Facultatea de Automatica si Calculatoare, Universitatea Politehnica din Bucuresti

Examen Final MN

Student: Grupa:

Descriere curs: MN, An I, Semestrul IITitlu curs: Metode NumericeProfesor: Conf.dr.ing. Florin POP

Durata examenului: 120 minute

Tip Examen: Closed BookMateriale Aditionale: Nu! Fara telefoane mobile!!!

Numar pagini:

Rezultate ExamenSubiect Punctaj

1 /22 /23 /24 /25 /2 /10

Subiecte (2)

1.2 puncte Calculati functiile spline polinomiale de ordin 2 (cubice), s0(x) si s1(x), unde s0(1) = 2,

s1(2) = 1, pentru functia f(x) cunoscuta prin: x = [1 2 4], f = [3 4 6].Bonus [0.4p]. Descrieti algoritmul de desenare a unei curbe Bezier de grad n.

2.2 puncte Fie functia data prin: x=[-1 -0.5 0.5 1], f(x) = [1 0 0 1].

a) Calculati polinomul de aproximare in sensul celor mai mici patrate de grad 2, cufunctia pondere w(x)=1.

b) Calculati polinomul minimax de grad 2, folosind primul algoritm al lui Remes.Bonus [0.4p]. Este polinomul de aproximare in sensul celor mai mici patrate intotdeaunaidentic cu polinomul minimax? Justificati raspunsul.

3.2 puncte Se considera formula de integrare 11 f(x)dx K(f(x0) + f(x1) + f(x2)). Determinati

K, x0, x1, x2 astfel incat formula sa aiba gradul maxim de valabilitate. Care este acesta?Calculati cu aceasta formula o aproximatie pentru

10 ln(1 + x

2)dxBonus [0.4p]. Descrieti doua metode numerice pentru cresterea gradului de valabilitatepentru formula propusa mai sus.

4.2 puncte Pentru rezolvarea problemei Cauchy se foloseste relatia yk+1 = yk2 + h2

j=0 jfkj.Determinati j, j=0:2 astfel incat formula sa aiba gradul de valabilitate cat mai ridicatposibil. Care este acesta? Scrieti o functie MATLAB pentru implementarea formulei.Bonus [0.4p]. Explicati notiunile de conistenta, convergenta si stabilitate ale unei metodede integrare numerice pentru o problema Cauchy. Prezentati un exemplu pentru lim-itarea superioara a lui h.

5.2 puncte Legile de miscare ale lui Newton, guvernate de forta de atractie gravitationala, conducla urmatorul sistem de ecuatii diferentiale pentru miscarea unui satelit in sistemul dereferinta pamant-luna, cu originea in centrul de greutate al sistemului pamant-luna:

x = 2y + x fx (x+ )r31

(x )

r32

y = 2x + y fy yr31 y

r32

unde: = MLMP

= 181.45

, (ML este masa Lunii si MP este masa Pamantului), = 1 ,

r21 = (x+ )2 + y2, r22 = (x )2 + y2.

Transcrieti sistemul de ecuatii intr-un sistem de ecuatii ordinare, de oridinul I, identifi-cand voi coditiile initiale. Scrieti un set de functii MATLAB pentru rezolvarea acestuisistem de ecuatii folosind RK4.

Bonus [0.4p]. Care este diferenta dintre o metoda RK si o metoda Euler folosite pentrurezolvarea numerica a unei probleme Cauchy?

Page 2