rezistenta materialelor teori de rezistenta

8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta

1/15

6.TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI

COMPUSE

6.1 Variaia tensiunilor n jurul unui punct

Un corp asupra cruia acioneaz fore exterioare se deformeaz, iar ninteriorul su iau natere tensiuni. n capitolul 1 s-a artat c dac se izoleaz dininteriorul corpului un cub de laturi dx, dy, dz pe fiecare fa a cubului vor aciona o

tensiune normal i dou tensiuni tangeniale. Starea de tensiune n punctul dincare a fost izolat cubul este determinat de tensorul tensiune:

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

.

Fig. 6.1 Fig. 6.2

Starea de tensiune poate fi: monoaxial (fig. 6.1), atunci cnd numai unadin tensiunile normale, de exemplu,

x 0, situaie studiat n capitolul 2, plan


2/15

ELEMENTE DE REZISTENA

MATERIALELOR

(fig. 6.2), atunci cnd x 0, z 0, xz = zx 0 i general, dac toatecomponentele tensorului tensiunilor sunt diferite de zero.

Determinarea tensiunilor dup o direcie nclinat fa de axe, n cazulstrii plane (fig. 6.3) se face scriind ecuaiile de echilibru a forelor pe direciiletensiunilor i , pentru un element prismatic cu baza triunghiular.

Notnd aria seciunii nclinate (ABdy) cu A rezult ariile OBdy=Acosi OAdy=Asin.

Ecuaiile de echilibru pentru elementul prismatic sunt:

.0AsinAcos-cosAsin-sinAcos+A

0,=cosAsin-cosAsinsinAAcos-A

2

zx

2

xzzx

zxxz2

z2

x

=+

innd seama c ij = ji se obine:

,cos2+sin22

,sin2cos222

xzzx

xzzxzx

=

+

++

=(6.2)

relaii care dau tensiunile ntr-o seciune nclinat nfuncie de tensiunile dup direcia axelor decoordonate i de unghiul de nclinare a seciunii.

Direciile pe care tensiunea este maximsau minim, numite direcii principale i expresiilerespective ale lui , numite tensiuni principale,rezult din anularea derivatei tensiunii n raport cu:

Fig. 6.3

20cos22)sin2(d

dxzzx ==+= ,

deci pe direciile principale, tensiunile tangeniale sunt nule.

Se obinezx

xz

=

22tg

, (6.3)

sau ),k2

arctg(2

1

zx

xz

+

=

92


3/15

6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE

existnd dou soluii care difer ntre ele prin2

i deci dou direcii principale

perpendiculare ntre ele. nlocuind aceste valori n relaia (6.1), rezult cele doutensiuni principale,

( ) ,42

1

2

2

xz

2

zxzx

1,3

++

= (6.4)

unde 1= max i 3= min.

Procednd analog pentru determinarea maximelor i minimelor lui , seobine,

( ) ,0sin22cos2d

dxzzx ==

avnd soluia ,tg

1

2tg2

xz

211

=

= (6.5)

i deci direciile 2 i 21 sunt perpendiculare ntre ele, tensiunile tangenialefiind maxime la 45 fa de direciile principale. Dac se nlocuiete expresia (6.5)a lui 1 n (6.2) se gsete

.2

31

minmax

= (6.6)

Tensorul tensiunilor n cazul strii plane are forma ,0

0T

3

1

=

(6.7)

iar n cazul strii generale ,

00

00

00

T

3

2

1

=

(6.8)

unde 1> 2> 3.ntr-un punct din corpul solicitat poate exista o stare de deformaii cu

direciile principale de deformaii care coincid cu direciile principale de tensiuni.Tensorul deformaiilor n cazul strii plane exprimat n funcie de deformaiilespecifice principale este

=3

1

0

0T

, (6.9)

i n cazul strii generale de deformaii, cnd 1>2>3, tensorul deformaiilor este

93


4/15


MATERIALELOR

,

00

00

00

T

3

2

1

=

(6.10)

6.2 Legea lui Hooke generalizat

Stabilirea legturii ntre tensiuni i deformaii specifice, n cazul general,se face lund un cub de latur unitate pe ale crui fee acioneaz tensiunileprincipale 1, 2, 3, ca n figura 6.4, a.

Fig. 6.4

n cazul strii monoaxiale de tensiune s-a vzut c exist legea lui Hooke, = E , iar deformaia transversal are expresia, tr= .

Dac se aplic cubului trei stri de tensiune, ca n figura 6.4,b,c i d, seobin deformaiile specifice corespunztoare fiecrei stri monoaxiale, astfel:

- pentru 1 0, 2= 0, 3= 0,

;E

,E

,E

1'

31'

21'

1

===

94


5/15


- pentru 1= 0, 2 0, 3= 0,

- pentru 1= 0, 2= 0, 3 0,

Dac 1 0, 2 0, 3 0, deformaiile specifice au expresiile:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]2133

1322

3211

E

1

)11.6(,E

1

,E

1

+=

+=

+=

Dac direciile principale nu coincid cu direciile axelor de coordonate x,y, z, relaiile (6.11) se pot stabili n mod analog, sub forma:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ].E

1

,E

1

,E

1

yxzz

xzyy

zyxx

+=

+=

+=

(6.12)

Axele x, y, z nefiind axe principale, lunecrile specifice sunt:

.

G

,

G

,

Gzx

yz

yz

xy

xyzx

=== (6.13)

Relaiile (6.12) i (6.13) reprezint legea lui Hooke generalizat.

n cazul strii plane de tensiune, pentru care y = xy = yz = 0, legea luiHooke generalizat este:

( ) ( ) ( ) .G

,E

1,

E,

E

1 xzxzxzzxzyzxx

==+== (6.14)

sau, fa de direciile principale:

95

;E

,E

,E

2''

32''

22''

1

===

1

3

2

3

3

3''' ''' ''', , .= = =E E E


6/15


MATERIALELOR

( )

( )

( ).E

1

,E

,E

1

133

132

311

=

+=

=

(6.15)

6.3 Energia de deformaie

Sub aciunea forelor exterioare corpul se deformeaz, iar forele sedeplaseaz, efectund astfel un lucru mecanic care este acumulat de corp sub formaenergiei de deformaie.

Dac o for F, se deplaseaz pe direcia ei de aciune cu , atunci lucrul

mecanic efectuat este L =

0

.dF

ntre forele exterioare aplicate static i deformaiile pe care le produc

exist relaia de proporionalitate F=k , astfel c

L = k =

0

2

2

F

2

k=d . (6.16)

Dac forele nu sunt aplicate static, nu exist proporionalitate ntreforele aplicate i deformaiile produse, rezultnd

L=F . (6.17)

Lucrul mecanic al forelor exterioare este egal cu lucrul mecanic alforelor interioare. Dac se izoleaz un element de volum dintr-un corp supus unei

stri liniare de tensiune, ca n figura 6.5, atunci lucrul mecanic efectuat de foraprodus de x este egal cu energia de deformaie nmagazinat de element, adic

dU= dV2

1=dxdydz

2

1xxxx .

Energia de deformaie raportat la unitatea de volum poart numele deenergie specific de deformaie fiind dat de expresia,

U1= ,2

1

dV

dUxx= (6.18)

96


7/15


i poate fi exprimat prin aria haurat din figura 6.6.

Fig. 6.5 Fig. 6.6

Pentru starea general de solicitare, energia specific de deformaie este

U1= ( )zyzyxzxzxyxyzzyyxx2

1 +++++ . (6.19)

Folosind relaiile de legtur dintre tensiuni i deformaii specifice,relaiile (6.12) i (6.13), se obine

( )[ ]

( ).2G

1

22E

1

2

zx

2

yz

2

xy

zzyyx

2

z

2

y

2

x1

+++

+++++=x

U

(6.20)

Dac starea de tensiune este definit prin direciile principale i tensiunileprincipale, situaie n care tensiunile tangeniale sunt nule, atunci

U1= ( )[ ]1332212

3

2

2

2

1 22E

1 ++++ . (6.21)

Corpul prin deformare i modific att volumul ct i forma, astfel c sepoate considera c o parte a energiei servete la modificarea volumului i alt partela modificarea formei:

U1=U1v+U1f. (6.22)

Elementul de volum (fig. 6.7) i modific volumul dac este solicitat pe

toate feele cu aceeai tensiune medie, p= ( )3213

1 ++ . Atunci x = y = z

= p, xy = yz = zx = 0, rezultnd:

U1v=( )

( ) 23212

6E

2-1p

2E

2-13

++= , (6.23)

97


8/15


MATERIALELOR

U1f=U1-U1v = ( ) ( ) ( )[ ]2132

32

2

216E

1

++

+. (6.24)

Energia total de deformaie pentruun corp este

U= .dVU1 (6.25)

Fig. 6.7

6.4 Teorii de rezisten

La solicitarea de ntindere simpl, tensiunea 1 produce ruperea, cndatinge starea limit 1= r. n Rezistena materialelor, dimensionarea pieselor seface astfel ca starea de tensiune care ia natere n timpul funcionrii s nu ajungla o anumit stare limit, care poate fi limita de elasticitate sau rezistenaadmisibil, pn la care se consider aplicabile relaiile Teoriei elasticitii.ncercrile n laborator efectuate pe epruvete solicitate la ntindere au artat c nmomentul ruperii, tensiunile normale i tangeniale i , deformaia specific i energia specific de deformaie U1 ating simultan valori corespunztoareruperii materialului respectiv. De aceea, la solicitarea de ntindere simpl, pentru adefini o stare limit este suficient s fie definit doar unul dintre cei patru factori,ceilali rezultnd implicit.

n cazul unei stri generale ( 1> 2> 3) se constat c dac unul dincei patru factori ( , , ,U1) atinge o stare limit, ceilali au valori diferite de celecare caracterizeaz aceast stare limit la solicitarea de ntindere simpl. Se puneatunci ntrebarea: ce relaie ntre tensiunile 1, 2, 3 poate duce la starealimit? Relaiile matematice ntre tensiunile principale 1, 2, 3corespunztoare atingerii unei strii limit, au fost numite teorii de rezisten.Considernd drept stare limit, rezistena admisibil a materialului la ntindereasimpl, teoriile de rezisten stabilesc pentru starea general de solicitare o tensiuneechivalent, care se compar cu rezistena admisibil, deci

ech= F( 1, 2, 3) a.

98


9/15


Corespunztor celor patru parametri, care definesc o stare limit, au foststabilite urmtoarele teorii de rezisten:

-teoria tensiunii normale maxime, conform creia o stare limit esteatins ntr-un corp, cnd tensiunea principal maxim din corp atinge valoareatensiunii corespunztoare aceleiai stri limit de la solicitarea de ntindere simpl:

ech = 1 a, (6.26)

-teoria deformaiei specifice maxime, conform creia o stare limit esteatins ntr-un corp, cnd deformaia specific maxim din corp atinge valoareadeformaiei specifice corespunztoare aceleiai stri limit de la solicitarea dentindere simpl.

n cazul strii generale de deformaie definit prin 1> 2> 3 se poatescrie,

max = 1, sau 1= ( )[ ]EE

1 a321

+ .

Rezult c .)( 321ech a += (6.27)

-teoria tensiunii tangeniale maxime, conform creia o stare limit esteatins ntr-un corp, cnd tensiunea tangenial maxim din corp atinge valoareatensiunii tangeniale corespunztoare aceleiai stri limit de la solicitarea dentindere simpl. Relaia (6.6) arat c

,2

31max

= iar la ntinderea simpl

2

1max

= .

Admind drept stare limit rezistena admisibil la solicitarea dentindere simpl, rezult:

,22

31max

a

= sau ech = 1 3 a . (6.28)

-teoria energiei specifice de deformaie, conform creia o stare limit

este atins ntr-un corp, cnd energia specific de deformaie atinge valoareaenergiei specifice de deformaie corespunztoare aceleiai stri limit de lasolicitarea de ntindere simpl.

Folosind relaia (6.21) pentru starea general de tensiune i apoi pentrusolicitarea de ntindere simpl, unde 1= a, se scrie

( ) ( )2EE2E

12

a133221

2

3

2

2

2

1

++++

sau

99


10/15


MATERIALELOR

( ) .2 a1332212

3

2

2

2

1ech ++++= (6.29)

-teoria energiei specifice de variaie a formei, conform creia o starelimit este atins ntr-un corp, cnd energia specific de variaie a formei arevaloarea energiei specifice de variaie a formei corespunztoare aceleiai strilimit de la solicitarea de ntindere simpl.

Prin aplicarea relaiei (6.24) pentru starea general de tensiune i apoipentru solicitarea de ntindere simpl, unde 1= a, se scrie

( ) ( ) ( )[ ] ,26E1

E6

1a

2

13

2

32

2

21

+++

+sau

( ) ( ) ( )[ ] .2

1a

2

13

2

32

2

21ech ++= (6.30)

Rezultatele calculelor de rezisten efectuate prin aplicarea acestor teoriide rezisten difer de la o teorie la alta, ncercrile de laborator verificndu-lenumai n anumite cazuri. Astfel,

-teoria tensiunii normale maxime (teoria I) se verific n cazul ntinderiimaterialelor casante i mai puin pentru materiale tenace;

-teoria deformaiei specifice maxime (teoria II) nu se verific pentrumateriale tenace, cum sunt oelurile moi;

-teoria tensiunii tangeniale maxime (teoria III) a fost confirmat pentrumaterialele tenace i la ncercrile de compresiune pe toate direciile pentrumateriale casante;

-teoria energiei specifice de deformaie (teoria IV-a) a fost verificat

pentru materiale tenace numai n cazul n care p = ( ) 03

1321 ++ ;

-teoria energiei specifice de variaie a formei (teoria IV-b) a fostverificat pentru materiale tenace.

Se poate aprecia c teoria tensiunii tangeniale maxime i cea a energieispecifice pentru variaia formei sunt recomandate pentru materiale tenace, iarteoriile tensiunii normale maxime i a deformaiei specifice maxime pentrumateriale fragile.

n cazul strii plane de tensiune ( 2=0), relaiile care dau tensiunileechivalente devin:

100


11/15


12/15


MATERIALELOR

Fig. 6.8

Tensiunile echivalente (6.32) sunt n acest caz:

.M4

3M

W

1

;M2

1M

W

1

;MMW

1

;MM2

1M

2

1

W

1

;MM2

1

2

M

W

1

2

t

2

i

y

b-IV

ech

2

t

2

i

y

a-IV

ech

2

t

2

i

y

III

ech

2

t

2

ii

y

II

ech

2

t

2

ii

y

I

ech

+=

++=

+=

+++=

++=

(6.33)

Relaiile (6.33) pot fi scrise sub forma

,W

M

y

ech

ech = (6.34)

unde Mech (numit moment echivalent) se calculeaz dup teoriile de rezisten, curelaiile:

102


13/15


.M43MM

;M2

1MM

;MMM

;MM2

1M

2

1M

;MM2

1

2

MM

2t

2i

b-IVech

2

t

2

i

a-IV

ech

2

t

2

i

III

ech

2

t

2

ii

II

ech

2

t

2

iiI

ech

+=

++=

+=

++

+

=

++=

(6.35)

Cu relaia (6.34) se pot face calcule de dimensionarea

ech

y

MW

nec = , (6.36)

i de determinarea capacitii de ncrcare Mcap=Wy a. (6.37)

Aplicaia 1

Un motor electric avnd puterea P=10KW i turaia n=150rot/minantreneaz un arbore pe care se gsete o roat, care acioneaz un mecanism decomand, ca n figura 6.9. S se dimensioneze arborele din oel, cu seciuneacircular. Se d a= 60 MPa.

Fig. 6.9

103


14/15


MATERIALELOR

Rezolvare

Momentul de rsucire preluat de arbore este

Mt= kNm.637,0150

1030=

Prin reducerea forei F de la periferia roii pe arbore rezult o forconcentrat i un moment de rsucire care echilibreaz momentul de rsucirepreluat de arbore, ca n figura 6.9, adic

Mt= FR =0,637, rezultnd F = 5,30,12

0,637

= kN.

Arborele este deci solicitat la ncovoiere i rsucire, diagramele M i i M tfiind trasate pe figura 6.9, seciunea periculoas a arborelui este n dreptul roii,unde momentul de ncovoiere echivalent calculat prin teoria a III-a de rezisteneste

Mech= 829,0637,053,0 22 =+ kNm.

Diametrul arborelui rezult:

Wy nec= ,mm1081,1360

10829,0 336

=

de unde

d 3

32 138 10

3

= ,, d = 52 mm.

Aplicaia 2

Arborele din figura 6.10, confecionat din oel cu seciunea inelar(d=0,8D) primete prin roata 1 puterea P1= 35 kW de la un motor electric itransmite la dou maini de lucru prin roile 2 i 3 puterile P 2 = 20 kW i P3 =15kW,turaia arborelui fiind n = 400 rot/min. S se dimensioneze arborele dup teoria aIV-a de rezisten. Se d a= 100 MPa.

Rezolvare

Momentele de rsucire care solicit arborele sunt:

33

3-1

t RTn

P30M ==

, de unde 79,1

2,0400

1530T3 =

=

kN,

MP

nT R

t

1-2

2 2= =

30

, de unde 39,2

2,0400

2030T2 =

=

kN.

Momentul de rsucire preluat prin roata 1 este

104


15/15


111

t RTn

P30M ==

, de unde T1 =

=30 35

400 0 42 09

,, kN.

Fig. 6.10

Arborele este solicitat n plan vertical prin fora concentrat 3T1, iar nplan orizontal prin forele 3T2 i 3T3, ca n figura 6.10. Diagramele momentelorncovoietoare n plan vertical, n plan orizontal i de rsucire sunt trasate n desen.

Momentul ncovoietor rezultant i seciunea periculoas a arborelui dindreptul roii 1 este:

77,125,125,1MMM 222iH2

iVi =+=+= kNm.

Momentul echivalent calculat prin aplicarea teoriei a IV-b-a este

Mech= 82,1477,04

377,1 22 =+ kNm.

Modulul de rezisten axial este Wy =182 10

100 321 0 8

6

4,

( , )

= D 3

, de

unde D = 68 mm, d = 55 mm.

105

rezistenta materialelor teori de rezistenta

Documents