Liana PATER

MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE

2

ISBN: (10) 973-687-462-1 (13) 978-973-687-462-8

Editura Eurostampa Timişoara, bd. Revoluţiei nr. 26 Tel./fax: 0256-204816 E-mail: estampa@upcnet.ro

3

UNIVERSITATEA TIBISCUS TIMIŞOARA Facultatea de Ştiinţe Economice

Lect. dr. Liana PATER

MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE

Note de curs pentru uzul studenţilor de la ÎFR

Timişoara

4

5

CUPRINS TEMA I. ALGEBRĂ LINIARĂ ...............................................................7

1.1. Algebră matriceală. Operaţii cu matrice..............................................7 Ecuaţii matriceale .......................................................................................7 1.2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare ............................................15 1.3. Spaţii vectoriale reale ........................................................................17 Dicţionar ...................................................................................................23 Test de evaluare ........................................................................................25

TEMA II. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ......................27 2.1. Funcţii de mai multe variabile reale ..................................................27 2.2.Extremele funcţiilor de mai multe variabile .......................................29 Dicţionar ...................................................................................................35 Test de evaluare ........................................................................................36

TEMA III. CAPITOLE DE CERCETĂRI OPERAŢIONALE.............38 3.1. Modelul general al unei probleme de optimizare liniară ...................38 3.2. Enunţarea algoritmului simplex.........................................................41 3.3. Interpretarea economică a algoritmului simplex ...............................42 3.4. Probleme de optimizare de tip transport............................................47 Dicţionar ...................................................................................................52 Test de evaluare ........................................................................................53

TEMA IV. TEORIA PROBABILITĂŢILOR .........................................54 4.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate. Variabile aleatoare....54 4.2. Scheme clasice de probabilitate.........................................................57 Dicţionar ...................................................................................................62 Test de evaluare ........................................................................................62

TEMA V. ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE ................64 5.1. Dobânda simplă şi dobânda compusă...............................................64 5.2. Plăţi eşalonate ....................................................................................68 5.3. Împrumuturi.......................................................................................72 Dicţionar ...................................................................................................75 Test de evaluare ........................................................................................76

BIBLIOGRAFIE: .......................................................................................77

6

7

TEMA I. ALGEBRĂ LINIARĂ CONŢINUT

1.1. Algebră matriceală. Operaţii cu matrice. Ecuaţii matriceale 1.2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare 1.3. Spaţii vectoriale reale

REZUMAT În cadrul acestui capitol se recapitulează noţiuni din algebră învăţate în cursul ultimelor clase de liceu pentru ca acestea să devină apoi baze pentru noţiunile de algebră liniară superioară. OBIECTIVE

Parcurgerea acestei teme va facilita cunoaşterea şi aprofundarea următoarelor noţiuni: - matrice, operaţii cu matrice, rangul unei matrice, inversa unei matrice - determinanţi, proprietăţile determinanţilor - rezolvarea ecuaţiilor matriceale - rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare - legi de compoziţie interne şi externe - structuri algebrice - baze în spaţii vectoriale

1.1. ALGEBRĂ MATRICEALĂ. OPERAŢII CU MATRICI.

ECUAŢII MATRICEALE

Matrice

Vom nota o matrice de tipul (m,n) sub forma:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

unde m este numărul de linii iar n numărul de coloane. Numerele aij se numesc elementele matricei A. De multe ori, pentru matricea A se mai folosesc notaţiile prescurtate: A = (aij)

nj1mi1

≤≤≤≤ sau A = (aij)

n,...2,1jm,...2,1i

==

Se observă că o matrice de tipul (m,n) are m·n elemente.

Matrice

8

Cazuri particulare ale dimensiunilor pentru matrice: 1) dacă n = 1, matricea este de tipul (m,1), se numeşte matrice coloană şi

are forma

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1m

11

a

aA Μ ;

2) dacă m = 1, matricea este de tipul (1,n), se numeşte matrice linie şi are forma

)aa(A n111 Λ= ; 3) dacă m = n, matricea se numeşte pătratică de ordinul n

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Pentru o matrice pătratică de ordinul n, mulţimea ordonată de elemente ( )nn332211 aaaa Λ

se numeşte diagonala principală a matricei A, iar ( )1n2n,31n,2n,1 aaaa Λ−−

se numeşte diagonala secundară a matricei. Vom nota cu Mm.n(ℝ) mulţimea tuturor matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere reale. În cazul m = n, vom nota în loc de Mn,n(ℝ) doar Mn(ℝ) – mulţimea matricelor pătratice de ordinul n. În mulţimea Mm,n(ℝ) distingem câteva submulţimi importante: Mm,n(ℚ) – mulţimea matricelor cu elemente numere raţionale; Mm,n(ℤ) – mulţimea matricelor cu elemente numere întregi; Mm,n(ℕ) – mulţimea matricelor cu elemente numere naturale.

Exemple: ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

213201

A M2,3(ℤ)

∈

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

0041

5120

73

211

B M3(ℚ)

Observaţie: uneori, pentru matricea A de tipul (m,n) se mai foloseşte şi notaţia:

Matrice coloană

Matrice linie

Matrice pătratică

Diagonala principală

Diagonala secundară

9

mn1m

n111

aa

aaA

ΛΜΟΜ

Λ=

Două matrice A şi B de tipul (m,n), adică A, B ∈ Mm.n(ℝ) sunt

egale, dacă şi numai dacă aij = bij, n,1j;m,1i ==∀ Operaţii cu matrice:

1) Adunarea matricelor se poate face doar cu matrice de acelaşi tip A, B ∈ Mm.n(ℝ)

Observaţii: - elementul neutru la adunarea matricelor este de forma 0m,n , unde

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

00

000 n,m

ΛΜΟΜ

Λ

- orice matrice are un opus, ∀A∈ Mm,n(ℝ), ∃ (- A)∈ Mm,n(ℝ), astfel încât A + (-A) = (-A) + A = 0m,n

2) Înmulţirea matricelor se poate face doar cu matrice de forma Am,n şi Bn,p adică numărul de coloane al primei matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii al celei de-a doua matrice, iar rezultatul va fi Am,n · Bn,p = Cm, p. Un element al matricei rezultat va fi:

cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + ... + ain · bnk = ∑=

n

1jjkijba

Proprietăţile înmulţirii: - asociativitatea: (A‧B)‧C = A‧(B‧C) - distributivitatea: A‧(B+C) = A‧B+A‧C – la stânga (A+B)‧C = A‧C+B‧C – la dreapta - NU există comutativitate la înmulţirea matricelor, adică A‧B≠ B‧A, chiar şi în cazul matricelor pătratice, când putem efectua ambele înmulţiri - în Mn(ℝ) există element neutru faţă de înmulţire (A·I = I·A = A pentru orice matrice A), şi acesta este matricea unitate In, matrice care are pe diagonala principală numărul 1 iar în rest numărul 0. De exemplu,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

I3

3) Înmulţirea unei matrice cu un scalar (număr):

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅=⋅

mn2m1m

n22221

n11211

acacac

acacacacacac

cAAc

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Matrice egale

Adunarea matricelor

Înmulţirea matricelor

Înmulţirea matricei cu un scalar

10

4) Transpusa matricei A ∈ Mm.n(ℝ) este =At (aji) ∈ Mn.m(ℝ) şi se construieşte scriind liniile matricei A ca şi coloane în matricea At :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnn2n1

2m2212

1m2111

t

aaa

aaaaaa

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Determinanţi

Noţiunea de determinant al unei matrice are sens doar pentru

matricele pătratice. Considerăm o matrice pătratică de ordinul n, A ∈ Mn(ℝ),

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Determinantul matricei A se notează:

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

Adet

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

=

şi este suma tuturor produselor de n elemente aparţinând la linii şi coloane distincte ale matricei A. Un astfel de produs este de forma

n21 nii2i1 aaa ⋅⋅⋅± Κ , unde { }n,...,2,1i,...i,i n21 ∈ . Observaţie: Determinantul unei matrice este un număr.

Proprietăţi ale determinanţilor: 1) det A = det tA, ∀A ∈Mn(ℝ); 2) dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,

atunci determinantul matricei este nul; 3) dacă toate elementele a două linii (sau coloane) sunt egale, atunci

determinantul matricei este nul; 4) dacă elementele a două linii (sau coloane) sunt proporţionale, atunci

determinantul matricei este nul; 5) dacă într-o matrice A schimbăm două linii (sau coloane) între ele,

obţinem o altă matrice A` al cărei determinant det A` = - det A; 6) dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice A sunt

înmulţite cu α , rezultă că matricea A` are determinantul det A` =α detA; 7) dacă o linie (sau o coloană) a unei matrice A este combinaţie liniară de

celelalte linii (respectiv colaone) atunci det A = 0.

Transpusa matricei

Determinantul unei matrice

Proprietăţile determinanţilor

11

Rangul unei matrice

Fie o matrice de tipul (m,n) dată sub forma

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Alegem k linii şi k coloane din matricea A:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

kk2k1k

k22212

k12111

jijiji

jijiji

jijiji

aaa

aaaaaa

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Determinantul acestei matrice se numeşte minor de ordinul k al

matricei A. Din matricea A se pot obţine kn

km CC ⋅ minori de ordinul k. În

continuare ne va interesa să aflăm ordinul (dimensiunea) celui mai mare minor nenul al matricei A.

Rangul unei matrice A este r şi scriem rang A = r dacă A are un minor nenul de ordin r, iar toţi minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli.

Dacă matricea este nulă, convenim să spunem că are rangul 0, adică rang 0m,n =0.

Matrice inversabile

O matrice pătratică se numeşte singulară dacă determinantul său este nul, şi se numeşte nesingulară dacă determinantul său este nenul. O matrice A, pătratică de ordinul n se numeşte inversabilă dacă există o matrice B, pătratică de ordinul n, astfel încât nIABBA =⋅=⋅ . Teoremă: O matrice pătratică de ordinul n este inversabilă dacă şi numai dacă det A ≠ 0 (adică A este nesingulară). Inversa matricei pătratice, dacă există, este unică şi se notează cu A-1. Calcularea inversei unei matrice pătratice 1. verificăm dacă det A = 0 sau det A≠ 0; 2. pentru matricea A cu det A≠ 0, calculăm A* care se numeşte matricea

adjunctă matricei A sau matricea transpusă a complemenţilor algebrici:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∗

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAAAAA

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Minor de ordin k

Rangul unei matrice

Matrice singulară sau nesingulară

Matrice inversabilă

Inversa unei matrice

12

unde Aij este complementul algebric al elementului aij şi se calculează în felul următor:

Aij = (-1)i+j ‧ determinantul obţinut din matricea A dacă excludem linia i şi coloana j.

3. ∗− ⋅= AAdet

1A 1

Exemplu Fie matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

121111322

A

Calculăm determinantul său şi obţinem det A = -7. Determinantul fiind nenul, matricea A este inversabilă. Avem

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=∗

332313

322212

312111

AAAAAAAAA

A

Să calculăm Aij . De exemplu

31211

)1(A 1111 −=

−⋅−= +

41232

)1(A 1221 =⋅−= + şi aşa mai departe.

Deci ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=∗

461152543

A şi astfel

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−−

=⋅−

= ∗−

74

76

71

71

75

72

75

74

73

A7

1A 1

Dezvoltarea determinanţilor după o linie sau o coloană Orice determinant de ordin mai mare decât 3 se calculează doar după ce l-am dezvoltat în aşa fel încât am ajuns la determinanţi de ordin 3. Dezvoltarea determinanţilor după o linie Fie determinantul de ordinul n,

nj1ni1ijad≤≤≤≤= . Atunci, pentru orice

ni1 ≤≤ are loc egalitatea:

Dezvoltarea determinan-tului după o linie

13

( ) ( ) ( ) ininni

2i2i2i

1i1i1i

n

1jijij

ji da1da1da1da)1(d ⋅⋅−++⋅⋅−+⋅⋅−=⋅⋅−= +++

=

+∑ Κ

Această egalitate poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după linia i. Exemplu: Dezvoltăm următorul determinant după linia 3

+−−

−⋅⋅−+

−−

−⋅⋅−=

−−−

−

= ++

446543

4110)1(

445541

4122)1(

445611025413

4121

d 2313

456413121

)1()1(456513

4211)1( 4333

−⋅−⋅−+

−−⋅⋅−+ ++

Dezvoltarea determinanţilor după o coloană Fie determinantul de ordinul n,

nj1ni1ijad≤≤≤≤= . Atunci, pentru orice

nj1 ≤≤ are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) njnjjn

j2j2j2

j1j1j1

n

1iijij

j1 da1...da1da1da)1(d ⋅⋅−++⋅⋅−+⋅⋅−=⋅⋅−= +++

=

+∑ Această egalitate poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j. Exemplu: Dezvoltăm următorul determinant după coloana 3

+−−−

⋅⋅−+−⋅⋅−=

−−

−−

= ++

162513152

3)1(162513701

0)1(

1462501373011052

d 3231

513701152

)4()1(162701152

0)1( 3433

−

−−⋅−⋅−+

−−⋅⋅−+ ++

Ecuaţii matriceale

Cum rezolvăm o ecuaţie simplă de gradul I?

bxa0bxa =⋅⇒=−⋅ ⇒ baababx 11 ⋅=⋅== −−

Dezvoltarea determinan-tului după o coloană

14

Dar dacă în loc de numere avem matrice? Situaţia se complică pentru că nu putem împărţi două matrice şi nici comutativitatea la înmulţirea matricelor nu există. O ecuaţie matriceală va fi rezolvată într-unul din modurile următoare:

Dacă A · X = B ⇒ A-1 · A · X = A-1 · B, cum A-1 · A = I ⇒ X = A-1 · B Dacă X · A = B ⇒ X · A · A-1 = B ·A-1 ⇒ X = B ·A-1 Dacă A · X · B = C⇒ A-1 · A · X · B · B-1 = A-1 · C · B-1⇒ X = A-1 · C · B-1

Exemplu:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

321032101

X052340

312 adică A · X = B⇒ X = A-1

· B

Calculăm inversa matricei A:

∗−

∗

⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

≠−=−−−−+=−−

=

AAdet

1A

;AAAAAAAAA

A

06003024600052340

312Adet

1

332313

322212

312111

150534

)1(A 1111 =

−⋅−= +

6023-0

)1-(A 2112 −=⋅= +

85240

)1-(A 3113 −=⋅= +

150531

)1-(A 1221 =⋅= +

60232

)1(A 2222 −=

−⋅−= +

125212-

)1-(A 3223 =⋅= +

-153-431

)1-(A 1331 =⋅= +

6-30

32-)1-(A 23

32 =−

⋅= +

Ecuaţii matriceale

15

-84012-

)1-(A 3333 =⋅= +

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

⋅−=⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

⋅−

=

−

−

158

31

52

52

21

51

21

410

32202424301230150

601BAX

8128666

151515

601A

1

1

1.2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE

Sisteme de ecuaţii liniare

Fie un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa.............................................

bxaxaxabxaxaxa

Λ

ΛΛ

unde: xj – necunoscutele, n,1j =

aij – coeficienţii necunoscutelor, n,1j;m,1i == bi – termenii liberi, m,1=i

Sistemul poate fi scris condensat sub forma: m,1i,bxa i

n

1jjij ==⋅∑

=

Matricea sistemului este :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

A

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Matricea extinsă va fi:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

bb

aaa

aaaaaa

AΜ

ΛΜΟΜΜ

ΛΛ

Matricea necunoscutelor este ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

n

1

x

xx Μ iar cea a termenilor liberi

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

m

1

b

bb Μ

Sistem de ecuaţii liniare

16

Atunci sistemul mai poate fi scris sub forma Am,n · xn,1 = bm,1 Un sistem (mulţime ordonată) de numere ( n21 ,...,, ααα ) se numeşte soluţie a sistemului de ecuaţii liniare dacă înlocuind necunoscutele x1, x2, ..., xn cu aceste numere, toate ecuaţiile sunt verificate. Un sistem de ecuaţii care nu are soluţie se numeşte sistem incompatibil. Un sistem de ecuaţii care are o singură soluţie se numeşte sistem compatibil determinat. Un sistem de ecuaţii care are mai multe soluţii se numeşte sistem compatibil nedeterminat.

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare

1. Studiem dacă sistemul e compatibil: calculăm rangul matricei sistemului A şi apoi rangul matricei extinse A .

- dacă ArangrangA ≠ sistemul este incompatibil; - dacă ArangrangA = sistemul este compatibil; 2. Găsim soluţiile unei sistem compatibil: - păstrăm ecuaţiile care corespund liniilor minorului principal (cel care dă

rangul matricei); - trecem în membrul drept termenii care conţin necunoscutele secundare

(necunoscutele secundare vor fi considerate constante); - rezolvăm sistemul astfel obţinut cu regula lui Cramer. Regula lui Cramer: soluţiile unui sistem compatibil determinat se obţin cu

ajutorul formulelor ddx,...,

ddx,

ddx n

n2

21

1 === unde d este minorul

principal iar di se obţine prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi în minorul principal. Observaţie: Pentru ca sistemul compatibil să aibe soluţie unică, e necesar şi suficient ca rangul matricei sistemului să fie egal cu numărul necunoscutelor. Exemple: 1. Să se rezolve:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=−−

103x22x2-1x103x2-2x41x23x2x1x2

0182842216221241112

Adet ≠=+−+++=−

−−−

==Δ

618108xx 1

1 ==ΔΔ

=

Soluţie a sistemului

Sistem incompatibil

Sistem compatibil determinat sau nedeterminat

Etapele rezolvării unui sistem de ecuaţii liniare

17

108208-4020201622-102-4101-1-2

x1 =++++==Δ

41872xx 2

2 ==ΔΔ

=

724-40101044021012-1011-22

x2 =++−−==Δ

10810408410801021104121-2

x

618108xx

3

33

=++−−−=−

=Δ

==ΔΔ

=

2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−−=−+−=++−

6x5xx2x1xxx2x

1xxx2x

4321

4321

4321

sistem incompatibil

3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=+

3x2x51x8x61x2x

21

21

21

sistem compatibil determinat cu soluţia ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41,

21

4. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−+=−++−=+−−+

25x44x33x32x31x305x24x3x2x1x15x4x3x2x1x2

sistem compatibil nedeterminat cu mulţimea soluţiilor

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈γβα⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γβα

γ−β+α+γ+= R,,,,,

35331,

31S

1.3. SPAŢII VECTORIALE REALE

Legi de compoziţie

Definiţie: Fie M o mulţime nevidă. O aplicaţie ϕ definită pe produsul cartezian MM× cu valori în M, )y,x()y,x(,MMM: ϕ→→×ϕ se numeşte lege de compoziţie pe M. (Elementul M)y,x( ∈ϕ este compusul lui x cu y prin legea de compoziţie ϕ ). Exemple de legi de compoziţie: - adunarea numerelor naturale: ϕ :ℕxℕ→ℕ, (x, y) →ϕ (x,y),ϕ (x,y) = x + y

Lege de compoziţie internă

18

ϕ (1,3) = 1+3 = 4; ϕ (5,6) = 5+6 = 11 etc.; - înmulţirea numerelor întregi: ϕ :ℤxℤ→ℤ, (x, y) →ϕ (x,y), ϕ (x,y) = xּy ϕ (-2,1) = (-2)·1 = -2; ϕ (-9,-3) = (-9)·(-3) = 27 etc.; - adunarea matricelor: ϕ : M2,3(ℝ)x M2,3(ℝ)→M2,3(ℝ), ϕ (A,B) = A + B - înmulţirea matricelor pătratice: ϕ : Mn(ℝ)x Mn(ℝ)→Mn(ℝ), ϕ (A,B) = A ·B Definiţie: O lege de compoziţie ϕ : MxM→M, (x,y) →x∗y se numeşte asociativă dacă )zy(xz)yx( ∗∗=∗∗ Mz,y,x ∈∀ Exemple: - adunarea şi înmulţirea numerelor reale sunt legi de compoziţie asociative pentru că (x+y)+z = x+(y+z) şi (xּ z)ּ z = xּ (yּ z), ∈∀ z,y,x ℝ

- adunarea şi înmulţirea matricelor din M2(ℝ) sunt legi de compoziţie asociative (A+B)+C = A+(B+C) şi (AּB)· C = Aּ(BּC), ∈∀ C,B,A M2(ℝ) - pe mulţimea ℤ definim legea de compoziţie ϕ : ℤxℤ→ℤ, ϕ (x,y) = x-y şi verificăm asociativitatea:-5=(3-7)-1≠ 3-(7-1) = -3 ⇒ ϕ nu este asociativă Definiţie: O lege de compoziţie ϕ :MxM→M, ϕ (x,y) → yx ∗ se numeşte comutativă dacă My,x,xyyx ∈∀∗=∗ Exemple: - adunarea şi înmulţirea numerelor reale, adunarea matricelor, sunt legi de compoziţie comutative - înmulţirea matricelor nu e comutativă

- ϕ :ℤxℤ→ℤ, xyyxyx)y,x(def

−+=→ ο

ădemonstratestetateacomutativixyyxyxxyxyxyyxyx

ădemonstratestetateaasociativixyzxzxyyzzyx)yzzy(xxyzyx)yzzy(x)zy(x

xyzyzxzxyzyxxyzyzxzzxyyx

z)xyyx(zxyyxz)xyyx(z)yx(

⇒−+=−+=−+=

⇒+−−−++==−+−−++=−+=

+−−−++==+−−+−+=

=−+−+−+=−+=

οο

οοο

οοο

Definiţie: Un element e∈M se numeşte element neutru pentru o lege de compoziţie ϕ :MxM→M, (x,y) →x∗y, dacă x∗ e = e∗x = x, Mx∈∀ . Teoremă: Dacă o lege de compoziţie are element neutru, atunci acesta este unic.

Asociativi-tatea

Comutati-vitatea

Element neutru

19

Exemple: - 0∈ℝ - element neutru al adunării numerelor reale; - 1∈ℝ - element neutru al înmulţirii numerelor reale; - Ø – element neutru al reuniunii mulţimilor A∪ Ø = Ø ∪ A = A; - matricea 0m,n∈ Mm,n(ℝ) este element neutru la adunarea matricelor din

Mm,n(ℝ); - matricea In∈ Mn(ℝ) este element neutru la înmulţirea matricelor pătratice de ordin n.

Definiţie: Un element x∈M se numeşte simetrizabil în raport cu legea de compoziţie (asociativă şi cu element neutru) ϕ :MxM→M, (x,y) →x∗y, dacă Mx ∈′∃ a.î. exxxx =′∗=∗′ . x′ se numeşte simetricul lui x (în raport cu operaţia ""∗ ) Exemple: - simetricul unui număr real x faţă de adunare este - x;

- simetricul unui număr real x faţă de înmulţire este x-1 = x1 ;

- 0 nu are simetric faţă de înmulţire; - toate numerele întregi (ℤ) au simetric faţă de adunare;

- doar 1 şi –1 ∈ℤ au simetric faţă de înmulţire (ex.: simetricul lui 3, ∉31 ℤ);

- nici un număr natural (ℕ) nu are simetric faţă de adunare şi înmulţire.

Structuri algebrice

Algebra modernă are ca subiect studiul structurilor algebrice. Definiţie: Prin structură algebrică se înţelege o mulţime nevidă M înzestrată cu una sau mai multe legi de compoziţie ,...,φϕ care satisfac o listă specifică de proprietăţi numite axiomele structurii. Cunoaştem următoarele structuri algebrice:

1. Monoid: O mulţime nevidă M este monoid în raport cu o lege de compoziţie definită pe MxM → M, (x,y) → x∗ y, dacă sunt satisfăcute următoarele axiome: (M1) ;Mz,y,x),zy(xz)yx( ∈∀∗∗=∗∗ (M2) .Mx,xexxe:Me ∈∀=∗=∗∈∃

2. Grup: Un cuplu (G, ∗ ) format cu o mulţime nevidă G şi cu o lege de compoziţie pe G, GxG → G, (x,y) → x∗ y, se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute următoarele axiome: (G1) ;Gz,y,x),zy(xz)yx( ∈∀∗∗=∗∗ (G2) ;Gx,xexxe:Ge ∈∀=∗=∗∈∃ (G3) exxxx:Gx,Gx =′∗=∗′∈′∈∀ .

3. Inel: O mulţime nevidă A luată împreună cu două legi de compoziţie (adunarea şi înmulţirea):

AxA → A, (x,y) → x + y; AxA → A, (x,y) → x · y

Simetricul unui element

Monoid

Grup

Inel

Structură algebrică

20

se numeşte inel, dacă: (G) (A,+) este grup abelian; (M) (A, ·) este monoid; (D) înmulţirea este distributivă faţă de adunare. x· (y + z) = x·y + x·z (y+z) ·x = y·x+z·x, Az,y,x ∈∀ 4. Corp: Un inel K se numeşte corp dacă 10 ≠ şi orice element

0x,Kx ≠∈ , este simetrizabil în raport cu înmulţirea:

K1x0x,Kx ∈−∃⇒≠∈∀ a.î. 1·xx·xx -11 ==− Un corp K se numeşte comutativ dacă înmulţirea sa este comutativă. Definiţie: Lege de compoziţie externă: Fie Ω şi M două mulţimi nevide. O aplicaţie M)x,()x,(,MxM: ∈ωϕ→ω→Ωϕ se numeşte lege de compoziţie externă pe M cu operatori în Ω . 5. Spaţiu vectorial sau spaţiu liniar: Fie K un corp. Se numeşte spaţiu vectorial (peste corpul K) un grup abelian (V,+) pe care este dată o lege de compoziţie externă cu operatori în K; KxV→V, (α,u) → αu care verifică axiomele: (S1) (α+β)u = αu + βu (S2) α(u+v) = αu + αv (S3) α(βu) = (αβ)u (S4) 1 · u = u K, ∈βα∀ , Vv,u ∈∀ Observaţie: - elementele lui V se numesc vectori; - operaţia grupului (V, +) se numeşte adunarea vectorilor; - elementele lui K se numesc scalari; - legea de compoziţie externă pe KxV→V se numeşte înmulţirea vectorilor cu scalari;

- dacă K = ℝ atunci V este spaţiu vectorial real Exemple: - Spaţiul vectorial ℝn peste corpul de scalari ℝ: elementele acestui spaţiu sunt de forma (x1, x2, x3, ..., xn), unde xi este număr real; - M2(ℝ) formează spaţiul vectorial peste corpul ℝ în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor cu scalari.

Baze în spaţii vectoriale Definiţie: Spunem că sistemul de vectori {v1, v2, ..., vn} este liniar independent (peste corpul de scalari K) dacă din

00vvv n21nn2211 ====⇒=+++ αααααα ΚΚ . În caz contrar spunem că vectorii v1, v2, ..., vn sunt liniar dependenţi (peste K).

Aşadar, vectorii v1, v2, ..., vn sunt liniar dependenţi dacă K,,, n21 ∈∃ ααα Κ , nu toţi nuli, astfel încât 0vvv nn2211 =+++ ααα Κ

Lege de compoziţie externă

Spaţiu vectorial (liniar)

Sistem liniar independent

Sistem liniar dependent

Corp

21

Definiţie: Fie V un spaţiu vectorial peste corpul de scalari K. Un sistem

)e,,e,e,e(B n321 Κ= de vectori n,1i,Vei =∈ se numeşte bază a lui V dacă:

1. K,,,,Vx n21 ∈∃∈∀ λλλ Κ , a.î. ∑=

=+++=n

1iiinn2211 eeeex λλλλ Κ

2. dacă pentru ( ) 00,,0,00eee n21nn2211 ====⇒==+++ αααααα ΚΚΚ Cu alte cuvinte: bază este o mulţime fixată de elemente liniar independente din V, cu ajutorul cărora putem genera (forma) orice alt element din V. Observaţie: Pentru ca un sistem de vectori să fie bază într-un spaţiu vectorial trebuie ca: 1. vectorii din bază trebuie să genereze oricare alt vector din spaţiul

vectorial; 2. sistemul de vectori care formează baza trebuie să fie liniar independent. Exemplul 1 Fie spaţiul vectorial ℝ2 = ℝxℝ = { ( ) ∈y,x|y,x ℝ}. Corpul de

scalari pentru acest spaţiu vectorial este ℝ. Bc = {(1,0), (0,1)} se numeşte baza canonică a spaţiului vectorial ℝ2

Coordonatele vectorului (1,4) în baza canonică se calculează în modul următor: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4,1,,00,1,00,14,1 21212121 −=λ=λ⇒λλ=λ+λ=λ+λ=−+ deci coordonatele vectorului (1, -4) în baza Bc sunt 1 şi -4. Observaţie: Baza canonică este unică într-un spaţiu vectorial

Fie baza B1 = {(2,0), (-1,3)} tot în spaţiul vectorial ℝ2 . Să calculăm coordonatele vectorului (2,7) în baza B1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒λλ−λ−=λλ−+λ=−λ+λ= 22122121 3,23,0,23,10,27,2

376

13

7322

2

1

2

21

=

=⇒

⎩⎨⎧

==−

⇒λ

λ

λλλ

Fie baza B1 = {(2,0), (-1,3)} în spaţiul vectorial ℝ2 . Să calculăm coordonatele vectorului (1,-4) în baza B1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1340,2

613,10,24,1 21 −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−+=− λλ

Exemplul 2

Să se verifice dacă ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

23,3,1,2B este bază în ℝ2.

B este bază dacă din ( ) ( ) 00,023,31,2 1121 =α=α⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛α+α

Bază în spaţiu vectorial

22

( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

023

032

0,023,320,0

23,3,2

21

21

21212211

αα

αα

αααααααα

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

23132

A , det A = 0 ⇒ sistem compatibil nedeterminat

032 21 =α+α notăm ⎩⎨⎧

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒= a|a,a

23Sa2α ℝ

⎭⎬⎫ ;

a = 0 ⇒ (0,0) o soluţie

a = 1 ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 1,

23 altă soluţie, diferită de prima

a = 4 ⇒ (-6,4) altă soluţie Deci, ⇒≠αα∃ 0, 11 nu e îndeplinită condiţia 2 din definiţia unei

baze ⇒ ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

23,3,1,2B nu este bază în ℝ2.

Exemplul 3 Fie spaţiul vectorial ℝ3 ( ){ ∈= z,y,x|z,y,x ℝ} (ℝ3 = ℝxℝxℝ) peste

corpul de scalari ℝ. ( ) ( ) ( ){ },1,0,0,,0,1,0,,0,0,1BC = este baza canonică a acestui spaţiu vectorial.

Vectorul (1,7,-3) se va scrie astfel: (1, 7, -3) = 1 (1,0,0) + 7(0,1,0) - 3(0,0,1) Fie baza B2 = {(-1,1,1,), (1,-1,1), (1,1,-1)} şi vectorul (3,2,5). (3,2,5)= =−λ+−λ+−λ )1,1,1()1,1,1()1,1,1( 321

⇒λ−λ+λλ+λ−λλ+λ+λ−= ),,( 321321321

⇒

25427

523

3

2

1

321

321

321

=

=

=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++−

λ

λ

λ

λλλλλλλλλ

coordonatele vectorului (3,2,5) în B2.

Exemplul 4 Fie spaţiul vectorial M2(ℝ) peste corpul de scalari ℝ şi baza

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4321 EEEE

1111

,0111

,0011

,0001

B . Luăm un element oarecare din acest

spaţiu vectorial şi îi calculăm coordonatele în baza B.

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λλ+λ

λ+λ+λλ+λ+λ+λ=

=λ+λ+λ+λ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

443

4324321

44332211 EEEE2432

A

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒==⇒=+

−=⇒=++−=⇒−=+++

2224

1352

44

343

2432

14321

λλλλλλλλλ

λλλλλ

⇒ -5, -1, 2, 2 sunt coordonatele lui A

Deci A = -5E1 – E2 + 2E3 * 2 E4 , combinaţie liniară a vectorilor din bază.

DICŢIONAR - Mm,n(ℝ) este mulţimea tuturor matricelor cu m linii şi n coloane, cu

elemente numere reale; - matricea de tipul (m,1) se numeşte matrice coloană; - matricea de tipul (1,n) se numeşte matrice linie; - dacă m = n, matricea se numeşte pătratică de ordinul n; - pentru o matrice pătratică de ordinul n, mulţimea ordonată de elemente

(a11, a22, a33, …, ann ) se numeşte diagonala principală a matricei A; - pentru o matrice pătratică de ordinul n, mulţimea ordonată de elemente

(a1,n, a2,n-1, a3,n-2, ..., an,1) se numeşte diagonala secundară a matricei A; - adunarea matricelor se poate face doar cu matrice de acelaşi tip

A, B ∈ Mm.n(ℝ); - înmulţirea matricelor se poate face doar cu matrice de forma Am,n şi Bn,p

adică numărul de coloane al primei matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii al celei de-a doua matrice, iar rezultatul va fi Am,n · Bn,p = Cm, p;

- transpusa matricei A ∈ Mm.n(ℝ) este =At (aji) ∈ Mn.m(ℝ) şi se construieşte scriind liniile matricei A ca şi coloane în matricea At ;

- noţiunea de determinant al unei matrice are sens doar pentru matricele pătratice şi este suma tuturor produselor de n elemente aparţinând la linii şi coloane distincte ale matricei A. Un astfel de produs este de forma

n21 nii2i1 a...aa ⋅⋅⋅± , unde { }n,...,2,1i,...i,i n21 ∈ ; - determinantul unei matrice este un număr; - minorul de ordinul k al matricei A este un determinant format din k linii şi k coloane extrase din matricea A;

- rangul unei matrice A este r şi scriem rang A = r dacă A are un minor nenul de ordin r, iar toţi minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli;

- o matrice pătratică se numeşte singulară dacă determinantul său este nul; - o matrice pătratică se numeşte nesingulară dacă determinantul său este

nenul; - o matrice A, pătratică de ordinul n, se numeşte inversabilă dacă există o

matrice B astfel încât AB = BA = In ;

24

- o matrice pătratică de ordinul n este inversabilă dacă şi numai dacă det A ≠ 0 (adică A este nesingulară). Inversa matricei pătratice, dacă există, este unică şi se notează cu A-1;

- A* se numeşte matricea adjunctă matricei A sau matricea transpusă a complemenţilor algebrici;

- Aij este complementul algebric al elementului aij ; - orice determinant de ordin mai mare decât 3 se calculează doar după ce

l-am dezvoltat în aşa fel încât am ajuns la determinanţi de ordin 3; - un sistem (mulţime ordonată) de numere ( n21 ,...,, ααα ) se numeşte

soluţie a sistemului de ecuaţii liniare dacă înlocuind necunoscutele x1, x2, ..., xn cu aceste numere, toate ecuaţiile sunt verificate;

- un sistem de ecuaţii care nu are soluţie se numeşte sistem incompatibil; - un sistem de ecuaţii care are o singură soluţie se numeşte sistem

compatibil determinat; - un sistem de ecuaţii care are mai multe soluţii se numeşte sistem

compatibil nedeterminat; - o aplicaţie )y,x()y,x(,MMM: ϕϕ →→× se numeşte lege de

compoziţie internă pe M (elementul M)y,x( ∈ϕ este compusul lui x cu y prin legea de compoziţie ϕ );

- o lege de compoziţie ϕ : MxM→M, (x,y) →x∗y se numeşte asociativă dacă )zx(xz)yx( ∗∗=∗∗ , Mz,y,x ∈∀ ;

- o lege de compoziţie ϕ :MxM→M, ϕ (x,y) → yx ∗ se numeşte comutativă dacă My,x,xyyx ∈∀∗=∗ ;

- un element e∈M se numeşte element neutru pentru o lege de compoziţie ϕ :MxM→M, (x.y) →x∗y, dacă x∗ e = e∗x = x, Mx∈∀ . Dacă o lege de compoziţie are element neutru, atunci acesta este unic;

- un element x∈ℝ se numeşte simetrizabil în raport cu legea de compoziţie (asociativă şi cu element neutru) ϕ :MxM→M, (x,y) →x∗y, dacă

Mx ∈′∃ a.î. exxxx =′∗=∗′ . x′ se numeşte simetricul lui x (în raport cu operaţia ""∗ );

- prin structură algebrică se înţelege o mulţime nevidă M înzestrată cu una sau mai multe legi de compoziţie ,...,φϕ care satisfac o listă specifică de proprietăţi numite axiomele structurii;

- fie Ω şi M două mulţimi nevide. O aplicaţie M)x,()x,(,MxM: ∈ωϕ→ω→Ωϕ se numeşte lege de compoziţie

externă pe M cu operatori în Ω ; - fie K un corp. Se numeşte spaţiu vectorial sau spaţiu liniar (peste corpul

K) un grup abelian (V,+) pe care este dată o lege de compoziţie externă cu operatori în K; KxV→V, (α,u) → αu care verifică axiomele: (S1) (α+β)u = αu + βu (S2) α(u+v) = αu + αv (S3) α(βu) = (αβ)u (S4) 1 · u = u K, ∈βα∀ , Vv,u ∈∀ ;

- sistemul de vectori {v1, v2, ...vn} este liniar independent (peste corpul de scalari K) dacă din

0...0v...vv n21nn2211 =α==α=α⇒=α++α+α , Ki ∈α ;

25

- vectorii v1, v2, ...vn sunt liniari dependenţi dacă K,..., n21 ∈ααα∃ , nu toţi nuli, astfel încât 0v...vv nn2211 =α++α+α ;

- fie V un spaţiu vectorial peste corpul de scalari K. Un sistem )e...,e,e,e(B n321= de vectori n,1i,Vei =∈ se numeşte bază a spaţiului

vectorial V dacă:

1. K,...,,Vx n21 ∈λλλ∃∈∀ , a.î. ∑=

λ=λ++λ+λ=n

1iiinn2211 ee...eex

2. dacă pentru ( ) 0...n,1i,K,0,...,0,00e...ee n21inn2211 ====⇒=∈==+++ ααααααα

Cu alte cuvinte: bază este o mulţime fixată de elemente liniar independente din V, cu ajutorul cărora putem genera (forma) orice alt element din V.

TEST DE EVALUARE

1. Definiţi matricea. 2. Cum se scrie o matrice? 3. Definiţi matricea coloană, matricea linie, matricea pătratică. 4. Definiţi diagonala principală a unei matrice pătratice. 5. Definiţi diagonala secundară a unei matrice pătratice. 6. Când sunt două matrice egale? 7. Când putem aduna două matrice? 8. Când putem înmulţi două matrice? 9. Cum se înmulţeşte o matrice cu un scalar? 10. Definiţi transpusa unei matrice. 11. Când putem calcula determinantul unei matrice? 12. Ce este un determinant? 13. Cum se scrie un determinant? 14. Care sunt proprietăţile unui determinant? 15. Cum se calculează un determinant de ordin 2 sau 3? 16. Cum se calculează un determinant de ordin mai mare decât 3? 17. Definiţi minorul de ordin k al unei matrice. 18. Definiţi rangul unei matrice. 19. Definiţi matricea singulară. 20. Definiţi matricea nesingulară. 21. Când o matrice A este inversabilă? 22. Denumiţi şi scrieţi A*. 23. Scrieţi formula lui A-1. 24. Cum se calculează un element Aij din A*. 25. Ce este o ecuaţie matriceală? 26. Ce este un sistem de ecuaţii liniare? 27. Scrieţi matricea extinsă a unui sistem de ecuaţii liniare. 28. Definiţi soluţia sistemului de ecuaţii liniare. 29. Definiţi sistemul incompatibil. 30. Când este un sistem de ecuaţii liniare incompatibil? 31. Definiţi sistemul compatibil.

26

32. Când este un sistem de ecuaţii liniare compatibil? 33. Definiţi sistemul compatibil determinat. 34. Când este un sistem de ecuaţii liniare compatibil determinat? 35. Definiţi sistemul compatibil nedeterminat. 36. Când este un sistem de ecuaţii liniare compatibil nedeterminat? 37. Definiţi legea de compoziţie internă. 38. Definiţi asociativitatea. 39. Definiţi comutativitatea. 40. Definiţi elementul neutru. 41. Definiţi simetricul unui element. 42. Definiţi structura algebrică. 43. Definiţi legea de compoziţie externă. 44. Definiţi spaţiul vectorial. 45. Definiţi sistemul liniar independent. 46. Definiţi sistemul liniar dependent. 47. Definiţi baza în spaţiul vectorial.

27

TEMA II. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

CONŢINUT

2.1. Funcţii de mai multe variabile reale 2.2. Extremele funcţiilor de mai multe variabile. Interpretări

economice REZUMAT În cadrul acestui capitol se prezintă funcţiile reale de mai multe variabile, continuitatea şi derivabilitatea lor. În a doua parte a capitolului studenţii vor învăţa sa calculeze extremele funcţiilor de mai multe variabile reale şi apoi să le interpreteze din punct de vedere economic. OBIECTIVE

Parcurgerea acestei teme va facilita cunoaşterea şi aprofundarea următoarelor noţiuni: - funcţii de mai multe variabile reale - continuitatea şi derivabilitatea unei funcţii - derivatele parţiale de ordinul întâi în raport cu fiecare variabilă - derivatele parţiale de ordin doi sau ordin mai mare - puncte critice sau staţionare ale unei funcţii - modul de calcul al punctelor de extrem local - când se pot folosi în economie punctele de extrem local

2.1. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE REALE Reamintim că ℝn este mulţimea sistemelor ordonate de n numere reale: ℝn = {(x1, x2, …, xn)| x1, x2, …, xn ∈ℝ}; ℝn = ℝ x ℝ x ℝ x ... x ℝ de n ori În plus, ℝn se poate organiza ca un spaţiu liniar (vectorial), considerând cele două operaţii (adunarea a două elemente din ℝn şi înmulţirea elementelor din ℝn cu scalari din ℝ) astfel:

∈∀ y,x ℝn x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) şi ∈α∀ ℝ avem

x + y = (x1 + y1, x2 + y1, ..., xn + yn)∈ ℝn şi ( )∈⋅α⋅α⋅α=⋅α n21 x,...,x,xx ℝn

Definiţie: Aplicaţia ⊆A:f ℝn→ℝ, )x,...,x,x(f)x(fAx n21=∈ α poartă denumirea de funcţie reală de n variabile reale. Exemple: - n = 1, f : ℝ→ℝ, f(x) = x4 + 2

Funcţie reală de mai multe variabile

28

- n = 2, f : ℝ2→ℝ, f(x,y) = x2 + 3x2y3 – 21y - n = 3, f : ℝ3→ℝ, f(x,y,z) = 3x2y + 7z2 – 20 f : ℝ3→ℝ, f(x1, x2, x3) = x1

4 ·x3 + x2-1 ·x1 – 2 x1 ·x3 + x2

- f : ℝn→ℝ, f(x1, x2,…, xn) = 222

21 ..., nxxx +++

- notăm cu : V – venitul unei societăţi comerciale; x – orele de muncă productivă; y – fondurile fixe angajate în producţie;

putem scrie funcţia economică: V(x, y) = kxαyβ, unde k, α, β sunt constante pozitive.

V se numeşte funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas.

Funcţia de două variabile reale Fie ⊆A ℝ2 şi funcţia f : A→ℝ. Fie un punct (a, b)∈A. Definiţie: Spunem că funcţia f este continuă în punctul (a,b) dacă limita

)y,x(f)b,a()y,x(

lim→

există, este finită şi este egală cu f(a, b):

)y,x(f)b,a()y,x(

lim→

= f(a, b)

Definiţie: Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul (a,b)

dacă limita ax

)b,a(f)b,x(flimax −

−→

există şi este finită. Dacă această limită

există, vom nota cu

x)b,a(f)b,a(f

ax)b,a(f)b,x(flim xax ∂

∂=′=

−−

→

şi o vom numi derivata parţială de ordinul întâi în raport cu variabila x a funcţiei f în punctul (a,b). În mod similar

y)b,a(f

by)b,a(f)y,a(flim

by ∂∂

=−−

→

este derivata parţială de ordinul întâi în raport cu variabila y a funcţiei f în punctul (a,b). Definiţie: Fie f : A→ℝ, ⊆A ℝ2, derivabilă parţial în raport cu x, respectiv

cu y, A)y,x( ∈∀ . Dacă derivatele parţiale x

)y,x(f∂

∂ şi y

)y,x(f∂

∂ sunt la

rândul lor derivabile parţial în raport cu x şi y, derivatele lor parţiale se numesc derivate parţiale de ordinul doi ale lui f şi se notează:

2

2

x)y,x(f

∂∂ ; 2

2

y)y,x(f

∂∂ ;

yx)y,x(f2

∂∂∂ ;

xy)y,x(f2

∂∂∂

Continuitatea

Derivabilitatea

Derivata parţială de ord. I în raport cu x

Derivata parţială de ord. I în raport cu y

Derivate parţiale de ordin doi

29

În mod analog avem şi derivate parţiale de ordin 3, 4 sau ordin mai mare. De exemplu:

;x

)y,x(f3

3

∂∂ ;

xy)y,x(f

2

3

∂∂∂

xyx)y,x(f3

∂∂∂∂ ; ;

yx)y,x(f

22

4

∂∂∂

xy)y,x(f

3

4

∂∂∂ ; 22

5

xyx)y,x(f

∂∂∂∂

Criteriul lui Schwartz (criteriul cu condiţii suficiente ca derivatele mixte să fie egale): Dacă funcţia f : A⊆ℝ2→ℝ are derivate parţiale mixte de ordinul doi într-o vecinătate V a punctului A)b,a( ∈ şi dacă sunt continue în punctul (a,b), atunci:

)b,a(xyf2

)b,a(yxf2

∂∂∂

=∂∂

∂

În mod analog se definesc şi pentru funcţiile de 3, 4 sau mai multe variabile continuitatea acestor funcţii, derivabilitatea lor şi derivatele lor parţiale.

2.2.EXTREMELE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

Extremele unei funcţii înseamnă punctele de maxim sau de minim local ale funcţiei. Fie funcţia reală de o variabilă f : ℝ→ℝ. Graficul acestei funcţii se desenează într-un sistem de 2 axe iar punctele de extrem local ale funcţiei (în cazul în care există) arată aşa:

Fie funcţia reală de două variabile f : A⊆ℝ2→ℝ, şi A)b,a( ∈ un

punct din domeniul de definiţie. Definiţie: Punctul (a,b) este un punct de maxim local (respectiv punct de minim local) dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât V)y,x( ∈∀ are loc inegalitatea

)b,a(f)y,x(f ≤ (respectiv )b,a(f)y,x(f ≥ pentru minim).

f(x) Puncte de maxim local

Puncte de minim local x

Derivate parţiale de ordin mai mare

Extremele funcţiei de o variabilă

Puncte de extrem pentru funcţie de 2 variabile

30

Acest punct se numeşte punct de extrem local pentru funcţia f. Proprietate: Dacă funcţia f : A⊆ℝ2→ℝ are un extrem local în punctul (a,b) şi admite derivate parţiale de ordinul întâi pe o vecinătate a lui (a,b) atunci derivatele parţiale în acest punct sunt nule:

0)b,a(xf

=∂∂ şi 0)b,a(

yf

=∂∂

Definiţie: Fie f : A⊆ℝ2→ℝ. Un punct (a,b) pentru care derivatele parţiale

de ordinul întâi sunt nule, 0)b,a(xf

=∂∂ , 0)b,a(

yf

=∂∂ se numeşte punct

critic sau staţionar. Punctele critice pot fi: - punct de maxim local - punct de minim local - punct şa (de maxim pentru o curbă din suprafaţă şi minim pentru altă curbă din suprafaţă)

f(x,y)

x

y

f(x,y)

x

y

f(x,y)

x

y

Punct critic

Punct de maxim local

Punct de minim local

Punct şa

31

Teoremă: Fie f : A⊆ℝ2→ℝ şi A)b,a( ∈ un punct staţionar. Presupunem că pe o vecinătate V a punctului (a,b) funcţia admite derivate parţiale de ordinul doi continue.

Considerăm funcţia:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂

=

2y

f2

xyf2

yxf2

2x

f2

H care se numeşte Hessiană.

Calculăm

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂

=

)b,a(2y

f2)b,a(

xyf2

)b,a(yxf2

)b,a(2x

f2

)b,a(H

Notăm )b,a(2x

f21d

∂

∂= , )b,a(Hdet=d 2

Atunci: I. dacă d1>0, d2>0 ⇒ (a,b) = punct de minim local II. dacă d1<0, d2>0 ⇒ (a,b) = punct de maxim local III. dacă avem orice altă combinaţie ⇒ (a,b) = punct şa.

Pentru o funcţie de trei variabile nu putem face reprezentarea grafică. Chiar dacă nu putem “vizualiza” funcţia decât dacă facem proiecţia ei, prin calcule matematice îi putem afla punctele de minim sau de maxim local. În tabelul 1 este descris modul de calcul al punctelor de extrem local pentru funcţii de una, două şi trei variabile reale. Observaţie: - d1 este elementul din colţul stânga sus al hessienei; - d2 este determinantul format din intersecţia primelor două linii şi a

primelor două coloane din hessiană (sau determinantul hessienei în cazul funcţiei de 2 variabile);

- d3 este determinantul format din intersecţia primelor trei linii şi a primelor trei coloane din hessiană (sau determinantul hessienei în cazul funcţiei de trei variabile);

- d4 este determinantul format din intersecţia primelor patru linii şi a primelor patru coloane din hessiană (sau determinantul hessienei în cazul funcţiei de patru variabile);

- dn este determinantul întregii hessiene pentru o funcţie de n variabile.

Hessiana

32

Tabelul 1. Modul de calcul al punctelor de extrem local

O variabilă Două variabile Trei variabile f : ℝ→ℝ

)x(fx α f : ℝ2→ℝ

)x,x(f)x,x( 2121 αf : ℝ3→ℝ

)x,x,x(f)x,x,x( 321321 α

calculăm )x(f ′ calculăm 21 x

f,xf

∂∂

∂∂ calculăm

321 xf,

xf,

xf

∂∂

∂∂

∂∂

⇒=′ 0)x(f soluţia x* va fi punctul critic. Pot fi mai multe soluţii, toate vor fi puncte critice, la fel şi pentru funcţiile de 2 sau 3 variabile.

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

02xf

01xf

soluţia )x,x( 21∗∗ este

punctul critic

)x,x,x(sol

0xf

0xf

0xf

321

3

2

1

∗∗∗⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

este punctul critic

calculăm )x(f ′′

calculăm

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂

=

2y

f2

xyf2

yxf2

2x

f2

H

calculăm

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2

222

2

2

22

22

2

2

zf

yzf

xzf

zyf

yf

xyf

zxf

yxf

xf

H

calculăm )x(f ∗′ calculăm )x,x(H 21∗∗ calculăm )x,x,x(H 321

∗∗∗ I. ⇒>′′ ∗ 0)x(f x* este punct de minim local II. ⇒<′′ ∗ 0)x(f x* este punct de maxim local III. ⇒=′′ ∗ 0)x(f x* punct de inflexiune (sau şa)

I. d1>0, d2>0 avem )x,x( 21

∗∗ punct de minim local II. d1<0, d2>0 avem

)x,x( 21∗∗ punct de

maxim local III. pentru orice altă combinaţie avem

)x,x( 21∗∗ punct şa

I. d1>0, d2>0, d3>0 avem )x,x,x( 321

∗∗∗ punct de minim local II. d1<0, d2>0, d3<0 avem

)x,x,x( 321∗∗∗ punct de maxim

local III. pentru orice altă combinaţie avem

)x,x,x( 321∗∗∗ punct şa

Pentru o funcţie de mai multe variabile, punctele de extrem local se calculează în acelaşi mod:

f : ℝn→ℝ )x,...,x,x,x(f)x,...,x,x,x( n321n321 α

1. Calculăm derivatele de ordinul întâi: n321 x

f,...,xf,

xf,

xf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2. Egalăm derivatele cu zero şi rezolvăm sistemul astfel obţinut

Modul de calcul al punctelor de extrem local pentru funcţii de mai multe variabile

33

)x,...,x,x(),x,...,x,x(solutiile

0xf

0xf

0xf

n21n21

n

2

1

′′′′′′′′′⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

Μ

3. Calculăm hessiana:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2n

2

2n

2

1n

2

n2

2

22

2

12

2n1

2

21

2

21

2

xf

xxf

xxf

xxf

xf

xxf

xxf

xxf

xf

H

Λ

ΜΟΜΜ

Λ

Λ

4. Calculăm hessiana în punctele critice )x,...,x,x(H),x,...,x,x(H n21n21 ′′′′′′′′′ 5. )x,...,x,x( n21 ′′′ este punct de: - minim local dacă d1>0, d2>0, …, dn>0 - maxim local dacă d1<0, d2>0, d3<0, d4>0 …. (alternează semnele,

începând cu minus) - şa pentru orice altă combinaţie Exemplul 1: Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : ℝ2→ℝ, 1xy3yx)y,x(f 33 −++= Calculăm derivatele parţiale de ordin întâi şi apoi aflăm punctele critice:

y3x3xf 2 +=∂∂

x32y3xyf

+=∂∂

⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒=+⇒=+−⇒=+

−=⇒=+

003)(3033033

4222

22

xxxxxyxyyx

0x0)1x(x 13 =⇒=+⇒

1x1x01x 233 −=⇒−=⇒=+

0y0x1 =⇒= ; deci soluţia (0,0) este primul punct critic; 1)1(y1x 2

2 −=−−=⇒−= ; soluţia (-1,-1) este al doilea punct critic. Calculăm derivatele parţiale de ordinul doi şi le introducem în hessiană:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=y63

3x6

yf

xyf

yxf

xf

H

2

22

2

2

2

34

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅= 03

30

063306

)0,0(H

Cum d1 = 0, suntem direct în cazul III şi (0,0) este punct şa

=−−⇒>=−=<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= )1,1(027936d;0d;

6336

)1,1(H 21 punct de

maxim local Exemplul 2. Să se găsească punctele de extrem local ale funcţiei:

f : ℝ3→ℝ, f(x,y,z) = x3 + x2y + y2z – 4z Calculăm derivatele parţiale de ordinul întâi şi apoi punctele critice:

42yzf

yz22xyf

xy22x3xf

−=∂∂

+=∂∂

+=∂∂

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒−==⇒=−

=+

=+

2y;2y04y0yz2x

0xy2x3

212

2

2

1) y1 = 2, înlocuim în prima ecuaţie şi obţinem

34x;0x0)4x3(x0x4x3 21

2 −==⇒=+⇒=+

0x;2y 11 == , înlocuim în a doua ecuaţie ⇒=⇒=⇒ 0z0z4 1 prima soluţie (0,2,0). La fel procedăm în continuare:

⇒−=⇒=+⇒−==94z0z4

916

34x;2y 221 soluţia a doua (

34

− ,2,94

− )

2) y2 = - 2 34;00)43(

04043

212

2

==⇒=−⇒⎩⎨⎧

=−=−

⇒ xxxxzxxx

⇒=⇒=⇒=−=⇒ 0040;2 112 zzxy soluţia a treia (0,-2,0)

⇒=⇒=−⇒=−=⇒94

2z0z49

1634

2x;22y soluţia a patra (34 ,-2,

94 )

Punctele critice sunt: (0,2,0); (0,2,94

− ); (34

− ,2,94

− ); (34 ,-2,

94 )

Calculăm derivatele parţiale de ordinul doi:

y2x62x

f2+=

∂

∂ x2yxf2=

∂∂∂ 0

zxf2=

∂∂∂

x2xyf2=

∂∂∂ z22y

f2=

∂

∂ y2zyf2=

∂∂∂

35

0xzf2=

∂∂∂ y2

yzf2=

∂∂∂ 02z

f2=

∂

∂

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2

222

2

2

22

22

2

2

zf

yzf

xzf

zyf

yf

xyf

zxf

yxf

xf

H ⇒ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +=

0y20y2z2x2

0x2y2x6H

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

040400004

)0,2,0(H ⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

<−==>=

064d0d

04d

3

2

1

(0,2,0) punct şa

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=−−

040

498

38

0384

)94,2,

34(H ⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

>=

<−=

<−=

064d

09

32d

04d

3

2

1

(0,2,94

− ) punct şa

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=−

040400

004)0,2,0(H ⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

>==<−=

0643d02d

041d (0,-2,0) punct şa

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=−

040

498

38

0384

)94,2,

34(H ⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

<−=

<−=

>=

064d

0932d

04d

3

2

1

(0,-2,94

− ) punct şa

Extremele funcţiilor de mai multe variabile se folosesc în economie atunci când avem, de exemplu, o funcţie de producţie care are ca variabile forţa de muncă, capitalul investit, tehnologia folosită. Dacă rezultatul acestei funcţii reprezintă cheltuielile de producţie, vom dori să combinăm cele trei variabile astfel încât să obţinem cheltuieli minime. Valorile celor trei variabile în acest caz sunt date de punctul de minim local al funcţiei de producţie. Dacă rezultatul funcţiei reprezintă veniturile firmei, suntem interesaţi să combinăm cele trei variabile astfel încât să obţinem venitul maxim, şi acesta va fi dat de valoarea funcţiei în punctul de maxim local.

DICŢIONAR - aplicaţia ⊆A:f ℝn→ℝ, )x,...,x,x(f)x(fAx n21=∈ α poartă

denumirea de funcţie reală de n variabile reale;

Interpretări economice

36

- spunem că funcţia f este continuă în punctul (a,b) dacă limita )x(flim

)b,a()y,x( →există, este finită şi este egală cu f(a,b), adică

)x(flim)b,a()y,x( →

= f(a, b)

- derivata parţială de ordinul întâi în raport cu variabila x a funcţiei f în

punctul (a,b) este x

)b,a(fax

)b,a(f)b,x(flimax ∂

∂=

−−

→

- derivata parţială de ordinul întâi în raport cu variabila y a funcţiei f în

punctul (a,b) este y

)b,a(fby

)b,a(f)y,a(flimby ∂

∂=

−−

→

- punctul (a,b) este un punct de maxim local dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât V)y,x( ∈∀ are loc inegalitatea )b,a(f)y,x(f ≤ ;

- punctul (a,b) este un punct de minim local dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât V)y,x( ∈∀ are loc inegalitatea )b,a(f)y,x(f ≥ ;

- punctele de minim şi de maxim local se numesc puncte de extreme local; - fie f:A⊆ℝ2→ℝ. Un punct (a,b) pentru care derivatele parţiale de ordinul

întâi sunt nule, 0)b,a(xf

=∂∂ , 0)b,a(

yf

=∂∂ se numeşte punct critic sau

staţionar; - punctele critice pot fi de maxim local, de minim local sau şa.

TEST DE EVALUARE

1. Definiţi funcţia reală de n variabile reale. 2. Daţi exemple de funcţii de 1, 2, 3, 4, 5 variabile reale. 3. Daţi 3 exemple de funcţii economice de mai multe variabile. 4. Definiţi continuitatea unei funcţii. 5. Scrieţi derivata parţială a unei funcţii de două variabile în raport cu x 6. Scrieţi derivata parţială a unei funcţii de două variabile în raport cu y 7. Scrieţi derivatele parţiale de ordin doi ale unei funcţii de două

variabile. 8. Definiţi punctele critice. 9. Ce tipuri de puncte critice cunoaşteţi? 10. Definiţi punctul de maxim local pentru o funcţie de două variabile. 11. Definiţi punctul de minim local pentru o funcţie de două variabile. 12. Definiţi punctul şa pentru o funcţie de două variabile. 13. Scrieţi hessiana pentru o funcţie de două variabile. 14. Scrieţi hessiana pentru o funcţie de trei variabile. 15. Scrieţi hessiana pentru o funcţie de patru variabile. 16. La calculul punctelor de extrem local, cine este d1? 17. La calculul punctelor de extrem local, cine este d2? 18. La calculul punctelor de extrem local, cine este d3? 19. Pentru o funcţie de n variabile, în ce caz un punct critic este punct de

maxim local? 20. Pentru o funcţie de n variabile, în ce caz un punct critic este punct de

minim local?

37

21. Pentru o funcţie de n variabile, în ce caz un punct critic este punct şa?

22. Care sunt etapele calculării punctelor de maxim sau minim local?

38

TEMA III. CAPITOLE DE CERCETĂRI OPERAŢIONALE

CONŢINUT

3.1. Modelul general al unei probleme de programare liniară 3.2. Enunţarea algoritmului simplex. 3.3. Interpretarea economică a algoritmului simplex 3.4. Problema transporturilor

REZUMAT În cadrul acestui capitol se studiază două tipuri de probleme de optimizare matematică, adică probleme în cadrul cărora se cere determinarea valorii maxime (a valorii minime sau a ambelor) a unei funcţii de una sau mai multe variabile care sunt supuse unui anumit număr de restricţii (sau condiţii) . OBIECTIVE

Parcurgerea acestei teme va facilita cunoaşterea şi aprofundarea următoarelor noţiuni: - proces, proces liniar - formele problemelor de optimizare - algoritmul simplex primal - interpretarea economică a algoritmului simplex - problema de optimizare de tip transport - interpretarea economică a problemei de transport

3.1. MODELUL GENERAL AL UNEI PROBLEME DE

OPTIMIZARE LINIARĂ

Procese liniare

Prin proces înţelegem un sistem format dintr-o intrare (input), o ieşire (output) şi o cutie neagră în care input-ul se prelucrează obţinându-se output-ul.

În procesele economice concrete, input-ul este format din cantităţi de materii prime caracterizate prin vectorul input b = (b1, b2, ..., bm) unde

m,1;b =αα reprezintă cantitatea de materie primă α ce se va prelucra.

Output-ul se caracterizează prin vectorul x = (x1, x2, ...xn) unde n,1i;xi = reprezintă cantitatea de produs i ce se va obţine în urma prelucrării input-

Vectori tehnologici input output

Proces economic

Input şi output

39

urilor. Prelucrarea input-ului se face utilizând un număr de n tehnologii caracterizate prin vectorii tehnologici

a1 = (a11, a21, ..., am1), ..., an = (a1n, a2n, ..., amn) unde iaα reprezintă cantitatea de materie primă α utilizată pentru prelucrarea unei unităţi din produsul i.

Procesul se numeşte liniar dacă legăturile dintre input, output şi vectorii tehnologici sunt date prin ecuaţii sau inecuaţii liniare. Aceste legături se obţin astfel: dacă iaα este cantitatea de materie primă α necesară

obţinerii unei unităţi din produsul i, atunci ∑=

α

n

1iiixa reprezintă cantitatea de

materie primă α necesară obţinerii a x1, x2, ...xn produse. Această cantitate nu poate depăşi resursa αb .

Obţinem sistemul de restricţii:

(1) ∑=

αα =α≤n

1iii m,1;bxa

(2) n,1i;0xi =≥

Relaţiile (2) reprezintă condiţii de natură economică, adică nu putem să obţinem cantitate negativă de produse. Desfăşurarea procesului se face ţinând seama de un anumit scop. Scopul poate fi obţinerea unui beneficiu maxim prin comercializarea produselor obţinute, sau efectuarea unor cheltuieli de producţie minime în desfăşurarea procesului. Scopul este descris prin vectorul c = (c1, c2, ..., cn) unde ci reprezintă preţul de vânzare al unei unităţi din produsul i, sau cheltuielile de producţie efectuate pentru producerea unei unităţi din produsul i. Scopul este astfel dat de funcţia:

∑=

=n

1iiixc)x(f

Astfel, un proces economic liniar este redat prin problema matematică (3) max (min) f(x) Px∈

unde P = {x∈ℝn; A‧x≤ b; x≥0} iar ∑=

=n

1iiixc)x(f

Problema (3) se va scrie şi în modul următor:

min (max) ∑=

n

1iiixc

A‧x≤ b x≥0

unde A = ( iaα ) = (a1, a2, ..., an) se numeşte matrice tehnologică;

b = (b1, b2, ..., bm) ∈ℝm se numeşte vectorul resurselor; c = (c1, c2, …,cn ) ∈ℝn se numeşte vectorul preţuri (sau cheltuieli). x = (x1, x2, ... , xn) ∈ℝn se numeşte vectorul producţiei

Vectori tehnologici

Proces liniar

Forma matematică a unui proces economic liniar

40

Problema de programare liniară Avem un proces economic descris matematic în felul următor: - vectorul resurselor b = (b1, b2, ...bm) este cantitatea de materie primă care se va prelucra;

- vectorul x = (x1, x2, ..., xn) este cantitatea de produse care se va obţine; - prelucrarea materiei prime se va face cu ajutorul a n tehnologii caracterizate prin vectorii tehnologici a1 = (a11, a21, ..., am1), ..., an = (a1n, a2n, ...,amn), unde iaα reprezintă cantitatea de materie primă α utilizată pentru producerea unei unităţi din produsul i. Aceşti vectori tehnologici formează matricea tehnologică A = ( iaα ) = (a1, a2, ..., an); - vectorul preţuri (sau cheltuieli de producţie) c = (c1, c2, ..., cn) cu ajutorul

căruia vom calcula profitul total ∑=

=n

1iiixc)x(f care trebuie maximizat (sau

cheltuielile totale ∑=

=n

1iiixc)x(f care trebuie minimizate).

Astfel, un proces economic liniar este dat de problema: max (min) f(x)

bAx ≤ 0x ≥

max (min) f(x) se numeşte funcţia obiectiv, bAx ≤ se numeşte sistemul de restricţii iar 0x ≥ sunt condiţiile asupra variabilelor.

Formele problemelor de optimizare liniară Se numeşte forma generală a problemei de optimizare liniară problema:

max (min) (c1x1+c2x2+c3x3)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤++=++≥++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

≥

0xsemnderestrictiefarax

0x

3

2

1

Se numesc forme canonice pentru problema de optimizare liniară problemele:

0x

bxA)xcmin(

≥≥⋅⋅

sau 0x

bxA)xcmax(

≥≤⋅⋅

Se numesc forme standard pentru problema de optimizare liniară

problemele:

Forma generală a problemei de optimizare liniară

Formele canonice ale problemei de optimizare liniară

41

0x

bxA)xcmin(

≥=⋅⋅

sau 0x

bxA)xcmax(

≥=⋅⋅

Ca să putem rezolva o problemă de optimizare liniară, trebuie să o

aducem la forma standard. Aducerea la forma standard a problemelor de optimizare liniară se face adăugând sau scăzând produse (xj) în fiecare inecuaţie a sistemului de restricţii, astfel încât din inecuaţii să obţinem ecuaţii. O problemă de programare liniară se rezolvă cu algoritmul simplex.

3.2. ENUNŢAREA ALGORITMULUI SIMPLEX

Etapele algoritmului simplex primal pentru problemele de minim sunt: Etapa 1 Se determină o bază primal admisibilă cu ajutorul căreia se calculează B-1b; B-1ai; i = 1,...,n; →−=− −− bB,c,caB,ccz 1Bii1B

ii Etapa 2

Etapa 2 a) zj – cj ≤0; baza B determină soluţia optimă 0x;bBx

R1B== − . STOP.

b) Există j, astfel încât zj – cj >0 şi 0aB j1 ≤− . Problema nu are valoare minimă finită. STOP c) Există j astfel încât zj – cj >0 şi pentru aceştia B-1aj nu este mai mic sau egal cu 0. Se determină l astfel încât: zl – cl = max {zj - cj}→ Etapa 3; j | zl – cl > 0 Etapa 3 Se determină k astfel încât:

( )( )

( )( ) ;

aBbBmin

aBbB

l1-

1-

kl1-

k1-

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=α

α

( ) 0>aB|α αl-1

Vectorul ak iese din bază → Etapa 4 Etapa 4 Se face o iteraţie simplex având drept pivot pe ( ) →k

l1- aB Etapa 2. Algoritmul simplex are un număr finit de etape, căci numărul bazelor primal admisibile este cel mult .Cm

n Pentru problemele de maxim, algoritmul de mai sus se modifică astfel: Etapa 2 a) zj – cj 0≥ ; B determină soluţia optimă 0x;bBx

R1B== − . STOP

b) Există j astfel încât zj – cj < 0 şi 0aB j1 ≤− . Problema nu are valoare maximă finită. STOP c) Există j astfel încât zj – cj < 0 şi pentru aceşti j, B-1aj nu este mai mic sau egal cu 0. Se determină l astfel încât:

Formele standard ale problemei de optimizare liniară

Algoritmul simplex pentru problema de minim

Algoritmul simplex pentru problema de maxim

42

zl – cl = min {zj - cj}→ Etapa 3; j | zl – cl < 0 Algoritmul simplex primal se desfăşoară utilizând tabele de forma:

optim c c1 ... cn VB VVB a1 ... an

CB zj - cj bB,c 1B − z1 – c1 ... zn - cn

c1 ... cm

a1 ... am

B-1b B-1a1 ... B-1an

unde prin optim se înţelege maxim sau minim. Aceasta este cea mai simplă formă de rezolvare a algoritmului simplex. Dacă problema economică este mai complicată, şi algoritmul simplex primal se complică, apar condiţii suplimentare, sau se ajunge la algoritmul simplex dual, probleme pe care din cauza dificultăţii părţii matematice nu le vom trata în acest curs.

3.3. INTERPRETAREA ECONOMICĂ A ALGORITMULUI SIMPLEX

Probleme economice descrise prin probleme de optimizare liniară

a) Problema meniurilor alimentare Pentru întocmirea unui meniu, se cunosc cantităţile de substanţe necesare. Se pune problema determinării unui meniu care să satisfacă necesarul zilnic minim din fiecare substanţă, iar costul total al produselor folosite să fie minim. Notăm cu m numărul substanţelor, cu n numărul diferitelor produse de care se dispune, cu iαa numărul de unităţi din substanţa α existentă în unitatea de produs i, cu αb necesarul minim de substanţă α , cu ci costul unităţii de produs i, cu xi numărul de unităţi de produs i folosit în meniu. Modelul matematic este:

n,...,1i,0ix

m,...,1,bn

1iixia

n

1iixicmin

=≥

=αα≥

=α

=

∑

∑

b) Problema utilizării complete a capacităţilor de producţie Într-un proces industrial se produc subansamblele S1, ..., Sn, în cantităţile x1, .., xn. Piesele P1, ..., Pm, care compun subansamblele se produc pe liniile automate L1, ..., Lm ale căror capacităţi de producţie sunt b1, ..., bm piese pe oră, iar iαa este numărul de piese care se produc pe linia αL a subansamblului Si. Cunoscând costurile ci, i = 1, ..., n ale subansamblelor, să se determine sortimentul optim astfel încât capacităţile de producţie să fie

Probleme economice rezolvate prin optimizare liniară

43

utilizate în proporţie de 100%, iar costul total să fie minim. Modelul matematic este:

n,...,1i,0ix

m,...,1,bn

1iixia

n

1iixicmin

=≥

=αα=

=α

=

∑

∑

c) Repartizarea fondurilor Fie S o sumă de bani care trebuie repartizată într-un domeniu, în

mod eşalonat, sau în mai multe domenii la un moment dat. Notăm cu Sk suma care revine domeniului considerat la momentul k sau, în al doilea caz, suma care revine domeniului k la un moment dat şi cu ck beneficiul unitar realizat prin plasarea sumei Sk, k = 1, ..., n astfel încât beneficiul total este:

∑=

=n

1kkSkc)S(f

Scopul problemei este maximizarea acestei sume în anumite condiţii. Dacă repartizarea se face la un moment dat între n domenii sau dacă aceasta se face pentru un singur domeniu pe mai mulţi ani, fără a lua în considerare actualizarea sumelor, atunci suntem conduşi la rezolvarea problemei:

n,...,1k,0kS;Sn

1kkS

n

1kkSkcmax

=≥=

=

=

∑

∑

iar dacă se are în vedere actualizarea, atunci problema are forma:

n,...,1k,0kS,Sn

1k

1kvkS

n

1k

1kvkSkcmax

=≥=

=

−

=

−

∑

∑ sau

n,...,1k,0kS,n

1k

kvkS

n

1k

kvkSkcmax

=≥

=

=

∑

∑

după cum plasarea se face anticipat sau posticipat, v = (1 + i)-1 fiind coeficientul de actualizare. Exemplul 1

O bancă poate repartiza suma S = 10 u.m. către trei debitori de la care are beneficiul unitar 2, 3 şi 4. Ştiind că fiecărui debitor trebuie să îi

revină cel puţin 1 u.m. precum si faptul că ( )321 SS32S +≤ , să se determine

repartiţia optimă. Trebuie rezolvată problema:

44

max (2S1 + 3S2 + 4S3)

S1 + S2 + S3 = 10

( )321 32 SSS +≤

S1≥1; S2≥1; S3≥1

Forma standard a problemei este: max (2S1 + 3S2 + 4S3)

S1 + S2 + S3 = 10 3S1 – 2S2 – 2S3 +S4 = 0

S1 – S5 = 1 S2 – S6 = 1 S3 – S7 = 1

Si≥0, i = 1,....7

Rezolvând problema cu metoda penalizării se obţine soluţia S = (1,1,8) cu valoarea maximă 8, adică primul debitor primeşte de la bancă 1 u.m., al doilea tot 1 u.m. iar al treilea 8 u.m., beneficiul băncii (dobânda totală obţinută) fiind de 8 u.m.

Exemplul 2 Societatea comercială „Guban” S.A. produce printre altele poşete şi

ghiozdane din piele. Pentru fabricarea acestor produse, în procesul de prelucrare are nevoie de trei maşini pentru a aduce produsele în stadiul final. Aceste maşini sunt disponibile un număr limitat de ore în cursul unei luni. Pentru fabricarea poşetelor şi ghiozdanelor este necesară folosirea unui anumit timp (exprimat în minute) a fiecărei maşini, după cum se arată în tabelul următor:

Maşini Produse Maşina1 Maşina 2 Maşina 3

Poşetă 20 50 10 Ghiozdan 30 50 40

Maşinile sunt disponibile în cursul unei luni, după cum urmează: - 300 ore pentru maşina 1 (M1); - 500 ore pentru maşina 2 (M2); - 200 ore pentru maşina 3 (M3). Preţul unei poşete este de 320.000 lei, iar al unui ghiozdan este de 500.000 lei. Profitul pentru o poşetă îl reprezintă 25% din preţul de vânzare, iar pentru un ghiozdan, profitul este reprezentat de 20% din preţul de vânzare. Se cere: 1) Prezentaţi un program de producţie care să maximizeze profitul total; 2) Deduceţi: a) Cifra de afaceri lunară prevăzută; b) Rata profitului (raportat la cifra de afaceri). 3) Pentru acest program de producţie, studiaţi:

Rezolvarea unei probleme cu algoritmul simplex

45

a) gradul de utilizare al maşinilor;

b) maşinile care mai pot fi exploatate şi durata de exploatare rămasă disponibilă. Rezolvare

Necunoscutele acestei probleme sunt numărul de poşete şi de ghiozdane care vor fi fabricate. Notăm: x1 – numărul de poşete fabricate; x2 – numărul de ghiozdane fabricate. Implicit x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, şi acestea sunt condiţiile asupra variabilelor. Maşinile sunt disponibile după cum urmează: M1 – e disponibilă 300 ore = 18.000 minute M2 – e disponibilă 500 ore = 30.000 minute M3 – e disponibilă 200 ore = 12.000 minute Sistemul de restricţii este dat de numărul de minute lucrat pe fiecare maşină pentru fabricarea celor două produse şi timpul disponibil pentru fiecare maşină:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+≤+≤+

12000x4010x30000x50x5018000 30x 20x

21

21

21

Funcţia obiectiv este dată de maximizarea profitului. O poşetă aduce 25% profit din 320.000 lei, adică 80.000 lei profit iar un ghiozdan aduce 20% profit din 500.000 lei, adică 100.000 lei profit. Profit total este

P = 80.000·x1 + 100.000·x2 Forma matematică a problemei este: max P = 80.000·x1 + 100.000·x2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+≤+≤+

12000x4010x30000x50x5018000 30x 20x

21

21

21

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Pentru ca să putem rezolva problema cu algoritmul simplex trebuie să o aducem la forma standard prin introducerea unor variabile numite variabile de ecart:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+≤+≤+

000.122x401x10000.302x501x50000.182x301x20

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

000.12xx40x10000.30xx50x50000.18xx30x20

e521

e421

e321

cu

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

≥

≥

0e5x

0e4x

0e3x

unde e5

e4

e3 x, x,x alcătuiesc baza iniţială.

Acum putem începe rezolvarea problemei cu ajutorul algoritmului simplex.

46

max c 80.000 100.000 0 0 0 Baza VVB a1 a2 a3 a4 a5 Calcule

e3x 18.000 20 30 1 0 0 18000:30 = 600 e4x 30.000 50 50 0 1 0 30000:50 = 600

e5x 12.000 10 40 0 0 1

12000 : 40 = 300 e5x iese din bază

zj 0 0 0 0 0 0

zj - cj -80000 -100000 0 0 0 z2 – c2 <0 şi min.

2x intră în bază e3x 9.000 25/2 0 1 0 -3/4 9000 : 25/2 = 720

e4x 15.000 75/2 0 0 1 -5/4

15000:75/2 = 400 e4x iese din bază

2x 300 1/4 1 0 0 1/40 300 : 1/4= 1200

zj 30 mil 25.000 100.000 0 0 2500

zj - cj -55000 0 0 0 2500 z1 – c1 <0 1x intră în bază

e3x 4.000 0 0 1 -1/3 -1/3

1x 400 1 0 0 2/75 -1/30

2x 200 0 1 0 -1/150 1/30

zj 52 mil 80.000 100.000 0 1466,6 666,66

zj - cj 0 0 0 1466,6 666,66 zj - cj ≥0, j= 1, ...5 ⇒ STOP

Din ultima bază extragem soluţiile, adică valorile corespunzătoare necunoscutelor iniţiale: numărul de poşete fabricate este x1 = 400 şi numărul de ghiozdane fabricate este x2 = 200. Profitul total este dat de valoarea ultimului z1 adică P = 52.000.000 lei sau se calculează din funcţia obiectiv. Cifra de afaceri este: C.A. = 320.000·x1 + 500.000·x2 = 228.000.000 lei

Rata profitului este dată de profit raportat la cifra de afaceri:

%8,22100.A.C

PP =⋅=′

Maşinile vor fi utilizate pentru producerea poşetelor şi ghiozdanelor după cum urmează: M1: 20x1 + 30x2 = 20 · 400 + 30 · 200 = 14.000 minute M2: 50x1 + 50x2 = 50 · 400 + 50 · 200 = 30.000 minute M3: 10x1 + 40x2 = 10 · 400 + 40 · 200 = 12.000 minute

Observăm că M2 şi M3 sunt utilizate integral, iar M1 mai poate fi utilizată încă 4000 minute pentru alte produse.

47

3.4. PROBLEME DE OPTIMIZARE DE TIP TRANSPORT

Problema transporturilor O problemă de mare importanţă în cadrul expedierii mărfurilor o constituie mişcarea fizică, deplasarea în spaţiu a acestora. În sistemul cibernetic al firmei, subsistemul transport-aprovizionare-desfacere realizează legătura directă dintre producător şi consumator, condiţionând realizarea planului de desfacere.

Concurenţa din ce în ce mai dură care îşi face simţită prezenţa în toate domeniile activităţii economice impune sistemelor de conducere o analiză cu instrumente ştiinţifice a tuturor alternativelor existente, căutându-se acea variantă de acţiune care să conducă la o activitate economică eficientă. Pe această linie se înscrie şi activitatea din domeniul transporturilor care are ca obiect de studiu circulaţia mărfurilor şi ca obiectiv principal accelerarea vitezei de circulaţie a mărfurilor şi reducerea la maximum a cheltuielilor de transport, transbordare, descărcare. Organizarea eficientă a transporturilor presupune cunoaşterea tuturor rutelor de transport precum şi a costurilor pe fiecare mijloc de transport în parte, astfel încât să se realizeze rutele cele mai economice, deoarece o reducere permanentă a cheltuielilor de transport conduce la sporirea eficienţei activităţii economice a firmei. Toate cheltuielile care sunt legate de transportul operativ al mărfurilor trebuie evidenţiate distinct pe furnizori şi pe cantităţi transportate, pentru a se putea efectua o analiză economică riguroasă. În aceste condiţii vom studia o parte a modelelor liniare ce apar în acrivitatea de aprovizionare, în circumstanţe ce vor fi specificate. Studiul problemelor de transport pe baza teoriei programării liniare a fost început în 1941 (de Hitchoock), apoi extins de diverşi matematicieni interesaţi de rezolvarea acestei colecţii de probleme. Proces economic ce conduce la probleme de tip transport Un produs este stocat în m centre de depozitare αD în cantităţile

m,...,1=α,a α şi este solicitat în n centre de desfacere Ci în cantităţile bi, i = 1, ..., n. Costul transportului unei unităţi de produs de la depozitul αD la centrul Ci este iαc unităţi monetare. Se pune problema determinării cantităţilor de produse ce urmează să fie transportate de la depozite la centrele de desfacere, astfel încât să nu se depăşească disponibilul, cererea să fie satisfăcută, iar costul total al transportului să fie minim. Dacă se notează cu ixα cantitatea de produs ce va fi transportată de la αD la Ci, condiţiile problemei conduc la următorul sistem de restricţii:

a) restricţii asupra disponibilului:

∑=

ααα ≥=α≤n

1ii 0a;m,...1;ax

Problema economică a transporturilor

48

adică toată marfa care se transportă din depozitul α către toate centrele de desfacere nu poate să depăşească cantitatea de marfă existentă în depozitul α, iar cantitatea de marfă din depozite nu poate fi negativă.

b) restricţii asupra cererii:

∑=α

α ≥==m

1ii 0b;n,...1i;bx

adică toată marfa care se transportă către centrul de desfacere i dinspre depozite trebuie să acopere necesarul centrului de desfacere i, iar cantitatea de marfă de care are nevoie centrul de desfacere i nu poate să fie negativă. Costul total al transportului se află înmulţind costurile pentru o unitate de marfă cu cantitatea de marfă care se transportă între fiecare depozit şi centru de desfacere şi apoi făcând suma acestora:

∑∑=α =

αα=m

1

n

1iiixc)x(f

Cumulând tot ce am scris până acum vom obţine următoarea problemă de optimizare liniară:

∑∑=α =

ααℑ∈

m

1

n

1iiix

xcmin , unde

{ ∈=ℑ x ℝmn, }∑ ∑= =α

αααα ==α≥=≤n

1i

m

1iiii n,...,1i;m,...,1;0x;bx;ax

Problema de optimizare liniară de tip transport este formată dintr-un sistem care are m·n variabile şi m+n restricţii. Cum numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuaţii, vom avea un sistem compatibil nedeterminat, adică vom avea mai multe soluţii. Matricea sistemului de restricţii are o formă specială, ceea ce permite rezolvarea problemei utilizând algoritmi speciali. Problema de optimizare este dată de obicei printr-un plan de transport, sub forma:

Ci

αD C1 ... Cn Disponibil

D1 c11 ... c1n a1 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dm cm1 ... cmn am Necesar b1 ... bn

Sistemul de restricţii al problemei de optimizare este compatibil (adică problema are soluţii) dacă şi numai dacă:

∑ ∑=α =

α ≥m

1

n

1iiba (disponibilul ≥ necesarul)

Pentru a putea utiliza algoritmii de rezolvare ai problemei de transport, trebuie ca aceasta să aibă forma standard. Sistemul de restricţii ℑ are forma standard:

Enunţul matematic al problemei de transport

Forma matematică a problemei de transport

49

n,...,1i;m,...,1;0x

bx

n,...,1i;bx

m,...,1;axx

i

m

11n1n,

i

m

1i

n

1i1n,i

==α≥

=

==

=α=+

α

=α++α

=αα

=α+αα

∑

∑

∑

unde ∑ ∑=α =

α+ −=m

1

n

1ii1n bab

Problema de transport sub formă standard e compatibilă dacă şi

numai dacă ∑ ∑=α

+

=α =

m

1

1n

1iiba .

Relaţia precedentă se numeşte relaţia de echilibru a balanţei. Orice problemă de transport poate fi adusă la forma standard prin introducerea unui centru de desfacere sau a unui depozit fictiv. Astfel, dacă:

a) ∑ ∑=α =

α >m

1

n

1iiba (disponibil > cerere) se introduce un centru fictiv Cn+1 cu

cererea ∑ ∑=α =

α+ −=m

1

n

1ii1n bab şi costurile de transport cα, n+1 = 0; α = 1, ...,m

b) ∑ ∑=α =

α <m

1

n

1iiba (disponibil < cerere) se introduce un centru fictiv Dm+1 cu

cererea ∑ ∑= =α

α+ −=n

1i

m

1i1n aba şi costurile de transport c m+1, i = 0; i = 1, ...,n

Exemplu: Pentru problema de transport dată prin planul de transport:

Ci

αD C1 C2 C3 Disponibil

D1 3 2 4 5

D2 1 3 0 7

D3 2 2 5 9

Necesar 8 10 11 2129

Forma standard este:

Ci

αD C1 C2 C3 Disponibil

D1 3 2 4 5

D2 1 3 0 7

D3 2 2 5 9

D4 0 0 0 8

Necesar 8 10 11 2929

Echilibrarea balanţei pentru o problemă de transport

50

Algoritm pentru determinarea soluţiilor unei probleme de tip transport Din forma sistemului de restricţii a problemei de tip transport rezultă algoritmul general pentru determinarea unei soluţii. Etapa 1

Se alege o rută (α , i) căreia i se atribuie valoarea { }ii b,aminx αα = . Etapa 2

a) Dacă ,ba i<α se pune ij;0x;ax ji ≠== ααα şi se înlocuieşte ib cu →−=′ αabb ii Etapa 1,

b) Dacă ,ba i>α se pune α≠β== βα ;0x;bx iii şi se înlocuieşte αa cu →−=′ αα ibaa Etapa 1,

c) Dacă ,ba i=α se pune ij;0x);b(ax jii ≠=== ααα , α≠β=β ;0x i . Se selectează o rută de tipul )j,(α sau ( i,β ) şi se notează cu semnul 0* (pornind de la aceste căsuţe putem, cu ajutorul altor algoritmi asemănători, să găsim alte soluţii), ib şi αa se înlocuiesc cu →=′=′ 0a;0bi Etapa 1. Algoritmul se încheie când am completat toate căsuţele cu ixα . Alegerea rutei ( )i,α în etapa 1 se face după una dintre următoarele metode: 1. Metoda colţului N-V – la etapa 1 se alege ruta ce nu a fost selectată, situată în colţul N-V (stânga sus) al tabelului problemei de transport. 2. Metoda costurilor minime (maxime) – la etapa 1 se alege ruta ( )i,α ce nu a fost selectată, pentru care { }j)j,b(i cminc ββα = (respectiv { }j)j,(i cmaxc ββα = ), unde

( )j,β sunt rutele neselectate. Algoritmul descris are un număr finit de etape, căci la fiecare alegere sunt eliminate cel puţin min {m,n} rute. Observaţie: La metoda costurilor minime nu se iau în considerare costurile 0 ale centrelor de depozitare D sau de desfacere C fictive. Exemplul 1: Pentru problema de transport

MIN C1 C2 C3 C4 Disponibil3 2 5 4 D1 5

6 3 2 1 D2 3

4 6 3 2 D3 4

Necesar 3 2 4 3 12 12

O soluţie este dată de:

Algoritm pentru determi-narea soluţiilor unei probleme de transport

Alegerea rutelor

51

1) Metoda colţului de N-V:

N-V C1 C2 C3 C4 Disponibil

D1 3

3 2

25

04

0 5 2 0

D2 6

0 3

02

31

0 3 0

D3 4

0 6

03

12

3 4 3 0

Necesar 3 0 2 0 4 1 0 3 0 Costurile de transport vor fi: 3‧3+2‧2+5‧0+4‧0+6‧0+3‧0+2‧3+1‧0+4‧0+6‧0+3‧1+2‧3=28 unităţi monetare 2) Metoda costurilor minime:

MIN C1 C2 C3 C4 Disponibil

D1 3

3 2

25

04

0 5 3 0

D2 6

0 3

02

01

3 3 0

D3 4

0 6

03

42

0 4 0

Necesar 3 0 2 0 4 0 3 0 Costurile de transport vor fi: 3‧3+2‧2+5‧0+4‧0+6‧0+3‧0+2‧0+1‧3+4‧0+6‧0+3‧4+2‧0=28 unităţi monetare Exemplul 2: Trei bănci dispun de sume de bani pe care îi pot împrumuta la patru clienţi. Disponibilul, necesarul precum şi dobânzile cu care se fac împrumuturile sunt date în următorul tabel:

Debitori (clienţi)

Creditori (bănci)

C1 C2 C3 C4 Disponibil

B1 3 5 7 6 7 B2 2 7 4 3 10 B3 6 2 4 6 3

Necesar 7

5

9

4

20 25

Să se determine repartiţia sumei de bani din punct de vedere al:

a) creditorilor; b) debitorilor.

52

Rezolvare a) Creditorii sunt băncile şi acestea doresc să obţină dobânzi cât mai mari, deci vom rezolva problema prin metoda de maxim:

MAX C1 C2 C3 C4 Disponibil

B1 3

05

07

76

0 7 0

B2 2

07

54

23

3 10 5 3 0

B3 6

32

04

06

0 3 0

B4 0

40

00

00

1 5 4 0

Necesar 7 4 0 5 0 9 5 2 0 4 1 0

25 25

Dobânda totală obţinută de bănci va fi:

7‧7+7‧5+4‧2+3‧3+6‧3= 119 u.m. b) Debitorii sunt clienţii şi aceştia doresc să obţină dobânzi cât mai mici, deci vom rezolva problema prin metoda de minim:

MIN C1 C2 C3 C4 Disponibil

B1 3

05

27

46

1 7 5 4 0

B2 2

77

04

03

3 10 3 0

B3 6

02

34

06

0 3 0

B4 0

00

00

50

0 5 0

Necesar 7 0 5 2 0 9 5 0 4 1 0

25 25

Dobânda totală plătită de clienţi băncilor va fi:

5‧2+7‧4+6‧1+2‧7+3‧3+2‧3 = 73 u.m.

DICŢIONAR - prin proces înţelegem un sistem format dintr-o intrare (input), o ieşire

(output) şi o cutie neagră în care input-ul se prelucrează obţinându-se outputul;

- input-ul este format din cantităţi de materii prime caracterizate prin vectorul input b = (b1, b2, ..., bm) unde m,1;b =αα reprezintă cantitatea de materie primăα ce se va prelucra;

53

- output-ul se caracterizează prin vectorul x = (x1, x2, ...xn) unde n,1i;xi = reprezintă cantitatea de produs i ce se va obţine în urma prelucrării input-urilor;

- prelucrarea input-ului se face utilizând un număr de n tehnologii caracterizate prin vectorii tehnologici ai = (a1i, a2i, ..., ami) unde iaα reprezintă cantitatea de materie primă α utilizată pentru prelucrarea unei unităţi din produsul i;

- procesul se numeşte liniar dacă legăturile dintre input, output şi vectorii tehnologici sunt date prin ecuaţii sau inecuaţii liniare;

- forma matematică a unui proces economic liniar este formată dintr-o funcţie obiectiv, un sistem de restricţii şi condiţii asupra variabilelor;

- forma matematică a unei probleme de transport este formată dintr-o funcţie obiectiv, restricţii asupra disponibilului, restricţii asupra cererii şi condiţii asupra variabilelor;

- problema de transport este echilibrată atunci când disponibilul este egal cu cererea (sau necesarul).

TEST DE EVALUARE

1. Definiţi un proces economic. 2. Într-un proces economic, cine poate fi input? 3. Într-un proces economic, cine poate fi output? 4. Definiţi procesul liniar. 5. Care este forma matematică a unui proces liniar? 6. Ce cuprinde forma generală a problemei de optimizare liniară? 7. Scrieţi formele canonice ale unei probleme de optimizare liniară. 8. Scrieţi formele standard ale unei probleme de optimizare liniară . 9. Scrieţi forma matematică a problemei de transport. 10. Când avem soluţii ale problemei de transport? 11. Când putem rezolva cu algoritmi specifici problema de transport? 12. Care este relaţia de echilibru a balanţei pentru problema de

transport? 13. De unde pornim rezolvarea problemei de transport prin metoda

colţului de NV? 14. De unde pornim rezolvarea problemei de transport prin metoda de

maxim? 15. De unde pornim rezolvarea problemei de transport prin metoda de

minim?

54

TEMA IV. TEORIA PROBABILITĂŢILOR CONŢINUT

4.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate. Variabile aleatoare 4.2. Scheme clasice de probabilitate

REZUMAT În cadrul acestui capitol se studiază fenomenele aleatoare, operaţiile cu evenimente aleatoare, noţiunea de probabilitate şi schemele clasice de probabilitate. Teoria probabilităţilor stă la baza statisticii economice, care va fi studiată semestrul următor. OBIECTIVE

Parcurgerea acestei teme va facilita cunoaşterea şi aprofundarea următoarelor noţiuni: - modele deterministe şi modele probabiliste - experienţă, probă, eveniment - operaţii logice, operaţii cu evenimente - eveniment sigur, imposibil, aleator, elementar - probabilitatea unui eveniment - proprietăţile probabilităţii - schemele clasice de probabilitate

4.1. CÂMP DE EVENIMENTE. CÂMP DE PROBABILITATE. VARIABILE ALEATOARE

În multe studii ştiinţifice asupra fenomenelor economice, fizice, etc., se caută modele matematice cât mai performante cu ajutorul cărora să se poată descrie sau prognoza anumite valori de interes pentru fenomenul studiat. Spre exemplu, în fizică şi în chimie întâlnim foarte multe modele matematice ce descriu fenomene care, repetate în condiţii ideale, furnizează în mod esenţial aceleaşi rezultate de fiecare dată. Considerăm fenomenul căderii libere a unui obiect material. Binecunoscuta formulă g = v · t (g – acceleraţia gravitaţională) ne furnizează un model matematic foarte util pentru descrierea vectorului v , viteza de cădere liberă a respectivului obiect. Acesta este un exemplu de model determinist. Astfel de modele nu sunt însă adecvate atunci când experimentele se efectuează în condiţii mai puţin ideale (când apar variabile incontrolabile: temperatura aerului, umiditatea, erori de măsurare, etc.) care pot afecta destul de mult rezultatele experimentului. Dacă încercăm să construim un model determinist care ia în considerare toţi aceşti factori perturbatori, acest lucru se dovedeşte a fi – în general – o sarcină imposibilă. Necesitatea elaborării unor modele matematice şi pentru astfel de situaţii nedeterministe motivează studiul probabilităţilor. Modelele matematice construite în acest cadru vor fi numite modele probabiliste.

Model determinist

Model probabilist

55

Câteodată, pentru demonstrarea unor astfel de modele, în locul termenilor probabilistic, probabiliste se utilizează termenii: stochastic, stochastice, datorită faptului că în limba germană „stochos” înseamnă ghicire. Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare. Despre un fenomen se spune că este aleator dacă, efectuându-l de mai multe ori, rezultatul obţinut la fiecare repetare se schimbă imprevizibil. Câteva exemple de fenomene aleatoare: extragerile loto, jocurile de noroc, procentul de rebuturi la fabricarea unui anumit produs, tragerile la ţintă etc. Să luăm de pildă din categoria jocurilor de noroc acele jocuri care au la bază experienţa de aruncare a zarului. Rezultatul experimentului este dat de cifra arătată de zar la oprire. Un astfel de rezultat nu poate fi prevăzut, deoarece el depinde de o mulţime de factori întâmplători: poziţia în momentul aruncării, impulsul iniţial dat zarului, particularităţile fizice ale feţelor etc.

De asemenea, analizând producerea oricărui fenomen, se constată uşor că articolele de acelaşi tip diferă între ele într-o oarecare măsură. De exemplu, în producţia becurilor electrice – durata de ardere a becului este diferită pentru becuri diferite. În cazul tragerilor la ţintă cu o armă nu se va nimeri întotdeauna mijlocul ţintei. În toate aceste cazuri este evident că nu putem prevedea dinainte rezultatul experimentului. Orice fenomen, fie şi determinist, este întotdeauna însoţit de perturbări aleatoare. Totuşi, în anumite aplicaţii practice se pot neglija aceste elemente aleatoare înlocuind fenomenele reale printr-un model (adică o schemă simplificată) şi presupunând că în condiţiile date ale experienţei avem o derulare bine determinată. Din multitudinea factorilor care intervin în fenomenul studiat, se selecţionează cei mai importanţi (cei fundamentali şi decisivi) şi se neglijează influenţa celorlalţi factori. Aceasta este metoda uzuală de studiu, chiar şi în cazul diferitelor fenomene ce apar în fizică, chimie, mecanică etc. Utilizarea matematicii în studiul fenomenelor aleatoare se bazează pe faptul că în multe cazuri şansa apariţiei unuia sau altuia dintre rezultatele experimentului poate fi evaluată cantitativ, adică poate fi exprimată printr-un număr p.

Un prim indiciu în acest sens este faptul că, la repetarea în aceleaşi condiţii, de mai multe ori, a unei experienţe aleatoare, frecvenţa relativă de apariţie a rezultatului considerat (adică raportul dintre numărul de încercări în care s-a obţinut acest rezultat şi numărul total al încercărilor efectuate) rămâne tot timpul aproximativ aceeaşi, apropiată de o valoare constantă p. Acest număr p se numeşte probabilitatea de apariţie a rezultatului considerat. Forma unei astfel de probabilităţi este, desigur, independentă de efectuarea experimentelor. De aceea ne putem întreba dacă probabilităţile nu pot fi calculate şi fără a efectua vreun experiment. Se constată că într-o serie de cazuri acest lucru se poate face plecând direct de la natura experimentului considerat. Într-o astfel de situaţie, obiectul experimentului prezintă în general o anumită simetrie, iar calculul probabilităţii de apariţie al unui

Fenomen aleator

Factori decisivi

Probabilitatea de apariţie a unui rezultat

56

rezultat oarecare se bazează pe consideraţii de analiză combinatorie deseori destul de complexe.

Eveniment. Operaţii cu evenimente În cele ce urmează, vom înţelege prin experienţă realizarea unui complex de condiţii, iar realizarea practică efectivă a unei experienţe o vom numi probă. Orice rezultat al unei experienţe poartă numele de eveniment. În mulţimea evenimentelor corespunzătoare unei experienţe se introduc operaţiile logice şi, sau, non şi o relaţie de ordine parţială implică.

Definiţie: Dacă A şi B sunt două evenimente, atunci: 1. prin „A sau B” notat cu BA ∪ înţelegem evenimentul care se realizează

dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre cele două evenimente se realizează;

2. prin „A şi B” notat cu BA ∩ înţelegem evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă ambele evenimente se realizează;

3. prin „non A”, notat AC = CA = A înţelegem evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă A nu se realizează.

Definiţie: Numim eveniment singur, notat cu Ω , evenimentul care se realizează în orice probă. Definiţie: Numim eveniment imposibil, notat cu Ø, evenimentul care nu se realizează în nici o probă. Definiţie: Numim eveniment întâmplător (aleator) un eveniment care poate să se producă sau nu într-o probă. Definiţie: Fie A şi B două evenimente. Spunem că „A implică B” şi scriem BA ⊂ dacă realizarea lui A are ca efect realizarea lui B. Din această definiţie rezultă:

CACBBAAA

⊂⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⊂⊂⊂

BAABBA

=⇒⎭⎬⎫

⊂⊂

Definiţie:Un eveniment A este elementar dacă din =⇒⊂ BAB Ø sau B = A.

Proprietăţi ale operaţiilor cu evenimente: 1. ;ABBA ∪=∪ ABBA ∩=∩ 2. ( ) ( );CBACBA ∪∪=∪∪ ( ) ( )CBACBA ∩∩=∩∩ 3. ( ) ( )CA)BA(CBA ∩∪∩=∪∩

4. ( )( ) BBAA

BBAAC

C

=∩∪

=∪∩

5. ( )( ) BBBA

BBBA=∩∪=∪∩

Fie Ω o mulţime ale cărei elemente le notăm ω ; P(Ω ) mulţimea părţilor lui Ω (mulţimea tuturor submulţimilor de elemente din Ω ).

Experienţă Probă Eveniment

Eveniment imposibil

Eveniment sigur

Operaţiile logice Şi Sau Non

Eveniment aleator

Operaţia logică Implică

Eveniment elementar

Proprietăţi ale operaţiilor cu evenimente

57

În mulţimea părţilor lui Ω se introduc operaţii logice sau, şi, non,

notate ,, ∩∪ C (reuniune, intersecţie şi negaţie). Dacă A, B, C ∈ P(Ω ), atunci:

1. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈ω∈ωΩ∈ω=∪ BsauA|BA

2. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈ω∈ωΩ∈ω=∩ BsiA|BA

3. AC = { }A| ∉ωΩ∈ω

Definiţia clasică a probabilităţii

Considerăm o experienţă notată T căreia îi corespunde evenimentul sigur { }n21 ,...,, ωωω=Ω . Fie P(Ω ) mulţimea evenimentelor asociate experienţei T. Definiţie: Spunem că Ω∈ωi este un caz favorabil evenimentului A, dacă Ai ∈ω . Să presupunem că rezultatele iω cu n,1i = sunt egal posibile, în sensul că au aceeaşi şansă de realizare în cadrul unei probe (ex.: jocul cu zarul, când zarul este un cub perfect şi omogen din punct de vedere al masei), evident că numărul cazurilor egal posibile este dat de numărul n al elementelor mulţimii Ω . Definiţie: Numim probabilitatea evenimentului A, notată P(A), raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentului A şi numărul cazurilor egal posibile. Astfel, dacă { }n11 ,...,, ωωω=Ω , { }ik2i1i ,...,,A ωωω= avem

( )nk

posibilecazurilor.nr

favorabilecazurilor.nrAP == (1)

Observăm că oricărui eveniment din P(Ω ) i se poate asocia numărul real P(A) conform egalităţii (1), adică probabilitatea este o funcţie definită pe mulţimea evenimentelor asociate experienţei aleatoare, cu valori în mulţimea numerelor reale:

→Ω)(P:P ℝ Propoziţie: Funcţia →Ω)(P:P ℝ verifică următoarele proprietăţi:

1. ( ) ( )Ω∈∀≥ PA,0AP 2. ( ) 1P =Ω , P(Ø) = 0 3. dacă ( ) =∩Ω∈ BA,PB,A Ø ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪⇒

4.2. SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE Studiem în continuare un set de formule aplicabile în situaţii destul de generale şi care sunt cunoscute sub numele de scheme clasice de probabilitate.

Rezultate egal posibile

Probabilitatea unui eveniment

58

Schema urnei cu bilă nerevenită Se consideră o urnă care conţine „a” bile albe şi „b” bile negre. Se

fac n extrageri succesive fără returnare, ban +≠ . Se cere probabilitatea ca din cele n bile extrase, x să fie albe. Soluţia: Un rezultat posibil al acestei experienţe este obţinerea unui grup de n bile, numărul rezultatelor egal posibile fiind dat de numărul grupurilor distincte de câte n bile care se pot forma cu cele N = a+b bile existente în urnă, adică n

baC + . Notăm cu A evenimentul dorit: grupul de bile extrase să conţină x bile albe şi n – x bile negre. Cu cele a bile albe existente în urnă se pot forma x

aC grupuri de câte x bile albe; cu cele b bile negre existente în urnă se pot forma xn

bC − grupuri de câte n – x bile negre; rezultă că numărul

cazurilor favorabile evenimentului A este dat de produsul xnb

xa CC −⋅ .

Aplicând definiţia probabilităţii obţinem probabilitatea ca din cele n bile extrase, x să fie albe:

( ) ( ) n1n...321!n,!kn!k

!nCundeC

CCP knn

ba

xnb

xa

x,n ⋅−⋅⋅⋅⋅=−⋅

=⋅

=+

−

Exemplu: Un vameş a fost informat că printre cei 40 de pasageri ai vaporului care urmează să ancoreze în port se află doi contrabandişti. Câţi pasageri trebuie el sa aleagă în mod aleator la control pentru ca probabilitatea de a prinde măcar un contrabandist sa fie de cel puţin 0,9? Rezolvare: Să presupunem că, din cei 40 pasageri, se aleg aleator n persoane (n ≤ 40). Atunci, conform schemei bilei nerevenite, probabilitatea ca printre cele n persoane astfel alese sa se gaseasca k contrabandişti (k = 0,1,2) este

n40

1n38

12

CCC −

. Prin urmare, probabilitatea ca printre cele n persoane să se

găsească cel puţin un contrabandist (adică 1 sau 2) este:

)nn79(4039

1)!2n38()!2n(

!38)!1n38()!1n(

!382!40

)!n40(!nCCC

CCC

2

n40

2n38

22

n40

1n38

12

−⋅

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

++−−

⋅−=+

−−

Mai trebuie doar să determinăm cea mai mică valoare a lui n pentru

care avem:

109)nn79(

40391 2 ≥−⋅

Se observă ca această inegalitate este echivalentă cu: 0)1404n79n( 2 ≤+−

de unde rezultă că n trebuie sa fie poziţionat între valorile:

Schema urnei cu bilă nerevenită

59

( ) ( )257921140447979

21n 2

2,1 ±=⋅−±=

În concluzie, vameşul trebuie să aleagă cel puţin 27 de pasageri pentru ca probabilitatea de a prinde măcar un contrabandist sa fie de cel puţin 0,9.

Schema urnei cu bilă revenită (sau schema lui Bernoulli) Se consideră o urnă conţinând N bile dintre care n1 bile albe şi n2

bile negre (deci n1 + n2 = N). Presupunem bilele identice ca formă şi dimensiuni.

Se fac din această urnă n extrageri succesive, introducându-se de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă (vom spune că s-au făcut n extrageri cu revenire).

În acest context, se pune problema determinării probabilităţii ca din cele n bile astfel extrase, k bile să fie albe (k ≤ n). Notăm această probabilitate cu Pn(k) şi vom arăta că ea este:

Pn(k) = Cn

kpk (1-p)n-k

unde Nnp = este probabilitatea de a extrage din urnă o bilă albă.

Soluţia: Vom determina această probabilitate utilizând definiţia clasică a probabilităţii.

Notăm cu UN mulţimea tuturor bilelor din urnă (deci UN este o mulţime cu N elemente distincte şi, în plus, fără a restrânge generalitatea, considerăm că bilele albe sunt numerotate de la 1 la n1, iar bilele negre de la n1+1 la n1+n2 ), şi cu Jn mulţimea primelor n numere naturale nenule, adică:

Jn={ }n,...,1 (mulţimea Jn se identifică cu mulţimea celor n efectuări independente ale experienţei de extragere a unei bile din urnă). Prin urmare:

UN={ }2111 nn1nn21 b,...,b,b,...,b,b ++

Este clar că toate evenimentele elementare corespunzătoare experienţei enunţate sunt echiprobabile. Prin urmare, vom putea aplica definiţia clasică a probabilităţii pentru calculul lui Pn(k).

Numărul cazurilor posibile este dat de cardinalul spaţiului de selecţie şi, prin urmare, este Nn.

Calculul numărului de cazuri favorabile se poate face astfel: sunt Cn

k modalităţi de alegere a celor k extrageri în care apare bila albă. Fixând una dintre aceste modalităţi, avem k

1n variante de alegere a celor k bile albe şi kn

2n − variante de alegere a celor n-k bile negre. Combinând toate aceste modalităţi şi variante conform principiului

multiplicării, vom obţine că numărul cazurilor favorabile este kn2

kn

kn nnC − şi,

prin urmare, probabilitatea căutată este, într-adevăr

( ) ( ) knkknn

kn2

k1

kn

n p1pCN

nnCkP −

−

−==

Schema urnei cu bilă revenită

60

Exemplu:

Se aruncă o monedă de 5 ori. Care este probabilitatea ca stema să apară de cel mult două ori ?

Rezolvare: Conform schemei lui Bernoulli, probabilitatea ca în urma celor 5 aruncări stema să apară de A ori este

( ) 5k5k5k

k55 2

1C2

121CkP == −

pentru orice k = 0,1,...,5. Prin urmare, probabilitatea ca stema să apară de cel mult două ori este:

P5(0) + P5(1) + P5(2)

Schema multinomială (a urnei cu bilă revenită cu r culori) O direcţie în care putem generaliza schema lui Bernoulli constă în a

analiza extragerile cu revenire dintr-o urnă care conţine bile de r culori diferite, cu r ≥ 2. Obţinem astfel o primă variantă de prezentare a schemei multinomiale care mai e cunoscută şi sub numele de schema generalizată a bilei revenite. Descriem în continuare elementele acestui model şi formulele de calcul corespunzătoare lui.

Presupunem că într-o urnă avem: a1 bile de culoarea c1, a2 bile de culoarea c2, ...... ar bile de culoarea cr,

Se fac n extrageri cu revenire din această urnă (n∈ℕ*) şi se pune problema determinării probabilităţii ca printre cele n bile extrase să avem: k1 bile de culoarea c1, k2 bile de culoarea c2, ...... kr bile de culoarea cr, unde, desigur, numerele naturale kr verifică k1 + ... + kr = n.

Aceasta probabilitate o vom nota cu Pn (k1, k2, ... kn), şi ea este dată prin următoarea formulă:

( ) r21 kr

k2

k1

r21r21n p...pp

!k...!k!k!nk,...,k,kP ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

unde:

r,...,1i,a...a

apr1

ii =∀

++=

Evident, pentru orice i = 1, ...n, pi reprezintă probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea ci din urna a cărei compoziţie a fost descrisă mai sus.

Justificarea formulei se poate face exact cu acelaşi gen de raţionamente ca şi cele prezentate la schema lui Bernoulli.

Schema urnei cu bilă revenită cu r culori

61

Schema bilei nerevenite cu mai multe stări (cu r culori) Acest model generalizează schema bilei nerevenite prezentată mai

sus în aceeaşi manieră în care schema multinomială generalizează schema lui Bernoulli

Astfel, presupunem că într-o urnă avem: a1 bile de culoarea c1, a2 bile de culoarea c2, ...... ar bile de culoarea cr,

Se fac n extrageri fără revenire din această urnă (n∈ℕ*, r1 a...an ++≤ ) şi se pune problema determinării probabilităţii ca printre cele n bile extrase să avem: k1 bile de culoarea c1, k2 bile de culoarea c2, ...... kr bile de culoarea cr, unde, desigur, numerele naturale kr verifică:

r,...,1i,ak0 ii =∀≤≤ şi nk...k r1 =++ Această probabilitate o vom nota cu ( )m21 k,...,k,kP şi ea este dată

prin următoarea formulă:

( )k

r21

r

r

k

2

1

1

ka...aa

ka

ka

ka

m21 CC...CC

k,...,k,kP+++

=

Justificarea se face printr-un raţionament asemănător celui prezentat mai sus în cazul a două culori, adică la fel ca la schema bilei nerevenite.

Schema lui Poisson Această schemă generalizează şi ea tot schema lui Bernoulli, dar

într-o direcţie diferită de cea prezentată la schema multinomială. Aici, cele n extrageri cu revenire sunt înlocuite cu efectuarea a câte unei extrageri din n urne diferite (posibil diferite chiar şi în ce priveşte compoziţia de alb şi negru). Detaliem în continuare elementele acestui model şi formulele de calcul ataşate lui.

Se dau n urne distincte U1, U2, ..., Un astfel încât urna Uk conţine ak bile albe şi bk bile negre, k∈{1,..., n}. Numărul total de bile din urna Ui îl vom nota mi, deci mi = ai + bi, ∀ i = 1, ..., n.

Din fiecare urnă se extrage câte o bilă. Notăm această experienţă aleatoare cu )m,n,a(0pξ , unde a = (a1, ...an), iar m = (m1, ..., mn).

Vrem să calculăm probabilitatea ca, dintre cele n bile astfel extrase, k să fie albe (0 ≤ k ≤ n).

Probabilitatea căutată este egală cu coeficientul lui tk din următorul polinom de grad n:

Qn(t) = (p1t + q1) (p2t + q2)... (pnt + qn) unde, pentru orice k = 1, ..., n

k

k

kk

kk m

aba

ap =+

=

este probabilitatea de a extrage o bilă albă din Uk, iar qk = 1 – pk.

Schema urnei cu bilă nerevenită cu r culori

Schema lui Poisson

62

Observaţie: Dacă cele n urne au aceeaşi compoziţie procentuală de „alb” (adică p1 = p2 = ... = pn), atunci se regăseşte modelul schemei lui Bernoulli.

Exemplu:

Trei bănci B1, B2, B3 acordă credite de studiu, în mod independent una de alta, cu probabilităţile p1 = 0,6; p2 = 0,9 şi respectiv p3 = 0,8. Determinaţi probabilitatea ca un student, care a depus o cerere de creditare la fiecare dintre cele trei bănci, să primească două răspunsuri favorabile.

Rezolvare: Conform schemei lui Poisson, probabilitatea căutată este egală cu coeficientul lui t2 în polinomul:

Q3(t) = (p1t + q1) (p2t + q2) (p3t + q3) unde, pentru orice k = 1,2,3, avem qk = 1-pk.

În cazul nostru: Q3(t) = (0,6·t + 0,4)(0,9·t + 0,1)(0,8·t + 0,2)

şi deci coeficientul lui t2 este: 0,6 · 0,9 · 0,2 + 0,6 · 0,8 · 0,1 + 0,4 · 0,9 · 0,8 = 0,444.

DICŢIONAR - despre un fenomen se spune că este aleator dacă, efectuându-l de mai

multe ori, rezultatul obţinut la fiecare repetare se schimbă imprevizibil; - vom înţelege prin experienţă realizarea unui complex de condiţii,

realizarea practică efectivă a unei experienţe o vom numi probă, orice rezultat al unei experienţe poartă numele de eveniment;

- numim eveniment singur, notat cu Ω , evenimentul care se realizează în orice probă;

- numim eveniment imposibil, notat cu Ø, evenimentul care nu se realizează în nici o probă;

- numim eveniment aleator un eveniment care poate să se producă sau nu într-o probă;

- un eveniment A este elementar dacă din =⇒⊂ BAB Ø sau B = A; - numim probabilitatea evenimentului A, notată P(A), raportul dintre

numărul cazurilor favorabile evenimentului A şi numărul cazurilor egal posibile.

TEST DE EVALUARE

1. Daţi exemple de modele deterministe. 2. Definiţi fenomenele aleatoare. 3. Daţi exemple de fenomene aleatoare. 4. Definiţi experienţa, proba şi evenimentul. 5. Care sunt operaţiile logice cu care lucrăm? 6. Definiţi evenimentul sigur. 7. Definiţi evenimentul imposibil.

63

8. Definiţi evenimentul aleator. 9. Definiţi evenimentul elementar. 10. Care sunt proprietăţile operaţiilor cu evenimente? 11. Definiţi probabilitatea unui eveniment. 12. Enunţaţi proprietăţile probabilităţii. 13. Enunţaţi schema urnei cu bilă nerevenită. 14. Enunţaţi schema urnei cu bilă nerevenită cu mai multe stări. 15. Enunţaţi schema urnei cu bilă revenită. 16. Enunţaţi schema urnei cu bilă revenită cu mai multe stări. 17. Enunţaţi schema lui Poisson.

64

TEMA V. ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE

CONŢINUT

5.1. Dobânda simplă şi dobânda compusă 5.2. Plăţi eşalonate 5.3. Împrumuturi

REZUMAT În cadrul acestui capitol se studiază noţiunile de dobândă simplă sau compusă, tipurile de plăţi eşalonate şi de rambursare a împrumuturilor. OBIECTIVE

Parcurgerea acestei teme va facilita cunoaşterea şi aprofundarea următoarelor noţiuni: - suma iniţială, suma finală, dobânda - procentul dobânzii, dobânda unitară anuală - procesul de dobândă simplă - procesul de dobândă compusă - tipurile de plăţi eşalonate - tipurile de rambursare a împrumuturilor

5.1. DOBÂNDA SIMPLĂ ŞI DOBÂNDA COMPUSĂ Termenul de dobândă apare spre sfârşitul evului mediu ca alternativă la cel de camătă, care rămâne cu sensul de dobândă exorbitantă, exagerată, ruinătoare. Dobânda este suma de bani plătită de debitor (cel care se împrumută) creditorului (cel care împrumută) pentru suma de bani împrumutată. O cerere mare pentru credit, în condiţiile unor resurse băneşti limitate, constituie cauza unor dobânzi ridicate. Împrumutul poate fi considerat ca fiind o remunerare a acestor servicii. Cea mai simplă tranzacţie financiară este investirea (plasarea pentru fructificare a unei sume de bani pentru o perioadă de timp). Suma investită iniţial se numeşte valoare iniţială (sumă iniţială, capital principal). Suma obţinută (mai mare) după perioada de investire se numeşte valoare finală (valoare acumulată la momentul respectiv, valoare sau sumă revenită). Această situaţie poate fi descrisă mai uşor folosind notaţia şi noţiunea de funcţie. Dacă t este lungimea perioadei de timp pentru care suma iniţială notată cu S(0) a fost investită, notăm valoare finală cu S(t). Considerăm

0t ≥ .

Funcţia S(t) se numeşte funcţie sumă, iar raportul a(t) = )0(S)t(S

se

numeşte funcţie (factor) de acumulare. Avem:

Dobânda

Suma iniţială

Suma finală

65

a(0) = 1, S(t) = k· a(t), k = constantă, k = S(0) Se pune întrebarea care funcţii pot fi funcţii de acumulare. Evident apare cerinţa practică de a avea a(t) funcţie crescătoare. Dar a(t) este continuă? Aici răspunsul depinde de situaţia considerată, astfel dacă a(t) reprezintă suma datorată la un împrumut după t ani de la luarea lui, atunci a(t) este funcţie continuă, considerând că dobânda continuă să se acumuleze pentru valori neîntregi ale lui t (fracţiuni de timp). Dacă a(t) reprezintă suma de bani din contul bancar la t ani de la depunerea iniţială (presupunând că nu am făcut în timp alte depuneri sau retrageri), atunci a(t) este o funcţie în scară: se menţine constantă pentru o perioadă de timp şi face un salt ori de câte ori dobânda este plătită (introdusă) în cont. În următoarele figuri avem graficele a 3 tipuri de funcţii de acumulare întâlnite în practică. a) reprezintă cazul în care suma câştigată prin dobândă este aceeaşi în fiecare an; b) reprezintă cazul în care suma câştigată prin dobândă creşte de la an la an (cu alte cuvinte: dobânda câştigă dobândă sau dobânda se capitalizează). Există multe funcţii de acumulare de tipul b, dar cea mai utilizată este curba exponenţială; c) tipul c corespunde cazului menţionat anterior graficelor, când dobânda este plătită după perioada de timp fixată (lună, an, etc.). Să observăm că, dacă suma câştigată prin dobândă este constantă pe perioada de timp t, atunci salturile funcţie a(t) au aceeaşi înălţime. Aşadar, putem defini dobânda ca fiind diferenţa dintre valoarea finală şi valoarea iniţială:

D = Sf – S0 = S(t) – S(0) În situaţiile practice, această definiţie nu este satisfăcătoare, nu ajută la compararea diferitelor situaţii financiare pentru a o determina pe cea mai profitabilă. Pentru aceasta, vom îmbunătăţi definiţia utilizând instrumente matematice, adică funcţii cu proprietăţi adecvate (monotonie, derivabilitate etc.). Definiţie: Numim dobândă corespunzătoare plasării sumei S(0) pe durata de timp t, valoarea D(S0, t) a funcţiei [ ) [ ) [ )∞→∞∞ ,0,0,0: xD , care îndeplineşte condiţiile: a) este strict crescătoare în raport cu fiecare variabilă; b) D(S,0) = D(0, t)

t

a(t)

0

1

a) t

a(t)

0

1

c) t

a(t)

0

1

b)

Tipuri de funcţii de acumulare

Dobânda ca funcţie matematică

66

Dacă această funcţie este derivabilă în raport cu fiecare variabilă, atunci condiţia a) din definiţie devine:

0,S

)t,S(D

0

0 >∂

∂ 0t

)t,S(D 0 >∂

∂

Definiţie: Numim valoare finală, valoare acumulată sau valoare revenită celui care a plasat suma S0 pe durata de timp t, valoarea S(S0, t) a funcţiei: [ ) [ ) [ )∞→∞∞ ,0,0x,0:S care îndeplineşte condiţiile: a) este strict crescătoare în raport cu fiecare variabilă şi

S(S0, t) >S0, ,1S

)t,S(S

0

0 ≥∂

∂ 0t

)t,S(S 0 >∂

∂ ,

dacă S este derivabilă în raport cu fiecare variabilă. b) S(S0, 0) = S0, S(0,t) = 0. Definiţie: Dacă t = 1 an şi S0 = 100 u.m., atunci dobânda corespunzătoare se numeşte procent şi se notează cu p. Pentru t=1 an şi S0=1 u.m., avem dobândă unitară anuală, dobânda pe o unitate monetară sau rată unitară anuală a dobânzii, notată cu i. Avem p = 100 · i. În practica operaţiunilor bancare, pentru procedurile de calcul se folosesc frecvent trei convenţii privind anul bancar: 1) în procedura franceză, anul bancar are 360 de zile; luna bancară coincide

cu luna calendaristică; 2) în procedura engleză anul bancar are 365 de zile, iar luna este

calendaristică; 3) în procedura germană anul bancar are 360 de zile, iar luna 30 de zile. Să menţionăm şi legătura dintre dobânda unitară anuală şi funcţia de acumulare:

)0(S

)0(S)1(S1)0(S)1(S1)1(a)1,1(Di −

=−=−==

Dobânda simplă

Definiţie: Dacă pe întreaga durată de plasare t, valoarea considerată în calcul a sumei S0 nu se modifică, vom spune că avem un proces de dobândă simplă sau că plasarea sumei S0 s-a efectuată în regim de dobândă simplă. Formulele uzuale pentru calcului dobânzii şi sumei finale în regimul de dobândă simplă sunt: D (S0, t) = S0 · i · t S(S0, t) = S0 · (1 + i · t) Observaţie: Dacă pe durata de plasare a sumei S0 procentul se modifică, de exemplu pj = 100 · ij este procentul corespunzător perioadei tj, iar durata de

plasare este ∑=

=m

1jjtt , atunci dobânda cuvenită plasării sumei S0 în regim de

dobândă simplă este dată de relaţia: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

=∑m

1jjj00 tiS)t,S(D .

Suma finală ca funcţie matematică

Procentul dobânzii Dobânda unitară anuală

Procesul de dobândă simplă

67

Elementele dobânzii simple Din relaţiile anterioare putem deduce prin calcul următoarele mărimi numite şi elemente ale dobânzii simple: 1) Valoarea finală Sf este dată de: Sf = S0 (1 + i · t) – dacă procentul este constant pe durata plasării;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑

=

m

1jjj0f ti1SS - dacă avem procent variabil în timp.

2) Suma iniţială sau valoarea actuală notată S0 este dată de relaţia:

·ti+1

S=S f

0 (procent al dobânzii constant), sau

∑=

+= m

1jjj

f0

ti1

SS (procent al dobânzii variabil în timp)

3) Procentul de plasare notat cu p, dobânda unitară anuală i, sunt date de relaţiile:

;tSSSi

0

0f

⋅−

= p = 100 · i

4) Durata de plasare sau scadenţa t este:

iS

S-St0

0f

⋅=

Dobânda compusă

Definiţie: Dacă valoarea luată în calcul a sumei de plasare S0 se modifică periodic pe durata plasării prin capitalizarea dobânzii cuvenite pe perioada anterioară, spunem că avem un proces de dobândă compusă sau că plasarea sumei S0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă. Deducem formula sumei finale în cazul dobânzii compuse: anul 1 S0 → S0 = S0 (1 + i · 1) = S0(1 + i) anul 2 S1 → S2 = S1 (1 + i ) = S0(1 + i) · (1 + i) = S0(1 + i)2

anul 3 S2 → S3 = S2 (1 + i ) = S0(1 + i)2 · (1 + i) = S0(1 + i)3 .......................................................................................................... anul n Sn-1 → Sn = Sn-1 (1 + i ) = S0(1 + i)n-1 · (1 + i) = S0(1 + i)n

Deci suma finală va fi Sn = S0(1 + i)n. Dobânda o vom calcula prin diferenţă între suma finală şi cea iniţială D = Sn - S0. Observaţii:

- Dacă ∑=

=n

1kktt , iar corespunzător perioadei de timp tk se utilizează

procentul pk=100 · ik în regim de dobândă compusă, atunci suma finală va fi dată de relaţia:

kn21 tk

n

1k0

tn

t2

t100 )i1(S)i1(...)i1()i1(S)t,S(S +=+⋅⋅+⋅+= Π

=

- Dacă pe perioada tk plasarea este în regim de dobândă simplă, atunci

)ti1(S)t,S(S kk

n

1k00 ⋅+= Π

=

.

Elementele dobânzii simple

Procesul de dobândă compusă

68

Elementele dobânzii compuse 1) Suma finală este

- în cazul procentului dobânzii constant Sf = S0(1 + i)t

- dacă utilizăm procente variabile ∑Π==

=+=n

1kk

tk

n

1k0f tt,)i1(SS k

- dacă procentul este dependent de timp, adică se utilizează dobânda unitară instantanee, avem

=δ⋅=∫δ

)t(,eSS

1

0

dx)x(

0f dobânda unitară instantanee la momentul t 2) Suma iniţială sau valoarea actuală va fi

- pentru procent al dobânzii constant, tt

0 )i+1(S

=S

- procente anuale variabile ∏= +

⋅=n

1kt

kf0 k)i1(

1SS

- în cazul dobânzii instantanee ∫ δ−⋅=

1

0

dx)x(f0 eSS

3) Procentul de plasare p şi dobânda unitară i sunt

i100p,1SSi

t1

0

f ⋅=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4) Durata de plasare sau scadenţa t este

)i1ln(SlnSlnt 0f

+−

=

În cazul în care perioada de timp conţine şi fracţii vom folosi formula:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+≅+⋅+=+

+

12ki1)i1()i1()i1()i1( n12

kn12

kn, 1

12k<

Exemplu Ce sumă trebuie depusă astăzi pentru ca peste opt ani, cu dobândă de 5% să se poată ridica 2.000.000 u.m.? Sf = 2.000.000 u.m. t = 8 ani i = 0,05 S0 = ? Sf = S0(1+i)t

( ) 724,678.353.1=)05,0+1(

000.000.2=

i+1S

=S 8tf

0 u.m.

5.2. PLĂŢI EŞALONATE

Vom utiliza termenul de plată în sens larg, de operaţiune financiară ce poate fi o plată propriu-zisă, un plasament bancar, un venit etc. Dacă operaţiunea de plată se face la anumite intervale de timp, deci cu o anumită

Elementele dobânzii compuse

69

regularitate, spunem că avem de a face cu plăţi eşalonate (uneori în acest sens se utilizează şi termenul de rentă): Plăţile eşalonate sunt de diferite tipuri, după elementele care le caracterizează: 1) sunt constante sau variabile (după suma plătită); 2) sunt anticipate sau posticipate, după momentul în care se face plata, la

începutul sau la sfârşitul perioadei de depunere; 3) sunt: - temporare (număr finit de plaţi); - perpetue (număr nelimitat de plăţi); - viagere (plăţi pe viaţă); 4) sunt: - anuităţi (plăţi anuale); - semestrialităţi (se plătesc în fiecare semestru); - trimestrialităţi (se plătesc în fiecare trimestru); - mensualităţi (plăţi lunare). 5) sunt plăţi imediate sau amânate, după momentul în care începe eşalonarea

(plata); 6) sunt plăţi cu procent al dobânzii constant sau variabil; 7) după scopul plăţilor sunt plăţi de fructificare (obţinem dobândă) sau de amortizare (rambursare). Eşalonarea poate fi la intervale de timp egale (periodică) sau neegale. Pentru majoritatea tipurilor de plăţi eşalonate (ne vom rezuma la cele periodice), prezintă interes valoarea finală şi valoarea actuală a tuturor plăţilor Plăţile eşalonate anual sunt numite anuităţi. Vom nota: Tk – suma (rata) plătită în anul k; ik – dobânda anuală unitară din anul k; n – numărul de plăţi; Snp, Sna – valoarea finală a tuturor plăţilor posticipate, respectiv anticipate; Anp, Ana – valoarea actuală (actualizată la momentul fixat t=0) a tuturor plăţilor posticipate, respectiv anticipate.

Anuităţi posticipate, temporare, imediate Avem următoarea schemă de plăţi: Considerăm că operaţiunea este în regim de dobândă compusă. Suma finală a tuturor plăţilor, care este formată din suma sumelor finale pentru fiecare plată, va fi:

Snp = T1 (1+i2)(1+i3)...(1+in) + T2 (1+i3)...(1+in) +...+ Tn-1 (1+in) + Tn

n

1n

1jK

n

1jKjnp T)i1(TS +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Π⋅= ∑

−

=+=

Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante: T1 = T2 = ... Tn = T, i1 = i2 = ... = in = i, atunci:

T1 T Tn-1 Tn i1 i2 i3 in

T1 T2

0 2 3 n-1 n 1 ..................................

Anp Snp

Tipuri de plăţi eşalonate

Anuităţi

70

i1)i1(TS

n

np−+

=

Analog, valoarea actuală a tuturor anuităţilor este:

∑=

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Π⋅=

+⋅⋅

+⋅

+++

+⋅

++

+=

n

1j r

j

1rjnp

n21n

212

11np

i11TA

i11...

i11

i11T...

i11

i11T

i11TA

Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante: T1 = T2 = ... Tn = T, i1 = i2 = ... = in = i, atunci:

ii1

11TA

n

np

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

Anuităţi posticipate, temporare, amânate

Considerăm următoarea schemă de plăţi: n – numărul de ani care limitează plăţile; r – numărul de ani după care încep plăţile (efectiv sunt n-r plăţi). Valoarea finală a plăţilor va fi

n

1n

1rjK

n

1jKjnp T)i1(TrS +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Π⋅= ∑

−

+=+=

Dacă anuităţile şi procentele sunt constante, atunci: ( )

i1i1TrS

rn

np−+

=−

Valoarea actuală a plăţilor este

n1n

2r12r

1r11rnp i1

i...i1

iT...i11...

i11T

i11...

i11TrA

+⋅⋅⋅

+++

+⋅⋅

++

+⋅⋅

+=

++

++

∑+=

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Π⋅=n

1rj k

j

1kjnp i11TrA

În cazul anuităţilor şi procentelor constante obţinem:

ii1

11

i11TrA

rn

r

np

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

T3 Tn-1 Tn i1 i2 i3 in T1 T2 Tr+2 ir+1 ir+1

Tr+1

0 2 3 n-1 n=r+(n-r) 1 ...........

rAnp rSnp

...........r+2 r+1 r

71

Anuităţi posticipate perpetue imediate Reprezintă cazul anuităţilor posticipate imediate temporare, dar cu

∞→n . Aceasta face ca valoarea finală a plăţilor să fie infinită, deci prezintă interes valoarea actuală npnp AlimA

∞→∞ = .

La fel se tratează şi anuităţile posticipate perpetue amânate..

Anuităţi anticipate temporare imediate Schema acestor plăţi este: Sna = T1(1+i1)...(1+in) + T2 (1+i2)...(1+in) +...+ Tn-1 (1+in-1) (1+in) + Tn(1+in)

∑=

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Π⋅=

n

1jK

n

jKjna )i1(TS

În cazul anuităţilor şi a procentelor constante: T1 = T2 = ... Tn = T, i1 = i2 = ... = in = i, avem:

i1)i1()i1(TS

n

ns−+

+=

Valoarea actuală va fi:

∑=

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Π⋅+=

+⋅⋅

+⋅

+++

+⋅

++

++=

n

2j m

1j

1mj1na

n21n

213

121na

i11TTA

i11...

i11

i11T...

i11

i11T

i11TTA

În cazul anuităţilor şi procentelor constante avem:

ii1

11)1i(TA

n

na

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−+=

Anuităţi anticipate temporare amânate

Schema acestor plăţi amânate r ani este:

Valoarea finală şi valoarea actuală vor fi

T3 Tn i1 i2 i3 in

T1 T2

0 2 3 n-1 n 1 ..................................

Ana Sna

T4

........... ...........0 2 3 n-1 n 1

rAna rSna

r+2 r+1 r

Tn i1 i2 i3

in ir+1 ir+1

Tr+1 Tr+2 Tr+3

72

∑+=

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Π⋅=

n

1rjm

n

jmjna )i1(TrS

∑+=

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Π⋅=n

1rj m

1j

jmjna i11TrA

În cazul anuităţilor şi procentelor constante valoarea finală şi cea actuală sunt:

( )i

1i1)1i(TrSrn

na−+

+=−

ii1

11

i11)1i(TrA

rn

n

na

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅+=

Plăţi eşalonate fracţionate sau fracţionalităţi

Vom considera anul împărţit în m părţi egale şi operaţiunea financiară durează n ani. Se notează cu Tkl suma plătită în fracţiunea l din anul k; ikl este dobânda unitară corespunzătoare fracţiunii l din anul k şi jk dobânda unitară anuală în anul k. Şi aici se pune problema determinării valorii finale a tuturor plăţilor, la sfârşitul ultimului an de plată şi a valorii actuale a lor la începutul primului an. Calculele sunt de acelaşi tip dar mai complicate. Exemplu Patru anuităţi constante a 5000 u.m. fiecare sunt depuse periodic la sfârşitul fiecărui an, cu rata anuală de 10%. Să se calculeze valoarea lor finală şi valoarea actuală.

T = 5000 i = 0,10 n = 4 An = ? Sn = ?

An = valoare actuală = i

)i1(1Tn−+−

⋅

Sn = valoare actuală = i

1)i1(Tn −+

⋅

An = 13845,04 u.m. Sn = 23205 u.m.

5.3. ÎMPRUMUTURI

De regulă, un împrumut este rambursat (amortizat) prin anuităţi constante (rate) formate dintr-o parte a împrumutului (amortisment) şi o dobândă, care este aferentă datoriei pe perioada dintre rate. Sumele rambursate anual, care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată, se numesc amortismente. Notaţiile cu care lucrăm sunt următoarele:

Rata

Amortismentul

73

V0 – valoarea împrumutului (suma împrumutată); n – numărul de ani în care se rambursează împrumutul; T1, T2, ..., Tn – anuităţile succesive; Q1, Q2, ..., Qn – amortismentele succesive; p = 100 · i – procentul anual al dobânzii aferent împrumutului; Vj – valoarea datoriei (suma rămasă de rambursat) la finele anului j; Dj – dobânda aferentă datoriei în anul j; Evident, avem relaţiile: V0 = Q1 + Q2 +...+ Qn

Vn-1 = Qn Vn = 0

Pentru a pune în evidenţă elementele din rambursarea unui împrumut se întocmeşte următorul tabel:

Perioada (anul)

Suma datorată la începutul anului

Dobânda aferentă datoriei

Amortismentul Rata (anuitatea)

1 V0 D1 = V0 · i Q1 T1 = Q1 + D1

2 V1 = V0 – Q1 D2 = V1 · i Q2 T2 = Q2 + D2 3 V2 = V1 – Q2 D3 = V2 · i Q3 T3 = Q3 + D3 ... ... ... ... ... n Vn-1 = Vn-2 – Qn-1 Dn = Vn-1 · i Qn = Vn-1 Tn = Qn + Dn

Rambursarea unui împrumut se poate face în trei moduri: 1) Rambursarea unui împrumut prin rate (anuităţi) constante:

T1 = T2 = ...= Tn = T ( ) ( )

( ) 1i1iV

Q

i1QQi1Q

n0

1

j1j1j

−+

⋅=⇒

+=⋅+=⇒ +

Exemplu: Să se întocmească planul de amortizare a unui împrumut de 300.000 u.m., rambursabil în 5 ani, cu rate constante şi dobânda de 8% pe an.

Anul Suma datorată

la începutul anului

Dobânda aferentă datoriei

Amortismentul Rata (anuitatea)

1 V0= 300.000

D1=V0·i= 300.000·0,08=

24.000

Q1= 51.136,94

T=Q1+D1= 51.136,94+24.000

=75.136,94

2

V1=V0–Q1= 300.000-51.136,94

=248.863,06

D2=V1·i= 248.863,06·0,08

=19.909,04

Q2=T-D2= 75.136,94-19.909,04 =55.227,9

T=75.136,94

3 V2=V1–Q2= 193.635,16

D3=V2·i= 15.490,81

Q3=T-D3= 59.646,13 T=75.136,94

4 V3=V2–Q3= 133.989,03

D4=V3·i= 10.719,12

Q4=T-D4= 64.417,82 T=75.136,94

5 V4=V3–Q4= 69.571,21

D5=V4·i= 5.565,73

Q3=T-D3= 69.571,21 T=75.136,94

Rambursarea împrumutului prin rate egale

74

Primul amortisment este ( ) ( )

94,136.51108,01

08,0000.3001i1

iVQ 5n

01 =

−+⋅

=−+

⋅=

2) Rambursarea unui împrumut prin amortismente constante

Q1= Q2 = ...= Qn = n

VQ 0=

Exemplu: Întocmiţi tabelul de amortizare pentru un împrumut de 20.000 u.m., rambursabil în 5 ani, cu amortismente constante şi rata anuală a dobânzii de 15%.

Anul Suma datorată la începutul anului Dobânda Amortismentul Rata

(anuitatea)

1 V0=20.000

D1=V0·i= 20.000·0,15=

3.000

Q=V0/5= 20.000/5=4.000

T1=Q+D1= 4.000+3.000=

7.000

2 V1=V0–Q=

20.000-4.000= 16.000

D2=V1·i= 16.000·0,15=

2.400 Q=4.000

T2=Q+D2= 4.000+2.400=

6.400

3 V2=V1–Q=

16.000-4.000= 12.000

D3=V2·i= 12.000·0,15=

1.800 Q=4.000

T3=Q+D3= 4.000+1.800=

5.800

4 V3=V2–Q=

12.000-4.000= 8.000

D4=V3·i= 8.000·0,15=

1.200 Q=4.000

T4=Q+D4= 4.000+1.200=

5.200

5 V4=V3–Q=

8.000-4.000= 4.000

D5=V4·i= 4.000·0,15=

600 Q=4.000

T5=Q+D5= 4.000+600=

4.600 3) Rambursarea unui împrumut prin amortismente şi rate variabile – se calculează prin diferenţe, ţinând cont de relaţiile dintre elementele împrumutului. Exemplul 1: Să se întocmească tabelul de amortizare a unui împrumut de 20.000 u.m., dacă se returnează în 4 ani, cu dobânda de 10% pe an, prima rată este de 12.000 u.m., al treilea amortisment este de 4.000 u.m., iar suma rămasă de rambursat în ultimul an este de 2.000 u.m.

Perioada (anul)

Suma datorată

Dobânda aferentă datoriei Amortismentul Rata (anuitatea)

1 20.000 D1=V0·i=

20.000·0,1=2.000 Q1=T1-D1=

10.000 12.000

2 V1=V0–Q1= 10.000

D2=V1·i= 1.000

Q2=V0-Q1-Q3-Q4=20.000-

10.000-4.000-2.000=4.000

T2=Q2+D2= 4.000+1.000=

5.000

3 V2=V1–Q2=

10.000-4.000=6.000

D3=V2·i= 6.000·0,1=600

4.000

T3=Q3+D3= 4.000+600=

4.600

4 2.000 D4=V4·i= 2.000·0,1=200 Q4=V3=2.000

T4=Q4+D4= 2.000+200=

2.200

Rambursarea împrumutului prin amortismente egale

Rambursarea împrumutului prin rate şi amortismente variabile

75

Exemplul 2: Fie un împrumut în valoare de 20.000 u.m. rambursabil în trei anuităţi, cu rata anuală de 12%. Dacă primul amortisment este 9000 u.m. şi capitalul rămas de rambursat după plata celei de a doua anuităţi este 5000 u.m., să se întocmească tabelul de amortizare al împrumutului.

Anul Suma la începutul anului Dobânda Amortismentul Rata

1 V0 = 20.000 D1 = V0 · i = 2400 Q1 = 9000 T1 = D1+ Q1

= 11.400

2 V1 = V0 – Q1 = 11.000

D2 = V1 · i = 1320

Q2 = V1 – V2 = 6000

T2 = D2+ Q2 = 7320

3 V2 = 5000 D3 = V2 · i = 600

Q3 = V2 = 5000

T3 = D3+ Q3 = 5600

DICŢIONAR

- dobânda este suma de bani plătită de debitor (cel care se împrumută)

creditorului (cel care împrumută) pentru suma de bani împrumutată; - suma investită iniţial se numeşte valoare iniţială, sumă iniţială, capital

principal; - suma obţinută după perioada de investire se numeşte valoare finală,

valoare acumulată la momentul respectiv, valoare sau sumă revenită; - putem defini dobânda ca fiind diferenţa dintre valoarea finală şi valoarea

iniţială D = Sf – S0 = S(t) – S(0); - dacă t = 1 an şi S0 = 100 u.m., atunci dobânda corespunzătoare se numeşte

procent şi se notează cu p; - pentru t = 1 an şi S0=1 u.m., avem dobândă unitară anuală, dobânda pe o

unitate monetară sau rată unitară anuală a dobânzii, notată cu i; - dacă pe întreaga durată de plasare t, valoarea considerată în calcul a

sumei S0 nu se modifică, vom spune că avem un proces de dobândă simplă sau că plasarea sumei S0 s-a efectuată în regim de dobândă simplă;

- dacă valoarea luată în calcul a sumei de plasare S0 se modifică periodic pe durata plasării prin capitalizarea dobânzii cuvenite pe perioada anterioară, spunem că avem un proces de dobândă compusă sau că plasarea sumei S0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă;

- dacă operaţiunea de plată se face la anumite intervale de timp, deci cu o anumită regularitate, spunem că avem de a face cu plăţi eşalonate;

- plăţile eşalonate anual sunt numite anuităţi; - avem anuităţi posticipate atunci când plăţile se fac la sfârşitul fiecărui an; - avem anuităţi anticipate atunci când plăţile se fac la începutul fiecărui an; - avem anuităţi imediate când plăţile se fac începând din primul an; - avem anuităţi amânate când plăţile se fac după r ani; - avem anuităţi temporare când plăţile se fac un număr finit de ani; - avem anuităţi perpetue când plăţile se fac un număr infinit de ani; - sumele rambursate anual care au rolul de a amortiza treptat suma

împrumutată, se numesc amortismente; - rata dintr-un an este formată din amortismentul anului curent adunată cu

dobânda aferentă datoriei rămase în anul curent.

76

TEST DE EVALUARE

1. Definiţi suma iniţială. 2. Definiţi suma finală. 3. Definiţi dobânda. 4. Ce tipuri de funcţii de acumulare cunoaşteţi? 5. Definiţi procentul dobânzii. 6. Definiţi dobânda unitară anuală. 7. Definiţi procesul de dobândă simplă. 8. Deduceţi elementele dobânzii simple. 9. Definiţi procesul de dobândă compusă. 10. Deduceţi elementele dobânzii compuse. 11. Ce tipuri de plăţi eşalonate cunoaşteţi? 12. Definiţi anuitatea. 13. Deduceţi formulele valorii finale şi valorii actuale în cazul

anuităţilor posticipate, temporare, imediate. 14. Deduceţi formulele valorii finale şi valorii actuale în cazul

anuităţilor anticipate, temporare, imediate. 15. Definiţi rata. 16. Definiţi amortismentul. 17. Ce tipuri de rambursare a împrumuturilor cunoaşteţi?

77

BIBLIOGRAFIE:

1. Cenuşă Gh. şi colab., Matematici pentru economişti, ASE Bucureşti, Editura Cison, Bucureşti, 2002

2. Cenuşă Gh. şi colab., Culegere de probleme, ASE Bucureşti, Editura Cison, Bucureşti, 2002

3. Chilărescu C. şi colab., Bazele statisticii, teoria probabilităţilor, Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2002

4. Opriş D., Silberberg Gh., Optimizări liniare, discrete convexe, aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1999

5. Purcaru I., Matematici generale şi elemente de optimizare. Teorie şi aplicaţii, Editura Economică, Bucureşti, 1997

6. Purcaru I., Matematici financiare, Editura Economică, Bucureşti, 1998

7. Tecuşan F., Pater L., Monedă şi credit, între teorie şi practică, Editura Mirton, Timişoara, 2003