seminarul de matematici financiare modelul continuu black ...smpf/modelulbs.pdf · seminarul de...

Seminarul de Matematici Financiare

Modelul continuu Black Scholes

Eduard Rotenstein

Universitatea "Al. I. Cuza", Facultatea de Matematic�a

3 decembrie 2009

Modelul continuu Black Scholes 2

Consider�am o piat �a perfect�a: tranzactiile au loc continuu în timp, nu sunt restrictii la credite saudepozite, iar dobânzile sunt egale, nu sunt taxe sau costuri la tranzactionare.

1 Modelul matematic

1.1 Activul f �ar�a risc (risk-free bond)Activul primar f �ar �a risc corespunde unui cont de economii (savings account, a money market account,a risk-free bond), pentru care dobânda instantanee (short-term interest rate) r este constant �a peintervalul [0; T ]. Acest activ este continuu compus în timp dinamica sa �ind

dBt = rBtdt; B0 = 1;

cu solutia Bt = ert; t 2 [0; T ] : Fie un zero-coupon bond cu maturitatea T; al c�arui pret la momentult 2 [0; T ] este

B (t; T ) = e�r(T�t); 8t 2 [0; T ] :

Pentru orice T �xat, pretul bond-ului satisface ecuatia diferential �a

dB (t; T ) = rB (t; T ) dt; B (0; T ) = e�rT :



1.2 Activul cu risc (actiuni pe stoc)Presupunem c�a evolutia în timp continuu a pretului stocului este dat �a de procesul stochastic (St)t2[0;T ]ce satisface EDS liniar �a:

dSt = �Stdt + �StdWt; S0 > 0; (1)

unde � > 0 este rata de apreciere a pretului actiunii, � > 0 este volatilitatea si S0 este pretul initial alactiunii.

Proposition 1 Ecuatia (1), scris �a sub form�a integral �a

St = S0 +

Z t

0

�Sudu +

Z t

0

�SudWu ; 8t 2 [0; T ]

admite o solutie unic�a dat �a de

St = S0 exp

��Wt +

�� 1

2�2�t

�; 8t 2 [0; T ] : (2)

Proof. Folosind formula lui Itô se arat �a ca procesul de�nit prin (2) satisface ecuatia (1). Fie

dXt =

�� 1

2�2�dt + �dWt:



Considerând functia g : R ; g (x) = S0ex; avem c�a St = g (Xt) si

dSt = dg (Xt) = g0 (Xt)

�� 1

2�2�dt + g0 (Xt)�dWt +

1

2g00 (Xt)�

2dt

= g (Xt) (�dt + �dWt) = St (�dt + �dWt) :

Unicitatea solutiei rezult �a imediat datorit �a coe�cientilor Lipschitz ai ecuatiei (1).

Remark 1 Este important de subliniat faptul c �a

FWt = � fWu : u � tg = � fSu : u � tg = FSt ;

adic�a �ltrarea generat �a de pretul actiunilor coincide cu �ltrarea natural �a a misc �arii BrownieneW; adic�aFS = FW = F:

De�nim procesul auxiliar

Mt = exp

��Wt �

1

2�2t

�; 8t 2 [0; T ] (3)

Lemma 1 ProcesulM este o martingal �a sub P; în raport cu �ltrarea F:



Proof. Observ�am c�a

EP�e�(Wt�Wu)jFu

�= EP

�e�(Wt�Wu)

�= exp

�1

2�2 (t� u)

�deoareceWt �Wu � N (0; t� u) : Deoarece St = e�tMt ; avem, pentru �ecare u � t � T;

EP (StjFu) = EP�e�tMtjFu

�= e�tMu = Sue

�(t�u):

Obs. Pretul stocului S este o martingal �a sub probabilitatea P în raport cu �ltrarea F () rata deapreciere � este 0: Dac�a � > 0 (res. � < 0) atunci

EP (StjFu) > Su (resp. < Su), pentru 8t > u;

adic�a pretul stocului S este o submartingal �a (resp. o supramartingal �a) sub m�asura de probabilitatesubiectiv �a P:



1.3 Strategii de schimb auto�nantante; M�asuri martingale pentru o piat �a spot

De�nition 1 � Prin strategie de schimb întelegem o pereche de procese stochastice progresiv m�a-surabile � = (�1; �2) de�nite pe spatiul de probabilitate (;F ;P) :

� Spunem c�a o strategie de schimb � = (�1; �2) pe intervalul [0; T ] este auto�nantant �a dac�a valoareaportofoliului

Vt (�) := �1tSt + �

2tBt ; 8t 2 [0; T ]

satisface conditia

Vt (�) = V0 (�) +

Z t

0

�1udSu +

Z t

0

�2udBu ; 8t 2 [0; T ] ;

prima integral �a �ind interpretat �a în sens Itô, iar a doua în sens Lebesgue.(Vom nota cu � multimea strategiilor auto�nantante, multime ce nu coincide cu R2; dup�a cum sepoate observa din modelul de suicid al lui Harrison & Pliska, 1981).

În mod uzual, not �am S� = S=B pretul cu discount al stocului si obtinem c�a, 8t 2 [0; T ]

S�t = S�0 exp

��Wt +

�� r � 1

2�2�t

�;



adic�a, echivalent, S� este unica solutie a EDS

dS�t = (�� r)S�t dt + �S�t dWt ; S�0 = S0 ;

iar proprietatea martingal �a a lui S� sub P poate � analizat �a în aceeasi manier �a ca si în cazul lui S:

De�nition 2 O m�asur�a de probabilitate P� pe (;F) ; echivalent �a cu P; se numeste m�asur �a martingal �apentru S� dac�a S� este o martingal �a local �a sub P�:

De�nition 3 O m�asur�a de probabilitate P� pe (;F) ; echivalent �a cu P; se numeste o m�asur�a martin-gal �a spot dac�a valoarea cu discount a portofoliului V �t (�) := Vt (�) =Bt oric �arei strategii auto�nantante� este o martingal �a local �a sub P�:

Lemma 2 Om�asur�a de probabilitate este o m�asur�a martingal �a spot dac�a si numai dac�a este o m�asur�amartingal �a pentru S�:

Proof. Fie � 2 �: Utiliz �am formula lui Itô si obtinem (stim c�a dB�1t = �rB�1t dt):

dV �t = d�VtB

�1t

�= VtdB

�1t +B�1t dVt

=��1tSt + �

2tBt�dB�1t +B�1t

��1tdSt + �

2tdBt

�= �1t

�B�1t dSt + StdB

�1t

�= �1tdS

�t ;

adic�aSeminarul de Matematici Financiare


V �t (�) = V�0 (�) +

Z t

0

�1udS�u ; 8t 2 [0; T ] :

Cum integrala stochastic �a Itô este o martingal �a local �a obtinem rezultatul dorit.

Lemma 3 Unica m�asur�a martingal �a P� pentru S� este dat �a de derivata Radon-Nikodym:

dP�

dP= exp

r � ��

WT �1

2

(r � �)2

�2T

!; P�a:s:

Sub m�asur�a martingal �a P�; pretul cu discount S� satisface

dS�t = �S�t dW

�t ;

iar procesulW �t = Wt � (r � �)��1t; t 2 [0; T ] este o miscare Brownian�a pe (;F ;P�):

Pretul S� este sub P� o martingal �a strict pozitiv �a deoarece, 8t 2 [0; T ],

S�t = S�0 exp

��W �

t �1

2�2t

�= S�0M

�t ;

undeM � este de�nit prin (3) cuW înlocuit deW �: Pretul stocului la momentul t este

St = S�tBt = S0 exp

��W �

t +

�r � 1

2�2�t

�;



adic�a

dSt = rStdt + �StdW�t ; S0 > 0:

Este important de observat c�a

F = FW = FW �= FS = FS�:

De�nition 4 O strategie � 2 � se numeste P��admisibil �a dac�a V �t (�) := B�1t Vt (�) este o martingal �asub P�: Not�am cu � (P�) multimea strategiilor P��admisibile. TripletulMBS := (S;B;� (P�)) este numitmodelul f �ar �a arbitraj Black-Scholes.

Lemma 4 Fie X un derivat �nanciar European, replicabil, cu maturitatea T . Pretul s �au de arbitraj,�t (X) ; la �ecare moment t în modelulMBS este dat de

�t (X) = BtEP��B�1T XjFt

�; 8t 2 [0; T ] :

Proof. Fie � o strategie admisibil �a, replicant �a pentru derivatul X: Avem

�t (X)

Bt= V �t (�) = EP� (V �T (�) jFt) = EP�

�B�1T XjFt

�: (cf. lemei (2))



2 Formula de evaluare Black-ScholesConsider�am un call european având ca activ suport un stoc S ce nu pl �ateste dividente, cu maturitateaT si pretul de exercitare K. Functia de plat �a (si pretul optiunii) la momentul T este (ST �K)+ : Fiefunctia c : R+ � (0; T ]! R dat�a de

c (s; t) := sN (d1)�Ke�rtN (d1) ; (4)

unde N este functia de repartitie normal �a standard si

d1;2 := d1;2 (s; t) =ln (s=K) +

�r � 1

2�2�t

�pt

: (5)

Not�am cu Ct pretul de arbitraj al unui call european în modelul Black-Scholes.

Theorem 1 La �ecare moment t < T; pretul de arbitraj al optiunii de call european (cu maturitatea Tsi strike-ul K) este dat de formula

Ct = c (St; T � t) ; 8t 2 [0; T ] ;

unde functia c : R+ � (0; T ]! R este dat �a de formula (4). Mai explicit, avem, pentru t < T ,

Ct = StN (d1 (St; T � t))�KB (t; T )N (d2 (St; T � t)) ;

cu d1;2 de�nite prin (5). În plus, unica strategie replicant �a admisibil �a � =��1; �2

�pentru optiunea de



call european este

�1t =@c

@s(St; T � t) = N (d1 (St; T � t))

si

�2t = e�rt �c (St; T � t)� �1tSt� :

Vom prezenta dou�a metode de demonstratie: prima se bazeaz�a pe determinarea direct �a a strategieireplicante al �aturi de pretul optiunii, iar cea de a doua metod�a utilizeaz�a formula de evaluare în caz derisc neutru, dar având determinat pretul optiunii putem obtine si portofoliul replicant.

Proof. [1] Presupunem c�a pretul optiunii, Ct; satisface Ct = v (St; t) pentru o functie v : R+�(0; T ]! Rsi c �a strategia replicant �a c�autat �a are forma

�t =��1t ; �

2t

�= (g (St; t) ; h (St; t)) ;

pentru t 2 [0; T ] ; unde g; h : R+ � (0; T ] ! R sunt functii necunoscute. Cum � este auto�nantant �a,atunci valoarea portofoliului

Vt (�) = g (St; t)St + h (St; t)Bt = v (St; t) (6)

satisfaceSeminarul de Matematici Financiare


dVt (�) = g (St; t) dSt + h (St; t) dBt (7)= (�� r)Stg (St; t) dt + �Stg (St; t) dWt + rv (St; t) dt

deoarece din a doua egalitate din (6) obtinem c�a

�2t = h (St; t) = B�1t (v (St; t)� g (St; t)St) :

C�aut �am functia v din C2;1 ((0;1)� (0; T )) : Aplic �am formula lui Itô si obtinem

dv (St; t) =

�v0t (St; t) + �Stv

0s (St; t) +

1

2�2S2t v

00ss (St; t)

�dt

+ �Stv0s (St; t) dWt :

Împreun�a cu (7) obtinem, aplicând formula lui Itô procesului Y := v (St; t)� Vt (�),

dYt =

�v0t (St; t) + �Stv

0s (St; t) +

1

2�2S2t v

00ss (St; t)

�dt + �Stv

0s (St; t) dWt

+ (r � �)Stg (St; t) dt� �Stg (St; t) dWt � rv (St; t) dt:

Dar, conform lui (6), dYt = 0 siZ t

0

�Su (g (Su; u)� v0s (Su; u)) dWu = 0; 8t 2 [0; T ] ;



sau, echivalent, Z T

0

S2u (g (Su; u)� v0s (Su; u))2du = 0;

adic�a e necesar si su�cient ca g s�a satisfac�a

g (s; t) = v0s (s; t) ; 8 (s; t) 2 R+ � [0; T ] : (8)

Obtinem reprezentarea lui Y :

Yt =

Z t

0

�v0t (Su; u) +

1

2�2S2uv

00ss (Su; u) + rSuv

0s (Su; u)� rv (Su; u)

�du

si rezult �a c�a v satisface EDP Black-Scholes:

v0t (s; t) +1

2�2s2v00ss (s; t) + rsv

0s (s; t)� rv (s; t) = 0: (9)

Cum CT = v (ST ; T ) = (ST �K)+ impunem si conditia terminal �a v (s; T ) = (s�K)+ ; pentru s 2 R+ :Se veri�c�a prin calcul direct c�a functia v (s; t) = c (s; T � t) veri�c�a problema de mai sus. R�amâne dear�atat c�a strategia replicant �a � dat�a de formulele:

�1t = g (St; t) = v0s (St; t) ; �2t = h (St; t) = B

�1t (v (St; t)� g (St; t)St) ;



este admisibil �a. Pentru început ar �at c�a este auto-�nantant �a. Veri�c�am

dVt (�) = �1tdSt + �

2tdBt :

Deoarece Vt (�) = �1tSt + �2tBt = v (St; t) ; aplicând formula lui Itô obtinem

dVt (�) = v0s (St; t) dSt +

1

2�2S2t v

00ss (St; t) dt + v

0t (St; t) dt:

care, utilizând (9), devine

dVt (�) = v0s (St; t) dSt + rv (St; t) dt� rStv0s (St; t) dt

si deci

dVt (�) = �1tdSt + rBt

v (St; t)� St�1tBt

dt = �1tdSt + �2tdBt ;

adic�a strategia e auto-�nantant �a. Pentru admisibilitate, veri�c�am c�a

V �t (�) = V�0 (�) +

Z t

0

v0s (Su; u) dS�u ;

este o martingal �a sub m�asura martingal �a P�: Prin calcul direct se obtine c�a

v0s (s; t) = N (d1 (s; T � t))



pentru �ecare (s; t) 2 R+ � [0; T ] si

V �t (�) = V�0 (�) +

Z t

0

�SuN (d1 (Su; T � u)) dW �u =: V

�0 (�) +

Z t

0

�udW�u ;

adic�a V � (�) este o P��martingal �a. Egalitatea

c0s (St; T � t) = N (d1 (St; T � t))

se veri�c�a prin calcularea direct �a a lui c0s :

Proof. [2] Punem accent pe evaluarea direct �a a lui c: Ar�at �am c�a derivatul �nanciar X = (ST �K)+este replicabil în modelul B-S. Acest lucru rezult �a din proprietatea de reprezentare combinat �a cu inte-grabilitatea v.a. X� = B�1T (ST �K)+ sub probabilitatea P�:Exist �a un proces predictibil � astfel încât integrala stochastic �a

V �t = V�0 +

Z t

0

�udW�u ; 8t 2 [0; T ]

este o P��martingal �a continu�a, de p�atrat integrabil �a si

X� = B�1T (ST �K)+ = EP�X� +

Z T

0

�udW�u = EP�X� +

Z T

0

hudS�u ;

unde am notat ht = �t= (�S�t ) : Not�am Vt = BtV �t si consider�am strategia dat �a deSeminarul de Matematici Financiare


�1t = ht ; �2t = V�t � htS�t = B�1t (Vt � htSt) :

Veri�c�am c�a � este auto-�nantant �a.

dVt (�) = d (BtV�t ) = BtdV

�t + rV

�t Btdt

= BthtdS�t + rVtdt = Btht

�B�1t dSt � rB�1t Stdt

�+ rVtdt

= htdSt + r (Vt � htSt) dt = �1tdSt + �2tdBt :

Este clar c�a VT (�) = VT = (ST �K)+ si � este strategie admisibil �a replicant �a pentru X; deci optiuneade call este replicabil �a în modelulMBS: Evalu�am în cele ce urmeaz�a pretul de arbitraj al lui X folosindformula de evaluare la risc neutru. Deoarece FWt = FSt pentru �ecare t 2 [0; T ] ; avem

Ct = BtEP��(ST �K)+B�1T jFSt

�= c (St; T � t) (10)

pentru o functie c : R+ � [0; T ]! R: Din propriet �atile mediei conditionate avem

EP��(ST �K)+ jFSt

�= H (St; T � t) ; (11)

unde functia H (s; T � t) este de�nit �a de

H (s; T � t) = EP��se�(W

�T�W �

t )+(r��2=2)(T�t) �K�+�



pentru fecare (s; t) 2 R+ � [0; T ] : Pentru t = 0 obtinem din (10)

EP��(ST �K)+B�1T

�= EP�

�STB

�1T 1D

�� EP�

�KB�1T 1D

�= J1 � J2 ;

unde D = fST > Kg: Pentru cantit �atile J1 si J2 avem

J2 = e�rTKP�fST > Kg

= e�rTKP��S0 exp

��W �

T + (r � 1=2�2)T�> K

= e�rTKP�

��W �

T < ln (S0=K) + (r � 1=2�2)T

= e�rTKP�� <

ln (S0=K) + (r � 12�2)T

�pT

�= e�rTKN (d2 (S0; T ))

deoarece v.a. � = �WT=pT � N (0; 1) sub m�asura martingal �a P�: Pentru a doua integral �a avem c�a

J1 = EP��STB

�1T 1D

�= EP� (S�T1D) : (12)

Introducem pe (;FT ) m�asura de probabilitate �P

d�PdP�

= exp

��W �

T �1

2�2T

�; P� a.s.,



iar procesul �Wt = W�t � �t este o miscare Brownian�a pe

�;F ; �P

�: În plus,

S�T = S0 exp

�� WT +

1

2�2T

�;

de unde, formula (12) devine

J1 = S0�P�� WT < ln (S0=K) + (r +

1

2�2)T

�= :::

= S0N (d1 (S0; T )) :

Concluzionând, avem

C0 = c (S0; T ) = S0N (d1 (S0; T ))�Ke�rTN (d2 (S0; T )) ;

unde

d1;2 (S0; T ) :=ln (S0=K) +

�r � 1

2�2�T

�pT

:

Formula de evaluare pentru 0 < t < T se poate deduce din formula (11).

Remark 2 Se observ�a c�a în formula de evaluare B-S nu apare rata de apreciere �; dup�a cum si îndinamica lui S sub P� nu apare acest coe�cient. Acelasi lucru se întâmpl �a dac�a presupunem c�a rataSeminarul de Matematici Financiare


de apreciere depinde de timp sau mai mult, este chiar un proces stochastic adaptat �ltr �arii naturale.

Formula de paritate put-call

Theorem 2 Preturile de arbitraj al unor optiuni de put si call europene ce au aceeasi dat �a de expirareT si acelasi pret de exercitare K satisfac relatia

Ct � Pt = St �Ke�r(T�t)

pentru 8t 2 [0; T ] :

Theorem 3 Pretul în modelul Black Scholes al unui put european cu pretul de exercitare K este,pentru orice t < T;

Pt = KB (t; T )N (�d2 (St; T � t))� StN (�d1 (St; T � t)) :



3 EDP Black Scholes

Theorem 4 FieW o miscare Brownian�a 1�dimensional �a de�nit �a pe un c.p. (;F ;P) : Pentru o functiem�asurabil �a Borel h : R! R, de�nim functia u : R� [0; T ]! R

u (x; t) = EP�e�r(T�t)h (WT ) jWt = x

�; 8 (x; t) 2 R� [0; T ] : (13)

Presupunem c�a Z +1

�1e�ax

2jh (x) jdx <1

pentru a > 0: Functia u este de�nit �a pentru 0 < T � t < 1=2a ; x 2 R si are derivate de orice ordin. Înparticular, u 2 C2;1 (R� (0; T )) si satisface EDP:

�@u@t(x; t) =

1

2

@2u

@x2(x; t)� ru (x; t) ; 8 (x; t) 2 R� (0; T ) ;

cu conditia terminal �a u (x; T ) = h (x) ; 8x 2 R:



Theorem 5 Fie g : R! R o functie m�asurabil �a Borel astfel încât v.a. X = g (ST ) este P��integrabil �a.Atunci, pretul de arbitraj, în modelul de piat �aMBS; al derivatului �nanciar X (ce are maturitatea T )este dat de �t (X) = v (St; t) ; unde functia v : R+ � [0; T ]! R veri�c�a EDP Black-Scholes:

@v

@t+1

2�2s2

@2v

@s2+ rs

@v

@s� rv = 0; 8 (s; t) 2 (0;1)� (0; T ) ; (14)

cu conditia terminal �a v (s; T ) = g (s) :

Proof. Obtinem (14) din formula de evaluare la risc neutru. Pretul �t (X) satisface

�t (X) = EP��e�r(T�t)g (ST ) jFSt

�= v (St; t) (15)

pentru o functie v : R+ � [0; T ]! R: În plus

�t (X) = EP��e�r(T�t)g (f (W �

T ; T )) jFW�

t

�;

unde f : R� [0; T ]! R;

f (x; t) = S0e�x+(r��2=2)t; 8x 2 R:

Not�am

u (t; x) = EP��e�r(T�t)g (f (W �

T ; T )) jW �t = x

�:



Conform teoremei anterioare, u (x; t) satisface

�u0t (x; t) =1

2u00xx (x; t)� ru (x; t) ; 8 (x; t) 2 R� (0; T ) ;

cu conditia terminal �a u (x; T ) = g (f (x; T )) :Din formulele (13) si (15) obtinem

u (x; t) = v (f (x; t) ; t) ; 8 (x; t) 2 R� [0; T ] :

Prin calcule directe se demonstreaz�a (14).


seminarul de matematici financiare modelul continuu black ...smpf/modelulbs.pdf · seminarul de...

Documents