184_proiectii.pdf

5
cu noi totul pare mai usor cu noi totul pare mai usor cu noi totul pare mai usor cu noi totul pare mai usor www.webmateinfo.com office@ webmateinfo.com 1 α d 1 d 2 d 3 A B PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLAN Proiectii de puncte, de segmente de dreapta si de drepte pe un plan Proiectia unui punct pe un plan este un punct. Daca AA`⊥α, A` este proiectia lui A pe planul α. Proiectia unui segment de dreapta pe un plan este un segment de dreapta. Daca AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este proiectia lui AB pe planul α. Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta. Daca AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este proiectia lui AB pe planul α. Unghiul dintre o dreapta si un plan; lungimea proiectiei unui segment Dreapta AB nu este paralela cu planul α. BC⊥α. Unghiul dintre dreapta AB si planul dat este unghiul BAC de masura β. Daca BC = 6cm si AC = 8cm, atunci: . 4 3 8 6 = = = AC BC tgβ Teorema celor 3 perpendiculare 3 3 d AC d BC AB α le trei perpendiculare sunt 3 2 1 ; ; d d d Reciproca 1. 3 3 d BC d AC AB α Reciproca 2. α AB d AC d BC BC AB 3 3

Upload: larisa-ilie

Post on 10-Jul-2016

230 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: 184_proiectii.pdf

����

cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����

www.webmateinfo.com

office@ webmateinfo.com

1

α

d 1

d 2

d3

A

B

PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLAN

Proiectii de puncte, de segmente de dreapta si de drepte pe un plan

� Proiectia unui punct pe un plan este un punct. Daca

AA`⊥α, A` este proiectia lui A pe planul α.

� Proiectia unui segment de dreapta pe un plan este un

segment de dreapta. Daca AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este

proiectia lui AB pe planul α.

� Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta. Daca

AA`⊥α, BB`⊥α, A`B` este proiectia lui AB pe planul α.

Unghiul dintre o dreapta si un plan; lungimea proiectiei unui segment

Dreapta AB nu este paralela cu planul α. BC⊥α. Unghiul

dintre dreapta AB si planul dat este unghiul BAC de masura β.

Daca BC = 6cm si AC = 8cm, atunci: .4

3

8

6===

AC

BCtgβ

Teorema celor 3 perpendiculare

3

3

dACdBC

AB⊥⇒

⊥α

le trei perpendiculare sunt 321 ;; ddd

Reciproca 1. 3

3

dBCdAC

AB⊥⇒

⊥α

Reciproca 2.α⊥⇒

AB

dAC

dBC

BCAB

3

3

Page 2: 184_proiectii.pdf

����

cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����

www.webmateinfo.com

office@ webmateinfo.com

2

Unghiul a doua plane

Daca indoim o foaie de hartie obtinem o figura geometrica numita unghi diedru.

S-au format doua semiplane delimitate de aceeasi dreapta.

Dreapta comuna celor doua semiplane se numeste muchia diedrului iar

cele doua semiplane se numesc fetele diedrului. Unghiul diedru arata

cat de inclinat este un plan fata de celalalt.

Se numeste unghi plan asociat unui unghi diedru ,

unghiul determinat de doua semidrepte continute

respectiv in semiplanele ce formeaza diedrul, ambele

avand originea pe muchia diedrului si fiind

perpendiculare pe aceasta.

Se numeste masura unui unghi diedru masura

unghiului plan asociat didrului. Masura unui unghi

diedru є[0 0 ;180 0 ]. In cazul in care u=0 0 unghiul este

nul, iar in cazul in care u=180 0 unghiul diedru se

numeste unghi plat.

Prin unghiul a doua plane neparalele intelegem unghiul format de doua drepte continute in cele doua plane ,

care sunt perpendiculare pe dreapta de intersectie a planelor.

α∩β=d a⊥ d , a⊂α

b⊥ d, b⊂β rezulta

• Masura unghiului a doua plane este cuprins intre 0 0 si 90 0

• Aria proiectiei unui triunghi pe un plan este egala cu produsul dintre aria triunghiului si

cosinusul unghiului format de planul triunghiului cu planul de proiectie.

• Daca unghiul a doua plane este de 90 0 atunci cele doua plane se numesc perpendiculare.

Deci doua plane sunt perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept.

TEOREME

1. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.

2. Daca se dau doua plane perpendiculare, perpendiculara dusa dintr-un punct oarecare al unuia pe dreapta de

intersectie a celor doua plane, este perpendiculara pe cel de al doilea plan.

d

a

b

Page 3: 184_proiectii.pdf

����

cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����

www.webmateinfo.com

office@ webmateinfo.com

3

CALCULUL DISTANTEI DE LA UN PUNCT LA O DREAPTA SI LA UN

PLAN

UNGHIUL DIEDRU

CLASA a VIII-a

Aplicatie:

Distanta de la un punct la o dreapta.

Page 4: 184_proiectii.pdf

����

cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����

www.webmateinfo.com

office@ webmateinfo.com

4

B

A

C

D

M

A

B

C

V

Se considera un triunghi dreptunghic in A, avand AB=9, BC=15.In varful A al triunghiului se

ridica perpendiculara pe plan pe care se ia un punct M astfel incat AM=4. Sa se afle distanta de

la M la BC.

Se duce din A perpendiculara pe BC.

Avem :

( )BCAD

ABCMA

Comform teoremei celor trei perpendiculare rezulta ca BCMD ⊥

Triunghiul MAD este dreptunghic in A.

Rezulta

MD=22 AMAD + ==

2

5

3616

+ = 5

1064

Exemple de unghiuri diedre sunt in piramida triunghiulara ABCV.

De exemplu p ( (VBC), (ABC) ) cu muchia BC

p ( (VAC), (VAB) cu

muchia VA

Page 5: 184_proiectii.pdf

����

cu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usorcu noi totul pare mai usor ����

www.webmateinfo.com

office@ webmateinfo.com

5

d a

b

α

β

Exercitiu. Dati exemple de alte

unghiuri diedre formate in piramida.

Exercitiu. Sa se calculeze unghiurile diedre in cazul piramidei triunghiulare regulate stiind ca

apotema piramidei este 6 iar apotema bazei 9.

Se dau planele α si β

α∩β=d a⊥ d , a⊂α

b⊥ d, b⊂β rezulta

p (α,β)= p (a,b)