2008_2
DESCRIPTION
bcluret mtemtic 2008 sesiune 2TRANSCRIPT
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 9 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009
5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia 2 9z = − . 5p 2. Să se determine a ∗∈ pentru care ecuaţia 2 (3 1) 3 0ax a x a+ − + + = are soluţii reale.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea [ ]0,2π ecuaţia cos4 1x = .
5p 4. Să se determine numărul funcţiilor { } { }: 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5f → cu proprietatea că (1) (2)f f= .
5p 5. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris într-un triunghi care are lungimile laturilor 13,14,15 .
5p 6. Triunghiul ABC are ,6 4
B Cπ π= = . Să se demonstreze că 2
AB
AC= .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097
1. Se consideră matricea ( )3
0 0 10 1 01 0 0
A M = ∈
.
5p a) Să se calculeze ( )det A .
5p b) Să se determine 1A− .
5p c) Să se arate că ( ) ( )13 32 ,
n nI A I A n− ∗+ = + ∀ ∈ .
2. Pentru fiecare *n ∈ considerăm polinomul 3 22 4 1 [ ].nnf X X X X= + − − ∈
5p a) Să se arate că 1f nu este divizibil cu polinomul 2g X= − .
5p b) Să se determine suma coeficienţilor câtului împărţirii polinomului 3f la 1X − .
5p c) Să se arate că restul împărţirii polinomului nf la polinomul 2 1h X X= + + nu depinde de n .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087
1. Se consideră funcţia : (0; ) , ( ) , 0x af f x a x a∞ → = − > .
5p a) Să se calculeze (1)f ′ .
5p b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x a= .
5p c) Să se arate că, dacă ( ) 0, 0f x x≥ ∀ > , atunci a e= .
2. Se consideră şirul ( ) 1n nI ≥ ,
1ln
e nnI x dx= ∫ .
5p a) Să se calculeze 1I .
5p b) Să se arate că 1, 2n nI e nI n−= − ∀ ≥ .
5p c) Să se arate că şirul ( ) 1n nI ≥ este convergent.
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - SESIUNEA AUGUST Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT1 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 009 1. 1,2 3z i=
1,2 3z i= − 3p 2p
2. 0∆ ≥
{ }9 2 19 9 2 19, , \ 0
5 5a
− +∈ −∞ ∪ +∞
2p
3p
3. [ ]0,2
2
kx k
π π ∈ ∈ ∩
30, , , ,2
2 2x
π ππ π ∈
2p
3p
4. Numărul cerut coincide cu numărul funcţiilor { } { }: 1,3,4,5 1,2,3,4,5g →
Finalizare: 45
2p
3p 5. 21p = , 84S =
4S
rT
= =
2p
3p
6.
sin sin
AB AC
C B=
2AB
AC=
2p
3p
SUBIECTUL II (30 puncte) -Varianta 097 1.a) ( )det 1A = − 5p
b) 23A I= ,
1A A− =
2p
3p c) ( ) 3 31 :P I A I A+ = +
( ) ( )1P k P k⇒ +
2p
3p
2.a) ( )1 2 7 0f = ≠
Finalizare 4p 1p
b) ( )( )8 7 23 1 ... 3 1f X X X X X= − + + + + −
Finalizare: suma coeficienţilor este 9
3p
2p c) ( ) 22 4 6 2nf ε ε ε ε= − = − − unde ε ∈ , cu 2 1 0ε ε+ + =
Finalizare: restul este 6 2ε− −
3p
2p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 2
SUBIECTUL III (30 puncte) -Varianta 087 1.a) ( ) 1lnx af x a a ax −′ = −
( ) ( )1 ln 1f a a′ = −
3p
2p
b) ( ) 0f a =
( ) ( )ln 1af a a a′ = −
Finalizare: ecuaţia este ( )( )ln 1ay a a x a= − −
1p
2p
2p c) ( ) ( ) ( ), 0,f x f a x≥ ∀ ∈ ∞
a punct de minim
( ) 0 ln 1f a a a e′ = ⇒ = ⇒ =
1p 1p 3p
2.a) 1 1
lne
I x x dx′= =∫
( )ln1
ex x x= −
Finalizare: 1 1I =
1p
3p
1p
b) 1
1ln
e nnI x x dx
x′= ⋅ =∫
1
1
1ln ln
1
en nex x x n x dx
x−= − ⋅ =∫
1ne nI −= −
1p
2p
2p
c) [ ]0 ln 1, 1,x x e≤ ≤ ∀ ∈
( )1 1ln ln 1 0, 1
e nn nI I x x dx n+ − = − ≤ ∀ ≥∫
deci 0nI ≥
Finalizare: ( )n nI monoton şi mărginit
1p
2p
1p
1p
♦ Total: 100 de puncte, din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2
17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
9 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009 5p 1. Să se calculeze suma 1 5 9 13 ... 25+ + + + + .
5p
2. Se consideră funcţia :f → , ( ) 2 2f x mx mx= − + , m ∗∈ . Să se determine numărul real nenul
m ştiind că valoarea minimă a funcţiei este egală cu 1. 5p 3. Să se calculeze ( ) ( )2 2log 45 log 45tg ctg+ .
5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea { }2, 3, 4,..., 11A = , acesta să
fie iraţional. 5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul ( )2, 3A − şi este paralelă cu dreapta
2 5 0.x y+ + =
5p 6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC ştiind că AB = 6, AC = 10 şi ( ) 60m A = .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097
1. Se consideră matricele
1 2 1 1
2 1 , 1
0 2 3 1
A a B
−= =
şi x
X y
z
=
.
5p a) Să se scrie sistemul asociat ecuaţiei matriciale AX B= .
5p b) Să se determine a ∈ pentru care ( )det 0A = .
5p c) Dacă { }\ 2,6a ∈ şi 0 0 0( , , )x y z este soluţia sistemului
2 1
2 1
2 3 1
x y z
x ay z
y z
+ − =+ + =+ =
, să se demonstreze că 0
0
x
z
nu depinde de a .
2. Se consideră polinomul 2008 2008( 1) ( 1)f X X= + + − având forma algebrică
f 20082008 1 0... ,a X a X a= + + + unde 0 1 2008, ,...,a a a sunt numere reale.
5p a) Să se calculeze ( 1) (1)f f− + .
5p b) Să se determine suma coeficienţilor polinomului f. 5p c) Să se determine restul împărţirii lui f la 2 1X − .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008 – MATEMATICĂ – Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2
87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087 1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →R , ( ) lnf x x x x= − .
5p a) Să se verifice că ( ) lnf x x′ = pentru orice 0x > .
5p b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = . 5p c) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe ( )0, .+∞
2. Pentru orice *n ∈ se consideră funcţiile [ ]: 0,1nf → R , ( ) 1nnf x x= + .
5p a) Să se determine ( )1 f x dx∫ , unde [ ]0,1x ∈ .
5p b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei [ ]: 0,1g → R , ( ) ( )1g x f x= ,
axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = şi 1x = .
5p c) Să se arate că ( )1
0
2nf x dx ≤∫ pentru orice n ∗∈ N.
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 – sesiunea august Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT2 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale.
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 009
1. 7
1 257 91
2S
+= ⋅ = . 5p
2. 0m > şi 1
4m
∆− =
Finalizare: 4m =
2p
3p
3. tg 45 ctg 45 1= =
2 2log 1 log 1 0+ =
2p
3p 4. Numerele raţionale din A sunt 4 şi 9
Probabilitatea este 4
5
2p 3p
5. Panta dreptei
1
2−
Ecuaţia dreptei ( )13 2 2 4 0
2y x x y+ = − − ⇔ + + =
2p 3p
6. 2 76BC =
2 19BC =
4p 1p
SUBIECTUL II (30 puncte) -Varianta 097
1.a) 2 1
2 1
2 3 1
x y z
x ay z
y z
+ − =
+ + =
+ =
5p
b) ( )det 3 18A a= −
Finalizare: 6a = 3p
2p
c) ( )( ) ( )0 0
4 2 2,
3 6 3 6
a ax z
a a
− −= =− −
Finalizare: 0
0
4x
z=
4p 1p
2.a) 2008 2008( 1) 2 , (1) 2f f− = =
( ) 2009( 1) 1 2f f− + =
4p
1p b) Suma coeficienţilor este ( ) 20081 2f = 5p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 2
c) ( ) [ ]2 1 ,f X c aX b c X= − + + ∈
( )1f a b= + , ( )1f a b− = − + 20080, 2a b= =
Finalizare: restul este 20082
1p 2p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 puncte) -Varianta 087
1.a) ( ) 1ln 1 ln , 0f x x x x x
x′ = + ⋅ − = > 5p
b) ( )1 1f = −
( )1 0f ′ =
Ecuaţia tangentei este 1 0y + =
1p 1p 3p
c) ( ) 1'' 0, 0f x x
x= > ∀ >
f convexă pe ( )0,∞
4p 1p
2.a) ( ) ( )1 1f x dx x dx= + =∫ ∫
2
2
xx C= + +
2p 3p
b) Aria este ( )
1
0
g x dx =∫
( ) ( )3/ 21
0
11 21 2 2 1
03/ 2 3
xx dx
+= + = = −∫
1p 4p
c) [ ]1 2, 0,1nx x+ ≤ ∀ ∈
( )1 1
0 02 2nf x dx dx= =∫ ∫
1p 4p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D, tipul subiectului MT3, programa M4
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ – Proba D
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 9 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009
5p 1. Să se rezolve sistemul 1
0
x y
xy
+ = =
, ,x y ∈ .
5p 2. Să se calculeze 3 1 333
log 27 log 3 log 1 log 3S = + − + .
5p 3. Să se afle suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice 1( )n na ≥ , ştiind că 1 3a = şi 5 11a = .
5p 4. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul (1, 1)A − şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie 1 0x y+ + = .
5p 5. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 4 2(0,5) (0,125)x x− += .
5p 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC , ştiind că 12, ( ) 60 , ( ) 75BC m A m B= = = .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097
Pe mulţimea { } este divizor al lui 12H x x= ∈ se defineşte legea de compoziţie
( ). . . . . ,x y c m m d c x y∗ = , ,x y H∀ ∈ .
5p a) Să se precizeze elementele mulţimii H. 5p b) Să se arate că pentru oricare ,x y H∈ , rezultă că x y H∗ ∈ . 5p c) Să se verifice că ( ) ( )12 6 4 2 12 6 4 2 ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ .
5p d) Să se rezolve ecuaţia 6 2x∗ = . 5p e) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă pe H. 5p f) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ∗ ” are element neutru pe H.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087
Se consideră mulţimea de matrice ( ) ( ) ( )2
24 1
, 2 2 1
aM A a A a a
a a
− − = ∈ = ∈ − − M şi matricele
3 1
7 1B
− − =
, 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se determine a ∈ pentru care 5 1
( )1 5
A a−
=
.
5p b) Să se calculeze 3 1 5 1
27 1 1 5
C− − −
= +
.
5p c) Să se verifice că 222 4B B I= − − .
5p d) Să se calculeze ( )det 3A .
5p e) Să se arate că dacă matricea ( ) 2X ∈ M îndeplineşte condiţia 22 22 4X X I O+ + = , atunci 3
28X I= .
5p f) Să se determine a ∈ cu proprietatea că ( )( )det 0A a = .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_MT3_M4-Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - Sesiunea august Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT3_M4
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) – Varianta 009
1) 0, 1x y= = şi 1, 0x y= = . 5p
2) 5
2S = 5p
3) Raţia progresiei este 2r =
10 1 9 21a a r= + =
10 120S =
1p 1p 3p
4) Panta dreptei cerute este 1 Ecuaţia dreptei este 2 0x y− − =
2p 3p
5) 2 4 6 321 1
3 10 02 2
x x
x x− +
= ⇔ − − =
1 25, 2x x= = −
3p 2p
6) ( ) 45m C =
6 2ˆsin4
B+=
sin 60 sin 75 sin 45
BC AC AB= = ; perimetrul este 12 6 6 6 2+ +
1p
1p 3p
SUBIECTUL II (30 puncte) – Varianta 097 a) { } 1,2,3,4,6,12H = 5p
b) ( )/12, /12 , /12x y x y x y H⇒ ⇒ ∗ ∈ 5p
c) Verificarea relaţiei 5p d) { }2,4x ∈ 5p
e) Verificarea asociativităţii 5p f) 12 12 ,x x x x H∗ = ∗ = ∀ ∈ ⇒ 12 este element neutru 5p
SUBIECTUL III (30 puncte) – Varianta 087 a) 3a = 5p
b) 1 3
15 7C
− − =
5p
c) Verificarea relaţiei 5p d) ( )det 3 26A = 5p
e) ( )( )2 32 2 2 22 2 4 8O X I X X I X I= − + + = −
328X I=
3p
2p
f) ( ) ( )( )2det 2 2 3 1 0A a a a a= − + − =
1 2,33 17
2,4
a a− ±= =
3p
2p
• Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.