoiate poatefi neglijat. el 2". Termenul forldtdietoare trebuie in considerare grinzile din (T), luat la scurte$i < 4); inalte(curaportul lungime/Tnillime in cazurile curente, neglilieazi. se 3o.Termenul moment torsiune din de (M), trebuieluatTnconsiderare grinzile la Tncovoiate sunt gi puternic ce (Tn torsionate specialla grinzide fronton); in cazurile curente, negl'ljeazd. se Ca urmarea considerentelor ficute maisus,se ajungela expresia aproximativd simplificatdteoremei a iui Castigliano: a I

,=dI#(#) ,,]

(3.34)

Etapede calcul pentru determi4?rea deplasirilor intr-un punct curent A al unei qrinzi static determinate: 1". in secliunea se introduce forti generalizati A o fictivdastfel: . o forldconcentratd , pe direclia (Lto, Pu translaliei cdutate va sau wo ), sau . un moment concentrat fictiv Mo.ocorespunzdtor rotiriiqo , @bservafie:ln cazul in care in secliuneaclioneazd deja o fo(i pe direclia deplasirii cdutate nu se vor maiintroduce fictive, forfe utilizdndu-se incdrcarea , reald. 2". Se scriu expresiile analitice ale momentului incovoietor M(x), pe fiecaredin intervalele varialiea acestuia de sau a rigiditdtii incovoiere. scriereaacestor la La expresii va line contde forlele generalizate se fictive introduse punctul la 1". 3o. Corespunzdtor fiecdrui interval, vor evaluaderivatele se momentului incovoietor in raport for[ageneralizati cu ?ntrodusi sec,tiuneala punctul in A 1": -:+' . a M ,( 'x) in cazulin carese urmare$te oblinerea valorii uneitranslalii (uo,vodPo sau wA ) - --'l'' -' . oM,(x) in cazul in care se urmiregte oblinereavaloriirotirii 9o. dMo^ 4". Se aplici relalia (3.34,), descompundnd fiecare din integralepe cdte un interval de varialie a funcliei momentincovoietor.La efectuareaproduselor corespunzdtoare, se va line cont de faptul ci fo(ele fictive Po gi Mo,o sunt nule. @bservafii: a) in cazul barelor cu rigiditatela incovoierevariabildpe lungime,integralelese vor descompunepe intervalecu rigiditaieconstantS;

Rzistenlamaterialelorll

: ,;

il

b) pentruevaluarea corecta celordoudtipuride rezultate a oblinute(translafie gi respectivrotire), menliondm faptulci uniteille misurd ale numardtorilor de (cantitd{ile urmeazia fi divizate ce prinrigiditatea incovoiere barei- E.l) la a sunt; [kN.m3] in cazuliransla{iilor, respectiv [kN.m2] in cazulrotirii. pF / EXEMPLE CALCUL

& Exemplul 3.1; Pentrugrindasimplurezematd figura3.7 se cere calcularea din sdgelilor punctele 9i D (w. gi wo) precum a rotirii punctul (q" ). in gi C in CS e dd E l, = 1. 1 0 1 3 N mmt. '

\v

L , .,.,.'!z"E.ry rri2m 3m

t,,

63m

Figura3.7 Re*olvare a) Galcululsiqetii in eapitul liber C ( w" ) 1". Se introduce o forti fictivd P aclionAnd in acest punct pe direclia verticali (direclia axeiOz). 2". Se stabilesc expresiile analitice momentului. ale Se determindreacliunile 'P.8 (too.g).4 .^-Vo =- -: +j!*=1,333.P+533,33 ^6b

(t r, =ff- o.a ).2 p .z =266,667- 0,333' P vu o a

Rezistenfamaterlalelorll

faptulcd apardoui intervale varialie pentrufuncfia moment atAt Se observd de rigiditate; expresiile momentului sunt: cdt 9i pentru interval pentru x = [o;z] l, interval pentru x e [O;o] ll,

Mr =- p.*- loo- ' x' 2 yrr= (266,662 .t). - 0,333 * - to? "

Frin derivare in ranort cu forta P. se obtin : intervall: Mr(x)= -P-x - 50 . x2

av'(x)-=-x AP intervalll:

= Mrr(x)(eoo,eor0J33.P).x - 50.x'z -

AP momentuluiincovoietorgi a derivatelorsale Tn rela{ia Se ?nlocuiesc expresiile 4!" 3"3t Si se oblin:

9gP =-0,333'x

w""= ^ 1 ,*+

2-E-lY d'

i ( - p , x - s 0 ." ,) .( - x) .cx+

E.l, d.. linind acum cont de faptul ci, de fapt,fo(a P este fictivi (P = 0), rezultd:Ir.6 .l 7 w- = - _ . - . iso.*, .6ya -1- . l(- aa,a s x , + 1 6 , 6 6 x ',). d x = " z- E.l v i E .l, d'

. .'[f(zaa,aat- .p).r - so x' ].(- o,:il.x).ox 0,333

=:+ {i' - ryry:.{|' ry*+l' =-1- poo 400 = * - 6 +s.+oo) E.l, 41" E .l, 3 i" E .l, a lo E ' 1 ,=- eoo , mJ' l = 9 0 0 .1 0 t2 N .m m 3= -90mm = -9cm ku - .10" .mm'E'lu'

1

N

Semnul negativoblinut denotd faptul cd sdgeatareald din punctulC se produce in sens inverssensuluiales pentrufo(a fictivdP; prin urmare,punctulG urcd cu 9 cm. b) (wo)

forla analog,introduc6nd Pentrucalcululsdgeliiin punctulD (wo),se procedeazd t'. jumitatea deschiderii.RezultS: fictivdin sectiuneade la Va =533,333+0,5'P Ve= 266,667 0'5'P ' +

uj

130

Rezistenfa materialelorIl

AX

7t ze'rv1\@Yrt

E.ry

@A

,^ '1. t* .,"

Figura3.9 gi lor 2'-3". Expresiile momentelor ale derivatelor ln raportcu forta fictivd P sunt: (l) x e [o;z] Mr(x)=-50' x2 dM'(x) - O AP1 ? f^^1 .,il/ \ /^.^^r' r.r" ( li) x [ u; J l M (x , = tr,o o--- o+ u J " ^\ x - )u' x- = u,J' ^ x + l oo,oor' x - )v' x' ,o /

D M,,(x) .s.x =oAP (ltl) x e [3;6] M"'(*) = (266,667 0,s. P). x * 50- x' - P. (* - l) + aMrrr(x) =_o.b.x+3 AP 4". Se inlocuiesc aceste expresii in relalia (3.34) ce exprimi teorema la Gastigliano, lintnd cont de faptulci fo(a P este nuli. Rezultd;

lui

*" =#| 6.t

. ro. ).o dx x' x-: + + x- 50' ).o,s' dx *' +''S(ruu,uur' t iF^\ i '13 'rr\

* / .0 ' x= + +- , . jl\ 266, 6 6 7 . x '-)5\( - 0 , 5 . x + : ).d . l, 1 1 3 3 ,3l3 32 s + ll" )l* + loo E 3 E.t, '- - '- l..-r 16 \ - - , t6 lu . .: l* t . [- r: s .-sr { l + z s. t+] + s o o . {1 , r 5 0I:ll,J 2 3 l= 4l', 31, E . l, t , ' l' j lo

I r- -^ ^ = + . ( i . z u o - 5 06 ,2 5 -9 .6 0 0 +i .2 0 0 +8.i00 -5o6,zs+ i4.400- 3.d00- i0.800+ i.- r so) =

- r'237's[r.N I = D3,75mm *, J IE.It

c) Galcululrotiriiln capitul liber momentulfictiv in acestpunctgi Ms rotiriiinC (q"), se introduce 1". Pentru calculul avem:

Rezistenlamaterialelorll

=533,333-0,167.M0 V.c .Mo Va = 266,667 0,167 . +q = 100 kNlm

Figura 3.10 gi Expresiile momentelor derivatele sunt: lor (l) x. [o;z] M ( x) = o- 50'x2 MdM'(x)_ n oMo (ll) x e [o;6] . M"(") = (200,002 0,167 Mo). * - 50 . x2 + oM,,(x) = 0.167.x oMo Din relalia(3.34)rezulti:

,. =#

t iL

.x.dx * x')ox .+ ilruu,uutx').0,167= - 50L )"

==l (-so) . =l- .1, {l' - B.u.3 = .4] {l' E lr oo.ooo 2.E.tv 3lo 3lo 4E.l, = 4,3333.10-2rad(: Z"ZS') ' E.l, 1.1013N.mm2

El Exemplul 3.2: Si se determinecomponentele dupd axe a deplasirii capitului liber al bareidin figura 3.11,a. Secliuneabareieste profil130(A=69, 1cm2; lv=g.B00cm4). Se dd R = 210N/mm' $i E = 2,1'105N/mm2.

132

Rezistenfa matrlalelorll

'I',Vi

I'r H*;$::^ H-l3".

H I Hl-I H Hlb)

\

Figura 3.11Rezolvare Componentele deplasdrii capdtului liberA sunt: . uA- translaliadupd axa Ox (orizontald punctulA) in . wA- translaliadupi axa Oz (verticali)gi de ' QA- rotirea(unghiulformat tangentala axa deformati in sectiunea cu A axa bareiOx). a) Determinareacomponqntei verticale w4 (figura3.11,a) 1". ln capdtul liber A existd deja o fo(d concentratdcare aclioneaz| pe direclia deplasdriicdutate; in acest caz, derivatelese vor exprima in funclie de for{a reald P=50kN. 2. Se scriu expresiile gi analiticeale eforturilor se calculeazd derivatele acestora. Se considerdcd sunt doud intervalede varialie (A-8, porliuneaorizontalda barei gi B-C, partea verticald).Se mai observi cd pe intervalul B-C apar atdt eforturidin incovoiere cAt gi din compresiune.Astfel, in expresia (3.33) vom re{ine atdt termenul datorat momentului incovoietor cdt gi cel corespunzdtor M efortuluiaxial N. Expresiilemomentuluiincovoietorgi efortuluiaxial, precum gi derivatelelor in

doil nes b )!10. SE z

pre

raport fo(a P suntsintetizate cu maijos: Derivata raportcu P in Intervalul Expresia efortuluiL

ra)ta p j,0-X

;^:ut l