184_proiectii.pdf
TRANSCRIPT
����
cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����
www.webmateinfo.com
office@ webmateinfo.com
1
α
d 1
d 2
d3
A
B
PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLAN
Proiectii de puncte, de segmente de dreapta si de drepte pe un plan
� Proiectia unui punct pe un plan este un punct. Daca
AA`⊥α, A` este proiectia lui A pe planul α.
� Proiectia unui segment de dreapta pe un plan este un
segment de dreapta. Daca AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este
proiectia lui AB pe planul α.
� Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta. Daca
AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este proiectia lui AB pe planul α.
Unghiul dintre o dreapta si un plan; lungimea proiectiei unui segment
Dreapta AB nu este paralela cu planul α. BC⊥α. Unghiul
dintre dreapta AB si planul dat este unghiul BAC de masura β.
Daca BC = 6cm si AC = 8cm, atunci: .4
3
8
6===
AC
BCtgβ
Teorema celor 3 perpendiculare
3
3
dACdBC
AB⊥⇒
⊥
⊥α
le trei perpendiculare sunt 321 ;; ddd
Reciproca 1. 3
3
dBCdAC
AB⊥⇒
⊥
⊥α
Reciproca 2.α⊥⇒
⊥
⊥
⊥
AB
dAC
dBC
BCAB
3
3
����
cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����
www.webmateinfo.com
office@ webmateinfo.com
2
Unghiul a doua plane
Daca indoim o foaie de hartie obtinem o figura geometrica numita unghi diedru.
S-au format doua semiplane delimitate de aceeasi dreapta.
Dreapta comuna celor doua semiplane se numeste muchia diedrului iar
cele doua semiplane se numesc fetele diedrului. Unghiul diedru arata
cat de inclinat este un plan fata de celalalt.
Se numeste unghi plan asociat unui unghi diedru ,
unghiul determinat de doua semidrepte continute
respectiv in semiplanele ce formeaza diedrul, ambele
avand originea pe muchia diedrului si fiind
perpendiculare pe aceasta.
Se numeste masura unui unghi diedru masura
unghiului plan asociat didrului. Masura unui unghi
diedru є[0 0 ;180 0 ]. In cazul in care u=0 0 unghiul este
nul, iar in cazul in care u=180 0 unghiul diedru se
numeste unghi plat.
Prin unghiul a doua plane neparalele intelegem unghiul format de doua drepte continute in cele doua plane ,
care sunt perpendiculare pe dreapta de intersectie a planelor.
α∩β=d a⊥ d , a⊂α
b⊥ d, b⊂β rezulta
• Masura unghiului a doua plane este cuprins intre 0 0 si 90 0
• Aria proiectiei unui triunghi pe un plan este egala cu produsul dintre aria triunghiului si
cosinusul unghiului format de planul triunghiului cu planul de proiectie.
• Daca unghiul a doua plane este de 90 0 atunci cele doua plane se numesc perpendiculare.
Deci doua plane sunt perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept.
TEOREME
1. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.
2. Daca se dau doua plane perpendiculare, perpendiculara dusa dintr-un punct oarecare al unuia pe dreapta de
intersectie a celor doua plane, este perpendiculara pe cel de al doilea plan.
d
a
b
����
cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����
www.webmateinfo.com
office@ webmateinfo.com
3
CALCULUL DISTANTEI DE LA UN PUNCT LA O DREAPTA SI LA UN
PLAN
UNGHIUL DIEDRU
CLASA a VIII-a
Aplicatie:
Distanta de la un punct la o dreapta.
����
cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����
www.webmateinfo.com
office@ webmateinfo.com
4
B
A
C
D
M
A
B
C
V
Se considera un triunghi dreptunghic in A, avand AB=9, BC=15.In varful A al triunghiului se
ridica perpendiculara pe plan pe care se ia un punct M astfel incat AM=4. Sa se afle distanta de
la M la BC.
Se duce din A perpendiculara pe BC.
Avem :
( )BCAD
ABCMA
⊥
⊥
Comform teoremei celor trei perpendiculare rezulta ca BCMD ⊥
Triunghiul MAD este dreptunghic in A.
Rezulta
MD=22 AMAD + ==
2
5
3616
+ = 5
1064
Exemple de unghiuri diedre sunt in piramida triunghiulara ABCV.
De exemplu p ( (VBC), (ABC) ) cu muchia BC
p ( (VAC), (VAB) cu
muchia VA
����
cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����
www.webmateinfo.com
office@ webmateinfo.com
5
d a
b
α
β
Exercitiu. Dati exemple de alte
unghiuri diedre formate in piramida.
Exercitiu. Sa se calculeze unghiurile diedre in cazul piramidei triunghiulare regulate stiind ca
apotema piramidei este 6 iar apotema bazei 9.
Se dau planele α si β
α∩β=d a⊥ d , a⊂α
b⊥ d, b⊂β rezulta
p (α,β)= p (a,b)