Modelul Black-Scholespentru evaluarea optiunilor

Robert Batca

Rrobertbatca@gmail.com

Optiunile au existat cel putin din punt de vedere conceptual inca din antichitate. Dar abia o data cu publicarea formulei Black Scholes (1973) a aparut si un cadru teoretic consistent pentru evaluarea lor. Acesta a fost rezultatul cercetarii facute atat de Robert Merton cat si de Black si Scholes. In 1997, Scholes si Merton au primit Premilu Nobel pentru economie. Black murise in 1995, dar altfel ar fi impartit premiul. Teoria evaluarii optiunilor isi are radacinile in descoperirile lui Bachelier (1900) care a folosit miscarea Browniana pentru a modela optiunile pe obligatiunile guvernamentale din Franta. Descoperirea sa a anticipat cu cinci ani utilizarea independenta a miscarii browniene in fizica de catre Einstein. Interesul pentru cercetarea fenomenului a revenit in anii '60. Cele mai importante descoperiri din aceasta perioada i-au apartinut lui Samuelson (1965). El a studiat optiunile cu o scadenta indelungata si a utilizat miscarea browniana geometrica pentru a modela comportamentul pretului actiunii aferente. Pe aceasta baza acesta a modelat valoarea optiunii la scadenta ca pe o variabila aleatoare. Modelul se bazeaza pe doi factori. Primul este rata asteptata a rentabilitatii titlului. Al doilea este rata la care pretul optiunii trebuie actualizat. Acesti doi factori depind atat de riscul actiunii cat si de cel al optiunii. Nici unul dintre acesti factori nu era observabil pe piata. In functie de preferinta pentru risc, agenti diferiti ar putea lua in considerare valori diferite ale factorilor. In consecinta, formula lui Samuelson avea o componenta arbitrara. Nu oferea un mijloc prin care investitori cu grade diferite de aversiune fata de risc sa poate conveni asupra unui pret pentru o optiune. Black si Scholes au rezolvat aceasta problema printro abordare complet diferita. Presupunand ca un investitor doreste sa vanda o optiune. El va face hedging dinamic pana la expirarea optiunii. Ce pret ar trebui sa ceara pentru optiune? Black si Scholes propun sa ceara un pret egal cu costul hedgingului dinamic. Facand undele simplificari, au descoperit ca acest cost poate fi cunoscut in calculat. In practica, hedgingul dinamic este un proces incert. In functie de titlul aferent si de strategia de hedging, pozitia trebuie ajustata de cateva ori pe saptamana sau de cateva ori pe zi. Intre ajustari consecutive pot avea loc evenimente neasteptate. Utilizand calculul stochastic si

cateva simplificari, Black si Scholes au studiat cazul limita cand frecventa schimbarii pozitiei de hedging tinde spre infinit. In acest caz, costul hedgingului dinamic este independent de evolutia titlului aferent optiunii. Acesta depinde doar de volatilitatea pretului. Daca volatilitatea este constanta si cunoscuta in avans, costul hedgingului dinamic este cert. Fiind cert, nu presupune risc, asa ca poate fi actualizat cu rata de risc zero pentru a obtine pretul optiunii. Presupunerile modelului sunt: Activul nu plateste dividende pe parcursul vietii optiunii Optiunea este de tip european Pietele sunt eficiente Nu se percep comisioane Rata de dobanda ramane constanta Randamentele au o distributie lognormala Abordarea Black Scholes si generalizarile sale recurg la ecuatii diferentiale partiale care pot avea solutii inchise (ca in cazul formulei originale) sau in caz contrar trebuie rezolvate numeric prin metode cum ar fi metoda Monte Carlo.

c= sN d+ xe

rt

N d-

p= xert Nd-sNd +ln d+ = s x

r t

1 2

2

t

ln d-=

s x

r t

1 2

t

2

d- =d + t

Unde: c este pretul unei optiuni call p pretul unei optiuni put s pretul curent al activului x pretul de exercitiu al optiunii variatia standard a pretului actiunii (volatilitatea) t numarul de perioade pana la expirarea optiunii r rata de dobanda fara risc, capitalizata continuu N(.) - distributia normala cumulativa standard

Pentru a intelege modelul, il analizam prin prisma celor doua componente. Prima parte, sN(d+), reprezinta beneficiul asteptat din cumpararea activului. Acesta se calculeaza prin inmultirea pretului actiunii (s) cu variatia pretului optiunii in raport cu variatia pretul actiunii N(d+). Partea a doua reprezinta valoarea prezenta a pretului de exercitiu platit la data expirarii. Valoarea optiunii call este calculata prin scaderea celor doua valori. Inca din 1973, modelul Black Scholes s-a bucurat de o popularitate extraordinara. Multi cercetatori au extins modelul. In 1973, Robert Merton a eliminat restrictia privind lipsa dividendelor. In 1976, Jonathan Ingerson a mers un pas mai departe si a eliminat restrictia privind lipsa taxelor sau a costurilor de tranzactionare. In 1976, Merton a extis modelul pentru rate de dobanda variabile. Rezultatele acestei popularitati sunt modelele foarte precise de evaluare pe care le avem astazi.

Bibliografie Steven Shreve: Stochastic Calculus and Finance, http://statwww.berkeley.edu/users/evans/shreve.pdf Black, Fischer and Myron S. Scholes (1973). The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy. Cox, John C., Stephen A. Ross and Mark Rubinstein (1979). Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics. Kritzman, P. Mark (2003) The Portable Financial Analyst, John Wiley & Sons Wikipedia.org